Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

SGK Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 14 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngVII #SGK_Tập2 #trang43–47 #CùngBàiBênSBT

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 43— Thiết lập phương trình đường tròn từ điều kiện

I M = R

HĐ1 (trang 43). Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

, cho đường tròn

(C)

, tâm

I (a; b)

, bán kính

R

(H.7.13). Khi đó, một điểm

M (x; y)

thuộc đường tròn

(C)

khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn điều kiện đại số nào?

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn tâm $I (a; b)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .
$I M = (x_{M} - x_{I})^{2} + (y_{M} - y_{I})^{2}$ .
Với $A, B \geq 0$ : $A = B \Leftrightarrow A^{2} = B^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường tròn được định nghĩa bằng một khoảng cách:

I M = R

. Việc cần làm là viết

I M

theo toạ độ rồi bình phương hai vế (hai vế đều không âm nên phép bình phương giữ nguyên tương đương). Có thể nhìn khoảng cách theo công thức, theo độ dài vectơ, hoặc theo định lí Pythagore trên hình 7.13.

1Cách 1. Công thức khoảng cách hai điểm.

Định hướng. Chuyển điều kiện hình học $I M = R$ thành đẳng thức toạ độ.

M \in (C) \Leftrightarrow I M = R

\Leftrightarrow (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R

\Leftrightarrow (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

Vậy $M (x; y) \in (C) \Leftrightarrow (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .

2Cách 2. Độ dài vectơ.

Định hướng. $I M$ chính là độ dài của vectơ $I M$ , mà bình phương độ dài bằng tích vô hướng của vectơ với chính nó.

I M = (x - a; y - b)

I M^{2} = I M \cdot I M = (x - a)^{2} + (y - b)^{2}

M \in (C) \Leftrightarrow I M^{2} = R^{2} \Leftrightarrow (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

Vậy điều kiện cần tìm là $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .

3Cách 3. Định lí Pythagore trên hình 7.13.

Định hướng. Kẻ qua $I$ đường song song với $O x$ và qua $M$ đường song song với $O y$ , chúng cắt nhau tại $K (x; b)$ ; tam giác $I K M$ vuông tại $K$ .

I K = ∣ x - a ∣

K M = ∣ y - b ∣

I M^{2} = I K^{2} + K M^{2} = (x - a)^{2} + (y - b)^{2}

M \in (C) \Leftrightarrow (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

Vậy $M (x; y)$ thuộc $(C)$ khi và chỉ khi $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .

Nhận xét. Khi $M$ nằm trên đường thẳng $y = b$ hoặc $x = a$ thì tam giác suy biến nhưng đẳng thức vẫn đúng (một hạng tử bằng $0$ ), nên kết luận không cần xét riêng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách chuẩn khi trình bày; Cách 3 giúp nhớ công thức bằng hình ảnh, rất có ích khi quên dấu.

Đáp số.

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm dấu thành

(x + a)^{2} + (y + b)^{2} = R^{2}

. Phản ví dụ: tâm

I (1; 0)

R = 1

thì

O (0; 0)

thuộc đường tròn, nhưng

(0 + 1)^{2} + 0^{2} = 1

lại đúng với tâm

(- 1; 0)

chứ không phải

(1; 0)

— thử với

M (2; 0)

(2 + 1)^{2} = 9 \neq = 1

dù

M

nằm trên đường tròn.

🚀 Mở rộng. Đường tròn tâm gốc toạ độ

O

, bán kính

R

có phương trình gọn nhất

x^{2} + y^{2} = R^{2}

— trường hợp riêng

a = b = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập 1★Trang 44— Đọc tâm và bán kính từ phương trình chính tắc

Luyện tập 1 (trang 44). Tìm tâm và bán kính của đường tròn

(C)

(x + 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 7

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn tâm $I (a; b)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .
$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình đường tròn $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - c > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} - c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình đã ở dạng

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

, chỉ cần viết lại

x + 2 = x - (- 2)

và

7 = (7)^{2}

. Bẫy: đọc tâm theo dấu trong ngoặc (thành

(2; - 4)

) và lấy bán kính là

7

1Cách 1. Đưa về đúng dạng chính tắc.

Định hướng. Viết các hiệu $x - a$ , $y - b$ và vế phải thành bình phương.

(x + 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 7

\Leftrightarrow (x - (- 2))^{2} + (y - 4)^{2} = (7)^{2}

Vậy $(C)$ có tâm $I (- 2; 4)$ và bán kính $R = 7$ .

2Cách 2. Khai triển về dạng tổng quát.

Định hướng. Khai triển để có $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ rồi dùng công thức $R = a^{2} + b^{2} - c$ .

x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 8 y + 16 - 7 = 0

x^{2} + y^{2} + 4 x - 8 y + 13 = 0

- 2 a = 4

- 2 b = - 8

c = 13

\Rightarrow a = - 2

b = 4

R = (- 2)^{2} + 4^{2} - 13 = 7

Vậy tâm $I (- 2; 4)$ , bán kính $R = 7$ .

3Cách 3. Đổi biến tịnh tiến hệ trục.

Định hướng. Đặt $X = x + 2$ , $Y = y - 4$ (dời gốc về điểm $(- 2; 4)$ ), phương trình trở thành đường tròn tâm gốc mới.

X^{2} + Y^{2} = 7

\Rightarrow

tâm

X = 0

Y = 0

, bán kính

7

X = 0 \Leftrightarrow x = - 2

;

Y = 0 \Leftrightarrow y = 4

Vậy tâm $I (- 2; 4)$ , bán kính $R = 7$ .

Nhận xét. Cách nhìn tịnh tiến giải thích vì sao tâm luôn có toạ độ ngược dấu với số trong ngoặc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc trực tiếp trong một dòng; Cách 2 dùng để kiểm tra khi đề cho dạng khai triển.

Đáp số. Tâm

I (- 2; 4)

, bán kính

R = 7

Sai lầm thường gặp. Lấy

R = 7

(quên khai căn) hoặc tâm

(2; - 4)

(lấy nguyên dấu trong ngoặc). Kiểm tra nhanh: điểm

(- 2 + 7; 4)

thoả phương trình, còn

(- 2 + 7; 4)

cho

49 \neq = 7

🚀 Mở rộng. Đường tròn

(x + 2)^{2} + (y - 4)^{2} = m

chỉ tồn tại khi

m > 0

; khi

m = 0

nó suy biến thành điểm

(- 2; 4)

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 2★★Trang 44— Nhận dạng phương trình đường tròn

Luyện tập 2 (trang 44). Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn. Tìm tâm và bán kính của đường tròn đó.
a)

x^{2} - y^{2} - 2 x + 4 y - 1 = 0

;
b)

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 6 = 0

;
c)

x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y + 2 = 0

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình đường tròn $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - c > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} - c$ .
Phương trình đường tròn không có hạng tử $x y$ và hệ số của $x^{2}$ , $y^{2}$ bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Trước hết soi hình thức: hệ số của

x^{2}

và

y^{2}

phải bằng nhau (và không có hạng tử

x y

) — câu a hỏng ngay ở bước này. Với dạng

x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0

thì chỉ cần xét dấu

a^{2} + b^{2} - c

. Bẫy ở câu b: có đủ hình thức nhưng

a^{2} + b^{2} - c

âm.

