Chương VI. Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài tập cuối chương VI

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 18 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 1 (trắc nghiệm)★Trang 18— Xác định hàm số

y = a x^{2}

từ đồ thị đi qua một điểm cho trước

Bài 1 (trang 18). Hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
A.

y = x^{2}

. B.

y = - \frac{1}{2} x^{2}

. C.

y = \frac{1}{4} x^{2}

. D.

y = \frac{1}{3} x^{2}

Kiến thức cần nhớ

Đồ thị hàm số $y = a x^{2}$ đi qua điểm $(x_{0}; y_{0})$ khi và chỉ khi $y_{0} = a x_{0}^{2}$ .
Đồ thị mở lên khi $a > 0$ , mở xuống khi $a < 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình vẽ cho một parabol mở lên đi qua điểm có toạ độ đẹp

(3; 3)

— dấu hiệu của dạng đọc đồ thị bằng cách thay điểm đã biết vào từng công thức

y = a x^{2}

để tìm đúng hệ số

a

. Bẫy ở chỗ bốn phương án đều dùng các phân số quen thuộc (

\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}

) nên dễ chọn nhầm nếu không thay số cẩn thận.

1Cách 1. Thay điểm

(3; 3)

vào từng phương án

Định hướng. Đồ thị mở lên nên $a > 0$ , loại ngay B; với ba phương án còn lại, thay $x = 3$ để so $y$ với $3$ .

y = 3^{2} = 9 \neq = 3

.
C:

y = \frac{1}{4} \cdot 9 = \frac{9}{4} \neq = 3

.
D:

y = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3

, đúng.

Vậy hàm số cần tìm là $y = \frac{1}{3} x^{2}$ , chọn D.

2Cách 2. Tính hệ số

a

trực tiếp từ điểm đã biết

Định hướng. Dùng công thức $a = \frac{y _{0}}{x _{0}^{2}}$ với điểm $(3; 3)$ đọc được trên hình.

a = \frac{3}{3 ^{2}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

Vậy $a = \frac{1}{3}$ , hàm số là $y = \frac{1}{3} x^{2}$ , chọn D.

3Cách 3. Loại trừ theo độ "rộng hẹp" của parabol

Định hướng. Hệ số $∣ a ∣$ càng nhỏ thì parabol càng "thoải" (rộng), $∣ a ∣$ càng lớn thì càng "hẹp"; so hình vẽ với độ mở của từng phương án quanh $x = 3$ .

a = 1

(A) cho

y (3) = 9

— quá cao so với hình.

a = \frac{1}{4}

y (3) = 2, 25

— hơi thấp so với hình.

a = \frac{1}{3}

(D) cho

y (3) = 3

— khớp đúng độ cao đỉnh cong trên hình.

Vậy D là hàm số khớp hình vẽ nhất, xác nhận lại kết quả hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra chéo, không thay được việc tính chính xác bằng Cách 1, 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: viết thẳng

a = \frac{y _{0}}{x _{0}^{2}}

và thay số, nhanh hơn thử cả bốn phương án.

Đáp số. Chọn D:

y = \frac{1}{3} x^{2}

Sai lầm thường gặp. Không loại B ngay từ đầu dù đồ thị rõ ràng mở lên (hình vẽ có

a < 0

là vô lí), mất thời gian thử cả bốn phương án thay vì ba.

🚀 Mở rộng. Nếu điểm đọc được trên hình đổi thành

(3; 6)

thì

a = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

— cùng một cách làm, chỉ khác số liệu đọc từ đồ thị.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 2 (trắc nghiệm)★★Trang 18— Lập phương trình từ điều kiện liên hệ giữa hoành độ và tung độ trên parabol

Bài 2 (trang 18). Cho hàm số

y = - \frac{2}{5} x^{2}

có đồ thị là parabol

(P)

. Điểm trên

(P)

khác gốc toạ độ

O (0; 0)

có tung độ gấp ba lần hoành độ thì có hoành độ là
A.

- \frac{15}{2}

. B.

\frac{15}{2}

. C.

\frac{2}{15}

. D.

- \frac{2}{15}

Kiến thức cần nhớ

Điểm $(x_{0}; y_{0})$ thuộc $(P) : y = a x^{2}$ thoả $y_{0} = a x_{0}^{2}$ .
"Tung độ gấp ba lần hoành độ" nghĩa là $y_{0} = 3 x_{0}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề mô tả mối liên hệ "tung độ gấp ba lần hoành độ" thay vì cho sẵn toạ độ — dấu hiệu phải đặt

y = 3 x

rồi thế vào phương trình parabol để lập một phương trình một ẩn

x

. Bẫy ở chỗ phương trình sau khi rút gọn có nghiệm

x = 0

(chính là gốc toạ độ, đề đã loại), nên phải nhớ loại nghiệm này trước khi chọn đáp án.

1Cách 1. Đặt điều kiện

y = 3 x

rồi thế vào phương trình parabol

Định hướng. Gọi điểm cần tìm là $(x; 3 x)$ với $x \neq = 0$ , thay vào $y = - \frac{2}{5} x^{2}$ .

3 x = - \frac{2}{5} x^{2} \Leftrightarrow \frac{2}{5} x^{2} + 3 x = 0 \Leftrightarrow x (\frac{2}{5} x + 3) = 0

x = 0

(loại vì là gốc toạ độ) hoặc

\frac{2}{5} x = - 3 \Rightarrow x = - \frac{15}{2}

Vậy hoành độ cần tìm là $- \frac{15}{2}$ , chọn A.

2Cách 2. Quy về phương trình bậc hai ẩn

x

Định hướng. Nhân hai vế cho hết mẫu, đưa về phương trình bậc hai dạng chuẩn rồi dùng Viète hoặc nhẩm nghiệm.

\frac{2}{5} x^{2} + 3 x = 0

, nhân

5

2 x^{2} + 15 x = 0 \Leftrightarrow x (2 x + 15) = 0

x = 0

hoặc

x = - \frac{15}{2}

Vậy vì $x \neq = 0$ nên $x = - \frac{15}{2}$ , chọn A.

3Cách 3. Thử ngược từng phương án

Định hướng. Thay từng hoành độ vào $y = - \frac{2}{5} x^{2}$ , kiểm tra xem tung độ có gấp ba lần hoành độ hay không.

x = - \frac{15}{2}

y = - \frac{2}{5} \cdot \frac{225}{4} = - \frac{45}{2}

;

3 x = - \frac{45}{2}

, khớp.
B:

x = \frac{15}{2}

y = - \frac{45}{2}

nhưng

3 x = \frac{45}{2}

, không khớp (sai dấu).

Vậy chỉ A thoả mãn, chọn A.

Nhận xét. Phương án B chính là bẫy đổi dấu của đáp án đúng, phải cẩn thận kiểm tra cả dấu chứ không chỉ độ lớn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đưa ngay về phương trình bậc hai với hệ số nguyên rồi phân tích nhân tử, tránh làm việc với phân số ở mọi bước như Cách 1.

Đáp số. Chọn A:

x = - \frac{15}{2}

Sai lầm thường gặp. Quên loại nghiệm

x = 0

(ứng với gốc toạ độ mà đề đã loại trừ), dẫn tới lúng túng khi thấy phương trình có hai nghiệm nhưng đề chỉ hỏi một giá trị.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi thành "tung độ gấp ba lần hoành độ và bằng

- 6

" thì có thêm một phương trình nữa để thử lại chéo: từ

y = - 6

suy ra

x = - 2

, khớp với

3 x = - 6

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 3 (trắc nghiệm)★★Trang 18— Đếm số điểm thuộc đồ thị hàm số

y = a x^{2}

Bài 3 (trang 18). Trong các điểm

A (1; - 2)

B (- 1; - 1)

C (10; - 200)

D (10; - 20)

, có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị của hàm số

y = - 2 x^{2}

?
A.

2

. B.

1

. C.

3

. D.

4

Kiến thức cần nhớ

Điểm $(x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị $y = a x^{2}$ khi và chỉ khi $y_{0} = a x_{0}^{2}$ .
$(10)^{2} = 10$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bốn điểm với toạ độ gồm cả số nguyên và căn thức — dấu hiệu phải kiểm tra từng điểm một cách có hệ thống bằng cách thay hoành độ vào công thức, đặc biệt cẩn thận với điểm chứa

10

vì

(10)^{2} = 10

chứ không phải chính nó. Bẫy nằm ở điểm

B

: tưởng thuộc đồ thị vì có cùng dấu âm với các điểm khác mà không thay số.

1Cách 1. Kiểm tra tuần tự từng điểm

Định hướng. Thay hoành độ của mỗi điểm vào $y = - 2 x^{2}$ rồi so với tung độ đã cho.

A

- 2 \cdot 1^{2} = - 2

, khớp

- 2

⇒ thuộc.

B

- 2 \cdot (- 1)^{2} = - 2

, nhưng tung độ cho là

- 1

⇒ không thuộc.

C

- 2 \cdot 1 0^{2} = - 200

, khớp

- 200

⇒ thuộc.

D

- 2 \cdot (10)^{2} = - 2 \cdot 10 = - 20

, khớp

- 20

⇒ thuộc.

Vậy có $3$ điểm ( $A$ , $C$ , $D$ ) thuộc đồ thị, chọn C.

2Cách 2. So sánh tỉ số

\frac{y _{0}}{x _{0}^{2}}

với

a = - 2

Định hướng. Với mỗi điểm có $x_{0} \neq = 0$ , tính $\frac{y _{0}}{x _{0}^{2}}$ rồi so với hệ số $- 2$ của đề.

A

\frac{- 2}{1} = - 2

✓.

B

\frac{- 1}{1} = - 1 \neq = - 2

✗.

C

\frac{- 200}{100} = - 2

✓.

D

\frac{- 20}{10} = - 2

✓.

Vậy có đúng $3$ điểm thoả $\frac{y _{0}}{x _{0}^{2}} = - 2$ , chọn C.

3Cách 3. Nhận xét dấu trước, tính sau

Định hướng. Vì $a = - 2 < 0$ nên mọi điểm thuộc đồ thị (trừ gốc toạ độ) đều có $y_{0} < 0$ ; bốn điểm đều có tung độ âm nên chưa loại được điểm nào bằng dấu, phải tính trực tiếp như Cách 1.

Không loại được điểm nào chỉ bằng dấu ⇒ bắt buộc tính từng điểm như Cách 1, kết quả vẫn là

A, C, D

thuộc,

B

không thuộc.

Vậy có $3$ điểm thuộc đồ thị, chọn C.

