Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài 19. Phương trình đường thẳng

SGK Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 16 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngVII #SGK_Tập2 #trang31–34 #CùngBàiBênSBT #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 31— Tập hợp điểm xác định bởi điều kiện vuông góc với một vectơ

HĐ1 (trang 31). Cho vectơ

n \neq = 0

và điểm

A

. Tìm tập hợp những điểm

M

sao cho

A M

vuông góc với

n

Kiến thức cần nhớ

Qua một điểm có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng (một giá) cho trước.
$a ⊥ b \Leftrightarrow a \cdot b = 0$ ; vectơ-không vuông góc với mọi vectơ.
Vectơ $n \neq = 0$ có giá vuông góc với $Δ$ gọi là vectơ pháp tuyến của $Δ$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điều kiện chỉ ràng buộc hướng của

A M

: mọi điểm

M

phải "nhìn" từ

A

theo phương vuông góc với

n

. Qua một điểm có đúng một đường thẳng vuông góc với một phương cho trước, nên đáp án là một đường thẳng. Bẫy: quên điểm

M \equiv A

(

A M = 0

được coi là vuông góc với mọi vectơ) — điểm này vẫn thuộc đường thẳng.

1Cách 1. Lập luận hình học.

Định hướng. Gọi $Δ$ là đường thẳng qua $A$ vuông góc với giá của $n$ rồi chứng minh hai chiều.

M \equiv A

A M = 0 ⊥ n

và

A \in Δ

M \neq = A

A M ⊥ n \Leftrightarrow A M ⊥

giá của

n

\Leftrightarrow

đường thẳng

A M

trùng

Δ

\Leftrightarrow M \in Δ

Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường thẳng $Δ$ đi qua $A$ và vuông góc với giá của $n$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá.

Định hướng. Gắn hệ trục $O x y$ , viết điều kiện vuông góc bằng tích vô hướng rồi nhận ra một phương trình bậc nhất.

A (x_{0}; y_{0})

n (a; b)

với

a^{2} + b^{2} \neq = 0

M (x; y)

A M = (x - x_{0}; y - y_{0})

A M ⊥ n \Leftrightarrow A M \cdot n = 0 \Leftrightarrow a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0

Vậy toạ độ của $M$ thoả mãn một phương trình bậc nhất hai ẩn ( $a, b$ không đồng thời bằng $0$ ), tập hợp các điểm $M$ là một đường thẳng qua $A$ vuông góc với $n$ .

3Cách 3. Dựng vectơ vuông góc với

n

Định hướng. Trong mặt phẳng, các vectơ vuông góc với $n (a; b)$ đều cùng phương với $u (- b; a)$ , nên $M$ chạy trên đường thẳng qua $A$ có phương $u$ .

u \cdot n = - ba + ab = 0 \Rightarrow u ⊥ n

u \neq = 0

A M ⊥ n \Leftrightarrow A M = t u

(t \in R)

\Leftrightarrow M

thuộc đường thẳng qua

A

nhận

u

làm vectơ chỉ phương

Vậy tập hợp các điểm $M$ là đường thẳng qua $A$ , có phương $u (- b; a)$ , tức vuông góc với $n$ .

Nhận xét. Cách 2 dẫn thẳng tới phương trình tổng quát, Cách 3 dẫn tới phương trình tham số — đúng hai nội dung chính của bài học.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách trả lời HĐ gọn nhất; Cách 2 nên nhớ vì nó chính là công thức lập phương trình tổng quát dùng suốt chương.

Đáp số. Tập hợp các điểm

M

là đường thẳng đi qua

A

và vuông góc với giá của

n

Sai lầm thường gặp. Trả lời "tập hợp là đường thẳng song song với

n

" — nhầm vuông góc thành song song; hoặc loại mất điểm

A

vì cho rằng

A M = 0

"không vuông góc" với vectơ nào.

🚀 Mở rộng. Trong không gian, tập hợp các điểm

M

với

A M ⊥ n

không còn là đường thẳng mà là cả một mặt phẳng qua

A

vuông góc với

n

(sẽ học ở lớp 12).

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★★Trang 31— Chứng minh phương trình đường thẳng qua một điểm, biết vectơ pháp tuyến

HĐ2 (trang 31). Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng

Δ

đi qua điểm

A (x_{0}; y_{0})

và có vectơ pháp tuyến

n (a; b)

. Chứng minh rằng điểm

M (x; y)

thuộc

Δ

khi và chỉ khi

a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0

(1)

Kiến thức cần nhớ

$M \in Δ \Leftrightarrow A M ⊥ n$ (kể cả $M \equiv A$ ).
$a (a_{1}; a_{2}) \cdot b (b_{1}; b_{2}) = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ .
Hai vectơ $(p; q)$ và $(r; s)$ cùng phương $\Leftrightarrow p s - q r = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một điểm và một vectơ pháp tuyến, đích là một điều kiện "khi và chỉ khi", nên phải biến

M \in Δ

thành đẳng thức toạ độ qua các bước tương đương. Công cụ ngắn nhất là tích vô hướng bằng

0

. Bẫy: chỉ chứng minh một chiều, hoặc bỏ sót trường hợp

M \equiv A

1Cách 1. Tích vô hướng.

Định hướng. Chuyển điều kiện thuộc đường thẳng thành điều kiện vuông góc rồi viết tích vô hướng bằng toạ độ.

A M = (x - x_{0}; y - y_{0})

M \in Δ \Leftrightarrow A M ⊥ n \Leftrightarrow A M \cdot n = 0

\Leftrightarrow a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0

Vậy $M (x; y) \in Δ \Leftrightarrow a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$ (đpcm).

2Cách 2. Định lí Pythagore.

Định hướng. Dựng điểm $P$ với $A P = n$ ; $M \in Δ$ khi và chỉ khi tam giác $A M P$ vuông tại $A$ (hoặc $M \equiv A$ ), tức $M P^{2} = A M^{2} + A P^{2}$ .

P (x_{0} + a; y_{0} + b)

M P^{2} = (x - x_{0} - a)^{2} + (y - y_{0} - b)^{2}

M P^{2} = (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + a^{2} + b^{2} - 2 [a (x - x_{0}) + b (y - y_{0})]

M P^{2} = A M^{2} + A P^{2} - 2 [a (x - x_{0}) + b (y - y_{0})]

M \in Δ \Leftrightarrow M P^{2} = A M^{2} + A P^{2} \Leftrightarrow a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0

Vậy điểm $M$ thuộc $Δ$ khi và chỉ khi $(1)$ đúng.

3Cách 3. Vectơ chỉ phương và điều kiện cùng phương.

Định hướng. $u (- b; a)$ vuông góc với $n$ nên là vectơ chỉ phương của $Δ$ ; $M \in Δ$ khi và chỉ khi $A M$ cùng phương với $u$ .

u \cdot n = - ba + ab = 0

M \in Δ \Leftrightarrow A M (x - x_{0}; y - y_{0})

cùng phương

u (- b; a)

\Leftrightarrow (x - x_{0}) \cdot a - (y - y_{0}) \cdot (- b) = 0

\Leftrightarrow a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0

Vậy $M (x; y) \in Δ \Leftrightarrow a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$ .

Nhận xét. Khai triển $(1)$ và đặt $c = - a x_{0} - b y_{0}$ ta được phương trình tổng quát $a x + b y + c = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 chỉ có 3 dòng, mỗi dòng là một phép tương đương hiển nhiên — nên dùng khi đi thi; Cách 2 hay vì chỉ dùng độ dài, không cần tích vô hướng.

Đáp số.

M (x; y) \in Δ \Leftrightarrow a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0

; đặt

c = - a x_{0} - b y_{0}

được

a x + b y + c = 0

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm thành

a (x + x_{0}) + b (y + y_{0}) = 0

hoặc đổi chỗ

a (y - y_{0}) + b (x - x_{0}) = 0

— phải ghép hệ số

a

với hiệu hoành độ,

b

với hiệu tung độ, đúng như tích vô hướng.

