Chương IV. Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Bài tập cuối chương IV

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Bài 4.21★Trang 81— Đọc tỉ số lượng giác

cos α

của góc nhọn từ hình vẽ

Bài 4.21 (trang 81). Trong Hình 4.32,

cos α

bằng
A.

\frac{5}{3}

. B.

\frac{3}{4}

. C.

\frac{3}{5}

. D.

\frac{4}{5}

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh đối diện góc vuông và là cạnh dài nhất.
Với góc nhọn $α$ của một tam giác vuông: $sin α$ bằng cạnh đối chia cạnh huyền, $cos α$ bằng cạnh kề chia cạnh huyền, $tan α$ bằng cạnh đối chia cạnh kề, $cot α$ bằng cạnh kề chia cạnh đối.
Mọi góc nhọn $α$ đều thoả mãn $0 < sin α < 1$ và $0 < cos α < 1$ .
Hệ thức cơ bản: $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn ba cạnh

3

4

5

và đánh dấu góc vuông ở đỉnh trên, nên đây là dạng đọc thẳng tỉ số lượng giác từ hình. Việc duy nhất phải làm là xác định đúng cạnh nào kề với

α

, cạnh nào là cạnh huyền — cạnh huyền luôn đối diện góc vuông, tức cạnh dài

5

. Bẫy nằm ở chỗ cả bốn phương án đều ghép từ ba số

3

4

5

nên nhìn vội rất dễ lấy nhầm

\frac{4}{5}

(đó là

sin α

) hoặc

\frac{3}{4}

(đó là

cot α

1Cách 1. Đọc trực tiếp theo định nghĩa côsin

Định hướng. Đặt tên tam giác cho gọn, chỉ rõ cạnh kề và cạnh huyền của góc $α$ rồi thay vào định nghĩa côsin.

Tam giác

A B C

vuông tại

A

B = α

A B = 3

A C = 4

B C = 5

Cạnh kề của

α

là

A B = 3

, cạnh huyền là

B C = 5

cos α = \frac{A B}{B C}

cos α = \frac{3}{5}

Vậy $cos α = \frac{3}{5}$ , chọn đáp án C.

2Cách 2. Dùng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

Định hướng. Cạnh góc vuông kề với $α$ bằng cạnh huyền nhân $cos α$ ; thay số vào hệ thức đó rồi rút $cos α$ ra.

A B = B C \cdot cos α

3 = 5 \cdot cos α

cos α = \frac{3}{5}

Vậy $cos α = \frac{3}{5}$ , chọn đáp án C.

3Cách 3. Tính

sin α

trước rồi dùng

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

Định hướng. Cạnh đối của $α$ bằng $4$ nên $sin α$ đọc được ngay; hệ thức cơ bản cho $cos α$ mà không cần nhìn lại hình, đây là phép thử độc lập với Cách 1.

sin α = \frac{A C}{B C} = \frac{4}{5}

cos^{2} α = 1 - sin^{2} α

cos^{2} α = 1 - (\frac{4}{5})^{2}

cos^{2} α = 1 - \frac{16}{25}

cos^{2} α = \frac{9}{25}

cos α = \frac{3}{5}

(do

cos α > 0

)

Vậy $cos α = \frac{3}{5}$ , chọn đáp án C.

4Cách 4. Loại trừ — soi từng phương án xem nó là tỉ số nào

Định hướng. Viết lại mỗi phương án dưới dạng tỉ số hai cạnh của tam giác $A B C$ , phương án nào không phải cạnh kề chia cạnh huyền thì loại.

\frac{5}{3} = \frac{B C}{A B} > 1

, mà côsin góc nhọn nhỏ hơn

1

— loại
B.

\frac{3}{4} = \frac{A B}{A C}

là cạnh kề chia cạnh đối, tức

cot α

— loại
D.

\frac{4}{5} = \frac{A C}{B C}

là cạnh đối chia cạnh huyền, tức

sin α

— loại
C.

\frac{3}{5} = \frac{A B}{B C}

là cạnh kề chia cạnh huyền, đúng bằng

cos α

— nhận

Vậy chỉ còn đáp án $C$ .

Nhận xét. Bốn phương án của đề lần lượt là $\frac{1}{cos α}$ , $cot α$ , $cos α$ , $sin α$ — đề gài đủ bộ nên phải đối chiếu tên cạnh chứ đừng đoán theo con số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần chỉ đúng cạnh kề và cạnh huyền là ra ngay trong một dòng; Cách 4 để lại làm bước kiểm khi còn phân vân giữa C và D.

Đáp số. Chọn C.

cos α = \frac{3}{5}

Sai lầm thường gặp. Chọn

\frac{4}{5}

vì tưởng cạnh

4

là cạnh kề của

α

— thực ra cạnh

4

đối diện

α

nên

\frac{4}{5} = sin α

. Lỗi thứ hai là chọn

\frac{5}{3}

do viết ngược tỉ số: cạnh huyền luôn dài nhất nên mọi phân số lớn hơn

1

đều không thể là sin hay côsin của góc nhọn.

🚀 Mở rộng. Vẫn hình đó, nếu ba cạnh đổi thành

3 k

4 k

5 k

với

k > 0

thì

cos α

vẫn bằng

\frac{3}{5}

— hãy giải thích vì sao tỉ số lượng giác chỉ phụ thuộc độ lớn của góc, không phụ thuộc kích thước tam giác.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 4.22★Trang 81— Viết tỉ số lượng giác

sin M N P

theo tên các cạnh

Bài 4.22 (trang 81). Trong tam giác

M N P

vuông tại

M

(H.4.33),

sin M N P

bằng
A.

\frac{P N}{N M}

. B.

\frac{M P}{P N}

. C.

\frac{M N}{P N}

. D.

\frac{M N}{M P}

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh đối diện góc vuông.
Với góc nhọn của tam giác vuông, $sin$ bằng cạnh đối chia cạnh huyền, $cos$ bằng cạnh kề chia cạnh huyền.
Hai góc nhọn của một tam giác vuông phụ nhau, và $sin$ của góc này bằng $cos$ của góc kia.

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi sin của góc ở đỉnh

N

, mà tam giác vuông tại

M

— dấu hiệu của dạng gọi tên cạnh theo góc. Với góc

M N P

thì cạnh đối là

M P

(cạnh không chứa đỉnh

N

) còn cạnh huyền luôn là

N P

vì nó đối diện góc vuông

M

. Bẫy lớn nhất là nhầm cạnh huyền: nhiều bạn cứ thấy cạnh nằm ngang hoặc cạnh dài nhất trên hình là gọi huyền, phải căn cứ vào vị trí góc vuông.

1Cách 1. Dùng thẳng định nghĩa sin

Định hướng. Xác định cạnh đối và cạnh huyền của góc $M N P$ rồi viết tỉ số.

Tam giác

M N P

vuông tại

M

nên cạnh huyền là

N P

Cạnh đối của góc

M N P

là

M P

sin M N P = \frac{M P}{N P}

sin M N P = \frac{M P}{P N}

Vậy $sin M N P = \frac{M P}{P N}$ , chọn đáp án B.

