Bài 1 · HĐ1★Trang 36— Giao điểm hai đường thẳng và nghiệm của hệ phương trình
HĐ1 (trang 36). Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng Δ1:x−2y+3=0, Δ2:3x−y−1=0. a) Điểm M(1;2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không? b) Giải hệ {x−2y+3=03x−y−1=0. c) Chỉ ra mối quan hệ giữa toạ độ giao điểm của Δ1 và Δ2 với nghiệm của hệ phương trình trên.
Kiến thức cần nhớ
M(x0;y0)∈Δ:ax+by+c=0⇔ax0+by0+c=0.
Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ gồm hai phương trình của chúng.
Hai vectơ pháp tuyến không cùng phương thì hai đường thẳng cắt nhau tại đúng một điểm.
🧠 Phân tích tư duy
Một điểm thuộc đường thẳng khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn phương trình đường thẳng — đó là cầu nối giữa hình và hệ phương trình. Câu a chỉ cần thế toạ độ; câu b là hệ bậc nhất hai ẩn giải bằng thế hoặc cộng. Câu c là kết luận tổng quát: giao điểm chính là nghiệm chung.
1Cách 1. Thế toạ độ, giải hệ bằng phương pháp thế.
Định hướng. Kiểm tra M bằng cách thay vào từng phương trình; hệ rút x từ phương trình đầu rồi thế vào phương trình sau.
a) Δ1: 1−2⋅2+3=0 (đúng); Δ2: 3⋅1−2−1=0 (đúng) b) x=2y−3 3(2y−3)−y−1=0 5y−10=0 y=2, x=2⋅2−3=1
Vậy a) M thuộc cả Δ1 và Δ2; b) hệ có nghiệm duy nhất (x;y)=(1;2); c) nghiệm của hệ chính là toạ độ giao điểm M(1;2) của Δ1 và Δ2.
2Cách 2. Giải hệ bằng phương pháp cộng đại số.
Định hướng. Nhân phương trình thứ hai với 2 để khử y.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;2) — trùng toạ độ điểm M ở câu a, nên M là giao điểm duy nhất của hai đường thẳng.
3Cách 3. Lập luận bằng vectơ pháp tuyến.
Định hướng. Hai vectơ pháp tuyến không cùng phương nên hai đường cắt nhau tại đúng một điểm; M đã thuộc cả hai nên M chính là giao điểm, không cần giải hệ.
n1=(1;−2), n2=(3;−1) 31=−1−2⇒n1, n2 không cùng phương ⇒Δ1 cắt Δ2 tại đúng một điểm M(1;2)∈Δ1, M(1;2)∈Δ2⇒M là giao điểm
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1;2), và toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ gồm hai phương trình của chúng.
Nhận xét. Đây là nội dung của Nhận xét trong SGK: bài toán tìm giao điểm quy về giải hệ, và số nghiệm của hệ cho biết vị trí tương đối (1 nghiệm: cắt; vô nghiệm: song song; vô số nghiệm: trùng).
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Cách 2 cho hệ bậc nhất gọn nhất; Cách 3 đáng nhớ vì nó giải thích vì sao hệ chắc chắn có nghiệm duy nhất.
Đáp số.a) Có. b) (x;y)=(1;2). c) Toạ độ giao điểm của Δ1, Δ2 là nghiệm của hệ.
Sai lầm thường gặp.Thế M(1;2) nhầm thứ tự thành x=2, y=1: 2−2+3=3=0 rồi kết luận sai là M∈/Δ1.
🚀 Mở rộng.Với hai đường Δ1:x−2y+3=0 và Δ3:2x−4y+m=0, hệ vô nghiệm khi m=6 (song song) và vô số nghiệm khi m=6 (trùng nhau).
Bài 2 · Luyện tập 1★Trang 37— Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Luyện tập 1 (trang 37). Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: a) Δ1:x+4y−3=0 và Δ2:x−4y−3=0; b) Δ1:x+2y−5=0 và Δ2:2x+4y−35=0.
Kiến thức cần nhớ
n1, n2 không cùng phương ⇔Δ1 cắt Δ2.
n1, n2 cùng phương: có điểm chung thì trùng, không có thì song song.
Với a2,b2,c2=0: a2a1=b2b1=c2c1 thì song song; a2a1=b2b1=c2c1 thì trùng.
🧠 Phân tích tư duy
Nhìn vectơ pháp tuyến trước: không cùng phương thì cắt nhau, xong ngay. Cùng phương thì phải thử thêm một điểm để phân biệt song song với trùng nhau. Bẫy ở câu b: hai phương trình trông gần giống bội của nhau, nhưng hệ số tự do −5 và −35 không cùng tỉ lệ.
1Cách 1. Vectơ pháp tuyến và một điểm.
Định hướng. So phương hai vectơ pháp tuyến; nếu cùng phương thì lấy một điểm của Δ1 thử vào Δ2.
a) n1=(1;4), n2=(1;−4), 11=−44⇒ không cùng phương b) n1=(1;2), n2=(2;4)=2n1⇒ cùng phương A(5;0)∈Δ1; 25+4⋅0−35=−5=0⇒A∈/Δ2
Vậy a) Δ1 cắt Δ2; b) Δ1∥Δ2.
2Cách 2. Giải hệ phương trình.
