Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài tập cuối chương VII

SGK Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 12 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngVII #SGK_Tập2 #trang58–59 #CùngBàiBênSBT

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · 7.26★Trang 58— Trắc nghiệm — nhận dạng phương trình tham số của đường thẳng

Bài 7.26 (trang 58). Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng?
A.

2 x - y + 1 = 0

.
B.

{x = 2 t y = t

.
C.

x^{2} + y^{2} = 1

.
D.

y = 2 x + 3

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $M (x_{0}; y_{0})$ , vectơ chỉ phương $u = (a; b) \neq = 0$ có phương trình tham số ${x = x_{0} + a t y = y_{0} + b t$ ( $t \in R$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình tham số là một hệ hai phương trình biểu diễn

x

y

qua một tham số

t

dưới dạng bậc nhất. Chỉ cần nhìn hình thức: đáp án nào có tham số

t

là ứng viên. Bẫy: A và D cũng là đường thẳng nhưng ở dạng tổng quát và dạng hệ số góc, không phải dạng tham số.

1Cách 1. Đối chiếu với dạng chuẩn

Định hướng. So từng đáp án với dạng $x = x_{0} + a t$ , $y = y_{0} + b t$ .

{x = 0 + 2 t y = 0 + 1 t

có

M (0; 0)

u = (2; 1) \neq = 0

A: dạng

a x + b y + c = 0

(tổng quát); D: dạng

y = k x + m

; C: có

x^{2}

y^{2}

Vậy chọn B.

2Cách 2. Loại trừ theo bậc và số phương trình

Định hướng. Phương trình tham số phải là hệ hai phương trình bậc nhất theo $t$ .

A, D: chỉ một phương trình, không có tham số

\Rightarrow

loại
C: bậc hai theo

x

y

(đường tròn)

\Rightarrow

loại
B: hai phương trình bậc nhất theo

t

\Rightarrow

nhận

Vậy chọn B.

3Cách 3. Khử tham số kiểm tra lại

Định hướng. Khử $t$ ở B để thấy nó thật sự là một đường thẳng.

y = t \Rightarrow x = 2 y \Leftrightarrow x - 2 y = 0

Đây là đường thẳng qua

O (0; 0)

, vectơ pháp tuyến

(1; - 2)

Vậy B là phương trình tham số của đường thẳng $x - 2 y = 0$ ; chọn B.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy một đường thẳng có nhiều dạng phương trình; câu hỏi chỉ hỏi về hình thức tham số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2: loại nhanh theo hình thức, không cần tính gì.

Đáp số. B.

Sai lầm thường gặp. Chọn A hoặc D vì "đó cũng là đường thẳng" — đúng là đường thẳng nhưng không phải dạng tham số.

🚀 Mở rộng. Mọi hệ

{x = x_{0} + a t y = y_{0} + b t

với

a^{2} + b^{2} \neq = 0

đều là đường thẳng; nếu

a = b = 0

hệ chỉ còn một điểm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 7.27★Trang 58— Trắc nghiệm — nhận dạng phương trình tổng quát của đường thẳng

Bài 7.27 (trang 58). Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng?
A.

- x - 2 y + 3 = 0

.
B.

{x = 2 + t y = 3 - t

.
C.

y^{2} = 2 x

.
D.

\frac{x ^{2}}{10} + \frac{y ^{2}}{6} = 1

Kiến thức cần nhớ

Phương trình tổng quát của đường thẳng: $a x + b y + c = 0$ với $a^{2} + b^{2} \neq = 0$ ; vectơ pháp tuyến $n = (a; b)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình tổng quát có dạng

a x + b y + c = 0

với

a

b

không đồng thời bằng

0

. Hệ số âm vẫn hợp lệ — đó là bẫy khiến nhiều em ngại chọn A. C là parabol, D là elip.

1Cách 1. Đối chiếu dạng

a x + b y + c = 0

Định hướng. Đọc hệ số của A.

a = - 1

b = - 2

c = 3

;

a^{2} + b^{2} = 5 \neq = 0

Vậy chọn A.

2Cách 2. Loại trừ

Định hướng. Gạch các đáp án không phải dạng bậc nhất một phương trình.

B: dạng tham số
C:

y^{2} = 2 x

là parabol
D:

\frac{x ^{2}}{10} + \frac{y ^{2}}{6} = 1

là elip

Vậy còn lại A.

3Cách 3. Đưa B về dạng tổng quát để so

Định hướng. B cũng là đường thẳng nhưng viết dạng tham số; khử $t$ thấy rõ sự khác nhau về hình thức.

t = x - 2 \Rightarrow y = 3 - (x - 2) \Leftrightarrow x + y - 5 = 0

- x - 2 y + 3 = 0 \Leftrightarrow x + 2 y - 3 = 0

đã sẵn dạng tổng quát

Vậy chỉ A được viết ở dạng tổng quát; chọn A.

Nhận xét. Nhân hai vế với $- 1$ không đổi đường thẳng, nên hệ số âm không làm A mất tính "tổng quát".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: nhìn một lần là thấy đúng dạng

a x + b y + c = 0

Đáp số. A.

Sai lầm thường gặp. Nghĩ phương trình tổng quát phải có hệ số

a > 0

nên loại A; chọn B vì "cũng là đường thẳng".

🚀 Mở rộng. Đường thẳng

x + 2 y - 3 = 0

có vectơ pháp tuyến

(1; 2)

và vectơ chỉ phương

(2; - 1)

— thử viết phương trình tham số của nó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 7.28★Trang 58— Trắc nghiệm — nhận dạng phương trình đường tròn

Bài 7.28 (trang 58). Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?
A.

x^{2} - y^{2} = 1

.
B.

