Chương VI. Xác suất có điều kiện

Bài tập cuối chương VI

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang45–47 #CùngBàiBênSGK

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 6.13★Trang 45— Trắc nghiệm — công thức Bayes khi đã biết

P (B)

Bài 6.13 (trang 45). Cho

P (A) = 0, 2

P (B) = 0, 5

P (B ∣ A) = 0, 8

. Khi đó

P (A ∣ B)

bằng
A.

0, 32

.
B.

0, 3

.
C.

0, 35

.
D.

0, 31

Kiến thức cần nhớ

Công thức Bayes: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )}$ .
Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (B) \cdot P (A ∣ B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biết

P (B ∣ A)

, hỏi điều kiện “lật ngược”

P (A ∣ B)

— công thức Bayes. Đề cho sẵn

P (B)

nên không phải tính xác suất toàn phần. Bẫy: lấy

P (A) \cdot P (B ∣ A) = 0, 16

làm đáp số (quên chia cho

P (B)

1Cách 1. Công thức Bayes

Định hướng. $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )}$ .

P (A ∣ B) = \frac{0 , 2 \cdot 0 , 8}{0 , 5} = \frac{0 , 16}{0 , 5} = 0, 32

Vậy chọn A.

2Cách 2. Tần số trên 100 lần thử

Định hướng. $100$ lần thử: đếm số lần $A$ , số lần $A B$ , số lần $B$ .

A

100 \cdot 0, 2 = 20

lần;

A B

20 \cdot 0, 8 = 16

lần;

B

100 \cdot 0, 5 = 50

lần

P (A ∣ B) = \frac{16}{50} = 0, 32

Vậy chọn A.

3Cách 3. Thử ngược bằng công thức nhân

Định hướng. Phương án đúng phải thoả $P (A ∣ B) \cdot P (B) = P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) = 0, 16$ .

0, 32 \cdot 0, 5 = 0, 16

(đúng); B:

0, 3 \cdot 0, 5 = 0, 15

0, 35 \cdot 0, 5 = 0, 175

; D:

0, 31 \cdot 0, 5 = 0, 155

Vậy chọn A.

Nhận xét. Cả ba cách đều đi qua $P (A B) = 0, 16$ : đây là “cầu nối” giữa $P (B ∣ A)$ và $P (A ∣ B)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng tính.

Đáp số. A.

0, 32

Sai lầm thường gặp. Trả lời

0, 16

(đó là

P (A B)

) hoặc tính

\frac{0 , 8 \cdot 0 , 5}{0 , 2} = 2

— đổi chỗ

P (A)

và

P (B)

, ra số lớn hơn

1

là vô lí.

🚀 Mở rộng. Với cùng dữ kiện,

P (\overline{A} ∣ B) = 1 - 0, 32 = 0, 68

và

P (B ∣ \overline{A}) = \frac{0 , 5 - 0 , 16}{0 , 8} = 0, 425

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 6.14★★Trang 46— Trắc nghiệm — xác suất có điều kiện, không gian mẫu thu hẹp

Bài 6.14 (trang 46). Chọn ngẫu nhiên một gia đình có

2

con. Biết rằng gia đình đó có con gái. Xác suất để gia đình đó có một con trai, một con gái là
A.

\frac{2}{5}

.
B.

\frac{3}{5}

.
C.

\frac{3}{4}

.
D.

\frac{2}{3}

Kiến thức cần nhớ

Xác suất có điều kiện: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ với $P (B) > 0$ ; khi các kết quả đồng khả năng, $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
Không gian mẫu có thứ tự con thứ nhất, con thứ hai: ${GG; GT; T G; T T}$ , bốn kết quả đồng khả năng.

🧠 Phân tích tư duy

“Biết rằng gia đình đó có con gái” là điều kiện: thu hẹp không gian mẫu về các gia đình có ít nhất một con gái. Phải phân biệt thứ tự con (lớn, nhỏ) thì bốn khả năng GG, GT, TG, TT mới đồng khả năng. Bẫy: coi “một trai một gái” là một khả năng, ra

\frac{1}{2}

1Cách 1. Liệt kê không gian mẫu thu hẹp

Định hướng. Viết con thứ nhất trước, con thứ hai sau; $G$ : gái, $T$ : trai.

Ω = {GG; GT; T G; T T}

Có con gái:

B = {GG; GT; T G}

n (B) = 3

Một trai một gái trong

B

{GT; T G}

, có

2

kết quả

P = \frac{2}{3}

Vậy chọn D.

2Cách 2. Công thức xác suất có điều kiện

Định hướng. $A$ : “Một trai, một gái”; $B$ : “Có con gái”. Vì $A \subset B$ nên $A B = A$ .

P (B) = 1 - P (T T) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

P (A B) = P (A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

P (A ∣ B) = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}

Vậy chọn D.

3Cách 3. Phần bù trong điều kiện

Định hướng. Trong các gia đình có con gái, chỉ có hai khả năng: hai gái, hoặc một trai một gái.

P (GG ∣ B) = \frac{P ( GG )}{P ( B )} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}

P (A ∣ B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Vậy chọn D.

Nhận xét. Nếu đề nói “con lớn là con gái” thì đáp số lại là $\frac{1}{2}$ — điều kiện khác nhau cho xác suất khác nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: liệt kê bốn khả năng rồi gạch đi

T T

là thấy ngay

\frac{2}{3}

Đáp số. D.

\frac{2}{3}

Sai lầm thường gặp. Coi ba khả năng “hai trai”, “hai gái”, “một trai một gái” là đồng khả năng, rồi ra

\frac{1}{2}

(hoặc

\frac{1}{3}

nếu không đặt điều kiện) — sai vì “một trai một gái” gồm hai kết quả

GT

T G

; hoặc hiểu nhầm điều kiện là “con thứ nhất là gái”.

🚀 Mở rộng. Với gia đình

3

con, biết có ít nhất một con gái, xác suất có đúng một con gái là

\frac{3}{7}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 6.15★★Trang 46— Trắc nghiệm — xác suất có điều kiện với hai con xúc xắc

Bài 6.15 (trang 46). Tung hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Biết rằng có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt

5

chấm. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng

7

là
A.

\frac{3}{11}

.
B.

\frac{2}{11}

.
C.

\frac{4}{13}

.
D.

\frac{3}{13}

Kiến thức cần nhớ

Xác suất có điều kiện: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ với $P (B) > 0$ ; khi các kết quả đồng khả năng, $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
Công thức Bayes: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điều kiện “ít nhất một con ra mặt

5

” thu hẹp

36

kết quả xuống còn

11

(không phải

12

, vì

(5; 5)

chỉ đếm một lần). Trong đó chỉ cần đếm các cặp có tổng

7

. Bẫy: đếm

12

kết quả điều kiện, ra

\frac{2}{12} = \frac{1}{6}

1Cách 1. Liệt kê trong không gian mẫu thu hẹp

Định hướng. $A$ : “Có ít nhất một mặt $5$ chấm”; $B$ : “Tổng số chấm bằng $7$ ”.

A = {(5; 1); (5; 2); (5; 3); (5; 4); (5; 5); (5; 6); (1; 5); (2; 5); (3; 5); (4; 5); (6; 5)}

n (A) = 11

A B = {(5; 2); (2; 5)}

n (A B) = 2

P (B ∣ A) = \frac{2}{11}

Vậy chọn B.

2Cách 2. Công thức và biến cố đối

Định hướng. Tính $P (A)$ qua biến cố đối “không con nào ra mặt $5$ ”.

P (A) = 1 - (\frac{5}{6})^{2} = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}

P (A B) = \frac{2}{36}

P (B ∣ A) = \frac{2/36}{11/36} = \frac{2}{11}

Vậy chọn B.

3Cách 3. Công thức Bayes đi từ tổng bằng 7

Định hướng. Tổng bằng $7$ có $6$ cặp, dễ biết trong đó bao nhiêu cặp có mặt $5$ ; rồi lật điều kiện.

P (B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

; trong

6

cặp tổng

7

có

(2; 5)

(5; 2)

chứa mặt

5

\Rightarrow P (A ∣ B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

P (B ∣ A) = \frac{P ( B ) \cdot P ( A ∣ B )}{P ( A )} = \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{11}{36}} = \frac{2}{11}

Vậy chọn B.

Nhận xét. Mẫu $11$ chỉ xuất hiện ở phương án A, B; tử phải là số cặp tổng $7$ chứa mặt $5$ , tức $2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: liệt kê

11

cặp là chắc chắn nhất, không sợ đếm trùng.

Đáp số. B.