Định hướng. Số nghiệm của hệ cho biết vị trí tương đối; câu a còn tìm được luôn giao điểm.
a) {x+4y=3x−4y=3⇒2x=6, 8y=0⇒(x;y)=(3;0) b) {x+2y=52x+4y=35⇒2(x+2y)=25 và 2(x+2y)=35 25=35 (vô lí) ⇒ hệ vô nghiệm
Vậy a) cắt nhau tại (3;0); b) song song.
3Cách 3. So sánh tỉ số các hệ số.
Định hướng. Các hệ số của Δ2 đều khác 0 nên so ba tỉ số a2a1, b2b1, c2c1.
a) 11=1, −44=−1⇒a2a1=b2b1 b) 21=42=21, −35−5=31 a2a1=b2b1=c2c1
Vậy a) Δ1 cắt Δ2; b) Δ1∥Δ2.
Nhận xét. Hai đường ở câu a còn đối xứng nhau qua trục Ox (đổi y thành −y), nên giao điểm nằm trên Ox — khớp với (3;0).
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 3: nhìn tỉ số là kết luận trong một dòng; Cách 2 dùng khi đề hỏi thêm toạ độ giao điểm.
Đáp số.a) Cắt nhau (tại (3;0)). b) Song song.
Sai lầm thường gặp.Ở câu b thấy n2=2n1 đã vội kết luận trùng nhau. Phản ví dụ: điểm (5;0) thuộc Δ1 nhưng không thuộc Δ2.
🚀 Mở rộng.Tìm m để Δ:x+2y−5=0 trùng Δm:2x+4y+m=0: cần −5m=2, tức m=−25.
Bài 3 · HĐ2★Trang 37— Quan hệ giữa bốn góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau
HĐ2 (trang 37). Hai đường thẳng Δ1 và Δ2 cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6). Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau?
Kiến thức cần nhớ
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng 180∘.
Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc không tù trong bốn góc chúng tạo thành.
🧠 Phân tích tư duy
Bốn góc có chung đỉnh là giao điểm, xếp kề nhau quanh một điểm — dấu hiệu dùng góc đối đỉnh và góc kề bù đã học ở lớp 7. Kết quả dẫn đến định nghĩa: chỉ cần một số đo không tù là mô tả được cả bốn góc.
1Cách 1. Góc đối đỉnh và góc kề bù.
Định hướng. Gọi bốn góc lần lượt là α1,α2,α3,α4 theo chiều quay quanh giao điểm O.
Bài 4 · HĐ3★★Trang 38— Liên hệ góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai vectơ pháp tuyến
HĐ3 (trang 38). Cho hai đường thẳng cắt nhau Δ1, Δ2 tương ứng có các vectơ pháp tuyến n1, n2. Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa: a) góc φ và góc (n1,n2); b) cosφ và cos(n1,n2).
Hình 7.7 có hai trường hợp: góc giữa hai vectơ pháp tuyến nhọn hoặc tù. Hai vectơ pháp tuyến vuông góc với hai đường thẳng nên góc giữa chúng bằng hoặc bù với φ (góc có cạnh tương ứng vuông góc). Bẫy: quên trường hợp tù, dẫn đến công thức thiếu dấu giá trị tuyệt đối.
1Cách 1. Góc có cạnh tương ứng vuông góc.
Định hướng. Quay cả hình một góc 90∘ thì Δ1, Δ2 trở thành hai đường song song với giá của n1, n2; góc giữa hai đường thẳng không đổi.
(n1,n2)≤90∘: φ=(n1,n2) (H.7.7 bên trái) (n1,n2)>90∘: φ=180∘−(n1,n2) (H.7.7 bên phải) cosφ=cos(n1,n2) hoặc cosφ=−cos(n1,n2) cosφ≥0⇒cosφ=∣cos(n1,n2)∣
Vậy a) φ=(n1,n2) hoặc φ=180∘−(n1,n2); b) cosφ=∣cos(n1,n2)∣.
2Cách 2. Chuyển sang vectơ chỉ phương.
Định hướng. Quay n1, n2 cùng một góc 90∘ ta được hai vectơ chỉ phương, góc giữa chúng giữ nguyên; góc giữa hai vectơ chỉ phương chính là một trong bốn góc ở HĐ2.
Vậycosφ=∣cos(n1,n2)∣; góc φ bằng (n1,n2) hoặc bù với nó.
Nhận xét. Từ đây suy ra ngay: Δ1⊥Δ2⇔a1a2+b1b2=0.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Cách 3 chặt chẽ nhất và cho luôn công thức toạ độ dùng khi đi thi; Cách 1 dễ hình dung nhất.
Đáp số.a) φ=(n1,n2) nếu (n1,n2)≤90∘, còn φ=180∘−(n1,n2) nếu (n1,n2)>90∘. b) cosφ=∣cos(n1,n2)∣.
Sai lầm thường gặp.Viết φ=(n1,n2) trong mọi trường hợp. Phản ví dụ: n1=(1;0), n2=(−1;1) có (n1,n2)=135∘ nhưng góc giữa hai đường thẳng là 45∘.
🚀 Mở rộng.Cùng lập luận, góc giữa đường thẳng Δ (vectơ pháp tuyến n) và trục Ox thoả sinφ=∣n∣∣n⋅i∣ — ở lớp 12 công thức này dùng cho góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Bài 5 · Luyện tập 2★Trang 39— Tính góc giữa hai đường thẳng
Luyện tập 2 (trang 39). Tính góc giữa hai đường thẳng Δ1:x+3y+2=0 và Δ2:y=3x+1.
