Chương VI. Xác suất có điều kiện

Bài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang44–45 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 6.7★★Trang 44— Công thức xác suất toàn phần — chọn người từ hai nhóm

Bài 6.7 (trang 44). Trong kì thi học sinh giỏi quốc gia, tỉnh X có hai đội tuyển môn Toán và môn Ngữ văn tham dự. Đội tuyển Toán có

10

em, đội tuyển Ngữ văn có

8

em. Xác suất có giải của mỗi em trong đội tuyển Toán là

0, 8

; trong đội tuyển Ngữ văn là

0, 7

. Sau giải lấy ngẫu nhiên một em của tỉnh X trong số các em thi học sinh giỏi môn Toán và môn Ngữ văn. Tính xác suất để em đó là một em được giải.

Kiến thức cần nhớ

Công thức xác suất toàn phần: $P (B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) + P (\overline{A}) \cdot P (B ∣ \overline{A})$ .
Sơ đồ hình cây: xác suất của một đường đi bằng tích các xác suất ghi trên các nhánh; cộng các đường đi cùng dẫn tới một biến cố.

🧠 Phân tích tư duy

Em được chọn thuộc một trong hai đội, mỗi đội có xác suất được giải riêng — dấu hiệu của công thức xác suất toàn phần với hệ

{A, \overline{A}}

. Chọn ngẫu nhiên 1 trong 18 em nên

P (A) = \frac{10}{18}

, không phải

\frac{1}{2}

. Bẫy: lấy trung bình cộng

\frac{0 , 8 + 0 , 7}{2} = 0, 75

1Cách 1. Công thức xác suất toàn phần

Định hướng. $A$ : “Em đó thuộc đội tuyển Toán”; $B$ : “Em đó được giải”.

P (A) = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}

P (\overline{A}) = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}

P (B ∣ A) = 0, 8

P (B ∣ \overline{A}) = 0, 7

P (B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) + P (\overline{A}) \cdot P (B ∣ \overline{A})

P (B) = \frac{5}{9} \cdot 0, 8 + \frac{4}{9} \cdot 0, 7 = \frac{4}{9} + \frac{2 , 8}{9} = \frac{6 , 8}{9} = \frac{34}{45} \approx 0, 7556

Vậy xác suất để em đó được giải là $\frac{34}{45} \approx 0, 7556$ .

2Cách 2. Số em được giải trung bình

Định hướng. Chọn ngẫu nhiên 1 trong 18 em nên xác suất bằng số em được giải trung bình chia cho 18.

Đội Toán:

10 \cdot 0, 8 = 8

em; đội Ngữ văn:

8 \cdot 0, 7 = 5, 6

P (B) = \frac{8 + 5 , 6}{18} = \frac{13 , 6}{18} = \frac{136}{180} = \frac{34}{45}

Vậy $P (B) = \frac{34}{45}$ .

3Cách 3. Sơ đồ hình cây

Định hướng. Tầng 1 chọn đội, tầng 2 được giải hay không; cộng hai đường đi tới $B$ .

Đường

O A B

\frac{5}{9} \cdot 0, 8 = \frac{4}{9}

Đường

O \overline{A} B

\frac{4}{9} \cdot 0, 7 = \frac{14}{45}

P (B) = \frac{20}{45} + \frac{14}{45} = \frac{34}{45}

Vậy $P (B) = \frac{34}{45} \approx 0, 7556$ .

Nhận xét. $P (B)$ là trung bình có trọng số của $0, 8$ và $0, 7$ với trọng số $\frac{10}{18}$ , $\frac{8}{18}$ nên nằm giữa hai số đó và gần $0, 8$ hơn (đội Toán đông hơn).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: hai phép nhân và một phép chia, không phải viết phân số trung gian; Cách 1 là cách trình bày chuẩn theo công thức.

Đáp số.

P (B) = \frac{34}{45} \approx 0, 7556

Sai lầm thường gặp. Lấy

P (A) = \frac{1}{2}

(coi hai đội ngang nhau) sẽ ra

0, 75

— sai vì đề chọn một em trong

18

em; hoặc cộng thẳng

0, 8 + 0, 7

ra số lớn hơn

1

🚀 Mở rộng. Biết em được chọn đã được giải, xác suất em đó thuộc đội Toán là

\frac{8}{13 , 6} = \frac{10}{17}

(công thức Bayes).

