Bài 1 · Bài 1★★Trang 69— Xác định vị trí điểm với đường tròn bằng công thức khoảng cách trong hệ toạ độ
Bài 1 (trang 69). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (O;5), hai điểm A(−3;1) và B(−1;2). Khi đó xảy ra: A. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm ngoài (O). B. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm trên (O). C. Điểm A nằm trên (O), điểm B nằm trong (O). D. Điểm A nằm ngoài (O), điểm B nằm trên (O).
Kiến thức cần nhớ
Trong hệ toạ độ Oxy, khoảng cách từ gốc O đến điểm M(x;y) là OM=x2+y2.
So sánh OM với R theo ba trường hợp trong/ trên/ ngoài đường tròn.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho toạ độ gốc O (tâm đường tròn trùng gốc toạ độ) nên dấu hiệu là dùng công thức khoảng cách OM=x2+y2 rồi so với R=5. Hướng an toàn nhất là so sánh bình phương khoảng cách với R2=5 để tránh khai căn nhầm. Bẫy là quên bình phương 3 thành 3 khi tính OA.
1Cách 1. Tính khoảng cách rồi so trực tiếp với R
Định hướng. Tính OA, OB bằng công thức khoảng cách toạ độ, so với R=5.
OA=(−3)2+12=3+1=4=2 OB=(−1)2+22=1+4=5 R=5 So sánh: OA=2, mà 2=4<5=R nên OA<R OB=5=R nên OB=R
VậyA nằm trong (O), B nằm trên (O) — chọn đáp án B.
2Cách 2. So sánh bình phương khoảng cách với R²
Định hướng. Tránh khai căn bằng cách so OA2, OB2 với R2=5 ngay từ đầu.
Bài 2 · Bài 2★Trang 70— Nhận biết tập hợp điểm nằm trong đường tròn trên một đường thẳng cắt đường tròn
Bài 2 (trang 70). Cho đường thẳng xy cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B (H.5.10). Khi đó, các điểm thuộc đường thẳng xy và nằm trong đường tròn (O) là: A. Các điểm thuộc tia Ax. B. Các điểm thuộc tia By. C. Các điểm thuộc đoạn AB. D. Các điểm nằm giữa A và B.
Kiến thức cần nhớ
Dây cung AB của đường tròn (O) chia đường thẳng chứa nó thành ba phần: điểm nằm giữa A, B ở trong (O); chính A, B nằm trên (O); các điểm ngoài đoạn AB nằm ngoài (O).
🧠 Phân tích tư duy
Dấu hiệu: đường thẳng xy cắt (O) tại đúng hai điểm A, B, nghĩa là đoạn AB chính là dây cung — mọi điểm khác trên đường thẳng nằm ngoài đoạn này đều ở ngoài đường tròn. Bẫy là hai phương án C, D nhìn có vẻ giống nhau, cần phân biệt "đoạn AB" (gồm cả hai đầu mút) với "nằm giữa A, B" (không kể hai đầu mút, đúng là phần thực sự nằm TRONG đường tròn).
1Cách 1. Xét vị trí từng phần của đường thẳng so với đường tròn
Định hướng. Chia đường thẳng xy thành ba phần bởi A, B rồi xét từng phần.
Phần nằm giữa A và B: các điểm này ở trong dây cung, cách O một khoảng nhỏ hơn R — nằm trong (O) Chính hai điểm A, B: cách O đúng bằng R — nằm trên (O) Phần trên tia Ax (phía ngoài A, không chứa B) hoặc tia By (phía ngoài B, không chứa A): càng xa dây AB thì càng xa tâm hơn R — nằm ngoài (O)
Vậy chỉ các điểm nằm giữa A và B (không kể hai đầu mút) mới nằm trong (O) — chọn đáp án D.
2Cách 2. Dùng khoảng cách đến tâm để loại từng phương án
Định hướng. Lấy một điểm mẫu ở mỗi phương án, xét khoảng cách đến O so với R.
Lấy điểm M trên tia Ax nhưng ngoài đoạn AB (xa dây cung hơn): OM>R — loại A Tương tự điểm trên tia By ngoài đoạn AB: khoảng cách đến O cũng >R — loại B Đoạn AB theo định nghĩa gồm cả hai đầu mút A, B, mà A, B chỉ nằm TRÊN chứ không nằm TRONG (O) — phương án C không chính xác hoàn toàn Chỉ có phần nằm giữa A và B (loại bỏ hai đầu mút) là luôn có khoảng cách nhỏ hơn R
Vậy chọn đáp án D.
