Chương VI. Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài tập cuối chương VI

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 14 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Câu 6.39★Trang 30— Kiểm tra điểm thuộc đồ thị hàm số

y = a x^{2}

6.39 (trang 30). Điểm nào sau đây thuộc đồ thị của hàm số

y = \frac{1}{2} x^{2}

?
A.

(1; 2)

. B.

(2; 1)

. C.

(- 1; 2)

. D.

(- 1; \frac{1}{2})

Kiến thức cần nhớ

Điểm $(x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị hàm số $y = f (x)$ khi và chỉ khi $y_{0} = f (x_{0})$ .
Với hàm số $y = a x^{2}$ , thay $x = x_{0}$ luôn cho một giá trị $y$ không âm (vì $x_{0}^{2} \geq 0$ ) khi $a > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn bốn cặp toạ độ và một công thức hàm số — dấu hiệu của dạng kiểm tra điểm thuộc đồ thị bằng cách thay hoành độ vào công thức rồi so với tung độ cho trước. Không cần vẽ hình, chỉ cần thay số cẩn thận vì bốn phương án đều dùng lại các số

1

và

2

nên rất dễ nhầm vai trò hoành độ – tung độ.

1Cách 1. Thử trực tiếp từng phương án

Định hướng. Thay hoành độ của từng điểm vào $y = \frac{1}{2} x^{2}$ , so với tung độ đã cho.

x = 1

y = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} = \frac{1}{2} \neq = 2

.
B.

x = 2

y = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} = 2 \neq = 1

.
C.

x = - 1

y = \frac{1}{2} \cdot (- 1)^{2} = \frac{1}{2} \neq = 2

.
D.

x = - 1

y = \frac{1}{2} \cdot (- 1)^{2} = \frac{1}{2}

, đúng bằng tung độ

\frac{1}{2}

Vậy điểm thuộc đồ thị là $(- 1; \frac{1}{2})$ , chọn D.

2Cách 2. Loại trừ theo dấu của tung độ

Định hướng. Vì $a = \frac{1}{2} > 0$ nên mọi điểm trên đồ thị có tung độ $y = \frac{1}{2} x^{2} \geq 0$ , loại ngay các phương án bất hợp lí về độ lớn trước khi thử số.

Cả bốn tung độ đều dương nên chưa loại được bằng dấu; xét độ lớn: với

∣ x ∣ = 1

thì

y = \frac{1}{2}

, không thể bằng

2

⇒ loại A, C.
Với

∣ x ∣ = 2

thì

y = 2

, không thể bằng

1

⇒ loại B.

Vậy chỉ còn D thoả mãn, chọn D.

3Cách 3. Giải ngược từ hệ số góc

Định hướng. Với mỗi điểm $(x_{0}; y_{0})$ , tính hệ số $a^{'} = \frac{y _{0}}{x _{0}^{2}}$ rồi so với $a = \frac{1}{2}$ của đề.

a^{'} = \frac{2}{1 ^{2}} = 2

.
B:

a^{'} = \frac{1}{2 ^{2}} = \frac{1}{4}

.
C:

a^{'} = \frac{2}{( - 1 ) ^{2}} = 2

.
D:

a^{'} = \frac{1/2}{( - 1 ) ^{2}} = \frac{1}{2}

Vậy chỉ D cho đúng $a^{'} = \frac{1}{2}$ , chọn D.

Nhận xét. Cách này còn giúp phát hiện nhanh phương án nào có hệ số $a$ khác dấu với đề (ở đây không có).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1: thay số trực tiếp, chỉ mất bốn phép tính đơn giản và không cần suy luận thêm.

Đáp số. Chọn D.

Sai lầm thường gặp. Nhầm vai trò hoành độ và tung độ, ví dụ tưởng

(2; 1)

đúng vì "thấy có số

2

và

\frac{1}{2}

na ná nhau" mà không thay số cẩn thận.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: điểm

(x_{0}; a x_{0}^{2})

luôn thuộc đồ thị

y = a x^{2}

với mọi

x_{0}

— đây là cách nhanh nhất để tự tạo một điểm thuộc parabol bất kì.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu 6.40★Trang 30— Đọc dấu hệ số

a

từ hình dạng (bề mở) của đồ thị

y = a x^{2}

6.40 (trang 30). Hình 6.11 là hai đường parabol trong mặt phẳng toạ độ

O x y

. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

a < 0 < b

. B.

a < b < 0

. C.

a > b > 0

. D.

a > 0 > b

Kiến thức cần nhớ

Đồ thị hàm số $y = a x^{2}$ ( $a \neq = 0$ ) mở lên trên khi $a > 0$ và mở xuống dưới khi $a < 0$ .
Đỉnh của mọi parabol $y = a x^{2}$ đều là gốc toạ độ $O$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình vẽ chỉ cho biết hai parabol, một mở lên (đường

y = a x^{2}

) và một mở xuống (đường

y = b x^{2}

) — dấu hiệu của dạng "đọc dấu hệ số từ bề mở đồ thị", không cần tính toán số liệu. Hướng đi nhanh nhất là nhớ tính chất

a > 0

thì parabol mở lên,

a < 0

thì mở xuống, rồi so sánh trực tiếp hai dấu. Bẫy ở chỗ dễ nhầm bề rộng của parabol với dấu của hệ số.

1Cách 1. Đọc trực tiếp bề mở của từng nhánh

Định hướng. Quan sát hướng mở của mỗi parabol trong Hình 6.11 rồi suy ra dấu hệ số tương ứng.

Đường

y = a x^{2}

mở lên trên ⇒

a > 0

.
Đường

y = b x^{2}

mở xuống dưới ⇒

b < 0

Vậy $a > 0 > b$ , chọn D.

2Cách 2. Lấy một điểm cụ thể trên mỗi nhánh

Định hướng. Chọn trên mỗi đường một điểm có hoành độ khác $0$ , so sánh dấu tung độ với dấu hoành độ bình phương (luôn dương) để suy ra dấu hệ số.

Trên đường

y = a x^{2}

, tại

x_{0} \neq = 0

có

y_{0} > 0

(nhánh nằm phía trên trục hoành) ⇒

a = \frac{y _{0}}{x _{0}^{2}} > 0

.
Trên đường

y = b x^{2}

, tại

x_{1} \neq = 0

có

y_{1} < 0

(nhánh nằm phía dưới trục hoành) ⇒

b = \frac{y _{1}}{x _{1}^{2}} < 0

Vậy $a > 0$ và $b < 0$ , tức $a > 0 \gtb$ , chọn D.

3Cách 3. Loại trừ theo từng phương án

Định hướng. Xét dấu $a$ , $b$ đã đọc được ở Cách 1 rồi loại các phương án không phù hợp.

a > 0

nên loại A (

a < 0

) và loại B (

a < b < 0

cũng đòi

a < 0

b < 0

nên loại C (

b > 0

Vậy chỉ còn D thoả mãn cả hai điều kiện $a > 0$ , $b < 0$ , chọn D.

Nhận xét. Cách loại trừ này an toàn khi hình vẽ không thật rõ nét, chỉ cần chắc dấu của $a$ là đủ khoanh vùng đáp án.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần một câu "mở lên thì dương, mở xuống thì âm", không cần chọn điểm hay lập tỉ số.

Đáp số. Chọn D.

