Chủ đề 8. Phép nhân và phép chia

Bài 46. Tìm số trung bình cộng

SGK Toán 4 — Kết nối tri thức, tập 2 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Hoạt động 1★Trang 29— Tìm số trung bình cộng của nhiều số
Hoạt động 1 (trang 29). Tìm số trung bình cộng của các số sau.
a) 20 và 30
b) 10, 20 và 30
c) 5, 12 và 19
Kiến thức cần nhớ
  • Muốn tìm số trung bình cộng của nhiều số, ta tính tổng của các số đó, rồi chia tổng đó cho số các số hạng.
  • Ví dụ (mục Khám phá): số trung bình cộng của hai số 10 và 50 là .
  • Ví dụ (mục Khám phá): số trung bình cộng của ba số 13, 14 và 18 là .
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho ba câu, mỗi câu là một nhóm số khác nhau (2 số, rồi 3 số, rồi 3 số) nên phải áp dụng đúng quy tắc: cộng tất cả số hạng lại rồi chia cho SỐ LƯỢNG số hạng trong nhóm đó. Nhóm 2 số thì chia cho 2, nhóm 3 số thì chia cho 3, không được chia nhầm sang số khác — đây chính là bẫy dễ mắc nhất của bài này.
1Cách 1. Tính tổng rồi chia cho số các số hạng (theo quy tắc)

Định hướng. Với mỗi câu, đếm đúng số lượng số hạng rồi cộng tất cả lại, sau đó chia tổng đó cho đúng số lượng vừa đếm.

a) Trung bình cộng của 20 và 30 là:

b) Trung bình cộng của 10, 20 và 30 là:

c) Trung bình cộng của 5, 12 và 19 là:

Vậy số trung bình cộng lần lượt là 25; 20; 12.

2Cách 2. San bằng bù trừ (nhận ra dãy số cách đều)

Định hướng. Câu a) tìm hiệu hai số rồi chia đôi để bù cho số bé; câu b), c) các số đã cho cách đều nhau nên số trung bình cộng chính là số đứng giữa dãy.

a) Hiệu của 30 và 20 là: ; chia đôi hiệu: ; lấy số bé cộng thêm:
b) Ba số 10, 20, 30 cách đều nhau 10 đơn vị nên số trung bình cộng là số ở giữa: 20
c) Ba số 5, 12, 19 cách đều nhau 7 đơn vị nên số trung bình cộng là số ở giữa: 12

Vậy cách san bằng cũng cho cùng kết quả: 25; 20; 12.

3Cách 3. Đoán rồi kiểm tra bằng phép nhân ngược

Định hướng. Đoán một số trung bình cộng hợp lí, nhân số đó với số các số hạng, nếu đúng bằng tổng đã cho thì số đoán là đáp số.

a) Đoán 25, thử: , đúng bằng nên 25 đúng
b) Đoán 20, thử: , đúng bằng nên 20 đúng
c) Đoán 12, thử: , đúng bằng nên 12 đúng

Vậy phép thử ngược cũng xác nhận kết quả: 25; 20; 12.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 (cộng rồi chia theo đúng quy tắc SGK) nhanh và chắc nhất cho mọi trường hợp; Cách 2 chỉ nhanh hơn khi các số đã cho cách đều nhau như câu b, c.
Đáp số. a) 25. b) 20. c) 12.
Sai lầm thường gặp. Ở câu b), c) có 3 số hạng nhưng lại lấy tổng chia cho 2 (nhầm theo câu a) đứng ngay trước) — phải đếm đúng có bao nhiêu số hạng trong từng câu rồi mới chia.
🚀 Mở rộng. Nếu thêm số 40 vào dãy 10, 20, 30 thành 10, 20, 30, 40 thì số trung bình cộng mới là bao nhiêu?
Bài 2 · Hoạt động 2★Trang 29— Tìm số trung bình cộng qua bài toán lời văn (một bước)
Hoạt động 2 (trang 29). a) Số cây trồng được của 3 đội lần lượt là 15, 20 và 22. Hỏi trung bình mỗi đội trồng được bao nhiêu cây? (Sách đã làm mẫu: Trung bình mỗi đội trồng được số cây là (cây). Đáp số: 19 cây.)
b) Số học sinh của 4 lớp lần lượt là 35, 37, 43 và 45. Hỏi trung bình mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
Kiến thức cần nhớ
  • Bài toán lời văn về trung bình cộng: tìm tổng các số liệu rồi chia cho số nhóm (số đội, số lớp,...).
  • Phải đếm đúng số lượng nhóm của từng câu hỏi, không dùng chung số lượng của câu khác.
🧠 Phân tích tư duy
Cả hai câu đều hỏi 'trung bình mỗi ... là bao nhiêu', nên chỉ cần cộng các số liệu đã cho lại rồi chia cho số lượng đội (hoặc số lượng lớp) — câu a) sách đã làm mẫu, câu b) làm y hệt cách đó nhưng với 4 số liệu.
1Cách 1. Tính tổng rồi chia (theo mẫu của sách)

