Chương VI. Phân số

Bài 26. Phép nhân và phép chia phân số

SGK Toán 6 — Kết nối tri thức, tập 2 · 16 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Hoạt động 1★Trang 19— Nhân hai phân số dương (nhắc quy tắc)

Hoạt động 1 (trang 19). Em hãy nhớ lại quy tắc nhân hai phân số (có tử và mẫu đều dương), rồi tính

\frac{8}{3} \cdot \frac{3}{7}

và

\frac{4}{6} \cdot \frac{5}{8}

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu tính hai tích phân số đều dương — dấu hiệu chỉ cần áp dụng quy tắc nhân tử với tử, mẫu với mẫu đã học ở lớp dưới, chưa cần bận tâm dấu âm. Kết quả rút gọn được ở cả hai tích nên cần rút gọn ngay trong lúc nhân để số nhỏ gọn hơn.

1Cách 1. Nhân trực tiếp rồi rút gọn

Định hướng. Nhân thẳng tử với tử, mẫu với mẫu rồi rút gọn kết quả.

\frac{8}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{8 \cdot 3}{3 \cdot 7} = \frac{24}{21} = \frac{8}{7}

\frac{4}{6} \cdot \frac{5}{8} = \frac{4 \cdot 5}{6 \cdot 8} = \frac{20}{48} = \frac{5}{12}

Vậy $\frac{8}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{8}{7}$ và $\frac{4}{6} \cdot \frac{5}{8} = \frac{5}{12}$ .

2Cách 2. Rút gọn trước khi nhân

Định hướng. Rút gọn các thừa số chung giữa tử và mẫu ngay trước khi nhân, số liệu gọn hơn hẳn.

\frac{8}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{8}{7} \cdot \frac{3}{3} = \frac{8}{7} \cdot 1 = \frac{8}{7}

\frac{4}{6} \cdot \frac{5}{8} = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{2} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 2} = \frac{5}{12}

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $\frac{8}{7}$ và $\frac{5}{12}$ .

Nhận xét. Rút gọn trước khi nhân giúp tránh phải rút gọn phân số lớn ở bước cuối.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: rút gọn trước khi nhân giúp số nhỏ gọn ngay từ đầu, tránh phải rút gọn phân số lớn ở bước cuối.

Đáp số.

\frac{8}{3} \cdot \frac{3}{7} = \frac{8}{7}

;

\frac{4}{6} \cdot \frac{5}{8} = \frac{5}{12}

Sai lầm thường gặp. Nhân xong quên rút gọn, để kết quả

\frac{24}{21}

và

\frac{20}{48}

chưa tối giản, thay vì rút về

\frac{8}{7}

và

\frac{5}{12}

🚀 Mở rộng. Quy tắc nhân tử với tử, mẫu với mẫu này giữ nguyên đúng cả khi tử và mẫu là số nguyên âm, chính là điều mục 1 mở rộng ngay sau đó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập 1★Trang 19— Nhân hai phân số có tử hoặc mẫu là số nguyên âm

Luyện tập 1 (trang 19). Tính: a)

\frac{- 2}{5} \cdot \frac{5}{4}

; b)

\frac{- 7}{10} \cdot \frac{- 9}{11}

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau.
Quy tắc dấu: âm nhân dương được âm; âm nhân âm được dương.

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai tích đều có ít nhất một phân số mang dấu âm — dấu hiệu phải áp dụng đúng quy tắc dấu (âm nhân dương được âm, âm nhân âm được dương) song song với quy tắc nhân tử-mẫu. Phép a) có

5

ở tử phân số sau trùng với mẫu phân số trước nên rút gọn được ngay trước khi nhân.

1Cách 1. Nhân trực tiếp rồi rút gọn

Định hướng. Nhân tử với tử, mẫu với mẫu, giữ đúng dấu rồi rút gọn.

\frac{- 2}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{( - 2 ) \cdot 5}{5 \cdot 4} = \frac{- 10}{20} = \frac{- 1}{2}

\frac{- 7}{10} \cdot \frac{- 9}{11} = \frac{( - 7 ) \cdot ( - 9 )}{10 \cdot 11} = \frac{63}{110}

Vậy a) $\frac{- 1}{2}$ ; b) $\frac{63}{110}$ .

2Cách 2. Rút gọn trước khi nhân

Định hướng. Rút gọn thừa số chung giữa tử và mẫu trước khi nhân.

\frac{- 2}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{- 2}{4} \cdot \frac{5}{5} = \frac{- 1}{2} \cdot 1 = \frac{- 1}{2}

\frac{- 7}{10} \cdot \frac{- 9}{11} = \frac{( - 7 ) \cdot ( - 9 )}{10 \cdot 11} = \frac{63}{110}

(10, 11, 7, 9 không có ước chung nên giữ nguyên)

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

3Cách 3. Tách riêng dấu rồi nhân hai số dương

Định hướng. Xác định dấu của tích trước bằng quy tắc dấu, sau đó chỉ còn phải nhân hai số dương.

\frac{- 2}{5} \cdot \frac{5}{4} = - (\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4}) = - \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 4} = - \frac{10}{20} = \frac{- 1}{2}

\frac{- 7}{10} \cdot \frac{- 9}{11} = + (\frac{7}{10} \cdot \frac{9}{11}) = \frac{63}{110}

Vậy kết quả trùng khớp hai cách trên.

Nhận xét. Tách riêng dấu trước giúp không bao giờ nhầm dấu kết quả.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: tách riêng dấu trước rồi mới nhân hai số dương giúp không bao giờ nhầm dấu kết quả, nhất là khi có nhiều thừa số âm.

Đáp số. a)

\frac{- 1}{2}

; b)

\frac{63}{110}

Sai lầm thường gặp. Nhân hai số âm ở câu b) nhưng quên đổi dấu, viết nhầm kết quả thành

\frac{- 63}{110}

🚀 Mở rộng. Khi tích có từ ba phân số âm trở lên, đếm số thừa số âm: số lẻ thì tích âm, số chẵn thì tích dương — cách tách dấu (Cách 3) mở rộng gọn cho trường hợp này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Vận dụng 1★★Trang 20— Toán thực tế: diện tích tam giác với cạnh và chiều cao là phân số

Vận dụng 1 (trang 20). Tính diện tích hình tam giác biết một cạnh dài

\frac{9}{5}

cm, chiều cao ứng với cạnh đó bằng

\frac{7}{3}

cm.

