Chương VI. Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài tập cuối chương VI

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 18 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang18–21 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 1 (trắc nghiệm)★Trang 18— Xác định hàm số

y = a x^{2}

từ đồ thị đi qua một điểm cho trước

Bài 1 (trang 18). Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
A.

y = x^{2}

. B.

y = - \frac{1}{2} x^{2}

. C.

y = \frac{1}{4} x^{2}

. D.

y = \frac{1}{3} x^{2}

Kiến thức cần nhớ

Đồ thị hàm số $y = a x^{2}$ đi qua điểm $(x_{0}; y_{0})$ khi và chỉ khi $y_{0} = a x_{0}^{2}$ .
Đồ thị mở lên khi $a > 0$ , mở xuống khi $a < 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình vẽ cho một parabol mở lên đi qua điểm có toạ độ đẹp

(3; 3)

— dấu hiệu của dạng đọc đồ thị bằng cách thay điểm đã biết vào từng công thức

y = a x^{2}

để tìm đúng hệ số

a

. Bẫy ở chỗ bốn phương án đều dùng các phân số quen thuộc (

\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}

) nên dễ chọn nhầm nếu không thay số cẩn thận.

1Cách 1. Thay điểm

(3; 3)

vào từng phương án

Định hướng. Đồ thị mở lên nên $a > 0$ , loại ngay B; với ba phương án còn lại, thay $x = 3$ để so $y$ với $3$ .

y = 3^{2} = 9 \neq = 3

.
C:

y = \frac{1}{4} \cdot 9 = \frac{9}{4} \neq = 3

.
D:

y = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3

, đúng.

Vậy hàm số cần tìm là $y = \frac{1}{3} x^{2}$ , chọn D.

2Cách 2. Tính hệ số

a

trực tiếp từ điểm đã biết

Định hướng. Dùng công thức $a = \frac{y _{0}}{x _{0}^{2}}$ với điểm $(3; 3)$ đọc được trên hình.

a = \frac{3}{3 ^{2}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

Vậy $a = \frac{1}{3}$ , hàm số là $y = \frac{1}{3} x^{2}$ , chọn D.

3Cách 3. Loại trừ theo độ "rộng hẹp" của parabol

Định hướng. Hệ số $∣ a ∣$ càng nhỏ thì parabol càng "thoải" (rộng), $∣ a ∣$ càng lớn thì càng "hẹp"; so hình vẽ với độ mở của từng phương án quanh $x = 3$ .

a = 1

(A) cho

y (3) = 9

— quá cao so với hình.

a = \frac{1}{4}

y (3) = 2, 25

— hơi thấp so với hình.

a = \frac{1}{3}

(D) cho

y (3) = 3

— khớp đúng độ cao đỉnh cong trên hình.

Vậy D là hàm số khớp hình vẽ nhất, xác nhận lại kết quả hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra chéo, không thay được việc tính chính xác bằng Cách 1, 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: viết thẳng

a = \frac{y _{0}}{x _{0}^{2}}

và thay số, nhanh hơn thử cả bốn phương án.

Đáp số. Chọn D:

y = \frac{1}{3} x^{2}

Sai lầm thường gặp. Không loại B ngay từ đầu dù đồ thị rõ ràng mở lên (hình vẽ có

a < 0

là vô lí), mất thời gian thử cả bốn phương án thay vì ba.

🚀 Mở rộng. Nếu điểm đọc được trên hình đổi thành

(3; 6)

thì

a = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

— cùng một cách làm, chỉ khác số liệu đọc từ đồ thị.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 2 (trắc nghiệm)★★Trang 18— Lập phương trình từ điều kiện liên hệ giữa hoành độ và tung độ trên parabol

Bài 2 (trang 18). Cho hàm số

y = - \frac{2}{5} x^{2}

có đồ thị là parabol

(P)

. Điểm trên

(P)

khác gốc toạ độ

O (0; 0)

có tung độ gấp ba lần hoành độ thì có hoành độ là
A.

- \frac{15}{2}

. B.

\frac{15}{2}

. C.

\frac{2}{15}

. D.

