Chương VI. Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Bài 18. Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang5–7 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 6.1★★Trang 5— Thiết lập hàm số y=ax² từ công thức thể tích lăng trụ đứng đáy vuông và giải phương trình tìm cạnh

Bài 6.1 (trang 5, 6). Thể tích

V

của hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình vuông và chiều cao

5

cm là một hàm số của độ dài cạnh đáy

a

(cm).
a) Viết công thức của hàm số này và tính độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ nếu biết thể tích

V

của khối lăng trụ này bằng

180

(

c m^{3}

).
b) Nếu độ dài cạnh

a

của hình vuông đáy tăng lên hai lần thì thể tích

V

của khối lăng trụ thay đổi như thế nào?

Kiến thức cần nhớ

Thể tích lăng trụ đứng = diện tích đáy × chiều cao.
$V = 5 a^{2}$ có dạng hàm số $y = a x^{2}$ ; khi biến tăng $k$ lần thì $V$ tăng $k^{2}$ lần.

🧠 Phân tích tư duy

Đáy hình vuông cạnh

a

nên diện tích đáy là

a^{2}

, nhân với chiều cao

5

cho ngay dạng hàm số

y = a x^{2}

với hệ số

5

— đây là dấu hiệu để viết công thức

V = 5 a^{2}

. Câu b) là dạng quen thuộc: biến tăng

k

lần thì hàm số

y = a x^{2}

tăng

k^{2}

lần chứ không phải

k

lần.

1Cách 1. Viết công thức, giải phương trình tìm a, rồi so sánh hai giá trị thể tích

Định hướng. Thể tích lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân chiều cao: $V = a^{2} \times 5 = 5 a^{2}$ . Thế $V = 180$ để tìm $a$ ; sau đó thế $a^{'} = 2 a$ để tính $V^{'}$ rồi so sánh với $V$ .

V = 5 a^{2}

5 a^{2} = 180

a^{2} = 36

a = 6

(nhận, vì

a > 0

) hoặc

a = - 6

(loại)

a^{'} = 2 a

V^{'} = 5 \times (2 a)^{2} = 5 \times 4 a^{2} = 4 \times 5 a^{2} = 4 V

Vậy cạnh đáy $a = 6$ cm; nếu cạnh đáy tăng $2$ lần thì thể tích tăng $4$ lần.

2Cách 2. Dùng ngay tính chất y tăng k² lần khi x tăng k lần

Định hướng. Vì $V = 5 a^{2}$ có dạng $y = a x^{2}$ , áp dụng luôn tính chất: biến tăng $k$ lần thì hàm số tăng $k^{2}$ lần, không cần khai triển $(2 a)^{2}$ .

Cạnh đáy tăng

k = 2

lần

V

tăng

k^{2} = 2^{2} = 4

lần

Vậy thể tích tăng $4$ lần, khớp với Cách 1 nhưng nhanh hơn.

3Cách 3. Thử với số cụ thể để kiểm chứng quy luật

Định hướng. Thử trực tiếp với $a = 6$ và $a = 12$ (gấp đôi), tính cả hai thể tích rồi lập tỉ số để kiểm tra lại quy luật tăng $4$ lần.

a = 6

V = 5 \times 36 = 180

a = 12

V = 5 \times 144 = 720

\frac{720}{180} = 4

Vậy xác nhận thể tích tăng đúng $4$ lần khi cạnh đáy tăng gấp đôi.

Nhận xét. Cách 2 nhanh nhất vì dùng ngay tính chất tổng quát; Cách 3 dùng để tự kiểm tra lại bằng số cụ thể trước khi kết luận.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho câu b): áp dụng thẳng tính chất

y = a x^{2}

tăng

k^{2}

lần, không mất công khai triển

(2 a)^{2}

như Cách 1.

Đáp số. a)

V = 5 a^{2}

;

a = 6

cm · b) thể tích tăng

4

lần

Sai lầm thường gặp. Cho rằng cạnh đáy tăng

2

lần thì thể tích cũng chỉ tăng

2

lần (nhầm với hàm số bậc nhất) — thực chất

V

phụ thuộc

a

theo bậc hai nên tăng

2^{2} = 4

lần.