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 6.8★★★Trang 45— Công thức xác suất toàn phần — ba kết quả thắng, hòa, thua

Bài 6.8 (trang 45). Giải ngoại hạng Anh có

20

đội. Hiện tại đội Tottenham xếp vị trí thứ

8

. Trong trận tới nếu gặp đội xếp trên thì Tottenham có xác suất thắng là

0, 2

; xác suất thua là

0, 5

. Nếu gặp đội xếp dưới thì Tottenham có xác suất thắng là

0, 5

và xác suất thua là

0, 3

. Bốc thăm ngẫu nhiên một đội đấu với đội Tottenham trong trận tới. Tính xác suất để đội Tottenham hòa trong trận tới.

Kiến thức cần nhớ

Công thức xác suất toàn phần: $P (B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) + P (\overline{A}) \cdot P (B ∣ \overline{A})$ .
Với $W$ : “thắng”, $H$ : “hòa”, $L$ : “thua” — ba biến cố xung khắc, phủ kín nên $P (H ∣ A) = 1 - P (W ∣ A) - P (L ∣ A)$ .
Sơ đồ hình cây: xác suất của một đường đi bằng tích các xác suất ghi trên các nhánh; cộng các đường đi cùng dẫn tới một biến cố.

🧠 Phân tích tư duy

Đối thủ là một trong

19

đội còn lại:

7

đội xếp trên,

12

đội xếp dưới — đó là hệ

{A, \overline{A}}

. Đề không cho trực tiếp xác suất hòa, nhưng thắng, hòa, thua là ba kết quả xung khắc phủ kín nên

P (H ∣ A) = 1 - 0, 2 - 0, 5

. Bẫy: đếm

20

đội (tính cả Tottenham) hoặc

8

đội xếp trên.

1Cách 1. Công thức xác suất toàn phần

Định hướng. $A$ : “Tottenham gặp đội xếp trên”; $H$ : “Tottenham hòa”.

P (A) = \frac{7}{19}

P (\overline{A}) = \frac{12}{19}

P (H ∣ A) = 1 - 0, 2 - 0, 5 = 0, 3

P (H ∣ \overline{A}) = 1 - 0, 5 - 0, 3 = 0, 2

P (H) = \frac{7}{19} \cdot 0, 3 + \frac{12}{19} \cdot 0, 2 = \frac{2 , 1 + 2 , 4}{19} = \frac{4 , 5}{19} = \frac{9}{38} \approx 0, 2368

Vậy xác suất Tottenham hòa là $\frac{9}{38} \approx 0, 2368$ .

2Cách 2. Đi qua biến cố đối — tính thắng và thua trước

Định hướng. Đề cho sẵn xác suất thắng và thua; với $W$ : “Tottenham thắng”, $L$ : “Tottenham thua”, tính $P (W)$ , $P (L)$ bằng toàn phần rồi lấy phần còn lại.

P (W) = \frac{7}{19} \cdot 0, 2 + \frac{12}{19} \cdot 0, 5 = \frac{1 , 4 + 6}{19} = \frac{7 , 4}{19}

P (L) = \frac{7}{19} \cdot 0, 5 + \frac{12}{19} \cdot 0, 3 = \frac{3 , 5 + 3 , 6}{19} = \frac{7 , 1}{19}

P (H) = 1 - \frac{7 , 4}{19} - \frac{7 , 1}{19} = \frac{19 - 14 , 5}{19} = \frac{4 , 5}{19} = \frac{9}{38}

Vậy $P (H) = \frac{9}{38}$ .

3Cách 3. Số trận hòa trung bình trên 19 đối thủ

Định hướng. Mỗi đối thủ được bốc với cùng xác suất $\frac{1}{19}$ , nên $P (H)$ bằng tổng xác suất hòa với từng đội chia 19.

