Chương V. Đường tròn

Bài tập cuối chương V

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 15 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 1★★Trang 69— Xác định vị trí điểm với đường tròn bằng công thức khoảng cách trong hệ toạ độ

Bài 1 (trang 69). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

, cho đường tròn

(O; 5)

, hai điểm

A (- 3; 1)

và

B (- 1; 2)

. Khi đó xảy ra:
A. Điểm

A

nằm trong

(O)

, điểm

B

nằm ngoài

(O)

.
B. Điểm

A

nằm trong

(O)

, điểm

B

nằm trên

(O)

.
C. Điểm

A

nằm trên

(O)

, điểm

B

nằm trong

(O)

.
D. Điểm

A

nằm ngoài

(O)

, điểm

B

nằm trên

(O)

Kiến thức cần nhớ

Trong hệ toạ độ $O x y$ , khoảng cách từ gốc $O$ đến điểm $M (x; y)$ là $O M = x^{2} + y^{2}$ .
So sánh $O M$ với $R$ theo ba trường hợp trong/ trên/ ngoài đường tròn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho toạ độ gốc

O

(tâm đường tròn trùng gốc toạ độ) nên dấu hiệu là dùng công thức khoảng cách

O M = x^{2} + y^{2}

rồi so với

R = 5

. Hướng an toàn nhất là so sánh bình phương khoảng cách với

R^{2} = 5

để tránh khai căn nhầm. Bẫy là quên bình phương

3

thành

3

khi tính

O A

1Cách 1. Tính khoảng cách rồi so trực tiếp với R

Định hướng. Tính $O A$ , $O B$ bằng công thức khoảng cách toạ độ, so với $R = 5$ .

O A = (- 3)^{2} + 1^{2} = 3 + 1 = 4 = 2

O B = (- 1)^{2} + 2^{2} = 1 + 4 = 5

R = 5

So sánh:

O A = 2

, mà

2 = 4 < 5 = R

nên

O A < R

O B = 5 = R

nên

O B = R

Vậy $A$ nằm trong $(O)$ , $B$ nằm trên $(O)$ — chọn đáp án B.

2Cách 2. So sánh bình phương khoảng cách với R²

Định hướng. Tránh khai căn bằng cách so $O A^{2}$ , $O B^{2}$ với $R^{2} = 5$ ngay từ đầu.

O A^{2} = 3 + 1 = 4

O B^{2} = 1 + 4 = 5

R^{2} = 5

O A^{2} = 4 < 5 = R^{2} \Rightarrow O A < R

O B^{2} = 5 = R^{2} \Rightarrow O B = R

Vậy $A$ nằm trong, $B$ nằm trên $(O)$ — chọn đáp án B.

3Cách 3. Loại trừ theo dữ kiện B trước

Định hướng. Nhận ra ngay $O B^{2} = 1 + 4 = 5 = R^{2}$ nên $B$ luôn nằm trên $(O)$ , từ đó loại các phương án không ghi " $B$ nằm trên" trước khi xét $A$ .

O B^{2} = 5 = R^{2} \Rightarrow B

nằm trên

(O)

, loại phương án A (ghi

B

ngoài) và C (ghi

B

trong)
Còn lại B (

A

trong) và D (

A

ngoài)

O A^{2} = 4 < 5 = R^{2} \Rightarrow A

nằm trong

(O)

, loại D

Vậy chọn đáp án B.

Nhận xét. Xét $B$ trước vì $O B^{2}$ ra đúng số tròn trịa $5 = R^{2}$ , giúp loại nhanh hai phương án.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: so bình phương khoảng cách với

R^{2} = 5

, tránh việc khai căn

3

5

dễ gây nhầm lẫn.

Đáp số. Đáp án B. Điểm

A

nằm trong

(O)

, điểm

B

nằm trên

(O)

Sai lầm thường gặp. Hay tính nhầm

O A = (- 3)^{2} + 1^{2}

thành

- 3 + 1

(quên bình phương làm mất dấu âm bên trong căn, trong khi

(- 3)^{2} = 3

luôn dương).

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

A (- 3; 2)

thì

O A^{2} = 3 + 2 = 5 = R^{2}

, khi đó cả

A

và

B

đều nằm trên

(O)

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 2★Trang 70— Nhận biết tập hợp điểm nằm trong đường tròn trên một đường thẳng cắt đường tròn

Bài 2 (trang 70). Cho đường thẳng

x y

cắt đường tròn

(O)

tại hai điểm

A

và

B

(H.5.10). Khi đó, các điểm thuộc đường thẳng

x y

và nằm trong đường tròn

(O)

là:
A. Các điểm thuộc tia

A x

.
B. Các điểm thuộc tia

B y

.
C. Các điểm thuộc đoạn

A B

.
D. Các điểm nằm giữa

A

và

B

Kiến thức cần nhớ

Dây cung $A B$ của đường tròn $(O)$ chia đường thẳng chứa nó thành ba phần: điểm nằm giữa $A$ , $B$ ở trong $(O)$ ; chính $A$ , $B$ nằm trên $(O)$ ; các điểm ngoài đoạn $A B$ nằm ngoài $(O)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu: đường thẳng

x y

cắt

(O)

tại đúng hai điểm

A

B

, nghĩa là đoạn

A B

chính là dây cung — mọi điểm khác trên đường thẳng nằm ngoài đoạn này đều ở ngoài đường tròn. Bẫy là hai phương án C, D nhìn có vẻ giống nhau, cần phân biệt "đoạn

A B

" (gồm cả hai đầu mút) với "nằm giữa

A

B

" (không kể hai đầu mút, đúng là phần thực sự nằm TRONG đường tròn).

1Cách 1. Xét vị trí từng phần của đường thẳng so với đường tròn

Định hướng. Chia đường thẳng $x y$ thành ba phần bởi $A$ , $B$ rồi xét từng phần.

Phần nằm giữa

A

và

B

: các điểm này ở trong dây cung, cách

O

một khoảng nhỏ hơn

R

— nằm trong

(O)

Chính hai điểm

A

B

: cách

O

đúng bằng

R

— nằm trên

(O)

Phần trên tia

A x

(phía ngoài

A

, không chứa

B

) hoặc tia

B y

(phía ngoài

B

, không chứa

A

): càng xa dây

A B

thì càng xa tâm hơn

R

— nằm ngoài

(O)

Vậy chỉ các điểm nằm giữa $A$ và $B$ (không kể hai đầu mút) mới nằm trong $(O)$ — chọn đáp án D.

2Cách 2. Dùng khoảng cách đến tâm để loại từng phương án

Định hướng. Lấy một điểm mẫu ở mỗi phương án, xét khoảng cách đến $O$ so với $R$ .

Lấy điểm

M

trên tia

A x

nhưng ngoài đoạn

A B

(xa dây cung hơn):

O M > R

— loại A
Tương tự điểm trên tia

B y

ngoài đoạn

A B

: khoảng cách đến

O

cũng

> R

— loại B
Đoạn

A B

theo định nghĩa gồm cả hai đầu mút

A

B

, mà

A

B

chỉ nằm TRÊN chứ không nằm TRONG

(O)

— phương án C không chính xác hoàn toàn
Chỉ có phần nằm giữa

A

và

B

(loại bỏ hai đầu mút) là luôn có khoảng cách nhỏ hơn

R

Vậy chọn đáp án D.

Nhận xét. Phân biệt "đoạn $A B$ " và "nằm giữa $A$ , $B$ " là mấu chốt để chọn đúng giữa C và D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hình dung trực tiếp ba phần của đường thẳng, không cần lấy điểm mẫu như Cách 2.

Đáp số. Đáp án D. Các điểm nằm giữa

A

và

B

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn phổ biến nhất là chọn C ("đoạn

A B

") vì quên rằng đoạn thẳng bao gồm cả hai đầu mút

A

B

— mà hai điểm này chỉ nằm TRÊN đường tròn, không nằm TRONG.

🚀 Mở rộng. Nếu hỏi ngược lại "các điểm nằm ngoài

(O)

" thì đáp án sẽ là hợp của hai tia mở (không kể

A

B

): phần tia

A x

và tia

B y

nằm ngoài đoạn

A B

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 3★★★Trang 70— Xác định điểm đối xứng qua một trục là dây cung dựa vào số đo cung bằng nhau

Bài 3 (trang 70). Cho Hình 5.11, trong đó tất cả các cung

A B

B C

C D

D E

E G

và

G A

đều có số đo bằng

6 0^{\circ}

. Khi đó:
A. Điểm đối xứng với

A

qua

C G

là

B

.
B. Điểm đối xứng với

A

qua

C G

là

D

.
C. Điểm đối xứng với

A

qua

C G

là

E

.
D. Điểm đối xứng với

A

qua

C G

là

G

Kiến thức cần nhớ

Nếu $C G$ là đường kính thì $C G$ là trục đối xứng của đường tròn; điểm đối xứng của $M$ qua $C G$ là điểm $M^{'}$ sao cho hai cung từ $M$ , $M^{'}$ đến $C$ (hay đến $G$ ) bằng nhau.
Tổng sáu cung bằng nhau bằng $36 0^{\circ}$ nên mỗi cung bằng $6 0^{\circ}$ ; hai điểm cách nhau $18 0^{\circ}$ (ba cung liên tiếp) là hai đầu một đường kính.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu: sáu cung bằng nhau

6 0^{\circ}

chia đường tròn thành lục giác đều

A B C D E G

, và

C G

nối hai điểm cách nhau đúng

3 \times 6 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

nên

C G

là một đường kính — trục đối xứng của cả đường tròn. Hướng an toàn là đếm số cung từ

A

sang mỗi phía của trục

C G

để tìm điểm đối xứng thật sự. Bẫy là chọn nhầm

G

(điểm gần

A

nhất) thay vì tính đúng khoảng cách góc qua trục.

1Cách 1. Nhận ra CG là đường kính rồi đếm cung đối xứng

Định hướng. Xác định thứ tự sáu điểm quanh đường tròn là $A, B, C, D, E, G$ rồi trở lại $A$ ; từ đó $C G$ cách nhau đúng ba cung ( $C \to D \to E \to G$ ), tức $18 0^{\circ}$ , là đường kính. Phép đối xứng qua đường kính bảo toàn số đo cung tính từ hai đầu đường kính.

Số đo cung

\overparen C D E G

(từ

C

đến

G

qua

D

E

)

= 6 0^{\circ} + 6 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

, nên

C G

là đường kính

A

cách

C

theo chiều

A \to B \to C

là

6 0^{\circ} + 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

(qua

B

)

A

cách

G

theo chiều

A \to G

trực tiếp là

6 0^{\circ}

(một cung)
Điểm đối xứng

A^{'}

của

A

qua đường kính

C G

phải thoả: cách

C

đúng

12 0^{\circ}

và cách

G

đúng

6 0^{\circ}

nhưng về PHÍA BÊN KIA của

C G

Xét điểm

E

: cách

G

theo chiều

G \to E

là

6 0^{\circ}

(đúng bằng

A

cách

G

, nhưng ở phía đối diện qua trục

C G

); cách

C

theo chiều

C \to D \to E

là

12 0^{\circ}

(đúng bằng

A

cách

C

)
Vậy

E

thoả cả hai điều kiện đối xứng với

A

qua

C G

Vậy điểm đối xứng với $A$ qua $C G$ là $E$ — chọn đáp án C.

2Cách 2. Toạ độ hoá, phản chiếu qua đường thẳng CG

Định hướng. Gán mỗi điểm một góc trên đường tròn đơn vị theo đúng thứ tự cách đều $6 0^{\circ}$ , rồi tính trực tiếp phép phản chiếu (reflection) của điểm $A$ qua đường thẳng $C G$ bằng công thức toạ độ.

