Chương V. Đường tròn

Bài tập cuối chương V

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Bài 5.32★Trang 112— Xác định vị trí một điểm với đường tròn bằng cách so sánh khoảng cách đến tâm với bán kính

Bài 5.32 (trang 112). Cho đường tròn

(O; 4

)

và hai điểm

A

B

. Biết rằng

O A = 15

cm và

O B = 4

cm. Khi đó:
A. Điểm

A

nằm trong

(O)

, điểm

B

nằm ngoài

(O)

.
B. Điểm

A

nằm ngoài

(O)

, điểm

B

nằm trên

(O)

.
C. Điểm

A

nằm trên

(O)

, điểm

B

nằm trong

(O)

.
D. Điểm

A

nằm trong

(O)

, điểm

B

nằm trên

(O)

Kiến thức cần nhớ

Với đường tròn $(O; R)$ và điểm $M$ : $O M < R \Rightarrow M$ nằm trong $(O)$ ; $O M = R \Rightarrow M$ nằm trên $(O)$ ; $O M > R \Rightarrow M$ nằm ngoài $(O)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn hai khoảng cách

O A = 15

O B = 4

và bán kính

R = 4

— dấu hiệu nhận ngay đây là dạng so sánh

O M

với

R

, không cần dựng hình. Vì

O B

trùng khớp tuyệt đối với

R

nên xét

B

trước sẽ loại được hai phương án. Bẫy của đề là

15

trông có vẻ lớn hơn

4

nếu không bình phương lên so sánh.

1Cách 1. So sánh trực tiếp từng khoảng cách với bán kính

Định hướng. Đối chiếu lần lượt $O A$ , $O B$ với $R = 4$ theo đúng ba trường hợp đã học.

O B = 4 = R

O A = 15

, mà

15 < 16 = 4 = R

nên

O A < R

Vậy $B$ nằm trên $(O)$ , $A$ nằm trong $(O)$ — chọn đáp án D.

2Cách 2. Bình phương hai vế để tránh so sánh căn thức

Định hướng. So sánh $O A^{2}$ với $R^{2}$ thay vì so sánh trực tiếp căn bậc hai, tránh nhầm lẫn khi ước lượng $15$ .

O A^{2} = 15

R^{2} = 4^{2} = 16

15 < 16 \Rightarrow O A^{2} < R^{2} \Rightarrow O A < R

(do

O A, R > 0

)

O B = 4 = R \Rightarrow O B = R

Vậy $A$ nằm trong $(O)$ , $B$ nằm trên $(O)$ — chọn đáp án D.

3Cách 3. Loại trừ theo từng phương án

Định hướng. Vì $O B = R = 4$ luôn đúng (không phụ thuộc cách tính), loại ngay các phương án ghi $B$ nằm ngoài hoặc nằm trong, rồi xét tiếp $A$ .

O B = 4 = R \Rightarrow

loại A, B, C (vì cả ba đều ghi

B

không nằm trên

(O)

), chỉ còn D
Kiểm lại D: D ghi

A

nằm trong

(O)

, đúng vì

O A = 15 < 4

Vậy chọn đáp án D.

Nhận xét. Cách 3 nhanh nhất khi đề trắc nghiệm cho một dữ kiện "đẹp" như $O B = R$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần kẹp

15

giữa

9 = 3

và

16 = 4

là kết luận ngay, không mất thời gian bình phương.

Đáp số. Đáp án D. Điểm

A

nằm trong

(O)

, điểm

B

nằm trên

(O)

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh thấy

15

có số dưới căn lớn hơn nên vội kết luận

O A > 4

, quên rằng phải so

15

với

4^{2} = 16

chứ không phải với

4

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

O A = 17

cm thì

A

sẽ nằm ngoài

(O)

vì

17 > 16 = R^{2}

— chỉ cần đổi số dưới căn là đổi hẳn vị trí điểm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 5.33★★Trang 112— Tính số đo cung dựa vào đường kính và các góc ở tâm cho trước

Bài 5.33 (trang 112). Cho Hình 5.43, trong đó

B D

là đường kính,

A O B = 4 0^{\circ}

;

B O C = 10 0^{\circ}

. Khi đó:
A. sđ

\overparen D C = 8 0^{\circ}

và sđ

\overparen A D = 22 0^{\circ}

.
B. sđ

\overparen D C = 28 0^{\circ}

và sđ

\overparen A D = 22 0^{\circ}

.
C. sđ

\overparen D C = 28 0^{\circ}

và sđ

\overparen A D = 14 0^{\circ}

.
D. sđ

\overparen D C = 8 0^{\circ}

và sđ

\overparen A D = 14 0^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó; hai cung kề bù nhau (chung một đường kính) có tổng số đo $18 0^{\circ}$ .
Tổng số đo các cung liên tiếp lấp đầy đường tròn bằng $36 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu quan trọng nhất là

B D

là đường kính, nghĩa là

B O D = 18 0^{\circ}

— từ đó suy ra ngay cung

\overparen B C D

(nửa đường tròn chứa

C

) bằng

18 0^{\circ}

, cho phép tách ra

\overparen D C

. Hướng an toàn là cộng dồn các góc ở tâm liên tiếp quanh

O

thay vì đoán hình. Bẫy hay gặp là nhầm

\overparen A D

với cung đối diện

\overparen A B D

1Cách 1. Dùng tính chất nửa đường tròn để tách cung DC

Định hướng. Vì $B D$ là đường kính nên cung $\overparen B C D$ (đi qua $C$ ) là nửa đường tròn, bằng $18 0^{\circ}$ ; trừ đi $\overparen B C$ đã cho sẽ ra $\overparen D C$ .

sđ

\overparen B C D = 18 0^{\circ}

(vì

B D

là đường kính)
sđ

\overparen B C D =

sđ

\overparen B C +

sđ

\overparen D C

18 0^{\circ} = 10 0^{\circ} +

sđ

\overparen D C

sđ

\overparen D C = 8 0^{\circ}

sđ

\overparen A D = 36 0^{\circ} -

sđ

\overparen A B -

sđ

\overparen B C -

sđ

\overparen D C

sđ

\overparen A D = 36 0^{\circ} - 4 0^{\circ} - 10 0^{\circ} - 8 0^{\circ}

sđ

\overparen A D = 14 0^{\circ}

Vậy sđ $\overparen D C = 8 0^{\circ}$ , sđ $\overparen A D = 14 0^{\circ}$ — chọn đáp án D.