1Cách 1. Dùng điều kiện

a^{2} + b^{2} - c > 0

Định hướng. Loại câu a vì hệ số $x^{2}$ , $y^{2}$ khác nhau; câu b, c xác định $a, b, c$ rồi xét dấu.

a) hệ số của

x^{2}

là

1

, của

y^{2}

là

- 1

\Rightarrow

không phải phương trình đường tròn
b)

a = 1

b = - 2

c = 6

a^{2} + b^{2} - c = 1 + 4 - 6 = - 1 < 0

a = - 3

b = 2

c = 2

a^{2} + b^{2} - c = 9 + 4 - 2 = 11 > 0

R = 11

Vậy chỉ phương trình c) là phương trình đường tròn, tâm $I (- 3; 2)$ , bán kính $R = 11$ .

2Cách 2. Thêm bớt để có tổng bình phương.

Định hướng. Gom theo $x$ và theo $y$ , thêm bớt cho đủ hằng đẳng thức, rồi nhìn dấu vế phải.

(x^{2} - 2 x + 1) + (y^{2} + 4 y + 4) = - 6 + 1 + 4

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = - 1

(vế trái

\geq 0

, vô nghiệm)
c)

(x^{2} + 6 x + 9) + (y^{2} - 4 y + 4) = - 2 + 9 + 4

(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 11

Vậy b) không có điểm nào thoả mãn; c) là đường tròn tâm $I (- 3; 2)$ , bán kính $11$ .

3Cách 3. Lập luận tính bị chặn (cho câu a).

Định hướng. Mọi đường tròn là tập bị chặn; nếu tập nghiệm chứa những điểm xa tuỳ ý thì chắc chắn không phải đường tròn.

(x - 1)^{2} - (y - 2)^{2} + 2 = 0 \Leftrightarrow (y - 2)^{2} = (x - 1)^{2} + 2

với mọi

t

x = 1 + t

y = 2 + t^{2} + 2

đều thoả mãn

t = 100

: điểm

(101; 2 + 10002)

cách gốc hơn

100

Vậy a) không là phương trình đường tròn (tập nghiệm không bị chặn); kết hợp Cách 1 hoặc 2 cho b, c: chỉ c) là đường tròn tâm $I (- 3; 2)$ , bán kính $11$ .

Nhận xét. Tập nghiệm của a) thực ra là một hypebol — sẽ gặp ở Bài 22.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: soát hình thức rồi tính một biểu thức

a^{2} + b^{2} - c

, nhanh và ít sai.

Đáp số. a) Không. b) Không. c) Có: tâm

I (- 3; 2)

, bán kính

R = 11

Sai lầm thường gặp. Ở câu b đọc ngay

a = 1

b = - 2

rồi kết luận tâm

(1; - 2)

, quên kiểm tra

a^{2} + b^{2} - c = - 1 < 0

, dẫn tới \"bán kính\"

- 1

vô nghĩa.

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + m = 0

là phương trình đường tròn: cần

1 + 4 - m > 0

, tức

m < 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 3★★Trang 45— Viết phương trình đường tròn qua ba điểm

Luyện tập 3 (trang 45). Viết phương trình đường tròn

(C)

đi qua ba điểm

M (4; - 5)

N (2; - 1)

P (3; - 8)

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình đường tròn $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - c > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} - c$ .
Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm các đường trung trực.
Trung trực của $A B$ đi qua trung điểm $A B$ , nhận $A B$ làm vectơ pháp tuyến.

🧠 Phân tích tư duy

Ba điểm không thẳng hàng xác định đúng một đường tròn; tâm cách đều ba điểm. Có thể đặt dạng tổng quát (3 ẩn

a, b, c

, 3 phương trình bậc nhất), hoặc tìm tâm là giao hai trung trực như Ví dụ 3. Mẹo: trừ từng cặp phương trình để khử

c

sẽ giảm còn hệ hai ẩn.

1Cách 1. Dạng tổng quát, giải hệ ba ẩn.

Định hướng. Thay ba điểm vào $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ .

⎩ ⎨ ⎧ 16 + 25 - 8 a + 10 b + c = 0 4 + 1 - 4 a + 2 b + c = 0 9 + 64 - 6 a + 16 b + c = 0 \Leftrightarrow ⎩ ⎨ ⎧ - 8 a + 10 b + c = - 41 - 4 a + 2 b + c = - 5 - 6 a + 16 b + c = - 73

(1) - (2)

- 4 a + 8 b = - 36 \Leftrightarrow a - 2 b = 9

(3) - (2)

- 2 a + 14 b = - 68 \Leftrightarrow a - 7 b = 34

5 b = - 25 \Rightarrow b = - 5

a = 9 + 2 b = - 1

c = - 5 + 4 a - 2 b = - 5 - 4 + 10 = 1

a^{2} + b^{2} - c = 1 + 25 - 1 = 25

Vậy $(C)$ : $x^{2} + y^{2} + 2 x + 10 y + 1 = 0$ , hay $(x + 1)^{2} + (y + 5)^{2} = 25$ .

2Cách 2. Giao của hai đường trung trực.

Định hướng. Tâm $I$ nằm trên trung trực $Δ_{1}$ của $M N$ và trung trực $Δ_{2}$ của $N P$ .

Trung điểm

M N

(3; - 3)

M N = (- 2; 4)

cùng phương

(1; - 2)

Δ_{1}

1 (x - 3) - 2 (y + 3) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y - 9 = 0

Trung điểm

N P

(\frac{5}{2}; - \frac{9}{2})

N P = (1; - 7)

Δ_{2}

1 (x - \frac{5}{2}) - 7 (y + \frac{9}{2}) = 0 \Leftrightarrow x - 7 y - 34 = 0

{x - 2 y = 9 x - 7 y = 34 \Rightarrow y = - 5

x = - 1

\Rightarrow I (- 1; - 5)

R^{2} = I N^{2} = (2 + 1)^{2} + (- 1 + 5)^{2} = 25

Vậy $(C)$ : $(x + 1)^{2} + (y + 5)^{2} = 25$ .

3Cách 3. Điều kiện cách đều

I M = I N = I P

Định hướng. Gọi $I (a; b)$ ; bình phương các đẳng thức khoảng cách, hạng tử $a^{2} + b^{2}$ tự triệt tiêu.

I M^{2} = I N^{2}

(a - 4)^{2} + (b + 5)^{2} = (a - 2)^{2} + (b + 1)^{2}

- 8 a + 16 + 10 b + 25 = - 4 a + 4 + 2 b + 1 \Leftrightarrow a - 2 b = 9

I N^{2} = I P^{2}

(a - 2)^{2} + (b + 1)^{2} = (a - 3)^{2} + (b + 8)^{2}

- 4 a + 4 + 2 b + 1 = - 6 a + 9 + 16 b + 64 \Leftrightarrow a - 7 b = 34

b = - 5

a = - 1

;

R^{2} = I M^{2} = 5^{2} + 0^{2} = 25

Vậy $(C)$ : $(x + 1)^{2} + (y + 5)^{2} = 25$ .

Nhận xét. Để ý $M (4; - 5)$ và $I (- 1; - 5)$ cùng tung độ nên $R = 4 - (- 1) = 5$ đọc ngay không cần tính căn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (hoặc Cách 3): chỉ giải hệ bậc nhất, không phải tính trung điểm có phân số như Cách 2.

Đáp số.

(x + 1)^{2} + (y + 5)^{2} = 25

(tâm

I (- 1; - 5)

R = 5

Sai lầm thường gặp. Thay điểm vào dạng tổng quát mà quên dấu:

- 2 a \cdot 4 + (- 2 b) (- 5) = - 8 a + 10 b

, nhiều bạn viết

- 8 a - 10 b

và ra tâm sai. Luôn thử lại:

(2 + 1)^{2} + (- 1 + 5)^{2} = 9 + 16 = 25

đúng.

🚀 Mở rộng. Ba điểm thẳng hàng thì hệ ở Cách 1 vô nghiệm — không có đường tròn nào đi qua; đó là cách đại số để kiểm tra ba điểm có thẳng hàng hay không.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Vận dụng 1★★★Trang 45— Bài toán tối ưu quy về khoảng cách từ tâm đến đường thẳng

Vận dụng 1 (trang 45). Bên trong một hồ bơi, người ta dự định thiết kế hai bể sục nửa hình tròn bằng nhau và một bể sục hình tròn (H.7.15a) để người bơi có thể ngồi tựa lưng vào thành các bể sục thư giãn. Hãy tìm bán kính của các bể sục để tổng chu vi của ba bể là 32 m mà tổng diện tích (chiếm hồ bơi) là nhỏ nhất. Trong tính toán, lấy

π = 3, 14

, độ dài tính theo mét và làm tròn tới chữ số thập phân thứ hai.
Hướng dẫn. – Gọi bán kính bể hình tròn và bể nửa hình tròn tương ứng là

x

y

(m). Khi đó, tổng chu vi ba bể là 32 m khi và chỉ khi

1, 57 x + 2, 57 y - 8 = 0

.
– Gọi tổng diện tích của ba bể sục là

S

(m²). Khi đó

x^{2} + y^{2} = \frac{S}{3 , 14}

.
– Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

, xét đường tròn

(C)

x^{2} + y^{2} = \frac{S}{3 , 14}

có tâm

O (0; 0)

, bán kính

R = \frac{S}{3 , 14}

và đường thẳng

Δ

1, 57 x + 2, 57 y - 8 = 0

. Khi đó bài toán được chuyển thành: Tìm

R

nhỏ nhất để

(C)

và

Δ

có ít nhất một điểm chung, với hoành độ và tung độ đều là các số dương (H.7.15b).

Kiến thức cần nhớ

Chu vi hình tròn bán kính $x$ : $2 π x$ ; chu vi nửa hình tròn bán kính $y$ : $π y + 2 y$ .
Khoảng cách từ $O$ đến $Δ : a x + b y + c = 0$ là $\frac{∣ c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ .
Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ có điểm chung với $Δ$ $\Leftrightarrow R \geq d (O, Δ)$ .
Bunhiacopxki: $(ux + v y)^{2} \leq (u^{2} + v^{2}) (x^{2} + y^{2})$ , dấu bằng khi $\frac{x}{u} = \frac{y}{v}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Diện tích tỉ lệ với

x^{2} + y^{2}

— bình phương khoảng cách từ

O

đến điểm

(x; y)

; ràng buộc chu vi là một đường thẳng. Vậy cần điểm của

Δ

gần

O

nhất: đó là chân đường vuông góc

H

, lúc

(C)

tiếp xúc

Δ

. Phải kiểm tra

H

có hai toạ độ dương. Cũng có thể thế

y

theo

x

để được tam thức bậc hai, hoặc dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki.

1Cách 1. Khoảng cách từ tâm đến đường thẳng (theo hướng dẫn SGK).

Định hướng. $R$ nhỏ nhất khi $(C)$ tiếp xúc $Δ$ , tức $R = d (O, Δ)$ ; tiếp điểm là chân đường vuông góc $H$ từ $O$ .

2 \cdot 3, 14 x + 2 (3, 14 y + 2 y) = 32 \Leftrightarrow 6, 28 x + 10, 28 y = 32 \Leftrightarrow 1, 57 x + 2, 57 y - 8 = 0

S = 3, 14 x^{2} + 2 \cdot \frac{3 , 14 y ^{2}}{2} = 3, 14 (x^{2} + y^{2})

R_{m i n} = d (O, Δ) = \frac{8}{1 , 5 7 ^{2} + 2 , 5 7 ^{2}} = \frac{8}{9 , 0698}

O H = k (1, 57; 2, 57)

H \in Δ

9, 0698 k = 8 \Rightarrow k = \frac{8}{9 , 0698} \approx 0, 88205

x = 1, 57 k \approx 1, 38

y = 2, 57 k \approx 2, 27

(đều dương)

S_{m i n} = 3, 14 \cdot \frac{64}{9 , 0698} \approx 22, 16

(m²)

Vậy bể hình tròn bán kính khoảng $1, 38$ m, mỗi bể nửa hình tròn bán kính khoảng $2, 27$ m (tổng diện tích nhỏ nhất khoảng $22, 16$ m²).

2Cách 2. Thế một ẩn, xét tam thức bậc hai.

Định hướng. Rút $y$ theo $x$ từ ràng buộc chu vi, $x^{2} + y^{2}$ thành tam thức bậc hai ẩn $x$ có hệ số $x^{2}$ dương, nhỏ nhất tại đỉnh.

y = \frac{8 - 1 , 57 x}{2 , 57}

0 < x < \frac{8}{1 , 57}

2, 5 7^{2} (x^{2} + y^{2}) = 6, 6049 x^{2} + (8 - 1, 57 x)^{2} = 9, 0698 x^{2} - 25, 12 x + 64

đỉnh:

x = \frac{25 , 12}{2 \cdot 9 , 0698} \approx 1, 3848

y = \frac{8 - 1 , 57 \cdot 1 , 3848}{2 , 57} \approx 2, 2669

Vậy $x \approx 1, 38$ m, $y \approx 2, 27$ m.

3Cách 3. Bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Định hướng. Ràng buộc là một tổ hợp tuyến tính của $x, y$ còn đại lượng cần nhỏ nhất là $x^{2} + y^{2}$ — đúng khuôn Bunhiacopxki.

64 = (1, 57 x + 2, 57 y)^{2} \leq (1, 5 7^{2} + 2, 5 7^{2}) (x^{2} + y^{2}) = 9, 0698 (x^{2} + y^{2})

x^{2} + y^{2} \geq \frac{64}{9 , 0698}

dấu bằng:

\frac{x}{1 , 57} = \frac{y}{2 , 57} = k

1, 57 x + 2, 57 y = 8 \Rightarrow k = \frac{8}{9 , 0698}

x = 1, 57 k \approx 1, 38

y = 2, 57 k \approx 2, 27

Vậy bán kính bể tròn $\approx 1, 38$ m, bể nửa tròn $\approx 2, 27$ m.

Nhận xét. Ba cách là ba mặt của cùng một sự thật: điểm gần gốc nhất trên đường thẳng nằm trên đường vuông góc hạ từ gốc, tức $(x; y)$ tỉ lệ với vectơ pháp tuyến $(1, 57; 2, 57)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 cho lời giải ngắn và có hình minh hoạ rõ; khi đi thi trắc nghiệm, Cách 3 cho đáp số nhanh nhất vì chỉ cần

k = \frac{8}{u ^{2} + v ^{2}}

Đáp số. Bể hình tròn:

x \approx 1, 38

m; mỗi bể nửa hình tròn:

y \approx 2, 27

Sai lầm thường gặp. Tính chu vi nửa hình tròn chỉ là

π y

(quên đoạn đường kính

2 y

), dẫn tới ràng buộc sai

6, 28 x + 6, 28 y = 32

và đáp số

x = y \approx 2, 55

m. Cũng hay quên kiểm tra

H

có toạ độ dương.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: tối thiểu

x^{2} + y^{2}

với

ux + v y = p

(

u, v, p > 0

) đạt tại

x = \frac{p u}{u ^{2} + v ^{2}}

y = \frac{p v}{u ^{2} + v ^{2}}

, giá trị nhỏ nhất

\frac{p ^{2}}{u ^{2} + v ^{2}}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ2★★Trang 46— Tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm thuộc đường tròn

HĐ2 (trang 46). Cho đường tròn

(C)

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 25

và điểm

M (4; - 2)

.
a) Chứng minh điểm

M (4; - 2)

thuộc đường tròn

(C)

.
b) Xác định tâm và bán kính của

(C)

.
c) Gọi

Δ

là tiếp tuyến của

(C)

tại

M

. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Δ

(H.7.16). Từ đó, viết phương trình đường thẳng

Δ

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn tâm $I (a; b)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .
Tiếp tuyến của đường tròn tâm $I (a; b)$ tại $M (x_{0}; y_{0})$ : $(a - x_{0}) (x - x_{0}) + (b - y_{0}) (y - y_{0}) = 0$ (nhận $M I$ làm vectơ pháp tuyến).
Dạng phân đôi toạ độ: tiếp tuyến tại $M (x_{0}; y_{0})$ của $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ là $(x_{0} - a) (x - a) + (y_{0} - b) (y - b) = R^{2}$ .
Hai đường thẳng (không song song trục) vuông góc $\Leftrightarrow$ tích hệ số góc bằng $- 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tiếp tuyến tại

M

vuông góc với bán kính

I M

— đó là chìa khoá:

I M

(hoặc

M I

) là vectơ pháp tuyến. Câu a chỉ cần thế toạ độ, câu b đọc từ dạng chính tắc. Câu c có thể dùng vectơ pháp tuyến, hệ số góc, hoặc công thức phân đôi toạ độ.

1Cách 1. Vectơ pháp tuyến

I M

Định hướng. Kiểm tra $M \in (C)$ , đọc tâm, rồi lấy $I M$ làm vectơ pháp tuyến của $Δ$ .

(4 - 1)^{2} + (- 2 - 2)^{2} = 9 + 16 = 25

\Rightarrow M \in (C)

I (1; 2)

R = 25 = 5

I M = (3; - 4)

Δ

3 (x - 4) - 4 (y + 2) = 0 \Leftrightarrow 3 x - 4 y - 20 = 0

Vậy a) $M \in (C)$ ; b) $I (1; 2)$ , $R = 5$ ; c) $n = I M = (3; - 4)$ và $Δ$ : $3 x - 4 y - 20 = 0$ .

2Cách 2. Hệ số góc.

Định hướng. $Δ ⊥ I M$ nên hệ số góc của $Δ$ là nghịch đảo đổi dấu của hệ số góc $I M$ .

k_{I M} = \frac{- 2 - 2}{4 - 1} = - \frac{4}{3}

\Rightarrow k_{Δ} = \frac{3}{4}

Δ

y + 2 = \frac{3}{4} (x - 4)

4 y + 8 = 3 x - 12 \Leftrightarrow 3 x - 4 y - 20 = 0

Vậy $Δ$ : $3 x - 4 y - 20 = 0$ (vectơ pháp tuyến $(3; - 4)$ ).

3Cách 3. Công thức phân đôi toạ độ.

Định hướng. Thay một thừa số của mỗi bình phương bằng toạ độ tiếp điểm.

(4 - 1) (x - 1) + (- 2 - 2) (y - 2) = 25

3 x - 3 - 4 y + 8 - 25 = 0

3 x - 4 y - 20 = 0

Vậy $Δ$ : $3 x - 4 y - 20 = 0$ .

Nhận xét. Kiểm tra: $d (I, Δ) = \frac{∣3 - 8 - 20∣}{9 + 16} = \frac{25}{5} = 5 = R$ — đúng là tiếp tuyến.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: một dòng ra ngay phương trình, không phải tính vectơ riêng; Cách 1 là cách chuẩn SGK nên trình bày trong bài tự luận.

Đáp số. a)

M \in (C)

. b)

I (1; 2)

R = 5

. c)

n = (3; - 4)

Δ

3 x - 4 y - 20 = 0

Sai lầm thường gặp. Lấy

I M

làm vectơ chỉ phương (thay vì pháp tuyến), ra

4 x + 3 y - 10 = 0

— đó là đường thẳng

I M

đi qua tâm, cắt

(C)

tại hai điểm, không phải tiếp tuyến.

🚀 Mở rộng. Qua điểm

A

nằm ngoài đường tròn có đúng hai tiếp tuyến; khi đó dùng điều kiện

d (I, Δ) = R

với

Δ

đi qua

A

để tìm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 4★★Trang 46— Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

Luyện tập 4 (trang 46). Cho đường tròn

(C)

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + 1 = 0

. Viết phương trình tiếp tuyến

Δ

của

(C)

tại điểm

N (1; 0)

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình đường tròn $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - c > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} - c$ .
Tiếp tuyến của đường tròn tâm $I (a; b)$ tại $M (x_{0}; y_{0})$ : $(a - x_{0}) (x - x_{0}) + (b - y_{0}) (y - y_{0}) = 0$ (nhận $M I$ làm vectơ pháp tuyến).
Dạng phân đôi toạ độ: tiếp tuyến tại $M (x_{0}; y_{0})$ của $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ là $(x_{0} - a) (x - a) + (y_{0} - b) (y - b) = R^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho dạng khai triển nên phải tìm tâm trước (

a = 1

b = - 2

), rồi kiểm tra

N

thuộc

(C)

. Nhận thấy

I

và

N

cùng hoành độ nên

I N

thẳng đứng, tiếp tuyến nằm ngang — đoán trước được đáp số là

y = 0

(trục

O x

1Cách 1. Vectơ pháp tuyến

N I

Định hướng. Tìm tâm, rồi viết đường thẳng qua $N$ nhận $N I$ làm vectơ pháp tuyến.

1 + 0 - 2 + 0 + 1 = 0

\Rightarrow N \in (C)

a = 1

b = - 2

c = 1

\Rightarrow I (1; - 2)

R = 1 + 4 - 1 = 2

N I = (0; - 2)

Δ

0 (x - 1) - 2 (y - 0) = 0 \Leftrightarrow y = 0

Vậy $Δ$ : $y = 0$ .

2Cách 2. Nhìn hình:

I N

song song trục

O y

Định hướng. $I (1; - 2)$ và $N (1; 0)$ cùng hoành độ nên $I N$ nằm trên đường $x = 1$ ; tiếp tuyến vuông góc với nó là đường nằm ngang qua $N$ .

I N

x = 1

(song song

O y

)

Δ ⊥ I N

N \in Δ

\Rightarrow Δ

y = y_{N} = 0

Vậy $Δ$ : $y = 0$ , tức chính trục $O x$ .

3Cách 3. Công thức phân đôi cho dạng tổng quát.

Định hướng. Với $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ , tiếp tuyến tại $(x_{0}; y_{0})$ là $x_{0} x + y_{0} y - a (x + x_{0}) - b (y + y_{0}) + c = 0$ .

1 \cdot x + 0 \cdot y - (x + 1) + 2 (y + 0) + 1 = 0

x - x - 1 + 2 y + 1 = 0

2 y = 0 \Leftrightarrow y = 0

Vậy $Δ$ : $y = 0$ .

Nhận xét. Kiểm tra: $d (I, O x) = ∣ y_{I} ∣ = 2 = R$ , nên $(C)$ tiếp xúc trục $O x$ tại $N$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 nhanh nhất khi tâm và tiếp điểm cùng hoành độ (hoặc cùng tung độ); trường hợp chung dùng Cách 1.

Đáp số.

Δ

y = 0

Sai lầm thường gặp. Đọc tâm là

I (- 1; 2)

(lấy nguyên dấu hệ số

- 2 x

+ 4 y

) nên

N I = (- 2; 2)

và ra sai

x - y - 1 = 0

. Thử lại:

d ((1; - 2), x - y - 1 = 0) = 2 \neq = 2

🚀 Mở rộng. Đường tròn tâm

I (a; b)

tiếp xúc trục

O x

khi và chỉ khi

R = ∣ b ∣

; tiếp xúc trục

O y

khi và chỉ khi

R = ∣ a ∣

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Vận dụng 2★★Trang 46— Tiếp tuyến trong bài toán thực tiễn

Vận dụng 2 (trang 46). Trên mặt phẳng toạ độ

O x y

, một vật chuyển động nhanh trên đường tròn có phương trình

x^{2} + y^{2} = 25

. Khi tới vị trí

M (3; 4)

thì vật bị văng khỏi quỹ đạo tròn và ngay sau đó, trong một khoảng thời gian ngắn bay theo hướng tiếp tuyến của đường tròn. Hỏi trong khoảng thời gian ngắn ngay sau khi văng, vật chuyển động trên đường thẳng nào?

Kiến thức cần nhớ

Tiếp tuyến của đường tròn tâm $I (a; b)$ tại $M (x_{0}; y_{0})$ : $(a - x_{0}) (x - x_{0}) + (b - y_{0}) (y - y_{0}) = 0$ (nhận $M I$ làm vectơ pháp tuyến).
Tiếp tuyến của $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ tại $M (x_{0}; y_{0})$ : $x_{0} x + y_{0} y = R^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cụm \"bay theo hướng tiếp tuyến\" cho biết đường cần tìm là tiếp tuyến của

(C)

tại

M

. Tâm là gốc

O

nên vectơ pháp tuyến là chính

O M = (3; 4)

— gần như đọc thẳng ra đáp số.

1Cách 1. Vectơ pháp tuyến

O M

Định hướng. Tâm $O (0; 0)$ ; tiếp tuyến tại $M$ vuông góc với $O M$ .

3^{2} + 4^{2} = 25

\Rightarrow M \in (C)

O M = (3; 4)

Δ

3 (x - 3) + 4 (y - 4) = 0 \Leftrightarrow 3 x + 4 y - 25 = 0

Vậy vật chuyển động trên đường thẳng $3 x + 4 y - 25 = 0$ .

2Cách 2. Hệ số góc.

Định hướng. $k_{O M} = \frac{4}{3}$ nên tiếp tuyến có hệ số góc $- \frac{3}{4}$ .

Δ

y - 4 = - \frac{3}{4} (x - 3)

4 y - 16 = - 3 x + 9

3 x + 4 y - 25 = 0

Vậy $Δ$ : $3 x + 4 y - 25 = 0$ .

3Cách 3. Công thức phân đôi cho đường tròn tâm

O

Định hướng. Với $x^{2} + y^{2} = R^{2}$ , tiếp tuyến tại $(x_{0}; y_{0})$ là $x_{0} x + y_{0} y = R^{2}$ .

3 x + 4 y = 25

Vậy $Δ$ : $3 x + 4 y - 25 = 0$ .

Nhận xét. Đường này cắt hai trục tại $(\frac{25}{3}; 0)$ và $(0; \frac{25}{4})$ , khớp với hình vẽ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: đường tròn tâm

O

thì tiếp tuyến viết ngay

x_{0} x + y_{0} y = R^{2}

Đáp số. Đường thẳng

3 x + 4 y - 25 = 0

Sai lầm thường gặp. Cho rằng vật bay theo đường thẳng

O M

(\"văng ra xa tâm\") và viết

4 x - 3 y = 0

— sai vật lí: vận tốc tức thời trong chuyển động tròn luôn theo phương tiếp tuyến.

🚀 Mở rộng. Nếu vật văng tại điểm

M (x_{0}; y_{0})

bất kì trên

x^{2} + y^{2} = R^{2}

thì đường bay là

x_{0} x + y_{0} y = R^{2}

; với

M (- 4; 3)

ta được

- 4 x + 3 y = 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 7.13★Trang 46— Đọc tâm và bán kính từ phương trình chính tắc

Bài 7.13 (trang 46). Tìm tâm và tính bán kính của đường tròn

(x + 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 36

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn tâm $I (a; b)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .
$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình đường tròn $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - c > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} - c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình đã ở dạng chính tắc: đổi dấu số trong ngoặc để có tâm, khai căn vế phải để có bán kính. Dễ nhầm tâm thành

(3; - 3)

hoặc bán kính

36

1Cách 1. Đối chiếu dạng chính tắc.

Định hướng. Viết lại cho đúng khuôn $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .

(x - (- 3))^{2} + (y - 3)^{2} = 6^{2}

Vậy tâm $I (- 3; 3)$ , bán kính $R = 6$ .

2Cách 2. Khai triển và dùng

R = a^{2} + b^{2} - c

Định hướng. Đưa về dạng tổng quát để đọc $a, b, c$ .

x^{2} + 6 x + 9 + y^{2} - 6 y + 9 - 36 = 0

x^{2} + y^{2} + 6 x - 6 y - 18 = 0

a = - 3

b = 3

c = - 18

R = 9 + 9 + 18 = 36 = 6

Vậy tâm $I (- 3; 3)$ , $R = 6$ .

3Cách 3. Tìm hai điểm xa nhau nhất theo phương ngang.