Sai lầm thường gặp. Nhầm "parabol nào rộng hơn thì

∣ a ∣

lớn hơn" — độ rộng liên quan đến độ lớn

∣ a ∣

, còn hướng mở mới quyết định dấu của

a

; đề bài 6.40 chỉ hỏi dấu nên không cần so độ rộng.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi đề thành so sánh

∣ a ∣

và

∣ b ∣

(đường nào "hẹp" hơn) thì phải nhìn độ dốc gần gốc toạ độ: đường nào áp sát trục tung hơn có

∣ a ∣

lớn hơn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Câu 6.41★Trang 30— Giải phương trình bậc hai bằng nhẩm nghiệm/công thức nghiệm

6.41 (trang 30). Các nghiệm của phương trình

x^{2} + 7 x + 12 = 0

là
A.

x_{1} = 3; x_{2} = 4

. B.

x_{1} = - 3; x_{2} = - 4

. C.

x_{1} = 3; x_{2} = - 4

. D.

x_{1} = - 3; x_{2} = 4

Kiến thức cần nhớ

Phương trình $x^{2} + b x + c = 0$ có thể phân tích thành $(x - x_{1}) (x - x_{2}) = 0$ nếu tìm được $x_{1}, x_{2}$ với $x_{1} + x_{2} = - b$ , $x_{1} x_{2} = c$ .
Công thức nghiệm: $x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ với $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình có các hệ số nguyên nhỏ, tổng và tích hai nghiệm là số nguyên đẹp — dấu hiệu nên nhẩm nghiệm bằng phân tích thành nhân tử hoặc định lí Viète thay vì dùng công thức nghiệm dài dòng. Bẫy nằm ở dấu: bốn phương án chỉ khác nhau ở dấu của

3

và

4

nên phải xác định đúng cả hai nghiệm cùng âm.

1Cách 1. Nhẩm nghiệm theo tổng — tích

Định hướng. Tìm hai số có tổng $- 7$ và tích $12$ .

Hai số

- 3

và

- 4

có tổng

(- 3) + (- 4) = - 7

và tích

(- 3) \cdot (- 4) = 12

Vậy $x^{2} + 7 x + 12 = (x + 3) (x + 4) = 0$ có nghiệm $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = - 4$ , chọn B.

2Cách 2. Dùng công thức nghiệm

Định hướng. Tính $Δ$ rồi áp dụng công thức nghiệm với $a = 1, b = 7, c = 12$ .

Δ = 7^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1

Δ = 1

x_{1} = \frac{- 7 + 1}{2} = - 3

;

x_{2} = \frac{- 7 - 1}{2} = - 4

Vậy $x_{1} = - 3$ , $x_{2} = - 4$ , chọn B.

3Cách 3. Thay ngược từng phương án

Định hướng. Thay các cặp nghiệm của bốn phương án vào phương trình gốc, chọn cặp thoả mãn cả hai nghiệm.

(- 3)^{2} + 7 (- 3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 0

✓;

(- 4)^{2} + 7 (- 4) + 12 = 16 - 28 + 12 = 0

✓.
A:

3^{2} + 7 \cdot 3 + 12 = 9 + 21 + 12 = 42 \neq = 0

✗.

Vậy chỉ B thoả mãn cả hai nghiệm, chọn B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhẩm tổng–tích chỉ mất vài giây, nhanh hơn hẳn viết công thức nghiệm hay thử bốn phương án.

Đáp số. Chọn B:

x_{1} = - 3

;

x_{2} = - 4

Sai lầm thường gặp. Nhẩm đúng số

3

và

4

nhưng quên đổi dấu — chọn nhầm A vì thấy

3 \cdot 4 = 12

mà không kiểm tra tổng phải là

- 7

(âm) nên cả hai nghiệm phải âm.

🚀 Mở rộng. Với phương trình

x^{2} - 7 x + 12 = 0

(chỉ đổi dấu hạng tử bậc nhất), hai nghiệm sẽ đổi dấu thành

3

và

4

— thấy rõ vai trò dấu của hệ số

b

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Câu 6.42★★Trang 30— Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm (Viète đảo)

6.42 (trang 30). Phương trình bậc hai có hai nghiệm

x_{1} = 13

và

x_{2} = 25

là
A.

x^{2} - 13 x + 25 = 0

. B.

x^{2} - 25 x + 13 = 0

. C.

x^{2} - 38 x + 325 = 0

. D.

x^{2} + 38 x + 325 = 0

Kiến thức cần nhớ

Định lí Viète đảo: nếu $x_{1} + x_{2} = S$ và $x_{1} x_{2} = P$ thì $x_{1}, x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - S x + P = 0$ .
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng chuẩn $a x^{2} + b x + c = 0$ với hệ số cao nhất thường chuẩn hoá $a = 1$ khi lập từ nghiệm.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn hai nghiệm và yêu cầu ngược lại lập phương trình — dấu hiệu áp dụng định lí Viète đảo: nếu

x_{1} + x_{2} = S

x_{1} x_{2} = P

thì

x_{1}, x_{2}

là nghiệm của

x^{2} - S x + P = 0

. Bẫy ở bốn phương án đều dùng đúng hai số

13, 25

hoặc tổng/tích của chúng nhưng đặt sai vị trí hoặc sai dấu.

1Cách 1. Viète đảo

Định hướng. Tính tổng $S = x_{1} + x_{2}$ và tích $P = x_{1} x_{2}$ , rồi thay vào $x^{2} - S x + P = 0$ .

S = 13 + 25 = 38

P = 13 \cdot 25 = 325

Vậy phương trình cần tìm là $x^{2} - 38 x + 325 = 0$ , chọn C.

2Cách 2. Khai triển tích

(x - x_{1}) (x - x_{2})

Định hướng. Phương trình có hai nghiệm $13, 25$ chính là $(x - 13) (x - 25) = 0$ , khai triển để đối chiếu đáp án.

(x - 13) (x - 25) = x^{2} - 25 x - 13 x + 325 = x^{2} - 38 x + 325

Vậy phương trình là $x^{2} - 38 x + 325 = 0$ , chọn C.

3Cách 3. Thay ngược hai nghiệm vào từng phương án

Định hướng. Thử $x = 13$ và $x = 25$ vào phương trình C để kiểm chứng.

1 3^{2} - 38 \cdot 13 + 325 = 169 - 494 + 325 = 0

✓.

2 5^{2} - 38 \cdot 25 + 325 = 625 - 950 + 325 = 0

✓.

Vậy cả hai nghiệm đều thoả phương trình C, chọn C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (Viète đảo): chỉ hai phép tính cộng, nhân là ra ngay hệ số, nhanh hơn khai triển tích hay thử số.

Đáp số. Chọn C:

x^{2} - 38 x + 325 = 0

Sai lầm thường gặp. Đặt nhầm

S

và

P

vào đúng vị trí — viết thành

x^{2} - P x + S = 0

(chọn nhầm A hoặc B) vì quên quy tắc "trừ tổng, cộng tích" của Viète đảo.

🚀 Mở rộng. Nếu chỉ biết tổng và tích (không biết từng nghiệm) vẫn lập được phương trình theo đúng công thức

x^{2} - S x + P = 0

— đây chính là ý tưởng dùng trong bài 6.49 tìm hai số biết tổng và tích.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Câu 6.43★★Trang 30— Tính biểu thức đối xứng của hai nghiệm bằng định lí Viète

6.43 (trang 30). Gọi

x_{1}, x_{2}

là hai nghiệm của phương trình

x^{2} - 5 x + 6 = 0

. Khi đó, giá trị của biểu thức

A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

là
A.

13

. B.

19

. C.

25

. D.

