Chương VI. Phân số

Bài 25. Phép cộng và phép trừ phân số

SGK Toán 6 — Kết nối tri thức, tập 2 · 16 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Hoạt động 1★Trang 15— Cộng hai phân số cùng mẫu dương

Hoạt động 1 (trang 15). Em hãy nhắc lại quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu (có tử và mẫu dương) rồi tính các tổng

\frac{8}{11} + \frac{3}{11}

và

\frac{9}{12} + \frac{11}{12}

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu: $\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{a + b}{m}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai phân số ở mỗi tổng đều đã có sẵn cùng một mẫu dương (11 và 12) — dấu hiệu chỉ cần cộng hai tử số và giữ nguyên mẫu, không phải quy đồng gì thêm. Quy tắc rút ra ở đây là nền cho toàn bộ các mục cộng, trừ phân số phía sau, kể cả khi tử và mẫu là số nguyên bất kì.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp quy tắc cộng cùng mẫu

Định hướng. Hai phân số đã cùng mẫu dương, cộng ngay hai tử số và giữ nguyên mẫu.

\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = \frac{8 + 3}{11} = \frac{11}{11} = 1

\frac{9}{12} + \frac{11}{12} = \frac{9 + 11}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}

Vậy $\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = 1$ và $\frac{9}{12} + \frac{11}{12} = \frac{5}{3}$ .

2Cách 2. Viết phân số thành tích rồi dùng tính chất phân phối

Định hướng. Viết $\frac{a}{m} = a \cdot \frac{1}{m}$ rồi dùng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để gộp hai tử.

\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = 8 \cdot \frac{1}{11} + 3 \cdot \frac{1}{11} = (8 + 3) \cdot \frac{1}{11} = 11 \cdot \frac{1}{11} = 1

\frac{9}{12} + \frac{11}{12} = 9 \cdot \frac{1}{12} + 11 \cdot \frac{1}{12} = (9 + 11) \cdot \frac{1}{12} = 20 \cdot \frac{1}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = 1$ ; $\frac{9}{12} + \frac{11}{12} = \frac{5}{3}$ .

Nhận xét. Cách 2 lí giải vì sao quy tắc "cộng tử, giữ mẫu" đúng, dựa trên tính chất phân phối đã học ở phép nhân số nguyên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng tử giữ mẫu chỉ một dòng, nhanh gọn hơn hẳn việc viết lại dưới dạng tích rồi phân phối.

Đáp số.

\frac{8}{11} + \frac{3}{11} = 1

;

\frac{9}{12} + \frac{11}{12} = \frac{5}{3}

Sai lầm thường gặp. Cộng luôn cả mẫu (viết nhầm thành

\frac{8 + 3}{11 + 11}

) thay vì giữ nguyên mẫu — chỉ cộng tử, mẫu không đổi.

🚀 Mở rộng. Quy tắc này vẫn đúng khi tử và mẫu là số nguyên âm, miễn hai phân số cùng một mẫu — đây chính là điều Hoạt động 2 mở rộng sang trường hợp khác mẫu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập 1★Trang 16— Cộng hai phân số cùng mẫu (có tử âm)

Luyện tập 1 (trang 16). Tính:

\frac{- 7}{12} + \frac{5}{12}

;

\frac{- 8}{11} + \frac{- 19}{11}

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu — quy tắc áp dụng cho MỌI tử số nguyên, kể cả tử âm.
Cộng hai số nguyên âm: cộng hai giá trị tuyệt đối rồi đặt dấu âm trước kết quả.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai phép tính đều là cộng hai phân số đã cùng mẫu dương (12 và 11) nhưng tử số âm — vẫn dùng đúng quy tắc cộng tử giữ mẫu của Hoạt động 1, chỉ cần cộng đúng hai số nguyên ở tử. Bẫy ở phép thứ hai: cộng hai số âm cho ra một số âm có giá trị tuyệt đối LỚN hơn từng số hạng, dễ nhầm dấu nếu tính vội.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp quy tắc cộng cùng mẫu

Định hướng. Hai mẫu đã bằng nhau, cộng thẳng hai tử số nguyên rồi giữ nguyên mẫu.

\frac{- 7}{12} + \frac{5}{12} = \frac{( - 7 ) + 5}{12} = \frac{- 2}{12} = \frac{- 1}{6}

\frac{- 8}{11} + \frac{- 19}{11} = \frac{( - 8 ) + ( - 19 )}{11} = \frac{- 27}{11}

Vậy $\frac{- 7}{12} + \frac{5}{12} = \frac{- 1}{6}$ và $\frac{- 8}{11} + \frac{- 19}{11} = \frac{- 27}{11}$ .

2Cách 2. Dùng tính chất số đối để gộp dấu trước khi cộng

Định hướng. Ở phép đầu, đổi chỗ hai số hạng (giao hoán) để đưa số dương lên trước; ở phép sau, gộp hai số âm bằng số đối của tổng hai số dương tương ứng.

\frac{- 7}{12} + \frac{5}{12} = \frac{5}{12} + \frac{- 7}{12} = \frac{5 - 7}{12} = \frac{- 2}{12} = \frac{- 1}{6}

\frac{- 8}{11} + \frac{- 19}{11} = - (\frac{8}{11} + \frac{19}{11}) = - \frac{8 + 19}{11} = - \frac{27}{11} = \frac{- 27}{11}

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $\frac{- 1}{6}$ và $\frac{- 27}{11}$ .

Nhận xét. Gộp riêng phần dấu trước khi cộng giúp tránh nhầm dấu khi cả hai tử đều âm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng thẳng hai tử theo đúng quy tắc số nguyên, không cần tách riêng bước gộp dấu.

Đáp số.

\frac{- 7}{12} + \frac{5}{12} = \frac{- 1}{6}

;

\frac{- 8}{11} + \frac{- 19}{11} = \frac{- 27}{11}

Sai lầm thường gặp. Cộng hai số âm nhưng quên đặt dấu âm trước kết quả, viết nhầm

\frac{- 8}{11} + \frac{- 19}{11} = \frac{27}{11}

🚀 Mở rộng. Khi tử và mẫu khác dấu càng nhiều, nên gộp riêng phần dấu (Cách 2) trước khi cộng để giảm khả năng sai dấu, nhất là với tổng nhiều hơn hai phân số.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Hoạt động 2★★Trang 16— Cộng hai phân số khác mẫu

Hoạt động 2 (trang 16). Để thực hiện phép cộng

\frac{5}{7} + \frac{- 3}{4}

, em hãy làm theo các bước sau: quy đồng mẫu hai phân số

\frac{5}{7}

và

\frac{- 3}{4}

; sử dụng quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu để tính tổng hai phân số sau khi đã quy đồng.

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số cùng mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung.
Công thức tổng quát cộng hai phân số bất kì: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai mẫu 7 và 4 khác nhau — dấu hiệu phải quy đồng đưa về cùng một mẫu trước khi áp dụng quy tắc "cộng tử, giữ mẫu" vừa ôn ở Hoạt động 1. Vì

7

và

4

nguyên tố cùng nhau nên BCNN

(7, 4)

chính là tích

7 \cdot 4 = 28

, quy đồng ra ngay không cần phân tích thừa số phức tạp.

1Cách 1. Quy đồng theo BCNN

(7, 4)

rồi cộng

Định hướng. Hai mẫu 7, 4 nguyên tố cùng nhau nên BCNN $(7, 4) = 28$ ; nhân thêm đúng hệ số vào tử và mẫu của mỗi phân số rồi cộng cùng mẫu.

