Chủ đề 3. Làm quen với hình phẳng, hình khối

Bài 17. Hình tròn. Tâm, bán kính, đường kính của hình tròn

SGK Toán 3 — Kết nối tri thức, tập 1 · 4 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán3 #ChủĐề3 #SGK_Tập1 #trang52–53 #CùngBàiBênSBT #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong VỞ BÀI TẬP →

Bài 1 · Khám phá★Trang 52— Nhận biết tâm, bán kính, đường kính của hình tròn và cách vẽ đường tròn bằng com pa

Khám phá (trang 52). Bạn nhỏ: “Mình dùng cái đĩa để vẽ đường tròn đấy.” Rô-bốt: “Bạn hãy dùng com pa nhé.”
a) Hình tròn tâm O, bán kính OM, đường kính AB (hình vẽ).
• Tâm O là trung điểm của đường kính AB.
• Đường kính dài gấp hai lần bán kính.
b) Dùng com pa vẽ đường tròn tâm O.

Kiến thức cần nhớ

Hình tròn tâm O có mọi điểm trên đường tròn cách O một khoảng bằng nhau, khoảng cách đó là bán kính.
Đường kính là đoạn thẳng đi qua tâm, nối hai điểm trên đường tròn; đường kính dài gấp hai lần bán kính.

🧠 Phân tích tư duy

Hình vẽ cho một đường tròn với ba điểm A, O, B thẳng hàng (O ở chính giữa) và một điểm M nữa trên đường tròn nối với O. Dấu hiệu nhận ra ngay: O cách đều A, B, M nên O là tâm, OA = OB = OM đều là bán kính, còn AB đi qua tâm nên là đường kính. Muốn vẽ được đúng một đường tròn như vậy, phải giữ khoảng cách từ tâm đến mọi điểm trên đường tròn bằng nhau tuyệt đối — đó là lý do cần dùng com pa hoặc một vật có sẵn hình tròn.

1Cách 1. Dùng com pa để vẽ đường tròn tâm O

Định hướng. Com pa giữ nguyên khoảng cách giữa hai đầu trong suốt vòng quay nên vẽ ra đường tròn đúng tâm, đúng bán kính.

Mở com pa sao cho khoảng cách giữa đầu kim và đầu chì bằng bán kính đã chọn.
Đặt đầu kim cố định đúng tại điểm O.
Giữ nguyên độ mở, xoay đầu chì quay đúng một vòng quanh O.

Vậy ta được một đường tròn tâm O, mọi điểm trên đường tròn (chẳng hạn M) đều cách O đúng bằng bán kính đã mở.

2Cách 2. Vẽ theo vật có sẵn hình tròn rồi xác định tâm O

Định hướng. Khi không có com pa, đặt một vật hình tròn (cái đĩa) lên giấy rồi vẽ theo đúng mép ngoài của nó cũng được một đường tròn.

Đặt đĩa lên giấy, dùng bút vẽ sát theo đường viền ngoài của đĩa.
Cắt rời hình tròn vừa vẽ, gấp đôi tờ giấy hình tròn hai lần theo hai nếp gấp vuông góc nhau.
Mở giấy ra, giao điểm của hai nếp gấp chính là tâm O của đường tròn.

Vậy cũng vẽ được đường tròn tâm O như Cách 1, nhưng bán kính lúc này phụ thuộc vào cỡ đĩa đã chọn, không tự đặt trước được.

Nhận xét. Cách 1 chủ động chọn được đúng số đo bán kính, còn Cách 2 chỉ vẽ theo vật có sẵn nên không chọn được số đo tuỳ ý.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Khi đề cho sẵn số đo bán kính thì nên dùng Cách 1 (com pa) vì mở đúng số đo và giữ nguyên trong suốt vòng quay; Cách 2 chỉ tiện khi có sẵn vật tròn và không cần đúng số đo cụ thể.

Đáp số. Vẽ được đường tròn tâm O theo hai cách; hình tròn tâm O có bán kính OM, đường kính AB, với O là trung điểm của AB và AB dài gấp hai lần OM.