🚀 Mở rộng. Nếu cạnh đáy tăng lên

3

lần thì thể tích tăng lên bao nhiêu lần? (

3^{2} = 9

lần.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.2★★★Trang 6— Vận dụng hàm số y=ax² vào bài toán tải trọng dây cáp cầu treo

Bài 6.2 (trang 6). Cầu treo Sunshine Skyway bắc qua Vịnh Tampa ở bang Florida (Mỹ) được hỗ trợ bởi

21

dây cáp làm bằng thép, mỗi dây có đường kính

9

inch. Khối lượng mà mỗi dây cáp có thể chịu được là

w = 8 d^{2}

(tấn), trong đó

d

là đường kính của dây cáp (tính bằng inch) (Theo Algebra 2, NXB McGraw-Hill, 2018).
a) Tính khối lượng tối đa mà cầu treo có thể chịu đựng được.
b) Nếu muốn cầu treo có thể chịu được khối lượng tối đa là

15162

tấn thì đường kính của dây cáp phải là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Công thức $w = 8 d^{2}$ có dạng hàm số $y = a x^{2}$ với biến là đường kính dây cáp.
Tổng tải trọng của nhiều dây cáp giống nhau bằng số dây nhân với tải trọng một dây.

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi dây chịu được

w = 8 d^{2}

tấn, mà cầu có tới

21

dây cùng chịu lực nên tổng tải trọng phải nhân thêm

21

— dấu hiệu dễ bỏ sót nếu chỉ tính cho một dây. Câu b) cho tổng tải, phải CHIA cho

21

trước để ra tải của một dây rồi mới giải ngược tìm

d

; bẫy lớn nhất là quên phép chia này.

1Cách 1. Tính tải một dây rồi nhân 21; ở câu b) chia 21 trước khi giải ngược

Định hướng. Câu a) thế $d = 9$ vào $w = 8 d^{2}$ để tính tải một dây, rồi nhân với $21$ dây. Câu b) lấy tổng tải chia cho $21$ để ra tải cần thiết của một dây, rồi giải phương trình tìm $d$ .

w (9) = 8 \times 9^{2} = 8 \times 81 = 648

(tấn/dây)
Tổng tải cầu chịu được:

21 \times 648 = 13608

(tấn)
b) Tải cần thiết mỗi dây:

15162 : 21 = 722

(tấn)

8 d^{2} = 722

d^{2} = 90, 25

d = 9, 5

(nhận, vì

d > 0

)

Vậy cầu chịu tối đa $13608$ tấn; muốn chịu $15162$ tấn thì đường kính mỗi dây phải là $9, 5$ inch.

2Cách 2. Dùng tỉ số bình phương giữa tổng tải mới và tổng tải cũ

Định hướng. Vì tổng tải của cả $21$ dây vẫn tỉ lệ với $d^{2}$ (cùng nhân chung hệ số $21$ ), lập tỉ số giữa tổng tải mới và tổng tải cũ ở câu a) để suy ra tỉ số của $d$ mà không cần tính lại tải một dây.

\frac{15162}{13608} = \frac{722}{648} = \frac{361}{324} = (\frac{19}{18})^{2}

\frac{d _{m o i}}{9} = \frac{19}{18}

d_{m o i} = 9 \times \frac{19}{18} = \frac{171}{18} = 9, 5

Vậy đường kính mới phải là $9, 5$ inch, khớp với Cách 1.

3Cách 3. Thử lại bằng cách tính ngược từ đáp số vừa tìm

Định hướng. Sau khi có $d = 9, 5$ , thử lại bằng cách tính tải một dây rồi nhân $21$ để kiểm tra có đúng bằng $15162$ tấn như đề yêu cầu hay không.

w (9, 5) = 8 \times 9, 5^{2} = 8 \times 90, 25 = 722

(tấn/dây)
Tổng tải:

21 \times 722 = 15162

(tấn), đúng như đề cho

Vậy xác nhận $d = 9, 5$ inch là đáp số đúng.

Nhận xét. Cách 2 tránh phải tính lại tải một dây; Cách 3 dùng để tự kiểm tra chéo trước khi kết luận.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: rõ ràng từng bước tính tải một dây rồi nhân

21

, khó nhầm hơn Cách 2 dù Cách 2 gọn hơn.

Đáp số. a)

13608

tấn · b)

d = 9, 5

inch

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), quên chia

15162

cho

21

mà giải thẳng

8 d^{2} = 15162

, ra đường kính rất lớn — sai vì đó là tải của MỘT dây tưởng tượng chịu hết toàn bộ tải, không đúng bản chất bài toán có

21

dây cùng chịu lực.

🚀 Mở rộng. Nếu cầu được gia cố thêm để có

24

dây cáp (đường kính vẫn

9

inch) thì tổng tải chịu được là bao nhiêu? (

24 \times 648 = 15552

tấn.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.3★★★Trang 6— Vận dụng hàm số y=ax² vào bài toán lực gió tác động lên cánh buồm

Bài 6.3 (trang 6). Lực

F

của gió khi thổi vuông góc vào cánh buồm tỉ lệ thuận với bình phương tốc độ

v

của gió, tức là

F = a v^{2}

(

a

là hằng số). Biết rằng tốc độ gió bằng

2

m/s thì lực tác động lên cánh buồm của một chiếc thuyền bằng

120

N.
a) Tính hằng số

a

.
b) Hỏi khi tốc độ gió

v = 15

m/s thì lực

F

của gió bằng bao nhiêu?
c) Biết rằng cánh buồm chỉ có thể chịu được một áp lực tối đa là

12000

N, hỏi chiếc thuyền đó có thể đi trong gió bão với tốc độ gió

90

km/h không?

