Bài 24. So sánh phân số. Hỗn số dương

Định hướng. Hai mẫu 6 và 4 chưa bằng nhau — tìm BCNN$(6,4)$ làm mẫu chung rồi tìm hệ số cần nhân thêm của từng phân số.

Vậy quy đồng mẫu được $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$ và $\frac{7}{4}=\frac{21}{12}$.

Định hướng. Không cần tìm BCNN, lấy ngay tích hai mẫu $6\cdot 4=24$ làm mẫu chung tạm, quy đồng xong mới rút gọn về mẫu nhỏ nhất.

Vậy $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$ và $\frac{7}{4}=\frac{21}{12}$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 luôn thực hiện được nhưng mẫu chung tạm $24$ lớn hơn BCNN $12$ nên phải rút gọn thêm một bước.

Định hướng. Hai mẫu 5 và 2 nguyên tố cùng nhau nên BCNN$(5,2)=5\cdot 2=10$; tìm hệ số cần nhân thêm rồi nhân vào cả tử và mẫu, giữ nguyên dấu âm.

Vậy $\frac{-3}{5}=\frac{-6}{10}$ và $\frac{-1}{2}=\frac{-5}{10}$.

Định hướng. Biết trước mẫu chung là $10$, đặt $\frac{-3}{5}=\frac{x}{10}$ rồi dùng tính chất hai phân số bằng nhau $a\cdot d=b\cdot c$ để tìm $x$; làm tương tự với phân số còn lại.

Vậy $\frac{-3}{5}=\frac{-6}{10}$ và $\frac{-1}{2}=\frac{-5}{10}$, khớp Cách 1.

Định hướng. Rút gọn hai phân số vừa quy đồng về đúng phân số ban đầu để xác nhận kết quả không sai dấu, sai số.

Vậy cả hai phân số quy đồng đều rút gọn đúng về đề bài, kết quả $\frac{-3}{5}=\frac{-6}{10}$ và $\frac{-1}{2}=\frac{-5}{10}$ là chính xác.

Nhận xét. Cách thử lại này rất hữu ích để tự kiểm tra khi không chắc đã nhân đúng hệ số nhân thêm hay chưa.

Định hướng. Phân tích cả ba mẫu ra thừa số nguyên tố, lấy BCNN chung một lần rồi quy đồng cả ba phân số cùng lúc.

Vậy quy đồng được $\frac{-3}{4}=\frac{-27}{36}$, $\frac{5}{9}=\frac{20}{36}$, $\frac{2}{3}=\frac{24}{36}$.

Định hướng. Quy đồng hai phân số đầu trước để có mẫu chung tạm, rồi quy đồng tiếp mẫu chung tạm đó với mẫu của phân số thứ ba.

Vậy cả ba phân số đều quy đồng về mẫu $36$: $\frac{-3}{4}=\frac{-27}{36}$, $\frac{5}{9}=\frac{20}{36}$, $\frac{2}{3}=\frac{24}{36}$, khớp Cách 1.

Định hướng. Không tìm BCNN, lấy tích $4\cdot 9\cdot 3=108$ làm mẫu chung tạm cho cả ba phân số, quy đồng xong mới rút gọn.

Vậy rút gọn về đúng $\frac{-27}{36}$, $\frac{20}{36}$, $\frac{24}{36}$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 chắc chắn ra đúng nhưng số liệu $108$ lớn hơn hẳn BCNN $36$, phải rút gọn thêm một bước cho cả ba phân số.

Định hướng. Hai phân số đã cùng mẫu dương $11$, chỉ cần so sánh hai tử số $7$ và $9$.

Vậy $\frac{7}{11}<\frac{9}{11}$.

Định hướng. Tính hiệu $\frac{9}{11}-\frac{7}{11}$; nếu hiệu dương thì số bị trừ lớn hơn số trừ.

Vậy $\frac{9}{11}>\frac{7}{11}$, tức $\frac{7}{11}<\frac{9}{11}$.

Định hướng. Chia đoạn từ $0$ đến $1$ thành $11$ phần bằng nhau; $\frac{7}{11}$ ứng với điểm thứ $7$, $\frac{9}{11}$ ứng với điểm thứ $9$ tính từ $0$.

Vậy $\frac{9}{11}$ nằm bên phải $\frac{7}{11}$, tức $\frac{7}{11}<\frac{9}{11}$.

Nhận xét. Ba cách đều cho cùng kết luận — quy tắc "tử lớn hơn thì phân số lớn hơn" chính là kết quả tổng quát hoá của việc xét hiệu và quan sát trên trục số.

