Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài 22. Ba đường conic

SGK Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 22 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngVII #SGK_Tập2 #trang48–56 #CùngBàiBênSBT #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 48— Nhận biết elip bằng hình học (vẽ bằng sợi dây)

HĐ1 (trang 48). Đính hai đầu của một sợi dây không đàn hồi vào hai vị trí cố định

F_{1}, F_{2}

trên một mặt bàn (độ dài sợi dây lớn hơn khoảng cách giữa hai điểm

F_{1}

F_{2}

). Kéo căng sợi dây tại một điểm

M

bởi một đầu bút dạ (hoặc phấn). Di chuyển đầu bút dạ để nó vẽ trên mặt bàn một đường khép kín (H.7.18).
a) Đường vừa nhận được có liên hệ với hình ảnh nào ở Hình 7.17?
b) Trong quá trình đầu bút di chuyển để vẽ nên đường nói trên, tổng các khoảng cách từ nó tới các vị trí

F_{1}

F_{2}

có thay đổi không? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Elip: tập hợp điểm $M$ với $M F_{1} + M F_{2} = 2 a$ , trong đó $F_{1} F_{2} = 2 c$ và $a > c > 0$ .
Sợi dây không đàn hồi có độ dài không đổi.

🧠 Phân tích tư duy

Sợi dây luôn căng nên nó gồm đúng hai đoạn thẳng

M F_{1}

và

M F_{2}

— đây là mấu chốt của câu b. Câu a chỉ cần so hình dạng: đường khép kín, thuôn đều, đối xứng — giống mặt bàn bida ở Hình 7.17b. Bẫy: nghĩ tổng thay đổi vì từng đoạn

M F_{1}

M F_{2}

đều thay đổi.

1Cách 1. Đọc hình và dùng độ dài sợi dây.

Định hướng. So đường vẽ được với ba ảnh; với câu b, gọi $ℓ$ là độ dài sợi dây.

a) Đường khép kín, bầu dục

\Rightarrow

ứng với mặt bàn bida Hình 7.17b
b) Dây căng tại

M

\Rightarrow

dây

= M F_{1} + M F_{2}

M F_{1} + M F_{2} = ℓ

(không đổi)

Vậy a) đường đó giống mặt bàn bida hình elip (Hình 7.17b); b) tổng $M F_{1} + M F_{2}$ không thay đổi, luôn bằng độ dài sợi dây.

2Cách 2. Lập luận phản chứng.

Định hướng. Giả sử tổng thay đổi tại hai vị trí $M$ , $M^{'}$ rồi chỉ ra điều vô lí với dây không đàn hồi, luôn căng.

Giả sử

M F_{1} + M F_{2} \neq = M^{'} F_{1} + M^{'} F_{2}

Dây căng tại

M

ℓ = M F_{1} + M F_{2}

; dây căng tại

M^{'}

ℓ = M^{'} F_{1} + M^{'} F_{2}

\Rightarrow ℓ \neq = ℓ

(vô lí)

Vậy tổng khoảng cách từ đầu bút tới $F_{1}$ , $F_{2}$ không đổi; đường vẽ được là elip, ứng với Hình 7.17b.

3Cách 3. Kiểm chứng bằng số đo cụ thể.

Định hướng. Lấy ví dụ $F_{1} F_{2} = 6$ cm, dây dài $10$ cm, đo ở hai vị trí đặc biệt của đầu bút.

Đầu bút trên đường thẳng

F_{1} F_{2}

, ngoài

F_{2}

M F_{1} = 8

M F_{2} = 2

, tổng

= 10

Đầu bút trên trung trực của

F_{1} F_{2}

M F_{1} = M F_{2} = 5

, tổng

= 10

Mọi vị trí khác: tổng vẫn là độ dài dây

= 10

Vậy tổng không đổi (bằng $10$ cm trong ví dụ); đường vẽ được là elip như Hình 7.17b.

Nhận xét. Tính chất “tổng hai khoảng cách tới hai điểm cố định không đổi” chính là định nghĩa elip ngay sau hoạt động này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là đủ khi trả lời: một câu nhận dạng hình, một câu chỉ ra tổng bằng độ dài dây.

Đáp số. a) Hình 7.17b (bàn bida hình elip). b) Không đổi, luôn bằng độ dài sợi dây.

Sai lầm thường gặp. Chọn Hình 7.17a (tia nước phun) — đó là parabol, là đường không khép kín. Hoặc cho rằng tổng thay đổi vì

M F_{1}

tăng; thật ra khi

M F_{1}

tăng thì

M F_{2}

giảm đúng bấy nhiêu.

🚀 Mở rộng. Nếu dây dài đúng bằng

F_{1} F_{2}

thì đầu bút chỉ chạy trên đoạn

F_{1} F_{2}

— vì sao định nghĩa elip cần điều kiện dây dài hơn

F_{1} F_{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu hỏi (trang 49)★★Trang 49— Giải thích điều kiện trong định nghĩa elip

Câu hỏi (trang 49). Tại sao trong định nghĩa elip cần điều kiện

a > c

Kiến thức cần nhớ

Elip: tập hợp điểm $M$ với $M F_{1} + M F_{2} = 2 a$ , trong đó $F_{1} F_{2} = 2 c$ và $a > c > 0$ .
Bất đẳng thức tam giác: $M F_{1} - M F_{2} \leq F_{1} F_{2} \leq M F_{1} + M F_{2}$ , dấu bằng khi $M$ thuộc đường thẳng $F_{1} F_{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điều kiện

a > c

tương đương

2 a > F_{1} F_{2}

, nên công cụ tự nhiên là bất đẳng thức tam giác cho tam giác

M F_{1} F_{2}

. Cần xét đủ ba khả năng

a < c

a = c

a > c

để thấy chỉ trường hợp cuối cho một đường cong.

1Cách 1. Bất đẳng thức tam giác, xét ba trường hợp.

Định hướng. Với mọi điểm $M$ luôn có $M F_{1} + M F_{2} \geq F_{1} F_{2} = 2 c$ .

a < c

M F_{1} + M F_{2} = 2 a < 2 c \leq M F_{1} + M F_{2}

(vô lí)

\Rightarrow

không có điểm

M

nào

a = c

M F_{1} + M F_{2} = F_{1} F_{2}

\Leftrightarrow M

thuộc đoạn

F_{1} F_{2}

\Rightarrow

tập hợp là đoạn thẳng

a > c

: có vô số điểm

M

không thẳng hàng với

F_{1}, F_{2}

tạo thành đường cong khép kín

Vậy cần $a > c$ để tập hợp điểm là một đường cong thực sự (không rỗng, không suy biến thành đoạn $F_{1} F_{2}$ ).

2Cách 2. Nhìn qua phương trình chính tắc.

Định hướng. Đại lượng $b = a^{2} - c^{2}$ xuất hiện trong phương trình chính tắc chỉ có nghĩa và dương khi $a > c$ .

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

với

b^{2} = a^{2} - c^{2}

a = c \Rightarrow b = 0

: phương trình (1) cho

y = 0

- c \leq x \leq c

(đoạn

F_{1} F_{2}

)

a < c \Rightarrow b^{2} < 0

: không có

b

thực

Vậy chỉ khi $a > c$ mới có $b > 0$ và phương trình elip.

3Cách 3. Mô hình sợi dây ở HĐ1.

Định hướng. $2 a$ chính là độ dài sợi dây, $2 c$ là khoảng cách hai chiếc đinh.

Dây ngắn hơn

F_{1} F_{2}

(

2 a < 2 c

): không buộc được hai đầu vào

F_{1}

F_{2}

Dây vừa bằng

F_{1} F_{2}

(

2 a = 2 c

): dây căng thẳng, bút chỉ trượt trên đoạn

F_{1} F_{2}

Dây dài hơn

F_{1} F_{2}

(

2 a > 2 c

): bút vẽ được đường khép kín

Vậy điều kiện $a > c$ ứng với sợi dây dài hơn khoảng cách hai tiêu điểm — điều kiện đã nêu trong HĐ1.

Nhận xét. Ba cách nhìn cùng một sự thật: tổng hai cạnh tam giác lớn hơn cạnh thứ ba.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 chặt chẽ và ngắn, nên dùng khi trình bày; Cách 3 giúp nhớ lâu.

Đáp số. Vì

M F_{1} + M F_{2} \geq F_{1} F_{2}

: nếu

a < c

thì không có điểm nào, nếu

a = c

thì chỉ được đoạn

F_{1} F_{2}

; cần

a > c

mới được đường elip.

Sai lầm thường gặp. Chỉ nói “vì

a < c

thì không có điểm” mà bỏ quên trường hợp

a = c

(tập hợp khác rỗng nhưng là đoạn thẳng, không phải elip).

🚀 Mở rộng. Với hypebol, điều kiện lật ngược thành

a < c

— hãy thử giải thích bằng bất đẳng thức

∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ \leq F_{1} F_{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★★Trang 49— Ứng dụng định nghĩa elip

Luyện tập 1 (trang 49). Trên bàn bida hình elip có một lỗ thu bi tại một tiêu điểm (H.7.20). Nếu gậy chơi tác động đủ mạnh vào một bi đặt tại tiêu điểm còn lại của bàn, thì sau khi va vào thành bàn, bi sẽ bật lại và chạy về lỗ thu (bỏ qua các tác động phụ). Hỏi độ dài quãng đường bi lăn từ điểm xuất phát tới lỗ thu có phụ thuộc vào đường đi của bi hay không? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Elip: tập hợp điểm $M$ với $M F_{1} + M F_{2} = 2 a$ , trong đó $F_{1} F_{2} = 2 c$ và $a > c > 0$ .
Tia phát ra từ một tiêu điểm của elip phản xạ trên elip sẽ đi qua tiêu điểm còn lại.

🧠 Phân tích tư duy

Quãng đường gồm hai đoạn: từ tiêu điểm

F_{1}

tới điểm chạm thành

M

, rồi từ

M

về tiêu điểm

F_{2}

. Điểm

M

nằm trên elip nên tổng

M F_{1} + M F_{2}

là hằng số

2 a

— không phụ thuộc

M

1Cách 1. Dùng định nghĩa elip.

Định hướng. Gọi $M$ là điểm bi chạm thành bàn; $M$ thuộc elip.

Quãng đường

= F_{1} M + M F_{2}

M \in (E) \Rightarrow M F_{1} + M F_{2} = 2 a

Quãng đường

= 2 a

Vậy quãng đường luôn bằng $2 a$ (độ dài trục lớn của bàn), không phụ thuộc đường đi của bi.

2Cách 2. Dùng phương trình chính tắc.

