Chương VI. Xác suất có điều kiện

Bài tập cuối chương VI

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngVI #SGK_Tập2 #trang79–80 #CùngBàiBênSBT #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · 6.12★Trang 79— Trắc nghiệm — công thức nhân xác suất

Bài 6.12 (trang 79). Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu từ 6.12 đến 6.14: Cho

P (A) = \frac{2}{5}

;

P (B ∣ A) = \frac{1}{3}

;

P (B ∣ \overline{A}) = \frac{1}{4}

.
Giá trị của

P (A B)

là
A.

\frac{2}{15}

.
B.

\frac{3}{16}

.
C.

\frac{1}{5}

.
D.

\frac{4}{15}

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ .
Xác suất có điều kiện: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ với $P (B) > 0$ ; khi các kết quả đồng khả năng, $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

P (A)

và

P (B ∣ A)

, hỏi

P (A B)

— đúng hai thừa số của công thức nhân xác suất. Không cần dùng tới

P (B ∣ \overline{A})

; dữ kiện đó dành cho các câu sau. Bẫy: lấy nhầm

P (B ∣ \overline{A}) = \frac{1}{4}

hoặc cộng thay vì nhân.

1Cách 1. Công thức nhân xác suất

Định hướng. $P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ .

P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{15}

Vậy chọn A.

2Cách 2. Tần số trên 60 lần thử

Định hướng. Chọn số lần thử chia hết cho mẫu $5$ và $3$ : $60$ lần.

A

xảy ra:

60 \cdot \frac{2}{5} = 24

lần
Trong đó

B

xảy ra:

24 \cdot \frac{1}{3} = 8

lần

P (A B) = \frac{8}{60} = \frac{2}{15}

Vậy chọn A.

3Cách 3. Thử ngược từ các phương án

Định hướng. Phương án đúng phải thoả $\frac{P ( A B )}{P ( A )} = P (B ∣ A) = \frac{1}{3}$ .

\frac{2}{15} : \frac{2}{5} = \frac{1}{3}

(đúng)
B:

\frac{3}{16} : \frac{2}{5} = \frac{15}{32}

; C:

\frac{1}{5} : \frac{2}{5} = \frac{1}{2}

; D:

\frac{4}{15} : \frac{2}{5} = \frac{2}{3}

Vậy chọn A.

Nhận xét. Phương án D bằng $\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3}$ — bẫy của người nhầm $P (B ∣ A)$ với $1 - P (B ∣ A)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép nhân là xong.

Đáp số. A.

P (A B) = \frac{2}{15}

Sai lầm thường gặp. Dùng nhầm

P (B ∣ \overline{A})

\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{10}

(không có trong phương án); hoặc tưởng

A

B

độc lập rồi đi tìm

P (B)

trước — không cần thiết.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: biết

P (A)

và

P (B ∣ A)

luôn tính được

P (A B)

và

P (A \overline{B}) = P (A) (1 - P (B ∣ A))

; ở đây

P (A \overline{B}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{15}

— chính là phương án D.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 6.13★Trang 79— Trắc nghiệm — công thức nhân với biến cố đối

\overline{A}

Bài 6.13 (trang 79). Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu từ 6.12 đến 6.14: Cho

P (A) = \frac{2}{5}

;

P (B ∣ A) = \frac{1}{3}

;

P (B ∣ \overline{A}) = \frac{1}{4}

.
Giá trị của

P (B \overline{A})

là
A.

\frac{1}{7}

.
B.

\frac{4}{19}

.
C.

\frac{4}{21}

.
D.

\frac{3}{20}

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ .
$P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ .

🧠 Phân tích tư duy

P (B \overline{A}) = P (\overline{A}) \cdot P (B ∣ \overline{A})

, nên phải tính

P (\overline{A}) = 1 - P (A)

trước. Dữ kiện

P (B ∣ \overline{A}) = \frac{1}{4}

cho sẵn. Bẫy: nhân với

P (A) = \frac{2}{5}

thay vì

P (\overline{A}) = \frac{3}{5}

1Cách 1. Công thức nhân với biến cố đối

Định hướng. Tính $P (\overline{A})$ rồi nhân với $P (B ∣ \overline{A})$ .

P (\overline{A}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}

P (B \overline{A}) = P (\overline{A}) \cdot P (B ∣ \overline{A}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{20}

Vậy chọn D.

2Cách 2. Tần số trên 60 lần thử

Định hướng. $60$ lần thử: đếm số lần $\overline{A}$ xảy ra, rồi số lần $B$ trong đó.

\overline{A}

xảy ra:

60 - 60 \cdot \frac{2}{5} = 60 - 24 = 36

lần
Trong đó

B

xảy ra:

36 \cdot \frac{1}{4} = 9

lần

P (B \overline{A}) = \frac{9}{60} = \frac{3}{20}

Vậy chọn D.

