Chương VIII. Đại số tổ hợp

Bài 23. Quy tắc đếm

SGK Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 13 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngVIII #SGK_Tập2 #trang61–65 #CùngBàiBênSBT

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 61— Quy tắc cộng — chọn một trong hai phương án rời nhau

HĐ1 (trang 61). Chọn chuyến đi (H.8.1)
Từ Hà Nội vào Nghệ An mỗi ngày có 7 chuyến tàu hoả và 2 chuyến máy bay. Bạn An muốn ngày Chủ nhật này đi từ Hà Nội vào Nghệ An bằng tàu hoả hoặc máy bay.
Hỏi bạn An có bao nhiêu cách chọn chuyến đi?

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng: công việc thực hiện theo một trong hai phương án rời nhau, phương án một có $n_{1}$ cách, phương án hai có $n_{2}$ cách thì có $n_{1} + n_{2}$ cách.
Sơ đồ hình cây: mỗi nhánh là một lựa chọn, mỗi đường đi từ gốc tới lá là một cách thực hiện; số lá bằng số cách.

🧠 Phân tích tư duy

Chữ “hoặc” trong đề cho thấy An chỉ đi một chuyến, thuộc một trong hai nhóm: tàu hoả hoặc máy bay — dấu hiệu của quy tắc cộng. Hai nhóm không có chuyến chung nên cộng thẳng. Bẫy: nhân

7 \cdot 2

như thể An phải đi cả tàu lẫn máy bay.

1Cách 1. Quy tắc cộng.

Định hướng. Chuyến đi thuộc một trong hai phương án rời nhau: tàu hoả hoặc máy bay.

Phương án tàu hoả:

7

cách
Phương án máy bay:

2

cách
Số cách chọn chuyến đi:

7 + 2 = 9

Vậy bạn An có $9$ cách chọn chuyến đi.

2Cách 2. Liệt kê tập hợp các chuyến.

Định hướng. Gọi tên từng chuyến rồi đếm số phần tử của tập hợp.

Tàu hoả:

T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}, T_{5}, T_{6}, T_{7}

Máy bay:

M_{1}, M_{2}

X = {T_{1}; T_{2}; T_{3}; T_{4}; T_{5}; T_{6}; T_{7}; M_{1}; M_{2}}

n (X) = 9

Vậy có $9$ cách chọn chuyến đi.

3Cách 3. Sơ đồ hình cây.

Định hướng. Tầng thứ nhất chọn phương tiện, tầng thứ hai chọn chuyến; đếm số lá.

Nhánh tàu hoả:

7

lá
Nhánh máy bay:

2

lá
Tổng số lá:

7 + 2 = 9

Vậy có $9$ cách chọn chuyến đi.

Nhận xét. Sơ đồ hình cây cho thấy vì sao quy tắc cộng đúng: các lá thuộc hai nhánh khác nhau không bao giờ trùng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — một phép cộng, nhận ra ngay nhờ chữ “hoặc”; Cách 3 dùng khi cần trình bày trực quan.

Đáp số.

9

cách.

Sai lầm thường gặp. Tính

7 \cdot 2 = 14

: quy tắc nhân chỉ dùng khi phải làm LẦN LƯỢT cả hai việc (đi tàu rồi đi máy bay), còn ở đây chỉ chọn một chuyến.

🚀 Mở rộng. Nếu có thêm

5

chuyến xe khách, số cách chọn là

7 + 2 + 5 = 14

— quy tắc cộng mở rộng cho nhiều phương án rời nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★Trang 61— Quy tắc cộng nhiều tầng — sơ đồ hình cây

HĐ2 (trang 61). Chọn vé tàu (H.8.2)
Bạn An đã quyết định mua vé tàu đi từ ga Hà Nội vào ga Vinh trên chuyến tàu SE7. Trên tàu có các toa ghế ngồi và các toa giường nằm. Toa ngồi có hai loại vé: ngồi cứng và ngồi mềm. Toa nằm có loại khoang 4 giường và khoang 6 giường. Khoang 4 giường có hai loại vé: tầng 1 và tầng 2, khoang 6 giường có ba loại vé: tầng 1, tầng 2 và tầng 3. Hỏi:
a) Có bao nhiêu loại vé ghế ngồi và bao nhiêu loại vé giường nằm?
b) Có bao nhiêu loại vé để bạn An lựa chọn?

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng: công việc thực hiện theo một trong hai phương án rời nhau, phương án một có $n_{1}$ cách, phương án hai có $n_{2}$ cách thì có $n_{1} + n_{2}$ cách.
Sơ đồ hình cây: mỗi nhánh là một lựa chọn, mỗi đường đi từ gốc tới lá là một cách thực hiện; số lá bằng số cách.

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi loại vé thuộc đúng một nhánh: ngồi hoặc nằm; trong nhánh nằm lại tách tiếp theo loại khoang — quy tắc cộng dùng lồng nhau. Sơ đồ hình cây (H.8.2) giúp không sót, không trùng. Bẫy: “tầng 1” của khoang 4 giường và “tầng 1” của khoang 6 giường là HAI loại vé khác nhau.

1Cách 1. Quy tắc cộng theo từng tầng của cây.

Định hướng. Cộng từ lá lên gốc: trong mỗi khoang, rồi trong toa nằm, rồi cả tàu.

a) Vé ghế ngồi:

1 + 1 = 2

Vé giường nằm:

2 + 3 = 5

b) Số loại vé:

2 + 5 = 7

Vậy a) có $2$ loại vé ghế ngồi và $5$ loại vé giường nằm; b) có $7$ loại vé.

2Cách 2. Liệt kê.

Định hướng. Viết tên đầy đủ từng loại vé rồi đếm.

Ngồi: ngồi cứng, ngồi mềm

\Rightarrow 2

loại
Nằm: K4–T1, K4–T2, K6–T1, K6–T2, K6–T3

\Rightarrow 5

loại
Tất cả:

2 + 5 = 7

loại

Vậy a) $2$ và $5$ ; b) $7$ loại vé.

3Cách 3. Chia theo tầng giường thay vì theo khoang.

Định hướng. Với vé nằm, đếm theo số tầng: mỗi tầng có ở những khoang nào.

