Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang37–39 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 7.10★Trang 37— Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài 7.10 (trang 37). Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a)

m : x + y - 2 = 0

và

k : 2 x + 2 y - 4 = 0

.
b)

a : {x = 1 + 2 t y = 4

và

b : {x = 3 t^{'} y = 1 + t^{'}

d_{1} : x - 2 y - 1 = 0

và

d_{2} : {x = 1 - 2 t y = 2 - t .

Kiến thức cần nhớ

$u_{1}$ , $u_{2}$ không cùng phương $\Leftrightarrow$ hai đường cắt nhau.
$u_{1}$ , $u_{2}$ cùng phương: có điểm chung thì trùng, không có thì song song.
$u (p; q)$ là vectơ chỉ phương thì $n (q; - p)$ là vectơ pháp tuyến.

🧠 Phân tích tư duy

Ba cặp cho ở ba kiểu dạng khác nhau: cùng tổng quát, cùng tham số, trộn hai dạng. Hướng chung: so phương hai vectơ chỉ phương (hoặc pháp tuyến); cùng phương thì thử một điểm. Bẫy ở câu c: phải đổi

u_{d_{2}} = (- 2; - 1)

sang cùng loại với

n_{d_{1}}

trước khi so.

1Cách 1. Vectơ chỉ phương / pháp tuyến và một điểm.

Định hướng. Đọc vectơ của từng đường, so phương; nếu cùng phương thì thử một điểm.

n_{k} = (2; 2) = 2 n_{m}

;

A (2; 0) \in m

2 \cdot 2 + 0 - 4 = 0 \Rightarrow A \in k

u_{a} = (2; 0)

u_{b} = (3; 1)

2 \cdot 1 - 0 \cdot 3 = 2 \neq = 0 \Rightarrow

không cùng phương
c)

n_{d_{1}} = (1; - 2) \Rightarrow u_{d_{1}} = (2; 1)

u_{d_{2}} = (- 2; - 1) = - u_{d_{1}}

N (1; 2) \in d_{2}

;

1 - 2 \cdot 2 - 1 = - 4 \neq = 0 \Rightarrow N \in / d_{1}

Vậy a) $m$ trùng $k$ ; b) $a$ cắt $b$ ; c) $d_{1} ∥ d_{2}$ .

2Cách 2. Đưa về phương trình tổng quát, so tỉ số hệ số.

Định hướng. Khử tham số để mọi đường ở dạng $a x + b y + c = 0$ , rồi so ba tỉ số.

\frac{2}{1} = \frac{2}{1} = \frac{- 4}{- 2} = 2

a : y - 4 = 0

;

b

t^{'} = y - 1

x = 3 (y - 1) \Rightarrow b : x - 3 y + 3 = 0

n_{a} = (0; 1)

n_{b} = (1; - 3)

0 \cdot (- 3) - 1 \cdot 1 = - 1 \neq = 0

d_{2}

t = 2 - y

x = 1 - 2 (2 - y) \Rightarrow d_{2} : x - 2 y + 3 = 0

\frac{1}{1} = \frac{- 2}{- 2} \neq = \frac{- 1}{3}

Vậy a) trùng nhau; b) cắt nhau; c) song song.

3Cách 3. Giải hệ (thế tham số).

Định hướng. Thế phương trình tham số vào phương trình còn lại (hoặc cho hai toạ độ bằng nhau) và đếm số nghiệm.

k : 2 (x + y - 2) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0

\Rightarrow

vô số nghiệm
b)

{1 + 2 t = 3 t^{'} 4 = 1 + t^{'} \Rightarrow t^{'} = 3

t = 4

\Rightarrow

giao điểm

(9; 4)

(1 - 2 t) - 2 (2 - t) - 1 = 0 \Leftrightarrow - 4 = 0

(vô lí)

\Rightarrow

vô nghiệm

Vậy a) $m \equiv k$ ; b) $a$ cắt $b$ tại $(9; 4)$ ; c) $d_{1} ∥ d_{2}$ .

Nhận xét. Cách 3 cho câu c là gọn nhất: thế thẳng tham số của $d_{2}$ vào $d_{1}$ , tham số $t$ tự triệt tiêu và còn lại một đẳng thức sai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 nhanh nhất cho các cặp có dạng tham số (một phép thế); câu a nhìn tỉ số như Cách 2 là đủ.

Đáp số. a) Trùng nhau. b) Cắt nhau tại

(9; 4)

. c) Song song.

Sai lầm thường gặp. Câu c: so

n_{d_{1}} = (1; - 2)

với

u_{d_{2}} = (- 2; - 1)

thấy không cùng phương rồi kết luận cắt nhau — so lệch loại vectơ. Thực ra

n_{d_{1}} \cdot u_{d_{2}} = - 2 + 2 = 0

nên

d_{2}

song song (hoặc trùng)

d_{1}

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để

d_{2}^{'} : {x = m - 2 t y = 2 - t

trùng

d_{1}

: điểm

(m; 2)

phải thuộc

d_{1}

, tức

m - 4 - 1 = 0

m = 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 7.11★★Trang 38— Tính góc giữa hai đường thẳng

Bài 7.11 (trang 38). Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a)

d : y - 1 = 0

và

k : x - y + 4 = 0

;
b)

a : {x = 3 + t y = 2 t

và

b : 3 x + y + 1 = 0

;
c)

m : {x = 1 - t y = 2 - 3 t

và

n : {x = 4 - t^{'} y = 3 t^{'} .