BCNN (7, 4) = 28

;

28 : 7 = 4

28 : 4 = 7

\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{20}{28}

\frac{- 3}{4} = \frac{- 3 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{- 21}{28}

\frac{5}{7} + \frac{- 3}{4} = \frac{20}{28} + \frac{- 21}{28} = \frac{20 - 21}{28} = \frac{- 1}{28}

Vậy $\frac{5}{7} + \frac{- 3}{4} = \frac{- 1}{28}$ .

2Cách 2. Áp dụng thẳng công thức tổng quát

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}

Định hướng. Không cần tìm BCNN, thay trực tiếp $a = 5, b = 7, c = - 3, d = 4$ vào công thức tổng quát rồi rút gọn nếu cần.

\frac{5}{7} + \frac{- 3}{4} = \frac{5 \cdot 4 + ( - 3 ) \cdot 7}{7 \cdot 4} = \frac{20 + ( - 21 )}{28} = \frac{- 1}{28}

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $\frac{5}{7} + \frac{- 3}{4} = \frac{- 1}{28}$ .

3Cách 3. Thử lại bằng ước lượng giá trị

Định hướng. Ước lượng $\frac{5}{7}$ xấp xỉ $0, 71$ và $\frac{- 3}{4} = - 0, 75$ để kiểm tra dấu và độ lớn của kết quả trước khi tin vào phép tính chính xác.

\frac{5}{7} \approx 0, 71

;

\frac{- 3}{4} = - 0, 75

0, 71 + (- 0, 75) \approx - 0, 04

\frac{- 1}{28} \approx - 0, 0357

Vậy giá trị ước lượng $- 0, 04$ khớp với $\frac{- 1}{28} \approx - 0, 0357$ , xác nhận Cách 1 và Cách 2 tính đúng.

Nhận xét. Ước lượng chỉ dùng để KIỂM TRA dấu và độ lớn, không thay được phép tính chính xác bằng phân số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: trình bày rõ bước quy đồng theo BCNN, vừa đúng chuẩn SGK vừa dễ soát lại từng bước nếu sai.

Đáp số.

\frac{5}{7} + \frac{- 3}{4} = \frac{- 1}{28}

Sai lầm thường gặp. Quy đồng nhưng quên nhân hệ số vào TỬ, chỉ đổi mẫu (viết nhầm

\frac{5}{28}

thay vì

\frac{20}{28}

🚀 Mở rộng. Khi hai mẫu không nguyên tố cùng nhau (như 6 và 4), BCNN sẽ nhỏ hơn tích hai mẫu — khi đó Cách 1 (BCNN) cho số liệu gọn hơn hẳn Cách 2 (tích hai mẫu).

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 2★★Trang 16— Cộng hai phân số khác mẫu, đều âm

Luyện tập 2 (trang 16). Tính:

\frac{- 5}{8} + \frac{- 7}{20}

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu (thường lấy BCNN) rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung.
$8 = 2^{3}$ , $20 = 2^{2} \cdot 5$ nên $BCNN (8, 20) = 2^{3} \cdot 5 = 40$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai mẫu 8 và 20 khác nhau và không nguyên tố cùng nhau (

8 = 2^{3}

20 = 2^{2} \cdot 5

) — phải tìm BCNN

(8, 20) = 40

rồi quy đồng, khác với trường hợp Hoạt động 2 là hai mẫu nguyên tố cùng nhau. Cả hai tử đều âm nên kết quả chắc chắn âm, cần giữ đúng dấu trừ trong suốt phép tính.

1Cách 1. Quy đồng theo BCNN

(8, 20)

rồi cộng

Định hướng. Phân tích $8 = 2^{3}$ , $20 = 2^{2} \cdot 5$ để lấy BCNN $= 40$ làm mẫu chung nhỏ nhất, rồi cộng cùng mẫu.

BCNN (8, 20) = 40

;

40 : 8 = 5

40 : 20 = 2

\frac{- 5}{8} = \frac{- 5 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{- 25}{40}

\frac{- 7}{20} = \frac{- 7 \cdot 2}{20 \cdot 2} = \frac{- 14}{40}

\frac{- 5}{8} + \frac{- 7}{20} = \frac{- 25}{40} + \frac{- 14}{40} = \frac{- 39}{40}

Vậy $\frac{- 5}{8} + \frac{- 7}{20} = \frac{- 39}{40}$ .

2Cách 2. Gộp riêng dấu trừ rồi quy đồng hai số dương

Định hướng. Đưa dấu âm ra ngoài trước, tổng hai phân số âm bằng số đối của tổng hai phân số dương tương ứng, nhờ đó chỉ còn phải cộng hai số dương quen thuộc.

\frac{- 5}{8} + \frac{- 7}{20} = - (\frac{5}{8} + \frac{7}{20})

\frac{5}{8} = \frac{25}{40}

\frac{7}{20} = \frac{14}{40}

\frac{5}{8} + \frac{7}{20} = \frac{25}{40} + \frac{14}{40} = \frac{39}{40}

\frac{- 5}{8} + \frac{- 7}{20} = - \frac{39}{40} = \frac{- 39}{40}

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $\frac{- 39}{40}$ .

3Cách 3. Áp dụng công thức tổng quát

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}

Định hướng. Thay trực tiếp vào công thức tổng quát với mẫu chung tạm $8 \cdot 20 = 160$ rồi rút gọn về mẫu nhỏ nhất.

\frac{- 5}{8} + \frac{- 7}{20} = \frac{( - 5 ) \cdot 20 + ( - 7 ) \cdot 8}{8 \cdot 20} = \frac{- 100 + ( - 56 )}{160} = \frac{- 156}{160}

\frac{- 156}{160} = \frac{- 156 : 4}{160 : 4} = \frac{- 39}{40}

Vậy kết quả vẫn là $\frac{- 39}{40}$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 luôn đúng nhưng mẫu tạm $160$ lớn hơn BCNN $40$ gấp bốn lần, phải rút gọn thêm một bước.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy đồng theo đúng BCNN cho mẫu chung nhỏ nhất, khỏi mất công rút gọn lại như Cách 3.

Đáp số.

\frac{- 5}{8} + \frac{- 7}{20} = \frac{- 39}{40}

Sai lầm thường gặp. Lấy mẫu chung không phải bội chung của cả hai mẫu (ví dụ lấy 28 vì cộng nhầm 8+20), khiến các bước quy đồng sau đều sai.

🚀 Mở rộng. Khi tổng có ba phân số trở lên với các mẫu không đôi một nguyên tố cùng nhau, cách gộp riêng dấu (Cách 2) giúp nhóm các số cùng dấu lại, hạn chế nhầm dấu khi quy đồng nhiều phân số cùng lúc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Hoạt động 3★Trang 16— Khám phá khái niệm số đối của phân số

Hoạt động 3 (trang 16). Tính các tổng:

\frac{1}{2} + \frac{- 1}{2}

;

\frac{1}{2} + \frac{1}{- 2}

. Em có nhận xét gì về các kết quả nhận được?

Kiến thức cần nhớ

Hai phân số bằng nhau nếu viết dưới dạng khác nhau nhưng cùng giá trị: $\frac{- a}{b} = \frac{a}{- b}$ .
Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu.

🧠 Phân tích tư duy

Hai phép cộng đều có một số hạng là

\frac{1}{2}

, số hạng còn lại là dạng viết khác nhau của cùng một phân số

\frac{- 1}{2}

(viết dấu trừ ở tử hoặc ở mẫu) — dấu hiệu hai số hạng này chỉ khác nhau về CÁCH VIẾT chứ cùng một giá trị. Việc cả hai tổng đều bằng

0

chính là điều dẫn tới định nghĩa "số đối" ngay sau đó.

1Cách 1. Tính trực tiếp bằng quy tắc cộng cùng mẫu

Định hướng. Cả hai tổng đều là hai phân số cùng mẫu $2$ (hoặc $- 2$ ), cộng thẳng hai tử.

\frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} = \frac{1 + ( - 1 )}{2} = \frac{0}{2} = 0

\frac{1}{2} + \frac{1}{- 2} = \frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} = \frac{1 + ( - 1 )}{2} = 0

Vậy cả hai tổng đều bằng $0$ .

2Cách 2. Minh hoạ trên trục số

Định hướng. Trên trục số, $\frac{1}{2}$ và $\frac{- 1}{2}$ nằm đối xứng nhau qua gốc $O$ , cách đều $O$ một khoảng $\frac{1}{2}$ đơn vị.

Điểm

\frac{1}{2}

cách

O

về bên phải

\frac{1}{2}

đơn vị
Điểm

\frac{- 1}{2}

cách

O

về bên trái

\frac{1}{2}

đơn vị
Hai bước di chuyển ngược hướng, cùng độ dài nên triệt tiêu nhau tại

O

Vậy cả hai tổng đều bằng $0$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Hai số có tổng bằng $0$ luôn đối xứng nhau qua gốc $O$ trên trục số — đây chính là hình ảnh trực quan của khái niệm "số đối".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng trực tiếp theo quy tắc cùng mẫu, nhanh và chắc chắn hơn việc vẽ hình.

Đáp số.

\frac{1}{2} + \frac{- 1}{2} = 0

và

\frac{1}{2} + \frac{1}{- 2} = 0

; nhận xét: hai tổng đều bằng

0

vì hai số hạng ở mỗi tổng là hai số đối nhau.

Sai lầm thường gặp. Coi

\frac{1}{- 2}

khác giá trị với

\frac{- 1}{2}

nên tính sai tổng thứ hai — thực chất

\frac{1}{- 2} = \frac{- 1}{2}

🚀 Mở rộng. Kết quả này chính là định nghĩa số đối: hai số gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng

0

, số đối của

\frac{a}{b}

kí hiệu là

- \frac{a}{b}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 3★Trang 16— Tìm số đối của một phân số

Luyện tập 3 (trang 16). Tìm số đối của các phân số sau:

\frac{1}{3}

;

\frac{- 1}{3}

và

\frac{- 4}{5}

Kiến thức cần nhớ

Số đối của phân số $\frac{a}{b}$ là $- \frac{a}{b}$ , kí hiệu sao cho $\frac{a}{b} + (- \frac{a}{b}) = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ba phân số có dấu khác nhau (dương, âm ở tử) — dấu hiệu chỉ cần áp dụng đúng định nghĩa "số đối của

\frac{a}{b}

là

- \frac{a}{b}

", tức đổi dấu tử và giữ nguyên mẫu dương. Bẫy ở phân số

\frac{- 1}{3}

: số đối của một số ÂM phải là số DƯƠNG, dễ nhầm lẫn nếu chỉ nhìn qua loa.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp định nghĩa số đối

Định hướng. Đổi dấu tử số của từng phân số đã cho, giữ nguyên mẫu dương.

Số đối của

\frac{1}{3}

là

\frac{- 1}{3}

Số đối của

\frac{- 1}{3}

là

\frac{1}{3}

Số đối của

\frac{- 4}{5}

là

\frac{4}{5}

Vậy số đối lần lượt là $\frac{- 1}{3}$ ; $\frac{1}{3}$ ; $\frac{4}{5}$ .

2Cách 2. Thử lại bằng cách cộng và kiểm tra tổng bằng 0

Định hướng. Cộng mỗi phân số đã cho với kết quả vừa tìm, tổng phải bằng $0$ thì số đối tìm được mới đúng.

\frac{1}{3} + \frac{- 1}{3} = \frac{1 + ( - 1 )}{3} = 0

\frac{- 1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{- 1 + 1}{3} = 0

\frac{- 4}{5} + \frac{4}{5} = \frac{- 4 + 4}{5} = 0

Vậy cả ba tổng đều bằng $0$ , xác nhận số đối tìm được ở Cách 1 là đúng.

Nhận xét. Phép thử này rất hữu ích khi chưa chắc chắn đã đổi dấu đúng phân số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi dấu tử là ra kết quả ngay, không cần bước cộng lại để kiểm tra.

Đáp số. Số đối của

\frac{1}{3}

là

\frac{- 1}{3}

; số đối của

\frac{- 1}{3}

là

\frac{1}{3}

; số đối của

\frac{- 4}{5}

là

\frac{4}{5}

Sai lầm thường gặp. Nhầm số đối của

\frac{- 1}{3}

vẫn là

\frac{- 1}{3}

(không đổi dấu) vì không để ý phân số gốc đã mang dấu âm.

🚀 Mở rộng. Số đối của số

0

chính là

0

(vì

0 + 0 = 0

) — đây là trường hợp đặc biệt duy nhất mà số và số đối của nó trùng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 4★★Trang 17— Tính hợp lí tổng nhiều phân số bằng tính chất giao hoán, kết hợp

Luyện tập 4 (trang 17). Tính một cách hợp lí:

B = \frac{- 1}{9} + \frac{8}{7} + \frac{10}{9} + \frac{- 29}{7}

Kiến thức cần nhớ

Tính chất giao hoán: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}$ .
Tính chất kết hợp: $(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + (\frac{c}{d} + \frac{e}{f})$ .
Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phân số chỉ có hai mẫu khác nhau là

9

và

7

, mỗi mẫu xuất hiện đúng hai lần — dấu hiệu nên dùng tính chất giao hoán để nhóm hai số hạng cùng mẫu lại với nhau trước khi cộng, thay vì quy đồng cả bốn phân số về một mẫu chung ngay từ đầu. Cụm từ "tính một cách hợp lí" trong đề chính là gợi ý phải NHÓM trước khi tính, chứ không quy đồng máy móc theo thứ tự viết. Bẫy ở chỗ nhóm nhầm hai số hạng khác mẫu với nhau thì vẫn phải quy đồng, mất hết ý nghĩa của việc nhóm.

1Cách 1. Nhóm hai số hạng cùng mẫu bằng tính chất giao hoán, kết hợp

Định hướng. Đổi chỗ để hai phân số mẫu $9$ đứng cạnh nhau, hai phân số mẫu $7$ đứng cạnh nhau, rồi cộng từng cặp cùng mẫu.

B = \frac{- 1}{9} + \frac{8}{7} + \frac{10}{9} + \frac{- 29}{7} = (\frac{- 1}{9} + \frac{10}{9}) + (\frac{8}{7} + \frac{- 29}{7})

= \frac{- 1 + 10}{9} + \frac{8 + ( - 29 )}{7} = \frac{9}{9} + \frac{- 21}{7}

= 1 + (- 3) = - 2

Vậy $B = - 2$ .

2Cách 2. Quy đồng toàn bộ về một mẫu chung rồi cộng trực tiếp

Định hướng. Không nhóm, quy đồng cả bốn phân số về mẫu chung $BCNN (9, 7) = 63$ rồi cộng theo đúng thứ tự đề cho.

\frac{- 1}{9} = \frac{- 7}{63}

\frac{8}{7} = \frac{72}{63}

\frac{10}{9} = \frac{70}{63}

\frac{- 29}{7} = \frac{- 261}{63}

B = \frac{- 7}{63} + \frac{72}{63} + \frac{70}{63} + \frac{- 261}{63} = \frac{- 7 + 72 + 70 - 261}{63} = \frac{- 126}{63} = - 2

Vậy $B = - 2$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 luôn đúng nhưng số liệu (mẫu $63$ , tử tới $261$ ) cồng kềnh hơn hẳn Cách 1 — đây chính là lý do đề bài yêu cầu "tính một cách hợp lí".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhóm đúng hai cặp cùng mẫu bằng giao hoán, kết hợp — tính nhẩm được ngay, không phải quy đồng số lớn.