2Cách 2. Cộng dồn góc ở tâm theo chiều một vòng

Định hướng. Đi một vòng quanh $O$ theo thứ tự $A \to B \to C \to D \to A$ , cộng các góc ở tâm liên tiếp bằng $36 0^{\circ}$ , trong đó $C O D$ tính được nhờ góc kề bù với $B O C$ trên đường thẳng $B D$ .

B O D = 18 0^{\circ}

(kề bù,

B

O

D

thẳng hàng)

C O D = B O D - B O C = 18 0^{\circ} - 10 0^{\circ} = 8 0^{\circ}

A O D = 36 0^{\circ} - A O B - B O C - C O D

A O D = 36 0^{\circ} - 4 0^{\circ} - 10 0^{\circ} - 8 0^{\circ} = 14 0^{\circ}

Vậy sđ $\overparen D C = C O D = 8 0^{\circ}$ , sđ $\overparen A D = A O D = 14 0^{\circ}$ — chọn đáp án D.

3Cách 3. Loại trừ nhanh bằng dấu hiệu 180°

Định hướng. Chỉ cần nhận ra $\overparen D C$ là cung nhỏ (nằm hẳn trong nửa đường tròn chứa $C$ ) để loại ngay hai phương án ghi $28 0^{\circ}$ , sau đó tính riêng $\overparen A D$ để chọn giữa hai phương án còn lại.

\overparen D C

nằm trong nửa đường tròn

B D

về phía

C

nên sđ

\overparen D C < 18 0^{\circ}

, loại phương án B và C (ghi

28 0^{\circ}

)
Còn lại A (

14 0^{\circ} \to 22 0^{\circ}

... xét

\overparen A D

) và D (

8 0^{\circ}, 14 0^{\circ}

)
Tính sđ

\overparen A D = 36 0^{\circ} - 4 0^{\circ} - 10 0^{\circ} - 8 0^{\circ} = 14 0^{\circ}

(dùng lại kết quả sđ

\overparen D C = 8 0^{\circ}

ở Cách 1)

Vậy chỉ đáp án D thoả cả hai giá trị — chọn D.

Nhận xét. Việc nhận ra $\overparen D C < 18 0^{\circ}$ giúp loại ngay 2 trong 4 phương án mà không cần tính toán.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một lần trừ

18 0^{\circ} - 10 0^{\circ}

là ra

\overparen D C

, rồi cộng trừ một lần nữa là xong, không cần vẽ thêm góc kề bù như Cách 2.

Đáp số. Đáp án D. sđ

\overparen D C = 8 0^{\circ}

và sđ

\overparen A D = 14 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh lấy luôn

B O C = 10 0^{\circ}

làm sđ

\overparen D C

(nhầm cung), hoặc quên rằng

B D

là đường kính nên không dùng được tính chất nửa đường tròn

= 18 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Nếu đề chỉ cho

A O B

và

B O C

mà không có dữ kiện "

B D

là đường kính" thì không đủ dữ kiện để tính sđ

\overparen D C

và sđ

\overparen A D

— đường kính chính là chìa khoá của bài.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 5.34★Trang 112— Nhận biết hệ thức giữa khoảng cách hai tâm và hai bán kính khi hai đường tròn cắt nhau

Bài 5.34 (trang 112). Cho hai đường tròn

(A; R_{1})

(B; R_{2})

, trong đó

R_{2} < R_{1}

. Biết rằng hai đường tròn

(A)

và

(B)

cắt nhau (H.5.44). Khi đó:
A.

A B < R_{1} - R_{2}

.
B.

R_{1} - R_{2} < A B < R_{1} + R_{2}

.
C.

A B > R_{1} + R_{2}

.
D.

A B = R_{1} + R_{2}

Kiến thức cần nhớ

Hai đường tròn $(A; R_{1})$ , $(B; R_{2})$ cắt nhau tại hai điểm khi và chỉ khi $R_{1} - R_{2} < A B < R_{1} + R_{2}$ (với $R_{1} \geq R_{2}$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã cho sẵn kết luận "hai đường tròn cắt nhau" — dấu hiệu để tra thẳng bảng vị trí tương đối của hai đường tròn thay vì phải tự suy luận từ đầu. Hướng nhanh nhất là dựng tam giác

A B C

với

C

là một giao điểm, rồi dùng bất đẳng thức tam giác. Bẫy là nhầm chiều bất đẳng thức giữa

R_{1} - R_{2}

và

R_{1} + R_{2}

1Cách 1. Tra trực tiếp bảng vị trí tương đối hai đường tròn

Định hướng. Đối chiếu ngay với hệ thức đã học cho trường hợp cắt nhau.

Hai đường tròn

(A; R_{1})

(B; R_{2})

cắt nhau

\Leftrightarrow R_{1} - R_{2} < A B < R_{1} + R_{2}

Vậy chọn đáp án B.

2Cách 2. Dùng bất đẳng thức tam giác ABC

Định hướng. Gọi $C$ là một giao điểm, ta có tam giác $A B C$ thật sự (không suy biến) với $A C = R_{1}$ , $B C = R_{2}$ , nên áp bất đẳng thức tam giác cho cạnh $A B$ .

Trong tam giác

A B C

A C - B C < A B < A C + B C

R_{1} - R_{2} < A B < R_{1} + R_{2}

Vậy chọn đáp án B.

3Cách 3. Loại trừ bằng phản ví dụ ở hai đầu mút

Định hướng. Xét thử hai vị trí biên $A B = R_{1} - R_{2}$ và $A B = R_{1} + R_{2}$ xem hai đường tròn còn cắt nhau hay không, từ đó loại các phương án sai.

Nếu

A B = R_{1} + R_{2}

thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài (chỉ 1 điểm chung) — loại đáp án D
Nếu

A B > R_{1} + R_{2}

thì hai đường tròn ở ngoài nhau (không giao) — loại đáp án C
Nếu

A B < R_{1} - R_{2}

thì đường tròn nhỏ nằm hẳn trong đường tròn lớn (không giao) — loại đáp án A
Chỉ còn lại

R_{1} - R_{2} < A B < R_{1} + R_{2}

Vậy chọn đáp án B.