Nhận xét. Cách 3 chỉ có tác dụng sàng lọc nhanh khi có điểm tung độ dương lẫn vào — ở bài này không giúp rút ngắn phép tính.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: lập tỉ số

\frac{y _{0}}{x _{0}^{2}}

cho cả bốn điểm rồi so nhanh với

- 2

, tránh phải viết lại phép nhân cho từng điểm như Cách 1.

Đáp số. Chọn C: có

3

điểm (

A

C

D

) thuộc đồ thị.

Sai lầm thường gặp. Thấy điểm

B (- 1; - 1)

có tung độ âm giống các điểm khác rồi vội cho là thuộc đồ thị mà không thay số — thực chất

- 2 \cdot (- 1)^{2} = - 2 \neq = - 1

🚀 Mở rộng. Với điểm dạng

(k; y_{0})

tổng quát, luôn có

(k)^{2} = k

— đây là mấu chốt để kiểm tra nhanh các điểm có hoành độ vô tỉ mà tung độ lại là số nguyên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 4 (trắc nghiệm)★★Trang 19— Tìm giao điểm của parabol và đường thẳng

Bài 4 (trang 19). Toạ độ một giao điểm của parabol

(P) : y = \frac{1}{2} x^{2}

và đường thẳng

(d) : y = x + \frac{3}{2}

là
A.

(1; \frac{1}{2})

. B.

(\frac{1}{2}; 2)

. C.

(- \frac{1}{2}; 1)

. D.

(- 1; \frac{1}{2})

Kiến thức cần nhớ

Hoành độ giao điểm của $(P) : y = a x^{2}$ và $(d) : y = m x + n$ là nghiệm của phương trình $a x^{2} = m x + n$ .
Sau khi có hoành độ giao điểm, thay vào một trong hai công thức để tìm tung độ tương ứng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn công thức parabol và đường thẳng, hỏi giao điểm — dấu hiệu của dạng lập phương trình hoành độ giao điểm

\frac{1}{2} x^{2} = x + \frac{3}{2}

rồi giải. Bẫy ở chỗ phương trình có hai nghiệm (hai giao điểm) nhưng đề chỉ hỏi "một giao điểm", cần đối chiếu cả hai với bốn phương án để chọn đúng.

1Cách 1. Lập phương trình hoành độ giao điểm

Định hướng. Cho hai vế bằng nhau, đưa về phương trình bậc hai rồi giải.

\frac{1}{2} x^{2} = x + \frac{3}{2} \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0

.
Nhẩm nghiệm:

x_{1} = 3

x_{2} = - 1

(vì

3 + (- 1) = 2

... kiểm tra lại: tổng phải

= 2

, tích

= - 3

⇒

3

và

- 1

thoả).
Với

x = - 1

y = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}

. Với

x = 3

y = \frac{1}{2} \cdot 9 = \frac{9}{2}

Vậy hai giao điểm là $(- 1; \frac{1}{2})$ và $(3; \frac{9}{2})$ ; đối chiếu bốn phương án, chọn D.

2Cách 2. Thử ngược từng phương án vào cả hai công thức

Định hướng. Một điểm là giao điểm khi nó thoả mãn đồng thời cả phương trình $(P)$ lẫn $(d)$ ; thử lần lượt bốn phương án.

x = - 1

. Trên

(P)

y = \frac{1}{2} (- 1)^{2} = \frac{1}{2}

✓. Trên

(d)

y = - 1 + \frac{3}{2} = \frac{1}{2}

✓.
A:

x = 1

. Trên

(P)

y = \frac{1}{2}

✓. Trên

(d)

y = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2} \neq = \frac{1}{2}

✗.

Vậy chỉ D thoả cả hai phương trình đồng thời, chọn D.

3Cách 3. Dùng Viète để kiểm tra nghiệm còn lại

Định hướng. Sau khi tìm được một nghiệm $x = - 1$ của phương trình $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ , dùng Viète suy ra nghiệm còn lại mà không cần giải lại từ đầu.

Tổng hai nghiệm

= 2

(theo Viète), một nghiệm là

- 1

⇒ nghiệm kia là

2 - (- 1) = 3

.
Tích hai nghiệm

= - 3

: kiểm tra

(- 1) \cdot 3 = - 3

✓, khớp hệ số.

Vậy hai hoành độ giao điểm là $- 1$ và $3$ , giao điểm ứng với phương án D là đúng.

Nhận xét. Giao điểm còn lại $(3; \frac{9}{2})$ không xuất hiện trong bốn phương án — đề chỉ hỏi "một" giao điểm nên không cần lo lắng khi không thấy điểm kia.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 khi đề đã cho sẵn bốn phương án: thử trực tiếp nhanh hơn giải phương trình bậc hai từ đầu, đặc biệt khi phương trình không nhẩm nghiệm ngay được.

Đáp số. Chọn D:

(- 1; \frac{1}{2})

Sai lầm thường gặp. Giải đúng phương trình hoành độ nhưng chỉ lấy một nghiệm rồi quên kiểm tra nghiệm còn lại có khớp phương án nào không, dẫn đến bỏ sót hoặc chọn nhầm khi đề đổi số.

🚀 Mở rộng. Giao điểm còn lại

(3; \frac{9}{2})

tuy không có trong bốn phương án nhưng vẫn là một giao điểm hợp lệ của

(P)

và

(d)

— bài toán tổng quát luôn có tối đa hai giao điểm giữa một parabol và một đường thẳng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 5 (trắc nghiệm)★★★Trang 19— Tìm tham số

m

để điểm cho trước thuộc parabol có hệ số vô tỉ

Bài 5 (trang 19). Để điểm

A (- \frac{2}{5}; m 5)

nằm trên parabol

y = - 5 x^{2}

thì giá trị của

m

bằng
A.

- \frac{5}{2}

. B.

\frac{2}{5}

. C.

- \frac{2}{5}

. D.

\frac{5}{2}

Kiến thức cần nhớ

Điểm $(x_{0}; y_{0})$ thuộc $y = a x^{2}$ thoả $y_{0} = a x_{0}^{2}$ .
$(\frac{2}{5})^{2} = \frac{2}{5}$ ; có thể chia hai vế cho $5 \neq = 0$ khi nó xuất hiện ở cả hai bên.

🧠 Phân tích tư duy

Toạ độ điểm

A

và hệ số của parabol đều chứa căn thức — dấu hiệu cần bình phương cẩn thận

(\frac{2}{5})^{2} = \frac{2}{5}

trước khi rút gọn, tránh nhân/chia căn thức bừa bãi. Bẫy ở việc quên rút gọn

5

ở hai vế khiến

m

còn sót căn thức trong khi bốn phương án đều là số hữu tỉ.

1Cách 1. Thay toạ độ điểm

A

vào phương trình parabol

Định hướng. Thay $x = - \frac{2}{5}$ , $y = m 5$ vào $y = - 5 x^{2}$ rồi rút gọn để tìm $m$ .

m 5 = - 5 (- \frac{2}{5})^{2} = - 5 \cdot \frac{2}{5} = - \frac{2 5}{5}

.
Chia hai vế cho

5

m = - \frac{2}{5}

Vậy $m = - \frac{2}{5}$ , chọn C.

2Cách 2. Bình phương hai vế để loại căn thức trước

Định hướng. Vì cả hai vế của $m 5 = - \frac{2 5}{5}$ đều chứa nhân tử $5$ , bình phương hai vế để kiểm tra độc lập rồi xét dấu.

Từ

m 5 = - 5 \cdot \frac{2}{5}

: bình phương:

5 m^{2} = 5 \cdot \frac{4}{25} = \frac{4}{5} \Rightarrow m^{2} = \frac{4}{25} \Rightarrow m = \pm \frac{2}{5}

.
Vì vế phải ban đầu âm (

- \frac{2 5}{5} < 0

) và

5 > 0

nên

m < 0

Vậy $m = - \frac{2}{5}$ , chọn C.

3Cách 3. Thử ngược từng phương án

Định hướng. Thay lần lượt bốn giá trị $m$ vào toạ độ điểm $A$ rồi kiểm tra có thoả phương trình parabol hay không.

m = - \frac{2}{5}

y = - \frac{2}{5} 5

. Tính

- 5 x^{2} = - 5 \cdot \frac{2}{5} = - \frac{2 5}{5} = - \frac{2}{5} 5

, khớp.

Vậy chỉ C thoả mãn, chọn C.

Nhận xét. Phương án B ( $\frac{2}{5}$ ) là bẫy thiếu dấu âm — cần chú ý dấu " $-$ " trước $5 x^{2}$ trong công thức parabol.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay số và rút gọn từng bước có kiểm soát dấu rõ ràng, an toàn hơn bình phương hai vế rồi phải xét dấu ngược lại như Cách 2.

Đáp số. Chọn C:

m = - \frac{2}{5}

Sai lầm thường gặp. Bỏ sót dấu "

-

" trước

5 x^{2}

trong công thức parabol, dẫn tới tính ra

m = \frac{2}{5}

(phương án B) thay vì

- \frac{2}{5}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi điểm thành

A (\frac{2}{5}; m 5)

(đổi dấu hoành độ) thì kết quả

m

không đổi, vì

x^{2}

luôn không âm không phụ thuộc dấu của

x

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6 (trắc nghiệm)★★★Trang 19— Tìm tham số của parabol từ một giao điểm, rồi tìm giao điểm còn lại

Bài 6 (trang 19). Cho parabol

(P) : y = (m - \frac{3}{4}) x^{2}

, với

m \neq = \frac{3}{4}

và đường thẳng

(d) : y = 3 x - 5

. Biết đường thẳng

(d)

cắt

(P)

tại một điểm có tung độ

y = 1

. Tìm

m

và hoành độ giao điểm còn lại.
A.

m = 0; x = 2

. B.

m = 1; x = 2

. C.

m = 1; x = 10

. D.

m = \frac{5}{4}; x = 10

Kiến thức cần nhớ

Điểm $(x_{0}; y_{0})$ thuộc đường thẳng $(d)$ thoả $y_{0} = 3 x_{0} - 5$ ; thuộc $(P)$ thoả $y_{0} = (m - \frac{3}{4}) x_{0}^{2}$ .
Hoành độ các giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là nghiệm của phương trình $(m - \frac{3}{4}) x^{2} = 3 x - 5$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề chia làm hai bước lồng nhau: trước hết dùng tung độ

y = 1

trên đường thẳng để tìm hoành độ giao điểm đã biết, sau đó thay điểm đó vào

(P)

để tìm

m

, cuối cùng mới giải phương trình hoành độ giao điểm đầy đủ để tìm điểm còn lại — dấu hiệu của dạng toán tham số nhiều bước. Bẫy ở chỗ dễ dừng lại sau khi tìm được

m

mà quên tính tiếp hoành độ giao điểm thứ hai theo đúng câu hỏi.