Tầng 1: khoang 4 và khoang 6

\Rightarrow 2

Tầng 2: khoang 4 và khoang 6

\Rightarrow 2

Tầng 3: chỉ khoang 6

\Rightarrow 1

Vé nằm:

2 + 2 + 1 = 5

Tất cả:

2 + 5 = 7

Vậy có $2$ loại vé ngồi, $5$ loại vé nằm, tổng $7$ loại vé.

Nhận xét. Phân chia trường hợp theo cách nào cũng được, miễn các trường hợp rời nhau và phủ hết — kết quả không đổi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: đọc thẳng trên sơ đồ hình cây, mỗi tầng một phép cộng.

Đáp số. a)

2

loại vé ghế ngồi,

5

loại vé giường nằm. b)

7

loại vé.

Sai lầm thường gặp. Đếm vé nằm là

2 + 3 + 2 = 7

do tính cả hai nhánh “khoang” như vé; hoặc gộp “tầng 1” của hai khoang làm một, ra

3

loại vé nằm.

🚀 Mở rộng. Nếu toa ngồi có thêm loại “ngồi mềm điều hoà” và khoang 6 giường chia thêm hai hướng (xuôi, ngược chiều tàu) thì có

3 + 2 + 3 \cdot 2 = 11

loại vé.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★★Trang 62— Quy tắc cộng — đếm số chia hết cho 5 hoặc 7

Luyện tập 1 (trang 62). Có bao nhiêu số tự nhiên từ 1 đến 30 mà không nguyên tố cùng nhau với 35?
(Hai số tự nhiên $a$ và $b$ gọi là nguyên tố cùng nhau nếu chúng có ước chung lớn nhất là 1.)

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng: công việc thực hiện theo một trong hai phương án rời nhau, phương án một có $n_{1}$ cách, phương án hai có $n_{2}$ cách thì có $n_{1} + n_{2}$ cách.
$n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$ ; khi $A \cap B = \emptyset$ thì $n (A \cup B) = n (A) + n (B)$ .
ƯCLN $(n, 35) \neq = 1$ khi và chỉ khi $n$ chia hết cho $5$ hoặc chia hết cho $7$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vì

35 = 5 \cdot 7

, một số không nguyên tố cùng nhau với

35

khi và chỉ khi nó chia hết cho

5

hoặc cho

7

. Hai nhóm “bội của 5” và “bội của 7” chỉ trùng nhau ở bội của

35

— mà từ 1 đến 30 không có bội nào của 35, nên cộng thẳng được. Bẫy: quên kiểm tra phần giao trước khi cộng.

1Cách 1. Quy tắc cộng cho hai phương án rời nhau.

Định hướng. Tách thành bội của 5 và bội của 7; hai nhóm rời nhau vì $35 > 30$ .

Bội của

5

5, 10, 15, 20, 25, 30

\Rightarrow 6

số
Bội của

7

7, 14, 21, 28

\Rightarrow 4

số
Không có số nào từ 1 đến 30 chia hết cho

35

Số cần đếm:

6 + 4 = 10

Vậy có $10$ số.

2Cách 2. Công thức số phần tử của hợp hai tập hợp.

Định hướng. Gọi $A$ , $B$ là tập các bội của $5$ , của $7$ trong ${1; 2; \dots; 30}$ .

n (A) = [\frac{30}{5}] = 6

n (B) = [\frac{30}{7}] = 4

n (A \cap B) = [\frac{30}{35}] = 0

n (A \cup B) = 6 + 4 - 0 = 10

Vậy có $10$ số.

3Cách 3. Đếm trong một chu kì 35 rồi bớt phần thừa.

Định hướng. Trong $1, 2, \dots, 35$ đếm số không nguyên tố cùng nhau với 35, rồi bỏ các số từ 31 đến 35.

Từ 1 đến 35: bội của

5

có

7

số, bội của

7

có

5

số, bội của

35

có

1

số
Số không nguyên tố cùng nhau với

35

7 + 5 - 1 = 11

Trong

31, 32, 33, 34, 35

chỉ có

35

thuộc nhóm này
Từ 1 đến 30:

11 - 1 = 10

Vậy có $10$ số: $5, 7, 10, 14, 15, 20, 21, 25, 28, 30$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy ngay trong mỗi chu kì 35 số liên tiếp luôn có $24$ số nguyên tố cùng nhau với 35.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — nhanh nhất vì hai nhóm rời nhau; nếu khoảng đếm dài hơn 35 thì chuyển sang Cách 2 để trừ phần giao.

Đáp số.

10

số.

Sai lầm thường gặp. Đếm cả số 1 (ƯCLN

(1, 35) = 1

nên 1 nguyên tố cùng nhau với 35) hoặc đếm các số nguyên tố cùng nhau với 35 (

20

số) thay vì các số KHÔNG nguyên tố cùng nhau.

🚀 Mở rộng. Từ 1 đến 100 có

20 + 14 - 2 = 32

số không nguyên tố cùng nhau với 35 — lúc này phần giao khác rỗng nên bắt buộc phải trừ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ3★Trang 62— Quy tắc nhân — hai công đoạn liên tiếp

HĐ3 (trang 62). Thầy Trung muốn đi từ Hà Nội vào Huế, rồi từ Huế vào thành phố Đà Nẵng. Biết rằng từ Hà Nội vào Huế có thể đi bằng 3 cách: ô tô, tàu hoả hoặc máy bay. Còn từ Huế vào thành phố Đà Nẵng có thể đi bằng 2 cách: ô tô hoặc tàu hoả (H.8.5).
Hỏi thầy Trung có bao nhiêu cách chọn các phương tiện để đi từ Hà Nội vào thành phố Đà Nẵng?

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc nhân: công việc gồm hai công đoạn liên tiếp, công đoạn một có $m_{1}$ cách, với mỗi cách đó công đoạn hai có $m_{2}$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2}$ cách.
Sơ đồ hình cây: mỗi nhánh là một lựa chọn, mỗi đường đi từ gốc tới lá là một cách thực hiện; số lá bằng số cách.

