Bài 19. Phương trình đường thẳng

Định hướng. Thay toạ độ điểm và vectơ vào hai công thức chuẩn.

Vậy $d:x-3y+6=0$ và $\Delta :x=t$, $y=2+3t$ ($t\in \mathbb{R}$).

Định hướng. Câu a: đường thẳng nhận $\overrightarrow{n}(1;-3)$ có dạng $x-3y+c=0$, cho đi qua $D$ để tìm $c$. Câu b: $M(x;y)\in \Delta$ khi $\overrightarrow{DM}=t\overrightarrow{u}$.

Vậy $d:x-3y+6=0$; $\Delta :x=t$, $y=2+3t$.

Định hướng. Câu a dùng tích vô hướng $\overrightarrow{DM}\cdot \overrightarrow{n}=0$. Câu b đổi $\overrightarrow{u}(1;3)$ thành vectơ pháp tuyến $(3;-1)$, viết phương trình tổng quát, rồi đặt $x=t$.

Vậy $d:x-3y+6=0$; $\Delta :x=t$, $y=2+3t$ (phương trình tổng quát tương ứng $3x-y+2=0$).

Nhận xét. Kiểm tra: $D(0;2)$ thoả cả hai phương trình; $\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{u}=1-9=-8\ne 0$ nên $d$ và $\Delta$ không vuông góc — hai vectơ đề cho không liên quan đến nhau.

Định hướng. Tính $\overrightarrow{BC}$, rút gọn, rồi dùng khuôn điểm + vectơ pháp tuyến.

Vậy $d:x-2y+3=0$.

Định hướng. Điểm $M(x;y)$ thuộc $d$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{AM}\perp \overrightarrow{BC}$.

Vậy $d:x-2y+3=0$.

Định hướng. Tính hệ số góc của $BC$, suy ra hệ số góc của $d$ nhờ $k_1{k}_2=-1$, rồi viết $y-y_A=k(x-x_A)$.

Vậy $d:x-2y+3=0$.

Nhận xét. Thử lại: $A(1;2)$ cho $1-4+3=0$; vectơ pháp tuyến $(1;-2)$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$.

Định hướng. Tính $\overrightarrow{AB}$ rồi thay vào khuôn tham số với điểm $A$.

Vậy một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=(1;1)$, $AB:x=1+t$, $y=2+t$.

Định hướng. $M(x;y)$ thuộc $AB$ khi $\overrightarrow{BM}$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$; viết đẳng thức vectơ theo từng toạ độ.

Vậy hai phương trình cùng biểu diễn đường thẳng $AB$.

Định hướng. Vectơ pháp tuyến $(1;-1)$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}$; viết phương trình tổng quát, rồi đặt $x=1+t$.

Vậy $AB:x=1+t$, $y=2+t$ (hay $y=x+1$).

Nhận xét. $AB$ chính là đồ thị hàm số $y=x+1$, song song với đường phân giác $y=x$ — khớp với vectơ chỉ phương $(1;1)$.

Định hướng. Viết vectơ pháp tuyến tổng quát theo $k$ rồi cho độ dài bằng $2\sqrt{5}$.

Vậy ${\overrightarrow{n}}_1=(4;-2)$, ${\overrightarrow{n}}_2=(-4;2)$.

Định hướng. ${\overrightarrow{n}}^{\prime }$ là vectơ pháp tuyến khi vuông góc với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}(1;2)$ của $\Delta$; thêm điều kiện độ dài.

Vậy $(4;-2)$ và $(-4;2)$.

Định hướng. Chia $\overrightarrow{n}$ cho độ dài của nó được vectơ đơn vị pháp tuyến, nhân với $\pm 2\sqrt{5}$.

Vậy $(4;-2)$ và $(-4;2)$.

Nhận xét. Độ dài đề cho đúng bằng $2|\overrightarrow{n}|$ nên đáp án là $\pm 2\overrightarrow{n}$ — nhìn thấy tỉ số $\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=2$ là ra ngay.

Định hướng. Chuyển vế được phương trình tổng quát; lấy $\overrightarrow{u}$ vuông góc với $\overrightarrow{n}$ và một điểm trên $d$.

Vậy tổng quát $2x+y-3=0$; tham số $x=t$, $y=3-2t$.

Định hướng. Phương trình $y=-2x+3$ đã cho $y$ theo $x$; đặt $x=t$ là có ngay tham số.

Vậy tham số $x=t$, $y=3-2t$; tổng quát $2x+y-3=0$.

Định hướng. Lấy hai điểm dễ tính của $d$, vectơ nối chúng là vectơ chỉ phương.