Với

7

đội xếp trên:

7 \cdot 0, 3 = 2, 1

Với

12

đội xếp dưới:

12 \cdot 0, 2 = 2, 4

P (H) = \frac{2 , 1 + 2 , 4}{19} = \frac{4 , 5}{19} = \frac{9}{38}

Vậy $P (H) = \frac{9}{38} \approx 0, 2368$ .

Nhận xét. Cách 2 là phép thử lại tự nhiên: $P (W) + P (L) + P (H) = \frac{7 , 4 + 7 , 1 + 4 , 5}{19} = 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính ngay xác suất hòa có điều kiện rồi thay vào công thức, chỉ một dòng; Cách 2 dùng để thử lại.

Đáp số.

P (H) = \frac{9}{38} \approx 0, 2368

Sai lầm thường gặp. Lấy

P (A) = \frac{7}{20}

hoặc

\frac{8}{19}

— sai vì Tottenham không tự đấu với mình và chỉ có

7

đội xếp trên; hoặc quên tính

P (H ∣ A)

, lấy nhầm

0, 2

(xác suất thắng) làm xác suất hòa.

🚀 Mở rộng. Biết trận tới Tottenham hòa, xác suất đối thủ là đội xếp trên là

\frac{2 , 1}{4 , 5} = \frac{7}{15}

(công thức Bayes).

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 6.9★★Trang 45— Công thức xác suất toàn phần — lấy qua hai túi

Bài 6.9 (trang 45). Có hai túi kẹo. Túi I có

3

chiếc kẹo sô cô la đen và

2

chiếc kẹo sô cô la trắng. Túi II có

4

chiếc kẹo sô cô la đen và

3

chiếc kẹo sô cô la trắng. Từ túi I lấy ngẫu nhiên một chiếc kẹo. Nếu là chiếc kẹo sô cô la đen thì thêm

2

chiếc kẹo sô cô la đen vào túi II. Nếu là chiếc kẹo sô cô la trắng thì thêm hai chiếc kẹo sô cô la trắng vào túi II. Sau đó từ túi II lấy ngẫu nhiên một chiếc kẹo. Tính xác suất để lấy được chiếc kẹo sô cô la trắng.

Kiến thức cần nhớ

Công thức xác suất toàn phần: $P (B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) + P (\overline{A}) \cdot P (B ∣ \overline{A})$ .
Sơ đồ hình cây: xác suất của một đường đi bằng tích các xác suất ghi trên các nhánh; cộng các đường đi cùng dẫn tới một biến cố.

🧠 Phân tích tư duy

Thành phần túi II phụ thuộc vào kẹo lấy ở túi I — dấu hiệu chia trường hợp theo lần lấy thứ nhất rồi dùng xác suất toàn phần. Mỗi trường hợp túi II đều có

9

chiếc nhưng số kẹo trắng khác nhau (

3

hoặc

5

). Bẫy: quên rằng thêm

2

chiếc chứ không phải

1

1Cách 1. Công thức xác suất toàn phần

Định hướng. $A$ : “Lấy được kẹo đen từ túi I”; $T$ : “Lấy được kẹo trắng từ túi II”.

P (A) = \frac{3}{5}

P (\overline{A}) = \frac{2}{5}

A

xảy ra: túi II có

6

đen,

3

trắng

\Rightarrow P (T ∣ A) = \frac{3}{9}

\overline{A}

xảy ra: túi II có

4

đen,

5

trắng

\Rightarrow P (T ∣ \overline{A}) = \frac{5}{9}

P (T) = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{9} + \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{9}{45} + \frac{10}{45} = \frac{19}{45} \approx 0, 4222

Vậy xác suất lấy được kẹo sô cô la trắng là $\frac{19}{45}$ .

2Cách 2. Đếm kết quả đồng khả năng

Định hướng. Coi các chiếc kẹo là phân biệt: mỗi cặp (kẹo túi I, kẹo túi II sau khi thêm) đồng khả năng.

n (Ω) = 5 \cdot 9 = 45

Kẹo đen ở túi I, kẹo trắng ở túi II:

3 \cdot 3 = 9

cặp
Kẹo trắng ở túi I, kẹo trắng ở túi II:

2 \cdot 5 = 10

cặp

P (T) = \frac{9 + 10}{45} = \frac{19}{45}

Vậy $P (T) = \frac{19}{45}$ .