🧠 Phân tích tư duy

Chữ “rồi” cho thấy phải đi LẦN LƯỢT hai chặng, chặng nào cũng phải chọn phương tiện — dấu hiệu quy tắc nhân. Mỗi phương tiện chặng đầu đều ghép được với cả 2 phương tiện chặng sau. Bẫy: cộng

3 + 2

như thể chỉ đi một chặng.

1Cách 1. Quy tắc nhân.

Định hướng. Chuyến đi gồm hai công đoạn: chặng Hà Nội – Huế rồi chặng Huế – Đà Nẵng.

Chặng 1:

3

cách
Chặng 2:

2

cách với mỗi cách của chặng 1
Số cách:

3 \cdot 2 = 6

Vậy thầy Trung có $6$ cách chọn phương tiện.

2Cách 2. Quy tắc cộng theo phương tiện chặng đầu.

Định hướng. Chia trường hợp theo phương tiện chặng Hà Nội – Huế.

Đi ô tô chặng đầu:

2

cách
Đi tàu hoả chặng đầu:

2

cách
Đi máy bay chặng đầu:

2

cách
Số cách:

2 + 2 + 2 = 6

Vậy có $6$ cách.

3Cách 3. Liệt kê cặp phương tiện (sơ đồ hình cây).

Định hướng. Mỗi đường đi trên cây là một cặp (chặng 1, chặng 2).

(ô tô, ô tô), (ô tô, tàu hoả)
(tàu hoả, ô tô), (tàu hoả, tàu hoả)
(máy bay, ô tô), (máy bay, tàu hoả)
Có

6

cặp

Vậy có $6$ cách.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy quy tắc nhân chính là quy tắc cộng lặp lại: $2 + 2 + 2 = 3 \cdot 2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — nhận ra hai công đoạn nối tiếp là nhân ngay, một dòng.

Đáp số.

6

cách.

Sai lầm thường gặp. Tính

3 + 2 = 5

: quy tắc cộng chỉ dùng khi chọn MỘT trong các phương án, còn ở đây phải đi cả hai chặng.

🚀 Mở rộng. Nếu đi tiếp từ Đà Nẵng vào Quy Nhơn bằng

4

cách thì số cách là

3 \cdot 2 \cdot 4 = 24

— quy tắc nhân mở rộng cho nhiều công đoạn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · HĐ4★Trang 63— Quy tắc nhân — ghép chữ cái với số

HĐ4 (trang 63). Để lắp ghế vào một phòng chiếu phim, các ghế được gắn nhãn bằng một chữ cái in hoa (trong bảng 26 chữ cái tiếng Anh từ

A

đến

Z

) đứng trước và một số nguyên từ 1 đến 20, chẳng hạn

X 15

Z 2

, …
Hỏi có thể gắn nhãn tối đa được cho bao nhiêu ghế?

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc nhân: công việc gồm hai công đoạn liên tiếp, công đoạn một có $m_{1}$ cách, với mỗi cách đó công đoạn hai có $m_{2}$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2}$ cách.

🧠 Phân tích tư duy

Một nhãn gồm hai ô: ô chữ cái rồi ô số — hai công đoạn điền độc lập nhau, nên dùng quy tắc nhân. Mỗi nhãn khác nhau gắn được cho đúng một ghế, vậy số ghế tối đa bằng số nhãn. Bẫy: nghĩ nhãn

A 1

và

1 A

là hai nhãn — đề quy định chữ cái đứng trước.

1Cách 1. Quy tắc nhân.

Định hướng. Điền ô chữ cái rồi điền ô số.

Ô chữ cái:

26

cách
Ô số:

20

cách
Số nhãn:

26 \cdot 20 = 520

Vậy có thể gắn nhãn tối đa cho $520$ ghế.

2Cách 2. Quy tắc cộng theo chữ cái (hàng ghế).

Định hướng. Mỗi chữ cái ứng với một hàng ghế đánh số từ 1 đến 20.

Hàng

A

A 1, A 2, \dots, A 20

\Rightarrow 20

nhãn
Mỗi hàng

B, C, \dots, Z

cũng có

20

nhãn
Số nhãn:

26 lan 20 + 20 + \dots + 20 = 520

Vậy có $520$ ghế.

3Cách 3. Bảng ô vuông.

Định hướng. Xếp nhãn thành bảng: mỗi hàng một chữ cái, mỗi cột một số.

Số hàng:

26

, số cột:

20

Mỗi ô là đúng một nhãn, hai ô khác nhau cho hai nhãn khác nhau
Số ô:

26 \cdot 20 = 520

Vậy tối đa $520$ ghế.

Nhận xét. Bảng hàng × cột là hình ảnh trực quan nhất của quy tắc nhân cho hai công đoạn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — chỉ một phép nhân; Cách 3 giúp nhớ vì sao phải nhân.

Đáp số.

520

ghế.

Sai lầm thường gặp. Tính

26 + 20 = 46

vì chỉ chú ý có “chữ cái và số”; hoặc lấy số từ 0 đến 20 thành

21

số.

🚀 Mở rộng. Nếu nhãn gồm chữ cái rồi số từ 1 đến 20 nhưng bỏ các chữ

I

O

(dễ nhầm với số 1 và 0) thì có

24 \cdot 20 = 480

nhãn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 2★★Trang 64— Kết hợp quy tắc nhân và quy tắc cộng — đếm trận đấu vòng tròn

Luyện tập 2 (trang 64). Tại kì World Cup năm 2018, vòng bảng gồm có 32 đội tham gia, được chia vào 8 bảng, mỗi bảng 4 đội thi đấu vòng tròn (mỗi đội chơi một trận với từng đội khác trong cùng bảng). Hỏi tổng cộng vòng bảng có bao nhiêu trận đấu?

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc nhân: công việc gồm hai công đoạn liên tiếp, công đoạn một có $m_{1}$ cách, với mỗi cách đó công đoạn hai có $m_{2}$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2}$ cách.
Quy tắc cộng: công việc thực hiện theo một trong hai phương án rời nhau, phương án một có $n_{1}$ cách, phương án hai có $n_{2}$ cách thì có $n_{1} + n_{2}$ cách.
Đếm cặp không kể thứ tự: đếm cặp có thứ tự rồi chia cho $2$ .

