Bài 21. Phân thức đại số

Định hướng. Gọi vận tốc đường bằng phẳng là $x$ (km/h, $x>0$), suy ra vận tốc leo dốc và xuống dốc theo $x$, viết ba phân thức thời gian rồi cộng lại.

Vậy khi biết một giá trị cụ thể của $x$ (khác $0$, $5$, $-10$) ta thay vào $T$ để tính được tổng thời gian, nên câu trả lời là Có.

Định hướng. Mỗi thời gian là một phân thức đại số; theo định nghĩa vừa học, phân thức tính được giá trị khi mẫu khác $0$, nên chỉ cần kiểm tra ba mẫu thức có khác $0$ tại giá trị $x$ đã cho hay không.

Vậy biết vận tốc $x$ (khác $5$) là đủ để tính được thời gian mỗi chặng, do đó tính được tổng thời gian của cả cuộc đua.

Định hướng. Chọn thử một vận tốc hợp lý, ví dụ $x=30$ km/h, tính trực tiếp ba thời gian để kiểm chứng việc "biết $x$ là tính được", từ đó khẳng định điều này đúng với mọi $x$ hợp lệ.

Vậy với $x=30$ ta tính được đủ ba thời gian, nên với bất kỳ vận tốc $x$ hợp lệ nào khác cũng làm tương tự và luôn tính được.

Nhận xét. Cả ba cách đều dẫn tới cùng kết luận: chỉ cần vận tốc $x$ khác $0$, $5$ và $-10$ là tính được tổng thời gian — đây chính là điều kiện xác định của phân thức, nội dung trọng tâm của bài học.

Định hướng. Suy vận tốc hai chặng còn lại theo $x$ từ dữ kiện hơn - kém, rồi viết ngay ba biểu thức thời gian.

Vậy ba biểu thức thời gian cần tìm là $\frac{9}{x-5}$; $\frac{5}{x+10}$; $\frac{36}{x}$ (giờ).

Định hướng. Trình bày có hệ thống bằng cách ghép mỗi chặng với đủ ba đại lượng trong cùng một dòng, tránh bỏ sót chặng nào.

Vậy ba biểu thức thời gian là $\frac{9}{x-5}$; $\frac{5}{x+10}$; $\frac{36}{x}$ (giờ).

Nhận xét. Ba biểu thức này chính là ba phân thức đại số đầu tiên xuất hiện trong bài học, sẽ được dùng lại ở phần Vận dụng cuối bài.

Định hướng. Đối chiếu đúng thứ tự hai đại lượng mà đề yêu cầu rồi viết tỉ số.

Vậy tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật là $\frac{x}{y}$.

Định hướng. Nhắc lại định nghĩa tỉ số (thương của đại lượng đứng trước so với đại lượng đứng sau) rồi thay số liệu của bài vào.

Vậy tỉ số cần tìm là $\frac{x}{y}$.

Nhận xét. Biểu thức $\frac{x}{y}$ có tử và mẫu đều là đa thức (đơn thức bậc nhất) và mẫu $y$ khác đa thức $0$ khi hình chữ nhật tồn tại ($y>0$), nên đây đúng là một phân thức đại số.

Định hướng. Đối chiếu từng mẫu; riêng câu c) khai triển $4(x-2)$ để đưa hai mẫu về cùng dạng rồi so sánh.

Vậy chỉ có cặp phân thức ở câu c) có cùng mẫu thức.

Định hướng. Với câu c) đã nghi ngờ hai mẫu bằng nhau, thay thử một giá trị $x$ cụ thể vào cả hai mẫu để kiểm tra nhanh trước khi khẳng định bằng khai triển.

Vậy cặp phân thức câu c) có cùng mẫu thức; hai câu a), b) mẫu đã khác nhau ngay ở hệ số nên không cần thử số.

Định hướng. Nhìn mẫu thứ nhất $4x-8$ dưới dạng đặt nhân tử chung để lộ ra đúng dạng $4(x-2)$ của mẫu thứ hai.

Vậy hai mẫu thức ở câu c) là một, cặp phân thức câu c) có cùng mẫu thức.

Nhận xét. Câu c) cho thấy hai mẫu thức "trông khác nhau" vẫn có thể là cùng một đa thức — luôn phải khai triển hoặc phân tích nhân tử trước khi kết luận.

Định hướng. Kiểm tra xem mẫu $3+\frac{1}{x}$ có phải là một đa thức hay không.

Vậy cách viết đã cho không thoả mãn định nghĩa phân thức đại số, bạn Tròn nói đúng.

Định hướng. Quy đồng mẫu $3+\frac{1}{x}$ thành một phân thức thật sự để thấy rõ vì sao cách viết ban đầu (khi chưa quy đồng) không đạt chuẩn phân thức.

