Hoạt động thực hành trải nghiệm

Hoạt động thực hành trải nghiệm: Tính nguyên hàm và tích phân với phần mềm GeoGebra. Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 4 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #HoạtĐộngThựcHànhTrảiNghiệm #SGK_Tập2 #trang82–84 #BàiTiếpTheo

Bài 1 · Thực hành 1a★★Trang 82— Nguyên hàm của phân thức hữu tỉ (bậc tử lớn hơn bậc mẫu)

Thực hành 1 (trang 82). Sử dụng phần mềm GeoGebra, tính:
a)

\int \frac{x ^{2} - 2 x + 2}{x + 1} d x

; b)

\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{x} cos 2 x d x

.
Lời giải dưới đây dành cho câu a).

Kiến thức cần nhớ

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ $(n \neq = - 1)$ ; $\int \frac{d x}{x + a} = ln ∣ x + a ∣ + C$ .
Phân thức bậc tử $\geq$ bậc mẫu: chia đa thức, $\frac{P ( x )}{Q ( x )} = T (x) + \frac{R ( x )}{Q ( x )}$ với bậc $R$ nhỏ hơn bậc $Q$ .
GeoGebra (CAS): IntegralSymbolic(hàm số) cho một nguyên hàm; ở giao diện tiếng Việt dùng lệnh tương ứng theo bảng trong SGK.

🧠 Phân tích tư duy

Bậc tử (

2

) lớn hơn bậc mẫu (

1

) nên chưa thể dùng ngay bảng nguyên hàm — phải tách thành đa thức cộng một phân thức dạng

\frac{k}{x + 1}

. GeoGebra cho kết quả tức thì bằng lệnh IntegralSymbolic, nhưng học sinh vẫn phải biết tự tách để kiểm tra lại máy. Bẫy: chia đa thức sai số dư, hoặc quên dấu giá trị tuyệt đối trong

ln ∣ x + 1∣

1Cách 1. Dùng phần mềm GeoGebra (lệnh IntegralSymbolic)

Định hướng. Mở cửa sổ CAS, gõ đúng hàm dưới dấu nguyên hàm vào lệnh IntegralSymbolic, đọc kết quả rồi kiểm tra lại bằng đạo hàm.

IntegralSymbolic((x^2-2x+2)/(x+1))

\to \frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 5 ln ∣ x + 1∣ + c_{1}

(\frac{1}{2} x^{2} - 3 x + 5 ln ∣ x + 1∣)^{'} = x - 3 + \frac{5}{x + 1} = \frac{( x - 3 ) ( x + 1 ) + 5}{x + 1} = \frac{x ^{2} - 2 x + 2}{x + 1}

Vậy $\int \frac{x ^{2} - 2 x + 2}{x + 1} d x = \frac{x ^{2}}{2} - 3 x + 5 ln ∣ x + 1∣ + C$ .

2Cách 2. Chia đa thức rồi dùng bảng nguyên hàm

Định hướng. Chia $x^{2} - 2 x + 2$ cho $x + 1$ để tách phần đa thức và phần dư.

x^{2} - 2 x + 2 = (x + 1) (x - 3) + 5

\int \frac{x ^{2} - 2 x + 2}{x + 1} d x = \int (x - 3 + \frac{5}{x + 1}) d x

\int \frac{x ^{2} - 2 x + 2}{x + 1} d x = \int x d x - 3 \int d x + 5 \int \frac{d x}{x + 1}

\int \frac{x ^{2} - 2 x + 2}{x + 1} d x = \frac{x ^{2}}{2} - 3 x + 5 ln ∣ x + 1∣ + C

Vậy nguyên hàm cần tìm là $\frac{x ^{2}}{2} - 3 x + 5 ln ∣ x + 1∣ + C$ .