🧠 Phân tích tư duy

Các bảng đấu độc lập, số trận mỗi bảng như nhau, nên chỉ cần đếm trận trong một bảng rồi cộng cho 8 bảng. Trong một bảng, mỗi trận là một cặp đội KHÔNG kể thứ tự. Bẫy: lấy

4 \cdot 3 = 12

mà quên mỗi trận bị đếm hai lần (A gặp B và B gặp A).

1Cách 1. Quy tắc nhân rồi chia 2 cho mỗi bảng.

Định hướng. Mỗi đội đấu 3 trận; mỗi trận có hai đội nên được tính hai lần.

Một bảng:

\frac{4 \cdot 3}{2} = 6

trận
Tám bảng:

8 \cdot 6 = 48

trận

Vậy vòng bảng có $48$ trận đấu.

2Cách 2. Liệt kê trận trong một bảng.

Định hướng. Gọi bốn đội là $A, B, C, D$ .

A B, A C, A D, B C, B D, C D

\Rightarrow 6

trận
Tổng:

6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 48

trận

Vậy có $48$ trận đấu.

3Cách 3. Đếm số lượt ra sân của cả giải.

Định hướng. Mỗi đội đá 3 trận vòng bảng; mỗi trận có 2 đội ra sân.

Số lượt ra sân:

32 \cdot 3 = 96

Số trận:

\frac{96}{2} = 48

Vậy có $48$ trận đấu.

Nhận xét. Cách 3 không cần biết cách chia bảng, chỉ cần biết mỗi đội đá bao nhiêu trận — rất tiện cho các giải đấu phức tạp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 — hai phép tính, không phải đếm từng bảng; Cách 1 là cách trình bày chuẩn theo bài học.

Đáp số.

48

trận.

Sai lầm thường gặp. Tính

4 \cdot 3 = 12

trận mỗi bảng (đếm trùng mỗi trận hai lần), ra

96

trận; hoặc coi 32 đội đấu vòng tròn chung, ra

\frac{32 \cdot 31}{2} = 496

trận.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

k

bảng, mỗi bảng

n

đội đấu vòng tròn một lượt thì có

k \cdot \frac{n ( n - 1 )}{2}

trận; World Cup 2026 có 12 bảng 4 đội nên vòng bảng có

72

trận.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 3★★Trang 64— Lập số từ các chữ số cho trước — quy tắc nhân kết hợp quy tắc cộng

Luyện tập 3 (trang 64). Từ các chữ số 0, 1, 2, 3 có thể lập được bao nhiêu số thoả mãn:
a) Là số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?
b) Là số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau?

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc nhân: công việc gồm hai công đoạn liên tiếp, công đoạn một có $m_{1}$ cách, với mỗi cách đó công đoạn hai có $m_{2}$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2}$ cách.
Quy tắc cộng: công việc thực hiện theo một trong hai phương án rời nhau, phương án một có $n_{1}$ cách, phương án hai có $n_{2}$ cách thì có $n_{1} + n_{2}$ cách.
Số $\overline{ab c}$ có ba chữ số thì $a \neq = 0$ ; số chẵn thì chữ số hàng đơn vị chẵn.

🧠 Phân tích tư duy

Lập số

\overline{ab c}

là ba công đoạn chọn

a

b

c

— quy tắc nhân; điều kiện

a \neq = 0

nên ưu tiên chọn

a

trước. Câu b chữ số tận cùng có thể là

0

hoặc

2

, mà

0

ảnh hưởng tới lựa chọn của

a

, nên phải tách hai trường hợp rồi cộng. Bẫy: làm câu b bằng

3 \cdot 2 \cdot 2 = 12

mà không tách trường hợp.

1Cách 1. Chọn lần lượt từng chữ số, tách trường hợp chữ số tận cùng.

Định hướng. Gọi số cần lập là $\overline{ab c}$ , ưu tiên vị trí có điều kiện.

a \in {1; 2; 3}

3

cách;

b

3

cách;

c

2

cách
Số các số:

3 \cdot 3 \cdot 2 = 18

c = 0

a

có

3

cách,

b

có

2

cách

\Rightarrow 3 \cdot 2 = 6

c = 2

a \in {1; 3}

có

2

cách,

b

có

2

cách

\Rightarrow 2 \cdot 2 = 4

Số các số chẵn:

6 + 4 = 10

Vậy a) $18$ số; b) $10$ số.

2Cách 2. Đếm phần bù.

Định hướng. Đếm cả các dãy có chữ số $0$ đứng đầu rồi bỏ đi; số chẵn = tất cả trừ số lẻ.

a) Dãy

\overline{ab c}

ba chữ số khác nhau (kể cả

a = 0

4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

Dãy có

a = 0

3 \cdot 2 = 6

Số các số:

24 - 6 = 18

b) Số lẻ:

c \in {1; 3}

có

2

cách,

a

khác

0

và khác

c

có

2

cách,

b

có

2

cách

\Rightarrow 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

Số các số chẵn:

18 - 8 = 10

Vậy a) $18$ số; b) $10$ số.

3Cách 3. Liệt kê có hệ thống.

Định hướng. Liệt kê số chẵn theo chữ số tận cùng; câu a đếm theo chữ số hàng trăm.

a) Hàng trăm là

1

102, 103, 120, 123, 130, 132

\Rightarrow 6

số; hàng trăm là

2

hoặc

3

cũng

6

số mỗi loại
Tổng:

6 + 6 + 6 = 18

b) Tận cùng

0

120, 130, 210, 230, 310, 320

Tận cùng

2

102, 132, 302, 312

Tổng:

6 + 4 = 10

Vậy a) $18$ số; b) $10$ số chẵn.

Nhận xét. Liệt kê là cách kiểm tra tốt nhất khi số lượng nhỏ; với bài lớn hơn phải dùng Cách 1 hoặc Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 cho câu a; câu b dùng Cách 2 (phần bù) sẽ khỏi tách trường hợp chữ số 0 ở hàng đơn vị.

Đáp số. a)

18

số. b)

10

số.

