Chương VI. Xác suất có điều kiện

Bài tập cuối chương VI

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang45–47 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 6.13★Trang 45— Trắc nghiệm — công thức Bayes khi đã biết

P (B)

Bài 6.13 (trang 45). Cho

P (A) = 0, 2

P (B) = 0, 5

P (B ∣ A) = 0, 8

. Khi đó

P (A ∣ B)

bằng
A.

0, 32

.
B.

0, 3

.
C.

0, 35

.
D.

0, 31

Kiến thức cần nhớ

Công thức Bayes: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )}$ .
Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (B) \cdot P (A ∣ B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biết

P (B ∣ A)

, hỏi điều kiện “lật ngược”

P (A ∣ B)

— công thức Bayes. Đề cho sẵn

P (B)

nên không phải tính xác suất toàn phần. Bẫy: lấy

P (A) \cdot P (B ∣ A) = 0, 16

làm đáp số (quên chia cho

P (B)

1Cách 1. Công thức Bayes

Định hướng. $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )}$ .

P (A ∣ B) = \frac{0 , 2 \cdot 0 , 8}{0 , 5} = \frac{0 , 16}{0 , 5} = 0, 32

Vậy chọn A.

2Cách 2. Tần số trên 100 lần thử

Định hướng. $100$ lần thử: đếm số lần $A$ , số lần $A B$ , số lần $B$ .

A

100 \cdot 0, 2 = 20

lần;

A B

20 \cdot 0, 8 = 16

lần;

B

100 \cdot 0, 5 = 50

lần

P (A ∣ B) = \frac{16}{50} = 0, 32

Vậy chọn A.

3Cách 3. Thử ngược bằng công thức nhân

Định hướng. Phương án đúng phải thoả $P (A ∣ B) \cdot P (B) = P (A B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) = 0, 16$ .

0, 32 \cdot 0, 5 = 0, 16

(đúng); B:

0, 3 \cdot 0, 5 = 0, 15

0, 35 \cdot 0, 5 = 0, 175

; D:

0, 31 \cdot 0, 5 = 0, 155

Vậy chọn A.

Nhận xét. Cả ba cách đều đi qua $P (A B) = 0, 16$ : đây là “cầu nối” giữa $P (B ∣ A)$ và $P (A ∣ B)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng tính.

Đáp số. A.

0, 32

Sai lầm thường gặp. Trả lời

0, 16

(đó là

P (A B)

) hoặc tính

\frac{0 , 8 \cdot 0 , 5}{0 , 2} = 2

— đổi chỗ

P (A)

và

P (B)

, ra số lớn hơn

1

là vô lí.

🚀 Mở rộng. Với cùng dữ kiện,

P (\overline{A} ∣ B) = 1 - 0, 32 = 0, 68

và

P (B ∣ \overline{A}) = \frac{0 , 5 - 0 , 16}{0 , 8} = 0, 425

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 6.14★★Trang 46— Trắc nghiệm — xác suất có điều kiện, không gian mẫu thu hẹp

Bài 6.14 (trang 46). Chọn ngẫu nhiên một gia đình có

2

con. Biết rằng gia đình đó có con gái. Xác suất để gia đình đó có một con trai, một con gái là
A.

\frac{2}{5}

.
B.

\frac{3}{5}

.
C.

\frac{3}{4}

.
D.

\frac{2}{3}

Kiến thức cần nhớ

Xác suất có điều kiện: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ với $P (B) > 0$ ; khi các kết quả đồng khả năng, $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
Không gian mẫu có thứ tự con thứ nhất, con thứ hai: ${GG; GT; T G; T T}$ , bốn kết quả đồng khả năng.

🧠 Phân tích tư duy

“Biết rằng gia đình đó có con gái” là điều kiện: thu hẹp không gian mẫu về các gia đình có ít nhất một con gái. Phải phân biệt thứ tự con (lớn, nhỏ) thì bốn khả năng GG, GT, TG, TT mới đồng khả năng. Bẫy: coi “một trai một gái” là một khả năng, ra

\frac{1}{2}

1Cách 1. Liệt kê không gian mẫu thu hẹp

Định hướng. Viết con thứ nhất trước, con thứ hai sau; $G$ : gái, $T$ : trai.

Ω = {GG; GT; T G; T T}

Có con gái:

B = {GG; GT; T G}

n (B) = 3

Một trai một gái trong

B

{GT; T G}

, có

2

kết quả

P = \frac{2}{3}

Vậy chọn D.

2Cách 2. Công thức xác suất có điều kiện

Định hướng. $A$ : “Một trai, một gái”; $B$ : “Có con gái”. Vì $A \subset B$ nên $A B = A$ .

P (B) = 1 - P (T T) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

P (A B) = P (A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

P (A ∣ B) = \frac{1/2}{3/4} = \frac{2}{3}

Vậy chọn D.

3Cách 3. Phần bù trong điều kiện

Định hướng. Trong các gia đình có con gái, chỉ có hai khả năng: hai gái, hoặc một trai một gái.

P (GG ∣ B) = \frac{P ( GG )}{P ( B )} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}

P (A ∣ B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Vậy chọn D.

Nhận xét. Nếu đề nói “con lớn là con gái” thì đáp số lại là $\frac{1}{2}$ — điều kiện khác nhau cho xác suất khác nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: liệt kê bốn khả năng rồi gạch đi

T T

là thấy ngay

\frac{2}{3}

Đáp số. D.

\frac{2}{3}

Sai lầm thường gặp. Coi ba khả năng “hai trai”, “hai gái”, “một trai một gái” là đồng khả năng, rồi ra

\frac{1}{2}

(hoặc

\frac{1}{3}

nếu không đặt điều kiện) — sai vì “một trai một gái” gồm hai kết quả

GT

T G

; hoặc hiểu nhầm điều kiện là “con thứ nhất là gái”.

🚀 Mở rộng. Với gia đình

3

con, biết có ít nhất một con gái, xác suất có đúng một con gái là

\frac{3}{7}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 6.15★★Trang 46— Trắc nghiệm — xác suất có điều kiện với hai con xúc xắc

Bài 6.15 (trang 46). Tung hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Biết rằng có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt

5

chấm. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai xúc xắc bằng

7

là
A.

\frac{3}{11}

.
B.

\frac{2}{11}

.
C.

\frac{4}{13}

.
D.

\frac{3}{13}

Kiến thức cần nhớ

Xác suất có điều kiện: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ với $P (B) > 0$ ; khi các kết quả đồng khả năng, $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
Công thức Bayes: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 6.16★★Trang 46— Trắc nghiệm — xác suất có điều kiện với hai con xúc xắc

Bài 6.16 (trang 46). Tung hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Biết rằng tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng

8

. Xác suất để ít nhất có một con xúc xắc xuất hiện mặt

3

chấm là
A.

\frac{2}{5}

.
B.

\frac{3}{5}

.
C.

\frac{3}{7}

.
D.

\frac{4}{7}

Kiến thức cần nhớ

Xác suất có điều kiện: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ với $P (B) > 0$ ; khi các kết quả đồng khả năng, $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
$P (\overline{A} ∣ B) = 1 - P (A ∣ B)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 6.17★★Trang 46— Trắc nghiệm — xác suất có điều kiện, hai nhóm giao nhau

Bài 6.17 (trang 46). Một lớp 12 có

40

học sinh. Trong đó có

22

em đăng kí thi Đại học quốc gia (ĐHQG),

25

em đăng kí thi Đại học bách khoa (ĐHBK),

3

em không đăng kí thi cả hai đại học này. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Biết rằng em đó đăng kí thi ĐHQG. Xác suất em đó đăng kí thi ĐHBK là
A.

\frac{6}{11}

.
B.

\frac{7}{12}

.
C.

\frac{8}{13}

.
D.

\frac{5}{11}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng: $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A B)$ .
Xác suất có điều kiện: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ với $P (B) > 0$ ; khi các kết quả đồng khả năng, $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 6.18★★Trang 46— Công thức nhân và công thức xác suất toàn phần

Bài 6.18 (trang 46). Trong một lớp học nhạc có

60%

là học sinh nữ. Biết rằng có

20%

học sinh nữ học violon,

30%

học sinh nam học violon. Chọn ngẫu nhiên một học sinh.
a) Tính xác suất để học sinh này là nam và chơi violon.
b) Tính xác suất để học sinh này học violon.

Kiến thức cần nhớ

Công thức nhân xác suất: $P (A B) = P (B) \cdot P (A ∣ B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$ .
Công thức xác suất toàn phần: $P (B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) + P (\overline{A}) \cdot P (B ∣ \overline{A})$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 6.19★★Trang 46— Xác suất có điều kiện — hai nhóm giao nhau

Bài 6.19 (trang 46). Một kì thi Toán có hai bài. Một bài thi theo hình thức trắc nghiệm. Một bài theo hình thức tự luận. Một lớp có

30

học sinh tham dự kì thi đó. Kết quả là

25

học sinh đạt bài thi trắc nghiệm,

26

học sinh đạt bài thi tự luận;

3

học sinh không đạt cả hai bài. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính xác suất để:
a) Học sinh đó đạt bài thi tự luận, biết rằng học sinh đó đạt bài thi trắc nghiệm.
b) Học sinh đó đạt bài thi trắc nghiệm, biết rằng học sinh đó đạt bài thi tự luận.

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng: $n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A B)$ .
Xác suất có điều kiện: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ với $P (B) > 0$ ; khi các kết quả đồng khả năng, $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 6.20★★Trang 46— Xác suất có điều kiện đọc từ bảng số liệu

Bài 6.20 (trang 46). Thống kê kết quả của một đội bóng X trong

37

trận tại giải vô địch quốc gia ta có kết quả sau:

	Thắng	Hoà	Thua
Sân nhà	11	5	3
Sân khách	6	8	4

Chọn ngẫu nhiên một trận. Tính xác suất để:
a) Đó là trận thắng nếu biết rằng trận đó đá trên sân nhà.
b) Đó là trận đá trên sân nhà nếu biết rằng trận đó thắng.

Kiến thức cần nhớ

Xác suất có điều kiện: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ với $P (B) > 0$ ; khi các kết quả đồng khả năng, $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
Công thức Bayes: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 6.21★★★Trang 47— Xác suất có điều kiện đọc từ bảng hai chiều

Bài 6.21 (trang 47). Thống kê về số vật nuôi trong

98

hộ gia đình ta có kết quả sau:

Số vật nuôi \ Số người trong hộ	2	3	4	$\geq 5$
0	4	6	7	3
1	4	11	12	6
2	2	9	11	7
$\geq 3$	1	3	7	5

Chọn ngẫu nhiên một hộ gia đình. Tính xác suất để:
a) Hộ đó nuôi

2

vật nuôi biết rằng hộ đó có

4

người;
b) Hộ đó có

3

người biết rằng hộ đó có ít nhất

2

vật nuôi;
c) Hộ đó có ít nhất một vật nuôi, biết rằng hộ đó có ít nhất

4

người.

Kiến thức cần nhớ

Xác suất có điều kiện: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ với $P (B) > 0$ ; khi các kết quả đồng khả năng, $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
$P (\overline{A} ∣ B) = 1 - P (A ∣ B)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 6.22★★Trang 47— Xác suất có điều kiện — đếm trên không gian mẫu hữu hạn

Bài 6.22 (trang 47). Có

3

hộp, mỗi hộp chứa ba tấm thẻ đánh số

1

2

3

. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Xét các biến cố sau:

A

: “Tổng số ghi trên các tấm thẻ là

6

”;

B

: “Ba tấm thẻ có số ghi bằng nhau”.
Tính

P (A ∣ B)

P (B ∣ A)

Kiến thức cần nhớ

Xác suất có điều kiện: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}$ với $P (B) > 0$ ; khi các kết quả đồng khả năng, $P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
Công thức Bayes: $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )}$ .