Định hướng. Cả hai ý đều cùng mẫu dương, chỉ cần so sánh hai tử số nguyên.

Vậy a) $\frac{-2}{9}>\frac{-7}{9}$;   b) $\frac{5}{7}>\frac{-10}{7}$.

Định hướng. Tính hiệu của cặp phân số ở mỗi ý; hiệu dương thì số đứng trước lớn hơn.

Vậy a) $\frac{-2}{9}>\frac{-7}{9}$;   b) $\frac{5}{7}>\frac{-10}{7}$.

Định hướng. Vì hai mẫu đều dương và bằng nhau trong từng ý, thứ tự của phân số đúng bằng thứ tự của tử số trên trục số.

Vậy a) $\frac{-2}{9}>\frac{-7}{9}$;   b) $\frac{5}{7}>\frac{-10}{7}$, khớp hai cách trên.

Định hướng. Quy đồng hai phân số về mẫu chung BCNN$(4,6)=12$ rồi so sánh hai tử.

Vậy $\frac{3}{4}<\frac{5}{6}$, bạn Tròn còn nhiều bánh hơn bạn Vuông.

Định hướng. Với hai mẫu dương, so sánh $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ bằng cách so sánh $a\cdot d$ với $b\cdot c$; áp dụng trực tiếp không cần quy đồng.

Vậy $\frac{3}{4}<\frac{5}{6}$, bạn Tròn còn nhiều bánh hơn bạn Vuông, khớp Cách 1.

Định hướng. Đưa hai phân số về cùng tử dương BCNN$(3,5)=15$ rồi so sánh mẫu: cùng tử dương, mẫu nào nhỏ hơn thì phân số đó lớn hơn.

Vậy mẫu $18$ nhỏ hơn mẫu $20$ nên $\frac{15}{18}>\frac{15}{20}$, tức $\frac{5}{6}>\frac{3}{4}$, bạn Tròn còn nhiều bánh hơn bạn Vuông.

Nhận xét. Ba cách đều cho cùng một kết luận — Cách 1 (quy đồng mẫu) là cách chính thức của SGK, Cách 2 và Cách 3 là hai cách kiểm chứng nhanh, không cần đúng thứ tự các bước như Cách 1.

Định hướng. Quy đồng từng cặp phân số về mẫu chung BCNN rồi so sánh tử.

Vậy a) $\frac{7}{10}<\frac{11}{15}$;   b) $\frac{-1}{8}>\frac{-5}{24}$.

Định hướng. Với hai mẫu dương, $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ so sánh được qua $a\cdot d$ và $b\cdot c$, không cần quy đồng.

Vậy a) $\frac{7}{10}<\frac{11}{15}$;   b) $\frac{-1}{8}>\frac{-5}{24}$, khớp Cách 1.

Định hướng. Ý a) đưa về cùng tử dương rồi so mẫu; ý b) đưa về so sánh hai số đối dương của chúng.

Vậy a) $\frac{7}{10}<\frac{11}{15}$;   b) số đối nhỏ hơn ứng với phân số ban đầu LỚN hơn nên $\frac{-1}{8}>\frac{-5}{24}$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Khi so sánh hai phân số âm, đưa về số đối dương rồi ĐẢO CHIỀU kết luận là cách tránh nhầm dấu hiệu quả.

Định hướng. Không cần tính toán, chỉ cần nhận ra dấu của mỗi phân số rồi so sánh qua số $0$.

Vậy $\frac{31}{32}>0>\frac{-5}{57}$ nên $\frac{31}{32}>\frac{-5}{57}$.

Định hướng. Vẫn có thể quy đồng theo cách thông thường để kiểm chứng lại kết luận ở Cách 1, dù cách này dài hơn.

Vậy $\frac{31}{32}>\frac{-5}{57}$, khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 vẫn đúng nhưng mẫu chung $1824$ rất lớn — đây chính là lý do đề bài gợi ý không quy đồng, chỉ cần xét dấu là đủ.

Định hướng. Số bánh là số bị chia lên tử, số bạn là số chia xuống mẫu.

Vậy mỗi bạn được $\frac{3}{2}$ cái bánh.

Định hướng. Chia mỗi cái bánh trong $3$ cái thành $2$ phần bằng nhau rồi đếm số phần mỗi bạn nhận được.

Vậy mỗi bạn được $\frac{3}{2}$ cái bánh, khớp Cách 1.

Định hướng. Cộng phần nguyên $1$ với phần phân số $\frac{1}{2}$ rồi so với kết quả $\frac{3}{2}$ ở Hoạt động 5.