Nhận xét. Phân biệt "đoạn AB" và "nằm giữa A, B" là mấu chốt để chọn đúng giữa C và D.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: hình dung trực tiếp ba phần của đường thẳng, không cần lấy điểm mẫu như Cách 2.
Đáp số.Đáp án D. Các điểm nằm giữa A và B.
Sai lầm thường gặp.Nhầm lẫn phổ biến nhất là chọn C ("đoạn AB") vì quên rằng đoạn thẳng bao gồm cả hai đầu mút A, B — mà hai điểm này chỉ nằm TRÊN đường tròn, không nằm TRONG.
🚀 Mở rộng.Nếu hỏi ngược lại "các điểm nằm ngoài (O)" thì đáp án sẽ là hợp của hai tia mở (không kể A, B): phần tia Ax và tia By nằm ngoài đoạn AB.
Bài 3 · Bài 3★★★Trang 70— Xác định điểm đối xứng qua một trục là dây cung dựa vào số đo cung bằng nhau
Bài 3 (trang 70). Cho Hình 5.11, trong đó tất cả các cung AB, BC, CD, DE, EG và GA đều có số đo bằng 60∘. Khi đó: A. Điểm đối xứng với A qua CG là B. B. Điểm đối xứng với A qua CG là D. C. Điểm đối xứng với A qua CG là E. D. Điểm đối xứng với A qua CG là G.
Kiến thức cần nhớ
Nếu CG là đường kính thì CG là trục đối xứng của đường tròn; điểm đối xứng của M qua CG là điểm M′ sao cho hai cung từ M, M′ đến C (hay đến G) bằng nhau.
Tổng sáu cung bằng nhau bằng 360∘ nên mỗi cung bằng 60∘; hai điểm cách nhau 180∘ (ba cung liên tiếp) là hai đầu một đường kính.
Bài 4 · Bài 4★Trang 70— Tính độ dài cung tròn và diện tích hình quạt tròn theo công thức
Bài 4 (trang 70). Độ dài L (đơn vị cm) của cung tròn và diện tích S của hình quạt tròn (đơn vị cm2) có cùng bán kính 9 cm và cùng ứng với cung 280∘ là: A. L=7π và S=63π. B. L=14π và S=63π. C. L=7π và S=28π. D. L=14π và S=28π.
Kiến thức cần nhớ
Độ dài cung tròn n∘, bán kính R: l=180πRn.
Diện tích hình quạt tròn n∘, bán kính R: S=360πR2n.
Bài 5 · Bài 5★★Trang 70— Suy luận vị trí tương đối của đường tròn tâm M với hai cạnh góc khi biết hai khoảng cách khác nhau
Bài 5 (trang 70). Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc đó. Biết rằng M nằm cách Ox một khoảng bằng 3 cm và cách Oy một khoảng bằng 2 cm. Khi đó: A. Nếu đường tròn (M) tiếp xúc với Ox thì (M) cắt Oy. B. Nếu đường tròn (M) tiếp xúc với Ox thì (M) cũng tiếp xúc với Oy. C. Nếu đường tròn (M) tiếp xúc với Ox thì (M) không giao nhau với Oy. D. Nếu đường tròn (M) tiếp xúc với Oy thì cắt Ox.
Kiến thức cần nhớ
Đường tròn (M;R) tiếp xúc với đường thẳng a khi và chỉ khi d(M,a)=R; cắt a khi d(M,a)<R; không giao khi d(M,a)>R.
Bài 6 · Bài 6★★★Trang 70— Xét tính đúng/sai của các mệnh đề về vị trí tương đối hai đường tròn theo bán kính thay đổi
Bài 6 (trang 70). Cho hai điểm A và B sao cho AB=7 cm và đường tròn (B;4 cm). Khi đó: A. Hai đường tròn (A;R) và (B) cắt nhau nếu R<11 cm. B. Hai đường tròn (A;R) và (B) cắt nhau nếu R>3 cm. C. Hai đường tròn (A;R) và (B) không giao nhau nếu R>11 cm. D. Hai đường tròn (A;R) và (B) không giao nhau nếu R≤3 cm.