3Cách 3. Đổi biến

t = x + 1

Định hướng. Mẫu là $x + 1$ nên đặt $t = x + 1$ thì mẫu chỉ còn một biến, tử viết lại theo $t$ rồi chia từng hạng tử cho $t$ .

t = x + 1 \Rightarrow x = t - 1, d x = d t

x^{2} - 2 x + 2 = (t - 1)^{2} - 2 (t - 1) + 2 = t^{2} - 4 t + 5

\int \frac{t ^{2} - 4 t + 5}{t} d t = \int (t - 4 + \frac{5}{t}) d t = \frac{t ^{2}}{2} - 4 t + 5 ln ∣ t ∣ + C_{1}

\int \frac{t ^{2} - 4 t + 5}{t} d t = \frac{( x + 1 ) ^{2}}{2} - 4 (x + 1) + 5 ln ∣ x + 1∣ + C_{1}

\int \frac{t ^{2} - 4 t + 5}{t} d t = \frac{x ^{2}}{2} - 3 x + 5 ln ∣ x + 1∣ + (C_{1} - \frac{7}{2})

Vậy $\int \frac{x ^{2} - 2 x + 2}{x + 1} d x = \frac{x ^{2}}{2} - 3 x + 5 ln ∣ x + 1∣ + C$ .

Nhận xét. Cách 3 cho biểu thức khác Cách 2 một hằng số $- \frac{7}{2}$ — hai nguyên hàm của cùng một hàm số chỉ sai khác nhau một hằng số, nên cả hai đều đúng; kết quả GeoGebra cũng chỉ là một đại diện với hằng số $c_{1}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một phép chia đa thức là ra ngay dạng có trong bảng nguyên hàm; Cách 1 (GeoGebra) dùng để kiểm tra kết quả khi làm bài ở nhà.

Đáp số.

\int \frac{x ^{2} - 2 x + 2}{x + 1} d x = \frac{x ^{2}}{2} - 3 x + 5 ln ∣ x + 1∣ + C

Sai lầm thường gặp. Viết

\int \frac{x ^{2} - 2 x + 2}{x + 1} d x = \frac{\frac{x ^{3}}{3} - x ^{2} + 2 x}{\frac{x ^{2}}{2} + x} + C

(lấy nguyên hàm tử chia nguyên hàm mẫu) — sai hoàn toàn, nguyên hàm không phân phối qua phép chia. Chia đa thức ra số dư

1

thay vì

5

(quên đổi dấu khi trừ

- 3 (x + 1)

), hoặc viết

ln (x + 1)

thiếu dấu giá trị tuyệt đối.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\int \frac{a x ^{2} + b x + c}{x + m} d x = \frac{a x ^{2}}{2} + (b - am) x + (a m^{2} - bm + c) ln ∣ x + m ∣ + C

, trong đó

a m^{2} - bm + c

chính là giá trị của tử tại

x = - m

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Thực hành 1b★★★Trang 82— Tích phân dạng

\int e^{a x} cos b x d x

(từng phần lặp)

Thực hành 1 (trang 82). Sử dụng phần mềm GeoGebra, tính:
a)

\int \frac{x ^{2} - 2 x + 2}{x + 1} d x

; b)

\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{x} cos 2 x d x

.
Lời giải dưới đây dành cho câu b).

Kiến thức cần nhớ

Tích phân từng phần: $\int_{a}^{b} u d v = uv ∣_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v d u$ .
$(e^{x})^{'} = e^{x}$ ; $(sin 2 x)^{'} = 2 cos 2 x$ ; $(cos 2 x)^{'} = - 2 sin 2 x$ .
GeoGebra: NIntegral(hàm số; giá trị đầu; giá trị cuối) cho giá trị gần đúng của tích phân; ở giao diện tiếng Việt dùng lệnh tương ứng theo bảng trong SGK.

🧠 Phân tích tư duy

Tích của hàm mũ với hàm lượng giác: đạo hàm hay nguyên hàm hai lần đều quay về dạng cũ, nên tích phân từng phần hai lần sẽ ra một phương trình với ẩn là chính tích phân cần tính. GeoGebra (NIntegral) cho ngay số gần đúng; muốn giá trị đúng phải tự tính. Bẫy: đồ thị có phần âm trên

[\frac{π}{4}; \frac{π}{2}]

lớn hơn phần dương nên đáp số ÂM — không phải lỗi máy.