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = - 4

.
C.

x^{2} + y^{2} = 2

.
D.

y^{2} = 8 x

Kiến thức cần nhớ

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ ( $R > 0$ ) là đường tròn tâm $I (a; b)$ , bán kính $R$ .
$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là đường tròn khi và chỉ khi $a^{2} + b^{2} - c > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường tròn có dạng

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

với vế phải dương. Bẫy ở B: đúng hình thức nhưng vế phải âm nên không có điểm nào thoả mãn.

1Cách 1. Đối chiếu dạng chính tắc

Định hướng. Tìm đáp án có dạng tổng hai bình phương bằng một số dương.

(x - 0)^{2} + (y - 0)^{2} = (2)^{2}

tâm

O (0; 0)

R = 2 > 0

Vậy chọn C.

2Cách 2. Loại trừ từng đáp án

Định hướng. Xét vì sao các đáp án còn lại không phải đường tròn.

A: hiệu hai bình phương

\Rightarrow

hypebol
B:

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} \geq 0 > - 4

\Rightarrow

không có điểm nào
D:

y^{2} = 8 x

\Rightarrow

parabol

Vậy chọn C.

3Cách 3. Điều kiện

a^{2} + b^{2} - c > 0

Định hướng. Đưa về dạng khai triển rồi kiểm tra điều kiện.

x^{2} + y^{2} - 2 = 0

a = 0

b = 0

c = - 2

a^{2} + b^{2} - c = 2 > 0

x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 9 = 0

a = 1

b = 2

c = 9

a^{2} + b^{2} - c = - 4 < 0

Vậy chỉ C thoả mãn; chọn C.

Nhận xét. Điều kiện $a^{2} + b^{2} - c > 0$ chính là $R^{2} > 0$ — Cách 3 bắt được đáp án "đội lốt" như B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 kèm liếc nhanh vế phải: vừa nhận đúng dạng vừa tránh bẫy

R^{2} < 0

Đáp số. C.

Sai lầm thường gặp. Chọn B vì thấy đúng dạng

(x - a)^{2} + (y - b)^{2}

mà quên vế phải phải dương.

🚀 Mở rộng. Với giá trị nào của

m

thì

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = m

là đường tròn? (Đáp:

m > 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 7.29★Trang 58— Trắc nghiệm — nhận dạng phương trình chính tắc của elip

Bài 7.29 (trang 58). Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường elip?
A.

\frac{x ^{2}}{9} + \frac{y ^{2}}{9} = 1

.
B.

\frac{x ^{2}}{1} + \frac{y ^{2}}{6} = 1

.
C.

\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{1} = 1

.
D.

\frac{x ^{2}}{2} + \frac{y ^{2}}{1} = 1

Kiến thức cần nhớ

Elip chính tắc: $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ , $a > b > 0$ ; tiêu điểm $F_{1, 2} (\mp c; 0)$ với $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chính tắc của elip là

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

với điều kiện $a > b > 0$ : mẫu dưới

x^{2}

phải lớn hơn mẫu dưới

y^{2}

. Bẫy: A có hai mẫu bằng nhau (đường tròn), B có mẫu dưới

y^{2}

lớn hơn.

1Cách 1. Kiểm tra điều kiện

a > b > 0

Định hướng. Đọc $a^{2}$ , $b^{2}$ của các đáp án có dấu cộng.

a^{2} = 9 = b^{2}

\Rightarrow

không thoả

a > b

a^{2} = 1 < b^{2} = 6

\Rightarrow

không thoả
D:

a^{2} = 2 > b^{2} = 1 > 0

\Rightarrow

thoả

Vậy chọn D.

2Cách 2. Loại trừ theo loại đường

Định hướng. Nhận ra loại đường cong của từng phương trình.

x^{2} + y^{2} = 9

là đường tròn
C: dấu trừ

\Rightarrow

hypebol
B: elip có trục lớn nằm trên

O y

, không phải dạng chính tắc

Vậy còn lại D.

3Cách 3. Tính tiêu cự

Định hướng. Dạng chính tắc phải cho tiêu điểm nằm trên $O x$ , tức $c^{2} = a^{2} - b^{2} > 0$ .

c^{2} = 2 - 1 = 1 \Rightarrow F_{1} (- 1; 0)

F_{2} (1; 0)

c^{2} = 0

; B:

c^{2} = 1 - 6 = - 5 < 0

Vậy chỉ D có hai tiêu điểm trên $O x$ ; chọn D.

Nhận xét. Cách 3 giải thích vì sao cần $a > b$ : để tiêu điểm nằm trên trục hoành.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: chỉ so hai mẫu số là xong.

Đáp số. D.

Sai lầm thường gặp. Chọn B vì "có dạng tổng hai phân số bằng 1" mà quên điều kiện

a > b

🚀 Mở rộng. Elip

\frac{x ^{2}}{1} + \frac{y ^{2}}{6} = 1

có tiêu điểm

(0; \pm 5)

trên trục tung — đổi vai

x

y

sẽ được dạng chính tắc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 7.30★Trang 58— Trắc nghiệm — nhận dạng phương trình chính tắc của hypebol

Bài 7.30 (trang 58). Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hypebol?
A.

\frac{x ^{2}}{3} - \frac{y ^{2}}{2} = - 1

.
B.

\frac{x ^{2}}{1} - \frac{y ^{2}}{6} = 1

.
C.

\frac{x ^{2}}{6} + \frac{y ^{2}}{1} = 1

.
D.

\frac{x ^{2}}{2} + \frac{y ^{2}}{1} = - 1

Kiến thức cần nhớ

Hypebol chính tắc: $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ( $a, b > 0$ ), $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , tiêu điểm $(\pm c; 0)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hypebol chính tắc:

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

— dấu trừ và vế phải bằng 1, không đòi

a > b

. Bẫy ở A: có dấu trừ nhưng vế phải

- 1

1Cách 1. Đối chiếu dạng chuẩn

Định hướng. Tìm dạng hiệu hai phân số bằng $1$ .

a^{2} = 1

b^{2} = 6

, vế phải bằng

1

Vậy chọn B.