Nhận xét. Cách loại trừ này giúp học sinh nhớ luôn cả bốn vị trí tương đối của hai đường tròn, không riêng trường hợp cắt nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đây là kiến thức thuộc lòng, tra ra kết quả ngay không cần vẽ hay lập luận thêm.

Đáp số. Đáp án B.

R_{1} - R_{2} < A B < R_{1} + R_{2}

Sai lầm thường gặp. Hay nhầm chiều, viết

A B < R_{1} - R_{2}

hoặc quên mất vế bên phải

A B < R_{1} + R_{2}

, chỉ nhớ một nửa hệ thức.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi giả thiết thành "hai đường tròn tiếp xúc trong" thì hệ thức trở thành

A B = R_{1} - R_{2}

đúng bằng (không còn khoảng mở).

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 5.35★Trang 112— Nhận biết vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn qua khoảng cách từ tâm đến đường thẳng

Bài 5.35 (trang 112). Cho đường tròn

(O; R)

và hai đường thẳng

a_{1}

và

a_{2}

. Gọi

d_{1}

d_{2}

lần lượt là khoảng cách từ điểm

O

đến

a_{1}

và

a_{2}

. Biết rằng

(O)

cắt

a_{1}

và tiếp xúc với

a_{2}

(H.5.45). Khi đó:
A.

d_{1} < R

và

d_{2} = R

.
B.

d_{1} = R

và

d_{2} < R

.
C.

d_{1} > R

và

d_{2} = R

.
D.

d_{1} < R

và

d_{2} < R

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng $a$ và đường tròn $(O; R)$ , gọi $d = d (O, a)$ : cắt nhau $\Leftrightarrow d < R$ ; tiếp xúc $\Leftrightarrow d = R$ ; không giao nhau $\Leftrightarrow d > R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề tách rõ hai vai trò khác nhau:

a_{1}

cắt (O),

a_{2}

tiếp xúc (O) — đây là dấu hiệu để tra hai hệ thức riêng biệt rồi ghép lại, không cần dựng hình phức tạp. Bẫy là nhầm chiều bất đẳng thức của trường hợp cắt nhau (

d < R

chứ không phải

d > R

1Cách 1. Tra trực tiếp hai hệ thức đã học

Định hướng. Áp riêng từng hệ thức cho từng đường thẳng theo đúng quan hệ đề cho.

(O)

cắt

a_{1} \Rightarrow d_{1} < R

(O)

tiếp xúc

a_{2} \Rightarrow d_{2} = R

Vậy $d_{1} < R$ và $d_{2} = R$ — chọn đáp án A.

2Cách 2. Suy luận từ số điểm chung

Định hướng. Đếm số điểm chung của mỗi đường thẳng với $(O)$ rồi suy ra khoảng cách tương ứng bằng lập luận hình học (không học thuộc công thức).

a_{1}

cắt

(O)

tại hai điểm

\Rightarrow

tồn tại dây cung trên

a_{1}

, khoảng cách từ tâm đến dây luôn nhỏ hơn bán kính

\Rightarrow d_{1} < R

a_{2}

tiếp xúc

(O)

tại đúng một điểm

H

, mà

O H ⊥ a_{2}

và

H \in (O)

nên

O H = R

, tức

d_{2} = R

Vậy $d_{1} < R$ , $d_{2} = R$ — chọn đáp án A.

3Cách 3. Loại trừ theo từng phương án

Định hướng. Vì $a_{2}$ tiếp xúc $(O)$ nên chắc chắn $d_{2} = R$ ; chỉ những phương án ghi đúng điều này mới còn khả năng đúng.

d_{2} = R

(tiếp xúc)

\Rightarrow

loại B (ghi

d_{2} < R

) và D (ghi

d_{2} < R

)
Còn lại A (

d_{1} < R

) và C (

d_{1} > R

)

a_{1}

cắt

(O)

nên có hai điểm chung, chỉ xảy ra khi

d_{1} < R

, loại C

Vậy chọn đáp án A.

Nhận xét. Xét điều kiện tiếp xúc trước giúp loại nhanh một nửa số phương án.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai hệ thức

d < R

(cắt) và

d = R

(tiếp xúc) là kiến thức nền, tra thẳng không cần suy luận thêm.

Đáp số. Đáp án A.

d_{1} < R

và

d_{2} = R

Sai lầm thường gặp. Hay nhớ ngược, cho rằng "cắt nhau" nghĩa là khoảng cách lớn (đường thẳng "cắt ngang" nên nghĩ xa tâm hơn), trong khi thực tế cắt nhau ứng với khoảng cách NHỎ hơn bán kính.

🚀 Mở rộng. Nếu cả

a_{1}

và

a_{2}

đều không giao với

(O)

thì

d_{1} > R

và

d_{2} > R

— đổi ngược hoàn toàn bất đẳng thức so với bài này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 5.36★★★Trang 112— Định lí Thalès đảo và tính cung, diện tích hình quạt từ góc ở tâm

Bài 5.36 (trang 112). Cho đường tròn

(O)

đường kính

B C

và điểm

A

(khác

B

và

C

).
a) Chứng minh rằng nếu

A

nằm trên

(O)

thì

A B C

là một tam giác vuông; ngược lại, nếu

A B C

là tam giác vuông tại

A

thì

A

nằm trên

(O)

.
b) Giả sử

A

là một trong hai giao điểm của đường tròn

(B; B O)

với đường tròn

(O)

. Tính các góc của tam giác

A B C

.
c) Với cùng giả thiết câu b), tính độ dài cung

A C

và diện tích hình quạt nằm trong

(O)

giới hạn bởi các bán kính

O A

và

O C

, biết rằng

B C = 6

cm.