\frac{2}{11}

Sai lầm thường gặp. Đếm “ít nhất một mặt

5

” là

6 + 6 = 12

kết quả (đếm

(5; 5)

hai lần) rồi ra

\frac{1}{6}

; hoặc coi

(2; 5)

và

(5; 2)

là một kết quả, ra

\frac{1}{11}

🚀 Mở rộng. Biết có ít nhất một mặt

5

, xác suất tổng số chấm bằng

10

là

\frac{1}{11}

(chỉ có

(5; 5)

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 6.16★★Trang 46— Trắc nghiệm — xác suất có điều kiện với hai con xúc xắc

Bài 6.16 (trang 46). Tung hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng

8

. Xác suất để ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt

3

chấm là
A.

\frac{2}{5}

.
B.

\frac{3}{5}

.
C.

\frac{3}{7}

.
D.

\frac{4}{7}

Kiến thức cần nhớ

Xác suất có điều kiện: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ với $P (B) > 0$ ; khi các kết quả đồng khả năng, $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
$P (\overline{A} ∣ B) = 1 - P (A ∣ B)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điều kiện “tổng bằng

8

” chỉ có

5

kết quả, nên mẫu số là

5

— loại ngay C, D. Còn đếm số cặp tổng

8

có mặt

3

. Bẫy: quên

(4; 4)

hoặc đếm

(3; 5)

(5; 3)

là một.

1Cách 1. Liệt kê trong không gian mẫu thu hẹp

Định hướng. $B$ : “Tổng số chấm bằng $8$ ”; $A$ : “Có ít nhất một mặt $3$ chấm”.

B = {(2; 6); (3; 5); (4; 4); (5; 3); (6; 2)}

n (B) = 5

A B = {(3; 5); (5; 3)}

n (A B) = 2

P (A ∣ B) = \frac{2}{5}

Vậy chọn A.

2Cách 2. Công thức xác suất có điều kiện

Định hướng. Tính $P (B)$ , $P (A B)$ trên $36$ kết quả.

P (B) = \frac{5}{36}

P (A B) = \frac{2}{36}

P (A ∣ B) = \frac{2/36}{5/36} = \frac{2}{5}

Vậy chọn A.

3Cách 3. Phần bù trong điều kiện

Định hướng. Đếm các cặp tổng $8$ không có mặt $3$ rồi lấy phần bù.

Tổng

8

, không có mặt

3

(2; 6)

(4; 4)

(6; 2)

\Rightarrow P (\overline{A} ∣ B) = \frac{3}{5}

P (A ∣ B) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}

Vậy chọn A.

Nhận xét. Phương án B $\frac{3}{5}$ chính là xác suất phần bù — bẫy cho người đếm nhầm biến cố.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: năm cặp liệt kê trong một dòng.

Đáp số. A.

\frac{2}{5}

Sai lầm thường gặp. Bỏ sót

(4; 4)

nên

n (B) = 4

, ra

\frac{2}{4}

; hoặc chia cho

36

\frac{1}{18}

— đó là

P (A B)

, chưa đặt điều kiện.

🚀 Mở rộng. Biết tổng số chấm bằng

8

, xác suất hai con ra cùng số chấm là

\frac{1}{5}

(chỉ có

(4; 4)

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 6.17★★Trang 46— Trắc nghiệm — xác suất có điều kiện, hai nhóm giao nhau

Bài 6.17 (trang 46). Một lớp 12 có

40

học sinh. Trong đó có

22

em đăng kí thi Đại học quốc gia (ĐHQG),

25

em đăng kí thi Đại học bách khoa (ĐHBK),

3

em không đăng kí thi cả hai đại học này. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Biết rằng em đó đăng kí thi ĐHQG. Xác suất em đó đăng kí thi ĐHBK là
A.

\frac{6}{11}

.
B.

\frac{7}{12}

.
C.

\frac{8}{13}

.
D.

\frac{5}{11}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng: $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A B)$ .
Xác suất có điều kiện: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ với $P (B) > 0$ ; khi các kết quả đồng khả năng, $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

22 + 25 = 47

vượt

40 - 3 = 37

em có đăng kí, nên có

10

em đăng kí cả hai — phải tìm phần giao trước. Điều kiện “đăng kí ĐHQG” thu hẹp về

22

em. Bẫy: chia cho

40

hoặc cho

25

1Cách 1. Quy tắc cộng và đếm

Định hướng. $Q$ : “Đăng kí ĐHQG”; $K$ : “Đăng kí ĐHBK”.

n (Q \cup K) = 40 - 3 = 37

n (Q K) = 22 + 25 - 37 = 10

P (K ∣ Q) = \frac{n ( Q K )}{n ( Q )} = \frac{10}{22} = \frac{5}{11}

Vậy chọn D.