🚀 Mở rộng. Từ

(1)

suy ra: hai đường

a x + b y + c = 0

và

a x + b y + c^{'} = 0

(

c \neq = c^{'}

) có cùng vectơ pháp tuyến nên song song — cơ sở để viết nhanh phương trình đường song song.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★★Trang 32— Lập phương trình đường cao của tam giác

Luyện tập 1 (trang 32). Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác có ba đỉnh

A (- 1; 5)

B (2; 3)

C (6; 1)

. Lập phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ

A

của tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $A (x_{0}; y_{0})$ nhận $n (a; b)$ làm vectơ pháp tuyến: $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$ .
Đường cao kẻ từ $A$ vuông góc với $B C$ nên nhận $B C$ làm vectơ pháp tuyến.
Hai đường thẳng $y = k_{1} x + m_{1}$ và $y = k_{2} x + m_{2}$ vuông góc $\Leftrightarrow k_{1} k_{2} = - 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường cao kẻ từ

A

vuông góc với

B C

, nên

B C

là một vectơ pháp tuyến có sẵn — chỉ cần một điểm (

A

) là lập xong. Nên rút gọn vectơ pháp tuyến

(4; - 2)

thành

(2; - 1)

để hệ số nhỏ. Bẫy: dùng nhầm

A B

hay

A C

, hoặc lấy điểm

B

thay cho

A

1Cách 1. Vectơ pháp tuyến

B C

Định hướng. Đường cao qua $A$ và nhận $B C$ làm vectơ pháp tuyến.

B C = (6 - 2; 1 - 3) = (4; - 2)

4 (x + 1) - 2 (y - 5) = 0

4 x + 4 - 2 y + 10 = 0

4 x - 2 y + 14 = 0

2 x - y + 7 = 0

Vậy đường cao kẻ từ $A$ có phương trình $2 x - y + 7 = 0$ .

2Cách 2. Rút gọn vectơ pháp tuyến trước.

Định hướng. Vectơ pháp tuyến có thể nhân với số khác $0$ , chọn $n = \frac{1}{2} B C$ cho gọn.

n = \frac{1}{2} B C = (2; - 1)

2 (x + 1) - 1 \cdot (y - 5) = 0

2 x + 2 - y + 5 = 0

2 x - y + 7 = 0

Vậy phương trình tổng quát cần tìm là $2 x - y + 7 = 0$ .

3Cách 3. Hệ số góc.

Định hướng. Tính hệ số góc của $B C$ , đường cao có hệ số góc là số nghịch đảo đổi dấu.

k_{B C} = \frac{1 - 3}{6 - 2} = - \frac{1}{2}

k \cdot (- \frac{1}{2}) = - 1 \Rightarrow k = 2

y - 5 = 2 (x + 1)

y = 2 x + 7

2 x - y + 7 = 0

Vậy đường cao kẻ từ $A$ : $2 x - y + 7 = 0$ .

Nhận xét. Thử lại: $2 \cdot (- 1) - 5 + 7 = 0$ nên $A$ thuộc đường; $B C \cdot (1; 2) = 4 - 4 = 0$ nên đường vuông góc $B C$ . Chân đường cao là $H (- \frac{6}{5}; \frac{23}{5})$ nằm trên phần kéo dài của $B C$ vì góc $B$ tù.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: lấy luôn

B C

rút gọn làm vectơ pháp tuyến, chỉ 3 dòng và không phải xét đường thẳng đứng như Cách 3.

Đáp số.

2 x - y + 7 = 0

Sai lầm thường gặp. Lấy

B C

làm vectơ chỉ phương (nhầm với vectơ pháp tuyến) sẽ ra

x + 2 y - 9 = 0

— đó là đường qua

A

song song với

B C

, không phải đường cao. Lấy điểm

B

thay cho

A

thì ra đường qua

B

vuông góc

B C

, cũng sai.

🚀 Mở rộng. Cùng cách, đường trung trực của

B C

là đường qua trung điểm

I (4; 2)

nhận

B C

làm vectơ pháp tuyến:

2 x - y - 6 = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 2★Trang 32— Tìm vectơ pháp tuyến từ phương trình

y = k x + m

Luyện tập 2 (trang 32). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Δ : y = 3 x + 4

Kiến thức cần nhớ

$a x + b y + c = 0$ có vectơ pháp tuyến $n (a; b)$ .
Đường thẳng $y = k x + m$ có vectơ pháp tuyến $(k; - 1)$ và vectơ chỉ phương $(1; k)$ .
$u (p; q)$ là vectơ chỉ phương thì $n (q; - p)$ là vectơ pháp tuyến.

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình đang ở dạng hàm số bậc nhất, chưa phải dạng

a x + b y + c = 0

, nên phải chuyển vế trước khi đọc hệ số. Ví dụ 3 cho kết quả tổng quát:

y = a x + b

có vectơ pháp tuyến

(a; - 1)

. Bẫy: đọc nhầm thành

(3; 4)

hoặc

(3; 1)

1Cách 1. Đưa về phương trình tổng quát.

Định hướng. Chuyển vế để có dạng $a x + b y + c = 0$ rồi đọc $(a; b)$ .

y = 3 x + 4 \Leftrightarrow 3 x - y + 4 = 0

n = (3; - 1)

Vậy một vectơ pháp tuyến của $Δ$ là $n (3; - 1)$ .

2Cách 2. Dùng kết quả Ví dụ 3.

Định hướng. Đường thẳng $y = a x + b$ là đường qua $(0; b)$ có vectơ pháp tuyến $(a; - 1)$ .

a = 3

b = 4

n = (a; - 1) = (3; - 1)

Vậy $n (3; - 1)$ là một vectơ pháp tuyến.

3Cách 3. Qua hai điểm, lấy vectơ vuông góc.

Định hướng. Lấy hai điểm trên $Δ$ để có vectơ chỉ phương, rồi đổi chỗ hai toạ độ và đổi dấu một toạ độ.

x = 0 \Rightarrow y = 4

;

x = 1 \Rightarrow y = 7

P (0; 4)

Q (1; 7)

P Q = (1; 3)

n = (3; - 1)

n \cdot P Q = 3 - 3 = 0

Vậy $n (3; - 1)$ là một vectơ pháp tuyến của $Δ$ .

Nhận xét. Mọi vectơ $k (3; - 1)$ với $k \neq = 0$ , chẳng hạn $(- 3; 1)$ hay $(6; - 2)$ , đều đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 nhanh nhất khi đề cho dạng

y = k x + m

: đọc ngay

(k; - 1)

, không cần chuyển vế.

Đáp số.

n (3; - 1)

(hoặc bất kì vectơ

k (3; - 1)

k \neq = 0

Sai lầm thường gặp. Đọc

n = (3; 4)

vì "lấy hai hệ số có mặt" — sai, vì

4

là hệ số tự do; hay đọc

(3; 1)

do quên chuyển

y

sang vế trái thành

- y

🚀 Mở rộng. Tổng quát: đường

y = k x + m

có vectơ pháp tuyến

(k; - 1)

, vectơ chỉ phương

(1; k)

; đường thẳng đứng

x = m

không viết được dạng này và có vectơ pháp tuyến

(1; 0)

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · HĐ3★Trang 32— Đọc hình: đường thẳng chứa quỹ đạo có hướng của vận tốc

HĐ3 (trang 32). Trong Hình 7.2a, nếu một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc bằng

v

và đi qua

A

thì nó di chuyển trên đường nào?
(Hình 7.2a: hai đường thẳng $Δ_{1}$ , $Δ_{2}$ cắt nhau tại $A$ ; vectơ $v$ có giá song song với $Δ_{2}$ .)