Định hướng. Cho $y = 3$ (làm cho $(y - 3)^{2}$ nhỏ nhất), giao điểm với đường tròn là hai đầu một đường kính.

y = 3

(x + 3)^{2} = 36 \Rightarrow x = 3

hoặc

x = - 9

đường kính nối

(3; 3)

và

(- 9; 3)

: trung điểm

(- 3; 3)

, độ dài

12

Vậy tâm $I (- 3; 3)$ , bán kính $R = \frac{12}{2} = 6$ .

Nhận xét. Cách này nhắc rằng tâm là trung điểm mọi đường kính — ý dùng lại ở Bài 7.15c.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là đủ khi đi thi: một dòng.

Đáp số. Tâm

I (- 3; 3)

, bán kính

R = 6

Sai lầm thường gặp. Viết

R = 36

hoặc

R = 18

(chia đôi). Kiểm tra: điểm

(3; 3)

có

(3 + 3)^{2} + 0 = 36

đúng, cách tâm

(- 3; 3)

đúng

6

🚀 Mở rộng. Đường tròn

(x + 3)^{2} + (y - 3)^{2} = 36

tiếp xúc cả hai đường

x = 3

và

y = 9

; nó có cắt trục

O y

không? (có, vì

∣ a ∣ = 3 < 6

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 7.14★★Trang 47— Nhận dạng phương trình đường tròn

Bài 7.14 (trang 47). Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng.
a)

x^{2} + y^{2} + x y + 4 x - 2 = 0

;
b)

x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 5 = 0

;
c)

x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y + 1 = 0

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình đường tròn $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - c > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} - c$ .
$a^{2} + b^{2} - c = 0$ : tập nghiệm là một điểm $I (a; b)$ ; $a^{2} + b^{2} - c < 0$ : tập rỗng.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a có hạng tử

x y

— phương trình đường tròn không bao giờ có hạng tử này. Câu b, c đúng hình thức, chỉ cần xét dấu

a^{2} + b^{2} - c

. Bẫy ở câu b:

a^{2} + b^{2} - c = 0

, tập nghiệm chỉ là một điểm.

1Cách 1. Điều kiện

a^{2} + b^{2} - c > 0

Định hướng. Loại câu a vì có $x y$ ; câu b, c đọc $a, b, c$ .

a) có hạng tử

x y

\Rightarrow

không phải phương trình đường tròn
b)

a = 1

b = 2

c = 5

1 + 4 - 5 = 0

a = - 3

b = 4

c = 1

9 + 16 - 1 = 24 > 0

R = 24 = 26

Vậy chỉ c) là phương trình đường tròn, tâm $I (- 3; 4)$ , bán kính $R = 26$ .

2Cách 2. Thêm bớt thành tổng bình phương.

Định hướng. Gom theo $x$ , $y$ rồi nhìn vế phải.

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} = 1 + 4 - 5 = 0

\Rightarrow

chỉ có điểm

(1; 2)

(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 9 + 16 - 1 = 24

Vậy b) không phải đường tròn (chỉ là một điểm); c) đường tròn tâm $I (- 3; 4)$ , bán kính $26$ .

3Cách 3. Phản ví dụ bằng năm điểm (cho câu a).

Định hướng. Tìm vài điểm của tập nghiệm: nếu nó là đường tròn thì đường tròn đó bị xác định bởi các điểm ấy; chỉ cần thêm một điểm không nằm trên đường tròn này là xong.

y = 0

x^{2} + 4 x - 2 = 0 \Rightarrow x = - 2 \pm 6

;

x = 0

y^{2} = 2 \Rightarrow y = \pm 2

đường tròn qua bốn điểm đó có tâm trên

x = - 2

và trên

y = 0

(x + 2)^{2} + y^{2} = 6

, tức

x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 = 0

phương trình a)

\Leftrightarrow (x + 2)^{2} + y^{2} - 6 + x y = 0

x = - 1

y^{2} - y - 5 = 0 \Rightarrow y = \frac{1 + 21}{2}

, mà

x y \neq = 0

nên điểm này không thuộc

(x + 2)^{2} + y^{2} = 6

Vậy a) không phải phương trình đường tròn; kết hợp Cách 1 cho b, c: chỉ c) là đường tròn tâm $I (- 3; 4)$ , bán kính $26$ .

Nhận xét. Hạng tử $x y$ chính là phần \"lệch\" khỏi đường tròn: tập nghiệm của a) là một elip nghiêng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: soát hạng tử

x y

và hệ số, rồi tính một biểu thức.

Đáp số. a) Không. b) Không (chỉ là điểm

(1; 2)

). c) Có: tâm

I (- 3; 4)

R = 26

Sai lầm thường gặp. Ở câu b kết luận \"đường tròn tâm

(1; 2)

bán kính

0

\" — sai, bán kính đường tròn phải dương. Ở câu c viết

R = 24

(quên khai căn).

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để

x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + m = 0

là đường tròn có bán kính bằng

2

5 - m = 4

, tức

m = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 7.15★★Trang 47— Viết phương trình đường tròn khi biết tâm và yếu tố xác định bán kính

Bài 7.15 (trang 47). Viết phương trình của đường tròn trong mỗi trường hợp sau:
a) Có tâm

I (- 2; 5)

và bán kính

R = 7

;
b) Có tâm

I (1; - 2)

và đi qua điểm

A (- 2; 2)

;
c) Có đường kính

A B

, với

A (- 1; - 3)

B (- 3; 5)

;
d) Có tâm

I (1; 3)

và tiếp xúc với đường thẳng

x + 2 y + 3 = 0

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn tâm $I (a; b)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .
Trung điểm $A B$ : $(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ .
$d (I, Δ) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ ; đường tròn tiếp xúc $Δ$ $\Leftrightarrow d (I, Δ) = R$ .
$M$ thuộc đường tròn đường kính $A B$ $\Leftrightarrow M A \cdot M B = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mọi ý đều quy về tìm tâm và

R^{2}

: a) cho sẵn; b)

R = I A

; c) tâm là trung điểm

A B

R = \frac{A B}{2}

; d)

R

bằng khoảng cách từ tâm đến tiếp tuyến. Nên giữ

R^{2}

dạng số nguyên, không cần khai căn.

1Cách 1. Tìm tâm và bán kính rồi viết dạng chính tắc.

Định hướng. Xác định $I$ và $R^{2}$ trong từng ý.

(x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 49

R^{2} = I A^{2} = (- 2 - 1)^{2} + (2 + 2)^{2} = 25

\Rightarrow (x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25

I (\frac{- 1 - 3}{2}; \frac{- 3 + 5}{2}) = (- 2; 1)

R^{2} = I A^{2} = 1^{2} + (- 4)^{2} = 17

\Rightarrow (x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 17

R = \frac{∣1 + 2 \cdot 3 + 3∣}{1 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{10}{5} = 25

R^{2} = 20

\Rightarrow (x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 20

Vậy a) $(x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 49$ ; b) $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ ; c) $(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 17$ ; d) $(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 20$ .

2Cách 2. Dạng tổng quát với tâm đã biết, tìm

c

Định hướng. Khi biết tâm $I (a; b)$ , phương trình là $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ ; chỉ còn tìm $c$ từ một điểm thuộc đường tròn.

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + c = 0

qua

A (- 2; 2)

4 + 4 + 4 + 8 + c = 0 \Rightarrow c = - 20

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 20 = 0

(kiểm:

1 + 4 + 20 = 25

)
c)

x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y + c = 0

qua

A (- 1; - 3)

1 + 9 - 4 + 6 + c = 0 \Rightarrow c = - 12

d) tiếp điểm

H

là hình chiếu của

I

H = (1 + t; 3 + 2 t)

(1 + t) + 2 (3 + 2 t) + 3 = 0 \Rightarrow t = - 2

H (- 1; - 1)

x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y + c = 0

qua

H

1 + 1 + 2 + 6 + c = 0 \Rightarrow c = - 10

Vậy b) $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 20 = 0$ ; c) $x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y - 12 = 0$ ; d) $x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y - 10 = 0$ (a) như Cách 1) — cùng các đường tròn ở Cách 1.

3Cách 3. Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (câu c).

Định hướng. $M (x; y)$ thuộc đường tròn đường kính $A B$ khi và chỉ khi $A M B = 9 0^{\circ}$ hoặc $M$ trùng $A$ , $B$ , tức $M A \cdot M B = 0$ — viết ngay phương trình mà không cần tìm tâm.

(x + 1) (x + 3) + (y + 3) (y - 5) = 0

x^{2} + 4 x + 3 + y^{2} - 2 y - 15 = 0

x^{2} + y^{2} + 4 x - 2 y - 12 = 0

(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 4 + 1 + 12 = 17

Vậy c) $(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 17$ — trùng Cách 1.

Nhận xét. Ở câu d, tiếp điểm $H (- 1; - 1)$ tìm được ở Cách 2 cũng cho $R^{2} = I H^{2} = 4 + 16 = 20$ — một cách kiểm tra không cần công thức khoảng cách.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho a, b, d; riêng câu c, Cách 3 (tích vô hướng) cho phương trình trong hai dòng mà không phải tính trung điểm.

Đáp số. a)

(x + 2)^{2} + (y - 5)^{2} = 49

. b)

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25

. c)

(x + 2)^{2} + (y - 1)^{2} = 17

. d)

(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 20

Sai lầm thường gặp. Câu c lấy

R = A B = 68

(quên chia đôi) ra

R^{2} = 68

; câu d viết

R^{2} = \frac{10}{5}

hoặc quên giá trị tuyệt đối khi

a x_{0} + b y_{0} + c

âm.

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để đường tròn

(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 20

tiếp xúc với đường thẳng

x + 2 y + m = 0

∣7 + m ∣ = 10

, tức

m = 3

hoặc

m = - 17

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 7.16★★Trang 47— Đường tròn ngoại tiếp tam giác

Bài 7.16 (trang 47). Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác

A B C

, với

A (6; - 2)

B (4; 2)

C (5; - 5)

. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình đường tròn $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - c > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} - c$ .
Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm các đường trung trực, cách đều ba đỉnh.

🧠 Phân tích tư duy

Đường tròn ngoại tiếp đi qua ba đỉnh — đúng dạng Luyện tập 3. Dạng tổng quát cho hệ bậc nhất ba ẩn; hoặc tìm tâm cách đều ba đỉnh. Nên kiểm tra trước tam giác có vuông không (nếu vuông thì tâm là trung điểm cạnh huyền) — ở đây không vuông.

1Cách 1. Dạng tổng quát.

Định hướng. Thay ba đỉnh vào $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ rồi trừ vế để khử $c$ .

⎩ ⎨ ⎧ 40 - 12 a + 4 b + c = 0 20 - 8 a - 4 b + c = 0 50 - 10 a + 10 b + c = 0

(1) - (2)

20 - 4 a + 8 b = 0 \Leftrightarrow a - 2 b = 5

(3) - (2)

30 - 2 a + 14 b = 0 \Leftrightarrow a - 7 b = 15

5 b = - 10 \Rightarrow b = - 2

a = 1

c = - 20 + 8 a + 4 b = - 20

R^{2} = 1 + 4 + 20 = 25

Vậy đường tròn ngoại tiếp: $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 20 = 0$ , hay $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ .

2Cách 2. Giao hai đường trung trực.

Định hướng. Trung trực $A B$ và trung trực $A C$ cắt nhau tại tâm $I$ .

trung điểm

A B

(5; 0)

A B = (- 2; 4) ∥ (1; - 2)

x - 2 y - 5 = 0

trung điểm

A C

(\frac{11}{2}; - \frac{7}{2})

A C = (- 1; - 3) ∥ (1; 3)

x + 3 y + 5 = 0

{x - 2 y = 5 x + 3 y = - 5 \Rightarrow 5 y = - 10

y = - 2

x = 1

R^{2} = I A^{2} = 5^{2} + 0^{2} = 25

Vậy $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ .

3Cách 3. Nhận ra tâm nhờ điểm cùng tung độ.

Định hướng. $A (6; - 2)$ có tung độ $- 2$ ; nếu đoán tâm nằm trên đường $y = - 2$ thì $I (t; - 2)$ và chỉ cần một điều kiện $I A = I B$ , sau đó kiểm tra với $C$ .

I A^{2} = I B^{2}

(t - 6)^{2} = (t - 4)^{2} + 16

- 12 t + 36 = - 8 t + 32 \Rightarrow t = 1

I (1; - 2)

R = ∣6 - 1∣ = 5

kiểm tra

C

(5 - 1)^{2} + (- 5 + 2)^{2} = 16 + 9 = 25

(đúng)

Vậy $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ .

Nhận xét. Cách 3 chỉ hợp lệ vì bước kiểm tra với $C$ thành công; nói chung phải giải hệ đủ hai điều kiện như Cách 1, 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: trừ vế cho hệ hai ẩn gọn, không phải tính trung điểm.

Đáp số.

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25

Sai lầm thường gặp. Tính

c

sai dấu: từ

20 - 8 a - 4 b + c = 0

c = 20 - 8 + 8 = 20

(đúng phải là

c = - 20 + 8 - 8 = - 20

); khi đó

a^{2} + b^{2} - c = - 15 < 0

— dấu hiệu đã sai.

🚀 Mở rộng. Tam giác

A B C

có

I A = 5

và

A

I

cùng tung độ nên tiếp tuyến tại

A

của đường tròn ngoại tiếp là đường thẳng

x = 6

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 7.17★★Trang 47— Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

Bài 7.17 (trang 47). Cho đường tròn

(C)

x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 4 = 0

. Viết phương trình tiếp tuyến

d

của

(C)

tại điểm

M (0; 2)

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình đường tròn $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - c > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} - c$ .
Tiếp tuyến của đường tròn tâm $I (a; b)$ tại $M (x_{0}; y_{0})$ : $(a - x_{0}) (x - x_{0}) + (b - y_{0}) (y - y_{0}) = 0$ (nhận $M I$ làm vectơ pháp tuyến).