Định hướng. Đặt bàn vào hệ trục, $(E) : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ , $F_{1} (- c; 0)$ , $F_{2} (c; 0)$ ; tính $M F_{1}$ , $M F_{2}$ theo $x$ .

M F_{1}^{2} = (x + c)^{2} + y^{2} = (x + c)^{2} + b^{2} - \frac{b ^{2} x ^{2}}{a ^{2}} = (a + \frac{c x}{a})^{2}

M F_{2}^{2} = (x - c)^{2} + y^{2} = (a - \frac{c x}{a})^{2}

∣ x ∣ \leq a \Rightarrow M F_{1} = a + \frac{c x}{a}

M F_{2} = a - \frac{c x}{a}

M F_{1} + M F_{2} = 2 a

Vậy tổng quãng đường bằng $2 a$ với mọi điểm chạm $M$ , nên không phụ thuộc đường đi.

3Cách 3. So sánh hai đường đi đặc biệt.

Định hướng. Tính quãng đường cho hai đường đi dễ đo: bắn dọc trục lớn và bắn thẳng lên đỉnh trục nhỏ.

Bắn ra xa

F_{2}

, chạm đỉnh

A_{1} (- a; 0)

(a - c) + (a + c) = 2 a

Chạm đỉnh

B (0; b)

B F_{1} + B F_{2} = 2 b^{2} + c^{2} = 2 a

Hai đường khác nhau, cùng độ dài

2 a

Vậy quãng đường không phụ thuộc đường đi, luôn bằng $2 a$ .

Nhận xét. Cách 3 chỉ minh hoạ; muốn khẳng định cho mọi đường đi phải dựa vào Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: một dòng, dùng thẳng định nghĩa — đúng tinh thần câu hỏi.

Đáp số. Không phụ thuộc; quãng đường luôn bằng

M F_{1} + M F_{2} = 2 a

(độ dài trục lớn của bàn).

Sai lầm thường gặp. Trả lời “phụ thuộc vì góc bắn khác nhau thì đoạn

F_{1} M

khác nhau” — quên rằng đoạn

M F_{2}

bù lại đúng phần chênh lệch.

🚀 Mở rộng. Nếu bàn có kích thước trục lớn

2, 4

m thì mọi cú đánh từ tiêu điểm vào lỗ đều đi đúng

2, 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ2★★Trang 49— Thiết lập phương trình elip từ định nghĩa

HĐ2 (trang 49). Xét một elip

(E)

với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục toạ độ

O x y

có gốc

O

là trung điểm của

F_{1} F_{2}

, tia

O x

trùng tia

O F_{2}

(H.7.21).
a) Nêu toạ độ của các tiêu điểm

F_{1}

F_{2}

.
b) Giải thích vì sao điểm

M (x; y)

thuộc elip khi và chỉ khi

(x + c)^{2} + y^{2} + (x - c)^{2} + y^{2} = 2 a . (1)

Kiến thức cần nhớ

Elip: tập hợp điểm $M$ với $M F_{1} + M F_{2} = 2 a$ , trong đó $F_{1} F_{2} = 2 c$ và $a > c > 0$ .
$M F = (x - x_{F})^{2} + (y - y_{F})^{2}$ ; khoảng cách từ $M (x; y)$ tới đường $x = m$ là $∣ x - m ∣$ .
Elip chính tắc $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ : $c = a^{2} - b^{2}$ , tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ , $F_{2} (c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .

🧠 Phân tích tư duy

O

là trung điểm

F_{1} F_{2}

và

F_{1} F_{2} = 2 c

nên hai tiêu điểm cách

O

một khoảng

c

trên trục

O x

. Câu b chỉ là viết điều kiện

M F_{1} + M F_{2} = 2 a

bằng toạ độ. Có thể đi xa hơn: biến đổi (1) về dạng chính tắc như phần Chú ý của sách.

1Cách 1. Viết định nghĩa bằng toạ độ.

Định hướng. Đọc toạ độ tiêu điểm rồi thay công thức khoảng cách vào $M F_{1} + M F_{2} = 2 a$ .

O F_{1} = O F_{2} = c

F_{2}

thuộc tia

O x

\Rightarrow F_{1} (- c; 0)

F_{2} (c; 0)

M F_{1} = (x + c)^{2} + y^{2}

M F_{2} = (x - c)^{2} + y^{2}

M \in (E) \Leftrightarrow M F_{1} + M F_{2} = 2 a \Leftrightarrow (x + c)^{2} + y^{2} + (x - c)^{2} + y^{2} = 2 a

Vậy $F_{1} (- c; 0)$ , $F_{2} (c; 0)$ và $M (x; y) \in (E) \Leftrightarrow$ (1).

2Cách 2. Dùng độ dài vectơ.

Định hướng. $M F_{1}$ , $M F_{2}$ là độ dài các vectơ $F_{1} M$ , $F_{2} M$ .

O F_{2} = c i \Rightarrow F_{2} (c; 0)

O F_{1} = - O F_{2} \Rightarrow F_{1} (- c; 0)

F_{1} M = (x + c; y)

F_{2} M = (x - c; y)

∣ F_{1} M ∣ + ∣ F_{2} M ∣ = 2 a \Leftrightarrow (x + c)^{2} + y^{2} + (x - c)^{2} + y^{2} = 2 a

Vậy ta được đúng điều kiện (1).

3Cách 3. Đi tiếp tới phương trình chính tắc.

Định hướng. Đặt $u = M F_{1}$ , $v = M F_{2}$ ; từ $u + v = 2 a$ và $u^{2} - v^{2} = 4 c x$ suy ra $u$ , $v$ rồi bình phương.

u^{2} - v^{2} = (x + c)^{2} - (x - c)^{2} = 4 c x

u - v = \frac{4 c x}{2 a} = \frac{2 c x}{a} \Rightarrow u = a + \frac{c x}{a}

(x + c)^{2} + y^{2} = (a + \frac{c x}{a})^{2} \Leftrightarrow \frac{a ^{2} - c ^{2}}{a ^{2}} x^{2} + y^{2} = a^{2} - c^{2}

\Leftrightarrow \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{a ^{2} - c ^{2}} = 1

Vậy (1) đưa được về $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ với $b = a^{2} - c^{2}$ , đúng như Chú ý của sách.

Nhận xét. Cách 3 giải thích nguồn gốc phương trình chính tắc và công thức bán kính qua tiêu $M F_{1} = a + \frac{c x}{a}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Trả lời câu hỏi dùng Cách 1; Cách 3 nên biết để hiểu vì sao có phương trình chính tắc.

Đáp số. a)

F_{1} (- c; 0)

F_{2} (c; 0)

. b)

M \in (E) \Leftrightarrow M F_{1} + M F_{2} = 2 a

, thay công thức khoảng cách được (1).

Sai lầm thường gặp. Viết

M F_{1} = (x - c)^{2} + y^{2}

(nhầm dấu vì

F_{1}

có hoành độ

- c

) — hai căn đổi chỗ nhau nên (1) vẫn đúng nhưng các công thức

M F_{1} = a + \frac{c x}{a}

sau đó sẽ sai dấu.

🚀 Mở rộng. Tương tự, chọn trục

O y

chứa hai tiêu điểm ta được elip

\frac{x ^{2}}{b ^{2}} + \frac{y ^{2}}{a ^{2}} = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 2★Trang 50— Tìm tiêu điểm, tiêu cự của elip chính tắc

Luyện tập 2 (trang 50). Cho elip có phương trình chính tắc

\frac{x ^{2}}{100} + \frac{y ^{2}}{64} = 1

. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Kiến thức cần nhớ

Elip chính tắc $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ : $c = a^{2} - b^{2}$ , tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ , $F_{2} (c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .
Đỉnh trục nhỏ $B (0; b)$ cách đều hai tiêu điểm một khoảng $a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đọc

a^{2} = 100

b^{2} = 64

rồi dùng

c^{2} = a^{2} - b^{2}

(dấu trừ vì là elip). Bẫy: cộng

a^{2} + b^{2}

theo thói quen của hypebol.

1Cách 1. Công thức

c = a^{2} - b^{2}

Định hướng. Đọc $a^{2}$ , $b^{2}$ từ phương trình.

a^{2} = 100

b^{2} = 64

c = 100 - 64 = 36 = 6

F_{1} (- 6; 0)

F_{2} (6; 0)

2 c = 12

Vậy $F_{1} (- 6; 0)$ , $F_{2} (6; 0)$ , tiêu cự $12$ .

2Cách 2. Tam giác vuông tại đỉnh trục nhỏ.

Định hướng. $B (0; 8)$ thuộc elip và cách đều hai tiêu điểm nên $B F_{1} = B F_{2} = a = 10$ ; tam giác $O B F_{2}$ vuông tại $O$ .

B F_{1} + B F_{2} = 2 a = 20

B F_{1} = B F_{2} \Rightarrow B F_{2} = 10

O F_{2} = B F_{2}^{2} - O B^{2} = 1 0^{2} - 8^{2} = 6

F_{2} (6; 0)

F_{1} (- 6; 0)

F_{1} F_{2} = 12

Vậy hai tiêu điểm $(\pm 6; 0)$ , tiêu cự $12$ .

3Cách 3. Đồng nhất với phương trình suy từ định nghĩa.

Định hướng. Từ HĐ2, elip có tổng khoảng cách $2 a$ và tiêu cự $2 c$ có phương trình $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{a ^{2} - c ^{2}} = 1$ ; so hệ số.

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{a ^{2} - c ^{2}} = 1

và

\frac{x ^{2}}{100} + \frac{y ^{2}}{64} = 1

a^{2} = 100

a^{2} - c^{2} = 64

c^{2} = 36 \Rightarrow c = 6

Vậy tiêu điểm $(- 6; 0)$ , $(6; 0)$ , tiêu cự $2 c = 12$ .

Nhận xét. Cách 2 cho hình ảnh dễ nhớ: $a$ , $b$ , $c$ là ba cạnh tam giác vuông với cạnh huyền $a$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1, hai dòng là xong; nhớ “elip trừ, hypebol cộng”.

Đáp số.