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền; đảo lại, nếu trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng thì tam giác vuông tại đỉnh xuất phát trung tuyến đó.
Độ dài cung tròn $n^{\circ}$ : $l = \frac{π R n}{180}$ ; diện tích hình quạt: $S = \frac{π R ^{2} n}{360}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) là định lí quen thuộc "góc nội tiếp chắn nửa đường tròn", nên trình bày hai chiều thuận – đảo, cả hai đều dựa vào tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền. Câu b) dấu hiệu

B A = B O = A O = R

(đều là bán kính của

(O)

hoặc của

(B; B O)

) cho ngay tam giác

A B O

đều — đây là chìa khoá tính góc. Câu c) chỉ là bài toán cung tròn quen thuộc sau khi đã có góc ở tâm từ câu b), bẫy là quên đổi

A O C

từ góc kề bù với

A O B

1Cách 1. Dùng tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền (câu a), suy luận từ tam giác đều (câu b, c)

Định hướng. Câu a) quy về so sánh trung tuyến $A O$ với nửa cạnh huyền $B C$ . Câu b) nhận ra tam giác $A B O$ đều nhờ ba cạnh cùng bằng bán kính. Câu c) tính góc ở tâm $A O C$ từ góc kề bù rồi áp công thức cung, quạt.

a) Nếu

A \in (O)

thì

O A = O B = O C = R

, tức trung tuyến

O A

của tam giác

A B C

bằng nửa cạnh huyền

B C = 2 R

; tam giác có trung tuyến bằng nửa cạnh tương ứng là tam giác vuông tại đỉnh xuất phát trung tuyến, nên

A B C

vuông tại

A

.
Ngược lại, nếu

A B C

vuông tại

A

thì trung tuyến

A O

ứng với cạnh huyền

B C

bằng

\frac{B C}{2} = O B = O C

, suy ra

O A = O B = O C

, tức

A

cách đều

O

một khoảng

R

, nên

A \in (O)

.
b)

A \in (B; B O)

nên

B A = B O

;

A \in (O)

nên

O A = O B

; suy ra

O A = O B = B A

, tam giác

A B O

đều

\Rightarrow A B O = 6 0^{\circ}

Theo câu a), tam giác

A B C

vuông tại

A

nên

A B C + A C B = 9 0^{\circ}

A B C = A B O = 6 0^{\circ}

(vì

O \in B C

)

A C B = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}

R = \frac{B C}{2} = 3

A O B = 6 0^{\circ}

(tam giác

A B O

đều)

A O C = 18 0^{\circ} - A O B = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

(kề bù,

B, O, C

thẳng hàng)

l_{A C} = \frac{π \cdot 3 \cdot 120}{180} = 2 π

S_{q} = \frac{π \cdot 3 ^{2} \cdot 120}{360} = 3 π

^{2}

Vậy a) đã chứng minh cả hai chiều; b) $A = 9 0^{\circ}$ , $B = 6 0^{\circ}$ , $C = 3 0^{\circ}$ ; c) độ dài cung $A C$ là $2 π$ cm, diện tích hình quạt là $3 π$ cm $^{2}$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá để kiểm chứng cả ba câu

Định hướng. Đặt hệ trục với $O$ là gốc, $B C$ nằm trên trục hoành, dùng phương trình đường tròn và tính góc bằng tích vô hướng — cách này kiểm tra lại toàn bộ kết quả bằng đại số, không phụ thuộc hình vẽ.

Chọn

O (0; 0)

B (- R; 0)

C (R; 0)

với

R = 3

A

thoả

O A = R

(thuộc

(O)

) và

B A = B O = R

(thuộc

(B; R)

): giải hệ

x^{2} + y^{2} = R^{2}

và

(x + R)^{2} + y^{2} = R^{2}

Trừ hai phương trình:

2 R x + R^{2} = 0 \Rightarrow x = - \frac{R}{2}

, thế lại

y^{2} = R^{2} - \frac{R ^{2}}{4} = \frac{3 R ^{2}}{4} \Rightarrow y = \frac{R 3}{2}

(lấy nhánh trên)
Vectơ

A B = (- \frac{R}{2}; - \frac{R 3}{2})

A C = (\frac{3 R}{2}; - \frac{R 3}{2})

A B \cdot A C = - \frac{3 R ^{2}}{4} + \frac{3 R ^{2}}{4} = 0 \Rightarrow A B ⊥ A C

, tam giác vuông tại

A

— khớp câu a)

cos A B C = \frac{B A \cdot B C}{B A \cdot B C} = \frac{R \cdot 2 R}{R \cdot 2 R} \cdot cos 3 0^{\circ}

, tính trực tiếp toạ độ được

A B C = 6 0^{\circ}

A C B = 3 0^{\circ}

— khớp câu b)

A O C = arccos \frac{O A \cdot O C}{R ^{2}} = arccos (- \frac{1}{2}) = 12 0^{\circ}

, từ đó

l_{A C} = 2 π

cm,

S_{q} = 3 π

^{2}

— khớp câu c)

Vậy toạ độ hoá cho lại đúng ba kết quả như Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 dài hơn nhưng là công cụ kiểm tra chéo hữu hiệu khi không tự tin vào lập luận hình học thuần tuý.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập luận hình học thuần tuý, không phải thiết lập hệ trục nên nhanh gọn hơn hẳn.

Đáp số. a) Đã chứng minh hai chiều. b)

A = 9 0^{\circ}

B = 6 0^{\circ}

C = 3 0^{\circ}

. c) Cung

A C

dài

2 π

cm, diện tích hình quạt là

3 π

^{2}

Sai lầm thường gặp. Ở câu c) hay quên góc

A O C

là góc kề bù với

A O B

(bằng

18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}

) mà lại lấy nhầm

A O C = 6 0^{\circ}

như

A O B

🚀 Mở rộng. Nếu thay

(B; B O)

bằng

(C; C O)

thì bằng suy luận đối xứng, tam giác

A C O

sẽ đều thay vì

A B O

, và các góc của tam giác

A B C

đổi vai trò

B \leftrightarrow C

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 5.37★★Trang 113— Điểm đối xứng qua tâm đường tròn và tính cung, diện tích quạt từ tứ giác đặc biệt nội tiếp

Bài 5.37 (trang 113). Cho

A B

là một dây bất kì (không phải là đường kính) của đường tròn

(O; 4

)

. Gọi

C

và

D

lần lượt là các điểm đối xứng với

A

và

B

qua tâm

O

.
a) Hai điểm

C

và

D

có nằm trên đường tròn

(O)

không? Vì sao?
b) Biết rằng

A B C D

là một hình vuông. Tính độ dài cung lớn

A B

và diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính

O A

và

O B

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn có tâm đối xứng là tâm của nó: điểm đối xứng của một điểm thuộc đường tròn qua tâm cũng thuộc đường tròn.
Hình vuông có hai đường chéo vuông góc, bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) chỉ cần dùng định nghĩa đường tròn có tâm đối xứng là

O

. Câu b) dấu hiệu "

A B C D

là hình vuông" cho biết hai đường chéo

A C

B D

vuông góc và bằng nhau — mà

A C

B D

lại đi qua

O

(vì

C

D

là ảnh đối xứng của

A

B

qua

O

) nên

A O B = 9 0^{\circ}

chính là góc ở tâm cần tìm. Bẫy là nhầm "cung lớn

A B

" với cung nhỏ khi tính diện tích quạt.

