Chương VIII. Đại số tổ hợp

Bài 24. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngVIII #SáchBàiTập_Tập2 #trang55 #CùngBàiBênSGK

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 8.5★Trang 55— Hoán vị

Bài 8.5 (trang 55). Có bao nhiêu cách xếp 6 lá thư khác nhau vào 6 chiếc phong bì khác nhau (mỗi lá thư vào trong một phong bì)?

Kiến thức cần nhớ

Số hoán vị của $n$ phần tử: $P_{n} = n! = n \cdot (n - 1) \dots 2 \cdot 1$ , quy ước $0! = 1$ .
Quy tắc nhân: công việc gồm các công đoạn liên tiếp có $m_{1}, m_{2}, \dots$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2} \dots$ cách.

🧠 Phân tích tư duy

6 thư vào 6 phong bì, mỗi phong bì đúng một thư — một song ánh giữa thư và phong bì, tức một hoán vị của 6 lá thư. Bẫy: tính

6^{6}

vì quên mỗi phong bì chỉ chứa một thư.

1Cách 1. Công thức hoán vị.

Định hướng. Đánh số phong bì từ 1 đến 6; mỗi cách xếp là một hoán vị của 6 lá thư.

P_{6} = 6! = 720

Vậy có $720$ cách xếp.

2Cách 2. Quy tắc nhân theo phong bì.

Định hướng. Chọn thư cho phong bì 1, 2, …, 6.

6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720

Vậy có $720$ cách.

3Cách 3. Quy tắc nhân theo lá thư.

Định hướng. Lá thư 1 chọn phong bì, rồi lá thư 2 chọn trong các phong bì còn trống, …

Thư 1:

6

phong bì; thư 2:

5

; thư 3:

4

; thư 4:

3

; thư 5:

2

; thư 6:

1

Số cách:

720

Vậy có $720$ cách.

Nhận xét. Hai cách nhìn (theo phong bì hay theo thư) cho cùng tích — bản chất là đếm song ánh giữa hai tập 6 phần tử.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — nhận ra hoán vị, một dòng.

Đáp số.

720

cách.

Sai lầm thường gặp. Tính

6^{6} = 46656

(cho phép nhiều thư vào cùng một phong bì) hoặc

C_{6}^{6} = 1

🚀 Mở rộng. Số cách xếp sao cho KHÔNG lá thư nào đúng phong bì của nó là

265

(bài toán xếp thư nhầm).

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 8.6★Trang 55— Chỉnh hợp

Bài 8.6 (trang 55). Có 12 thí sinh tham gia một cuộc thi âm nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách trao ba giải cao nhất: Nhất, Nhì và Ba của cuộc thi cho các thí sinh?

Kiến thức cần nhớ

Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ : $A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1) = \frac{n !}{( n - k )!}$ $(1 \leq k \leq n)$ .
Quy tắc nhân: công việc gồm các công đoạn liên tiếp có $m_{1}, m_{2}, \dots$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2} \dots$ cách.
Số tổ hợp chập $k$ của $n$ : $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = \frac{A _{n}^{k}}{k !}$ $(0 \leq k \leq n)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba giải khác nhau trao cho ba người khác nhau — chọn 3 trong 12 có thứ tự, là chỉnh hợp chập 3 của 12. Bẫy: dùng tổ hợp

C_{12}^{3}

là bỏ mất sự khác nhau giữa giải Nhất và giải Nhì.

1Cách 1. Công thức chỉnh hợp.

Định hướng. Mỗi cách trao giải là một chỉnh hợp chập 3 của 12.

A_{12}^{3} = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320

Vậy có $1320$ cách trao giải.

2Cách 2. Quy tắc nhân theo giải.

Định hướng. Trao giải Nhất, rồi Nhì, rồi Ba.

Nhất:

12

cách; Nhì:

11

cách; Ba:

10

cách
Số cách:

12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320

Vậy có $1320$ cách.

3Cách 3. Chọn nhóm đoạt giải rồi phân giải.

Định hướng. Chọn 3 thí sinh đoạt giải, rồi phân 3 giải cho họ.

C_{12}^{3} = 220

Phân giải:

3! = 6

Số cách:

220 \cdot 6 = 1320

Vậy có $1320$ cách.

Nhận xét. Đây chính là hệ thức $A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 — ba thừa số, dễ kiểm tra.

Đáp số.

1320

cách.

Sai lầm thường gặp. Dùng

C_{12}^{3} = 220

hoặc

1 2^{3}

(một người nhận hai giải).

🚀 Mở rộng. Nếu có thêm 2 giải Khuyến khích ngang nhau:

A_{12}^{3} \cdot C_{9}^{2} = 47520

cách.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 8.7★Trang 55— Tổ hợp

Bài 8.7 (trang 55). Minh có 4 vé xem bóng đá và muốn mời thêm các bạn đi xem cùng. Nhưng Minh có tới 6 người bạn thích bóng đá. Hỏi Minh có bao nhiêu cách mời 3 bạn để đi xem bóng đá cùng mình?

Kiến thức cần nhớ

Số tổ hợp chập $k$ của $n$ : $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = \frac{A _{n}^{k}}{k !}$ $(0 \leq k \leq n)$ .
Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ : $A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1) = \frac{n !}{( n - k )!}$ $(1 \leq k \leq n)$ .
Quy tắc cộng: các phương án rời nhau có $m_{1}, m_{2}, \dots$ cách thì có $m_{1} + m_{2} + \dots$ cách.