Đáp số.

B = - 2

Sai lầm thường gặp. Nhóm nhầm hai phân số khác mẫu lại với nhau (ví dụ nhóm

\frac{- 1}{9}

với

\frac{8}{7}

) khiến không thể cộng trực tiếp mà vẫn quy đồng, mất hết ý nghĩa của phép "tính hợp lí".

🚀 Mở rộng. Kĩ thuật nhóm theo mẫu giống nhau còn dùng được khi tổng có nhiều hơn bốn phân số, miễn các mẫu lặp lại thành từng cặp hoặc từng nhóm rõ ràng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Hoạt động 4★Trang 17— Trừ hai phân số dương

Hoạt động 4 (trang 17). Em hãy nhắc lại quy tắc trừ hai phân số (cả tử và mẫu đều dương) đã học rồi tính các hiệu sau:

\frac{7}{13} - \frac{5}{13}

và

\frac{3}{4} - \frac{1}{5}

Kiến thức cần nhớ

Muốn trừ hai phân số cùng mẫu, ta lấy tử số của phân số thứ nhất trừ đi tử số của phân số thứ hai, giữ nguyên mẫu: $\frac{a}{m} - \frac{b}{m} = \frac{a - b}{m}$ .
Muốn trừ hai phân số khác mẫu, ta quy đồng mẫu rồi trừ hai phân số cùng mẫu vừa có được.

🧠 Phân tích tư duy

Phép trừ đầu có hai phân số đã cùng mẫu dương

13

— chỉ cần trừ tử giữ mẫu; phép trừ sau có hai mẫu khác nhau

4

và

5

— phải quy đồng trước khi trừ, đúng quy tắc đã học ở lớp dưới với phân số dương. Đây là bước chuẩn bị để Mục 3 mở rộng quy tắc trừ sang phân số có tử, mẫu là số nguyên bất kì.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp quy tắc trừ phân số

Định hướng. Phép đầu đã cùng mẫu, trừ tử ngay; phép sau quy đồng mẫu chung $BCNN (4, 5) = 20$ rồi trừ.

\frac{7}{13} - \frac{5}{13} = \frac{7 - 5}{13} = \frac{2}{13}

\frac{3}{4} = \frac{15}{20}

\frac{1}{5} = \frac{4}{20}

\frac{3}{4} - \frac{1}{5} = \frac{15}{20} - \frac{4}{20} = \frac{15 - 4}{20} = \frac{11}{20}

Vậy $\frac{7}{13} - \frac{5}{13} = \frac{2}{13}$ và $\frac{3}{4} - \frac{1}{5} = \frac{11}{20}$ .

2Cách 2. Chuyển phép trừ thành phép cộng với số đối

Định hướng. Trừ một phân số cũng là cộng với số đối của phân số đó, rồi áp dụng đúng quy tắc cộng đã ôn ở Mục 1.

\frac{7}{13} - \frac{5}{13} = \frac{7}{13} + \frac{- 5}{13} = \frac{7 + ( - 5 )}{13} = \frac{2}{13}

\frac{3}{4} - \frac{1}{5} = \frac{3}{4} + \frac{- 1}{5} = \frac{15}{20} + \frac{- 4}{20} = \frac{15 + ( - 4 )}{20} = \frac{11}{20}

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $\frac{2}{13}$ và $\frac{11}{20}$ .

3Cách 3. Thử lại bằng phép cộng ngược

Định hướng. Hiệu cộng với số bị trừ ở vị trí số trừ phải cho lại đúng số bị trừ ban đầu.

\frac{2}{13} + \frac{5}{13} = \frac{2 + 5}{13} = \frac{7}{13}

\frac{11}{20} + \frac{1}{5} = \frac{11}{20} + \frac{4}{20} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}

Vậy cả hai phép thử đều cho lại đúng số bị trừ ban đầu, xác nhận hai hiệu ở Cách 1 là đúng.

Nhận xét. Thử lại bằng phép cộng ngược là cách kiểm tra nhanh, không cần làm lại toàn bộ phép trừ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp dụng thẳng quy tắc trừ, không phải đổi dạng sang phép cộng như Cách 2.

Đáp số.

\frac{7}{13} - \frac{5}{13} = \frac{2}{13}

;

\frac{3}{4} - \frac{1}{5} = \frac{11}{20}

Sai lầm thường gặp. Quy đồng mẫu ở phép sau nhưng quên nhân hệ số vào tử, viết nhầm

\frac{3}{20} - \frac{1}{20}

thay vì

\frac{15}{20} - \frac{4}{20}

🚀 Mở rộng. Cách 2 (đổi trừ thành cộng số đối) là kĩ thuật SẼ dùng chính thức ở Nhận xét cuối Mục 3, cho phép áp dụng quy tắc cộng phân số bất kì (kể cả âm) để trừ mà không cần nhớ thêm quy tắc trừ riêng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 5★★Trang 18— Trừ phân số có số trừ hoặc số bị trừ âm

Luyện tập 5 (trang 18). Tính: a)

\frac{3}{5} - \frac{- 1}{3}

; b)

- 3 - \frac{2}{7}

Kiến thức cần nhớ

Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta có thể cộng số bị trừ với số đối của số trừ: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a}{b} + (- \frac{c}{d})$ .
Mọi số nguyên $n$ đều viết được dưới dạng phân số có mẫu bất kì khác $0$ : $n = \frac{n \cdot k}{k}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) là hiệu của một phân số dương với một phân số ÂM — dấu hiệu trừ đi số âm nên kết quả sẽ LỚN hơn số bị trừ ban đầu. Ý b) có số bị trừ là số nguyên

- 3

, cần viết lại dưới dạng phân số có mẫu

7

trước khi trừ. Bẫy ở cả hai ý là dấu trừ kép "

- (- 1/3)

" và số nguyên âm

- 3

dễ quên đổi dấu hoặc quên đổi thành phân số.

1Cách 1. Đổi về cùng mẫu rồi trừ trực tiếp

Định hướng. Ý a) quy đồng hai phân số về mẫu $15$ rồi trừ tử; ý b) viết $- 3 = \frac{- 21}{7}$ để cùng mẫu với $\frac{2}{7}$ rồi trừ tử.

\frac{3}{5} = \frac{9}{15}

\frac{- 1}{3} = \frac{- 5}{15}

\frac{3}{5} - \frac{- 1}{3} = \frac{9}{15} - \frac{- 5}{15} = \frac{9 - ( - 5 )}{15} = \frac{14}{15}

- 3 = \frac{- 21}{7}

- 3 - \frac{2}{7} = \frac{- 21}{7} - \frac{2}{7} = \frac{- 21 - 2}{7} = \frac{- 23}{7}

Vậy a) $\frac{3}{5} - \frac{- 1}{3} = \frac{14}{15}$ ; b) $- 3 - \frac{2}{7} = \frac{- 23}{7}$ .

2Cách 2. Cộng số bị trừ với số đối của số trừ

Định hướng. Đổi cả hai phép trừ thành phép cộng với số đối, rồi áp dụng quy tắc cộng phân số đã học.

\frac{3}{5} - \frac{- 1}{3} = \frac{3}{5} + \frac{1}{3} = \frac{9}{15} + \frac{5}{15} = \frac{14}{15}

- 3 - \frac{2}{7} = \frac{- 21}{7} + \frac{- 2}{7} = \frac{- 21 + ( - 2 )}{7} = \frac{- 23}{7}

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $\frac{14}{15}$ và $\frac{- 23}{7}$ .

3Cách 3. Thử lại bằng phép cộng ngược

Định hướng. Cộng hiệu vừa tìm với số trừ ban đầu phải cho lại đúng số bị trừ.

\frac{14}{15} + \frac{- 1}{3} = \frac{14}{15} + \frac{- 5}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}

\frac{- 23}{7} + \frac{2}{7} = \frac{- 23 + 2}{7} = \frac{- 21}{7} = - 3

Vậy cả hai phép thử đều cho lại đúng số bị trừ ban đầu, xác nhận hai kết quả trên là đúng.

Nhận xét. Với số bị trừ là số nguyên như ý b), luôn nên đổi ngay số nguyên đó thành phân số cùng mẫu trước khi làm bất kì cách nào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: cộng với số đối tránh được lỗi "trừ đi số âm" hay bị nhầm dấu khi làm trực tiếp phép trừ.

Đáp số. a)

\frac{3}{5} - \frac{- 1}{3} = \frac{14}{15}

; b)

- 3 - \frac{2}{7} = \frac{- 23}{7}

Sai lầm thường gặp. Trừ đi số âm nhưng quên đổi dấu, viết nhầm

\frac{3}{5} - \frac{- 1}{3} = \frac{3}{5} - \frac{1}{3}

(làm mất đi dấu trừ của số trừ).

🚀 Mở rộng. Quy tắc "trừ bằng cộng với số đối" áp dụng được cho MỌI phép trừ phân số, kể cả khi số bị trừ hoặc số trừ là số nguyên — chính là nội dung của khung Nhận xét ngay sau bài này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Thử thách nhỏ★★★Trang 18— Tìm số hạng chưa biết trong sơ đồ tổng hình tháp

Thử thách nhỏ (trang 18). Thay dấu "?" bằng các phân số thích hợp để hoàn thiện sơ đồ hình tháp, biết số trong mỗi ô ở hàng trên bằng tổng của hai ô kề nó ở hàng dưới. Hàng dưới cùng (từ trái sang phải) là

\frac{1}{25}

;

\frac{- 6}{25}

; "?". Hàng giữa (từ trái sang phải) là "?";

\frac{8}{25}

. Hàng trên cùng là một ô "?" duy nhất.

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu.
Nếu $x + a = b$ (đều là phân số) thì $x = b - a$ — dùng để tính ngược một số hạng khi đã biết tổng và số hạng còn lại.

🧠 Phân tích tư duy

Sơ đồ có ba ô chưa biết nhưng ba ô đã biết giá trị (

\frac{1}{25}

\frac{- 6}{25}

\frac{8}{25}

) đủ để tính LẦN LƯỢT từng ô còn lại — dấu hiệu phải xác định đúng THỨ TỰ tính: ô giữa bên trái tính được ngay từ hai ô đáy đã biết, còn ô đáy bên phải phải tính NGƯỢC (lấy phép trừ) từ ô giữa bên phải đã biết. Bẫy là dễ tính nhầm ô đáy bên phải bằng phép cộng thay vì phép trừ ngược.

1Cách 1. Tính xuôi từ hàng dưới lên, xen kẽ một bước tính ngược

Định hướng. Ô giữa trái tính được ngay bằng phép cộng hai ô đáy đã biết; ô đáy phải phải tính ngược từ ô giữa phải $\frac{8}{25}$ và ô đáy giữa $\frac{- 6}{25}$ ; cuối cùng ô đỉnh bằng tổng hai ô giữa.

Ô giữa trái

= \frac{1}{25} + \frac{- 6}{25} = \frac{1 + ( - 6 )}{25} = \frac{- 5}{25} = \frac{- 1}{5}

Gọi ô đáy phải là

x

\frac{- 6}{25} + x = \frac{8}{25}

x = \frac{8}{25} - \frac{- 6}{25} = \frac{8 - ( - 6 )}{25} = \frac{14}{25}

Ô đỉnh

= \frac{- 5}{25} + \frac{8}{25} = \frac{- 5 + 8}{25} = \frac{3}{25}

Vậy ô giữa trái là $\frac{- 1}{5}$ , ô đáy phải là $\frac{14}{25}$ , ô đỉnh là $\frac{3}{25}$ .

2Cách 2. Tính ô đáy phải trước bằng phép trừ ngược, rồi tính ngược lên

Định hướng. Bắt đầu ngay từ ô CHƯA BIẾT khó nhất (ô đáy phải), dùng ô giữa phải đã cho để trừ ngược ra ô đáy phải, sau đó mới tính các ô còn lại theo đúng chiều xuôi.

Gọi ô đáy phải là

x

\frac{- 6}{25} + x = \frac{8}{25}

x = \frac{8}{25} - \frac{- 6}{25} = \frac{14}{25}

Ô giữa trái

= \frac{1}{25} + \frac{- 6}{25} = \frac{- 5}{25} = \frac{- 1}{5}

Ô đỉnh

= \frac{- 1}{5} + \frac{8}{25} = \frac{- 5}{25} + \frac{8}{25} = \frac{3}{25}

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: ô đáy phải $\frac{14}{25}$ , ô giữa trái $\frac{- 1}{5}$ , ô đỉnh $\frac{3}{25}$ .

3Cách 3. Thử lại toàn bộ sơ đồ bằng cách cộng xuôi từ dưới lên

Định hướng. Điền đủ ba ô vừa tìm vào sơ đồ rồi cộng lại toàn bộ theo đúng quy tắc "ô trên bằng tổng hai ô dưới" để kiểm tra không sai ô nào.

\frac{1}{25} + \frac{- 6}{25} = \frac{- 1}{5}

(đúng ô giữa trái)

\frac{- 6}{25} + \frac{14}{25} = \frac{8}{25}

(đúng ô giữa phải)

\frac{- 1}{5} + \frac{8}{25} = \frac{- 5}{25} + \frac{8}{25} = \frac{3}{25}

(đúng ô đỉnh)

Vậy cả ba phép cộng đều khớp với ba ô đã biết trong đề, xác nhận sơ đồ điền đúng.

Nhận xét. Luôn nên thử lại cả sơ đồ sau khi điền, vì sai một ô sẽ kéo theo sai luôn ô phía trên nó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính xuôi các ô có thể tính ngay trước, chỉ tính ngược đúng một ô khó — ít khả năng nhầm hơn việc tính ngược ngay từ đầu.

Đáp số. Ô giữa trái

= \frac{- 1}{5}

; ô đáy phải

= \frac{14}{25}

; ô đỉnh

= \frac{3}{25}

Sai lầm thường gặp. Tính ô đáy phải bằng phép CỘNG thay vì phép TRỪ ngược, viết nhầm

\frac{- 6}{25} + \frac{8}{25} = \frac{2}{25}

làm ô đáy phải thay vì phải giải phương trình

\frac{- 6}{25} + x = \frac{8}{25}

🚀 Mở rộng. Sơ đồ hình tháp càng nhiều tầng thì càng cần xác định đúng thứ tự ô nào tính được ngay (xuôi) và ô nào phải tính ngược (dùng phép trừ) trước khi điền toàn bộ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 6.21★Trang 18— Cộng hai phân số cùng mẫu và khác mẫu

Bài 6.21 (trang 18). Tính: a)

\frac{- 1}{13} + \frac{9}{13}

; b)

\frac{- 3}{8} + \frac{5}{12}

Kiến thức cần nhớ

Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu.
$8 = 2^{3}$ , $12 = 2^{2} \cdot 3$ nên $BCNN (8, 12) = 2^{3} \cdot 3 = 24$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) hai phân số đã cùng mẫu dương

13

— cộng tử trực tiếp. Ý b) hai mẫu

8

và

12

khác nhau, không nguyên tố cùng nhau (

8 = 2^{3}

12 = 2^{2} \cdot 3

) — phải quy đồng theo

BCNN (8, 12) = 24

trước khi cộng.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp quy tắc cộng

Định hướng. Ý a) cộng tử giữ mẫu ngay; ý b) quy đồng theo BCNN $(8, 12) = 24$ rồi cộng.