Sai lầm thường gặp. Khi quay com pa, tay ấn lệch làm đầu kim xê dịch khỏi điểm O giữa chừng — khoảng cách từ tâm đến các điểm trên hình không còn bằng nhau, hình vẽ ra méo chứ không phải một đường tròn thật sự.

🚀 Mở rộng. Nếu chọn bán kính OM lớn gấp đôi thì đường kính AB mới sẽ lớn gấp đôi đường kính AB cũ — luôn đúng vì đường kính luôn gấp hai lần bán kính, dù bán kính là bao nhiêu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Hoạt động★★Trang 53— Nhận biết tâm, bán kính, đường kính của hình tròn, phân biệt với dây không đi qua tâm

Hoạt động (trang 53). Tìm tâm, bán kính, đường kính của mỗi hình tròn.
a) Hình tròn thứ nhất, có ba điểm M, N, P nằm trên đường tròn (hình vẽ).
b) Hình tròn thứ hai, có bốn điểm A, B, C, D nằm trên đường tròn (hình vẽ).

Kiến thức cần nhớ

Bán kính là đoạn thẳng nối tâm với một điểm nằm trên đường tròn.
Đường kính là đoạn thẳng đi qua đúng tâm, nối hai điểm nằm trên đường tròn.

🧠 Phân tích tư duy

Muốn gọi tên đúng bán kính hay đường kính phải nhìn vào điểm tâm đã được đánh dấu, không phải cứ đoạn thẳng nào cắt ngang hình tròn cũng là đường kính. Ở hình b), đoạn DC tuy cũng nối hai điểm trên đường tròn và cắt đoạn AB, nhưng chỗ cắt đó không trùng với tâm I nên DC KHÔNG phải là đường kính — đây chính là bẫy của bài.

1Cách 1. Quan sát trực tiếp từng đoạn nối với điểm tâm đã cho

Định hướng. Nhìn điểm tâm đã đánh dấu, xét từng đoạn nối tâm với một điểm trên đường tròn để gọi tên bán kính, xét đoạn nào đi qua tâm để gọi tên đường kính.

a) Tâm của hình tròn là điểm O.
Các đoạn OM, ON, OP đều nối tâm O với một điểm trên đường tròn nên đều là bán kính.
Ba điểm M, O, N thẳng hàng nên MN đi qua tâm, MN là đường kính.
b) Tâm của hình tròn là điểm I.
Các đoạn IA, IB nối tâm I với một điểm trên đường tròn nên đều là bán kính.
Ba điểm A, I, B thẳng hàng nên AB đi qua tâm, AB là đường kính.

Vậy hình a) có tâm O, bán kính OM, ON, OP, đường kính MN; hình b) có tâm I, bán kính IA, IB, đường kính AB.

2Cách 2. Kiểm tra tính thẳng hàng qua tâm cho từng đoạn nối hai điểm trên đường tròn

Định hướng. Với mỗi đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn, kiểm tra xem điểm tâm có nằm giữa và thẳng hàng với hai đầu đoạn đó hay không.

a) Đoạn MN: có M, O, N thẳng hàng nên MN đi qua tâm O — MN là đường kính, còn OM, ON, OP là bán kính.
b) Đoạn AB: có A, I, B thẳng hàng nên AB đi qua tâm I — AB là đường kính.
Đoạn DC: điểm I không nằm trên đoạn DC (chỗ DC cắt AB lệch khỏi I) nên DC không đi qua tâm — DC không phải là bán kính hay đường kính.

Vậy hai cách đều cho cùng kết quả: hình a) tâm O, bán kính OM, ON, OP, đường kính MN; hình b) tâm I, bán kính IA, IB, đường kính AB, còn DC chỉ là một dây cung bình thường.

Nhận xét. Cách 2 giúp tránh nhầm dây cung DC với đường kính vì có kiểm tra thẳng hàng qua tâm rõ ràng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2 vì có bước kiểm tra thẳng hàng qua tâm rõ ràng, tránh nhầm dây cung DC với đường kính — lỗi rất dễ mắc ở bài này.