2Cách 2. Loại trừ

Định hướng. Xét các đáp án còn lại.

\frac{y ^{2}}{2} - \frac{x ^{2}}{3} = 1

là hypebol có tiêu điểm trên

O y

C: tổng

\Rightarrow

elip
D: vế trái

\geq 0 > - 1

\Rightarrow

không có điểm nào

Vậy chọn B.

3Cách 3. Kiểm tra giao với trục hoành

Định hướng. Hypebol chính tắc phải cắt $O x$ tại hai đỉnh $(\pm a; 0)$ .

y = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1

y = 0 \Rightarrow \frac{x ^{2}}{3} = - 1

, vô nghiệm

Vậy chỉ B có hai đỉnh trên $O x$ đúng kiểu hypebol chính tắc; chọn B.

Nhận xét. Hypebol không đòi $a > b$ : ở B có $a = 1 < b = 6$ vẫn là chính tắc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: dấu trừ và vế phải bằng 1 là đủ nhận dạng.

Đáp số. B.

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì thấy dấu trừ; hoặc loại B vì tưởng cần

a^{2} > b^{2}

như elip.

🚀 Mở rộng. Hypebol

\frac{x ^{2}}{1} - \frac{y ^{2}}{6} = 1

có

c = 7

, tiêu điểm

(\pm 7; 0)

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 7.31★Trang 58— Trắc nghiệm — nhận dạng phương trình chính tắc của parabol

Bài 7.31 (trang 58). Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol?
A.

x^{2} = 4 y

.
B.

x^{2} = - 6 y

.
C.

y^{2} = 4 x

.
D.

y^{2} = - 4 x

Kiến thức cần nhớ

Parabol chính tắc: $y^{2} = 2 p x$ ( $p > 0$ ), tiêu điểm $F (\frac{p}{2}; 0)$ , đường chuẩn $x = - \frac{p}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Parabol chính tắc là

y^{2} = 2 p x

với

p > 0

: bình phương ở

y

, vế phải là

x

với hệ số dương. A, B là parabol nhưng trục đối xứng là

O y

; D có

p

âm.

1Cách 1. Đối chiếu dạng

y^{2} = 2 p x

Định hướng. Tìm $p$ của từng đáp án có $y^{2}$ .

y^{2} = 4 x = 2 \cdot 2 \cdot x \Rightarrow p = 2 > 0

y^{2} = - 4 x \Rightarrow p = - 2 < 0

Vậy chọn C.

2Cách 2. Loại trừ theo trục đối xứng

Định hướng. Parabol chính tắc nhận $O x$ làm trục đối xứng và nằm bên phải trục tung.

A, B: dạng

x^{2} = k y

\Rightarrow

trục đối xứng

O y

y^{2} = - 4 x \geq 0 \Rightarrow x \leq 0

, nằm bên trái trục tung

Vậy chọn C.

3Cách 3. Định nghĩa tiêu điểm — đường chuẩn

Định hướng. Kiểm tra C là tập điểm cách đều $F (1; 0)$ và đường $x = - 1$ .

M F = ∣ x + 1∣ \Leftrightarrow (x - 1)^{2} + y^{2} = (x + 1)^{2}

\Leftrightarrow y^{2} = 4 x

Vậy C đúng là parabol tiêu điểm $F (1; 0)$ , đường chuẩn $x = - 1$ ở dạng chính tắc; chọn C.

Nhận xét. Cách 3 dựng lại chính tắc từ định nghĩa, giúp nhớ vì sao cần $p > 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: nhận

y^{2} = 2 p x

và kiểm tra

p > 0

Đáp số. C.

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì quen đồ thị

y = \frac{x ^{2}}{4}

ở chương hàm số bậc hai; chọn D vì quên

p > 0

🚀 Mở rộng. Parabol

y^{2} = 4 x

có

p = 2

, tiêu điểm

F (1; 0)

, đường chuẩn

x = - 1

; tổng quát

y^{2} = 2 p x

có tiêu điểm

(\frac{p}{2}; 0)

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 7.32★★Trang 58— Tính diện tích tam giác theo toạ độ ba đỉnh

Bài 7.32 (trang 58). Trong mặt phẳng toạ độ, cho

A (1; - 1)

B (3; 5)

C (- 2; 4)

. Tính diện tích tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

$d (M, Δ) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ .
$A B = (x_{1}; y_{1})$ , $A C = (x_{2}; y_{2})$ $\Rightarrow$ $S_{A B C} = \frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ .
$S = \frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot sin A$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biết toạ độ ba đỉnh, cách tự nhiên là lấy đáy

B C

và chiều cao là khoảng cách từ

A

tới đường thẳng

B C

. Nhanh hơn là dùng công thức

S = \frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣

với hai vectơ

A B

A C

. Bẫy: quên trị tuyệt đối hoặc quên nhân

\frac{1}{2}

1Cách 1. Đáy

B C

và chiều cao

d (A, B C)

Định hướng. Viết phương trình $B C$ , tính khoảng cách từ $A$ rồi nhân với độ dài $B C$ .

B C = (- 5; - 1) \Rightarrow n = (1; - 5)

B C : 1 (x - 3) - 5 (y - 5) = 0 \Leftrightarrow x - 5 y + 22 = 0

d (A, B C) = \frac{∣1 + 5 + 22∣}{1 + 25} = \frac{28}{26}

B C = 25 + 1 = 26

S = \frac{1}{2} \cdot 26 \cdot \frac{28}{26} = 14

Vậy $S_{A B C} = 14$ .