- \frac{2}{15}

Kiến thức cần nhớ

Điểm $(x_{0}; y_{0})$ thuộc $(P) : y = a x^{2}$ thoả $y_{0} = a x_{0}^{2}$ .
"Tung độ gấp ba lần hoành độ" nghĩa là $y_{0} = 3 x_{0}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề mô tả mối liên hệ "tung độ gấp ba lần hoành độ" thay vì cho sẵn toạ độ — dấu hiệu phải đặt

y = 3 x

rồi thế vào phương trình parabol để lập một phương trình một ẩn

x

. Bẫy ở chỗ phương trình sau khi rút gọn có nghiệm

x = 0

(chính là gốc toạ độ, đề đã loại), nên phải nhớ loại nghiệm này trước khi chọn đáp án.

1Cách 1. Đặt điều kiện

y = 3 x

rồi thế vào phương trình parabol

Định hướng. Gọi điểm cần tìm là $(x; 3 x)$ với $x \neq = 0$ , thay vào $y = - \frac{2}{5} x^{2}$ .

3 x = - \frac{2}{5} x^{2} \Leftrightarrow \frac{2}{5} x^{2} + 3 x = 0 \Leftrightarrow x (\frac{2}{5} x + 3) = 0

x = 0

(loại vì là gốc toạ độ) hoặc

\frac{2}{5} x = - 3 \Rightarrow x = - \frac{15}{2}

Vậy hoành độ cần tìm là $- \frac{15}{2}$ , chọn A.

2Cách 2. Quy về phương trình bậc hai ẩn

x

Định hướng. Nhân hai vế cho hết mẫu, đưa về phương trình bậc hai dạng chuẩn rồi dùng Viète hoặc nhẩm nghiệm.

\frac{2}{5} x^{2} + 3 x = 0

, nhân

5

2 x^{2} + 15 x = 0 \Leftrightarrow x (2 x + 15) = 0

x = 0

hoặc

x = - \frac{15}{2}

Vậy vì $x \neq = 0$ nên $x = - \frac{15}{2}$ , chọn A.

3Cách 3. Thử ngược từng phương án

Định hướng. Thay từng hoành độ vào $y = - \frac{2}{5} x^{2}$ , kiểm tra xem tung độ có gấp ba lần hoành độ hay không.

x = - \frac{15}{2}

y = - \frac{2}{5} \cdot \frac{225}{4} = - \frac{45}{2}

;

3 x = - \frac{45}{2}

, khớp.
B:

x = \frac{15}{2}

y = - \frac{45}{2}

nhưng

3 x = \frac{45}{2}

, không khớp (sai dấu).

Vậy chỉ A thoả mãn, chọn A.

Nhận xét. Phương án B chính là bẫy đổi dấu của đáp án đúng, phải cẩn thận kiểm tra cả dấu chứ không chỉ độ lớn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đưa ngay về phương trình bậc hai với hệ số nguyên rồi phân tích nhân tử, tránh làm việc với phân số ở mọi bước như Cách 1.

Đáp số. Chọn A:

x = - \frac{15}{2}

Sai lầm thường gặp. Quên loại nghiệm

x = 0

(ứng với gốc toạ độ mà đề đã loại trừ), dẫn tới lúng túng khi thấy phương trình có hai nghiệm nhưng đề chỉ hỏi một giá trị.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi thành "tung độ gấp ba lần hoành độ và bằng

- 6

" thì có thêm một phương trình nữa để thử lại chéo: từ

y = - 6

suy ra

x = - 2

, khớp với

3 x = - 6

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 3 (trắc nghiệm)★★Trang 18— Đếm số điểm thuộc đồ thị hàm số

y = a x^{2}

Bài 3 (trang 18). Trong các điểm

A (1; - 2)

B (- 1; - 1)

C (10; - 200)

D (10; - 20)

, có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị của hàm số

y = - 2 x^{2}

?
A.

2

. B.

1

. C.

3

. D.

4

Kiến thức cần nhớ

Điểm $(x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị $y = a x^{2}$ khi và chỉ khi $y_{0} = a x_{0}^{2}$ .
$(10)^{2} = 10$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 4 (trắc nghiệm)★★Trang 19— Tìm giao điểm của parabol và đường thẳng

Bài 4 (trang 19). Toạ độ một giao điểm của parabol

(P) : y = \frac{1}{2} x^{2}

và đường thẳng

(d) : y = x + \frac{3}{2}

là
A.