Vậy $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, đúng bằng kết quả Hoạt động 5 nên Tròn nói đúng.

Định hướng. Thực hiện phép chia có dư của tử cho mẫu ở phân số $\frac{3}{2}$ để tìm phần nguyên và phần dư.

Vậy $\frac{3}{2}$ gồm $1$ nguyên và dư $1$ trên mẫu $2$, tức $1$ cái bánh và $\frac{1}{2}$ cái bánh, đúng như lời Tròn.

Định hướng. Kiểm tra phần \u201cphân số\u201d $\frac{5}{4}$ có nhỏ hơn $1$ hay không.

Vậy $2\frac{5}{4}$ KHÔNG phải là một hỗn số, vì phần phân số $\frac{5}{4}$ không nhỏ hơn $1$.

Định hướng. Tách tiếp phần phân số $\frac{5}{4}$ thành $1+\frac{1}{4}$ rồi cộng dồn vào phần nguyên, xem kết quả có khác cách viết ban đầu không.

Vậy giá trị $2+\frac{5}{4}$ viết đúng chuẩn phải là $3\frac{1}{4}$ (phần phân số $\frac{1}{4}<1$), khác với cách viết $2\frac{5}{4}$ ban đầu — xác nhận $2\frac{5}{4}$ không phải là hỗn số.

Định hướng. Ý a) chia tử cho mẫu lấy thương dư; ý b) áp dụng thẳng công thức $a\frac{b}{c}=\frac{ac+b}{c}$.

Vậy a) $\frac{24}{7}=3\frac{3}{7}$;   b) $5\frac{2}{3}=\frac{17}{3}$.

Định hướng. Ý a) tách tử thành tổng chứa bội của mẫu; ý b) tách hỗn số thành tổng phần nguyên và phần phân số rồi cộng phân số cùng mẫu.

Vậy a) $\frac{24}{7}=3\frac{3}{7}$;   b) $5\frac{2}{3}=\frac{17}{3}$, khớp Cách 1.

Định hướng. Ý a) trừ dần mẫu số khỏi tử số, đếm số lần trừ được; ý b) thử lại bằng cách chia ngược tử cho mẫu của phân số vừa tìm.

Vậy a) trừ được $3$ lần dư $3$ nên $\frac{24}{7}=3\frac{3}{7}$;   b) $17:3=5$ dư $2$ đúng khớp $5\frac{2}{3}$, xác nhận Cách 1 đúng.

Nhận xét. Trừ liên tiếp chính là cách "chia bằng tay" từng bước — cho cùng thương dư với phép chia có dư ở Cách 1.

Định hướng. Ý a) mẫu $3,7$ nguyên tố cùng nhau nên BCNN là tích; ý b) so sánh số mũ của $2$ và $3$ ở hai mẫu để lấy số mũ lớn nhất.

Vậy a) $\frac{2}{3}=\frac{14}{21}$, $\frac{-6}{7}=\frac{-18}{21}$;   b) $\frac{5}{36}$ giữ nguyên, $\frac{-7}{12}=\frac{-21}{36}$.

Định hướng. Không xét BCNN, lấy ngay tích hai mẫu của từng ý làm mẫu chung tạm rồi rút gọn nếu cần.

Vậy kết quả khớp hoàn toàn Cách 1.

Nhận xét. Ở ý b), mẫu chung tạm $432$ lớn hơn hẳn BCNN $36$ (gấp $12$ lần) vì $12$ chính là ước của $36$ — nên Cách 1 hiệu quả hơn nhiều khi một mẫu là ước của mẫu kia.

Định hướng. Ý a) quy đồng bình thường; ý b) rút gọn $\frac{6}{15}$ trước rồi mới quy đồng cho gọn.

Vậy a) $\frac{-11}{8}<\frac{1}{24}$;   b) $\frac{3}{20}<\frac{6}{15}$.

Định hướng. Với hai mẫu dương, so sánh $a\cdot d$ với $b\cdot c$ không cần quy đồng.

Vậy a) $\frac{-11}{8}<\frac{1}{24}$;   b) $\frac{3}{20}<\frac{6}{15}$, khớp Cách 1.

Định hướng. Ý a) chỉ cần xét dấu, không cần tính; ý b) chọn phân số $\frac{1}{4}$ làm mốc trung gian để so sánh nhanh.

Vậy a) $\frac{-11}{8}<0<\frac{1}{24}$ nên $\frac{-11}{8}<\frac{1}{24}$;   b) $\frac{3}{20}<\frac{1}{4}<\frac{6}{15}$ nên $\frac{3}{20}<\frac{6}{15}$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Xét dấu hoặc dùng mốc trung gian giúp so sánh nhanh mà không cần quy đồng đầy đủ, rất hữu ích khi mẫu số lớn.