1Cách 1. Dùng tâm đối xứng và tính chất đường chéo hình vuông

Định hướng. Câu a) áp thẳng định nghĩa tâm đối xứng. Câu b) nhận ra $A C$ , $B D$ là hai đường chéo hình vuông đi qua $O$ , vuông góc nhau tại $O$ , suy ra góc ở tâm $A O B = 9 0^{\circ}$ .

O

là tâm đối xứng của đường tròn

(O)

;

A \in (O) \Rightarrow C

(đối xứng của

A

qua

O

)

\in (O)

; tương tự

B \in (O) \Rightarrow D \in (O)

b) Vì

C

đối xứng

A

D

đối xứng

B

qua

O

nên

O

là trung điểm

A C

và trung điểm

B D

, tức

A C

B D

là hai đường chéo của tứ giác

A B C D

cắt nhau tại

O

A B C D

là hình vuông

\Rightarrow A C ⊥ B D

tại trung điểm mỗi đường, tức

A O B = 9 0^{\circ}

sđ

\overparen A B

(nhỏ)

= 9 0^{\circ} \Rightarrow

sđ

\overparen A B

(lớn)

= 36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 27 0^{\circ}

l_{l} = \frac{π \cdot 4 \cdot 270}{180} = 6 π

S_{q} = \frac{π \cdot 4 ^{2} \cdot 90}{360} = 4 π

^{2}

(quạt ứng với cung nhỏ

A B

, đúng cung mà hai bán kính

O A

O B

trực tiếp giới hạn)

Vậy a) $C$ , $D$ đều nằm trên $(O)$ ; b) cung lớn $A B$ dài $6 π$ cm, diện tích hình quạt tạo bởi $O A$ , $O B$ là $4 π$ cm $^{2}$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá kiểm tra cả hai câu

Định hướng. Đặt hệ trục tâm $O$ , chọn $A$ , $B$ cụ thể sao cho $A B C D$ là hình vuông rồi tính trực tiếp bằng toạ độ để đối chiếu lại Cách 1.

Chọn

O (0; 0)

R = 4

A (4; 0)

; vì

A O B = 9 0^{\circ}

(dự đoán từ tính chất hình vuông) nên chọn

B (0; 4)

C

đối xứng

A

qua

O

C (- 4; 0)

;

D

đối xứng

B

qua

O

D (0; - 4)

Kiểm tra

A B C D

A B = 4^{2} + 4^{2} = 42

B C = 4^{2} + 4^{2} = 42

C D = 42

D A = 42

— bốn cạnh bằng nhau

A B = (- 4; 4)

A D = (- 4; - 4)

A B \cdot A D = 16 - 16 = 0

— góc vuông tại

A

Vậy

A B C D

đúng là hình vuông, xác nhận giả thiết

A O B = 9 0^{\circ}

là hợp lí
Từ đó tính lại đúng

l_{l} = 6 π

cm,

S_{q} = 4 π

^{2}

như Cách 1

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1, khẳng định $A O B = 9 0^{\circ}$ là điều kiện đúng và duy nhất để $A B C D$ là hình vuông.

Nhận xét. Toạ độ hoá cho thấy rõ vì sao $A O B$ phải đúng bằng $9 0^{\circ}$ chứ không phải giá trị khác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ngay

A C

B D

là đường chéo hình vuông đi qua tâm, không cần dựng hệ trục.

Đáp số. a)

C

D

đều thuộc

(O)

. b) Cung lớn

A B

dài

6 π

cm; diện tích hình quạt tạo bởi

O A

O B

là

4 π

^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn hay gặp: tính diện tích hình quạt theo cung LỚN (

27 0^{\circ}

) cho ra

12 π

^{2}

thay vì đúng theo cung nhỏ mà hai bán kính

O A

O B

trực tiếp tạo ra (

9 0^{\circ}

, cho

4 π

^{2}

🚀 Mở rộng. Nếu

A B C D

chỉ là hình chữ nhật (không phải hình vuông) thì hai đường chéo vẫn bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm nhưng không còn vuông góc, khi đó

A O B

sẽ khác

9 0^{\circ}

và phải tính lại từ tỉ số hai cạnh.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 5.38★★Trang 113— Xác định vị trí tương đối của nhiều cặp đường tròn dựa vào khoảng cách tâm và tổng, hiệu bán kính

Bài 5.38 (trang 113). Cho điểm

B

nằm giữa hai điểm

A

và

C

, sao cho

A B = 2

cm và

B C = 1

cm. Vẽ các đường tròn

(A; 1, 5

)

(B; 3

)

và

(C; 2

)

. Hãy xác định các cặp đường tròn: a) Cắt nhau; b) Không giao nhau; c) Tiếp xúc với nhau.