Đáp số. a) Tâm O; bán kính OM, ON, OP; đường kính MN.
b) Tâm I; bán kính IA, IB; đường kính AB (đoạn DC không đi qua tâm I nên không phải là bán kính hay đường kính).

Sai lầm thường gặp. Thấy đoạn DC cũng cắt ngang hình tròn liền tưởng đó là đường kính giống AB — nhưng DC không đi qua đúng điểm tâm I nên không phải là đường kính, chỉ là một đoạn dây cung bình thường.

🚀 Mở rộng. Nếu vẽ thêm điểm E sao cho D, I, E thẳng hàng thì DE mới thực sự là một đường kính khác của hình tròn tâm I — hãy thử vẽ thêm điểm E đó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★★Trang 53— Vẽ đường tròn bằng com pa và xác định bán kính, đường kính trên đường tròn vừa vẽ

Luyện tập 1 (trang 53). a) Vẽ đường tròn tâm O.
b) Vẽ bán kính OA, đường kính CD của đường tròn đó.

Kiến thức cần nhớ

Bán kính là đoạn nối tâm với một điểm nằm trên đường tròn đã vẽ.
Đường kính là đoạn đi qua tâm, hai đầu đều nằm trên đường tròn, và tâm là trung điểm của đường kính.

🧠 Phân tích tư duy

Đề không cho số đo cụ thể nên được chọn bất kỳ bán kính nào để vẽ. Điều quan trọng là thao tác đúng thứ tự: cố định tâm O trước, vẽ đường tròn, rồi mới lấy điểm A trên chính đường tròn đó để có bán kính OA. Cuối cùng lấy hai điểm C, D đối xứng nhau qua O (C, O, D thẳng hàng) để có đường kính CD, không được lấy hai điểm bất kỳ rồi gọi bừa là đường kính.

1Cách 1. Vẽ đường tròn trước rồi mới lấy các điểm trên đường tròn

Định hướng. Vẽ xong đường tròn mới có chỗ để chọn điểm, nên vẽ đường tròn trước rồi mới đánh dấu A, C, D.

Chọn một bán kính bất kỳ, ví dụ 3 cm (đề không cho số đo cụ thể).
Dùng com pa vẽ đường tròn tâm O, bán kính 3 cm.
Lấy một điểm A bất kỳ trên đường tròn, nối O với A, được bán kính OA.
Lấy điểm C trên đường tròn, kẻ đoạn thẳng qua O cắt đường tròn tại điểm D đối diện, được đường kính CD.

Vậy vẽ được đường tròn tâm O với bán kính OA = 3 cm và đường kính CD = 6 cm, trong đó O là trung điểm của CD.

2Cách 2. Vẽ đường kính trước rồi mới quay đường tròn theo đường kính đó

Định hướng. Có thể làm ngược lại: chọn sẵn đường kính CD rồi mới quay com pa qua C (hoặc D) để vẽ đúng đường tròn.

Lấy điểm O bất kỳ, vẽ đoạn thẳng CD dài 6 cm sao cho O là trung điểm (OC = OD = 3 cm).
Đặt đầu kim com pa tại O, mở đúng bằng OC = 3 cm, quay một vòng được đường tròn tâm O.
Lấy thêm một điểm A trên đường tròn vừa vẽ, nối O với A, được bán kính OA.

Vậy hai cách đều cho cùng một đường tròn tâm O, bán kính OA = 3 cm, đường kính CD = 6 cm.

Nhận xét. Dù vẽ đường tròn trước hay vẽ đường kính trước, chỉ cần giữ đúng O là trung điểm và đúng bán kính thì kết quả như nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 (vẽ đường tròn trước) vì com pa tự động giữ đúng bán kính, không phải đo lại xem O có đúng là trung điểm của CD hay không như Cách 2.

Đáp số. Vẽ được đường tròn tâm O, bán kính OA và đường kính CD với O là trung điểm của CD và OA = OC = OD (đều bằng bán kính đã chọn, ví dụ 3 cm).

Sai lầm thường gặp. Vẽ đoạn CD rồi đặt điểm O lệch, không phải trung điểm của CD (OC khác OD) — khi đó CD không đi qua đúng tâm của đường tròn, không còn là đường kính thật sự.