Kiến thức cần nhớ
Hai đường tròn (A;R), (B;R′) cắt nhau ⇔∣R−R′∣<AB<R+R′; không giao nhau ⇔AB>R+R′ hoặc AB<∣R−R′∣.
Bài 7 · Bài 5.27★★★Trang 71— Xác định vị trí điểm với đường tròn và biện luận vị trí điểm D theo vị trí tương đối hai đường tròn
Bài 5.27 (trang 71). Cho tam giác ABC có AB<AC và đường cao AH (H.5.12). a) Trong các điểm B, H và C, điểm nào nằm trong, điểm nào nằm trên và điểm nào nằm ngoài đường tròn (A;AB)? Vì sao? b) Xác định vị trí của điểm D trên đoạn AC trong mỗi trường hợp sau: đường tròn (A) và đường tròn (C;CD) tiếp xúc với nhau; đường tròn (A) và đường tròn (C;CD) cắt nhau; đường tròn (A) và đường tròn (C;CD) không giao nhau.
Kiến thức cần nhớ
Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn cạnh huyền.
Với đường tròn (A;R) và điểm M: AM<R⇔M trong; AM=R⇔M trên; AM>R⇔M ngoài.
Bài 8 · Bài 5.28★★★Trang 71— Trục đối xứng của hình thang cân và điều kiện bốn điểm cùng thuộc một đường tròn
Bài 5.28 (trang 71). Cho hình thang cân ABCD (AB∥CD). a) Chứng minh rằng đường trung trực d của AB cũng là đường trung trực của CD (từ đó suy ra hai điểm A và B đối xứng với nhau, C và D đối xứng với nhau qua d). b) Giải thích tại sao nếu một đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C thì nó cũng đi qua điểm D.
Kiến thức cần nhớ
Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau, và có một trục đối xứng đi qua trung điểm hai đáy.
Tâm của đường tròn đi qua hai điểm M, N luôn nằm trên đường trung trực của MN.
Bài 9 · Bài 5.29★★★★Trang 71— Trục đối xứng qua tâm và trung điểm dây, hình thang cân nội tiếp, tính cung và diện tích quạt từ góc ở tâm
Bài 5.29 (trang 71). Giả sử CD là một dây song song với đường kính AB của đường tròn (O) sao cho ABCD là một tứ giác lồi. Gọi E là trung điểm của đoạn CD. a) Chứng minh rằng A đối xứng với B và C đối xứng với D qua đường thẳng OE. b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình thang cân. c) Biết rằng AB=12 cm và COD=100∘. Tính độ dài cung (nhỏ) AD và cung (lớn) ABC. d) Với giả thiết ở câu c), tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ BD.
Kiến thức cần nhớ
Đường nối tâm đến trung điểm một dây (không qua tâm) thì vuông góc với dây đó.
Đường thẳng vừa là trung trực của AB vừa vuông góc với CD∥AB tại trung điểm CD thì cũng là trung trực của CD.
Bài 10 · Bài 5.30★★★★Trang 71— Tiếp tuyến từ tính chất đường phân giác cách đều hai cạnh, tính cung và hình vành khuyên
Bài 5.30 (trang 71). Cho tam giác vuông ABC (A=90∘) có C=30∘ và AB=3 cm. Đường phân giác của góc B cắt AC tại D. a) Chứng minh rằng đường tròn (D;DA) tiếp xúc với cạnh BC. b) Tính độ dài cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D;DA) và diện tích hình quạt tròn tương ứng với cung ấy. c) Tính diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (D;DA) và (D;DC).
Kiến thức cần nhớ
Mọi điểm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.
Đường thẳng vuông góc với bán kính tại điểm thuộc đường tròn là tiếp tuyến.
Diện tích hình vành khuyên giữa hai đường tròn đồng tâm bán kính R, r (R>r) là π(R2−r2).
Bài 11 · Bài 5.31★★★Trang 71— Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, đường kính và góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
Bài 5.31 (trang 71). Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PA và PB đến đường tròn (A và B là hai tiếp điểm). a) Chứng minh rằng PO⊥AB. b) Gọi C là điểm đối xứng với A qua O. Chứng minh rằng BC∥PO. c) Tính độ dài các cạnh của tam giác PAB, biết OA=3 cm và OP=5 cm.
