Chương VIII. Đại số tổ hợp

Bài 23. Quy tắc đếm

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 4 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngVIII #SáchBàiTập_Tập2 #trang52–53 #CùngBàiBênSGK

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 8.1★Trang 52— Quy tắc nhân — ghép hai thành phần

Bài 8.1 (trang 52). Cửa hàng ăn nhanh có bán combo bánh mì và nước uống. Có các loại bánh mì thịt bò, bánh mì thịt gà, bánh mì cá chiên, bánh mì pa tê, bánh mì trứng và nước cam, nước táo, nước chanh và trà xanh. Hỏi có bao nhiêu loại combo bánh mì và nước uống khác nhau?

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc nhân: công việc gồm hai công đoạn liên tiếp, công đoạn một có $m_{1}$ cách, với mỗi cách đó công đoạn hai có $m_{2}$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2}$ cách.

🧠 Phân tích tư duy

Một combo gồm CẢ bánh mì và nước uống — hai công đoạn chọn nối tiếp, dùng quy tắc nhân. Việc đầu tiên là đếm đúng số loại: 5 loại bánh mì, 4 loại nước. Bẫy: đọc lướt “nước cam, nước táo, nước chanh và trà xanh” thành 3 loại nước.

1Cách 1. Quy tắc nhân.

Định hướng. Chọn bánh mì rồi chọn nước uống.

Bánh mì: bò, gà, cá chiên, pa tê, trứng

\Rightarrow 5

cách
Nước uống: cam, táo, chanh, trà xanh

\Rightarrow 4

cách
Số combo:

5 \cdot 4 = 20

Vậy có $20$ loại combo.

2Cách 2. Quy tắc cộng theo loại bánh mì.

Định hướng. Với mỗi loại bánh mì có một nhóm combo.

Bánh mì thịt bò:

4

combo
Mỗi loại bánh mì còn lại cũng

4

combo
Số combo:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20

Vậy có $20$ loại combo.

3Cách 3. Bảng ghép.

Định hướng. Kẻ bảng: hàng là loại bánh mì, cột là loại nước; mỗi ô là một combo.

Số hàng:

5

; số cột:

4

Số ô:

5 \cdot 4 = 20

Vậy có $20$ loại combo.

Nhận xét. Nếu khách được chọn thêm “không lấy nước” thì mỗi hàng thêm một cột: $5 \cdot 5 = 25$ lựa chọn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — một phép nhân sau khi đếm đúng số loại mỗi thành phần.

Đáp số.

20

loại combo.

Sai lầm thường gặp. Tính

5 + 4 = 9

(quy tắc cộng) vì không để ý combo phải có đủ hai món; hoặc đếm thiếu trà xanh thành

5 \cdot 3 = 15

🚀 Mở rộng. Nếu combo có thêm món tráng miệng chọn trong 3 loại thì có

5 \cdot 4 \cdot 3 = 60

combo.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 8.2★Trang 52— Quy tắc nhân — hai công đoạn đi vào rồi đi ra

Bài 8.2 (trang 52). Một phòng chiếu phim có 4 cửa đi vào và 2 cửa đi ra. Có tất cả bao nhiêu cách để một khán giả vào phòng chiếu phim rồi sau đó ra về?

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc nhân: công việc gồm hai công đoạn liên tiếp, công đoạn một có $m_{1}$ cách, với mỗi cách đó công đoạn hai có $m_{2}$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2}$ cách.
Sơ đồ hình cây: mỗi nhánh là một lựa chọn, mỗi đường đi từ gốc tới lá là một cách thực hiện; số lá bằng số cách.

🧠 Phân tích tư duy

Chữ “rồi sau đó” cho biết khán giả làm lần lượt hai việc: vào bằng một cửa vào, ra bằng một cửa ra — quy tắc nhân. Cửa vào và cửa ra là hai loại riêng, không dùng lẫn. Bẫy: cộng

4 + 2

1Cách 1. Quy tắc nhân.

Định hướng. Công đoạn đi vào rồi công đoạn đi ra.

Đi vào:

4

cách
Đi ra:

2

cách
Số cách:

4 \cdot 2 = 8

Sơ đồ hình cây:

Vậy có $8$ cách.

2Cách 2. Sơ đồ hình cây.

Định hướng. Mỗi cửa vào tách thành hai nhánh cửa ra; đếm lá.

4

nhánh cửa vào
Mỗi nhánh có

2

lá
Số lá:

2 + 2 + 2 + 2 = 8

Vậy có $8$ cách.

3Cách 3. Liệt kê cặp (cửa vào, cửa ra).

Định hướng. Kí hiệu cửa vào $V_{1}, V_{2}, V_{3}, V_{4}$ và cửa ra $R_{1}, R_{2}$ .

(V_{1}, R_{1}), (V_{1}, R_{2}), (V_{2}, R_{1}), (V_{2}, R_{2})

(V_{3}, R_{1}), (V_{3}, R_{2}), (V_{4}, R_{1}), (V_{4}, R_{2})

Có

8

cặp

Vậy có $8$ cách.

Nhận xét. Nếu mọi cửa đều vừa vào vừa ra được (6 cửa) thì có $6 \cdot 6 = 36$ cách.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — nhận ra hai công đoạn nối tiếp là nhân ngay.

Đáp số.

8

cách.

Sai lầm thường gặp. Tính

4 + 2 = 6

như thể khán giả chỉ đi qua một cửa.

🚀 Mở rộng. Nếu quy định khán giả không được ra bằng cửa gần cửa mình vừa vào (mỗi cửa vào có đúng 1 cửa ra gần nó) thì còn

4 \cdot 1 = 4

cách.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 8.3★Trang 52— Quy tắc nhân — bốn công đoạn

Bài 8.3 (trang 52). Để chuẩn bị cho mùa giải mới, câu lạc bộ bóng đá của trường cần một mẫu áo thi đấu mới. Nhà sản xuất gửi đến câu lạc bộ các tuỳ chọn mẫu áo theo bảng sau:

Kiểu áo	– Có cổ – Không có cổ
Chất liệu	– 100% polyester – 70% polyester và 30% cotton – 30% polyester và 70% cotton – 100% cotton
Hoạ tiết	– Trơn – Sọc dọc – Sọc ngang – Ô vuông – Quả trám
Màu áo	– Trắng – Xám – Đỏ – Cam – Lam – Lá cây – Tím

Hỏi câu lạc bộ có tất cả bao nhiêu sự lựa chọn cho mẫu áo thi đấu?

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc nhân: công việc gồm hai công đoạn liên tiếp, công đoạn một có $m_{1}$ cách, với mỗi cách đó công đoạn hai có $m_{2}$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2}$ cách.
Quy tắc nhân mở rộng: công việc gồm $k$ công đoạn nối tiếp có $m_{1}, m_{2}, \dots, m_{k}$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2} \cdot \dots \cdot m_{k}$ cách.

🧠 Phân tích tư duy

Một mẫu áo phải có đủ kiểu áo, chất liệu, hoạ tiết và màu — bốn công đoạn chọn độc lập, nên dùng quy tắc nhân mở rộng. Chỉ cần đếm đúng số tuỳ chọn trong từng hàng của bảng. Bẫy: cộng

2 + 4 + 5 + 7

1Cách 1. Quy tắc nhân cho bốn công đoạn.

Định hướng. Đếm số tuỳ chọn mỗi hàng của bảng rồi nhân.

Kiểu áo:

2

; chất liệu:

4

; hoạ tiết:

5

; màu áo:

7

Số mẫu áo:

2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 7 = 280

Vậy có $280$ sự lựa chọn.

2Cách 2. Ghép dần từng bước.

Định hướng. Ghép hai tiêu chí thành “phôi áo”, rồi ghép tiếp hai tiêu chí còn lại.

Kiểu áo và chất liệu:

2 \cdot 4 = 8

loại phôi
Hoạ tiết và màu:

5 \cdot 7 = 35

kiểu trang trí
Mẫu áo:

8 \cdot 35 = 280

Vậy có $280$ sự lựa chọn.

3Cách 3. Quy tắc cộng theo kiểu áo.

Định hướng. Chia hai trường hợp: áo có cổ, áo không có cổ.

Áo có cổ:

4 \cdot 5 \cdot 7 = 140

Áo không có cổ:

4 \cdot 5 \cdot 7 = 140

Tổng:

140 + 140 = 280

Vậy có $280$ sự lựa chọn.

