Bài tập cuối chương IV

Định hướng. Đặt tên tam giác cho gọn, chỉ rõ cạnh kề và cạnh huyền của góc $\alpha$ rồi thay vào định nghĩa côsin.

Vậy $\cos \alpha =\boxed{\frac{3}{5}}$, chọn đáp án C.

Định hướng. Cạnh góc vuông kề với $\alpha$ bằng cạnh huyền nhân $\cos \alpha$; thay số vào hệ thức đó rồi rút $\cos \alpha$ ra.

Vậy $\cos \alpha =\boxed{\frac{3}{5}}$, chọn đáp án C.

Định hướng. Cạnh đối của $\alpha$ bằng $4$ nên $\sin \alpha$ đọc được ngay; hệ thức cơ bản cho $\cos \alpha$ mà không cần nhìn lại hình, đây là phép thử độc lập với Cách 1.

Vậy $\cos \alpha =\boxed{\frac{3}{5}}$, chọn đáp án C.

Định hướng. Viết lại mỗi phương án dưới dạng tỉ số hai cạnh của tam giác $ABC$, phương án nào không phải cạnh kề chia cạnh huyền thì loại.

Vậy chỉ còn đáp án $\boxed{\text{C}}$.

Nhận xét. Bốn phương án của đề lần lượt là $\frac{1}{\cos \alpha }$, $\cot \alpha$, $\cos \alpha$, $\sin \alpha$ — đề gài đủ bộ nên phải đối chiếu tên cạnh chứ đừng đoán theo con số.

Định hướng. Xác định cạnh đối và cạnh huyền của góc $\widehat{MNP}$ rồi viết tỉ số.

Vậy $\sin \widehat{MNP}=\boxed{\frac{MP}{PN}}$, chọn đáp án B.

Định hướng. Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau, mà sin của một góc bằng côsin của góc phụ với nó, nên đổi câu hỏi thành tính côsin của góc $P$ — góc này có cạnh kề nhìn thấy ngay.

Vậy $\sin \widehat{MNP}=\boxed{\frac{MP}{PN}}$, chọn đáp án B.

Định hướng. Bốn phương án chỉ khác nhau ở cách ghép tên cạnh, nên gán cho ba cạnh bộ số $3$, $4$, $5$ rồi tính giá trị thật của từng phương án là phân xử được ngay.

Vậy chỉ đáp án $\boxed{\text{B}}$ đúng.

Nhận xét. Cách 3 dùng được cho mọi câu trắc nghiệm kiểu này: chỉ cần một bộ ba Pythagore là bốn phương án hiện ra bốn số khác nhau, không thể nhầm.

Định hướng. Chỉ rõ cạnh đối và cạnh kề của góc $B$ rồi viết tỉ số.

Vậy $\tan B=\boxed{\frac{AC}{AB}}$, chọn đáp án B.

Định hướng. Viết $\sin B$, $\cos B$ theo cạnh huyền $BC$ rồi lập thương — cạnh huyền tự triệt tiêu, cho thấy vì sao tang không chứa $BC$.

Vậy $\tan B=\boxed{\frac{AC}{AB}}$, chọn đáp án B.

Định hướng. Gán bộ ba Pythagore cho ba cạnh, tính giá trị thật của $\tan B$ và của cả bốn phương án để phân xử.

Vậy chỉ đáp án $\boxed{\text{B}}$ đúng.

Nhận xét. Mẹo nhanh nhất cho riêng câu này: tang chỉ ăn hai cạnh góc vuông, nên gạch bỏ mọi phương án có chữ $BC$ là còn đúng hai lựa chọn.

Định hướng. Đưa $\alpha$ và $90^{\circ }-\alpha$ về hai góc nhọn của cùng một tam giác vuông, khi đó hai tỉ số ở hai vế cùng viết được theo ba cạnh và so sánh trực tiếp.

Vậy khẳng định $\boxed{\text{A}}$ đúng.

Định hướng. Một khẳng định nói đúng với mọi góc nhọn thì phải đúng với $\alpha =30^{\circ }$; thay số vào bốn vế là ba phương án sai lộ ngay.

Vậy chỉ còn khẳng định $\boxed{\text{A}}$.