3Cách 3. Sơ đồ hình cây

Định hướng. Tầng 1 là màu kẹo lấy từ túi I, tầng 2 là màu kẹo lấy từ túi II; cộng hai đường đi tới $T$ .

Đường

O A T

\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{9} = \frac{1}{5}

Đường

O \overline{A} T

\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{9} = \frac{2}{9}

P (T) = \frac{1}{5} + \frac{2}{9} = \frac{9 + 10}{45} = \frac{19}{45}

Vậy $P (T) = \frac{19}{45} \approx 0, 4222$ .

Nhận xét. Nếu không thêm kẹo thì $P (T) = \frac{3}{7} \approx 0, 4286$ ; việc thêm kẹo cùng màu làm túi II “nghiêng” về màu đã rút ở túi I.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (hoặc cây ở Cách 3): hai trường hợp rõ ràng, khó sót; Cách 2 đẹp nhưng chỉ dùng được khi mọi nhánh cùng số kẹo.

Đáp số.

P (T) = \frac{19}{45} \approx 0, 4222

Sai lầm thường gặp. Chỉ thêm

1

chiếc vào túi II (được

P (T ∣ A) = \frac{3}{8}

P (T ∣ \overline{A}) = \frac{4}{8}

); hoặc vẫn dùng mẫu

7

của túi II ban đầu.

🚀 Mở rộng. Biết kẹo lấy từ túi II là kẹo trắng, xác suất kẹo lấy từ túi I cũng là kẹo trắng bằng

\frac{10}{19}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 6.10★★Trang 45— Công thức Bayes — truy nguồn gốc phế phẩm

Bài 6.10 (trang 45). Trong một nhà máy có hai phân xưởng. Phân xưởng I sản xuất

40%

sản phẩm. Phân xưởng II sản xuất

60%

sản phẩm. Xác suất làm ra phế phẩm của hai phân xưởng I và II tương ứng là

0, 05

và

0, 02

. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm của nhà máy thì đó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó là do phân xưởng I sản xuất.

Kiến thức cần nhớ

Công thức Bayes (với $P (B) > 0$ ): $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A ) + P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )} = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )}$ .
Công thức xác suất toàn phần: $P (B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) + P (\overline{A}) \cdot P (B ∣ \overline{A})$ .
Dạng tỉ số của công thức Bayes: $\frac{P ( A ∣ B )}{P ( A ∣ B )} = \frac{P ( A )}{P ( A )} \cdot \frac{P ( B ∣ A )}{P ( B ∣ A )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đã biết kết quả (là phế phẩm), hỏi nguyên nhân (do phân xưởng nào) — đúng hình mẫu của công thức Bayes. Mẫu số là xác suất toàn phần của biến cố “phế phẩm”. Bẫy: trả lời

0, 05

hoặc

0, 4

1Cách 1. Công thức Bayes

Định hướng. $A$ : “Sản phẩm do phân xưởng I sản xuất”; $B$ : “Sản phẩm là phế phẩm”.

P (A) = 0, 4

P (\overline{A}) = 0, 6

P (B ∣ A) = 0, 05

P (B ∣ \overline{A}) = 0, 02

P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A ) + P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}

P (A ∣ B) = \frac{0 , 4 \cdot 0 , 05}{0 , 4 \cdot 0 , 05 + 0 , 6 \cdot 0 , 02} = \frac{0 , 02}{0 , 02 + 0 , 012} = \frac{0 , 02}{0 , 032} = \frac{5}{8}

Vậy xác suất phế phẩm đó do phân xưởng I sản xuất là $\frac{5}{8} = 0, 625$ .

2Cách 2. Tần số trên 1 000 sản phẩm

Định hướng. Đếm số phế phẩm của từng phân xưởng trong một lô lớn.

	Phế phẩm	Không phế phẩm	Tổng
Phân xưởng I	$20$	$380$	$400$
Phân xưởng II	$12$	$588$	$600$
Tổng	$32$	$968$	$1000$

P (A ∣ B) = \frac{20}{20 + 12} = \frac{20}{32} = \frac{5}{8}

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{5}{8}$ .