Định hướng. Đội hay lớp đều là 'số các số hạng' cần đếm cho đúng: câu a) có 3 đội, câu b) có 4 lớp, rồi lấy tổng số liệu chia cho đúng số đó.

a) Bài giải
Trung bình mỗi đội trồng được số cây là:
(cây)
Đáp số: 19 cây.

b) Bài giải
Trung bình mỗi lớp có số học sinh là:
(học sinh)
Đáp số: 40 học sinh.

Vậy trung bình mỗi đội trồng được 19 cây, trung bình mỗi lớp có 40 học sinh.

2Cách 2. San bằng bù trừ / ghép cặp có tổng bằng nhau

Định hướng. Câu a) so từng số với 19 xem lệch bao nhiêu để kiểm tra cân bằng; câu b) ghép hai số liệu thành từng cặp có tổng bằng nhau cho dễ cộng.

a) So với 19: số 15 kém 4, số 20 hơn 1, số 22 hơn 3; phần hơn đúng bằng phần kém 4 nên 19 là số cân bằng
b) Ghép cặp: và (hai cặp có tổng bằng nhau); tổng bốn số là ; trung bình mỗi lớp là (học sinh)

Vậy cách san bằng và ghép cặp cũng cho cùng kết quả: 19 cây và 40 học sinh.

3Cách 3. Đoán rồi kiểm tra

Định hướng. Đoán số trung bình rồi nhân với số nhóm, so sánh với tổng thật đã cho.

a) Đoán 19, thử: , đúng bằng nên 19 đúng
b) Đoán 40, thử: , đúng bằng nên 40 đúng

Vậy phép thử ngược xác nhận: 19 cây và 40 học sinh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Câu b) nên dùng Cách 2 ghép cặp có tổng bằng nhau ( và đều bằng 80) để tính nhẩm nhanh mà không cần cộng lần lượt bốn số.
Đáp số. a) 19 cây. b) 40 học sinh.
Sai lầm thường gặp. Nhớ nhầm số đội/số lớp: có 4 lớp ở câu b) nhưng lại chia cho 3 (lấy theo số liệu câu a) ở ngay bên cạnh) — phải đếm đúng số liệu đề cho ở mỗi câu.
🚀 Mở rộng. Nếu có thêm lớp thứ 5 với 45 học sinh nữa thì trung bình mỗi lớp trong 5 lớp là bao nhiêu học sinh?
Bài 3 · Hoạt động 3★★Trang 30— Tìm số trung bình cộng từ bảng số liệu
Hoạt động 3 (trang 30). Trong một giải đua xe đạp xuyên Việt, lộ trình một số chặng đua được cho như bảng dưới đây:
ChặngĐoạn đườngĐộ dài (km)
1Vòng quanh phường Mộc Châu (Sơn La)60
2Mộc Châu tới Hà Nội188
325 vòng quanh hồ Hoàn Kiếm42
4Hà Nội tới Thanh Hoá154
Hỏi trung bình mỗi chặng dài bao nhiêu ki-lô-mét?
Kiến thức cần nhớ
  • Khi số liệu cho trong bảng, chỉ cộng các số ở cột chứa đại lượng cần tính trung bình, không cộng cột số thứ tự.
  • Số các số hạng ở đây chính là số dòng dữ liệu trong bảng (4 chặng).
🧠 Phân tích tư duy
Bảng có 4 chặng đua với 4 độ dài khác nhau; đề hỏi 'trung bình mỗi chặng', nghĩa là cộng cả 4 số trong cột 'Độ dài (km)' rồi chia cho 4. Cột 'Chặng' chỉ là số thứ tự ghi cho dễ theo dõi, tuyệt đối không phải số liệu để cộng vào.
1Cách 1. Tính nhẩm tổng theo nhóm tròn chục rồi chia