Kiến thức cần nhớ
cosφ=a12+b12⋅a22+b22∣a1a2+b1b2∣.
Δ1⊥Δ2⇔a1a2+b1b2=0.
Hai đường thẳng có hệ số góc k1, k2 vuông góc ⇔k1k2=−1.
🧠 Phân tích tư duy
Δ2 cho ở dạng hệ số góc — phải đổi về dạng tổng quát 3x−y+1=0 mới đọc được vectơ pháp tuyến. Tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến bằng 0 nên dự đoán ngay góc vuông. Bẫy: đọc nhầm n2=(3;1) từ y=3x+1.
1Cách 1. Công thức côsin với vectơ pháp tuyến.
Định hướng. Đưa Δ2 về dạng tổng quát rồi áp công thức.
Bài 6 · Luyện tập 3★Trang 39— Tính góc giữa hai đường thẳng cho bởi phương trình tham số
Luyện tập 3 (trang 39). Tính góc giữa hai đường thẳng Δ1:{x=2+ty=1−2t và Δ2:{x=1+t′y=5+3t′.
Kiến thức cần nhớ
cosφ=∣cos(u1,u2)∣=∣u1∣⋅∣u2∣∣u1⋅u2∣.
u(p;q) là vectơ chỉ phương thì n(q;−p) là vectơ pháp tuyến.
Hệ số góc k1, k2: tanφ=1+k1k2k1−k2 (khi k1k2=−1).
🧠 Phân tích tư duy
Phương trình tham số cho sẵn vectơ chỉ phương (hệ số của t, t′), nên dùng ngay cosφ=∣cos(u1,u2)∣. Tích vô hướng âm không sao — trị tuyệt đối xử lí. Bẫy: lấy nhầm điểm (2;1) làm vectơ chỉ phương.
1Cách 1. Vectơ chỉ phương.
Định hướng. Đọc vectơ chỉ phương từ hệ số của tham số.
Bài 7 · Luyện tập 4★★★Trang 39— Ý nghĩa hình học của hệ số góc
Luyện tập 4 (trang 39). Xét đường thẳng Δ bất kì cắt trục hoành Ox tại một điểm A. Điểm A chia đường thẳng Δ thành hai tia, trong đó, gọi Az là tia nằm phía trên trục hoành. Kí hiệu αΔ là số đo của góc xAz (H.7.8). Cho đường thẳng Δ:y=ax+b, với a=0. a) Chứng minh rằng Δ cắt trục hoành. b) Lập phương trình đường thẳng Δ0 đi qua O(0;0) và song song (hoặc trùng) với Δ. c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa αΔ và αΔ0. d) Gọi M là giao điểm của Δ0 với nửa đường tròn đơn vị và x0 là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo x0 và a. Từ đó, chứng minh rằng tanαΔ=a.
Kiến thức cần nhớ
Điểm M trên nửa đường tròn đơn vị với xOM=α có toạ độ (cosα;sinα), tanα=cosαsinα (α=90∘).
Hai đường thẳng song song bị một cát tuyến cắt thì hai góc đồng vị bằng nhau.
Đường thẳng y=ax+b có hệ số góc a=tanαΔ.
🧠 Phân tích tư duy
Đây là bài chứng minh “hệ số góc bằng tang góc nghiêng”. Chìa khoá: tịnh tiến Δ về qua gốc O (góc nghiêng không đổi), rồi đọc tan trên nửa đường tròn đơn vị theo định nghĩa giá trị lượng giác ở Bài 5. Bẫy: quên rằng x0=0 mới chia được, và trường hợp a<0 (góc tù).
1Cách 1. Theo gợi ý a–d (nửa đường tròn đơn vị).
Định hướng. Tịnh tiến về Δ0:y=ax, góc nghiêng giữ nguyên; điểm M trên nửa đường tròn đơn vị cho ngay tan.
a) y=0⇔ax+b=0⇔x=−ab (vì a=0) ⇒Δ cắt Ox tại A(−ab;0) b) Δ0∥Δ (hoặc trùng), qua O⇒Δ0:y=ax c) Δ∥Δ0 (hoặc trùng) ⇒αΔ=αΔ0 (hai góc đồng vị) d) M(x0;y0)∈Δ0⇒y0=ax0 y0>0, a=0⇒x0=0 M(cosαΔ0;sinαΔ0)⇒tanαΔ0=x0y0=x0ax0=a tanαΔ=tanαΔ0=a
VậyyM=ax0 và tanαΔ=a (đpcm).
2Cách 2. Tam giác vuông dựng tại chỗ.
Định hướng. Đi từ A sang phải 1 đơn vị thì Δ lên (hoặc xuống) đúng ∣a∣ đơn vị; tang góc nghiêng đọc trong tam giác vuông đó.
Định hướng. Tia Az hướng lên nên cùng hướng với vectơ chỉ phương có tung độ dương; αΔ là góc giữa vectơ đó và i.
u=(1;a) nếu a>0, u=(−1;−a) nếu a<0 (tung độ dương) cosαΔ=∣u∣u⋅i=1+a2±1, sinαΔ=1+a2∣a∣ tanαΔ=±1∣a∣=a (dấu + khi a>0, dấu − khi a<0)
VậytanαΔ=a.
