Bài 24. Tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng

Định hướng. Đề cho tình huống đổi thứ tự mua hàng nên ta tính số tiền theo cả hai thứ tự rồi so sánh xem có bằng nhau không.

Vậy mua theo thứ tự nào Mi cũng phải trả 35 000 đồng, và cả ba cặp số trong bảng đều có $a+b=b+a$.

Định hướng. Gộp hai nhóm đồ vật lại thành một nhóm chung thì đếm từ nhóm nào trước cũng ra cùng một tổng số lượng, vì không có món nào bị đếm thêm hay bỏ sót.

Vậy đếm gộp theo thứ tự nào cũng ra cùng một số lượng, khớp với các phép cộng ở Cách 1.

Định hướng. Thử thêm những cặp số khác ngoài bảng đã cho để chắc chắn tính chất giao hoán đúng với mọi số, không chỉ ba cặp trong sách.

Vậy dù thay bằng cặp số nào thì $a+b$ và $b+a$ vẫn luôn bằng nhau.

Nhận xét. Khi đổi chỗ các số hạng trong một tổng thì tổng không thay đổi — đây chính là tính chất giao hoán của phép cộng.

Định hướng. Dòng dưới chỉ là đổi chỗ hai số hạng của dòng trên nên tổng không đổi, lấy ngay kết quả đã có mà không cần đặt tính lại.

Vậy a) $279+450=729$; b) $462+7142=7604$; c) $4763+56=4819$.

Định hướng. Đặt tính cộng theo cột cho từng phép tính ở dòng dưới để kiểm tra độc lập, không dựa vào tính chất giao hoán.

Vậy đặt tính lại cũng ra đúng ba kết quả như Cách 1: $729$; $7604$; $4819$.

Định hướng. Tách một số hạng thành các phần tròn chục, tròn trăm rồi cộng dần để tính nhẩm nhanh, không cần đặt tính theo cột.

Vậy tính nhẩm bằng cách tách số cũng cho đúng ba kết quả: $729$; $7604$; $4819$.

Nhận xét. Ba cách khác nhau đều cho cùng kết quả, càng khẳng định chắc chắn tính chất giao hoán của phép cộng.

Định hướng. Ghi lại đúng các đoạn cấu thành mỗi thanh rồi xếp các thanh có cùng các đoạn a, b, c vào một nhóm, vì thứ tự ghép không ảnh hưởng đến tổng độ dài.

Vậy Thanh 1 và Thanh 4 bằng nhau (đều bằng $a+b$); Thanh 2, Thanh 3 và Thanh 6 bằng nhau (đều bằng $a+b+c$); Thanh 5 và Thanh 7 bằng nhau (đều bằng $a+c$).

Định hướng. Chọn thử một bộ số cụ thể cho a, b, c rồi tính độ dài từng thanh bằng số — thanh nào ra cùng một số thì chắc chắn bằng nhau.

Vậy Thanh 1 = Thanh 4 = 13 cm; Thanh 2 = Thanh 3 = Thanh 6 = 19 cm; Thanh 5 = Thanh 7 = 15 cm — khớp với nhóm đã tìm ở Cách 1.

Định hướng. Dùng ngay hai tính chất đã học để khẳng định các thanh bằng nhau mà không cần đo hay gán số, vì tổng độ dài chỉ phụ thuộc các đoạn được ghép, không phụ thuộc thứ tự ghép.

Vậy suy luận bằng tính chất cũng cho đúng ba nhóm thanh bằng nhau như hai cách trên.

Nhận xét. Không cần biết số đo cụ thể của a, b, c vẫn khẳng định được các thanh nào bằng nhau, nhờ tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng.

Định hướng. Đổi chỗ để đưa hai số hạng cộng tròn chục, tròn trăm về gần nhau, cộng chúng trước cho ra số tròn rồi mới cộng số hạng còn lại — đúng như cách làm ở mẫu.

Vậy a) $292$; b) $894$; c) $319$; d) $799$.

Định hướng. Cộng lần lượt từ trái sang phải theo đúng thứ tự đề bài viết, không đổi chỗ số hạng nào, để kiểm tra lại kết quả của Cách 1.

Vậy cộng lần lượt cũng ra đúng bốn kết quả như Cách 1: $292$; $894$; $319$; $799$.

Định hướng. Đặt cả ba số hạng thẳng cột rồi cộng một lần theo từng hàng đơn vị, chục, trăm — không cần nhóm số nào trước.

Vậy đặt tính cộng cột cũng ra đúng bốn kết quả như hai cách trên.

Nhận xét. Đặt tính cộng cột đúng mọi lúc nhưng chậm hơn Cách 1 rất nhiều vì không tận dụng được số tròn chục, tròn trăm có sẵn trong đề.

Định hướng. Tính tổng ba số tiền theo hai cách nhóm khác nhau — nhóm hai số đầu trước, hoặc nhóm hai số sau trước — rồi so sánh kết quả.

Vậy ba bạn phải trả 145 000 đồng dù nhóm theo cách nào, và cả hai bộ số trong bảng đều có $(a+b)+c=a+(b+c)$.

Định hướng. Cộng lần lượt cả ba số hạng theo đúng thứ tự từ trái sang phải, không quan tâm đến cách nhóm ngoặc, để kiểm tra lại kết quả.

Vậy cộng lần lượt cũng cho đúng ba kết quả như Cách 1: $145000$ đồng; $18$; $139$.

Định hướng. Thử thêm một bộ ba số khác ngoài bảng đã cho để chắc chắn tính chất kết hợp đúng với mọi số, không chỉ hai bộ số có sẵn trong sách.

Vậy dù thay bằng bộ số nào thì $(a+b)+c$ và $a+(b+c)$ vẫn luôn bằng nhau.

Nhận xét. Khi cộng một tổng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba mà kết quả không đổi — đây là tính chất kết hợp của phép cộng.

Định hướng. Tìm hai (hoặc từng cặp) số hạng cộng lại tròn chục, tròn trăm, đổi chỗ để nhóm chúng lại với nhau trước rồi mới cộng phần còn lại.

Vậy a) $278$; b) $259$; c) $440$; d) $700$.

Định hướng. Cộng lần lượt các số hạng theo đúng thứ tự từ trái sang phải để kiểm tra lại kết quả của Cách 1.

Vậy cộng lần lượt cũng ra đúng bốn kết quả như Cách 1: $278$; $259$; $440$; $700$.

Định hướng. Đặt các số hạng thẳng cột rồi cộng theo từng hàng đơn vị, chục, trăm — không cần chọn số nào để nhóm trước.

Vậy đặt tính cộng cột cũng ra đúng bốn kết quả như hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 luôn nhanh hơn vì tận dụng được các số tròn có sẵn, nhất là ở câu d) nhóm hai cặp tròn trăm, tròn chục cùng lúc.

Định hướng. Nhận ra $a$ và $c$ cộng lại tròn nghìn, dùng tính chất giao hoán và kết hợp để nhóm $a$ với $c$ trước rồi mới cộng $b$.

Vậy $(a+b)+c=5991$.

Định hướng. Cộng đúng theo thứ tự dấu ngoặc mà đề đã cho — cộng $a$ với $b$ trước, rồi cộng kết quả với $c$ — để kiểm tra lại giá trị của Cách 1.

Vậy tính đúng theo ngoặc đề cho cũng ra $5991$, khớp với Cách 1.

Định hướng. Đặt cả ba số $a$, $b$, $c$ thẳng cột rồi cộng một lần theo từng hàng, không cần quan tâm dấu ngoặc.

Vậy đặt tính cộng cột cũng ra đúng $5991$ như hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 nhanh nhất vì tận dụng được cặp số $1975$ và $2025$ cộng tròn nghìn, trong khi Cách 2 và Cách 3 phải cộng các số lẻ dài hơn.

Định hướng. So sánh các số hạng ở hai vế: vế nào đã có sẵn những số hạng nào thì ô cần tìm phải là số hạng còn thiếu để hai vế có cùng các số hạng.

