Bài tập cuối chương VII

Định hướng. Rà từng số trong dãy, đánh dấu mỗi lần gặp giá trị $8$ rồi đếm tổng số lần đánh dấu.

Vậy tần số xuất hiện của điểm $8$ là $10$. Chọn đáp án C.

Định hướng. Đếm tần số của tất cả các điểm xuất hiện trong dãy, sau đó đọc riêng dòng ứng với điểm $8$; đồng thời kiểm tra tổng các tần số phải bằng $40$.

Vậy tần số của điểm $8$ là $10$, khớp Cách 1 và đã được kiểm chứng qua tổng.

Định hướng. Tách dãy $40$ số thành $4$ nhóm liên tiếp mỗi nhóm $10$ số, đếm số lần điểm $8$ trong từng nhóm rồi cộng lại — giúp giảm sai sót khi đếm trên một dãy dài.

Vậy tần số điểm $8$ vẫn là $10$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 phù hợp khi dãy số liệu dài, chia nhỏ giúp kiểm soát việc đếm tốt hơn đếm một mạch như Cách 1.

Định hướng. Đếm số lần điểm $10$ xuất hiện trong dãy, rồi chia cho cỡ mẫu $40$ và nhân $100\%$.

Vậy tần số tương đối xuất hiện của điểm $10$ là $10\%$. Chọn đáp án B.

Định hướng. Từ bảng tần số đầy đủ đã lập, đọc thẳng tần số của điểm $10$ là $4$ rồi tính tần số tương đối, không cần đếm lại từ dãy gốc.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: $10\%$.

Định hướng. Nhân mỗi phương án với $40$, phương án nào cho ra số lần xuất hiện là số nguyên hợp lý và khớp với việc đếm lại là đáp số.

Vậy vì đếm trực tiếp được điểm $10$ xuất hiện đúng $4$ lần, đáp án đúng là B ($10\%$).

Nhận xét. Cách 3 chỉ hữu ích khi kết hợp với việc đếm thực tế; nếu chỉ nhìn con số suông thì không thể tự kết luận phương án nào đúng.

Định hướng. Xác định số dãy dữ liệu trong đề rồi so với điều kiện dùng của từng loại biểu đồ.

Vậy không thể dùng biểu đồ cột kép. Chọn đáp án A.

Định hướng. Chỉ ra cách vẽ cụ thể cho $3$ phương án còn lại, từ đó suy ra đáp án là phương án duy nhất không vẽ được.

Vậy phương án duy nhất không dùng được là A — biểu đồ cột kép.

Nhận xét. Đây là câu hỏi khái niệm nên chỉ có một hướng suy luận bản chất (đối chiếu số dãy dữ liệu); Cách 2 trình bày theo chiều ngược để kiểm chứng lại Cách 1.

Định hướng. Tổng bốn tần số tương đối bằng $100\%$, nên $x\%$ bằng $100\%$ trừ tổng ba giá trị còn lại.

Vậy $x=15$. Chọn đáp án B.

Định hướng. Thay lần lượt mỗi phương án vào bảng rồi cộng tổng $4$ tần số tương đối, phương án nào cho tổng đúng $100\%$ là đáp số.

Vậy chỉ phương án B thoả mãn, $x=15$.

Định hướng. Vẽ một đoạn thẳng dài biểu diễn $100\%$, chia thành bốn phần ứng với bốn nhóm; ba phần đã biết chiều dài, phần còn lại chính là $x\%$.

Vậy $x=15$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 giúp hình dung trực quan vì sao tổng luôn bằng $100\%$, tuy chậm hơn phép trừ trực tiếp ở Cách 1.

Định hướng. Bảng đã cho có tên "tần số tương đối ghép nhóm", nên chọn đúng loại biểu đồ có tên khớp để biểu diễn.

Vậy chọn đáp án D.

Định hướng. Xét từng phương án xem có phù hợp với dữ liệu ghép nhóm dạng tần số tương đối (%) hay không.

Vậy đáp án đúng là D.

Nhận xét. Đây là câu hỏi khái niệm chỉ có một hướng suy luận bản chất — đối chiếu tên và đơn vị dữ liệu với tên loại biểu đồ; Cách 2 là cách trình bày ngược lại để kiểm chứng Cách 1.

Định hướng. Giá trị đại diện của nhóm $[2;3)$ bằng trung bình cộng của $2$ và $3$.

Vậy giá trị đại diện cho nhóm $[2;3)$ là $2,5$. Chọn đáp án C.

Định hướng. Điểm chính giữa đoạn từ $2$ đến $3$ cách đều hai đầu mút, mỗi bên cách $\frac{3-2}{2}=0,5$ đơn vị.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $2,5$.

Định hướng. Giá trị đại diện phải nằm trong khoảng $(2;3)$, loại các phương án không thoả rồi kiểm tra phương án còn lại có cách đều hai đầu mút hay không.

Vậy đáp án đúng là C, giá trị đại diện là $2,5$.

Nhận xét. Cách 3 loại được ngay ba phương án còn lại chỉ nhờ điều kiện "nằm trong khoảng", rất nhanh khi làm trắc nghiệm.

Định hướng. Cỡ mẫu $n=150+200+50+100=500$; chia từng tần số cho $500$ để ra tần số tương đối, sau đó câu b) lấy $100\%$ trừ tỉ lệ hai đội khối 9.

Vậy bảng tần số tương đối: $30\%,40\%,10\%,20\%$; tỉ lệ học sinh không dự đoán hai đội khối 9 là $30\%$.

Định hướng. Rút gọn $\frac{m}{500}$ trước khi đổi %, tính nhẩm nhanh hơn chia trực tiếp.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn Cách 1: $30\%,40\%,10\%,20\%$.

Định hướng. Thay vì lấy phần bù từ $100\%$, cộng thẳng tỉ lệ của hai đội 8B và 7D (chính là hai đội không thuộc khối 9).

Vậy kết quả câu b) vẫn là $30\%$, khớp Cách 1 nhưng đi theo hướng cộng trực tiếp thay vì lấy phần bù.

Nhận xét. Cách 3 trực quan hơn vì tính thẳng đúng đối tượng đề hỏi, tránh nhầm lẫn giữa "phần bù" và "tổng hai đội khối 9" như hay gặp ở Cách 1.

Định hướng. Đọc tần số tương đối từng đội trên biểu đồ (câu a), nhân với $32$ và làm tròn đến số nguyên gần nhất để ra tần số (câu b).

Vậy bảng tần số: $15,6,5,3,3$ (lần). Thái Lan vô địch nhiều nhất với $15$ lần.

Định hướng. Sau khi tính từng tần số làm tròn, cộng lại để kiểm tra tổng có xấp xỉ đúng cỡ mẫu $32$ hay không, tránh sai số làm tròn tích luỹ quá lớn.

Vậy tổng đúng bằng $32$, xác nhận các số liệu ở Cách 1 làm tròn hợp lý, không bị lệch nhiều do sai số làm tròn.

Định hướng. Sắp xếp $5$ tỉ lệ % theo thứ tự giảm dần trước, xác định ngay đội có tỉ lệ cao nhất, rồi mới tính tần số cụ thể — trả lời câu d) mà không cần tính hết cả bảng.

Vậy Thái Lan là đội vô địch nhiều nhất với $15$ lần, trả lời trực tiếp câu d) mà không cần tính đủ cả $5$ tần số như Cách 1.

Nhận xét. Cách 3 tiết kiệm thời gian khi đề chỉ hỏi riêng câu d), nhưng câu a), b), c) vẫn cần tính đủ bảng như Cách 1.

Định hướng. Cỡ mẫu năm 2023 là $n=35+20+15+10=80$; tính tần số tương đối từng loại xe, sau đó nhân tỉ lệ xe $7$ chỗ với $200$ để ước lượng năm 2024.

Vậy bảng tần số tương đối là $43,75\%,25\%,18,75\%,12,5\%$; ước lượng cửa hàng bán được $50$ xe $7$ chỗ trong năm 2024.