Kiến thức cần nhớ

Chuyển động thẳng đều: độ dời $A M = t v$ , nên $M$ nằm trên đường qua $A$ có phương $v$ .
Qua một điểm có đúng một đường thẳng song song (hoặc trùng) với giá của một vectơ khác $0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vận tốc không đổi thì vật chuyển động thẳng theo đúng hướng của

v

. Vậy chỉ cần tìm trong hai đường qua

A

đường nào có phương trùng phương của

v

. Bẫy: chọn đường gần

v

nhất trên hình thay vì đường song song với

v

1Cách 1. Quỹ đạo cùng phương vận tốc.

Định hướng. Vật đi qua $A$ và luôn dời theo hướng $v$ nên nằm trên đường qua $A$ có phương $v$ .

A M = t v

\Rightarrow

M

thuộc đường qua

A

song song giá

v

giá

v ∥ Δ_{2}

A \in Δ_{2}

Vậy vật di chuyển trên đường thẳng $Δ_{2}$ .

2Cách 2. Loại trừ.

Định hướng. Kiểm tra từng đường qua $A$ : đường nào không cùng phương với $v$ thì bị loại.

Δ_{1}

cắt giá của

v

(gần như vuông góc)

\Rightarrow

loại

Δ_{2}

có phương trùng phương

v

\Rightarrow

nhận

Vậy vật chuyển động trên $Δ_{2}$ .

Nhận xét. Đây là ý tưởng của vectơ chỉ phương: $v$ là một vectơ chỉ phương của $Δ_{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là lập luận trực tiếp, đủ và ngắn; Cách 2 chỉ để kiểm tra lại khi đọc hình.

Đáp số. Vật di chuyển trên đường thẳng

Δ_{2}

Sai lầm thường gặp. Chọn

Δ_{1}

vì nó "đi lên" giống mũi tên — phải so phương (song song), không so hướng lên hay xuống.

🚀 Mở rộng. Nếu vận tốc là

- v

thì vật vẫn đi trên

Δ_{2}

nhưng ngược chiều — vectơ chỉ phương chỉ quyết định phương, không quyết định chiều.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 3★Trang 33— Tìm vectơ chỉ phương từ phương trình tổng quát

Luyện tập 3 (trang 33). Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng

Δ : 2 x - y + 1 = 0

Kiến thức cần nhớ

$a x + b y + c = 0$ có vectơ pháp tuyến $n (a; b)$ , vectơ chỉ phương $u (- b; a)$ hoặc $(b; - a)$ .
Đường thẳng qua hai điểm $P, Q$ nhận $P Q$ làm vectơ chỉ phương.
$y = k x + m$ có vectơ chỉ phương $(1; k)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình tổng quát cho ngay vectơ pháp tuyến

(2; - 1)

; vectơ chỉ phương vuông góc với nó nên đổi chỗ hai toạ độ và đổi dấu một toạ độ. Bẫy: lấy luôn

(2; - 1)

làm vectơ chỉ phương.

1Cách 1. Từ vectơ pháp tuyến.

Định hướng. Đọc $n (a; b)$ rồi lấy $u (- b; a)$ .

n = (2; - 1)

u = (- (- 1); 2) = (1; 2)

u \cdot n = 2 - 2 = 0

Vậy một vectơ chỉ phương của $Δ$ là $u (1; 2)$ .

2Cách 2. Lấy hai điểm thuộc

Δ

Định hướng. Cho $x$ hai giá trị, tính $y$ , được hai điểm của $Δ$ .

x = 0 \Rightarrow y = 1

;

x = 1 \Rightarrow y = 3

P (0; 1)

Q (1; 3)

P Q = (1; 2)

Vậy $u (1; 2)$ là một vectơ chỉ phương.

3Cách 3. Qua hệ số góc.

Định hướng. Viết $Δ$ dưới dạng $y = k x + m$ , vectơ chỉ phương là $(1; k)$ .

2 x - y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = 2 x + 1

k = 2 \Rightarrow u = (1; 2)

Vậy $u (1; 2)$ .

Nhận xét. Có thể chọn bất kì $k (1; 2)$ , $k \neq = 0$ , ví dụ $(- 1; - 2)$ hay $(2; 4)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 nhanh nhất: nhìn phương trình là viết được

(- b; a)

trong một dòng, dùng cho mọi đường kể cả đường thẳng đứng.

Đáp số.

u (1; 2)

(hoặc mọi vectơ

k (1; 2)

k \neq = 0

Sai lầm thường gặp. Viết

u = (2; - 1)

(chính là vectơ pháp tuyến) hoặc

u = (1; - 2)

(đổi chỗ nhưng quên đổi dấu) — kiểm tra

(1; - 2) \cdot (2; - 1) = 4 \neq = 0

là thấy sai.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

Δ : a x + b y + c = 0

luôn có vectơ chỉ phương

(- b; a)

— nhớ bằng câu "đổi chỗ, đổi dấu một toạ độ".

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · HĐ4★★Trang 33— Chuyển động thẳng đều và phương trình tham số

HĐ4 (trang 33). Chuyển động của một vật thể được thể hiện trên mặt phẳng

O x y

. Vật thể khởi hành từ

A (2; 1)

và chuyển động thẳng đều với vectơ vận tốc

v (3; 4)

.
a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)?
b) Chứng minh rằng, tại thời điểm

t

(t > 0)

tính từ khi khởi hành, vật thể ở vị trí có toạ độ là

(2 + 3 t; 1 + 4 t)

Kiến thức cần nhớ

Chuyển động thẳng đều với vận tốc $v$ : vị trí sau thời gian $t$ là $M$ với $A M = t v$ .
$A M = t u \Leftrightarrow {x = x_{0} + a t y = y_{0} + b t$ với $u (a; b)$ .
$∣ v ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 5$ là tốc độ.

🧠 Phân tích tư duy

Vận tốc không đổi nên quỹ đạo là đường thẳng qua điểm xuất phát, có phương của

v

. Sau thời gian

t

, độ dời là

t v

— đây chính là hệ thức

A M = t u

sinh ra phương trình tham số. Bẫy: nhầm

t v

với

v + t

1Cách 1. Hệ thức vectơ độ dời.

Định hướng. Độ dời sau thời gian $t$ bằng $t v$ ; viết theo toạ độ.

a) Quỹ đạo: đường thẳng qua

A (2; 1)

, vectơ chỉ phương

v (3; 4)

A M = t v

(x - 2; y - 1) = (3 t; 4 t)

x = 2 + 3 t

y = 1 + 4 t

Vậy a) vật chuyển động trên đường thẳng qua $A (2; 1)$ có vectơ chỉ phương $v (3; 4)$ ; b) tại thời điểm $t$ vật ở $M (2 + 3 t; 1 + 4 t)$ (đpcm).

2Cách 2. Quãng đường và vectơ đơn vị.

Định hướng. Tốc độ là $∣ v ∣ = 5$ , sau $t$ giờ đi được $5 t$ theo hướng vectơ đơn vị $e = \frac{v}{5}$ .

∣ v ∣ = 9 + 16 = 5

e = (\frac{3}{5}; \frac{4}{5})

A M = 5 t \cdot e = 5 t (\frac{3}{5}; \frac{4}{5}) = (3 t; 4 t)

M = (2 + 3 t; 1 + 4 t)

Vậy vị trí tại thời điểm $t$ là $(2 + 3 t; 1 + 4 t)$ , nằm trên đường qua $A$ có phương $v$ .

3Cách 3. Tách chuyển động theo hai trục.

Định hướng. Hình chiếu của vật trên $O x$ và $O y$ chuyển động đều với vận tốc $3$ và $4$ .

Trên

O x

x (0) = 2

x (t) = 2 + 3 t

Trên

O y

y (0) = 1

y (t) = 1 + 4 t

\frac{x ( t ) - 2}{3} = \frac{y ( t ) - 1}{4} = t

\Rightarrow

A M = t (3; 4)

cùng phương

v

Vậy vật đi trên đường qua $A (2; 1)$ với vectơ chỉ phương $v (3; 4)$ và ở vị trí $(2 + 3 t; 1 + 4 t)$ .