Định hướng. Lấy 4 số ở cột 'Độ dài (km)' cộng lại, ghép các số cho tròn chục để cộng nhẩm nhanh, rồi chia cho 4.

Trung bình mỗi chặng dài số ki-lô-mét là:
(km)
Đáp số: 111 km.

Vậy trung bình mỗi chặng dài 111 km.

2Cách 2. Đặt tính cộng và đặt tính chia theo cột

Định hướng. Thay vì cộng nhẩm theo hàng ngang, đặt tính bốn số theo cột đơn vị — chục — trăm rồi cộng, sau đó đặt tính chia tổng đó cho 4.

Đặt tính cộng: , cộng lần lượt theo cột đơn vị rồi cột chục, cột trăm được
Đặt tính chia:
Trung bình mỗi chặng dài 111 km

Vậy đặt tính theo cột cũng cho kết quả 111 km, khớp với Cách 1.

3Cách 3. Đoán rồi kiểm tra

Định hướng. Vì độ dài các chặng dao động từ 42 km đến 188 km, đoán số trung bình nằm khoảng giữa rồi thử nhân với 4.

Đoán trung bình mỗi chặng khoảng 111 km, thử: , đúng bằng tổng nên 111 đúng

Vậy phép thử ngược xác nhận: trung bình mỗi chặng dài 111 km.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 tính nhẩm tổng theo nhóm tròn chục là nhanh nhất với bảng chỉ có 4 số liệu.
Đáp số. 111 km.
Sai lầm thường gặp. Cộng nhầm cả cột 'Chặng' (1+2+3+4=10) vào tổng, hoặc lấy 25 (số vòng quanh hồ Hoàn Kiếm ghi trong đề) làm số các số hạng — chỉ được cộng 4 số ở cột 'Độ dài (km)' và chia cho đúng 4 chặng.
🚀 Mở rộng. Nếu chặng 3 dài 58 km (thay vì 42 km) thì trung bình mỗi chặng là bao nhiêu ki-lô-mét?
Bài 4 · Luyện tập 1★★Trang 30— Tìm số trung bình cộng qua hình vẽ (hoa cánh - nhuỵ)
Luyện tập 1 (trang 30). Tìm số ghi ở mỗi nhuỵ hoa, biết số ghi ở nhuỵ hoa bằng trung bình cộng của các số ghi ở cánh hoa.
a) Hoa thứ nhất có ba cánh ghi 28, 24 và 26, nhuỵ hoa ghi dấu hỏi (?).
b) Hoa thứ hai có năm cánh ghi 17, 19, 21, 13 và 15, nhuỵ hoa ghi dấu hỏi (?).
Hoa a) 3 cánh hoaHoa b) 5 cánh hoa242628?1719211315?Nhụy = TBC 3 số ở cánhNhụy = TBC 5 số ở cánh
Kiến thức cần nhớ
  • Số ghi ở nhuỵ hoa = trung bình cộng của các số ghi ở tất cả cánh hoa xung quanh nó.
  • Số cánh hoa chính là số các số hạng cần chia.
🧠 Phân tích tư duy
Đề vẽ hoa để 'nguỵ trang' bài toán trung bình cộng: các số ghi ở cánh hoa chính là các số hạng, số ở nhuỵ hoa (dấu ?) chính là số trung bình cộng cần tìm. Chỉ cần đếm đúng số cánh hoa để chia cho đúng — hoa a) có 3 cánh, hoa b) có 5 cánh, hai hoa không cùng số cánh nên không được lấy chung một số chia cho cả hai.
1Cách 1. Tính tổng các số ở cánh rồi chia cho số cánh

Định hướng. Đếm đúng số cánh của từng hoa (3 cánh và 5 cánh), cộng các số ghi ở cánh lại rồi chia cho số cánh đó.

a) Số ghi ở nhuỵ hoa thứ nhất là:

b) Số ghi ở nhuỵ hoa thứ hai là:

Vậy nhuỵ hoa thứ nhất ghi 26, nhuỵ hoa thứ hai ghi 17.

