Bài 14. So sánh các số có nhiều chữ số

Định hướng. Đây đúng là quy tắc vừa học ở phần Khám phá: số nào nhiều chữ số hơn thì lớn hơn; nếu bằng số chữ số thì so từng cặp chữ số cùng hàng, kể từ trái sang phải, hàng nào có chữ số lớn hơn trước thì số đó lớn hơn.

Vậy $278992000>278999$; $37338449<37839449$; $3004000<3400000$; $200000000>99999999$; $3405000=3000000+400000+5000$; $650700<6000000+500000+7000$.

Định hướng. Viết hai số thẳng cột theo đúng hàng (đơn vị thẳng đơn vị, chục thẳng chục,...), số nào không đủ chữ số thì các cột bên trái để trống; nhìn theo cột từ trái, cột đầu tiên có hai chữ số khác nhau sẽ quyết định số nào lớn hơn.

Vậy kết quả sáu phép so sánh giống hệt Cách 1: $>$; $<$; $<$; $>$; $=$; $<$.

Định hướng. Sau khi đoán số nào lớn hơn ở Cách 1, lấy đúng số lớn trừ đi số bé; nếu trừ được (không cần mượn thêm ở hàng cao nhất) thì chắc chắn số bị trừ lớn hơn thật, đồng thời biết được hai số hơn kém nhau bao nhiêu đơn vị.

Vậy phép trừ xác nhận đúng cả sáu kết quả đã tìm được ở Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Ba cách đều cho cùng một kết quả; Cách 3 còn cho biết thêm hai số hơn kém nhau đúng bao nhiêu, ví dụ $278992000$ hơn $278999$ đúng $278713001$ đơn vị.

Định hướng. Hai giá tiền đều là số có nhiều chữ số 0, chỉ cần đếm đúng số chữ số của từng số: số nào nhiều chữ số hơn thì lớn hơn, không cần so tiếp chữ số nào khác.

Vậy giá tiền căn nhà của bác Ba ($950000000$ đồng) ít hơn giá tiền căn nhà của chú Sáu ($1000000000$ đồng).

Định hướng. Mỗi số tự nhiên có một hàng cao nhất xác định; số nào đạt tới hàng cao hơn (hàng có giá trị lớn hơn) thì số đó lớn hơn, dù chữ số ở hàng cao nhất của nó có thể bé.

Vậy nhà chú Sáu có giá đạt tới hàng tỉ, cao hơn hẳn hàng trăm triệu của nhà bác Ba nên giá nhà chú Sáu lớn hơn.

Định hướng. Lấy số lớn hơn (dự đoán) trừ số bé hơn (dự đoán); nếu phép trừ thực hiện được và cho một số lớn hơn 0 thì đúng là số bị trừ lớn hơn, đồng thời biết hai số chênh nhau bao nhiêu.

Vậy giá nhà bác Ba cộng thêm $50000000$ đồng nữa mới bằng giá nhà chú Sáu, nên giá nhà chú Sáu lớn hơn: $950000000<1000000000$.

Nhận xét. Ba cách cho cùng một kết luận; Cách 3 còn cho biết thêm hai giá nhà chênh nhau đúng $50000000$ đồng.

Định hướng. Việt nói đúng ở chỗ hai số cùng số chữ số, nhưng khi hai số cùng số chữ số thì phải so từ hàng cao nhất (bên trái) trở đi, không phải so chữ số tận cùng (hàng đơn vị) như Việt đã làm.

Vậy Việt đã so sai chỗ: bạn so chữ số hàng đơn vị (chữ số tận cùng) thay vì so chữ số hàng chục triệu (hàng cao nhất); so đúng thì $37003847$ lớn hơn $23938399$, ngược hẳn với kết luận của Việt.

Định hướng. Muốn chứng tỏ cách so "chữ số tận cùng" của Việt là sai, thử áp dụng đúng cách đó cho một cặp số nhỏ, dễ kiểm tra bằng mắt.

Vậy quy tắc "so chữ số tận cùng" mà Việt dùng là sai; phải so từ hàng cao nhất, nên trong bài của Việt, $37003847$ mới thực sự lớn hơn $23938399$.

Định hướng. Viết hai số thẳng cột theo đúng từng hàng rồi so từng cột bắt đầu từ bên trái; chỉ cần dừng lại ở cột đầu tiên khác nhau, không cần nhìn tới cột cuối cùng (hàng đơn vị).

Vậy chỉ cần so đúng cột đầu tiên (hàng chục triệu) là đủ kết luận, không cần so tới tận cột cuối như Việt đã làm; Việt sai vì so nhầm hàng.

Nhận xét. Ba cách đều chỉ ra cùng một chỗ sai của Việt: so nhầm hàng đơn vị thay vì hàng chục triệu — hàng phải so đầu tiên khi hai số cùng số chữ số.

Định hướng. Ba số lượng đều có nhiều chữ số 0 ở cuối, dễ đọc nhầm; đếm đúng số chữ số của từng số trước, số nào nhiều chữ số hơn thì lớn hơn.

Vậy Lợn được nuôi nhiều nhất, Trâu được nuôi ít nhất.

Định hướng. Không cần so cả ba số cùng lúc: so hai số đầu trước để tìm số lớn hơn, rồi lấy số đó so tiếp với số thứ ba, cứ như vậy sẽ tìm ra số lớn nhất; làm tương tự với phép so "bé hơn" để tìm số bé nhất.