1Cách 1. Dùng phần mềm GeoGebra (lệnh NIntegral)

Định hướng. Gõ lệnh tính gần đúng tích phân với cận $0$ và $\frac{π}{2}$ ; lệnh IntegralSymbolic cho thêm một nguyên hàm để có giá trị đúng.

NIntegral(e^x cos(2x), 0, π/2)

\to - 1, 16

IntegralSymbolic(e^x cos(2x))

\to \frac{1}{5} e^{x} cos 2 x + \frac{2}{5} e^{x} sin 2 x + c_{1}

\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{x} cos 2 x d x = \frac{e ^{x} ( cos 2 x + 2 sin 2 x )}{5}_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{e ^{\frac{π}{2}} ( - 1 + 0 )}{5} - \frac{1 \cdot ( 1 + 0 )}{5} = - \frac{e ^{\frac{π}{2}} + 1}{5}

Vậy $\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{x} cos 2 x d x = - \frac{e ^{\frac{π}{2}} + 1}{5} \approx - 1, 16$ .

2Cách 2. Tích phân từng phần hai lần

Định hướng. Đặt $I$ là tích phân cần tính, $J = \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{x} sin 2 x d x$ ; từng phần hai lần (luôn chọn $u = e^{x}$ ) sẽ quay về $I$ .

I = e^{x} \cdot \frac{sin 2 x}{2}_{0}^{\frac{π}{2}} - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{x} sin 2 x d x = 0 - \frac{1}{2} J

J = e^{x} \cdot \frac{- cos 2 x}{2}_{0}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{x} cos 2 x d x = \frac{e ^{\frac{π}{2}}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} I

I = - \frac{1}{2} \frac{e ^{\frac{π}{2}} + 1}{2} + \frac{1}{2} I = - \frac{e ^{\frac{π}{2}} + 1}{4} - \frac{1}{4} I

\frac{5}{4} I = - \frac{e ^{\frac{π}{2}} + 1}{4}

I = - \frac{e ^{\frac{π}{2}} + 1}{5}

Vậy $I = - \frac{e ^{\frac{π}{2}} + 1}{5} \approx - 1, 16$ .

3Cách 3. Đoán dạng nguyên hàm (hệ số bất định)

Định hướng. Đạo hàm của $e^{x} (a cos 2 x + b sin 2 x)$ vẫn có dạng đó, nên tìm $a$ , $b$ để đạo hàm bằng đúng $e^{x} cos 2 x$ .

F (x) = e^{x} (a cos 2 x + b sin 2 x)

F^{'} (x) = e^{x} (a cos 2 x + b sin 2 x) + e^{x} (- 2 a sin 2 x + 2 b cos 2 x) = e^{x} [(a + 2 b) cos 2 x + (b - 2 a) sin 2 x]

F^{'} (x) = e^{x} cos 2 x \Leftrightarrow {a + 2 b = 1 b - 2 a = 0 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ a = \frac{1}{5} b = \frac{2}{5}

I = F (\frac{π}{2}) - F (0) = e^{\frac{π}{2}} (- \frac{1}{5}) - \frac{1}{5} = - \frac{e ^{\frac{π}{2}} + 1}{5}

Vậy $I = - \frac{e ^{\frac{π}{2}} + 1}{5} \approx - 1, 16$ .

Nhận xét. Ba cách cùng cho $- \frac{e ^{\frac{π}{2}} + 1}{5} \approx - 1, 162$ , khớp số $- 1, 16$ của GeoGebra. Hình vẽ giải thích dấu âm: phần diện tích dưới trục hoành trên $[\frac{π}{4}; \frac{π}{2}]$ lớn hơn phần nằm phía trên trục hoành ứng với đoạn $[0; \frac{π}{4}]$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ cần một lần lấy đạo hàm và giải hệ hai ẩn, không phải nhớ chọn

u

d v

hai lần như Cách 2 nên khó nhầm dấu hơn.

Đáp số.

\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{x} cos 2 x d x = - \frac{e ^{\frac{π}{2}} + 1}{5} \approx - 1, 16

Sai lầm thường gặp. Ở lần từng phần thứ hai đổi vai trò (chọn

u = sin 2 x

d v = e^{x} d x

) thì quay về đẳng thức

I = I

, không tìm được gì. Quên hệ số

\frac{1}{2}

khi lấy nguyên hàm

cos 2 x

thành

sin 2 x

(đúng là

\frac{sin 2 x}{2}

). Thấy đáp số âm rồi nghi GeoGebra sai — thực ra

e^{x} cos 2 x < 0

trên

(\frac{π}{4}; \frac{π}{2}]

và phần này trội hơn.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\int e^{a x} cos b x d x = \frac{e ^{a x} ( a cos b x + b sin b x )}{a ^{2} + b ^{2}} + C

; thử dùng công thức này tính

\int_{0}^{π} e^{2 x} sin 3 x d x

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Thực hành 2★★★Trang 84— Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang với sai số cho trước

Thực hành 2 (trang 84). Sử dụng phương pháp hình thang, tính gần đúng

\int_{1}^{2} \frac{e ^{x}}{x} d x

với độ chính xác

0, 01

Kiến thức cần nhớ

Công thức hình thang: $\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{b - a}{2 n} [f (x_{0}) + 2 f (x_{1}) + \dots + 2 f (x_{n - 1}) + f (x_{n})]$ .
Sai số: $∣ E ∣ \leq \frac{( b - a ) ^{3} M}{12 n ^{2}}$ với $M = [a; b] max ∣ f^{''} (x) ∣$ (hoặc một số $M$ chặn trên của nó).
$(\frac{e ^{x}}{x})^{''} = \frac{e ^{x} ( x ^{2} - 2 x + 2 )}{x ^{3}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

\frac{e ^{x}}{x}

không có nguyên hàm dưới dạng hàm sơ cấp nên không dùng được công thức Newton – Leibniz, phải tính xấp xỉ. Theo thuật toán SGK, việc then chốt là chặn

M \geq max ∣ f^{''} (x) ∣

trên

[1; 2]

: chặn càng sát thì

n

càng nhỏ, tính càng nhẹ. Bẫy:

f^{''}

không đơn điệu trên

[1; 2]

(giảm rồi tăng), nên phải so sánh cả hai đầu mút mới biết giá trị lớn nhất.

1Cách 1. Thuật toán SGK với

M

tìm chính xác

Định hướng. Tính $f^{''}$ , khảo sát $f^{''}$ trên $[1; 2]$ để lấy đúng $M$ , suy ra $n$ nhỏ nhất rồi áp dụng công thức hình thang.

f (x) = \frac{e ^{x}}{x}

;

f^{'} (x) = \frac{e ^{x} ( x - 1 )}{x ^{2}}

;

f^{''} (x) = \frac{e ^{x} ( x ^{2} - 2 x + 2 )}{x ^{3}} > 0

f^{'''} (x) = \frac{e ^{x} ( x ^{3} - 3 x ^{2} + 6 x - 6 )}{x ^{4}}

g (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 6

;

g^{'} (x) = 3 (x - 1)^{2} + 3 > 0

;

g (1) = - 2 < 0

;

g (2) = 2 > 0

f^{''}

nghịch biến rồi đồng biến trên

[1; 2]

\Rightarrow M = max {f^{''} (1); f^{''} (2)} = max {e; \frac{e ^{2}}{4}} = e

\frac{( 2 - 1 ) ^{3} \cdot e}{12 n ^{2}} < 0, 01 \Leftrightarrow n^{2} > \frac{e}{0 , 12} \approx 22, 65 \Leftrightarrow n \geq 5

n = 5

Δ x = 0, 2

x_{i} \in {1; 1, 2; 1, 4; 1, 6; 1, 8; 2}

\int_{1}^{2} \frac{e ^{x}}{x} d x \approx \frac{1}{10} [\frac{e}{1} + \frac{2 e ^{1, 2}}{1 , 2} + \frac{2 e ^{1, 4}}{1 , 4} + \frac{2 e ^{1, 6}}{1 , 6} + \frac{2 e ^{1, 8}}{1 , 8} + \frac{e ^{2}}{2}]

\int_{1}^{2} \frac{e ^{x}}{x} d x \approx \frac{1}{10} [2, 7183 + 2 \cdot 2, 7668 + 2 \cdot 2, 8966 + 2 \cdot 3, 0956 + 2 \cdot 3, 3609 + 3, 6945]

\int_{1}^{2} \frac{e ^{x}}{x} d x \approx 3, 065

Vậy $\int_{1}^{2} \frac{e ^{x}}{x} d x \approx 3, 065$ (sai số nhỏ hơn $0, 01$ ).

2Cách 2. Chặn thô

M

bằng đánh giá từng thừa số

Định hướng. Không khảo sát $f^{''}$ , chỉ chặn từng thừa số của $f^{''}$ trên $[1; 2]$ (đúng tinh thần “hoặc đánh giá $max ∣ f^{''} ∣ \leq M$ ” của SGK); đổi lại $n$ lớn hơn.

1 \leq x \leq 2 \Rightarrow e^{x} \leq e^{2}

;

x^{2} - 2 x + 2 = (x - 1)^{2} + 1 \leq 2

;

\frac{1}{x ^{3}} \leq 1

0 < f^{''} (x) \leq 2 e^{2} < 15 = M

\frac{( 2 - 1 ) ^{3} \cdot 15}{12 n ^{2}} < 0, 01 \Leftrightarrow n^{2} > 125 \Leftrightarrow n \geq 12

n = 12

Δ x = \frac{1}{12}

x_{i} = 1 + \frac{i}{12}

(i = 0, 1, \dots, 12)

\int_{1}^{2} \frac{e ^{x}}{x} d x \approx \frac{1}{24} [f (x_{0}) + 2 (f (x_{1}) + \dots + f (x_{11})) + f (x_{12})]

\int_{1}^{2} \frac{e ^{x}}{x} d x \approx \frac{1}{24} [2, 7183 + 2 \cdot 33, 5158 + 3, 6945]

\int_{1}^{2} \frac{e ^{x}}{x} d x \approx 3, 060

Vậy $\int_{1}^{2} \frac{e ^{x}}{x} d x \approx 3, 060$ (sai số nhỏ hơn $0, 01$ ), làm tròn đến hàng phần trăm vẫn là $3, 06$ .

3Cách 3. Kiểm tra bằng GeoGebra

Định hướng. GeoGebra vừa tính được tổng hình thang (lệnh TrapezoidalSum), vừa cho giá trị tích phân chính xác đến nhiều chữ số (NIntegral), nên đo được sai số thật.

TrapezoidalSum(e^x/x, 1, 2, 5)

\to 3, 07

NIntegral(e^x/x, 1, 2)

\to 3, 06

∣ E ∣ \approx ∣3, 0653 - 3, 0591∣ = 0, 0062 < 0, 01

Vậy kết quả hình thang với $n = 5$ là $\approx 3, 065$ , sai số thật khoảng $0, 006$ , đúng yêu cầu.

Nhận xét. Đánh giá sai số $\frac{e}{12 \cdot 25} \approx 0, 0091$ ở Cách 1 lớn hơn sai số thật $0, 0062$ — công thức sai số là một chặn trên an toàn chứ không phải sai số chính xác. Chặn $M$ càng sát (Cách 1) thì số đoạn chia $n$ càng nhỏ; chặn thô (Cách 2) vẫn đúng nhưng phải tính $13$ giá trị thay vì $6$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: khảo sát

f^{''}

thêm vài dòng nhưng chỉ cần

n = 5

(tính

6

giá trị); Cách 2 an toàn khi khó tìm

max ∣ f^{''} ∣

nhưng khối lượng tính gấp đôi.

Đáp số.

\int_{1}^{2} \frac{e ^{x}}{x} d x \approx 3, 065

(với

n = 5

; giá trị chính xác đến

4

chữ số thập phân là

3, 0591

Sai lầm thường gặp. Lấy

M = f^{''} (2) = \frac{e ^{2}}{4} \approx 1, 85

vì tưởng

f^{''}

đồng biến — sai,

f^{''}

giảm rồi tăng và

max f^{''} = f^{''} (1) = e

; với

M = 1, 85

sẽ chọn

n = 4

mà khi đó chặn sai số thật sự là

\frac{e}{192} \approx 0, 014 > 0, 01

, không bảo đảm yêu cầu. Quên nhân

2

cho các giá trị ở giữa trong công thức hình thang.

🚀 Mở rộng. Với độ chính xác

0, 001

, cùng

M = e

ta cần

n^{2} > \frac{e}{0 , 012} \approx 226, 5

, tức

n \geq 16

— giảm sai số

10

lần thì

n

chỉ tăng khoảng

10 \approx 3, 2

lần.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Vận dụng★★★Trang 84— Ứng dụng phương pháp hình thang khi hàm số cho dạng bảng

Vận dụng (trang 84). Một thân cây dài

4, 8

m được cắt thành các khúc gỗ dài

60

cm. Người ta đo đường kính của mỗi mặt cắt ngang và diện tích

S

của nó được ghi lại trong bảng dưới đây, ở đây

x

(cm) là khoảng cách tính từ đỉnh thân cây đến vết cắt.

$x$ (cm)	$0$	$60$	$120$	$180$	$240$	$300$	$360$	$420$	$480$
$S$ ( $cm^{2}$ )	$240$	$248$	$256$	$260$	$264$	$272$	$298$	$316$	$320$

Tìm thể tích gần đúng của thân cây này.
Hướng dẫn. Thể tích cần tính là

V = \int_{0}^{480} S (x) d x

, trong đó

S (x)

là diện tích mặt cắt ngang tại vị trí cách đỉnh thân cây một khoảng

x

(cm). Sử dụng phương pháp hình thang để tính gần đúng tích phân này.

Kiến thức cần nhớ

Thể tích vật thể có diện tích mặt cắt $S (x)$ : $V = \int_{a}^{b} S (x) d x$ .
Công thức hình thang với $n$ đoạn đều: $\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \frac{b - a}{2 n} [f (x_{0}) + 2 f (x_{1}) + \dots + 2 f (x_{n - 1}) + f (x_{n})]$ .
Thể tích khối nón cụt chiều cao $h$ , hai đáy $S_{1}$ , $S_{2}$ : $V = \frac{h}{3} (S_{1} + S_{2} + S_{1} S_{2})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hàm

S (x)

chỉ biết tại

9

mốc cách đều

60

cm, không có công thức nên không thể lấy nguyên hàm — đây đúng là tình huống phải dùng phương pháp hình thang với

n = 8

Δ x = 60

. Về mặt thực tế, mỗi hình thang ứng với thể tích một khúc gỗ, nên có thể cộng từng khúc. Bẫy: đơn vị —

x

tính bằng cm,

S

bằng

cm^{2}

nên

V

cm^{3}

, đổi sang

m^{3}

phải chia

1 0^{6}

1Cách 1. Áp dụng thẳng công thức hình thang

Định hướng. Đoạn $[0; 480]$ chia $n = 8$ đoạn đều, $\frac{b - a}{2 n} = \frac{480}{16} = 30$ ; hai mốc đầu và cuối lấy hệ số $1$ , bảy mốc giữa hệ số $2$ .

V = \int_{0}^{480} S (x) d x \approx \frac{480 - 0}{2 \cdot 8} [240 + 2 (248 + 256 + 260 + 264 + 272 + 298 + 316) + 320]

V \approx 30 [240 + 2 \cdot 1914 + 320]

V \approx 30 \cdot 4388

V \approx 131640 (cm^{3})

Vậy thể tích thân cây khoảng $131640 cm^{3} \approx 0, 132 m^{3}$ .

2Cách 2. Cộng thể tích từng khúc gỗ

Định hướng. Mỗi khúc dài $60$ cm coi như khối có mặt cắt bằng trung bình cộng hai mặt cắt ở hai đầu: $V_{i} \approx 60 \cdot \frac{S _{i - 1} + S _{i}}{2} = 30 (S_{i - 1} + S_{i})$ — đây chính là diện tích từng hình thang trong hình vẽ.

V_{1} \approx 30 (240 + 248) = 14640

;

V_{2} \approx 30 (248 + 256) = 15120

V_{3} \approx 30 (256 + 260) = 15480

;

V_{4} \approx 30 (260 + 264) = 15720

V_{5} \approx 30 (264 + 272) = 16080

;

V_{6} \approx 30 (272 + 298) = 17100

V_{7} \approx 30 (298 + 316) = 18420

;

V_{8} \approx 30 (316 + 320) = 19080

V \approx 14640 + 15120 + 15480 + 15720 + 16080 + 17100 + 18420 + 19080 = 131640 (cm^{3})

Vậy $V \approx 131640 cm^{3}$ , trùng Cách 1.

3Cách 3. Mô hình mỗi khúc gỗ là một khối nón cụt

Định hướng. Thân cây thuôn dần, mặt cắt là hình tròn nên mỗi khúc gần với khối nón cụt; tính theo công thức nón cụt rồi so với kết quả hình thang.

V_{i} = \frac{60}{3} (S_{i - 1} + S_{i} + S_{i - 1} S_{i}) = 20 (S_{i - 1} + S_{i} + S_{i - 1} S_{i})

V \approx 20 [(240 + 248 + 240 \cdot 248) + (248 + 256 + 248 \cdot 256) + \dots + (316 + 320 + 316 \cdot 320)]

V \approx 20 \cdot 6581, 46

V \approx 131629 (cm^{3})

Vậy theo mô hình nón cụt $V \approx 131629 cm^{3}$ , lệch kết quả hình thang chưa tới $11 cm^{3}$ (khoảng $0, 01%$ ).

Nhận xét. Vì $S_{i - 1} S_{i} \leq \frac{S _{i - 1} + S _{i}}{2}$ (bất đẳng thức Cô-si) nên mô hình nón cụt luôn cho kết quả không lớn hơn phương pháp hình thang; hai kết quả gần như trùng nhau vì hai mặt cắt kề nhau chênh lệch rất ít.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng công thức hình thang, chỉ cần cộng

7

số ở giữa rồi nhân

2

; Cách 2 cho thấy ý nghĩa thực tế từng khúc gỗ nhưng phải tính

8

tích.

Đáp số.

V \approx 131640 cm^{3} \approx 0, 132 m^{3}

Sai lầm thường gặp. Lấy

Δ x = 60

nhưng lại dùng hệ số

\frac{b - a}{n} = 60

thay vì

\frac{b - a}{2 n} = 30

, ra gấp đôi

263280 cm^{3}

. Nhân

2

cả hai mốc đầu, cuối

240

và

320

. Hoặc lấy trung bình cộng

9

số liệu nhân

480

\frac{2474}{9} \cdot 480 \approx 131947 cm^{3}

— không phải công thức hình thang vì hai mốc đầu, cuối bị tính quá trọng số.

🚀 Mở rộng. Số mốc là

9

(lẻ) nên có thể dùng công thức Simpson

\frac{Δ x}{3} [S_{0} + 4 (S_{1} + S_{3} + S_{5} + S_{7}) + 2 (S_{2} + S_{4} + S_{6}) + S_{8}] = 131600 cm^{3}

— chênh hình thang chỉ

40 cm^{3}

, cho thấy kết quả khoảng

0, 13 m^{3}

là đáng tin.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài tập cuối chương VI Bài tiếp theo ›Hoạt động thực hành trải nghiệm: Vẽ đồ hoạ 3D với phần mềm GeoGebra

📚 Cùng chương: Hoạt động thực hành trải nghiệm

▶ Hoạt động thực hành trải nghiệm: Tính nguyên hàm và tích phân với phần mềm GeoGebra. Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang
Hoạt động thực hành trải nghiệm: Vẽ đồ hoạ 3D với phần mềm GeoGebra

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Học sâu hơn về Nguyên hàm – Tích phân — đọc thử miễn phí trước khi mua.

📘 Sách

Hoạt động thực hành trải nghiệm: Tính nguyên hàm và tích phân với phần mềm GeoGebra. Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Hoạt động thực hành trải nghiệm

📘 Sách & 🎓 khóa học cùng chủ đề

Đề THPT 2027 – Ứng dụng đạo hàm

Sổ tay Toán học THPT 10–12

Khảo sát hàm số 12

Nguyên hàm – Tích phân

Toán 12 Toàn diện — cả năm