Sai lầm thường gặp. Câu b tính

c

có

2

cách,

a

có

3

cách,

b

có

2

cách ra

12

: sai vì khi

c = 2

thì

a

chỉ còn

2

cách (không được là

0

🚀 Mở rộng. Từ các chữ số

0, 1, 2, 3, 4, 5

lập được

5 \cdot 5 \cdot 4 = 100

số có ba chữ số khác nhau, trong đó

20 + 16 + 16 = 52

số chẵn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Vận dụng★★★Trang 65— Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân — chọn nhóm có đủ đại diện

Vận dụng (trang 65). Khối lớp 10 của một trường trung học phổ thông có ba lớp 10A, 10B, 10C. Lớp 10A có 30 bạn, lớp 10B có 35 bạn, lớp 10C có 32 bạn. Nhà trường muốn chọn 4 bạn để thành lập đội cờ đỏ của khối sao cho có đủ đại diện của các lớp. Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn?

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng: công việc thực hiện theo một trong hai phương án rời nhau, phương án một có $n_{1}$ cách, phương án hai có $n_{2}$ cách thì có $n_{1} + n_{2}$ cách.
Quy tắc nhân: công việc gồm hai công đoạn liên tiếp, công đoạn một có $m_{1}$ cách, với mỗi cách đó công đoạn hai có $m_{2}$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2}$ cách.
Số cách chọn 2 người (không kể thứ tự) từ $n$ người là $\frac{n ( n - 1 )}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn bạn chia cho ba lớp, lớp nào cũng có người, nên đúng một lớp có 2 bạn, hai lớp kia mỗi lớp 1 bạn — ba trường hợp rời nhau (quy tắc cộng), trong mỗi trường hợp chọn lần lượt ở từng lớp (quy tắc nhân). Chọn 2 bạn trong một lớp là chọn cặp không kể thứ tự nên phải chia 2. Bẫy: chọn mỗi lớp một bạn rồi chọn thêm bạn thứ tư bất kì mà quên mỗi đội bị đếm hai lần.

1Cách 1. Chia trường hợp theo lớp có 2 bạn.

Định hướng. Cộng ba trường hợp; trong mỗi trường hợp nhân số cách chọn ở từng lớp.

Chọn 2 bạn lớp 10A:

\frac{30 \cdot 29}{2} = 435

; lớp 10B:

\frac{35 \cdot 34}{2} = 595

; lớp 10C:

\frac{32 \cdot 31}{2} = 496

10A có 2 bạn:

435 \cdot 35 \cdot 32 = 487200

10B có 2 bạn:

30 \cdot 595 \cdot 32 = 571200

10C có 2 bạn:

30 \cdot 35 \cdot 496 = 520800

Tổng:

487200 + 571200 + 520800 = 1579200

Vậy có $1579200$ cách lựa chọn.

2Cách 2. Chọn đại diện trước, thêm một bạn sau, rồi chia cho số lần đếm trùng.

Định hướng. Chọn mỗi lớp một đại diện, rồi chọn bạn thứ tư trong số còn lại; mỗi đội được tạo ra đúng hai lần.

Chọn ba đại diện:

30 \cdot 35 \cdot 32 = 33600

Chọn bạn thứ tư trong

97 - 3 = 94

bạn còn lại:

94

cách
Số cách có kể trùng:

33600 \cdot 94 = 3158400

Mỗi đội có đúng một lớp góp 2 bạn, hai bạn đó thay nhau làm “đại diện” nên đội được đếm

2

lần
Số đội:

\frac{3 158 400}{2} = 1579200

Vậy có $1579200$ cách.

3Cách 3. Phần bù (dùng số tổ hợp

C_{n}^{k}

của Bài 24).

Định hướng. Lấy mọi cách chọn 4 bạn trừ các cách thiếu ít nhất một lớp.

Mọi cách chọn:

C_{97}^{4} = 3464840

Thiếu 10A:

C_{67}^{4} = 766480

; thiếu 10B:

C_{62}^{4} = 557845

; thiếu 10C:

C_{65}^{4} = 677040

Chỉ từ một lớp (bị trừ hai lần):

C_{30}^{4} + C_{35}^{4} + C_{32}^{4} = 27405 + 52360 + 35960 = 115725

Số cách:

3464840 - (766480 + 557845 + 677040) + 115725 = 1579200

Vậy có $1579200$ cách.

Nhận xét. Ba cách cùng ra $1579200$ ; Cách 2 rất gọn nhưng chỉ đúng khi biết chắc mỗi đội bị đếm đúng bao nhiêu lần.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — trình bày chuẩn, ít rủi ro; Cách 2 nhanh nhất khi đã quen lập luận “đếm trùng rồi chia”.

Đáp số.

1579200

cách.

Sai lầm thường gặp. Lấy

30 \cdot 35 \cdot 32 \cdot 94 = 3158400

mà không chia 2 — mỗi đội bị đếm hai lần. Hoặc chọn 2 bạn trong một lớp bằng

30 \cdot 29 = 870

(tính cả thứ tự).

🚀 Mở rộng. Nếu đội cờ đỏ gồm 5 bạn và vẫn phải đủ đại diện ba lớp thì có hai kiểu phân bố

(3; 1; 1)

và

(2; 2; 1)

— thử đếm bằng cả Cách 1 và Cách 3.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 8.1★Trang 65— Quy tắc cộng — sơ đồ hình cây

Bài 8.1 (trang 65). Trên giá sách có 8 cuốn truyện ngắn, 7 cuốn tiểu thuyết và 5 tập thơ (tất cả đều khác nhau). Vẽ sơ đồ hình cây minh hoạ và cho biết bạn Phong có bao nhiêu cách chọn một cuốn để đọc vào ngày cuối tuần.

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc cộng: công việc thực hiện theo một trong hai phương án rời nhau, phương án một có $n_{1}$ cách, phương án hai có $n_{2}$ cách thì có $n_{1} + n_{2}$ cách.
Sơ đồ hình cây: mỗi nhánh là một lựa chọn, mỗi đường đi từ gốc tới lá là một cách thực hiện; số lá bằng số cách.

🧠 Phân tích tư duy

Phong chỉ chọn MỘT cuốn, cuốn đó thuộc đúng một trong ba loại — ba phương án rời nhau, dùng quy tắc cộng. Đề yêu cầu vẽ sơ đồ hình cây: nhánh cấp một là loại sách, nhánh cấp hai là từng cuốn. Bẫy: nhân

8 \cdot 7 \cdot 5

như thể chọn mỗi loại một cuốn.