Kiến thức cần nhớ

$cos φ = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣ \cdot ∣ n _{2} ∣} = \frac{∣ u _{1} \cdot u _{2} ∣}{∣ u _{1} ∣ \cdot ∣ u _{2} ∣}$ .
Góc nghiêng $α$ : $tan α = k$ (hệ số góc); góc giữa hai đường là hiệu hai góc nghiêng, lấy góc không tù.
$tan φ = \frac{k _{1} - k _{2}}{1 + k _{1} k _{2}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chọn loại vectơ theo dạng đề để đỡ đổi: câu a dùng

n

, câu c dùng

u

, câu b trộn nên đổi một bên. Cả ba góc đều đặc biệt nên cũng đọc được qua góc nghiêng. Bẫy: quên trị tuyệt đối ở câu c (tích vô hướng âm) rồi ra góc tù

12 0^{\circ}

1Cách 1. Công thức côsin.

Định hướng. Dùng $n$ cho dạng tổng quát, $u$ cho dạng tham số; câu b đổi $n_{b}$ thành $u_{b}$ .

n_{d} = (0; 1)

n_{k} = (1; - 1)

cos φ = \frac{∣0 - 1∣}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2} \Rightarrow φ = 4 5^{\circ}

u_{a} = (1; 2)

u_{b} = (1; - 3)

cos φ = \frac{∣1 - 6∣}{5 \cdot 10} = \frac{1}{2} \Rightarrow φ = 4 5^{\circ}

u_{m} = (- 1; - 3)

u_{n} = (- 1; 3)

cos φ = \frac{∣1 - 3∣}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \Rightarrow φ = 6 0^{\circ}

Vậy a) $4 5^{\circ}$ ; b) $4 5^{\circ}$ ; c) $6 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Góc nghiêng / hệ số góc.

Định hướng. Hệ số góc bằng $\frac{q}{p}$ của vectơ chỉ phương $(p; q)$ ; đọc góc nghiêng rồi lấy hiệu.

d

nằm ngang:

α_{d} = 0^{\circ}

;

k : y = x + 4

tan α_{k} = 1

α_{k} = 4 5^{\circ}

\Rightarrow φ = 4 5^{\circ}

k_{a} = 2

k_{b} = - 3

tan φ = \frac{2 - ( - 3 )}{1 + 2 \cdot ( - 3 )} = 1 \Rightarrow φ = 4 5^{\circ}

k_{m} = \frac{- 3}{- 1} = 3 \Rightarrow α_{m} = 6 0^{\circ}

;

k_{n} = \frac{3}{- 1} = - 3 \Rightarrow α_{n} = 12 0^{\circ}

12 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

Vậy a) $4 5^{\circ}$ ; b) $4 5^{\circ}$ ; c) $6 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Đổi hết về vectơ pháp tuyến.

Định hướng. Đưa các đường tham số về dạng tổng quát rồi dùng thống nhất công thức của SGK.

a : y = 2 (x - 3) \Leftrightarrow 2 x - y - 6 = 0

n_{a} = (2; - 1)

n_{b} = (3; 1)

cos φ = \frac{∣6 - 1∣}{5 \cdot 10} = \frac{1}{2}

m : 3 x - y + 2 - 3 = 0

n : 3 x + y - 43 = 0

cos φ = \frac{∣3 - 1∣}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}

Vậy góc ở câu b là $4 5^{\circ}$ , câu c là $6 0^{\circ}$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Câu a không cần tính: $d$ song song $O x$ , còn $k$ có hệ số góc $1$ nên nghiêng $4 5^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách chuẩn khi đi thi; Cách 2 nhanh khi hệ số góc là giá trị đặc biệt như

1

3

Đáp số. a)

4 5^{\circ}

. b)

4 5^{\circ}

. c)

6 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Câu c tính

u_{m} \cdot u_{n} = - 2

rồi viết

cos φ = - \frac{1}{2}

φ = 12 0^{\circ}

— góc giữa hai đường thẳng luôn thuộc

[0^{\circ}; 9 0^{\circ}]

, phải lấy trị tuyệt đối.

🚀 Mở rộng. Ba đường

m

n

và trục

O x

tạo thành một tam giác đều, vì góc nghiêng của

m

n

là

6 0^{\circ}

và

12 0^{\circ}

— mọi góc trong đều bằng

6 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 7.12★★Trang 38— Giao điểm và tang của góc giữa hai đường thẳng

Bài 7.12 (trang 38). Cho hai đường thẳng

d : 2 x + y + 1 = 0

và

k : 2 x + 5 y - 3 = 0

.
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng cắt nhau. Tìm giao điểm của hai đường thẳng đó.
b) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng.

Kiến thức cần nhớ

$n_{1} = (a_{1}; b_{1})$ , $n_{2} = (a_{2}; b_{2})$ không cùng phương $\Leftrightarrow a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq = 0$ .
$sin^{2} φ + cos^{2} φ = 1$ , $1 + tan^{2} φ = \frac{1}{cos ^{2} φ}$ .
$tan φ = \frac{k _{1} - k _{2}}{1 + k _{1} k _{2}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a: hai vectơ pháp tuyến không cùng phương thì cắt nhau; giao điểm là nghiệm hệ. Câu b hỏi tang chứ không hỏi góc: tính

cos φ

rồi suy

sin φ

, hoặc dùng thẳng hệ số góc. Bẫy: lấy

tan

của góc giữa hai vectơ pháp tuyến có thể âm.

1Cách 1. Vectơ pháp tuyến, giải bằng cộng đại số; côsin rồi sin.