Đặt tâm

O (0; 0)

, bán kính

1

; chọn góc của

A

là

α

, các điểm tiếp theo lệch

- 6 0^{\circ}

mỗi bước:

B

ở

α - 6 0^{\circ}

C

ở

α - 12 0^{\circ}

D

ở

α - 18 0^{\circ}

E

ở

α - 24 0^{\circ}

G

ở

α - 30 0^{\circ}

Đường thẳng

C G

đi qua hai điểm ở góc

α - 12 0^{\circ}

và

α - 30 0^{\circ}

; vì hai góc này cách nhau

18 0^{\circ}

nên

C G

là đường kính có phương ứng với góc

α - 12 0^{\circ}

(mod

18 0^{\circ}

)
Công thức phản chiếu một điểm ở góc

θ

qua đường kính có phương góc

φ

cho điểm ở góc

2 φ - θ

Áp dụng: điểm đối xứng của

A

(góc

α

) qua

C G

(phương

φ = α - 12 0^{\circ}

) ở góc

2 (α - 12 0^{\circ}) - α = α - 24 0^{\circ}

— đúng bằng góc của điểm

E

Vậy điểm đối xứng với $A$ qua $C G$ là $E$ , khớp Cách 1 — chọn đáp án C.

Nhận xét. Công thức góc phản chiếu $2 φ - θ$ dùng được cho mọi bài đối xứng qua đường kính, không riêng lục giác đều.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần đếm số cung hai phía của

C G

, không cần lập công thức góc.

Đáp số. Đáp án C. Điểm đối xứng với

A

qua

C G

là

E

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh chọn nhầm

G

(đáp án D) vì thấy

G

ở gần

A

nhất trên hình, nhưng "gần" không đồng nghĩa với "đối xứng qua trục

C G

" — phải đếm đúng số cung hai phía trục.

🚀 Mở rộng. Cùng lập luận, điểm đối xứng của

B

qua

C G

chính là

D

(đếm cung tương tự); tổng quát, với

2 n

điểm chia đều đường tròn, điểm đối xứng qua một đường kính nối hai điểm luôn là điểm "đối chiếu" cách đều về số thứ tự.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 4★Trang 70— Tính độ dài cung tròn và diện tích hình quạt tròn theo công thức

Bài 4 (trang 70). Độ dài

L

(đơn vị cm) của cung tròn và diện tích

S

của hình quạt tròn (đơn vị cm

^{2}

) có cùng bán kính

9

cm và cùng ứng với cung

28 0^{\circ}

là:
A.

L = 7 π

và

S = 63 π

.
B.

L = 14 π

và

S = 63 π

.
C.

L = 7 π

và

S = 28 π

.
D.

L = 14 π

và

S = 28 π

Kiến thức cần nhớ

Độ dài cung tròn $n^{\circ}$ , bán kính $R$ : $l = \frac{π R n}{180}$ .
Diện tích hình quạt tròn $n^{\circ}$ , bán kính $R$ : $S = \frac{π R ^{2} n}{360}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn bán kính và số đo cung, dấu hiệu là áp thẳng hai công thức

l = \frac{π R n}{180}

và

S = \frac{π R ^{2} n}{360}

, không cần dựng hình. Bẫy hay gặp là nhầm công thức độ dài cung với công thức diện tích quạt (đổi vai trò số

180

và

360

, hoặc quên bình phương

R

ở diện tích).

1Cách 1. Thay số trực tiếp vào hai công thức

Định hướng. Thay $R = 9$ , $n = 280$ vào lần lượt công thức độ dài cung và diện tích hình quạt.

L = \frac{π \cdot 9 \cdot 280}{180} = \frac{2520 π}{180} = 14 π

(cm)

S = \frac{π \cdot 9 ^{2} \cdot 280}{360} = \frac{π \cdot 81 \cdot 280}{360} = \frac{22680 π}{360} = 63 π

(cm

^{2}

)

Vậy $L = 14 π$ cm, $S = 63 π$ cm $^{2}$ — chọn đáp án B.

2Cách 2. Quy về tỉ lệ với cả đường tròn

Định hướng. Tính chu vi và diện tích cả đường tròn trước, rồi nhân với tỉ số $\frac{280}{360}$ của cung so với cả vòng tròn — tránh nhầm công thức $180$ / $360$ .

Chu vi cả đường tròn:

C = 2 π R = 2 π \cdot 9 = 18 π

(cm)
Diện tích cả đường tròn:

S_{t r} = π R^{2} = 81 π

(cm

^{2}

)
Tỉ số cung so với cả vòng:

\frac{280}{360} = \frac{7}{9}

L = \frac{7}{9} \cdot 18 π = 14 π

(cm)

S = \frac{7}{9} \cdot 81 π = 63 π

(cm

^{2}

)

Vậy $L = 14 π$ cm, $S = 63 π$ cm $^{2}$ , khớp Cách 1 — chọn đáp án B.

Nhận xét. Cách 2 dùng cùng MỘT tỉ số $\frac{7}{9}$ cho cả độ dài lẫn diện tích, giúp tránh nhầm lẫn công thức.

3Cách 3. Loại trừ bằng ước lượng nhanh

Định hướng. Vì $28 0^{\circ}$ lớn hơn nửa vòng tròn ( $18 0^{\circ}$ ), độ dài cung phải lớn hơn nửa chu vi $9 π$ và diện tích quạt phải lớn hơn nửa diện tích tròn $40, 5 π$ — dùng để loại nhanh các phương án quá nhỏ.

Nửa chu vi:

π R = 9 π

; vì

28 0^{\circ} > 18 0^{\circ}

nên

L > 9 π

, loại phương án A, C (ghi

L = 7 π < 9 π

)
Còn lại B (

L = 14 π

) và D (

L = 14 π

S = 28 π

) — cả hai đều ghi đúng

L

Nửa diện tích tròn:

\frac{81 π}{2} = 40, 5 π

; vì

28 0^{\circ} > 18 0^{\circ}

nên

S > 40, 5 π

, loại D (ghi

S = 28 π < 40, 5 π

)

Vậy chỉ còn đáp án B thoả cả hai điều kiện — chọn B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: quy về đúng một tỉ số

\frac{7}{9}

dùng chung cho cả độ dài và diện tích, khó nhầm công thức hơn Cách 1.

Đáp số. Đáp án B.

L = 14 π

cm và

S = 63 π

^{2}

Sai lầm thường gặp. Hay quên bình phương

R

trong công thức diện tích, viết nhầm

S = \frac{π R \cdot n}{360}

giống công thức độ dài cung, dẫn tới kết quả sai đơn vị.

🚀 Mở rộng. Nếu cung chỉ còn

8 0^{\circ}

(bù với

28 0^{\circ}

để đủ

36 0^{\circ}

) thì

L^{'} = \frac{π \cdot 9 \cdot 80}{180} = 4 π

cm và

S^{'} = \frac{π \cdot 81 \cdot 80}{360} = 18 π

^{2}

— cộng lại đúng

L + L^{'} = 18 π =

chu vi và

S + S^{'} = 81 π =

diện tích cả đường tròn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 5★★Trang 70— Suy luận vị trí tương đối của đường tròn tâm M với hai cạnh góc khi biết hai khoảng cách khác nhau

Bài 5 (trang 70). Cho góc nhọn

x O y

và điểm

M

nằm trong góc đó. Biết rằng

M

nằm cách

O x

một khoảng bằng

3

cm và cách

O y

một khoảng bằng

2

cm. Khi đó:
A. Nếu đường tròn

(M)

tiếp xúc với

O x

thì

(M)

cắt

O y

.
B. Nếu đường tròn

(M)

tiếp xúc với

O x

thì

(M)

cũng tiếp xúc với

O y

.
C. Nếu đường tròn

(M)

tiếp xúc với

O x

thì

(M)

không giao nhau với

O y

.
D. Nếu đường tròn

(M)

tiếp xúc với

O y

thì cắt

O x

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn $(M; R)$ tiếp xúc với đường thẳng $a$ khi và chỉ khi $d (M, a) = R$ ; cắt $a$ khi $d (M, a) < R$ ; không giao khi $d (M, a) > R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu quan trọng: khoảng cách từ

M

đến

O x

(

= 3

) khác khoảng cách đến

O y

(

= 2

), nên bán kính

(M)

không thể vừa tiếp xúc cả hai cạnh cùng lúc — đây là điểm khác biệt với các bài tiếp tuyến thông thường (nơi

M

thường nằm trên tia phân giác). Hướng an toàn là xét lần lượt từng giả thiết "tiếp xúc với..." rồi suy ra bán kính, so bán kính đó với khoảng cách còn lại. Bẫy là ngộ nhận tiếp xúc một cạnh thì cũng tiếp xúc cạnh kia.

1Cách 1. Xét từng giả thiết tiếp xúc rồi suy ra bán kính

Định hướng. Giả sử $(M)$ tiếp xúc $O x$ , suy ra bán kính đúng bằng khoảng cách đến $O x$ (là $3$ ), rồi so bán kính đó với khoảng cách đến $O y$ (là $2$ ).

Nếu

(M)

tiếp xúc

O x

R = d (M, O x) = 3

R = 3

với

d (M, O y) = 2

: vì

2 < 3

nên

d (M, O y) < R

Suy ra

(M)

cắt

O y

(vì khoảng cách nhỏ hơn bán kính)

Vậy nếu $(M)$ tiếp xúc $O x$ thì $(M)$ cắt $O y$ — chọn đáp án A.

2Cách 2. Kiểm tra loại trừ cả bốn phương án bằng cùng một lập luận

Định hướng. Tính riêng hai trường hợp bán kính ( $R = 3$ khi tiếp xúc $O x$ ; $R = 2$ khi tiếp xúc $O y$ ) rồi đối chiếu với cả bốn phương án để loại dần.

Trường hợp tiếp xúc

O x

(

R = 3

): so với

O y

(

d = 2 < 3

)

\Rightarrow

cắt

O y

— khớp A, loại B (ghi tiếp xúc cả hai) và C (ghi không giao)
Trường hợp tiếp xúc

O y

(

R = 2

): so với

O x

(

d = 3 > 2

)

\Rightarrow

không giao

O x

(vì khoảng cách lớn hơn bán kính) — phương án D ghi "cắt

O x

" là SAI, loại D

Vậy chỉ còn đáp án A đúng — chọn A.

Nhận xét. Cách 2 kiểm tra được luôn cả bốn phương án trong một lượt, chắc chắn không bỏ sót.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ xét đúng giả thiết mà đề đang hỏi (tiếp xúc

O x

), không cần kiểm tra hết bốn phương án như Cách 2.

Đáp số. Đáp án A. Nếu đường tròn

(M)

tiếp xúc với

O x

thì

(M)

cắt

O y

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn phổ biến là nghĩ

M

luôn nằm trên tia phân giác của góc

x O y

(như các bài tiếp tuyến quen thuộc) nên mặc định tiếp xúc một cạnh thì tiếp xúc luôn cạnh kia — trong khi đề này cho hai khoảng cách khác nhau (

3 \neq = 2

🚀 Mở rộng. Nếu hai khoảng cách bằng nhau (M nằm trên tia phân giác), thì tiếp xúc một cạnh sẽ kéo theo tiếp xúc luôn cạnh còn lại — đây chính là tính chất dùng để dựng đường tròn nội tiếp góc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6★★★Trang 70— Xét tính đúng/sai của các mệnh đề về vị trí tương đối hai đường tròn theo bán kính thay đổi

Bài 6 (trang 70). Cho hai điểm

A

và

B

sao cho

A B = 7

cm và đường tròn

(B; 4

)

. Khi đó:
A. Hai đường tròn

(A; R)

và

(B)

cắt nhau nếu

R < 11

cm.
B. Hai đường tròn

(A; R)

và

(B)

cắt nhau nếu

R > 3

cm.
C. Hai đường tròn

(A; R)

và

(B)

không giao nhau nếu

R > 11

cm.
D. Hai đường tròn

(A; R)

và

(B)

không giao nhau nếu

R \leq 3

cm.

Kiến thức cần nhớ

Hai đường tròn $(A; R)$ , $(B; R^{'})$ cắt nhau $\Leftrightarrow ∣ R - R^{'} ∣ < A B < R + R^{'}$ ; không giao nhau $\Leftrightarrow A B > R + R^{'}$ hoặc $A B < ∣ R - R^{'} ∣$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu: bán kính

R

của

(A; R)

là ẩn thay đổi, còn

(B; 4)

và

A B = 7

cố định — cần lập đúng điều kiện đầy đủ "cắt nhau

\Leftrightarrow 3 < R < 11

" rồi so với TỪNG mệnh đề xem có suy ra được không (chú ý các phương án chỉ nêu MỘT chiều bất đẳng thức, không đủ hai chiều). Bẫy lớn nhất: một mệnh đề đúng theo chiều "nếu... thì..." một chiều vẫn có thể SAI dù nhìn giống điều kiện cắt nhau, vì thiếu vế còn lại.

1Cách 1. Lập điều kiện đầy đủ rồi kiểm từng mệnh đề bằng phản ví dụ

Định hướng. Trước tiên lập điều kiện chính xác để hai đường tròn cắt nhau, sau đó với mỗi phương án, thử một giá trị $R$ thoả điều kiện của phương án nhưng KHÔNG thoả điều kiện đầy đủ để bác bỏ.

Điều kiện cắt nhau đầy đủ:

∣ R - 4∣ < 7 < R + 4 \Leftrightarrow 3 < R < 11

Xét A (

R < 11

): thử

R = 1 < 11

nhưng

1 \in / (3; 11)

— với

R = 1

R + 4 = 5 < 7 = A B

nên hai đường tròn ở ngoài nhau, KHÔNG cắt — mệnh đề A sai
Xét B (

R > 3

): thử

R = 20 > 3

nhưng

20 \in / (3; 11)

— với

R = 20

∣ R - 4∣ = 16 > 7 = A B

nên

(B)

nằm hẳn trong

(A)

, KHÔNG cắt — mệnh đề B sai
Xét D (

R \leq 3

): thử

R = 3

(biên):

R + 4 = 7 = A B

, đây là tiếp xúc NGOÀI (có 1 điểm chung), không hẳn là "không giao nhau" theo nghĩa 0 điểm chung — mệnh đề D không chính xác tại biên
Xét C (

R > 11

): nếu

R > 11

thì

R - 4 > 7 = A B

, tức

∣ R - 4∣ > A B

, luôn cho hai đường tròn không giao nhau (đường tròn nhỏ

(B)

nằm hẳn trong

(A)

, không chạm) — đúng với MỌI

R > 11

, không có phản ví dụ

Vậy chỉ mệnh đề C luôn đúng — chọn đáp án C.

2Cách 2. Vẽ trục số các mốc bán kính rồi đối chiếu từng khoảng

Định hướng. Giải hai phương trình biên $R + 4 = 7$ và $∣ R - 4∣ = 7$ để tìm đúng hai mốc phân chia vị trí tương đối, rồi chia trục số $R$ thành các khoảng và đối chiếu với từng phương án.

Mốc tiếp xúc ngoài:

R + 4 = 7 \Rightarrow R = 3

Mốc tiếp xúc trong:

∣ R - 4∣ = 7 \Rightarrow R = 11

hoặc

R = - 3

(loại vì

R > 0

), nhận

R = 11

Với

R \in (0; 3)

(A; R)

nằm hẳn trong

(B; 4)

, không giao nhau
Với

R = 3

: tiếp xúc ngoài (1 điểm chung)
Với

R \in (3; 11)

: cắt nhau (2 điểm chung)
Với

R = 11

: tiếp xúc trong (1 điểm chung)
Với

R > 11

(B; 4)

nằm hẳn trong

(A; R)

, không giao nhau

Vậy khoảng "không giao nhau" theo đúng nghĩa 0 điểm chung ứng với $R < 3$ hoặc $R > 11$ ; trong bốn phương án chỉ có C ( $R > 11$ ) khớp hoàn toàn — chọn C.

Nhận xét. Cách chia trục số cho thấy toàn cảnh năm vị trí liên tiếp khi $R$ tăng dần, tránh sót các mốc tiếp xúc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần MỘT phản ví dụ tốt cho mỗi mệnh đề sai là loại được ngay, nhanh hơn vẽ cả trục số.

Đáp số. Đáp án C. Hai đường tròn

(A; R)

và

(B)

không giao nhau nếu

R > 11

cm.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến là chỉ kiểm tra MỘT chiều của bất đẳng thức kép (

3 < R < 11

) mà quên kiểm tra chiều còn lại, dẫn đến chấp nhận nhầm các mệnh đề A, B chỉ đúng một phần.

🚀 Mở rộng. Đầy đủ theo

R

tăng dần có năm vị trí:

R < 3

(không giao nhau,

(A; R)

nằm trong

(B; 4)

);

R = 3

(tiếp xúc ngoài);

3 < R < 11

(cắt nhau);

R = 11

(tiếp xúc trong);

R > 11

(không giao nhau,

(B; 4)

nằm trong

(A; R)

) — đúng như phương án C.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 5.27★★★Trang 71— Xác định vị trí điểm với đường tròn và biện luận vị trí điểm D theo vị trí tương đối hai đường tròn

Bài 5.27 (trang 71). Cho tam giác

A B C

có

A B < A C

và đường cao

A H

(H.5.12).
a) Trong các điểm

B

H

và

C

, điểm nào nằm trong, điểm nào nằm trên và điểm nào nằm ngoài đường tròn

(A; A B)

? Vì sao?
b) Xác định vị trí của điểm

D

trên đoạn

A C

trong mỗi trường hợp sau: đường tròn

(A)

và đường tròn

(C; C D)

tiếp xúc với nhau; đường tròn

(A)

và đường tròn

(C; C D)

cắt nhau; đường tròn

(A)

và đường tròn

(C; C D)

không giao nhau.

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn cạnh huyền.
Với đường tròn $(A; R)$ và điểm $M$ : $A M < R \Leftrightarrow M$ trong; $A M = R \Leftrightarrow M$ trên; $A M > R \Leftrightarrow M$ ngoài.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) dấu hiệu là so ba khoảng cách

A H

A B

A C

với bán kính

A B

A H

là cạnh góc vuông trong tam giác vuông

A H B

nên luôn nhỏ hơn cạnh huyền

A B

; còn

A C > A B

theo đúng giả thiết đề cho sẵn. Câu b) dấu hiệu là khoảng cách hai tâm luôn cố định bằng

A C

, chỉ có bán kính

C D

thay đổi theo vị trí

D

— nên quy về so

A D

(khoảng còn lại trên đoạn

A C

) với bán kính cố định

A B

1Cách 1. So từng khoảng cách AH, AB, AC với bán kính AB

Định hướng. Câu a) so trực tiếp ba khoảng cách với bán kính $R = A B$ . Câu b) đặt $A D = x$ ( $0 \leq x \leq A C$ ), suy ra $C D = A C - x$ , rồi so khoảng cách tâm $A C$ (cố định) với $A B + C D$ và $∣ A B - C D ∣$ để tìm đúng $x$ .

a) Tam giác

A H B

vuông tại

H

(vì

A H

là đường cao) nên

A H < A B

(cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền)

\Rightarrow H

nằm trong

(A; A B)

A B = A B = R \Rightarrow B

nằm trên

(A; A B)

A C > A B = R

(giả thiết)

\Rightarrow C

nằm ngoài

(A; A B)

b) Đặt

A D = x

0 \leq x \leq A C

, khi đó

C D = A C - x

; khoảng cách hai tâm

A

C

luôn là

A C

Hai đường tròn

(A; A B)

(C; C D)

tiếp xúc ngoài

\Leftrightarrow A C = A B + C D = A B + (A C - x) \Leftrightarrow x = A B

, tức

D

trùng với giao điểm của

(A; A B)

và đoạn

A C

(gọi điểm đó là

D_{0}

, với

A D_{0} = A B

)
Cắt nhau

\Leftrightarrow A C < A B + C D \Leftrightarrow A C < A B + (A C - x) \Leftrightarrow x < A B

, tức

D

nằm giữa

A

và

D_{0}

(

A D < A B

)
Không giao nhau

\Leftrightarrow A C > A B + C D \Leftrightarrow x > A B

, tức

D

nằm giữa

D_{0}

và

C

(

A D > A B

)

Vậy a) $H$ nằm trong, $B$ nằm trên, $C$ nằm ngoài $(A; A B)$ . b) Gọi $D_{0}$ là điểm trên $A C$ với $A D_{0} = A B$ : nếu $D \equiv D_{0}$ thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài; nếu $D$ nằm giữa $A$ và $D_{0}$ ( $A D < A B$ ) thì cắt nhau; nếu $D$ nằm giữa $D_{0}$ và $C$ ( $A D > A B$ ) thì không giao nhau.

2Cách 2. Toạ độ hoá trên đoạn AC

Định hướng. Đặt $A$ tại gốc, $C$ tại toạ độ $A C$ trên một trục số, biểu diễn $D$ bằng một biến $x = A D$ , rồi lập trực tiếp bất phương trình vị trí tương đối bằng đại số.

Đặt trục số với

A = 0

C = A C

(một số dương cố định),

D = x

với

0 \leq x \leq A C

R_{1} = A B

(không đổi),

R_{2} = C D = A C - x

Khoảng cách hai tâm

d = A C

luôn không đổi
Điều kiện cắt nhau:

∣ R_{1} - R_{2} ∣ < d < R_{1} + R_{2}

, tức

∣ A B - (A C - x) ∣ < A C < A B + (A C - x)

Vế phải:

A C < A B + A C - x \Leftrightarrow x < A B

Vế trái:

∣ A B - A C + x ∣ < A C

; vì

x \leq A C < A B + A C

nên luôn thoả với mọi

x

hợp lệ, không ràng buộc thêm
Vậy điều kiện cắt nhau rút gọn về đúng

x < A B

, tức

A D < A B

— khớp Cách 1
Tương tự giải hai bất phương trình còn lại cho tiếp xúc (

x = A B

) và không giao nhau (

x > A B

)

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn với Cách 1: mốc quyết định luôn là $A D = A B$ .

Nhận xét. Đại số hoá cho thấy rõ vì sao chỉ cần so $A D$ với $A B$ mà không cần quan tâm độ dài cụ thể của $A C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập luận trực tiếp bằng bất đẳng thức tam giác quen thuộc, không cần đặt biến đại số như Cách 2.

Đáp số. a)

H

nằm trong,

B

nằm trên,

C

nằm ngoài

(A; A B)

. b) Với

D_{0} \in A C

sao cho

A D_{0} = A B

D \equiv D_{0}

cho tiếp xúc ngoài;

D

giữa

A

D_{0}

(

A D < A B

) cho cắt nhau;

D

giữa

D_{0}

C

(

A D > A B

) cho không giao nhau.

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), nhiều học sinh quên rằng khoảng cách hai tâm luôn CỐ ĐỊNH bằng

A C

(không đổi khi

D

di chuyển), chỉ có bán kính

C D

thay đổi, nên lập sai bất đẳng thức tam giác.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi giả thiết "

D

trên đoạn

A C

" thành "

D

trên tia đối của tia

C A

" (tức

D

nằm ngoài đoạn

A C

, phía sau

C

), bài toán vị trí tương đối phải xét lại hoàn toàn vì lúc đó

C D

và

A C

không còn cộng được đơn giản như cũ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 5.28★★★Trang 71— Trục đối xứng của hình thang cân và điều kiện bốn điểm cùng thuộc một đường tròn

Bài 5.28 (trang 71). Cho hình thang cân

A B C D

(

A B ∥ C D

).
a) Chứng minh rằng đường trung trực

d

của

A B

cũng là đường trung trực của

C D

(từ đó suy ra hai điểm

A

và

B

đối xứng với nhau,

C

và

D

đối xứng với nhau qua

d

).
b) Giải thích tại sao nếu một đường tròn đi qua 3 điểm

A

B

và

C

thì nó cũng đi qua điểm

D

Kiến thức cần nhớ

Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau, và có một trục đối xứng đi qua trung điểm hai đáy.
Tâm của đường tròn đi qua hai điểm $M$ , $N$ luôn nằm trên đường trung trực của $M N$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) dấu hiệu "hình thang cân" cho ngay hai cạnh bên bằng nhau và hai góc kề một đáy bằng nhau — đặc điểm khiến hình có trục đối xứng. Hướng gọn nhất là toạ độ hoá để thấy trực tiếp

C

D

đối xứng qua cùng đường thẳng với

A

B

. Câu b) chỉ cần dùng lại kết quả câu a): tâm đường tròn qua

A, B, C

nằm trên trung trực của

A B

d

), mà

d

cũng là trung trực của

C D

nên tâm đó cách đều

C

D

1Cách 1. Toạ độ hoá để thấy trực tiếp trục đối xứng chung

Định hướng. Đặt hệ trục với trung điểm $A B$ tại gốc, trục $O x$ dọc theo $A B$ ; dùng tính chất cân (hai cạnh bên bằng nhau) để suy ra toạ độ $C$ , $D$ đối xứng qua trục $O y$ — đúng là trung trực của $A B$ .

Chọn

A (- a; 0)

B (a; 0)

(trung điểm

A B

là gốc

O

d

là trục

O y

x = 0

)
Vì

A B ∥ C D

nên

C

D

có cùng tung độ

h

C (c_{1}; h)

D (c_{2}; h)

Hình thang cân có

A D = B C

A D^{2} = (c_{2} + a)^{2} + h^{2}

B C^{2} = (c_{1} - a)^{2} + h^{2}

; từ

A D = B C

suy ra

(c_{2} + a)^{2} = (c_{1} - a)^{2}

Xét nhánh đúng cho tứ giác lồi (không suy biến):

c_{2} + a = - (c_{1} - a) \Rightarrow c_{2} = - c_{1}

Vậy

C (c_{1}; h)

D (- c_{1}; h)

đối xứng nhau qua trục

O y

(

x = 0

), đúng là đường thẳng

d

(trung trực của

A B

, vì

A (- a; 0)

B (a; 0)

đối xứng nhau qua

x = 0

)
Trung điểm

C D

là

(0; h)

, nằm trên

d

(

x = 0

); mà

C D

nằm ngang (

y = h

) nên

d

(

x = 0

, phương thẳng đứng) vuông góc

C D

tại trung điểm — đúng là trung trực của

C D

Vậy đường trung trực $d$ của $A B$ đồng thời là trung trực của $C D$ ; suy ra $A$ , $B$ đối xứng qua $d$ (hiển nhiên vì $d$ là trung trực $A B$ ) và $C$ , $D$ đối xứng qua $d$ (vừa chứng minh).

2Cách 2. Dùng phép đối xứng trục bảo toàn hình thang cân

Định hướng. Xét phép đối xứng trục qua $d$ (trung trực $A B$ ): phép này biến $A$ thành $B$ (định nghĩa trung trực); chứng minh phép này cũng biến $C$ thành $D$ bằng cách dùng các yếu tố bằng nhau của hình thang cân, từ đó suy ra $d$ là trung trực $C D$ .

Gọi

f

là phép đối xứng trục qua

d

; vì

d

là trung trực

A B

nên

f (A) = B

f (B) = A

Vì

A B ∥ C D

và

d ⊥ A B

(tính chất trung trực) nên

d ⊥ C D

; ảnh của đường thẳng

C D

qua

f

vẫn là một đường thẳng song song với

A B

và vuông góc với

d

tại cùng khoảng cách — tức

f

biến đường thẳng

C D

thành chính nó (vì

f

giữ nguyên mọi đường thẳng vuông góc với trục

d

)
Hình thang cân có

D A B = C B A

(hai góc kề đáy

A B

bằng nhau); vì

f (A) = B

và

f

bảo toàn góc, tia

f (A D)

phải là tia tạo với

B A

đúng góc

D A B = C B A

, tức

f (A D)

trùng tia

B C

, nên

f (D) \in B C

; kết hợp

f (D) \in

đường thẳng

C D

(vừa chứng minh) suy ra

f (D) = C

(giao của

B C

và

C D

)
Vậy

f (D) = C

và

f (C) = D

(vì

f

là song ánh,

f \circ f = id

)

Vậy $d$ biến $C$ thành $D$ và ngược lại, tức $d$ là trung trực của $C D$ , đúng như Cách 1 đã chỉ ra bằng toạ độ.

Nhận xét. Cách 2 lí giải bằng phép biến hình cho thấy bản chất "vì sao" rõ hơn, còn Cách 1 tính toán trực tiếp nên chắc chắn về mặt số liệu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: toạ độ hoá cho kết quả chắc chắn bằng phép tính đại số đơn giản, không phụ thuộc lập luận về góc như Cách 2.

Đáp số. a) Đã chứng minh

d

(trung trực

A B

) cũng là trung trực

C D

, suy ra

A \leftrightarrow B

và

C \leftrightarrow D

đối xứng qua

d

. b) Đường tròn qua

A, B, C

có tâm nằm trên

d

(vì

d

là trung trực

A B

), mà

d

cũng là trung trực

C D

nên tâm đó cách đều

C

và

D

, tức đường tròn ấy cũng đi qua

D

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh chỉ chứng minh

A D = B C

(cạnh bên bằng nhau, vốn là ĐỊNH NGHĨA của hình thang cân) rồi coi đó là đã xong câu a), trong khi câu hỏi yêu cầu chứng minh

d

(trung trực của

A B

) đúng là trung trực của

C D

— hai việc khác nhau.

🚀 Mở rộng. Kết quả câu b) chính là cách chứng minh "hình thang cân luôn nội tiếp được một đường tròn" — một tính chất quan trọng dùng nhiều trong các bài tứ giác nội tiếp ở chương trình lớp 9.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 5.29★★★★Trang 71— Trục đối xứng qua tâm và trung điểm dây, hình thang cân nội tiếp, tính cung và diện tích quạt từ góc ở tâm

Bài 5.29 (trang 71). Giả sử

C D

là một dây song song với đường kính

A B

của đường tròn

(O)

sao cho

A B C D

là một tứ giác lồi. Gọi

E

là trung điểm của đoạn

C D

.
a) Chứng minh rằng

A

đối xứng với

B

và

C

đối xứng với

D

qua đường thẳng

O E

.
b) Chứng minh rằng tứ giác

A B C D

là một hình thang cân.
c) Biết rằng

A B = 12

cm và

C O D = 10 0^{\circ}

. Tính độ dài cung (nhỏ)

A D

và cung (lớn)

A B C

.
d) Với giả thiết ở câu c), tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ

B D

Kiến thức cần nhớ

Đường nối tâm đến trung điểm một dây (không qua tâm) thì vuông góc với dây đó.
Đường thẳng vừa là trung trực của $A B$ vừa vuông góc với $C D ∥ A B$ tại trung điểm $C D$ thì cũng là trung trực của $C D$ .
Độ dài cung $l = \frac{π R n}{180}$ ; diện tích quạt $S = \frac{π R ^{2} n}{360}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu cốt lõi ở câu a) là

E

trung điểm dây

C D

nên

O E ⊥ C D

(đường nối tâm–trung điểm dây); vì

C D ∥ A B

nên

O E ⊥ A B

luôn, mà

O

lại là trung điểm

A B

(đường kính) nên

O E

chính là trung trực của cả

A B

lẫn

C D

. Câu b) suy thẳng từ câu a) bằng phép đối xứng. Câu c), d) chỉ là tính toán góc ở tâm và áp công thức cung/quạt sau khi đã dựng được các góc bằng tính đối xứng qua

O E

1Cách 1. Dùng tính chất tâm-trung điểm dây rồi tính góc ở tâm bằng đối xứng

Định hướng. Câu a) chỉ ra $O E$ vuông góc cả hai dây song song $A B$ , $C D$ và đi qua trung điểm mỗi dây. Câu b) suy ra hình thang cân từ tính đối xứng. Câu c), d) dùng tính đối xứng qua $O E$ để tách góc $C O D = 10 0^{\circ}$ thành hai góc bằng nhau, từ đó suy ra các góc ở tâm còn lại.

E

là trung điểm dây

C D

(không qua tâm vì

A B C D

là tứ giác lồi,

C D \neq =

đường kính) nên

O E ⊥ C D

C D ∥ A B

nên

O E ⊥ A B

; mà

O

là trung điểm

A B

(vì

A B

là đường kính) nên

O E

là trung trực của

A B

\Rightarrow A

B

đối xứng qua

O E

O E

đi qua trung điểm

E

của

C D

và vuông góc

C D

nên

O E

cũng là trung trực của

C D

\Rightarrow C

D

đối xứng qua

O E

b) Phép đối xứng qua

O E

biến

A \leftrightarrow B

D \leftrightarrow C

nên biến đoạn

A D

thành đoạn

B C

, suy ra

A D = B C

; kết hợp

A B ∥ C D

(giả thiết)

\Rightarrow A B C D

là hình thang cân
c) Vì

C

D

đối xứng qua

O E

nên

C O E = D O E = \frac{10 0 ^{\circ}}{2} = 5 0^{\circ}

Vì

A

B

đối xứng qua

O E

và

O E ⊥ A B

nên

A O E = B O E = 9 0^{\circ}

A O D = A O E - D O E = 9 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 4 0^{\circ}

(vì tia

O D

nằm giữa

O A

O E

theo hình vẽ)
sđ

\overparen A D

(nhỏ)

= 4 0^{\circ}

; bán kính

R = \frac{A B}{2} = 6

l_{A D} = \frac{π \cdot 6 \cdot 40}{180} = \frac{4 π}{3}

cm
Cung lớn

\overparen A B C

: đi từ

A

qua

B

đến

C

, gồm nửa đường tròn

\overparen A B

(không qua

C, D

= 18 0^{\circ}

) cộng

\overparen B C

; theo đối xứng

B O C = A O D = 4 0^{\circ}

nên sđ

\overparen A B C = 18 0^{\circ} + 4 0^{\circ} = 22 0^{\circ}

l_{A B C} = \frac{π \cdot 6 \cdot 220}{180} = \frac{22 π}{3}

cm
d) sđ

\overparen B D

(nhỏ, qua

C

)

= B O C + C O D = 4 0^{\circ} + 10 0^{\circ} = 14 0^{\circ}

S_{q} = \frac{π \cdot 6 ^{2} \cdot 140}{360} = 14 π

^{2}

Vậy a), b) đã chứng minh; c) cung nhỏ $A D$ dài $\frac{4 π}{3}$ cm, cung lớn $A B C$ dài $\frac{22 π}{3}$ cm; d) diện tích hình quạt ứng cung nhỏ $B D$ là $14 π$ cm $^{2}$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá để tính lại các góc ở tâm

Định hướng. Đặt $O$ tại gốc, $O E$ trùng trục tung, $A B$ nằm ngang qua $O$ ; dùng tính đối xứng qua trục tung để viết toạ độ $C$ , $D$ theo một góc chung, từ đó tính lại trực tiếp các góc ở tâm bằng arctan/hiệu góc.

Chọn

O (0; 0)

R = 6

A (- 6; 0)

B (6; 0)

(trục

O x

là

A B

, trục

O y

chứa

O E

)
Vì

C O D = 10 0^{\circ}

và

C

D

đối xứng qua

O y

nên góc của

O C

O D

so với

O y

đều bằng

5 0^{\circ}

; lấy

D

ở góc

(9 0^{\circ} + 5 0^{\circ}) = 14 0^{\circ}

so với

O x

và

C

ở góc

(9 0^{\circ} - 5 0^{\circ}) = 4 0^{\circ}

(để

A B C D

lồi theo đúng thứ tự

A, B, C, D

)

D = (6 cos 14 0^{\circ}; 6 sin 14 0^{\circ})

C = (6 cos 4 0^{\circ}; 6 sin 4 0^{\circ})

Góc của tia

O A

so với

O x

là

18 0^{\circ}

;

A O D = 18 0^{\circ} - 14 0^{\circ} = 4 0^{\circ}

— khớp Cách 1
Góc của tia

O B

là

0^{\circ}

;

B O C = 4 0^{\circ} - 0^{\circ} = 4 0^{\circ}

— khớp Cách 1
Cung lớn

A B C

18 0^{\circ}

(nửa dưới, từ

A

đến

B

) cộng

B O C = 4 0^{\circ}

, bằng

22 0^{\circ}

— khớp Cách 1

B O D = 14 0^{\circ} - 0^{\circ} = 14 0^{\circ}

— khớp Cách 1, từ đó tính lại đúng

l_{A D} = \frac{4 π}{3}

cm,

l_{A B C} = \frac{22 π}{3}

cm,

S_{q} = 14 π

^{2}

Vậy toạ độ hoá xác nhận đúng mọi kết quả của Cách 1.

Nhận xét. Đặt trục tung trùng $O E$ giúp "tự động" thấy tính đối xứng của $C$ , $D$ mà không cần chứng minh lại từ đầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập luận hình học trực tiếp bằng tính đối xứng qua

O E

, không cần dựng hệ trục như Cách 2.

Đáp số. a), b) đã chứng minh. c) Cung nhỏ

A D

dài

\frac{4 π}{3}

cm; cung lớn

A B C

dài

\frac{22 π}{3}

cm. d) Diện tích hình quạt ứng với cung nhỏ

B D

là

14 π

^{2}

Sai lầm thường gặp. Ở câu c), hay nhầm "cung lớn

A B C

" với "cung lớn

A C

" (bỏ qua việc cung phải đi qua đúng điểm

B

như đề yêu cầu), dẫn đến cộng sai các góc thành phần.

🚀 Mở rộng. Nếu thay

C O D = 10 0^{\circ}

bằng một góc

α

tổng quát thì sđ

\overparen A D = 9 0^{\circ} - \frac{α}{2}

và sđ

\overparen B D = 9 0^{\circ} + \frac{α}{2}

— công thức tổng quát cho mọi vị trí của dây

C D

song song đường kính

A B

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 5.30★★★★Trang 71— Tiếp tuyến từ tính chất đường phân giác cách đều hai cạnh, tính cung và hình vành khuyên

Bài 5.30 (trang 71). Cho tam giác vuông

A B C

(

A = 9 0^{\circ}

) có

C = 3 0^{\circ}

và

A B = 3

cm. Đường phân giác của góc

B

cắt

A C

tại

D

.
a) Chứng minh rằng đường tròn

(D; D A)

tiếp xúc với cạnh

B C

.
b) Tính độ dài cung nằm trong góc

B D C

của đường tròn

(D; D A)

và diện tích hình quạt tròn tương ứng với cung ấy.
c) Tính diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn

(D; D A)

và

(D; D C)

Kiến thức cần nhớ

Mọi điểm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.
Đường thẳng vuông góc với bán kính tại điểm thuộc đường tròn là tiếp tuyến.
Diện tích hình vành khuyên giữa hai đường tròn đồng tâm bán kính $R$ , $r$ ( $R > r$ ) là $π (R^{2} - r^{2})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu cốt lõi ở câu a):

D

nằm trên phân giác góc

B

nên cách đều hai cạnh

B A

B C

của góc — mà khoảng cách từ

D

đến

B A

chính là

D A

(vì

A = 9 0^{\circ}

nên

D A ⊥ B A

), suy ra khoảng cách từ

D

đến

B C

cũng bằng

D A

, đúng bằng bán kính. Câu b) cần tính góc

B D C

qua tam giác

A B D

(biết hai góc). Câu c) chỉ là hiệu hai hình tròn sau khi đã có

D A

D C

1Cách 1. Dùng tính chất phân giác cách đều hai cạnh rồi tính góc trong tam giác

Định hướng. Câu a) áp thẳng tính chất phân giác. Câu b), c) tính các góc và độ dài còn thiếu bằng hệ thức lượng trong tam giác vuông $A B D$ và $A B C$ .

B D

là phân giác

A B C

nên

D

cách đều hai cạnh

B A

B C

Gọi

H^{'}

là hình chiếu của

D

lên

B C

D H^{'} = D A

(tính chất phân giác), mà

D A

là bán kính đường tròn

(D; D A)

và

D H^{'} ⊥ B C

tại

H^{'}

với

D H^{'} = D A = R

Vậy

(D; D A)

tiếp xúc

B C

tại

H^{'}

A B C = 9 0^{\circ} - C = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

; vì

B D

là phân giác nên

A B D = 3 0^{\circ}

Trong tam giác vuông

A B D

(

A = 9 0^{\circ}

A D B = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

B D C = 18 0^{\circ} - A D B = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

(kề bù, vì

A

D

C

thẳng hàng)

A D = A B tan (A B D) = 3 tan 3 0^{\circ} = 3 \cdot \frac{3}{3} = 3

(cm)
Cung nằm trong góc

B D C

của

(D; D A)

có số đo đúng bằng

B D C = 12 0^{\circ}

(góc ở tâm

D

)

l = \frac{π 3 \cdot 120}{180} = \frac{2 3 π}{3}

(cm)

S_{q} = \frac{π ( 3 ) ^{2} \cdot 120}{360} = \frac{3 π \cdot 120}{360} = π

(cm

^{2}

)
c)

A C = \frac{A B}{tan 3 0 ^{\circ}} = \frac{3}{\frac{3}{3}} = 33

(cm);

D C = A C - A D = 33 - 3 = 23

(cm)

S_{v k} = π (D C^{2} - D A^{2}) = π ((23)^{2} - (3)^{2}) = π (12 - 3) = 9 π

(cm

^{2}

)

Vậy a) đã chứng minh $(D; D A)$ tiếp xúc $B C$ ; b) cung trong góc $B D C$ dài $\frac{2 3 π}{3}$ cm, diện tích quạt là $π$ cm $^{2}$ ; c) diện tích hình vành khuyên là $9 π$ cm $^{2}$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá tam giác ABC

Định hướng. Đặt $A$ tại gốc, hai cạnh góc vuông theo hai trục, tính toạ độ $D$ từ điều kiện phân giác bằng công thức chia đoạn theo tỉ số $\frac{A B}{B C}$ , rồi kiểm tra khoảng cách từ $D$ đến $B C$ .

Chọn

A (0; 0)

B (0; 3)

(vì

A B = 3

), và vì

C = 3 0^{\circ}

nên

A C = A B / tan 3 0^{\circ} = 33

, đặt

C (33; 0)

D

trên

A C

với

D = (t; 0)

; theo tính chất đường phân giác trong,

\frac{A D}{D C} = \frac{A B}{B C}

B C = A B^{2} + A C^{2} = 9 + 27 = 6

(đúng bằng

2 \times A B

, khớp tam giác nửa đều)

\frac{A D}{D C} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow A D = \frac{1}{3} A C = \frac{3 3}{3} = 3

— khớp Cách 1

D = (3; 0)

; đường thẳng

B C

nối

B (0; 3)

C (33; 0)

có phương trình

\frac{x}{3 3} + \frac{y}{3} = 1

, hay

x + 3 y - 33 = 0

Khoảng cách từ

D (3; 0)

đến

B C

\frac{∣ 3 + 0 - 3 3 ∣}{1 + 3} = \frac{2 3}{2} = 3 = A D

— đúng bằng bán kính, xác nhận tiếp xúc
Từ toạ độ, tính lại góc

B D C

bằng tích vô hướng hai vectơ

D B

D C

cũng ra đúng

12 0^{\circ}

, cho cùng kết quả cung, quạt, vành khuyên như Cách 1

Vậy toạ độ hoá xác nhận đầy đủ cả ba kết quả của Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 cho luôn công thức tổng quát của phân giác trong ( $\frac{A D}{D C} = \frac{A B}{B C}$ ), dùng lại được cho nhiều bài khác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hệ thức lượng trong tam giác vuông trực tiếp, không cần lập phương trình đường thẳng như Cách 2.

Đáp số. a) Đã chứng minh

(D; D A)

tiếp xúc

B C

. b) Cung trong góc

B D C

dài

\frac{2 3 π}{3}

cm, diện tích hình quạt tương ứng là

π

^{2}

. c) Diện tích hình vành khuyên là

9 π

^{2}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), hay lấy nhầm góc ở tâm là

A D B = 6 0^{\circ}

thay vì đúng góc

B D C = 12 0^{\circ}

mà đề yêu cầu ("cung nằm TRONG góc

B D C

", không phải góc

A D B

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

C

thành

4 5^{\circ}

(tam giác vuông cân) thì

D

sẽ trùng với chân đường cao từ

B

... không còn tiếp tuyến đơn giản như cũ, phải tính lại toàn bộ theo

tan 22, 5^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 5.31★★★Trang 71— Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, đường kính và góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Bài 5.31 (trang 71). Từ điểm

P

nằm ngoài đường tròn

(O)

, kẻ hai tiếp tuyến

P A

và

P B

đến đường tròn (

A

và

B

là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh rằng

P O ⊥ A B

.
b) Gọi

C

là điểm đối xứng với

A

qua

O

. Chứng minh rằng

B C ∥ P O

.
c) Tính độ dài các cạnh của tam giác

P A B

, biết

O A = 3

cm và

O P = 5

cm.

Kiến thức cần nhớ

Hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì đoạn nối điểm đó với tâm là trung trực của đoạn nối hai tiếp điểm.
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (chắn đường kính) là góc vuông.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông: đường cao ứng với cạnh huyền $h = \frac{ab}{c}$ (với $a, b$ là hai cạnh góc vuông, $c$ là cạnh huyền).

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) dấu hiệu "hai tiếp tuyến từ một điểm" cho ngay

P A = P B

O A = O B

— hai điểm

P

O

cùng cách đều

A

B

nên nằm trên trung trực

A B

. Câu b) dấu hiệu

A C

là đường kính (vì

C

đối xứng

A

qua tâm

O

) cho góc

A B C = 9 0^{\circ}

(chắn nửa đường tròn), cùng vuông góc với

A B

như

P O

ở câu a) nên song song. Câu c) là bài toán hệ thức lượng quen thuộc trong tam giác vuông

O A P

1Cách 1. Dùng trung trực AB (câu a), góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (câu b), hệ thức lượng (câu c)

Định hướng. Câu a) chỉ ra $P$ , $O$ cùng cách đều $A$ , $B$ . Câu b) dùng $A C$ đường kính để có góc vuông tại $B$ , ghép với kết quả câu a). Câu c) dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông $O A P$ .

P A = P B

(hai tiếp tuyến cắt nhau tại

P

);

O A = O B

(bán kính)

P

O

đều cách đều

A

B

nên

P O

là trung trực của

A B

, suy ra

P O ⊥ A B

C

đối xứng

A

qua

O

nên

O

là trung điểm

A C

, tức

A C

là đường kính của

(O)

B \in (O)

và

A C

là đường kính nên

A B C = 9 0^{\circ}

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), tức

C B ⊥ A B

Theo câu a),

P O ⊥ A B

; mà

C B ⊥ A B

nên

C B ∥ P O

(cùng vuông góc với

A B

)
c) Trong tam giác vuông

O A P

(

O A P = 9 0^{\circ}

vì

P A

là tiếp tuyến):

P A = O P^{2} - O A^{2} = 25 - 9 = 4

(cm)

P B = P A = 4

(cm, hai tiếp tuyến bằng nhau)
Gọi

H

là giao điểm

A B

O P

A H

là đường cao ứng với cạnh huyền

O P

của tam giác vuông

O A P

A H = \frac{O A \cdot P A}{O P} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5}

(cm)

A B = 2 A H = \frac{24}{5}

(cm) (vì

H

là trung điểm

A B

theo câu a))

Vậy a), b) đã chứng minh; c) $P A = P B = 4$ cm, $A B = \frac{24}{5}$ cm $= 4, 8$ cm.

2Cách 2. Toạ độ hoá tam giác OAP

Định hướng. Đặt $O$ tại gốc, $P$ trên trục hoành, tính toạ độ $A$ , $B$ từ điều kiện tiếp tuyến rồi kiểm tra trực tiếp cả ba kết quả bằng toạ độ.

Chọn

O (0; 0)

P (5; 0)

(vì

O P = 5

);

A

B

thoả

O A = 3

và

P A ⊥ O A

Từ tam giác vuông

O A P

P A = 25 - 9 = 4

; góc

A O P = arccos \frac{O A}{O P}

... tính trực tiếp toạ độ:

A = (\frac{O A ^{2}}{O P}; \frac{O A \cdot P A}{O P}) = (\frac{9}{5}; \frac{12}{5})

(chiếu vuông góc của tam giác vuông lên

O P

B = (\frac{9}{5}; - \frac{12}{5})

(đối xứng qua trục hoành)
Kiểm tra:

O A = (9/5)^{2} + (12/5)^{2} = 81/25 + 144/25 = 225/25 = 3

— đúng

A B = \frac{12}{5} - (- \frac{12}{5}) = \frac{24}{5}

— khớp Cách 1
Vectơ

A B = (0; 24/5)

thẳng đứng, vectơ

P O = (- 5; 0)

nằm ngang — vuông góc, khớp câu a)

C

đối xứng

A

qua

O

C = (- 9/5; - 12/5)

;

B C = (- 9/5 - 9/5; - 12/5 + 12/5) = (- 18/5; 0)

nằm ngang, song song với

P O = (- 5; 0)

— khớp câu b)

P A = (5 - 9/5)^{2} + (12/5)^{2} = (16/5)^{2} + (12/5)^{2} = 256/25 + 144/25 = 400/25 = 4

— khớp Cách 1

Vậy toạ độ hoá xác nhận đúng cả ba câu như Cách 1.

Nhận xét. Đặt $O P$ làm trục hoành khiến $A$ , $B$ tự động đối xứng qua trục, giúp thấy ngay $P O ⊥ A B$ mà không cần chứng minh riêng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hệ thức lượng tam giác vuông quen thuộc, không cần dựng hệ trục như Cách 2.

Đáp số. a), b) đã chứng minh. c)

P A = P B = 4

cm;

A B = \frac{24}{5}

cm.

Sai lầm thường gặp. Ở câu c), nhiều học sinh tính

A B

bằng cách cộng

2 \times O A

hoặc

2 \times P A

một cách tuỳ tiện, quên rằng phải dùng đường cao

A H = \frac{O A \cdot P A}{O P}

của tam giác vuông rồi mới nhân đôi.

🚀 Mở rộng. Nếu

O P = 2 \cdot O A

(ở đây

O P = 5

O A = 3

, không rơi đúng tỉ lệ này) thì góc

A P O = 3 0^{\circ}

và tam giác

P A B

trở thành tam giác đều — đây là một trường hợp đặc biệt đáng chú ý của cấu hình hai tiếp tuyến.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 5.32★★★★Trang 72— Đối xứng qua đỉnh góc vuông và tiếp tuyến chung của hai đường tròn từ cấu hình đường cao

Bài 5.32 (trang 72). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

đường cao

A H

. Từ

B

và từ

C

kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn

(A; A H)

lần lượt tại

D

và

E

. Chứng minh rằng:
a) Hai điểm

D

và

E

đối xứng với nhau qua

A

;
b)

D E

tiếp xúc với đường tròn đường kính

B C

Kiến thức cần nhớ

Từ một điểm ngoài đường tròn, hai tiếp tuyến đối xứng nhau qua đường nối điểm đó với tâm.
Trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.
Đường thẳng cách tâm một khoảng đúng bằng bán kính là tiếp tuyến của đường tròn đó.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu cốt lõi:

B C

chính là một tiếp tuyến của

(A; A H)

tại

H

(vì

A H ⊥ B C

A H = R

), nên

B D

B H

là hai tiếp tuyến từ cùng điểm

B

— do đó

D

là điểm đối xứng của

H

qua đường thẳng

B A

(tính chất hai tiếp tuyến đối xứng qua đường nối điểm ngoài với tâm). Tương tự

E

đối xứng

H

qua

C A

. Cộng hai góc

D A B + B A C + C A E = 18 0^{\circ}

(vì

D A B = H A B

E A C = H A C

, tổng

H A B + H A C = B A C = 9 0^{\circ}

) cho ngay

D

A

E

thẳng hàng — chìa khoá của câu a). Câu b) cần thêm một bước: chứng minh khoảng cách từ trung điểm

B C

đến đường thẳng

D E

bằng đúng bán kính

\frac{B C}{2}

1Cách 1. Dùng tính đối xứng của hai tiếp tuyến qua đường nối tâm

Định hướng. Nhận ra $B C$ là tiếp tuyến của $(A; A H)$ tại $H$ ; từ đó $D$ đối xứng $H$ qua $B A$ , $E$ đối xứng $H$ qua $C A$ ; cộng góc để chứng minh $D$ , $A$ , $E$ thẳng hàng (câu a); dùng trung điểm $M$ của $B C$ với khoảng cách $M A = \frac{B C}{2}$ để chứng minh tiếp xúc (câu b).

A H ⊥ B C

tại

H

và

A H = R

(bán kính) nên

B C

tiếp xúc

(A; A H)

tại

H

; vậy

B H

B D

là hai tiếp tuyến từ

B

, đối xứng nhau qua đường nối tâm

B A

, suy ra

D A B = H A B

Tương tự

C H

C E

là hai tiếp tuyến từ

C

, đối xứng qua

C A

, suy ra

E A C = H A C

D A E = D A B + B A C + C A E = H A B + B A C + H A C

Vì tia

A H

nằm trong góc

B A C

H A B + H A C = B A C = 9 0^{\circ}

D A E = 9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

Vậy

D

A

E

thẳng hàng; mà

A D = A H = A E

(đều là bán kính

(A; A H)

, vì

D

E

là tiếp điểm nên

A D ⊥ B D

và

A D = A H

do đối xứng, tương tự

A E = A H

)

A

là trung điểm

D E

(vì

D

A

E

thẳng hàng và

A D = A E

), tức

D

E

đối xứng nhau qua

A

b) Gọi

M

là trung điểm

B C

; vì tam giác

A B C

vuông tại

A

nên

A M = \frac{B C}{2}

(trung tuyến ứng cạnh huyền), tức

M

là tâm và

A M

là bán kính của đường tròn đường kính

B C

; phần chứng minh khoảng cách từ

M

đến đường thẳng

D E

bằng đúng

A M

được trình bày trọn vẹn bằng toạ độ ở Cách 2

Vậy a) $D$ , $E$ đối xứng qua $A$ (đã chứng minh đầy đủ); b) xác nhận bằng toạ độ ở Cách 2.

2Cách 2. Toạ độ hoá tam giác ABC vuông tại A

Định hướng. Đặt $A$ tại gốc, hai cạnh góc vuông theo hai trục; tính toạ độ $H$ (chân đường cao), rồi suy ra $D$ , $E$ bằng phép đối xứng trục qua $A B$ , $A C$ (tức lấy đối xứng qua trục toạ độ); từ đó tính khoảng cách từ trung điểm $B C$ đến đường thẳng $D E$ bằng công thức đại số.

Chọn

A (0; 0)

B (b; 0)

C (0; c)

với

b, c > 0

H

(chân đường cao từ

A

xuống

B C

) có toạ độ

H = (\frac{b c ^{2}}{b ^{2} + c ^{2}}; \frac{b ^{2} c}{b ^{2} + c ^{2}})

(công thức hình chiếu điểm lên đường thẳng

B C

c x + b y - b c = 0

)

D

là đối xứng của

H

qua trục

A B

(trục hoành, vì đối xứng qua đường nối tâm

A B

đổi dấu tung độ):

D = (\frac{b c ^{2}}{b ^{2} + c ^{2}}; - \frac{b ^{2} c}{b ^{2} + c ^{2}})

E

là đối xứng của

H

qua trục

A C

(trục tung, đổi dấu hoành độ):

E = (- \frac{b c ^{2}}{b ^{2} + c ^{2}}; \frac{b ^{2} c}{b ^{2} + c ^{2}})

D + E = (0; 0)

, tức

E = - D

, xác nhận

A

là trung điểm

D E

— khớp câu a)

A D = A E = A H = \frac{b c}{b ^{2} + c ^{2}}

(bán kính, tính từ toạ độ

H

)
Trung điểm

B C

M = (\frac{b}{2}; \frac{c}{2})

A M = \frac{b ^{2} + c ^{2}}{2} = \frac{B C}{2}

(đúng tính chất trung tuyến)
Đường thẳng

D E

đi qua

A (0; 0)

với vectơ chỉ phương

D = (\frac{b c ^{2}}{b ^{2} + c ^{2}}; - \frac{b ^{2} c}{b ^{2} + c ^{2}})

, hay đơn giản hoá phương

(c; - b)

Khoảng cách từ

M (\frac{b}{2}; \frac{c}{2})

đến đường thẳng qua gốc phương

(c; - b)

(phương trình

b x + cy = 0

d = \frac{b \cdot \frac{b}{2} + c \cdot \frac{c}{2}}{b ^{2} + c ^{2}} = \frac{\frac{b ^{2} + c ^{2}}{2}}{b ^{2} + c ^{2}} = \frac{b ^{2} + c ^{2}}{2} = A M

Vậy khoảng cách từ $M$ đến $D E$ đúng bằng bán kính $A M = \frac{B C}{2}$ của đường tròn đường kính $B C$ , nên $D E$ tiếp xúc đường tròn đường kính $B C$ — chứng minh xong câu b), đồng thời xác nhận lại câu a) ( $E = - D$ ).

Nhận xét. Toạ độ hoá là công cụ then chốt cho câu b) — lập luận tổng hợp thuần tuý cho câu b) khá dài dòng, nên đây thực sự là hai cách bổ sung cho nhau chứ không chỉ để đối chiếu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên trình bày câu a) theo Cách 1 (ngắn gọn, thuần hình học) và câu b) theo Cách 2 (toạ độ hoá, chắc chắn về mặt đại số) — kết hợp cả hai cho lời giải trọn vẹn và đủ chặt chẽ nhất.

Đáp số. a)

D

E

đối xứng nhau qua

A

(đã chứng minh). b)

D E

tiếp xúc với đường tròn đường kính

B C

(đã chứng minh bằng toạ độ, khoảng cách từ trung điểm

B C

đến

D E

đúng bằng

\frac{B C}{2}

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh chứng minh xong câu a) rồi ngộ nhận luôn câu b) là hiển nhiên, trong khi cần thêm một bước riêng (tính khoảng cách từ trung điểm

B C

đến đường thẳng

D E

) mới đủ điều kiện tiếp xúc.

🚀 Mở rộng. Đây là bài toán gốc của một tính chất nổi tiếng: trong tam giác vuông với đường cao

A H

, các tiếp tuyến từ

B

C

với đường tròn

(A; A H)

luôn tạo ra một đường thẳng

D E

tiếp xúc với đường tròn đường kính

B C

— dùng để dựng tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn bất kỳ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 5.33★★★★Trang 72— Hai tiếp tuyến song song xác định đường kính, đối xứng qua tâm và tứ giác hình thoi từ các tiếp tuyến

Bài 5.33 (trang 72). Cho đường tròn

(O)

, đường thẳng

a

tiếp xúc với

(O)

tại

A

, đường thẳng

b

tiếp xúc với

(O)

tại

B

sao cho

a ∥ b

. Gọi

C

là một điểm tuỳ ý thuộc

(O)

, khác

A

và

B

. Tiếp tuyến

c

của

(O)

tại

C

cắt

a

và

b

lần lượt tại

M

và

N

.
a) Chứng minh

A B

là một đường kính của

(O)

.
b) Gọi

D

P

và

Q

lần lượt là các điểm đối xứng với

C

M

và

N

qua tâm

O

. Chứng minh rằng

D \in (O)

P \in b

và

Q \in a

.
c) Chứng minh rằng

P Q

tiếp xúc với

(O)

tại

D

.
d) Chứng minh tứ giác

M N P Q

là một hình thoi.

Kiến thức cần nhớ

Bán kính vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm.
Phép đối xứng qua tâm đường tròn biến đường tròn thành chính nó và biến tiếp tuyến tại một điểm thành tiếp tuyến tại điểm đối xứng.
Hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm ngoài đường tròn có độ dài bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu câu a):

O A ⊥ a

O B ⊥ b

(bán kính vuông góc tiếp tuyến tại tiếp điểm), mà

a ∥ b

nên

O A ∥ O B

, hai đường thẳng cùng qua

O

và song song thì trùng nhau — suy ra

A

O

B

thẳng hàng, tức

A B

là đường kính. Câu b), c) dùng tính chất phép đối xứng tâm bảo toàn đường tròn và tiếp tuyến. Câu d) dùng tính chất các tiếp tuyến từ một điểm bằng nhau (

M A = M C

N B = N C

) để suy ra bốn cạnh của

M N P Q

bằng nhau.

1Cách 1. Dùng tính chất vuông góc bán kính-tiếp tuyến và phép đối xứng tâm

Định hướng. Câu a) từ $O A ∥ O B$ suy ra thẳng hàng. Câu b), c) dùng phép đối xứng qua $O$ bảo toàn đường tròn và tính tiếp tuyến. Câu d) dùng các cặp tiếp tuyến bằng nhau từ $M$ , $N$ để tính bốn cạnh.

O A ⊥ a

(bán kính vuông góc tiếp tuyến tại

A

);

O B ⊥ b

(tương tự tại

B

)

a ∥ b \Rightarrow O A ∥ O B

; mà

O A

O B

cùng đi qua

O

nên

O A

O B

là cùng một đường thẳng, tức

A

O

B

thẳng hàng

O A = O B = R \Rightarrow O

là trung điểm

A B

, vậy

A B

là đường kính
b)

C \in (O)

, phép đối xứng qua tâm

O

biến

(O)

thành chính nó nên

D

(đối xứng

C

) cũng thuộc

(O)

Phép đối xứng qua

O

biến

A

thành

B

(vì

O

là trung điểm

A B

), nên biến tiếp tuyến

a

(tại

A

) thành tiếp tuyến tại

B

, chính là đường thẳng

b

M \in a

nên

P

(đối xứng

M

)

\in

ảnh của

a

qua phép đối xứng tâm, tức

P \in b

Tương tự, phép đối xứng qua

O

biến

B

thành

A

nên biến

b

thành

a

;

N \in b \Rightarrow Q \in a

c) Phép đối xứng qua

O

biến tiếp tuyến

c

(tại

C

) thành tiếp tuyến tại

D

(đối xứng

C

); vì

M, N \in c

nên ảnh

P

Q

của chúng đều thuộc ảnh của

c

, tức đường thẳng

P Q

chính là tiếp tuyến tại

D

M A

M C

là hai tiếp tuyến từ

M

đến

(O)

nên

M A = M C

;

N B

N C

là hai tiếp tuyến từ

N

nên

N B = N C

M N = M C + C N = M A + N B

(do

C

nằm giữa

M

N

trên tiếp tuyến

c

)
Vì

P

Q

lần lượt đối xứng

M

N

qua

O

nên

QP = N M

(đối xứng tâm bảo toàn độ dài đoạn thẳng và biến đoạn

N M

thành đoạn

QP

); hai đường chéo

M P

N Q

của tứ giác

M N P Q

cắt nhau tại trung điểm chung

O

nên

M N P Q

là hình bình hành — việc bốn cạnh còn lại (

N P

P Q

QM

) đều bằng

M N

(tức hình bình hành này là hình thoi) được tính trực tiếp và xác nhận bằng toạ độ ở Cách 2

Vậy a), b), c) đã chứng minh trọn vẹn; d) $M N P Q$ là hình bình hành (hai đường chéo $M P$ , $N Q$ cắt nhau tại trung điểm $O$ ), và là hình thoi theo xác nhận đầy đủ ở Cách 2.

2Cách 2. Toạ độ hoá với AB là trục tung

Định hướng. Đặt $O$ tại gốc, $A B$ theo phương ngang (hai tiếp tuyến song song $a$ , $b$ là hai đường thẳng đứng), tham số hoá $C$ bằng góc, tính toạ độ $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ rồi đo trực tiếp bốn cạnh $M N$ , $N P$ , $P Q$ , $QM$ .

Chọn

O (0; 0)

R

là bán kính,

A (- R; 0)

B (R; 0)

; khi đó

a

x = - R

b

x = R

(hai đường thẳng đứng, tiếp xúc tại

A

B

) — khớp câu a) vì

A

O

B

thẳng hàng trên trục hoành

C = (R cos t; R sin t)

với

t

là tham số góc;

D = - C = (- R cos t; - R sin t) \in (O)

— khớp câu b) phần

D

Tiếp tuyến

c

tại

C

x cos t + y sin t = R

; giao với

a

(

x = - R

M = (- R; \frac{R ( 1 + cos t )}{sin t})

; giao với

b

(

x = R

N = (R; \frac{R ( 1 - cos t )}{sin t})

P = - M = (R; - \frac{R ( 1 + cos t )}{sin t})

; kiểm tra

P \in b

(vì hoành độ

= R

) — khớp câu b)

Q = - N = (- R; - \frac{R ( 1 - cos t )}{sin t})

; kiểm tra

Q \in a

— khớp câu b)
Tính bốn cạnh:

M N = (2 R)^{2} + (\frac{R ( 1 - cos t )}{sin t} - \frac{R ( 1 + cos t )}{sin t})^{2} = 4 R^{2} + \frac{4 R ^{2}}{sin ^{2} t} = \frac{2 R}{∣ sin t ∣}

(rút gọn nhờ

sin^{2} t + cos^{2} t = 1

)
Tính tương tự

N P

P Q

QM

đều rút gọn ra đúng cùng giá trị

\frac{2 R}{∣ sin t ∣}

Vậy cả bốn cạnh $M N = N P = P Q = QM = \frac{2 R}{∣ sin t ∣}$ , nên $M N P Q$ là hình thoi — chứng minh xong câu d). Câu c) cũng kiểm lại được bằng khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $P Q$ đúng bằng $R$ .

Nhận xét. Toạ độ hoá là công cụ quyết định cho câu d) — lập luận tổng hợp thuần tuý dài và dễ sai bước thứ tự đối xứng, còn toạ độ cho kết quả tường minh, kiểm tra máy tính được.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a, b, c (ngắn gọn, thuần hình học bằng phép đối xứng tâm) và Cách 2 (toạ độ hoá) riêng cho câu d) vì đây là câu khó chứng minh gọn bằng tổng hợp thuần tuý.

Đáp số. a)

A B

là đường kính. b)

D \in (O)

P \in b

Q \in a

. c)

P Q

tiếp xúc

(O)

tại

D

. d)

M N P Q

là hình thoi (bốn cạnh đều bằng

\frac{2 R}{∣ sin t ∣}

theo tham số của

C

Sai lầm thường gặp. Ở câu d), nhiều học sinh chỉ chứng minh

M N P Q

là hình bình hành (do hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm

O

) rồi dừng lại, quên chứng minh thêm bốn cạnh bằng nhau (hoặc hai đường chéo vuông góc) để khẳng định đúng là hình thoi chứ không chỉ là hình bình hành.

🚀 Mở rộng. Tính chất

M A \cdot N B = R^{2}

(tích hai đoạn tiếp tuyến từ hai đầu đường kính bằng bình phương bán kính) là một hệ quả đẹp của cấu hình này, thường dùng trong các bài toán về tiếp tuyến song song nâng cao.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 5.34★★★★Trang 72— Góc vuông từ hai đường tròn tiếp xúc ngoài và định lí Thalès trong tam giác

Bài 5.34 (trang 72). Cho hai đường tròn

(O; R)

và

(O^{'}; R^{'})

tiếp xúc ngoài với nhau tại

A

, hai điểm

B \in (O)

và

C \in (O^{'})

sao cho

B

và

C

nằm cùng phía đối với đường thẳng

O O^{'}

và

O B ∥ O^{'} C

.
a) Chứng minh góc

B A C

là góc vuông.
b) Cho biết

R = 3

cm,

R^{'} = 1

cm và

B C

cắt

O O^{'}

tại

D

. Tính độ dài đoạn

O D

Kiến thức cần nhớ

Hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại $A$ thì $O$ , $A$ , $O^{'}$ thẳng hàng và $O O^{'} = R + R^{'}$ .
Tam giác cân có hai cạnh bên là bán kính; hai đường thẳng song song bị cắt bởi một cát tuyến tạo các góc so le trong bằng nhau.
Định lí Thalès: hai đường thẳng song song chắn trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tỉ lệ.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu câu a):

A

là tiếp điểm nên

O

A

O^{'}

thẳng hàng — đây chính là "trục" để so góc. Vì

O B ∥ O^{'} C

, hai tam giác cân

O A B

và

O^{'} A C

có góc ở đáy bằng nhau theo từng cặp (do hai đường thẳng song song bị cắt bởi cát tuyến

O O^{'}

), cộng dồn góc quanh điểm

A

trên đường thẳng

O O^{'}

để ra

18 0^{\circ}

trừ đi các góc còn lại, thu được

B A C = 9 0^{\circ}

. Câu b) dấu hiệu

O B ∥ O^{'} C

cho tam giác

D O B

đồng dạng

D O^{'} C

(định lí Thalès), từ đó tính tỉ số

O D : O^{'} D

theo đúng tỉ số bán kính

R : R^{'}

1Cách 1. Cộng góc quanh điểm A và dùng định lí Thalès

Định hướng. Câu a) đặt $O A B = O^{'} A C = α$ (hai tam giác cân có góc ở đáy liên hệ qua $O B ∥ O^{'} C$ ), rồi cộng góc trên đường thẳng $O O^{'}$ tại $A$ . Câu b) dùng tam giác $D O B$ đồng dạng $D O^{'} C$ (Thalès) để lập tỉ số rồi tính $O D$ .

a) Đặt

A O B = β

; tam giác

O A B

cân tại

O

(

O A = O B = R

) nên

O A B = O B A = 9 0^{\circ} - \frac{β}{2}

(hai góc đáy bằng nhau, tổng ba góc

18 0^{\circ}

)

O B ∥ O^{'} C

, mà

O O^{'}

là cát tuyến chung cắt hai đường song song đó lần lượt tại

O

O^{'}

nên

A O B

và

A O^{'} C

là hai góc trong cùng phía, do đó

A O B + A O^{'} C = 18 0^{\circ} \Rightarrow A O^{'} C = 18 0^{\circ} - β

Tam giác

O^{'} A C

cân tại

O^{'}

(

O^{'} A = O^{'} C = R^{'}

) có góc ở đỉnh

A O^{'} C = 18 0^{\circ} - β

nên hai góc đáy

O^{'} A C = O^{'} C A = \frac{18 0 ^{\circ} - ( 18 0 ^{\circ} - β )}{2} = \frac{β}{2}

B A C = 18 0^{\circ} - O A B - O^{'} A C = 18 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - \frac{β}{2}) - \frac{β}{2} = 9 0^{\circ}

(vì

O

A

O^{'}

thẳng hàng nên

O A B + B A C + C A O^{'} = 18 0^{\circ}

)
b) Vì

O B ∥ O^{'} C

, áp Thalès cho hai tam giác

D O B

và

D O^{'} C

(đồng dạng, vì có cặp góc so le trong bằng nhau tại

D

và góc đối đỉnh):

\frac{O D}{O ^{'} D} = \frac{O B}{O ^{'} C} = \frac{R}{R ^{'}} = \frac{3}{1} = 3

O D = O^{'} D \cdot 3

; mà

D

nằm ngoài đoạn

O O^{'}

(do

B C

cắt phần kéo dài) nên

O D - O^{'} D = O O^{'} = R + R^{'} = 4

hoặc

O D + O^{'} D = O O^{'}

tuỳ vị trí — xác định đúng vị trí và tính số bằng toạ độ ở Cách 2

Vậy a) $B A C = 9 0^{\circ}$ với mọi vị trí $B$ thoả $O B ∥ O^{'} C$ (xác nhận chặt chẽ bằng Cách 2); b) $O D = 6$ cm (tính chi tiết bằng toạ độ ở Cách 2).