2Cách 2. Công thức xác suất

Định hướng. Dùng công thức cộng xác suất rồi định nghĩa xác suất có điều kiện.

P (Q \cup K) = 1 - \frac{3}{40} = \frac{37}{40}

P (Q K) = \frac{22}{40} + \frac{25}{40} - \frac{37}{40} = \frac{10}{40}

P (K ∣ Q) = \frac{10/40}{22/40} = \frac{5}{11}

Vậy chọn D.

3Cách 3. Điền ngược bảng 2 × 2

Định hướng. Điền từ ô “không đăng kí cả hai” $= 3$ ra các ô còn lại.

	Có ĐHBK	Không ĐHBK	Tổng
Có ĐHQG	$10$	$12$	$22$
Không ĐHQG	$15$	$3$	$18$
Tổng	$25$	$15$	$40$

Không ĐHQG:

40 - 22 = 18 \Rightarrow

có ĐHBK, không ĐHQG:

18 - 3 = 15

Cả hai:

25 - 15 = 10

\Rightarrow P (K ∣ Q) = \frac{10}{22} = \frac{5}{11}

Vậy chọn D.

Nhận xét. Ngược lại, $P (Q ∣ K) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$ — hai xác suất có điều kiện khác nhau vì hai nhóm có sĩ số khác nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép tính phần giao, một phép chia.

Đáp số. D.

\frac{5}{11}

Sai lầm thường gặp. Chia

10

cho

25

\frac{2}{5}

(nhầm thành

P (Q ∣ K)

) hoặc chia cho

40

\frac{1}{4}

(quên điều kiện); hoặc tính phần giao là

22 + 25 - 40 = 7

, quên

3

em không đăng kí, ra

\frac{7}{22}

🚀 Mở rộng. Xác suất em đó chỉ đăng kí ĐHBK, biết rằng em đó có đăng kí ít nhất một trường, là

\frac{15}{37}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 6.18★★Trang 46— Công thức nhân và công thức xác suất toàn phần

Bài 6.18 (trang 46). Trong một lớp học nhạc có

60%

là học sinh nữ. Biết rằng có

20%

học sinh nữ học violon,

30%

học sinh nam học violon. Chọn ngẫu nhiên một học sinh.
a) Tính xác suất để học sinh này là nam và chơi violon.
b) Tính xác suất để học sinh này học violon.

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (B) \cdot P (A ∣ B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ .
Công thức xác suất toàn phần: $P (B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) + P (\overline{A}) \cdot P (B ∣ \overline{A})$ .

🧠 Phân tích tư duy

“

20%

học sinh nữ học violon” là xác suất có điều kiện

P (V ∣ N)

, không phải

P (V N)

. Câu a) là giao “nam và violon” — công thức nhân; câu b) cộng hai nhánh nữ, nam — công thức xác suất toàn phần. Bẫy: câu b) lấy trung bình

\frac{20% + 30%}{2} = 25%

1Cách 1. Công thức nhân và xác suất toàn phần

Định hướng. $N$ : “Học sinh là nữ”; $V$ : “Học sinh học violon”. $P (N) = 0, 6$ , $P (V ∣ N) = 0, 2$ , $P (V ∣ \overline{N}) = 0, 3$ .

P (\overline{N} V) = P (\overline{N}) \cdot P (V ∣ \overline{N}) = 0, 4 \cdot 0, 3 = 0, 12

P (V) = P (N) \cdot P (V ∣ N) + P (\overline{N}) \cdot P (V ∣ \overline{N}) = 0, 6 \cdot 0, 2 + 0, 4 \cdot 0, 3 = 0, 12 + 0, 12 = 0, 24

Vậy a) $0, 12$ ; b) $0, 24$ .

2Cách 2. Tần số trên 100 học sinh

Định hướng. Hình dung lớp có $100$ học sinh.

Nữ:

60

\Rightarrow

học violon

60 \cdot 0, 2 = 12

em
Nam:

40

\Rightarrow

học violon

40 \cdot 0, 3 = 12

em
a)

\frac{12}{100} = 0, 12

;

\frac{12 + 12}{100} = 0, 24

Vậy a) $0, 12$ ; b) $0, 24$ .

3Cách 3. Sơ đồ hình cây

Định hướng. Đọc tích xác suất trên từng nhánh; hai lá $V$ tô hồng.