Vậy tham số $x=1+t$, $y=1-2t$ (tương đương $x=t$, $y=3-2t$); tổng quát $2x+y-3=0$.

Nhận xét. Hai hệ tham số khác nhau về hình thức nhưng cùng một đường thẳng: đổi $t$ thành $t+1$ là chuyển được từ hệ này sang hệ kia.

Định hướng. Viết $N(2-t;2t)$, lập $M{N}^2=2$.

Vậy $N(1;2)$ hoặc $N\left(\frac{11}{5};-\frac{2}{5}\right)$.

Định hướng. Khử $t$ được $\Delta :2x+y-4=0$, tức $y=4-2x$; ẩn là hoành độ của $N$.

Vậy $N(1;2)$ hoặc $N\left(\frac{11}{5};-\frac{2}{5}\right)$.

Định hướng. Hạ $MH\perp \Delta$; hai điểm $N$ đối xứng qua $H$ trên $\Delta$, cách $H$ một đoạn $\sqrt{M{N}^2-M{H}^2}$.

Vậy $N(1;2)$ hoặc $N\left(\frac{11}{5};-\frac{2}{5}\right)$.

Nhận xét. Vì $MH=\frac{1}{\sqrt{5}}<\sqrt{2}$ nên chắc chắn có đúng hai điểm; nếu $MN$ đề cho nhỏ hơn $MH$ thì không có điểm nào — cách này cho biết số nghiệm trước khi tính.

Định hướng. Tính trung điểm $M$ của $AB$, $N$ của $AC$ rồi lấy $\overrightarrow{MN}$ làm vectơ chỉ phương.

Vậy $x=1+3t$, $y=1+t$.

Định hướng. Chỉ cần một trung điểm; phương của đường trung bình là phương của $BC$.

Vậy $x=1+3t$, $y=1+t$.

Định hướng. Viết phương trình tham số của $BC$, rồi lấy trung điểm của $A$ với từng điểm trên $BC$.

Vậy $x=1+3t$, $y=1+t$.

Nhận xét. Cách này cho thấy đường trung bình là ảnh của cả đường thẳng $BC$ qua phép "co" về phía $A$ một nửa — mọi đoạn nối $A$ với một điểm trên $BC$ đều bị đường trung bình chia đôi.

Định hướng. Câu a dùng khuôn điểm + vectơ pháp tuyến; câu b đặt $C(t;3-t)$ trên $BC$ và cho $BC=AB$.

Vậy a) $BC:x+y-3=0$; b) $C(3;0)$.

Định hướng. $\overrightarrow{BC}$ vuông góc và bằng độ dài $\overrightarrow{AB}(2;2)$ nên chỉ có hai khả năng $(2;-2)$ hoặc $(-2;2)$.

Vậy a) $x+y-3=0$; b) $C(3;0)$.

Định hướng. Câu a: $k_{AB}=1$ nên $k_{BC}=-1$. Câu b: $C$ nằm trên $BC$ và $AC=AB\sqrt{2}=4$.

Vậy a) $BC:x+y-3=0$; b) $C(3;0)$.

Nhận xét. Kiểm tra: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=2\cdot 2+2\cdot (-2)=0$, $BC=\sqrt{8}=AB$; đỉnh còn lại $D=A+\overrightarrow{BC}=(1;-2)$.

Định hướng. Gắn $Oxy$: $O$ là chân tường cao, $Ox$ theo sàn, $Oy$ theo tường cao. Tính tung độ điểm $E$ trên cạnh xiên có hoành độ $90$, so với $183$.

Vậy kê tủ sát tường cao thì phía trên tủ còn cách gầm cầu thang $190-183=7$ cm, kê vừa.

Định hướng. Ngược lại: tại độ cao bằng chiều cao tủ, tìm khoảng cách từ tường cao tới cạnh xiên, so với bề ngang $90$ cm.

Vậy ở độ cao $183$ cm còn trống $100,5$ cm theo chiều ngang, lớn hơn $90$ cm, nên kê vừa.

Định hướng. Góc trên bên phải của tủ là $P(90;183)$; tủ vừa khi $P$ nằm cùng phía với gốc $O$ đối với đường $BC$.

Vậy $P$ nằm cùng phía với $O$ so với gầm cầu thang và tủ không vượt quá bề rộng sàn, nên kê vừa.

Nhận xét. Cách này tổng quát nhất: muốn biết tủ kích thước $a\times h$ có vừa không, chỉ cần $2a+3h\le 750$ (và $a\le 150$). Với $a=90$ ta được $h\le 190$, khớp Cách 1.