Vậy a) $487$; b) $1975$; c) $b$; d) $74$.

Định hướng. Tính trước giá trị của vế đã đủ số ở câu a, b, rồi tìm số hạng còn thiếu bằng phép trừ ngược; câu c, d thay chữ bằng số cụ thể để kiểm tra.

Vậy a) $487$; b) $1975$; c) $b$; d) $74$ — khớp với Cách 1.

Định hướng. Nhắc lại lời phát biểu của tính chất giao hoán và kết hợp rồi áp dụng trực tiếp bằng lời, không cần viết phép tính trung gian.

Vậy áp dụng đúng lời phát biểu cũng tìm được a) $487$; b) $1975$; c) $b$; d) $74$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Không cần tính ra số cụ thể vẫn tìm được ô trống, nhờ nắm chắc hai tính chất của phép cộng.

Định hướng. Tìm cặp số hạng cộng lại tròn chục, tròn trăm (hoặc đối xứng hai đầu dãy số), nhóm chúng lại trước rồi mới cộng phần còn lại.

Vậy a) $192$; b) $60$; c) $899$; d) $300$.

Định hướng. Cộng lần lượt các số hạng theo đúng thứ tự từ trái sang phải để kiểm tra lại kết quả của Cách 1.

Vậy cộng lần lượt cũng ra đúng bốn kết quả như Cách 1: $192$; $60$; $899$; $300$.

Định hướng. Đặt các số hạng thẳng cột rồi cộng theo từng hàng đơn vị, chục, trăm — không cần chọn cặp số nào để nhóm trước.

Vậy đặt tính cộng cột cũng ra đúng bốn kết quả như hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 (nhóm cặp tròn) vẫn thuận tiện và ít bước nhất, đúng như tên gọi của dạng bài.

Định hướng. Đọc số phần chia trên mỗi sơ đồ và cách gộp đoạn để chọn đúng biểu thức, rồi thay $a=15$, $b=7$ vào tính giá trị.

Vậy Sơ đồ 1 ứng với $a+b+5=27$; Sơ đồ 2 ứng với $a+(b+5)=27$.

Định hướng. Thay ngay $a=15$, $b=7$ vào từng đoạn trên sơ đồ rồi cộng các đoạn theo đúng cách chia của từng sơ đồ, không cần chọn biểu thức chữ trước.

Vậy cả hai sơ đồ đều dài $27$ đơn vị, khớp với hai biểu thức tìm được ở Cách 1.

Định hướng. Dùng ngay tính chất kết hợp để khẳng định hai biểu thức bằng nhau với mọi $a,b$, không riêng gì $a=15,b=7$.

Vậy hai biểu thức luôn bằng nhau, và với $a=15,b=7$ cùng cho giá trị $27$ như hai cách trên.

Nhận xét. Hai sơ đồ trông khác nhau (chia hai phần hay ba phần) nhưng vì cùng tổng ba số $a,b,5$ nên độ dài không đổi — đúng tinh thần của tính chất kết hợp.

Định hướng. Quãng đường Việt đi gồm ba đoạn nối tiếp nên phải cộng cả ba số đo lại; nhận thấy đoạn đầu và đoạn cuối cộng tròn trăm nên nhóm hai đoạn đó trước cho dễ tính.

Vậy quãng đường Việt cần đi dài 475 m.

Định hướng. Cộng lần lượt từng đoạn theo đúng thứ tự Việt đi qua — từ nhà đến cổng làng, rồi đến cây cổ thụ, rồi đến nhà Nam — để kiểm tra lại kết quả.

Vậy cộng lần lượt cũng ra 475 m, khớp với Cách 1.

Định hướng. Đặt cả ba số đo thẳng cột rồi cộng một lần theo từng hàng đơn vị, chục, trăm.

Vậy đặt tính cộng cột cũng ra đúng 475 m như hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 nhanh nhất vì tận dụng được cặp số 182 và 218 cộng tròn trăm ngay từ đầu.