3Cách 3. Thử ngược từ các phương án

Định hướng. Phương án đúng phải thoả $\frac{P ( B A )}{P ( A )} = \frac{1}{4}$ , với $P (\overline{A}) = \frac{3}{5}$ .

\frac{1}{7} : \frac{3}{5} = \frac{5}{21}

; B:

\frac{4}{19} : \frac{3}{5} = \frac{20}{57}

; C:

\frac{4}{21} : \frac{3}{5} = \frac{20}{63}

\frac{3}{20} : \frac{3}{5} = \frac{1}{4}

(đúng)

Vậy chọn D.

Nhận xét. Ba phương án A, B, C có mẫu $7$ , $19$ , $21$ không thể sinh ra từ các mẫu $5$ và $4$ của đề — nhìn mẫu số cũng loại được ngay.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1; nếu vội, Cách 3 theo mẫu số (chỉ có mẫu

20

chia được cho

5

và

4

) chọn D trong vài giây.

Đáp số. D.

P (B \overline{A}) = \frac{3}{20}

Sai lầm thường gặp. Nhân

P (A) \cdot P (B ∣ \overline{A}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{10}

— sai vì trong

P (B \overline{A})

biến cố điều kiện là

\overline{A}

nên phải nhân với

P (\overline{A})

🚀 Mở rộng. Cộng kết quả hai câu 6.12 và 6.13 được

P (B) = P (A B) + P (B \overline{A}) = \frac{2}{15} + \frac{3}{20} = \frac{17}{60}

— đó chính là công thức xác suất toàn phần của câu 6.14.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 6.14★★Trang 79— Trắc nghiệm — công thức xác suất toàn phần

Bài 6.14 (trang 79). Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu từ 6.12 đến 6.14: Cho

P (A) = \frac{2}{5}

;

P (B ∣ A) = \frac{1}{3}

;

P (B ∣ \overline{A}) = \frac{1}{4}

.
Giá trị của

P (B)

là
A.

\frac{19}{60}

.
B.

\frac{17}{60}

.
C.

\frac{9}{20}

.
D.

\frac{7}{30}

Kiến thức cần nhớ

Công thức xác suất toàn phần: $P (B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) + P (\overline{A}) \cdot P (B ∣ \overline{A})$ .
$P (B) = P (A B) + P (B \overline{A})$ vì $A B$ và $B \overline{A}$ xung khắc, hợp lại bằng $B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

P (A)

cùng hai xác suất có điều kiện của

B

theo

A

và

\overline{A}

— đúng dữ kiện của công thức xác suất toàn phần. Có sẵn

P (A B)

P (B \overline{A})

từ hai câu trước thì chỉ việc cộng. Bẫy: lấy trung bình cộng

\frac{1}{2} (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) = \frac{7}{24}

, bỏ quên trọng số

P (A)

P (\overline{A})

1Cách 1. Công thức xác suất toàn phần

Định hướng. Chia $B$ theo hai trường hợp $A$ và $\overline{A}$ .

P (B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) + P (\overline{A}) \cdot P (B ∣ \overline{A})

P (B) = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4}

P (B) = \frac{2}{15} + \frac{3}{20} = \frac{8}{60} + \frac{9}{60} = \frac{17}{60}

Vậy chọn B.

2Cách 2. Sơ đồ hình cây

Định hướng. Đọc hai lá $B$ trên cây (tô hồng) rồi cộng lại.

Nhánh

A \to B

\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{15}

; nhánh

\overline{A} \to B

\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{20}

P (B) = \frac{2}{15} + \frac{3}{20} = \frac{17}{60}

Vậy chọn B.

3Cách 3. Trung bình có trọng số (nội suy)

Định hướng. $P (B)$ là trung bình của $\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{4}$ với trọng số $P (A)$ , $P (\overline{A})$ ; viết gọn: đi từ $\frac{1}{4}$ thêm một phần $\frac{2}{5}$ của khoảng cách.

P (B) = P (B ∣ \overline{A}) + P (A) (P (B ∣ A) - P (B ∣ \overline{A}))

P (B) = \frac{1}{4} + \frac{2}{5} (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{4} + \frac{1}{30} = \frac{17}{60}

Vậy chọn B.

Nhận xét. $P (B)$ luôn nằm giữa $P (B ∣ \overline{A}) = \frac{15}{60}$ và $P (B ∣ A) = \frac{20}{60}$ . Trong bốn phương án chỉ $\frac{17}{60}$ và $\frac{19}{60}$ nằm trong khoảng này, và vì $P (\overline{A}) > P (A)$ nên $P (B)$ gần $\frac{15}{60}$ hơn — loại nhanh A, C, D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (hoặc cộng thẳng hai kết quả 6.12, 6.13); Cách 3 cho phép kiểm tra nhanh bằng khoảng giá trị.

Đáp số. B.

P (B) = \frac{17}{60}

Sai lầm thường gặp. Cộng

\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{7}{12}

hoặc lấy trung bình

\frac{7}{24}

mà không nhân trọng số

P (A)

P (\overline{A})

; hoặc nhân

P (A)

với cả hai xác suất có điều kiện:

\frac{2}{5} (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) = \frac{7}{30}

— chính là phương án D.

🚀 Mở rộng. Từ

P (B) = \frac{17}{60}

tính tiếp bằng công thức Bayes:

P (A ∣ B) = \frac{2/15}{17/60} = \frac{8}{17}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 6.15★★Trang 79— Trắc nghiệm — lấy liên tiếp không hoàn lại, công thức nhân

Bài 6.15 (trang 79). Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu từ 6.15 đến 6.17: Bạn An có một túi gồm một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có

6

chiếc kẹo sô cô la đen, còn lại

4

chiếc kẹo sô cô la trắng. An lấy ngẫu nhiên

1

chiếc kẹo trong túi để cho Bình, rồi lại lấy ngẫu nhiên tiếp

1

chiếc kẹo nữa trong túi và cũng đưa cho Bình.
Xác suất để Bình nhận được

2

chiếc kẹo sô cô la đen là
A.

\frac{1}{3}

.
B.

\frac{1}{4}

.
C.

\frac{2}{5}

.
D.

\frac{3}{7}

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ .
Chọn $2$ trong $n$ phần tử (không thứ tự) có $C_{n}^{2}$ cách; có thứ tự có $A_{n}^{2} = n (n - 1)$ cách.

🧠 Phân tích tư duy

Lấy liên tiếp và không trả lại, nên lần hai phụ thuộc lần một: số kẹo còn

9

, số kẹo đen còn

5

. Công thức nhân xác suất cho lời giải một dòng; cũng có thể đếm bằng tổ hợp vì hai viên đều đen thì thứ tự không quan trọng. Bẫy: coi hai lần độc lập, ra

(\frac{6}{10})^{2} = \frac{9}{25}

1Cách 1. Công thức nhân xác suất

Định hướng. $D_{1}$ , $D_{2}$ : “Lần 1, lần 2 được kẹo đen”; $T_{1}$ , $T_{2}$ : “Lần 1, lần 2 được kẹo trắng”; cần $P (D_{1} D_{2})$ .

P (D_{1}) = \frac{6}{10}

P (D_{2} ∣ D_{1}) = \frac{5}{9}

P (D_{1} D_{2}) = \frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}

Vậy chọn A.

2Cách 2. Đếm bằng tổ hợp

Định hướng. Bình nhận $2$ viên trong $10$ viên; không phân biệt thứ tự.

n (Ω) = C_{10}^{2} = 45

n (E) = C_{6}^{2} = 15

P (E) = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}

Vậy chọn A.

3Cách 3. Đếm có thứ tự (chỉnh hợp)

Định hướng. Giữ thứ tự hai lần lấy: mỗi kết quả là một cặp (viên thứ nhất; viên thứ hai).

n (Ω) = A_{10}^{2} = 10 \cdot 9 = 90

n (E) = A_{6}^{2} = 6 \cdot 5 = 30

P (E) = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}

Vậy chọn A.

Nhận xét. Ba cách cùng ra $\frac{1}{3}$ : đếm có thứ tự hay không có thứ tự đều được, miễn tử và mẫu đếm cùng một kiểu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép nhân

\frac{6}{10} \cdot \frac{5}{9}

, không phải nhớ công thức tổ hợp.

Đáp số. A.

\frac{1}{3}

Sai lầm thường gặp. Coi như lấy có hoàn lại:

\frac{6}{10} \cdot \frac{6}{10} = \frac{9}{25}

; hoặc trộn kiểu đếm: tử đếm có thứ tự

A_{6}^{2} = 30

, mẫu đếm không thứ tự

C_{10}^{2} = 45

, ra

\frac{2}{3}

🚀 Mở rộng. Tổng quát: túi có

m

viên đen,

n

viên trắng, lấy liên tiếp

2

viên không hoàn lại thì xác suất lấy được

2

viên đen là

\frac{m ( m - 1 )}{( m + n ) ( m + n - 1 )}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 6.16★★Trang 79— Trắc nghiệm — lấy liên tiếp không hoàn lại, công thức nhân

Bài 6.16 (trang 79). Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu từ 6.15 đến 6.17: Bạn An có một túi gồm một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có

6

chiếc kẹo sô cô la đen, còn lại

4

chiếc kẹo sô cô la trắng. An lấy ngẫu nhiên

1

chiếc kẹo trong túi để cho Bình, rồi lại lấy ngẫu nhiên tiếp

1

chiếc kẹo nữa trong túi và cũng đưa cho Bình.
Xác suất để Bình nhận được

2

chiếc kẹo sô cô la trắng là
A.

\frac{1}{5}

.
B.

\frac{2}{15}

.
C.

\frac{3}{16}

.
D.

\frac{4}{17}

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ .
Số cách chọn $2$ trong $n$ : $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cùng tình huống câu 6.15, đổi màu: lần 1 lấy trắng với xác suất

\frac{4}{10}

, lần 2 còn

3

viên trắng trong

9

viên. Bẫy: quên giảm số viên ở lần hai, ra

\frac{4}{25}

1Cách 1. Công thức nhân xác suất

Định hướng. $T_{1}$ : “Lần 1 được kẹo trắng”, $T_{2}$ : “Lần 2 được kẹo trắng”.

P (T_{1} T_{2}) = P (T_{1}) \cdot P (T_{2} ∣ T_{1}) = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}

Vậy chọn B.

2Cách 2. Đếm bằng tổ hợp

Định hướng. Chọn $2$ viên trong $10$ , cần cả hai trong $4$ viên trắng.

P = \frac{C _{4}^{2}}{C _{10}^{2}} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}

Vậy chọn B.

3Cách 3. Đếm có thứ tự

Định hướng. Cặp có thứ tự (viên thứ nhất; viên thứ hai).

P = \frac{A _{4}^{2}}{A _{10}^{2}} = \frac{4 \cdot 3}{10 \cdot 9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}

Vậy chọn B.

Nhận xét. Kiểm tra chéo với 6.15 và 6.17: $P (D_{1} D_{2}) + P (D_{1} T_{2}) + P (T_{1} D_{2}) + P (T_{1} T_{2}) = \frac{1}{3} + \frac{4}{15} + \frac{4}{15} + \frac{2}{15} = 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân hai phân số

\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9}

Đáp số. B.

\frac{2}{15}

Sai lầm thường gặp. Tính

\frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{4}{25}

(coi như trả kẹo lại túi) hoặc

\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{25}

(giảm số viên trắng nhưng quên giảm tổng số viên).

🚀 Mở rộng. Xác suất Bình nhận hai viên cùng màu là

\frac{1}{3} + \frac{2}{15} = \frac{7}{15}

, khác màu là

\frac{8}{15}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 6.17★★Trang 79— Trắc nghiệm — công thức nhân, thứ tự đen rồi trắng

Bài 6.17 (trang 79). Sử dụng dữ kiện sau để trả lời các câu từ 6.15 đến 6.17: Bạn An có một túi gồm một số chiếc kẹo cùng loại, chỉ khác màu, trong đó có

6

chiếc kẹo sô cô la đen, còn lại

4

chiếc kẹo sô cô la trắng. An lấy ngẫu nhiên

1

chiếc kẹo trong túi để cho Bình, rồi lại lấy ngẫu nhiên tiếp

1

chiếc kẹo nữa trong túi và cũng đưa cho Bình.
Xác suất để Bình nhận được chiếc kẹo sô cô la đen ở lần thứ nhất, chiếc kẹo sô cô la trắng ở lần thứ hai là
A.

\frac{1}{5}

.
B.

\frac{3}{16}

.
C.

\frac{1}{4}

.
D.

\frac{4}{17}

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ .
$P (D_{1}) = P (D_{1} D_{2}) + P (D_{1} T_{2})$ vì $D_{1} D_{2}$ và $D_{1} T_{2}$ xung khắc.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ định rõ thứ tự: lần 1 đen, lần 2 trắng, nên chỉ có đúng một nhánh của sơ đồ cây. Lần 2 còn

9

viên, trong đó vẫn đủ

4

viên trắng. Kết quả

\frac{4}{15}

không trùng phương án nào — sách in thiếu phương án đúng.

1Cách 1. Công thức nhân xác suất

Định hướng. $D_{1}$ : “Lần 1 được kẹo đen”, $T_{2}$ : “Lần 2 được kẹo trắng”; cần $P (D_{1} T_{2})$ .

P (D_{1}) = \frac{6}{10}

P (T_{2} ∣ D_{1}) = \frac{4}{9}

P (D_{1} T_{2}) = \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{90} = \frac{4}{15}

Vậy $P (D_{1} T_{2}) = \frac{4}{15}$ — không trùng phương án nào.

2Cách 2. Đếm có thứ tự

Định hướng. Kết quả là cặp có thứ tự (viên thứ nhất; viên thứ hai).

n (Ω) = A_{10}^{2} = 90

n (E) = 6 \cdot 4 = 24

P (E) = \frac{24}{90} = \frac{4}{15}

Vậy $P = \frac{4}{15}$ .

3Cách 3. Dùng phần bù từ câu 6.15

Định hướng. Lần 1 được đen thì lần 2 hoặc đen hoặc trắng; đã có $P (D_{1} D_{2}) = \frac{1}{3}$ ở câu 6.15.

P (D_{1} T_{2}) = P (D_{1}) - P (D_{1} D_{2}) = \frac{3}{5} - \frac{1}{3} = \frac{9}{15} - \frac{5}{15} = \frac{4}{15}

Vậy $P = \frac{4}{15}$ .

Nhận xét. Cả ba cách cùng ra $\frac{4}{15}$ , nên bốn phương án in trong sách đều sai. Phương án D $\frac{4}{17}$ nhiều khả năng là $\frac{4}{15}$ in nhầm mẫu số; làm bài nên ghi rõ đáp số $\frac{4}{15}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1; Cách 3 giúp tự kiểm tra khi đáp số không khớp phương án nào.

Đáp số.

\frac{4}{15}

— không có trong bốn phương án (sách in thiếu phương án đúng; phương án D

\frac{4}{17}

nhiều khả năng in nhầm từ

\frac{4}{15}

Sai lầm thường gặp. Cố ép cho khớp phương án: chọn D

\frac{4}{17}

hoặc tính

\frac{6}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{6}{25}

(quên giảm tổng số viên); hoặc tính cả hai thứ tự

2 \cdot \frac{4}{15} = \frac{8}{15}

— đó là xác suất “một đen, một trắng”, không phải “đen trước, trắng sau”.

🚀 Mở rộng. Xác suất lần thứ hai được kẹo trắng (bất kể lần một) là

\frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} + \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{36}{90} = \frac{2}{5}

— bằng đúng tỉ lệ kẹo trắng ban đầu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 6.18★★Trang 79— Xác suất có điều kiện từ bảng thống kê

2 \times 2

Bài 6.18 (trang 79–80). Để thử nghiệm tác dụng điều trị bệnh mất ngủ của hai loại thuốc X và thuốc Y, người ta tiến hành thử nghiệm trên

4000

người bệnh tình nguyện. Kết quả được cho trong bảng thống kê

2 \times 2

Kết quả \ Dùng thuốc	X	Y
Khỏi bệnh	1 600	1 200
Không khỏi bệnh	800	400

Chọn ngẫu nhiên

1

người bệnh tham gia tình nguyện thử nghiệm thuốc.
a) Tính xác suất để người đó khỏi bệnh nếu biết người bệnh đó uống thuốc X.
b) Tính xác suất để người bệnh đó uống thuốc Y, biết rằng người đó khỏi bệnh.

Kiến thức cần nhớ

Xác suất có điều kiện: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ với $P (B) > 0$ ; khi các kết quả đồng khả năng, $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
Công thức Bayes: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A ) + P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dữ liệu là bảng đếm và người được chọn ngẫu nhiên, nên xác suất có điều kiện bằng tỉ số hai số đếm: “biết uống X” thu hẹp về cột X, “biết khỏi bệnh” thu hẹp về hàng khỏi bệnh. Bẫy: chia cho tổng

4000

thay vì tổng của cột hoặc hàng điều kiện.

1Cách 1. Thu hẹp không gian mẫu trên bảng

Định hướng. $K$ : “Người đó khỏi bệnh”, $X$ : “Người đó uống thuốc X”, $Y$ : “Người đó uống thuốc Y”.

n (X) = 1600 + 800 = 2400

n (K X) = 1600

P (K ∣ X) = \frac{1 600}{2 400} = \frac{2}{3}

n (K) = 1600 + 1200 = 2800

n (Y K) = 1200

P (Y ∣ K) = \frac{1 200}{2 800} = \frac{3}{7}

Vậy a) $\frac{2}{3}$ ; b) $\frac{3}{7}$ .

2Cách 2. Công thức xác suất có điều kiện

Định hướng. Đổi mọi số đếm ra xác suất trên $4000$ người rồi dùng $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ .

P (K X) = \frac{1 600}{4 000} = 0, 4

;

P (X) = \frac{2 400}{4 000} = 0, 6

P (K ∣ X) = \frac{0 , 4}{0 , 6} = \frac{2}{3}

P (Y K) = \frac{1 200}{4 000} = 0, 3

;

P (K) = \frac{2 800}{4 000} = 0, 7

P (Y ∣ K) = \frac{0 , 3}{0 , 7} = \frac{3}{7}

Vậy a) $\frac{2}{3}$ ; b) $\frac{3}{7}$ .

3Cách 3. Công thức Bayes cho câu b)

Định hướng. Tính tỉ lệ khỏi bệnh của từng loại thuốc, rồi “lật ngược” điều kiện bằng Bayes.

P (X) = 0, 6

P (Y) = 0, 4

P (K ∣ X) = \frac{1 600}{2 400} = \frac{2}{3}

P (K ∣ Y) = \frac{1 200}{1 600} = \frac{3}{4}

P (Y ∣ K) = \frac{P ( Y ) \cdot P ( K ∣ Y )}{P ( X ) \cdot P ( K ∣ X ) + P ( Y ) \cdot P ( K ∣ Y )} = \frac{0 , 4 \cdot \frac{3}{4}}{0 , 6 \cdot \frac{2}{3} + 0 , 4 \cdot \frac{3}{4}} = \frac{0 , 3}{0 , 4 + 0 , 3} = \frac{3}{7}

Vậy a) $\frac{2}{3}$ ; b) $\frac{3}{7}$ .