2Cách 2. San bằng — nhận ra dãy số cách đều rồi lấy số ở giữa

Định hướng. Sắp xếp các số ở cánh hoa theo thứ tự rồi kiểm tra xem chúng có cách đều nhau không; nếu có thì số trung bình cộng chính là số ở giữa dãy.

a) Sắp xếp: 24, 26, 28 — cách đều nhau 2 đơn vị nên số trung bình cộng là số ở giữa: 26
b) Sắp xếp: 13, 15, 17, 19, 21 — cách đều nhau 2 đơn vị nên số trung bình cộng là số ở giữa: 17

Vậy cách san bằng cũng cho cùng kết quả: 26 và 17.

3Cách 3. Đoán rồi kiểm tra

Định hướng. Đoán số ở nhuỵ hoa rồi nhân với số cánh, so sánh với tổng các số ở cánh.

a) Đoán 26, thử: , đúng bằng nên 26 đúng
b) Đoán 17, thử: , đúng bằng nên 17 đúng

Vậy phép thử ngược xác nhận: 26 và 17.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 (nhận ra dãy số cách đều 2 đơn vị rồi lấy số ở giữa) nhanh nhất vì cả hai hoa đều có các cánh cách đều nhau.
Đáp số. a) Nhuỵ hoa ghi 26. b) Nhuỵ hoa ghi 17.
Sai lầm thường gặp. Ở hoa b) có 5 cánh nhưng đếm nhầm thành 4 cánh (bỏ sót một cánh) rồi chia tổng 85 cho 4 thay vì 5.
🚀 Mở rộng. Nếu hoa thứ hai có thêm một cánh ghi 23 (nối tiếp dãy cách đều 2 đơn vị) thì số ghi ở nhuỵ hoa là bao nhiêu?
Bài 5 · Luyện tập 2★★Trang 30— Tìm số trung bình cộng của một đại lượng gộp từ hai nhóm khác số lượng
Luyện tập 2 (trang 30). Nhà bác Vân có 8 bao thóc tẻ cân nặng 400 kg và 4 bao thóc nếp cân nặng 224 kg. Hỏi trung bình mỗi bao thóc nhà bác Vân cân nặng bao nhiêu ki-lô-gam?
Kiến thức cần nhớ
  • Muốn tìm trung bình mỗi bao khi có nhiều loại thóc, phải cộng dồn TẤT CẢ số bao và TẤT CẢ khối lượng thành một nhóm chung rồi mới chia.
  • Không được lấy trung bình cộng của hai số trung bình từng loại khi số lượng hai loại không bằng nhau.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho khối lượng của HAI LOẠI thóc với SỐ BAO khác nhau (8 bao và 4 bao); phải cộng dồn cả khối lượng lẫn số bao của cả hai loại thành một nhóm chung 12 bao rồi mới chia. Không được lấy trung bình cộng của hai số 400 và 224, vì đó là hai tổng khối lượng chứ không phải hai bao thóc.
1Cách 1. Gộp chung số bao và khối lượng rồi chia

Định hướng. Cộng số bao của hai loại thóc lại thành tổng số bao, cộng khối lượng hai loại lại thành tổng khối lượng, rồi lấy tổng khối lượng chia cho tổng số bao.

Tổng số bao thóc nhà bác Vân có là:
(bao)
Tổng cân nặng số thóc đó là:
(kg)
Trung bình mỗi bao thóc cân nặng là:
(kg)
Đáp số: 52 kg.

Vậy trung bình mỗi bao thóc cân nặng 52 kg.

2Cách 2. Đoán rồi điều chỉnh dần

Định hướng. Đoán một số cân nặng trung bình hợp lí (nằm giữa cân nặng trung bình của mỗi loại), nhân với tổng số bao rồi so sánh với tổng khối lượng thật để điều chỉnh.