Định hướng. Chứng minh cắt nhau qua vectơ pháp tuyến; trừ hai phương trình để khử $x$ ; câu b đi từ $cos φ$ .

n_{d} = (2; 1)

n_{k} = (2; 5)

2 \cdot 5 - 2 \cdot 1 = 8 \neq = 0

\Rightarrow

cắt nhau

(2 x + 5 y) - (2 x + y) = 3 - (- 1) \Rightarrow 4 y = 4 \Rightarrow y = 1

2 x = - 1 - 1 \Rightarrow x = - 1

cos φ = \frac{∣2 \cdot 2 + 1 \cdot 5∣}{5 \cdot 29} = \frac{9}{145}

sin φ = 1 - \frac{81}{145} = \frac{8}{145}

tan φ = \frac{sin φ}{cos φ} = \frac{8}{9}

Vậy a) $d$ cắt $k$ tại $I (- 1; 1)$ ; b) $tan φ = \frac{8}{9}$ .

2Cách 2. Hệ số góc.

Định hướng. Hai đường đều không thẳng đứng: đọc hệ số góc; câu a so hệ số góc, giải bằng thế.

d : y = - 2 x - 1

k : y = - \frac{2}{5} x + \frac{3}{5}

- 2 \neq = - \frac{2}{5}

\Rightarrow

cắt nhau

2 x + 5 (- 2 x - 1) - 3 = 0 \Rightarrow - 8 x - 8 = 0 \Rightarrow x = - 1

y = 1

tan φ = \frac{- 2 - ( - \frac{2}{5} )}{1 + ( - 2 ) ( - \frac{2}{5} )} = \frac{- \frac{8}{5}}{\frac{9}{5}} = \frac{8}{9}

Vậy giao điểm $(- 1; 1)$ , $tan φ = \frac{8}{9}$ .

3Cách 3. Định thức (Cramer) và hệ thức

1 + tan^{2} φ

Định hướng. Hệ bậc nhất giải bằng định thức; câu b dùng $1 + tan^{2} φ = \frac{1}{cos ^{2} φ}$ để khỏi tính sin.

D = 2 \cdot 5 - 2 \cdot 1 = 8 \neq = 0

D_{x} = (- 1) \cdot 5 - 3 \cdot 1 = - 8

D_{y} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot (- 1) = 8

x = \frac{D _{x}}{D} = - 1

y = \frac{D _{y}}{D} = 1

tan^{2} φ = \frac{1}{cos ^{2} φ} - 1 = \frac{145}{81} - 1 = \frac{64}{81}

tan φ = \frac{8}{9}

(vì

0^{\circ} < φ < 9 0^{\circ}

)

Vậy $d$ cắt $k$ tại $(- 1; 1)$ , $tan φ = \frac{8}{9}$ .

Nhận xét. $D \neq = 0$ chính là điều kiện hai vectơ pháp tuyến không cùng phương — nên chứng minh cắt nhau và tìm giao điểm gộp làm một.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 nhanh nhất cho câu b (một phép tính tang); câu a dùng cộng đại số như Cách 1.

Đáp số. a) Cắt nhau tại

(- 1; 1)

. b)

tan φ = \frac{8}{9}

Sai lầm thường gặp. Tính

tan

theo công thức mà bỏ trị tuyệt đối với

k_{1} = - \frac{2}{5}

k_{2} = - 2

được

\frac{8}{9}

, còn đổi thứ tự thì ra

- \frac{8}{9}

— tang của góc giữa hai đường thẳng luôn không âm.

🚀 Mở rộng. Đường thẳng qua

I (- 1; 1)

tạo với

d

và

k

hai góc bằng nhau là hai đường phân giác của góc tạo bởi

d

k

\frac{∣2 x + y + 1∣}{5} = \frac{∣2 x + 5 y - 3∣}{29}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 7.13★★Trang 38— Tìm điểm trên trục biết khoảng cách tới một đường thẳng

Bài 7.13 (trang 38). Trong mặt phẳng

O x y

, tìm điểm

M

thuộc trục

O x

sao cho khoảng cách từ

M

đến đường thẳng

Δ : 3 x + y - 3 = 0

bằng

10

Kiến thức cần nhớ

$d (M, Δ) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ .
$∣ X ∣ = k$ $(k > 0) \Leftrightarrow X = k$ hoặc $X = - k$ .
Tập hợp các điểm cách $Δ : a x + b y + c = 0$ một khoảng $h$ là hai đường $a x + b y + c \pm h a^{2} + b^{2} = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

M

trên

O x

chỉ còn một ẩn là hoành độ

m

; điều kiện khoảng cách cho phương trình chứa trị tuyệt đối — thường có hai nghiệm, ứng với hai phía của

Δ

. Cách hình học: tập điểm cách

Δ

một khoảng

10

là hai đường song song với

Δ

1Cách 1. Đặt toạ độ, dùng công thức khoảng cách.

Định hướng. $M (m; 0)$ ; thay vào công thức rồi giải phương trình trị tuyệt đối.

d (M, Δ) = \frac{∣3 m + 0 - 3∣}{3 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{∣3 m - 3∣}{10}

\frac{∣3 m - 3∣}{10} = 10

∣3 m - 3∣ = 10

3 m - 3 = 10

hoặc

3 m - 3 = - 10

m = \frac{13}{3}

hoặc

m = - \frac{7}{3}

Vậy $M (\frac{13}{3}; 0)$ hoặc $M (- \frac{7}{3}; 0)$ .

2Cách 2. Hai đường song song cách

Δ

một khoảng

10

Định hướng. $M$ thuộc một trong hai đường $3 x + y + c = 0$ song song với $Δ$ , cách $Δ$ đúng $10$ ; giao chúng với $O x$ .