2Cách 2. Chuyển sang góc phụ

M P N

Định hướng. Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau, mà sin của một góc bằng côsin của góc phụ với nó, nên đổi câu hỏi thành tính côsin của góc $P$ — góc này có cạnh kề nhìn thấy ngay.

M N P + M P N = 9 0^{\circ}

M N P = 9 0^{\circ} - M P N

sin M N P = sin (9 0^{\circ} - M P N)

sin M N P = cos M P N

cos M P N = \frac{M P}{P N}

Vậy $sin M N P = \frac{M P}{P N}$ , chọn đáp án B.

3Cách 3. Thử bằng tam giác cụ thể rồi loại trừ

Định hướng. Bốn phương án chỉ khác nhau ở cách ghép tên cạnh, nên gán cho ba cạnh bộ số $3$ , $4$ , $5$ rồi tính giá trị thật của từng phương án là phân xử được ngay.

Chọn

M N = 3

M P = 4

N P = 5

(thoả

3^{2} + 4^{2} = 5^{2}

)

sin M N P = \frac{M P}{N P} = \frac{4}{5} = 0, 8

\frac{P N}{N M} = \frac{5}{3} > 1

— loại
C.

\frac{M N}{P N} = \frac{3}{5} = 0, 6

, đó là

cos M N P

— loại
D.

\frac{M N}{M P} = \frac{3}{4} = 0, 75

, đó là

tan M N P

— loại
B.

\frac{M P}{P N} = \frac{4}{5} = 0, 8

— nhận

Vậy chỉ đáp án $B$ đúng.

Nhận xét. Cách 3 dùng được cho mọi câu trắc nghiệm kiểu này: chỉ cần một bộ ba Pythagore là bốn phương án hiện ra bốn số khác nhau, không thể nhầm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì chỉ mất hai dòng; Cách 3 giữ lại cho lúc hồi hộp quên mất đâu là cạnh đối, vì thử số thì không cần nhớ định nghĩa.

Đáp số. Chọn B.

sin M N P = \frac{M P}{P N}

Sai lầm thường gặp. Nhầm cạnh huyền là

M N

hoặc

M P

rồi chọn D — cạnh huyền phải đối diện góc vuông, ở đây góc vuông tại

M

nên huyền là

N P

. Lỗi thứ hai là chọn C vì lấy cạnh

M N

(cạnh kề) làm tử:

\frac{M N}{P N}

chính là

cos M N P

chứ không phải sin.

🚀 Mở rộng. Cũng hình đó, hãy viết tiếp

tan M N P

cot M N P

theo tên cạnh rồi kiểm tra đẳng thức

tan M N P \cdot tan M P N = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 4.23★Trang 81— Viết tỉ số lượng giác

tan B

theo tên các cạnh

Bài 4.23 (trang 81). Trong tam giác

A B C

vuông tại

A

(H.4.34),

tan B

bằng
A.

\frac{A B}{A C}

. B.

\frac{A C}{A B}

. C.

\frac{A B}{B C}

. D.

\frac{B C}{A C}

Kiến thức cần nhớ

Với góc nhọn của tam giác vuông, $tan$ bằng cạnh đối chia cạnh kề, $cot$ bằng cạnh kề chia cạnh đối.
Tang và côtang của một góc nhọn chỉ dùng hai cạnh góc vuông, không dùng cạnh huyền.
Với mọi góc nhọn $α$ ta có $tan α = \frac{sin α}{cos α}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi tang của góc

B

trong tam giác vuông tại

A

, tức chỉ cần ghép đúng hai cạnh góc vuông — tang không dính dáng gì tới cạnh huyền. Cạnh đối của

B

là

A C

, cạnh kề là

A B

, nên đáp số phải là một phân số chỉ gồm

A B

và

A C

. Riêng nhận xét đó đã loại ngay hai phương án C và D vì chúng có mặt cạnh huyền

B C

1Cách 1. Dùng thẳng định nghĩa tang

Định hướng. Chỉ rõ cạnh đối và cạnh kề của góc $B$ rồi viết tỉ số.

Tam giác

A B C

vuông tại

A

Cạnh đối của góc

B

là

A C

, cạnh kề của góc

B

là

A B

tan B = \frac{A C}{A B}

Vậy $tan B = \frac{A C}{A B}$ , chọn đáp án B.

2Cách 2. Đi vòng qua

sin B

và

cos B

Định hướng. Viết $sin B$ , $cos B$ theo cạnh huyền $B C$ rồi lập thương — cạnh huyền tự triệt tiêu, cho thấy vì sao tang không chứa $B C$ .

sin B = \frac{A C}{B C}

;

cos B = \frac{A B}{B C}

tan B = \frac{sin B}{cos B}

tan B = \frac{A C}{B C} : \frac{A B}{B C}

tan B = \frac{A C}{B C} \cdot \frac{B C}{A B}

tan B = \frac{A C}{A B}

Vậy $tan B = \frac{A C}{A B}$ , chọn đáp án B.

3Cách 3. Thử bằng tam giác cụ thể rồi loại trừ

Định hướng. Gán bộ ba Pythagore cho ba cạnh, tính giá trị thật của $tan B$ và của cả bốn phương án để phân xử.

Chọn

A B = 3

A C = 4

B C = 5

(thoả

3^{2} + 4^{2} = 5^{2}

)

tan B = \frac{A C}{A B} = \frac{4}{3}

\frac{A B}{A C} = \frac{3}{4}

, đó là

cot B

— loại
C.

\frac{A B}{B C} = \frac{3}{5}

, đó là

cos B

— loại
D.

\frac{B C}{A C} = \frac{5}{4} = \frac{1}{sin B}

— loại
B.

\frac{A C}{A B} = \frac{4}{3}

— nhận

Vậy chỉ đáp án $B$ đúng.

Nhận xét. Mẹo nhanh nhất cho riêng câu này: tang chỉ ăn hai cạnh góc vuông, nên gạch bỏ mọi phương án có chữ $B C$ là còn đúng hai lựa chọn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 — một dòng là xong. Khi phân vân giữa A và B thì nhớ câu thần chú tang bằng đối trên kề, tử số phải là cạnh đối

A C

Đáp số. Chọn B.

tan B = \frac{A C}{A B}

Sai lầm thường gặp. Viết ngược thành

\frac{A B}{A C}

rồi chọn A — đó là

cot B

chứ không phải

tan B

. Lỗi thứ hai là kéo cạnh huyền

B C

vào công thức tang (chọn C hoặc D), trong khi tang chỉ liên quan hai cạnh góc vuông.