Vậy so từng cặp cũng cho đúng kết quả: Lợn nhiều nhất, Trâu ít nhất.

Định hướng. Lấy số được dự đoán lớn hơn trừ số được dự đoán bé hơn; nếu trừ được và kết quả lớn hơn 0 thì đúng là số bị trừ lớn hơn, cách này giúp kiểm tra lại chắc chắn kết quả của hai cách trên.

Vậy Lợn nhiều nhất, Trâu ít nhất, đúng như Cách 1 và Cách 2 đã tìm được.

Nhận xét. Ba cách đều khẳng định: $2332800<6230500<22027900$, tức Trâu $<$ Bò $<$ Lợn.

Định hướng. Đếm số chữ số của cả bốn số trước để xếp nhanh những số chênh lệch rõ; hai số còn lại bằng số chữ số thì so tiếp từng hàng từ trái sang phải.

Vậy thứ tự từ lớn đến bé là: $1000000000$; $380999999$; $380000982$; $99999999$ — đúng là phương án B.

Định hướng. Không cần xếp lại từ đầu: chỉ cần kiểm tra đúng chỗ dễ nhầm nhất (hai số cùng bắt đầu bằng 380) trong từng phương án, phương án nào xếp sai chỗ đó hoặc xếp sai vị trí số 8 chữ số thì loại ngay.

Vậy phương án đúng là B: $1000000000$; $380999999$; $380000982$; $99999999$.

Định hướng. Viết cả bốn số thẳng cột theo từng hàng (số ít chữ số hơn để trống các cột bên trái); nhìn theo cột từ trái sang phải để xếp thứ tự mà không cần tính toán gì thêm.

Vậy đoàn tàu xếp đúng thứ tự từ lớn đến bé là: $1000000000$; $380999999$; $380000982$; $99999999$ — phương án B.

Nhận xét. Ba cách đều khẳng định phương án B đúng; điểm mấu chốt của bài là không được xếp $99999999$ lên trước hai số 9 chữ số, dù chữ số đầu của nó là 9 (số lớn).

Định hướng. Số có 9 chữ số lớn nhất được ghép từ 9 chữ số đã cho là số mà các chữ số được xếp từ lớn đến bé; số bé nhất là số mà các chữ số được xếp từ bé đến lớn, nhưng chữ số đứng đầu không được là 0.

Vậy a) số lớn nhất lập được là $988731000$; b) số bé nhất lập được là $100037889$.

Định hướng. Muốn số lớn nhất, hàng cao nhất phải nhận chữ số lớn nhất còn lại trong 9 tấm thẻ, hàng kế tiếp nhận chữ số lớn nhất trong số còn lại, cứ thế đến hàng đơn vị; muốn số bé nhất làm tương tự nhưng hàng trăm triệu phải nhận chữ số khác 0 bé nhất.

Vậy điền lần lượt từng hàng cũng cho đúng hai số: $988731000$ và $100037889$, khớp với Cách 1.

Định hướng. Sau khi ghép được hai số, liệt kê lại các chữ số trong mỗi số rồi so với 9 tấm thẻ đề bài cho, để chắc chắn không dùng thừa, dùng thiếu hay bịa thêm chữ số nào.

Vậy cả hai số $988731000$ và $100037889$ đều dùng đúng 9 tấm thẻ đã cho, không thừa không thiếu, xác nhận hai đáp số ở Cách 1 và Cách 2 là chính xác.

Nhận xét. Số lớn nhất và số bé nhất ghép từ cùng 9 chữ số luôn dùng chung một bộ chữ số, chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.

Định hướng. Khung có đúng 9 cọc nên số cần tìm luôn có 9 chữ số; mỗi cọc chỉ nhận được nhiều nhất 9 vòng (vì chữ số lớn nhất là 9). Muốn số lớn nhất với chỉ 12 chiếc vòng, phải dồn vòng vào cọc bên trái (hàng trăm triệu, giá trị cao nhất) nhiều nhất có thể trước, còn dư mới chuyển sang cọc kế tiếp.

Vậy số lớn nhất lập được với 12 chiếc vòng là $930000000$.

Định hướng. Thử chia 12 chiếc vòng theo vài cách khác nhau, so sánh các số lập được để kiểm tra xem cách dồn hết vào một cọc (Cách 1) có thật sự cho số lớn nhất hay không.

Vậy hai cách chia rải vòng ra nhiều cọc đều cho số bé hơn $930000000$, xác nhận dồn tối đa vòng vào cọc bên trái nhất mới lập được số lớn nhất.

Định hướng. Chỉ cần so sánh hai cách xếp khác nhau đúng 1 vòng ở hai cọc liền kề (vẫn giữ tổng 12 vòng) để thấy quy luật: chuyển bớt một vòng từ cọc bên phải sang cọc bên trái (khi cọc trái chưa đầy 9 vòng) luôn làm số lớn thêm.

Vậy cách xếp tối ưu là dồn đầy cọc hàng trăm triệu (9 vòng) trước, phần dư (3 vòng) mới xếp sang cọc hàng chục triệu, đúng như Cách 1 đã làm, cho số lớn nhất là $930000000$.

Nhận xét. Ba cách đều khẳng định số lớn nhất là $930000000$; quy luật chung là dồn nhiều vòng nhất có thể vào cọc có giá trị cao nhất trước, tuyệt đối không rải đều vòng ra nhiều cọc.