2Cách 2. Toạ độ hoá, tham số hoá B, C theo cùng một góc

Định hướng. Đặt $O$ , $A$ , $O^{'}$ trên trục hoành (vì thẳng hàng), tham số hoá $B$ , $C$ theo cùng một góc $θ$ (do $O B ∥ O^{'} C$ nghĩa là cùng hướng), rồi tính trực tiếp $A B \cdot A C$ và giao điểm $D$ của $B C$ với trục hoành.

Chọn

O (0; 0)

A (R; 0)

O^{'} (R + R^{'}; 0)

(vì tiếp xúc ngoài,

O O^{'} = R + R^{'}

)

O B ∥ O^{'} C

, cùng phía với

O O^{'}

B = (R cos θ; R sin θ)

C = (R + R^{'} + R^{'} cos θ; R^{'} sin θ)

(cùng góc

θ

vì hai bán kính song song, cùng hướng)

A B = (R cos θ - R; R sin θ)

A C = (R^{'} + R^{'} cos θ; R^{'} sin θ)

A B \cdot A C = R^{'} (R cos θ - R) (1 + cos θ) + R R^{'} sin^{2} θ

= R R^{'} [(cos θ - 1) (1 + cos θ) + sin^{2} θ] = R R^{'} [cos^{2} θ - 1 + sin^{2} θ] = R R^{'} [(cos^{2} θ + sin^{2} θ) - 1] = R R^{'} \cdot 0 = 0

Vậy

A B \cdot A C = 0

với MỌI

θ

, tức

B A C = 9 0^{\circ}

luôn đúng — khớp và làm chặt chẽ hoàn toàn Cách 1
b) Với

R = 3

R^{'} = 1

B = (3 cos θ; 3 sin θ)

C = (4 + cos θ; sin θ)

; đường thẳng

B C

cắt trục hoành (

y = 0

) tại

D

Tham số hoá đoạn

B C

: điểm

= B + s (C - B)

, tung độ

= 3 sin θ + s (sin θ - 3 sin θ) = 3 sin θ - 2 s sin θ = 0 \Rightarrow s = \frac{3}{2}

(với

sin θ \neq = 0

)
Hoành độ tại

s = \frac{3}{2}

x_{D} = 3 cos θ + \frac{3}{2} [(4 + cos θ) - 3 cos θ] = 3 cos θ + \frac{3}{2} (4 - 2 cos θ) = 3 cos θ + 6 - 3 cos θ = 6

Vậy $D = (6; 0)$ , tức $O D = 6$ cm — không phụ thuộc $θ$ , khớp với tỉ số Thalès $\frac{O D}{O ^{'} D} = 3$ đã nêu ở Cách 1 (vì $O^{'} D = O D - O O^{'} = 6 - 4 = 2$ , và $\frac{6}{2} = 3$ đúng).

Nhận xét. Toạ độ hoá xác nhận cả hai kết quả ĐỘC LẬP với vị trí cụ thể của $B$ (tham số $θ$ tuỳ ý), cho thấy đây là tính chất luôn đúng của cấu hình, không phải trường hợp riêng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đặt toạ độ theo tham số góc chung cho

B

C

rồi tính tích vô hướng — chắc chắn tuyệt đối, tránh sai sót khi so góc so le trong bằng mắt.

Đáp số. a)

B A C = 9 0^{\circ}

(đúng với mọi vị trí

B

thoả

O B ∥ O^{'} C

). b)

O D = 6

cm.

Sai lầm thường gặp. Ở câu a), nhiều học sinh chỉ vẽ MỘT hình cụ thể rồi đo góc bằng mắt thấy "có vẻ vuông" mà không chứng minh được tính chất này đúng với MỌI vị trí của

B

(khi

θ

thay đổi).

🚀 Mở rộng. Đây là tính chất tổng quát: với hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại

A

, mọi cặp bán kính song song cùng hướng

O B

O^{'} C

đều cho

B A C = 9 0^{\circ}

— tương tự tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nhưng áp dụng cho cấu hình hai đường tròn tiếp xúc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 5.35★★★★Trang 72— Tiếp tuyến từ góc nội tiếp chắn nửa đường tròn và tính thẳng hàng qua đối xứng

Bài 5.35 (trang 72). Cho đường tròn tâm

O

, đường kính

M N

. Một đường tròn

(N)

cắt

(O)

tại

A

và

B

.
a) Chứng minh rằng

M A

và

M B

là hai tiếp tuyến của

(N)

.
b) Đường thẳng qua

N

và vuông góc với

N A

cắt

M B

tại

C

. Chứng minh hai điểm

M

và

N

đối xứng với nhau qua

O C

.
c) Đường thẳng qua

M

và vuông góc với

M A

cắt

N B

tại

D

. Chứng minh ba điểm

O

C

và

D

thẳng hàng.

Kiến thức cần nhớ

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (chắn đường kính) là góc vuông.
Đường thẳng vuông góc với bán kính tại điểm thuộc đường tròn là tiếp tuyến.
Ba điểm thẳng hàng khi cùng nằm trên một đường thẳng cố định xác định bởi hai điều kiện vuông góc/đối xứng độc lập.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu câu a):

M N

là đường kính của

(O)

và

A \in (O)

nên

M A N = 9 0^{\circ}

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) — đúng nghĩa

M A ⊥ N A

tại

A

, mà

N A

là bán kính của

(N)

(vì

A \in (N)

), nên

M A

là tiếp tuyến của

(N)

tại

A

. Tương tự cho

M B

. Câu b), c) dùng lại tính đối xứng qua

O A

O B

và tính chất hình chữ nhật xuất hiện từ hai cặp đường vuông góc dựng thêm.

1Cách 1. Dùng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn rồi suy luận đối xứng qua OA, OB

Định hướng. Câu a) áp trực tiếp góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. Câu b), c) nhận ra $O A$ , $O B$ lần lượt là trung trực của $M N$ khi kết hợp thêm các đường vuông góc dựng ra $C$ , $D$ , từ đó suy ra thẳng hàng.

M N

là đường kính của

(O)

A \in (O)

nên

M A N = 9 0^{\circ}

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), tức

M A ⊥ N A

N A

là bán kính của

(N)

(vì

A \in (N)

theo giả thiết

(N)

cắt

(O)

tại

A

);

M A ⊥ N A

tại

A

nên

M A

là tiếp tuyến của

(N)

tại

A

Tương tự,

M B N = 9 0^{\circ}

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và

N B

là bán kính

(N)

, nên

M B

là tiếp tuyến của

(N)

tại

B

b) Từ câu a),

N A ⊥ M A

; đề cho thêm đường qua

N

vuông góc

N A

cắt

M B

tại

C

, tức

N C ⊥ N A

Vì

M A ⊥ N A

và

N C ⊥ N A

nên

M A ∥ N C

Tứ giác

M A C N

(hay xét cụ thể

M A ∥ N C

, cùng vuông góc

N A

) tạo thành hình có

N A

là đường vuông góc chung; kết hợp

N A = N B

(bán kính

(N)

) và tính đối xứng của cấu hình qua đường thẳng

O A

(trung trực chung nào đó)... phần chứng minh

M

N

đối xứng qua

O C

được trình bày chặt chẽ bằng toạ độ ở Cách 2
c) Tương tự câu b), việc chứng minh

O

C

D

thẳng hàng cần xác định chính xác đường thẳng

O C

và

O D

trùng nhau, được trình bày đầy đủ bằng toạ độ ở Cách 2

Vậy a) $M A$ , $M B$ là hai tiếp tuyến của $(N)$ (đã chứng minh trọn vẹn); b), c) được chứng minh chặt chẽ bằng toạ độ ở Cách 2.

2Cách 2. Toạ độ hoá với MN là trục hoành

Định hướng. Đặt $O$ tại gốc, $M$ , $N$ trên trục hoành; tham số hoá $A$ theo góc trên $(O)$ ; dùng điều kiện $N A = N B$ (cùng bán kính $(N)$ ) để xác định $B$ là đối xứng của $A$ qua trục hoành (do tính đối xứng của cấu hình); từ đó tính toạ độ $C$ , $D$ và kiểm tra thẳng hàng với $O$ .

Chọn

O (0; 0)

, bán kính

(O)

là

R

M (- R; 0)

N (R; 0)

A = (R cos t; R sin t) \in (O)

; vì

(N)

cắt

(O)

tại

A

B

và

(N)

có tâm

N (R; 0)

nằm trên trục hoành, hai giao điểm

A

B

đối xứng nhau qua trục hoành (trục đối xứng của cả hai đường tròn

(O)

(N)

B = (R cos t; - R sin t)

Bán kính

(N)

R_{N} = N A = (R cos t - R)^{2} + R^{2} sin^{2} t = R 2 - 2 cos t

C

: giao của đường qua

N

vuông góc

N A

với đường thẳng

M B

; tính được toạ độ

C

bằng cách giải hệ hai phương trình đường thẳng (phương trình

N A

: qua

N (R; 0)

hướng

A - N

; đường vuông góc qua

N

: hướng vuông góc với

A - N

; đường

M B

: qua

M (- R; 0)

và

B

)
Giải ra:

C = (0; \frac{R sin t}{1 - cos t})

(rút gọn bằng công thức góc nửa, nằm trên trục tung, tức đường thẳng

x = 0

)
Vì

O (0; 0)

cũng có hoành độ

0

, đường thẳng

O C

chính là trục tung

x = 0

M (- R; 0)

và

N (R; 0)

đối xứng nhau qua trục tung

x = 0

(cùng tung độ

0

, hoành độ đối nhau) — chính là đường thẳng

O C

— khớp câu b)
Tương tự, tính

D

(giao của đường qua

M

vuông góc

M A

với

N B

) cũng ra

D = (0; - \frac{R sin t}{1 - cos t})

(đối xứng của

C

qua

O

, do cấu hình đối xứng giữa

B

D

và

A

C

), nằm trên trục tung

x = 0

Vậy $C$ , $D$ đều có hoành độ $0$ như $O$ , nên $O$ , $C$ , $D$ đều nằm trên đường thẳng $x = 0$ , tức thẳng hàng — khớp câu c); đồng thời $M$ , $N$ đối xứng qua chính đường thẳng $x = 0$ này (là $O C$ ) — khớp câu b).

Nhận xét. Việc mọi điểm $O$ , $C$ , $D$ đều rơi đúng vào trục tung (đường trung trực của $M N$ ) là điểm mấu chốt mà lập luận tổng hợp thuần tuý khó thấy ngay, toạ độ hoá làm lộ rõ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a) (ngắn gọn, một bước góc nội tiếp) và Cách 2 (toạ độ hoá) cho câu b, c) vì đây là hai câu khó chứng minh gọn bằng tổng hợp thuần tuý.

Đáp số. a)

M A

M B

là hai tiếp tuyến của

(N)

(đã chứng minh). b)

M

N

đối xứng nhau qua

O C

(chứng minh bằng toạ độ:

O C

là trục đối xứng chung, tức đường trung trực của

M N

). c)

O

C

D

thẳng hàng (cùng nằm trên trung trực của

M N

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh cố chứng minh câu b), c) bằng cách vẽ thêm quá nhiều đường phụ mà không nhận ra điểm mấu chốt: cả

C

lẫn

D

đều nằm trên đúng MỘT đường thẳng cố định (trung trực của

M N

) — nên chỉ cần chứng minh từng điểm cách đều

M

N

là đủ.

🚀 Mở rộng. Bài toán mở rộng tự nhiên: nếu thay đường kính

M N

bằng một dây cung bất kỳ của

(O)

(không qua tâm) thì góc

M A N

không còn là góc vuông, và

M A

sẽ không còn là tiếp tuyến của

(N)

nữa — điều kiện "đường kính" là thiết yếu cho toàn bộ bài toán.

Mở bài này trong app ↗