Lấy

P (1; 0) \in Δ

\frac{∣3 + c ∣}{10} = 10 \Rightarrow ∣3 + c ∣ = 10

c = 7

hoặc

c = - 13

3 x + 7 = 0 \Rightarrow x = - \frac{7}{3}

;

3 x - 13 = 0 \Rightarrow x = \frac{13}{3}

Vậy $M (- \frac{7}{3}; 0)$ hoặc $M (\frac{13}{3}; 0)$ .

3Cách 3. Lượng giác trong tam giác vuông.

Định hướng. $Δ$ cắt $O x$ tại $P (1; 0)$ . Gọi $φ$ là góc giữa $Δ$ và $O x$ ; khi đó $d (M, Δ) = M P \cdot sin φ$ .

u_{Δ} = (1; - 3)

cos φ = \frac{∣1∣}{10}

sin φ = \frac{3}{10}

M P \cdot \frac{3}{10} = 10 \Rightarrow M P = \frac{10}{3}

m = 1 + \frac{10}{3} = \frac{13}{3}

hoặc

m = 1 - \frac{10}{3} = - \frac{7}{3}

Vậy $M (\frac{13}{3}; 0)$ hoặc $M (- \frac{7}{3}; 0)$ .

Nhận xét. Hai điểm tìm được đối xứng nhau qua $P (1; 0)$ — giao điểm của $Δ$ với $O x$ , đúng như hình vẽ gợi ý.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách chuẩn và ngắn nhất khi đi thi.

Đáp số.

M (\frac{13}{3}; 0)

hoặc

M (- \frac{7}{3}; 0)

Sai lầm thường gặp. Bỏ trị tuyệt đối, chỉ giải

3 m - 3 = 10

nên mất nghiệm

m = - \frac{7}{3}

. Hoặc quên chia cho

10

, giải

∣3 m - 3∣ = 10

🚀 Mở rộng. Tìm

N

trên

O y

cách

Δ

một khoảng

10

\frac{∣ n - 3∣}{10} = 10

, được

N (0; 13)

hoặc

N (0; - 7)

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 7.14★★Trang 38— Viết phương trình đường song song, vuông góc, cách một điểm cho trước

Bài 7.14 (trang 38). Trong mặt phẳng

O x y

, cho đường thẳng

Δ : 2 x + y - 5 = 0

.
a) Viết phương trình đường thẳng

d

qua điểm

A (3; 1)

và song song với đường thẳng

Δ

.
b) Viết phương trình đường thẳng

k

đi qua điểm

B (- 1; 0)

và vuông góc với đường thẳng

Δ

.
c) Lập phương trình đường thẳng

a

song song với đường thẳng

Δ

và cách điểm

O

một khoảng bằng

5

Kiến thức cần nhớ

$Δ^{'} ∥ Δ : a x + b y + c = 0 \Rightarrow Δ^{'} : a x + b y + c^{'} = 0$ với $c^{'} \neq = c$ .
$Δ^{'} ⊥ Δ \Rightarrow Δ^{'} : b x - a y + c^{'} = 0$ .
$d (M, Δ) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mọi đường song song với

Δ

có dạng

2 x + y + c = 0

(

c \neq = - 5

), mọi đường vuông góc có dạng

x - 2 y + c = 0

— chỉ còn tìm

c

. Bẫy ở câu c:

d (O, Δ)

cũng đúng bằng

5

, nên một trong hai nghiệm

c = \pm 5

chính là

Δ

— phải loại vì đề đòi “song song”.

1Cách 1. Vectơ pháp tuyến.

Định hướng. $n_{Δ} = (2; 1)$ : dùng lại cho đường song song, lấy làm vectơ chỉ phương cho đường vuông góc.

n_{d} = (2; 1)

2 (x - 3) + 1 (y - 1) = 0 \Leftrightarrow 2 x + y - 7 = 0

u_{k} = (2; 1) \Rightarrow n_{k} = (1; - 2)

(x + 1) - 2 (y - 0) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y + 1 = 0

a : 2 x + y + c = 0

(c \neq = - 5)

d (O, a) = \frac{∣ c ∣}{5} = 5

∣ c ∣ = 5 \Rightarrow c = 5

(nhận) hoặc

c = - 5

(loại, trùng

Δ

)

Vậy a) $d : 2 x + y - 7 = 0$ ; b) $k : x - 2 y + 1 = 0$ ; c) $a : 2 x + y + 5 = 0$ .

2Cách 2. Hệ số góc.

Định hướng. $Δ : y = - 2 x + 5$ có hệ số góc $- 2$ ; đường song song cùng hệ số góc, đường vuông góc có hệ số góc $\frac{1}{2}$ (vì tích bằng $- 1$ ).

y - 1 = - 2 (x - 3) \Leftrightarrow y = - 2 x + 7

y - 0 = \frac{1}{2} (x + 1) \Leftrightarrow x - 2 y + 1 = 0

a : y = - 2 x + m

(m \neq = 5)

d (O, a) = \frac{∣ m ∣}{5} = 5 \Rightarrow m = - 5

Vậy $d : y = - 2 x + 7$ , $k : x - 2 y + 1 = 0$ , $a : y = - 2 x - 5$ .

3Cách 3. Hình học: đối xứng qua gốc toạ độ.

Định hướng. Câu c: $d (O, Δ) = 5$ nên $Δ$ đã cách $O$ đúng $5$ ; đường song song còn lại cách $O$ một khoảng $5$ là ảnh đối xứng của $Δ$ qua $O$ .

d (O, Δ) = \frac{∣ - 5∣}{5} = 5

Đối xứng qua

O

(x; y) \to (- x; - y)

2 (- x) + (- y) - 5 = 0

a : 2 x + y + 5 = 0

a), b): kiểm tra

A (3; 1)

6 + 1 - 7 = 0

;

B (- 1; 0)

- 1 - 0 + 1 = 0

;

(2; 1) \cdot (1; - 2) = 0

Vậy $a : 2 x + y + 5 = 0$ là đường duy nhất thoả mãn câu c.

Nhận xét. Tổng quát: nếu $d (O, Δ) = h$ thì chỉ có đúng một đường song song với $Δ$ cách $O$ một khoảng $h$ , đó là ảnh của $Δ$ qua phép đối xứng tâm $O$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 (viết dạng họ rồi tìm hệ số tự do) là cách chuẩn; câu c nhớ Cách 3 để khỏi quên loại nghiệm trùng

Δ

Đáp số. a)

d : 2 x + y - 7 = 0

. b)

k : x - 2 y + 1 = 0

. c)

a : 2 x + y + 5 = 0

Sai lầm thường gặp. Câu c giữ cả hai đáp án

2 x + y \pm 5 = 0

: đường

2 x + y - 5 = 0

chính là

Δ

, không “song song” với

Δ

🚀 Mở rộng. Nếu đổi đề câu c thành “cách

O

một khoảng bằng

25

” thì

∣ c ∣ = 10

, được hai đường

2 x + y \pm 10 = 0

, cả hai đều nhận.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 7.15★★Trang 38— Đường cao, diện tích, bán kính đường tròn nội tiếp trong hệ toạ độ

Bài 7.15 (trang 38). Trong mặt phẳng

O x y

, cho tam giác

A B C

có

A (2; - 1)

B (2; - 2)

và

C (0; - 1)

.
a) Tính độ dài đường cao của tam giác

A B C

kẻ từ

A

.
b) Tính diện tích tam giác

A B C

.
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

$h_{A} = d (A, B C)$ , $S = \frac{1}{2} B C \cdot h_{A}$ .
$S = p r$ với $p$ là nửa chu vi.
Tam giác vuông tại $A$ : $A H = \frac{A B \cdot A C}{B C}$ , $r = \frac{A B + A C - B C}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường cao từ

A

là khoảng cách từ

A

đến

B C

; diện tích

S = \frac{1}{2} B C \cdot h_{A}

; bán kính nội tiếp

r = \frac{S}{p}

. Nhìn toạ độ:

A B

thẳng đứng,

A C

nằm ngang nên tam giác vuông tại

A

— mọi thứ tính được bằng hệ thức lượng.

1Cách 1. Phương trình

B C

, khoảng cách,

S = p r

Định hướng. Lập $B C$ , tính $d (A, B C)$ , rồi diện tích và nửa chu vi.

B C = (- 2; 1)

n_{B C} = (1; 2)

B C : (x - 2) + 2 (y + 2) = 0 \Leftrightarrow x + 2 y + 2 = 0

h_{A} = \frac{∣2 + 2 \cdot ( - 1 ) + 2∣}{1 ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{2}{5} = \frac{2 5}{5}

B C = 5

S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{2}{5} = 1

A B = 1

A C = 2

p = \frac{1 + 2 + 5}{2} = \frac{3 + 5}{2}

r = \frac{S}{p} = \frac{2}{3 + 5} = \frac{2 ( 3 - 5 )}{9 - 5} = \frac{3 - 5}{2}

Vậy a) $h_{A} = \frac{2 5}{5}$ ; b) $S = 1$ ; c) $r = \frac{3 - 5}{2} \approx 0, 38$ .

2Cách 2. Nhận ra tam giác vuông tại

A

Định hướng. $A B \cdot A C = 0$ nên dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

A B = (0; - 1)

A C = (- 2; 0)

A B \cdot A C = 0

A H = \frac{A B \cdot A C}{B C} = \frac{1 \cdot 2}{5} = \frac{2 5}{5}

S = \frac{1}{2} A B \cdot A C = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 = 1

r = \frac{A B + A C - B C}{2} = \frac{3 - 5}{2}

Vậy $h_{A} = \frac{2 5}{5}$ , $S = 1$ , $r = \frac{3 - 5}{2}$ .

3Cách 3. Diện tích bằng toạ độ trước, đường cao sau.

Định hướng. $S = \frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ với $A B = (x_{1}; y_{1})$ , $A C = (x_{2}; y_{2})$ ; rồi $h_{A} = \frac{2 S}{B C}$ .

S = \frac{1}{2} ∣0 \cdot 0 - (- 2) \cdot (- 1) ∣ = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1

h_{A} = \frac{2 S}{B C} = \frac{2}{5}

c) Tâm nội tiếp

I (2 - r; - 1 - r)

cách

B C

một khoảng

r

\frac{∣2 - r + 2 ( - 1 - r ) + 2∣}{5} = r

∣2 - 3 r ∣ = 5 r

0 < r < \frac{2}{3} \Rightarrow 2 - 3 r = 5 r \Rightarrow r = \frac{2}{3 + 5} = \frac{3 - 5}{2}

Vậy $S = 1$ , $h_{A} = \frac{2 5}{5}$ , $r = \frac{3 - 5}{2}$ .

Nhận xét. Cách 3 câu c dùng đúng tinh thần bài học: tâm nội tiếp cách đều ba cạnh; vì góc $A$ vuông và hai cạnh góc vuông song song với hai trục nên tâm có dạng $(2 - r; - 1 - r)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 ngắn nhất sau khi phát hiện góc vuông tại

A

; Cách 1 là cách vạn năng cho mọi tam giác.

Đáp số. a)

h_{A} = \frac{2 5}{5}

. b)

S_{A B C} = 1

. c)

r = \frac{3 - 5}{2}

Sai lầm thường gặp. Tính nửa chu vi thành

p = 3 + 5

(quên chia

2

) được

r = \frac{1}{3 + 5}

, chỉ bằng một nửa đáp số đúng.

🚀 Mở rộng. Bán kính đường tròn ngoại tiếp: tam giác vuông nên

R = \frac{B C}{2} = \frac{5}{2}

, tâm là trung điểm

(1; - \frac{3}{2})

của

B C

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 7.16★★Trang 38— Hình chiếu vuông góc và điểm đối xứng qua đường thẳng

Bài 7.16 (trang 38). Cho đường thẳng

d : x - 2 y + 1 = 0

và điểm

A (- 2; 2)

.
a) Chứng minh

A

không thuộc đường thẳng

d

.
b) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của

A

trên đường thẳng

d

.
c) Xác định điểm đối xứng của

A

qua đường thẳng

d

Kiến thức cần nhớ

Đường vuông góc với $d : a x + b y + c = 0$ có vectơ pháp tuyến $(b; - a)$ .
$A^{'}$ đối xứng với $A$ qua $d$ $\Leftrightarrow$ $H$ là trung điểm $A A^{'}$ : $A^{'} = 2 H - A$ .
$H = A - \frac{a x _{A} + b y _{A} + c}{a ^{2} + b ^{2}} (a; b)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình chiếu

H

là giao của

d

với đường qua

A

vuông góc

d

; điểm đối xứng

A^{'}

nhận

H

làm trung điểm của

A A^{'}

. Có thể tham số hoá

H

trên

d

rồi dùng điều kiện

A H ⊥ u_{d}

, hoặc dùng công thức

H = A - \frac{f ( A )}{∣ n ∣ ^{2}} n

1Cách 1. Đường vuông góc qua

A

Định hướng. Lập đường qua $A$ vuông góc với $d$ , giao với $d$ được $H$ , rồi $A^{'} = 2 H - A$ .

- 2 - 2 \cdot 2 + 1 = - 5 \neq = 0 \Rightarrow A \in / d

u_{d} = (2; 1)

là vectơ pháp tuyến của

A H

2 (x + 2) + (y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2 x + y + 2 = 0

{x - 2 y + 1 = 0 2 x + y + 2 = 0 \Rightarrow x = 2 y - 1

2 (2 y - 1) + y + 2 = 0 \Rightarrow y = 0

x = - 1

A^{'} = (2 \cdot (- 1) - (- 2); 2 \cdot 0 - 2) = (0; - 2)

Vậy a) $A \in / d$ ; b) $H (- 1; 0)$ ; c) $A^{'} (0; - 2)$ .

2Cách 2. Tham số hoá

H

trên

d

Định hướng. $d$ có phương trình tham số $x = - 1 + 2 t$ , $y = t$ ; chọn $t$ sao cho $A H ⊥ u_{d}$ .

H (- 1 + 2 t; t)

A H = (1 + 2 t; t - 2)

A H \cdot u_{d} = 2 (1 + 2 t) + (t - 2) = 5 t = 0 \Rightarrow t = 0

H (- 1; 0)

A^{'} (0; - 2)

Vậy $H (- 1; 0)$ , $A^{'} (0; - 2)$ .

3Cách 3. Công thức hình chiếu bằng vectơ pháp tuyến.

Định hướng. $A H$ cùng phương $n_{d}$ : $H = A - k n_{d}$ với $k = \frac{f ( A )}{∣ n _{d} ∣ ^{2}}$ (như HĐ4 SGK); $A^{'} = A - 2 k n_{d}$ .

f (A) = - 5

n_{d} = (1; - 2)

∣ n_{d} ∣^{2} = 5

k = - 1

H = (- 2; 2) + (1; - 2) = (- 1; 0)

A^{'} = (- 2; 2) + 2 (1; - 2) = (0; - 2)

f (A^{'}) = 0 + 4 + 1 = 5 = - f (A)

Vậy $H (- 1; 0)$ và $A^{'} (0; - 2)$ .

Nhận xét. Kiểm tra nhanh: $f (A^{'}) = - f (A)$ đúng như dự kiến — hai điểm đối xứng nằm hai phía $d$ và cách đều $d$ một khoảng $5$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 nhanh nhất (hai phép cộng vectơ); Cách 1 là cách trình bày chuẩn SGK.

Đáp số. a)

- 5 \neq = 0

nên

A \in / d

. b)

H (- 1; 0)

. c)

A^{'} (0; - 2)

Sai lầm thường gặp. Tính

A^{'}

bằng

H - A = (1; - 2)

(lấy hiệu thay cho

2 H - A

) — đó là vectơ

A H

, không phải điểm đối xứng.

🚀 Mở rộng. Đường thẳng đối xứng với trục

O x

qua

d

đi qua

H (- 1; 0)

(giao của

O x

với

d

) và điểm

(\frac{1}{5}; \frac{8}{5})

— ảnh của

(1; 0)

tính như Cách 3; phương trình của nó là

4 x - 3 y + 4 = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 7.17★★★Trang 38— Cực trị tổng khoảng cách: lấy đối xứng qua đường thẳng

Bài 7.17 (trang 38). Trong mặt phẳng

O x y

, cho hai điểm

A (- 3; 0)

B (1; - 2)

và đường thẳng

d : x + y - 1 = 0

.
a) Chứng minh rằng hai điểm

A

và

B

nằm cùng phía so với đường thẳng

d

.
b) Điểm

M

thay đổi trên đường thẳng

d

. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác

A B M

Kiến thức cần nhớ

$A$ , $B$ cùng phía với $d : f (x; y) = 0$ $\Leftrightarrow f (A) \cdot f (B) > 0$ .
Bất đẳng thức tam giác: $M A^{'} + M B \geq A^{'} B$ , dấu bằng khi $M$ nằm giữa $A^{'}$ và $B$ .
Bất đẳng thức Minkowski: $p_{1}^{2} + q_{1}^{2} + p_{2}^{2} + q_{2}^{2} \geq (p_{1} + p_{2})^{2} + (q_{1} + q_{2})^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chu vi

= A B + M A + M B

với

A B

không đổi, nên chỉ cần

M A + M B

nhỏ nhất.

A

B

cùng phía

d

— dấu hiệu kinh điển: lấy

A^{'}

đối xứng với

A

qua

d

, khi đó

M A + M B = M A^{'} + M B \geq A^{'} B

. Bẫy: nối thẳng

A B

cắt

d

— chỉ dùng được khi

A

B

khác phía.

1Cách 1. Xét dấu; đối xứng

A

qua

d

Định hướng. Câu a so dấu $f (A)$ , $f (B)$ . Câu b đưa $A$ sang phía bên kia để tổng hai đoạn thành một đường gấp khúc.

f (A) = - 3 + 0 - 1 = - 4

f (B) = 1 - 2 - 1 = - 2

f (A) \cdot f (B) = 8 > 0

A^{'} = A - 2 \cdot \frac{f ( A )}{2} (1; 1) = (- 3; 0) + 4 (1; 1) = (1; 4)

M A + M B = M A^{'} + M B \geq A^{'} B = 0^{2} + (- 6)^{2} = 6

A^{'} B : x = 1

M = A^{'} B \cap d = (1; 0)

nằm giữa

A^{'} (1; 4)

và

B (1; - 2)

A B = 4^{2} + (- 2)^{2} = 25

P_{m i n} = 6 + 25

Vậy a) $A$ , $B$ cùng phía với $d$ ; b) chu vi nhỏ nhất bằng $6 + 25$ , đạt khi $M (1; 0)$ .

2Cách 2. Tham số hoá

M

và bất đẳng thức Minkowski.

Định hướng. Câu a kiểm tra đoạn $A B$ không cắt $d$ . Câu b đặt $M (m; 1 - m)$ , viết $M A + M B$ thành tổng hai căn rồi đánh giá.

P \in A B

P (- 3 + 4 s; - 2 s)

0 \leq s \leq 1

;

f (P) = 2 s - 4 < 0

với mọi

s \in [0; 1]

M A = (m + 3)^{2} + (1 - m)^{2} = 2 (m + 1)^{2} + 2^{2}

M B = (m - 1)^{2} + (3 - m)^{2} = 2 (2 - m)^{2} + 1^{2}

M A + M B \geq 2 (m + 1 + 2 - m)^{2} + (2 + 1)^{2} = 2 \cdot 18 = 6

Dấu bằng:

\frac{m + 1}{2 - m} = \frac{2}{1} \Leftrightarrow m = 1

Vậy $A$ , $B$ cùng phía với $d$ (đoạn $A B$ không cắt $d$ ); chu vi nhỏ nhất $6 + 25$ tại $M (1; 0)$ .

3Cách 3. Giao điểm

A B

với

d

; đối xứng

B

qua

d

Định hướng. Câu a: giao điểm của đường $A B$ với $d$ nằm ngoài đoạn $A B$ . Câu b lấy đối xứng $B$ thay cho $A$ — kết quả phải như nhau.

A B : x + 2 y + 3 = 0

;

{x + 2 y + 3 = 0 x + y - 1 = 0 \Rightarrow (5; - 4)

(5; - 4) = A + 2 A B

nằm ngoài đoạn

A B

B^{'} = B - 2 \cdot \frac{f ( B )}{2} (1; 1) = (1; - 2) + 2 (1; 1) = (3; 0)

M A + M B = M A + M B^{'} \geq A B^{'} = 6

A B^{'} : y = 0

M = (1; 0)

P_{m i n} = 25 + 6

Vậy chu vi tam giác $A B M$ nhỏ nhất bằng $6 + 25 \approx 10, 47$ khi $M (1; 0)$ .

Nhận xét. Đối xứng $A$ hay $B$ đều ra cùng điểm $M (1; 0)$ — đây là “định luật phản xạ”: tia sáng đi từ $A$ , phản xạ trên gương $d$ tại $M$ rồi tới $B$ theo đường ngắn nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là lời giải chuẩn, ngắn và dễ nhớ; Cách 2 hay khi không muốn dùng hình, và nó tự tìm ra điểm

M

Đáp số. a)

f (A) \cdot f (B) = 8 > 0

nên

A

B

cùng phía với

d

. b) Chu vi nhỏ nhất bằng

6 + 25

, khi

M (1; 0)

Sai lầm thường gặp. Lấy

M

là giao điểm của đường

A B

với

d

, tức

(5; - 4)

: khi đó

A

B

M

thẳng hàng, không còn là tam giác, và

M A + M B = 3 A B

chứ không nhỏ nhất.

🚀 Mở rộng. Đổi yêu cầu thành “tìm

M

trên

d

để

∣ M A - M B ∣

lớn nhất”: vì

A

B

cùng phía,

∣ M A - M B ∣ \leq A B = 25

, đạt tại giao điểm

(5; - 4)

của

A B

với

d

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 7.18★★★Trang 39— Bài toán tối ưu trên miền nghiệm của hệ bất phương trình

Bài 7.18 (trang 39). Trong một hoạt động ngoại khoá của trường, lớp Việt định mở một gian hàng bán bánh mì và nước khoáng. Biết rằng giá gốc một bánh mì là 15 000 đồng, một chai nước là 5 000 đồng. Các bạn dự kiến bán bánh mì với giá 20 000 đồng/1 bánh mì và nước giá 8 000 đồng/1 chai. Dựa vào thống kê số người tham gia hoạt động và nhu cầu thực tế các bạn dự kiến tổng số bánh mì và số chai nước không vượt quá

200

. Theo quỹ lớp thì số tiền lớp Việt được dùng không quá 2 000 000 đồng. Hỏi lớp Việt có thể đạt được tối đa lợi nhuận là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của $a x + b y$ trên miền đa giác lồi đạt tại một đỉnh của miền.
Với $(x; y)$ nằm cùng phía đường $5 x + 3 y = 0$ : $5 x + 3 y = 34 \cdot d (M, Δ_{0})$ .
Lợi nhuận = giá bán − giá gốc (giả thiết bán hết hàng).

🧠 Phân tích tư duy

Gọi

x

bánh mì,

y

chai nước: hai ràng buộc (số lượng, tiền vốn) cho miền tứ giác; lợi nhuận là biểu thức bậc nhất

T = 5 x + 3 y

(nghìn đồng). Giá trị lớn nhất của biểu thức bậc nhất trên miền đa giác đạt tại một đỉnh. Liên hệ với bài học:

T

tỉ lệ với khoảng cách từ

(x; y)

đến đường

5 x + 3 y = 0

1Cách 1. Miền nghiệm và các đỉnh.

Định hướng. Lập hệ ràng buộc, xác định các đỉnh của miền nghiệm rồi so giá trị $T$ tại các đỉnh.

x, y \in N

;

{x + y \leq 200 15 x + 5 y \leq 2000 \Leftrightarrow {x + y \leq 200 3 x + y \leq 400

(đơn vị nghìn đồng)

T = (20 - 15) x + (8 - 5) y = 5 x + 3 y

Đỉnh:

O (0; 0)

A (\frac{400}{3}; 0)

B (100; 100)

C (0; 200)

T (O) = 0

T (A) = \frac{2000}{3} \approx 666, 7

T (B) = 500 + 300 = 800

T (C) = 600

Vậy lợi nhuận lớn nhất là $800$ nghìn đồng, tức 800 000 đồng, khi bán $100$ bánh mì và $100$ chai nước.

2Cách 2. Tách biểu thức theo hai ràng buộc.

Định hướng. Viết $5 x + 3 y$ thành tổ hợp dương của $x + y$ và $3 x + y$ rồi cộng hai bất đẳng thức.

5 x + 3 y = α (x + y) + β (3 x + y)

{α + 3 β = 5 α + β = 3 \Rightarrow α = 2

β = 1

T = 2 (x + y) + (3 x + y) \leq 2 \cdot 200 + 400 = 800

Dấu bằng:

x + y = 200

3 x + y = 400 \Rightarrow x = 100

y = 100

Vậy $T_{m a x} = 800$ nghìn đồng tại $(100; 100)$ .

3Cách 3. Khoảng cách tới đường

5 x + 3 y = 0

Định hướng. Với $M (x; y)$ trong góc phần tư thứ nhất, $T = 5 x + 3 y = 34 \cdot d (M, Δ_{0})$ với $Δ_{0} : 5 x + 3 y = 0$ ; cần điểm của miền xa $Δ_{0}$ nhất — xét các đỉnh.

d (M, Δ_{0}) = \frac{∣5 x + 3 y ∣}{34} = \frac{5 x + 3 y}{34}

d (B, Δ_{0}) = \frac{800}{34}

d (C, Δ_{0}) = \frac{600}{34}

d (A, Δ_{0}) = \frac{2000}{3 34}

Đường mức

5 x + 3 y = 800

qua

B

song song

Δ_{0}

, cả miền nằm cùng phía với

O

so với nó

Vậy điểm xa $Δ_{0}$ nhất là $B (100; 100)$ : lợi nhuận tối đa 800 000 đồng.

Nhận xét. Nhìn trên hình: tịnh tiến đường $5 x + 3 y = T$ ra xa gốc toạ độ, vị trí cuối cùng còn chạm miền là đỉnh $B$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 gọn nhất và cho luôn cách bán tối ưu; Cách 1 là cách chuẩn SGK đã học ở Chương II.

Đáp số. Lợi nhuận tối đa 800 000 đồng (bán

100

bánh mì và

100

chai nước).

Sai lầm thường gặp. Viết ràng buộc tiền thành

20 x + 8 y \leq 2000

(dùng giá bán thay cho giá gốc): quỹ lớp dùng để MUA hàng, nên phải là

15 x + 5 y \leq 2000

🚀 Mở rộng. Nếu quỹ tăng lên 2 400 000 đồng thì

3 x + y \leq 480

, đỉnh mới là

(140; 60)

và lợi nhuận tối đa

5 \cdot 140 + 3 \cdot 60 = 880

nghìn đồng.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 19. Phương trình đường thẳng Bài tiếp theo ›Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ

📚 Cùng chương: Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài 19. Phương trình đường thẳng
▶ Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách
Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