Kiến thức cần nhớ
Hai tiếp tuyến cắt nhau tại một điểm thì đoạn nối điểm đó với tâm là trung trực của đoạn nối hai tiếp điểm.
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (chắn đường kính) là góc vuông.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông: đường cao ứng với cạnh huyền h=cab (với a,b là hai cạnh góc vuông, c là cạnh huyền).
Bài 12 · Bài 5.32★★★★Trang 72— Đối xứng qua đỉnh góc vuông và tiếp tuyến chung của hai đường tròn từ cấu hình đường cao
Bài 5.32 (trang 72). Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (A;AH) lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: a) Hai điểm D và E đối xứng với nhau qua A; b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.
Kiến thức cần nhớ
Từ một điểm ngoài đường tròn, hai tiếp tuyến đối xứng nhau qua đường nối điểm đó với tâm.
Trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền.
Đường thẳng cách tâm một khoảng đúng bằng bán kính là tiếp tuyến của đường tròn đó.
Bài 13 · Bài 5.33★★★★Trang 72— Hai tiếp tuyến song song xác định đường kính, đối xứng qua tâm và tứ giác hình thoi từ các tiếp tuyến
Bài 5.33 (trang 72). Cho đường tròn (O), đường thẳng a tiếp xúc với (O) tại A, đường thẳng b tiếp xúc với (O) tại B sao cho a∥b. Gọi C là một điểm tuỳ ý thuộc (O), khác A và B. Tiếp tuyến c của (O) tại C cắt a và b lần lượt tại M và N. a) Chứng minh AB là một đường kính của (O). b) Gọi D, P và Q lần lượt là các điểm đối xứng với C, M và N qua tâm O. Chứng minh rằng D∈(O), P∈b và Q∈a. c) Chứng minh rằng PQ tiếp xúc với (O) tại D. d) Chứng minh tứ giác MNPQ là một hình thoi.
Kiến thức cần nhớ
Bán kính vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm.
Phép đối xứng qua tâm đường tròn biến đường tròn thành chính nó và biến tiếp tuyến tại một điểm thành tiếp tuyến tại điểm đối xứng.
Hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm ngoài đường tròn có độ dài bằng nhau.
Bài 14 · Bài 5.34★★★★Trang 72— Góc vuông từ hai đường tròn tiếp xúc ngoài và định lí Thalès trong tam giác
Bài 5.34 (trang 72). Cho hai đường tròn (O;R) và (O′;R′) tiếp xúc ngoài với nhau tại A, hai điểm B∈(O) và C∈(O′) sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng OO′ và OB∥O′C. a) Chứng minh góc BAC là góc vuông. b) Cho biết R=3 cm, R′=1 cm và BC cắt OO′ tại D. Tính độ dài đoạn OD.
Kiến thức cần nhớ
Hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại A thì O, A, O′ thẳng hàng và OO′=R+R′.
Tam giác cân có hai cạnh bên là bán kính; hai đường thẳng song song bị cắt bởi một cát tuyến tạo các góc so le trong bằng nhau.
Định lí Thalès: hai đường thẳng song song chắn trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tỉ lệ.
Bài 15 · Bài 5.35★★★★Trang 72— Tiếp tuyến từ góc nội tiếp chắn nửa đường tròn và tính thẳng hàng qua đối xứng
Bài 5.35 (trang 72). Cho đường tròn tâm O, đường kính MN. Một đường tròn (N) cắt (O) tại A và B. a) Chứng minh rằng MA và MB là hai tiếp tuyến của (N). b) Đường thẳng qua N và vuông góc với NA cắt MB tại C. Chứng minh hai điểm M và N đối xứng với nhau qua OC. c) Đường thẳng qua M và vuông góc với MA cắt NB tại D. Chứng minh ba điểm O, C và D thẳng hàng.
Kiến thức cần nhớ
Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (chắn đường kính) là góc vuông.
Đường thẳng vuông góc với bán kính tại điểm thuộc đường tròn là tiếp tuyến.
Ba điểm thẳng hàng khi cùng nằm trên một đường thẳng cố định xác định bởi hai điều kiện vuông góc/đối xứng độc lập.
