Bài 14. Trường hợp bằng nhau thứ hai và thứ ba của tam giác

Định hướng. Dựng góc $60^{\circ }$ tại $A$ trước, đặt $B,C$ đúng khoảng cách trên hai cạnh của góc, nối $BC$ rồi đo.

Vậy đo được $BC\approx 3,6$ cm (kết quả đo có thể lệch vài mi-li-mét tuỳ dụng cụ, nhưng luôn xấp xỉ giá trị này với đúng ba dữ kiện đã cho).

Định hướng. Dùng công thức tính cạnh còn lại của tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa (sẽ học đầy đủ ở lớp trên) để có một con số đối chiếu với kết quả đo tay.

Vậy $BC\approx 3,6$ cm, khớp với kết quả đo trực tiếp ở Cách 1.

Nhận xét. Vì $AB$, $AC$, $\hat{A}$ đã cố định nên $BC$ chỉ có đúng một giá trị — đây chính là lí do mọi bạn trong lớp vẽ theo đúng ba số liệu này đều đo ra cùng một độ dài $BC$.

Định hướng. Đối chiếu từng yếu tố tương ứng của $ABC$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, rồi cắt rời và đặt chồng để kiểm tra trực tiếp.

Vậy tam giác $ABC$ và tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng nhau; cạnh $BC$, $B^{\prime }{C}^{\prime }$ của mọi bạn trong lớp khi vẽ đúng ba số liệu trên cũng đều bằng nhau, nên tam giác của em và tam giác của bạn khác cũng bằng nhau.

Định hướng. Thay vì đo rồi so sánh, lập luận rằng cách dựng "hai cạnh và góc xen giữa" chỉ cho ra đúng MỘT hình dạng tam giác, nên không cần đo cũng suy được kết quả.

Vậy tất cả các tam giác đó bằng nhau, không cần đo từng bạn một để kiểm tra.

Nhận xét. Đây chính là nội dung sẽ được phát biểu thành định lí "trường hợp bằng nhau cạnh - góc - cạnh" ngay sau hoạt động này.

Định hướng. Với mỗi tam giác, xác định hai cạnh mang dấu (một gạch, hai gạch) rồi xem góc được đánh dấu có nằm đúng ở đỉnh chung của hai cạnh đó hay không.

Vậy chỉ tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$ thoả đúng c.g.c ($AB=MN$, $\hat{A}=\hat{M}$ xen giữa, $AC=MP$) nên tam giác $ABC$ = tam giác $MNP$; hai tam giác $FED$, $HGK$ chưa đủ căn cứ để kết luận bằng nhau tam giác nào trong hình.

Định hướng. Với $FED$ và $HGK$ (góc không xen giữa), thử dựng thêm một tam giác khác cũng thoả đúng hai cạnh đó và góc đó nhưng KHÁC hình dạng, để thấy dữ kiện chưa đủ.

Vậy "hai cạnh và một góc không xen giữa" không xác định duy nhất một tam giác, nên không thể khẳng định $FED$ hay $HGK$ bằng bất kì tam giác nào khác trong hình chỉ từ dữ kiện đã cho.

Nhận xét. Đây là lí do c.g.c bắt buộc góc phải xen giữa — thiếu điều kiện này, phép "cạnh - cạnh - góc" nói chung không phải là một trường hợp bằng nhau tam giác.

Định hướng. Hình dung nếu đo cạnh còn lại (cạnh không đánh dấu) của mỗi tam giác, tam giác nào thoả c.g.c thì cạnh đó chắc chắn bằng nhau; tam giác nào không thoả thì cạnh đó có thể khác nhau tuỳ hình vẽ.

Vậy kết luận vẫn là chỉ tam giác $ABC$ = tam giác $MNP$; điều này càng khẳng định lại kết quả của Cách 1.

Định hướng. Đối chiếu đúng thứ tự cạnh - góc xen giữa - cạnh của tam giác $ABC$ với tam giác $ADC$.

Vậy tam giác $ABC$ = tam giác $ADC$ (c.g.c).