Kiến thức cần nhớ

$F = a v^{2}$ là hàm số $y = a x^{2}$ ; biết một cặp $(v, F)$ có thể tìm được hằng số $a$ .
Phải đổi đơn vị tốc độ về cùng loại (m/s) trước khi thế vào công thức, vì công thức được lập từ đơn vị m/s.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.4★★Trang 6— Xác định hệ số a của hàm số y=ax² khi biết một điểm thuộc đồ thị

Bài 6.4 (trang 6). Xác định hệ số

a

của hàm số

y = a x^{2}

(

a \neq = 0

), biết đồ thị của hàm số đi qua điểm:
a)

A (- \frac{1}{2}; - \frac{3}{2})

;
b)

B (\frac{1}{2}; \frac{3}{4})

Kiến thức cần nhớ

Nếu điểm $(x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị $y = a x^{2}$ thì $a = \frac{y _{0}}{x _{0}^{2}}$ ( $x_{0} \neq = 0$ ).
Khi tính $a$ từ một điểm cho trước, luôn bình phương hoành độ trước khi chia.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.5★★Trang 6— Nhận biết đồ thị hàm số y=ax² qua dấu và độ rộng - hẹp giữa ba đường cong

Bài 6.5 (trang 6). Trong hình bên có đồ thị của ba hàm số

y = - 2 x^{2}

y = x^{2}

y = 2 x^{2}

.
a) Cho biết đường nào là đồ thị của hàm số

y = - 2 x^{2}

.
b) Trong hai đường còn lại, với mỗi

x

hãy so sánh giá trị tương ứng của

y

để phân biệt đồ thị của hai hàm số

y = x^{2}

và

y = 2 x^{2}

Kiến thức cần nhớ

Đồ thị $y = a x^{2}$ nằm dưới trục hoành khi $a < 0$ , nằm trên khi $a > 0$ .
Với hai hàm số cùng dấu hệ số dương, hệ số lớn hơn cho đồ thị hẹp hơn (giá trị $y$ lớn hơn tại cùng $x \neq = 0$ ).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.6★★★Trang 7— Tìm giao điểm của parabol và đường thẳng bằng đồ thị kết hợp giải phương trình hoành độ giao điểm

Bài 6.6 (trang 7). Trên cùng một mặt phẳng toạ độ

O x y

, vẽ parabol

(P)

y = - x^{2}

và đường thẳng

(d)

y = x - 2

. Dùng đồ thị xác định toạ độ các giao điểm của hai đường này.

Kiến thức cần nhớ

Toạ độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (cho hai vế bằng nhau).
Phân tích phương trình bậc hai thành nhân tử để tìm nghiệm nhanh khi có thể.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.7★★Trang 7— Vẽ đồ thị hai hàm số y=ax² và y=-ax² rồi nhận xét tính đối xứng qua trục hoành

Bài 6.7 (trang 7). Vẽ đồ thị của hai hàm số sau trên cùng một mặt phẳng toạ độ:

y = 0, 75 x^{2}

;

y = - 0, 75 x^{2}

. Có nhận xét gì về vị trí của hai đồ thị này so với trục hoành

O x

Kiến thức cần nhớ

Hai điểm $(x; y)$ và $(x; - y)$ đối xứng nhau qua trục hoành $O x$ .
Đồ thị $y = a x^{2}$ và $y = - a x^{2}$ ( $a \neq = 0$ ) luôn đối xứng nhau qua $O x$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.8★★★Trang 7— Chứng minh tính đối xứng qua Oy và tính chẵn của hàm số y=ax² một cách tổng quát

Bài 6.8 (trang 7). Cho hàm số

y = f (x) = a x^{2}

(

a \neq = 0

).
a) Chứng tỏ rằng nếu

(x_{0}; y_{0})

là một điểm thuộc đồ thị hàm số thì điểm

(- x_{0}; y_{0})

cũng nằm trên đồ thị hàm số đó.
b) Chứng minh rằng

f (- x) = f (x)

với mọi

x

thuộc

R

Kiến thức cần nhớ

$(- x)^{2} = x^{2}$ với mọi số thực $x$ (bình phương của một số bằng bình phương số đối của nó).
Hàm số thoả $f (- x) = f (x)$ với mọi $x$ được gọi là hàm số chẵn.