Kiến thức cần nhớ

Hai đường tròn $(O_{1}; R_{1})$ , $(O_{2}; R_{2})$ , đặt $d = O_{1} O_{2}$ : cắt nhau $\Leftrightarrow ∣ R_{1} - R_{2} ∣ < d < R_{1} + R_{2}$ ; tiếp xúc $\Leftrightarrow d = R_{1} + R_{2}$ (ngoài) hoặc $d = ∣ R_{1} - R_{2} ∣$ (trong); không giao nhau $\Leftrightarrow d > R_{1} + R_{2}$ hoặc $d < ∣ R_{1} - R_{2} ∣$ .
Điểm $B$ nằm giữa $A$ , $C$ thì $A C = A B + B C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu là phải xét đủ ba cặp đường tròn

(A, B)

(A, C)

(B, C)

, mỗi cặp so khoảng cách tâm với

R_{1} + R_{2}

và

∣ R_{1} - R_{2} ∣

. Vì

B

nằm giữa

A

C

nên

A C = A B + B C

tính được ngay. Bẫy lớn nhất của bài là cặp

(B, C)

: khoảng cách đúng bằng hiệu hai bán kính, dễ nhầm sang "cắt nhau" nếu không kiểm tra dấu bằng.

1Cách 1. Lập bảng so sánh d với tổng và hiệu bán kính cho cả ba cặp

Định hướng. Tính khoảng cách tâm của từng cặp, so với $R_{1} + R_{2}$ và $∣ R_{1} - R_{2} ∣$ theo đúng ba trường hợp đã học, xét lần lượt cả ba cặp.

A C = A B + B C = 2 + 1 = 3

cm (vì

B

nằm giữa

A

C

)
Cặp

(A; 1, 5)

và

(B; 3)

d = A B = 2

;

∣3 - 1, 5∣ = 1, 5

;

3 + 1, 5 = 4, 5

; vì

1, 5 < 2 < 4, 5

nên hai đường tròn cắt nhau
Cặp

(A; 1, 5)

và

(C; 2)

d = A C = 3

;

∣2 - 1, 5∣ = 0, 5

;

2 + 1, 5 = 3, 5

; vì

0, 5 < 3 < 3, 5

nên hai đường tròn cắt nhau
Cặp

(B; 3)

và

(C; 2)

d = B C = 1

;

∣3 - 2∣ = 1

;

3 + 2 = 5

; vì

d = 1 = ∣3 - 2∣

nên hai đường tròn tiếp xúc trong

Vậy a) cắt nhau: $(A)$ và $(B)$ ; $(A)$ và $(C)$ . b) không giao nhau: không có cặp nào. c) tiếp xúc: $(B)$ và $(C)$ (tiếp xúc trong).

2Cách 2. Xác định điểm tiếp xúc trước rồi suy ra vị trí bằng hình học trực tiếp

Định hướng. Vì $(B; 3)$ có bán kính rất lớn so với $B C = 1$ , dự đoán $(C)$ nằm gọn trong $(B)$ ; kiểm tra xem có tiếp xúc bên trong hay không bằng cách xét điểm xa nhất của $(C)$ tính từ $B$ .

Điểm của

(C; 2)

B

nhất nằm trên tia

B C

kéo dài, cách

B

một khoảng

B C + 2 = 1 + 2 = 3

— đúng bằng bán kính của

(B; 3)

, nên điểm đó nằm trên cả

(B)

: hai đường tròn tiếp xúc trong tại đúng điểm này
Điểm của

(C; 2)

gần

B

nhất nằm trên tia đối, cách

B

một khoảng

∣ B C - 2∣ = ∣1 - 2∣ = 1 < 3

, tức nằm hẳn trong

(B)

— khẳng định

(C)

nằm trong

(B)

và chỉ chạm nhau tại một điểm duy nhất, đúng là tiếp xúc trong, không phải cắt nhau
Với hai cặp còn lại (

A

B

và

A

C

), lặp lại kiểu lập luận điểm xa nhất/gần nhất cũng cho đúng kết luận cắt nhau như Cách 1

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $(A)$ - $(B)$ và $(A)$ - $(C)$ cắt nhau; $(B)$ - $(C)$ tiếp xúc trong; không có cặp nào rời nhau.

Nhận xét. Cách 2 giúp "nhìn thấy" trực quan vì sao $(C)$ nằm trong $(B)$ mà vẫn tiếp xúc, tránh nhầm với "không giao nhau".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập bảng so sánh có hệ thống, không bỏ sót cặp nào và tránh nhầm dấu "=" ở trường hợp tiếp xúc.

Đáp số. a) Cắt nhau:

(A; 1, 5)

và

(B; 3)

;

(A; 1, 5)

và

(C; 2)

. b) Không giao nhau: không có cặp nào. c) Tiếp xúc trong:

(B; 3)

và

(C; 2)

Sai lầm thường gặp. Cặp

(B; 3)

và

(C; 2)

có

d = B C = 1 = ∣3 - 2∣

đúng bằng hiệu bán kính — nhiều học sinh không kiểm tra dấu "=" nên xếp nhầm vào "cắt nhau" vì thấy

d

nằm gần khoảng

(1; 5)

🚀 Mở rộng. Nếu đổi bán kính

(C)

thành

2, 5

cm (giữ nguyên vị trí) thì

∣3 - 2, 5∣ = 0, 5 < 1 = B C < 5, 5 = 3 + 2, 5

, khi đó

(B)

và

(C)

sẽ chuyển từ tiếp xúc sang cắt nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 5.39★★★Trang 113— Chứng minh hai đoạn thẳng là tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn dựa vào góc vuông và tính đối xứng

Bài 5.39 (trang 113). Cho tam giác vuông

A B C

(

A

vuông). Vẽ hai đường tròn

(B; B A)

và

(C; C A)

cắt nhau tại

A

và

A^{'}

. Chứng minh rằng:
a)

B A

và

B A^{'}

là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn

(C; C A)

.
b)

C A

và

C A^{'}

là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn

(B; B A)

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng vuông góc với bán kính tại đầu mút nằm trên đường tròn là tiếp tuyến của đường tròn đó.
Hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm thì hai điểm đó đối xứng nhau qua đường nối tâm.
Từ một điểm ngoài đường tròn có đúng hai tiếp tuyến, cắt nhau tại điểm đó.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu quan trọng:

A

vuông nghĩa là

B A ⊥ C A

, mà

C A

lại là bán kính của

(C; C A)

và

A

là điểm của chính đường tròn ấy — đúng công thức nhận biết tiếp tuyến (vuông góc với bán kính tại đầu mút). Hướng còn lại (cho

A^{'}

) dùng tính đối xứng của hai đường tròn cắt nhau qua đường nối tâm

B C

. Bẫy là quên chứng minh

A^{'}

cũng nằm trên đường tròn kia trước khi khẳng định tiếp tuyến.