Nhận xét. Hệ quả: a>0 thì góc nghiêng nhọn (đường đi lên), a<0 thì góc nghiêng tù (đường đi xuống) — khớp với tính đồng biến, nghịch biến của hàm bậc nhất.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Cách 2 trực quan và nhanh nhất để nhớ; Cách 1 là con đường SGK muốn và gắn đúng định nghĩa giá trị lượng giác.
Đáp số.a) Δ cắt Ox tại A(−ab;0). b) Δ0:y=ax. c) αΔ=αΔ0. d) yM=ax0; tanαΔ=a.
Sai lầm thường gặp.Chia cho x0 mà không nêu x0=0; hoặc chỉ vẽ trường hợp a>0 rồi coi như xong. Với Δ:y=−x góc nghiêng là 135∘, tan135∘=−1=a — trường hợp tù vẫn phải đúng.
🚀 Mở rộng.Kết hợp với Luyện tập 3: hai đường y=k1x+m1, y=k2x+m2 tạo góc φ với tanφ=1+k1k2k1−k2, và vuông góc khi k1k2=−1 (bài 7.11).
Bài 8 · HĐ4★★★Trang 40— Chứng minh công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
HĐ4 (trang 40). Cho điểm M(x0;y0) và đường thẳng Δ:ax+by+c=0 có vectơ pháp tuyến n(a;b). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên Δ (H.7.9). a) Chứng minh rằng n⋅HM=a2+b2⋅HM. b) Giả sử H có toạ độ (x1;y1). Chứng minh rằng: n⋅HM=a(x0−x1)+b(y0−y1)=ax0+by0+c. c) Chứng minh rằng HM=a2+b2∣ax0+by0+c∣.
Kiến thức cần nhớ
a, b cùng phương thì ∣a⋅b∣=∣a∣⋅∣b∣.
H(x1;y1)∈Δ⇔ax1+by1+c=0.
d(M,Δ)=a2+b2∣ax0+by0+c∣.
🧠 Phân tích tư duy
HM và n cùng vuông góc với Δ nên cùng phương — tích vô hướng của hai vectơ cùng phương bằng ± tích độ dài. Mặt khác tích vô hướng tính bằng toạ độ lại cho biểu thức ax0+by0+c vì H∈Δ. Ghép hai cách tính là ra công thức.
1Cách 1. Hai cách tính một tích vô hướng (theo gợi ý).
Định hướng. Tính n⋅HM bằng độ dài (vì cùng phương) và bằng toạ độ, rồi cho hai kết quả bằng nhau.
a) HM⊥Δ, n⊥Δ⇒n, HM cùng phương ⇒(n,HM)∈{0∘;180∘} n⋅HM=∣n∣⋅HM⋅∣cos(n,HM)∣=a2+b2⋅HM b) HM=(x0−x1;y0−y1) n⋅HM=a(x0−x1)+b(y0−y1)=ax0+by0−(ax1+by1) ax1+by1=−c (vì H∈Δ) ⇒n⋅HM=ax0+by0+c c) a2+b2⋅HM=∣ax0+by0+c∣ HM=a2+b2∣ax0+by0+c∣
Vậy ba đẳng thức được chứng minh; d(M,Δ)=HM=a2+b2∣ax0+by0+c∣.
2Cách 2. Tìm hẳn toạ độ hình chiếu H.
Định hướng.H nằm trên đường qua M theo phương n: H=M−kn; điều kiện H∈Δ xác định k, và HM=∣k∣⋅∣n∣.
Bài 9 · Trải nghiệm★★Trang 40— Kiểm chứng công thức khoảng cách bằng đo đạc
Trải nghiệm (trang 40). Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ (H.7.10) và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4. (Ví dụ 4: tính khoảng cách từ điểm M(2;4) đến đường thẳng Δ:3x+4y−12=0; Hình 7.10 vẽ trên lưới ô vuông, mỗi cạnh ô là 1 đơn vị.)
Kiến thức cần nhớ
d(M,Δ)=a2+b2∣ax0+by0+c∣.
Đường cao ứng với cạnh có độ dài a: ha=a2S.
Hình chiếu vuông góc của M trên Δ là giao của Δ với đường qua M có phương là vectơ pháp tuyến.
🧠 Phân tích tư duy
Đo trên lưới ô vuông, đoạn MH dài đúng 2 ô. Để “giải thích” cần chứng tỏ bằng tính toán độc lập rằng MH=2: tìm hẳn chân đường vuông góc, hoặc dùng diện tích tam giác. Δ cắt hai trục tại (4;0) và (0;3) — tam giác 3–4–5 quen thuộc.
1Cách 1. Công thức khoảng cách (như Ví dụ 4).
Định hướng. Thay toạ độ M vào công thức rồi so với số đo.
d(M,Δ)=32+42∣3⋅2+4⋅4−12∣=510=2
Vậy đo được MH≈2 đơn vị (2 cạnh ô), đúng bằng kết quả tính d(M,Δ)=2.
2Cách 2. Tìm chân đường vuông góc H.
Định hướng. Đường qua M theo phương n(3;4) cắt Δ tại H; tính trực tiếp MH.
Nhận xét. Kết quả đo chỉ gần đúng (sai số thước), còn công thức cho giá trị đúng; ba cách tính độc lập cùng ra 2 nên phép đo đáng tin.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Cách 1 nhanh nhất; Cách 2 cho thêm toạ độ H(0,8;2,4) để kiểm tra vị trí chân đường vuông góc trên hình.