Nhận xét. Hệ $x = 2 + 3 t$ , $y = 1 + 4 t$ chính là phương trình tham số của đường chuyển động; ví dụ tại $t = 1, 5$ vật ở $M (6, 5; 7)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 ngắn và là đúng tinh thần của bài học (phương trình tham số); Cách 3 dễ hiểu nhất với học sinh thích Vật lí.

Đáp số. a) Đường thẳng qua

A (2; 1)

, vectơ chỉ phương

v (3; 4)

. b)

M (2 + 3 t; 1 + 4 t)

Sai lầm thường gặp. Viết vị trí là

(3 + 2 t; 4 + t)

— đổi vai trò điểm và vectơ; hoặc cho rằng sau

t

giờ vật đi được

t

đơn vị độ dài (quên tốc độ là

∣ v ∣ = 5

🚀 Mở rộng. Nếu vật khởi hành lúc

t_{0}

thay vì

0

thì vị trí là

(2 + 3 (t - t_{0}); 1 + 4 (t - t_{0}))

— vẫn là một phương trình tham số của cùng đường thẳng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Luyện tập 4★★Trang 33— Phương trình tham số của đường thẳng song song với đường cho trước

Luyện tập 4 (trang 33). Lập phương trình tham số của đường thẳng

Δ

đi qua điểm

M (- 1; 2)

và song song với đường thẳng

d : 3 x - 4 y - 1 = 0

Kiến thức cần nhớ

Hai đường song song có chung vectơ pháp tuyến và chung vectơ chỉ phương.
$a x + b y + c = 0$ có vectơ chỉ phương $(- b; a)$ hoặc $(b; - a)$ .
Đường qua $M (x_{0}; y_{0})$ , vectơ chỉ phương $(a; b)$ : $x = x_{0} + a t$ , $y = y_{0} + b t$ .

🧠 Phân tích tư duy

Song song thì cùng vectơ pháp tuyến

(3; - 4)

, cũng cùng vectơ chỉ phương. Đề hỏi tham số nên cần vectơ chỉ phương: đổi chỗ, đổi dấu thành

(4; 3)

. Bẫy: dùng

(3; - 4)

làm vectơ chỉ phương.

1Cách 1. Vectơ chỉ phương từ vectơ pháp tuyến của

d

Định hướng. $Δ ∥ d$ nên nhận vectơ chỉ phương của $d$ .

n_{d} = (3; - 4) \Rightarrow u = (4; 3)

Δ : {x = - 1 + 4 t y = 2 + 3 t

Vậy $Δ : x = - 1 + 4 t, y = 2 + 3 t$ $(t \in R)$ .

2Cách 2. Viết phương trình tổng quát rồi tham số hoá.

Định hướng. Đường song song $d$ có dạng $3 x - 4 y + c = 0$ ; tìm $c$ nhờ $M$ , rồi lấy thêm một điểm.

3 \cdot (- 1) - 4 \cdot 2 + c = 0 \Rightarrow c = 11

Δ : 3 x - 4 y + 11 = 0

x = 3 \Rightarrow 4 y = 20 \Rightarrow y = 5

N (3; 5) \in Δ

M N = (4; 3)

Δ : x = - 1 + 4 t

y = 2 + 3 t

Vậy phương trình tham số: $x = - 1 + 4 t$ , $y = 2 + 3 t$ .

3Cách 3. Lấy hai điểm của

d

Định hướng. Hai điểm của $d$ cho ngay vectơ chỉ phương chung.

x = - 1 \Rightarrow - 3 - 4 y - 1 = 0 \Rightarrow y = - 1

P (- 1; - 1)

x = 3 \Rightarrow 9 - 4 y - 1 = 0 \Rightarrow y = 2

Q (3; 2)

P Q = (4; 3)

M \in / d

vì

- 3 - 8 - 1 = - 12 \neq = 0

Δ : x = - 1 + 4 t

y = 2 + 3 t

Vậy $Δ : x = - 1 + 4 t$ , $y = 2 + 3 t$ .

Nhận xét. Phải kiểm tra $M \in / d$ để $Δ$ song song chứ không trùng $d$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 chỉ 2 dòng: song song thì "mượn" luôn vectơ chỉ phương

(4; 3)

của

d

Đáp số.

Δ : x = - 1 + 4 t

y = 2 + 3 t

(tương đương

3 x - 4 y + 11 = 0

Sai lầm thường gặp. Lấy

u = (3; - 4)

sẽ ra

x = - 1 + 3 t

y = 2 - 4 t

— đường này vuông góc với

d

, không song song.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi "song song" thành "vuông góc với

d

" thì chỉ việc lấy

(3; - 4)

làm vectơ chỉ phương:

x = - 1 + 3 t

y = 2 - 4 t

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 5★★Trang 33— Phương trình đường thẳng qua hai điểm (dạng chữ)

Luyện tập 5 (trang 33). Lập phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

A (x_{1}; y_{1})

B (x_{2}; y_{2})

cho trước.

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng $A B$ nhận $A B (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1})$ làm vectơ chỉ phương.
$u (p; q)$ là vectơ chỉ phương thì $n (q; - p)$ là vectơ pháp tuyến.
$M \in A B \Leftrightarrow A M$ cùng phương $A B$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai điểm cho ngay vectơ chỉ phương

A B

, từ đó có vectơ pháp tuyến bằng cách đổi chỗ, đổi dấu. Vì là bài dạng chữ nên phải để ý

A \neq = B

bảo đảm

A B \neq = 0

. Bẫy: viết dạng "chính tắc" có mẫu

x_{2} - x_{1}

mà quên trường hợp mẫu bằng

0

1Cách 1. Vectơ chỉ phương rồi vectơ pháp tuyến.

Định hướng. Dùng $A B$ cho phương trình tham số, $n (y_{2} - y_{1}; - (x_{2} - x_{1}))$ cho phương trình tổng quát.

A B = (x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}) \neq = 0

Tham số:

{x = x_{1} + (x_{2} - x_{1}) t y = y_{1} + (y_{2} - y_{1}) t

n = (y_{2} - y_{1}; x_{1} - x_{2})

Tổng quát:

(y_{2} - y_{1}) (x - x_{1}) + (x_{1} - x_{2}) (y - y_{1}) = 0

Vậy phương trình tham số $x = x_{1} + (x_{2} - x_{1}) t$ , $y = y_{1} + (y_{2} - y_{1}) t$ ; phương trình tổng quát $(y_{2} - y_{1}) (x - x_{1}) - (x_{2} - x_{1}) (y - y_{1}) = 0$ .

2Cách 2. Điều kiện cùng phương.

Định hướng. Viết $M \in A B$ bằng hai cách diễn đạt sự cùng phương: dạng $A M = t A B$ và dạng định thức bằng $0$ .

M (x; y) \in A B \Leftrightarrow A M = t A B

\Leftrightarrow x - x_{1} = (x_{2} - x_{1}) t

y - y_{1} = (y_{2} - y_{1}) t

M (x; y) \in A B \Leftrightarrow (x - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) - (y - y_{1}) (x_{2} - x_{1}) = 0

Vậy hai phương trình như Cách 1.

3Cách 3. Khử tham số.

Định hướng. Từ phương trình tham số, khử $t$ bằng cách nhân chéo để ra phương trình tổng quát.

x - x_{1} = (x_{2} - x_{1}) t (\times (y_{2} - y_{1}))

y - y_{1} = (y_{2} - y_{1}) t (\times (x_{2} - x_{1}))

(x - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) = (x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) t = (y - y_{1}) (x_{2} - x_{1})

(y_{2} - y_{1}) (x - x_{1}) - (x_{2} - x_{1}) (y - y_{1}) = 0

Vậy phương trình tổng quát $(y_{2} - y_{1}) (x - x_{1}) - (x_{2} - x_{1}) (y - y_{1}) = 0$ .