Định hướng. Cách 2 chỉ bác bỏ được bằng một phản ví dụ; ở đây quy mọi vế về ba cạnh $AB$, $AC$, $BC$ của tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ($\hat{B}=\alpha$, $\hat{C}=90^{\circ }-\alpha$) để thấy rõ mỗi phương án sai ở chỗ nào.

Vậy đáp án đúng là $\boxed{\text{A}}$.

Nhận xét. Ghi nhớ cho gọn: phép trừ $90^{\circ }-\alpha$ chỉ làm sin đổi chỗ cho côsin, tang đổi chỗ cho côtang — không bao giờ đẻ ra dấu trừ hay hằng số.

Định hướng. Cắt đôi một tam giác đều cạnh $2a$ bằng đường cao thì được ngay tam giác vuông có góc $30^{\circ }$, ba cạnh tính được hết nhờ Pythagore.

Vậy $\tan 30^{\circ }=\boxed{\frac{1}{\sqrt{3}}}$, chọn đáp án C.

Định hướng. Hai giá trị $\sin 30^{\circ }$ và $\cos 30^{\circ }$ thuộc loại nhớ nằm lòng, chia chúng cho nhau là ra tang mà không phải vẽ hình.

Vậy $\tan 30^{\circ }=\boxed{\frac{1}{\sqrt{3}}}$, chọn đáp án C.

Định hướng. Nếu chỉ nhớ chắc $\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$ thì dùng quan hệ góc phụ: tang của góc này là nghịch đảo tang của góc phụ với nó.

Vậy $\tan 30^{\circ }=\boxed{\frac{1}{\sqrt{3}}}$, chọn đáp án C.

Định hướng. Dùng tính đồng biến của tang trên khoảng góc nhọn để chặn giá trị, rồi gọi tên từng phương án bị loại.

Vậy chỉ đáp án $\boxed{\text{C}}$ đúng.

Nhận xét. Nên viết đáp số ở dạng đã trục căn thức $\frac{\sqrt{3}}{3}$ khi trình bày tự luận; hai dạng $\frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\frac{\sqrt{3}}{3}$ là một, đừng tưởng là hai đáp án khác nhau.

Định hướng. Gọi góc nhọn nhỏ là $x$ thì góc kia là $2x$; tổng hai góc nhọn bằng $90^{\circ }$ cho một phương trình bậc nhất, giải xong là biết cả họ tam giác chỉ có một bộ góc duy nhất.

Vậy các tam giác đó đồng dạng với nhau, và với góc nhọn lớn hơn thì $\boxed{\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2};\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}}$.

Định hướng. Sau khi có bộ góc $30^{\circ }$, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$, dựng lại chính tam giác ấy bằng cách cắt đôi tam giác đều cạnh $2a$; ba cạnh tính được hết nên hai tỉ số hiện ra mà không phải nhớ bảng.

Vậy các tam giác đó đồng dạng với nhau, và $\boxed{\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2};\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}}$.

Định hướng. Chỉ cần một dữ kiện duy nhất là cạnh đối diện góc $30^{\circ }$ bằng nửa cạnh huyền, tức $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$; quan hệ góc phụ cho $\cos 60^{\circ }$, rồi hệ thức cơ bản cho $\sin 60^{\circ }$ mà không cần Pythagore.

Vậy các tam giác đó đồng dạng với nhau, và $\boxed{\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2};\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}}$.

Nhận xét. Ba cách đều khẳng định lại một ý quan trọng của chương: tỉ số lượng giác chỉ phụ thuộc số đo góc, nên hai tam giác vuông đồng dạng thì mọi tỉ số lượng giác tương ứng bằng nhau.

Định hướng. Hạ đường cao $AH$ của tam giác cân $ABC$; trong tam giác vuông $AHC$ đã biết cả cạnh đối và cạnh kề của $\alpha$ nên tang cho ngay số đo góc.

Vậy góc giữa cạnh mái lều và mặt đất là $\boxed{\alpha \approx 39^{\circ }17^{\prime }}$.

Định hướng. Tính trước độ dài cạnh mái $AC$, khi đó $\alpha$ có đủ cạnh đối và cạnh huyền nên dùng sin; cách này còn cho luôn chiều dài mái lều, số liệu thực tế hay cần.

Vậy $\boxed{\alpha \approx 39^{\circ }17^{\prime }}$, đồng thời mỗi cạnh mái lều dài khoảng $2,84$ m.