Kiến thức cần nhớ

Diện tích tam giác $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ với $a$ là độ dài một cạnh, $h$ là chiều cao ứng với cạnh đó.
Muốn nhân nhiều phân số liên tiếp, ta nhân lần lượt các tử với nhau và các mẫu với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đáy và chiều cao đều là phân số — dấu hiệu phải dùng công thức diện tích tam giác

S = \frac{1}{2} \cdot

đáy

\cdot

chiều cao rồi thực hiện phép nhân ba phân số liên tiếp. Nên rút gọn

9

và

3

(cùng chia hết cho

3

) trước khi nhân để tránh số lớn.

1Cách 1. Nhân trực tiếp rồi rút gọn

Định hướng. Thay số vào công thức $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ rồi nhân ba phân số liên tiếp.

S = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{5} \cdot \frac{7}{3} = \frac{1 \cdot 9 \cdot 7}{2 \cdot 5 \cdot 3} = \frac{63}{30} = \frac{21}{10}

Vậy $S = \frac{21}{10}$ cm $^{2}$ .

2Cách 2. Rút gọn trước khi nhân

Định hướng. Rút gọn $9$ với $3$ trước khi nhân để số liệu gọn hơn.

S = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{5} \cdot \frac{7}{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{1} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 7}{2 \cdot 5 \cdot 1} = \frac{21}{10}

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $S = \frac{21}{10}$ cm $^{2}$ .

3Cách 3. Nhóm hai thừa số khác trước bằng tính chất kết hợp

Định hướng. Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{7}{3}$ trước, rồi mới nhân với $\frac{9}{5}$ .

S = (\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{3}) \cdot \frac{9}{5} = \frac{7}{6} \cdot \frac{9}{5} = \frac{7 \cdot 9}{6 \cdot 5} = \frac{63}{30} = \frac{21}{10}

Vậy kết quả trùng khớp hai cách trên: $S = \frac{21}{10}$ cm $^{2}$ .

Nhận xét. Nhờ tính chất kết hợp, nhóm thừa số nào trước cũng cho cùng một kết quả.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: rút gọn

9

với

3

ngay trước khi nhân giúp phép tính chỉ còn số nhỏ, tránh rút gọn phân số lớn

\frac{63}{30}

ở bước cuối.

Đáp số.

S = \frac{21}{10}

^{2}

Sai lầm thường gặp. Quên nhân với

\frac{1}{2}

trong công thức diện tích, tính nhầm

S = \frac{9}{5} \cdot \frac{7}{3} = \frac{21}{5}

🚀 Mở rộng. Nếu đề cho cạnh và chiều cao ứng với một cạnh khác của cùng tam giác, công thức vẫn giữ nguyên dạng

S = \frac{1}{2} ah

— chỉ cần xác định đúng cặp cạnh và chiều cao tương ứng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 2★★Trang 20— Vận dụng tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối của phép nhân phân số

Luyện tập 2 (trang 20). Tính: a)

\frac{6}{13} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{- 26}{3} \cdot \frac{- 7}{8}

; b)

\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{13} - \frac{6}{5} \cdot \frac{16}{13}

Kiến thức cần nhớ

Phép nhân phân số có tính chất giao hoán: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b}$ .
Tính chất kết hợp: $(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}) \cdot \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \cdot (\frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f})$ .
Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} - \frac{a}{b} \cdot \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \cdot (\frac{c}{d} - \frac{e}{f})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) có bốn phân số nhân liên tiếp với nhiều cặp rút gọn được cho nhau (

13

với

26

8

với

8

7

với

7

) — dấu hiệu nên dùng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các cặp rút gọn trước khi nhân hết. Câu b) có chung thừa số

\frac{6}{5}

ở cả hai số hạng — dấu hiệu điển hình để đặt nhân tử chung bằng tính chất phân phối, giống Ví dụ 3b vừa học.

1Cách 1. Nhân trực tiếp theo thứ tự rồi rút gọn

Định hướng. Nhân lần lượt các tử với nhau, các mẫu với nhau rồi rút gọn.

\frac{6}{13} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{- 26}{3} \cdot \frac{- 7}{8} = \frac{6 \cdot 8 \cdot ( - 26 ) \cdot ( - 7 )}{13 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 8} = \frac{8736}{2184} = 4

\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{13} - \frac{6}{5} \cdot \frac{16}{13} = \frac{18}{65} - \frac{96}{65} = \frac{- 78}{65} = \frac{- 6}{5}

Vậy a) $4$ ; b) $\frac{- 6}{5}$ .

2Cách 2. Dùng tính chất giao hoán, kết hợp (câu a) và phân phối (câu b)

Định hướng. Đổi chỗ, nhóm các cặp rút gọn được cho nhau (câu a); đặt nhân tử chung $\frac{6}{5}$ (câu b).

\frac{6}{13} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{- 26}{3} \cdot \frac{- 7}{8} = \frac{6}{13} \cdot \frac{- 26}{3} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{- 7}{8} = (\frac{6}{13} \cdot \frac{- 26}{3}) \cdot (\frac{8}{7} \cdot \frac{- 7}{8}) = (- 4) \cdot (- 1) = 4

\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{13} - \frac{6}{5} \cdot \frac{16}{13} = \frac{6}{5} \cdot (\frac{3}{13} - \frac{16}{13}) = \frac{6}{5} \cdot \frac{- 13}{13} = \frac{6}{5} \cdot (- 1) = \frac{- 6}{5}

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng ước lượng giá trị thập phân

Định hướng. Đổi các phân số ra số thập phân gần đúng để kiểm tra dấu và độ lớn của kết quả.

0, 46 \cdot 1, 14 \cdot (- 8, 67) \cdot (- 0, 875) \approx 4, 0

1, 2 \cdot 0, 23 - 1, 2 \cdot 1, 23 \approx 0, 28 - 1, 48 = - 1, 2

Vậy giá trị ước lượng khớp với $4$ và $\frac{- 6}{5} = - 1, 2$ , xác nhận Cách 1 và Cách 2 tính đúng.

Nhận xét. Ước lượng chỉ dùng để kiểm tra, không thay được phép tính chính xác bằng phân số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: dùng tính chất giao hoán, kết hợp (câu a) và phân phối (câu b) giúp số liệu gọn ngay từ đầu, không phải nhân bốn phân số rồi rút gọn phân số lớn.

Đáp số. a)

4

; b)

\frac{- 6}{5}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), quên đổi dấu khi đặt nhân tử chung, viết nhầm thành

\frac{6}{5} \cdot (\frac{3}{13} + \frac{16}{13})

thay vì giữ đúng phép trừ trong ngoặc.

🚀 Mở rộng. Tính chất phân phối còn dùng được khi có ba số hạng trở lên cùng chung một thừa số, ví dụ

\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{13} - \frac{6}{5} \cdot \frac{16}{13} + \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{13} = \frac{6}{5} \cdot (\frac{3}{13} - \frac{16}{13} + \frac{1}{13})

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Hoạt động 2★Trang 20— Khám phá khái niệm phân số nghịch đảo

Hoạt động 2 (trang 20). Tính các tích sau:

\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5}

;

\frac{- 5}{7} \cdot \frac{7}{- 5}

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Hai phân số trong mỗi tích là 'lật ngược' tử và mẫu của nhau, kể cả khi mang dấu âm ở cả tử và mẫu. Dấu hiệu này cho thấy tích của chúng luôn bằng

1

, đây chính là mấu chốt dẫn tới định nghĩa phân số nghịch đảo ngay sau đó.

1Cách 1. Nhân trực tiếp

Định hướng. Nhân thẳng tử với tử, mẫu với mẫu.

\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 5} = \frac{20}{20} = 1

\frac{- 5}{7} \cdot \frac{7}{- 5} = \frac{( - 5 ) \cdot 7}{7 \cdot ( - 5 )} = \frac{- 35}{- 35} = 1

Vậy cả hai tích đều bằng $1$ .

2Cách 2. Rút gọn trước khi nhân

Định hướng. Rút gọn tử với mẫu tương ứng giữa hai phân số trước khi nhân.

\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5} = \frac{5}{5} \cdot \frac{4}{4} = 1 \cdot 1 = 1

\frac{- 5}{7} \cdot \frac{7}{- 5} = \frac{- 5}{- 5} \cdot \frac{7}{7} = 1 \cdot 1 = 1

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: rút gọn tử với mẫu tương ứng trước khi nhân giúp thấy ngay kết quả bằng

1

mà không cần nhân số lớn.

Đáp số.

\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{5} = 1

và

\frac{- 5}{7} \cdot \frac{7}{- 5} = 1

Sai lầm thường gặp. Cho rằng

\frac{7}{- 5}

khác với

\frac{- 7}{5}

nên tính sai dấu tích, trong khi

\frac{7}{- 5} = \frac{- 7}{5}

🚀 Mở rộng. Hai phân số có tích bằng

1

được gọi là hai phân số nghịch đảo của nhau — đây chính là nội dung được định nghĩa ngay sau hoạt động này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Câu hỏi★Trang 20— Tìm phân số nghịch đảo của một số nguyên và một phân số âm

Câu hỏi (trang 20). Em hãy tìm phân số nghịch đảo của

11

và

\frac{7}{- 5}

Kiến thức cần nhớ

Phân số nghịch đảo của $\frac{a}{b}$ (với $a, b \neq = 0$ ) là $\frac{b}{a}$ , vì $\frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1$ .
Số nguyên $n$ viết dưới dạng phân số là $\frac{n}{1}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Số

11

cần viết dưới dạng phân số

\frac{11}{1}

trước khi lật ngược tử và mẫu. Phân số

\frac{7}{- 5}

nên đưa mẫu về dương (

\frac{7}{- 5} = \frac{- 7}{5}

) trước khi tìm nghịch đảo, để tránh viết nhầm dấu của kết quả.

1Cách 1. Viết về dạng phân số chuẩn (mẫu dương) rồi lật tử-mẫu

Định hướng. Đưa mẫu về dương trước rồi lật tử và mẫu để tìm nghịch đảo.

11 = \frac{11}{1}

nên phân số nghịch đảo của

11

là

\frac{1}{11}

\frac{7}{- 5} = \frac{- 7}{5}

nên phân số nghịch đảo của

\frac{7}{- 5}

là

\frac{5}{- 7} = \frac{- 5}{7}

Vậy nghịch đảo của $11$ là $\frac{1}{11}$ ; nghịch đảo của $\frac{7}{- 5}$ là $\frac{- 5}{7}$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng tích bằng 1

Định hướng. Nhân kết quả tìm được với số ban đầu, tích phải bằng $1$ .

11 \cdot \frac{1}{11} = \frac{11}{11} = 1

nên

\frac{1}{11}

đúng là nghịch đảo của

11

\frac{7}{- 5} \cdot \frac{- 5}{7} = \frac{7 \cdot ( - 5 )}{( - 5 ) \cdot 7} = \frac{- 35}{- 35} = 1

nên

\frac{- 5}{7}

đúng là nghịch đảo của

\frac{7}{- 5}

Vậy kết quả ở Cách 1 được xác nhận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đưa mẫu về dương trước khi lật tử-mẫu giúp tránh viết nhầm dấu ở phân số nghịch đảo.

Đáp số. Phân số nghịch đảo của

11

là

\frac{1}{11}

; phân số nghịch đảo của

\frac{7}{- 5}

là

\frac{- 5}{7}

Sai lầm thường gặp. Lật trực tiếp tử và mẫu của

\frac{7}{- 5}

mà không đổi mẫu về dương trước, viết nhầm kết quả thành

\frac{- 5}{- 7}

hoặc

\frac{5}{7}

🚀 Mở rộng. Số

0

không có phân số nghịch đảo vì không có số nào nhân với

0

cho tích bằng

1

— đây là lí do định nghĩa luôn kèm điều kiện khác

0

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Hoạt động 3★Trang 21— Chia hai phân số dương (nhắc quy tắc)

Hoạt động 3 (trang 21). Em hãy nhắc lại quy tắc chia hai phân số (có tử và mẫu đều dương), rồi tính

\frac{3}{4} : \frac{2}{5}

Kiến thức cần nhớ

Muốn chia phân số $\frac{a}{b}$ cho phân số $\frac{c}{d}$ (dương), ta nhân $\frac{a}{b}$ với phân số nghịch đảo của $\frac{c}{d}$ : $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phép chia hai phân số dương là dấu hiệu áp dụng quy tắc 'nhân với nghịch đảo của số chia' đã học ở lớp dưới. Nhờ đó, phép chia được chuyển thành phép nhân quen thuộc, dễ tính hơn hẳn.

1Cách 1. Đổi phép chia thành phép nhân với nghịch đảo

Định hướng. Nhân $\frac{3}{4}$ với phân số nghịch đảo của $\frac{2}{5}$ .

\frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 2} = \frac{15}{8}

Vậy $\frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{15}{8}$ .

2Cách 2. Kiểm tra lại bằng phép nhân ngược

Định hướng. Nhân kết quả tìm được với số chia, phải ra đúng số bị chia.

\frac{15}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{15 \cdot 2}{8 \cdot 5} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}

Vậy kết quả $\frac{15}{8}$ ở Cách 1 là đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi ngay phép chia thành phép nhân với phân số nghịch đảo, nhanh và ít bước nhất.

Đáp số.

\frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{15}{8}

Sai lầm thường gặp. Lấy nghịch đảo nhầm của số bị chia thay vì số chia, tính sai thành

\frac{4}{3} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{15}

🚀 Mở rộng. Quy tắc 'chia bằng nhân với nghịch đảo' vẫn đúng khi tử và mẫu là số nguyên âm, đây chính là điều mục 3 khẳng định ngay sau hoạt động này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Luyện tập 3★★Trang 21— Chia phân số có tử hoặc số bị chia là số nguyên âm

Luyện tập 3 (trang 21). Tính: a)

\frac{- 8}{9} : \frac{4}{3}

; b)

(- 2) : \frac{2}{5}

Kiến thức cần nhớ

Muốn chia phân số $\frac{a}{b}$ cho phân số $\frac{c}{d}$ (khác 0), ta nhân $\frac{a}{b}$ với phân số nghịch đảo của $\frac{c}{d}$ .
Số nguyên $n$ viết dưới dạng phân số là $\frac{n}{1}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) chia hai phân số trong đó số bị chia mang tử âm; câu b) số bị chia là số nguyên âm phải viết về dạng phân số

\frac{- 2}{1}

trước. Cả hai đều là chia bằng nhân với nghịch đảo của số chia, chú ý giữ đúng dấu để không nhầm kết quả.

1Cách 1. Đổi phép chia thành phép nhân với nghịch đảo

Định hướng. Viết số nguyên về dạng phân số (câu b), rồi nhân với nghịch đảo của số chia.

\frac{- 8}{9} : \frac{4}{3} = \frac{- 8}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{( - 8 ) \cdot 3}{9 \cdot 4} = \frac{- 24}{36} = \frac{- 2}{3}

(- 2) : \frac{2}{5} = \frac{- 2}{1} \cdot \frac{5}{2} = \frac{( - 2 ) \cdot 5}{1 \cdot 2} = \frac{- 10}{2} = - 5

Vậy a) $\frac{- 2}{3}$ ; b) $- 5$ .

2Cách 2. Rút gọn trước khi nhân

Định hướng. Rút gọn tử với mẫu ngay khi vừa đổi thành phép nhân.

\frac{- 8}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{- 8}{4} \cdot \frac{3}{9} = (- 2) \cdot \frac{1}{3} = \frac{- 2}{3}

\frac{- 2}{1} \cdot \frac{5}{2} = \frac{- 2}{2} \cdot \frac{5}{1} = (- 1) \cdot 5 = - 5

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng phép nhân ngược

Định hướng. Nhân kết quả với số chia, phải ra đúng số bị chia.

\frac{- 2}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{- 8}{9}

đúng

(- 5) \cdot \frac{2}{5} = \frac{- 10}{5} = - 2

đúng

Vậy hai kết quả ở Cách 1 đều chính xác.

Nhận xét. Nhân ngược lại là cách kiểm tra nhanh và chắc chắn nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: rút gọn tử với mẫu ngay khi vừa đổi thành phép nhân, tránh phải rút gọn phân số lớn ở bước cuối.

Đáp số. a)

\frac{- 2}{3}

; b)

- 5

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), quên viết

- 2

dưới dạng phân số

\frac{- 2}{1}

trước khi lấy nghịch đảo của số chia, dẫn tới nhân sai.

🚀 Mở rộng. Khi số bị chia và số chia đều âm, ví dụ

(- 2) : \frac{- 2}{5}

, kết quả sẽ dương — vẫn áp dụng đúng quy tắc dấu khi nhân với nghịch đảo.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Vận dụng 2★★Trang 21— Toán thực tế: tỉ lệ thuận với phân số

Vận dụng 2 (trang 21). Theo một công thức làm bánh, An cần

\frac{3}{4}

cốc đường để làm

9

cái bánh. Nếu An chỉ muốn làm

6

cái bánh thì cần bao nhiêu cốc đường?

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm giá trị ứng với 1 đơn vị trong bài toán tỉ lệ thuận, ta lấy giá trị đã biết chia cho số đơn vị tương ứng.
Muốn nhân một phân số với một số nguyên, ta nhân tử với số nguyên đó và giữ nguyên mẫu.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho lượng đường ứng với

9

cái bánh và hỏi lượng đường cho

6

cái — đây là dấu hiệu của bài toán tỉ lệ thuận. Cần tìm lượng đường cho một cái bánh trước bằng phép chia, rồi nhân với số bánh cần làm bằng phép nhân, đúng chủ đề của bài học.

1Cách 1. Tìm lượng đường cho 1 cái bánh rồi nhân với 6

Định hướng. Chia lượng đường cho $9$ để ra lượng đường cho $1$ cái bánh, rồi nhân với $6$ .

Lượng đường cho

1

cái bánh:

\frac{3}{4} : 9 = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{9} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}

(cốc)
Lượng đường cho

6

cái bánh:

\frac{1}{12} \cdot 6 = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

(cốc)

Vậy An cần $\frac{1}{2}$ cốc đường.

2Cách 2. Dùng tỉ số số bánh rồi nhân trực tiếp

Định hướng. Lập tỉ số $\frac{6}{9}$ giữa số bánh cần làm và số bánh gốc, rồi nhân thẳng với $\frac{3}{4}$ .

Tỉ số số bánh:

\frac{6}{9} = \frac{2}{3}

Lượng đường cần:

\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

(cốc)

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $\frac{1}{2}$ cốc đường.

3Cách 3. Lập một phép tính gộp

\frac{3}{4} \cdot 6 : 9

Định hướng. Gộp cả phép nhân và phép chia trong một biểu thức duy nhất.

\frac{3}{4} \cdot 6 : 9 = \frac{3}{4} \cdot 6 \cdot \frac{1}{9} = \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 9} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}

(cốc)

Vậy kết quả trùng khớp hai cách trên: $\frac{1}{2}$ cốc đường.

Nhận xét. Cả ba cách đều dựa trên cùng bản chất tỉ lệ thuận, chỉ khác thứ tự thực hiện nhân, chia.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhân thẳng với tỉ số số bánh

\frac{2}{3}

, chỉ một phép nhân, nhanh hơn hẳn việc tìm lượng đường cho từng cái bánh.

Đáp số. An cần

\frac{1}{2}

cốc đường.

Sai lầm thường gặp. Lập tỉ số ngược, lấy

9

chia cho

6

thay vì

6

chia cho

9

, dẫn tới tính ngược kết quả thành

\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{8}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi số bánh cần làm thành một số khác (ví dụ

5

cái), cách làm vẫn y hệt — chỉ cần thay đúng tỉ số

\frac{5}{9}

vào Cách 2.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 6.27★★Trang 21— Tính tích và thương của hai số hạng

a

b

cho trước (điền bảng)

Bài 6.27 (trang 21). Thay dấu "?" bằng số thích hợp trong bảng sau (ba cột là ba cặp giá trị

a

b

độc lập nhau):
Cột 1:

a = \frac{9}{25}

b = 1

a \cdot b = ?

a : b = ?

Cột 2:

a = 12

b = \frac{- 9}{8}

a \cdot b = ?

a : b = ?

Cột 3:

a = \frac{- 5}{6}

b = 3

a \cdot b = ?

a : b = ?

Kiến thức cần nhớ

Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau.
Muốn chia phân số $\frac{a}{b}$ cho phân số $\frac{c}{d}$ (khác 0), ta nhân $\frac{a}{b}$ với phân số nghịch đảo của $\frac{c}{d}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bảng cho ba cặp giá trị

a, b

khác nhau: phân số dương, số nguyên với phân số âm, phân số âm với số nguyên dương. Dấu hiệu này đòi hỏi lần lượt áp dụng đúng quy tắc nhân và chia phân số cho từng cặp, chú ý đổi số nguyên về dạng phân số khi cần.

1Cách 1. Tính lần lượt theo quy tắc nhân, chia phân số

Định hướng. Áp dụng đúng quy tắc nhân, chia cho từng cặp $a, b$ .

Cột 1:

a \cdot b = \frac{9}{25} \cdot 1 = \frac{9}{25}

;

a : b = \frac{9}{25} : 1 = \frac{9}{25}

Cột 2:

a \cdot b = \frac{12}{1} \cdot \frac{- 9}{8} = \frac{- 108}{8} = \frac{- 27}{2}

;

a : b = \frac{12}{1} \cdot \frac{8}{- 9} = \frac{96}{- 9} = \frac{- 32}{3}

Cột 3:

a \cdot b = \frac{- 5}{6} \cdot \frac{3}{1} = \frac{- 15}{6} = \frac{- 5}{2}

;

a : b = \frac{- 5}{6} \cdot \frac{1}{3} = \frac{- 5}{18}

Vậy bảng được điền như trên.

2Cách 2. Rút gọn trước khi nhân, chia

Định hướng. Rút gọn số nguyên với mẫu trước khi nhân, chia để số liệu gọn hơn.

Cột 2:

12 \cdot \frac{- 9}{8} = \frac{3}{1} \cdot \frac{- 9}{2} = \frac{- 27}{2}

;

12 : \frac{- 9}{8} = \frac{4}{1} \cdot \frac{8}{- 3} = \frac{32}{- 3} = \frac{- 32}{3}

Cột 3:

\frac{- 5}{6} \cdot 3 = \frac{- 5}{2} \cdot 1 = \frac{- 5}{2}

;

\frac{- 5}{6} : 3 = \frac{- 5}{6} \cdot \frac{1}{3} = \frac{- 5}{18}

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng phép tính ngược

Định hướng. Nhân thương $a : b$ với $b$ , kết quả phải ra đúng $a$ .

Cột 1:

\frac{9}{25} \cdot 1 = \frac{9}{25} = a

đúng
Cột 2:

\frac{- 32}{3} \cdot \frac{- 9}{8} = \frac{288}{24} = 12 = a

đúng
Cột 3:

\frac{- 5}{18} \cdot 3 = \frac{- 15}{18} = \frac{- 5}{6} = a

đúng

Vậy cả ba cột đều khớp, xác nhận Cách 1 và Cách 2 tính đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: rút gọn số nguyên với mẫu ngay trước khi nhân hoặc chia, tránh phải rút gọn phân số lớn như

\frac{- 108}{8}

ở bước cuối.

Đáp số. Cột 1:

a \cdot b = \frac{9}{25}

a : b = \frac{9}{25}

. Cột 2:

a \cdot b = \frac{- 27}{2}

a : b = \frac{- 32}{3}

. Cột 3:

a \cdot b = \frac{- 5}{2}

a : b = \frac{- 5}{18}

Sai lầm thường gặp. Quên đổi số nguyên (như

12

hay

3

) về dạng phân số

\frac{12}{1}

trước khi nhân/chia, dẫn tới nhân sai mẫu.

🚀 Mở rộng. Có thể kiểm tra nhanh dấu của

a \cdot b

và

a : b

trước khi tính số: hai số cùng dấu cho kết quả dương (cột 1), trái dấu cho kết quả âm (cột 2, cột 3) — giúp phát hiện ngay nếu tính nhầm dấu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 6.28★★Trang 21— Thứ tự thực hiện phép tính với phân số (nhân, chia trước; cộng, trừ sau)

Bài 6.28 (trang 21). Tính: a)

\frac{7}{8} + \frac{7}{8} : \frac{1}{8} - \frac{1}{2}

; b)

\frac{6}{11} + \frac{11}{3} \cdot \frac{3}{22}

Kiến thức cần nhớ

Trong biểu thức không có dấu ngoặc, thực hiện phép nhân và chia trước, phép cộng và trừ sau.
Muốn chia phân số $\frac{a}{b}$ cho phân số $\frac{c}{d}$ , ta nhân $\frac{a}{b}$ với phân số nghịch đảo của $\frac{c}{d}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai biểu thức đều có đủ phép cộng, trừ, nhân, chia mà không có dấu ngoặc. Dấu hiệu này đòi hỏi thực hiện phép nhân/chia trước, phép cộng/trừ sau theo đúng thứ tự ưu tiên, không được tính từ trái sang phải theo thứ tự viết.

1Cách 1. Tính đúng thứ tự ưu tiên (nhân/chia trước)

Định hướng. Thực hiện phép chia, nhân trước rồi mới cộng, trừ.

\frac{7}{8} + \frac{7}{8} : \frac{1}{8} - \frac{1}{2} = \frac{7}{8} + \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{1} - \frac{1}{2} = \frac{7}{8} + 7 - \frac{1}{2} = \frac{7 + 56 - 4}{8} = \frac{59}{8}

\frac{6}{11} + \frac{11}{3} \cdot \frac{3}{22} = \frac{6}{11} + \frac{11 \cdot 3}{3 \cdot 22} = \frac{6}{11} + \frac{1}{2} = \frac{12}{22} + \frac{11}{22} = \frac{23}{22}

Vậy a) $\frac{59}{8}$ ; b) $\frac{23}{22}$ .

2Cách 2. Rút gọn ngay khi nhân/chia rồi mới cộng trừ

Định hướng. Rút gọn thừa số chung ngay ở bước nhân/chia để phần cộng trừ sau đó gọn hơn.

\frac{7}{8} : \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{1} = 7

(rút gọn

8

với

8

); còn lại

\frac{7}{8} + 7 - \frac{1}{2} = \frac{7 + 56 - 4}{8} = \frac{59}{8}

\frac{11}{3} \cdot \frac{3}{22} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

(rút gọn

11

với

22

3

với

3

); còn lại

\frac{6}{11} + \frac{1}{2} = \frac{12}{22} + \frac{11}{22} = \frac{23}{22}

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng ước lượng giá trị thập phân

Định hướng. Đổi các phân số ra số thập phân gần đúng để kiểm tra kết quả.

0, 875 + 7 - 0, 5 = 7, 375

;

\frac{59}{8} = 7, 375

khớp

0, 545 + 0, 5 \approx 1, 045

;

\frac{23}{22} \approx 1, 045

khớp

Vậy giá trị ước lượng xác nhận Cách 1 và Cách 2 tính đúng.

Nhận xét. Ước lượng chỉ dùng để kiểm tra, không thay được phép tính chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: rút gọn ngay ở bước nhân/chia (như

11

với

22

3

với

3

) giúp phần cộng/trừ sau đó chỉ còn số nhỏ, cộng trừ nhanh gọn.

Đáp số. a)

\frac{59}{8}

; b)

\frac{23}{22}

Sai lầm thường gặp. Tính từ trái sang phải theo đúng thứ tự viết (cộng trước, chia sau) thay vì ưu tiên nhân/chia trước, dẫn tới kết quả hoàn toàn sai.

🚀 Mở rộng. Nếu biểu thức có thêm dấu ngoặc, ví dụ

(\frac{7}{8} + \frac{7}{8}) : \frac{1}{8} - \frac{1}{2}

, thứ tự ưu tiên đổi hẳn: phải tính trong ngoặc trước tiên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 6.29★★Trang 21— Tính hợp lí bằng tính chất phân phối và giao hoán, kết hợp

Bài 6.29 (trang 21). Tính một cách hợp lí. a)

\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{13} - \frac{3}{4} \cdot \frac{14}{13}

; b)

\frac{5}{13} \cdot \frac{- 3}{10} \cdot \frac{- 13}{5}

Kiến thức cần nhớ

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép trừ: $\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} - \frac{a}{b} \cdot \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \cdot (\frac{c}{d} - \frac{e}{f})$ .
Phép nhân phân số có tính chất giao hoán và kết hợp, cho phép đổi chỗ và nhóm các thừa số tuỳ ý.

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu tính 'hợp lí' — dấu hiệu không tính trực tiếp mà phải nhận ra cấu trúc đặc biệt của biểu thức. Câu a) có chung thừa số

\frac{3}{4}

ở cả hai số hạng nên dùng phân phối; câu b) có các cặp số rút gọn được cho nhau nếu đổi chỗ nên dùng giao hoán, kết hợp.

1Cách 1. Dùng tính chất phân phối (câu a) và giao hoán, kết hợp (câu b)

Định hướng. Đặt nhân tử chung $\frac{3}{4}$ (câu a); đổi chỗ để nhóm cặp nghịch đảo (câu b).

\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{13} - \frac{3}{4} \cdot \frac{14}{13} = \frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{13} - \frac{14}{13}) = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 13}{13} = \frac{3}{4} \cdot (- 1) = \frac{- 3}{4}

\frac{5}{13} \cdot \frac{- 3}{10} \cdot \frac{- 13}{5} = \frac{5}{13} \cdot \frac{- 13}{5} \cdot \frac{- 3}{10} = (\frac{5}{13} \cdot \frac{- 13}{5}) \cdot \frac{- 3}{10} = (- 1) \cdot \frac{- 3}{10} = \frac{3}{10}

Vậy a) $\frac{- 3}{4}$ ; b) $\frac{3}{10}$ .

2Cách 2. Tính trực tiếp không dùng tính chất (để đối chiếu)

Định hướng. Nhân từng cặp trước rồi cộng, trừ theo mẫu chung.

\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{13} = \frac{3}{52}

;

\frac{3}{4} \cdot \frac{14}{13} = \frac{42}{52}

;

\frac{3}{52} - \frac{42}{52} = \frac{- 39}{52} = \frac{- 3}{4}

\frac{5}{13} \cdot \frac{- 3}{10} = \frac{- 3}{26}

;

\frac{- 3}{26} \cdot \frac{- 13}{5} = \frac{39}{130} = \frac{3}{10}

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng ước lượng giá trị thập phân

Định hướng. Đổi các phân số ra số thập phân gần đúng để kiểm tra kết quả.

0, 75 \cdot 0, 077 - 0, 75 \cdot 1, 077 \approx 0, 058 - 0, 808 = - 0, 75

, khớp

\frac{- 3}{4}

0, 385 \cdot (- 0, 3) \cdot (- 2, 6) \approx 0, 3

, khớp

\frac{3}{10}

Vậy giá trị ước lượng xác nhận Cách 1 và Cách 2 tính đúng.

Nhận xét. Ước lượng chỉ dùng để kiểm tra, không thay được phép tính chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra thừa số chung hoặc cặp rút gọn để dùng tính chất phân phối/giao hoán, đúng như đề yêu cầu 'tính hợp lí', nhanh hơn hẳn Cách 2 tính trực tiếp với mẫu lớn.

Đáp số. a)

\frac{- 3}{4}

; b)

\frac{3}{10}

Sai lầm thường gặp. Không nhận ra thừa số chung

\frac{3}{4}

ở câu a) nên tính trực tiếp với mẫu chung lớn

52

, dễ rút gọn sai ở bước cuối.

🚀 Mở rộng. Kĩ năng nhận diện thừa số chung hoặc cặp nghịch đảo để tính nhanh còn dùng nhiều ở các biểu thức phức tạp hơn tại 'Bài tập cuối chương VI'.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 6.30★★Trang 21— Toán thực tế: quãng đường = vận tốc × thời gian, đổi đơn vị phút sang giờ

Bài 6.30 (trang 21). Mỗi buổi sáng, Nam thường đi xe đạp từ nhà đến trường với vận tốc

15

km/h và hết

20

phút. Hỏi quãng đường từ nhà Nam đến trường dài bao nhiêu kilômét?

Kiến thức cần nhớ

Công thức quãng đường: $s = v \cdot t$ với $v$ là vận tốc, $t$ là thời gian.
Đổi phút ra giờ: $n$ phút $= \frac{n}{60}$ giờ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho vận tốc theo km/h nhưng thời gian theo phút — đây là dấu hiệu phải đổi

20

phút thành phân số của giờ (

\frac{20}{60} = \frac{1}{3}

giờ) trước khi áp dụng công thức quãng đường

s = v \cdot t

. Nếu không đổi đơn vị, kết quả sẽ sai hoàn toàn dù phép nhân có đúng.

1Cách 1. Đổi phút ra giờ rồi áp dụng công thức

s = v \cdot t

Định hướng. Đổi $20$ phút thành phân số của giờ trước khi nhân với vận tốc.

20

phút

= \frac{20}{60} = \frac{1}{3}

giờ

s = 15 \cdot \frac{1}{3} = \frac{15}{1} \cdot \frac{1}{3} = \frac{15}{3} = 5

(km)

Vậy quãng đường dài $5$ km.

2Cách 2. Tính quãng đường đi được trong 1 phút rồi nhân với 20

Định hướng. Tìm quãng đường ứng với $1$ phút, sau đó nhân với số phút đã đi.

Trong

1

giờ

= 60

phút, Nam đi được

15

km nên trong

1

phút đi được

\frac{15}{60} = \frac{1}{4}

(km)
Quãng đường trong

20

phút:

\frac{1}{4} \cdot 20 = \frac{20}{4} = 5

(km)

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $5$ km.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách tính ngược thời gian

Định hướng. Từ quãng đường và vận tốc, tính lại thời gian, phải ra đúng $20$ phút.

t = \frac{s}{v} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}

giờ

= \frac{1}{3} \cdot 60 = 20

phút

Vậy đúng bằng thời gian đề cho, xác nhận $s = 5$ km chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi ngay

20

phút thành

\frac{1}{3}

giờ rồi áp dụng thẳng công thức

s = v \cdot t

, ít bước tính nhất.

Đáp số. Quãng đường từ nhà Nam đến trường dài

5

km.

Sai lầm thường gặp. Quên đổi

20

phút ra giờ, lấy thẳng

15 \cdot 20 = 300

và cho ra một quãng đường vô lí.

🚀 Mở rộng. Nếu biết quãng đường và vận tốc, có thể tính ngược lại thời gian

t = \frac{s}{v}

— đúng như Cách 3 dùng để kiểm tra lại kết quả.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 6.31★★Trang 21— Toán thực tế: tìm chiều rộng hình chữ nhật biết diện tích và chiều dài

Bài 6.31 (trang 21). Một hình chữ nhật có chiều dài là

\frac{7}{2}

cm, diện tích là

\frac{21}{10}

^{2}

. Tìm chiều rộng của hình chữ nhật.

Kiến thức cần nhớ

Diện tích hình chữ nhật: $S = a \cdot b$ với $a$ là chiều dài, $b$ là chiều rộng.
Muốn chia phân số $\frac{a}{b}$ cho phân số $\frac{c}{d}$ , ta nhân $\frac{a}{b}$ với phân số nghịch đảo của $\frac{c}{d}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho diện tích và chiều dài, hỏi chiều rộng — đây là dấu hiệu phải dùng công thức

S = a \cdot b

suy ra

b = S : a

. Phép tính cần dùng là chia phân số cho phân số, đúng trọng tâm mục 3 của bài.

1Cách 1. Suy ra công thức chiều rộng

b = S : a

rồi tính

Định hướng. Từ $S = a \cdot b$ suy ra $b = S : a$ rồi thay số.

b = \frac{21}{10} : \frac{7}{2} = \frac{21}{10} \cdot \frac{2}{7} = \frac{21 \cdot 2}{10 \cdot 7} = \frac{42}{70} = \frac{3}{5}

(cm)

Vậy chiều rộng là $\frac{3}{5}$ cm.

2Cách 2. Rút gọn trước khi nhân

Định hướng. Rút gọn $21$ với $7$ , $2$ với $10$ ngay khi vừa đổi thành phép nhân.

b = \frac{21}{10} \cdot \frac{2}{7} = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{1} = \frac{3}{5}

(cm)

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng phép nhân

a \cdot b = S

Định hướng. Nhân chiều dài với chiều rộng vừa tìm được, phải ra đúng diện tích.

\frac{7}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 5} = \frac{21}{10}

Vậy đúng bằng diện tích đề cho, xác nhận chiều rộng $\frac{3}{5}$ cm là chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: rút gọn

21

với

7

2

với

10

ngay khi vừa đổi thành phép nhân, tránh phải rút gọn phân số lớn

\frac{42}{70}

ở bước cuối.

Đáp số. Chiều rộng hình chữ nhật là

\frac{3}{5}

cm.

Sai lầm thường gặp. Lấy nhầm chiều dài chia diện tích thay vì diện tích chia chiều dài, tính sai thành

\frac{7}{2} : \frac{21}{10} = \frac{5}{3}

🚀 Mở rộng. Cùng công thức

S = a \cdot b

, nếu biết diện tích và chiều rộng thì tìm chiều dài bằng

a = S : b

, làm hoàn toàn tương tự.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 6.32★★Trang 21— Tìm x trong phép nhân, phép chia với phân số (quy tắc tìm thừa số, số bị chia)

Bài 6.32 (trang 21). Tìm

x

, biết: a)

x \cdot \frac{7}{2} = \frac{7}{9}

; b)

x : \frac{8}{5} = \frac{5}{2}

Kiến thức cần nhớ

Trong phép nhân $x \cdot b = c$ , thừa số chưa biết $x = c : b$ .
Trong phép chia $x : b = c$ , số bị chia chưa biết $x = c \cdot b$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a)

x

đóng vai trò thừa số chưa biết trong phép nhân — dùng quy tắc 'thừa số bằng tích chia thừa số kia'. Câu b)

x

đóng vai trò số bị chia chưa biết trong phép chia — dùng quy tắc 'số bị chia bằng thương nhân số chia'. Đây là hai quy tắc tìm x nền tảng ứng với hai phép tính vừa học.

1Cách 1. Áp dụng quy tắc tìm thừa số / số bị chia

Định hướng. Xác định đúng vai trò của $x$ rồi áp dụng quy tắc tương ứng.

x \cdot \frac{7}{2} = \frac{7}{9}

x = \frac{7}{9} : \frac{7}{2} = \frac{7}{9} \cdot \frac{2}{7} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 7} = \frac{2}{9}

x : \frac{8}{5} = \frac{5}{2}

x = \frac{5}{2} \cdot \frac{8}{5} = \frac{5 \cdot 8}{2 \cdot 5} = \frac{8}{2} = 4

Vậy a) $x = \frac{2}{9}$ ; b) $x = 4$ .

2Cách 2. Rút gọn trước khi nhân

Định hướng. Rút gọn thừa số chung ngay khi vừa đổi thành phép nhân.

\frac{7}{9} \cdot \frac{2}{7} = \frac{1}{9} \cdot 2 = \frac{2}{9}

\frac{5}{2} \cdot \frac{8}{5} = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: a) $x = \frac{2}{9}$ ; b) $x = 4$ .

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách thay

x

vào đề

Định hướng. Thay giá trị $x$ vừa tìm vào phương trình gốc, phải ra đúng vế phải.

\frac{2}{9} \cdot \frac{7}{2} = \frac{2 \cdot 7}{9 \cdot 2} = \frac{7}{9}

đúng

4 : \frac{8}{5} = 4 \cdot \frac{5}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}

đúng

Vậy hai giá trị $x$ ở Cách 1 đều chính xác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: rút gọn ngay khi vừa đổi thành phép nhân, tránh phải rút gọn phân số ở bước cuối và giảm khả năng tính nhầm.

Đáp số. a)

x = \frac{2}{9}

; b)

x = 4

Sai lầm thường gặp. Ở câu b) nhầm quy tắc, lấy

x = \frac{5}{2} : \frac{8}{5}

thay vì

x = \frac{5}{2} \cdot \frac{8}{5}

, vì quên

x

là số BỊ chia, không phải thương.

🚀 Mở rộng. Khi

x

nằm ở vị trí số chia (ví dụ

\frac{8}{5} : x = \frac{5}{2}

), quy tắc tìm

x

lại khác:

x = \frac{8}{5} : \frac{5}{2}

, cần phân biệt rõ ba vai trò số bị chia — số chia — thương.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 6.33★★★Trang 21— Toán thực tế: phân số của một phân số (nhân phân số liên tiếp)

Bài 6.33 (trang 21). Lớp 6A có

\frac{1}{3}

số học sinh thích môn Toán. Trong số các học sinh thích môn Toán, có

\frac{1}{2}

số học sinh thích môn Ngữ văn. Hỏi có bao nhiêu phần số học sinh lớp 6A thích cả hai môn Toán và Ngữ văn?

Kiến thức cần nhớ

Muốn tìm phân số $\frac{c}{d}$ của một đại lượng $A$ , ta tính $A \cdot \frac{c}{d}$ .
Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho phân số của phân số:

\frac{1}{2}

số học sinh thích Ngữ văn được tính trên nhóm đã thích Toán (chiếm

\frac{1}{3}

lớp), không phải trên cả lớp. Dấu hiệu này đòi hỏi nhân hai phân số liên tiếp

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}

để ra tỉ lệ so với cả lớp — đây là bẫy dễ nhầm nếu đọc vội tưởng là cộng hai phân số.

1Cách 1. Nhân trực tiếp hai phân số liên tiếp

Định hướng. Nhân phân số học sinh thích Toán với phân số (trong nhóm đó) thích Ngữ văn.

Số học sinh thích cả hai môn chiếm:

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}

(số học sinh lớp 6A)

Vậy có $\frac{1}{6}$ số học sinh lớp 6A thích cả hai môn.

2Cách 2. Giả định lớp 6A có 6 học sinh (bội chung của 3 và 2) rồi đếm trực tiếp

Định hướng. Chọn một sĩ số cụ thể chia hết cho cả $3$ và $2$ để đếm số học sinh thực tế.

Số học sinh thích Toán:

6 \cdot \frac{1}{3} = 2

(học sinh)
Trong đó, số học sinh thích cả Ngữ văn:

2 \cdot \frac{1}{2} = 1

(học sinh)
Tỉ số so với cả lớp:

\frac{1}{6}

số học sinh lớp 6A

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $\frac{1}{6}$ .

3Cách 3. Kiểm tra lại bằng cách chọn sĩ số khác (12 học sinh)

Định hướng. Thử lại với một sĩ số khác để chắc chắn tỉ số không phụ thuộc số học sinh cụ thể.

Số học sinh thích Toán:

12 \cdot \frac{1}{3} = 4

(học sinh)
Số học sinh thích cả hai:

4 \cdot \frac{1}{2} = 2

(học sinh)
Tỉ số so với cả lớp:

\frac{2}{12} = \frac{1}{6}

Vậy vẫn ra $\frac{1}{6}$ , khớp với Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Kết quả không phụ thuộc sĩ số cụ thể, đúng như cách nhân phân số trực tiếp ở Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân thẳng hai phân số

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}

, không cần giả định số học sinh cụ thể, áp dụng được cho mọi lớp bất kể sĩ số bao nhiêu.

Đáp số. Có

\frac{1}{6}

số học sinh lớp 6A thích cả hai môn Toán và Ngữ văn.

Sai lầm thường gặp. Cộng nhầm hai phân số

\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}

thay vì nhân, do không để ý

\frac{1}{2}

chỉ tính trên nhóm học sinh thích Toán chứ không phải cả lớp.

🚀 Mở rộng. Nếu đề cho thêm 'trong số học sinh thích cả Toán và Ngữ văn, có

\frac{1}{4}

thích thêm môn Tiếng Anh', tỉ số so với cả lớp sẽ là tích ba phân số liên tiếp

\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{24}

Mở bài này trong app ↗