Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài 19. Phương trình đường thẳng

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 9 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang31–32 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 7.1★Trang 31— Lập phương trình đường thẳng biết một điểm và vectơ pháp tuyến / vectơ chỉ phương

Bài 7.1 (trang 31). Trong mặt phẳng

O x y

, cho điểm

D (0; 2)

và hai vectơ

n = (1; - 3)

u = (1; 3)

.
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

d

đi qua

D

và nhận

n

là một vectơ pháp tuyến.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng

Δ

đi qua

D

và nhận

u

là một vectơ chỉ phương.

Kiến thức cần nhớ

Phương trình tổng quát qua $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ nhận $n (a; b)$ làm vectơ pháp tuyến: $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$ .
Phương trình tham số qua $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ nhận $u (a; b)$ làm vectơ chỉ phương: $x = x_{0} + a t$ , $y = y_{0} + b t$ .
$u (a; b)$ là vectơ chỉ phương thì $n (b; - a)$ là vectơ pháp tuyến.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a cho sẵn điểm và vectơ pháp tuyến — đúng khuôn

a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0

. Câu b cho điểm và vectơ chỉ phương — đúng khuôn phương trình tham số

x = x_{0} + a t

y = y_{0} + b t

. Bẫy: nhầm vai trò hai vectơ, lấy

u

làm hệ số của phương trình tổng quát.

1Cách 1. Áp dụng thẳng công thức.

Định hướng. Thay toạ độ điểm và vectơ vào hai công thức chuẩn.

d : 1 (x - 0) - 3 (y - 2) = 0 \Leftrightarrow x - 3 y + 6 = 0

Δ : {x = 0 + 1 \cdot t y = 2 + 3 t \Leftrightarrow {x = t y = 2 + 3 t

Vậy $d : x - 3 y + 6 = 0$ và $Δ : x = t$ , $y = 2 + 3 t$ ( $t \in R$ ).

2Cách 2. Viết dạng khung rồi tìm hệ số tự do / dùng đẳng thức vectơ.

Định hướng. Câu a: đường thẳng nhận $n (1; - 3)$ có dạng $x - 3 y + c = 0$ , cho đi qua $D$ để tìm $c$ . Câu b: $M (x; y) \in Δ$ khi $D M = t u$ .

d : x - 3 y + c = 0

D \in d \Rightarrow 0 - 3 \cdot 2 + c = 0 \Rightarrow c = 6

D M = (x; y - 2) = t (1; 3) \Leftrightarrow x = t

y - 2 = 3 t

Vậy $d : x - 3 y + 6 = 0$ ; $Δ : x = t$ , $y = 2 + 3 t$ .

3Cách 3. Đi qua phương trình tổng quát rồi tham số hoá.

Định hướng. Câu a dùng tích vô hướng $D M \cdot n = 0$ . Câu b đổi $u (1; 3)$ thành vectơ pháp tuyến $(3; - 1)$ , viết phương trình tổng quát, rồi đặt $x = t$ .

D M \cdot n = 1 \cdot x - 3 (y - 2) = 0 \Leftrightarrow x - 3 y + 6 = 0

n_{Δ} = (3; - 1)

3 (x - 0) - 1 (y - 2) = 0 \Leftrightarrow 3 x - y + 2 = 0

x = t \Rightarrow y = 3 t + 2

Vậy $d : x - 3 y + 6 = 0$ ; $Δ : x = t$ , $y = 2 + 3 t$ (phương trình tổng quát tương ứng $3 x - y + 2 = 0$ ).

Nhận xét. Kiểm tra: $D (0; 2)$ thoả cả hai phương trình; $n \cdot u = 1 - 9 = - 8 \neq = 0$ nên $d$ và $Δ$ không vuông góc — hai vectơ đề cho không liên quan đến nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay số trực tiếp, một dòng mỗi câu; Cách 3 hữu ích khi đề hỏi cùng lúc cả hai dạng phương trình.

Đáp số. a)

d : x - 3 y + 6 = 0

. b)

Δ : x = t

y = 2 + 3 t

(

t \in R

); dạng tổng quát:

3 x - y + 2 = 0

Sai lầm thường gặp. Viết câu a thành

1 (x - 2) - 3 (y - 0) = 0

— đảo hoành độ và tung độ của

D

. Ở câu b viết

x = 1 + 0 t

y = 3 + 2 t

— lấy nhầm vectơ làm điểm và điểm làm vectơ.

🚀 Mở rộng. Đường thẳng

d

và

Δ

cắt nhau tại chính

D

; thử tìm góc giữa chúng bằng

cos φ = \frac{∣ n _{d} \cdot n _{Δ} ∣}{∣ n _{d} ∣ \cdot ∣ n _{Δ} ∣}

(Bài 20).