2Cách 2. Công thức

\frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣

Định hướng. Diện tích tam giác bằng nửa trị tuyệt đối "định thức" của hai vectơ cạnh chung đỉnh $A$ .

A B = (2; 6)

A C = (- 3; 5)

S = \frac{1}{2} ∣2 \cdot 5 - (- 3) \cdot 6∣ = \frac{1}{2} ∣10 + 18∣ = 14

Vậy $S_{A B C} = 14$ .

3Cách 3. Hình chữ nhật bao trừ ba tam giác vuông

Định hướng. Bao tam giác bằng hình chữ nhật có cạnh song song với các trục (hình bên), rồi trừ ba tam giác vuông ở góc.

Hình chữ nhật

[- 2; 3] \times [- 1; 5]

S_{1} = 5 \cdot 6 = 30

Tam giác vuông cạnh

A B

\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 6

Tam giác vuông cạnh

B C

\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 1 = 2, 5

Tam giác vuông cạnh

C A

\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = 7, 5

S = 30 - (6 + 2, 5 + 7, 5) = 30 - 16 = 14

Vậy $S_{A B C} = 14$ .

Nhận xét. Cách 3 không cần công thức khoảng cách, rất hợp khi toạ độ nguyên; Cách 2 là dạng "gói gọn" của chính phép trừ diện tích này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: hai dòng tính, không phải viết phương trình đường thẳng.

Đáp số.

S_{A B C} = 14

(đơn vị diện tích).

Sai lầm thường gặp. Quên

\frac{1}{2}

nên ra

28

; hoặc tính

x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} = 10 - 18 = - 8

(nhầm dấu trừ thành cộng) rồi được

S = 4

🚀 Mở rộng. Ba điểm

A

B

C

thẳng hàng khi và chỉ khi

x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} = 0

— công thức diện tích cho luôn tiêu chuẩn thẳng hàng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 7.33★★Trang 58— Đường tròn qua điểm, đường thẳng qua hai điểm, đường tròn tiếp xúc đường thẳng

Bài 7.33 (trang 58). Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai điểm

A (- 1; 0)

và

B (3; 1)

.
a) Viết phương trình đường tròn tâm

A

và đi qua

B

.
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

A B

.
c) Viết phương trình đường tròn tâm

O

và tiếp xúc với đường thẳng

A B

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn tâm $I (a; b)$ bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .
Đường thẳng qua $M (x_{0}; y_{0})$ , pháp tuyến $(a; b)$ : $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$ .
Đường tròn tâm $I$ tiếp xúc $Δ$ $\Leftrightarrow$ $R = d (I, Δ)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a: bán kính chính là

A B

. Câu b:

A B

là vectơ chỉ phương, đổi thành vectơ pháp tuyến. Câu c: đường tròn tâm

O

tiếp xúc

A B

nên bán kính bằng

d (O, A B)

— kết quả câu b dùng ngay. Bẫy: viết

R = A B^{2}

hay quên bình phương bán kính ở câu c.

1Cách 1. Công thức trực tiếp

Định hướng. Lần lượt dùng $R = A B$ , vectơ pháp tuyến vuông góc $A B$ , và $R = d (O, A B)$ .

A B^{2} = (3 + 1)^{2} + (1 - 0)^{2} = 17 \Rightarrow (x + 1)^{2} + y^{2} = 17

A B = (4; 1) \Rightarrow n = (1; - 4)

A B : 1 (x + 1) - 4 (y - 0) = 0 \Leftrightarrow x - 4 y + 1 = 0

R = d (O, A B) = \frac{∣0 - 0 + 1∣}{1 + 16} = \frac{1}{17}

x^{2} + y^{2} = \frac{1}{17}

Vậy a) $(x + 1)^{2} + y^{2} = 17$ ; b) $x - 4 y + 1 = 0$ ; c) $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{17}$ .

2Cách 2. Dạng khai triển và phương trình qua hai điểm

Định hướng. a) Đường tròn tâm $A$ có dạng $x^{2} + y^{2} + 2 x + c = 0$ , thay $B$ tìm $c$ . b) Dùng tỉ lệ toạ độ. c) Tìm chân đường vuông góc $H$ từ $O$ .

9 + 1 + 6 + c = 0 \Rightarrow c = - 16 \Rightarrow x^{2} + y^{2} + 2 x - 16 = 0

\frac{x + 1}{4} = \frac{y - 0}{1} \Leftrightarrow x + 1 = 4 y \Leftrightarrow x - 4 y + 1 = 0

O H = t (1; - 4) \Rightarrow H (t; - 4 t)

;

H \in A B

t + 16 t + 1 = 0 \Rightarrow t = - \frac{1}{17}

H (- \frac{1}{17}; \frac{4}{17})

O H^{2} = \frac{1 + 16}{289} = \frac{1}{17}

Vậy a) $x^{2} + y^{2} + 2 x - 16 = 0$ (tức $(x + 1)^{2} + y^{2} = 17$ ); b) $x - 4 y + 1 = 0$ ; c) $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{17}$ .

3Cách 3. Diện tích tam giác

O A B

cho bán kính

Định hướng. Bán kính ở câu c là đường cao hạ từ $O$ của tam giác $O A B$ , tính qua diện tích; câu b dùng hệ số góc.

k = \frac{1 - 0}{3 + 1} = \frac{1}{4} \Rightarrow y = \frac{1}{4} (x + 1) \Leftrightarrow x - 4 y + 1 = 0

S_{O A B} = \frac{1}{2} ∣ (- 1) \cdot 1 - 3 \cdot 0∣ = \frac{1}{2}

R = \frac{2 S _{O A B}}{A B} = \frac{1}{17} \Rightarrow R^{2} = \frac{1}{17}

M (x; y)

thuộc đường tròn

\Leftrightarrow A M = A B \Leftrightarrow (x + 1)^{2} + y^{2} = 17

Vậy a) $(x + 1)^{2} + y^{2} = 17$ ; b) $x - 4 y + 1 = 0$ ; c) $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{17}$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy khoảng cách từ điểm tới đường thẳng chính là "chiều cao" trong công thức diện tích — hai kiến thức nối nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba công thức chuẩn, mỗi câu một hai dòng.