Đáp số.Đo được MH≈2; tính được d(M,Δ)=2, H(0,8;2,4).
Sai lầm thường gặp.Đo khoảng cách theo phương ngang hoặc phương đứng (từ M sang Δ dọc lưới) thay cho phương vuông góc: theo phương ngang được 310≈3,33, sai.
🚀 Mở rộng.Tổng quát: nếu Δ cắt hai trục tại (p;0), (0;q) thì d(O,Δ)=p2+q2∣pq∣ — với Δ ở đây là 512.
Bài 10 · Luyện tập 5★★Trang 40— Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng cho bởi phương trình tham số
Luyện tập 5 (trang 40). Tính khoảng cách từ điểm M(1;2) đến đường thẳng Δ:{x=5+3ty=−5−4t.
Kiến thức cần nhớ
u(p;q) là vectơ chỉ phương thì n(q;−p) là vectơ pháp tuyến.
d(M,Δ)=a2+b2∣ax0+by0+c∣.
d(M,Δ)=minMP, P∈Δ; đạt tại P=H với MH⊥u.
🧠 Phân tích tư duy
Công thức khoảng cách cần phương trình tổng quát, nên phải đổi: u=(3;−4) cho n=(4;3), qua (5;−5). Cũng có thể giữ tham số: điểm P(t) chạy trên Δ, khoảng cách là giá trị nhỏ nhất của MP. Bẫy: thay thẳng M vào hệ tham số.
1Cách 1. Đổi về phương trình tổng quát.
Định hướng. Lập phương trình tổng quát từ điểm (5;−5) và n=(4;3) rồi áp công thức.
Bài 11 · Vận dụng★★★Trang 41— Bài toán thực tế: toạ độ hoá và khoảng cách
Vận dụng (trang 41). Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD=15 m, chiều rộng AB=12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE=5 m, CF=6 m (H.7.11). a) Chọn hệ trục toạ độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng toạ độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định toạ độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF. b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng lưỡi câu xa 10,7 m. Hỏi lưỡi câu có thể rơi vào nơi nuôi vịt hay không?
Kiến thức cần nhớ
Đường qua hai điểm: lấy EF làm vectơ chỉ phương.
d(M,Δ)=a2+b2∣ax0+by0+c∣ là độ dài ngắn nhất từ M đến mọi điểm của Δ.
Hai điểm P, Q nằm khác phía đối với Δ:f(x;y)=0 khi f(P)⋅f(Q)<0.
🧠 Phân tích tư duy
Câu a là toạ độ hoá: E nằm trên AD, F nằm trên CD. Câu b hỏi mọi điểm của tam giác DEF có cách B quá 10,7 m không: tam giác DEF nằm ở phía bên kia đường EF so với B, nên điểm gần B nhất của nó cách B ít nhất d(B,EF). Bẫy: so 10,7 với BE hay BF — chưa chắc là khoảng cách nhỏ nhất.
1Cách 1. Vectơ pháp tuyến và công thức khoảng cách.
Định hướng. Đặt toạ độ theo đề, lập EF qua EF, rồi so d(B,EF) với 10,7.
a) B(0;0), A(0;12), C(15;0), D(15;12), E(5;12), F(15;6) EF=(10;−6)=2(5;−3), n=(3;5) EF:3(x−5)+5(y−12)=0⇔3x+5y−75=0 b) f(B)=−75<0, f(D)=3⋅15+5⋅12−75=30>0⇒B, D khác phía với EF d(B,EF)=32+52∣3⋅0+5⋅0−75∣=3475≈12,86 12,86>10,7
Vậy a) EF:3x+5y−75=0; b) mọi điểm của vùng nuôi vịt cách B ít nhất khoảng 12,86 m >10,7 m, nên lưỡi câu không thể rơi vào nơi nuôi vịt.
2Cách 2. Phương trình đoạn chắn và diện tích tam giác.
Định hướng.EF cắt hai trục tại những điểm đẹp; khoảng cách từ B tới EF là đường cao của tam giác BEF.
a) EF qua E(5;12) có hệ số góc 15−56−12=−53: y=−53x+15 EF:25x+15y=1⇔3x+5y−75=0 b) SBEF=21∣5⋅6−15⋅12∣=75, EF=102+62=234 d(B,EF)=EF2SBEF=234150=3475≈12,86>10,7
Vậy lưỡi câu không thể rơi vào nơi nuôi vịt.
3Cách 3. Tìm điểm gần B nhất trên EF bằng tham số.
Định hướng. Điểm P chạy trên đoạn EF; BP2 là tam thức bậc hai theo tham số, giá trị nhỏ nhất so với 10,72.
Vậy mọi điểm của đoạn EF (và do đó của cả tam giác DEF nằm phía sau EF) cách B hơn 10,7 m: lưỡi câu không rơi vào nơi nuôi vịt.
Nhận xét. Điểm gần nhất ứng với s=6811 là chân đường vuông góc K(34225;34375)≈(6,62;11,03), nằm trên đoạn EF; Nam cần quăng xa hơn khoảng 2,16 m nữa mới tới.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Cách 1 là lời giải chuẩn của bài; câu a nên dùng dạng đoạn chắn ở Cách 2 để kiểm tra nhanh phương trình EF.