🚀 Mở rộng. Vẫn tam giác đó, hãy chứng minh

tan B \cdot tan C = 1

và giải thích kết quả này bằng quan hệ hai góc phụ nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 4.24★Trang 81— Nhận biết công thức tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Bài 4.24 (trang 81). Với mọi góc nhọn

α

, ta có
A.

sin (9 0^{\circ} - α) = cos α

. B.

tan (9 0^{\circ} - α) = cos α

.
C.

cot (9 0^{\circ} - α) = 1 - tan α

. D.

cot (9 0^{\circ} - α) = sin α

Kiến thức cần nhớ

Hai góc phụ nhau có tổng bằng $9 0^{\circ}$ ; hai góc nhọn của một tam giác vuông luôn phụ nhau.
Với góc nhọn $α$ : $sin (9 0^{\circ} - α) = cos α$ và $cos (9 0^{\circ} - α) = sin α$ .
Với góc nhọn $α$ : $tan (9 0^{\circ} - α) = cot α$ và $cot (9 0^{\circ} - α) = tan α$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án đều có dạng một tỉ số lượng giác của góc

9 0^{\circ} - α

, tức đề đang hỏi thẳng bộ công thức hai góc phụ nhau. Quy tắc gốc rất gọn: qua phép trừ

9 0^{\circ} - α

, sin đổi thành côsin và tang đổi thành côtang, không hề sinh ra dấu trừ hay số

1

. Bẫy nằm ở phương án C: nó cài thêm phép trừ

1 - tan α

để đánh lừa những ai chỉ nhớ máy móc rằng công thức có liên quan tới số

1

1Cách 1. Dựng tam giác vuông rồi so hai tỉ số

Định hướng. Đưa $α$ và $9 0^{\circ} - α$ về hai góc nhọn của cùng một tam giác vuông, khi đó hai tỉ số ở hai vế cùng viết được theo ba cạnh và so sánh trực tiếp.

Xét tam giác

A B C

vuông tại

A

với

B = α

C = 9 0^{\circ} - α

sin (9 0^{\circ} - α) = sin C = \frac{A B}{B C}

cos α = cos B = \frac{A B}{B C}

sin (9 0^{\circ} - α) = cos α

Vậy khẳng định $A$ đúng.

2Cách 2. Thử với góc đặc biệt

α = 3 0^{\circ}

Định hướng. Một khẳng định nói đúng với mọi góc nhọn thì phải đúng với $α = 3 0^{\circ}$ ; thay số vào bốn vế là ba phương án sai lộ ngay.

α = 3 0^{\circ}

nên

9 0^{\circ} - α = 6 0^{\circ}

sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

và

cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}

— hai vế bằng nhau
B.

tan 6 0^{\circ} = 3 \approx 1, 73

và

cos 3 0^{\circ} \approx 0, 87

— hai vế khác nhau
C.

cot 6 0^{\circ} = \frac{1}{3} \approx 0, 58

và

1 - tan 3 0^{\circ} = 1 - \frac{1}{3} \approx 0, 42

— hai vế khác nhau
D.

cot 6 0^{\circ} \approx 0, 58

và

sin 3 0^{\circ} = 0, 5

— hai vế khác nhau

Vậy chỉ còn khẳng định $A$ .

3Cách 3. Viết cả bốn phương án theo cạnh để phân xử tận gốc

Định hướng. Cách 2 chỉ bác bỏ được bằng một phản ví dụ; ở đây quy mọi vế về ba cạnh $A B$ , $A C$ , $B C$ của tam giác $A B C$ vuông tại $A$ ( $B = α$ , $C = 9 0^{\circ} - α$ ) để thấy rõ mỗi phương án sai ở chỗ nào.

sin (9 0^{\circ} - α) = \frac{A B}{B C}

và

cos α = \frac{A B}{B C}

— bằng nhau, nhận
B.

tan (9 0^{\circ} - α) = \frac{A B}{A C} = cot α

, còn

cos α = \frac{A B}{B C}

— vế trái là côtang chứ không phải côsin, loại
C.

cot (9 0^{\circ} - α) = \frac{A C}{A B} = tan α

, còn vế phải là

1 - tan α

— hai vế chỉ bằng nhau khi

tan α = \frac{1}{2}

, không đúng với mọi

α

, loại
D.

cot (9 0^{\circ} - α) = tan α = \frac{A C}{A B}

, còn

sin α = \frac{A C}{B C}

— mẫu khác nhau vì

A B < B C

, loại

Vậy đáp án đúng là $A$ .

Nhận xét. Ghi nhớ cho gọn: phép trừ $9 0^{\circ} - α$ chỉ làm sin đổi chỗ cho côsin, tang đổi chỗ cho côtang — không bao giờ đẻ ra dấu trừ hay hằng số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ công thức góc phụ nhau là khoanh ngay đáp án A trong vài giây; Cách 2 chỉ dùng khi quên công thức, vì thử số chỉ loại được phương án sai chứ chưa chứng minh được phương án đúng.

Đáp số. Chọn A.

sin (9 0^{\circ} - α) = cos α

Sai lầm thường gặp. Nhớ nhầm thành

tan (9 0^{\circ} - α) = cos α

(phương án B): thực ra vế trái bằng

cot α

, thử

α = 3 0^{\circ}

thấy ngay

3 \neq = \frac{3}{2}

. Lỗi nặng hơn là tưởng công thức góc phụ có dạng hiệu với số

1

mà chọn C, trong khi

cot (9 0^{\circ} - α) = tan α

; với

α = 4 5^{\circ}

thì vế trái bằng

1

còn vế phải bằng

0

🚀 Mở rộng. Từ

sin (9 0^{\circ} - α) = cos α

, hãy suy ra

sin^{2} α + sin^{2} (9 0^{\circ} - α) = 1

và dùng nó tính nhanh

sin^{2} 2 0^{\circ} + sin^{2} 7 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 4.25★Trang 81— Giá trị lượng giác của góc đặc biệt

3 0^{\circ}

Bài 4.25 (trang 81). Giá trị

tan 3 0^{\circ}

bằng
A.

3

. B.

\frac{3}{2}

. C.

\frac{1}{3}

. D.

1

Kiến thức cần nhớ

Nửa tam giác đều cạnh $2 a$ là tam giác vuông có hai góc nhọn $3 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ và ba cạnh $a$ , $a 3$ , $2 a$ .
Bảng góc đặc biệt: $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ , $tan 6 0^{\circ} = 3$ , $tan 4 5^{\circ} = 1$ .
Với góc nhọn $α$ : $tan α = \frac{sin α}{cos α}$ và $tan (9 0^{\circ} - α) = cot α = \frac{1}{tan α}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi một giá trị trong bảng góc đặc biệt, nên hoặc nhớ bảng, hoặc dựng lại nửa tam giác đều để tính. Một mẹo chặn sai rất nhanh:

3 0^{\circ} < 4 5^{\circ}

mà tang đồng biến theo góc nhọn, nên

tan 3 0^{\circ} < tan 4 5^{\circ} = 1

— riêng nhận xét đó đã loại hai phương án

3

và

1

. Bẫy còn lại là

\frac{3}{2}

, giá trị quen thuộc của

sin 6 0^{\circ}

chứ không phải của tang.

1Cách 1. Dựng nửa tam giác đều

Định hướng. Cắt đôi một tam giác đều cạnh $2 a$ bằng đường cao thì được ngay tam giác vuông có góc $3 0^{\circ}$ , ba cạnh tính được hết nhờ Pythagore.