Định hướng. Quy đồng cả ba phân số về mẫu chung BCNN$(5,10,2)=10$ rồi so sánh tử.

Vậy $\frac{4}{5}>\frac{7}{10}>\frac{1}{2}$ nên môn bóng bàn được yêu thích nhất.

Định hướng. Đổi cả ba phân số sang số thập phân rồi so sánh trực tiếp.

Vậy bóng bàn có tỉ lệ lớn nhất nên được yêu thích nhất, khớp Cách 1.

Định hướng. So hai phân số một lúc, giữ lại phân số lớn hơn rồi so tiếp với phân số còn lại.

Vậy bóng bàn thắng cả hai môn còn lại nên được yêu thích nhất, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 không cần quy đồng cả ba cùng lúc, phù hợp khi chỉ cần tìm ra MỘT giá trị lớn nhất chứ không cần xếp hạng đầy đủ.

Định hướng. Quy đồng từng cặp phân số về mẫu chung BCNN rồi so sánh tử.

Vậy a) $\frac{5}{3}>\frac{15}{11}$ nên khối lượng $\frac{5}{3}$ kg lớn hơn;   b) $\frac{5}{6}>\frac{4}{5}$ nên vận tốc $\frac{4}{5}$ km/h nhỏ hơn.

Định hướng. Với hai mẫu dương, so sánh trực tiếp $a\cdot d$ với $b\cdot c$, không cần quy đồng.

Vậy a) $\frac{5}{3}>\frac{15}{11}$;   b) $\frac{5}{6}>\frac{4}{5}$, khớp Cách 1.

Định hướng. Đưa hai phân số về cùng tử dương rồi so sánh mẫu: cùng tử dương, mẫu nhỏ hơn thì phân số lớn hơn.

Vậy a) mẫu $9<11$ nên $\frac{15}{9}>\frac{15}{11}$, tức $\frac{5}{3}>\frac{15}{11}$;   b) mẫu $24<25$ nên $\frac{20}{24}>\frac{20}{25}$, tức $\frac{5}{6}>\frac{4}{5}$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 đặc biệt tiện khi hai tử có ước chung dễ tìm ($5$ và $15$, $5$ và $4$).

Định hướng. Tìm BCNN của cả bốn mẫu $12,100,4,3$ rồi quy đồng cả bốn phân số cùng lúc.

Vậy thứ tự từ lớn đến bé: Dơi Kitti $>$ Chuột chũi châu Âu $>$ Sóc chuột phương Đông $>$ Chuột túi có gai.

Định hướng. Đổi cả bốn phân số sang số thập phân rồi so sánh trực tiếp.

Vậy thứ tự từ lớn đến bé: Dơi Kitti $>$ Chuột chũi châu Âu $>$ Sóc chuột phương Đông $>$ Chuột túi có gai, khớp Cách 1.

Định hướng. Lấy $\frac{1}{3}$ (chiều dài Sóc chuột phương Đông) làm mốc, so từng phân số còn lại với mốc này trước khi so sánh chi tiết trong từng nhóm.

Vậy thứ tự từ lớn đến bé: Dơi Kitti $>$ Chuột chũi châu Âu $>$ Sóc chuột phương Đông $>$ Chuột túi có gai, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Dùng mốc trung gian giúp chia nhanh các số thành hai nhóm trước khi so sánh chi tiết, đỡ phải quy đồng cả bốn phân số cùng một lúc.

Định hướng. Viết phép chia $15$ quả cho $4$ người dưới dạng phân số, rồi đổi sang hỗn số bằng phép chia có dư.

Vậy $\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}$, mỗi người con được $3$ quả táo và $\frac{3}{4}$ quả táo.

Định hướng. Tách $15$ thành tổng chứa bội của $4$ rồi tách phân số thành tổng phần nguyên và phần dư.

Vậy $\frac{15}{4}=3\frac{3}{4}$, mỗi người con được $3$ quả táo và $\frac{3}{4}$ quả táo, khớp Cách 1.

Định hướng. Chia lần lượt mỗi người $1$ quả nguyên cho tới khi không đủ chia đều nữa, phần còn lại mới cắt nhỏ.

Vậy sau $3$ vòng chia nguyên, mỗi người con được $3$ quả táo và $\frac{3}{4}$ quả táo, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 mô phỏng đúng hành động chia táo thực tế, trong khi Cách 1 và Cách 2 là hai cách tính nhanh trên giấy cho cùng kết quả.