5

Kiến thức cần nhớ

Định lí Viète: nếu $x_{1}, x_{2}$ là nghiệm của $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq = 0$ ) thì $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .
Hằng đẳng thức: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ hỏi giá trị biểu thức đối xứng

x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

chứ không hỏi từng nghiệm — dấu hiệu nên dùng ngay Viète và hằng đẳng thức

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}

thay vì giải phương trình ra từng nghiệm rồi bình phương. Bẫy hay gặp là quên trừ

2 x_{1} x_{2}

, chỉ bình phương tổng.

1Cách 1. Viète kết hợp hằng đẳng thức (không giải phương trình)

Định hướng. Tính $S = x_{1} + x_{2}$ , $P = x_{1} x_{2}$ theo Viète rồi thay vào hằng đẳng thức.

S = x_{1} + x_{2} = 5

;

P = x_{1} x_{2} = 6

A = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P = 5^{2} - 2 \cdot 6 = 25 - 12 = 13

Vậy $A = 13$ , chọn A.

2Cách 2. Giải trực tiếp phương trình rồi thay số

Định hướng. Nhẩm nghiệm $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ rồi tính trực tiếp $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ .

Hai số có tổng

5

, tích

6

là

2

và

3

⇒

x_{1} = 2, x_{2} = 3

A = 2^{2} + 3^{2} = 4 + 9 = 13

Vậy $A = 13$ , chọn A.

3Cách 3. Loại trừ theo phương án gần đúng

Định hướng. Nhận xét $25$ chính là $(x_{1} + x_{2})^{2}$ nên nếu đề "quên trừ $2 P$ " học sinh dễ chọn nhầm C; kiểm tra lại bằng Viète để loại phương án bẫy này.

(x_{1} + x_{2})^{2} = 25

(phương án C) chỉ là bước trung gian, chưa trừ

2 x_{1} x_{2} = 12

25 - 12 = 13

mới là

A

thật sự.

Vậy đáp án đúng là $A = 13$ , chọn A, không phải C.

Nhận xét. Phương án C ( $25$ ) chính là bẫy dành cho học sinh quên bước trừ $2 x_{1} x_{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dùng thẳng Viète và hằng đẳng thức, không cần giải ra từng nghiệm nên áp dụng được cả khi phương trình không nhẩm nghiệm đẹp.

Đáp số. Chọn A:

A = 13

Sai lầm thường gặp. Quên trừ

2 x_{1} x_{2}

, chỉ tính

(x_{1} + x_{2})^{2} = 25

rồi chọn nhầm đáp án C — đây là bẫy được cài sẵn trong chính các phương án.

🚀 Mở rộng. Cùng cách này,

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (x_{1} + x_{2})^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) = 5^{3} - 3 \cdot 6 \cdot 5 = 125 - 90 = 35

— mở rộng cho bậc ba như bài 6.48b.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Câu 6.44★★Trang 30— Tìm hai số biết tổng và tích, ứng dụng hình chữ nhật

6.44 (trang 30). Chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật có chu vi

20 cm

và diện tích

24 cm^{2}

là
A.

5 cm

và

4 cm

. B.

6 cm

và

4 cm

. C.

8 cm

và

3 cm

. D.

10 cm

và

2 cm

Kiến thức cần nhớ

Chu vi hình chữ nhật: $C = 2 (l + w)$ ; diện tích $S = l w$ .
Hai số $u, v$ có tổng $S_{0}$ và tích $P_{0}$ là nghiệm của $x^{2} - S_{0} x + P_{0} = 0$ (điều kiện có nghiệm: $S_{0}^{2} \geq 4 P_{0}$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Chu vi cho biết tổng chiều dài, chiều rộng; diện tích cho biết tích của chúng — đúng dạng "tìm hai số biết tổng và tích" nên đưa về phương trình bậc hai theo Viète đảo thay vì thử từng cặp số trong bốn phương án. Bẫy ở chỗ chu vi

20

cm là tổng của cả hai lần chiều dài và chiều rộng, phải chia đôi trước khi lấy tổng.

1Cách 1. Đặt ẩn, lập phương trình bậc hai

Định hướng. Từ chu vi suy ra tổng chiều dài – rộng, từ diện tích suy ra tích, rồi dùng Viète đảo.

l + w = \frac{20}{2} = 10

;

l w = 24

l, w

là nghiệm của

x^{2} - 10 x + 24 = 0

Δ = 100 - 96 = 4

Δ = 2

x_{1} = \frac{10 + 2}{2} = 6

;

x_{2} = \frac{10 - 2}{2} = 4

Vậy chiều dài $6$ cm, chiều rộng $4$ cm (chiều dài $\geq$ chiều rộng), chọn B.

2Cách 2. Thử trực tiếp các phương án

Định hướng. Kiểm tra từng cặp số có thoả cả chu vi $20$ cm và diện tích $24$ cm² hay không.

2 (5 + 4) = 18 \neq = 20

✗.
B:

2 (6 + 4) = 20

✓ và

6 \cdot 4 = 24

✓.
C:

2 (8 + 3) = 22 \neq = 20

✗.
D:

2 (10 + 2) = 24 \neq = 20

✗.

Vậy chỉ B thoả cả hai điều kiện, chọn B.

3Cách 3. Đặt một ẩn duy nhất theo chiều rộng

Định hướng. Gọi chiều rộng là $x$ ( $x > 0$ ), biểu diễn chiều dài theo $x$ từ chu vi rồi thế vào diện tích.

Chiều dài

= 10 - x

x (10 - x) = 24 \Leftrightarrow x^{2} - 10 x + 24 = 0

Δ = 4

x = \frac{10 \pm 2}{2}

⇒

x = 4

hoặc

x = 6

.
Vì chiều rộng

\leq

chiều dài nên

x = 4

, chiều dài

= 6

Vậy chiều dài $6$ cm, chiều rộng $4$ cm, chọn B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (thử trực tiếp) khi có sẵn bốn phương án số đẹp: chỉ hai phép nhân, cộng là loại xong ba phương án sai; Cách 1/3 mới cần khi đề không cho phương án.

Đáp số. Chọn B:

6 cm

và

4 cm

Sai lầm thường gặp. Quên chia đôi chu vi trước khi lấy tổng, đặt nhầm

l + w = 20

dẫn tới phương trình

x^{2} - 20 x + 24 = 0

sai hoàn toàn.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi diện tích thành

25 cm^{2}

với cùng chu vi

20

cm thì

Δ = 100 - 100 = 0

, hình chữ nhật trở thành hình vuông cạnh

5

cm — đây là trường hợp biên của dạng toán này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.45★Trang 30— Vẽ đồ thị hàm số

y = a x^{2}

6.45 (trang 30). Vẽ đồ thị của các hàm số

y = \frac{5}{2} x^{2}

và

y = - \frac{5}{2} x^{2}

trên cùng một mặt phẳng toạ độ.

Kiến thức cần nhớ

Đồ thị hàm số $y = a x^{2}$ ( $a \neq = 0$ ) là một parabol nhận $O y$ làm trục đối xứng, đỉnh tại gốc toạ độ $O$ .
$a > 0$ : parabol mở lên, $O$ là điểm thấp nhất. $a < 0$ : parabol mở xuống, $O$ là điểm cao nhất.
Hai hàm số $y = a x^{2}$ và $y = - a x^{2}$ có đồ thị đối xứng nhau qua trục hoành $O x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ cho một công thức hàm số và yêu cầu vẽ, không có dữ kiện phụ nào khác — dấu hiệu của dạng "lập bảng giá trị rồi vẽ parabol". Vì hai hệ số

\frac{5}{2}

và

- \frac{5}{2}

đối nhau nên hai đồ thị đối xứng nhau qua trục hoành, có thể tận dụng để vẽ nhanh đường thứ hai từ đường thứ nhất.