F_{1} (- 6; 0)

F_{2} (6; 0)

; tiêu cự

2 c = 12

Sai lầm thường gặp. Tính

c = 100 + 64 = 164

(nhầm công thức hypebol) hoặc ghi tiêu cự là

c = 6

(tiêu cự là

2 c

🚀 Mở rộng. Elip

\frac{x ^{2}}{m ^{2} + 36} + \frac{y ^{2}}{m ^{2}} = 1

luôn có tiêu điểm

(\pm 6; 0)

với mọi

m \neq = 0

— cả một họ elip cùng tiêu điểm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Vận dụng 1★★★Trang 50— Bài toán thực tế với elip

Vận dụng 1 (trang 50). Trong bản vẽ thiết kế, vòm của ô thoáng trong Hình 7.22 là nửa nằm phía trên trục hoành của elip có phương trình

\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{4} = 1

. Biết rằng

1

đơn vị trên mặt phẳng toạ độ của bản vẽ thiết kế ứng với

30

cm trên thực tế. Tính chiều cao

h

của ô thoáng tại điểm cách điểm chính giữa của đế ô thoáng

75

cm.

Kiến thức cần nhớ

Elip chính tắc $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ : $c = a^{2} - b^{2}$ , tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ , $F_{2} (c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .
Tỉ lệ bản vẽ: $1$ đơn vị $= 30$ cm.

🧠 Phân tích tư duy

Điểm chính giữa đế là gốc

O

; điểm cách

O

một đoạn

75

cm trên đế ứng với hoành độ

75 : 30 = 2, 5

đơn vị. Chiều cao là tung độ dương của điểm trên elip có hoành độ đó, rồi đổi ngược về cm. Bẫy: quên đổi đơn vị ở một trong hai chiều.

1Cách 1. Đổi sang đơn vị bản vẽ, thay vào phương trình.

Định hướng. Tìm $y > 0$ khi $x = 2, 5$ , rồi nhân $30$ .

x = \frac{75}{30} = 2, 5

\frac{2 , 5 ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{4} = 1 \Leftrightarrow y^{2} = 4 (1 - \frac{6 , 25}{16}) = \frac{39}{16}

y = \frac{39}{4}

(đơn vị)

h = 30 \cdot \frac{39}{4} = \frac{15 39}{2} \approx 46, 84

(cm)

Vậy $h = \frac{15 39}{2} \approx 46, 8$ cm.

2Cách 2. Đổi cả elip sang centimét trước.

Định hướng. Nhân mọi độ dài với $30$ : bán trục lớn $4 \cdot 30 = 120$ cm, bán trục nhỏ $2 \cdot 30 = 60$ cm.

(E^{'}) : \frac{X ^{2}}{12 0 ^{2}} + \frac{Y ^{2}}{6 0 ^{2}} = 1

(đơn vị cm)

X = 75

Y^{2} = 3600 (1 - \frac{5625}{14400}) = 3600 \cdot \frac{8775}{14400} = 2193, 75

Y = 2193, 75 \approx 46, 84

Vậy chiều cao $h \approx 46, 84$ cm.

3Cách 3. Tỉ số với chiều cao lớn nhất.

Định hướng. Với elip, $\frac{y}{b} = 1 - \frac{x ^{2}}{a ^{2}}$ ; áp cho chiều cao đỉnh vòm $60$ cm và tỉ số hoành độ $\frac{75}{120}$ .

\frac{x}{a} = \frac{75}{120} = \frac{5}{8}

\frac{h}{60} = 1 - \frac{25}{64} = \frac{39}{8}

h = \frac{60 39}{8} = \frac{15 39}{2} \approx 46, 84

Vậy $h = \frac{15 39}{2} \approx 46, 84$ cm.

Nhận xét. Cách 3 không phụ thuộc đơn vị: chỉ cần tỉ số hoành độ và chiều cao đỉnh vòm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (số nhỏ, gọn); Cách 3 rất nhanh khi đã quen tỉ số.

Đáp số.

h = \frac{15 39}{2} \approx 46, 84

cm.

Sai lầm thường gặp. Thay

x = 75

trực tiếp vào

\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{4} = 1

(quên đổi đơn vị) được

y^{2} < 0

; hoặc tìm được

y \approx 1, 56

rồi quên nhân

30

🚀 Mở rộng. Tại điểm nào trên đế thì chiều cao ô thoáng bằng đúng

30

cm? (Đáp số: cách tâm

603 \approx 103, 9

cm.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · HĐ3★★Trang 50— Nhận biết hypebol qua hiệu khoảng cách

HĐ3 (trang 50). Giả sử thiết bị tại

F_{2}

nhận được tín hiệu âm thanh sớm hơn thiết bị tại

F_{1}

là

2

giây và vận tốc âm thanh là

343

m/s.
a) Tìm mối quan hệ giữa các khoảng cách từ nơi phát ra tín hiệu âm thanh tới

F_{1}

F_{2}

.
b) Việc giới hạn khu vực tìm kiếm nơi phát ra tín hiệu âm thanh có liên quan đến bài toán tìm tập hợp những điểm

M

thoả mãn

M F_{1} - M F_{2} = 686

(m) hay không?

Kiến thức cần nhớ

Quãng đường $=$ vận tốc $\times$ thời gian.
Hypebol: tập hợp điểm $M$ với $∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ = 2 a$ , trong đó $F_{1} F_{2} = 2 c$ và $0 < a < c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cùng vận tốc, chênh thời gian đến nơi tỉ lệ với chênh quãng đường:

Δ s = v \cdot Δ t

F_{2}

nhận sớm hơn nên

F_{2}

gần nguồn hơn, tức

M F_{1} > M F_{2}

. Đó chính là dữ kiện “hiệu khoảng cách không đổi” của hypebol.

1Cách 1. Tính hiệu quãng đường.

Định hướng. Gọi $M$ là nơi phát, $t_{1}$ , $t_{2}$ là thời gian âm tới $F_{1}$ , $F_{2}$ .

M F_{1} = 343 t_{1}

M F_{2} = 343 t_{2}

t_{1} - t_{2} = 2

M F_{1} - M F_{2} = 343 (t_{1} - t_{2}) = 343 \cdot 2 = 686

(m)
b) Nơi phát

M

thoả mãn

M F_{1} - M F_{2} = 686

Vậy a) $M F_{1} - M F_{2} = 686$ m; b) có — khu vực tìm kiếm chính là tập hợp các điểm $M$ với $M F_{1} - M F_{2} = 686$ m (một nhánh hypebol).

2Cách 2. Lập luận “âm đi thêm”.

Định hướng. Khi âm vừa tới $F_{2}$ , sóng tới $F_{1}$ còn phải đi thêm $2$ giây nữa.

Quãng đi thêm

= 343 \cdot 2 = 686

(m)

M F_{1} = M F_{2} + 686

M F_{1} - M F_{2} = 686

không phụ thuộc vị trí cụ thể của

M

Vậy khoảng cách từ nơi phát tới $F_{1}$ hơn khoảng cách tới $F_{2}$ đúng $686$ m; tìm nơi phát quy về tìm tập hợp điểm $M$ với $M F_{1} - M F_{2} = 686$ .

3Cách 3. Kiểm tra bằng một vị trí cụ thể.

Định hướng. Giả sử $F_{1} F_{2} = 1000$ m và nguồn nằm trên đoạn $F_{1} F_{2}$ .

M F_{1} + M F_{2} = 1000

M F_{1} - M F_{2} = 686

M F_{1} = 843

M F_{2} = 157

Thời gian:

\frac{843}{343} - \frac{157}{343} = \frac{686}{343} = 2

(s)

Vậy điểm trên đoạn $F_{1} F_{2}$ cách $F_{2}$ là $157$ m đúng là một vị trí phù hợp; mọi vị trí phù hợp đều có $M F_{1} - M F_{2} = 686$ m.

Nhận xét. Tập hợp đó là một nhánh hypebol nhận $F_{1}$ , $F_{2}$ làm tiêu điểm (nhánh gần $F_{2}$ ) — nội dung định nghĩa ngay sau đây.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là trình bày chuẩn: đặt ẩn thời gian, một phép nhân ra

686

Đáp số. a)

M F_{1} - M F_{2} = 686

m. b) Có liên quan: nơi phát nằm trên tập hợp điểm

M

với

M F_{1} - M F_{2} = 686

Sai lầm thường gặp. Viết

M F_{2} - M F_{1} = 686

(ngược dấu):

F_{2}

nhận sớm hơn nghĩa là

F_{2}

gần nguồn hơn, nên

M F_{2}

nhỏ hơn.

🚀 Mở rộng. Thêm một cặp thiết bị thứ hai cho một nhánh hypebol nữa; giao điểm hai nhánh xác định nơi phát — nguyên lí định vị LORAN.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Câu hỏi (trang 50)★★Trang 50— Giải thích điều kiện trong định nghĩa hypebol

Câu hỏi (trang 50). Tại sao trong định nghĩa hypebol cần điều kiện

a < c

Kiến thức cần nhớ

Hypebol: tập hợp điểm $M$ với $∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ = 2 a$ , trong đó $F_{1} F_{2} = 2 c$ và $0 < a < c$ .
Bất đẳng thức tam giác: $M F_{1} - M F_{2} \leq F_{1} F_{2} \leq M F_{1} + M F_{2}$ , dấu bằng khi $M$ thuộc đường thẳng $F_{1} F_{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

a < c

nghĩa là

2 a < F_{1} F_{2}

; công cụ là bất đẳng thức tam giác dạng hiệu

∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ \leq F_{1} F_{2}

. Xét đủ ba khả năng

a > c

a = c

a < c

1Cách 1. Bất đẳng thức tam giác, xét ba trường hợp.

Định hướng. Với mọi $M$ : $∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ \leq F_{1} F_{2} = 2 c$ .

a > c

∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ = 2 a > 2 c

(vô lí)

\Rightarrow

không có điểm

M

a = c

∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ = F_{1} F_{2} \Leftrightarrow M

thuộc đường thẳng

F_{1} F_{2}

, ngoài đoạn

F_{1} F_{2}

\Rightarrow

hai tia

a < c

: có các điểm không thẳng hàng với

F_{1}, F_{2}

, tạo thành hai nhánh cong

Vậy cần $a < c$ để tập hợp là đường cong thực sự (không rỗng, không suy biến thành hai tia).

2Cách 2. Nhìn qua phương trình chính tắc.

Định hướng. Phương trình hypebol có $b = c^{2} - a^{2}$ , chỉ dương khi $a < c$ .

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

b^{2} = c^{2} - a^{2}

a = c \Rightarrow b = 0

: (3) chỉ đúng với

y = 0

∣ x ∣ \geq c

(hai tia)

a > c \Rightarrow b^{2} < 0

: không có

b

thực

Vậy chỉ khi $a < c$ ta mới có hypebol.

3Cách 3. Mô hình tín hiệu âm ở HĐ3.

Định hướng. $2 a$ là chênh lệch quãng đường, $2 c$ là khoảng cách hai thiết bị.