1Cách 1. Dùng dấu hiệu vuông góc với bán kính tại đầu mút và tính đối xứng qua BC

Định hướng. Chứng minh $B A$ tiếp xúc $(C; C A)$ tại $A$ trước (trực tiếp từ góc vuông ở $A$ ), sau đó dùng phép đối xứng qua trục $B C$ để suy ra $B A^{'}$ cũng tiếp xúc $(C; C A)$ tại $A^{'}$ .

Vì

B A C = 9 0^{\circ}

nên

B A ⊥ C A

tại

A

C A

là bán kính của đường tròn

(C; C A)

và

A

là điểm thuộc đường tròn đó, mà

B A ⊥ C A

tại

A

Suy ra

B A

là tiếp tuyến của

(C; C A)

tại

A

Hai đường tròn

(B; B A)

và

(C; C A)

cắt nhau tại

A

A^{'}

nên

A

A^{'}

đối xứng nhau qua đường nối tâm

B C

Phép đối xứng trục qua

B C

giữ nguyên

(C; C A)

(vì

C \in B C

) và biến

A

thành

A^{'}

, biến đường thẳng

B A

(đi qua

B \in B C

) thành đường thẳng

B A^{'}

Vì phép đối xứng trục bảo toàn tính chất tiếp xúc,

B A

tiếp xúc

(C; C A)

tại

A

nên

B A^{'}

tiếp xúc

(C; C A)

tại

A^{'}

B A

B A^{'}

cùng đi qua

B

nên là hai tiếp tuyến cắt nhau tại

B

của

(C; C A)

Vậy a) đã chứng minh $B A$ , $B A^{'}$ là hai tiếp tuyến cắt nhau của $(C; C A)$ . Đổi vai trò $B \leftrightarrow C$ , lập luận hệt như trên cho $C A B$ vuông tại $A$ ⇒ $C A ⊥ B A$ ⇒ $C A$ tiếp xúc $(B; B A)$ tại $A$ , và đối xứng qua $B C$ ⇒ $C A^{'}$ tiếp xúc $(B; B A)$ tại $A^{'}$ , chứng minh được câu b).

2Cách 2. Toạ độ hoá, kiểm tra khoảng cách từ tâm đến đường thẳng

Định hướng. Đặt $A$ tại gốc toạ độ với hai cạnh góc vuông theo hai trục, tính toạ độ $A^{'}$ rồi kiểm tra khoảng cách từ $C$ đến hai đường thẳng $B A$ , $B A^{'}$ đều bằng đúng bán kính $C A$ .

Chọn

A (0; 0)

B (p; 0)

C (0; q)

với

p, q > 0

(vì

A = 9 0^{\circ}

)
Đường thẳng

B A

chính là trục hoành

y = 0

; khoảng cách từ

C (0; q)

đến đường thẳng này là

q = C A

— đúng bằng bán kính, xác nhận

B A

tiếp xúc

(C; C A)

A^{'}

đối xứng

A

qua

B C

: đường thẳng

B C

có phương trình

\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1

; tính được

A^{'} = (\frac{2 p q ^{2}}{p ^{2} + q ^{2}}; \frac{2 p ^{2} q}{p ^{2} + q ^{2}})

Đường thẳng

B A^{'}

đi qua

B (p; 0)

và

A^{'}

; tính khoảng cách từ

C (0; q)

đến đường thẳng

B A^{'}

bằng công thức khoảng cách điểm–đường thẳng, rút gọn ra đúng bằng

q = C A

Vậy khoảng cách từ

C

đến cả hai đường thẳng

B A

B A^{'}

đều bằng bán kính

C A

, nên cả hai đều tiếp xúc

(C; C A)

Vậy kết quả khớp Cách 1: $B A$ , $B A^{'}$ đều tiếp tuyến của $(C; C A)$ , cắt nhau tại $B$ .

Nhận xét. Toạ độ hoá cồng kềnh hơn nhưng xác nhận độc lập kết quả hình học tổng hợp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ hai bước (nhận diện tiếp tuyến tại

A

rồi đối xứng qua

B C

), không phải tính toạ độ.

Đáp số. Đã chứng minh:

B A

B A^{'}

là hai tiếp tuyến cắt nhau của

(C; C A)

tại

B

;

C A

C A^{'}

là hai tiếp tuyến cắt nhau của

(B; B A)

tại

C

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh chỉ chứng minh

B A

tiếp xúc

(C; C A)

rồi mặc định

B A^{'}

cũng tiếp xúc mà không nêu lí do (phép đối xứng qua

B C

bảo toàn tiếp xúc) — thiếu bước lập luận bắt buộc.

🚀 Mở rộng. Đây chính là cấu hình dùng để chứng minh

B C

là trục đẳng phương... ở mức đơn giản hơn:

B C

là trục đối xứng chung của cả hai đường tròn, ý tưởng này mở rộng thành bài toán "trục đẳng phương của hai đường tròn" ở chương trình nâng cao.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 5.40★★★★Trang 113— Hình thang vuông sinh từ đường vuông góc tâm–dây và đường trung bình của hình thang

Bài 5.40 (trang 113). Cho hai đường tròn

(O)

và

(O^{'})

cắt nhau tại

A

và

B

. Một đường thẳng

d

đi qua

A

cắt

(O)

tại

E

và cắt

(O^{'})

tại

F

(

E

và

F

khác

A

). Biết điểm

A

nằm trong đoạn

E F

. Gọi

I

và

K

lần lượt là trung điểm của

A E

và

A F

(H.5.46).
a) Chứng minh rằng tứ giác

O O^{'} K I

là một hình thang vuông.
b) Chứng minh rằng

I K = \frac{1}{2} E F

.
c) Khi

d

ở vị trí nào (

d

vẫn qua

A

) thì

O O^{'} K I

là một hình chữ nhật?

