Bài 18. Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Định hướng. Đặt hệ trục toạ độ như Hình 6.1, gốc $O$ tại điểm thấp nhất của dây cáp trên mặt cầu; đỉnh tháp $B$ có toạ độ $(200;75)$. Thế toạ độ điểm $B$ vào $y=a{x}^2$ để tìm $a$, rồi tính tung độ của điểm có hoành độ $100$.

Vậy chiều cao $CH=18,75$ m.

Định hướng. Vì $y=a{x}^2$ nên khi hoành độ giảm $k$ lần thì tung độ giảm $k^2$ lần. Điểm $H$ có hoành độ bằng $\frac{1}{2}$ hoành độ của đỉnh tháp $B$, nên tung độ của $C$ cũng bằng ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ tung độ của $B$.

Vậy chiều cao $CH=18,75$ m, khớp với Cách 1.

Định hướng. Từ hệ số $a=\frac{3}{1600}$ ở Cách 1, lập thêm vài điểm đối xứng qua $Oy$ để dựng hình dáng dây cáp rồi đọc trực tiếp tung độ tại $x=100$ trên đồ thị.

Vậy chiều cao $CH=18,75$ m, đúng như hai cách tính đại số ở trên.

Nhận xét. Cách 2 nhanh nhất vì không phải tính hệ số $a$; Cách 3 phù hợp khi cần kiểm tra bằng hình vẽ trực quan trước khi trình bày lời giải chính thức.

Định hướng. Câu a) thế lần lượt $t=0;1;2$ vào $s=4,9t^2$. Câu b) thế $s=19,6$ vào công thức, đưa về $t^2=$ số rồi khai căn, chỉ nhận nghiệm dương.

Vậy bảng giá trị là $0$; $4,9$; $19,6$ và vật chạm đất sau $2$ giây.

Định hướng. Ở câu b), thay vì khai căn theo đúng quy trình, nhận xét ngay $19,6:4,9=4=2^2$ là một số chính phương nên đọc được $t$ luôn.

Vậy vật chạm đất sau $2$ giây, khớp với Cách 1.

Định hướng. Ở câu a) đã tính được $s(1)=4,9$. Vì $s=4,9t^2$ tỉ lệ với bình phương của $t$, so sánh $19,6$ với $4,9$ để suy ra tỉ số của $t$ mà không cần giải phương trình từ đầu.

Vậy vật chạm đất sau $2$ giây.

Nhận xét. Ba cách cho cùng đáp số; Cách 2 nhanh nhất khi tỉ số ra đúng số chính phương, còn Cách 1 luôn dùng được kể cả khi tỉ số không đẹp.

Định hướng. Diện tích hình tròn bán kính $r$ là $S=\pi r^2$; lấy $\pi \approx 3,14$ rồi thế lần lượt $r=1;2;3;4$.

Vậy $S(1)=3,14$; $S(2)=12,56$; $S(3)=28,26$; $S(4)=50,24$ (cm²).

Định hướng. Nhận xét $r=2$ gấp đôi $r=1$, $r=4$ gấp đôi $r=2$; vì $S=3,14r^2$ nên $S$ tăng theo bình phương, tức gấp $4$ lần mỗi khi $r$ gấp đôi.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1.

Định hướng. Sau khi có bảng giá trị, thử lại bằng cách tính ngược $r=\sqrt{S:3,14}$ để kiểm chứng không tính nhầm.

Vậy bảng giá trị ở Cách 1 là chính xác.

Nhận xét. Cách 2 tính nhanh cho các bán kính gấp đôi nhau; Cách 3 dùng để tự kiểm tra lại toàn bộ bảng trước khi nộp bài.

Định hướng. Thế lần lượt $x=-3;-2;-1;0;1;2;3$ vào $y=-\frac{3}{2}{x}^2$, luôn bình phương $x$ trước rồi mới nhân với $-\frac{3}{2}$.

Vậy bảng giá trị là $-\frac{27}{2}$; $-6$; $-\frac{3}{2}$; $0$; $-\frac{3}{2}$; $-6$; $-\frac{27}{2}$.

Định hướng. Vì $(-x{)}^2=x^2$ nên hàm số $y=-\frac{3}{2}{x}^2$ cho cùng giá trị tại $x$ và $-x$; chỉ cần tính với $x=0;1;2;3$ rồi suy ra $x=-1;-2;-3$.

Vậy bảng giá trị giống hệt Cách 1, nhưng chỉ mất một nửa phép tính.

Định hướng. Tính trước bảng giá trị của hàm số quen thuộc hơn $y=\frac{3}{2}{x}^2$ (hệ số dương), sau đó đổi dấu tất cả kết quả để được bảng của $y=-\frac{3}{2}{x}^2$.