Chênh lệch quãng đường không thể vượt quá khoảng cách hai thiết bị:

2 a \leq 2 c

2 a = 2 c

: nguồn phát nằm trên đường thẳng

F_{1} F_{2}

, phía ngoài

2 a < 2 c

: nguồn có thể ở rất nhiều vị trí trên mặt phẳng

Vậy điều kiện $a < c$ là điều kiện để bài toán định vị có một đường cong nghiệm.

Nhận xét. So với elip, dấu bất đẳng thức đảo chiều vì ta dùng hiệu thay cho tổng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Trình bày bằng Cách 1 là chặt chẽ nhất.

Đáp số. Vì

∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ \leq F_{1} F_{2}

: nếu

a > c

thì không có điểm nào, nếu

a = c

thì chỉ được hai tia; cần

a < c

mới có hypebol.

Sai lầm thường gặp. Quên trường hợp

a = c

, hoặc viết nhầm

M F_{1} - M F_{2} \geq F_{1} F_{2}

🚀 Mở rộng. Với

a = 0

thì

M F_{1} = M F_{2}

: tập hợp là đường trung trực của

F_{1} F_{2}

— tình huống đầu mục 2 của bài.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 3★★★Trang 51— Chứng minh bốn điểm thuộc một hypebol

Luyện tập 3 (trang 51). Cho hình chữ nhật

A B C D

và

M

N

tương ứng là trung điểm của các cạnh

A B

C D

(H.7.25). Chứng minh rằng bốn điểm

A

B

C

D

cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là

M

và

N

Kiến thức cần nhớ

Hypebol: tập hợp điểm $M$ với $∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ = 2 a$ , trong đó $F_{1} F_{2} = 2 c$ và $0 < a < c$ .
Bất đẳng thức tam giác: $M F_{1} - M F_{2} \leq F_{1} F_{2} \leq M F_{1} + M F_{2}$ , dấu bằng khi $M$ thuộc đường thẳng $F_{1} F_{2}$ .
Hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau thì bằng nhau (c.g.c).

🧠 Phân tích tư duy

Cần chỉ ra

∣ X M - X N ∣

bằng cùng một số dương

2 a

với

X \in {A, B, C, D}

, và

2 a < M N

. Hình chữ nhật đối xứng qua

M N

và qua trung trực của

M N

nên các khoảng cách tới

M

N

chỉ nhận hai giá trị. Làm tương tự Ví dụ 1 (lục giác đều với elip).

1Cách 1. Tam giác bằng nhau (theo mẫu Ví dụ 1).

Định hướng. So sánh các khoảng cách từ bốn đỉnh tới $M$ và tới $N$ .

A M = B M = D N = C N = \frac{A B}{2}

△ A M N

△ B M N

△ C N M

△ D N M

vuông lần lượt tại

M, M, N, N

có các cạnh góc vuông

\frac{A B}{2}

và

M N

\Rightarrow A N = B N = C M = D M

A N - A M = B N - B M = C M - C N = D M - D N = A N - A M

△ A M N

vuông tại

M

A N > A M

và

A N - A M < M N

Vậy $∣ X M - X N ∣ = A N - A M$ với $X$ là $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ; hằng số này dương và nhỏ hơn $M N$ , nên bốn điểm cùng thuộc hypebol có tiêu điểm $M$ , $N$ và $2 a = A N - A M$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá.

Định hướng. Đặt $M (- c; 0)$ , $N (c; 0)$ , $A B = 2 h$ : $A (- c; - h)$ , $B (- c; h)$ , $C (c; h)$ , $D (c; - h)$ với $c, h > 0$ .

A M = B M = C N = D N = h

A N = B N = C M = D M = 4 c^{2} + h^{2}

∣ X M - X N ∣ = 4 c^{2} + h^{2} - h

với mọi

X \in {A, B, C, D}

0 < 4 c^{2} + h^{2} - h < 2 c \Leftrightarrow 4 c^{2} + h^{2} < 2 c + h

(đúng)

Vậy bốn đỉnh thuộc hypebol tiêu điểm $M$ , $N$ với $2 a = 4 c^{2} + h^{2} - h$ .

3Cách 3. Tìm phương trình chính tắc rồi thử.

Định hướng. Hypebol tiêu điểm $(\pm c; 0)$ đi qua $A (- c; - h)$ thì nhờ tính đối xứng của phương trình chính tắc sẽ đi qua cả $B$ , $C$ , $D$ .

(H) : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{c ^{2} - a ^{2}} = 1

với

2 a = 4 c^{2} + h^{2} - h

Ví dụ

c = 3

h = 2

2 a = 40 - 2

a^{2} = 11 - 210

b^{2} = 210 - 2

\frac{9}{11 - 2 10} - \frac{4}{2 10 - 2} = \frac{11 + 2 10}{9} - \frac{2 10 + 2}{9} = 1

(\pm 3; \pm 2)

thoả mãn phương trình vì

x

y

chỉ xuất hiện dưới dạng bình phương

Vậy hypebol nói trên đi qua cả bốn đỉnh $A$ , $B$ , $C$ , $D$ .

Nhận xét. Cách 3 minh hoạ cụ thể; điểm mấu chốt dùng được cho mọi hình chữ nhật là tính đối xứng — đó cũng là lí do Cách 1 chỉ cần tính cho một đỉnh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 bám sát Ví dụ 1 của sách, không cần toạ độ; Cách 2 nhanh và chắc chắn khi đã quen toạ độ hoá.

Đáp số.

∣ A M - A N ∣ = ∣ B M - B N ∣ = ∣ C M - C N ∣ = ∣ D M - D N ∣ = A N - A M

với

0 < A N - A M < M N

, nên

A

B

C

D

thuộc hypebol tiêu điểm

M

N

Sai lầm thường gặp. Chỉ chứng minh các hiệu bằng nhau mà quên kiểm tra

0 < 2 a < M N

— thiếu điều kiện này thì chưa phải hypebol (ví dụ nếu hiệu bằng

0

thì tập hợp là đường trung trực).

🚀 Mở rộng. Chứng minh tương tự: bốn đỉnh của hình chữ nhật cũng thuộc một elip có hai tiêu điểm là trung điểm hai cạnh đối — chỉ cần đổi hiệu thành tổng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · HĐ4★★Trang 51— Thiết lập phương trình hypebol từ định nghĩa

HĐ4 (trang 51). Xét một hypebol

(H)

với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục toạ độ

O x y

có gốc

O

là trung điểm của

F_{1} F_{2}

, tia

O x

trùng tia

O F_{2}

(H.7.26). Nêu toạ độ của các tiêu điểm

F_{1}

F_{2}

. Giải thích vì sao điểm

M (x; y)

thuộc

(H)

khi và chỉ khi

(x + c)^{2} + y^{2} - (x - c)^{2} + y^{2} = 2 a . (3)

Kiến thức cần nhớ

Hypebol: tập hợp điểm $M$ với $∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ = 2 a$ , trong đó $F_{1} F_{2} = 2 c$ và $0 < a < c$ .
$M F = (x - x_{F})^{2} + (y - y_{F})^{2}$ ; khoảng cách từ $M (x; y)$ tới đường $x = m$ là $∣ x - m ∣$ .
Hypebol chính tắc $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a, b > 0)$ : $c = a^{2} + b^{2}$ , tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ , $F_{2} (c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Giống HĐ2 nhưng điều kiện là trị tuyệt đối của hiệu. Viết

M F_{1}

M F_{2}

bằng công thức khoảng cách là xong; đi thêm một bước sẽ ra phương trình chính tắc với

b^{2} = c^{2} - a^{2}

1Cách 1. Viết định nghĩa bằng toạ độ.

Định hướng. Tiêu điểm cách $O$ một khoảng $c$ trên trục $O x$ .

F_{1} (- c; 0)

F_{2} (c; 0)

M F_{1} = (x + c)^{2} + y^{2}

M F_{2} = (x - c)^{2} + y^{2}

M \in (H) \Leftrightarrow ∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ = 2 a \Leftrightarrow

(3)

Vậy $F_{1} (- c; 0)$ , $F_{2} (c; 0)$ và $M (x; y) \in (H) \Leftrightarrow$ (3).

2Cách 2. Tách hai nhánh.

Định hướng. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối thành hai trường hợp ứng với hai nhánh.

M F_{1} - M F_{2} = 2 a

(nhánh gần

F_{2}

) hoặc

M F_{1} - M F_{2} = - 2 a

(nhánh gần

F_{1}

)

\Leftrightarrow (x + c)^{2} + y^{2} - (x - c)^{2} + y^{2} = \pm 2 a

\Leftrightarrow (x + c)^{2} + y^{2} - (x - c)^{2} + y^{2} = 2 a

Vậy hợp hai nhánh cho đúng điều kiện (3).

3Cách 3. Đi tiếp tới phương trình chính tắc.

Định hướng. Đặt $u = M F_{1}$ , $v = M F_{2}$ : $u^{2} - v^{2} = 4 c x$ và $u - v = \pm 2 a$ .

u + v = \frac{4 c x}{\pm 2 a} \Rightarrow u = \frac{c x}{a} + a

(ghép hai trường hợp)

(x + c)^{2} + y^{2} = (\frac{c x}{a} + a)^{2} \Leftrightarrow \frac{c ^{2} - a ^{2}}{a ^{2}} x^{2} - y^{2} = c^{2} - a^{2}

\Leftrightarrow \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{c ^{2} - a ^{2}} = 1

Vậy (3) đưa được về $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ với $b = c^{2} - a^{2}$ .

Nhận xét. Điều kiện $a < c$ bảo đảm $b^{2} = c^{2} - a^{2} > 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Trả lời câu hỏi dùng Cách 1; Cách 3 để hiểu nguồn gốc phương trình chính tắc.

Đáp số.

F_{1} (- c; 0)

F_{2} (c; 0)

;

M \in (H) \Leftrightarrow ∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ = 2 a

, thay công thức khoảng cách được (3).

Sai lầm thường gặp. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối trong (3) — khi đó chỉ mô tả được một nhánh của hypebol.