\frac{- 1}{13} + \frac{9}{13} = \frac{- 1 + 9}{13} = \frac{8}{13}

\frac{- 3}{8} = \frac{- 9}{24}

\frac{5}{12} = \frac{10}{24}

\frac{- 3}{8} + \frac{5}{12} = \frac{- 9}{24} + \frac{10}{24} = \frac{- 9 + 10}{24} = \frac{1}{24}

Vậy a) $\frac{- 1}{13} + \frac{9}{13} = \frac{8}{13}$ ; b) $\frac{- 3}{8} + \frac{5}{12} = \frac{1}{24}$ .

2Cách 2. Áp dụng công thức tổng quát

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d + b c}{b d}

Định hướng. Với ý b), thay trực tiếp vào công thức tổng quát với mẫu tạm $8 \cdot 12 = 96$ rồi rút gọn.

\frac{- 1}{13} + \frac{9}{13} = \frac{( - 1 ) + 9}{13} = \frac{8}{13}

\frac{- 3}{8} + \frac{5}{12} = \frac{( - 3 ) \cdot 12 + 5 \cdot 8}{8 \cdot 12} = \frac{- 36 + 40}{96} = \frac{4}{96} = \frac{1}{24}

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $\frac{8}{13}$ và $\frac{1}{24}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy đồng theo BCNN cho số liệu gọn ngay, không cần rút gọn lại như Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{8}{13}

; b)

\frac{1}{24}

Sai lầm thường gặp. Quy đồng ý b) nhưng quên đổi dấu tử khi nhân hệ số, viết nhầm

\frac{- 3}{8} = \frac{9}{24}

(làm mất dấu trừ).

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

\frac{5}{12}

thành

\frac{- 5}{12}

, kết quả ý b) sẽ đổi thành

\frac{- 19}{24}

— thử tính lại để kiểm tra hiểu đúng quy tắc cộng tử.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 6.22★Trang 18— Tìm số đối của phân số viết ở nhiều dạng dấu khác nhau

Bài 6.22 (trang 18). Tìm số đối của các phân số sau:

\frac{- 3}{7}

;

\frac{6}{13}

;

\frac{4}{- 3}

Kiến thức cần nhớ

Số đối của phân số $\frac{a}{b}$ là $- \frac{a}{b}$ .
Đưa phân số về mẫu dương: $\frac{a}{- b} = \frac{- a}{b}$ (đổi dấu cả tử và mẫu).

🧠 Phân tích tư duy

Ba phân số được viết ở BA kiểu dấu khác nhau: tử âm (

\frac{- 3}{7}

), cả tử mẫu dương (

\frac{6}{13}

), và mẫu âm (

\frac{4}{- 3}

) — dấu hiệu phải đưa phân số có mẫu âm về dạng chuẩn (mẫu dương) trước khi áp dụng định nghĩa số đối, tránh nhầm lẫn khi đổi dấu. Đây là dạng bài kiểm tra xem học sinh có hiểu số đối là một GIÁ TRỊ, không phụ thuộc cách viết dấu ở tử hay ở mẫu, hay không. Bẫy lớn nhất nằm ở

\frac{4}{- 3}

: nếu quên quy về mẫu dương, rất dễ đổi dấu sai chỗ.

1Cách 1. Đưa về mẫu dương rồi đổi dấu tử

Định hướng. Với $\frac{4}{- 3}$ , đổi dấu cả tử và mẫu để mẫu dương trước, sau đó áp dụng định nghĩa số đối cho cả ba phân số.

\frac{4}{- 3} = \frac{- 4}{3}

Số đối của

\frac{- 3}{7}

là

\frac{3}{7}

Số đối của

\frac{6}{13}

là

\frac{- 6}{13}

Số đối của

\frac{- 4}{3}

là

\frac{4}{3}

Vậy số đối lần lượt là $\frac{3}{7}$ ; $\frac{- 6}{13}$ ; $\frac{4}{3}$ .

2Cách 2. Đổi dấu mẫu thay vì đổi dấu tử

Định hướng. Dùng tính chất $- \frac{a}{b} = \frac{a}{- b}$ : số đối của một phân số cũng viết được bằng cách đổi dấu MẪU thay vì đổi dấu tử.

Số đối của

\frac{- 3}{7}

là

\frac{- 3}{- 7}

, mà

\frac{- 3}{- 7} = \frac{3}{7}

Số đối của

\frac{6}{13}

là

\frac{6}{- 13}

, mà

\frac{6}{- 13} = \frac{- 6}{13}

Số đối của

\frac{4}{- 3}

là

\frac{4}{3}

(đổi dấu mẫu từ

- 3

thành

3

)

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $\frac{3}{7}$ ; $\frac{- 6}{13}$ ; $\frac{4}{3}$ .

3Cách 3. Thử lại bằng cách cộng và kiểm tra tổng bằng 0

Định hướng. Cộng mỗi phân số đã cho (đưa cùng mẫu dương) với kết quả vừa tìm, tổng phải bằng $0$ .

\frac{- 3}{7} + \frac{3}{7} = 0

\frac{6}{13} + \frac{- 6}{13} = 0

\frac{- 4}{3} + \frac{4}{3} = 0

Vậy cả ba tổng đều bằng $0$ , xác nhận ba số đối tìm được là đúng.

Nhận xét. Phân số $\frac{4}{- 3}$ nên đổi về mẫu dương $\frac{- 4}{3}$ ngay từ đầu để tránh nhầm lẫn khi tìm số đối và khi cộng thử lại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi mẫu âm về mẫu dương trước tiên, sau đó đổi dấu tử — hạn chế tối đa khả năng nhầm dấu hai lần liên tiếp.

Đáp số. Số đối của

\frac{- 3}{7}

là

\frac{3}{7}

; số đối của

\frac{6}{13}

là

\frac{- 6}{13}

; số đối của

\frac{4}{- 3}

là

\frac{4}{3}

Sai lầm thường gặp. Với

\frac{4}{- 3}

, quên đổi về mẫu dương trước nên đổi dấu nhầm thành

\frac{- 4}{- 3}

(vẫn bằng phân số ban đầu, không phải số đối).

🚀 Mở rộng. Bài toán vẫn giải được bằng cách giữ nguyên mẫu âm và chỉ đổi dấu tử (

- \frac{4}{- 3} = \frac{- 4}{- 3}

rồi rút gọn dấu), nhưng luôn nên quy về mẫu dương trước để giảm rủi ro tính sai.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 6.23★Trang 18— Trừ hai phân số cùng mẫu và khác mẫu

Bài 6.23 (trang 18). Tính: a)

\frac{- 5}{3} - \frac{- 7}{3}

; b)

\frac{5}{6} - \frac{8}{9}

Kiến thức cần nhớ

Muốn trừ hai phân số cùng mẫu, ta lấy tử số của phân số thứ nhất trừ đi tử số của phân số thứ hai, giữ nguyên mẫu.
$6 = 2 \cdot 3$ , $9 = 3^{2}$ nên $BCNN (6, 9) = 2 \cdot 3^{2} = 18$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) hai phân số đã cùng mẫu dương

3

nhưng cả số bị trừ lẫn số trừ đều âm — trừ tử trực tiếp, chú ý dấu trừ kép. Ý b) hai mẫu

6

và

9

khác nhau — quy đồng theo

BCNN (6, 9) = 18

trước khi trừ.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp quy tắc trừ

Định hướng. Ý a) trừ tử giữ mẫu ngay; ý b) quy đồng theo BCNN $(6, 9) = 18$ rồi trừ.