Đáp số.a) A(0;12), B(0;0), C(15;0), D(15;12), E(5;12), F(15;6); EF:3x+5y−75=0. b) Không, vì d(B,EF)=3475≈12,86 m >10,7 m.
Sai lầm thường gặp.Đặt E ở toạ độ (12;5) do nhầm trục: Ox theo tia BC (chiều dài 15 m), Oy theo tia BA (chiều rộng 12 m). Cũng hay so 10,7 với BE=13 và kết luận vội; phải dùng khoảng cách nhỏ nhất d(B,EF) kèm lí do tam giác DEF nằm phía sau EF.
🚀 Mở rộng.Lưỡi câu phải quăng xa tối thiểu 3475≈12,86 m mới chạm tới vùng nuôi vịt; nếu dời chỗ đứng tới C thì chỉ cần d(C,EF)=3430≈5,14 m.
Bài 12 · 7.7★★Trang 41— Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
Bài 7.7 (trang 41). Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau: a) Δ1:32x+2y−3=0 và Δ2:6x+2y−6=0. b) d1:x−3y+2=0 và d2:3x−3y+2=0. c) m1:x−2y+1=0 và m2:3x+y−2=0.
Kiến thức cần nhớ
a2a1=b2b1=c2c1: trùng; a2a1=b2b1=c2c1: song song; a2a1=b2b1: cắt nhau (khi các mẫu khác 0).
n1, n2 cùng phương và có điểm chung thì trùng nhau.
Hệ hai phương trình có nghiệm duy nhất / vô nghiệm / vô số nghiệm tương ứng cắt / song song / trùng.
🧠 Phân tích tư duy
Hệ số chứa căn nên nhân một vế với căn thích hợp để so sánh: câu a nhân 2, câu b nhân 3. Cùng vectơ pháp tuyến thì so hệ số tự do để tách song song/trùng. Câu c hai vectơ pháp tuyến rõ ràng không cùng phương.
1Cách 1. Nhân hệ số để so sánh phương trình.
Định hướng. Biến đổi một phương trình cho cùng hệ số x, y với phương trình kia rồi so hệ số tự do.
a) 2⋅(32x+2y−3)=6x+2y−6⇒ hai phương trình tương đương b) 3⋅(x−3y+2)=3x−3y+23, mà 23=2 c) n1=(1;−2), n2=(3;1), 31=1−2
Vậy a) Δ1≡Δ2 (trùng nhau); b) d1∥d2; c) m1 cắt m2.
2Cách 2. Vectơ pháp tuyến và một điểm.
Định hướng. Xét phương hai vectơ pháp tuyến; nếu cùng phương thì thử một điểm.
a) n2=(6;2)=2(32;2)=2n1; A(0;26)∈Δ1 6⋅0+2⋅26−6=0⇒A∈Δ2 b) n2=(3;−3)=3(1;−3)=3n1; B(−2;0)∈d1 3⋅(−2)−3⋅0+2=2−23=0⇒B∈/d2 c) n1=(1;−2), n2=(3;1) không cùng phương
Vậy a) trùng nhau; b) song song; c) cắt nhau.
3Cách 3. Giải hệ phương trình.
Định hướng. Số nghiệm của hệ quyết định vị trí; câu c tìm luôn giao điểm.
a) 6x+2y=6 ở cả hai phương trình (sau khi nhân 2) ⇒ vô số nghiệm b) {3x−3y=−233x−3y=−2⇒−23=−2 (vô lí) ⇒ vô nghiệm c) {x−2y=−13x+y=2⇒x−2(2−3x)=−1⇒7x=3 x=73, y=2−79=75
Vậy a) trùng nhau; b) song song; c) cắt nhau tại (73;75).
Nhận xét. Ở câu c, n1⋅n2=3−2=1=0 nên hai đường cắt nhau nhưng không vuông góc.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Cách 1 nhanh nhất cho a và b (một phép nhân); câu c chỉ cần nhìn vectơ pháp tuyến.
Đáp số.a) Trùng nhau. b) Song song. c) Cắt nhau tại (73;75).
Sai lầm thường gặp.Câu b thấy n2=3n1 rồi kết luận trùng: thực ra 3 lần d1 có hệ số tự do 23 chứ không phải 2 — điểm (−2;0)∈d1 nhưng không thuộc d2.
🚀 Mở rộng.Tìm m để d1:x−3y+2=0 trùng dm:3x−3y+m=0: cần m=23.
Bài 13 · 7.8★★Trang 41— Tính góc giữa hai đường thẳng
Bài 7.8 (trang 41). Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: a) Δ1:3x+y−4=0 và Δ2:x+3y+3=0; b) d1:{x=−1+2ty=3+4t và d2:{x=3+sy=1−3s (t, s là các tham số).
Kiến thức cần nhớ
cosφ=∣n1∣⋅∣n2∣∣n1⋅n2∣=∣u1∣⋅∣u2∣∣u1⋅u2∣.
Góc nghiêng α của đường thẳng có hệ số góc k: tanα=k.
tanφ=1+k1k2k1−k2.
🧠 Phân tích tư duy
Câu a cho dạng tổng quát nên dùng vectơ pháp tuyến; câu b cho dạng tham số nên dùng vectơ chỉ phương, khỏi đổi dạng. Kết quả là góc đặc biệt, nhận ra từ giá trị côsin 23, 21.
1Cách 1. Công thức côsin với vectơ phù hợp dạng đề.