3Cách 3. Tỉ số khả năng (odds)

Định hướng. Tỉ số “xưởng I : xưởng II” sau khi biết là phế phẩm bằng tỉ số ban đầu nhân tỉ số tỉ lệ phế phẩm.

\frac{P ( A ∣ B )}{P ( A ∣ B )} = \frac{0 , 4}{0 , 6} \cdot \frac{0 , 05}{0 , 02} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2} = \frac{5}{3}

P (A ∣ B) = \frac{5}{5 + 3} = \frac{5}{8}

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{5}{8}$ .

Nhận xét. Xưởng I chỉ làm $40%$ sản phẩm nhưng gánh $62, 5%$ số phế phẩm vì tỉ lệ hỏng cao gấp $2, 5$ lần xưởng II.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: một phép nhân hai tỉ số ra ngay

5 : 3

; Cách 1 là cách trình bày chuẩn khi cần viết đủ công thức.

Đáp số.

P (A ∣ B) = \frac{5}{8} = 0, 625

Sai lầm thường gặp. Nhầm

P (A ∣ B)

với

P (B ∣ A) = 0, 05

; hoặc mẫu số chỉ lấy

0, 05 + 0, 02

(quên nhân với

0, 4

và

0, 6

) để ra

\frac{5}{7}

🚀 Mở rộng. Nếu sản phẩm được chọn không phải phế phẩm thì xác suất nó do phân xưởng I sản xuất là

\frac{0 , 38}{0 , 38 + 0 , 588} = \frac{95}{242} \approx 0, 3926

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 6.11★★Trang 45— Công thức Bayes — chọn ngăn bằng xúc xắc

Bài 6.11 (trang 45). Giá sách của Dũng có hai ngăn. Ngăn trên có

3

cuốn tiểu thuyết của các nhà văn Việt Nam và

2

cuốn tiểu thuyết của các nhà văn nước ngoài. Ngăn dưới chứa

4

cuốn tiểu thuyết của các nhà văn Việt Nam và

1

cuốn tiểu thuyết của nhà văn nước ngoài. Dũng chọn một cuốn sách để mang theo khi đi du lịch theo cách sau: Tung một con xúc xắc cân đối. Nếu số chấm xuất hiện là

1

hoặc

2

thì chọn ngăn trên, nếu trái lại thì chọn ngăn dưới. Sau đó từ ngăn đã chọn lấy ngẫu nhiên một cuốn sách. Biết rằng cuốn sách Dũng chọn được là cuốn tiểu thuyết của nhà văn nước ngoài. Tính xác suất để cuốn sách thuộc ngăn trên.

Kiến thức cần nhớ

Công thức Bayes (với $P (B) > 0$ ): $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A ) + P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )} = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )}$ .
Công thức xác suất toàn phần: $P (B) = P (A) \cdot P (B ∣ A) + P (\overline{A}) \cdot P (B ∣ \overline{A})$ .
Dạng tỉ số của công thức Bayes: $\frac{P ( A ∣ B )}{P ( A ∣ B )} = \frac{P ( A )}{P ( A )} \cdot \frac{P ( B ∣ A )}{P ( B ∣ A )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biết cuốn sách là tiểu thuyết nước ngoài, hỏi nó ở ngăn nào — công thức Bayes. Xác suất chọn ngăn trên là

\frac{2}{6} = \frac{1}{3}

(do xúc xắc), không phải

\frac{1}{2}

. Bẫy: gộp hai ngăn thành

10

cuốn rồi lấy

\frac{2}{3}

vì ngăn trên có

2

trong

3

cuốn nước ngoài.

1Cách 1. Công thức Bayes

Định hướng. $A$ : “Cuốn sách thuộc ngăn trên”; $B$ : “Cuốn sách là tiểu thuyết của nhà văn nước ngoài”.

P (A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

P (\overline{A}) = \frac{2}{3}

P (B ∣ A) = \frac{2}{5}

P (B ∣ \overline{A}) = \frac{1}{5}

P (A ∣ B) = \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5}} = \frac{\frac{2}{15}}{\frac{2}{15} + \frac{2}{15}} = \frac{1}{2}

Vậy xác suất để cuốn sách thuộc ngăn trên là $\frac{1}{2}$ .