Tam giác

A B C

vuông tại

A

B = 6 0^{\circ}

C = 3 0^{\circ}

B C = 2 a

A B = a

(cạnh đối diện góc

3 0^{\circ}

bằng nửa cạnh huyền)

A C^{2} = B C^{2} - A B^{2}

A C^{2} = (2 a)^{2} - a^{2}

A C^{2} = 3 a^{2}

A C = a 3

tan 3 0^{\circ} = tan C = \frac{A B}{A C}

tan 3 0^{\circ} = \frac{a}{a 3}

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}

Vậy $tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}$ , chọn đáp án C.

2Cách 2. Lấy thương của sin và côsin

Định hướng. Hai giá trị $sin 3 0^{\circ}$ và $cos 3 0^{\circ}$ thuộc loại nhớ nằm lòng, chia chúng cho nhau là ra tang mà không phải vẽ hình.

tan 3 0^{\circ} = \frac{sin 3 0 ^{\circ}}{cos 3 0 ^{\circ}}

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{2} : \frac{3}{2}

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}

Vậy $tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}$ , chọn đáp án C.

3Cách 3. Chuyển sang góc phụ

6 0^{\circ}

Định hướng. Nếu chỉ nhớ chắc $tan 6 0^{\circ} = 3$ thì dùng quan hệ góc phụ: tang của góc này là nghịch đảo tang của góc phụ với nó.

tan 3 0^{\circ} = tan (9 0^{\circ} - 6 0^{\circ})

tan 3 0^{\circ} = cot 6 0^{\circ}

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{tan 6 0 ^{\circ}}

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}

Vậy $tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}$ , chọn đáp án C.

4Cách 4. Ước lượng và loại trừ

Định hướng. Dùng tính đồng biến của tang trên khoảng góc nhọn để chặn giá trị, rồi gọi tên từng phương án bị loại.

0^{\circ} < 3 0^{\circ} < 4 5^{\circ}

nên

0 < tan 3 0^{\circ} < tan 4 5^{\circ} = 1

3 \approx 1, 73 > 1

, đó là

tan 6 0^{\circ}

— loại
D.

1 = tan 4 5^{\circ}

— loại
B.

\frac{3}{2} \approx 0, 87

, đó là

sin 6 0^{\circ}

(cũng là

cos 3 0^{\circ}

) chứ không phải tang — loại
C.

\frac{1}{3} = \frac{3}{3} \approx 0, 58

— nhận

Vậy chỉ đáp án $C$ đúng.

Nhận xét. Nên viết đáp số ở dạng đã trục căn thức $\frac{3}{3}$ khi trình bày tự luận; hai dạng $\frac{1}{3}$ và $\frac{3}{3}$ là một, đừng tưởng là hai đáp án khác nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 4 trước để gạch ngay hai phương án lớn hơn hoặc bằng

1

, còn Cách 1 dành cho lúc quên sạch bảng góc đặc biệt vì nó dựng lại được toàn bộ bảng chỉ từ một tam giác đều.

Đáp số. Chọn C.

tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3} \approx 0, 577

Sai lầm thường gặp. Chọn

\frac{3}{2}

vì lẫn tang với sin —

\frac{3}{2}

là

cos 3 0^{\circ}

, còn tang bằng thương của sin và côsin nên phải là

\frac{1}{3}

. Lỗi thứ hai là chọn

3

do lật ngược phân số:

3 = tan 6 0^{\circ}

, mà

6 0^{\circ}

mới là góc phụ của

3 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Cũng từ nửa tam giác đều, hãy lập đủ bảng tỉ số lượng giác của

3 0^{\circ}

4 5^{\circ}

6 0^{\circ}

rồi kiểm tra

tan 3 0^{\circ} \cdot tan 6 0^{\circ} = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 4.26★★★Trang 81— Tam giác vuông có hai góc nhọn hơn kém nhau hai lần — chứng minh đồng dạng và tính

sin

cos

Bài 4.26 (trang 81). Xét các tam giác vuông có một góc nhọn bằng hai lần góc nhọn còn lại. Hỏi các tam giác đó có đồng dạng với nhau không? Tính sin và côsin của góc nhọn lớn hơn.

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau: tổng của chúng bằng $9 0^{\circ}$ .
Hai tam giác có hai cặp góc bằng nhau thì đồng dạng (trường hợp góc – góc).
Trong tam giác vuông, cạnh đối diện góc $3 0^{\circ}$ bằng nửa cạnh huyền.
$sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dữ kiện chỉ nói về quan hệ giữa hai góc nhọn chứ không cho cạnh nào, nên phải khai thác tính chất tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng

9 0^{\circ}

— đặt ẩn cho góc nhỏ là ra ngay số đo cả hai góc. Khi mọi tam giác trong họ đều có cùng bộ ba góc

3 0^{\circ}

6 0^{\circ}

9 0^{\circ}

thì chúng đồng dạng theo trường hợp góc – góc, và tỉ số lượng giác chỉ phụ thuộc số đo góc nên tính một lần là dùng chung cho cả họ. Bẫy của đề là cụm góc nhọn lớn hơn: phải trả lời cho góc

6 0^{\circ}

chứ không phải

3 0^{\circ}

1Cách 1. Đặt ẩn cho góc nhỏ rồi tra bảng góc đặc biệt

Định hướng. Gọi góc nhọn nhỏ là $x$ thì góc kia là $2 x$ ; tổng hai góc nhọn bằng $9 0^{\circ}$ cho một phương trình bậc nhất, giải xong là biết cả họ tam giác chỉ có một bộ góc duy nhất.

Gọi góc nhọn nhỏ là

x

với

0^{\circ} < x < 9 0^{\circ}

, góc nhọn lớn là

2 x

x + 2 x = 9 0^{\circ}

3 x = 9 0^{\circ}

x = 3 0^{\circ}

2 x = 6 0^{\circ}

Mọi tam giác thoả đề đều có ba góc

3 0^{\circ}

6 0^{\circ}

9 0^{\circ}

Hai tam giác bất kì trong họ có hai cặp góc bằng nhau nên đồng dạng

sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

;

cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

Vậy các tam giác đó đồng dạng với nhau, và với góc nhọn lớn hơn thì $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}; cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .

2Cách 2. Dựng nửa tam giác đều để tính trực tiếp, không cần bảng

Định hướng. Sau khi có bộ góc $3 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ , dựng lại chính tam giác ấy bằng cách cắt đôi tam giác đều cạnh $2 a$ ; ba cạnh tính được hết nên hai tỉ số hiện ra mà không phải nhớ bảng.

x + 2 x = 9 0^{\circ}

nên

x = 3 0^{\circ}

, góc lớn bằng

6 0^{\circ}

Xét tam giác

A B C

vuông tại

A

với

B = 6 0^{\circ}

C = 3 0^{\circ}

B C = 2 a

A B = \frac{B C}{2} = a

(cạnh đối diện góc

3 0^{\circ}

)

A C^{2} = B C^{2} - A B^{2}

A C^{2} = (2 a)^{2} - a^{2}

A C^{2} = 3 a^{2}

A C = a 3

sin 6 0^{\circ} = \frac{A C}{B C} = \frac{a 3}{2 a} = \frac{3}{2}

cos 6 0^{\circ} = \frac{A B}{B C} = \frac{a}{2 a} = \frac{1}{2}

Vậy các tam giác đó đồng dạng với nhau, và $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}; cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .

3Cách 3. Dùng góc phụ nhau và hệ thức

sin^{2} + cos^{2} = 1

Định hướng. Chỉ cần một dữ kiện duy nhất là cạnh đối diện góc $3 0^{\circ}$ bằng nửa cạnh huyền, tức $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ; quan hệ góc phụ cho $cos 6 0^{\circ}$ , rồi hệ thức cơ bản cho $sin 6 0^{\circ}$ mà không cần Pythagore.

x + 2 x = 9 0^{\circ}

nên

x = 3 0^{\circ}

, góc lớn bằng

6 0^{\circ}

sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

cos 6 0^{\circ} = cos (9 0^{\circ} - 3 0^{\circ}) = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

sin^{2} 6 0^{\circ} = 1 - cos^{2} 6 0^{\circ}

sin^{2} 6 0^{\circ} = 1 - (\frac{1}{2})^{2}

sin^{2} 6 0^{\circ} = \frac{3}{4}

sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

(do

sin 6 0^{\circ} > 0

)

Vậy các tam giác đó đồng dạng với nhau, và $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}; cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .

Nhận xét. Ba cách đều khẳng định lại một ý quan trọng của chương: tỉ số lượng giác chỉ phụ thuộc số đo góc, nên hai tam giác vuông đồng dạng thì mọi tỉ số lượng giác tương ứng bằng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: giải một phương trình bậc nhất rồi tra bảng góc đặc biệt là xong, ngắn nhất và không sợ tính nhầm căn thức; Cách 2 để dự phòng khi lỡ quên bảng.

Đáp số. Các tam giác đó đều có ba góc

3 0^{\circ}

6 0^{\circ}

9 0^{\circ}

nên đồng dạng với nhau. Góc nhọn lớn hơn bằng

6 0^{\circ}

, với

sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}

và

cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Viết

x + 2 x = 18 0^{\circ}

vì quên rằng góc vuông đã chiếm

9 0^{\circ}

, dẫn tới

x = 6 0^{\circ}

và góc lớn là

12 0^{\circ}

— vô lí vì tam giác không thể có hai góc tù trở lên. Lỗi thứ hai là trả lời cho góc

3 0^{\circ}

: đề hỏi góc nhọn lớn hơn, tức

6 0^{\circ}

, nên

sin

phải bằng

\frac{3}{2}

chứ không phải

\frac{1}{2}

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: nếu một góc nhọn gấp

k

lần góc nhọn kia thì hai góc là

\frac{9 0 ^{\circ}}{k + 1}

và

\frac{9 0 ^{\circ} k}{k + 1}

— hãy tìm

k

để tam giác trở thành vuông cân.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 4.27★★Trang 81— Tìm số đo góc nhọn khi biết hai cạnh góc vuông, làm tròn đến phút

Bài 4.27 (trang 81). Hình 4.35 là mô hình của một túp lều. Tìm góc

α

giữa cạnh mái lều và mặt đất (làm tròn kết quả đến phút).

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến của cạnh đáy.
Trong tam giác vuông, $tan$ của một góc nhọn bằng cạnh đối chia cạnh kề.
Biết $tan α$ thì tìm $α$ bằng nút $tan^{- 1}$ trên máy tính cầm tay, rồi đổi sang độ – phút – giây.
$1^{\circ} = 6 0^{'}$ , nên phần thập phân của số đo độ nhân với $60$ sẽ ra số phút.

🧠 Phân tích tư duy

Mặt cắt của túp lều là một tam giác cân, đề cho chiều cao

1, 8

m và cạnh đáy

4, 4

m — dấu hiệu phải hạ đường cao để tách ra tam giác vuông. Đường cao của tam giác cân đồng thời là trung tuyến nên nó chia đáy thành hai đoạn

2, 2

m, khi đó góc

α

nằm trong tam giác vuông có đủ hai cạnh góc vuông, dùng tang là ngắn nhất. Bẫy lớn nhất là lấy nguyên

4, 4

m làm cạnh kề mà quên chia đôi, khi đó tang nhỏ đi một nửa và góc sai hẳn.

1Cách 1. Dùng tang trong tam giác vuông

A H C

Định hướng. Hạ đường cao $A H$ của tam giác cân $A B C$ ; trong tam giác vuông $A H C$ đã biết cả cạnh đối và cạnh kề của $α$ nên tang cho ngay số đo góc.

Tam giác

A B C

cân tại

A

B C = 4, 4

A H ⊥ B C

A H = 1, 8

A C H = α

H C = \frac{B C}{2}

H C = \frac{4 , 4}{2}

H C = 2, 2

(m)

tan α = \frac{A H}{H C}

tan α = \frac{1 , 8}{2 , 2}

tan α = \frac{9}{11} \approx 0, 8182

α \approx 3 9^{\circ} 1 7^{'}

Vậy góc giữa cạnh mái lều và mặt đất là $α \approx 3 9^{\circ} 1 7^{'}$ .

2Cách 2. Tính cạnh mái bằng định lí Pythagore rồi dùng sin

Định hướng. Tính trước độ dài cạnh mái $A C$ , khi đó $α$ có đủ cạnh đối và cạnh huyền nên dùng sin; cách này còn cho luôn chiều dài mái lều, số liệu thực tế hay cần.

A C^{2} = A H^{2} + H C^{2}

A C^{2} = 1, 8^{2} + 2, 2^{2}

A C^{2} = 3, 24 + 4, 84

A C^{2} = 8, 08

A C = 8, 08 \approx 2, 8425

(m)

sin α = \frac{A H}{A C}

sin α \approx \frac{1 , 8}{2 , 8425}

sin α \approx 0, 6332

α \approx 3 9^{\circ} 1 7^{'}

Vậy $α \approx 3 9^{\circ} 1 7^{'}$ , đồng thời mỗi cạnh mái lều dài khoảng $2, 84$ m.

3Cách 3. Tính góc ở đỉnh trước rồi lấy góc phụ

Định hướng. Trong tam giác vuông $A H C$ , hai góc nhọn phụ nhau, nên tính góc $H A C$ ở đỉnh lều (tang của nó là tỉ số ngược lại) rồi lấy $9 0^{\circ}$ trừ đi là ra $α$ .

tan H A C = \frac{H C}{A H}

tan H A C = \frac{2 , 2}{1 , 8}

tan H A C = \frac{11}{9} \approx 1, 2222

H A C \approx 5 0^{\circ} 4 3^{'}

α = 9 0^{\circ} - H A C

α \approx 9 0^{\circ} - 5 0^{\circ} 4 3^{'}

α \approx 3 9^{\circ} 1 7^{'}

Vậy $α \approx 3 9^{\circ} 1 7^{'}$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng một kết quả $3 9^{\circ} 1 7^{'}$ ; góc ở đỉnh lều khi đó khoảng $2 \cdot 5 0^{\circ} 4 3^{'} = 10 1^{\circ} 2 6^{'}$ , hợp lí với dáng lều bè ngang trong hình.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ hai dòng, dữ kiện

1, 8

và

2, 2

đã có sẵn nên không phải khai căn, tránh được sai số làm tròn trung gian của Cách 2.

Đáp số.

tan α = \frac{1 , 8}{2 , 2} = \frac{9}{11}

nên

α \approx 3 9^{\circ} 1 7^{'}

(làm tròn đến phút).

Sai lầm thường gặp. Lấy cạnh kề bằng cả

4, 4

m, tính

tan α = \frac{1 , 8}{4 , 4} \approx 0, 4091

rồi ra

α \approx 2 2^{\circ} 1 5^{'}

— sai vì đường cao chia đôi cạnh đáy, cạnh kề chỉ là

2, 2

m. Lỗi thứ hai là để máy tính ở chế độ độ thập phân rồi chép thẳng

39, 29

thành

3 9^{\circ} 2 9^{'}

; thực ra

0, 2894 \cdot 60 \approx 17

nên phải là

3 9^{\circ} 1 7^{'}

🚀 Mở rộng. Vẫn túp lều đó, nếu muốn mái dốc hơn cho nước mưa thoát nhanh, chẳng hạn

α = 5 5^{\circ}

, thì phải nâng đỉnh lều lên bao nhiêu mét trong khi giữ nguyên đáy

4, 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 4.28★★★Trang 82— Bài toán thực tế: tính chiều cao cây gãy bằng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

Bài 4.28 (trang 82). Một cây cao bị gãy, ngọn cây đổ xuống mặt đất. Ba điểm: gốc cây, điểm gãy, ngọn cây tạo thành một tam giác vuông. Đoạn cây gãy tạo với mặt đất góc

2 0^{\circ}

và chắn ngang lối đi một đoạn

5

m (H.4.36). Hỏi trước khi bị gãy, cây cao khoảng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông này bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang của góc đối diện.
Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với côsin của góc kề nó.
Định lí Pythagore: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Phần thân cây bị gãy ngả xuống vẫn giữ nguyên độ dài, nên chiều cao cây ban đầu bằng tổng đoạn thân còn đứng và đoạn thân đã gãy.

🧠 Phân tích tư duy

Chiều cao cây trước khi gãy không phải một cạnh nào của tam giác mà là TỔNG của đoạn thân còn đứng và đoạn thân đã gãy, vì đoạn gãy chỉ ngả xuống chứ không mất đi độ dài — nhận ra điều này là giải quyết xong nửa bài. Tam giác vuông tạo bởi gốc, điểm gãy, ngọn cây có sẵn một góc nhọn

2 0^{\circ}

và cạnh kề

5

m, nên tang cho đoạn thân đứng còn côsin cho đoạn thân gãy. Bẫy của đề là chỉ lấy đoạn thân đứng, hoặc chỉ lấy đoạn gãy, rồi tưởng đó đã là chiều cao cây.

1Cách 1. Dùng tang và côsin của góc

2 0^{\circ}

Định hướng. Gọi $B$ là gốc cây, $C$ là điểm gãy, $A$ là ngọn cây trên mặt đất; tam giác $A B C$ vuông tại $B$ với $A = 2 0^{\circ}$ , $A B = 5$ m. Tang cho cạnh $B C$ , côsin cho cạnh huyền $A C$ , cộng lại là chiều cao cây.

Tam giác

A B C

vuông tại

B

A = 2 0^{\circ}

A B = 5

B C = A B \cdot tan A

B C = 5 \cdot tan 2 0^{\circ}

B C \approx 5 \cdot 0, 3640

B C \approx 1, 82

(m)

A B = A C \cdot cos A

A C = \frac{A B}{cos 2 0 ^{\circ}}

A C \approx \frac{5}{0 , 9397}

A C \approx 5, 32

(m)
Chiều cao cây

= B C + A C

Chiều cao cây

\approx 1, 82 + 5, 32

Chiều cao cây

\approx 7, 14

(m)

Vậy trước khi bị gãy, cây cao khoảng $7, 1 m$ .

2Cách 2. Dùng tang rồi lấy định lí Pythagore cho đoạn gãy

Định hướng. Sau khi có $B C$ bằng tang, hai cạnh góc vuông đã đủ nên tính cạnh huyền $A C$ bằng Pythagore, không cần đụng tới côsin — một phép kiểm chéo cho Cách 1.

B C = 5 \cdot tan 2 0^{\circ} \approx 1, 82

(m)

A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}

A C^{2} \approx 5^{2} + 1, 8 2^{2}

A C^{2} \approx 25 + 3, 31

A C^{2} \approx 28, 31

A C \approx 28, 31

A C \approx 5, 32

(m)
Chiều cao cây

= B C + A C

Chiều cao cây

\approx 1, 82 + 5, 32

Chiều cao cây

\approx 7, 14

(m)

Vậy cây cao khoảng $7, 1 m$ .

3Cách 3. Chuyển sang góc

7 0^{\circ}

tại điểm gãy

Định hướng. Góc nhọn còn lại của tam giác là $C = 7 0^{\circ}$ ; dùng nó thì sin cho ngay cạnh huyền $A C$ , rồi côsin cho đoạn thân đứng $B C$ — cả hai cạnh cần tìm đều rút ra từ một góc duy nhất.

C = 9 0^{\circ} - 2 0^{\circ} = 7 0^{\circ}

A B = A C \cdot sin C

A C = \frac{A B}{sin 7 0 ^{\circ}}

A C \approx \frac{5}{0 , 9397}

A C \approx 5, 32

(m)

B C = A C \cdot cos C

B C \approx 5, 32 \cdot 0, 3420

B C \approx 1, 82

(m)
Chiều cao cây

\approx 5, 32 + 1, 82

Chiều cao cây

\approx 7, 14

(m)

Vậy cây cao khoảng $7, 1 m$ .

Nhận xét. Nếu giữ nguyên biểu thức chưa làm tròn thì chiều cao cây bằng $5 tan 2 0^{\circ} + \frac{5}{cos 2 0 ^{\circ}} \approx 7, 1407$ m, vẫn cho $7, 1$ m; nên chỉ làm tròn ở dòng cuối để tránh sai số cộng dồn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì mỗi cạnh chỉ một phép nhân hoặc chia, không phải khai căn như Cách 2; nhớ bấm máy một lần cho cả biểu thức rồi mới làm tròn.

Đáp số.

B C = 5 tan 2 0^{\circ} \approx 1, 82

A C = \frac{5}{cos 2 0 ^{\circ}} \approx 5, 32

m nên cây cao khoảng

7, 1

m (làm tròn đến hàng phần mười).

Sai lầm thường gặp. Chỉ trả lời

1, 82

m hoặc

5, 32

m vì tưởng chiều cao cây là một cạnh của tam giác — chiều cao cây là tổng của đoạn thân còn đứng và đoạn thân đã gãy. Lỗi thứ hai là dùng góc

2 0^{\circ}

cho sai đỉnh, lấy

B C = 5 \cdot tan 7 0^{\circ} \approx 13, 7

m, trong khi

2 0^{\circ}

là góc tại ngọn cây

A

chứ không phải tại điểm gãy

C

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu đoạn gãy tạo với mặt đất góc

α

và chắn ngang lối đi đoạn

d

thì cây cao

d (tan α + \frac{1}{cos α})

— hãy thử xem khi

α

tăng dần tới

9 0^{\circ}

thì biểu thức này thay đổi ra sao.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 4.29★★Trang 82— Chứng minh hệ thức cơ bản

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

bằng định lí Pythagore

Bài 4.29 (trang 82). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

, có

B = α

(H.4.37).
a) Hãy viết các tỉ số lượng giác

sin α

cos α

.
b) Sử dụng định lí Pythagore, chứng minh rằng

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

Kiến thức cần nhớ

Với góc nhọn $α = B$ của tam giác $A B C$ vuông tại $A$ : $sin α = \frac{A C}{B C}$ , $cos α = \frac{A B}{B C}$ .
Định lí Pythagore: $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$ .
Quy ước viết tắt: $sin^{2} α = (sin α)^{2}$ , $cos^{2} α = (cos α)^{2}$ .
Hệ thức cơ bản $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ đúng với mọi góc nhọn $α$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề tự nó chỉ đường: câu a) bắt viết

sin α

cos α

theo ba cạnh, câu b) bắt dùng Pythagore — tức là hai tỉ số ấy đều có chung mẫu là cạnh huyền

B C

, nên khi bình phương rồi cộng lại sẽ hiện ra

\frac{A C ^{2} + A B ^{2}}{B C ^{2}}

, đúng dạng mà Pythagore xử lí được. Mấu chốt là nhận ra phải cộng hai bình phương chứ không cộng hai tỉ số. Bẫy nhỏ:

sin^{2} α

là cách viết tắt của

(sin α)^{2}

, đừng hiểu nhầm thành

sin (α^{2})

1Cách 1. Cộng trực tiếp hai bình phương theo tên cạnh

Định hướng. Hai tỉ số cùng mẫu $B C$ nên bình phương xong là cộng được ngay trên một mẫu chung, tử số lúc đó chính là vế trái của định lí Pythagore.

sin α = \frac{A C}{B C}

;

cos α = \frac{A B}{B C}

sin^{2} α + cos^{2} α = (\frac{A C}{B C})^{2} + (\frac{A B}{B C})^{2}

sin^{2} α + cos^{2} α = \frac{A C ^{2}}{B C ^{2}} + \frac{A B ^{2}}{B C ^{2}}

sin^{2} α + cos^{2} α = \frac{A C ^{2} + A B ^{2}}{B C ^{2}}

A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}

(định lí Pythagore)

sin^{2} α + cos^{2} α = \frac{B C ^{2}}{B C ^{2}}

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

Vậy $sin α = \frac{A C}{B C}; cos α = \frac{A B}{B C}; sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ (đpcm).

2Cách 2. Đặt

a

b

c

rồi chia hai vế của Pythagore cho

a^{2}

Định hướng. Đi ngược lại: xuất phát từ chính đẳng thức Pythagore rồi chia cả hai vế cho $a^{2}$ , hai thương thu được tự nó là $sin^{2} α$ và $cos^{2} α$ .

Đặt

B C = a

A C = b

A B = c

với

a > 0

sin α = \frac{b}{a}

;

cos α = \frac{c}{a}

b^{2} + c^{2} = a^{2}

\frac{b ^{2} + c ^{2}}{a ^{2}} = \frac{a ^{2}}{a ^{2}}

\frac{b ^{2}}{a ^{2}} + \frac{c ^{2}}{a ^{2}} = 1

(\frac{b}{a})^{2} + (\frac{c}{a})^{2} = 1

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

Vậy $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ (đpcm).

3Cách 3. Xuất phát từ hệ thức giữa cạnh và góc

Định hướng. Viết hai cạnh góc vuông theo cạnh huyền và các tỉ số lượng giác, thay vào Pythagore thì $B C^{2}$ đặt được làm nhân tử chung và triệt tiêu.

A C = B C \cdot sin α

;

A B = B C \cdot cos α

A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}

(B C \cdot cos α)^{2} + (B C \cdot sin α)^{2} = B C^{2}

B C^{2} \cdot cos^{2} α + B C^{2} \cdot sin^{2} α = B C^{2}

B C^{2} (sin^{2} α + cos^{2} α) = B C^{2}

sin^{2} α + cos^{2} α = 1

(do

B C^{2} > 0

)

Vậy $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ (đpcm).

Nhận xét. Cả ba cách đều chỉ dùng Pythagore một lần; kết quả không phụ thuộc kích thước tam giác nên hệ thức đúng với mọi góc nhọn $α$ , và từ đó suy ra ngay $sin α < 1$ , $cos α < 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 vì nó bám đúng yêu cầu của đề (viết tỉ số ở câu a rồi dùng luôn ở câu b), lời giải chạy thẳng một mạch; Cách 2 hay ở chỗ cho thấy hệ thức chính là Pythagore viết lại sau khi chia cho bình phương cạnh huyền.

Đáp số. a)

sin α = \frac{A C}{B C}

cos α = \frac{A B}{B C}

. b)

sin^{2} α + cos^{2} α = \frac{A C ^{2} + A B ^{2}}{B C ^{2}} = \frac{B C ^{2}}{B C ^{2}} = 1

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm

sin α = \frac{A B}{B C}

vì lấy cạnh

A B

kề với

B

làm cạnh đối — cạnh đối của góc

B

là

A C

. Lỗi thứ hai là cộng thẳng

sin α + cos α = \frac{A C + A B}{B C}

rồi tuyên bố bằng

1

; thử với

A B = A C = 1

B C = 2

thì tổng đó bằng

2 \neq = 1

, phải cộng hai BÌNH PHƯƠNG mới ra

1

🚀 Mở rộng. Từ hệ thức vừa chứng minh, hãy suy ra

1 + tan^{2} α = \frac{1}{cos ^{2} α}

bằng cách chia hai vế cho

cos^{2} α

, rồi dùng nó tính

cos α

khi biết

tan α = 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 4.30★★★★Trang 82— Bài toán thực tế: ước lượng chu vi Trái Đất từ bóng tháp và cung

800

Bài 4.30 (trang 82). ĐỐ VUI. Chu vi Trái Đất bằng bao nhiêu?
Vào khoảng năm 200 trước Công nguyên, Eratosthenes (Ơ-ra-tô-xten), một nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp, đã ước lượng được “chu vi” của Trái Đất (chu vi của đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau:
1. Hồi đó, hằng năm cứ vào trưa ngày Hạ chí (21/6), người ta thấy tia sáng mặt trời chiếu thẳng xuống đáy một cái giếng sâu nổi tiếng ở thành phố Syene (Xy-en), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng.
2. Cũng vào trưa một ngày Hạ chí, ở thành phố Alexandria (A-lếch-xăng-đri-a) cách Syene

800

km, Eratosthenes thấy một tháp cao

25

m có bóng trên mặt đất dài

3, 1

m.
Từ hai quan sát trên, ông có thể tính xấp xỉ “chu vi” của Trái Đất như thế nào? (trên Hình 4.38, điểm

O

là tâm Trái Đất, điểm

S

tượng trưng cho thành phố Syene, điểm

A

tượng trưng cho thành phố Alexandria, điểm

H

là đỉnh của tháp, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng

A B

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, $tan$ của một góc nhọn bằng cạnh đối chia cạnh kề.
Hai đường thẳng song song bị cắt bởi một đường thẳng thì tạo ra các cặp góc so le trong bằng nhau.
Cung có số đo $n^{\circ}$ của đường tròn chu vi $C$ thì dài $\frac{n}{360} \cdot C$ .
Độ dài cung $n^{\circ}$ của đường tròn bán kính $R$ là $ℓ = \frac{π R n}{180}$ ; chu vi đường tròn là $C = 2 π R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Số liệu đo được chỉ là tháp cao

25

m và bóng dài

3, 1

m, nên chỗ duy nhất dùng được tỉ số lượng giác là tam giác vuông tạo bởi tháp, bóng tháp và tia sáng — tang của góc tại đỉnh tháp bằng bóng chia chiều cao. Mắt xích quyết định là chuyển góc đó xuống tâm Trái Đất: tia sáng mặt trời coi như song song, mà tháp

A H

nằm trên đường thẳng

O A

, nên góc ở đỉnh tháp bằng góc

A O S

ở tâm (hai góc so le trong). Có góc ở tâm rồi thì cung

800

km chiếm đúng tỉ lệ ấy của cả đường tròn, suy ra chu vi. Bẫy là tưởng

800

km chính là chu vi hay bán kính, trong khi nó chỉ là độ dài một cung nhỏ.

1Cách 1. Tính góc ở tâm bằng tang rồi lập tỉ lệ cung trên chu vi

Định hướng. Tang trong tam giác vuông $A H B$ cho góc tại đỉnh tháp; chuyển góc ấy xuống tâm nhờ hai tia sáng song song, rồi so cung $800$ km với cả đường tròn.

Tam giác

A B H

vuông tại

A

A H = 25

A B = 3, 1

tan A H B = \frac{A B}{A H}

tan A H B = \frac{3 , 1}{25}

tan A H B = 0, 124

A H B \approx 7^{\circ} 4^{'}

hay

A H B \approx 7, 0 7^{\circ}

H B

song song với

S O

(hai tia sáng mặt trời),

H

nằm trên tia

O A

A O S = A H B \approx 7, 0 7^{\circ}

(so le trong)
Cung

A S

dài

800

km ứng với góc ở tâm

7, 0 7^{\circ}

C = \frac{360}{7 , 07} \cdot 800

C \approx 50, 92 \cdot 800

C \approx 40737

(km)

Vậy chu vi Trái Đất khoảng $40700 km$ .

2Cách 2. Đi qua bán kính bằng công thức độ dài cung

Định hướng. Sau khi có góc ở tâm, dùng công thức độ dài cung để rút ra bán kính Trái Đất trước, rồi mới nhân với $2 π$ — cách này cho thêm một con số kiểm chứng được với số liệu thiên văn.

A O S \approx 7, 0 7^{\circ}

; cung

A S

dài

ℓ = 800

ℓ = \frac{π R \cdot 7 , 07}{180}

R = \frac{180 ℓ}{π \cdot 7 , 07}

R = \frac{180 \cdot 800}{π \cdot 7 , 07}

R \approx \frac{144 000}{22 , 21}

R \approx 6484

(km)

C = 2 π R

C \approx 2 \cdot 3, 14159 \cdot 6484

C \approx 40740

(km)

Vậy chu vi Trái Đất khoảng $40700 km$ , ứng với bán kính khoảng $6484$ km.

3Cách 3. Tính góc bằng sin sau khi có cạnh huyền, rồi đếm số phần bằng nhau

Định hướng. Dùng Pythagore lấy độ dài tia sáng $H B$ rồi tính góc bằng sin — một đường độc lập với tang để kiểm lại số $7, 0 7^{\circ}$ ; sau đó chỉ cần xem đường tròn gồm bao nhiêu cung như cung $A S$ .

H B^{2} = A H^{2} + A B^{2}

H B^{2} = 2 5^{2} + 3, 1^{2}

H B^{2} = 625 + 9, 61

H B^{2} = 634, 61

H B = 634, 61 \approx 25, 19

(m)

sin A H B = \frac{A B}{H B}

sin A H B \approx \frac{3 , 1}{25 , 19}

sin A H B \approx 0, 1231

A H B \approx 7^{\circ} 4^{'}

Số cung

800

km lấp kín đường tròn:

\frac{36 0 ^{\circ}}{7 , 0 7 ^{\circ}} \approx 50, 92

C \approx 50, 92 \cdot 800

C \approx 40737

(km)

Vậy chu vi Trái Đất khoảng $40700 km$ .

Nhận xét. Chu vi Xích Đạo đo bằng vệ tinh ngày nay là khoảng $40075$ km, nên phép ước lượng cách đây hơn hai nghìn năm chỉ lệch chừng $1, 7%$ — một kết quả đáng kinh ngạc chỉ từ một cái bóng tháp và một cái giếng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một lần bấm tang, một lần lập tỉ lệ là xong, không phải nhớ công thức độ dài cung như Cách 2 cũng không phải khai căn như Cách 3.

Đáp số.

tan A H B = \frac{3 , 1}{25} = 0, 124

nên

A O S = A H B \approx 7^{\circ} 4^{'} \approx 7, 0 7^{\circ}

; chu vi Trái Đất

C = \frac{360}{7 , 07} \cdot 800 \approx 40700

km (làm tròn đến hàng trăm).

Sai lầm thường gặp. Lấy

tan A H B = \frac{25}{3 , 1} \approx 8, 06

rồi ra góc

\approx 82, 9 3^{\circ}

— đó là góc

A B H

ở chân bóng, không phải góc ở đỉnh tháp; dùng nó sẽ cho chu vi chỉ khoảng

3473

km, nhỏ hơn thực tế hơn mười lần. Lỗi thứ hai là nhân thẳng

800 \cdot 360 = 288000

km vì quên chia cho số đo góc ở tâm, tức coi cung

800

km ứng với

1^{\circ}

thay vì

7, 0 7^{\circ}

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm này, nếu tháp cao

h

và bóng dài

b

thì

C = \frac{360 \cdot 800}{arctan ( \frac{b}{h} )}

(góc tính bằng độ) — hãy ước lượng sai số của

C

khi phép đo bóng lệch

0, 1

m để thấy vì sao Eratosthenes cần một cái tháp thật cao.

Mở bài này trong app ↗