Đáp số. a)

(x + 1)^{2} + y^{2} = 17

; b)

x - 4 y + 1 = 0

; c)

x^{2} + y^{2} = \frac{1}{17}

Sai lầm thường gặp. Viết

(x - 1)^{2} + y^{2} = 17

(sai dấu toạ độ tâm); ở câu c viết

x^{2} + y^{2} = \frac{1}{17}

(quên bình phương bán kính); dùng

A B = (4; 1)

làm vectơ pháp tuyến.

🚀 Mở rộng. Đường tròn tâm

O

bán kính

R

cắt đường thẳng

A B

tại hai điểm khi

R > \frac{1}{17}

, không cắt khi

R < \frac{1}{17}

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 7.34★★Trang 58— Tâm, bán kính đường tròn dạng khai triển; tiếp tuyến tại một điểm

Bài 7.34 (trang 58). Cho đường tròn

(C)

có phương trình

x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0

.
a) Tìm toạ độ tâm

I

và bán kính

R

của

(C)

.
b) Chứng minh rằng điểm

M (5; 1)

thuộc

(C)

. Viết phương trình tiếp tuyến

d

của

(C)

tại

M

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ có tâm $I (a; b)$ , $R = a^{2} + b^{2} - c$ .
Tiếp tuyến tại $M$ nhận $I M$ làm vectơ pháp tuyến.

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình dạng

x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0

: đọc

a

b

bằng cách chia hệ số của

x

y

cho

- 2

. Tiếp tuyến tại

M

vuông góc bán kính

I M

, nên

I M

là vectơ pháp tuyến. Bẫy: lấy nhầm dấu tâm thành

(- 2; 3)

1Cách 1. Đọc hệ số và vectơ pháp tuyến

I M

Định hướng. Dùng công thức tâm – bán kính, rồi tiếp tuyến vuông góc với $I M$ .

- 2 a = - 4

- 2 b = 6

c = - 12 \Rightarrow a = 2

b = - 3

R = 4 + 9 + 12 = 25 = 5

5^{2} + 1^{2} - 4 \cdot 5 + 6 \cdot 1 - 12 = 25 + 1 - 20 + 6 - 12 = 0 \Rightarrow M \in (C)

I M = (3; 4)

d : 3 (x - 5) + 4 (y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3 x + 4 y - 19 = 0

Vậy $I (2; - 3)$ , $R = 5$ ; tiếp tuyến $d : 3 x + 4 y - 19 = 0$ .

2Cách 2. Thêm bớt thành bình phương; điều kiện khoảng cách

Định hướng. a) Gom thành tổng hai bình phương. b) Viết đường qua $M$ có pháp tuyến $(p; q)$ rồi ép $d (I, d) = R$ .

(x^{2} - 4 x + 4) + (y^{2} + 6 y + 9) = 12 + 4 + 9 \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 25

I M^{2} = 9 + 16 = 25 = R^{2} \Rightarrow M \in (C)

d : p (x - 5) + q (y - 1) = 0

d (I, d) = \frac{∣ - 3 p - 4 q ∣}{p ^{2} + q ^{2}} = 5

(3 p + 4 q)^{2} = 25 (p^{2} + q^{2}) \Leftrightarrow 16 p^{2} - 24 pq + 9 q^{2} = 0 \Leftrightarrow (4 p - 3 q)^{2} = 0

p = 3

q = 4 \Rightarrow d : 3 x + 4 y - 19 = 0

Vậy $I (2; - 3)$ , $R = 5$ ; tiếp tuyến $d : 3 x + 4 y - 19 = 0$ .

3Cách 3. Tâm là giao hai trung trực dây cung; "tách đôi" toạ độ

Định hướng. a) Cắt $(C)$ với hai trục để có hai dây, trung điểm dây cho toạ độ tâm. b) Dùng quy tắc thay $x^{2} \to x_{0} x$ , $x \to \frac{x + x _{0}}{2}$ cho điểm trên đường tròn.

y = 0

x^{2} - 4 x - 12 = 0 \Rightarrow x = 6

hoặc

x = - 2 \Rightarrow

hoành độ tâm

\frac{6 - 2}{2} = 2

x = 0

y^{2} + 6 y - 12 = 0 \Rightarrow y_{1} + y_{2} = - 6 \Rightarrow

tung độ tâm

- 3

R = I P

với

P (6; 0)

R = 16 + 9 = 5

5 x + 1 \cdot y - 2 (x + 5) + 3 (y + 1) - 12 = 0

\Leftrightarrow 3 x + 4 y - 19 = 0

Vậy $I (2; - 3)$ , $R = 5$ ; tiếp tuyến $d : 3 x + 4 y - 19 = 0$ .

Nhận xét. Quy tắc "tách đôi" chỉ đúng khi $M$ nằm trên đường tròn; Cách 1 là cách chính, Cách 3 dùng để kiểm tra nhanh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc tâm trong một dòng, tiếp tuyến chỉ cần

I M

Đáp số. a)

I (2; - 3)

R = 5

. b)

M \in (C)

;

d : 3 x + 4 y - 19 = 0

Sai lầm thường gặp. Lấy tâm

(- 2; 3)

(quên chia cho

- 2

); tính

R = 4 + 9 - 12 = 1

(sai dấu

c

); dùng

I M

làm vectơ chỉ phương nên ra đường thẳng

I M

thay vì tiếp tuyến.