Nhận xét. Khi $x_{1} \neq = x_{2}$ và $y_{1} \neq = y_{2}$ có thể viết gọn $\frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}}$ ; công thức nhân chéo ở trên đúng cả khi $x_{1} = x_{2}$ (ra $x = x_{1}$ ) hay $y_{1} = y_{2}$ (ra $y = y_{1}$ ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 đáng nhớ nhất: một điều kiện "cùng phương" cho luôn cả hai phương trình, không phải qua vectơ pháp tuyến.

Đáp số. Tham số:

x = x_{1} + (x_{2} - x_{1}) t

y = y_{1} + (y_{2} - y_{1}) t

. Tổng quát:

(y_{2} - y_{1}) (x - x_{1}) - (x_{2} - x_{1}) (y - y_{1}) = 0

Sai lầm thường gặp. Viết

\frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}}

làm đáp án chung — sai khi

x_{1} = x_{2}

hoặc

y_{1} = y_{2}

vì mẫu bằng

0

. Cũng hay viết nhầm vectơ pháp tuyến

(x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1})

(đó là vectơ chỉ phương).

🚀 Mở rộng. Áp dụng ngay: qua

A (2; 3)

B (1; 5)

được

(5 - 3) (x - 2) - (1 - 2) (y - 3) = 0

, tức

2 x + y - 7 = 0

(khớp Ví dụ 6).

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Vận dụng★★Trang 34— Ứng dụng phương trình đường thẳng qua hai điểm

Vận dụng (trang 34). Việc quy đổi nhiệt độ giữa đơn vị độ C (Anders Celsius, 1701 – 1744) và đơn vị độ F (Daniel Fahrenheit, 1686 – 1736) được xác định bởi hai mốc sau:
Nước đóng băng ở

0

°C,

32

°F;
Nước sôi ở

100

°C,

212

°F.
Trong quy đổi đó, nếu

a

°C tương ứng với

b

°F thì trên mặt phẳng toạ độ

O x y

, điểm

M (a; b)

thuộc đường thẳng đi qua

A (0; 32)

và

B (100; 212)

.
Hỏi

0

°F,

100

°F tương ứng với bao nhiêu độ C?

Kiến thức cần nhớ

Đường qua hai điểm nhận $A B$ làm vectơ chỉ phương.
Phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng.
Đồ thị hàm số bậc nhất $b = k a + m$ là một đường thẳng.

🧠 Phân tích tư duy

Mọi cặp (°C; °F) nằm trên đường

A B

, nên lập phương trình

A B

rồi thay

b = 0

và

b = 100

để tìm

a

. Chú ý

a

là hoành độ (°C),

b

là tung độ (°F). Bẫy: thay nhầm

a = 0

a = 100

(đó là hai mốc đã cho).

1Cách 1. Phương trình tham số.

Định hướng. Vectơ chỉ phương $A B = (100; 180)$ rút gọn thành $(5; 9)$ ; giải $t$ theo $b$ .

u = \frac{1}{20} A B = (5; 9)

A B : a = 5 t

b = 32 + 9 t

b = 0

32 + 9 t = 0 \Rightarrow t = - \frac{32}{9} \Rightarrow a = - \frac{160}{9} \approx - 17, 8

b = 100

32 + 9 t = 100 \Rightarrow t = \frac{68}{9} \Rightarrow a = \frac{340}{9} \approx 37, 8

Vậy $0$ °F $\approx - 17, 8$ °C và $100$ °F $\approx 37, 8$ °C.

2Cách 2. Phương trình tổng quát.

Định hướng. Vectơ pháp tuyến $(9; - 5)$ vuông góc $(5; 9)$ ; viết phương trình qua $A (0; 32)$ rồi rút $a$ .

9 (a - 0) - 5 (b - 32) = 0

9 a - 5 b + 160 = 0

a = \frac{5 b - 160}{9}

b = 0 \Rightarrow a = - \frac{160}{9}

;

b = 100 \Rightarrow a = \frac{500 - 160}{9} = \frac{340}{9}

Vậy $0$ °F ứng với $- \frac{160}{9} \approx - 17, 8$ °C, $100$ °F ứng với $\frac{340}{9} \approx 37, 8$ °C.

3Cách 3. Hàm số bậc nhất (hệ số góc).

Định hướng. Đường $A B$ là đồ thị $b = k a + 32$ với $k$ là tỉ số độ tăng.

k = \frac{212 - 32}{100 - 0} = \frac{9}{5}

b = \frac{9}{5} a + 32

a = \frac{5}{9} (b - 32)

a = \frac{5}{9} (0 - 32) = - \frac{160}{9}

;

a = \frac{5}{9} (100 - 32) = \frac{340}{9}

Vậy $0$ °F $\approx - 17, 8$ °C, $100$ °F $\approx 37, 8$ °C.

Nhận xét. Công thức $C = \frac{5}{9} (F - 32)$ là công thức quy đổi quen thuộc; $100$ °F gần với thân nhiệt người (khoảng $37$ °C).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 nhanh nhất và cho luôn công thức quy đổi dùng được mãi; Cách 1 và 2 luyện đúng kĩ năng của bài.

Đáp số.

0

°F

= - \frac{160}{9}

°C

\approx - 17, 8

°C;

100

°F

= \frac{340}{9}

°C

\approx 37, 8

°C.

Sai lầm thường gặp. Thay

a = 0

hoặc

a = 100

vào phương trình (tức tìm độ F) — ngược đề. Hoặc viết nhầm

b = \frac{5}{9} a + 32

(đảo tỉ số), khi đó nước sôi

100

°C ra

\approx 87, 6

°F, vô lí.

🚀 Mở rộng. Tìm nhiệt độ mà số đo độ C và độ F bằng nhau: giải

a = \frac{9}{5} a + 32

được

a = - 40

, tức

- 40

°C

= - 40

°F — giao của

A B

với đường

b = a

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 7.1★Trang 34— Lập phương trình tổng quát, tham số khi biết điểm và vectơ

Bài 7.1 (trang 34). Trong mặt phẳng toạ độ, cho

n = (2; 1)

v = (3; 2)

A (1; 3)

B (- 2; 1)

.
a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng

Δ_{1}

đi qua

A

và có vectơ pháp tuyến

n

.
b) Lập phương trình tham số của đường thẳng

Δ_{2}

đi qua

B

và có vectơ chỉ phương

v

.
c) Lập phương trình tham số của đường thẳng

A B

Kiến thức cần nhớ

Điểm $(x_{0}; y_{0})$ + vectơ pháp tuyến $(a; b)$ : $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$ .
Điểm $(x_{0}; y_{0})$ + vectơ chỉ phương $(a; b)$ : $x = x_{0} + a t$ , $y = y_{0} + b t$ .
Phương trình tham số của một đường thẳng không duy nhất (đổi điểm, đổi vectơ chỉ phương).

🧠 Phân tích tư duy

Ba câu là ba công thức gốc: điểm + vectơ pháp tuyến, điểm + vectơ chỉ phương, hai điểm. Câu c có điều thú vị:

A B = (- 3; - 2)

cùng phương với

v

, và

B

thuộc cả hai đường, nên

A B

trùng

Δ_{2}

. Bẫy: nhầm vai trò

n

và

v

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp công thức.

Định hướng. Mỗi câu thay đúng điểm và vectơ vào công thức tương ứng.

2 (x - 1) + 1 \cdot (y - 3) = 0 \Leftrightarrow 2 x + y - 5 = 0

Δ_{2} : x = - 2 + 3 t

y = 1 + 2 t

A B = (- 3; - 2)

A B : x = 1 - 3 t

y = 3 - 2 t

Vậy a) $Δ_{1} : 2 x + y - 5 = 0$ ; b) $Δ_{2} : x = - 2 + 3 t$ , $y = 1 + 2 t$ ; c) $A B : x = 1 - 3 t$ , $y = 3 - 2 t$ .

2Cách 2. Chuyển đổi giữa các dạng.