(1; \frac{1}{2})

. B.

(\frac{1}{2}; 2)

. C.

(- \frac{1}{2}; 1)

. D.

(- 1; \frac{1}{2})

Kiến thức cần nhớ

Hoành độ giao điểm của $(P) : y = a x^{2}$ và $(d) : y = m x + n$ là nghiệm của phương trình $a x^{2} = m x + n$ .
Sau khi có hoành độ giao điểm, thay vào một trong hai công thức để tìm tung độ tương ứng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 5 (trắc nghiệm)★★★Trang 19— Tìm tham số

m

để điểm cho trước thuộc parabol có hệ số vô tỉ

Bài 5 (trang 19). Để điểm

A (- \frac{2}{5}; m 5)

nằm trên parabol

y = - 5 x^{2}

thì giá trị của

m

bằng
A.

- \frac{5}{2}

. B.

\frac{2}{5}

. C.

- \frac{2}{5}

. D.

\frac{5}{2}

Kiến thức cần nhớ

Điểm $(x_{0}; y_{0})$ thuộc $y = a x^{2}$ thoả $y_{0} = a x_{0}^{2}$ .
$(\frac{2}{5})^{2} = \frac{2}{5}$ ; có thể chia hai vế cho $5 \neq = 0$ khi nó xuất hiện ở cả hai bên.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6 (trắc nghiệm)★★★Trang 19— Tìm tham số của parabol từ một giao điểm, rồi tìm giao điểm còn lại

Bài 6 (trang 19). Cho parabol

(P) : y = (m - \frac{3}{4}) x^{2}

, với

m \neq = \frac{3}{4}

và đường thẳng

(d) : y = 3 x - 5

. Biết đường thẳng

(d)

cắt

(P)

tại một điểm có tung độ

y = 1

. Tìm

m

và hoành độ giao điểm còn lại.
A.

m = 0; x = 2

. B.

m = 1; x = 2

. C.

m = 1; x = 10

. D.

m = \frac{5}{4}; x = 10

Kiến thức cần nhớ

Điểm $(x_{0}; y_{0})$ thuộc đường thẳng $(d)$ thoả $y_{0} = 3 x_{0} - 5$ ; thuộc $(P)$ thoả $y_{0} = (m - \frac{3}{4}) x_{0}^{2}$ .
Hoành độ các giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là nghiệm của phương trình $(m - \frac{3}{4}) x^{2} = 3 x - 5$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 7 (trắc nghiệm)★Trang 19— Tính tổng hai nghiệm bằng định lí Viète

Bài 7 (trang 19). Không giải phương trình, hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình

- 3 x^{2} + 5 x + 1 = 0

.
A.

- \frac{5}{6}

. B.

\frac{5}{3}

. C.

- \frac{5}{3}

. D.

\frac{5}{6}

Kiến thức cần nhớ

Với phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq = 0$ ) có nghiệm, Viète cho $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 8 (trắc nghiệm)★★★Trang 19— Tính biểu thức đối xứng dạng phân thức bằng Viète

Bài 8 (trang 19). Gọi

x_{1}, x_{2}

là hai nghiệm của phương trình

- x^{2} - 4 x + 6 = 0

. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức

M = \frac{1}{x _{1} + 2} + \frac{1}{x _{2} + 2}

.
A.

M = 0

. B.

M = 1

. C.

M = 4

. D.