🚀 Mở rộng. Tiếp tuyến của

(C)

song song với

d

còn có thêm

3 x + 4 y + 31 = 0

, tiếp xúc tại điểm đối xứng của

M

qua

I

là

(- 1; - 7)

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 7.35★★★Trang 59— Đỉnh, trục lớn, trục nhỏ của elip; bất đẳng thức khoảng cách tới tâm

Bài 7.35 (trang 59). Cho elip

(E)

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

(a > b > 0)

.
a) Tìm các giao điểm

A_{1}

A_{2}

của

(E)

với trục hoành và các giao điểm

B_{1}

B_{2}

của

(E)

với trục tung. Tính

A_{1} A_{2}

B_{1} B_{2}

.
b) Xét một điểm bất kì

M (x_{0}; y_{0})

thuộc

(E)

. Chứng minh rằng,

b^{2} \leq x_{0}^{2} + y_{0}^{2} \leq a^{2}

và

b \leq O M \leq a

.
Chú ý.

A_{1} A_{2}

B_{1} B_{2}

tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip

(E)

và tương ứng có độ dài là

2 a

2 b

Kiến thức cần nhớ

Elip $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ có bốn đỉnh $(\pm a; 0)$ , $(0; \pm b)$ ; trục lớn $2 a$ , trục nhỏ $2 b$ .
$O M = x_{0}^{2} + y_{0}^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a chỉ cần cho

y = 0

rồi

x = 0

. Câu b:

O M^{2} = x_{0}^{2} + y_{0}^{2}

, trong khi điều kiện là

\frac{x _{0}^{2}}{a ^{2}} + \frac{y _{0}^{2}}{b ^{2}} = 1

— cần so sánh hai tổng này nhờ

b^{2} \leq a^{2}

. Bẫy: chứng minh một chiều rồi quên chiều còn lại.

1Cách 1. Chặn trên, chặn dưới từng hạng tử

Định hướng. Vì $b^{2} \leq a^{2}$ nên có thể thay mẫu để so sánh với biểu thức bằng $1$ .

y = 0 \Rightarrow x^{2} = a^{2} \Rightarrow A_{1} (- a; 0)

A_{2} (a; 0)

A_{1} A_{2} = 2 a

x = 0 \Rightarrow y^{2} = b^{2} \Rightarrow B_{1} (0; - b)

B_{2} (0; b)

B_{1} B_{2} = 2 b

\frac{x _{0}^{2}}{a ^{2}} + \frac{y _{0}^{2}}{a ^{2}} \leq \frac{x _{0}^{2}}{a ^{2}} + \frac{y _{0}^{2}}{b ^{2}} = 1 \Rightarrow x_{0}^{2} + y_{0}^{2} \leq a^{2}

\frac{x _{0}^{2}}{b ^{2}} + \frac{y _{0}^{2}}{b ^{2}} \geq \frac{x _{0}^{2}}{a ^{2}} + \frac{y _{0}^{2}}{b ^{2}} = 1 \Rightarrow x_{0}^{2} + y_{0}^{2} \geq b^{2}

b^{2} \leq O M^{2} \leq a^{2} \Rightarrow b \leq O M \leq a

Vậy $A_{1} A_{2} = 2 a$ , $B_{1} B_{2} = 2 b$ và $b \leq O M \leq a$ với mọi $M \in (E)$ .

2Cách 2. Thế

y_{0}^{2}

theo

x_{0}^{2}

Định hướng. Rút $y_{0}^{2}$ từ phương trình elip để $O M^{2}$ chỉ còn một biến $x_{0}^{2} \in [0; a^{2}]$ .

y_{0}^{2} = b^{2} - \frac{b ^{2}}{a ^{2}} x_{0}^{2}

x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = b^{2} + x_{0}^{2} (1 - \frac{b ^{2}}{a ^{2}}) = b^{2} + \frac{c ^{2}}{a ^{2}} x_{0}^{2}

với

c^{2} = a^{2} - b^{2} \geq 0

0 \leq x_{0}^{2} \leq a^{2} \Rightarrow b^{2} \leq x_{0}^{2} + y_{0}^{2} \leq b^{2} + c^{2} = a^{2}

Dấu bằng:

O M = b

tại

B_{1}

B_{2}

;

O M = a

tại

A_{1}

A_{2}

Vậy $b \leq O M \leq a$ ; nhỏ nhất tại hai đỉnh trục nhỏ, lớn nhất tại hai đỉnh trục lớn.

3Cách 3. Trung bình có trọng số

Định hướng. Đặt $u = \frac{x _{0}^{2}}{a ^{2}}$ , $v = \frac{y _{0}^{2}}{b ^{2}}$ thì $u, v \geq 0$ , $u + v = 1$ ; $O M^{2}$ là "trung bình có trọng số" của $a^{2}$ và $b^{2}$ .

O M^{2} = x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = a^{2} u + b^{2} v

a^{2} u + b^{2} v \leq a^{2} u + a^{2} v = a^{2} (u + v) = a^{2}

a^{2} u + b^{2} v \geq b^{2} u + b^{2} v = b^{2} (u + v) = b^{2}

Vậy $b^{2} \leq O M^{2} \leq a^{2}$ , tức $b \leq O M \leq a$ .

Nhận xét. Hình vẽ minh hoạ: elip luôn nằm giữa đường tròn tâm $O$ bán kính $b$ và đường tròn tâm $O$ bán kính $a$ (hình minh hoạ lấy $a = 3$ , $b = 2$ ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một phép thế cho cả hai chiều và chỉ luôn vị trí dấu bằng.