Đoán trung bình mỗi bao khoảng 50 kg, thử: (kg), còn thiếu so với tổng thật: (kg)
Chia đều phần thiếu cho 12 bao: (kg)
Điều chỉnh: (kg)

Vậy điều chỉnh dần cũng ra 52 kg, khớp với Cách 1.

3Cách 3. Đặt tính cộng và đặt tính chia theo cột

Định hướng. Thay vì cộng nhẩm, đặt tính cộng theo cột rồi đặt tính chia theo cột.

Đặt tính cộng: , cộng theo cột đơn vị, chục, trăm được
Đặt tính chia: , chia được thương , số dư
Trung bình mỗi bao thóc cân nặng 52 kg

Vậy đặt tính theo cột cũng cho kết quả 52 kg.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 (gộp số bao và khối lượng thành một nhóm rồi chia) trực tiếp và chắc chắn nhất, tránh nhầm với việc lấy trung bình cộng của hai số trung bình từng loại.
Đáp số. 52 kg.
Sai lầm thường gặp. Tính trung bình cộng của hai khối lượng trung bình từng loại: (kg) và (kg) rồi lấy (kg) — sai vì bỏ qua việc thóc tẻ có tới 8 bao còn thóc nếp chỉ có 4 bao, hai loại không đóng góp bằng nhau vào tổng số bao.
🚀 Mở rộng. Nếu bớt đi 2 bao thóc nếp (mỗi bao vẫn nặng 56 kg như đã tính) thì trung bình mỗi bao thóc còn lại sẽ tăng hay giảm so với 52 kg? Vì sao?
Bài 6 · Luyện tập 3★★Trang 30— Tìm số trung bình cộng khi biết một số và phần hơn kém
Luyện tập 3 (trang 30). Ngày thứ nhất, Rô-bốt làm được 20 cái bánh giầy. Ngày thứ hai, Rô-bốt làm được nhiều hơn ngày thứ nhất 4 cái bánh. Hỏi trung bình mỗi ngày Rô-bốt làm được bao nhiêu cái bánh giầy?
Kiến thức cần nhớ
  • Khi đề cho 'nhiều hơn/ít hơn một lượng', phải tìm số liệu còn thiếu trước khi áp dụng quy tắc trung bình cộng.
  • Với hai số hơn kém nhau một lượng, trung bình cộng bằng số bé cộng với một nửa phần hơn kém.
🧠 Phân tích tư duy
Đề chưa cho trực tiếp số bánh ngày thứ hai mà chỉ cho 'nhiều hơn ngày thứ nhất 4 cái' nên phải tìm số bánh ngày thứ hai trước (). Sau đó mới lấy hai số bánh của hai ngày để tính trung bình cộng, không được lấy luôn số 20 và số 4 để tính.
1Cách 1. Tìm số ngày thứ hai rồi tính trung bình cộng

Định hướng. Tìm số bánh ngày thứ hai trước, sau đó cộng số bánh hai ngày và chia cho 2.

Số bánh giầy Rô-bốt làm được trong ngày thứ hai là:
(cái)
Trung bình mỗi ngày Rô-bốt làm được số bánh giầy là:
(cái)
Đáp số: 22 cái bánh giầy.

Vậy trung bình mỗi ngày Rô-bốt làm được 22 cái bánh giầy.

2Cách 2. San bằng trực tiếp — số bé cộng nửa phần hơn

Định hướng. Vì ngày thứ hai hơn ngày thứ nhất đúng 4 cái, chỉ cần chia đôi phần hơn rồi cộng vào số bé, không cần tính số bánh ngày thứ hai.

Chia đôi phần hơn: (cái)
Trung bình mỗi ngày: (cái)

Vậy cách san bằng trực tiếp cũng cho 22 cái bánh giầy, khớp với Cách 1.

3Cách 3. Đoán rồi kiểm tra

Định hướng. Đoán số trung bình rồi nhân với 2, so sánh với tổng số bánh thật của hai ngày.