1Cách 1. Quy tắc cộng.

Định hướng. Cuốn được chọn là truyện ngắn, hoặc tiểu thuyết, hoặc tập thơ.

Truyện ngắn:

8

cách
Tiểu thuyết:

7

cách
Tập thơ:

5

cách
Số cách:

8 + 7 + 5 = 20

Sơ đồ hình cây:

Vậy Phong có $20$ cách chọn một cuốn.

2Cách 2. Sơ đồ hình cây.

Định hướng. Gốc tách ba nhánh theo loại sách, mỗi nhánh tách tiếp theo từng cuốn; đếm lá.

Nhánh truyện ngắn:

8

lá
Nhánh tiểu thuyết:

7

lá
Nhánh tập thơ:

5

lá
Số lá:

8 + 7 + 5 = 20

Vậy có $20$ cách.

3Cách 3. Đếm phần tử của tập hợp tất cả các cuốn.

Định hướng. Các cuốn đều khác nhau nên chọn một cuốn là chọn một phần tử của tập hợp sách trên giá.

Tập sách

S

gồm

8 + 7 + 5

cuốn đôi một khác nhau

n (S) = 20

Số cách chọn một cuốn:

n (S) = 20

Vậy có $20$ cách.

Nhận xét. Điều kiện “tất cả đều khác nhau” là để các phương án không trùng nhau — đúng yêu cầu của quy tắc cộng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 kèm sơ đồ ở Cách 2 — đúng yêu cầu đề “vẽ sơ đồ hình cây và cho biết”.

Đáp số.

20

cách.

Sai lầm thường gặp. Tính

8 \cdot 7 \cdot 5 = 280

: đó là số cách chọn MỖI LOẠI một cuốn (ba cuốn), không phải chọn một cuốn.

🚀 Mở rộng. Nếu Phong chọn hai cuốn thuộc hai loại khác nhau thì có

8 \cdot 7 + 8 \cdot 5 + 7 \cdot 5 = 131

cách — phải kết hợp cả hai quy tắc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 8.2★Trang 65— Quy tắc nhân — dãy kết quả gieo đồng xu

Bài 8.2 (trang 65). Một người gieo đồng xu hai mặt, sau mỗi lần gieo thì ghi lại kết quả là sấp hay ngửa. Hỏi nếu người đó gieo 3 lần thì có thể có bao nhiêu khả năng xảy ra?

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc nhân: công việc gồm hai công đoạn liên tiếp, công đoạn một có $m_{1}$ cách, với mỗi cách đó công đoạn hai có $m_{2}$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2}$ cách.
Sơ đồ hình cây: mỗi nhánh là một lựa chọn, mỗi đường đi từ gốc tới lá là một cách thực hiện; số lá bằng số cách.

🧠 Phân tích tư duy

Ba lần gieo là ba công đoạn nối tiếp, mỗi lần có 2 kết quả không phụ thuộc lần trước — quy tắc nhân. Khả năng xảy ra là cả DÃY kết quả có thứ tự (SSN khác SNS). Bẫy: chỉ đếm số lần sấp (0, 1, 2, 3) nên ra 4.

1Cách 1. Quy tắc nhân.

Định hướng. Mỗi lần gieo có 2 kết quả; ba lần gieo nối tiếp.

Lần 1:

2

, lần 2:

2

, lần 3:

2

Số khả năng:

2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^{3} = 8

Sơ đồ hình cây:

Vậy có $8$ khả năng xảy ra.

2Cách 2. Sơ đồ hình cây.

Định hướng. Kí hiệu S là sấp, N là ngửa; mỗi lần gieo tách mỗi nhánh thành hai.

Sau lần 1:

2

nhánh
Sau lần 2:

2 \cdot 2 = 4

nhánh
Sau lần 3:

4 \cdot 2 = 8

nhánh
SSS, SSN, SNS, SNN, NSS, NSN, NNS, NNN

Vậy có $8$ khả năng.

3Cách 3. Quy tắc cộng theo số lần xuất hiện mặt sấp.

Định hướng. Chia theo số lần sấp rồi đếm vị trí các lần sấp.

Không lần sấp: NNN

\Rightarrow 1

Một lần sấp: SNN, NSN, NNS

\Rightarrow 3

Hai lần sấp: SSN, SNS, NSS

\Rightarrow 3

Ba lần sấp: SSS

\Rightarrow 1

Tổng:

1 + 3 + 3 + 1 = 8

Vậy có $8$ khả năng.

Nhận xét. Dãy $1, 3, 3, 1$ là một hàng của tam giác Pascal — sẽ gặp lại ở Bài 25 (nhị thức Newton).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — một dòng

2^{3}

, dùng ngay được khi gieo

n

lần (

2^{n}

khả năng).

Đáp số.

8

khả năng.

Sai lầm thường gặp. Chỉ đếm số lần sấp ra

4

khả năng; hoặc tính

2 + 2 + 2 = 6

vì dùng nhầm quy tắc cộng.

🚀 Mở rộng. Gieo đồng xu

n

lần thì có

2^{n}

khả năng; gieo một con xúc xắc 3 lần thì có

6^{3} = 216

khả năng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 8.3★★Trang 65— Đếm tổ hợp không kể thứ tự — ứng dụng sinh học

Bài 8.3 (trang 65). Ở một loài thực vật, A là gene trội quy định tính trạng hoa kép, a là gene lặn quy định tính trạng hoa đơn.
a) Sự tổ hợp giữa hai gene trên tạo ra mấy kiểu gene? Viết các kiểu gene đó.
b) Khi giao phối ngẫu nhiên, có bao nhiêu kiểu giao phối khác nhau từ các kiểu gene đó?

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc nhân: công việc gồm hai công đoạn liên tiếp, công đoạn một có $m_{1}$ cách, với mỗi cách đó công đoạn hai có $m_{2}$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2}$ cách.
Quy tắc cộng: công việc thực hiện theo một trong hai phương án rời nhau, phương án một có $n_{1}$ cách, phương án hai có $n_{2}$ cách thì có $n_{1} + n_{2}$ cách.
Đếm cặp không kể thứ tự có thể trùng: số cặp cùng loại + số cặp khác loại.