🚀 Mở rộng. Nếu vẽ thêm bán kính OB vuông góc với OA thì bốn đoạn OA, OB, OC, OD sẽ chia hình tròn thành mấy phần bằng nhau?

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 2★★Trang 53— Tính độ dài đường gấp khúc dựa trên bán kính của các hình tròn tiếp xúc nhau

Luyện tập 2 (trang 53). Trong bức tranh sau, mỗi hình tròn đều có bán kính 7 cm. Bọ ngựa đang ở điểm A bò theo đường gấp khúc ABCD để đến chỗ vòi voi ở điểm D. Hỏi bọ ngựa phải bò bao nhiêu xăng-ti-mét?

Kiến thức cần nhớ

Hai hình tròn cùng bán kính tiếp xúc nhau thì khoảng cách giữa hai tâm bằng tổng hai bán kính, tức bằng đường kính.
Đường kính dài gấp hai lần bán kính.

🧠 Phân tích tư duy

Đoạn AB là bán kính của hình tròn thứ nhất (= 7 cm) và đoạn CD là bán kính của hình tròn thứ ba (= 7 cm). Đoạn BC đi thẳng qua tâm O của hình tròn giữa, mà B, O, C lần lượt là tâm ba hình tròn tiếp xúc nhau nên BC gồm hai lần đường kính (BO và OC), không phải chỉ một bán kính — đây là chỗ dễ nhầm nhất của bài.

1Cách 1. Tính từng đoạn theo bán kính rồi cộng dồn theo thứ tự A, B, C, D

Định hướng. Đường gấp khúc ABCD gồm ba đoạn AB, BC, CD; tính từng đoạn theo bán kính 7 cm rồi cộng lại.

Đoạn AB bằng bán kính hình tròn thứ nhất:

A B = 7

(cm)
Độ dài đoạn BO là:

7 + 7 = 14

(cm)
Độ dài đoạn OC là:

7 + 7 = 14

(cm)
Đoạn BC bằng BO cộng OC:

14 + 14 = 28

(cm)
Đoạn CD bằng bán kính hình tròn thứ ba:

C D = 7

(cm)
Đường gấp khúc ABCD dài là:

7 + 28 + 7 = 42

(cm)

Vậy bọ ngựa phải bò 42 xăng-ti-mét.

2Cách 2. Nhận ra cả đường gấp khúc gồm đúng sáu bán kính rồi nhân

Định hướng. AB, BO, OC, CD đều bằng đúng một bán kính (7 cm) và BC = BO + OC gồm hai bán kính, nên cả đường gấp khúc gồm đúng sáu lần bán kính — dùng phép nhân cho nhanh.

Đường gấp khúc ABCD gồm: AB (1 bán kính) + BO (1 bán kính) + OC (1 bán kính) + CD (1 bán kính), tất cả có 6 đoạn bán kính nối tiếp nhau.
Độ dài đường gấp khúc ABCD là:

6 \times 7 = 42

(cm)

Vậy hai cách đều cho bọ ngựa phải bò 42 xăng-ti-mét.

Nhận xét. Cách 2 chỉ cần một phép nhân, nhanh hơn hẳn việc cộng nhiều số hạng liên tiếp của Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2 (6 × 7) vì chỉ có một phép nhân, ít bước tính hơn và khó sai hơn hẳn so với cộng bốn, năm số hạng của Cách 1.

Đáp số. 42 cm.

Sai lầm thường gặp. Quên hai bán kính ở giữa (BO và OC) mà chỉ cộng AB + BC với BC lấy bằng 14 cm thay vì 28 cm, ra kết quả sai 28 cm — vì quên rằng hai hình tròn giữa và phải chỉ tiếp xúc nhau tại đúng một điểm nên BC phải gồm đủ bốn bán kính chứ không phải hai.

🚀 Mở rộng. Nếu bán kính mỗi hình tròn là 9 cm thay vì 7 cm (các hình tròn vẫn tiếp xúc nhau như cũ) thì bọ ngựa phải bò bao nhiêu xăng-ti-mét? (Tính theo cùng cách: