Bài 13. Hai tam giác bằng nhau. Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác

Định hướng. Mở tờ giấy đã cắt, đặt hai tam giác chồng lên nhau để so trực tiếp từng cạnh, từng góc.

Vậy các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau.

Định hướng. Không đặt chồng bằng tay mà dùng tính chất phép đối xứng trục qua nếp gấp để suy ra ngay sự bằng nhau.

Vậy mọi cạnh và mọi góc tương ứng của hai tam giác đều bằng nhau, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Đây chính là lí do Toán học gọi hai tam giác như vậy là “hai tam giác bằng nhau” — không chỉ giống hình dạng mà bằng nhau tuyệt đối về kích thước.

Định hướng. Với mỗi tam giác, tìm đỉnh là giao của cạnh một gạch và cạnh hai gạch, đỉnh đó tương ứng với đỉnh cùng vai trò ở tam giác kia.

Vậy cạnh tương ứng: $DE$ và $HG$, $EF$ và $GK$, $FD$ và $KH$; góc tương ứng: $\hat{D}$ và $\hat{H}$, $\hat{E}$ và $\hat{G}$, $\hat{F}$ và $\hat{K}$; kí hiệu tam giác $DEF$ = tam giác $HGK$.

Định hướng. Dùng cặp cạnh mang dấu nhân (cạnh chưa dùng ở Cách 1) để kiểm tra chéo lại kết quả, tránh ghép nhầm do nhìn lướt qua hình.

Vậy kết quả tam giác $DEF$ = tam giác $HGK$ ở Cách 1 được xác nhận đúng.

Nhận xét. Thứ tự viết đỉnh trong kí hiệu bằng nhau phải đúng theo cặp tương ứng ($D\leftrightarrow H$, $E\leftrightarrow G$, $F\leftrightarrow K$), viết tam giác $DEF$ = tam giác $GHK$ (sai thứ tự $G$, $H$) là một lỗi kí hiệu thường gặp dù hình vẽ đúng.

Định hướng. Dùng định lí tổng ba góc để biểu diễn $\hat{C}$ theo $\hat{A}$, $\hat{B}$ và $\hat{P}$ theo $\hat{M}$, $\hat{N}$, rồi thay $\hat{A}=\hat{M}$, $\hat{B}=\hat{N}$ vào để so sánh.

Vậy $\hat{C}=\hat{P}$ (đây là ý a). Khi đó tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ có $AB=MN$, $BC=NP$, $CA=PM$, $\hat{A}=\hat{M}$, $\hat{B}=\hat{N}$, $\hat{C}=\hat{P}$, tức là đủ ba cặp cạnh và ba cặp góc tương ứng bằng nhau, nên tam giác $ABC$ = tam giác $MNP$ (đây là ý b).

Định hướng. Thay vì tính trực tiếp, giả sử $\hat{C}\ne \hat{P}$ rồi chỉ ra mâu thuẫn với định lí tổng ba góc — cách này rèn tư duy phản chứng, ít dùng biến đổi đại số hơn.

Vậy điều giả sử sai, tức $\hat{C}=\hat{P}$; từ đó cũng có đủ ba cặp cạnh và ba cặp góc tương ứng bằng nhau nên tam giác $ABC$ = tam giác $MNP$.

Định hướng. Sau khi đã có ý a, đối chiếu thẳng với định nghĩa “hai tam giác bằng nhau” đã học ở đầu bài để kết luận ý b mà không cần lặp lại phép tính.

Vậy tam giác $ABC$ = tam giác $MNP$.

Nhận xét. Ý a là bước “chìa khoá” duy nhất còn thiếu; một khi đã có $\hat{C}=\hat{P}$ thì ý b chỉ là việc gọi tên định nghĩa, không phát sinh phép tính mới.

Định hướng. Từ kí hiệu tam giác $ABC$ = tam giác $DEF$ suy ra $B\leftrightarrow E$, $C\leftrightarrow F$ nên $BC$ tương ứng $EF$; góc $\widehat{EDF}$ tương ứng góc $\widehat{BAC}$, tính bằng định lí tổng ba góc.

Vậy $EF=4$ cm và $\widehat{EDF}=80^{\circ }$.

Định hướng. Không quy về $\widehat{BAC}$ mà suy các góc $\widehat{DEF}$, $\widehat{DFE}$ tương ứng trước, rồi dùng định lí tổng ba góc ngay trong tam giác $DEF$.

Vậy $EF=4$ cm, $\widehat{EDF}=80^{\circ }$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Hai cách cho cùng kết quả vì $80^{\circ }$ chỉ phụ thuộc vào hai góc đã biết $40^{\circ }$, $60^{\circ }$ chứ không phụ thuộc việc tính trong tam giác nào.

Định hướng. Sau khi có kết quả, cộng lại đủ ba góc của từng tam giác để chắc chắn đều ra $180^{\circ }$, tránh nhầm đỉnh tương ứng.

Vậy kết quả $EF=4$ cm, $\widehat{EDF}=80^{\circ }$ được xác nhận đúng cho cả hai tam giác.

Định hướng. Dựng cạnh có hai đầu mút cố định trước ($BC$), sau đó xác định đỉnh còn lại bằng giao của hai cung tròn đúng bán kính đề cho.

Vậy tam giác $ABC$ vừa dựng có đủ $AB=5$ cm, $AC=4$ cm, $BC=6$ cm đúng như đề bài.

Định hướng. Thay vì cố định $BC$ trước, dựng từ đỉnh $A$ và cạnh $AB$ trước, sau đó dùng hai cung tròn tâm $A$ và tâm $B$ để tìm $C$ — cùng bản chất giao hai cung tròn nhưng khác cạnh cố định ban đầu.

Vậy tam giác $ABC$ dựng theo thứ tự này vẫn có đủ ba cạnh $5$ cm, $4$ cm, $6$ cm, cùng một hình dạng với Cách 1 (chỉ khác thứ tự dựng).

Nhận xét. Dù chọn cạnh nào để dựng trước, kết quả cuối cùng là cùng một tam giác (sai khác vị trí đặt trên trang giấy) — vì ba cạnh đã xác định duy nhất hình dạng tam giác.

Định hướng. Dựng $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng compa với đúng ba số đo cạnh như $ABC$, rồi đặt thước đo góc lên từng đỉnh để kiểm tra.

Vậy các góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau, và vì cả cạnh lẫn góc tương ứng đều bằng nhau nên tam giác $ABC$ = tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Định hướng. Không đo lại bằng thước mà lập luận: vì cách dựng ở HĐ2 chỉ cho ra đúng một hình dạng tam giác ứng với bộ ba cạnh $5$, $4$, $6$ nên hai tam giác dựng riêng biệt bắt buộc giống hệt nhau.

Vậy hai tam giác $ABC$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có hình dạng và kích thước giống hệt nhau, tức là bằng nhau — khớp với kết quả đo ở Cách 1.

Nhận xét. Đây chính là căn cứ thực nghiệm cho định lí “trường hợp bằng nhau cạnh-cạnh-cạnh” được thừa nhận ngay sau hoạt động này.

Định hướng. Ghi lại kí hiệu (một gạch, hai gạch, dấu nhân) của ba cạnh mỗi tam giác, tam giác nào có đúng bộ ba kí hiệu giống nhau thì bằng nhau theo c.c.c.

Vậy tam giác $ABC$ = tam giác $DFE$ và tam giác $NPM$ = tam giác $KHG$ (đều theo trường hợp c.c.c).

Định hướng. Với cặp tam giác đã nghi ngờ bằng nhau ở Cách 1, xác định đúng thứ tự đỉnh tương ứng bằng cách tìm đỉnh chung của hai cạnh đã đánh dấu, để viết đúng kí hiệu bằng nhau (không chỉ đúng nội dung mà đúng cả thứ tự).

Vậy kí hiệu đúng là tam giác $ABC$ = tam giác $DFE$ và tam giác $NPM$ = tam giác $KHG$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách viết tam giác $ABC$ = tam giác $DEF$ (không đảo $E$, $F$) là sai thứ tự dù đúng nội dung hai tam giác bằng nhau — lỗi kí hiệu rất hay bị trừ điểm.

Định hướng. Liệt kê đủ ba cặp cạnh của hai tam giác $ACB$ và $BDA$: hai cặp đã có ở giả thiết, cặp thứ ba chính là cạnh chung $AB$.

Vậy tam giác $ACB$ = tam giác $BDA$ (c.c.c).

Định hướng. Dùng ngay thứ tự chữ $ACB$ và $BDA$ mà đề đã đặt tên để xác định trước cặp cạnh tương ứng, sau đó kiểm tra từng cặp bằng giả thiết — cách làm này giúp tránh nhầm cạnh chung.

Vậy ba cặp cạnh tương ứng của tam giác $ACB$ và tam giác $BDA$ đều bằng nhau, suy ra tam giác $ACB$ = tam giác $BDA$ (c.c.c), khớp với Cách 1.

Nhận xét. Việc đối chiếu đúng thứ tự tên gọi ngay từ đầu (Cách 2) giúp tránh viết nhầm kí hiệu bằng nhau, dù kết quả cuối cùng giống Cách 1.

Định hướng. Liệt kê ba cặp cạnh của hai tam giác $ABC$ và $ADC$: hai cặp lấy từ giả thiết, cặp thứ ba là đường chéo chung $AC$.

Vậy tam giác $ABC$ = tam giác $ADC$ (c.c.c).

Định hướng. Dùng thứ tự $ABC$ và $ADC$ để xác định trước cặp cạnh tương ứng ($A\leftrightarrow A$, $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow C$), rồi kiểm lại từng cặp bằng giả thiết.

Vậy ba cặp cạnh tương ứng đều bằng nhau, suy ra tam giác $ABC$ = tam giác $ADC$ (c.c.c), khớp với Cách 1.

Nhận xét. Vì $A$ và $C$ đều tự tương ứng với chính nó (đỉnh chung của cạnh chung) nên trục $AC$ chính là trục đối xứng của tứ giác $ABCD$ trong trường hợp này.

Định hướng. Chỉ ra đủ ba cặp cạnh bằng nhau của hai tam giác $OAM$ và $OBM$ nhờ tính chất bán kính, dùng c.c.c để kết luận hai tam giác bằng nhau, từ đó suy ra hai góc ở đỉnh $O$ bằng nhau.

Vậy tia $OM$ chia góc $\widehat{xOy}$ (chính là $\widehat{AOB}$) thành hai góc bằng nhau $\widehat{AOM}$ và $\widehat{BOM}$, tức tia $OM$ (hay tia $Oz$) là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$.

Định hướng. Thay vì xét trực tiếp hai tam giác, nhận ra bốn cạnh $OA$, $AM$, $MB$, $BO$ đều bằng nhau nên tứ giác $OAMB$ là hình thoi, rồi dùng tính chất đường chéo hình thoi là phân giác của các góc ở đỉnh.

Vậy đường chéo $OM$ của hình thoi $OAMB$ là tia phân giác của góc $\widehat{AOB}=\widehat{xOy}$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 cho một hình dung trực quan (hình thoi) về lí do compa dựng được phân giác, nhưng bản chất vẫn quy về hai tam giác bằng nhau như Cách 1 (đường chéo hình thoi chia nó thành hai tam giác bằng nhau).

Định hướng. Từ kí hiệu cạnh trên Hình 4.18, xác định trước cặp đỉnh tương ứng đúng, sau đó so từng khẳng định (1)–(4) với bảng đó.

Vậy khẳng định (2) và (4) đúng; khẳng định (1) và (3) sai.

Định hướng. Sau khi tìm được đúng một kí hiệu chuẩn (tam giác $ABC$ = tam giác $EFD$), hoán vị đồng thời cả hai vế theo cùng một phép đổi chỗ để kiểm xem khẳng định nào là một cách viết khác của cùng kí hiệu đó.

Vậy (2) và (4) chỉ là hai cách viết khác của cùng một kí hiệu đúng, nên đều đúng; còn (1), (3) ứng với các hoán vị sai nên đều sai — khớp với Cách 1.

Nhận xét. Hai vế của một đẳng thức tam giác bằng nhau phải hoán vị ĐỒNG THỜI và theo ĐÚNG một phép đổi chỗ; đổi chỗ một vế mà giữ nguyên vế kia (như khẳng định (1), (3)) luôn cho kết quả sai.

Định hướng. Đường chéo $AC$ chia hình chữ nhật thành hai tam giác $ABC$ và $CDA$; dùng cạnh đối bằng nhau của hình chữ nhật cùng cạnh chung $AC$ để áp dụng c.c.c.

Vậy tam giác $ABC$ = tam giác $CDA$ (c.c.c).

Định hướng. Tương tự Cách 1 nhưng đổi sang đường chéo $BD$, chia hình chữ nhật thành hai tam giác $ABD$ và $CDB$.

Vậy tam giác $ABD$ = tam giác $CDB$ (c.c.c), là cặp tam giác bằng nhau thứ hai bên cạnh cặp đã tìm ở Cách 1.

Nhận xét. Có thể thay $AC=BD$ (đường chéo hình chữ nhật bằng nhau) vào vai trò “cạnh thứ ba” để lập thêm những cặp tam giác bằng nhau khác (ví dụ tam giác $\text{ABС}$ và tam giác $BAD$), nhưng hai cặp ở Cách 1, Cách 2 là hai cặp cơ bản và trực tiếp nhất từ cách chia theo từng đường chéo.

Định hướng. Làm ý a bằng c.c.c với cạnh chung $BD$; từ đó suy ra $\widehat{ADB}=\widehat{CDB}=30^{\circ }$ và $\widehat{DAB}=\widehat{DCB}=90^{\circ }$, dùng định lí tổng ba góc trong tam giác $ABD$ để tính $\widehat{ABD}$, rồi nhân đôi vì $\widehat{ABD}=\widehat{DBC}$.

Vậy a) tam giác $ABD$ = tam giác $CBD$ (c.c.c); b) $\widehat{ABC}=120^{\circ }$.

Định hướng. Vẫn dùng kết quả ý a để có $\widehat{ADB}=30^{\circ }$, nhưng đi theo hướng tính tổng góc $\widehat{ADC}$ trước, sau đó dùng tổng bốn góc của tứ giác $ABCD$ để suy ra $\widehat{ABC}$ mà không cần tính riêng $\widehat{ABD}$.

Vậy $\widehat{ABC}=120^{\circ }$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 dùng tổng bốn góc tứ giác (kiến thức từ lớp dưới) thay vì tổng ba góc tam giác, cho cùng một kết quả — một cách kiểm chứng độc lập tốt cho Cách 1.

Định hướng. Sau khi có $\widehat{ABC}=120^{\circ }$, kiểm tra lại bằng cách cộng đủ sáu góc nhỏ tạo bởi hai đường chéo $BD$ trong tam giác $ABD$ và $CBD$, đảm bảo không tính sai ở bước nào.

Vậy mọi kết quả đều tự hợp nhau, khẳng định chắc chắn $\widehat{ABC}=120^{\circ }$.