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi kiểu gene gồm hai gene, lấy từ

{A; a}

, được lặp lại và KHÔNG kể thứ tự (

A a

và

a A

là một). Kiểu giao phối là một cặp hai kiểu gene, cũng không kể thứ tự và được phép trùng (

AA \times AA

). Bẫy: dùng thẳng quy tắc nhân

2 \cdot 2 = 4

và

3 \cdot 3 = 9

mà không gộp các cặp trùng.

1Cách 1. Chia trường hợp theo số gene trội.

Định hướng. Kiểu gene phân biệt bởi số gene $A$ trong nó: 2, 1 hoặc 0.

a) Hai gene

A

AA

; một gene

A

A a

; không gene

A

aa

\Rightarrow 3

kiểu gene
b) Hai cá thể cùng kiểu gene:

AA \times AA

A a \times A a

aa \times aa

\Rightarrow 3

Hai cá thể khác kiểu gene:

AA \times A a

AA \times aa

A a \times aa

\Rightarrow 3

Số kiểu giao phối:

3 + 3 = 6

Vậy a) có $3$ kiểu gene $AA$ , $A a$ , $aa$ ; b) có $6$ kiểu giao phối.

2Cách 2. Quy tắc nhân rồi gộp các cặp trùng.

Định hướng. Đếm cặp có thứ tự trước, sau đó bỏ phần đếm lặp.

a) Cặp có thứ tự:

2 \cdot 2 = 4

AA, A a, a A, aa

; gộp

A a = a A

\Rightarrow 4 - 1 = 3

b) Cặp có thứ tự:

3 \cdot 3 = 9

Cặp cùng kiểu gene:

3

(không bị lặp); cặp khác kiểu gene:

9 - 3 = 6

, mỗi cặp bị đếm

2

lần
Số kiểu giao phối:

3 + \frac{6}{2} = 6

Vậy a) $3$ kiểu gene; b) $6$ kiểu giao phối.

3Cách 3. Bảng kẻ ô, lấy nửa trên đường chéo.

Định hướng. Lập bảng $3 \times 3$ ghép kiểu gene “bố” với kiểu gene “mẹ”; bảng đối xứng qua đường chéo.

Hàng

AA

AA \times AA

AA \times A a

AA \times aa

\Rightarrow 3

ô
Hàng

A a

(từ đường chéo trở đi):

A a \times A a

A a \times aa

\Rightarrow 2

ô
Hàng

aa

aa \times aa

\Rightarrow 1

ô
Tổng:

3 + 2 + 1 = 6

Vậy có $6$ kiểu giao phối.

Nhận xét. Nếu phân biệt giới tính cây bố, cây mẹ thì phải đếm cả bảng: $9$ phép lai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — liệt kê theo số gene trội vừa ngắn vừa đúng ngôn ngữ sinh học; Cách 2 là lập luận tổng quát.

Đáp số. a)

3

kiểu gene:

AA

A a

aa

. b)

6

kiểu giao phối.

Sai lầm thường gặp. Viết

4

kiểu gene

AA, A a, a A, aa

(coi

A a

khác

a A

) và

9

kiểu giao phối (coi

AA \times A a

khác

A a \times AA

🚀 Mở rộng. Với ba gene

A

a_{1}

a_{2}

(đa alen) thì có

3 + 3 = 6

kiểu gene và

6 + \frac{6 \cdot 5}{2} = 21

kiểu giao phối.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 8.4★★★Trang 65— Lập số có ba chữ số với điều kiện — quy tắc nhân kết hợp quy tắc cộng

Bài 8.4 (trang 65). Có bao nhiêu số tự nhiên
a) có 3 chữ số khác nhau?
b) là số lẻ có 3 chữ số khác nhau?
c) là số có 3 chữ số và chia hết cho 5?
d) là số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 5?

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc nhân: công việc gồm hai công đoạn liên tiếp, công đoạn một có $m_{1}$ cách, với mỗi cách đó công đoạn hai có $m_{2}$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2}$ cách.
Quy tắc cộng: công việc thực hiện theo một trong hai phương án rời nhau, phương án một có $n_{1}$ cách, phương án hai có $n_{2}$ cách thì có $n_{1} + n_{2}$ cách.
Số chia hết cho $5$ khi chữ số tận cùng là $0$ hoặc $5$ ; số lẻ khi chữ số tận cùng thuộc ${1; 3; 5; 7; 9}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Số

\overline{ab c}

có ba chữ số thì

a \neq = 0

; ta chọn trước chữ số chịu nhiều ràng buộc nhất (với b, d là chữ số hàng đơn vị). Câu d, chữ số tận cùng có thể là

0

hoặc

5

; trường hợp

c = 0

làm

a

có thêm lựa chọn, nên phải tách hai trường hợp. Bẫy: câu b làm

a

trước (

9

cách) thì số cách chọn

c

phụ thuộc

a

chẵn hay lẻ, dễ tính sai.

1Cách 1. Chọn lần lượt, ưu tiên vị trí có điều kiện.

Định hướng. Gọi số là $\overline{ab c}$ , $a \neq = 0$ .

a

9

cách;

b

9

cách;

c

8

cách

\Rightarrow 9 \cdot 9 \cdot 8 = 648

c

lẻ:

5

cách;

a \neq = 0

a \neq = c

8

cách;

b

8

cách

\Rightarrow 5 \cdot 8 \cdot 8 = 320

a

9

cách;

b

10

cách;

c \in {0; 5}

2

cách

\Rightarrow 9 \cdot 10 \cdot 2 = 180

c = 0

a

có

9

cách,

b

có

8

cách

\Rightarrow 72

c = 5

a

có

8

cách,

b

có

8

cách

\Rightarrow 64

Tổng câu d:

72 + 64 = 136

Vậy a) $648$ ; b) $320$ ; c) $180$ ; d) $136$ .

2Cách 2. Đếm phần bù.