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 7.2★★Trang 31— Đường thẳng qua một điểm, vuông góc với đường thẳng qua hai điểm

Bài 7.2 (trang 31). Trong mặt phẳng

O x y

, cho ba điểm

A (1; 2)

B (0; - 1)

và

C (- 2; 3)

. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua

A

và vuông góc với đường thẳng

B C

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng vuông góc với $B C$ nhận $B C$ (hoặc vectơ cùng phương khác $0$ ) làm vectơ pháp tuyến.
$M \in d \Leftrightarrow A M \cdot B C = 0$ .
Hai đường thẳng có hệ số góc $k_{1}$ , $k_{2}$ vuông góc khi $k_{1} k_{2} = - 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

"Vuông góc với

B C

" nghĩa là

B C

đóng vai vectơ pháp tuyến — không cần viết phương trình

B C

. Có thể rút gọn vectơ pháp tuyến

(- 2; 4)

thành

(1; - 2)

để số gọn. Bẫy: lấy

B C

làm vectơ chỉ phương, ra đường song song với

B C

1Cách 1. Vectơ pháp tuyến là

B C

Định hướng. Tính $B C$ , rút gọn, rồi dùng khuôn điểm + vectơ pháp tuyến.

B C = (- 2 - 0; 3 + 1) = (- 2; 4) = - 2 (1; - 2)

d : 1 (x - 1) - 2 (y - 2) = 0 \Leftrightarrow x - 2 y + 3 = 0

Vậy $d : x - 2 y + 3 = 0$ .

2Cách 2. Tích vô hướng bằng

0

Định hướng. Điểm $M (x; y)$ thuộc $d$ khi và chỉ khi $A M ⊥ B C$ .

A M = (x - 1; y - 2)

B C = (- 2; 4)

A M \cdot B C = - 2 (x - 1) + 4 (y - 2) = 0

\Leftrightarrow - 2 x + 4 y - 6 = 0 \Leftrightarrow x - 2 y + 3 = 0

Vậy $d : x - 2 y + 3 = 0$ .

3Cách 3. Hệ số góc.

Định hướng. Tính hệ số góc của $B C$ , suy ra hệ số góc của $d$ nhờ $k_{1} k_{2} = - 1$ , rồi viết $y - y_{A} = k (x - x_{A})$ .

k_{B C} = \frac{3 - ( - 1 )}{- 2 - 0} = - 2 \Rightarrow k_{d} = \frac{1}{2}

y - 2 = \frac{1}{2} (x - 1) \Leftrightarrow 2 y - 4 = x - 1 \Leftrightarrow x - 2 y + 3 = 0

Vậy $d : x - 2 y + 3 = 0$ .

Nhận xét. Thử lại: $A (1; 2)$ cho $1 - 4 + 3 = 0$ ; vectơ pháp tuyến $(1; - 2)$ cùng phương với $B C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép trừ toạ độ và một dòng thay số; Cách 3 chỉ dùng được khi

B C

không song song với

O y

Đáp số.

x - 2 y + 3 = 0

Sai lầm thường gặp. Lấy

B C (- 2; 4)

làm vectơ chỉ phương, ra

2 x + y - 4 = 0

— đây là đường qua

A

song song với

B C

, không vuông góc.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

A

thành đỉnh của tam giác

A B C

thì

d

chính là đường cao kẻ từ

A

; thử tìm chân đường cao bằng cách giải hệ

d

và

B C : 2 x + y + 1 = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 7.3★Trang 31— Phương trình tham số của đường thẳng qua hai điểm

Bài 7.3 (trang 31). Trong mặt phẳng

O x y

, cho hai điểm

A (1; 2)

và

B (2; 3)

. Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng

A B

và viết phương trình tham số của đường thẳng

A B

Kiến thức cần nhớ

$A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A})$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $A B$ .
Phương trình tham số: $x = x_{0} + a t$ , $y = y_{0} + b t$ ; một đường thẳng có vô số phương trình tham số.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 7.4★★Trang 31— Vectơ pháp tuyến có độ dài cho trước

Bài 7.4 (trang 31). Trong mặt phẳng

O x y

, cho đường thẳng

Δ : 2 x - y + 5 = 0

. Tìm tất cả các vectơ pháp tuyến có độ dài

25

của đường thẳng

Δ

Kiến thức cần nhớ

$n (a; b)$ là một vectơ pháp tuyến của $a x + b y + c = 0$ ; mọi vectơ pháp tuyến có dạng $k n$ , $k \neq = 0$ .
$∣ k n ∣ = ∣ k ∣ \cdot ∣ n ∣$ ; $∣ (a; b) ∣ = a^{2} + b^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 7.5★Trang 31— Chuyển đổi giữa phương trình dạng

y = a x + b

, tổng quát và tham số

Bài 7.5 (trang 31). Trong mặt phẳng

O x y

, cho đường thẳng

d

có phương trình

y = - 2 x + 3

. Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng

d

Kiến thức cần nhớ

$y = a x + b \Leftrightarrow a x - y + b = 0$ : vectơ pháp tuyến $(a; - 1)$ , vectơ chỉ phương $(1; a)$ .
$n (a; b)$ là vectơ pháp tuyến thì $u (b; - a)$ là vectơ chỉ phương.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 7.6★★★Trang 31— Tìm điểm trên đường thẳng cách một điểm cho trước một khoảng cho trước

Bài 7.6 (trang 31). Trong mặt phẳng

O x y

, cho điểm

M (2; 1)

và đường thẳng

Δ : {x = 2 - t y = 2 t

. Tìm điểm

N

thuộc đường thẳng

Δ

sao cho

M N = 2

Kiến thức cần nhớ

Điểm thuộc đường thẳng tham số: $N (x_{0} + a t; y_{0} + b t)$ .
$M N^{2} = (x_{N} - x_{M})^{2} + (y_{N} - y_{M})^{2}$ .
Hình chiếu $H$ của $M$ lên $Δ$ thoả $M H \cdot u = 0$ ; khi đó $H N^{2} = M N^{2} - M H^{2}$ (Pythagore).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 7.7★★Trang 31— Phương trình tham số của đường trung bình trong tam giác

Bài 7.7 (trang 31). Trong mặt phẳng

O x y

, cho tam giác

A B C

có toạ độ ba đỉnh

A (0; - 1)

B (2; 3)

và

C (- 4; 1)

. Lập phương trình tham số của đường trung bình ứng với cạnh

B C

của tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

Trung điểm: $x_{M} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}$ , $y_{M} = \frac{y _{A} + y _{B}}{2}$ .
Đường trung bình $M N$ ứng với cạnh $B C$ : $M N ∥ B C$ , $M N = \frac{1}{2} B C$ .
Phép vị tự tâm $A$ tỉ số $\frac{1}{2}$ biến $B$ , $C$ thành $M$ , $N$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 7.8★★★Trang 32— Hình vuông trong mặt phẳng toạ độ: đường thẳng qua đỉnh và toạ độ đỉnh

Bài 7.8 (trang 32). Trong mặt phẳng

O x y

, cho hình vuông

A B C D

có

A (- 1; 0)

và

B (1; 2)

.
a) Lập phương trình đường thẳng

B C

.
b) Tìm toạ độ của điểm

C

biết rằng hoành độ của điểm

C

là số dương.

Kiến thức cần nhớ

$A B C D$ là hình vuông: $A B ⊥ B C$ , $A B = B C$ , $A C = A B 2$ .
Quay vectơ $(a; b)$ một góc $9 0^{\circ}$ được $(- b; a)$ hoặc $(b; - a)$ — cùng độ dài, vuông góc với vectơ ban đầu.
Hai đường thẳng vuông góc (không song song trục) có tích hệ số góc bằng $- 1$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 7.9★★★Trang 32— Bài toán thực tế: dùng phương trình đường thẳng để kiểm tra vị trí

Bài 7.9 (trang 32). Nhà bạn Nam định đổi tủ lạnh và dự định kê vào vị trí dưới cầu thang. Biết vị trí định kê tủ lạnh có mặt cắt là một hình thang vuông với hai đáy lần lượt là

150

cm và

250

cm, chiều cao là

150

cm (như hình vẽ). Bố mẹ bạn Nam định mua một tủ lạnh

2

cánh (Side by side) có chiều cao là

183

cm và bề ngang

90

cm. Bằng cách sử dụng toạ độ trong mặt phẳng, em hãy giúp Nam tính xem bố mẹ bạn Nam có thể kê vừa chiếc tủ lạnh vào vị trí cần kê không?
(Hình vẽ: hình thang vuông có cạnh đứng bên trái dài $250$ cm, cạnh đứng bên phải dài $150$ cm, cạnh đáy nằm ngang dài $150$ cm; cạnh xiên là gầm cầu thang.)

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua hai điểm $B$ , $C$ : vectơ chỉ phương $B C$ , vectơ pháp tuyến vuông góc với nó.
Hai điểm $P$ , $Q$ nằm cùng phía với đường thẳng $a x + b y + c = 0$ khi $(a x_{P} + b y_{P} + c) (a x_{Q} + b y_{Q} + c) > 0$ .
Tủ hình chữ nhật kê sát tường cao và sàn thì chỉ cần kiểm tra đỉnh trên xa tường nhất.