2Cách 2. Đếm kết quả đồng khả năng

Định hướng. Mỗi ngăn có đúng 5 cuốn nên mỗi cặp (mặt xúc xắc, cuốn sách của ngăn tương ứng) đồng khả năng.

n (Ω) = 6 \cdot 5 = 30

Mặt

1

hoặc

2

, sách nước ngoài ở ngăn trên:

2 \cdot 2 = 4

kết quả
Mặt

3

đến

6

, sách nước ngoài ở ngăn dưới:

4 \cdot 1 = 4

kết quả

P (A ∣ B) = \frac{4}{4 + 4} = \frac{1}{2}

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{1}{2}$ .

3Cách 3. Tỉ số khả năng (odds)

Định hướng. Tỉ số “ngăn trên : ngăn dưới” sau khi biết sách nước ngoài bằng tỉ số ban đầu nhân tỉ số hai tỉ lệ sách nước ngoài.

\frac{P ( A ∣ B )}{P ( A ∣ B )} = \frac{1/3}{2/3} \cdot \frac{2/5}{1/5} = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1

P (A ∣ B) = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{1}{2}$ .

Nhận xét. Ngăn trên bị chọn ít hơn một nửa ( $\frac{1}{3}$ ) nhưng có tỉ lệ sách nước ngoài gấp đôi, hai yếu tố bù trừ đúng nhau nên kết quả là $\frac{1}{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhẩm được ngay

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

; Cách 1 là cách trình bày chuẩn khi phải viết đủ công thức.

Đáp số.

P (A ∣ B) = \frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Lấy

P (A) = \frac{1}{2}

(quên xúc xắc) ra

\frac{2}{3}

; hoặc gộp

10

cuốn thành một kho rồi tính

\frac{2}{3}

— sai vì hai ngăn không được chọn với cùng khả năng.

🚀 Mở rộng. Nếu cuốn sách chọn được là tiểu thuyết của nhà văn Việt Nam thì xác suất nó thuộc ngăn trên là

\frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} + \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}} = \frac{3}{11}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 6.12★★★Trang 45— Công thức Bayes — hai câu hỏi ngược với biến cố đối

Bài 6.12 (trang 45). Có hai chuồng thỏ. Chuồng I có

12

con thỏ trắng và

13

con thỏ nâu. Chuồng II có

14

con thỏ trắng và

11

con thỏ nâu. Tung một con xúc xắc cân đối. Nếu xuất hiện mặt

6

chấm thì ta chọn chuồng I, nếu trái lại ta chọn chuồng II. Từ chuồng chọn được bắt ngẫu nhiên một con thỏ.
a) Giả sử bắt được con thỏ trắng. Tính xác suất để đó là con thỏ của chuồng II.
b) Giả sử bắt được con thỏ nâu. Tính xác suất để đó là con thỏ của chuồng I.

Kiến thức cần nhớ

Công thức Bayes (với $P (B) > 0$ ): $P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A ) + P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )} = \frac{P ( A ) \cdot P ( B ∣ A )}{P ( B )}$ .
$P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ và $P (\overline{B} ∣ A) = 1 - P (B ∣ A)$ .
Dạng tỉ số của công thức Bayes: $\frac{P ( A ∣ B )}{P ( A ∣ B )} = \frac{P ( A )}{P ( A )} \cdot \frac{P ( B ∣ A )}{P ( B ∣ A )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai câu đều biết màu thỏ, hỏi chuồng — công thức Bayes, dùng hai lần: với

T

(thỏ trắng) và với

\overline{T}

(thỏ nâu). Xác suất chọn chuồng II là

\frac{5}{6}

nên chuồng II áp đảo. Bẫy: ở câu b) dùng nhầm tỉ lệ thỏ trắng.

1Cách 1. Công thức Bayes

Định hướng. $A$ : “Chọn được chuồng II”; $T$ : “Bắt được thỏ trắng”, $\overline{T}$ : “Bắt được thỏ nâu”.