\frac{- 5}{3} - \frac{- 7}{3} = \frac{- 5 - ( - 7 )}{3} = \frac{2}{3}

\frac{5}{6} = \frac{15}{18}

\frac{8}{9} = \frac{16}{18}

\frac{5}{6} - \frac{8}{9} = \frac{15}{18} - \frac{16}{18} = \frac{15 - 16}{18} = \frac{- 1}{18}

Vậy a) $\frac{- 5}{3} - \frac{- 7}{3} = \frac{2}{3}$ ; b) $\frac{5}{6} - \frac{8}{9} = \frac{- 1}{18}$ .

2Cách 2. Cộng số bị trừ với số đối của số trừ

Định hướng. Đổi cả hai phép trừ thành phép cộng với số đối, tránh dấu trừ kép ở ý a).

\frac{- 5}{3} - \frac{- 7}{3} = \frac{- 5}{3} + \frac{7}{3} = \frac{- 5 + 7}{3} = \frac{2}{3}

\frac{5}{6} - \frac{8}{9} = \frac{15}{18} + \frac{- 16}{18} = \frac{15 + ( - 16 )}{18} = \frac{- 1}{18}

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $\frac{2}{3}$ và $\frac{- 1}{18}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho ý a): cộng với số đối tránh hẳn dấu trừ kép "

- (- 7)

" dễ viết sai dấu.

Đáp số. a)

\frac{2}{3}

; b)

\frac{- 1}{18}

Sai lầm thường gặp. Ở ý a), tính nhầm

\frac{- 5 - ( - 7 )}{3} = \frac{- 5 - 7}{3} = \frac{- 12}{3}

do quên đổi dấu khi trừ đi số âm.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi ý a) thành

\frac{- 5}{3} - \frac{7}{3}

(số trừ dương), kết quả sẽ là

\frac{- 12}{3} = - 4

— so sánh hai kết quả để thấy rõ vai trò của dấu số trừ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 6.24★★Trang 18— Tính hợp lí bằng cách nhóm theo mẫu và theo số đối

Bài 6.24 (trang 18). Tính một cách hợp lí:

A = (- \frac{3}{11}) + \frac{11}{8} - \frac{3}{8} + (- \frac{8}{11})

Kiến thức cần nhớ

Tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng phân số dùng để nhóm các số hạng cùng mẫu lại với nhau.
Trừ một phân số bằng cộng với số đối của nó.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn số hạng chỉ có hai mẫu

11

và

8

, mỗi mẫu xuất hiện đúng hai lần — dấu hiệu nên nhóm hai số hạng cùng mẫu lại (giao hoán, kết hợp) như Luyện tập 4, thay vì quy đồng cả bốn số hạng về một mẫu chung

88

ngay từ đầu. Đặc biệt hai số hạng mẫu

11

cộng lại vừa khớp tròn

- 1

, hai số hạng mẫu

8

trừ nhau vừa khớp tròn

1

1Cách 1. Nhóm hai số hạng cùng mẫu bằng giao hoán, kết hợp

Định hướng. Nhóm hai số hạng mẫu $11$ lại với nhau, hai số hạng mẫu $8$ lại với nhau.

A = (- \frac{3}{11}) + \frac{11}{8} - \frac{3}{8} + (- \frac{8}{11}) = [(- \frac{3}{11}) + (- \frac{8}{11})] + (\frac{11}{8} - \frac{3}{8})

= \frac{- 3 + ( - 8 )}{11} + \frac{11 - 3}{8} = \frac{- 11}{11} + \frac{8}{8}

= - 1 + 1 = 0

Vậy $A = 0$ .

2Cách 2. Quy đồng toàn bộ về mẫu chung rồi cộng trực tiếp

Định hướng. Không nhóm, quy đồng cả bốn số hạng về mẫu chung $BCNN (11, 8) = 88$ rồi cộng đúng theo thứ tự đề cho.

- \frac{3}{11} = \frac{- 24}{88}

\frac{11}{8} = \frac{121}{88}

- \frac{3}{8} = \frac{- 33}{88}

- \frac{8}{11} = \frac{- 64}{88}

A = \frac{- 24}{88} + \frac{121}{88} + \frac{- 33}{88} + \frac{- 64}{88} = \frac{- 24 + 121 - 33 - 64}{88} = \frac{0}{88} = 0

Vậy $A = 0$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 vẫn đúng nhưng phải nhân chia với số $88$ cồng kềnh; Cách 1 nhóm thông minh cho thấy ngay $A = 0$ mà gần như không cần tính toán.

3Cách 3. Thử lại bằng ước lượng giá trị thập phân

Định hướng. Ước lượng từng số hạng bằng số thập phân để kiểm tra tổng có xấp xỉ $0$ hay không, trước khi tin vào kết quả chính xác.

- \frac{3}{11} \approx - 0, 273

;

\frac{11}{8} = 1, 375

;

- \frac{3}{8} = - 0, 375

;

- \frac{8}{11} \approx - 0, 727

- 0, 273 + 1, 375 - 0, 375 - 0, 727 \approx 0

Vậy tổng ước lượng xấp xỉ $0$ , khớp với $A = 0$ tính chính xác ở hai cách trên.

Nhận xét. Ước lượng chỉ dùng để kiểm tra nhanh, không thay được phép tính chính xác bằng phân số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhóm đúng hai cặp cùng mẫu, mỗi cặp ra số nguyên tròn

- 1

và

1

— tính nhẩm được ngay, không cần quy đồng số lớn.

Đáp số.

A = 0

Sai lầm thường gặp. Nhóm nhầm hai số hạng khác mẫu với nhau (ví dụ nhóm

- \frac{3}{11}

với

\frac{11}{8}

), khiến không thể cộng trực tiếp mà vẫn phải quy đồng, làm mất ý nghĩa của phép "tính hợp lí".

🚀 Mở rộng. Có thể tổng quát: với

A = (- \frac{a}{n}) + \frac{n + a}{m} - \frac{a}{m} + (- \frac{n}{n} \cdot \frac{?}{?})

dạng tương tự, việc chọn số liệu sao cho mỗi cặp cùng mẫu cộng/trừ ra số nguyên tròn là "mẹo" thường gặp trong các bài tính hợp lí.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 6.25★★Trang 18— Toán thực tế: cộng, trừ phân số biểu diễn phần của tổng thể

Bài 6.25 (trang 18). Chị Chi mới đi làm và nhận được tháng lương đầu tiên. Chị quyết định dùng

\frac{2}{5}

số tiền đó để chi tiêu trong tháng, dành

\frac{1}{4}

số tiền để mua quà biếu bố mẹ. Tìm số phần tiền lương còn lại của chị Chi.

Kiến thức cần nhớ

Coi tổng thể là phân số $1 = \frac{n}{n}$ (với $n$ là mẫu chung) để trừ đi các phần đã biết.
Muốn cộng, trừ các phân số khác mẫu, ta quy đồng mẫu (thường lấy BCNN) rồi cộng, trừ các tử.

🧠 Phân tích tư duy

Coi CẢ tháng lương là

1

đơn vị — dấu hiệu bài toán "chia phần" luôn quy về việc lấy

1

trừ đi tổng các phần đã dùng. Hai phần đã dùng là

\frac{2}{5}

(chi tiêu) và

\frac{1}{4}

(mua quà), có mẫu khác nhau nên phải quy đồng trước khi cộng hoặc trừ.

1Cách 1. Trừ liên tiếp từng phần đã dùng

Định hướng. Coi lương là $1$ , trừ lần lượt phần chi tiêu rồi trừ tiếp phần mua quà.

Số phần còn lại

= 1 - \frac{2}{5} - \frac{1}{4} = \frac{20}{20} - \frac{8}{20} - \frac{5}{20}

= \frac{20 - 8 - 5}{20} = \frac{7}{20}

Vậy số phần tiền lương còn lại của chị Chi là $\frac{7}{20}$ số tiền lương.