1Cách 1. Tìm điểm đã biết trước, thay vào

(P)

để tìm

m

, rồi giải nốt giao điểm còn lại

Định hướng. Từ $y = 1$ trên $(d)$ suy ra $x$ , thay điểm đó vào $(P)$ để tìm $m$ , sau đó giải phương trình hoành độ giao điểm đầy đủ.

y = 1

trên

(d)

1 = 3 x - 5 \Rightarrow x = 2

.
Điểm

(2; 1)

thuộc

(P)

1 = (m - \frac{3}{4}) \cdot 4 \Rightarrow m - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \Rightarrow m = 1

.
Khi đó

(P) : y = \frac{1}{4} x^{2}

. Phương trình giao điểm:

\frac{1}{4} x^{2} = 3 x - 5 \Leftrightarrow x^{2} - 12 x + 20 = 0

Δ = 144 - 80 = 64

x = \frac{12 \pm 8}{2}

⇒

x = 10

hoặc

x = 2

Vậy $m = 1$ và hoành độ giao điểm còn lại là $x = 10$ , chọn C.

2Cách 2. Dùng Viète để tìm nhanh nghiệm còn lại

Định hướng. Sau khi có $m = 1$ và phương trình $x^{2} - 12 x + 20 = 0$ với một nghiệm đã biết $x = 2$ , dùng Viète suy ra nghiệm kia mà không cần tính $Δ$ .

Theo Viète, tổng hai nghiệm

= 12

. Một nghiệm là

x = 2

⇒ nghiệm kia

= 12 - 2 = 10

.
Kiểm tra tích:

2 \cdot 10 = 20

, đúng bằng hệ số tự do.

Vậy hoành độ giao điểm còn lại là $x = 10$ , $m = 1$ , chọn C.

3Cách 3. Thử ngược bốn phương án

Định hướng. Với mỗi phương án, kiểm tra điểm $(2; 1)$ có thuộc $(P)$ ứng với $m$ đó hay không.

m = 1 \Rightarrow (P) : y = \frac{1}{4} x^{2}

. Tại

x = 2

y = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1

✓, khớp điểm đã biết.
A:

m = 0 \Rightarrow y = - \frac{3}{4} x^{2}

, tại

x = 2

y = - 3 \neq = 1

✗.

Vậy chỉ C cho điểm $(2; 1)$ thuộc đúng $(P)$ , chọn C.

Nhận xét. Phương án B có cùng $m = 1$ nhưng hoành độ còn lại ghi sai (giữ nguyên $x = 2$ thay vì tính giao điểm thứ hai) — đây là bẫy dành cho học sinh dừng lại quá sớm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: sau khi có một nghiệm và phương trình bậc hai, dùng Viète suy ra nghiệm còn lại nhanh hơn tính lại

Δ

và công thức nghiệm.

Đáp số. Chọn C:

m = 1

; hoành độ giao điểm còn lại

x = 10

Sai lầm thường gặp. Tìm đúng

m = 1

rồi dừng lại, chọn nhầm phương án B (giữ nguyên

x = 2

) vì quên đề còn hỏi "hoành độ giao điểm còn lại", tức giao điểm thứ hai chứ không phải điểm đã cho.

🚀 Mở rộng. Bài toán tổng quát: khi biết

(P)

và

(d)

cắt nhau tại một điểm có tung độ cho trước, luôn cần hai bước — tìm tham số rồi giải lại phương trình giao điểm đầy đủ — để không bỏ sót giao điểm còn lại.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 7 (trắc nghiệm)★Trang 19— Tính tổng hai nghiệm bằng định lí Viète

Bài 7 (trang 19). Không giải phương trình, hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình

- 3 x^{2} + 5 x + 1 = 0

.
A.

- \frac{5}{6}

. B.

\frac{5}{3}

. C.

- \frac{5}{3}

. D.

\frac{5}{6}

Kiến thức cần nhớ

Với phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq = 0$ ) có nghiệm, Viète cho $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu "không giải phương trình" và chỉ hỏi tổng hai nghiệm — dấu hiệu rõ ràng của việc áp dụng thẳng công thức Viète

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

mà không cần tính

Δ

. Bẫy ở dấu của

a = - 3

(âm), dễ tính nhầm dấu khi chia.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp Viète

Định hướng. Xác định $a = - 3, b = 5$ rồi thay vào công thức tổng nghiệm.

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{5}{- 3} = \frac{5}{3}

Vậy tổng hai nghiệm là $\frac{5}{3}$ , chọn B.

2Cách 2. Chuẩn hoá hệ số

a = 1

trước khi áp dụng Viète

Định hướng. Chia cả hai vế cho $- 3$ để đưa về dạng $x^{2} + b x + c = 0$ quen thuộc, tránh nhầm dấu khi $a < 0$ .

- 3 x^{2} + 5 x + 1 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - \frac{5}{3} x - \frac{1}{3} = 0

.
Tổng hai nghiệm

= - (- \frac{5}{3}) = \frac{5}{3}

Vậy tổng hai nghiệm là $\frac{5}{3}$ , chọn B, khớp Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra bằng công thức nghiệm đầy đủ

Định hướng. Giải trực tiếp phương trình rồi cộng hai nghiệm lại để đối chiếu, dùng như một phép thử ngược (dù đề không yêu cầu giải).

Δ = 5^{2} - 4 (- 3) (1) = 25 + 12 = 37

x_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 37}{- 6} = \frac{5 \mp 37}{6}

x_{1} + x_{2} = \frac{5 + 37}{6} + \frac{5 - 37}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}

Vậy tổng hai nghiệm đúng bằng $\frac{5}{3}$ , khẳng định lại Cách 1, 2 mà không cần dùng Viète.

Nhận xét. Cách 3 tốn công hơn hẳn nhưng cho thấy vì sao Viète luôn đúng — hai căn thức đối nhau triệt tiêu khi cộng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay thẳng

a, b

vào

- \frac{b}{a}

, chỉ một phép chia, nhanh hơn hẳn việc chuẩn hoá hay giải phương trình đầy đủ.

Đáp số. Chọn B:

x_{1} + x_{2} = \frac{5}{3}

Sai lầm thường gặp. Quên đổi dấu khi

a

âm, tính nhầm

x_{1} + x_{2} = \frac{b}{a} = \frac{5}{- 3} = - \frac{5}{3}

(chọn nhầm phương án C) thay vì

- \frac{b}{a}

🚀 Mở rộng. Cùng phương trình này, tích hai nghiệm là

x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{1}{- 3} = - \frac{1}{3}

— kết hợp cả hai kết quả có thể tính nhanh

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (\frac{5}{3})^{2} - 2 (- \frac{1}{3}) = \frac{25}{9} + \frac{2}{3} = \frac{31}{9}

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 8 (trắc nghiệm)★★★Trang 19— Tính biểu thức đối xứng dạng phân thức bằng Viète

Bài 8 (trang 19). Gọi

x_{1}, x_{2}

là hai nghiệm của phương trình

- x^{2} - 4 x + 6 = 0

. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức

M = \frac{1}{x _{1} + 2} + \frac{1}{x _{2} + 2}

.
A.

M = 0

. B.

M = 1

. C.

M = 4

. D.

M = - 2

Kiến thức cần nhớ

Viète: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .
Quy đồng: $\frac{1}{x _{1} + 2} + \frac{1}{x _{2} + 2} = \frac{( x _{1} + 2 ) + ( x _{2} + 2 )}{( x _{1} + 2 ) ( x _{2} + 2 )}$ .
$(x_{1} + 2) (x_{2} + 2) = x_{1} x_{2} + 2 (x_{1} + x_{2}) + 4$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức

M

là tổng hai phân thức chứa

x_{1}, x_{2}

ở mẫu — dấu hiệu cần quy đồng để đưa

M

về dạng chỉ chứa

x_{1} + x_{2}

và

x_{1} x_{2}

trước khi thay Viète, không thể thay trực tiếp vì mẫu số không đối xứng đơn giản như

x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

. Bẫy ở việc quên nhân phân phối khi quy đồng mẫu

(x_{1} + 2) (x_{2} + 2)

1Cách 1. Quy đồng rồi thay Viète

Định hướng. Quy đồng mẫu số chung, biểu diễn tử và mẫu theo $S = x_{1} + x_{2}$ , $P = x_{1} x_{2}$ rồi thay số.

S = x_{1} + x_{2} = - 4

;

P = x_{1} x_{2} = - 6

(từ

x^{2} + 4 x - 6 = 0

sau khi đổi dấu phương trình gốc).
Tử:

(x_{1} + 2) + (x_{2} + 2) = S + 4 = - 4 + 4 = 0

.
Mẫu:

(x_{1} + 2) (x_{2} + 2) = P + 2 S + 4 = - 6 + 2 (- 4) + 4 = - 6 - 8 + 4 = - 10

M = \frac{0}{- 10} = 0

Vậy $M = 0$ , chọn A.

2Cách 2. Giải trực tiếp phương trình rồi thay số

Định hướng. Giải $- x^{2} - 4 x + 6 = 0$ (tức $x^{2} + 4 x - 6 = 0$ ) rồi thay nghiệm vào $M$ để kiểm chứng.

Δ^{'} = 2^{2} - (- 6) = 4 + 6 = 10

x = - 2 \pm 10

x_{1} + 2 = 10

x_{2} + 2 = - 10

M = \frac{1}{10} + \frac{1}{- 10} = 0

Vậy $M = 0$ , khớp với Cách 1.

3Cách 3. Nhận xét đối xứng trước khi tính

Định hướng. Quan sát tử số $S + 4$ trước: nếu $S = - 4$ thì tử luôn bằng $0$ bất kể mẫu số, kết luận nhanh $M = 0$ mà không cần tính mẫu.

S = x_{1} + x_{2} = - 4 \Rightarrow

tử

= S + 4 = 0

.
Vì mẫu

(x_{1} + 2) (x_{2} + 2) = - 10 \neq = 0

nên phân thức xác định và bằng

\frac{0}{- 10} = 0

Vậy $M = 0$ , chọn A, đúng như hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 giúp phát hiện ngay đáp số bằng $0$ chỉ từ dấu hiệu $S = - 4$ , rất nhanh khi làm trắc nghiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhận ra tử số

S + 4 = 0

ngay từ Viète mà không cần tính mẫu số, tiết kiệm một bước so với Cách 1.