Định hướng. Vì $AC$ vừa là cạnh chung vừa là tia phân giác góc $A$ ($\widehat{BAC}=\widehat{DAC}$) và $AB=AD$, xét phép đối xứng trục qua đường thẳng $AC$ để suy trực tiếp ra sự bằng nhau.

Vậy tam giác $ABC$ = tam giác $ADC$, khớp với Cách 1, vì phép đối xứng trục bảo toàn độ dài và số đo góc.

Nhận xét. Cách nhìn này còn cho biết thêm $CB=CD$ và $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$ ngay lập tức, không cần liệt kê riêng từng cặp như Cách 1.

Định hướng. Dùng tổng ba góc trong tam giác $MNP$ để tính $\hat{M}$, so với $\hat{A}=60^{\circ }$, rồi đối chiếu đủ ba yếu tố c.g.c.

Vậy tam giác $ABC$ = tam giác $MNP$ (c.g.c).

Định hướng. Sau khi có $\hat{M}=60^{\circ }$, thử cộng lại tổng ba góc từng tam giác và đối chiếu ngược từng đỉnh trước khi kết luận, tránh nhầm góc kề với góc xen giữa.

Vậy tam giác $ABC$ = tam giác $MNP$ (c.g.c), kết quả khớp với Cách 1.

Nhận xét. Việc thử cộng lại tổng góc là cách kiểm tra nhanh, rẻ tiền để chắc chắn không tính nhầm góc còn thiếu trước khi kết luận hai tam giác bằng nhau.

Định hướng. Ý a) dùng tính chất cộng đoạn thẳng với đoạn chung $BC$; ý b) dùng lại đúng kết quả ý a) làm cạnh thứ ba của c.g.c.

Vậy tam giác $OAC$ = tam giác $ODB$ (c.g.c) — đây là ý b).

Định hướng. Thử hướng ngược lại: dùng ngay $OA=OD$, góc bằng nhau và cạnh chung $AD$ để xét một cặp tam giác phụ, từ đó suy ra $AC=DB$ mà không cần cộng đoạn thẳng trước.

Vậy tam giác $OAC$ = tam giác $ODB$, suy ra $AC=DB$ (hai cạnh tương ứng) — khớp cả hai ý a), b) với Cách 1 nhưng theo thứ tự ngược lại.

Nhận xét. Cách 2 dài hơn vì phải chứng minh thêm một cặp tam giác phụ ($OAB=ODC$) và xử lí góc bằng phép cộng/trừ góc, trong khi Cách 1 chỉ cần cộng đoạn thẳng đơn giản.

Định hướng. Dựng cạnh $BC$ trước (hai đầu mút cố định), sau đó dựng hai tia đúng góc tại $B$ và $C$, lấy giao điểm làm đỉnh $A$.

Vậy đo được $AB\approx 1,9$ cm và $AC\approx 2,8$ cm (số đo có thể lệch chút ít tuỳ độ chính xác khi dựng hình bằng tay).

Định hướng. Tính góc $A$ còn lại rồi dùng công thức liên hệ cạnh - góc đối diện (sẽ học đầy đủ ở lớp trên) để có con số đối chiếu với kết quả đo tay.

Vậy theo tính toán $AB\approx 2,2$ cm, $AC\approx 3,4$ cm — cùng cỡ với kết quả đo tay ở Cách 1 (sai khác nhỏ là do sai số dựng hình bằng tay).

Nhận xét. Vì $BC$ và hai góc kề đã cố định nên $AB$, $AC$ chỉ có đúng một giá trị — mọi bạn vẽ đúng ba dữ kiện đều đo ra cùng kết quả.

Định hướng. Đối chiếu $BC$ với $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và đo thêm $AB$, $A^{\prime }{B}^{\prime }$, $AC$, $A^{\prime }{C}^{\prime }$, rồi đặt chồng hai tam giác để kiểm tra trực tiếp.

Vậy tam giác $ABC$ = tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Định hướng. Lập luận rằng cách dựng "một cạnh và hai góc kề" chỉ cho ra đúng một hình dạng tam giác, nên không cần đo cũng suy được kết quả, giống lập luận đã dùng ở HĐ2.

Vậy tam giác $ABC$ = tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, không cần đo từng cạnh để kiểm tra.

Nhận xét. Đây chính là nội dung sẽ được phát biểu thành định lí "trường hợp bằng nhau góc - cạnh - góc" ngay sau hoạt động này.

Định hướng. Với mỗi tam giác, xem cạnh có tích có hai đầu mút là hai đỉnh mang góc $50^{\circ }$ và $70^{\circ }$ đã ghi trực tiếp hay không.

Vậy tam giác $ABC$ = tam giác $PMN$ (hay viết đúng thứ tự tương ứng là tam giác $ABC$ = tam giác $NPM$, với $B\leftrightarrow N$, $C\leftrightarrow P$) theo g.c.g; còn $GHK$ và $EDF$ tuy có cùng ba góc $50^{\circ },60^{\circ },70^{\circ }$ nhưng cạnh cho trước nằm ở vị trí khác (giữa $60^{\circ }$ và $70^{\circ }$ thay vì giữa $50^{\circ }$ và $70^{\circ }$) nên không thể ghép g.c.g với $ABC$ hay $PMN$ từ dữ kiện đã cho.

Định hướng. Tính đủ góc thứ ba của $GHK$, $EDF$ bằng định lí tổng ba góc, rồi liệt kê trọn bộ "cạnh - hai góc kề" của cả bốn tam giác để so sánh có hệ thống, tránh bỏ sót.

Vậy chỉ $ABC$ và $PMN$ có cạnh đánh dấu đúng vị trí xen giữa hai góc $50^{\circ },70^{\circ }$ nên tam giác $ABC$ = tam giác $PMN$ (g.c.g); $GHK$, $EDF$ không đủ căn cứ, khớp lại với kết luận của Cách 1.

Nhận xét. Ba tam giác $ABC$, $GHK$, $PMN$, $EDF$ tuy có chung bộ ba góc $\{50^{\circ },60^{\circ },70^{\circ }\}$ nhưng chỉ hai trong số đó thật sự bằng nhau — chứng tỏ "ba góc bằng nhau" không thay thế được vị trí chính xác của cạnh trong trường hợp g.c.g.

Định hướng. Đối chiếu đúng thứ tự góc - cạnh xen giữa - góc của tam giác $ABC$ với tam giác $DEC$, dùng luôn tính chất góc đối đỉnh tại $C$.

Vậy tam giác $ABC$ = tam giác $DEC$ (g.c.g).

Định hướng. Từ g.c.g suy ra $BC=EC$ và $AB=DE$; thử dựng lại lập luận theo hướng c.g.c (dùng $AC=DC$, góc đối đỉnh, và $BC=EC$ vừa nêu) để kiểm tra chéo kết quả.

Vậy tam giác $ABC$ = tam giác $DEC$, khớp lại với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 chỉ mang tính kiểm tra chéo vì $BC=EC$ vốn dĩ là HỆ QUẢ của việc hai tam giác đã bằng nhau ở Cách 1, không phải một giả thiết độc lập — khi trình bày bài làm chính thức chỉ nên dùng Cách 1.

Định hướng. Xét tam giác $ABD$ và tam giác $CBD$ với cạnh chung $BD$, dùng hai cặp góc đã bị $BD$ chia đôi làm hai góc kề.

Vậy tam giác $ABD$ = tam giác $CBD$ (g.c.g).

Định hướng. Thay vì dùng luôn cả hai cặp góc đã chia đôi, chỉ cần dùng một cặp góc và cạnh chung, rồi suy góc còn lại bằng định lí tổng ba góc để xác nhận bộ ba g.c.g theo một trật tự khác.

Vậy tam giác $ABD$ = tam giác $CBD$ (g.c.g), khớp với Cách 1; đồng thời có thêm $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}$ như một kết quả kiểm tra chéo.

Nhận xét. Góc thứ ba $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}$ tính được qua Cách 2 chính là hệ quả của Cách 1 chứ không phải một chứng minh độc lập hoàn toàn khác — nên khi trình bày bài làm chính thức, Cách 1 vẫn gọn và trực tiếp hơn.

Định hướng. Gọi tên đúng ba góc của mỗi tam giác theo cạnh chung, chỉ ra góc kề còn thiếu tính được từ góc kề đã cho và góc đối diện đã cho, rồi quy về đúng g.c.g.

Vậy tam giác $ABC$ = tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (g.c.g) — bạn Lan nói đúng.

Định hướng. Giả sử tồn tại hai tam giác thoả đúng ba dữ kiện của Lan mà không bằng nhau, rồi chỉ ra điều này mâu thuẫn với tính duy nhất của phép dựng g.c.g.

Vậy điều giả sử sai, tức hai tam giác luôn bằng nhau — xác nhận lại bạn Lan nói đúng, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Phát biểu của Lan thực chất không phải một trường hợp bằng nhau MỚI, mà chỉ là g.c.g được diễn đạt lại dưới một vỏ bọc khác (thay góc kề thứ hai bằng góc đối diện, vì hai cái tương đương nhau qua tổng ba góc).

Định hướng. Xét tam giác $ABD$ và tam giác $CDB$ với cạnh chung $BD$, dùng $AB=DC$ và góc so le $\widehat{ABD}=\widehat{BDC}$ làm góc xen giữa.

Vậy tam giác $ABD$ = tam giác $CDB$ (c.g.c).

Định hướng. Xét tam giác $AOB$ và tam giác $COD$ với $O$ là giao điểm của $AC$, $BD$, dùng cặp góc đối đỉnh tại $O$ làm góc xen giữa.

Vậy tam giác $AOB$ = tam giác $COD$ (c.g.c).

Nhận xét. Hai hình tuy khác hình dạng nhưng cùng chung một mấu chốt: tìm đúng cạnh xen giữa (cạnh chung ở hình a, góc đối đỉnh ở hình b) trước khi ghép c.g.c.

Định hướng. Ý a) xét lần lượt hai cặp góc đối đỉnh tại $O$; ý b) dùng kết quả $AD=CB$ từ ý a) làm cạnh, ghép với góc và cạnh chung $BD$.

Vậy tam giác $DAB$ = tam giác $BCD$ (c.g.c) — đây là ý b).

Định hướng. Thay vì tìm thêm một góc bằng nhau như Cách 1, dùng luôn CẢ HAI cặp tam giác ở ý a) để suy ra đủ ba cặp cạnh của tam giác $DAB$ và $BCD$, rồi ghép theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh.

Vậy tam giác $DAB$ = tam giác $BCD$ (c.c.c), khớp với Cách 1 nhưng theo một trường hợp bằng nhau khác.

Nhận xét. Cách 2 tận dụng triệt để cả hai kết quả của ý a) nên không cần tìm thêm góc $\widehat{ADB}=\widehat{CBD}$ như Cách 1, nhưng đổi lại phải dùng đến trường hợp c.c.c đã học ở Bài 13.

Định hướng. Xét tam giác $ADE$ và tam giác $BCE$, dùng $AE=BE$ làm cạnh, $\widehat{DAE}=\widehat{CBE}$ và góc đối đỉnh tại $E$ làm hai góc kề.

Vậy tam giác $ADE$ = tam giác $BCE$ (g.c.g, đúng thứ tự tương ứng $A\leftrightarrow B$, $D\leftrightarrow C$, $E\leftrightarrow E$).

Định hướng. Sau khi có hai góc và một cạnh, tính thêm góc thứ ba của từng tam giác bằng định lí tổng ba góc để chắc chắn không nhầm đỉnh trước khi kết luận.

Vậy tam giác $ADE$ = tam giác $BCE$ (g.c.g), khớp với Cách 1; đồng thời xác nhận thêm $\widehat{ADE}=\widehat{BCE}$.

Nhận xét. Việc tính thêm góc thứ ba ở Cách 2 không bắt buộc khi trình bày bài làm chính thức (Cách 1 đã đủ), nhưng là một bước kiểm tra hữu ích để chắc chắn không ghép nhầm cặp đỉnh tương ứng.

Định hướng. Ý a) ghép g.c.g nhờ hai cặp góc so le trong của $AB\parallel CD$; ý b) xét tiếp tam giác $AEG$ và $DEH$ với cạnh $EA=ED$ vừa có từ ý a).