2Cách 2. Cộng gộp hai phần đã dùng trước, rồi trừ một lần

Định hướng. Tính tổng số phần ĐÃ DÙNG trước ( $\frac{2}{5} + \frac{1}{4}$ ), sau đó lấy $1$ trừ đi tổng đó một lần duy nhất.

\frac{2}{5} + \frac{1}{4} = \frac{8}{20} + \frac{5}{20} = \frac{13}{20}

Số phần còn lại

= 1 - \frac{13}{20} = \frac{20}{20} - \frac{13}{20} = \frac{7}{20}

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: còn lại $\frac{7}{20}$ số tiền lương.

3Cách 3. Thử lại bằng cách cộng đủ ba phần

Định hướng. Ba phần (chi tiêu, mua quà, còn lại) cộng lại phải đúng bằng $1$ số tiền lương.

\frac{2}{5} + \frac{1}{4} + \frac{7}{20} = \frac{8}{20} + \frac{5}{20} + \frac{7}{20} = \frac{20}{20} = 1

Vậy ba phần cộng lại đúng bằng cả lương, xác nhận số phần còn lại $\frac{7}{20}$ tính đúng.

Nhận xét. Với các bài toán "chia phần tổng thể", luôn nên thử lại bằng cách cộng đủ mọi phần để kiểm tra tổng bằng đúng $1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: cộng gộp hai phần đã dùng trước rồi trừ một lần, ít bước tính hơn Cách 1 trừ liên tiếp hai lần.

Đáp số. Số phần tiền lương còn lại của chị Chi là

\frac{7}{20}

số tiền lương.

Sai lầm thường gặp. Cộng nhầm

\frac{2}{5}

và

\frac{1}{4}

thành phần "còn lại" thay vì phần "đã dùng", dẫn đến lấy

1

trừ nhầm sang phần chưa dùng.

🚀 Mở rộng. Nếu biết thêm tháng lương cụ thể (ví dụ

10

triệu đồng), số tiền còn lại sẽ là

10 \cdot \frac{7}{20} = 3, 5

triệu đồng — bài toán phân số luôn chuyển được sang số tiền cụ thể bằng phép nhân.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 6.26★★★Trang 18— Toán thực tế: cộng, trừ nhiều phân số biểu diễn phần thời gian trong ngày

Bài 6.26 (trang 18). Mai tự nhẩm tính về thời gian biểu của mình trong một ngày thì thấy:

\frac{1}{3}

thời gian là dành cho việc học ở trường;

\frac{1}{24}

thời gian là dành cho các hoạt động ngoại khoá;

\frac{7}{16}

thời gian dành cho hoạt động ăn, ngủ. Còn lại là thời gian dành cho các công việc cá nhân khác. Hỏi: a) Mai đã dành bao nhiêu phần thời gian trong ngày cho việc học ở trường và hoạt động ngoại khoá? b) Mai đã dành bao nhiêu phần thời gian trong ngày cho các công việc cá nhân khác?

Kiến thức cần nhớ

Coi tổng thời gian một ngày là phân số $1$ để trừ đi các phần đã biết.
$24 = 3 \cdot 8$ nên $3$ là ước của $24$ , do đó $BCNN (3, 24) = 24$ — quy đồng chỉ cần đổi mẫu của phân số có mẫu $3$ .

🧠 Phân tích tư duy

Coi CẢ một ngày là

1

đơn vị thời gian — ý a) chỉ cần cộng hai phần đã cho (

\frac{1}{3}

và

\frac{1}{24}

, có

24

chia hết cho

3

nên quy đồng rất gọn); ý b) phải lấy

1

trừ đi CẢ BA phần đã biết (học, ngoại khoá, ăn ngủ), trong đó nên tận dụng kết quả ý a) thay vì cộng lại từ đầu. Đề cho tới bốn đại lượng thời gian khác nhau nên việc chọn đúng mẫu chung (hoặc quy đồng theo từng cặp) quyết định lời giải có gọn hay không. Bẫy ở ý b) là dễ quên trừ đủ CẢ BA phần đã cho, chỉ trừ nhầm một hoặc hai phần.

1Cách 1. Quy đồng tất cả về một mẫu chung rồi tính riêng từng ý

Định hướng. Quy đồng cả bốn phân số liên quan (kể cả số $1$ ) về mẫu chung $BCNN (3, 24, 16) = 48$ rồi cộng, trừ theo đúng yêu cầu từng ý.

\frac{1}{3} = \frac{16}{48}

\frac{1}{24} = \frac{2}{48}

\frac{7}{16} = \frac{21}{48}

\frac{1}{3} + \frac{1}{24} = \frac{16}{48} + \frac{2}{48} = \frac{18}{48} = \frac{3}{8}

1 - \frac{16}{48} - \frac{2}{48} - \frac{21}{48} = \frac{48 - 16 - 2 - 21}{48} = \frac{9}{48} = \frac{3}{16}

Vậy a) Mai dành $\frac{3}{8}$ thời gian trong ngày cho việc học và ngoại khoá; b) Mai dành $\frac{3}{16}$ thời gian cho công việc cá nhân.

2Cách 2. Quy đồng cục bộ cho ý a), rồi tận dụng kết quả để tính ý b)

Định hướng. Vì $3$ là ước của $24$ , quy đồng riêng hai phân số $\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{24}$ theo mẫu $24$ cho ý a); sang ý b) chỉ cần trừ tiếp $\frac{7}{16}$ vào $1$ trừ kết quả ý a), không phải quy đồng lại từ đầu.

\frac{1}{3} = \frac{8}{24}

;

\frac{1}{3} + \frac{1}{24} = \frac{8}{24} + \frac{1}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}

1 - \frac{3}{8} - \frac{7}{16} = \frac{16}{16} - \frac{6}{16} - \frac{7}{16} = \frac{16 - 6 - 7}{16} = \frac{3}{16}

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: a) $\frac{3}{8}$ ; b) $\frac{3}{16}$ .

Nhận xét. Tận dụng lại kết quả ý a) cho ý b) giúp tránh phải quy đồng cả ba phân số gốc về mẫu $48$ một lần nữa.

3Cách 3. Thử lại bằng cách cộng đủ bốn phần trong ngày

Định hướng. Bốn phần thời gian (học, ngoại khoá, ăn ngủ, cá nhân) cộng lại phải đúng bằng $1$ ngày.

\frac{1}{3} + \frac{1}{24} + \frac{7}{16} + \frac{3}{16} = \frac{16}{48} + \frac{2}{48} + \frac{21}{48} + \frac{9}{48} = \frac{48}{48} = 1

Vậy bốn phần cộng lại đúng bằng $1$ ngày, xác nhận hai đáp số ở ý a), b) đều tính đúng.

Nhận xét. Với bài toán chia thời gian trong ngày thành nhiều phần, luôn nên thử lại bằng cách cộng đủ mọi phần để kiểm tra tổng bằng đúng $1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: quy đồng cục bộ cho ý a) rồi tận dụng ngay kết quả sang ý b), tránh phải quy đồng lại cả ba phân số gốc về mẫu chung lớn.

Đáp số. a)

\frac{3}{8}

thời gian trong ngày; b)

\frac{3}{16}

thời gian trong ngày.

Sai lầm thường gặp. Ở ý b), chỉ trừ

1

cho MỘT trong ba phần đã cho (ví dụ chỉ trừ

\frac{7}{16}

) mà quên trừ tiếp hai phần học và ngoại khoá.

🚀 Mở rộng. Nếu biết thêm một ngày có

24

giờ, có thể đổi các phần thời gian cá nhân

\frac{3}{16}

thành số giờ cụ thể:

24 \cdot \frac{3}{16} = 4, 5

giờ, giúp bài toán gắn liền với thời gian biểu thực tế hơn.

Mở bài này trong app ↗