Đáp số. Chọn A:

M = 0

Sai lầm thường gặp. Quên đổi phương trình

- x^{2} - 4 x + 6 = 0

về dạng chuẩn

x^{2} + 4 x - 6 = 0

trước khi áp dụng Viète, dẫn tới lấy nhầm

S = 4

hoặc

P = 6

(sai dấu).

🚀 Mở rộng. Nếu đổi phương trình thành

- x^{2} - 4 x + 2 = 0

(chỉ đổi hằng số) thì

S

vẫn là

- 4

nên tử số vẫn bằng

0

và

M

vẫn bằng

0

— cho thấy

M = 0

không phụ thuộc vào

c

, chỉ phụ thuộc

S = - 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 9 (trắc nghiệm)★★★Trang 19— Biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai theo tham số bằng

Δ^{'}

Bài 9 (trang 19). Tìm điều kiện của tham số

m

để phương trình

x^{2} - 2 (m - 2) x + m^{2} - 3 m + 5 = 0

có hai nghiệm phân biệt.
A.

m \leq - 1

. B.

m = - 1

. C.

m > - 1

. D.

m < - 1

Kiến thức cần nhớ

Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq = 0$ ) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $Δ > 0$ (hoặc $Δ^{'} > 0$ nếu $b = 2 b^{'}$ ).
$Δ^{'} = b^{'2} - a c$ với $b^{'} = \frac{b}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình có hệ số

b = - 2 (m - 2)

chẵn theo

x

— dấu hiệu nên dùng

Δ^{'}

(không phải

Δ

) để việc khai triển gọn hơn. Bẫy ở bước rút gọn

Δ^{'}

: dễ nhầm dấu khi khai triển

(m - 2)^{2}

và

- (m^{2} - 3 m + 5)

, dẫn tới sai cả chiều bất đẳng thức cuối cùng.

1Cách 1. Tính

Δ^{'}

rồi giải bất phương trình bậc nhất theo

m

Định hướng. Xác định $a = 1$ , $b^{'} = - (m - 2)$ , $c = m^{2} - 3 m + 5$ , tính $Δ^{'}$ rồi lập điều kiện $Δ^{'} > 0$ .

Δ^{'} = (m - 2)^{2} - (m^{2} - 3 m + 5)

= m^{2} - 4 m + 4 - m^{2} + 3 m - 5 = - m - 1

.
Điều kiện có hai nghiệm phân biệt:

- m - 1 > 0 \Leftrightarrow m < - 1

Vậy điều kiện là $m < - 1$ , chọn D.

2Cách 2. Tính

Δ

đầy đủ để đối chiếu

Định hướng. Không rút gọn qua $Δ^{'}$ , tính trực tiếp $Δ = b^{2} - 4 a c$ với $b = - 2 (m - 2)$ để kiểm chứng kết quả Cách 1.

Δ = [- 2 (m - 2)]^{2} - 4 (m^{2} - 3 m + 5) = 4 (m - 2)^{2} - 4 (m^{2} - 3 m + 5)

= 4 [(m^{2} - 4 m + 4) - (m^{2} - 3 m + 5)] = 4 (- m - 1)

Δ > 0 \Leftrightarrow - m - 1 > 0 \Leftrightarrow m < - 1

Vậy kết quả trùng Cách 1: $m < - 1$ , chọn D.

3Cách 3. Thử một giá trị

m

cụ thể để kiểm chứng chiều bất đẳng thức

Định hướng. Chọn $m = - 2$ (thoả $m < - 1$ ) và $m = 0$ (không thoả) để kiểm tra xem phương trình có thật sự hai nghiệm phân biệt hay không, xác nhận chiều bất đẳng thức đã tìm.

m = - 2

Δ^{'} = - (- 2) - 1 = 1 > 0

⇒ hai nghiệm phân biệt, đúng như dự đoán

m < - 1

m = 0

Δ^{'} = - 0 - 1 = - 1 < 0

⇒ vô nghiệm, đúng vì

m = 0

không thoả

m < - 1

Vậy điều kiện $m < - 1$ được xác nhận qua cả hai giá trị thử, chọn D.

Nhận xét. Phương án A ( $m \leq - 1$ ) là bẫy gần đúng: tại $m = - 1$ thì $Δ^{'} = 0$ , phương trình chỉ có nghiệm kép chứ không phải hai nghiệm phân biệt, nên phải loại dấu " $=$ ".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (

Δ^{'}

): hệ số

b

chẵn nên

Δ^{'}

tính gọn hơn hẳn

Δ

, giảm khả năng sai dấu khi khai triển bình phương.

Đáp số. Chọn D:

m < - 1

Sai lầm thường gặp. Quên loại dấu "

=

" ở biên, chọn nhầm phương án A (

m \leq - 1

) vì nhầm điều kiện "hai nghiệm phân biệt" (

Δ > 0

) với "có nghiệm" (

Δ \geq 0

🚀 Mở rộng. Nếu đề đổi thành "có nghiệm kép" thì điều kiện là

Δ^{'} = 0 \Leftrightarrow m = - 1

— đúng bằng giá trị biên bị loại ở bài toán "hai nghiệm phân biệt".

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 10 (trắc nghiệm)★Trang 19— Lập phương trình bậc hai biết tổng và tích hai nghiệm (Viète đảo)

Bài 10 (trang 19). Nếu hai số

u, x

có tổng là

7

và tích là

- 8

thì chúng là hai nghiệm của phương trình nào?
A.

x^{2} + 7 x - 8 = 0

. B.

x^{2} - 7 x - 8 = 0

. C.

x^{2} + 7 x + 8 = 0

. D.

x^{2} - 7 x + 8 = 0

Kiến thức cần nhớ

Định lí Viète đảo: nếu $u + v = S$ , $uv = P$ thì $u, v$ là hai nghiệm của $x^{2} - S x + P = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ngay tổng và tích hai số — dấu hiệu áp dụng trực tiếp định lí Viète đảo

x^{2} - S x + P = 0

. Bẫy ở bốn phương án chỉ khác nhau đúng một dấu "

+ / -

" ở mỗi hạng tử, nên phải thay số cẩn thận thay vì đoán theo cảm giác.

1Cách 1. Viète đảo trực tiếp

Định hướng. Thay $S = 7$ , $P = - 8$ vào công thức $x^{2} - S x + P = 0$ .

x^{2} - 7 x + (- 8) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 7 x - 8 = 0

Vậy phương trình cần tìm là $x^{2} - 7 x - 8 = 0$ , chọn B.

2Cách 2. Khai triển tích

(x - u) (x - v)

Định hướng. Phương trình nhận $u, v$ làm nghiệm chính là $(x - u) (x - v) = 0$ ; khai triển theo tổng và tích đã biết.

(x - u) (x - v) = x^{2} - (u + v) x + uv = x^{2} - 7 x + (- 8) = x^{2} - 7 x - 8

Vậy phương trình là $x^{2} - 7 x - 8 = 0$ , chọn B, khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử ngược một cặp nghiệm cụ thể

Định hướng. Giải phương trình B để tìm $u, v$ cụ thể, rồi kiểm tra tổng và tích có đúng bằng $7$ và $- 8$ hay không.

x^{2} - 7 x - 8 = 0 \Leftrightarrow (x - 8) (x + 1) = 0 \Rightarrow x = 8

hoặc

x = - 1

.
Tổng:

8 + (- 1) = 7

✓. Tích:

8 \cdot (- 1) = - 8

✓.

Vậy cặp nghiệm $8, - 1$ thoả đúng đề bài, xác nhận phương án B đúng.

Nhận xét. Phương án D ( $x^{2} - 7 x + 8 = 0$ ) là bẫy sai dấu tích — nếu tích là $8$ (không phải $- 8$ ) thì D mới đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay thẳng

S, P

vào

x^{2} - S x + P = 0

, chỉ một bước, nhanh hơn khai triển tích hay giải ngược.

Đáp số. Chọn B:

x^{2} - 7 x - 8 = 0

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm dấu của

P

khi thay vào công thức, được

x^{2} - 7 x + 8 = 0

(đổi

- 8

thành

+ 8

) do quên rằng

- P x

với

P = - 8

chỉ đổi dấu ở hạng tử bậc nhất, không đổi dấu hạng tử tự do.

🚀 Mở rộng. Ứng dụng thẳng vào bài 6.49a (SGK):

u + v = 13, uv = 40

cho phương trình

x^{2} - 13 x + 40 = 0

, cùng một kĩ thuật Viète đảo.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 6.33★★Trang 20— Vẽ đồ thị

y = a x^{2}

và tính chất đối xứng qua trục tung

6.33 (trang 20). Cho hai hàm số:

y = - \frac{3}{2} x^{2}

và

y = x^{2}

.
a) Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng một mặt phẳng toạ độ.
b) Tìm điểm

A

nằm trên đồ thị của hàm số

y = - \frac{3}{2} x^{2}

và điểm

B

nằm trên đồ thị của hàm số

y = x^{2}

, biết rằng chúng đều có hoành độ là

x = 2

.
c) Gọi

A^{'}, B^{'}

lần lượt là các điểm đối xứng của

A, B

qua trục tung

O y

. Tìm toạ độ của

A^{'}, B^{'}

và chứng minh hai điểm này tương ứng nằm trên hai đồ thị của hàm số đi qua

A, B

Kiến thức cần nhớ

Đồ thị hàm số $y = a x^{2}$ nhận trục tung $O y$ làm trục đối xứng vì $f (- x) = a (- x)^{2} = a x^{2} = f (x)$ .
Điểm đối xứng của $(x_{0}; y_{0})$ qua $O y$ là $(- x_{0}; y_{0})$ (giữ nguyên tung độ, đổi dấu hoành độ).

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) là vẽ đồ thị thông thường; câu b), c) mới là trọng tâm — dấu hiệu của dạng khai thác tính chất "hàm số

y = a x^{2}

là hàm chẵn" (

f (- x) = f (x)

), nên điểm đối xứng qua

O y

của một điểm thuộc đồ thị luôn thuộc lại chính đồ thị đó. Bẫy ở chỗ dễ nhầm

A^{'}

thuộc đồ thị của

B

(hoặc ngược lại) vì đề đưa hai hàm số cùng lúc.

1Cách 1. Tính toạ độ

A, B

rồi suy ra

A^{'}, B^{'}

và kiểm tra bằng cách thay số

Định hướng. Tính tung độ của $A, B$ tại $x = 2$ , lấy đối xứng qua $O y$ để có $A^{'}, B^{'}$ , rồi thay lại vào đúng công thức hàm số tương ứng để kiểm chứng.

A (2; - \frac{3}{2} \cdot 4) = A (2; - 6)

;

B (2; 2^{2}) = B (2; 4)

.
Đối xứng qua

O y

A^{'} (- 2; - 6)

;

B^{'} (- 2; 4)

.
Kiểm tra

A^{'}

trên

y = - \frac{3}{2} x^{2}

- \frac{3}{2} \cdot (- 2)^{2} = - \frac{3}{2} \cdot 4 = - 6

, đúng bằng tung độ của

A^{'}

.
Kiểm tra

B^{'}

trên

y = x^{2}

(- 2)^{2} = 4

, đúng bằng tung độ của

B^{'}

Vậy $A^{'} (- 2; - 6)$ thuộc đồ thị $y = - \frac{3}{2} x^{2}$ và $B^{'} (- 2; 4)$ thuộc đồ thị $y = x^{2}$ , đúng như đề yêu cầu.

2Cách 2. Dùng tính chất hàm chẵn (không cần tính lại từng điểm)

Định hướng. Chứng minh tổng quát $f (- x) = f (x)$ cho cả hai hàm số, từ đó suy ra ngay điểm đối xứng qua $O y$ của một điểm thuộc đồ thị luôn thuộc lại đồ thị đó, không cần tính riêng từng trường hợp.

Với

y = - \frac{3}{2} x^{2}

f (- x) = - \frac{3}{2} (- x)^{2} = - \frac{3}{2} x^{2} = f (x)

, hàm chẵn.
Với

y = x^{2}

f (- x) = (- x)^{2} = x^{2} = f (x)

, hàm chẵn.
Do đó nếu

(x_{0}; y_{0})

thuộc đồ thị thì

(- x_{0}; y_{0})

cũng thuộc đồ thị đó.

Vậy $A^{'} (- 2; - 6)$ tự động thuộc đồ thị của $A$ ( $y = - \frac{3}{2} x^{2}$ ), $B^{'} (- 2; 4)$ tự động thuộc đồ thị của $B$ ( $y = x^{2}$ ), không cần tính lại như Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra trực quan trên hình vẽ

Định hướng. Sau khi vẽ đồ thị ở câu a), quan sát trực tiếp: mỗi đường cong đối xứng qua $O y$ nên phần bên trái là ảnh gương của phần bên phải.

Trên hình,

A (2; - 6)

và

A^{'} (- 2; - 6)

nằm ngang nhau (cùng tung độ), đối xứng qua trục

O y

trên cùng một nhánh cong màu tím.
Tương tự

B (2; 4)

và

B^{'} (- 2; 4)

đối xứng nhau trên nhánh cong màu hồng.

Vậy quan sát hình vẽ xác nhận đúng kết quả tính toán ở Cách 1, 2.

Nhận xét. Đây chính là lí do đồ thị $y = a x^{2}$ luôn được gọi là "parabol có trục đối xứng $O y$ " — tính chất này đúng với mọi $a \neq = 0$ , không riêng gì hai hàm số của bài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chứng minh nhanh

f (- x) = f (x)

một lần cho cả hai hàm số, tránh phải tính toạ độ và thử lại từng điểm như Cách 1.

Đáp số.

A (2; - 6)

B (2; 4)

;

A^{'} (- 2; - 6)

thuộc

y = - \frac{3}{2} x^{2}

B^{'} (- 2; 4)

thuộc

y = x^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhầm

A^{'}

phải kiểm tra trên đồ thị của

B

(hoặc ngược lại) vì đề cho hai hàm số cùng lúc — thực ra điểm đối xứng của

A

chỉ cần kiểm tra trên đúng đồ thị chứa

A

🚀 Mở rộng. Tính chất "đồ thị

y = a x^{2}

đối xứng qua

O y

" đúng với mọi hàm số chẵn bất kì, không chỉ riêng hàm bậc hai — đây là ý tưởng sẽ gặp lại khi học các hàm số chẵn/lẻ ở lớp trên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 6.34★★★Trang 20— Biện luận phương trình chứa tham số ở hệ số bậc hai

6.34 (trang 20). Cho phương trình

(m + 1) x^{2} - 3 x + 1 = 0

.
a) Giải phương trình khi

m = 1

.
b) Tìm điều kiện của

m

để phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn.
c) Tìm điều kiện của

m

để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, vô nghiệm.

Kiến thức cần nhớ

Phương trình $a x^{2} + b x + c = 0$ là phương trình bậc hai một ẩn khi và chỉ khi $a \neq = 0$ .
Với $a \neq = 0$ : $Δ > 0$ ⇒ hai nghiệm phân biệt; $Δ = 0$ ⇒ nghiệm kép; $Δ < 0$ ⇒ vô nghiệm.

🧠 Phân tích tư duy

Hệ số của

x^{2}

chứa tham số

m + 1

— dấu hiệu bắt buộc xét trường hợp

m = - 1

(phương trình suy biến thành bậc nhất) trước khi biện luận

Δ

như phương trình bậc hai thông thường. Bẫy lớn nhất của cả bài là quên điều kiện

m \neq = - 1

khi làm câu c), vì

Δ

chỉ có ý nghĩa khi phương trình thực sự là bậc hai.

1Cách 1. Thay số trực tiếp cho câu a), lập luận hệ số cho câu b), c)

Định hướng. Câu a) thay $m = 1$ rồi giải bình thường; câu b) xét hệ số $x^{2}$ khác $0$ ; câu c) tính $Δ$ theo $m$ (với điều kiện đã có ở câu b) rồi biện luận dấu.

m = 1

2 x^{2} - 3 x + 1 = 0

Δ = 9 - 8 = 1

x = \frac{3 \pm 1}{4}

⇒

x_{1} = 1

x_{2} = \frac{1}{2}

.
b) Phương trình là bậc hai khi

m + 1 \neq = 0 \Leftrightarrow m \neq = - 1

.
c) Với

m \neq = - 1

Δ = 9 - 4 (m + 1) = 5 - 4 m

Δ > 0 \Leftrightarrow m < \frac{5}{4}

: hai nghiệm phân biệt (và

m \neq = - 1

Δ = 0 \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}

: nghiệm kép.

Δ < 0 \Leftrightarrow m > \frac{5}{4}

: vô nghiệm.

Vậy a) $x = 1$ hoặc $x = \frac{1}{2}$ ; b) $m \neq = - 1$ ; c) hai nghiệm phân biệt khi $m < \frac{5}{4}$ và $m \neq = - 1$ , nghiệm kép khi $m = \frac{5}{4}$ , vô nghiệm khi $m > \frac{5}{4}$ .

2Cách 2. Dùng công thức nghiệm thu gọn cho câu a) và

Δ^{'}

cho câu c)

Định hướng. Vì hệ số $b = - 3$ không chẵn, công thức nghiệm thu gọn không lợi hơn ở câu a); nhưng có thể dùng $Δ^{'}$ với dạng tổng quát nếu đặt lại $b = 2 b^{'}$ hình thức để đối chiếu câu c).

2 x^{2} - 3 x + 1 = 0 \Leftrightarrow (2 x - 1) (x - 1) = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}

hoặc

x = 1

(phân tích nhân tử, kiểm chứng lại Cách 1).
c) Với

a = m + 1, b = - 3, c = 1

Δ = b^{2} - 4 a c = 9 - 4 (m + 1) = 5 - 4 m

— trùng đúng biểu thức đã tính ở Cách 1.

Vậy kết quả câu a) và c) trùng khớp Cách 1, xác nhận không có sai sót khi tính $Δ$ .

3Cách 3. Kiểm tra biên bằng cách thay

m = \frac{5}{4}

và

m = - 1

trực tiếp

Định hướng. Thay hai giá trị biên $m = \frac{5}{4}$ (nghiệm kép) và $m = - 1$ (không còn là phương trình bậc hai) vào phương trình gốc để kiểm chứng trực tiếp, tránh chỉ tin vào biến đổi đại số.

m = \frac{5}{4}

: phương trình thành

\frac{9}{4} x^{2} - 3 x + 1 = 0

, nhân

4

9 x^{2} - 12 x + 4 = 0 = (3 x - 2)^{2}

, nghiệm kép

x = \frac{2}{3}

— xác nhận

Δ = 0

cho đúng một nghiệm.

m = - 1

: phương trình thành

- 3 x + 1 = 0

, chỉ còn là phương trình bậc nhất với nghiệm duy nhất

x = \frac{1}{3}

, không phải "nghiệm kép của phương trình bậc hai" — khẳng định phải loại

m = - 1

khỏi biện luận

Δ

Vậy hai giá trị biên được kiểm chứng đúng như kết luận ở Cách 1: $m = \frac{5}{4}$ cho nghiệm kép thật sự, còn $m = - 1$ phải xét riêng vì không còn là bậc hai.

Nhận xét. Đây là lí do câu b) phải làm trước câu c): điều kiện $m \neq = - 1$ là tiền đề bắt buộc để $Δ$ trong câu c) có ý nghĩa.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: giải tuần tự đúng thứ tự b) rồi mới đến c), đảm bảo không quên điều kiện

m \neq = - 1

khi biện luận

Δ

Đáp số. a)

x = 1

hoặc

x = \frac{1}{2}

. b)

m \neq = - 1

. c) hai nghiệm phân biệt:

m < \frac{5}{4}

và

m \neq = - 1

; nghiệm kép:

m = \frac{5}{4}

; vô nghiệm:

m > \frac{5}{4}

Sai lầm thường gặp. Biện luận

Δ

ở câu c) mà quên kèm điều kiện

m \neq = - 1

đã tìm ở câu b), dẫn tới kết luận "hai nghiệm phân biệt khi

m < \frac{5}{4}

" thiếu sót (bỏ lọt trường hợp

m = - 1

làm phương trình không còn là bậc hai).

🚀 Mở rộng. Nếu đổi hệ số bậc hai thành

(m^{2} - 1) x^{2} - 3 x + 1 = 0

thì điều kiện để là phương trình bậc hai trở thành

m \neq = \pm 1

— phức tạp hơn nhưng cùng một tư duy "hệ số cao nhất phải khác

0

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 6.35★★★Trang 20— Tìm hai số biết hiệu và tích, hoặc tổng bình phương và tích

6.35 (trang 20). Tìm hai số

u

và

v

, biết:
a)

u - v = 2

và

uv = 255

;
b)

u^{2} + v^{2} = 346

và

uv = 165

Kiến thức cần nhớ

Hai số có tổng $S$ , tích $P$ là nghiệm của $x^{2} - S x + P = 0$ .
$(u + v)^{2} = u^{2} + v^{2} + 2 uv$ ; nếu biết $u^{2} + v^{2}$ và $uv$ thì suy ra được $(u + v)^{2}$ , từ đó $u + v = \pm (u + v)^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) cho hiệu và tích — cùng dạng với bài 6.49b (SGK), cần đổi biến

v^{'} = - v

để dùng Viète đảo. Câu b) cho tổng bình phương và tích chứ không cho trực tiếp tổng — dấu hiệu phải dùng hằng đẳng thức

(u + v)^{2} = u^{2} + v^{2} + 2 uv

để suy ra tổng trước, rồi mới áp dụng Viète đảo. Bẫy ở câu b):

(u + v)^{2}

cho hai giá trị đối nhau của

u + v

, ứng với hai bộ nghiệm khác nhau, không được bỏ sót trường hợp âm.

1Cách 1. Đổi biến (câu a) và dùng hằng đẳng thức (câu b) rồi áp dụng Viète đảo

Định hướng. Câu a) đặt $v^{'} = - v$ để có tổng, tích rồi Viète đảo; câu b) tính $(u + v)^{2}$ trước, xét cả hai dấu của $u + v$ .

a) Đặt

v^{'} = - v

u + v^{'} = 2

u v^{'} = - 255

u, v^{'}

là nghiệm của

x^{2} - 2 x - 255 = 0

Δ = 4 + 1020 = 1024 = 3 2^{2}

x = \frac{2 \pm 32}{2}

⇒

x = 17

hoặc

x = - 15

(u, v^{'}) = (17, - 15)

hoặc

(- 15, 17)

⇒

(u, v) = (17, 15)

hoặc

(- 15, - 17)

.

b)

(u + v)^{2} = u^{2} + v^{2} + 2 uv = 346 + 330 = 676 \Rightarrow u + v = \pm 26

.
Trường hợp

u + v = 26

u, v

là nghiệm của

x^{2} - 26 x + 165 = 0

Δ = 676 - 660 = 16

x = \frac{26 \pm 4}{2}

⇒

x = 15

hoặc

x = 11

.
Trường hợp

u + v = - 26

x^{2} + 26 x + 165 = 0

, tương tự cho

x = - 15

hoặc

x = - 11

Vậy a) $(u, v) = (17; 15)$ hoặc $(- 15; - 17)$ ; b) ${u, v} = {15; 11}$ hoặc ${- 15; - 11}$ .

2Cách 2. Thế trực tiếp một ẩn theo ẩn kia

Định hướng. Rút $u$ (hoặc $v$ ) từ điều kiện đầu, thế vào điều kiện tích để được phương trình một ẩn, không cần nhớ mẹo đổi biến.

u = v + 2 \Rightarrow (v + 2) v = 255 \Leftrightarrow v^{2} + 2 v - 255 = 0

Δ = 4 + 1020 = 1024

v = \frac{- 2 \pm 32}{2}

⇒

v = 15

hoặc

v = - 17

v = 15 \Rightarrow u = 17

;

v = - 17 \Rightarrow u = - 15

.

b) Từ

uv = 165 \Rightarrow u = \frac{165}{v}

(với

v \neq = 0

), thế vào

u^{2} + v^{2} = 346

\frac{16 5 ^{2}}{v ^{2}} + v^{2} = 346

.
Đặt

t = v^{2} > 0

t^{2} - 346 t + 27225 = 0

Δ = 34 6^{2} - 4 \cdot 27225 = 119716 - 108900 = 10816 = 10 4^{2}

t = \frac{346 \pm 104}{2}

⇒

t = 225

hoặc

t = 121

⇒

v = \pm 15

hoặc

v = \pm 11

, kết hợp

uv = 165

để ghép đúng cặp.

Vậy kết quả trùng Cách 1: a) $(17; 15)$ hoặc $(- 15; - 17)$ ; b) ${15; 11}$ hoặc ${- 15; - 11}$ .

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay ngược vào đề

Định hướng. Thay các cặp số tìm được vào đúng hai điều kiện của đề để xác nhận không có sai sót khi giải phương trình bậc hai.

(17, 15)

17 - 15 = 2

✓,

17 \cdot 15 = 255

✓.
b)

(15, 11)

1 5^{2} + 1 1^{2} = 225 + 121 = 346

✓,

15 \cdot 11 = 165

✓.

Vậy cả hai bộ nghiệm đều thoả mãn đúng đề bài, khẳng định kết quả ở Cách 1, 2.

Nhận xét. Ở câu b), nếu đề chỉ hỏi "hai số dương" thì chỉ nhận bộ $(15; 11)$ , loại bộ âm — cần đọc kĩ đề trước khi kết luận có bao nhiêu đáp số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nắm vững hai mẹo chuẩn (đổi biến cho hiệu–tích, hằng đẳng thức cho tổng bình phương–tích) sẽ nhanh hơn hẳn việc thế ẩn rồi giải phương trình bậc bốn ẩn phụ như Cách 2.

Đáp số. a)

(u; v) = (17; 15)

hoặc

(- 15; - 17)

. b)

{u; v} = {15; 11}

hoặc

{- 15; - 11}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), chỉ lấy

u + v = 26

mà quên xét

u + v = - 26

(bỏ sót nghiệm âm), vì quên rằng căn bậc hai của

676

có cả giá trị dương lẫn âm.

🚀 Mở rộng. Câu b) tổng quát: biết

u^{2} + v^{2} = A

và

uv = P

, luôn suy ra được

(u + v)^{2} = A + 2 P

và

(u - v)^{2} = A - 2 P

— từ đó tính được cả tổng lẫn hiệu của

u, v

nếu cần.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 6.36★★★Trang 20— Bài toán thực tế: lập phương trình bậc hai từ hàm doanh thu

6.36 (trang 20). Phương trình cầu đối với một sản phẩm là

p = 60 - 0, 0004 x

, trong đó

p

là giá tiền của mỗi sản phẩm (USD) và

x

là số lượng sản phẩm đã bán. Doanh thu

R

(USD) thu được từ việc bán

x

sản phẩm là

R (x) = x p = x (60 - 0, 0004 x)

. Hỏi cần bán bao nhiêu sản phẩm để đạt doanh thu

220000

USD?

Kiến thức cần nhớ

Doanh thu $=$ số lượng bán $\times$ giá bán một sản phẩm: $R = x p$ .
Với phương trình bậc hai hệ số thập phân nhỏ, nên nhân hai vế cho luỹ thừa của $10$ thích hợp trước khi tính $Δ$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn công thức doanh thu theo

x

và một giá trị doanh thu mục tiêu — dấu hiệu lập phương trình bậc hai theo

x

rồi giải, chú ý hệ số

0, 0004

rất nhỏ nên nhân cả hai vế cho một luỹ thừa của

10

để tránh sai số khi tính tay. Bẫy ở chỗ phương trình có hai nghiệm dương đều hợp lệ về mặt toán học (đều cho đúng doanh thu

220000

USD ở hai mức giá khác nhau), không được vội loại một nghiệm nếu đề không có thêm ràng buộc.

1Cách 1. Lập và giải phương trình bậc hai theo

x

Định hướng. Cho $R (x) = 220000$ , đưa về phương trình bậc hai chuẩn rồi giải bằng công thức nghiệm.

x (60 - 0, 0004 x) = 220000 \Leftrightarrow 0, 0004 x^{2} - 60 x + 220000 = 0

.
Nhân hai vế với

2500

x^{2} - 150000 x + 550000000 = 0

Δ = 15000 0^{2} - 4 \cdot 550000000 = 22500000000 - 2200000000 = 20300000000

Δ = 10000203 \approx 142478

x = \frac{150 000 \pm 142 478}{2}

⇒

x \approx 3761

hoặc

x \approx 146239

Vậy cần bán khoảng $3761$ sản phẩm (ở mức giá cao) hoặc khoảng $146239$ sản phẩm (ở mức giá thấp) để đạt doanh thu $220000$ USD.

2Cách 2. Đặt ẩn phụ để hệ số gọn hơn

Định hướng. Đặt $x = 1000 t$ để hệ số $0, 0004 x^{2}$ trở thành số đẹp hơn, giải theo $t$ rồi đổi lại $x$ .

0, 0004 (1000 t)^{2} - 60 (1000 t) + 220000 = 0 \Leftrightarrow 400 t^{2} - 60000 t + 220000 = 0

.
Chia

40

10 t^{2} - 1500 t + 5500 = 0 \Leftrightarrow t^{2} - 150 t + 550 = 0

Δ = 22500 - 2200 = 20300

Δ \approx 142, 48

t = \frac{150 \pm 142 , 48}{2}

⇒

t \approx 3, 761

hoặc

t \approx 146, 24

⇒

x = 1000 t \approx 3761

hoặc

x \approx 146239

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1, chỉ khác cách chia tỉ lệ để số bớt cồng kềnh.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay ngược vào công thức doanh thu

Định hướng. Thay $x \approx 3761$ vào $R (x)$ để xác nhận doanh thu xấp xỉ đúng $220000$ USD.

p = 60 - 0, 0004 \cdot 3761 \approx 60 - 1, 5 = 58, 5

USD.

R = 3761 \cdot 58, 5 \approx 220019

USD, xấp xỉ

220000

USD (sai số do làm tròn

x

Vậy nghiệm $x \approx 3761$ cho doanh thu đúng như đề yêu cầu (trong phạm vi làm tròn), khẳng định lại Cách 1.

Nhận xét. Nghiệm lớn $x \approx 146239$ ứng với giá bán rất thấp ( $p \approx 1, 5$ USD) — về mặt kinh doanh thực tế thường không khả thi, nhưng đề không loại trừ nên vẫn là một đáp số toán học hợp lệ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (đặt ẩn phụ

x = 1000 t

): đưa hệ số về số nguyên gọn hơn hẳn, giảm sai số khi tính

Δ

bằng tay so với giữ nguyên hệ số

0, 0004

Đáp số. Cần bán khoảng

3761

sản phẩm hoặc khoảng

146239

sản phẩm để đạt doanh thu

220000

USD.

Sai lầm thường gặp. Chỉ lấy nghiệm nhỏ (

x \approx 3761

) rồi bỏ luôn nghiệm lớn vì "trông có vẻ không thực tế", trong khi đề không hề giới hạn số lượng bán — cả hai nghiệm đều là đáp số toán học đúng.

🚀 Mở rộng. Doanh thu

R (x)

đạt giá trị lớn nhất khi

x = \frac{60}{2 \cdot 0 , 0004} = 75000

sản phẩm — đúng bằng trung điểm của hai nghiệm tìm được (vì parabol đối xứng qua đỉnh).