Đáp số. a)

A_{1} (- a; 0)

A_{2} (a; 0)

B_{1} (0; - b)

B_{2} (0; b)

;

A_{1} A_{2} = 2 a

B_{1} B_{2} = 2 b

. b)

b^{2} \leq x_{0}^{2} + y_{0}^{2} \leq a^{2}

b \leq O M \leq a

Sai lầm thường gặp. Viết

A_{1} A_{2} = a

(quên hai đỉnh đối xứng); ở câu b chỉ chứng minh

O M \leq a

mà bỏ chiều

O M \geq b

; hoặc dùng

\frac{x _{0}^{2}}{a ^{2}} \leq 1

rồi kết luận

x_{0}^{2} + y_{0}^{2} \leq a^{2} + b^{2}

(chặn quá thô).

🚀 Mở rộng. Với

M \in (E)

và tiêu điểm

F_{1} (- c; 0)

, ta có

M F_{1} = a + \frac{c}{a} x_{0}

nên

a - c \leq M F_{1} \leq a + c

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 7.36★★★Trang 59— Đỉnh và hai nhánh của hypebol; khoảng cách nhỏ nhất giữa hai nhánh

Bài 7.36 (trang 59). Cho hypebol có phương trình:

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

.
a) Tìm các giao điểm

A_{1}

A_{2}

của hypebol với trục hoành (hoành độ của

A_{1}

nhỏ hơn của

A_{2}

).
b) Chứng minh rằng, nếu điểm

M (x; y)

thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì

x \leq - a

, nếu điểm

M (x; y)

thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì

x \geq a

.
c) Tìm các điểm

M_{1}

M_{2}

tương ứng thuộc các nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để

M_{1} M_{2}

nhỏ nhất.

Kiến thức cần nhớ

Hypebol $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ có hai đỉnh $A_{1} (- a; 0)$ , $A_{2} (a; 0)$ ; mọi điểm thoả $∣ x ∣ \geq a$ .
$M_{1} M_{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} \geq ∣ x_{2} - x_{1} ∣$ .

🧠 Phân tích tư duy

Từ phương trình,

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} = 1 + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} \geq 1

nên

∣ x ∣ \geq a

: hypebol không có điểm nào trong dải

- a < x < a

. Hai điểm ở hai nhánh vì thế luôn cách nhau ít nhất bề rộng dải là

2 a

. Bẫy câu c: tưởng phải khảo sát hàm hai biến; thật ra chỉ cần

M_{1} M_{2} \geq ∣ x_{2} - x_{1} ∣

1Cách 1. Bình phương khoảng cách

Định hướng. a) Cho $y = 0$ . b) So $\frac{x ^{2}}{a ^{2}}$ với $1$ . c) Bỏ bớt số hạng không âm $(y_{2} - y_{1})^{2}$ .

y = 0 \Rightarrow x^{2} = a^{2} \Rightarrow A_{1} (- a; 0)

A_{2} (a; 0)

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} = 1 + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} \geq 1 \Rightarrow x^{2} \geq a^{2} \Rightarrow ∣ x ∣ \geq a

nhánh trái

x < 0 \Rightarrow x \leq - a

; nhánh phải

x > 0 \Rightarrow x \geq a

x_{1} \leq - a

x_{2} \geq a \Rightarrow x_{2} - x_{1} \geq 2 a > 0

M_{1} M_{2}^{2} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} \geq (x_{2} - x_{1})^{2} \geq 4 a^{2}

Dấu bằng

\Leftrightarrow x_{1} = - a

x_{2} = a

y_{1} = y_{2} \Leftrightarrow M_{1} \equiv A_{1}

M_{2} \equiv A_{2}

Vậy $M_{1} M_{2}$ nhỏ nhất bằng $2 a$ khi $M_{1} = A_{1} (- a; 0)$ , $M_{2} = A_{2} (a; 0)$ .

2Cách 2. Hình học — hai nhánh nằm ngoài một dải

Định hướng. Theo câu b, nhánh trái nằm bên trái đường $x = - a$ , nhánh phải nằm bên phải đường $x = a$ ; đoạn $M_{1} M_{2}$ phải băng qua cả dải rộng $2 a$ (hình bên).

Gọi

K_{1}

K_{2}

là hình chiếu của

M_{1}

M_{2}

lên

O x

M_{1} M_{2} \geq K_{1} K_{2} = x_{2} - x_{1} \geq a - (- a) = 2 a

A_{1} A_{2} = 2 a

và

A_{1}

A_{2}

thuộc hai nhánh

Vậy giá trị nhỏ nhất của $M_{1} M_{2}$ là $2 a$ , đạt khi $M_{1} = A_{1} (- a; 0)$ , $M_{2} = A_{2} (a; 0)$ .

3Cách 3. Tích vô hướng với vectơ đơn vị

i

Định hướng. Độ dài một vectơ không nhỏ hơn trị tuyệt đối tích vô hướng của nó với vectơ đơn vị.

i = (1; 0)

∣ i ∣ = 1

M_{1} M_{2} = ∣ M_{1} M_{2} ∣ \cdot ∣ i ∣ \geq ∣ M_{1} M_{2} \cdot i ∣ = ∣ x_{2} - x_{1} ∣

∣ x_{2} - x_{1} ∣ = x_{2} - x_{1} \geq a + a = 2 a

Dấu bằng khi

M_{1} M_{2}

cùng phương

i

và

x_{1} = - a

x_{2} = a

Vậy $min M_{1} M_{2} = 2 a$ tại $M_{1} = A_{1} (- a; 0)$ , $M_{2} = A_{2} (a; 0)$ .