Vậy kết quả trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 2 tiết kiệm phép tính nhất nhờ tính đối xứng; Cách 3 hữu ích khi đã quen thuộc với bảng của hàm số hệ số dương.

Định hướng. Câu a) thế $t=2$ vào công thức tính quãng đường đã rơi, sau đó lấy $98$ trừ đi. Câu b) thế $s=98$, đưa về $t^2=$ số rồi khai căn, loại nghiệm âm.

Vậy sau $2$ giây vật còn cách đất $78,4$ m; vật chạm đất sau $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ giây.

Định hướng. Ở câu b), thay vì để nguyên $\sqrt{20}$, tách $20$ thành tích của một số chính phương với một số khác để đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

Vậy vật chạm đất sau $2\sqrt{5}$ giây (xấp xỉ $4,47$ giây), khớp với Cách 1.

Định hướng. Ở HĐ1 đã biết vật rơi từ $19,6$ m mất $2$ giây. Vì $s=4,9t^2$ tỉ lệ với bình phương của $t$, lập tỉ số giữa hai quãng đường rơi để suy ra tỉ số thời gian mà không cần giải lại phương trình từ đầu.

Vậy kết quả trùng khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 2 là kĩ thuật bắt buộc phải trình bày khi nộp bài (không để nguyên $\sqrt{20}$); Cách 3 cho thấy có thể tận dụng lại kết quả của HĐ1 thay vì tính từ đầu.

Định hướng. Thế lần lượt $x=-3;\dots ;3$ vào $y=2x^2$ để lập bảng, sau đó biểu diễn từng điểm trên mặt phẳng toạ độ và nối chúng thành một đường cong trơn.

Vậy có bảng giá trị và đồ thị là đường parabol như hình vẽ.

Định hướng. Vì $(-x{)}^2=x^2$, hàm số $y=2x^2$ nhận giá trị bằng nhau tại $x$ và $-x$; chỉ cần tính và vẽ nửa bên phải trục tung, sau đó lấy đối xứng qua $Oy$ để được nửa bên trái.

Vậy được đồ thị đầy đủ, giống hệt Cách 1 nhưng chỉ mất một nửa phép tính.

Định hướng. Xác định trước ba điểm mốc quan trọng nhất — đỉnh $O$ và hai điểm ở mép bảng — để định hình dáng và độ mở của parabol, sau đó mới điền các điểm còn lại vào giữa cho khớp.

Vậy có cùng đồ thị như hai cách trên, nhưng hình vẽ được định khung chính xác ngay từ đầu.

Nhận xét. Cách 2 tiết kiệm phép tính nhất; Cách 3 hữu ích khi cần ước lượng nhanh tỉ lệ khung hình trước khi vẽ chi tiết.

Định hướng. Vì $a=2>0$ nên $y=2x^2\ge 0$ với mọi $x$. So sánh trực tiếp toạ độ các cặp điểm đã cho; ở câu c) thế $x=\frac{1}{2}$ để tìm $C$, đổi dấu hoành độ để được $C^{\prime }$, rồi thế lại vào hàm số để kiểm tra.

Vậy đồ thị nằm trên trục hoành, điểm thấp nhất là $O$; các cặp điểm đối xứng nhau qua $Oy$; và điểm $C^{\prime }\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ thuộc đồ thị.

Định hướng. Ở câu c), thay vì thế số kiểm tra lại, áp dụng ngay tính chất: nếu $(x_0;y_0)$ thuộc đồ thị $y=a{x}^2$ thì $(-x_0;y_0)$ cũng thuộc đồ thị đó (vì $a(-x_0{)}^2=a{x}_0^2$).

Vậy $C^{\prime }$ thuộc đồ thị, suy ra trực tiếp từ tính chất đối xứng, không cần tính toán thêm.

Định hướng. Quan sát vị trí các cặp điểm $A,A^{\prime }$ và $B,B^{\prime }$ trên Hình 6.3: chúng nằm đối xứng nhau qua trục tung, cùng độ cao. Từ quan sát này suy đoán vị trí của $C^{\prime }$ trước, rồi tính lại để xác nhận.

Vậy xác nhận $C^{\prime }\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ thuộc đồ thị, khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 2 ngắn nhất vì dùng luôn tính chất tổng quát; Cách 3 giúp hình dung trực quan trước khi tính, tránh nhầm trục đối xứng.

Định hướng. Lập bảng giá trị của $y=\frac{1}{2}{x}^2$ để vẽ đồ thị; sau đó thế $y=2$ vào công thức, giải phương trình tìm hoành độ.

Vậy hai điểm cần tìm là $(2;2)$ và $(-2;2)$.

Định hướng. Giải trực tiếp phương trình $\frac{1}{2}{x}^2=2$ bằng cách đưa về $x^2=4$ rồi khai căn, tách hẳn khỏi bước vẽ hình.

Vậy hai điểm cần tìm là $(2;2)$ và $(-2;2)$, không cần vẽ đồ thị mới tìm được.

Định hướng. Trên đồ thị đã vẽ ở Cách 1, kẻ đường thẳng nằm ngang $y=2$; đường thẳng này cắt parabol tại hai điểm đối xứng nhau qua $Oy$, đọc hoành độ của chúng.

Vậy hai điểm cần tìm là $(2;2)$ và $(-2;2)$, khớp với hai cách tính đại số ở trên.

Nhận xét. Hai điểm $(2;2)$ và $(-2;2)$ đối xứng nhau qua trục tung $Oy$ vì có hoành độ đối nhau và cùng tung độ; Cách 2 nhanh nhất vì không cần vẽ hình mới giải được.

Định hướng. Đặt gốc $O$ tại điểm thấp nhất của dây cáp như Hình 6.1; đỉnh tháp $B$ có toạ độ $(200;75)$. Thế vào $y=a{x}^2$ để tìm $a$, rồi tính tung độ tại $x=100$.

Vậy chiều cao $CH=18,75$ m.

Định hướng. Không cần tìm hệ số $a$, chỉ cần lập tỉ số bình phương giữa hoành độ của $H$ và hoành độ của đỉnh tháp, vì $y$ tỉ lệ với bình phương của $x$.

Vậy chiều cao $CH=18,75$ m, khớp với Cách 1.

Định hướng. Từ hệ số $a=\frac{3}{1600}$ đã tìm ở Cách 1, lập bảng một vài giá trị đặc biệt để đối chiếu hình dạng dây cáp với Hình 6.1, qua đó xác nhận lại kết quả bằng hình vẽ.

Vậy bảng giá trị khớp với hình vẽ ban đầu, xác nhận $CH=18,75$ m là đúng.

Nhận xét. Cách 2 nhanh nhất vì không cần viết hệ số $a$ ra tường minh; Cách 3 dùng để tự kiểm tra chéo bằng cách đối chiếu điểm $x=200$ với dữ kiện tháp cao $75$m đã cho.

Định hướng. Thế lần lượt từng giá trị $x$ vào $y=0,25x^2$, bình phương $x$ trước rồi mới nhân với $0,25$.

Vậy bảng giá trị là $2,25;1;0,25;0;0,25;1;2,25$.

Định hướng. Vì $0,25=\frac{1}{4}$, viết lại hàm số thành $y=\frac{x^2}{4}$ rồi tính bằng cách chia $x^2$ cho $4$, tránh nhân số thập phân.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1.

Định hướng. Vì $(-x{)}^2=x^2$, chỉ cần tính với $x=0;1;2;3$ rồi suy ra ngay giá trị tại $x=-1;-2;-3$.

Vậy bảng giá trị giống hệt hai cách trên, nhưng chỉ mất một nửa phép tính.

Nhận xét. Cách 2 và Cách 3 đều nhanh hơn Cách 1; kết hợp cả hai (đổi phân số và dùng đối xứng) là nhanh nhất.

Định hướng. Thể tích lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân chiều cao: $V=a^2\times 10=10a^2$. Thế $a=2$ để tính $V$; sau đó thế $a^{\prime }=2a$ để tính $V^{\prime }$ rồi so sánh.

Vậy $V=40$ cm³ khi $a=2$; nếu cạnh đáy tăng $2$ lần thì thể tích tăng $4$ lần.

Định hướng. Vì $V=10a^2$ có dạng $y=a{x}^2$, áp dụng luôn tính chất đã học: biến tăng $k$ lần thì hàm số tăng $k^2$ lần, không cần khai triển lại biểu thức.

Vậy thể tích tăng $4$ lần, khớp với Cách 1 nhưng không cần khai triển $(2a{)}^2$.

Định hướng. Thử trực tiếp với $a=2$ và $a=4$ (gấp đôi), tính cả hai thể tích rồi lập tỉ số để kiểm tra lại quy luật tăng $4$ lần.

Vậy xác nhận thể tích tăng đúng $4$ lần khi cạnh đáy tăng gấp đôi.

Nhận xét. Cách 2 nhanh nhất vì dùng ngay tính chất tổng quát; Cách 3 phù hợp để tự kiểm tra lại bằng số cụ thể trước khi kết luận.