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 6.37★★★Trang 20— Bài toán thực tế: chuyển động ném thẳng đứng, giải và biện luận phương trình bậc hai

6.37 (trang 20). Độ cao

h (t)

(feet) của một vật sau

t

giây kể từ khi nó được phóng thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là

85

feet/giây được cho bởi công thức

h (t) = - 16 t^{2} + 85 t

.
a) Sau bao lâu vật đạt độ cao

50

feet?
b) Vật có đạt được độ cao

120

feet hay không?

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm $t$ ứng với độ cao cho trước, giải phương trình $h (t) =$ giá trị đó.
Phương trình bậc hai vô nghiệm ( $Δ < 0$ ) nghĩa là độ cao đó không bao giờ đạt tới trong suốt quá trình chuyển động.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hàm độ cao theo thời gian, câu a) hỏi thời điểm đạt một độ cao cụ thể (giải phương trình), câu b) hỏi "có đạt được hay không" (biện luận qua dấu

Δ

) chứ không yêu cầu tìm thời gian — dấu hiệu để dùng

Δ

như một phép kiểm tra tồn tại nghiệm, không cần giải trọn vẹn. Bẫy ở câu a): vật đi lên rồi rơi xuống nên có hai thời điểm cùng đạt độ cao

50

feet, không được chỉ lấy một nghiệm.

1Cách 1. Giải phương trình cho câu a), xét dấu

Δ

cho câu b)

Định hướng. Câu a) cho $h (t) = 50$ rồi giải; câu b) cho $h (t) = 120$ , chỉ cần xét dấu $Δ$ để trả lời có/không.

- 16 t^{2} + 85 t = 50 \Leftrightarrow 16 t^{2} - 85 t + 50 = 0

Δ = 8 5^{2} - 4 \cdot 16 \cdot 50 = 7225 - 3200 = 4025 = 25 \cdot 161

Δ = 5161 \approx 63, 44

t = \frac{85 \pm 5 161}{32}

⇒

t_{1} \approx 0, 67

giây,

t_{2} \approx 4, 64

giây.

b)

- 16 t^{2} + 85 t = 120 \Leftrightarrow 16 t^{2} - 85 t + 120 = 0

Δ = 7225 - 4 \cdot 16 \cdot 120 = 7225 - 7680 = - 455 < 0

Vậy a) vật đạt $50$ feet ở hai thời điểm $t \approx 0, 67$ giây (lúc đang lên) và $t \approx 4, 64$ giây (lúc đang xuống); b) $Δ < 0$ nên vật không bao giờ đạt độ cao $120$ feet.

2Cách 2. Dùng đỉnh parabol để kiểm tra độ cao lớn nhất (cho câu b)

Định hướng. Thay vì tính $Δ$ của phương trình $h (t) = 120$ , tính trực tiếp độ cao lớn nhất mà vật đạt được (tung độ đỉnh parabol) rồi so với $120$ feet.

Đỉnh parabol

h (t) = - 16 t^{2} + 85 t

tại

t_{0} = \frac{- 85}{2 \cdot ( - 16 )} = \frac{85}{32} \approx 2, 66

giây.

h (t_{0}) = - 16 (\frac{85}{32})^{2} + 85 \cdot \frac{85}{32} = \frac{8 5 ^{2}}{64} = \frac{7225}{64} \approx 112, 9

feet.

Vậy độ cao lớn nhất vật đạt được chỉ khoảng $112, 9$ feet $< 120$ feet, nên vật không bao giờ lên tới $120$ feet — trùng kết luận Cách 1 ở câu b).

3Cách 3. Thử lại câu a) bằng cách thay ngược hai nghiệm

Định hướng. Thay gần đúng $t_{1} \approx 0, 67$ và $t_{2} \approx 4, 64$ vào công thức $h (t)$ để kiểm tra có ra đúng $50$ feet.

h (0, 67) \approx - 16 (0, 449) + 85 (0, 67) \approx - 7, 18 + 56, 95 \approx 49, 8 \approx 50

h (4, 64) \approx - 16 (21, 53) + 85 (4, 64) \approx - 344, 5 + 394, 4 \approx 49, 9 \approx 50

Vậy cả hai giá trị $t$ đều cho $h (t) \approx 50$ feet (sai số do làm tròn), xác nhận đúng kết quả câu a).

Nhận xét. Cách 2 cho thấy rõ bản chất vật lí: $112, 9$ feet là độ cao lớn nhất tuyệt đối của vật, nên mọi độ cao lớn hơn $112, 9$ feet (như $120$ feet) chắc chắn không đạt tới.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho câu b): so sánh trực tiếp

120

feet với độ cao lớn nhất

\approx 112, 9

feet tại đỉnh parabol, trực quan và nhanh hơn tính

Δ

của một phương trình khác.

Đáp số. a)

t \approx 0, 67

giây hoặc

t \approx 4, 64

giây. b) Không; độ cao lớn nhất chỉ khoảng

112, 9

feet

< 120

feet.

Sai lầm thường gặp. Ở câu a) chỉ lấy nghiệm nhỏ hơn (lúc vật đang lên) rồi kết luận vội, bỏ quên nghiệm lớn hơn (lúc vật đang rơi xuống) cũng đạt đúng độ cao

50

feet — bản chất vật ném lên luôn đi qua mỗi độ cao (dưới đỉnh) đúng hai lần.

🚀 Mở rộng. Từ Cách 2 suy rộng: với mọi độ cao

H \leq 112, 9

feet, phương trình

h (t) = H

luôn có hai nghiệm (hai thời điểm); với

H > 112, 9

feet thì vô nghiệm — đây chính là ranh giới quyết định câu trả lời có/không của dạng bài này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 6.38★★★Trang 21— Bài toán thực tế: giải phương trình bậc hai rồi làm tròn theo yêu cầu đề

6.38 (trang 21). Công thức tính huyết áp tâm thu bình thường (kí hiệu là

P

) của một người đàn ông ở độ tuổi

A

, được đo bằng mmHg, được đưa ra như sau:

P = 0, 006 A^{2} - 0, 02 A + 120

. Tìm tuổi (làm tròn đến năm gần nhất) của người đàn ông có huyết áp bình thường là

125

mmHg.

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm $A$ khi biết $P$ , thay số vào công thức rồi giải phương trình bậc hai theo $A$ , chỉ lấy nghiệm dương vì tuổi $A > 0$ .
"Làm tròn đến năm gần nhất" nghĩa là làm tròn kết quả về số nguyên gần nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho công thức

P

theo

A

và một giá trị

P = 125

cụ thể — dấu hiệu lập phương trình bậc hai theo

A

rồi giải, chỉ giữ lại nghiệm dương vì

A

là tuổi. Bẫy ở việc quên làm tròn đúng theo yêu cầu "đến năm gần nhất" (làm tròn số nguyên) mà để nguyên kết quả thập phân.

1Cách 1. Lập và giải phương trình bậc hai theo

A

Định hướng. Thay $P = 125$ vào công thức, đưa về phương trình bậc hai chuẩn rồi giải bằng công thức nghiệm.

0, 006 A^{2} - 0, 02 A + 120 = 125 \Leftrightarrow 0, 006 A^{2} - 0, 02 A - 5 = 0

.
Nhân hai vế với

\frac{1000}{2} = 500

3 A^{2} - 10 A - 2500 = 0

Δ = 100 + 30000 = 30100

Δ \approx 173, 5

A = \frac{10 + 173 , 5}{6} \approx 30, 58

(loại nghiệm âm).

Vậy $A \approx 30, 58$ , làm tròn đến năm gần nhất: người đàn ông đó khoảng $31$ tuổi.

2Cách 2. Đặt ẩn phụ để hệ số nguyên gọn hơn

Định hướng. Nhân hai vế phương trình gốc với $1000$ ngay từ đầu để chuyển hết hệ số về số nguyên, tránh làm việc với số thập phân nhỏ.

0, 006 A^{2} - 0, 02 A - 5 = 0

, nhân

1000

6 A^{2} - 20 A - 5000 = 0

, chia

2

3 A^{2} - 10 A - 2500 = 0

— trùng đúng phương trình ở Cách 1.

Δ = 100 + 30000 = 30100

A = \frac{10 + 30 100}{6} \approx 30, 58

Vậy kết quả trùng Cách 1: $A \approx 31$ tuổi.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay ngược

A \approx 31

Định hướng. Thay $A = 31$ vào công thức gốc để xem $P$ có xấp xỉ đúng $125$ mmHg hay không.

P = 0, 006 \cdot 3 1^{2} - 0, 02 \cdot 31 + 120 = 0, 006 \cdot 961 - 0, 62 + 120 \approx 5, 77 - 0, 62 + 120 = 125, 15

Vậy $P \approx 125, 15$ mmHg, rất gần $125$ mmHg (sai lệch nhỏ do làm tròn tuổi về số nguyên), xác nhận đáp số $31$ tuổi hợp lí.

Nhận xét. Nếu thử $A = 30$ : $P = 0, 006 \cdot 900 - 0, 6 + 120 = 5, 4 - 0, 6 + 120 = 124, 8$ , gần $125$ hơn một chút về phía dưới — cho thấy $30, 58$ đúng là làm tròn lên thành $31$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhân ngay hai vế với

1000

từ đầu để có hệ số nguyên, tránh phải cẩn thận với dấu phẩy thập phân trong suốt quá trình tính như Cách 1.

Đáp số.

A \approx 31

tuổi.

Sai lầm thường gặp. Tính đúng

A \approx 30, 58

nhưng làm tròn xuống thành

30

thay vì làm tròn đến số nguyên gần nhất (phải làm tròn lên vì phần thập phân

0, 58 > 0, 5

🚀 Mở rộng. Với các độ tuổi khác, cùng công thức này cho thấy huyết áp tâm thu bình thường tăng dần theo tuổi (vì hệ số

0, 006 > 0

, đồ thị là parabol mở lên) — đúng với hiểu biết y học rằng huyết áp thường tăng khi tuổi càng cao.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Bài 6.39★★Trang 21— Bài toán thực tế: thay số và giải phương trình bậc hai từ công thức tổ hợp

6.39 (trang 21). Trong một giải cờ vua thi đấu vòng tròn tính điểm, mỗi người chơi đấu với một người chơi khác đúng một lần. Nếu có

x

người chơi thì tổng số ván cờ được tính theo công thức

N = \frac{x ^{2} - x}{2}

.
a) Nếu một giải đấu có

10

người chơi thì có tất cả bao nhiêu ván cờ?
b) Trong một giải cờ vua thi đấu vòng tròn có tất cả

36

ván cờ, hỏi có bao nhiêu người chơi đã tham gia giải đấu?