Định hướng. Câu a đi qua hệ số góc; câu b viết dạng tổng quát rồi tham số hoá; câu c chọn vectơ chỉ phương gọn $- A B$ .

n (2; 1) \Rightarrow k = - 2

y - 3 = - 2 (x - 1) \Leftrightarrow 2 x + y - 5 = 0

n_{2} = (2; - 3)

2 (x + 2) - 3 (y - 1) = 0 \Leftrightarrow 2 x - 3 y + 7 = 0

x = - 2 + 3 t \Rightarrow 3 y = 2 (- 2 + 3 t) + 7 = 3 + 6 t \Rightarrow y = 1 + 2 t

u = - A B = (3; 2)

A B : x = 1 + 3 t

y = 3 + 2 t

Vậy kết quả như Cách 1 (câu c viết bằng vectơ chỉ phương $(3; 2)$ cũng đúng).

3Cách 3. Nhận xét

A \in Δ_{2}

Định hướng. Thử xem $A$ có nằm trên $Δ_{2}$ không; nếu có thì $A B$ chính là $Δ_{2}$ .

x = 1 \Rightarrow - 2 + 3 t = 1 \Rightarrow t = 1 \Rightarrow y = 1 + 2 \cdot 1 = 3

A (1; 3) \in Δ_{2}

B \in Δ_{2} \Rightarrow A B \equiv Δ_{2}

A B : x = - 2 + 3 t

y = 1 + 2 t

Vậy c) đường thẳng $A B$ trùng $Δ_{2}$ , có phương trình tham số $x = - 2 + 3 t$ , $y = 1 + 2 t$ .

Nhận xét. Ba phương trình tham số ở câu c ( $x = 1 - 3 t$ , $y = 3 - 2 t$ ; $x = 1 + 3 t$ , $y = 3 + 2 t$ ; $x = - 2 + 3 t$ , $y = 1 + 2 t$ ) cùng biểu diễn một đường $2 x - 3 y + 7 = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 cho a, b; riêng câu c nên dùng nhận xét ở Cách 3 — phát hiện

A B \equiv Δ_{2}

vừa kiểm tra đáp số vừa đỡ tính.

Đáp số. a)

2 x + y - 5 = 0

. b)

x = - 2 + 3 t

y = 1 + 2 t

. c)

x = 1 - 3 t

y = 3 - 2 t

(đường

A B

trùng

Δ_{2}

Sai lầm thường gặp. Dùng

n (2; 1)

làm vectơ chỉ phương ở câu a (ra

x = 1 + 2 t

y = 3 + t

— đường vuông góc với

Δ_{1}

). Ở câu c nhiều bạn nghĩ đáp án khác sách là sai, thật ra phương trình tham số không duy nhất.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: đường qua

B

có vectơ chỉ phương

v

chứa điểm

A

khi và chỉ khi

B A

cùng phương

v

— dùng để kiểm tra ba điểm thẳng hàng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 7.2★Trang 34— Phương trình các trục toạ độ

Bài 7.2 (trang 34). Lập phương trình tổng quát của các trục toạ độ.

Kiến thức cần nhớ

$O x$ qua $O$ , vectơ chỉ phương $i (1; 0)$ , vectơ pháp tuyến $j (0; 1)$ .
$O y$ qua $O$ , vectơ chỉ phương $j (0; 1)$ , vectơ pháp tuyến $i (1; 0)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai trục là hai đường thẳng đặc biệt qua gốc

O

, có vectơ pháp tuyến là vectơ đơn vị của trục kia. Cũng có thể nhìn trực tiếp: điểm trên

O x

có tung độ

0

. Bẫy: viết

O x : x = 0

(lẫn với

O y

1Cách 1. Điểm

O

và vectơ pháp tuyến.

Định hướng. $O x ⊥ j$ , $O y ⊥ i$ .

O x

0 \cdot (x - 0) + 1 \cdot (y - 0) = 0 \Leftrightarrow y = 0

O y

1 \cdot (x - 0) + 0 \cdot (y - 0) = 0 \Leftrightarrow x = 0

Vậy $O x : y = 0$ và $O y : x = 0$ .

2Cách 2. Tính chất toạ độ của điểm.

Định hướng. Mô tả tập điểm của mỗi trục bằng điều kiện toạ độ.

M (x; y) \in O x \Leftrightarrow M (x; 0) \Leftrightarrow y = 0

M (x; y) \in O y \Leftrightarrow M (0; y) \Leftrightarrow x = 0

Vậy $O x : y = 0$ ; $O y : x = 0$ .

3Cách 3. Công thức đường qua hai điểm.

Định hướng. Áp dụng Luyện tập 5 với $O (0; 0)$ , $I (1; 0)$ và $O (0; 0)$ , $J (0; 1)$ .

O x

(0 - 0) (x - 0) - (1 - 0) (y - 0) = 0 \Leftrightarrow - y = 0 \Leftrightarrow y = 0

O y

(1 - 0) (x - 0) - (0 - 0) (y - 0) = 0 \Leftrightarrow x = 0

Vậy $O x : y = 0$ ; $O y : x = 0$ .

Nhận xét. Viết đầy đủ dạng $a x + b y + c = 0$ : $O x : 0 x + 1 y + 0 = 0$ , $O y : 1 x + 0 y + 0 = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 chỉ một dòng mỗi trục và không thể nhầm; Cách 1 dùng để trình bày đúng "phương trình tổng quát".

Đáp số.

O x : y = 0

;

O y : x = 0

Sai lầm thường gặp. Viết ngược

O x : x = 0

do nghĩ "trục

x

thì

x = 0

" — thực ra trên trục hoành tung độ bằng

0

🚀 Mở rộng. Tương tự, đường song song với

O x

qua

(0; m)

là

y = m

, đường song song với

O y

qua

(m; 0)

là

x = m

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 7.3★★Trang 34— Chuyển đổi phương trình tham số ⇄ phương trình tổng quát

Bài 7.3 (trang 34). Cho hai đường thẳng

Δ_{1} : {x = 1 + 2 t y = 3 + 5 t

và

Δ_{2} : 2 x + 3 y - 5 = 0

.
a) Lập phương trình tổng quát của

Δ_{1}

.
b) Lập phương trình tham số của

Δ_{2}

Kiến thức cần nhớ

$u (a; b)$ là vectơ chỉ phương $\Leftrightarrow n (b; - a)$ là vectơ pháp tuyến.
Khử $t$ trong hệ tham số được phương trình tổng quát.
Phương trình tham số không duy nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a: từ tham số đọc điểm

(1; 3)

và vectơ chỉ phương

(2; 5)

, đổi thành vectơ pháp tuyến. Câu b: từ tổng quát đọc vectơ pháp tuyến

(2; 3)

, đổi thành vectơ chỉ phương và tìm một điểm. Bẫy: đọc nhầm điểm hoặc dùng thẳng

(2; 3)

làm vectơ chỉ phương.

1Cách 1. Đổi vectơ.

Định hướng. Dùng $u \to n$ ở câu a và $n \to u$ ở câu b.

A (1; 3)

u_{1} = (2; 5) \Rightarrow n_{1} = (5; - 2)

5 (x - 1) - 2 (y - 3) = 0 \Leftrightarrow 5 x - 2 y + 1 = 0

n_{2} = (2; 3) \Rightarrow u_{2} = (3; - 2)

;

x = 1 \Rightarrow 3 y = 3 \Rightarrow y = 1

B (1; 1)

Δ_{2} : x = 1 + 3 t

y = 1 - 2 t

Vậy a) $Δ_{1} : 5 x - 2 y + 1 = 0$ ; b) $Δ_{2} : x = 1 + 3 t, y = 1 - 2 t$ .

2Cách 2. Khử tham số / đặt tham số.

Định hướng. Câu a rút $t$ từ phương trình đầu thế vào phương trình sau; câu b đặt $x$ theo $t$ rồi tính $y$ .

t = \frac{x - 1}{2} \Rightarrow y = 3 + \frac{5 ( x - 1 )}{2}

2 y = 6 + 5 x - 5

5 x - 2 y + 1 = 0

x = 1 + 3 t \Rightarrow 3 y = 5 - 2 (1 + 3 t) = 3 - 6 t \Rightarrow y = 1 - 2 t

Vậy kết quả như Cách 1.