1Cách 1. Lập bảng giá trị rồi vẽ từng đường

Định hướng. Chọn các giá trị $x$ đối xứng quanh $0$ , tính $y$ tương ứng cho từng hàm số rồi nối các điểm thành đường cong trơn.

Với

y = \frac{5}{2} x^{2}

x = - 2, - 1, 0, 1, 2

cho

y = 10, \frac{5}{2}, 0, \frac{5}{2}, 10

.
Với

y = - \frac{5}{2} x^{2}

: cùng các

x

đó cho

y = - 10, - \frac{5}{2}, 0, - \frac{5}{2}, - 10

Vậy nối các điểm của mỗi hàm số ta được hai parabol chung đỉnh $O$ , một mở lên (Hình vẽ, màu hồng) và một mở xuống (màu tím).

2Cách 2. Vẽ một đường rồi lấy đối xứng qua

O x

Định hướng. Vì $- \frac{5}{2} = - (\frac{5}{2})$ , đồ thị $y = - \frac{5}{2} x^{2}$ chính là ảnh của $y = \frac{5}{2} x^{2}$ qua phép đối xứng trục $O x$ .

Vẽ parabol

y = \frac{5}{2} x^{2}

bằng bảng giá trị ở Cách 1.
Lấy đối xứng từng điểm của đường đó qua trục hoành (đổi dấu tung độ, giữ nguyên hoành độ) để được đường

y = - \frac{5}{2} x^{2}

Vậy chỉ cần vẽ một đường rồi "lật" qua $O x$ là có ngay đường thứ hai, không phải tính lại bảng giá trị.

3Cách 3. Kiểm tra bằng tính chất đối xứng và độ dốc

Định hướng. Sau khi vẽ, kiểm tra lại hai đường bằng các mốc đặc trưng: đỉnh, độ mở, tính đối xứng qua $O y$ .

Cả hai đường đi qua

O (0; 0)

và nhận

O y

làm trục đối xứng (vì

f (- x) = f (x)

với mọi

x

).
Tại

x = 1

y = \frac{5}{2}

và

y = - \frac{5}{2}

đối xứng nhau qua

O x

, xác nhận hai đường "khớp gương" qua trục hoành.

Vậy hai đồ thị đã vẽ thoả mãn đầy đủ tính chất của hàm số $y = a x^{2}$ , đối xứng nhau qua $O x$ .

Nhận xét. Vì $\frac{5}{2}$ khá lớn nên hai parabol "hẹp", tăng/giảm rất nhanh khi rời xa gốc toạ độ — nên chọn các giá trị $x$ nhỏ ( $- 2$ đến $2$ ) để bảng giá trị không vượt quá khổ giấy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: vẽ một parabol theo bảng giá trị rồi lấy đối xứng qua

O x

, nhanh gấp đôi vì không phải tính lại bảng cho hàm số thứ hai.

Đáp số. Hai parabol chung đỉnh

O

, đối xứng nhau qua trục hoành:

y = \frac{5}{2} x^{2}

mở lên,

y = - \frac{5}{2} x^{2}

mở xuống.

Sai lầm thường gặp. Chọn các giá trị

x

quá lớn (như

x = \pm 5

) khiến

y = \pm 62, 5

, bảng giá trị và hình vẽ vượt khổ giấy — nên chỉ cần lấy

x

trong khoảng

[- 2; 2]

vì hệ số

\frac{5}{2}

đã khá lớn.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: hai hàm số

y = a x^{2}

và

y = - a x^{2}

luôn cho hai đồ thị đối xứng nhau qua

O x

với mọi

a \neq = 0

, không riêng gì

a = \frac{5}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.46★★Trang 30— Xác định hệ số

a

của

y = a x^{2}

khi biết một điểm thuộc đồ thị

6.46 (trang 30). Cho hàm số

y = a x^{2}

. Xác định hệ số

a

, biết đồ thị hàm số đi qua điểm

A (3; 3)

. Vẽ đồ thị của hàm số trong trường hợp đó.

Kiến thức cần nhớ

Điểm $(x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị $y = a x^{2}$ khi và chỉ khi $y_{0} = a x_{0}^{2}$ , từ đó $a = \frac{y _{0}}{x _{0}^{2}}$ (với $x_{0} \neq = 0$ ).
Đồ thị $y = a x^{2}$ là parabol đỉnh $O$ , nhận $O y$ làm trục đối xứng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một điểm cụ thể mà đồ thị đi qua — dấu hiệu của dạng "thay toạ độ điểm vào công thức hàm số để tìm hệ số chưa biết". Vì

A

có cả hoành độ và tung độ dương nên chỉ cần thay trực tiếp, không phải biện luận dấu. Sau khi tìm

a

mới vẽ đồ thị bằng bảng giá trị như bài trước.

1Cách 1. Thay toạ độ điểm

A

vào công thức

Định hướng. Đồ thị đi qua $A (3; 3)$ nghĩa là $x = 3, y = 3$ thoả mãn $y = a x^{2}$ , từ đó giải ra $a$ .

3 = a \cdot 3^{2} = 9 a

a = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

Vậy $a = \frac{1}{3}$ , hàm số cần tìm là $y = \frac{1}{3} x^{2}$ .

2Cách 2. Lập tỉ số

\frac{y _{0}}{x _{0}^{2}}

trực tiếp

Định hướng. Dùng ngay công thức $a = \frac{y _{0}}{x _{0}^{2}}$ suy ra từ định nghĩa điểm thuộc đồ thị, không cần lập phương trình trung gian.

a = \frac{y _{0}}{x _{0}^{2}} = \frac{3}{3 ^{2}} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}

Vậy $a = \frac{1}{3}$ , hàm số là $y = \frac{1}{3} x^{2}$ .

3Cách 3. Kiểm tra ngược bằng cách vẽ và đọc điểm trên đồ thị

Định hướng. Sau khi có $a = \frac{1}{3}$ , lập bảng giá trị, vẽ đồ thị rồi kiểm tra điểm $A (3; 3)$ có thật sự nằm trên đường vừa vẽ.

Bảng giá trị

y = \frac{1}{3} x^{2}

x = - 3, 0, 3

cho

y = 3, 0, 3

.
Tại

x = 3

, đồ thị cho

y = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3

, đúng bằng tung độ của

A

Vậy đồ thị $y = \frac{1}{3} x^{2}$ đi đúng qua $A (3; 3)$ , khẳng định lại kết quả $a = \frac{1}{3}$ .

Nhận xét. Vì $a = \frac{1}{3} > 0$ nên đây là parabol mở lên, khá "thoải" so với bài 6.45 do $∣ a ∣$ nhỏ hơn nhiều.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: viết thẳng

a = \frac{y _{0}}{x _{0}^{2}}

rồi thay số, gọn hơn việc lập phương trình trung gian như Cách 1.

Đáp số.

a = \frac{1}{3}

; hàm số cần tìm là

y = \frac{1}{3} x^{2}

, đồ thị là parabol đỉnh

O

mở lên, đi qua

A (3; 3)

Sai lầm thường gặp. Thay nhầm vai trò

x

và

y

của điểm

A

, viết

9 = a \cdot 3

dẫn tới

a = 3

sai hoàn toàn — cần nhớ

x_{0}

phải được bình phương trước khi chia.

🚀 Mở rộng. Nếu đồ thị còn phải qua điểm thứ hai không cùng đường thẳng qua gốc với

A

thì không thể có

y = a x^{2}

đi qua cả hai (parabol dạng này bị một hệ số

a

quyết định hoàn toàn bởi một điểm khác gốc).

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 6.47★★★Trang 30— Giải phương trình bậc hai có hệ số chứa căn thức

6.47 (trang 30). Giải các phương trình sau:
a)

5 x^{2} - 65 x + 2 = 0

;
b)

2 x^{2} + 26 x + 3 = 0

Kiến thức cần nhớ

Công thức nghiệm thu gọn: với $b = 2 b^{'}$ , $Δ^{'} = b^{'2} - a c$ ; nếu $Δ^{'} > 0$ có hai nghiệm $x = \frac{- b ^{'} \pm Δ ^{'}}{a}$ , nếu $Δ^{'} = 0$ có nghiệm kép $x = \frac{- b ^{'}}{a}$ , nếu $Δ^{'} < 0$ vô nghiệm.
$(5)^{2} = 5$ , $(6)^{2} = 6$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hệ số của phương trình chứa căn thức (

5

6

) — dấu hiệu nên dùng công thức nghiệm thu gọn với

b^{'} = \frac{b}{2}

để tránh bình phương số chứa căn nhiều lần gây sai dấu. Câu b) có dạng

2 x^{2} + 26 x + 3

với

b^{'2}

rất gần

a c

, cần cảnh giác khả năng

Δ^{'} = 0

(nghiệm kép) thay vì mặc định luôn có hai nghiệm phân biệt.

1Cách 1. Công thức nghiệm thu gọn (cho cả hai câu)

Định hướng. Cả hai phương trình có hệ số $b$ chẵn dạng $2 b^{'}$ , dùng công thức nghiệm thu gọn để tính toán gọn hơn.

a = 5, b^{'} = - 35, c = 2

Δ^{'} = (- 35)^{2} - 5 \cdot 2 = 45 - 10 = 35

x_{1, 2} = \frac{3 5 \pm 35}{5}

.

b)

a = 2, b^{'} = 6, c = 3

Δ^{'} = (6)^{2} - 2 \cdot 3 = 6 - 6 = 0

x = \frac{- 6}{2}

(nghiệm kép).

Vậy a) $x = \frac{3 5 \pm 35}{5}$ ; b) $x = - \frac{6}{2}$ (nghiệm kép).

2Cách 2. Công thức nghiệm đầy đủ với

Δ = b^{2} - 4 a c

Định hướng. Không rút gọn $b^{'}$ , tính trực tiếp $Δ$ rồi áp dụng công thức nghiệm tổng quát để đối chiếu kết quả với Cách 1.

Δ = (- 65)^{2} - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 180 - 40 = 140

Δ = 235

x = \frac{6 5 \pm 2 35}{10} = \frac{3 5 \pm 35}{5}

.

b)

Δ = (26)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 24 - 24 = 0

x = \frac{- 2 6}{4} = - \frac{6}{2}

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: a) $x = \frac{3 5 \pm 35}{5}$ ; b) $x = - \frac{6}{2}$ .

3Cách 3. Đặt ẩn phụ đưa hệ số về số hữu tỉ

Định hướng. Đặt $x = t 5$ (câu a) hoặc $x = t 6$ (câu b) để hệ số căn thức triệt tiêu, đưa về phương trình ẩn $t$ với hệ số hữu tỉ, dễ kiểm tra chéo.

a) Đặt

x = t 5

5 \cdot 5 t^{2} - 65 \cdot t 5 + 2 = 0 \Leftrightarrow 25 t^{2} - 30 t + 2 = 0

Δ = 900 - 200 = 700

t = \frac{30 \pm 700}{50} = \frac{3 \pm 7}{5}

, suy ra

x = t 5 = \frac{( 3 \pm 7 ) 5}{5} = \frac{3 5 \pm 35}{5}

.

b) Đặt

x = t 6

2 \cdot 6 t^{2} + 26 \cdot t 6 + 3 = 0 \Leftrightarrow 12 t^{2} + 12 t + 3 = 0 \Leftrightarrow 4 t^{2} + 4 t + 1 = 0 \Leftrightarrow (2 t + 1)^{2} = 0

t = - \frac{1}{2}

x = - \frac{6}{2}

Vậy kết quả khớp hoàn toàn với hai cách trên.

Nhận xét. Câu b) là nghiệm kép vì $12 t^{2} + 12 t + 3 = 3 (2 t + 1)^{2}$ — một dấu hiệu để nhận ra tam thức chính là bình phương đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (công thức nghiệm thu gọn):

b

chẵn nên

Δ^{'}

tính nhanh gấp đôi và số nhỏ hơn, ít khả năng sai khi khai căn.

Đáp số. a)

x = \frac{3 5 \pm 35}{5}

. b)

x = - \frac{6}{2}

(nghiệm kép).

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), thấy

Δ = 0

rồi vội kết luận "vô nghiệm" thay vì "có nghiệm kép" —

Δ = 0

vẫn cho đúng một nghiệm (nghiệm kép), khác với

Δ < 0

mới là vô nghiệm.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi câu b) thành

2 x^{2} + 26 x + 3, 5 = 0

thì

Δ^{'} = 6 - 7 = - 1 < 0

, phương trình vô nghiệm — chỉ cần đổi

c

một chút là chuyển hẳn từ nghiệm kép sang vô nghiệm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 6.48★★Trang 31— Tính biểu thức đối xứng bậc cao của hai nghiệm bằng Viète

6.48 (trang 31). Cho phương trình

x^{2} - 11 x + 30 = 0

. Gọi

x_{1}, x_{2}

là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính:
a)

x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

;
b)

x_{1}^{3} + x_{2}^{3}

Kiến thức cần nhớ

Viète: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ , $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ .
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = S^{2} - 2 P$ .
$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (x_{1} + x_{2})^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2}) = S^{3} - 3 P S$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề nhấn mạnh "không giải phương trình" — dấu hiệu bắt buộc dùng Viète và các hằng đẳng thức biến đổi

x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

x_{1}^{3} + x_{2}^{3}

về

S = x_{1} + x_{2}

và

P = x_{1} x_{2}

. Bẫy ở câu b): công thức lập phương của tổng dễ nhớ thiếu số hạng

- 3 P S

1Cách 1. Viète và hằng đẳng thức (không giải phương trình)

Định hướng. Tính $S, P$ theo Viète rồi thay vào các hằng đẳng thức bậc hai, bậc ba tương ứng.

S = x_{1} + x_{2} = 11

;

P = x_{1} x_{2} = 30

.
a)

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = S^{2} - 2 P = 1 1^{2} - 2 \cdot 30 = 121 - 60 = 61

.
b)

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = S^{3} - 3 P S = 1 1^{3} - 3 \cdot 30 \cdot 11 = 1331 - 990 = 341

Vậy a) $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 61$ ; b) $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 341$ .

2Cách 2. Giải trực tiếp phương trình rồi tính (kiểm chứng)

Định hướng. Vì $x^{2} - 11 x + 30 = 0$ nhẩm nghiệm đẹp, giải trực tiếp rồi thay số để đối chiếu với Cách 1.

Hai số có tổng

11

, tích

30

là

5

và

6

⇒

x_{1} = 5, x_{2} = 6

.
a)

5^{2} + 6^{2} = 25 + 36 = 61

.
b)

5^{3} + 6^{3} = 125 + 216 = 341

Vậy kết quả trùng khớp: a) $61$ ; b) $341$ , xác nhận Cách 1 đúng.

3Cách 3. Dùng dãy truy hồi

S_{n} = x_{1}^{n} + x_{2}^{n}

Định hướng. Đặt $S_{n} = x_{1}^{n} + x_{2}^{n}$ ; vì $x_{1}, x_{2}$ thoả $x^{2} = 11 x - 30$ nên $S_{n}$ thoả hệ thức truy hồi $S_{n} = 11 S_{n - 1} - 30 S_{n - 2}$ , tính dần từ $S_{0}, S_{1}$ .

S_{0} = x_{1}^{0} + x_{2}^{0} = 2

;

S_{1} = x_{1} + x_{2} = 11

S_{2} = 11 S_{1} - 30 S_{0} = 11 \cdot 11 - 30 \cdot 2 = 121 - 60 = 61

S_{3} = 11 S_{2} - 30 S_{1} = 11 \cdot 61 - 30 \cdot 11 = 671 - 330 = 341

Vậy $S_{2} = 61$ , $S_{3} = 341$ , đúng như hai cách trên.

Nhận xét. Cách truy hồi này rất hữu ích khi đề hỏi tiếp $x_{1}^{4} + x_{2}^{4}$ hay bậc cao hơn mà không muốn khai triển hằng đẳng thức dài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai hằng đẳng thức

S^{2} - 2 P

và

S^{3} - 3 P S

là công cụ chuẩn cho dạng "không giải phương trình", áp dụng được cả khi nghiệm không đẹp để nhẩm.

Đáp số. a)

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 61

. b)

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 341

Sai lầm thường gặp. Ở câu b) nhớ nhầm công thức thành

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = S^{3} - 3 P

(thiếu nhân thêm

S

) hoặc

= S^{3} + 3 P S

(sai dấu) — dẫn tới kết quả sai dù

S, P

tính đúng.

🚀 Mở rộng. Cùng ý tưởng truy hồi ở Cách 3, có thể tính tiếp

x_{1}^{4} + x_{2}^{4} = 11 \cdot 341 - 30 \cdot 61 = 3751 - 1830 = 1921

mà không cần khai triển hằng đẳng thức bậc bốn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 6.49★★Trang 31— Tìm hai số biết tổng (hoặc hiệu) và tích — Viète đảo

6.49 (trang 31). Tìm hai số

u

và

v

, biết:
a)

u + v = 13

và

uv = 40

;
b)

u - v = 4

và

uv = 77

Kiến thức cần nhớ

Hai số $u, v$ có tổng $S$ và tích $P$ là nghiệm của $x^{2} - S x + P = 0$ (cần $S^{2} \geq 4 P$ để có nghiệm thực).
Nếu biết hiệu $u - v = d$ thì đặt $v^{'} = - v$ , khi đó $u + v^{'} = d$ và $u v^{'} = - uv$ , đưa về đúng dạng tổng — tích với $v^{'}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) cho ngay tổng và tích nên áp dụng thẳng Viète đảo. Câu b) cho hiệu chứ không phải tổng — dấu hiệu phải đổi biến (

v \to - v

) để đưa về đúng dạng tổng và tích trước khi dùng Viète đảo, tránh nhầm lẫn giữa hai loại đề tưởng giống nhau.

1Cách 1. Viète đảo trực tiếp (câu a) và qua đổi biến (câu b)

Định hướng. Câu a) dùng Viète đảo ngay; câu b) đổi $v^{'} = - v$ để có tổng $u + v^{'} = 4$ , tích $u v^{'} = - 77$ rồi mới dùng Viète đảo.

u, v

là nghiệm của

x^{2} - 13 x + 40 = 0

Δ = 169 - 160 = 9

Δ = 3

x = \frac{13 \pm 3}{2}

⇒

x = 8

hoặc

x = 5

.

b) Đặt

v^{'} = - v

u + v^{'} = 4

u v^{'} = - 77

u, v^{'}

là nghiệm của

x^{2} - 4 x - 77 = 0

Δ = 16 + 308 = 324

Δ = 18

x = \frac{4 \pm 18}{2}

⇒

x = 11

hoặc

x = - 7

Vậy a) ${u, v} = {5; 8}$ ; b) $u = 11, v^{'} = - 7 \Rightarrow v = 7$ hoặc $u = - 7, v^{'} = 11 \Rightarrow v = - 11$ .

2Cách 2. Thế trực tiếp một ẩn theo ẩn kia

Định hướng. Rút $v$ (hoặc $u$ ) từ phương trình tổng/hiệu rồi thế vào phương trình tích, đưa về phương trình bậc hai một ẩn.

v = 13 - u \Rightarrow u (13 - u) = 40 \Leftrightarrow u^{2} - 13 u + 40 = 0 \Rightarrow u = 5

hoặc

u = 8

.
b)

u = v + 4 \Rightarrow (v + 4) v = 77 \Leftrightarrow v^{2} + 4 v - 77 = 0

Δ = 16 + 308 = 324

v = \frac{- 4 \pm 18}{2}

⇒

v = 7

hoặc

v = - 11

Vậy a) $(u, v) = (5; 8)$ hoặc $(8; 5)$ ; b) $(u, v) = (11; 7)$ hoặc $(- 7; - 11)$ — trùng khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách kiểm tra điều kiện tổng bình phương

Định hướng. Trước khi giải, kiểm tra điều kiện có nghiệm ( $S^{2} \geq 4 P$ hay $d^{2} \geq - 4 P$ ) để chắc chắn bài toán có lời giải, sau đó thay ngược cặp số tìm được vào đề để xác nhận.

1 3^{2} - 4 \cdot 40 = 169 - 160 = 9 \geq 0

: có nghiệm. Thử

u = 5, v = 8

5 + 8 = 13

✓,

5 \cdot 8 = 40

✓.
b)

4^{2} + 4 \cdot 77 = 16 + 308 = 324 \geq 0

: có nghiệm. Thử

u = 11, v = 7

11 - 7 = 4

✓,

11 \cdot 7 = 77

✓.

Vậy cả hai cặp nghiệm đều thoả mãn đúng đề bài, khẳng định kết quả ở Cách 1, 2.

Nhận xét. Câu b) còn cặp nghiệm thứ hai $(u, v) = (- 7; - 11)$ cũng thoả mãn, không nên bỏ sót vì đề không giới hạn dấu của $u, v$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (thế trực tiếp): không cần nhớ mẹo đổi biến như Cách 1, chỉ rút một ẩn rồi thế vào — an toàn cho cả hai dạng tổng và hiệu.

Đáp số. a)

{u; v} = {5; 8}

. b)

(u; v) = (11; 7)

hoặc

(u; v) = (- 7; - 11)

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), áp dụng thẳng công thức Viète đảo cho "hiệu và tích" như thể đó là "tổng và tích" — viết nhầm phương trình

x^{2} - 4 x + 77 = 0

(sai dấu tích) thay vì đổi biến đúng cách trước.

🚀 Mở rộng. Nếu đề cho

u + v = 13

và

u - v = 5

(cả tổng lẫn hiệu, không có tích) thì bài toán trở thành hệ phương trình bậc nhất đơn giản, giải nhanh hơn nhiều so với đưa về phương trình bậc hai.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 6.50★★★Trang 31— Giải bài toán thực tế bằng cách lập phương trình bậc hai

6.50 (trang 31). Các kĩ sư đảm bảo an toàn của đường cao tốc thường sử dụng công thức

d = 0, 05 v^{2} + 1, 1 v

để ước tính khoảng cách an toàn tối thiểu

d

(feet) (tức là độ dài quãng đường mà xe đi được kể từ khi đạp phanh đến khi xe dừng lại) đối với một phương tiện di chuyển với tốc độ

v

(dặm/giờ) (theo Algebra 2, NXB MacGraw-Hill, 2008). Giả sử giới hạn tốc độ trên một đường cao tốc nào đó là

70

dặm/giờ. Nếu một ô tô có thể dừng lại sau

300

feet kể từ khi đạp phanh thì ô tô đó có chạy nhanh hơn giới hạn tốc độ của đường cao tốc này không?

