Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang37–39 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 7.10★Trang 37— Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài 7.10 (trang 37). Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
a)

m : x + y - 2 = 0

và

k : 2 x + 2 y - 4 = 0

.
b)

a : {x = 1 + 2 t y = 4

và

b : {x = 3 t^{'} y = 1 + t^{'}

d_{1} : x - 2 y - 1 = 0

và

d_{2} : {x = 1 - 2 t y = 2 - t .

Kiến thức cần nhớ

$u_{1}$ , $u_{2}$ không cùng phương $\Leftrightarrow$ hai đường cắt nhau.
$u_{1}$ , $u_{2}$ cùng phương: có điểm chung thì trùng, không có thì song song.
$u (p; q)$ là vectơ chỉ phương thì $n (q; - p)$ là vectơ pháp tuyến.

🧠 Phân tích tư duy

Ba cặp cho ở ba kiểu dạng khác nhau: cùng tổng quát, cùng tham số, trộn hai dạng. Hướng chung: so phương hai vectơ chỉ phương (hoặc pháp tuyến); cùng phương thì thử một điểm. Bẫy ở câu c: phải đổi

u_{d_{2}} = (- 2; - 1)

sang cùng loại với

n_{d_{1}}

trước khi so.

1Cách 1. Vectơ chỉ phương / pháp tuyến và một điểm.

Định hướng. Đọc vectơ của từng đường, so phương; nếu cùng phương thì thử một điểm.

n_{k} = (2; 2) = 2 n_{m}

;

A (2; 0) \in m

2 \cdot 2 + 0 - 4 = 0 \Rightarrow A \in k

u_{a} = (2; 0)

u_{b} = (3; 1)

2 \cdot 1 - 0 \cdot 3 = 2 \neq = 0 \Rightarrow

không cùng phương
c)

n_{d_{1}} = (1; - 2) \Rightarrow u_{d_{1}} = (2; 1)

u_{d_{2}} = (- 2; - 1) = - u_{d_{1}}

N (1; 2) \in d_{2}

;

1 - 2 \cdot 2 - 1 = - 4 \neq = 0 \Rightarrow N \in / d_{1}

Vậy a) $m$ trùng $k$ ; b) $a$ cắt $b$ ; c) $d_{1} ∥ d_{2}$ .

2Cách 2. Đưa về phương trình tổng quát, so tỉ số hệ số.

Định hướng. Khử tham số để mọi đường ở dạng $a x + b y + c = 0$ , rồi so ba tỉ số.

\frac{2}{1} = \frac{2}{1} = \frac{- 4}{- 2} = 2

a : y - 4 = 0

;

b

t^{'} = y - 1

x = 3 (y - 1) \Rightarrow b : x - 3 y + 3 = 0

n_{a} = (0; 1)

n_{b} = (1; - 3)

0 \cdot (- 3) - 1 \cdot 1 = - 1 \neq = 0

d_{2}

t = 2 - y

x = 1 - 2 (2 - y) \Rightarrow d_{2} : x - 2 y + 3 = 0

\frac{1}{1} = \frac{- 2}{- 2} \neq = \frac{- 1}{3}

Vậy a) trùng nhau; b) cắt nhau; c) song song.

3Cách 3. Giải hệ (thế tham số).

Định hướng. Thế phương trình tham số vào phương trình còn lại (hoặc cho hai toạ độ bằng nhau) và đếm số nghiệm.

k : 2 (x + y - 2) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0

\Rightarrow

vô số nghiệm
b)

{1 + 2 t = 3 t^{'} 4 = 1 + t^{'} \Rightarrow t^{'} = 3

t = 4

\Rightarrow

giao điểm

(9; 4)

(1 - 2 t) - 2 (2 - t) - 1 = 0 \Leftrightarrow - 4 = 0

(vô lí)

\Rightarrow

vô nghiệm

Vậy a) $m \equiv k$ ; b) $a$ cắt $b$ tại $(9; 4)$ ; c) $d_{1} ∥ d_{2}$ .

Nhận xét. Cách 3 cho câu c là gọn nhất: thế thẳng tham số của $d_{2}$ vào $d_{1}$ , tham số $t$ tự triệt tiêu và còn lại một đẳng thức sai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 nhanh nhất cho các cặp có dạng tham số (một phép thế); câu a nhìn tỉ số như Cách 2 là đủ.

Đáp số. a) Trùng nhau. b) Cắt nhau tại

(9; 4)

. c) Song song.

Sai lầm thường gặp. Câu c: so

n_{d_{1}} = (1; - 2)

với

u_{d_{2}} = (- 2; - 1)

thấy không cùng phương rồi kết luận cắt nhau — so lệch loại vectơ. Thực ra

n_{d_{1}} \cdot u_{d_{2}} = - 2 + 2 = 0

nên

d_{2}

song song (hoặc trùng)

d_{1}

🚀 Mở rộng. Tìm

m

để

d_{2}^{'} : {x = m - 2 t y = 2 - t

trùng

d_{1}

: điểm

(m; 2)

phải thuộc

d_{1}

, tức

m - 4 - 1 = 0

m = 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 7.11★★Trang 38— Tính góc giữa hai đường thẳng

Bài 7.11 (trang 38). Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a)

d : y - 1 = 0

và

k : x - y + 4 = 0

;
b)

a : {x = 3 + t y = 2 t

và

b : 3 x + y + 1 = 0

;
c)

m : {x = 1 - t y = 2 - 3 t

và

n : {x = 4 - t^{'} y = 3 t^{'} .

Kiến thức cần nhớ

$cos φ = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣ \cdot ∣ n _{2} ∣} = \frac{∣ u _{1} \cdot u _{2} ∣}{∣ u _{1} ∣ \cdot ∣ u _{2} ∣}$ .
Góc nghiêng $α$ : $tan α = k$ (hệ số góc); góc giữa hai đường là hiệu hai góc nghiêng, lấy góc không tù.
$tan φ = \frac{k _{1} - k _{2}}{1 + k _{1} k _{2}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chọn loại vectơ theo dạng đề để đỡ đổi: câu a dùng

n

, câu c dùng

u

, câu b trộn nên đổi một bên. Cả ba góc đều đặc biệt nên cũng đọc được qua góc nghiêng. Bẫy: quên trị tuyệt đối ở câu c (tích vô hướng âm) rồi ra góc tù

12 0^{\circ}

1Cách 1. Công thức côsin.

Định hướng. Dùng $n$ cho dạng tổng quát, $u$ cho dạng tham số; câu b đổi $n_{b}$ thành $u_{b}$ .

n_{d} = (0; 1)

n_{k} = (1; - 1)

cos φ = \frac{∣0 - 1∣}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2} \Rightarrow φ = 4 5^{\circ}

u_{a} = (1; 2)

u_{b} = (1; - 3)

cos φ = \frac{∣1 - 6∣}{5 \cdot 10} = \frac{1}{2} \Rightarrow φ = 4 5^{\circ}

u_{m} = (- 1; - 3)

u_{n} = (- 1; 3)

cos φ = \frac{∣1 - 3∣}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2} \Rightarrow φ = 6 0^{\circ}

Vậy a) $4 5^{\circ}$ ; b) $4 5^{\circ}$ ; c) $6 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Góc nghiêng / hệ số góc.

Định hướng. Hệ số góc bằng $\frac{q}{p}$ của vectơ chỉ phương $(p; q)$ ; đọc góc nghiêng rồi lấy hiệu.

d

nằm ngang:

α_{d} = 0^{\circ}

;

k : y = x + 4

tan α_{k} = 1

α_{k} = 4 5^{\circ}

\Rightarrow φ = 4 5^{\circ}

k_{a} = 2

k_{b} = - 3

tan φ = \frac{2 - ( - 3 )}{1 + 2 \cdot ( - 3 )} = 1 \Rightarrow φ = 4 5^{\circ}

k_{m} = \frac{- 3}{- 1} = 3 \Rightarrow α_{m} = 6 0^{\circ}

;

k_{n} = \frac{3}{- 1} = - 3 \Rightarrow α_{n} = 12 0^{\circ}

12 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

Vậy a) $4 5^{\circ}$ ; b) $4 5^{\circ}$ ; c) $6 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Đổi hết về vectơ pháp tuyến.

Định hướng. Đưa các đường tham số về dạng tổng quát rồi dùng thống nhất công thức của SGK.

a : y = 2 (x - 3) \Leftrightarrow 2 x - y - 6 = 0

n_{a} = (2; - 1)

n_{b} = (3; 1)

cos φ = \frac{∣6 - 1∣}{5 \cdot 10} = \frac{1}{2}

m : 3 x - y + 2 - 3 = 0

n : 3 x + y - 43 = 0

cos φ = \frac{∣3 - 1∣}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}

Vậy góc ở câu b là $4 5^{\circ}$ , câu c là $6 0^{\circ}$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Câu a không cần tính: $d$ song song $O x$ , còn $k$ có hệ số góc $1$ nên nghiêng $4 5^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách chuẩn khi đi thi; Cách 2 nhanh khi hệ số góc là giá trị đặc biệt như

1

3

Đáp số. a)

4 5^{\circ}

. b)

4 5^{\circ}

. c)

6 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Câu c tính

u_{m} \cdot u_{n} = - 2

rồi viết

cos φ = - \frac{1}{2}

φ = 12 0^{\circ}

— góc giữa hai đường thẳng luôn thuộc

[0^{\circ}; 9 0^{\circ}]

, phải lấy trị tuyệt đối.

🚀 Mở rộng. Ba đường

m

n

và trục

O x

tạo thành một tam giác đều, vì góc nghiêng của

m

n

là

6 0^{\circ}

và

12 0^{\circ}

— mọi góc trong đều bằng

6 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 7.12★★Trang 38— Giao điểm và tang của góc giữa hai đường thẳng

Bài 7.12 (trang 38). Cho hai đường thẳng

d : 2 x + y + 1 = 0

và

k : 2 x + 5 y - 3 = 0

.
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng cắt nhau. Tìm giao điểm của hai đường thẳng đó.
b) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng.

Kiến thức cần nhớ

$n_{1} = (a_{1}; b_{1})$ , $n_{2} = (a_{2}; b_{2})$ không cùng phương $\Leftrightarrow a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq = 0$ .
$sin^{2} φ + cos^{2} φ = 1$ , $1 + tan^{2} φ = \frac{1}{cos ^{2} φ}$ .
$tan φ = \frac{k _{1} - k _{2}}{1 + k _{1} k _{2}}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 7.13★★Trang 38— Tìm điểm trên trục biết khoảng cách tới một đường thẳng

Bài 7.13 (trang 38). Trong mặt phẳng

O x y

, tìm điểm

M

thuộc trục

O x

sao cho khoảng cách từ

M

đến đường thẳng

Δ : 3 x + y - 3 = 0

bằng

10

Kiến thức cần nhớ

$d (M, Δ) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ .
$∣ X ∣ = k$ $(k > 0) \Leftrightarrow X = k$ hoặc $X = - k$ .
Tập hợp các điểm cách $Δ : a x + b y + c = 0$ một khoảng $h$ là hai đường $a x + b y + c \pm h a^{2} + b^{2} = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 7.14★★Trang 38— Viết phương trình đường song song, vuông góc, cách một điểm cho trước

Bài 7.14 (trang 38). Trong mặt phẳng

O x y

, cho đường thẳng

Δ : 2 x + y - 5 = 0

.
a) Viết phương trình đường thẳng

d

qua điểm

A (3; 1)

và song song với đường thẳng

Δ

.
b) Viết phương trình đường thẳng

k

đi qua điểm

B (- 1; 0)

và vuông góc với đường thẳng

Δ

.
c) Lập phương trình đường thẳng

a

song song với đường thẳng

Δ

và cách điểm

O

một khoảng bằng

5

Kiến thức cần nhớ

$Δ^{'} ∥ Δ : a x + b y + c = 0 \Rightarrow Δ^{'} : a x + b y + c^{'} = 0$ với $c^{'} \neq = c$ .
$Δ^{'} ⊥ Δ \Rightarrow Δ^{'} : b x - a y + c^{'} = 0$ .
$d (M, Δ) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 7.15★★Trang 38— Đường cao, diện tích, bán kính đường tròn nội tiếp trong hệ toạ độ

Bài 7.15 (trang 38). Trong mặt phẳng

O x y

, cho tam giác

A B C

có

A (2; - 1)

B (2; - 2)

và

C (0; - 1)

.
a) Tính độ dài đường cao của tam giác

A B C

kẻ từ

A

.
b) Tính diện tích tam giác

A B C

.
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

$h_{A} = d (A, B C)$ , $S = \frac{1}{2} B C \cdot h_{A}$ .
$S = p r$ với $p$ là nửa chu vi.
Tam giác vuông tại $A$ : $A H = \frac{A B \cdot A C}{B C}$ , $r = \frac{A B + A C - B C}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 7.16★★Trang 38— Hình chiếu vuông góc và điểm đối xứng qua đường thẳng

Bài 7.16 (trang 38). Cho đường thẳng

d : x - 2 y + 1 = 0

và điểm

A (- 2; 2)

.
a) Chứng minh

A

không thuộc đường thẳng

d

.
b) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của

A

trên đường thẳng

d

.
c) Xác định điểm đối xứng của

A

qua đường thẳng

d

Kiến thức cần nhớ

Đường vuông góc với $d : a x + b y + c = 0$ có vectơ pháp tuyến $(b; - a)$ .
$A^{'}$ đối xứng với $A$ qua $d$ $\Leftrightarrow$ $H$ là trung điểm $A A^{'}$ : $A^{'} = 2 H - A$ .
$H = A - \frac{a x _{A} + b y _{A} + c}{a ^{2} + b ^{2}} (a; b)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 7.17★★★Trang 38— Cực trị tổng khoảng cách: lấy đối xứng qua đường thẳng

Bài 7.17 (trang 38). Trong mặt phẳng

O x y

, cho hai điểm

A (- 3; 0)

B (1; - 2)

và đường thẳng

d : x + y - 1 = 0

.
a) Chứng minh rằng hai điểm

A

và

B

nằm cùng phía so với đường thẳng

d

.
b) Điểm

M

thay đổi trên đường thẳng

d

. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác

A B M

Kiến thức cần nhớ

$A$ , $B$ cùng phía với $d : f (x; y) = 0$ $\Leftrightarrow f (A) \cdot f (B) > 0$ .
Bất đẳng thức tam giác: $M A^{'} + M B \geq A^{'} B$ , dấu bằng khi $M$ nằm giữa $A^{'}$ và $B$ .
Bất đẳng thức Minkowski: $p_{1}^{2} + q_{1}^{2} + p_{2}^{2} + q_{2}^{2} \geq (p_{1} + p_{2})^{2} + (q_{1} + q_{2})^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 7.18★★★Trang 39— Bài toán tối ưu trên miền nghiệm của hệ bất phương trình

Bài 7.18 (trang 39). Trong một hoạt động ngoại khoá của trường, lớp Việt định mở một gian hàng bán bánh mì và nước khoáng. Biết rằng giá gốc một bánh mì là 15 000 đồng, một chai nước là 5 000 đồng. Các bạn dự kiến bán bánh mì với giá 20 000 đồng/1 bánh mì và nước giá 8 000 đồng/1 chai. Dựa vào thống kê số người tham gia hoạt động và nhu cầu thực tế các bạn dự kiến tổng số bánh mì và số chai nước không vượt quá

200

. Theo quỹ lớp thì số tiền lớp Việt được dùng không quá 2 000 000 đồng. Hỏi lớp Việt có thể đạt được tối đa lợi nhuận là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của $a x + b y$ trên miền đa giác lồi đạt tại một đỉnh của miền.
Với $(x; y)$ nằm cùng phía đường $5 x + 3 y = 0$ : $5 x + 3 y = 34 \cdot d (M, Δ_{0})$ .
Lợi nhuận = giá bán − giá gốc (giả thiết bán hết hàng).