3Cách 3. Lấy hai điểm.

Định hướng. Mỗi đường lấy hai điểm, dùng công thức đường qua hai điểm (câu a) hoặc vectơ nối hai điểm (câu b).

t = 0

(1; 3)

;

t = 1

(3; 8)

(8 - 3) (x - 1) - (3 - 1) (y - 3) = 0 \Leftrightarrow 5 x - 2 y + 1 = 0

(1; 1)

(4; - 1) \in Δ_{2}

u = (3; - 2)

Δ_{2} : x = 1 + 3 t

y = 1 - 2 t

Vậy a) $5 x - 2 y + 1 = 0$ ; b) $x = 1 + 3 t$ , $y = 1 - 2 t$ .

Nhận xét. Câu b còn nhiều đáp án đúng khác, chẳng hạn $x = 4 - 3 t$ , $y = - 1 + 2 t$ ; để kiểm tra chỉ cần thế vào $2 x + 3 y - 5$ thấy bằng $0$ với mọi $t$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 nhanh và ít sai nhất: chỉ cần nhớ quy tắc "đổi chỗ, đổi dấu" giữa

u

và

n

Đáp số. a)

5 x - 2 y + 1 = 0

. b)

x = 1 + 3 t

y = 1 - 2 t

(một đáp án).

Sai lầm thường gặp. Câu b viết

x = 1 + 2 t

y = 1 + 3 t

(lấy vectơ pháp tuyến làm vectơ chỉ phương) — thế thử

t = 1

2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 - 5 = 13 \neq = 0

, sai.

🚀 Mở rộng. Giao điểm của

Δ_{1}

và

Δ_{2}

: thế

x = 1 + 2 t

y = 3 + 5 t

vào

2 x + 3 y - 5 = 0

được

19 t + 6 = 0

t = - \frac{6}{19}

— cách tìm giao điểm gọn nhất khi có một phương trình tham số.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 7.4★★Trang 34— Phương trình đường cao, đường trung tuyến của tam giác

Bài 7.4 (trang 34). Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác

A B C

có

A (1; 2)

B (3; 0)

và

C (- 2; - 1)

.
a) Lập phương trình đường cao kẻ từ

A

.
b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ

B

Kiến thức cần nhớ

Đường cao từ $A$ : qua $A$ , vectơ pháp tuyến $B C$ .
Trung điểm $M$ của $A C$ : $M (\frac{x _{A} + x _{C}}{2}; \frac{y _{A} + y _{C}}{2})$ .
Trung tuyến từ $B$ : đường $B M$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường cao từ

A

vuông góc

B C

nên nhận

B C

làm vectơ pháp tuyến. Trung tuyến từ

B

đi qua

B

và trung điểm

M

của

A C

, nên là bài đường qua hai điểm. Bẫy: nhầm trung tuyến từ

B

với trung tuyến đi qua trung điểm

B C

1Cách 1. Vectơ pháp tuyến.

Định hướng. Câu a dùng $B C$ ; câu b lấy vectơ chỉ phương $B M$ rồi đổi sang vectơ pháp tuyến.

B C = (- 5; - 1)

n = (5; 1)

5 (x - 1) + (y - 2) = 0 \Leftrightarrow 5 x + y - 7 = 0

M (\frac{1 - 2}{2}; \frac{2 - 1}{2}) = (- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})

B M = (- \frac{7}{2}; \frac{1}{2})

u = (7; - 1)

n = (1; 7)

1 \cdot (x - 3) + 7 (y - 0) = 0 \Leftrightarrow x + 7 y - 3 = 0

Vậy a) đường cao: $5 x + y - 7 = 0$ ; b) trung tuyến: $x + 7 y - 3 = 0$ .

2Cách 2. Phương trình tham số rồi khử

t

Định hướng. Đường cao có vectơ chỉ phương vuông góc $(5; 1)$ là $(1; - 5)$ ; trung tuyến có vectơ chỉ phương $(7; - 1)$ .

x = 1 + t

y = 2 - 5 t \Rightarrow t = x - 1 \Rightarrow y = 2 - 5 (x - 1)

5 x + y - 7 = 0

x = 3 + 7 t

y = - t \Rightarrow t = - y \Rightarrow x = 3 - 7 y

x + 7 y - 3 = 0

Vậy a) $5 x + y - 7 = 0$ ; b) $x + 7 y - 3 = 0$ .

3Cách 3. Hệ số góc (câu a) và đường qua hai điểm (câu b).

Định hướng. Hai đường vuông góc có tích hệ số góc bằng $- 1$ ; trung tuyến dùng công thức Luyện tập 5.

k_{B C} = \frac{- 1 - 0}{- 2 - 3} = \frac{1}{5} \Rightarrow k = - 5

y - 2 = - 5 (x - 1) \Leftrightarrow 5 x + y - 7 = 0

(\frac{1}{2} - 0) (x - 3) - (- \frac{1}{2} - 3) (y - 0) = 0

\frac{1}{2} (x - 3) + \frac{7}{2} y = 0 \Leftrightarrow x + 7 y - 3 = 0

Vậy a) $5 x + y - 7 = 0$ ; b) $x + 7 y - 3 = 0$ .

Nhận xét. Thử lại: $5 \cdot 1 + 2 - 7 = 0$ ; $- \frac{1}{2} + \frac{7}{2} - 3 = 0$ và $3 + 0 - 3 = 0$ . Chân đường cao là $H (\frac{19}{13}; - \frac{4}{13})$ nằm trong đoạn $B C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là chuẩn khi đi thi: đường cao lấy ngay

B C

, trung tuyến tìm trung điểm rồi đổi vectơ — ít phân số nhất nếu nhân

B M

với

2

sớm.

Đáp số. a)

5 x + y - 7 = 0

. b)

x + 7 y - 3 = 0

Sai lầm thường gặp. Câu b lấy trung điểm của

B C

thay vì

A C

(ra đường qua

B

và

(\frac{1}{2}; - \frac{1}{2})

— đó chính là đường

B C

!). Câu a dùng

B C

làm vectơ chỉ phương sẽ ra đường qua

A

song song

B C

x - 5 y + 9 = 0

🚀 Mở rộng. Làm tiếp để thấy chiều sâu: ba đường cao đồng quy tại trực tâm, ba trung tuyến đồng quy tại trọng tâm

G (\frac{2}{3}; \frac{1}{3})

— thử kiểm tra

G

thuộc

x + 7 y - 3 = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 7.5★★Trang 34— Chứng minh phương trình đoạn chắn

Bài 7.5 (trang 34). (Phương trình đoạn chắn của đường thẳng) Chứng minh rằng, đường thẳng đi qua hai điểm

A (a; 0)

B (0; b)

với

ab \neq = 0

(H.7.3) có phương trình là

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

Kiến thức cần nhớ

Hai điểm phân biệt xác định duy nhất một đường thẳng.
$u (p; q)$ là vectơ chỉ phương thì $n (q; - p)$ là vectơ pháp tuyến.
Đường qua $B (0; b)$ có hệ số góc $k$ : $y = k x + b$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường qua hai điểm trên hai trục: lập phương trình từ

A B

rồi chia cho

ab

. Điều kiện

ab \neq = 0

bảo đảm chia được và

A \neq = B

. Cũng có thể đi ngược: chứng minh phương trình đã cho là một đường thẳng chứa cả

A

và

B

1Cách 1. Lập phương trình qua vectơ pháp tuyến.

Định hướng. $A B (- a; b)$ cho vectơ pháp tuyến $(b; a)$ ; viết phương trình qua $A$ rồi chia hai vế cho $ab$ .

A B = (- a; b)

n = (b; a)

b (x - a) + a (y - 0) = 0

b x + a y = ab

\frac{b x}{ab} + \frac{a y}{ab} = 1

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

Vậy đường thẳng $A B$ có phương trình $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ (đpcm).

2Cách 2. Kiểm tra ngược.

Định hướng. Phương trình đã cho là bậc nhất với hệ số $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}$ khác $0$ nên biểu diễn một đường thẳng; đường đó chứa $A$ và $B$ nên trùng $A B$ .

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - 1 = 0

có

n (\frac{1}{a}; \frac{1}{b}) \neq = 0

A (a; 0)

\frac{a}{a} + \frac{0}{b} = 1

B (0; b)

\frac{0}{a} + \frac{b}{b} = 1

A \neq = B

\Rightarrow

đường đã cho trùng

A B

Vậy $A B : \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ .

3Cách 3. Hệ số góc.

Định hướng. Đường $A B$ không thẳng đứng (vì $a \neq = 0$ ), đi qua $B (0; b)$ với hệ số góc $k = \frac{0 - b}{a - 0}$ .

k = - \frac{b}{a}

y = - \frac{b}{a} x + b

\frac{y}{b} = - \frac{x}{a} + 1

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

Vậy đường thẳng $A B$ có phương trình $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ .

Nhận xét. Tên "đoạn chắn": $a$ , $b$ là độ dài đại số của hai đoạn mà đường thẳng chắn trên $O x$ , $O y$ . Ví dụ đường qua $(4; 0)$ và $(0; 2)$ là $\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1$ , tức $x + 2 y - 4 = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 gọn và chặt nhất: chỉ cần thế hai điểm, dựa vào "hai điểm xác định một đường thẳng".

Đáp số. Đường thẳng qua

A (a; 0)

B (0; b)

ab \neq = 0

, có phương trình

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

Sai lầm thường gặp. Ở Cách 2, chỉ thế

A

B

thấy đúng là CHƯA đủ nếu không nêu phương trình đó là một đường thẳng (hệ số không đồng thời bằng

0

). Và hay quên điều kiện

ab \neq = 0

: đường qua gốc toạ độ (

a = b = 0

) không viết được dạng đoạn chắn.

🚀 Mở rộng. Áp dụng: đường thẳng qua

M (2; 1)

cắt hai tia

O x

O y

tạo tam giác có diện tích nhỏ nhất là

\frac{x}{4} + \frac{y}{2} = 1

— bài toán kinh điển dùng phương trình đoạn chắn kết hợp bất đẳng thức Cô-si.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 7.6★★★Trang 34— Ứng dụng phương trình tham số trong chuyển động

Bài 7.6 (trang 34). Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ

21, 2

° Bắc, kinh độ

105, 8

° Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ

16, 1

° Bắc, kinh độ

108, 2

° Đông. Một máy bay, bay từ sân bay Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm

t

giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí có vĩ độ

x

° Bắc, kinh độ

y

° Đông được tính theo công thức

⎩ ⎨ ⎧ x = 21, 2 - \frac{153}{40} t y = 105, 8 + \frac{9}{5} t .

a) Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?
b) Tại thời điểm

1

giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến

17

(

17

° Bắc) chưa?

Kiến thức cần nhớ

Phương trình tham số mô tả vị trí theo thời gian.
Hàm $x (t) = 21, 2 - \frac{153}{40} t$ nghịch biến: vĩ độ giảm khi bay về phía nam.
$\frac{4}{3}$ giờ $= 1$ giờ $20$ phút.

🧠 Phân tích tư duy

Hệ đã cho là phương trình tham số của đường bay,

t

là thời gian. Đến Đà Nẵng khi

(x; y) = (16, 1; 108, 2)

— giải

t

từ một phương trình và kiểm tra phương trình kia. Câu b: vĩ độ giảm dần theo

t

, so vĩ độ tại

t = 1

với

17

. Bẫy: nghĩ vĩ độ tăng, hoặc so ngược chiều.

1Cách 1. Giải theo vĩ độ.

Định hướng. Thời điểm đến là lúc $x = 16, 1$ ; kiểm tra $y = 108, 2$ . Câu b tính $x (1)$ .

21, 2 - \frac{153}{40} t = 16, 1

\frac{153}{40} t = 5, 1

t = \frac{5 , 1 \cdot 40}{153} = \frac{204}{153} = \frac{4}{3}

y = 105, 8 + \frac{9}{5} \cdot \frac{4}{3} = 105, 8 + 2, 4 = 108, 2

x (1) = 21, 2 - \frac{153}{40} = 21, 2 - 3, 825 = 17, 375 > 17

Vậy a) chuyến bay mất $\frac{4}{3}$ giờ, tức $1$ giờ $20$ phút; b) sau $1$ giờ máy bay ở vĩ độ $17, 375$ ° Bắc, chưa bay qua vĩ tuyến $17$ .

2Cách 2. Giải theo kinh độ và tìm thời điểm qua vĩ tuyến 17.

Định hướng. Câu a dùng phương trình kinh độ; câu b tìm thời điểm $x = 17$ rồi so với $1$ giờ.

105, 8 + \frac{9}{5} t = 108, 2 \Rightarrow \frac{9}{5} t = 2, 4 \Rightarrow t = \frac{4}{3}

x = 21, 2 - \frac{153}{40} \cdot \frac{4}{3} = 21, 2 - 5, 1 = 16, 1

21, 2 - \frac{153}{40} t = 17 \Rightarrow t = \frac{4 , 2 \cdot 40}{153} = \frac{56}{51} \approx 1, 1 > 1

Vậy a) $\frac{4}{3}$ giờ; b) máy bay qua vĩ tuyến $17$ ở thời điểm khoảng $1, 1$ giờ, nên lúc $1$ giờ vẫn chưa qua.

3Cách 3. Vectơ độ dời và tỉ lệ hành trình.

Định hướng. Độ dời Nội Bài → Đà Nẵng bằng $t$ lần vectơ vận tốc $v (- \frac{153}{40}; \frac{9}{5})$ ; sau $1$ giờ máy bay mới đi $\frac{3}{4}$ hành trình.

N D = (16, 1 - 21, 2; 108, 2 - 105, 8) = (- 5, 1; 2, 4)

(- 5, 1; 2, 4) = t (- \frac{153}{40}; \frac{9}{5}) \Rightarrow t = \frac{4}{3}

(cả hai toạ độ)
b)

1 : \frac{4}{3} = \frac{3}{4}

x (1) = 21, 2 - \frac{3}{4} \cdot 5, 1 = 17, 375

Vậy a) $1$ giờ $20$ phút; b) chưa qua vĩ tuyến $17$ .

Nhận xét. Máy bay còn cách vĩ tuyến $17$ khoảng $0, 375$ °, cần thêm $\frac{56}{51} - 1 = \frac{5}{51}$ giờ, xấp xỉ $6$ phút nữa.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 tự nhiên nhất; câu b nên dùng như Cách 1 (tính

x (1)

) vì chỉ một phép tính, so trực tiếp với

17

Đáp số. a)

\frac{4}{3}

giờ

= 1

giờ

20

phút. b) Chưa: tại

t = 1

vĩ độ là

17, 375

> 17

°.

Sai lầm thường gặp. Kết luận "đã qua" vì thấy

17, 375 > 17

— quên rằng máy bay đi từ vĩ độ

21, 2

giảm dần xuống, còn lớn hơn

17

nghĩa là chưa tới. Cũng hay đổi

\frac{4}{3}

giờ thành

1, 33

giờ rồi viết "1 giờ 33 phút".

🚀 Mở rộng. Lúc máy bay ở chính giữa hành trình (

t = \frac{2}{3}

giờ) toạ độ là

(18, 65; 107)

— trung điểm của hai sân bay, đúng tính chất của phương trình tham số với vận tốc không đổi.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài tập cuối chương VI Bài tiếp theo ›Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

📚 Cùng chương: Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

▶ Bài 19. Phương trình đường thẳng
Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách
Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