🚀 Mở rộng. Nếu tiêu điểm nằm trên

O y

, phương trình trở thành

\frac{y ^{2}}{a ^{2}} - \frac{x ^{2}}{b ^{2}} = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Luyện tập 4★Trang 52— Tìm tiêu điểm, tiêu cự của hypebol chính tắc

Luyện tập 4 (trang 52). Cho hypebol

(H) : \frac{x ^{2}}{144} - \frac{y ^{2}}{25} = 1

. Tìm các tiêu điểm và tiêu cự của

(H)

Kiến thức cần nhớ

Hypebol chính tắc $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a, b > 0)$ : $c = a^{2} + b^{2}$ , tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ , $F_{2} (c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .
Hình chữ nhật cơ sở có đỉnh $(\pm a; \pm b)$ , nửa đường chéo bằng $c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hypebol dùng

c^{2} = a^{2} + b^{2}

(dấu cộng). Với

a = 12

b = 5

ta gặp bộ ba Pythagore

5, 12, 13

1Cách 1. Công thức

c = a^{2} + b^{2}

Định hướng. Đọc $a^{2}$ , $b^{2}$ rồi cộng.

a^{2} = 144

b^{2} = 25

c = 144 + 25 = 169 = 13

F_{1} (- 13; 0)

F_{2} (13; 0)

2 c = 26

Vậy $F_{1} (- 13; 0)$ , $F_{2} (13; 0)$ , tiêu cự $26$ .

2Cách 2. Hình chữ nhật cơ sở.

Định hướng. Đỉnh $P (12; 5)$ của hình chữ nhật cơ sở cách $O$ đúng bằng $c$ .

O P = 1 2^{2} + 5^{2} = 13

c = O P = 13

F_{1} (- 13; 0)

F_{2} (13; 0)

F_{1} F_{2} = 26

Vậy tiêu điểm $(\pm 13; 0)$ , tiêu cự $26$ .

3Cách 3. Đồng nhất với phương trình suy từ định nghĩa.

Định hướng. Theo HĐ4, hypebol có hiệu $2 a$ , tiêu cự $2 c$ có phương trình $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{c ^{2} - a ^{2}} = 1$ .

a^{2} = 144

c^{2} - a^{2} = 25

c^{2} = 169 \Rightarrow c = 13

Kiểm tra tại đỉnh

A_{2} (12; 0)

A_{2} F_{1} - A_{2} F_{2} = 25 - 1 = 24 = 2 a

Vậy $F_{1} (- 13; 0)$ , $F_{2} (13; 0)$ , tiêu cự $26$ .

Nhận xét. Dòng kiểm tra cuối cho thấy đỉnh cũng thoả định nghĩa với đúng $2 a = 24$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1, hai dòng; nhận ra bộ ba

5, 12, 13

giúp tính nhẩm.

Đáp số.

F_{1} (- 13; 0)

F_{2} (13; 0)

; tiêu cự

2 c = 26

Sai lầm thường gặp. Dùng

c = 144 - 25 = 119

(nhầm công thức elip), hoặc ghi tiêu cự

13

🚀 Mở rộng. Hypebol

\frac{x ^{2}}{144} - \frac{y ^{2}}{25} = 1

và elip

\frac{x ^{2}}{194} + \frac{y ^{2}}{25} = 1

có cùng tiêu điểm — thử kiểm tra.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · HĐ5★★Trang 52— Chứng minh tính chất cách đều của parabol

HĐ5 (trang 52). Cho parabol

(P) : y = \frac{1}{4} x^{2}

. Xét

F (0; 1)

và đường thẳng

Δ : y + 1 = 0

. Với điểm

M (x; y)

bất kì, chứng minh rằng

M F = d (M, Δ) \Leftrightarrow M (x; y)

thuộc

(P)

.
(Gợi ý:

M F = x^{2} + (y - 1)^{2}

d (M, Δ) = ∣ y + 1∣

Kiến thức cần nhớ

$M F = (x - x_{F})^{2} + (y - y_{F})^{2}$ ; khoảng cách từ $M (x; y)$ tới đường $x = m$ là $∣ x - m ∣$ .
$d (M, Δ) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ với $Δ : a x + b y + c = 0$ .
Với $A, B \geq 0$ : $A = B \Leftrightarrow A^{2} = B^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai vế đều không âm nên bình phương hai vế là phép biến đổi tương đương. Sau khi khai triển,

y^{2}

triệt tiêu, còn lại đúng phương trình

x^{2} = 4 y

1Cách 1. Bình phương hai vế.

Định hướng. Biến đổi tương đương từ $M F = d (M, Δ)$ .

M F = d (M, Δ) \Leftrightarrow x^{2} + (y - 1)^{2} = ∣ y + 1∣

\Leftrightarrow x^{2} + (y - 1)^{2} = (y + 1)^{2}

\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2 y + 1 = y^{2} + 2 y + 1

\Leftrightarrow x^{2} = 4 y \Leftrightarrow y = \frac{1}{4} x^{2}

Vậy $M F = d (M, Δ) \Leftrightarrow M \in (P)$ .

2Cách 2. Hiệu hai bình phương.

Định hướng. Xét $M F^{2} - d^{2} (M, Δ)$ và phân tích bằng hằng đẳng thức.

M F^{2} - d^{2} (M, Δ) = x^{2} + (y - 1)^{2} - (y + 1)^{2}

= x^{2} + (y - 1 - y - 1) (y - 1 + y + 1)

= x^{2} - 4 y

M F = d (M, Δ) \Leftrightarrow M F^{2} - d^{2} (M, Δ) = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 4 y = 0

Vậy $M F = d (M, Δ) \Leftrightarrow y = \frac{1}{4} x^{2} \Leftrightarrow M \in (P)$ .

3Cách 3. Hai chiều riêng rẽ.

Định hướng. Chiều thuận: $M \in (P)$ thì tính trực tiếp $M F$ ; chiều đảo dùng Cách 1.

M \in (P) \Rightarrow y = \frac{x ^{2}}{4} \geq 0

x^{2} = 4 y

M F = 4 y + y^{2} - 2 y + 1 = (y + 1)^{2} = ∣ y + 1∣ = d (M, Δ)

M F = d (M, Δ) \Rightarrow x^{2} + (y - 1)^{2} = (y + 1)^{2} \Rightarrow x^{2} = 4 y \Rightarrow M \in (P)

Vậy hai chiều đều đúng, nên $M F = d (M, Δ) \Leftrightarrow M \in (P)$ .

Nhận xét. Kết quả: parabol $y = \frac{1}{4} x^{2}$ là tập hợp điểm cách đều $F (0; 1)$ và $Δ : y = - 1$ — dẫn tới định nghĩa parabol.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là chuẩn: một chuỗi tương đương, không cần tách hai chiều.

Đáp số.

M F = d (M, Δ) \Leftrightarrow x^{2} + (y - 1)^{2} = (y + 1)^{2} \Leftrightarrow x^{2} = 4 y \Leftrightarrow M \in (P)

Sai lầm thường gặp. Bình phương hai vế mà không nêu hai vế không âm — với phương trình dạng

A = B

tổng quát, bình phương có thể sinh nghiệm ngoại lai.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: parabol

y = a x^{2}

(a > 0)

có tiêu điểm

F (0; \frac{1}{4 a})

và đường chuẩn

y = - \frac{1}{4 a}

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · HĐ6★★Trang 52— Thiết lập phương trình chính tắc của parabol

HĐ6 (trang 52). Xét

(P)

là một parabol với tiêu điểm

F

và đường chuẩn

Δ

. Gọi

p

là tham số tiêu của

(P)

và

H

là hình chiếu vuông góc của

F

trên

Δ

. Chọn hệ trục toạ độ

O x y

có gốc

O

là trung điểm của

H F

, tia

O x

trùng tia

O F

(H.7.27).
a) Nêu toạ độ của

F

và phương trình của

Δ

.
b) Giải thích vì sao điểm

M (x; y)

thuộc

(P)

khi và chỉ khi

(x - \frac{p}{2})^{2} + y^{2} = x + \frac{p}{2}

Kiến thức cần nhớ

Parabol: tập hợp điểm $M$ cách đều tiêu điểm $F$ và đường chuẩn $Δ$ ( $F \in / Δ$ ).
$M F = (x - x_{F})^{2} + (y - y_{F})^{2}$ ; khoảng cách từ $M (x; y)$ tới đường $x = m$ là $∣ x - m ∣$ .
Parabol chính tắc $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ : tiêu điểm $F (\frac{p}{2}; 0)$ , đường chuẩn $Δ : x = - \frac{p}{2}$ ; với $M (x; y) \in (P)$ : $M F = x + \frac{p}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tham số tiêu

p = H F

O

là trung điểm nên

O F = O H = \frac{p}{2}

Δ

vuông góc với

H F

(tức với

O x

) tại

H

nên là đường thẳng đứng

x = - \frac{p}{2}

. Câu b là viết định nghĩa

M F = d (M, Δ)

bằng toạ độ.

1Cách 1. Toạ độ hoá định nghĩa.

Định hướng. Đọc toạ độ từ $H F = p$ và $O$ là trung điểm $H F$ .

F (\frac{p}{2}; 0)

H (- \frac{p}{2}; 0)

Δ ⊥ O x

tại

H

\Rightarrow Δ : x + \frac{p}{2} = 0

M F = (x - \frac{p}{2})^{2} + y^{2}

d (M, Δ) = x + \frac{p}{2}

M \in (P) \Leftrightarrow M F = d (M, Δ) \Leftrightarrow (x - \frac{p}{2})^{2} + y^{2} = x + \frac{p}{2}

Vậy $F (\frac{p}{2}; 0)$ , $Δ : x = - \frac{p}{2}$ , và $M \in (P)$ khi và chỉ khi có đẳng thức đã nêu.

2Cách 2. Dùng hình chiếu

K

của

M

trên

Δ

Định hướng. $d (M, Δ) = M K$ với $K (- \frac{p}{2}; y)$ là hình chiếu của $M$ trên $Δ$ .

F (\frac{p}{2}; 0)

Δ : x = - \frac{p}{2}

K M = (x + \frac{p}{2}; 0) \Rightarrow M K = x + \frac{p}{2}

F M = (x - \frac{p}{2}; y) \Rightarrow M F = (x - \frac{p}{2})^{2} + y^{2}

M \in (P) \Leftrightarrow M F = M K

Vậy ta được đúng điều kiện cần giải thích.

3Cách 3. Đi tiếp tới

y^{2} = 2 p x

Định hướng. Hai vế không âm, bình phương rồi rút gọn (phần Chú ý của sách).

(x - \frac{p}{2})^{2} + y^{2} = (x + \frac{p}{2})^{2}

\Leftrightarrow x^{2} - p x + \frac{p ^{2}}{4} + y^{2} = x^{2} + p x + \frac{p ^{2}}{4}

\Leftrightarrow y^{2} = 2 p x

Vậy $M \in (P) \Leftrightarrow y^{2} = 2 p x$ — phương trình chính tắc của parabol.

Nhận xét. Từ $y^{2} = 2 p x \geq 0$ suy ra $x \geq 0$ : parabol nằm bên phải trục tung, đỉnh là gốc $O$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 trả lời đúng trọng tâm; Cách 3 là bước tiếp theo nên thuộc lòng.

Đáp số. a)

F (\frac{p}{2}; 0)

Δ : x + \frac{p}{2} = 0

. b)

M \in (P) \Leftrightarrow M F = d (M, Δ)

, viết bằng toạ độ được đẳng thức đã cho.

Sai lầm thường gặp. Lấy

F (p; 0)

(quên

O

là trung điểm

H F

), hoặc viết

Δ : y = - \frac{p}{2}

(nhầm phương của đường chuẩn).

🚀 Mở rộng. Chọn tia

O y

trùng tia

O F

thì được parabol

x^{2} = 2 p y

— đúng dạng

y = \frac{1}{4} x^{2}

của HĐ5 với

p = 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Vận dụng 2★★★Trang 53— Nhận dạng parabol trong bài toán thực tế

Vận dụng 2 (trang 53). Tại một vùng biển giữa đất liền và một đảo, người ta phân định một đường ranh giới cách đều đất liền và đảo (H.7.28). Coi bờ biển vùng đất liền đó là một đường thẳng và đảo là hình tròn. Hỏi đường ranh giới nói trên có hình gì? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Parabol: tập hợp điểm $M$ cách đều tiêu điểm $F$ và đường chuẩn $Δ$ ( $F \in / Δ$ ).
Khoảng cách từ điểm $M$ ở ngoài hình tròn $(O; R)$ tới hình tròn bằng $M O - R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Khoảng cách tới đảo tròn tâm

O

bán kính

R

là

M O - R

(Chú ý ở Ví dụ 3). Điều kiện

M H = M O - R

có dạng “cách đều” khi ta dời bờ biển ra phía đất liền thêm

R

để được đường

Δ^{'}

M O = M H + R = d (M, Δ^{'})

. Đó là định nghĩa parabol.

1Cách 1. Dời đường thẳng, đưa về định nghĩa parabol.

Định hướng. Gọi $d$ là bờ biển, $H$ là hình chiếu của $M$ trên $d$ , $Δ^{'}$ là đường song song với $d$ , về phía đất liền, cách $d$ một khoảng $R$ ; $K$ là hình chiếu của $M$ trên $Δ^{'}$ .

M

cách đều đất liền và đảo

\Leftrightarrow M H = M O - R

\Leftrightarrow M O = M H + R

M H + R = M H + H K = M K = d (M, Δ^{'})

\Leftrightarrow M O = d (M, Δ^{'})

Vậy đường ranh giới là (một phần) parabol có tiêu điểm là tâm đảo $O$ và đường chuẩn $Δ^{'}$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá.

Định hướng. Chọn bờ biển là trục $x = 0$ , đất liền ở phía $x < 0$ , đảo tâm $O^{'} (m; 0)$ , bán kính $R$ với $m > R > 0$ ; xét $M (x; y)$ trên vùng biển ( $x \geq 0$ ).

Khoảng cách tới bờ:

x

; khoảng cách tới đảo:

(x - m)^{2} + y^{2} - R

x = (x - m)^{2} + y^{2} - R \Leftrightarrow (x - m)^{2} + y^{2} = x + R

\Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + m^{2} + y^{2} = x^{2} + 2 R x + R^{2}

\Leftrightarrow y^{2} = 2 (m + R) (x - \frac{m - R}{2})

Vậy ranh giới có phương trình dạng $Y^{2} = 2 P X$ (với $X = x - \frac{m - R}{2}$ , $P = m + R > 0$ ): một parabol.

3Cách 3. Kiểm chứng bằng số liệu cụ thể.

Định hướng. Lấy bờ biển $x = 0$ , đảo tâm $O (4; 0)$ , bán kính $1, 5$ (đơn vị km); kiểm tra một điểm của parabol $y^{2} = 11 (x - 1, 25)$ .

y = 3 \Rightarrow x = 1, 25 + \frac{9}{11} = \frac{91}{44}

M (\frac{91}{44}; 3)

M O = (4 - \frac{91}{44})^{2} + 9 = (\frac{85}{44})^{2} + 9 = \frac{24 649}{1 936} = \frac{157}{44}

M O - 1, 5 = \frac{157 - 66}{44} = \frac{91}{44} = x_{M}

Vậy điểm $M (\frac{91}{44}; 3)$ trên parabol quả thật cách đều bờ biển và đảo.

Nhận xét. Tiêu điểm là tâm đảo, không phải điểm gần nhất của đảo; đường chuẩn nằm trong đất liền, cách bờ đúng bằng bán kính đảo.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là lời giải hình học đẹp nhất, đúng ý hình 7.28; Cách 2 cho phương trình cụ thể khi cần tính toán.

Đáp số. Đường ranh giới là (một phần) parabol có tiêu điểm là tâm đảo và đường chuẩn là đường thẳng song song với bờ biển, nằm trong đất liền, cách bờ một khoảng bằng bán kính đảo.

Sai lầm thường gặp. Chọn tiêu điểm là tâm đảo và đường chuẩn là chính bờ biển — khi đó

M O = M H

, sai vì khoảng cách tới đảo là

M O - R

chứ không phải

M O

🚀 Mở rộng. Nếu thay đất liền bằng một đảo tròn thứ hai, ranh giới thành một nhánh hypebol (Ví dụ 3); ghép các ý này là bài toán Apollonius ở mục Em có biết.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Vận dụng 3★★Trang 56— Ứng dụng tính chất quang học của elip

Vận dụng 3 (trang 56). Gương elip trong một máy tán sỏi thận (H.7.33) ứng với elip có phương trình chính tắc

\frac{x ^{2}}{400} + \frac{y ^{2}}{76} = 1

(theo đơn vị cm). Tính khoảng cách từ vị trí đầu phát sóng của máy đến vị trí của sỏi thận cần tán.

Kiến thức cần nhớ

Elip chính tắc $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ : $c = a^{2} - b^{2}$ , tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ , $F_{2} (c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .
Tia phát ra từ một tiêu điểm của gương elip lõm, phản xạ sẽ đi qua tiêu điểm còn lại.

🧠 Phân tích tư duy

Theo tính chất quang học, sóng phát ra từ một tiêu điểm phản xạ trên gương elip sẽ hội tụ ở tiêu điểm còn lại. Vậy đầu phát sóng và sỏi thận đặt ở hai tiêu điểm; khoảng cách cần tìm là tiêu cự

2 c

1Cách 1. Tiêu cự bằng công thức.

Định hướng. Khoảng cách cần tìm bằng $F_{1} F_{2} = 2 c$ .

a^{2} = 400

b^{2} = 76

c = 400 - 76 = 324 = 18

F_{1} F_{2} = 2 c = 36

(cm)

Vậy đầu phát sóng cách sỏi thận $36$ cm.

2Cách 2. Tam giác vuông tại đỉnh trục nhỏ.

Định hướng. Đỉnh $B (0; 76)$ cách đều hai tiêu điểm một khoảng $a = 20$ .

B F_{2} = a = 20

O B = 76

O F_{2} = 2 0^{2} - 76 = 324 = 18

F_{1} F_{2} = 2 \cdot 18 = 36

Vậy khoảng cách là $36$ cm.

3Cách 3. Đường đi của sóng qua đỉnh trục nhỏ và đỉnh trục lớn.

Định hướng. Mọi đường sóng $F_{1} \to M \to F_{2}$ dài như nhau; so sánh đường qua $A_{2} (20; 0)$ với đường qua $B (0; 76)$ , ẩn là $c$ .

Qua

A_{2}

(20 + c) + (20 - c) = 40

Qua

B

2 c^{2} + 76

2 c^{2} + 76 = 40 \Leftrightarrow c^{2} = 324 \Leftrightarrow c = 18

F_{1} F_{2} = 2 c = 36

Vậy đầu phát sóng và sỏi thận cách nhau $36$ cm.

Nhận xét. Mọi đường sóng từ đầu phát tới sỏi đều dài $2 a = 40$ cm nên các sóng tới sỏi cùng lúc, cộng hưởng năng lượng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: nhận ra “hai tiêu điểm” rồi tính

2 c

trong hai dòng.

Đáp số.

36

cm.

Sai lầm thường gặp. Trả lời

c = 18

cm (quên nhân đôi), hoặc lấy

2 a = 40

cm (độ dài quãng đường sóng, không phải khoảng cách hai tiêu điểm).

🚀 Mở rộng. Nếu cần đặt sỏi cách đầu phát

30

cm với cùng

a = 20

thì gương phải có

b^{2} = 400 - 225 = 175

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 7.19★Trang 56— Tìm tiêu điểm, tiêu cự của elip chính tắc

Bài 7.19 (trang 56). Cho elip có phương trình:

\frac{x ^{2}}{36} + \frac{y ^{2}}{9} = 1

. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Kiến thức cần nhớ

Elip chính tắc $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ : $c = a^{2} - b^{2}$ , tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ , $F_{2} (c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .
Đỉnh trục nhỏ cách đều hai tiêu điểm một khoảng $a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dạng tổng hai bình phương với

a^{2} = 36 > b^{2} = 9

nên đây là elip, hai tiêu điểm nằm trên

O x

. Dùng

c^{2} = a^{2} - b^{2} = 27

; số này không chính phương nên phải rút gọn căn thành

33

1Cách 1. Công thức

c = a^{2} - b^{2}

Định hướng. Đọc $a^{2}$ , $b^{2}$ .

a^{2} = 36

b^{2} = 9

c = 36 - 9 = 27 = 33

2 c = 63

Vậy $F_{1} (- 33; 0)$ , $F_{2} (33; 0)$ , tiêu cự $63$ .

2Cách 2. Tam giác vuông tại đỉnh trục nhỏ.

Định hướng. $B (0; 3)$ : $B F_{1} = B F_{2} = a = 6$ .

O F_{2} = B F_{2}^{2} - O B^{2} = 36 - 9 = 33

F_{1} F_{2} = 2 \cdot 33 = 63

Vậy tiêu điểm $(\pm 33; 0)$ , tiêu cự $63$ .

3Cách 3. Kiểm tra định nghĩa tại đỉnh trục lớn.

Định hướng. Tiêu điểm $F (\pm c; 0)$ phải làm cho đỉnh $A_{2} (6; 0)$ và đỉnh $B (0; 3)$ có cùng tổng khoảng cách.

A_{2} F_{1} + A_{2} F_{2} = (6 + c) + (6 - c) = 12

B F_{1} + B F_{2} = 2 9 + c^{2}

2 9 + c^{2} = 12 \Leftrightarrow c^{2} = 27 \Leftrightarrow c = 33

Vậy tiêu điểm $(\pm 33; 0)$ , tiêu cự $63$ .