Định hướng. Hình lập phương có $6$ mặt là các hình vuông bằng nhau cạnh $a$, nên diện tích toàn phần là $S=6a^2$. Thế $S=54$ vào, giải phương trình tìm $a$.

Vậy cạnh hình lập phương bằng $3$ cm.

Định hướng. Đúng theo cách đề mô tả: tính diện tích xung quanh (4 mặt bên) và diện tích hai mặt đáy riêng rồi mới cộng lại.

Vậy cạnh hình lập phương bằng $3$ cm, khớp với Cách 1.

Định hướng. Sau khi có $a=3$, thử lại bằng cách tính diện tích một mặt rồi nhân với $6$ để kiểm tra có đúng bằng $54$ cm² như đề cho hay không.

Vậy xác nhận $a=3$ cm là đáp số đúng.

Nhận xét. Cách 2 bám sát đúng cách đề mô tả (xung quanh cộng hai đáy); Cách 3 dùng để tự kiểm tra chéo trước khi kết luận.

Định hướng. Thế lần lượt $x=-3;\dots ;3$ vào từng công thức để lập bảng, rồi biểu diễn điểm và nối thành đường cong.

Vậy đồ thị a) nằm phía trên trục hoành, đồ thị b) nằm phía dưới trục hoành.

Định hướng. Dùng tính chẵn của hàm số $y=a{x}^2$: chỉ cần lập bảng với $x=0;1;2;3$ cho mỗi hàm số, sau đó lấy đối xứng qua $Oy$ để được nửa còn lại.

Vậy được hai đồ thị đầy đủ, giống Cách 1 nhưng chỉ mất một nửa phép tính cho mỗi hàm số.

Định hướng. So sánh dấu và độ lớn của hai hệ số để dự đoán hình dáng đồ thị trước khi lập bảng chi tiết, giúp tự kiểm tra hình vẽ có hợp lí không.

Vậy dự đoán đúng vị trí và hình dáng của cả hai đồ thị trước khi vẽ chi tiết, khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 2 tiết kiệm phép tính nhất; Cách 3 giúp phát hiện ngay nếu vẽ nhầm phía đồ thị của hàm số có hệ số âm.

Định hướng. Thế toạ độ điểm $(2;2)$ đọc được trên Hình 6.6 vào $y=a{x}^2$ để tìm $a$; sau đó thế $x=-2$ tính câu b), và giải phương trình $a{x}^2=8$ ở câu c).

Vậy $a=\frac{1}{2}$; tung độ tại $x=-2$ là $2$; hai điểm có tung độ $8$ là $(4;8)$ và $(-4;8)$.

Định hướng. Thay vì dùng điểm $(2;2)$, dùng điểm còn lại đọc được trên hình là $(1;0,5)$ để tìm $a$, nhằm kiểm tra chéo kết quả.

Vậy hai điểm cho cùng một giá trị $a=\frac{1}{2}$, xác nhận Cách 1 đúng.

Định hướng. Vì đồ thị đối xứng qua $Oy$ và điểm $(2;2)$ đã biết thuộc đồ thị, điểm có hoành độ $x=-2$ chính là điểm đối xứng của nó qua $Oy$ nên có cùng tung độ, không cần tính lại.

Vậy tung độ tại $x=-2$ là $2$, khớp với Cách 1 nhưng không cần thế số.

Nhận xét. Cách 2 dùng để tự kiểm chứng hệ số $a$; Cách 3 tận dụng tính đối xứng để trả lời câu b) nhanh hơn hẳn so với thế số tính lại.

Định hướng. Hàm số $y=-3x^2$ có $a=-3<0$; theo tính chất đã học, đồ thị của hàm số có hệ số âm luôn nằm phía dưới trục hoành (trừ điểm $O$).

Vậy đường cong nằm phía DƯỚI trục hoành trong Hình 6.7 là đồ thị của hàm số $y=-3x^2$.

Định hướng. Đọc gần đúng toạ độ một điểm trên đường nằm dưới trục hoành, chẳng hạn điểm có hoành độ $1$, rồi thế vào từng công thức để xem hàm số nào cho đúng tung độ đã đọc.

Vậy đường phía dưới chính là đồ thị của $y=-3x^2$, khớp với Cách 1.

Định hướng. So sánh $|a|$ của hai hàm số: $|-3|=3$ lớn hơn nhiều so với $|1|=1$, nên đồ thị $y=-3x^2$ phải "hẹp" hơn (tăng/giảm nhanh hơn) đồ thị $y=x^2$.