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm $v$ khi biết $d$ , thay số vào công thức rồi giải phương trình bậc hai theo $v$ , chỉ lấy nghiệm dương vì $v > 0$ .
Công thức nghiệm: $v = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ với $Δ = b^{2} - 4 a c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho công thức liên hệ

d

theo

v

và một giá trị

d = 300

cụ thể — dấu hiệu của dạng lập phương trình bậc hai theo

v

rồi giải, sau đó so sánh nghiệm với giới hạn tốc độ đã cho chứ không dừng lại ở việc tìm

v

. Bẫy ở chỗ phương trình có hai nghiệm nhưng chỉ nghiệm dương mới có ý nghĩa vì

v

là tốc độ.

1Cách 1. Lập và giải phương trình bậc hai theo

v

Định hướng. Thay $d = 300$ vào công thức, đưa về phương trình bậc hai ẩn $v$ , giải rồi so với $70$ .

0, 05 v^{2} + 1, 1 v = 300 \Leftrightarrow 0, 05 v^{2} + 1, 1 v - 300 = 0

.
Nhân hai vế với

20

v^{2} + 22 v - 6000 = 0

Δ = 2 2^{2} + 4 \cdot 6000 = 484 + 24000 = 24484

Δ = 26121 \approx 156, 47

v = \frac{- 22 + 156 , 47}{2} \approx 67, 24

(loại nghiệm âm vì

v > 0

Vậy $v \approx 67, 24$ dặm/giờ $< 70$ dặm/giờ nên ô tô không chạy nhanh hơn giới hạn tốc độ.

2Cách 2. Kiểm tra bằng cách thay ngược

v = 70

Định hướng. Không cần giải phương trình, chỉ cần tính $d$ tương ứng với $v = 70$ (giới hạn tốc độ) rồi so với $300$ feet thực tế.

Với

v = 70

d = 0, 05 \cdot 7 0^{2} + 1, 1 \cdot 70 = 0, 05 \cdot 4900 + 77 = 245 + 77 = 322

(feet).

Vậy nếu chạy đúng $70$ dặm/giờ thì xe cần tới $322$ feet mới dừng lại, dài hơn $300$ feet thực tế ⇒ xe thực tế đã đi chậm hơn $70$ dặm/giờ, không vượt giới hạn tốc độ.

3Cách 3. Xét tính đồng biến của hàm số

d (v)

Định hướng. Vì $d = 0, 05 v^{2} + 1, 1 v$ đồng biến với $v > 0$ (cả hai số hạng đều tăng theo $v$ ), chỉ cần so sánh $d$ tại $v = 70$ với $d$ thực tế $300$ để kết luận mà không cần giải phương trình chính xác.

d (70) = 322

feet (tính như Cách 2)

> 300

feet.
Do

d

tăng theo

v

nên

d

thực tế nhỏ hơn

d (70)

nghĩa là

v

thực tế nhỏ hơn

70

Vậy ô tô không chạy nhanh hơn giới hạn tốc độ $70$ dặm/giờ.

Nhận xét. Cách 2, 3 tránh phải giải phương trình bậc hai với $Δ$ lẻ, phù hợp khi chỉ cần trả lời có/không chứ không cần giá trị $v$ chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ thay

v = 70

vào công thức và so sánh

d

, tránh hẳn việc giải phương trình bậc hai với căn số lẻ mà vẫn trả lời đúng câu hỏi "có vượt tốc độ không".

Đáp số. Không. Ô tô không chạy nhanh hơn giới hạn tốc độ (

v \approx 67, 24

dặm/giờ

< 70

dặm/giờ, tương ứng

d (70) = 322

feet

> 300

feet).

Sai lầm thường gặp. Giải xong phương trình rồi quên đối chiếu ngược lại câu hỏi "có nhanh hơn giới hạn hay không", chỉ dừng lại ở việc tính ra

v \approx 67, 24

mà không kết luận so với

70

🚀 Mở rộng. Nếu quãng đường dừng thực tế là

330

feet (thay vì

300

) thì so với

d (70) = 322

feet, ô tô lúc này đã chạy nhanh hơn

70

dặm/giờ — cho thấy vai trò mốc

d (70)

như một "ngưỡng" để so sánh nhanh.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 6.51★★★Trang 31— Bài toán lãi suất kép, lập phương trình bậc hai theo lãi suất

6.51 (trang 31). Bác Hương gửi tiết kiệm ngân hàng

100

triệu đồng với kì hạn

12

tháng. Sau một năm, do chưa có nhu cầu sử dụng nên bác chưa rút sổ tiết kiệm này ra mà gửi tiếp và gửi thêm một sổ tiết kiệm mới với số tiền

50

triệu đồng, cũng với kì hạn

12

tháng. Sau hai năm (kể từ khi gửi lần đầu), bác Hương nhận được số tiền cả vốn lẫn lãi là

176

triệu đồng. Tính lãi suất năm của hình thức gửi tiết kiệm này (giả sử lãi suất không đổi trong suốt quá trình gửi).

Kiến thức cần nhớ

Công thức lãi kép một kì hạn: số tiền nhận được sau một năm $=$ số tiền gửi $\times (1 + r)$ , với $r$ là lãi suất năm.
Khi gửi thêm vào sổ đang có lãi, số tiền gốc của kì hạn tiếp theo là tổng cả vốn lẫn lãi cũ cộng số tiền gửi thêm.

🧠 Phân tích tư duy

Đề mô tả hai đợt gửi lồng vào nhau theo thời gian (gửi

100

triệu rồi năm sau gửi tiếp cả gốc lẫn lãi cộng thêm

50

triệu) — dấu hiệu của dạng lãi kép, đặt ẩn là lãi suất

r

rồi biểu diễn số tiền sau từng năm theo

r

. Bẫy ở chỗ dễ quên rằng số tiền đưa vào năm thứ hai là cả gốc lẫn lãi của năm đầu cộng thêm $50$ triệu, chứ không phải chỉ có

150

triệu gốc.

1Cách 1. Đặt ẩn

r

, lập phương trình bậc hai

Định hướng. Gọi lãi suất năm là $r$ ( $r > 0$ ). Biểu diễn số tiền sau năm thứ nhất, rồi sau năm thứ hai theo $r$ , cho bằng $176$ .

Sau năm thứ nhất:

100 (1 + r)

(triệu đồng).
Đầu năm thứ hai, gửi thêm

50

triệu: gốc mới

= 100 (1 + r) + 50

.
Sau năm thứ hai:

[100 (1 + r) + 50] (1 + r) = 176

Vậy ta có phương trình theo $r$ , giải tiếp ở bước sau để tìm $r$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ

t = 1 + r

để phương trình gọn hơn

Định hướng. Đặt $t = 1 + r$ ( $t > 1$ ), phương trình ở Cách 1 trở thành phương trình bậc hai ẩn $t$ với hệ số nguyên, dễ giải hơn.

(100 t + 50) t = 176 \Leftrightarrow 100 t^{2} + 50 t - 176 = 0 \Leftrightarrow 50 t^{2} + 25 t - 88 = 0

Δ = 2 5^{2} + 4 \cdot 50 \cdot 88 = 625 + 17600 = 18225 = 13 5^{2}

t = \frac{- 25 + 135}{100} = \frac{110}{100} = 1, 1

(loại nghiệm âm vì

t = 1 + r > 1

r = t - 1 = 0, 1 = 10%

Vậy lãi suất năm $r = 10%$ .

3Cách 3. Thử lại bằng cách thay

r = 10%

vào diễn biến thực tế

Định hướng. Thay $r = 10%$ vào từng bước gửi tiền theo đúng trình tự thời gian của đề để kiểm chứng kết quả.

Sau năm 1:

100 \cdot 1, 1 = 110

triệu.
Đầu năm 2, gửi thêm

50

triệu:

110 + 50 = 160

triệu.
Sau năm 2:

160 \cdot 1, 1 = 176

triệu.

Vậy $176$ triệu đúng bằng số tiền đề cho, khẳng định $r = 10%$ là đáp số đúng.

Nhận xét. Việc thử lại theo đúng trình tự thời gian (không gộp thẳng $150$ triệu) là cách chắc chắn nhất để tránh sai ở bước lập phương trình.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đặt

t = 1 + r

để có phương trình hệ số nguyên,

Δ

là số chính phương, tránh phải giải phương trình với hệ số thập phân của

r

trực tiếp.

Đáp số. Lãi suất năm

r = 10%

Sai lầm thường gặp. Cộng gộp luôn

100 + 50 = 150

triệu rồi tính lãi một lần cho cả hai năm như lãi đơn, bỏ qua việc số tiền

100

triệu đã có lãi từ năm trước khi gửi thêm — sai bản chất lãi kép của đề.

🚀 Mở rộng. Nếu bác Hương gửi thêm

50

triệu ngay từ đầu (cùng lúc với

100

triệu, không phải sau một năm) thì bài toán trở thành lãi kép đơn giản trên

150

triệu, chỉ cần giải

150 (1 + r)^{2} = 176

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 6.52★★★Trang 31— Bài toán năng suất làm chung — làm riêng, lập phương trình bậc hai

6.52 (trang 31). Hai khối học sinh lớp 8 và lớp 9 của một trường trung học cơ sở tham gia lao động. Nếu làm chung thì sẽ hoàn thành công việc sau

1

giờ

12

phút. Nếu mỗi khối lớp làm riêng thì khối lớp 9 làm xong nhanh hơn khối lớp 8 là

1

giờ. Hỏi nếu mỗi khối lớp làm riêng thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc?

Kiến thức cần nhớ

Nếu một đội làm xong công việc trong $t$ giờ thì mỗi giờ đội đó làm được $\frac{1}{t}$ công việc (năng suất).
Làm chung: năng suất chung bằng tổng năng suất riêng, thời gian làm chung là nghịch đảo của năng suất chung.
$1$ giờ $12$ phút $= 1 + \frac{12}{60} = \frac{6}{5}$ giờ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho thời gian làm chung và độ chênh lệch thời gian làm riêng giữa hai khối — dấu hiệu của dạng toán năng suất kinh điển: đặt ẩn là thời gian làm riêng của một khối, biểu diễn khối còn lại theo độ chênh lệch, rồi dùng phương trình tổng năng suất. Bẫy ở chỗ

1

giờ

12

phút phải đổi ra giờ dạng phân số (

\frac{6}{5}

giờ) trước khi lập phương trình, không được để nguyên đơn vị phút.

1Cách 1. Đặt ẩn là thời gian làm riêng của khối lớp 9

Định hướng. Gọi thời gian khối lớp 9 làm riêng xong là $x$ giờ ( $x > 0$ ), thì khối lớp 8 làm riêng xong hết $x + 1$ giờ; lập phương trình theo tổng năng suất.

Năng suất khối 9:

\frac{1}{x}

; năng suất khối 8:

\frac{1}{x + 1}

.
Làm chung

\frac{6}{5}

giờ xong việc nên năng suất chung là

\frac{5}{6}

\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 1} = \frac{5}{6}

.
Quy đồng:

6 (x + 1) + 6 x = 5 x (x + 1) \Leftrightarrow 12 x + 6 = 5 x^{2} + 5 x \Leftrightarrow 5 x^{2} - 7 x - 6 = 0

Δ = 49 + 120 = 169 = 1 3^{2}

x = \frac{7 + 13}{10} = 2

(loại nghiệm âm

x = \frac{7 - 13}{10} = - 0, 6

Vậy khối lớp 9 làm riêng xong sau $2$ giờ, khối lớp 8 làm riêng xong sau $2 + 1 = 3$ giờ.

2Cách 2. Đặt ẩn là thời gian làm riêng của khối lớp 8

Định hướng. Gọi thời gian khối lớp 8 làm riêng là $y$ giờ ( $y > 1$ ), thì khối lớp 9 làm hết $y - 1$ giờ; lập phương trình tương tự Cách 1 theo $y$ để kiểm chứng kết quả.

\frac{1}{y} + \frac{1}{y - 1} = \frac{5}{6} \Leftrightarrow 6 (y - 1) + 6 y = 5 y (y - 1) \Leftrightarrow 12 y - 6 = 5 y^{2} - 5 y \Leftrightarrow 5 y^{2} - 17 y + 6 = 0

Δ = 289 - 120 = 169 = 1 3^{2}

y = \frac{17 + 13}{10} = 3

(loại

y = \frac{17 - 13}{10} = 0, 4

vì

y > 1

Vậy khối lớp 8 làm riêng xong sau $3$ giờ, khối lớp 9 làm riêng xong sau $3 - 1 = 2$ giờ — trùng khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách cộng năng suất theo kết quả tìm được

Định hướng. Thay $x = 2$ (khối 9) và $x + 1 = 3$ (khối 8) ngược vào phương trình năng suất chung để kiểm chứng đúng $\frac{6}{5}$ giờ như đề cho.

Năng suất chung:

\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}

(công việc/giờ).
Thời gian làm chung:

1 \div \frac{5}{6} = \frac{6}{5}

giờ

= 1

giờ

12

phút.

Vậy đúng bằng thời gian làm chung mà đề cho, khẳng định khối lớp 9 làm riêng hết $2$ giờ, khối lớp 8 làm riêng hết $3$ giờ.

Nhận xét. Khối lớp 9 làm nhanh hơn (năng suất $\frac{1}{2}$ lớn hơn $\frac{1}{3}$ của khối lớp 8), đúng với dữ kiện "khối lớp 9 làm xong nhanh hơn".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đặt ẩn trực tiếp theo đại lượng đề hỏi trước (thời gian khối lớp 9), tránh phải đổi ngược đơn vị ở bước kết luận như khi đặt ẩn theo khối lớp 8 trước.

Đáp số. Khối lớp 9 làm riêng xong sau

2

giờ; khối lớp 8 làm riêng xong sau

3

giờ.

Sai lầm thường gặp. Quên đổi

1

giờ

12

phút thành

\frac{6}{5}

giờ, để nguyên "

1, 12

giờ" khi lập phương trình khiến toàn bộ hệ số bị sai theo.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi dữ kiện thành "làm chung hết

\frac{12}{7}

giờ, khối lớp 8 nhanh hơn khối lớp 9 là

1

giờ" (đổi vai trò nhanh–chậm) thì chỉ cần đổi tên ẩn theo đúng khối, cách giải hoàn toàn tương tự.

Mở bài này trong app ↗