Định hướng. Đếm cả trường hợp $a = 0$ rồi bỏ đi; số lẻ = tất cả trừ số chẵn.

a) Dãy

\overline{ab c}

ba chữ số khác nhau:

10 \cdot 9 \cdot 8 = 720

; dãy có

a = 0

9 \cdot 8 = 72

\Rightarrow 720 - 72 = 648

b) Số chẵn:

c = 0

có

9 \cdot 8 = 72

;

c \in {2; 4; 6; 8}

có

4 \cdot 8 \cdot 8 = 256

\Rightarrow 328

Số lẻ:

648 - 328 = 320

c) Số có ba chữ số:

999 - 100 + 1 = 900

; cứ

5

số liên tiếp có đúng một số chia hết cho

5

\Rightarrow \frac{900}{5} = 180

d) Dãy

\overline{ab 5}

ba chữ số khác nhau, kể cả

a = 0

9 \cdot 8 = 72

; có

a = 0

8

\Rightarrow 64

Cùng với

72

số dạng

\overline{ab 0}

72 + 64 = 136

Vậy a) $648$ ; b) $320$ ; c) $180$ ; d) $136$ .

3Cách 3. Dùng cấp số cộng và tính đối xứng.

Định hướng. Các bội của 5 có ba chữ số là một dãy cách đều; số có ba chữ số khác nhau phân bố đều theo chữ số tận cùng khác 0.

100, 105, \dots, 995

\frac{995 - 100}{5} + 1 = 180

a) Tận cùng

0

9 \cdot 8 = 72

; tận cùng là mỗi chữ số

d \neq = 0

8 \cdot 8 = 64

\Rightarrow 72 + 9 \cdot 64 = 648

b) Năm chữ số lẻ, mỗi chữ số

64

số:

5 \cdot 64 = 320

d) Tận cùng

0

hoặc

5

72 + 64 = 136

Vậy a) $648$ ; b) $320$ ; c) $180$ ; d) $136$ .

Nhận xét. Cách 3 trả lời cả bốn câu từ hai con số $72$ và $64$ — nhìn một lần thấy cả bài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 — tính một lần hai số

72

(tận cùng 0) và

64

(tận cùng khác 0) là suy ra hết; Cách 1 là cách trình bày chuẩn.

Đáp số. a)

648

số. b)

320

số. c)

180

số. d)

136

số.

Sai lầm thường gặp. Câu b chọn

a

9

cách, rồi cho

c

luôn

5

cách — sai vì nếu

a

lẻ thì

c

chỉ còn

4

cách. Câu d tính

9 \cdot 8 \cdot 2 = 144

mà quên khi

c = 5

thì

a

không được bằng

0

🚀 Mở rộng. Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5? Đáp số

504 + 448 = 952

(tận cùng 0:

9 \cdot 8 \cdot 7

; tận cùng 5:

8 \cdot 8 \cdot 7

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 8.5★★Trang 65— Quy tắc nhân — đếm mật khẩu

Bài 8.5 (trang 65). a) Mật khẩu của chương trình máy tính quy định gồm 3 kí tự, mỗi kí tự là một chữ số. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu mật khẩu khác nhau?
b) Nếu chương trình máy tính quy định mới mật khẩu vẫn gồm 3 kí tự, nhưng kí tự đầu tiên phải là một chữ cái in hoa trong bảng chữ cái tiếng Anh gồm 26 chữ (từ A đến Z) và 2 kí tự sau là các chữ số (từ 0 đến 9). Hỏi quy định mới có thể tạo được nhiều hơn quy định cũ bao nhiêu mật khẩu khác nhau?

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc nhân: công việc gồm hai công đoạn liên tiếp, công đoạn một có $m_{1}$ cách, với mỗi cách đó công đoạn hai có $m_{2}$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2}$ cách.

🧠 Phân tích tư duy

Mật khẩu là dãy 3 kí tự có thứ tự, được lặp lại, mỗi vị trí chọn độc lập — quy tắc nhân. Mật khẩu KHÁC số tự nhiên: “007” vẫn là mật khẩu hợp lệ, nên chữ số đầu được là 0. Câu b chỉ khác ở kí tự đầu. Bẫy: bắt kí tự đầu khác 0 như lập số, ra

900

1Cách 1. Quy tắc nhân cho từng quy định rồi trừ.

Định hướng. Đếm số mật khẩu theo mỗi quy định.

10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000

26 \cdot 10 \cdot 10 = 2600

Nhiều hơn:

2600 - 1000 = 1600

Vậy a) $1000$ mật khẩu; b) quy định mới tạo được nhiều hơn $1600$ mật khẩu.

2Cách 2. Tương ứng mật khẩu với số.

Định hướng. Mỗi mật khẩu cũ ứng với đúng một số từ 0 đến 999 (thêm số 0 ở đầu cho đủ 3 kí tự).

000, 001, \dots, 999

ứng với

0, 1, \dots, 999

\Rightarrow 999 - 0 + 1 = 1000

b) Với mỗi chữ cái đầu, phần sau là

00, 01, \dots, 99

\Rightarrow 100

mật khẩu
Quy định mới:

26 \cdot 100 = 2600

; hiệu:

2600 - 1000 = 1600

Vậy a) $1000$ ; b) nhiều hơn $1600$ .

3Cách 3. So sánh trực tiếp chỉ ở kí tự đầu.

Định hướng. Hai quy định giống nhau ở 2 kí tự sau ( $100$ cách), chỉ khác kí tự đầu: $26$ so với $10$ lựa chọn.

10 \cdot 100 = 1000

b) Hiệu:

26 \cdot 100 - 10 \cdot 100 = (26 - 10) \cdot 100 = 1600

Vậy a) $1000$ ; b) nhiều hơn $1600$ mật khẩu.

Nhận xét. Đặt nhân tử chung $100$ cho thấy phần tăng thêm chỉ đến từ $16$ lựa chọn mới ở kí tự đầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 — một dòng cho câu b, không cần tính riêng từng số.

Đáp số. a)

1000

mật khẩu. b) Nhiều hơn

1600

mật khẩu.

Sai lầm thường gặp. Tính câu a là

9 \cdot 10 \cdot 10 = 900

vì coi mật khẩu như số có ba chữ số; hoặc trả lời câu b là

2600

(số mật khẩu mới) mà quên trừ.

🚀 Mở rộng. Nếu kí tự đầu được là chữ cái HOẶC chữ số (36 lựa chọn) thì có

36 \cdot 100 = 3600

mật khẩu, nhiều hơn quy định cũ

2600

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài tập cuối chương VII Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 10