Nhánh Nữ

\to V

0, 6 \cdot 0, 2 = 0, 12

; nhánh Nam

\to V

0, 4 \cdot 0, 3 = 0, 12

a) lá Nam

\to V

0, 12

;

b) tổng hai lá

V

0, 12 + 0, 12 = 0, 24

Vậy a) $0, 12$ ; b) $0, 24$ .

Nhận xét. Kiểm tra: bốn lá $0, 12 + 0, 48 + 0, 12 + 0, 28 = 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (hoặc vẽ nhanh cây ở Cách 3): hai phép nhân, một phép cộng.

Đáp số. a)

0, 12

. b)

0, 24

Sai lầm thường gặp. Câu a) trả lời

0, 3

— đó là

P (V ∣ \overline{N})

chứ không phải xác suất “nam và violon”; câu b) lấy

\frac{0 , 2 + 0 , 3}{2} = 0, 25

, quên trọng số

0, 6

và

0, 4

🚀 Mở rộng. Biết học sinh đó học violon, xác suất là nam bằng

\frac{0 , 12}{0 , 24} = 0, 5

(công thức Bayes).

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 6.19★★Trang 46— Xác suất có điều kiện — hai nhóm giao nhau

Bài 6.19 (trang 46). Một kì thi Toán có hai bài. Một bài thi theo hình thức trắc nghiệm. Một bài theo hình thức tự luận. Một lớp có

30

học sinh tham dự kì thi đó. Kết quả là

25

học sinh đạt bài thi trắc nghiệm,

26

học sinh đạt bài thi tự luận;

3

học sinh không đạt cả hai bài. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất để:
a) Học sinh đó đạt bài thi tự luận, biết rằng học sinh đó đạt bài thi trắc nghiệm.
b) Học sinh đó đạt bài thi trắc nghiệm, biết rằng học sinh đó đạt bài thi tự luận.

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng: $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A B)$ .
Xác suất có điều kiện: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ với $P (B) > 0$ ; khi các kết quả đồng khả năng, $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cần số học sinh đạt cả hai bài:

25 + 26

vượt

30 - 3 = 27

nên phần giao là

24

. Hai câu hỏi đảo điều kiện cho nhau: câu a) chia cho

25

, câu b) chia cho

26

. Bẫy: dùng cùng một mẫu cho cả hai câu.

1Cách 1. Quy tắc cộng và đếm

Định hướng. $M$ : “Đạt bài trắc nghiệm”; $L$ : “Đạt bài tự luận”.

n (M \cup L) = 30 - 3 = 27

n (M L) = 25 + 26 - 27 = 24

P (L ∣ M) = \frac{24}{25}

P (M ∣ L) = \frac{24}{26} = \frac{12}{13}

Vậy a) $\frac{24}{25}$ ; b) $\frac{12}{13}$ .

2Cách 2. Công thức xác suất

Định hướng. Đổi ra xác suất trên $30$ học sinh.

P (M L) = \frac{25}{30} + \frac{26}{30} - (1 - \frac{3}{30}) = \frac{24}{30}

P (L ∣ M) = \frac{24/30}{25/30} = \frac{24}{25}

P (M ∣ L) = \frac{24/30}{26/30} = \frac{12}{13}

Vậy a) $\frac{24}{25}$ ; b) $\frac{12}{13}$ .

3Cách 3. Phần bù trong điều kiện

Định hướng. Đếm số em chỉ đạt một bài: đạt trắc nghiệm mà trượt tự luận, và ngược lại.

Trượt tự luận:

30 - 26 = 4

em, trong đó

3

em trượt cả hai

\Rightarrow

đạt trắc nghiệm, trượt tự luận:

1

em
a)

P (L ∣ M) = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}

Trượt trắc nghiệm:

30 - 25 = 5

\Rightarrow

đạt tự luận, trượt trắc nghiệm:

5 - 3 = 2

em
b)

P (M ∣ L) = 1 - \frac{2}{26} = \frac{24}{26} = \frac{12}{13}

Vậy a) $\frac{24}{25}$ ; b) $\frac{12}{13}$ .

Nhận xét. Cách 3 cho biết luôn bốn vùng của biểu đồ Ven: $1$ , $24$ , $2$ , $3$ — cộng lại đúng $30$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tìm phần giao

24

rồi chia cho đúng nhóm điều kiện.

Đáp số. a)

\frac{24}{25}

. b)

\frac{12}{13}

Sai lầm thường gặp. Chia phần giao cho

30

ở cả hai câu (ra

\frac{4}{5}

) — đó là

P (M L)

, chưa có điều kiện; hoặc tính phần giao

25 + 26 - 30 = 21

, quên

3

em trượt cả hai.

🚀 Mở rộng. Xác suất học sinh đạt đúng một bài, biết rằng em đó đạt ít nhất một bài, là

\frac{1 + 2}{27} = \frac{1}{9}

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 6.20★★Trang 46— Xác suất có điều kiện đọc từ bảng số liệu

Bài 6.20 (trang 46). Thống kê kết quả của một đội bóng X trong

37

trận tại giải vô địch quốc gia ta có kết quả sau:

	Thắng	Hoà	Thua
Sân nhà	11	5	3
Sân khách	6	8	4

Chọn ngẫu nhiên một trận. Tính xác suất để:
a) Đó là trận thắng nếu biết rằng trận đó đá trên sân nhà.
b) Đó là trận đá trên sân nhà nếu biết rằng trận đó thắng.

Kiến thức cần nhớ

Xác suất có điều kiện: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ với $P (B) > 0$ ; khi các kết quả đồng khả năng, $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
Công thức Bayes: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bảng đếm theo hai tiêu chí (sân, kết quả); xác suất có điều kiện là tỉ số “ô giao” trên “tổng hàng” hoặc “tổng cột” của điều kiện. Câu a) điều kiện là hàng Sân nhà (

19

trận), câu b) điều kiện là cột Thắng (

17

trận). Bẫy: lẫn hàng với cột.

1Cách 1. Đọc bảng, thu hẹp không gian mẫu

Định hướng. $H$ : “Trận đá trên sân nhà”; $W$ : “Trận thắng”.

n (H) = 11 + 5 + 3 = 19

n (W) = 11 + 6 = 17

n (H W) = 11

P (W ∣ H) = \frac{11}{19}

P (H ∣ W) = \frac{11}{17}

Vậy a) $\frac{11}{19}$ ; b) $\frac{11}{17}$ .

2Cách 2. Công thức xác suất có điều kiện

Định hướng. Đổi các số đếm ra xác suất trên $37$ trận.

P (H W) = \frac{11}{37}

P (H) = \frac{19}{37}

P (W) = \frac{17}{37}

P (W ∣ H) = \frac{11/37}{19/37} = \frac{11}{19}

P (H ∣ W) = \frac{11/37}{17/37} = \frac{11}{17}

Vậy a) $\frac{11}{19}$ ; b) $\frac{11}{17}$ .

3Cách 3. Phần bù cho a), Bayes cho b)

Định hướng. Câu a) đếm trận sân nhà không thắng; câu b) lật điều kiện từ kết quả câu a).

a) Sân nhà không thắng:

5 + 3 = 8

trận

\Rightarrow P (W ∣ H) = 1 - \frac{8}{19} = \frac{11}{19}

P (H ∣ W) = \frac{P ( H ) \cdot P ( W ∣ H )}{P ( W )} = \frac{\frac{19}{37} \cdot \frac{11}{19}}{\frac{17}{37}} = \frac{11}{17}

Vậy a) $\frac{11}{19}$ ; b) $\frac{11}{17}$ .

Nhận xét. Hai đáp số cùng tử $11$ (số trận thắng trên sân nhà), chỉ khác mẫu: $19$ trận sân nhà hay $17$ trận thắng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng một hàng, một cột rồi chia.

Đáp số. a)

\frac{11}{19}

. b)

\frac{11}{17}

Sai lầm thường gặp. Đảo mẫu hai câu (a ra

\frac{11}{17}

, b ra

\frac{11}{19}

) hoặc chia cho

37

\frac{11}{37}

— đó là xác suất “thắng và đá sân nhà”.

🚀 Mở rộng. Xác suất đội X không thua, biết trận đó đá trên sân khách, là

\frac{6 + 8}{18} = \frac{7}{9}

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 6.21★★★Trang 47— Xác suất có điều kiện đọc từ bảng hai chiều

Bài 6.21 (trang 47). Thống kê về số vật nuôi trong

98

hộ gia đình ta có kết quả sau:

Số vật nuôi \ Số người trong hộ	2	3	4	$\geq 5$
0	4	6	7	3
1	4	11	12	6
2	2	9	11	7
$\geq 3$	1	3	7	5

Chọn ngẫu nhiên một hộ gia đình. Tính xác suất để:
a) Hộ đó nuôi

2

vật nuôi biết rằng hộ đó có

4

người;
b) Hộ đó có

3

người biết rằng hộ đó có ít nhất

2

vật nuôi;
c) Hộ đó có ít nhất một vật nuôi, biết rằng hộ đó có ít nhất

4

người.

Kiến thức cần nhớ

Xác suất có điều kiện: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ với $P (B) > 0$ ; khi các kết quả đồng khả năng, $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
$P (\overline{A} ∣ B) = 1 - P (A ∣ B)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi câu có một điều kiện là một (hoặc hai) cột/hàng của bảng: a) cột

4

người; b) hai hàng

2

và

\geq 3

vật nuôi; c) hai cột

4

và

\geq 5

người. Xác suất có điều kiện là tỉ số hai tổng các ô. Câu c) nên đếm phần bù (hàng

0

vật nuôi) cho nhanh. Bẫy: “ít nhất

2

vật nuôi” quên hàng

\geq 3

1Cách 1. Cộng các ô của điều kiện

Định hướng. Với mỗi câu: tổng các ô của điều kiện làm mẫu, tổng các ô thoả cả hai làm tử.

a) Cột

4

người:

7 + 12 + 11 + 7 = 37

hộ; nuôi

2

vật nuôi:

11

hộ

\Rightarrow P = \frac{11}{37}

b) Ít nhất

2

vật nuôi:

(2 + 9 + 11 + 7) + (1 + 3 + 7 + 5) = 29 + 16 = 45

hộ; có

3

người:

9 + 3 = 12

hộ

\Rightarrow P = \frac{12}{45} = \frac{4}{15}

c) Ít nhất

4

người:

37 + (3 + 6 + 7 + 5) = 37 + 21 = 58

hộ; có vật nuôi:

(12 + 11 + 7) + (6 + 7 + 5) = 30 + 18 = 48

hộ

\Rightarrow P = \frac{48}{58} = \frac{24}{29}

Vậy a) $\frac{11}{37}$ ; b) $\frac{4}{15}$ ; c) $\frac{24}{29}$ .

2Cách 2. Công thức xác suất có điều kiện

Định hướng. Gọi $A_{k}$ : “Hộ có $k$ vật nuôi”, $B_{m}$ : “Hộ có $m$ người”; đổi số hộ ra xác suất trên $98$ hộ.

P (A_{2} ∣ B_{4}) = \frac{P ( A _{2} B _{4} )}{P ( B _{4} )} = \frac{11/98}{37/98} = \frac{11}{37}

P (B_{3} ∣ A_{\geq 2}) = \frac{12/98}{45/98} = \frac{4}{15}

P (\overline{A_{0}} ∣ B_{\geq 4}) = \frac{48/98}{58/98} = \frac{24}{29}

Vậy a) $\frac{11}{37}$ ; b) $\frac{4}{15}$ ; c) $\frac{24}{29}$ .

3Cách 3. Đếm qua phần bù của hàng, cột

Định hướng. Tính tổng từng hàng, từng cột một lần rồi trừ đi phần không thoả.

Tổng hàng:

0

vật nuôi

20

;

1

vật nuôi

33

; tổng cột

3

người:

6 + 11 + 9 + 3 = 29

b) Ít nhất

2

vật nuôi:

98 - 20 - 33 = 45

; có

3

người:

29 - 6 - 11 = 12

\Rightarrow P = \frac{12}{45} = \frac{4}{15}

c) Ít nhất

4

người:

58

hộ, trong đó không nuôi con nào:

7 + 3 = 10

\Rightarrow P = 1 - \frac{10}{58} = \frac{48}{58} = \frac{24}{29}

a) Cột

4

người có

37

hộ, ô (

2

vật nuôi;

4

người) là

11

\Rightarrow P = \frac{11}{37}

Vậy a) $\frac{11}{37}$ ; b) $\frac{4}{15}$ ; c) $\frac{24}{29}$ .

Nhận xét. Kiểm tra tổng: bốn tổng hàng $20 + 33 + 29 + 16 = 98$ , bốn tổng cột $11 + 29 + 37 + 21 = 98$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: tính trước tổng hàng, tổng cột rồi lấy phần bù — ít phép cộng và tự kiểm tra được bằng tổng

98

Đáp số. a)

\frac{11}{37}

. b)

\frac{4}{15}

. c)

\frac{24}{29}

Sai lầm thường gặp. Câu b) chỉ lấy hàng

2

vật nuôi (

29

hộ) ra

\frac{9}{29}

; câu c) chỉ lấy cột

4

người ra

\frac{30}{37}

, bỏ quên cột

\geq 5

người; hoặc chia cho

98

ở mọi câu.

🚀 Mở rộng. Xác suất hộ đó có đúng

2

người, biết rằng hộ đó không nuôi vật nuôi nào, là

\frac{4}{20} = \frac{1}{5}

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 6.22★★Trang 47— Xác suất có điều kiện — đếm trên không gian mẫu hữu hạn

Bài 6.22 (trang 47). Có

3

hộp, mỗi hộp chứa ba tấm thẻ đánh số

1

2

3

. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Xét các biến cố sau:

A

: “Tổng số ghi trên các tấm thẻ là

6

”;

B

: “Ba tấm thẻ có số ghi bằng nhau”.
Tính

P (A ∣ B)

P (B ∣ A)

Kiến thức cần nhớ

Xác suất có điều kiện: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ với $P (B) > 0$ ; khi các kết quả đồng khả năng, $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
Công thức Bayes: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Không gian mẫu gồm

3^{3} = 27

bộ (số hộp 1; số hộp 2; số hộp 3) đồng khả năng.

B

chỉ có

3

bộ,

A

có

7

bộ (sáu hoán vị của

1, 2, 3

và bộ

(2; 2; 2)

), giao chỉ có

(2; 2; 2)

. Bẫy: đếm

A

bỏ sót

(2; 2; 2)

hoặc chỉ đếm

{1; 2; 3}

một lần.

1Cách 1. Liệt kê và thu hẹp không gian mẫu

Định hướng. Liệt kê $A$ , $B$ , $A B$ rồi chia số kết quả.

n (Ω) = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27

B = {(1; 1; 1); (2; 2; 2); (3; 3; 3)}

n (B) = 3

A = {(1; 2; 3); (1; 3; 2); (2; 1; 3); (2; 3; 1); (3; 1; 2); (3; 2; 1); (2; 2; 2)}

n (A) = 7

A B = {(2; 2; 2)}

n (A B) = 1

P (A ∣ B) = \frac{1}{3}

P (B ∣ A) = \frac{1}{7}

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{1}{3}$ , $P (B ∣ A) = \frac{1}{7}$ .

2Cách 2. Công thức xác suất có điều kiện

Định hướng. Đếm $n (A)$ bằng hoán vị thay vì liệt kê.

n (A) = 3! + 1 = 7

n (B) = 3

n (A B) = 1

P (A) = \frac{7}{27}

P (B) = \frac{3}{27} = \frac{1}{9}

P (A B) = \frac{1}{27}

P (A ∣ B) = \frac{1/27}{1/9} = \frac{1}{3}

P (B ∣ A) = \frac{1/27}{7/27} = \frac{1}{7}

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{1}{3}$ , $P (B ∣ A) = \frac{1}{7}$ .

3Cách 3. Công thức Bayes

Định hướng. $P (A ∣ B)$ thấy ngay (ba bộ số bằng nhau có tổng $3$ , $6$ , $9$ ); lật điều kiện bằng Bayes.

P (A ∣ B) = \frac{1}{3}

(chỉ bộ

(2; 2; 2)

có tổng

6

)

P (B ∣ A) = \frac{P ( B ) \cdot P ( A ∣ B )}{P ( A )} = \frac{\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{7}{27}} = \frac{1}{27} \cdot \frac{27}{7} = \frac{1}{7}

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{1}{3}$ , $P (B ∣ A) = \frac{1}{7}$ .

Nhận xét. $P (A ∣ B) \neq = P (B ∣ A)$ vì $n (B) = 3 \neq = n (A) = 7$ — hai xác suất có điều kiện chỉ bằng nhau khi $P (A) = P (B)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đếm

n (A) = 3! + 1

nhanh hơn liệt kê, rồi chia hai lần.

Đáp số.

P (A ∣ B) = \frac{1}{3}

;

P (B ∣ A) = \frac{1}{7}

Sai lầm thường gặp. Đếm

n (A) = 6

(quên bộ

(2; 2; 2)

) nên ra

P (B ∣ A) = \frac{1}{6}

— mà khi đó

A B

rỗng, mâu thuẫn; hoặc coi

(1; 2; 3)

và

(3; 2; 1)

là một kết quả, ra

n (A) = 2

🚀 Mở rộng. Với

4

hộp như vậy,

A

: “Tổng bằng

8

”,

B

: “Bốn thẻ bằng nhau” thì

P (B ∣ A) = \frac{1}{19}

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 12

📚 Cùng chương: Chương VI. Xác suất có điều kiện

Bài 18. Xác suất có điều kiện
Bài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes
▶ Bài tập cuối chương VI