Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang41–42 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 7.19★Trang 41— Đọc tâm và bán kính từ phương trình chính tắc

Bài 7.19 (trang 41). Tìm tâm và bán kính của đường tròn

(C)

trong các trường hợp sau:
a)

(x - 2)^{2} + (y - 8)^{2} = 49

;
b)

(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 23

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn tâm $I (a; b)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .
$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình đường tròn $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - c > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} - c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai phương trình đã ở dạng

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

. Tâm lấy ngược dấu số trong ngoặc, bán kính là căn bậc hai vế phải. Câu b vế phải

23

không chính phương nên giữ

R = 23

1Cách 1. Đối chiếu dạng chính tắc.

Định hướng. Viết lại đúng khuôn $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .

(x - 2)^{2} + (y - 8)^{2} = 7^{2}

(x - (- 3))^{2} + (y - 4)^{2} = (23)^{2}

Vậy a) tâm $I (2; 8)$ , $R = 7$ ; b) tâm $I (- 3; 4)$ , $R = 23$ .

2Cách 2. Khai triển và dùng

R = a^{2} + b^{2} - c

Định hướng. Đưa về dạng tổng quát rồi đọc $a, b, c$ .

x^{2} + y^{2} - 4 x - 16 y + 19 = 0

a = 2

b = 8

c = 19

R = 4 + 64 - 19 = 7

x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y + 2 = 0

a = - 3

b = 4

c = 2

R = 9 + 16 - 2 = 23

Vậy a) $I (2; 8)$ , $R = 7$ ; b) $I (- 3; 4)$ , $R = 23$ .

3Cách 3. Hai đầu một đường kính nằm ngang.

Định hướng. Cho $y$ bằng tung độ tâm (làm bình phương thứ hai bằng $0$ ), hai giao điểm là hai đầu một đường kính; tâm là trung điểm.

y = 8

(x - 2)^{2} = 49 \Rightarrow x = 9

hoặc

x = - 5

; trung điểm

(2; 8)

R = \frac{9 - ( - 5 )}{2} = 7

y = 4

(x + 3)^{2} = 23 \Rightarrow x = - 3 \pm 23

; trung điểm

(- 3; 4)

R = 23

Vậy a) $I (2; 8)$ , $R = 7$ ; b) $I (- 3; 4)$ , $R = 23$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy tâm là trung điểm của mọi đường kính — ý hay dùng khi đề cho hai đầu đường kính.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc thẳng trong một dòng.

Đáp số. a)

I (2; 8)

R = 7

. b)

I (- 3; 4)

R = 23

Sai lầm thường gặp. Câu b ghi tâm

(3; - 4)

(giữ nguyên dấu trong ngoặc) hoặc

R = 23

(quên khai căn). Thử lại:

(- 3 + 23; 4)

thoả phương trình còn

(20; 4)

thì không.

🚀 Mở rộng. Đường tròn

(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 23

có cắt trục

O y

không? Có, vì khoảng cách từ tâm đến

O y

là

3 < 23

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 7.20★★Trang 41— Nhận dạng phương trình đường tròn

Bài 7.20 (trang 41). Phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn? Khi đó hãy tìm tâm và bán kính của nó.
a)

x^{2} + 2 y^{2} - 4 x - 2 y + 1 = 0

.
b)

x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 y + 2 x y = 0

.
c)

x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 26 = 0

.
d)

x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y + 13 = 0

.
e)

x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 1 = 0

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình đường tròn $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - c > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} - c$ .
Phương trình đường tròn không có hạng tử $x y$ , hệ số của $x^{2}$ và $y^{2}$ bằng nhau.
$a^{2} + b^{2} - c = 0$ : một điểm; $a^{2} + b^{2} - c < 0$ : tập rỗng.

🧠 Phân tích tư duy

Hai bước sàng lọc: hình thức (hệ số

x^{2}

y^{2}

bằng nhau, không có

x y

) loại ngay a và b; sau đó với c, d, e chỉ cần xét dấu

a^{2} + b^{2} - c

. Bẫy: c cho giá trị âm (tập rỗng), d cho giá trị

0

(chỉ một điểm) — cả hai đều không phải đường tròn.

1Cách 1. Sàng lọc hình thức rồi xét

a^{2} + b^{2} - c

Định hướng. Loại a, b theo hình thức; c, d, e đọc $a, b, c$ và tính.

a) hệ số

x^{2}

là

1

, của

y^{2}

là

2

\Rightarrow

không phải đường tròn
b) có hạng tử

2 x y

\Rightarrow

không phải đường tròn
c)

a = 4

b = 3

c = 26

16 + 9 - 26 = - 1 < 0

a = - 3

b = 2

c = 13

9 + 4 - 13 = 0

a = 2

b = - 1

c = 1

4 + 1 - 1 = 4 > 0

R = 2

Vậy chỉ e) là phương trình đường tròn, tâm $I (2; - 1)$ , bán kính $R = 2$ .

2Cách 2. Thêm bớt thành tổng bình phương.

Định hướng. Gom theo $x$ , theo $y$ rồi nhìn dấu vế phải.

(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 16 + 9 - 26 = - 1

: vô nghiệm
d)

(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 9 + 4 - 13 = 0

: chỉ có điểm

(- 3; 2)

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 4 + 1 - 1 = 4

Vậy e) là đường tròn tâm $I (2; - 1)$ , $R = 2$ ; c, d không phải đường tròn.

3Cách 3. Chỉ ra tập nghiệm không có hình dạng đường tròn (cho a, b).

Định hướng. Đường tròn cắt hai đường thẳng vuông góc qua tâm theo hai dây bằng nhau, và luôn bị chặn; kiểm tra hai tính chất đó.

(x - 2)^{2} + 2 (y - \frac{1}{2})^{2} = \frac{7}{2}

y = \frac{1}{2}

: nửa dây ngang

= \frac{7}{2}

;

x = 2

: nửa dây dọc

= \frac{7}{4}

; hai số khác nhau
b)

(x + y)^{2} = 4 x - 3 y

; đặt

x + y = u

thì

x = \frac{u ^{2} + 3 u}{7}

y = \frac{4 u - u ^{2}}{7}

thoả mãn với mọi

u

u = 70

: điểm

(730; - 660)

thuộc tập nghiệm — tập nghiệm không bị chặn

Vậy a) và b) không phải phương trình đường tròn (a là một elip, b là một parabol); kết hợp Cách 1: chỉ e) là đường tròn tâm $I (2; - 1)$ , $R = 2$ .

Nhận xét. Cách 3 giải thích vì sao phải có hai điều kiện hình thức: hệ số khác nhau làm đường tròn \"bẹp\" thành elip, hạng tử $x y$ làm nó \"xoay và méo\".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: soát hình thức rồi tính

a^{2} + b^{2} - c

cho từng phương trình.

Đáp số. Chỉ e) là đường tròn: tâm

I (2; - 1)

, bán kính

R = 2

. a, b, c, d không phải.

Sai lầm thường gặp. Ở câu d kết luận \"đường tròn tâm

(- 3; 2)

, bán kính

0

\"; ở câu a chia hai vế cho

2

rồi vẫn tưởng là đường tròn. Bán kính phải dương và hệ số

x^{2}

y^{2}

phải bằng nhau.

🚀 Mở rộng. Với

x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + m = 0

: là đường tròn khi

m < 25

, là một điểm khi

m = 25

, là tập rỗng khi

m > 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 7.21★★Trang 41— Viết phương trình đường tròn khi biết tâm và yếu tố xác định bán kính

Bài 7.21 (trang 41). Viết phương trình của đường tròn

(C)

trong các trường hợp sau:
a) Có tâm

I (3; 1)

và có bán kính

R = 2

.
b) Có tâm

I (3; 1)

và đi qua điểm

M (- 1; 7)

.
c) Có tâm

I (2; - 4)

và tiếp xúc với đường thẳng

Δ : 3 x - 2 y - 1 = 0

.
d) Có đường kính

A B

với

A (4; 1)

B (- 2; - 5)

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn tâm $I (a; b)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .
$d (M_{0}, Δ) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ với $Δ : a x + b y + c = 0$ ; đường tròn tiếp xúc $Δ$ $\Leftrightarrow d (I, Δ) = R$ .
Trung điểm $A B$ : $(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ .
$M$ thuộc đường tròn đường kính $A B$ $\Leftrightarrow M A \cdot M B = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 7.22★★★Trang 41— Đường tròn qua hai điểm, tâm thuộc đường thẳng cho trước

Bài 7.22 (trang 41). Viết phương trình đường tròn

(C)

có tâm thuộc đường thẳng

Δ : x + y - 1 = 0

và đi qua hai điểm

A (6; 2)

B (- 1; 3)

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn tâm $I (a; b)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .
Điểm thuộc $Δ : x + y - 1 = 0$ có dạng $(t; 1 - t)$ .
Điểm cách đều $A$ , $B$ nằm trên trung trực của $A B$ .
$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình đường tròn $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - c > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} - c$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 7.23★★Trang 42— Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

Bài 7.23 (trang 42). Cho đường tròn

(C)

có phương trình

x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y - 12 = 0

. Viết phương trình tiếp tuyến

Δ

của

(C)

tại điểm

M (0; - 2)

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình đường tròn $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - c > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} - c$ .
Tiếp tuyến của đường tròn tâm $I$ tại $M$ đi qua $M$ và nhận $I M$ làm vectơ pháp tuyến.
Phân đôi toạ độ cho dạng tổng quát: tiếp tuyến tại $(x_{0}; y_{0})$ là $x_{0} x + y_{0} y - a (x + x_{0}) - b (y + y_{0}) + c = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 7.24★★★Trang 42— Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng tại điểm cho trước

Bài 7.24 (trang 42). Cho điểm

A (4; 2)

và hai đường thẳng

d : 3 x + 4 y - 20 = 0

d^{'} : 2 x + y = 0

.
a) Viết phương trình đường thẳng

Δ

đi qua

A

và vuông góc với

d

.
b) Viết phương trình đường tròn

(C)

có tâm thuộc đường thẳng

d^{'}

và tiếp xúc với

d

tại điểm

A

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng vuông góc với $d : a x + b y + c = 0$ nhận $(a; b)$ làm vectơ chỉ phương, $(b; - a)$ làm vectơ pháp tuyến.
Đường tròn tiếp xúc $d$ tại $A$ $\Leftrightarrow$ $A \in d$ và $I A ⊥ d$ .
$d (M_{0}, Δ) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ với $Δ : a x + b y + c = 0$ ; đường tròn tiếp xúc $Δ$ $\Leftrightarrow d (I, Δ) = R$ .
Đường tròn tâm $I (a; b)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 7.25★★★Trang 42— Chứng minh tiếp tuyến; tiếp tuyến song song với đường thẳng cho trước

Bài 7.25 (trang 42). Cho đường tròn

(C)

, đường thẳng

Δ

có phương trình lần lượt là:

(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 2

;

x + y + 2 = 0

.
a) Chứng minh rằng

Δ

là một tiếp tuyến của đường tròn

(C)

.
b) Viết phương trình tiếp tuyến

d

của

(C)

, biết rằng

d

song song với đường thẳng

Δ

Kiến thức cần nhớ

$d (M_{0}, Δ) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ với $Δ : a x + b y + c = 0$ ; đường tròn tiếp xúc $Δ$ $\Leftrightarrow d (I, Δ) = R$ .
$d ∥ Δ : a x + b y + c = 0$ $\Rightarrow d : a x + b y + m = 0$ với $m \neq = c$ .
Đường thẳng tiếp xúc đường tròn $\Leftrightarrow$ hệ phương trình của chúng có đúng một nghiệm.
Hai tiếp tuyến song song của một đường tròn tiếp xúc tại hai đầu một đường kính.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 7.26★★★Trang 42— Họ đường thẳng luôn tiếp xúc một đường tròn cố định

Bài 7.26 (trang 42). Cho đường thẳng

Δ : x sin α^{\circ} + y cos α^{\circ} - 1 = 0

, trong đó

α

là một số thực thuộc khoảng

(0; 180)

.
a) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ

O

đến đường thẳng

Δ

.
b) Chứng minh rằng khi

α

thay đổi, tồn tại một đường tròn cố định luôn tiếp xúc với đường thẳng

Δ

Kiến thức cần nhớ

$d (M_{0}, Δ) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ với $Δ : a x + b y + c = 0$ ; đường tròn tiếp xúc $Δ$ $\Leftrightarrow d (I, Δ) = R$ .
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ .
Bunhiacopxki: $(ux + v y)^{2} \leq (u^{2} + v^{2}) (x^{2} + y^{2})$ , dấu bằng khi $(x; y)$ tỉ lệ với $(u; v)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 7.27★★★Trang 42— Cực trị khoảng cách trên quỹ đạo tròn

Bài 7.27 (trang 42). Vị trí của một chất điểm

M

tại thời điểm

t

(

t

trong khoảng thời gian từ 0 phút đến 180 phút) có toạ độ là

(3 + 5 sin t^{\circ}; 4 + 5 cos t^{\circ})

. Tìm toạ độ của chất điểm

M

khi

M

ở cách xa gốc toạ độ nhất.

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn tâm $I (a; b)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ .
Dây cung dài nhất của đường tròn là đường kính.
Bất đẳng thức tam giác: $O M \leq O I + I M$ .