Kiến thức cần nhớ

Số ván đấu vòng tròn của $x$ người chính là số cách chọn $2$ người trong $x$ người: $N = (2 x) = \frac{x ( x - 1 )}{2} = \frac{x ^{2} - x}{2}$ .
Số người chơi $x$ phải là số nguyên dương, $x \geq 2$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) chỉ là thay số trực tiếp vào công thức đã cho. Câu b) làm ngược lại — cho

N = 36

, phải giải phương trình bậc hai để tìm

x

— dấu hiệu của dạng toán "đọc công thức hai chiều": xuôi thì thay số, ngược thì lập phương trình. Bẫy ở câu b): phương trình có hai nghiệm nhưng chỉ nghiệm dương (và là số nguyên dương hợp lí cho số người chơi) mới được nhận.

1Cách 1. Thay số (câu a) và lập phương trình bậc hai (câu b)

Định hướng. Câu a) thay $x = 10$ vào công thức; câu b) cho $N = 36$ , đưa về phương trình bậc hai ẩn $x$ rồi giải, chỉ nhận nghiệm nguyên dương.

N = \frac{1 0 ^{2} - 10}{2} = \frac{90}{2} = 45

(ván).
b)

\frac{x ^{2} - x}{2} = 36 \Leftrightarrow x^{2} - x - 72 = 0

Δ = 1 + 288 = 289 = 1 7^{2}

x = \frac{1 \pm 17}{2}

⇒

x = 9

hoặc

x = - 8

(loại vì

x > 0

Vậy a) có $45$ ván cờ; b) có $9$ người chơi tham gia giải đấu.

2Cách 2. Nhẩm nghiệm bằng cách thử số nguyên nhỏ (câu b)

Định hướng. Vì $x$ phải là số nguyên dương, thử trực tiếp vài giá trị $x$ nhỏ vào công thức $N = \frac{x ^{2} - x}{2}$ cho tới khi ra đúng $36$ .

x = 8

N = \frac{64 - 8}{2} = 28

(chưa đủ).

x = 9

N = \frac{81 - 9}{2} = 36

(đúng).

x = 10

N = \frac{100 - 10}{2} = 45

(đã vượt qua

36

, dừng thử).

Vậy $x = 9$ người chơi, khớp với Cách 1.

3Cách 3. Suy luận tổ hợp trực tiếp không qua công thức

N

Định hướng. Hiểu bản chất mỗi ván cờ ứng với một cặp người chơi, số ván chính là số cách chọn $2$ trong $x$ người — dùng công thức tổ hợp $(2 x)$ để kiểm chứng lại cả hai câu.

(2 10) = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45

, khớp câu a) ở Cách 1.
b) Cần

(2 x) = 36 \Leftrightarrow x (x - 1) = 72

; với

x = 9

9 \cdot 8 = 72

, đúng.

Vậy cách hiểu tổ hợp cho cùng kết quả: a) $45$ ván; b) $9$ người chơi.

Nhận xét. Việc hiểu $N$ chính là số tổ hợp chập $2$ giúp nhớ công thức lâu hơn là học thuộc lòng $\frac{x ^{2} - x}{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 khi số liệu nhỏ: thử trực tiếp vài giá trị nguyên nhanh hơn hẳn việc lập và giải phương trình bậc hai đầy đủ ở Cách 1.

Đáp số. a)

45

ván cờ. b)

9

người chơi.

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), tìm được cả hai nghiệm

x = 9

và

x = - 8

của phương trình nhưng không loại nghiệm âm, hoặc tệ hơn là chọn nhầm nghiệm âm vì "thấy số đẹp

8

🚀 Mở rộng. Với giải đấu

12

người, số ván cờ là

\frac{1 2 ^{2} - 12}{2} = 66

— cùng công thức nhưng cho thấy số ván tăng rất nhanh (theo bậc hai) khi số người chơi tăng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · Bài 6.40★★★Trang 21— Bài toán năng suất hai vòi nước, lập hệ phương trình rồi quy về phương trình bậc nhất nhờ dữ kiện đã biết trước

6.40 (trang 21). Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn, sau

4 \frac{4}{5}

giờ thì đầy bể. Nếu lúc đầu để vòi thứ nhất chảy riêng và

9

giờ sau mở thêm vòi thứ hai thì sau

\frac{6}{5}

giờ nữa mới đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể?

Kiến thức cần nhớ

Nếu vòi chảy một mình xong bể trong $t$ giờ thì mỗi giờ vòi đó chảy được $\frac{1}{t}$ bể (năng suất).
$4 \frac{4}{5} = \frac{24}{5}$ giờ; năng suất chảy chung $= \frac{1}{24/5} = \frac{5}{24}$ bể/giờ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai tình huống khác nhau (chảy chung ngay từ đầu, và chảy vòi 1 riêng

9

giờ rồi mới thêm vòi 2) — dấu hiệu của dạng năng suất có hai phương trình theo hai ẩn năng suất, nhưng khéo léo thế phương trình thứ nhất vào thứ hai sẽ triệt tiêu bớt ẩn, đưa bài toán về gần như tuyến tính thay vì bậc hai phức tạp. Bẫy ở việc đổi đơn vị:

4 \frac{4}{5}

giờ

= \frac{24}{5}

giờ, dễ nhầm với

4, 5

giờ nếu đọc vội phân số hỗn số.

1Cách 1. Lập hai phương trình rồi thế để tìm từng thời gian

Định hướng. Gọi thời gian vòi 1, vòi 2 chảy riêng lần lượt là $t_{1}, t_{2}$ giờ. Lập phương trình từ tình huống chảy chung ngay từ đầu, rồi từ tình huống chảy vòi 1 trước 9 giờ, thế phương trình đầu vào phương trình sau để tìm $t_{1}$ .

\frac{1}{t _{1}} + \frac{1}{t _{2}} = \frac{5}{24}

(chảy chung

\frac{24}{5}

giờ đầy bể).
Vòi 1 chảy riêng

9

giờ, được

\frac{9}{t _{1}}

bể; phần còn lại

1 - \frac{9}{t _{1}}

được hai vòi chảy chung trong

\frac{6}{5}

giờ:

(\frac{1}{t _{1}} + \frac{1}{t _{2}}) \cdot \frac{6}{5} = 1 - \frac{9}{t _{1}}

.
Thay

\frac{1}{t _{1}} + \frac{1}{t _{2}} = \frac{5}{24}

\frac{5}{24} \cdot \frac{6}{5} = 1 - \frac{9}{t _{1}} \Leftrightarrow \frac{1}{4} = 1 - \frac{9}{t _{1}} \Leftrightarrow \frac{9}{t _{1}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow t_{1} = 12

.
Thay lại:

\frac{1}{12} + \frac{1}{t _{2}} = \frac{5}{24} \Leftrightarrow \frac{1}{t _{2}} = \frac{5}{24} - \frac{2}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} \Rightarrow t_{2} = 8

Vậy vòi thứ nhất chảy riêng xong sau $12$ giờ, vòi thứ hai chảy riêng xong sau $8$ giờ.

2Cách 2. Tính lượng nước theo từng giai đoạn (không qua ẩn năng suất trừu tượng)

Định hướng. Coi cả bể là $1$ đơn vị, tính lượng nước mỗi giai đoạn của tình huống thứ hai theo $t_{1}, t_{2}$ trực tiếp bằng lời, không lập phương trình tổng quát ngay từ đầu.

Giai đoạn 1 (vòi 1 chảy riêng

9

giờ): lượng nước

= \frac{9}{t _{1}}

.
Giai đoạn 2 (hai vòi chảy chung

\frac{6}{5}

giờ, với năng suất chung đã biết là

\frac{5}{24}

bể/giờ từ tình huống đầu): lượng nước

= \frac{5}{24} \cdot \frac{6}{5} = \frac{1}{4}

.
Tổng hai giai đoạn

= 1

bể:

\frac{9}{t _{1}} + \frac{1}{4} = 1 \Rightarrow \frac{9}{t _{1}} = \frac{3}{4} \Rightarrow t_{1} = 12

.
Từ năng suất chung

\frac{5}{24}

\frac{1}{t _{2}} = \frac{5}{24} - \frac{1}{12} = \frac{1}{8} \Rightarrow t_{2} = 8

Vậy kết quả trùng Cách 1: vòi 1 hết $12$ giờ, vòi 2 hết $8$ giờ.

3Cách 3. Thử lại bằng cách mô phỏng đúng trình tự đề bài

Định hướng. Thay $t_{1} = 12, t_{2} = 8$ ngược vào cả hai tình huống của đề để kiểm chứng cả hai điều kiện cùng đúng.

Tình huống 1: năng suất chung

= \frac{1}{12} + \frac{1}{8} = \frac{2}{24} + \frac{3}{24} = \frac{5}{24}

; thời gian chảy chung

= 1 \div \frac{5}{24} = \frac{24}{5} = 4 \frac{4}{5}

giờ ✓.
Tình huống 2: vòi 1 chảy

9

giờ được

\frac{9}{12} = \frac{3}{4}

bể; còn lại

\frac{1}{4}

bể, hai vòi chảy chung mất

\frac{1/4}{5/24} = \frac{1}{4} \cdot \frac{24}{5} = \frac{6}{5}

giờ ✓.

Vậy cả hai điều kiện của đề đều được thoả mãn đúng, khẳng định $t_{1} = 12$ giờ, $t_{2} = 8$ giờ là đáp số đúng.

Nhận xét. Bài này không cần giải phương trình bậc hai thật sự nhờ biết trước năng suất chung ngay từ tình huống đầu — đây là điểm khác với bài 6.52 (SGK) phải giải phương trình bậc hai vì chỉ biết độ chênh lệch thời gian.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tính lượng nước theo từng giai đoạn bằng lời thay vì lập phương trình tổng quát rồi thế, tư duy trực quan và ít khả năng lập sai phương trình hơn.

Đáp số. Vòi thứ nhất chảy riêng xong sau

12

giờ; vòi thứ hai chảy riêng xong sau

8

giờ.

Sai lầm thường gặp. Đổi sai

4 \frac{4}{5}

giờ thành

4, 5

giờ (nhầm hỗn số

4 \frac{4}{5}

với số thập phân

4, 5

) khiến toàn bộ năng suất chung bị tính sai ngay từ bước đầu.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi "

9

giờ" thành một khoảng thời gian khác (ví dụ

6

giờ) thì chỉ cần thay số vào đúng phương trình ở Cách 1, cách giải hoàn toàn tương tự mà không cần thiết lập lại từ đầu.

Mở bài này trong app ↗