Đoán 22, thử: , đúng bằng nên 22 đúng

Vậy phép thử ngược xác nhận: 22 cái bánh giầy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 nhanh nhất: trung bình cộng của hai số hơn kém nhau một lượng bằng số bé cộng nửa phần hơn, khỏi cần tính số lớn trước.
Đáp số. 22 cái bánh giầy.
Sai lầm thường gặp. Quên tìm số bánh ngày thứ hai, lấy luôn — nhầm số 4 (phần hơn) với số bánh thật của ngày thứ hai.
🚀 Mở rộng. Nếu ngày thứ ba Rô-bốt làm được đúng bằng trung bình cộng của hai ngày đầu (22 cái) thì trung bình cả ba ngày là bao nhiêu cái bánh giầy?
Bài 7 · Luyện tập 4★★★Trang 30— Tìm một số hạng khi biết số trung bình cộng và số hạng còn lại
Luyện tập 4 (trang 30). Quan sát tranh rồi trả lời câu hỏi.
Ba bạn Nam, Mai và Rô-bốt cùng chơi một trò đoán số: Mai giơ tấm biển ghi số 18, Rô-bốt viết một số vào tờ giấy nhưng giấu kín. Nam hỏi: “Rô-bốt viết số gì vậy?”. Rô-bốt trả lời: “Đố Nam đấy! Tớ gợi ý là trung bình cộng của hai số do tớ và Mai viết bằng 15.”
Hỏi Rô-bốt đã viết số nào?
Kiến thức cần nhớ
  • Nếu biết trung bình cộng của hai số và một số, muốn tìm số còn lại: lấy trung bình cộng nhân với 2 để ra tổng, rồi lấy tổng trừ đi số đã biết.
  • Đây là bài toán ngược của bài toán tìm trung bình cộng quen thuộc.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho NGƯỢC: biết số trung bình cộng (15) và một trong hai số (18 của Mai), phải tìm số còn lại (của Rô-bốt). Làm ngược lại quy tắc quen thuộc: từ trung bình cộng suy ra tổng hai số trước, rồi mới lấy tổng trừ đi số đã biết để ra số cần tìm.
1Cách 1. Suy ngược quy tắc: nhân 2 ra tổng rồi trừ đi số đã biết

Định hướng. Từ số trung bình cộng đã biết, nhân với 2 để tìm tổng hai số, sau đó lấy tổng trừ đi số của Mai để ra số của Rô-bốt.

Tổng hai số do Rô-bốt và Mai viết là:

Số Rô-bốt đã viết là:

Đáp số: Rô-bốt đã viết số 12.

Vậy Rô-bốt đã viết số 12.

2Cách 2. San bằng bù trừ

Định hướng. So sánh số của Mai với trung bình cộng xem lệch bao nhiêu, số còn lại phải lệch ngược lại đúng bằng ấy để hai số cân bằng về 15.

Số Mai viết hơn trung bình cộng là:
(đơn vị)
Để cân bằng, số Rô-bốt viết phải kém trung bình cộng đúng 3 đơn vị:

Vậy cách san bằng cũng cho kết quả 12, khớp với Cách 1.

3Cách 3. Đoán rồi kiểm tra

Định hướng. Đoán số Rô-bốt viết, tính trung bình cộng của số đó với 18 rồi so sánh với gợi ý 15.

Đoán Rô-bốt viết 12, thử: , đúng bằng gợi ý của Rô-bốt nên 12 đúng

Vậy phép thử xác nhận: Rô-bốt đã viết số 12.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 (nhân trung bình cộng với 2 để ra tổng, rồi trừ đi số đã biết) là cách suy ngược trực tiếp, áp dụng được cho mọi bài dạng này.
Đáp số. Rô-bốt đã viết số 12.
Sai lầm thường gặp. Lấy luôn rồi coi đó là số Rô-bốt viết, hoặc lấy — quên rằng phải NHÂN trung bình cộng với 2 để ra tổng trước khi trừ đi số đã biết.
🚀 Mở rộng. Nếu trung bình cộng của hai số Nam và Mai viết trong một lượt chơi khác cũng bằng 15, còn số Nam viết là 10, thì số Mai viết là bao nhiêu?