Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang41–42 #CùngBàiBênSGK

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 7.19★Trang 41— Đọc tâm và bán kính từ phương trình chính tắc

Bài 7.19 (trang 41). Tìm tâm và bán kính của đường tròn

(C)

trong các trường hợp sau:
a)

(x - 2)^{2} + (y - 8)^{2} = 49

;
b)

(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 23

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn tâm $I (a; b)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .
$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình đường tròn $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - c > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} - c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai phương trình đã ở dạng

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

. Tâm lấy ngược dấu số trong ngoặc, bán kính là căn bậc hai vế phải. Câu b vế phải

23

không chính phương nên giữ

R = 23

1Cách 1. Đối chiếu dạng chính tắc.

Định hướng. Viết lại đúng khuôn $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .

(x - 2)^{2} + (y - 8)^{2} = 7^{2}

(x - (- 3))^{2} + (y - 4)^{2} = (23)^{2}

Vậy a) tâm $I (2; 8)$ , $R = 7$ ; b) tâm $I (- 3; 4)$ , $R = 23$ .

2Cách 2. Khai triển và dùng

R = a^{2} + b^{2} - c

Định hướng. Đưa về dạng tổng quát rồi đọc $a, b, c$ .

x^{2} + y^{2} - 4 x - 16 y + 19 = 0

a = 2

b = 8

c = 19

R = 4 + 64 - 19 = 7

x^{2} + y^{2} + 6 x - 8 y + 2 = 0

a = - 3

b = 4

c = 2

R = 9 + 16 - 2 = 23

Vậy a) $I (2; 8)$ , $R = 7$ ; b) $I (- 3; 4)$ , $R = 23$ .

3Cách 3. Hai đầu một đường kính nằm ngang.

Định hướng. Cho $y$ bằng tung độ tâm (làm bình phương thứ hai bằng $0$ ), hai giao điểm là hai đầu một đường kính; tâm là trung điểm.

y = 8

(x - 2)^{2} = 49 \Rightarrow x = 9

hoặc

x = - 5

; trung điểm

(2; 8)

R = \frac{9 - ( - 5 )}{2} = 7

y = 4

(x + 3)^{2} = 23 \Rightarrow x = - 3 \pm 23

; trung điểm

(- 3; 4)

R = 23

Vậy a) $I (2; 8)$ , $R = 7$ ; b) $I (- 3; 4)$ , $R = 23$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy tâm là trung điểm của mọi đường kính — ý hay dùng khi đề cho hai đầu đường kính.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc thẳng trong một dòng.

Đáp số. a)

I (2; 8)

R = 7

. b)

I (- 3; 4)

R = 23

Sai lầm thường gặp. Câu b ghi tâm

(3; - 4)

(giữ nguyên dấu trong ngoặc) hoặc

R = 23

(quên khai căn). Thử lại:

(- 3 + 23; 4)

thoả phương trình còn

(20; 4)

thì không.

🚀 Mở rộng. Đường tròn

(x + 3)^{2} + (y - 4)^{2} = 23

có cắt trục

O y

không? Có, vì khoảng cách từ tâm đến

O y

là

3 < 23

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 7.20★★Trang 41— Nhận dạng phương trình đường tròn

Bài 7.20 (trang 41). Phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn? Khi đó hãy tìm tâm và bán kính của nó.
a)

x^{2} + 2 y^{2} - 4 x - 2 y + 1 = 0

.
b)

x^{2} + y^{2} - 4 x + 3 y + 2 x y = 0

.
c)

x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + 26 = 0

.
d)

x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y + 13 = 0

.
e)

x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 1 = 0

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình đường tròn $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - c > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} - c$ .
Phương trình đường tròn không có hạng tử $x y$ , hệ số của $x^{2}$ và $y^{2}$ bằng nhau.
$a^{2} + b^{2} - c = 0$ : một điểm; $a^{2} + b^{2} - c < 0$ : tập rỗng.

🧠 Phân tích tư duy

Hai bước sàng lọc: hình thức (hệ số

x^{2}

y^{2}

bằng nhau, không có

x y

) loại ngay a và b; sau đó với c, d, e chỉ cần xét dấu

a^{2} + b^{2} - c

. Bẫy: c cho giá trị âm (tập rỗng), d cho giá trị

0

(chỉ một điểm) — cả hai đều không phải đường tròn.

1Cách 1. Sàng lọc hình thức rồi xét

a^{2} + b^{2} - c

Định hướng. Loại a, b theo hình thức; c, d, e đọc $a, b, c$ và tính.

a) hệ số

x^{2}

là

1

, của

y^{2}

là

2

\Rightarrow

không phải đường tròn
b) có hạng tử

2 x y

\Rightarrow

không phải đường tròn
c)

a = 4

b = 3

c = 26

16 + 9 - 26 = - 1 < 0

a = - 3

b = 2

c = 13

9 + 4 - 13 = 0

a = 2

b = - 1

c = 1

4 + 1 - 1 = 4 > 0

R = 2

Vậy chỉ e) là phương trình đường tròn, tâm $I (2; - 1)$ , bán kính $R = 2$ .

2Cách 2. Thêm bớt thành tổng bình phương.

Định hướng. Gom theo $x$ , theo $y$ rồi nhìn dấu vế phải.

(x - 4)^{2} + (y - 3)^{2} = 16 + 9 - 26 = - 1

: vô nghiệm
d)

(x + 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 9 + 4 - 13 = 0

: chỉ có điểm

(- 3; 2)

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 4 + 1 - 1 = 4

Vậy e) là đường tròn tâm $I (2; - 1)$ , $R = 2$ ; c, d không phải đường tròn.

3Cách 3. Chỉ ra tập nghiệm không có hình dạng đường tròn (cho a, b).

Định hướng. Đường tròn cắt hai đường thẳng vuông góc qua tâm theo hai dây bằng nhau, và luôn bị chặn; kiểm tra hai tính chất đó.

(x - 2)^{2} + 2 (y - \frac{1}{2})^{2} = \frac{7}{2}

y = \frac{1}{2}

: nửa dây ngang

= \frac{7}{2}

;

x = 2

: nửa dây dọc

= \frac{7}{4}

; hai số khác nhau
b)

(x + y)^{2} = 4 x - 3 y

; đặt

x + y = u

thì

x = \frac{u ^{2} + 3 u}{7}

y = \frac{4 u - u ^{2}}{7}

thoả mãn với mọi

u

u = 70

: điểm

(730; - 660)

thuộc tập nghiệm — tập nghiệm không bị chặn

Vậy a) và b) không phải phương trình đường tròn (a là một elip, b là một parabol); kết hợp Cách 1: chỉ e) là đường tròn tâm $I (2; - 1)$ , $R = 2$ .

Nhận xét. Cách 3 giải thích vì sao phải có hai điều kiện hình thức: hệ số khác nhau làm đường tròn \"bẹp\" thành elip, hạng tử $x y$ làm nó \"xoay và méo\".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: soát hình thức rồi tính

a^{2} + b^{2} - c

cho từng phương trình.

Đáp số. Chỉ e) là đường tròn: tâm

I (2; - 1)

, bán kính

R = 2

. a, b, c, d không phải.

Sai lầm thường gặp. Ở câu d kết luận \"đường tròn tâm

(- 3; 2)

, bán kính

0

\"; ở câu a chia hai vế cho

2

rồi vẫn tưởng là đường tròn. Bán kính phải dương và hệ số

x^{2}

y^{2}

phải bằng nhau.

🚀 Mở rộng. Với

x^{2} + y^{2} - 8 x - 6 y + m = 0

: là đường tròn khi

m < 25

, là một điểm khi

m = 25

, là tập rỗng khi

m > 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 7.21★★Trang 41— Viết phương trình đường tròn khi biết tâm và yếu tố xác định bán kính

Bài 7.21 (trang 41). Viết phương trình của đường tròn

(C)

trong các trường hợp sau:
a) Có tâm

I (3; 1)

và có bán kính

R = 2

.
b) Có tâm

I (3; 1)

và đi qua điểm

M (- 1; 7)

.
c) Có tâm

I (2; - 4)

và tiếp xúc với đường thẳng

Δ : 3 x - 2 y - 1 = 0

.
d) Có đường kính

A B

với

A (4; 1)

B (- 2; - 5)

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn tâm $I (a; b)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .
$d (M_{0}, Δ) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ với $Δ : a x + b y + c = 0$ ; đường tròn tiếp xúc $Δ$ $\Leftrightarrow d (I, Δ) = R$ .
Trung điểm $A B$ : $(\frac{x _{A} + x _{B}}{2}; \frac{y _{A} + y _{B}}{2})$ .
$M$ thuộc đường tròn đường kính $A B$ $\Leftrightarrow M A \cdot M B = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mọi ý quy về tìm tâm và

R^{2}

: a) cho sẵn; b)

R = I M

; c)

R = d (I, Δ)

; d) tâm là trung điểm

A B

. Giữ

R^{2}

ở dạng số nguyên, không khai căn.

1Cách 1. Tìm

R^{2}

rồi viết dạng chính tắc.

Định hướng. Xác định tâm và $R^{2}$ trong từng ý.

(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 4

R^{2} = I M^{2} = (- 1 - 3)^{2} + (7 - 1)^{2} = 52

R = \frac{∣3 \cdot 2 - 2 \cdot ( - 4 ) - 1∣}{9 + 4} = \frac{13}{13} = 13

R^{2} = 13

I (\frac{4 - 2}{2}; \frac{1 - 5}{2}) = (1; - 2)

R^{2} = I A^{2} = 3^{2} + 3^{2} = 18

Vậy a) $(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ ; b) $(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 52$ ; c) $(x - 2)^{2} + (y + 4)^{2} = 13$ ; d) $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 18$ .

2Cách 2. Dạng tổng quát, tìm

c

từ một điểm thuộc đường tròn.

Định hướng. Biết tâm $I (a; b)$ thì phương trình là $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ ; chỉ còn tìm $c$ .

x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y + c = 0

qua

M (- 1; 7)

1 + 49 + 6 - 14 + c = 0 \Rightarrow c = - 42

c) tiếp điểm

H = (2 + 3 s; - 4 - 2 s)

3 (2 + 3 s) - 2 (- 4 - 2 s) - 1 = 0 \Rightarrow 13 + 13 s = 0

s = - 1

H (- 1; - 2)

x^{2} + y^{2} - 4 x + 8 y + c = 0

qua

H

1 + 4 + 4 - 16 + c = 0 \Rightarrow c = 7

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y + c = 0

qua

A (4; 1)

16 + 1 - 8 + 4 + c = 0 \Rightarrow c = - 13

Vậy b) $x^{2} + y^{2} - 6 x - 2 y - 42 = 0$ ; c) $x^{2} + y^{2} - 4 x + 8 y + 7 = 0$ ; d) $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 13 = 0$ — trùng Cách 1 (a giữ nguyên).

3Cách 3. Tích vô hướng cho đường kính (câu d).

Định hướng. $M (x; y)$ thuộc đường tròn đường kính $A B$ khi và chỉ khi $M A \cdot M B = 0$ — viết ngay phương trình, khỏi tìm tâm.

(x - 4) (x + 2) + (y - 1) (y + 5) = 0

x^{2} - 2 x - 8 + y^{2} + 4 y - 5 = 0

x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y - 13 = 0

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 1 + 4 + 13 = 18

Vậy d) $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 18$ .

Nhận xét. Ở câu c, tiếp điểm $H (- 1; - 2)$ cho $I H^{2} = 9 + 4 = 13$ — kiểm lại $R^{2}$ mà không cần công thức khoảng cách.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho a, b, c; câu d dùng Cách 3 vì ra phương trình trong hai dòng.

Đáp số. a)

(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 4

. b)

(x - 3)^{2} + (y - 1)^{2} = 52

. c)

(x - 2)^{2} + (y + 4)^{2} = 13

. d)

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 18

Sai lầm thường gặp. Câu d lấy

R = A B = 72

(quên chia đôi) nên ra

R^{2} = 72

; câu c quên giá trị tuyệt đối hoặc tính

∣6 + 8 - 1∣

thành

∣6 - 8 - 1∣

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để đường thẳng

3 x - 2 y + m = 0

tiếp xúc đường tròn ở câu c:

∣14 + m ∣ = 13

, tức

m = - 1

hoặc

m = - 27

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 7.22★★★Trang 41— Đường tròn qua hai điểm, tâm thuộc đường thẳng cho trước

Bài 7.22 (trang 41). Viết phương trình đường tròn

(C)

có tâm thuộc đường thẳng

Δ : x + y - 1 = 0

và đi qua hai điểm

A (6; 2)

B (- 1; 3)

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn tâm $I (a; b)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .
Điểm thuộc $Δ : x + y - 1 = 0$ có dạng $(t; 1 - t)$ .
Điểm cách đều $A$ , $B$ nằm trên trung trực của $A B$ .
$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình đường tròn $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - c > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} - c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tâm cách đều

A

và

B

nên nằm trên trung trực của

A B

; lại nằm trên

Δ

— tâm là giao của hai đường. Cách đại số: tham số hoá tâm

I (t; 1 - t)

rồi giải

I A = I B

— chỉ một ẩn.

1Cách 1. Tham số hoá tâm trên

Δ

Định hướng. Gọi $I (t; 1 - t)$ ; điều kiện $I A^{2} = I B^{2}$ là phương trình bậc nhất ẩn $t$ .

(t - 6)^{2} + (1 - t - 2)^{2} = (t + 1)^{2} + (1 - t - 3)^{2}

(t - 6)^{2} + (t + 1)^{2} = (t + 1)^{2} + (t + 2)^{2}

t^{2} - 12 t + 36 = t^{2} + 4 t + 4

16 t = 32 \Rightarrow t = 2

I (2; - 1)

R^{2} = I A^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 25

Vậy $(C)$ : $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$ .

2Cách 2. Giao của

Δ

và trung trực

A B

Định hướng. Viết trung trực của $A B$ rồi giải hệ với $Δ$ .

trung điểm

A B

(\frac{5}{2}; \frac{5}{2})

A B = (- 7; 1)

trung trực:

- 7 (x - \frac{5}{2}) + (y - \frac{5}{2}) = 0 \Leftrightarrow 7 x - y - 15 = 0

{x + y = 1 7 x - y = 15 \Rightarrow 8 x = 16

x = 2

y = - 1

R^{2} = I B^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25

Vậy $(C)$ : $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$ .

3Cách 3. Dạng tổng quát với ba ẩn

a, b, c

Định hướng. Tâm $(a; b) \in Δ$ cho một phương trình, hai điểm $A$ , $B$ cho hai phương trình nữa.

⎩ ⎨ ⎧ a + b = 1 40 - 12 a - 4 b + c = 0 10 + 2 a - 6 b + c = 0

trừ hai phương trình sau:

30 - 14 a + 2 b = 0 \Leftrightarrow 7 a - b = 15

a + b = 1 \Rightarrow 8 a = 16

a = 2

b = - 1

c = - 10 - 4 - 6 = - 20

a^{2} + b^{2} - c = 4 + 1 + 20 = 25

Vậy $(C)$ : $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y - 20 = 0$ , tức $(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 25$ .

Nhận xét. Cả ba cách đều quy về giao của $Δ$ với trung trực $A B$ : phương trình $7 a - b = 15$ ở Cách 3 chính là trung trực đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một ẩn, một phương trình bậc nhất, ít tính toán nhất.

Đáp số.

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} = 25

Sai lầm thường gặp. Tham số hoá sai

I (t; t - 1)

(nhầm dấu khi rút

y = 1 - x

), dẫn tới tâm không nằm trên

Δ

. Kiểm tra:

2 + (- 1) - 1 = 0

đúng.

🚀 Mở rộng. Nếu

Δ

song song với trung trực

A B

(không trùng) thì không có đường tròn nào; nếu

Δ

trùng trung trực thì có vô số đường tròn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 7.23★★Trang 42— Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

Bài 7.23 (trang 42). Cho đường tròn

(C)

có phương trình

x^{2} + y^{2} + 6 x - 4 y - 12 = 0

. Viết phương trình tiếp tuyến

Δ

của

(C)

tại điểm

M (0; - 2)

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ là phương trình đường tròn $\Leftrightarrow a^{2} + b^{2} - c > 0$ ; khi đó tâm $I (a; b)$ , bán kính $R = a^{2} + b^{2} - c$ .
Tiếp tuyến của đường tròn tâm $I$ tại $M$ đi qua $M$ và nhận $I M$ làm vectơ pháp tuyến.
Phân đôi toạ độ cho dạng tổng quát: tiếp tuyến tại $(x_{0}; y_{0})$ là $x_{0} x + y_{0} y - a (x + x_{0}) - b (y + y_{0}) + c = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho dạng khai triển nên phải tìm tâm trước:

I (- 3; 2)

. Tiếp tuyến tại

M

vuông góc bán kính

I M

, nên

I M

là vectơ pháp tuyến. Nên kiểm tra

M \in (C)

trước khi viết.

1Cách 1. Vectơ pháp tuyến

I M

Định hướng. Tìm tâm, kiểm tra $M$ , viết đường qua $M$ nhận $I M$ làm vectơ pháp tuyến.

a = - 3

b = 2

c = - 12

\Rightarrow I (- 3; 2)

R = 9 + 4 + 12 = 5

0 + 4 + 0 + 8 - 12 = 0 \Rightarrow M \in (C)

I M = (3; - 4)

Δ

3 (x - 0) - 4 (y + 2) = 0 \Leftrightarrow 3 x - 4 y - 8 = 0

Vậy $Δ$ : $3 x - 4 y - 8 = 0$ .

2Cách 2. Hệ số góc.

Định hướng. $Δ ⊥ I M$ nên tích hai hệ số góc bằng $- 1$ .

k_{I M} = \frac{- 2 - 2}{0 - ( - 3 )} = - \frac{4}{3}

\Rightarrow k_{Δ} = \frac{3}{4}

Δ

y + 2 = \frac{3}{4} x

4 y + 8 = 3 x \Leftrightarrow 3 x - 4 y - 8 = 0

Vậy $Δ$ : $3 x - 4 y - 8 = 0$ .

3Cách 3. Công thức phân đôi toạ độ.

Định hướng. Thay $x^{2} \to x_{0} x$ , $y^{2} \to y_{0} y$ , $2 x \to x + x_{0}$ , $2 y \to y + y_{0}$ .

0 \cdot x + (- 2) y + 3 (x + 0) - 2 (y - 2) - 12 = 0

3 x - 4 y + 4 - 12 = 0

3 x - 4 y - 8 = 0

Vậy $Δ$ : $3 x - 4 y - 8 = 0$ .

Nhận xét. Kiểm tra: $d (I, Δ) = \frac{∣ - 9 - 8 - 8∣}{5} = 5 = R$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: không phải tìm tâm riêng, một dòng ra kết quả; Cách 1 là cách trình bày chuẩn trong bài tự luận.

Đáp số.

Δ

3 x - 4 y - 8 = 0

Sai lầm thường gặp. Đọc tâm là

(3; - 2)

(lấy nguyên hệ số

6 x

- 4 y

chia

2

mà quên đổi dấu) nên ra

I M = (- 3; 0)

và tiếp tuyến sai

x = 0

; thử lại

d ((- 3; 2), x = 0) = 3 \neq = 5

🚀 Mở rộng. Tiếp tuyến của

(C)

song song với

Δ

còn một đường nữa, tiếp xúc tại điểm đối xứng với

M

qua tâm là

(- 6; 6)

3 x - 4 y + 42 = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 7.24★★★Trang 42— Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng tại điểm cho trước

Bài 7.24 (trang 42). Cho điểm

A (4; 2)

và hai đường thẳng

d : 3 x + 4 y - 20 = 0

d^{'} : 2 x + y = 0

.
a) Viết phương trình đường thẳng

Δ

đi qua

A

và vuông góc với

d

.
b) Viết phương trình đường tròn

(C)

có tâm thuộc đường thẳng

d^{'}

và tiếp xúc với

d

tại điểm

A

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng vuông góc với $d : a x + b y + c = 0$ nhận $(a; b)$ làm vectơ chỉ phương, $(b; - a)$ làm vectơ pháp tuyến.
Đường tròn tiếp xúc $d$ tại $A$ $\Leftrightarrow$ $A \in d$ và $I A ⊥ d$ .
$d (M_{0}, Δ) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ với $Δ : a x + b y + c = 0$ ; đường tròn tiếp xúc $Δ$ $\Leftrightarrow d (I, Δ) = R$ .
Đường tròn tâm $I (a; b)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a là bước đệm: tiếp xúc

d

tại

A

nghĩa là

I A ⊥ d

, tức tâm

I

nằm trên

Δ

. Vậy

I

là giao của

Δ

và

d^{'}

. Có thể thay bằng tham số hoá

I

trên

d^{'}

rồi dùng

I A

cùng phương vectơ pháp tuyến của

d

, hoặc

d (I, d) = I A

1Cách 1. Tâm là giao của

Δ

và

d^{'}

Định hướng. $Δ$ nhận vectơ pháp tuyến của $d$ làm vectơ chỉ phương; tâm $I = Δ \cap d^{'}$ .

u_{Δ} = (3; 4) \Rightarrow n_{Δ} = (4; - 3)

Δ

4 (x - 4) - 3 (y - 2) = 0 \Leftrightarrow 4 x - 3 y - 10 = 0

3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 - 20 = 0 \Rightarrow A \in d

{4 x - 3 y = 10 2 x + y = 0 \Rightarrow y = - 2 x

10 x = 10

x = 1

y = - 2

I (1; - 2)

R^{2} = I A^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25

Vậy a) $Δ$ : $4 x - 3 y - 10 = 0$ ; b) $(C)$ : $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ .

2Cách 2. Hệ số góc và điều kiện cùng phương.

Định hướng. Câu a dùng hệ số góc; câu b tham số hoá $I (t; - 2 t)$ trên $d^{'}$ và đòi $I A$ cùng phương với $n_{d} = (3; 4)$ .

k_{d} = - \frac{3}{4} \Rightarrow k_{Δ} = \frac{4}{3}

y - 2 = \frac{4}{3} (x - 4) \Leftrightarrow 4 x - 3 y - 10 = 0

I A = (4 - t; 2 + 2 t)

cùng phương

(3; 4)

4 (4 - t) = 3 (2 + 2 t)

16 - 4 t = 6 + 6 t \Rightarrow t = 1

I (1; - 2)

R = I A = 5

Vậy a) $4 x - 3 y - 10 = 0$ ; b) $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ .

3Cách 3. Điều kiện

d (I, d) = I A

Định hướng. Câu a viết dạng $4 x - 3 y + m = 0$ rồi thay $A$ ; câu b: tâm trên $d^{'}$ và khoảng cách đến $d$ bằng $I A$ (vì $A \in d$ , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $A$ là chân đường vuông góc).

4 \cdot 4 - 3 \cdot 2 + m = 0 \Rightarrow m = - 10

I (t; - 2 t)

\frac{∣3 t - 8 t - 20∣}{5} = (4 - t)^{2} + (2 + 2 t)^{2}

(t + 4)^{2} = (4 - t)^{2} + (2 + 2 t)^{2}

t^{2} + 8 t + 16 = 5 t^{2} + 20 \Leftrightarrow 4 t^{2} - 8 t + 4 = 0 \Leftrightarrow (t - 1)^{2} = 0

t = 1

I (1; - 2)

R^{2} = 25

Vậy a) $4 x - 3 y - 10 = 0$ ; b) $(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25$ .

Nhận xét. Nghiệm kép $t = 1$ ở Cách 3 không ngẫu nhiên: với điểm $A \in d$ , luôn có $d (I, d) \leq I A$ , dấu bằng chỉ tại đúng một vị trí của $I$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: câu a được dùng lại ngay cho câu b, chỉ giải một hệ bậc nhất.

Đáp số. a)

Δ

4 x - 3 y - 10 = 0

. b)

(C)

(x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 25

Sai lầm thường gặp. Câu a lấy nhầm

n_{d} = (3; 4)

làm vectơ pháp tuyến của

Δ

, ra

3 x + 4 y - 20 = 0

— chính là

d

chứ không vuông góc với

d

🚀 Mở rộng. Nếu bỏ điều kiện \"tâm thuộc

d^{'}

\" thì có vô số đường tròn tiếp xúc

d

tại

A

: tâm chạy trên cả đường thẳng

Δ

(trừ điểm

A

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 7.25★★★Trang 42— Chứng minh tiếp tuyến; tiếp tuyến song song với đường thẳng cho trước

Bài 7.25 (trang 42). Cho đường tròn

(C)

, đường thẳng

Δ

có phương trình lần lượt là:

(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 2

;

x + y + 2 = 0

.
a) Chứng minh rằng

Δ

là một tiếp tuyến của đường tròn

(C)

.
b) Viết phương trình tiếp tuyến

d

của

(C)

, biết rằng

d

song song với đường thẳng

Δ

Kiến thức cần nhớ

$d (M_{0}, Δ) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ với $Δ : a x + b y + c = 0$ ; đường tròn tiếp xúc $Δ$ $\Leftrightarrow d (I, Δ) = R$ .
$d ∥ Δ : a x + b y + c = 0$ $\Rightarrow d : a x + b y + m = 0$ với $m \neq = c$ .
Đường thẳng tiếp xúc đường tròn $\Leftrightarrow$ hệ phương trình của chúng có đúng một nghiệm.
Hai tiếp tuyến song song của một đường tròn tiếp xúc tại hai đầu một đường kính.

🧠 Phân tích tư duy

Chứng minh tiếp xúc: so

d (I, Δ)

với

R

, hoặc giải hệ thấy nghiệm kép. Tiếp tuyến song song

Δ

có dạng

x + y + m = 0

(

m \neq = 2

), điều kiện

d (I, d) = R

cho hai giá trị

m

, một giá trị là chính

Δ

. Cách hình học: hai tiếp tuyến song song tiếp xúc tại hai đầu một đường kính.

1Cách 1. Khoảng cách từ tâm.

Định hướng. Tâm $I (1; - 1)$ , $R = 2$ ; so khoảng cách với bán kính.

d (I, Δ) = \frac{∣1 - 1 + 2∣}{2} = \frac{2}{2} = 2 = R

d : x + y + m = 0

(

m \neq = 2

\frac{∣1 - 1 + m ∣}{2} = 2

∣ m ∣ = 2 \Rightarrow m = 2

(loại) hoặc

m = - 2

Vậy a) $Δ$ là tiếp tuyến của $(C)$ ; b) $d$ : $x + y - 2 = 0$ .

2Cách 2. Giải hệ, xét số nghiệm.

Định hướng. Thế $y$ từ phương trình đường thẳng vào phương trình đường tròn: tiếp xúc khi phương trình bậc hai có nghiệm kép.

y = - x - 2

(x - 1)^{2} + (- x - 1)^{2} = 2 \Leftrightarrow 2 x^{2} + 2 = 2 \Leftrightarrow x = 0

(kép), tiếp điểm

T (0; - 2)

y = - x - m

(x - 1)^{2} + (- x - m + 1)^{2} = 2

2 x^{2} + 2 (m - 2) x + m^{2} - 2 m = 0

Δ^{'} = (m - 2)^{2} - 2 (m^{2} - 2 m) = 4 - m^{2} = 0 \Rightarrow m = \pm 2

;

m \neq = 2 \Rightarrow m = - 2

Vậy a) $Δ$ tiếp xúc $(C)$ tại $T (0; - 2)$ ; b) $d$ : $x + y - 2 = 0$ .

3Cách 3. Điểm đối xứng qua tâm.

Định hướng. Tiếp tuyến thứ hai song song với $Δ$ tiếp xúc tại $T^{'}$ đối xứng với tiếp điểm $T$ qua tâm $I$ .

T (0; - 2)

(tiếp điểm ở câu a),

I T = (- 1; - 1)

cùng phương

n_{Δ}

T^{'} = 2 I - T = (2 - 0; - 2 + 2) = (2; 0)

d

qua

T^{'}

, song song

Δ

1 (x - 2) + 1 (y - 0) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0

Vậy $d$ : $x + y - 2 = 0$ .

Nhận xét. Khoảng cách giữa hai tiếp tuyến song song bằng đường kính: $\frac{∣2 - ( - 2 ) ∣}{2} = 22 = 2 R$ — khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho cả hai câu: gọn, và điều kiện

m \neq = 2

loại nghiệm trùng

Δ

rất tự nhiên.

Đáp số. a)

d (I, Δ) = 2 = R

nên

Δ

là tiếp tuyến. b)

d

x + y - 2 = 0

Sai lầm thường gặp. Ở câu b giữ cả hai đáp số

x + y + 2 = 0

và

x + y - 2 = 0

. Đường

x + y + 2 = 0

trùng

Δ

, không song song với

Δ

🚀 Mở rộng. Tổng quát: đường tròn tâm

I

bán kính

R

có đúng hai tiếp tuyến cùng phương với một đường thẳng cho trước, cách nhau

2 R

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 7.26★★★Trang 42— Họ đường thẳng luôn tiếp xúc một đường tròn cố định

Bài 7.26 (trang 42). Cho đường thẳng

Δ : x sin α^{\circ} + y cos α^{\circ} - 1 = 0

, trong đó

α

là một số thực thuộc khoảng

(0; 180)

.
a) Tính khoảng cách từ gốc toạ độ

O

đến đường thẳng

Δ

.
b) Chứng minh rằng khi

α

thay đổi, tồn tại một đường tròn cố định luôn tiếp xúc với đường thẳng

Δ

Kiến thức cần nhớ

$d (M_{0}, Δ) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ với $Δ : a x + b y + c = 0$ ; đường tròn tiếp xúc $Δ$ $\Leftrightarrow d (I, Δ) = R$ .
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ .
Bunhiacopxki: $(ux + v y)^{2} \leq (u^{2} + v^{2}) (x^{2} + y^{2})$ , dấu bằng khi $(x; y)$ tỉ lệ với $(u; v)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hệ số của

x

y

là

sin α^{\circ}

cos α^{\circ}

— tổng bình phương bằng

1

, nên mẫu của công thức khoảng cách bằng

1

và

d (O, Δ)

là hằng số. Khoảng cách từ một điểm cố định đến

Δ

không đổi chính là dấu hiệu

Δ

luôn tiếp xúc đường tròn tâm điểm đó.

1Cách 1. Công thức khoảng cách.

Định hướng. Tính $d (O, Δ)$ , thấy không phụ thuộc $α$ , rồi chọn đường tròn tâm $O$ bán kính bằng khoảng cách đó.

d (O, Δ) = \frac{∣0 + 0 - 1∣}{sin ^{2} α ^{\circ} + cos ^{2} α ^{\circ}} = \frac{1}{1} = 1

(C)

x^{2} + y^{2} = 1

có tâm

O

R = 1

d (O, Δ) = 1 = R

với mọi

α \in (0; 180)

Vậy a) $d (O, Δ) = 1$ ; b) $Δ$ luôn tiếp xúc đường tròn cố định $x^{2} + y^{2} = 1$ .

2Cách 2. Tìm tiếp điểm cụ thể.

Định hướng. Vectơ pháp tuyến $n = (sin α^{\circ}; cos α^{\circ})$ là vectơ đơn vị; chân đường vuông góc từ $O$ là $H (sin α^{\circ}; cos α^{\circ})$ .

sin α^{\circ} \cdot sin α^{\circ} + cos α^{\circ} \cdot cos α^{\circ} - 1 = 0 \Rightarrow H \in Δ

O H = n \Rightarrow O H ⊥ Δ

O H = sin^{2} α^{\circ} + cos^{2} α^{\circ} = 1

Vậy a) $d (O, Δ) = O H = 1$ ; b) $H$ thuộc đường tròn $x^{2} + y^{2} = 1$ và $Δ ⊥ O H$ tại $H$ , nên $Δ$ là tiếp tuyến của đường tròn này tại $H$ .

3Cách 3. Chứng minh hệ có đúng một nghiệm (Bunhiacopxki).

Định hướng. Xét hệ gồm $Δ$ và $x^{2} + y^{2} = 1$ ; chỉ ra hệ có nghiệm duy nhất.

1 = (x sin α^{\circ} + y cos α^{\circ})^{2} \leq (x^{2} + y^{2}) (sin^{2} α^{\circ} + cos^{2} α^{\circ}) = x^{2} + y^{2}

mọi điểm của

Δ

đều có

x^{2} + y^{2} \geq 1

; điểm chung với đường tròn phải cho dấu bằng
dấu bằng

\Leftrightarrow (x; y) = k (sin α^{\circ}; cos α^{\circ})

, thay vào

Δ

k = 1

Vậy $Δ$ và đường tròn $x^{2} + y^{2} = 1$ có đúng một điểm chung $(sin α^{\circ}; cos α^{\circ})$ , nên $Δ$ luôn tiếp xúc đường tròn cố định này; đồng thời $d (O, Δ) = 1$ .

Nhận xét. Điều kiện $α \in (0; 180)$ chỉ làm tiếp điểm chạy trên nửa đường tròn $x > 0$ ; kết luận tiếp xúc vẫn đúng với mọi $α$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai dòng; Cách 2 đáng nhớ vì chỉ ra luôn tiếp điểm.

Đáp số. a)

d (O, Δ) = 1

. b)

Δ

luôn tiếp xúc đường tròn cố định

x^{2} + y^{2} = 1

Sai lầm thường gặp. Viết mẫu là

sin α^{\circ} + cos α^{\circ}

(quên bình phương), dẫn tới khoảng cách phụ thuộc

α

; hoặc chỉ tính

d (O, Δ)

mà quên nêu rõ đường tròn cố định ở câu b.

🚀 Mở rộng. Đường thẳng

x sin α^{\circ} + y cos α^{\circ} - 3 = 0

luôn tiếp xúc

x^{2} + y^{2} = 9

; tổng quát

(x - p) sin α^{\circ} + (y - q) cos α^{\circ} = R

luôn tiếp xúc đường tròn tâm

(p; q)

bán kính

R

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 7.27★★★Trang 42— Cực trị khoảng cách trên quỹ đạo tròn

Bài 7.27 (trang 42). Vị trí của một chất điểm

M

tại thời điểm

t

(

t

trong khoảng thời gian từ 0 phút đến 180 phút) có toạ độ là

(3 + 5 sin t^{\circ}; 4 + 5 cos t^{\circ})

. Tìm toạ độ của chất điểm

M

khi

M

ở cách xa gốc toạ độ nhất.

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn tâm $I (a; b)$ , bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .
$sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ .
Dây cung dài nhất của đường tròn là đường kính.
Bất đẳng thức tam giác: $O M \leq O I + I M$ .

🧠 Phân tích tư duy

Khử

t

bằng

sin^{2} + cos^{2} = 1

M

chạy trên đường tròn tâm

I (3; 4)

, bán kính

5

— mà

O I = 5

nên đường tròn đi qua gốc

O

. Điểm xa

O

nhất là đầu kia của đường kính qua

O

. Phải kiểm tra điểm đó có ứng với

t \in [0; 180]

hay không.

1Cách 1. Quỹ đạo tròn và đường kính.

Định hướng. $M$ thuộc đường tròn qua $O$ , nên $O M$ là một dây, dài nhất khi là đường kính.

x_{M} - 3 = 5 sin t^{\circ}

y_{M} - 4 = 5 cos t^{\circ}

(x_{M} - 3)^{2} + (y_{M} - 4)^{2} = 25 (sin^{2} t^{\circ} + cos^{2} t^{\circ}) = 25

(0 - 3)^{2} + (0 - 4)^{2} = 25 \Rightarrow O \in (C)

O M \leq 2 R = 10

, dấu bằng khi

I

là trung điểm

O M

M (6; 8)

6 = 3 + 5 sin t^{\circ}

8 = 4 + 5 cos t^{\circ} \Rightarrow sin t^{\circ} = \frac{3}{5}

cos t^{\circ} = \frac{4}{5}

(có

t \approx 36, 87 \in [0; 180]

)

Vậy $M$ ở xa gốc toạ độ nhất tại $M (6; 8)$ , khi đó $O M = 10$ .

2Cách 2. Biến đổi lượng giác trực tiếp.

Định hướng. Tính $O M^{2}$ theo $t$ rồi chặn trên biểu thức $30 sin t^{\circ} + 40 cos t^{\circ}$ .

O M^{2} = (3 + 5 sin t^{\circ})^{2} + (4 + 5 cos t^{\circ})^{2} = 50 + 30 sin t^{\circ} + 40 cos t^{\circ}

30 sin t^{\circ} + 40 cos t^{\circ} \leq 3 0^{2} + 4 0^{2} sin^{2} t^{\circ} + cos^{2} t^{\circ} = 50

O M^{2} \leq 100

, dấu bằng khi

\frac{sin t ^{\circ}}{30} = \frac{cos t ^{\circ}}{40} > 0

sin t^{\circ} = \frac{3}{5}

cos t^{\circ} = \frac{4}{5}

M (3 + 5 \cdot \frac{3}{5}; 4 + 5 \cdot \frac{4}{5}) = (6; 8)

Vậy $O M$ lớn nhất bằng $10$ tại $M (6; 8)$ .

3Cách 3. Bất đẳng thức tam giác.

Định hướng. $I M = 5$ không đổi và $O I = 5$ ; áp dụng $O M \leq O I + I M$ .

O I = 3^{2} + 4^{2} = 5

I M = 5

O M \leq O I + I M = 10

dấu bằng khi

M

nằm trên tia

O I

và

I

nằm giữa

O

M

O M = 2 O I = (6; 8)

x_{M} = 6 \geq 3

nên điểm này nằm trên phần quỹ đạo ứng với

t \in [0; 180]

Vậy $M (6; 8)$ .

Nhận xét. Vì $x_{M} = 3 + 5 sin t^{\circ} \geq 3$ , quỹ đạo thật chỉ là nửa đường tròn bên phải đường $x = 3$ ; may mắn điểm xa nhất $(6; 8)$ nằm trên nửa đó — nếu không, đáp số sẽ là một đầu mút của cung.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhận ra

O I = I M = 5

là ra đáp số ngay, chỉ cần thêm một dòng kiểm tra

t

Đáp số.

M (6; 8)

(khi đó

O M = 10

Sai lầm thường gặp. Quên kiểm tra điểm tìm được có thuộc phần quỹ đạo ứng với

0 \leq t \leq 180

hay không. Ví dụ nếu toạ độ là

(3 - 5 sin t^{\circ}; 4 + 5 cos t^{\circ})

thì quỹ đạo là nửa trái, điểm

(6; 8)

không đạt được.

🚀 Mở rộng. Khoảng cách nhỏ nhất từ

O

đến

M

trên quỹ đạo này bằng

0

(tại

t

với

sin t^{\circ} = - \frac{3}{5}

— không có trong

[0; 180]

), nên trên nửa quỹ đạo thật khoảng cách nhỏ nhất đạt ở một đầu mút:

t = 180

M (3; - 1)

O M = 10

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 10

📚 Cùng chương: Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài 19. Phương trình đường thẳng
Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách
▶ Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