Định hướng. Câu a dùng n, câu b dùng u (có thể rút gọn u1).
a) n1=(3;1), n2=(1;3) cosφ=3+1⋅1+3∣3⋅1+1⋅3∣=423=23⇒φ=30∘ b) u1=(2;4)=2(1;2), u2=(1;−3) cosφ=5⋅10∣1⋅1+2⋅(−3)∣=525=21⇒φ=45∘
Vậy a) 30∘; b) 45∘.
2Cách 2. Góc nghiêng của từng đường.
Định hướng. Tính góc nghiêng mỗi đường theo tanα=k; góc giữa hai đường là hiệu hai góc nghiêng (lấy góc không tù).
a) Δ1:y=−3x+4, tanα1=−3⇒α1=120∘ Δ2:y=−31x−3, tanα2=−31⇒α2=150∘ φ=150∘−120∘=30∘ b) k1=24=2, k2=1−3=−3 tanφ=1+2⋅(−3)2−(−3)=−55=1⇒φ=45∘
Vậy a) 30∘; b) 45∘.
3Cách 3. Đổi vai: câu a dùng u, câu b dùng n.
Định hướng. Kiểm tra chéo bằng loại vectơ còn lại — kết quả phải giống.
a) u1=(1;−3), u2=(3;−1) cosφ=2⋅2∣3+3∣=23 b) n1=(2;−1), n2=(3;1) cosφ=5⋅10∣6−1∣=21
Vậy a) φ=30∘; b) φ=45∘.
Nhận xét. Hai đường ở câu a đối xứng nhau qua đường thẳng y=x (đổi vai x, y): góc nghiêng 120∘ và 150∘ cách đều góc 135∘ của đường y=−x.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Cách 1 là cách chuẩn khi đi thi; Cách 2 đẹp khi góc nghiêng là góc đặc biệt như câu a.
Đáp số.a) 30∘. b) 45∘.
Sai lầm thường gặp.Câu b lấy nhầm điểm (−1;3) và (3;1) làm vectơ chỉ phương: cos=⋯∣−3+3∣=0 rồi kết luận vuông góc — sai.
🚀 Mở rộng.Viết phương trình đường thẳng qua O tạo với Δ1 góc 30∘: góc nghiêng 120∘±30∘, được y=−31x hoặc x=0 (trục Oy).
Bài 14 · 7.9★★Trang 41— Khoảng cách; viết phương trình đường song song, vuông góc
Bài 7.9 (trang 41). Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0;−2) và đường thẳng Δ:x+y−4=0. a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Δ. b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(−1;0) và song song với Δ. c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0;3) và vuông góc với Δ.
Kiến thức cần nhớ
d(M,Δ)=a2+b2∣ax0+by0+c∣.
Δ′∥Δ:ax+by+c=0⇒Δ′:ax+by+c′=0 (c′=c).
Δ′⊥Δ⇒Δ′:bx−ay+c′=0.
🧠 Phân tích tư duy
Ba câu cùng xoay quanh vectơ pháp tuyến n=(1;1): câu a thay vào công thức; câu b dùng lại n; câu c lấy n làm vectơ chỉ phương. Cách nhanh: đường song song có dạng x+y+c=0, đường vuông góc có dạng x−y+c=0.
1Cách 1. Vectơ pháp tuyến.
Định hướng. Đọc nΔ=(1;1) và dùng cho cả ba câu.
a) d(A,Δ)=12+12∣0+(−2)−4∣=26=32 b) na=(1;1): 1(x+1)+1(y−0)=0⇔x+y+1=0 c) ub=nΔ=(1;1)⇒nb=(1;−1): 1(x−0)−1(y−3)=0⇔x−y+3=0
Vậy a) 32; b) a:x+y+1=0; c) b:x−y+3=0.
2Cách 2. Họ đường thẳng và hình chiếu.
Định hướng. Câu a tìm chân đường vuông góc H rồi tính AH; câu b, c viết dạng họ rồi thay điểm để tìm hệ số tự do.
a) H(0+k;−2+k)∈Δ: k+(−2+k)−4=0⇒k=3⇒H(3;1) AH=32+32=32 b) a:x+y+c=0, M∈a: −1+0+c=0⇒c=1 c) b:x−y+c=0, N∈b: 0−3+c=0⇒c=3
Vậyd(A,Δ)=32; a:x+y+1=0; b:x−y+3=0.
3Cách 3. Hệ số góc và tam giác vuông cân.
Định hướng.Δ:y=−x+4 có hệ số góc −1, tạo với hai trục góc 45∘; khoảng cách đọc qua tam giác vuông cân.
a) Đường qua A song song Ox cắt Δ tại P(6;−2), AP=6 (AP,Δ)=45∘⇒d(A,Δ)=AP⋅sin45∘=6⋅22=32 b) ka=−1: y=−(x+1)⇔x+y+1=0 c) kb⋅(−1)=−1⇒kb=1: y=x+3⇔x−y+3=0
Vậy a) 32; b) x+y+1=0; c) x−y+3=0.
Nhận xét. Kiểm tra: d(M,Δ)=25 chính là khoảng cách giữa hai đường song song a và Δ.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Cách 2 (viết dạng họ rồi thay điểm) nhanh và ít sai nhất cho câu b, c; câu a dùng công thức như Cách 1.
Đáp số.a) d(A,Δ)=32. b) a:x+y+1=0. c) b:x−y+3=0.