Nhận xét. Chia theo tiêu chí ít tuỳ chọn nhất giúp kiểm tra nhanh kết quả của quy tắc nhân.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — một dòng nhân bốn số; Cách 2 tiện khi tính nhẩm.

Đáp số.

280

mẫu áo.

Sai lầm thường gặp. Tính

2 + 4 + 5 + 7 = 18

: đó là số tuỳ chọn trong bảng, không phải số mẫu áo.

🚀 Mở rộng. Nếu câu lạc bộ loại màu trắng vì trùng đội khách thì còn

2 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 240

mẫu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 8.4★★Trang 53— Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân — kho số điện thoại

Bài 8.4 (trang 53). Số điện thoại cho mỗi thuê bao của một nhà mạng có 10 chữ số và có các đầu số là 081, 082, 083, 084, 085, 088, 091 hoặc 094. Giả sử hiện tại, nhà mạng đó đã cấp số cho tổng số 35 triệu thuê bao. Hỏi, nếu không có thêm các đầu số mới và không thu hồi các đầu số đã cấp thì nhà mạng đó còn có thể cung cấp bao nhiêu thuê bao nữa?

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc nhân: công việc gồm hai công đoạn liên tiếp, công đoạn một có $m_{1}$ cách, với mỗi cách đó công đoạn hai có $m_{2}$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2}$ cách.
Quy tắc cộng: công việc thực hiện theo một trong hai phương án rời nhau, phương án một có $n_{1}$ cách, phương án hai có $n_{2}$ cách thì có $n_{1} + n_{2}$ cách.

🧠 Phân tích tư duy

Số điện thoại gồm 3 chữ số đầu số (8 lựa chọn) và 7 chữ số còn lại, mỗi chữ số tuỳ ý từ 0 đến 9 — quy tắc nhân cho 7 vị trí, quy tắc cộng (hoặc nhân) cho 8 đầu số. Kho số trừ số đã cấp là số còn lại. Bẫy: đếm 10 chữ số tự do thay vì 7.

1Cách 1. Quy tắc nhân cho mỗi đầu số, quy tắc cộng cho các đầu số.

Định hướng. Đếm số thuê bao của một đầu số rồi cộng cho 8 đầu số.

Một đầu số, 7 chữ số còn lại:

1 0^{7} = 10000000

số
Tám đầu số:

8 \cdot 1 0^{7} = 80000000

số
Còn lại:

80000000 - 35000000 = 45000000

Vậy nhà mạng còn có thể cung cấp $45$ triệu thuê bao nữa.

2Cách 2. Quy tắc nhân cho cả số điện thoại.

Định hướng. Coi việc lập số là 8 công đoạn: chọn đầu số, rồi chọn lần lượt 7 chữ số.

Chọn đầu số:

8

cách; mỗi chữ số trong 7 chữ số sau:

10

cách
Kho số:

8 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 80000000

Còn lại:

80 - 35 = 45

(triệu)

Vậy còn $45$ triệu thuê bao.

3Cách 3. Đếm số hạng của dãy số liên tiếp.

Định hướng. Các số thuê bao đầu số 081 là các số liên tiếp từ 081 0000000 đến 081 9999999.

Một đầu số:

9999999 - 0 + 1 = 10000000

số
Tám đầu số rời nhau:

10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 80

(triệu)
Còn lại:

80 - 35 = 45

(triệu)

Vậy còn $45$ triệu thuê bao.

Nhận xét. Mỗi đầu số mới mở thêm ngay $10$ triệu số — đó là lí do các nhà mạng thường xin cấp thêm đầu số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — tính theo đơn vị “triệu số” cho gọn, không phải viết dãy số 0 dài.

Đáp số.

45

triệu thuê bao (

45000000

Sai lầm thường gặp. Đếm

1 0^{10}

vì cho cả 10 chữ số tự do; hoặc đếm

9 \cdot 1 0^{6}

vì bắt chữ số thứ tư khác 0 như khi lập số tự nhiên.

🚀 Mở rộng. Nếu nhà mạng mở thêm 2 đầu số mới thì còn cấp được

10 \cdot 1 0^{7} - 35 \cdot 1 0^{6} = 65

triệu thuê bao.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài tập cuối chương VII Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 10