Chương VI. Phân thức đại số

Bài 21. Phân thức đại số

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang4 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 6.1★Trang 4— Viết phân thức từ tử thức, mẫu thức cho trước

Bài 6.1 (trang 4). Viết phân thức với tử và mẫu lần lượt là: a)

2 x - 1

và

x + 1

; b)

x^{2} - x

và

- 2

; c)

3

và

2 x + 5

Kiến thức cần nhớ

Phân thức $\frac{A}{B}$ có $A$ là tử thức, $B$ là mẫu thức, với $B$ khác đa thức $0$ .
Một số khác $0$ cũng là một đa thức, có thể làm mẫu thức.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn tử và mẫu bằng lời, chỉ cần ghép đúng thứ tự vào dạng

\frac{A}{B}

— đây là thao tác ngược của bài đọc tử/mẫu từ một phân thức, nay là viết phân thức từ tử/mẫu đã cho. Cả ba câu đều có mẫu khác đa thức

0

(là

x + 1

- 2

2 x + 5

) nên đều hợp lệ ngay. Bẫy là viết ngược tử xuống dưới, mẫu lên trên.

1Cách 1. Ghép trực tiếp theo đúng thứ tự đề cho

Định hướng. Đặt đúng biểu thức được nêu trước làm tử, biểu thức nêu sau làm mẫu.

a) Tử là

2 x - 1

, mẫu là

x + 1

: phân thức là

\frac{2 x - 1}{x + 1}

b) Tử là

x^{2} - x

, mẫu là

- 2

: phân thức là

\frac{x ^{2} - x}{- 2}

c) Tử là

3

, mẫu là

2 x + 5

: phân thức là

\frac{3}{2 x + 5}

Vậy ba phân thức cần viết là $\frac{2 x - 1}{x + 1}$ ; $\frac{x ^{2} - x}{- 2}$ ; $\frac{3}{2 x + 5}$ .

2Cách 2. Đối chiếu với dạng tổng quát

\frac{A}{B}

rồi thay từng cặp

Định hướng. Viết sẵn khung $\frac{A}{B}$ , sau đó lần lượt thay $A$ , $B$ theo từng câu để tránh nhầm vị trí.

Khung chung:

\frac{A}{B}

với

A

là tử,

B

là mẫu
a)

A = 2 x - 1

B = x + 1

, phân thức là

\frac{A}{B} = \frac{2 x - 1}{x + 1}

A = x^{2} - x

B = - 2

, phân thức là

\frac{A}{B} = \frac{x ^{2} - x}{- 2}

A = 3

B = 2 x + 5

, phân thức là

\frac{A}{B} = \frac{3}{2 x + 5}

Vậy ba phân thức cần viết vẫn là $\frac{2 x - 1}{x + 1}$ ; $\frac{x ^{2} - x}{- 2}$ ; $\frac{3}{2 x + 5}$ , khớp Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ghép thẳng theo đề, không cần viết lại khung tổng quát.

Đáp số. a)

\frac{2 x - 1}{x + 1}

. b)

\frac{x ^{2} - x}{- 2}

. c)

\frac{3}{2 x + 5}

Sai lầm thường gặp. Viết ngược vị trí tử và mẫu ở câu a), cho ra

\frac{x + 1}{2 x - 1}

thay vì

\frac{2 x - 1}{x + 1}

— luôn đọc đúng thứ tự "tử … và mẫu …" mà đề đã nêu.

🚀 Mở rộng. Cùng cách ghép, nếu đề cho tử là

x^{2} + 1

và mẫu là

0

thì KHÔNG viết được phân thức, vì mẫu thức phải khác đa thức

0

theo đúng định nghĩa.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.2★★Trang 4— Viết điều kiện xác định của phân thức, kể cả mẫu vô nghiệm

Bài 6.2 (trang 4). Viết điều kiện xác định của các phân thức sau: a)

\frac{2 x + 1}{x ^{2} - 1}

; b)

\frac{x ^{3} + 1}{x ^{2} - x + 1}

; c)

\frac{2 x ^{2} + 1}{3 x - 1}

Kiến thức cần nhớ

Điều kiện xác định của phân thức $\frac{A}{B}$ là điều kiện của biến để $B \neq = 0$ .
Hằng đẳng thức bình phương một hiệu: $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$ .
Tổng của một bình phương và một số dương luôn là số dương.

🧠 Phân tích tư duy

Ba câu đều yêu cầu cho mẫu thức khác

0

rồi giải điều kiện đó theo

x

— nhưng độ khó tăng dần: câu a) đưa về phương trình tích đơn giản, câu c) là phương trình bậc nhất, còn câu b) là điểm nhấn của bài vì mẫu

x^{2} - x + 1

không phân tích được thành nhân tử có nghiệm thực. Hướng đưa mẫu câu b) về dạng bình phương cộng một số dương là cách duy nhất chứng minh được mẫu luôn khác

0

với MỌI

x

. Bẫy là chỉ viết "

x^{2} - x + 1 \neq = 0

" mà không chứng minh được vì sao, trong khi đề ngầm đòi hỏi phải chỉ ra biểu thức này luôn dương.

1Cách 1. Giải trực tiếp từng điều kiện, dùng phân tích nhân tử và hằng đẳng thức cho câu b)

Định hướng. Cho mẫu khác $0$ ; với câu a) phân tích hiệu hai bình phương, với câu b) hoàn thành bình phương để chứng minh mẫu luôn dương, với câu c) giải phương trình bậc nhất.

a) Điều kiện xác định:

x^{2} - 1 \neq = 0

x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)

, nên

x^{2} - 1 \neq = 0

khi

x \neq = 1

và

x \neq = - 1

b) Điều kiện xác định:

x^{2} - x + 1 \neq = 0

x^{2} - x + 1 = x^{2} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = (x - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

Vì

(x - \frac{1}{2})^{2} \geq 0

với mọi

x

nên

x^{2} - x + 1 \geq \frac{3}{4} > 0

với mọi

x

c) Điều kiện xác định:

3 x - 1 \neq = 0

, tức

x \neq = \frac{1}{3}

Vậy a) $x \neq = \pm 1$ ; b) xác định với mọi $x$ (mẫu luôn dương); c) $x \neq = \frac{1}{3}$ .

2Cách 2. Chứng minh mẫu câu b) luôn khác 0 bằng phản chứng

Định hướng. Với câu a), c) giải như Cách 1; riêng câu b), giả sử tồn tại một giá trị làm mẫu bằng $0$ rồi chỉ ra điều vô lí, từ đó khẳng định mẫu luôn khác $0$ mà không cần hoàn thành bình phương.

a), c) giải như Cách 1: điều kiện là

x \neq = \pm 1

và

x \neq = \frac{1}{3}

b) Giả sử tồn tại

x_{0}

sao cho

x_{0}^{2} - x_{0} + 1 = 0

, tức

x_{0}^{2} + 1 = x_{0}

Vì

x_{0}^{2} \geq 0

nên

x_{0} = x_{0}^{2} + 1 \geq 1

Mặt khác

(x_{0} - 1)^{2} \geq 0

nên

x_{0}^{2} + 1 \geq 2 x_{0}

, mà

x_{0}^{2} + 1 = x_{0}

nên

x_{0} \geq 2 x_{0}

, suy ra

x_{0} \leq 0

Hai điều

x_{0} \geq 1

và

x_{0} \leq 0

mâu thuẫn nhau

Vậy không tồn tại $x_{0}$ nào làm $x^{2} - x + 1 = 0$ , tức $x^{2} - x + 1 \neq = 0$ với mọi $x$ ; kết hợp với a), c) ta có đủ ba điều kiện xác định.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hoàn thành bình phương cho câu b) là kỹ thuật quen thuộc, trình bày ngắn hơn hẳn phép chứng minh phản chứng của Cách 2.

Đáp số. a)

x \neq = 1

và

x \neq = - 1

. b) Xác định với mọi

x

(vì

x^{2} - x + 1 > 0

với mọi

x

). c)

x \neq = \frac{1}{3}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), chỉ viết "

x^{2} - x + 1 \neq = 0

" rồi dừng lại mà không chứng minh được vì sao biểu thức này không bao giờ bằng

0

, trong khi đa thức bậc hai này không phân tích được thành nhân tử có nghiệm thực nên bắt buộc phải hoàn thành bình phương hoặc chứng minh bằng phản chứng mới kết luận chắc chắn được.

🚀 Mở rộng. Cùng kỹ thuật hoàn thành bình phương, mẫu thức

x^{2} + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}

cũng luôn dương với mọi

x

; đây là dạng mẫu thức "an toàn tuyệt đối" hay gặp trong các bài phân thức nâng cao.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.3★★Trang 4— Viết phân thức, nêu ĐKXĐ và tính giá trị tại một điểm

Bài 6.3 (trang 4). Viết phân thức có tử thức là

2 x^{2} - 1

và mẫu thức là

2 x + 1

. Viết điều kiện xác định của phân thức nhận được. Tính giá trị của phân thức đó tại

x = - 3

Kiến thức cần nhớ

Phân thức $\frac{A}{B}$ với $A$ là tử thức, $B$ là mẫu thức, $B$ khác đa thức $0$ .
Điều kiện xác định của $\frac{A}{B}$ là $B \neq = 0$ .
$(- a)^{2} = a^{2}$ với mọi số $a$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.4★★★Trang 4— Kiểm tra hai phân thức bằng nhau bằng định nghĩa và bằng cách rút gọn

Bài 6.4 (trang 4). Giải thích vì sao hai phân thức sau bằng nhau:

\frac{x ^{2} - x - 2}{x + 1}

và

\frac{x ^{2} - 3 x + 2}{x - 1}

Kiến thức cần nhớ

Hai phân thức $\frac{A}{B}$ và $\frac{C}{D}$ bằng nhau nếu $A D = B C$ .
Phân tích tam thức bậc hai có nghiệm nguyên bằng cách nhẩm hai số có tổng và tích thích hợp.
Rút gọn phân thức bằng cách giản ước nhân tử chung của tử và mẫu.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.5★★★Trang 4— Tìm giá trị nguyên của biến để phân thức nhận giá trị nguyên

Bài 6.5 (trang 4). Tìm tập hợp các giá trị nguyên của

x

sao cho

P (x) = \frac{2}{x + 1}

có giá trị là số nguyên.

Kiến thức cần nhớ

Điều kiện xác định của $P (x) = \frac{2}{x + 1}$ là $x \neq = - 1$ .
Với $x$ nguyên và $x + 1 \neq = 0$ , $P (x)$ nguyên khi và chỉ khi $(x + 1)$ là ước của $2$ .
Ư $(2) = {1; - 1; 2; - 2}$ .