M = - 2

Kiến thức cần nhớ

Viète: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .
Quy đồng: $\frac{1}{x _{1} + 2} + \frac{1}{x _{2} + 2} = \frac{( x _{1} + 2 ) + ( x _{2} + 2 )}{( x _{1} + 2 ) ( x _{2} + 2 )}$ .
$(x_{1} + 2) (x_{2} + 2) = x_{1} x_{2} + 2 (x_{1} + x_{2}) + 4$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 9 (trắc nghiệm)★★★Trang 19— Biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai theo tham số bằng

Δ^{'}

Bài 9 (trang 19). Tìm điều kiện của tham số

m

để phương trình

x^{2} - 2 (m - 2) x + m^{2} - 3 m + 5 = 0

có hai nghiệm phân biệt.
A.

m \leq - 1

. B.

m = - 1

. C.

m > - 1

. D.

m < - 1

Kiến thức cần nhớ

Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq = 0$ ) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $Δ > 0$ (hoặc $Δ^{'} > 0$ nếu $b = 2 b^{'}$ ).
$Δ^{'} = b^{'2} - a c$ với $b^{'} = \frac{b}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 10 (trắc nghiệm)★Trang 19— Lập phương trình bậc hai biết tổng và tích hai nghiệm (Viète đảo)

Bài 10 (trang 19). Nếu hai số

u, x

có tổng là

7

và tích là

- 8

thì chúng là hai nghiệm của phương trình nào?
A.

x^{2} + 7 x - 8 = 0

. B.

x^{2} - 7 x - 8 = 0

. C.

x^{2} + 7 x + 8 = 0

. D.

x^{2} - 7 x + 8 = 0

Kiến thức cần nhớ

Định lí Viète đảo: nếu $u + v = S$ , $uv = P$ thì $u, v$ là hai nghiệm của $x^{2} - S x + P = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 6.33★★Trang 20— Vẽ đồ thị

y = a x^{2}

và tính chất đối xứng qua trục tung

6.33 (trang 20). Cho hai hàm số:

y = - \frac{3}{2} x^{2}

và

y = x^{2}

.
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng một mặt phẳng toạ độ.
b) Tìm điểm

A

nằm trên đồ thị của hàm số

y = - \frac{3}{2} x^{2}

và điểm

B

nằm trên đồ thị của hàm số

y = x^{2}

, biết rằng chúng đều có hoành độ là

x = 2

.
c) Gọi

A^{'}, B^{'}

lần lượt là các điểm đối xứng của

A, B

qua trục tung

O y

. Tìm toạ độ của

A^{'}, B^{'}

và chứng minh hai điểm này tương ứng nằm trên hai đồ thị của hàm số đi qua

A, B

Kiến thức cần nhớ

Đồ thị hàm số $y = a x^{2}$ nhận trục tung $O y$ làm trục đối xứng vì $f (- x) = a (- x)^{2} = a x^{2} = f (x)$ .
Điểm đối xứng của $(x_{0}; y_{0})$ qua $O y$ là $(- x_{0}; y_{0})$ (giữ nguyên tung độ, đổi dấu hoành độ).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 6.34★★★Trang 20— Biện luận phương trình chứa tham số ở hệ số bậc hai

6.34 (trang 20). Cho phương trình

(m + 1) x^{2} - 3 x + 1 = 0

.
a) Giải phương trình khi

m = 1

.
b) Tìm điều kiện của

m

để phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn.
c) Tìm điều kiện của

m

để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm.

Kiến thức cần nhớ

Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ là phương trình bậc hai một ẩn khi và chỉ khi $a \neq = 0$ .
Với $a \neq = 0$ : $Δ > 0$ ⇒ hai nghiệm phân biệt; $Δ = 0$ ⇒ nghiệm kép; $Δ < 0$ ⇒ vô nghiệm.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 6.35★★★Trang 20— Tìm hai số biết hiệu và tích, hoặc tổng bình phương và tích

6.35 (trang 20). Tìm hai số

u

và

v

, biết:
a)

u - v = 2

và

uv = 255

;
b)

u^{2} + v^{2} = 346

và

uv = 165

Kiến thức cần nhớ

Hai số có tổng $S$ , tích $P$ là nghiệm của $x^{2} - S x + P = 0$ .
$(u + v)^{2} = u^{2} + v^{2} + 2 uv$ ; nếu biết $u^{2} + v^{2}$ và $uv$ thì suy ra được $(u + v)^{2}$ , từ đó $u + v = \pm (u + v)^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 6.36★★★Trang 20— Bài toán thực tế: lập phương trình bậc hai từ hàm doanh thu

6.36 (trang 20). Phương trình cầu đối với một sản phẩm là

p = 60 - 0, 0004 x

, trong đó

p

là giá tiền của mỗi sản phẩm (USD) và

x

là số lượng sản phẩm đã bán. Doanh thu

R

(USD) thu được từ việc bán

x

sản phẩm là

R (x) = x p = x (60 - 0, 0004 x)

. Hỏi cần bán bao nhiêu sản phẩm để đạt doanh thu

220000

USD?

Kiến thức cần nhớ

Doanh thu $=$ số lượng bán $\times$ giá bán một sản phẩm: $R = x p$ .
Với phương trình bậc hai hệ số thập phân nhỏ, nên nhân hai vế cho luỹ thừa của $10$ thích hợp trước khi tính $Δ$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 6.37★★★Trang 20— Bài toán thực tế: chuyển động ném thẳng đứng, giải và biện luận phương trình bậc hai

6.37 (trang 20). Độ cao

h (t)

(feet) của một vật sau

t

giây kể từ khi nó được phóng thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là

85

feet/giây được cho bởi công thức

h (t) = - 16 t^{2} + 85 t

.
a) Sau bao lâu vật đạt độ cao

50

feet?
b) Vật có đạt được độ cao

120

feet hay không?

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm $t$ ứng với độ cao cho trước, giải phương trình $h (t) =$ giá trị đó.
Phương trình bậc hai vô nghiệm ( $Δ < 0$ ) nghĩa là độ cao đó không bao giờ đạt tới trong suốt quá trình chuyển động.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 6.38★★★Trang 21— Bài toán thực tế: giải phương trình bậc hai rồi làm tròn theo yêu cầu đề

6.38 (trang 21). Công thức tính huyết áp tâm thu bình thường (kí hiệu là

P

) của một người đàn ông ở độ tuổi

A

, được đo bằng mmHg, được đưa ra như sau:

P = 0, 006 A^{2} - 0, 02 A + 120

. Tìm tuổi (làm tròn đến năm gần nhất) của người đàn ông có huyết áp bình thường là

125

mmHg.

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm $A$ khi biết $P$ , thay số vào công thức rồi giải phương trình bậc hai theo $A$ , chỉ lấy nghiệm dương vì tuổi $A > 0$ .
"Làm tròn đến năm gần nhất" nghĩa là làm tròn kết quả về số nguyên gần nhất.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Bài 6.39★★Trang 21— Bài toán thực tế: thay số và giải phương trình bậc hai từ công thức tổ hợp

6.39 (trang 21). Trong một giải cờ vua thi đấu vòng tròn tính điểm, mỗi người chơi đấu với một người chơi khác đúng một lần. Nếu có

x

người chơi thì tổng số ván cờ được tính theo công thức

N = \frac{x ^{2} - x}{2}

.
a) Nếu một giải đấu có

10

người chơi thì có tất cả bao nhiêu ván cờ?
b) Trong một giải cờ vua thi đấu vòng tròn có tất cả

36

ván cờ, hỏi có bao nhiêu người chơi đã tham gia giải đấu?

Kiến thức cần nhớ

Số ván đấu vòng tròn của $x$ người chính là số cách chọn $2$ người trong $x$ người: $N = (2 x) = \frac{x ( x - 1 )}{2} = \frac{x ^{2} - x}{2}$ .
Số người chơi $x$ phải là số nguyên dương, $x \geq 2$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · Bài 6.40★★★Trang 21— Bài toán năng suất hai vòi nước, lập hệ phương trình rồi quy về phương trình bậc nhất nhờ dữ kiện đã biết trước

6.40 (trang 21). Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn, sau

4 \frac{4}{5}

giờ thì đầy bể. Nếu lúc đầu để vòi thứ nhất chảy riêng và

9

giờ sau mở thêm vòi thứ hai thì sau

\frac{6}{5}

giờ nữa mới đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể?

Kiến thức cần nhớ

Nếu vòi chảy một mình xong bể trong $t$ giờ thì mỗi giờ vòi đó chảy được $\frac{1}{t}$ bể (năng suất).
$4 \frac{4}{5} = \frac{24}{5}$ giờ; năng suất chảy chung $= \frac{1}{24/5} = \frac{5}{24}$ bể/giờ.