🧠 Phân tích tư duy

Tìm tâm từ dạng tổng quát:

I (- 1; 2)

R = 1

. Tâm và

M

cùng tung độ nên

I M

nằm ngang, tiếp tuyến thẳng đứng — đoán trước

d

x = 0

(trục

O y

1Cách 1. Vectơ pháp tuyến

I M

Định hướng. Tìm tâm, kiểm tra $M \in (C)$ , lấy $I M$ làm vectơ pháp tuyến.

a = - 1

b = 2

c = 4

\Rightarrow I (- 1; 2)

R = 1 + 4 - 4 = 1

0 + 4 + 0 - 8 + 4 = 0

\Rightarrow M \in (C)

I M = (1; 0)

d

1 (x - 0) + 0 (y - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0

Vậy $d$ : $x = 0$ .

2Cách 2. Nhìn hình.

Định hướng. $I (- 1; 2)$ và $M (0; 2)$ cùng tung độ nên $I M$ song song $O x$ ; tiếp tuyến vuông góc với $I M$ tại $M$ là đường thẳng đứng qua $M$ .

I M

y = 2

d ⊥ I M

M \in d

\Rightarrow d

x = x_{M} = 0

Vậy $d$ : $x = 0$ (trục $O y$ ).

3Cách 3. Công thức phân đôi cho dạng tổng quát.

Định hướng. Tiếp tuyến tại $(x_{0}; y_{0})$ của $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là $x_{0} x + y_{0} y - a (x + x_{0}) - b (y + y_{0}) + c = 0$ .

0 \cdot x + 2 y + (x + 0) - 2 (y + 2) + 4 = 0

2 y + x - 2 y - 4 + 4 = 0

x = 0

Vậy $d$ : $x = 0$ .

Nhận xét. Kiểm tra: $d (I, O y) = ∣ x_{I} ∣ = 1 = R$ — $(C)$ tiếp xúc trục $O y$ tại $M$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 nhanh nhất vì tâm và tiếp điểm cùng tung độ; Cách 1 dùng được cho mọi trường hợp.

Đáp số.

d

x = 0

Sai lầm thường gặp. Viết tiếp tuyến là

y = 2

(nhầm đường

I M

với tiếp tuyến). Đường

y = 2

đi qua tâm nên cắt

(C)

tại hai điểm

(0; 2)

và

(- 2; 2)

🚀 Mở rộng. Tiếp tuyến của

(C)

song song với

O y

gồm hai đường

x = 0

và

x = - 2

(đối xứng qua tâm).

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 7.18★★★Trang 47— Quỹ đạo chuyển động cho bởi toạ độ theo tham số

Bài 7.18 (trang 47). Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng toạ độ. Theo đó, tại thời điểm

t

(0 \leq t \leq 180)

vật thể ở vị trí có toạ độ

(2 + sin t^{\circ}; 4 + cos t^{\circ})

.
a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.
b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Kiến thức cần nhớ

$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ .
$sin 0^{\circ} = 0$ , $cos 0^{\circ} = 1$ ; $sin 18 0^{\circ} = 0$ , $cos 18 0^{\circ} = - 1$ .
Với $0^{\circ} \leq α \leq 18 0^{\circ}$ : $sin α \geq 0$ .
Đường tròn tâm $I (a; b)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Toạ độ có dạng \"hằng số +

sin

\" và \"hằng số +

cos

\" gợi ngay hằng đẳng thức

sin^{2} + cos^{2} = 1

: khử

t

sẽ ra phương trình đường tròn tâm

(2; 4)

bán kính

1

. Bẫy:

t

chỉ chạy từ

0

đến

180

nên

sin t^{\circ} \geq 0

, vật chỉ đi hết nửa đường tròn, không phải cả đường tròn.

1Cách 1. Khử tham số bằng

sin^{2} + cos^{2} = 1

Định hướng. Thay $t = 0$ , $t = 180$ cho câu a; câu b tách $sin$ , $cos$ rồi bình phương cộng lại.

t = 0

(2 + 0; 4 + 1) = (2; 5)

;

t = 180

(2 + 0; 4 - 1) = (2; 3)

x - 2 = sin t^{\circ}

y - 4 = cos t^{\circ}

(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = sin^{2} t^{\circ} + cos^{2} t^{\circ} = 1

0 \leq t \leq 180 \Rightarrow x - 2 = sin t^{\circ} \geq 0 \Rightarrow x \geq 2

Vậy a) vị trí ban đầu $A (2; 5)$ , kết thúc $B (2; 3)$ ; b) quỹ đạo là nửa đường tròn $(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 1$ ứng với $x \geq 2$ (nửa bên phải đường kính $A B$ ).

2Cách 2. Khoảng cách không đổi đến một điểm cố định.

Định hướng. Gọi $I (2; 4)$ và $M$ là vị trí vật; tính $I M$ thấy không phụ thuộc $t$ .

I M = (sin t^{\circ}; cos t^{\circ})

I M = sin^{2} t^{\circ} + cos^{2} t^{\circ} = 1

với mọi

t

x_{M} - x_{I} = sin t^{\circ} \geq 0

Vậy vật luôn cách $I (2; 4)$ một khoảng $1$ và ở bên phải đường $x = 2$ : quỹ đạo là nửa đường tròn tâm $I (2; 4)$ , bán kính $1$ , từ $A (2; 5)$ tới $B (2; 3)$ .

3Cách 3. Theo dõi vectơ quay theo thời gian.

Định hướng. $I M = (sin t^{\circ}; cos t^{\circ})$ là vectơ đơn vị lập với tia $O y$ một góc $t^{\circ}$ (đo theo chiều kim đồng hồ); cho $t$ tăng dần để thấy vật quay.

t = 0

I M = (0; 1)

M (2; 5)

— đỉnh trên

t = 90

I M = (1; 0)

M (3; 4)

— điểm bên phải

t = 180

I M = (0; - 1)

M (2; 3)

— đỉnh dưới

Vậy vật đi theo chiều kim đồng hồ trên nửa bên phải đường tròn tâm $(2; 4)$ bán kính $1$ , từ $(2; 5)$ qua $(3; 4)$ đến $(2; 3)$ .

Nhận xét. Cách 3 còn cho biết chiều chuyển động và tốc độ quay đều: mỗi phút quay $1^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách nên trình bày khi đi thi; nhớ ghi thêm điều kiện

x \geq 2

để khỏi mất điểm câu b.

Đáp số. a) Ban đầu

(2; 5)

, kết thúc

(2; 3)

. b) Nửa đường tròn

(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 1

với

x \geq 2

Sai lầm thường gặp. Kết luận quỹ đạo là cả đường tròn

(x - 2)^{2} + (y - 4)^{2} = 1

. Phản ví dụ: điểm

(1; 4)

thuộc đường tròn nhưng cần

sin t^{\circ} = - 1

, không xảy ra với

0 \leq t \leq 180

🚀 Mở rộng. Nếu thời gian kéo dài

0 \leq t \leq 360

thì vật đi hết cả đường tròn; nếu toạ độ là

(2 + 3 sin t^{\circ}; 4 + 3 cos t^{\circ})

thì bán kính thành

3

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 10

📚 Cùng chương: Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài 19. Phương trình đường thẳng
Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách
▶ Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