Nhận xét. Hình minh hoạ lấy $a = 2$ , $b = 1, 5$ ; kết luận đúng với mọi $a, b > 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gọn, chặt chẽ và chỉ rõ điều kiện xảy ra dấu bằng.

Đáp số. a)

A_{1} (- a; 0)

A_{2} (a; 0)

. b) Nhánh trái

x \leq - a

, nhánh phải

x \geq a

. c)

M_{1} = A_{1} (- a; 0)

M_{2} = A_{2} (a; 0)

M_{1} M_{2}

nhỏ nhất bằng

2 a

Sai lầm thường gặp. Từ

x^{2} \geq a^{2}

suy ra ngay

x \geq a

(quên trường hợp

x \leq - a

); ở câu c chỉ nêu giá trị

2 a

mà không chỉ ra điểm đạt, hoặc không chứng minh

M_{1} M_{2} \geq 2 a

với mọi cặp điểm.

🚀 Mở rộng. Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm trên cùng một nhánh không tồn tại (có thể gần nhau tuỳ ý) — hãy so với kết quả hai nhánh.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 7.37★★★Trang 59— Bài toán thực tế — lập phương trình hypebol từ kích thước

Bài 7.37 (trang 59). Một cột trụ hình hypebol (H.7.36), có chiều cao 6 m, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng 0,8 m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1m. Tính độ rộng của cột ở độ cao 5 m (tính theo đơn vị mét và làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy).

Kiến thức cần nhớ

Hypebol $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ cắt đường $y = y_{0}$ tại $x = \pm a 1 + \frac{y _{0}^{2}}{b ^{2}}$ .
Độ rộng tại độ cao đó là $2∣ x ∣$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đặt gốc toạ độ tại chính giữa cột,

O x

nằm ngang,

O y

thẳng đứng: mép cột là hypebol

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

với

2 a = 0, 8

. Điểm mép đỉnh

(0, 5; 3)

cho

b

. Bẫy: độ cao 5 m tính từ đáy ứng với

y = 5 - 3 = 2

, không phải

y = 5

; và độ rộng là

2 x

chứ không phải

x

1Cách 1. Lập phương trình hypebol

Định hướng. Tìm $a$ từ chỗ hẹp nhất, $b$ từ mép đỉnh cột, rồi thay $y = 2$ .

2 a = 0, 8 \Rightarrow a = 0, 4

a^{2} = 0, 16

(0, 5; 3) \in (H)

\frac{0 , 25}{0 , 16} - \frac{9}{b ^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{9}{b ^{2}} = 0, 5625 \Rightarrow b^{2} = 16

(H) : \frac{x ^{2}}{0 , 16} - \frac{y ^{2}}{16} = 1

y = 5 - 3 = 2

\frac{x ^{2}}{0 , 16} = 1 + \frac{4}{16} = 1, 25 \Rightarrow x^{2} = 0, 2 \Rightarrow x = 0, 2

2 x = 2 0, 2 \approx 0, 894

Vậy độ rộng của cột ở độ cao 5 m khoảng $0, 89$ m.

2Cách 2. Tỉ lệ — không cần tìm

b

Định hướng. Viết $(\frac{x}{a})^{2} - 1 = \frac{y ^{2}}{b ^{2}}$ : vế phải tỉ lệ với $y^{2}$ , nên chỉ cần so với số liệu ở đỉnh cột.

Đỉnh cột:

(\frac{0 , 5}{0 , 4})^{2} - 1 = 0, 5625

ứng với

y^{2} = 9

Độ cao 5 m:

(\frac{x}{0 , 4})^{2} - 1 = 0, 5625 \cdot \frac{4}{9} = 0, 25

\frac{x}{0 , 4} = 1, 25 \Rightarrow x = 0, 4 1, 25 = 0, 2

2 x \approx 0, 894

Vậy độ rộng khoảng $0, 89$ m.

3Cách 3. Phương trình cho thẳng độ rộng

W

Định hướng. Thay $x = \frac{W}{2}$ để có quan hệ trực tiếp giữa độ rộng $W$ và độ cao $y$ so với tâm.

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} = \frac{W ^{2}}{( 2 a ) ^{2}} = \frac{W ^{2}}{0 , 64}

Đỉnh cột

W = 1

y = 3

\frac{1}{0 , 64} - \frac{9}{b ^{2}} = 1 \Rightarrow b^{2} = 16

\frac{W ^{2}}{0 , 64} - \frac{y ^{2}}{16} = 1

y = 2

W^{2} = 0, 64 \cdot 1, 25 = 0, 8 \Rightarrow W = 0, 8 \approx 0, 894

Vậy độ rộng khoảng $0, 89$ m.

Nhận xét. Độ cao 5 m và độ cao 1 m (tính từ đáy) cách tâm cùng 2 m nên cột có cùng độ rộng $\approx 0, 89$ m ở hai độ cao này — do tính đối xứng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập đúng phương trình là chắc điểm; Cách 2 dùng để bấm kiểm tra nhanh.

Đáp số. Khoảng

0, 89

m (

2 0, 2 \approx 0, 894

m).

Sai lầm thường gặp. Thay

y = 5

(quên dời gốc về giữa cột) ra độ rộng

\approx 1, 28

m, lớn hơn cả đỉnh cột — vô lí; hoặc trả lời

x \approx 0, 45

m (chỉ là nửa độ rộng).

🚀 Mở rộng. Độ rộng tại độ cao

h

(m, tính từ đáy) là

W (h) = 0, 8 1 + \frac{( h - 3 ) ^{2}}{16}

; thử kiểm tra

W (0) = W (6) = 1

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 22. Ba đường conic Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 10

📚 Cùng chương: Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài 19. Phương trình đường thẳng
Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách
Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ
Bài 22. Ba đường conic
▶ Bài tập cuối chương VII