Nhận xét. Cách 3 tìm $c$ trực tiếp từ định nghĩa, không cần nhớ công thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc

a^{2}

b^{2}

, trừ rồi rút gọn căn — ba dòng, không cần hình.

Đáp số.

F_{1} (- 33; 0)

F_{2} (33; 0)

; tiêu cự

63

Sai lầm thường gặp. Tính

c = 36 + 9 = 35

(nhầm công thức hypebol) hoặc để

c = 27

không rút gọn.

🚀 Mở rộng. Elip

\frac{x ^{2}}{36} + \frac{y ^{2}}{m} = 1

có tiêu cự bằng

6

khi nào? (

m = 27

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 7.20★Trang 56— Tìm tiêu điểm, tiêu cự của hypebol chính tắc

Bài 7.20 (trang 56). Cho hypebol có phương trình:

\frac{x ^{2}}{7} - \frac{y ^{2}}{9} = 1

. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.

Kiến thức cần nhớ

Hypebol chính tắc $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a, b > 0)$ : $c = a^{2} + b^{2}$ , tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ , $F_{2} (c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .
Nửa đường chéo hình chữ nhật cơ sở bằng $c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dạng hiệu nên là hypebol,

c^{2} = a^{2} + b^{2} = 16

. Ở hypebol không cần

a > b

— ở đây

a^{2} = 7 < b^{2} = 9

vẫn đúng.

1Cách 1. Công thức

c = a^{2} + b^{2}

Định hướng. Đọc $a^{2}$ , $b^{2}$ .

a^{2} = 7

b^{2} = 9

c = 7 + 9 = 4

2 c = 8

Vậy $F_{1} (- 4; 0)$ , $F_{2} (4; 0)$ , tiêu cự $8$ .

2Cách 2. Hình chữ nhật cơ sở.

Định hướng. Đỉnh $P (7; 3)$ cách $O$ đúng bằng $c$ .

O P = 7 + 9 = 4 = c

F_{1} F_{2} = 8

Vậy tiêu điểm $(\pm 4; 0)$ , tiêu cự $8$ .

3Cách 3. Kiểm chứng bằng một điểm trên hypebol.

Định hướng. Với $c = 4$ , lấy điểm $M$ có hoành độ $4$ trên hypebol và kiểm tra $∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ = 2 a = 27$ .

x = 4

\frac{16}{7} - \frac{y ^{2}}{9} = 1 \Rightarrow y^{2} = \frac{81}{7}

M (4; \frac{9}{7})

M F_{2} = \frac{9}{7}

M F_{1} = 64 + \frac{81}{7} = \frac{529}{7} = \frac{23}{7}

M F_{1} - M F_{2} = \frac{14}{7} = 27 = 2 a

Vậy $F_{1} (- 4; 0)$ , $F_{2} (4; 0)$ đúng là tiêu điểm; tiêu cự $8$ .

Nhận xét. Cách 3 là phép thử ngược bằng định nghĩa, rất hữu ích để tự kiểm tra đáp số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (cộng

a^{2} + b^{2}

); Cách 3 dùng để tự kiểm tra khi còn thời gian.

Đáp số.

F_{1} (- 4; 0)

F_{2} (4; 0)

; tiêu cự

8

Sai lầm thường gặp. Cho rằng tiêu điểm nằm trên

O y

vì

9 > 7

(đó là quy tắc của elip); với hypebol, tiêu điểm nằm trên trục ứng với số hạng mang dấu cộng.

🚀 Mở rộng. Hypebol

\frac{x ^{2}}{7} - \frac{y ^{2}}{9} = 1

và elip

\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1

có cùng hai tiêu điểm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 7.21★Trang 56— Tìm tiêu điểm, đường chuẩn của parabol chính tắc

Bài 7.21 (trang 56). Cho parabol có phương trình:

y^{2} = 8 x

. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.

Kiến thức cần nhớ

Parabol chính tắc $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ : tiêu điểm $F (\frac{p}{2}; 0)$ , đường chuẩn $Δ : x = - \frac{p}{2}$ ; với $M (x; y) \in (P)$ : $M F = x + \frac{p}{2}$ .
Parabol: tập hợp điểm $M$ cách đều tiêu điểm $F$ và đường chuẩn $Δ$ ( $F \in / Δ$ ).

🧠 Phân tích tư duy

So với

y^{2} = 2 p x

được

2 p = 8

p = 4

; tiêu điểm

(\frac{p}{2}; 0)

. Bẫy: lấy nhầm

F (p; 0)

hoặc

F (8; 0)

1Cách 1. Đọc tham số tiêu

p

Định hướng. Đồng nhất với $y^{2} = 2 p x$ .

2 p = 8 \Rightarrow p = 4

F (\frac{p}{2}; 0) = F (2; 0)

Δ : x = - \frac{p}{2} \Leftrightarrow x + 2 = 0

Vậy tiêu điểm $F (2; 0)$ , đường chuẩn $Δ : x + 2 = 0$ .

2Cách 2. Từ định nghĩa, tìm

F (f; 0)

và

Δ : x = - f

Định hướng. Tập hợp điểm cách đều $F (f; 0)$ và $x = - f$ có phương trình $y^{2} = 4 f x$ ; so với $y^{2} = 8 x$ .

(x - f)^{2} + y^{2} = (x + f)^{2} \Leftrightarrow y^{2} = 4 f x

4 f = 8 \Rightarrow f = 2

Vậy $F (2; 0)$ và $Δ : x = - 2$ .

3Cách 3. Dùng một điểm cụ thể.

Định hướng. Điểm $M (2; 4) \in (P)$ ; tiêu điểm $F (f; 0)$ và đường chuẩn $x = - f$ phải thoả $M F = d (M, Δ)$ .

(2 - f)^{2} + 16 = 2 + f

4 - 4 f + f^{2} + 16 = 4 + 4 f + f^{2}

16 = 8 f \Rightarrow f = 2

Vậy $F (2; 0)$ , $Δ : x = - 2$ .

Nhận xét. Điểm $M (2; 4)$ nằm ngay trên đường thẳng đứng qua $F$ nên $M F = 4 = 2 f$ — độ dài nửa dây cung qua tiêu điểm bằng $p$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ

F (\frac{p}{2}; 0)

với

2 p

là hệ số của

x

Đáp số.

F (2; 0)

; đường chuẩn

Δ : x + 2 = 0

Sai lầm thường gặp. Ghi

F (4; 0)

Δ : x = - 4

(lấy

p

thay cho

\frac{p}{2}

), hoặc

Δ : y = - 2

🚀 Mở rộng. Với

y^{2} = 2 p x

, điểm trên parabol có hoành độ

x_{0}

cách tiêu điểm

x_{0} + \frac{p}{2}

— áp dụng: điểm có hoành độ

3

trên

y^{2} = 8 x

cách

F

bằng

5

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 7.22★★Trang 56— Lập phương trình chính tắc của elip

Bài 7.22 (trang 56). Lập phương trình chính tắc của elip đi qua điểm

A (5; 0)

và có một tiêu điểm là

F_{2} (3; 0)

Kiến thức cần nhớ

Elip chính tắc $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ : $c = a^{2} - b^{2}$ , tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ , $F_{2} (c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .
Elip: tập hợp điểm $M$ với $M F_{1} + M F_{2} = 2 a$ , trong đó $F_{1} F_{2} = 2 c$ và $a > c > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

A (5; 0)

nằm trên trục hoành, lại thuộc elip chính tắc, nên là đỉnh trục lớn:

a = 5

. Tiêu điểm cho

c = 3

, rồi

b^{2} = a^{2} - c^{2}

1Cách 1. Thay toạ độ vào phương trình chính tắc.

Định hướng. Gọi $(E) : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ , $a > b > 0$ .

A (5; 0) \in (E) \Rightarrow \frac{25}{a ^{2}} = 1 \Rightarrow a^{2} = 25

F_{2} (3; 0) \Rightarrow c = 3

b^{2} = a^{2} - c^{2} = 25 - 9 = 16

Vậy $(E) : \frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ .

2Cách 2. Dùng định nghĩa tại điểm

A

Định hướng. $F_{1} (- 3; 0)$ ; tổng $A F_{1} + A F_{2} = 2 a$ .

A F_{1} + A F_{2} = 8 + 2 = 10 = 2 a \Rightarrow a = 5

b^{2} = a^{2} - c^{2} = 25 - 9 = 16

Vậy phương trình chính tắc $\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ .

3Cách 3. Tam giác vuông

3 - 4 - 5

Định hướng. Đỉnh trục nhỏ $B (0; b)$ cách tiêu điểm một khoảng bằng $a = O A = 5$ .

a = O A = 5

c = O F_{2} = 3

b = O B = B F_{2}^{2} - O F_{2}^{2} = 25 - 9 = 4

Vậy $(E) : \frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1$ .

Nhận xét. Kiểm tra: $c = 25 - 16 = 3$ đúng với tiêu điểm đã cho.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là mẫu trình bày chuẩn cho mọi bài lập phương trình chính tắc.

Đáp số.

\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1

Sai lầm thường gặp. Lấy

b^{2} = 25 + 9 = 34

(nhầm công thức hypebol), hoặc cho

A

là đỉnh trục nhỏ nên

b = 5

— khi đó

b > a

, trái điều kiện

a > b

🚀 Mở rộng. Đổi dữ kiện thành “đi qua

A (0; 4)

và có tiêu điểm

F_{2} (3; 0)

” — vẫn ra cùng elip; hãy giải thích vì sao.

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · 7.23★Trang 56— Lập phương trình chính tắc của parabol

Bài 7.23 (trang 56). Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm

M (2; 4)

Kiến thức cần nhớ

Parabol chính tắc $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ : tiêu điểm $F (\frac{p}{2}; 0)$ , đường chuẩn $Δ : x = - \frac{p}{2}$ ; với $M (x; y) \in (P)$ : $M F = x + \frac{p}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình chính tắc chỉ có một tham số

p

, nên một điểm là đủ để xác định. Thay toạ độ

M

vào

y^{2} = 2 p x

1Cách 1. Thay toạ độ điểm.

Định hướng. Gọi $(P) : y^{2} = 2 p x$ , $p > 0$ .

M (2; 4) \in (P) \Rightarrow 4^{2} = 2 p \cdot 2

16 = 4 p \Rightarrow p = 4

Vậy $(P) : y^{2} = 8 x$ .

2Cách 2. Dùng định nghĩa cách đều.

Định hướng. $F (\frac{p}{2}; 0)$ , $Δ : x = - \frac{p}{2}$ ; điều kiện $M F = d (M, Δ)$ .