Vậy bản thân cách viết $\frac{3-2x}{3+\frac{1}{x}}$ chưa phải là phân thức (mẫu chưa là đa thức); phải biến đổi thành $\frac{x(3-2x)}{3x+1}$ mới hợp lệ — bạn Tròn đúng.

Định hướng. Đối chiếu với nguyên tắc chung đã rút ra từ Ví dụ 1 của bài: hễ tử hoặc mẫu vi phạm điều kiện "là đa thức" thì cách viết đó không phải phân thức, dù hình thức vẫn là một phân số.

Vậy theo đúng nguyên tắc chung của bài học, bạn Tròn đúng: cách viết $\frac{3-2x}{3+\frac{1}{x}}$ không phải là một phân thức.

Nhận xét. Bạn Vuông đã nhầm "mọi biểu thức có dạng phân số" với "phân thức đại số" — phân thức đòi hỏi CẢ tử lẫn mẫu đều phải là đa thức.

Định hướng. Nhân chéo tử của phân thức này với mẫu của phân thức kia rồi so sánh hai tích.

Vậy $\frac{1}{x^2+x+1}=\frac{1-x}{1-x^3}$ là khẳng định đúng.

Định hướng. Dùng hằng đẳng thức hiệu hai lập phương để phân tích $1-x^3$, từ đó rút gọn vế phải về đúng vế trái.

Vậy vế phải rút gọn đúng bằng vế trái, khẳng định đã cho là đúng.

Định hướng. Thực hiện phép chia đa thức để tìm thương, từ đó suy ra ngay phân thức rút gọn.

Vậy thương của phép chia là $1-x$, nên $\frac{1-x}{1-x^3}=\frac{1-x}{(x^2+x+1)(1-x)}=\frac{1}{x^2+x+1}$, khẳng định đúng.

Nhận xét. Ba cách đều quy về cùng một điểm mấu chốt: $1-x^3$ luôn chứa nhân tử $1-x$, đây là kiến thức sẽ dùng lại nhiều lần khi rút gọn phân thức ở bài học sau.

Định hướng. Cho mẫu khác $0$ để tìm điều kiện, kiểm tra $x=2$ thoả mãn rồi thay trực tiếp vào phân thức.

Vậy điều kiện xác định là $x\ne 1$ và giá trị của phân thức tại $x=2$ là $3$.

Định hướng. Viết lại phân thức dưới dạng phần nguyên cộng phần phân số nhỏ hơn để việc thay số về sau chỉ còn phép tính đơn giản.

Vậy điều kiện xác định là $x\ne 1$, và giá trị của phân thức tại $x=2$ vẫn là $3$, khớp với Cách 1.

Định hướng. Thay $x=30$ vào ba biểu thức thời gian đã có, rồi quy đồng mẫu số chung để cộng ba phân số.

Vậy thời gian ba chặng lần lượt là $\frac{9}{25}$; $\frac{1}{8}$; $\frac{6}{5}$ giờ, và tổng thời gian hoàn thành cuộc đua là $\frac{337}{200}$ giờ ($=1,685$ giờ).

Định hướng. Cộng ba phân thức $\frac{9}{x-5}+\frac{5}{x+10}+\frac{36}{x}$ thành một phân thức chung trước, sau đó thay $x=30$ một lần duy nhất.

Vậy tổng thời gian là $\frac{337}{200}$ giờ, khớp với Cách 1.

Định hướng. Đổi ngay mỗi thời gian ra số thập phân rồi cộng, thích hợp khi cần đối chiếu nhanh hoặc dùng máy tính cầm tay.

Vậy tổng thời gian là $1,685$ giờ, tức $\frac{337}{200}$ giờ, khớp hai cách trên.

Nhận xét. $1,685$ giờ xấp xỉ $1$ giờ $41$ phút; ba cách đều xác nhận cùng một đáp số nên kết quả đáng tin cậy.

Định hướng. So khớp vị trí trên và dưới của phân thức đã cho với định nghĩa tử thức, mẫu thức.

Vậy tử thức là $5x-2$, mẫu thức là $3$.

Định hướng. So sánh với các phân thức mẫu trong Ví dụ 1 của SGK (có mẫu là số, như $\frac{xy+z}{-3}$ có mẫu là $-3$) để xác nhận cách đọc tử, mẫu khi mẫu thức là một số.

Vậy tử thức là $5x-2$, mẫu thức là $3$.

Định hướng. Đối chiếu từng mẫu; riêng câu c) khai triển $3(x+2)$ để đưa hai mẫu về cùng dạng rồi so sánh.

Vậy chỉ có cặp phân thức câu c) có mẫu giống nhau.

Định hướng. Với câu c) đã nghi ngờ hai mẫu bằng nhau, thay thử một giá trị $x$ cụ thể vào cả hai mẫu để kiểm tra nhanh.

Vậy cặp phân thức câu c) có mẫu giống nhau; câu a), b) đã khác nhau rõ ràng nên không cần thử số.

Định hướng. Nhìn mẫu thứ nhất $3x+6$ dưới dạng đặt nhân tử chung để lộ ra đúng dạng $3(x+2)$ của mẫu thứ hai.

Vậy hai mẫu thức câu c) là một, cặp phân thức câu c) có mẫu giống nhau.

Nhận xét. Vẫn là bài học: luôn khai triển hoặc phân tích nhân tử trước khi so sánh hai biểu thức có hình thức khác nhau.

Định hướng. Nhân chéo tử của phân thức này với mẫu của phân thức kia, so sánh hai tích cho từng câu.

Vậy cả ba khẳng định a), b), c) đều đúng.

Định hướng. Phân tích tử, mẫu thành nhân tử rồi giản ước phần chung, đưa cả hai vế mỗi câu về cùng một dạng.

Vậy cả ba khẳng định đều đúng, khớp với Cách 1.

Định hướng. Thử một giá trị số cho mỗi câu để kiểm tra sơ bộ, sau đó xác nhận bằng lập luận tổng quát ở trên vì thử số chỉ mang tính kiểm tra chứ không thay được chứng minh.

Vậy cả ba phép thử đều khớp, phù hợp với kết luận cả ba khẳng định đúng đã chứng minh chặt chẽ ở Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Thử số chỉ giúp kiểm tra nhanh, không thay được việc chứng minh $AD=BC$ đúng với MỌI giá trị của biến.

Định hướng. Nêu điều kiện xác định, kiểm tra ba giá trị đều hợp lệ rồi thay lần lượt vào phân thức gốc.

Vậy điều kiện xác định là $x\ne -2$; giá trị của phân thức tại $x=0$; $1$; $2$ lần lượt là $-1$; $0$; $1$.

Định hướng. Nhẩm nghiệm của tam thức $x^2+x-2$ để phân tích thành nhân tử, rút gọn phân thức về dạng đơn giản trước khi thay số ba lần.

Vậy điều kiện xác định là $x\ne -2$; ba giá trị lần lượt là $-1$; $0$; $1$, khớp với Cách 1.

Định hướng. Thực hiện phép chia $(x^2+x-2):(x+2)$ để tìm thương đúng bằng dạng rút gọn, rồi thay số vào thương.

Vậy kết quả trùng khớp cả ba cách: điều kiện xác định $x\ne -2$, ba giá trị $-1$; $0$; $1$.

Nhận xét. Phép rút gọn $x-1$ cho thấy phân thức này thực chất chỉ là một đa thức bậc nhất (khi $x\ne -2$) — kiến thức "rút gọn phân thức" sẽ học chính thức ở bài sau.

Định hướng. Viết $0$ và $1$ dưới dạng phân thức có mẫu $1$ rồi áp dụng $AD=BC$.

Vậy theo đúng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, $\frac{0}{A}=0$ và $\frac{A}{A}=1$.

Định hướng. Coi $\frac{0}{A}$ và $\frac{A}{A}$ là phép chia đa thức $0$ hoặc $A$ cho $A$, rồi xét thương và số dư.

Vậy $\frac{0}{A}=0$ (thương của phép chia $0$ cho $A$) và $\frac{A}{A}=1$ (thương của phép chia $A$ cho chính nó).

Định hướng. Nhắc lại hai tính chất quen thuộc của phân số $\frac{0}{a}=0$ và $\frac{a}{a}=1$ (với $a\ne 0$) rồi mở rộng sang phân thức, vì phân thức đại số được xây dựng hoàn toàn tương tự phân số nhưng thay số bằng đa thức.

Vậy $\frac{0}{A}=0$ và $\frac{A}{A}=1$ đúng với mọi đa thức $A$ khác $0$, hoàn toàn tương tự tính chất của phân số.

Nhận xét. Đây chính là ý câu mở đầu chương: "từ tập hợp các đa thức ta cũng xây dựng được một tập hợp phân thức đại số tương tự như từ số nguyên xây dựng số hữu tỉ" — mọi tính chất quen thuộc của phân số đều lặp lại đúng như vậy cho phân thức.

Định hướng. Áp thẳng công thức $t=s:v$ với $s=120$, $v=x$, sau đó thay $x=60$.

Vậy biểu thức thời gian là $\frac{120}{x}$ (giờ), và khi vận tốc là $60$ km/h thì thời gian là $2$ giờ.

Định hướng. Với quãng đường không đổi, thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc; xuất phát từ đó suy ra công thức và giá trị cần tìm.

Vậy vẫn thu được $t=\frac{120}{x}$ (giờ) và tại $x=60$ thì $t=2$ giờ, khớp với Cách 1.