Nhận xét. Thuốc Y có tỉ lệ khỏi $75%$ , cao hơn thuốc X ( $\approx 66, 7%$ ), nhưng trong số người khỏi bệnh chỉ $\frac{3}{7}$ uống Y vì số người thử thuốc Y ít hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: với bảng số liệu, xác suất có điều kiện chỉ là tỉ số hai ô — nhanh và khó nhầm nhất.

Đáp số. a)

\frac{2}{3}

. b)

\frac{3}{7}

Sai lầm thường gặp. Câu a) chia

1600

cho

4000

0, 4

— đó là

P (K X)

, không phải

P (K ∣ X)

; câu b) chia

1200

cho tổng cột Y (

1600

) ra

\frac{3}{4}

— đó là

P (K ∣ Y)

, đảo ngược điều kiện.

🚀 Mở rộng. Xác suất người đó uống thuốc X, biết rằng người đó không khỏi bệnh:

\frac{800}{800 + 400} = \frac{2}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 6.19★★Trang 80— Xác suất có điều kiện — hai nhóm giao nhau (công thức cộng)

Bài 6.19 (trang 80). Một nhóm có

25

học sinh, trong đó có

14

em học khá môn Toán,

16

em học khá môn Vật lí,

1

em không học khá cả hai môn Toán và môn Vật lí. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong số đó. Tính xác suất để học sinh đó:
a) Học khá môn Toán, đồng thời học khá môn Vật lí;
b) Học khá môn Toán, nhưng không học khá môn Vật lí;
c) Học khá môn Toán, biết rằng học sinh đó học khá môn Vật lí.

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng: $n (T \cup L) = n (T) + n (L) - n (T L)$ .
Xác suất có điều kiện: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ với $P (B) > 0$ ; khi các kết quả đồng khả năng, $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho số học sinh của từng nhóm và số em ngoài cả hai nhóm, chưa cho số em thuộc cả hai — phải tìm phần giao bằng công thức cộng. Có phần giao rồi thì ba câu chỉ là đọc các vùng của biểu đồ Ven. Bẫy: cộng

14 + 16 = 30

vượt

25

mà không trừ phần chung.

1Cách 1. Đếm bằng quy tắc cộng và biểu đồ Ven

Định hướng. $T$ : “Học khá Toán”, $L$ : “Học khá Vật lí”. Tìm $n (T L)$ rồi đọc từng vùng.

n (T \cup L) = 25 - 1 = 24

n (T L) = n (T) + n (L) - n (T \cup L) = 14 + 16 - 24 = 6

P (T L) = \frac{6}{25}

n (T \overline{L}) = 14 - 6 = 8 \Rightarrow P (T \overline{L}) = \frac{8}{25}

P (T ∣ L) = \frac{n ( T L )}{n ( L )} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

Vậy a) $\frac{6}{25}$ ; b) $\frac{8}{25}$ ; c) $\frac{3}{8}$ .

2Cách 2. Tính hoàn toàn bằng xác suất

Định hướng. Dùng công thức cộng xác suất và định nghĩa xác suất có điều kiện.

P (T \cup L) = 1 - P (\overline{T} \overline{L}) = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}

P (T L) = P (T) + P (L) - P (T \cup L) = \frac{14}{25} + \frac{16}{25} - \frac{24}{25} = \frac{6}{25}

P (T \overline{L}) = P (T) - P (T L) = \frac{14}{25} - \frac{6}{25} = \frac{8}{25}

P (T ∣ L) = \frac{P ( T L )}{P ( L )} = \frac{6/25}{16/25} = \frac{3}{8}

Vậy a) $\frac{6}{25}$ ; b) $\frac{8}{25}$ ; c) $\frac{3}{8}$ .

3Cách 3. Điền ngược bảng 2 × 2

Định hướng. Lập bảng Toán/không Toán theo Vật lí/không Vật lí, điền từ ô đã biết ra các ô còn lại.

	Khá Lí	Không khá Lí	Tổng
Khá Toán	$6$	$8$	$14$
Không khá Toán	$10$	$1$	$11$
Tổng	$16$	$9$	$25$

Không khá Toán:

25 - 14 = 11 \Rightarrow

khá Lí, không khá Toán:

11 - 1 = 10

Khá cả hai:

16 - 10 = 6

; khá Toán, không khá Lí:

14 - 6 = 8

\frac{6}{25}

;

\frac{8}{25}

;

\frac{6}{16} = \frac{3}{8}

Vậy a) $\frac{6}{25}$ ; b) $\frac{8}{25}$ ; c) $\frac{3}{8}$ .