P (A) = \frac{5}{6}

P (\overline{A}) = \frac{1}{6}

P (T ∣ A) = \frac{14}{25}

P (T ∣ \overline{A}) = \frac{12}{25}

P (A ∣ T) = \frac{\frac{5}{6} \cdot \frac{14}{25}}{\frac{5}{6} \cdot \frac{14}{25} + \frac{1}{6} \cdot \frac{12}{25}} = \frac{70}{70 + 12} = \frac{70}{82} = \frac{35}{41} \approx 0, 8537

P (\overline{A} ∣ \overline{T}) = \frac{\frac{1}{6} \cdot \frac{13}{25}}{\frac{1}{6} \cdot \frac{13}{25} + \frac{5}{6} \cdot \frac{11}{25}} = \frac{13}{13 + 55} = \frac{13}{68} \approx 0, 1912

Vậy a) $\frac{35}{41}$ ; b) $\frac{13}{68}$ .

2Cách 2. Đếm kết quả đồng khả năng

Định hướng. Mỗi chuồng có đúng 25 con nên mỗi cặp (mặt xúc xắc, con thỏ của chuồng tương ứng) đồng khả năng.

	Thỏ trắng	Thỏ nâu	Tổng
Chuồng I (mặt 6)	$1 \cdot 12 = 12$	$1 \cdot 13 = 13$	$25$
Chuồng II (mặt 1–5)	$5 \cdot 14 = 70$	$5 \cdot 11 = 55$	$125$
Tổng	$82$	$68$	$150$

P (A ∣ T) = \frac{70}{82} = \frac{35}{41}

P (\overline{A} ∣ \overline{T}) = \frac{13}{68}

Vậy a) $\frac{35}{41}$ ; b) $\frac{13}{68}$ .

3Cách 3. Tỉ số khả năng (odds)

Định hướng. Nhân tỉ số ban đầu giữa hai chuồng với tỉ số tỉ lệ màu thỏ tương ứng.

\frac{P ( A ∣ T )}{P ( A ∣ T )} = \frac{5}{1} \cdot \frac{14}{12} = \frac{70}{12} \Rightarrow P (A ∣ T) = \frac{70}{82} = \frac{35}{41}

\frac{P ( A ∣ T )}{P ( A ∣ T )} = \frac{1}{5} \cdot \frac{13}{11} = \frac{13}{55} \Rightarrow P (\overline{A} ∣ \overline{T}) = \frac{13}{68}

Vậy a) $\frac{35}{41} \approx 0, 8537$ ; b) $\frac{13}{68} \approx 0, 1912$ .

Nhận xét. Bảng ở Cách 2 cho thấy ngay vì sao b) nhỏ: trong $68$ “khả năng” bắt được thỏ nâu chỉ có $13$ khả năng thuộc chuồng I.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một bảng

2 \times 2

trả lời được cả hai câu, số nguyên nên không sai; Cách 1 là cách trình bày chuẩn.

Đáp số. a)

\frac{35}{41} \approx 0, 8537

. b)

\frac{13}{68} \approx 0, 1912

Sai lầm thường gặp. Lấy

P (A) = \frac{1}{2}

(coi hai chuồng như nhau) được a)

\frac{14}{26}

— sai vì xúc xắc chọn chuồng II với xác suất

\frac{5}{6}

; hoặc ở câu b) vẫn dùng

\frac{12}{25}

\frac{14}{25}

thay vì

\frac{13}{25}

\frac{11}{25}

🚀 Mở rộng. Xác suất bắt được thỏ trắng là

P (T) = \frac{82}{150} = \frac{41}{75}

; kiểm tra lại:

P (A ∣ T) \cdot P (T) = \frac{35}{41} \cdot \frac{41}{75} = \frac{7}{15} = \frac{5}{6} \cdot \frac{14}{25}

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 18. Xác suất có điều kiện Bài tiếp theo ›Bài tập cuối chương VI

📚 Cùng chương: Chương VI. Xác suất có điều kiện

Bài 18. Xác suất có điều kiện
▶ Bài 19. Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes
Bài tập cuối chương VI