Kiến thức cần nhớ

Trong một đường tròn, đường nối tâm đến trung điểm một dây (không đi qua tâm) thì vuông góc với dây đó.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hình thang có thêm một cặp cạnh bên bằng nhau và song song (hoặc hai góc vuông kề một đáy) là hình chữ nhật.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu cốt lõi:

I

là trung điểm dây

A E

của

(O)

nên

O I ⊥ A E

(đường kính/tâm đến trung điểm dây thì vuông góc với dây); tương tự

O^{'} K ⊥ A F

. Vì

A E

A F

cùng nằm trên đường thẳng

d

nên

O I

và

O^{'} K

cùng vuông góc với

d

, tức song song nhau — đó chính là cạnh đáy của hình thang. Bẫy ở câu c) là học sinh chỉ tìm điều kiện

O I = O^{'} K

mà không diễn giải được thành vị trí cụ thể của

d

1Cách 1. Dùng tính chất tâm–trung điểm dây và cộng đoạn thẳng

Định hướng. Câu a) chỉ ra $O I ⊥ d$ và $O^{'} K ⊥ d$ để có hình thang vuông. Câu b) cộng trực tiếp hai nửa đoạn $I A + A K$ vì $A$ nằm giữa $I$ , $K$ trên $d$ . Câu c) thêm điều kiện để hai cạnh song song $O I$ , $O^{'} K$ bằng nhau.

I

là trung điểm dây

A E

của

(O)

(dây không qua tâm vì

E \neq = A

và

d

không nhất thiết qua

O

) nên

O I ⊥ A E

, tức

O I ⊥ d

Tương tự

K

là trung điểm dây

A F

của

(O^{'})

nên

O^{'} K ⊥ d

O I ⊥ d

và

O^{'} K ⊥ d

nên

O I ∥ O^{'} K

Tứ giác

O O^{'} K I

có

O I ∥ O^{'} K

nên là hình thang; lại có

O I K = O^{'} K I = 9 0^{\circ}

(vì

O I, O^{'} K ⊥ I K

, do

I, K \in d

) nên là hình thang vuông
b) Vì

I

là trung điểm

A E

I A = \frac{1}{2} A E

; vì

K

là trung điểm

A F

A K = \frac{1}{2} A F

A

nằm trong đoạn

E F

(giả thiết) và

I

nằm giữa

E

A

;

K

nằm giữa

A

F

nên thứ tự trên

d

là

E, I, A, K, F

, suy ra

I K = I A + A K

I K = \frac{1}{2} A E + \frac{1}{2} A F = \frac{1}{2} (A E + A F) = \frac{1}{2} E F

(vì

A E + A F = E F

A

nằm giữa

E, F

)
c)

O O^{'} K I

là hình thang vuông có hai góc vuông tại

I

K

; để trở thành hình chữ nhật cần thêm hai góc còn lại tại

O

O^{'}

cũng vuông, tức

O O^{'} ⊥ O I

Mà

O I ⊥ d

, nên

O O^{'} ⊥ O I \Leftrightarrow O O^{'} ∥ d

Vậy a) $O O^{'} K I$ là hình thang vuông; b) $I K = \frac{1}{2} E F$ ; c) $O O^{'} K I$ là hình chữ nhật khi và chỉ khi đường thẳng $d$ (vẫn qua $A$ ) song song với đường nối tâm $O O^{'}$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá với d là trục hoành

Định hướng. Đặt $d$ làm trục hoành, $A$ là gốc toạ độ; khi đó $I$ , $K$ tự động nằm trên trục hoành và $O$ , $O^{'}$ có tung độ chính là khoảng cách vuông góc cần so sánh, giúp thấy trực quan điều kiện hình chữ nhật ở câu c).

Chọn

A (0; 0)

d

là trục

O x

;

E (- 2 i; 0)

với

i = I A

F (2 k; 0)

với

k = A K

(do

I

K

là trung điểm nên

E = - 2 I

F = 2 K

theo hướng trục)
Khi đó

I (- i; 0)

K (k; 0)

O

là tâm

(O)

đi qua

A

E

nên

O

nằm trên trung trực của

A E

, tức đường thẳng đứng

x = - i

O (- i; y_{O})

— xác nhận

O I ⊥ O x = d

(vì

O I

là đoạn thẳng đứng)
Tương tự

O^{'} (k; y_{O^{'}})

, xác nhận

O^{'} K ⊥ d

O I ∥ O^{'} K

(cả hai đều thẳng đứng) — khớp câu a)

I K = ∣ k - (- i) ∣ = i + k = I A + A K = \frac{1}{2} A E + \frac{1}{2} A F = \frac{1}{2} E F

— khớp câu b)

O O^{'} K I

là hình chữ nhật

\Leftrightarrow O I = O^{'} K

(hai cạnh bên bằng nhau) và cùng phương thẳng đứng — vì

O, O^{'}

đã có hoành độ cố định

- i, k

, điều kiện thêm là

O O^{'}

nằm ngang, tức

y_{O} = y_{O^{'}}

, nghĩa là

O O^{'} ∥ O x = d

Vậy toạ độ hoá cho đúng lại cả ba kết luận như Cách 1: hình thang vuông, $I K = \frac{1}{2} E F$ , và hình chữ nhật khi $d ∥ O O^{'}$ .

Nhận xét. Đặt $d$ làm trục toạ độ là mẹo hay: mọi tính vuông góc với $d$ tự động hiện thành "đường thẳng đứng", giúp nhìn ngay điều kiện hình chữ nhật.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập luận hình học trực tiếp, câu c) chỉ cần một câu "vuông góc với cùng một đường thì song song" là xong, không cần dựng hệ trục.

Đáp số. a)

O O^{'} K I

là hình thang vuông (vuông tại

I

và

K

). b)

I K = \frac{1}{2} E F

. c)

O O^{'} K I

là hình chữ nhật khi

d

(qua

A

) song song với

O O^{'}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), nhiều học sinh chứng minh dài dòng bằng đường trung bình của hình thang

O O^{'} K I

rồi quên mất cách trực tiếp hơn nhiều: cộng luôn

I A + A K

vì

I

A

K

thẳng hàng trên

d

🚀 Mở rộng. Nếu bỏ giả thiết "

A

nằm trong đoạn

E F

" (tức

E

F

cùng phía so với

A

) thì

I K = ∣ I A - A K ∣ = \frac{1}{2} ∣ A E - A F ∣

thay vì tổng — công thức đổi hẳn dấu theo vị trí của

A

Mở bài này trong app ↗