Sai lầm thường gặp.Câu c dùng luôn nΔ=(1;1) làm vectơ pháp tuyến của b — ra x+y−3=0, là đường song song chứ không vuông góc với Δ.
🚀 Mở rộng.Điểm A′ đối xứng với A qua Δ là A′=2H−A=(6;4); khi đó AA′=2d(A,Δ)=62.
Bài 15 · 7.10★★Trang 41— Đường cao và diện tích tam giác trong hệ toạ độ
Bài 7.10 (trang 41). Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1;0), B(3;2) và C(−2;−1). a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC. b) Tính diện tích tam giác ABC.
Kiến thức cần nhớ
hA=d(A,BC).
S=21BC⋅hA.
AB=(x1;y1), AC=(x2;y2) thì S=21∣x1y2−x2y1∣.
🧠 Phân tích tư duy
Đường cao từ A chính là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC — lập phương trình BC rồi dùng công thức; diện tích bằng nửa tích cạnh đáy BC với đường cao. Có thể đi ngược: tính diện tích trước bằng toạ độ, rồi suy ra đường cao.
1Cách 1. Phương trình BC và công thức khoảng cách.
Định hướng. Lập BC từ BC, tính d(A,BC), rồi S=21BC⋅hA.
BC=(−5;−3), nBC=(3;−5) BC:3(x−3)−5(y−2)=0⇔3x−5y+1=0 a) hA=32+52∣3⋅1−5⋅0+1∣=344=17234 b) BC=(−5)2+(−3)2=34 S=21⋅34⋅344=2
Vậy a) hA=344=17234≈0,69; b) SABC=2.
2Cách 2. Tìm chân đường cao H.
Định hướng.H nằm trên BC sao cho AH⊥BC; tính AH trực tiếp.
Bài 16 · 7.11★★Trang 41— Chứng minh điều kiện vuông góc qua hệ số góc
Bài 7.11 (trang 41). Chứng minh rằng hai đường thẳng d:y=ax+b(a=0) và d′:y=a′x+b′(a′=0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa′=−1.
Kiến thức cần nhớ
y=ax+b⇔ax−y+b=0: n=(a;−1), u=(1;a).
Δ1⊥Δ2⇔n1⋅n2=0⇔u1⋅u2=0.
Định lí Pythagore đảo: tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia là tam giác vuông.
🧠 Phân tích tư duy
Chuyển “vuông góc” thành “tích vô hướng hai vectơ chỉ phương (hoặc pháp tuyến) bằng 0”. Đường y=ax+b có vectơ chỉ phương (1;a), vectơ pháp tuyến (a;−1) — tích vô hướng ra ngay 1+aa′. Phải chứng minh cả hai chiều, nhưng các phép biến đổi đều là tương đương nên viết một mạch ⇔.
1Cách 1. Vectơ pháp tuyến.
Định hướng. Viết hai đường ở dạng tổng quát rồi dùng điều kiện a1a2+b1b2=0.
Định hướng. Đi 1 đơn vị theo x thì y tăng a: vectơ chỉ phương (1;a).
u=(1;a), u′=(1;a′) d⊥d′⇔u⋅u′=0⇔1+aa′=0⇔aa′=−1
Vậyd⊥d′⇔aa′=−1 (đpcm).
3Cách 3. Định lí Pythagore.
Định hướng. Tịnh tiến hai đường về qua O (không đổi góc): y=ax, y=a′x. Lấy P(1;a), Q(1;a′) trên hai đường; hai đường vuông góc khi và chỉ khi tam giác OPQ vuông tại O.
Nhận xét. Điều kiện a,a′=0 bảo đảm hai đường không song song với trục; nếu a=0 (đường nằm ngang) thì đường vuông góc với nó là đường thẳng đứng, không có hệ số góc.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Cách 2 ngắn nhất (hai dòng); Cách 3 hay vì chỉ dùng kiến thức hình học THCS.
Đáp số.d⊥d′⇔aa′=−1 (chứng minh ở trên).
Sai lầm thường gặp.Chỉ chứng minh một chiều “vuông góc thì aa′=−1” bằng các dấu ⇒ — đề yêu cầu “khi và chỉ khi”, cần các bước tương đương ⇔ hoặc chứng minh cả chiều ngược lại.
🚀 Mở rộng.Ứng dụng: đường thẳng qua M(1;2) vuông góc với y=3x−5 có hệ số góc −31: y=−31x+37.
Bài 17 · 7.12★★Trang 41— Tìm điểm cách đều ba điểm (tâm đường tròn ngoại tiếp)
Bài 7.12 (trang 41). Trong mặt phẳng toạ độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0;0), A(1;0), B(1;3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.
Kiến thức cần nhớ
Điểm cách đều ba đỉnh tam giác là giao của các đường trung trực — tâm đường tròn ngoại tiếp.
Tam giác vuông có tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền.
IM2=(x−xM)2+(y−yM)2.
🧠 Phân tích tư duy
Âm thanh truyền đi với cùng vận tốc theo mọi hướng, nhận cùng lúc nghĩa là nguồn cách đều O, A, B — tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB. Nhìn toạ độ: OA nằm ngang, AB thẳng đứng, nên tam giác vuông tại A — tâm là trung điểm cạnh huyền OB.
1Cách 1. Giải hệ khoảng cách bằng nhau.
Định hướng. Gọi nguồn là I(x;y), lập IO2=IA2 và IO2=IB2.