Nhận xét. Bảng $2 \times 2$ không cần công thức cộng: chỉ trừ theo hàng, theo cột — cách này dùng lại được cho mọi bài “hai nhóm giao nhau”.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép tính cho phần giao, sau đó ba câu chỉ là đọc số.

Đáp số. a)

\frac{6}{25}

. b)

\frac{8}{25}

. c)

\frac{3}{8}

Sai lầm thường gặp. Câu c) chia cho

25

(ra

\frac{6}{25}

) hoặc chia cho

n (T) = 14

(ra

\frac{3}{7}

— đó là

P (L ∣ T)

); câu b) lấy

14 - 1 = 13

vì nhầm em không khá môn nào với em khá Toán mà không khá Lí.

🚀 Mở rộng. Tương tự, xác suất học sinh học khá Vật lí, biết rằng em đó học khá Toán, là

P (L ∣ T) = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}

— khác

P (T ∣ L) = \frac{3}{8}

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 6.20★★★Trang 80— Công thức xác suất toàn phần — chọn nhóm rồi chọn phần tử

Bài 6.20 (trang 80). Chuồng I có

5

con gà mái,

2

con gà trống. Chuồng II có

3

con gà mái,

5

con gà trống. Bác Mai bắt một con gà trong số đó theo cách sau: “Bác tung một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Nếu số chấm chia hết cho

3

thì bác chọn chuồng I. Nếu số chấm không chia hết cho

3

thì bác chọn chuồng II. Sau đó, từ chuồng đã chọn bác bắt ngẫu nhiên một con gà”. Tính xác suất để bác Mai bắt được con gà mái.

Kiến thức cần nhớ

Công thức xác suất toàn phần: $P (B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) + P (\overline{A}) \cdot P (B ∣ \overline{A})$ .
Xúc xắc cân đối: mỗi mặt có xác suất $\frac{1}{6}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Việc bắt gà qua hai giai đoạn: tung xúc xắc để chọn chuồng, rồi bắt gà trong chuồng — dấu hiệu của công thức xác suất toàn phần với hệ

{I, I I}

. Số chấm chia hết cho

3

chỉ có

3

và

6

, nên

P (I) = \frac{1}{3}

. Bẫy: gộp

15

con gà lại rồi tính

\frac{8}{15}

— sai vì hai chuồng không được chọn đồng khả năng theo từng con.

1Cách 1. Công thức xác suất toàn phần

Định hướng. $A$ : “Chọn chuồng I”; $M$ : “Bắt được gà mái”.

P (A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

P (\overline{A}) = \frac{2}{3}

P (M ∣ A) = \frac{5}{7}

P (M ∣ \overline{A}) = \frac{3}{8}

P (M) = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{7} + \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{8} = \frac{5}{21} + \frac{1}{4} = \frac{20}{84} + \frac{21}{84} = \frac{41}{84}

Vậy $P (M) = \frac{41}{84} \approx 0, 488$ .

2Cách 2. Chia theo sáu mặt xúc xắc

Định hướng. Sáu mặt đồng khả năng; hai mặt $3$ , $6$ dẫn tới chuồng I, bốn mặt còn lại dẫn tới chuồng II.

P (M) = \frac{1}{6} (\frac{5}{7} + \frac{5}{7} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8})

P (M) = \frac{1}{6} (\frac{10}{7} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{41}{14} = \frac{41}{84}

Vậy $P (M) = \frac{41}{84}$ .

3Cách 3. Tần số trên 168 lần bắt gà

Định hướng. Chọn $168$ lần (chia hết cho $3$ , $7$ , $8$ ) và đếm số lần được gà mái.

Chọn chuồng I:

168 \cdot \frac{1}{3} = 56

lần

\Rightarrow

gà mái

56 \cdot \frac{5}{7} = 40

lần
Chọn chuồng II:

168 - 56 = 112

lần

\Rightarrow

gà mái

112 \cdot \frac{3}{8} = 42

lần

P (M) = \frac{40 + 42}{168} = \frac{82}{168} = \frac{41}{84}

Vậy $P (M) = \frac{41}{84}$ .

Nhận xét. Nếu gộp cả $15$ con rồi bắt ngẫu nhiên thì xác suất là $\frac{8}{15} \approx 0, 533$ , khác $\frac{41}{84} \approx 0, 488$ — vì cách chọn chuồng của bác Mai ưu tiên chuồng II, chuồng ít gà mái hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 kèm sơ đồ hình cây: hai nhánh, hai phép nhân, một phép cộng.

Đáp số.

P = \frac{41}{84} \approx 0, 488

Sai lầm thường gặp. Cho xác suất chọn chuồng I bằng

\frac{1}{2}

(coi hai chuồng đồng khả năng) ra

\frac{1}{2} (\frac{5}{7} + \frac{3}{8}) = \frac{61}{112}

; hoặc cho số chấm chia hết cho

3

gồm

0

;

3

;

6

; hoặc gộp

15

con ra

\frac{8}{15}

🚀 Mở rộng. Biết bác Mai bắt được gà mái, xác suất gà đó từ chuồng I là (Bayes)

\frac{5/21}{41/84} = \frac{20}{41}

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 6.21★★★Trang 80— Công thức Bayes — suy ngược nguyên nhân từ kết quả

Bài 6.21 (trang 80). Một loại vaccine được tiêm ở địa phương X. Người có bệnh nền thì với xác suất

0, 35

có phản ứng phụ sau tiêm; người không có bệnh nền thì chỉ có phản ứng phụ sau tiêm với xác suất

0, 16

. Chọn ngẫu nhiên một người được tiêm vaccine và người này có phản ứng phụ. Tính xác suất để người này có bệnh nền, biết rằng tỉ lệ người có bệnh nền ở địa phương X là

18%

Kiến thức cần nhớ

Công thức Bayes: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A ) + P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}$ .
Công thức xác suất toàn phần: $P (B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) + P (\overline{A}) \cdot P (B ∣ \overline{A})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho xác suất phản ứng phụ theo từng nhóm (có / không bệnh nền) và tỉ lệ bệnh nền, rồi hỏi ngược: đã có phản ứng phụ thì khả năng có bệnh nền bao nhiêu — đúng dạng công thức Bayes. Mẫu số là

P (P)

tính bằng xác suất toàn phần. Bẫy: trả lời

0, 35

— đó là

P (P ∣ N)

, không phải

P (N ∣ P)

1Cách 1. Công thức Bayes

Định hướng. $N$ : “Người đó có bệnh nền”; $P$ : “Người đó có phản ứng phụ”. $P (N) = 0, 18$ , $P (P ∣ N) = 0, 35$ , $P (P ∣ \overline{N}) = 0, 16$ .

P (P) = 0, 18 \cdot 0, 35 + 0, 82 \cdot 0, 16 = 0, 063 + 0, 1312 = 0, 1942

P (N ∣ P) = \frac{P ( N ) \cdot P ( P ∣ N )}{P ( P )} = \frac{0 , 063}{0 , 1942} = \frac{315}{971} \approx 0, 3244

Vậy $P (N ∣ P) = \frac{315}{971} \approx 0, 324$ .

2Cách 2. Tần số trên 10 000 người

Định hướng. Hình dung $10000$ người được tiêm và đếm số người có phản ứng phụ trong từng nhóm.

	Có phản ứng phụ	Không phản ứng	Tổng
Có bệnh nền	$630$	$1170$	$1800$
Không bệnh nền	$1312$	$6888$	$8200$
Tổng	$1942$	$8058$	$10000$

P (N ∣ P) = \frac{630}{1 942} = \frac{315}{971} \approx 0, 3244

Vậy $P (N ∣ P) = \frac{315}{971} \approx 0, 324$ .

3Cách 3. Tỉ số khả năng (odds)

Định hướng. Nhân tỉ số “có bệnh nền : không bệnh nền” ban đầu với tỉ số hai xác suất phản ứng phụ.

Ban đầu:

\frac{0 , 18}{0 , 82} = \frac{9}{41}

; tỉ số khả năng:

\frac{0 , 35}{0 , 16} = \frac{35}{16}

Sau khi có phản ứng phụ:

\frac{9}{41} \cdot \frac{35}{16} = \frac{315}{656}

P (N ∣ P) = \frac{315}{315 + 656} = \frac{315}{971} \approx 0, 3244

Vậy $P (N ∣ P) = \frac{315}{971} \approx 0, 324$ .

Nhận xét. Có phản ứng phụ làm khả năng có bệnh nền tăng từ $18%$ lên khoảng $32, 4%$ ; phần lớn người có phản ứng phụ vẫn là người không có bệnh nền vì nhóm này đông hơn nhiều.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 kèm sơ đồ hình cây; Cách 3 cho đáp số nhanh bằng một phép nhân phân số khi đã quen.

Đáp số.

P = \frac{315}{971} \approx 0, 324

Sai lầm thường gặp. Trả lời

0, 35

(nhầm

P (P ∣ N)

với

P (N ∣ P)

); hoặc lấy mẫu số là

0, 35 + 0, 16 = 0, 51

, ra

\frac{35}{51}

— quên nhân trọng số

0, 18

và

0, 82

🚀 Mở rộng. Xác suất người có phản ứng phụ mà không có bệnh nền là

1 - \frac{315}{971} = \frac{656}{971} \approx 0, 676

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes Bài tiếp theo ›Hoạt động thực hành trải nghiệm: Tính nguyên hàm và tích phân với phần mềm GeoGebra. Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang

📚 Cùng chương: Chương VI. Xác suất có điều kiện

Bài 18. Xác suất có điều kiện
Bài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes
▶ Bài tập cuối chương VI