Định hướng. Rút gọn $\frac{20}{80}=\frac{1}{4}$ rồi nhân thẳng phân số này với $200$, không cần quy đổi qua %.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $50$ xe $7$ chỗ.

Định hướng. Coi "$80$ xe ứng $20$ xe $7$ chỗ" là một tỉ lệ, lập tỉ lệ thức với "$200$ xe ứng $x$ xe $7$ chỗ" rồi giải tìm $x$.

Vậy $x=50$, khớp cả ba cách.

Nhận xét. Cách 3 dùng tỉ lệ thức trực tiếp giữa số liệu tuyệt đối, không cần bước trung gian tính %, phù hợp khi chỉ cần ước lượng đúng một loại xe.

Định hướng. Đọc $5$ tần số tương đối từ biểu đồ (câu a, b), sau đó nhân từng tỉ lệ với $40$ để ra tần số (câu c).

Vậy bảng tần số: $6,10,12,8,4$ (vận động viên).

Định hướng. Đổi mỗi % thành phân số tối giản của $40$ rồi nhân nhẩm.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn Cách 1.

Định hướng. Tính trực tiếp $4$ tần số đầu, tần số nhóm cuối $[55,5;56)$ suy ra từ $40$ trừ tổng $4$ tần số kia.

Vậy nhóm cuối có tần số $4$, khớp cả ba cách và tổng đúng bằng $40$.

Nhận xét. Cách 3 tự động kiểm chứng tổng $=40$ ngay trong lúc làm, an toàn hơn tính riêng lẻ cả $5$ giá trị như Cách 1.

Định hướng. Cỡ mẫu $n=2+5+7+15+8+3=40$; chia từng tần số cho $40$ rồi nhân $100\%$.

Vậy bảng tần số tương đối: $5\%,12,5\%,17,5\%,37,5\%,20\%,7,5\%$.

Định hướng. Rút gọn $\frac{m}{40}$ trước khi đổi %.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn Cách 1.

Định hướng. Thay vì so từng nhóm nhỏ, xác định nhóm chiếm tỉ lệ lớn nhất của mỗi bộ dữ liệu ("đỉnh" của phân bố) để so sánh nhanh thành tích chung.

Vậy nhìn theo tỉ lệ % (không so trực tiếp số đo vì đơn vị mét khác thang), cả hai nhóm đều có phân bố tập trung quanh một khoảng thành tích nhất định; xét theo số đo thực tế, vận động viên nam ném lao xa hơn hẳn vận động viên nữ.

Nhận xét. Cách 3 cho kết luận so sánh nhanh dựa vào "đỉnh" phân bố, phù hợp khi câu hỏi chỉ cần nhận xét tổng quan chứ không yêu cầu so từng nhóm.

Định hướng. Rà từng số trong dãy $30$ số liệu, đếm số lần mỗi cỡ giày xuất hiện, rồi tính tần số tương đối và đối chiếu bảng quy đổi cho câu c).

Vậy cỡ giày $34$ phù hợp nhiều bạn nhất; xác suất ước lượng đi giày cỡ $34$ là $\approx 43,33\%$; bảng tần số theo chiều dài bàn chân giống hệt bảng theo cỡ giày.

Định hướng. Sắp xếp lại $30$ số liệu theo thứ tự tăng dần rồi đếm liên tiếp các số giống nhau, giúp đếm chính xác hơn đếm trên dãy chưa sắp xếp.

Vậy kết quả trùng khớp hoàn toàn Cách 1: $3,5,13,6,3$, tổng $=30$.

Định hướng. Vì mỗi cỡ giày ứng với đúng một khoảng chiều dài bàn chân trong bảng quy đổi, ta gán thẳng tần số đã đếm ở câu a) sang đúng khoảng tương ứng mà không đếm lại từ đầu.

Vậy bảng tần số ghép nhóm theo chiều dài bàn chân là $3,5,13,6,3$, và bảng tần số tương đối tương ứng vẫn là $10\%,16,67\%,43,33\%,20\%,10\%$.

Nhận xét. Cách 3 nhanh hơn hẳn vì tận dụng lại kết quả câu a), tránh đếm lại dữ liệu một lần nữa như ngộ nhận thường gặp.