Định hướng. Trong tam giác vuông $AHC$, hai góc nhọn phụ nhau, nên tính góc $\widehat{HAC}$ ở đỉnh lều (tang của nó là tỉ số ngược lại) rồi lấy $90^{\circ }$ trừ đi là ra $\alpha$.

Vậy $\boxed{\alpha \approx 39^{\circ }17^{\prime }}$.

Nhận xét. Ba cách cho cùng một kết quả $39^{\circ }17^{\prime }$; góc ở đỉnh lều khi đó khoảng $2\cdot 50^{\circ }43^{\prime }=101^{\circ }26^{\prime }$, hợp lí với dáng lều bè ngang trong hình.

Định hướng. Gọi $B$ là gốc cây, $C$ là điểm gãy, $A$ là ngọn cây trên mặt đất; tam giác $ABC$ vuông tại $B$ với $\hat{A}=20^{\circ }$, $AB=5$ m. Tang cho cạnh $BC$, côsin cho cạnh huyền $AC$, cộng lại là chiều cao cây.

Vậy trước khi bị gãy, cây cao khoảng $\boxed{7,1\text{ m}}$.

Định hướng. Sau khi có $BC$ bằng tang, hai cạnh góc vuông đã đủ nên tính cạnh huyền $AC$ bằng Pythagore, không cần đụng tới côsin — một phép kiểm chéo cho Cách 1.

Vậy cây cao khoảng $\boxed{7,1\text{ m}}$.

Định hướng. Góc nhọn còn lại của tam giác là $\hat{C}=70^{\circ }$; dùng nó thì sin cho ngay cạnh huyền $AC$, rồi côsin cho đoạn thân đứng $BC$ — cả hai cạnh cần tìm đều rút ra từ một góc duy nhất.

Vậy cây cao khoảng $\boxed{7,1\text{ m}}$.

Nhận xét. Nếu giữ nguyên biểu thức chưa làm tròn thì chiều cao cây bằng $5\tan 20^{\circ }+\frac{5}{\cos 20^{\circ }}\approx 7,1407$ m, vẫn cho $7,1$ m; nên chỉ làm tròn ở dòng cuối để tránh sai số cộng dồn.

Định hướng. Hai tỉ số cùng mẫu $BC$ nên bình phương xong là cộng được ngay trên một mẫu chung, tử số lúc đó chính là vế trái của định lí Pythagore.

Vậy $\boxed{\sin \alpha =\frac{AC}{BC};\cos \alpha =\frac{AB}{BC};{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1}$ (đpcm).

Định hướng. Đi ngược lại: xuất phát từ chính đẳng thức Pythagore rồi chia cả hai vế cho $a^2$, hai thương thu được tự nó là ${\sin }^2\alpha$ và ${\cos }^2\alpha$.

Vậy $\boxed{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1}$ (đpcm).

Định hướng. Viết hai cạnh góc vuông theo cạnh huyền và các tỉ số lượng giác, thay vào Pythagore thì $B{C}^2$ đặt được làm nhân tử chung và triệt tiêu.

Vậy $\boxed{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1}$ (đpcm).

Nhận xét. Cả ba cách đều chỉ dùng Pythagore một lần; kết quả không phụ thuộc kích thước tam giác nên hệ thức đúng với mọi góc nhọn $\alpha$, và từ đó suy ra ngay $\sin \alpha <1$, $\cos \alpha <1$.

Định hướng. Tang trong tam giác vuông $AHB$ cho góc tại đỉnh tháp; chuyển góc ấy xuống tâm nhờ hai tia sáng song song, rồi so cung $800$ km với cả đường tròn.

Vậy chu vi Trái Đất khoảng $\boxed{40700\text{ km}}$.

Định hướng. Sau khi có góc ở tâm, dùng công thức độ dài cung để rút ra bán kính Trái Đất trước, rồi mới nhân với $2\pi$ — cách này cho thêm một con số kiểm chứng được với số liệu thiên văn.

Vậy chu vi Trái Đất khoảng $\boxed{40700\text{ km}}$, ứng với bán kính khoảng $6484$ km.

Định hướng. Dùng Pythagore lấy độ dài tia sáng $HB$ rồi tính góc bằng sin — một đường độc lập với tang để kiểm lại số $7,07^{\circ }$; sau đó chỉ cần xem đường tròn gồm bao nhiêu cung như cung $AS$.