(2 - \frac{p}{2})^{2} + 16 = 2 + \frac{p}{2}

4 - 2 p + \frac{p ^{2}}{4} + 16 = 4 + 2 p + \frac{p ^{2}}{4}

16 = 4 p \Rightarrow p = 4

Vậy $(P) : y^{2} = 8 x$ .

3Cách 3. Tỉ số không đổi

\frac{y ^{2}}{x}

Định hướng. Mọi điểm $(x; y)$ khác $O$ trên parabol chính tắc có $\frac{y ^{2}}{x} = 2 p$ không đổi.

2 p = \frac{y _{M}^{2}}{x _{M}} = \frac{16}{2} = 8

Vậy $(P) : y^{2} = 8 x$ .

Nhận xét. Kiểm tra: $4^{2} = 16 = 8 \cdot 2$ . Đây chính là parabol của Bài 7.21, tiêu điểm $F (2; 0)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là nhanh nhất: chỉ một phép thay toạ độ vào

y^{2} = 2 p x

rồi giải

p

Đáp số.

y^{2} = 8 x

Sai lầm thường gặp. Viết

y^{2} = 2 p x

rồi thay nhầm

x = 4

y = 2

(đảo toạ độ) được

p = \frac{1}{2}

y^{2} = x

— không đi qua

M

🚀 Mở rộng. Nếu parabol chính tắc đi qua

M (x_{0}; y_{0})

với

x_{0} > 0

thì phương trình là

y^{2} = \frac{y _{0}^{2}}{x _{0}} x

; không tồn tại khi

x_{0} \leq 0

y_{0} \neq = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · 7.24★★★Trang 56— Lập phương trình hypebol từ bài toán định vị

Bài 7.24 (trang 56). Có hai trạm phát tín hiệu vô tuyến đặt tại hai vị trí

A

B

cách nhau

300

km. Tại cùng một thời điểm, hai trạm cùng phát tín hiệu với vận tốc

292000

km/s để một tàu thuỷ thu và đo độ lệch thời gian. Tín hiệu từ

A

đến sớm hơn tín hiệu từ

B

là

0, 0005

s. Từ thông tin trên, ta có thể xác định được tàu thuỷ thuộc đường hypebol nào? Viết phương trình chính tắc của hypebol đó theo đơn vị kilômét.

Kiến thức cần nhớ

Hypebol: tập hợp điểm $M$ với $∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ = 2 a$ , trong đó $F_{1} F_{2} = 2 c$ và $0 < a < c$ .
Hypebol chính tắc $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a, b > 0)$ : $c = a^{2} + b^{2}$ , tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ , $F_{2} (c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .
Quãng đường $=$ vận tốc $\times$ thời gian.

🧠 Phân tích tư duy

Hiệu thời gian nhân vận tốc cho hiệu khoảng cách

M B - M A = 2 a

; khoảng cách hai trạm là

2 c

. Tín hiệu từ

A

đến sớm hơn nên tàu gần

A

hơn, thuộc nhánh gần

A

. Đặt hệ trục có gốc là trung điểm

A B

O x

theo

A B

1Cách 1. Tính

a

c

rồi

b^{2} = c^{2} - a^{2}

Định hướng. Gọi $M$ là vị trí tàu; chọn hệ trục với $A (- 150; 0)$ , $B (150; 0)$ (đơn vị km).

M B - M A = 292000 \cdot 0, 0005 = 146

2 a = 146 \Rightarrow a = 73

2 c = A B = 300 \Rightarrow c = 150

b^{2} = c^{2} - a^{2} = 22500 - 5329 = 17171

Vậy tàu thuộc nhánh gần $A$ của hypebol $\frac{x ^{2}}{5 329} - \frac{y ^{2}}{17 171} = 1$ .

2Cách 2. Viết điều kiện bằng toạ độ rồi rút gọn.

Định hướng. $M (x; y)$ : $M B - M A = 146$ với $A (- 150; 0)$ , $B (150; 0)$ .

M B^{2} - M A^{2} = (x - 150)^{2} - (x + 150)^{2} = - 600 x

M B + M A = \frac{- 600 x}{146} \Rightarrow M A = - \frac{300 x}{146} - 73

(x + 150)^{2} + y^{2} = (\frac{150 x}{73} + 73)^{2}

\Leftrightarrow \frac{17 171}{5 329} x^{2} - y^{2} = 17171 \Leftrightarrow \frac{x ^{2}}{5 329} - \frac{y ^{2}}{17 171} = 1

Vậy tàu nằm trên hypebol $\frac{x ^{2}}{5 329} - \frac{y ^{2}}{17 171} = 1$ (nhánh $x < 0$ , gần $A$ ).

3Cách 3. Xác định đỉnh của nhánh hypebol.

Định hướng. Tàu nằm trên đoạn $A B$ thì $M A + M B = 300$ và $M B - M A = 146$ : đó là đỉnh của nhánh.

M A = \frac{300 - 146}{2} = 77

M B = 223

Đỉnh cách trung điểm

O

của

A B

một khoảng

150 - 77 = 73 = a

b^{2} = c^{2} - a^{2} = 15 0^{2} - 7 3^{2} = 77 \cdot 223 = 17171

Vậy phương trình chính tắc $\frac{x ^{2}}{5 329} - \frac{y ^{2}}{17 171} = 1$ .

Nhận xét. $c^{2} - a^{2} = (c - a) (c + a) = 77 \cdot 223$ — tích hai khoảng cách từ đỉnh tới hai trạm, tính nhẩm rất nhanh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1; Cách 3 cho mẹo tính

b^{2}

bằng hằng đẳng thức.

Đáp số. Tàu thuộc nhánh gần

A

của hypebol

\frac{x ^{2}}{5 329} - \frac{y ^{2}}{17 171} = 1

(hệ trục gốc là trung điểm

A B

A (- 150; 0)

B (150; 0)

Sai lầm thường gặp. Lấy

2 a = 292000 \cdot 0, 0005 = 146

nhưng rồi ghi

a = 146

; hoặc dùng

b^{2} = a^{2} + c^{2}

(nhầm với công thức tính

c

🚀 Mở rộng. Thêm trạm thứ ba

C

sẽ cho nhánh hypebol thứ hai; giao hai nhánh xác định chính xác vị trí tàu (hệ thống LORAN ở mục Em có biết).

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · 7.25★★★Trang 56— Lập phương trình parabol trong bài toán thực tế

Bài 7.25 (trang 56). Khúc cua của một con đường có dạng hình parabol, điểm đầu vào khúc cua là

A

, điểm cuối là

B

, khoảng cách

A B = 400

m. Đỉnh parabol

(P)

của khúc cua cách đường thẳng

A B

một khoảng

20

m và cách đều

A

B

(H.7.34).
a) Lập phương trình chính tắc của

(P)

, với

1

đơn vị đo trong mặt phẳng toạ độ tương ứng

1

m trên thực tế.
b) Lập phương trình chính tắc của

(P)

, với

1

đơn vị đo trong mặt phẳng toạ độ tương ứng

1

km trên thực tế.

Kiến thức cần nhớ

Parabol chính tắc $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ : tiêu điểm $F (\frac{p}{2}; 0)$ , đường chuẩn $Δ : x = - \frac{p}{2}$ ; với $M (x; y) \in (P)$ : $M F = x + \frac{p}{2}$ .
Đổi đơn vị độ dài: $1$ km $= 1000$ m.

🧠 Phân tích tư duy

Đặt đỉnh parabol tại

O

, trục đối xứng là

O x

(vuông góc với

A B

vì đỉnh cách đều

A

B

). Khi đó

A

B

đối xứng qua

O x

, cách

O

theo phương

O x

đúng

20

và nằm cách

O x

một nửa

A B

. Câu b chỉ đổi đơn vị: mọi toạ độ chia cho

1000

1Cách 1. Thay toạ độ

B

vào

y^{2} = 2 p x

Định hướng. Chọn hệ trục như trên; $B (20; 200)$ ở câu a và $B (0, 02; 0, 2)$ ở câu b.

20 0^{2} = 2 p \cdot 20 \Rightarrow 40000 = 40 p \Rightarrow p = 1000

(P) : y^{2} = 2000 x

0, 2^{2} = 2 p \cdot 0, 02 \Rightarrow 0, 04 = 0, 04 p \Rightarrow p = 1

(P) : y^{2} = 2 x

Vậy a) $y^{2} = 2000 x$ ; b) $y^{2} = 2 x$ .

2Cách 2. Tỉ số không đổi

\frac{y ^{2}}{x}

và phép đổi đơn vị.

Định hướng. $2 p = \frac{y ^{2}}{x}$ tại điểm $B$ ; khi đổi m sang km, $x$ và $y$ cùng chia $1000$ nên $\frac{y ^{2}}{x}$ chia $1000$ .

2 p = \frac{20 0 ^{2}}{20} = 2000

2 p^{'} = \frac{( 200 : 1 000 ) ^{2}}{20 : 1 000} = \frac{2 000}{1 000} = 2

Vậy a) $y^{2} = 2000 x$ ; b) $y^{2} = 2 x$ .

3Cách 3. Dùng định nghĩa:

M F = x + \frac{p}{2}

Định hướng. Tiêu điểm $F (\frac{p}{2}; 0)$ ; điểm $B (20; 200)$ thoả $B F = 20 + \frac{p}{2}$ (đơn vị m).

(20 - \frac{p}{2})^{2} + 20 0^{2} = (20 + \frac{p}{2})^{2}

40000 = 40 p \Rightarrow p = 1000

y^{2} = 2000 x

; b)

p^{'} = \frac{1 000}{1 000} = 1

y^{2} = 2 x

Vậy a) $y^{2} = 2000 x$ ; b) $y^{2} = 2 x$ .

Nhận xét. Tham số tiêu $p$ là một độ dài nên đổi đơn vị theo đúng tỉ lệ $1 : 1000$ , còn phương trình thì hệ số $2 p$ cũng đổi theo.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 với việc chọn hệ trục rõ ràng là đủ; Cách 2 giúp làm câu b trong một dòng.

Đáp số. a)

y^{2} = 2000 x

. b)

y^{2} = 2 x

Sai lầm thường gặp. Đặt

B (200; 20)

(đảo toạ độ, vì quên trục parabol chính tắc là

O x

) được

y^{2} = x

; hoặc câu b chỉ đổi

x

mà quên đổi

y

🚀 Mở rộng. Tổng quát: khúc cua có dây

A B = 2 d

, độ vồng

h

thì

(P) : y^{2} = \frac{d ^{2}}{h} x

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 21. Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ Bài tiếp theo ›Bài tập cuối chương VII

Bài 22. Ba đường conic

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng