Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài 22. Ba đường conic

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang46–47 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 7.28★Trang 46— Tìm tiêu điểm, tiêu cự của elip chính tắc

Bài 7.28 (trang 46). Cho elip

(E)

có phương trình

\frac{x ^{2}}{36} + \frac{y ^{2}}{16} = 1

. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Kiến thức cần nhớ

Elip chính tắc $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ : $c = a^{2} - b^{2}$ , tiêu điểm $(\pm c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .
Đỉnh trục nhỏ $B (0; b)$ cách đều hai tiêu điểm một khoảng $a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tổng hai bình phương nên là elip,

a^{2} = 36 > b^{2} = 16

nên tiêu điểm trên

O x

. Dùng

c^{2} = a^{2} - b^{2} = 20

, rút gọn

20 = 25

1Cách 1. Công thức

c = a^{2} - b^{2}

Định hướng. Đọc $a^{2}$ , $b^{2}$ từ phương trình.

a^{2} = 36

b^{2} = 16

c = 36 - 16 = 20 = 25

2 c = 45

Vậy $F_{1} (- 25; 0)$ , $F_{2} (25; 0)$ , tiêu cự $45$ .

2Cách 2. Tam giác vuông tại đỉnh trục nhỏ.

Định hướng. $B (0; 4)$ thuộc elip, cách đều hai tiêu điểm nên $B F_{2} = a = 6$ .

O F_{2} = B F_{2}^{2} - O B^{2} = 36 - 16 = 25

F_{1} F_{2} = 45

Vậy tiêu điểm $(\pm 25; 0)$ , tiêu cự $45$ .

3Cách 3. Định nghĩa tại hai đỉnh.

Định hướng. Tổng khoảng cách tới hai tiêu điểm $(\pm c; 0)$ tại đỉnh $A_{2} (6; 0)$ và tại đỉnh $B (0; 4)$ phải bằng nhau.

A_{2} F_{1} + A_{2} F_{2} = (6 + c) + (6 - c) = 12

B F_{1} + B F_{2} = 2 c^{2} + 16

2 c^{2} + 16 = 12 \Leftrightarrow c^{2} = 20 \Leftrightarrow c = 25

Vậy $F_{1} (- 25; 0)$ , $F_{2} (25; 0)$ , tiêu cự $45$ .

Nhận xét. Cách 3 không cần nhớ công thức, chỉ dùng định nghĩa elip.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc

a^{2}

b^{2}

, lấy hiệu rồi rút gọn căn.

Đáp số.

F_{1} (- 25; 0)

F_{2} (25; 0)

; tiêu cự

45

Sai lầm thường gặp. Cộng

36 + 16 = 52

(nhầm công thức hypebol), hoặc ghi tiêu cự

25

(quên nhân đôi).

🚀 Mở rộng. Mọi elip

\frac{x ^{2}}{20 + k} + \frac{y ^{2}}{k} = 1

(k > 0)

đều có cùng tiêu điểm

(\pm 25; 0)

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 7.29★Trang 46— Tìm tiêu điểm, tiêu cự của hypebol chính tắc

Bài 7.29 (trang 46). Cho hypebol

(H)

có phương trình

\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{20} = 1

. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.

Kiến thức cần nhớ

Hypebol chính tắc $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ : $c = a^{2} + b^{2}$ , tiêu điểm $(\pm c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .
Nửa đường chéo hình chữ nhật cơ sở bằng $c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hiệu hai bình phương nên là hypebol, tiêu điểm nằm trên

O x

(trục ứng với số hạng dương).

c^{2} = a^{2} + b^{2} = 36

— dấu cộng.

1Cách 1. Công thức

c = a^{2} + b^{2}

Định hướng. Đọc $a^{2}$ , $b^{2}$ .

a^{2} = 16

b^{2} = 20

c = 16 + 20 = 6

2 c = 12

Vậy $F_{1} (- 6; 0)$ , $F_{2} (6; 0)$ , tiêu cự $12$ .

2Cách 2. Hình chữ nhật cơ sở.

Định hướng. Đỉnh $P (4; 25)$ của hình chữ nhật cơ sở cách $O$ đúng bằng $c$ .

O P = 16 + 20 = 6 = c

F_{1} F_{2} = 12

Vậy tiêu điểm $(\pm 6; 0)$ , tiêu cự $12$ .

3Cách 3. Kiểm chứng bằng định nghĩa.

Định hướng. Lấy điểm $M$ trên $(H)$ có hoành độ $6$ và kiểm tra $∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ = 2 a = 8$ với $F_{1, 2} (\pm 6; 0)$ .

x = 6

\frac{36}{16} - \frac{y ^{2}}{20} = 1 \Rightarrow y^{2} = 25

M (6; 5)

M F_{2} = 5

M F_{1} = 1 2^{2} + 5^{2} = 13

M F_{1} - M F_{2} = 8 = 2 a

Vậy $F_{1} (- 6; 0)$ , $F_{2} (6; 0)$ đúng là hai tiêu điểm; tiêu cự $12$ .

Nhận xét. Bộ ba Pythagore $5, 12, 13$ xuất hiện rất đẹp ở điểm $M (6; 5)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (hai dòng); Cách 3 để tự kiểm tra.

Đáp số.

F_{1} (- 6; 0)

F_{2} (6; 0)

; tiêu cự

12

Sai lầm thường gặp. Tính

c = 20 - 16 = 2

(trừ như elip), hoặc đặt tiêu điểm trên

O y

vì

20 > 16

🚀 Mở rộng. Hypebol

\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{20} = 1

và elip

\frac{x ^{2}}{36 + k} + \frac{y ^{2}}{k} = 1

có chung tiêu điểm với mọi

k > 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 7.30★Trang 46— Tìm tiêu điểm, đường chuẩn của parabol chính tắc

Bài 7.30 (trang 46). Cho parabol

(P)

có phương trình

y^{2} = 4 x

. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.

Kiến thức cần nhớ

Parabol $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ : tiêu điểm $F (\frac{p}{2}; 0)$ , đường chuẩn $x = - \frac{p}{2}$ ; với $M (x; y) \in (P)$ : $M F = x + \frac{p}{2}$ .
Parabol: tập hợp điểm cách đều tiêu điểm và đường chuẩn.

🧠 Phân tích tư duy

So với

y^{2} = 2 p x

2 p = 4

p = 2

; tiêu điểm cách

O

một nửa tham số tiêu. Bẫy: lấy

F (p; 0)

hay

F (4; 0)

1Cách 1. Đọc tham số tiêu.

Định hướng. Đồng nhất với $y^{2} = 2 p x$ .

2 p = 4 \Rightarrow p = 2

F (\frac{p}{2}; 0) = F (1; 0)

Δ : x = - \frac{p}{2} = - 1

Vậy tiêu điểm $F (1; 0)$ , đường chuẩn $Δ : x + 1 = 0$ .

2Cách 2. Từ định nghĩa.

Định hướng. Điểm cách đều $F (f; 0)$ và $x = - f$ thoả $y^{2} = 4 f x$ ; so với $y^{2} = 4 x$ .

(x - f)^{2} + y^{2} = (x + f)^{2} \Leftrightarrow y^{2} = 4 f x

4 f = 4 \Rightarrow f = 1

Vậy $F (1; 0)$ , $Δ : x = - 1$ .

3Cách 3. Dùng một điểm của parabol.

Định hướng. $M (1; 2) \in (P)$ ; tìm $f$ để $M F = d (M, Δ)$ với $F (f; 0)$ , $Δ : x = - f$ .

(1 - f)^{2} + 4 = 1 + f

1 - 2 f + f^{2} + 4 = 1 + 2 f + f^{2}

4 = 4 f \Rightarrow f = 1

Vậy $F (1; 0)$ , $Δ : x + 1 = 0$ .

Nhận xét. Điểm $M (1; 2)$ nằm ngay trên đường thẳng đứng qua $F$ , và $M F = 2 = p$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: nhớ

F (\frac{p}{2}; 0)

với

2 p

là hệ số của

x

Đáp số.

F (1; 0)

; đường chuẩn

Δ : x + 1 = 0

Sai lầm thường gặp. Ghi

F (2; 0)

và

Δ : x = - 2

(dùng

p

thay cho

\frac{p}{2}

), hoặc viết đường chuẩn

y = - 1

🚀 Mở rộng. Parabol

y^{2} = 4 x

là tập hợp tâm các đường tròn đi qua

F (1; 0)

và tiếp xúc với đường thẳng

x = - 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 7.31★★Trang 46— Lập phương trình chính tắc của elip

Bài 7.31 (trang 46). Viết phương trình chính tắc của elip

(E)

, biết

(E)

đi qua điểm

A (6; 0)

và có tiêu cự bằng

8

Kiến thức cần nhớ

Elip chính tắc $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ : $c = a^{2} - b^{2}$ , tiêu điểm $(\pm c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .
Elip: $M F_{1} + M F_{2} = 2 a$ , $F_{1} F_{2} = 2 c$ , $a > c > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

A (6; 0)

thuộc elip chính tắc và nằm trên

O x

nên là đỉnh trục lớn:

a = 6

. Tiêu cự

2 c = 8

cho

c = 4

; còn lại

b^{2} = a^{2} - c^{2}

1Cách 1. Thay toạ độ vào phương trình chính tắc.

Định hướng. Gọi $(E) : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ , $a > b > 0$ .

A (6; 0) \in (E) \Rightarrow \frac{36}{a ^{2}} = 1 \Rightarrow a^{2} = 36

2 c = 8 \Rightarrow c = 4

b^{2} = a^{2} - c^{2} = 36 - 16 = 20

Vậy $(E) : \frac{x ^{2}}{36} + \frac{y ^{2}}{20} = 1$ .

2Cách 2. Dùng định nghĩa tại điểm

A

Định hướng. Tiêu điểm $F_{1} (- 4; 0)$ , $F_{2} (4; 0)$ ; tổng $A F_{1} + A F_{2} = 2 a$ .

A F_{1} + A F_{2} = 10 + 2 = 12 \Rightarrow a = 6

b^{2} = 36 - 16 = 20

Vậy $(E) : \frac{x ^{2}}{36} + \frac{y ^{2}}{20} = 1$ .

3Cách 3. Tam giác vuông tại đỉnh trục nhỏ.

Định hướng. Đỉnh $B (0; b)$ : $B F_{2} = a = 6$ , $O F_{2} = c = 4$ .

b = O B = B F_{2}^{2} - O F_{2}^{2} = 36 - 16 = 25

b^{2} = 20

Vậy $(E) : \frac{x ^{2}}{36} + \frac{y ^{2}}{20} = 1$ .

Nhận xét. Kiểm tra: $36 - 20 = 4 = c$ , tiêu cự $8$ đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là khuôn trình bày chuẩn cho dạng lập phương trình chính tắc.

Đáp số.

\frac{x ^{2}}{36} + \frac{y ^{2}}{20} = 1

Sai lầm thường gặp. Lấy

c = 8

(nhầm tiêu cự với

c

) được

b^{2} = 36 - 64 < 0

; hoặc

b^{2} = 36 + 16 = 52

(nhầm công thức).

🚀 Mở rộng. Nếu đề cho

A (0; 6)

thay cho

A (6; 0)

(tiêu điểm vẫn trên

O x

) thì

b = 6

a^{2} = 52

\frac{x ^{2}}{52} + \frac{y ^{2}}{36} = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 7.32★★★Trang 46— Lập phương trình chính tắc của hypebol

Bài 7.32 (trang 46). Viết phương trình chính tắc của hypebol

(H)

, biết

(H)

đi qua điểm

M (32; - 4)

và có một tiêu điểm là

F_{2} (5; 0)

Kiến thức cần nhớ

Hypebol chính tắc $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ : $c = a^{2} + b^{2}$ , tiêu điểm $(\pm c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .
Hypebol: $∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ = 2 a$ , $F_{1} F_{2} = 2 c$ , $0 < a < c$ .
$59 \pm 302 = ∣3 \pm 52 ∣$ vì $(3 \pm 52)^{2} = 9 + 50 \pm 302$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai ẩn

a^{2}

b^{2}

, hai dữ kiện:

a^{2} + b^{2} = c^{2} = 25

và

M

thuộc

(H)

. Thế một ẩn được phương trình bậc hai; phải loại nghiệm làm

b^{2} \leq 0

. Cũng có thể dùng thẳng định nghĩa: tính

∣ M F_{1} - M F_{2} ∣

1Cách 1. Hệ phương trình ẩn

a^{2}

Định hướng. Đặt $t = a^{2}$ $(0 < t < 25)$ , $b^{2} = 25 - t$ .

\frac{18}{t} - \frac{16}{25 - t} = 1

18 (25 - t) - 16 t = t (25 - t)

t^{2} - 59 t + 450 = 0

Δ = 5 9^{2} - 4 \cdot 450 = 1681 = 4 1^{2}

t = \frac{59 \pm 41}{2}

t = 50

hoặc

t = 9

t^{2} - 9 t - 50 t + 450 = 0 \Leftrightarrow (t - 9) (t - 50) = 0

0 < t < 25 \Rightarrow t = 9

b^{2} = 16

Vậy $(H) : \frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ .

2Cách 2. Dùng định nghĩa

∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ = 2 a

Định hướng. $F_{1} (- 5; 0)$ , $F_{2} (5; 0)$ ; tính hai khoảng cách từ $M$ .

M F_{1} = (32 + 5)^{2} + 16 = 59 + 302 = 52 + 3

M F_{2} = (32 - 5)^{2} + 16 = 59 - 302 = 52 - 3

2 a = M F_{1} - M F_{2} = 6 \Rightarrow a = 3

b^{2} = c^{2} - a^{2} = 25 - 9 = 16

Vậy $(H) : \frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ .

3Cách 3. Hệ phương trình ẩn

b^{2}

Định hướng. Đặt $u = b^{2}$ $(0 < u < 25)$ , $a^{2} = 25 - u$ ; phương trình thu được có đúng một nghiệm dương.

\frac{18}{25 - u} - \frac{16}{u} = 1

18 u - 16 (25 - u) = u (25 - u)

u^{2} + 9 u - 400 = 0

Δ = 81 + 1600 = 1681 = 4 1^{2}

u = \frac{- 9 \pm 41}{2}

u = 16

hoặc

u = - 25

u^{2} - 16 u + 25 u - 400 = 0 \Leftrightarrow (u - 16) (u + 25) = 0

u > 0 \Rightarrow u = 16

a^{2} = 9

Vậy $(H) : \frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1$ .

Nhận xét. Kiểm tra: $\frac{18}{9} - \frac{16}{16} = 2 - 1 = 1$ . Chọn ẩn $b^{2}$ thì nghiệm loại là số âm nên loại ngay, khỏi đối chiếu điều kiện $t < 25$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2: không phải giải phương trình bậc hai, chỉ cần nhận ra

59 \pm 302 = (52 \pm 3)^{2}

Đáp số.

\frac{x ^{2}}{9} - \frac{y ^{2}}{16} = 1

Sai lầm thường gặp. Giữ cả nghiệm

a^{2} = 50

— khi đó

b^{2} = 25 - 50 = - 25 < 0

, không phải hypebol; hoặc dùng

a^{2} - b^{2} = 25

(nhầm công thức elip).

🚀 Mở rộng. Cùng tiêu điểm

F_{2} (5; 0)

, elip đi qua

M (32; - 4)

có

2 a = M F_{1} + M F_{2} = 102

\frac{x ^{2}}{50} + \frac{y ^{2}}{25} = 1

— chính là nghiệm

t = 50

bị loại ở Cách 1.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 7.33★★Trang 46— Lập phương trình parabol, tìm điểm theo bán kính qua tiêu

Bài 7.33 (trang 46). Viết phương trình chính tắc của parabol

(P)

, biết rằng

(P)

có đường chuẩn là đường thẳng

Δ : x + 4 = 0

. Tìm toạ độ điểm

M

thuộc

(P)

sao cho khoảng cách từ

M

đến tiêu điểm của

(P)

bằng

5

Kiến thức cần nhớ

Parabol $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ : tiêu điểm $F (\frac{p}{2}; 0)$ , đường chuẩn $x = - \frac{p}{2}$ ; với $M (x; y) \in (P)$ : $M F = x + \frac{p}{2}$ .
Parabol: $M F = d (M, Δ)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường chuẩn

x = - \frac{p}{2} = - 4

cho ngay

p = 8

. Khoảng cách tới tiêu điểm bằng khoảng cách tới đường chuẩn, tức

M F = x_{M} + 4

— biến điều kiện chứa căn thành điều kiện bậc nhất.

1Cách 1. Bán kính qua tiêu

M F = x + \frac{p}{2}

Định hướng. Tìm $p$ , rồi giải $x_{M} + 4 = 5$ .

- \frac{p}{2} = - 4 \Rightarrow p = 8

(P) : y^{2} = 16 x

F (4; 0)

M F = x_{M} + 4 = 5 \Rightarrow x_{M} = 1

y_{M}^{2} = 16 \Rightarrow y_{M} = 4

hoặc

y_{M} = - 4

Vậy $(P) : y^{2} = 16 x$ ; $M (1; 4)$ hoặc $M (1; - 4)$ .

2Cách 2. Giao của parabol và đường tròn tâm

F

bán kính

5

Định hướng. $M$ thuộc $(P)$ và đường tròn $(x - 4)^{2} + y^{2} = 25$ ; thế $y^{2} = 16 x$ .

(x - 4)^{2} + 16 x = 25

x^{2} + 8 x - 9 = 0

Δ^{'} = 16 + 9 = 25

x = - 4 \pm 5

x = 1

hoặc

x = - 9

x^{2} - x + 9 x - 9 = 0 \Leftrightarrow (x - 1) (x + 9) = 0

x = \frac{y ^{2}}{16} \geq 0 \Rightarrow x = 1

y = \pm 4

Vậy $M (1; 4)$ hoặc $M (1; - 4)$ trên $(P) : y^{2} = 16 x$ .

3Cách 3. Tham số hoá điểm trên parabol.

Định hướng. Mọi điểm của $(P) : y^{2} = 16 x$ có dạng $M (4 t^{2}; 8 t)$ .

M F^{2} = (4 t^{2} - 4)^{2} + 64 t^{2} = 16 (t^{2} + 1)^{2}

M F = 4 t^{2} + 4 = 5 \Rightarrow t^{2} = \frac{1}{4} \Rightarrow t = \pm \frac{1}{2}

M (1; 4)

hoặc

M (1; - 4)

Vậy $(P) : y^{2} = 16 x$ và $M (1; \pm 4)$ .

Nhận xét. Cả ba cách cho thấy: điểm có $M F = 5$ nằm trên đường thẳng $x = 1$ , cách đường chuẩn đúng $5$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhờ

M F = x + \frac{p}{2}

bài toán thành phương trình bậc nhất.

Đáp số.

(P) : y^{2} = 16 x

;

M (1; 4)

và

M (1; - 4)

Sai lầm thường gặp. Từ

x + 4 = 0

suy ra

p = 4

(quên rằng đường chuẩn là

x = - \frac{p}{2}

); hoặc chỉ ghi một điểm

M (1; 4)

, bỏ sót

M (1; - 4)

🚀 Mở rộng. Tổng quát: trên

y^{2} = 2 p x

, các điểm cách tiêu điểm một khoảng

d \geq \frac{p}{2}

là

(d - \frac{p}{2}; \pm 2 p (d - \frac{p}{2}))

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 7.34★★★★Trang 46— Chứng minh tính chất dây cung qua tiêu điểm của parabol

Bài 7.34 (trang 46). Cho parabol

(P)

có phương trình là

y^{2} = 16 x

. Gọi

Δ

là đường thẳng bất kì đi qua tiêu điểm

F

của

(P)

và không trùng với trục hoành. Chứng minh rằng

Δ

luôn cắt

(P)

tại hai điểm phân biệt

A

B

, đồng thời tích các khoảng cách từ

A

và

B

đến trục hoành không đổi.

Kiến thức cần nhớ

Parabol $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ : tiêu điểm $F (\frac{p}{2}; 0)$ , đường chuẩn $x = - \frac{p}{2}$ ; với $M (x; y) \in (P)$ : $M F = x + \frac{p}{2}$ .
Khoảng cách từ $M (x; y)$ tới trục hoành bằng $∣ y ∣$ .
Phương trình $a y^{2} + b y + c = 0$ có $a c < 0$ thì có hai nghiệm trái dấu; tích hai nghiệm $\frac{c}{a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Khoảng cách tới trục hoành là

∣ y ∣

, nên khử

x

để được phương trình bậc hai theo

y

; tích các nghiệm

y_{A} y_{B}

đọc ngay bằng Vi-ét. Viết

Δ

dạng

x = m y + 4

bao trọn cả đường thẳng đứng (

m = 0

) và loại đúng trục hoành.

1Cách 1. Đường thẳng dạng

x = m y + 4

và định lí Vi-ét.

Định hướng. $F (4; 0)$ ; $Δ$ không trùng $O x$ nên có phương trình $x = m y + 4$ ( $m \in R$ ).

y^{2} = 16 (m y + 4) \Leftrightarrow y^{2} - 16 m y - 64 = 0 (*)

a c = - 64 < 0 \Rightarrow (*)

có hai nghiệm phân biệt trái dấu

y_{A}

y_{B}

y_{A} y_{B} = - 64

d (A, O x) \cdot d (B, O x) = ∣ y_{A} ∣ \cdot ∣ y_{B} ∣ = ∣ y_{A} y_{B} ∣ = 64

Vậy $Δ$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A$ , $B$ và tích khoảng cách từ $A$ , $B$ tới trục hoành luôn bằng $64$ .

2Cách 2. Xét hệ số góc.

Định hướng. Tách trường hợp $Δ$ thẳng đứng và $Δ$ có hệ số góc $k \neq = 0$ .

Δ : x = 4

y^{2} = 64 \Rightarrow A (4; 8)

B (4; - 8)

8 \cdot 8 = 64

Δ : y = k (x - 4)

k \neq = 0

x = \frac{y}{k} + 4

y^{2} = 16 (\frac{y}{k} + 4) \Leftrightarrow k y^{2} - 16 y - 64 k = 0

Δ_{y}^{'} = 64 + 64 k^{2} > 0

y_{A} y_{B} = \frac{- 64 k}{k} = - 64

∣ y_{A} ∣ \cdot ∣ y_{B} ∣ = 64

Vậy trong mọi trường hợp $Δ$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt và tích các khoảng cách tới $O x$ bằng $64$ .

3Cách 3. Tham số hoá điểm trên parabol.

Định hướng. Điểm của $(P)$ có dạng $(4 s^{2}; 8 s)$ ; điều kiện để $A (4 s^{2}; 8 s)$ , $F$ , $B (4 t^{2}; 8 t)$ thẳng hàng.

F A = (4 s^{2} - 4; 8 s)

F B = (4 t^{2} - 4; 8 t)

(4 s^{2} - 4) \cdot 8 t - (4 t^{2} - 4) \cdot 8 s = 32 (s - t) (s t + 1)

A \neq = B

A, F, B

thẳng hàng

\Leftrightarrow s t = - 1

∣8 s ∣ \cdot ∣8 t ∣ = 64∣ s t ∣ = 64

Vậy với mỗi điểm $A \neq = O$ của $(P)$ , đường $A F$ cắt $(P)$ thêm đúng điểm $B$ ứng với $t = - \frac{1}{s}$ , và tích khoảng cách tới $O x$ luôn là $64$ .

Nhận xét. Đường qua $F$ không trùng $O x$ không đi qua $O$ nên cả hai giao điểm đều khác $O$ , ứng với $s \neq = 0$ . Tổng quát với $y^{2} = 2 p x$ : tích bằng $p^{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 gọn nhất: dạng

x = m y + 4

tránh phải tách trường hợp, Vi-ét cho kết quả trong một dòng.

Đáp số.

Δ

luôn cắt

(P)

tại hai điểm phân biệt, và

d (A, O x) \cdot d (B, O x) = ∣ y_{A} y_{B} ∣ = 64

không đổi.

Sai lầm thường gặp. Viết

Δ : y = k (x - 4)

rồi quên trường hợp

Δ

thẳng đứng

x = 4

(không có hệ số góc); hoặc kết luận tích bằng

- 64

(quên trị tuyệt đối — khoảng cách không âm).

🚀 Mở rộng. Chứng minh thêm:

\frac{1}{F A} + \frac{1}{F B} = \frac{2}{p} = \frac{1}{4}

không đổi với mọi dây cung

A B

qua tiêu điểm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 7.35★★★Trang 46— Bài toán thực tế với elip

Bài 7.35 (trang 46). Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là

12

m, khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là

3

m. Người kĩ sư này muốn đưa ra cảnh báo cho các loại xe có thể đi qua hầm. Biết rằng những loại xe tải có chiều cao

2, 8

m thì có chiều rộng không quá

3

m. Hỏi chiếc xe tải có chiều cao

2, 8

m có thể đi qua hầm được không?

Kiến thức cần nhớ

Elip $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ : điểm $(x_{0}; y_{0})$ nằm trong elip $\Leftrightarrow \frac{x _{0}^{2}}{a ^{2}} + \frac{y _{0}^{2}}{b ^{2}} < 1$ .
Nửa elip trên: $y = b 1 - \frac{x ^{2}}{a ^{2}}$ giảm dần khi $∣ x ∣$ tăng.

🧠 Phân tích tư duy

Chọn gốc

O

là trung điểm mặt đường ở cửa hầm, trục lớn nằm trên mặt đường:

a = 6

b = 3

. Hầm một chiều nên xe đi chính giữa; thùng xe rộng tối đa

3

m chiếm

- 1, 5 \leq x \leq 1, 5

. Điểm nguy hiểm nhất là hai góc trên của thùng xe

(\pm 1, 5; 2, 8)

— chỉ cần so với trần hầm tại

x = 1, 5

1Cách 1. So chiều cao trần hầm tại mép thùng xe.

Định hướng. $(E) : \frac{x ^{2}}{36} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ ; tính chiều cao trần tại $x = 1, 5$ .

y = 3 1 - \frac{1 , 5 ^{2}}{36} = 3 1 - \frac{1}{16} = \frac{3 15}{4}

\frac{3 15}{4} \approx 2, 905 > 2, 8

Vậy trần hầm tại mép thùng xe cao khoảng $2, 9$ m $> 2, 8$ m, nên xe tải đi qua được (khi đi chính giữa hầm).

2Cách 2. So bề rộng hầm ở độ cao

2, 8

Định hướng. Tìm bề rộng hầm tại độ cao $y = 2, 8$ rồi so với $3$ m.

\frac{x ^{2}}{36} = 1 - \frac{2 , 8 ^{2}}{9} = \frac{9 - 7 , 84}{9} = \frac{1 , 16}{9}

x^{2} = 4, 64 \Rightarrow x = \pm 4, 64 \approx \pm 2, 154

Bề rộng

= 2 4, 64 \approx 4, 31 > 3

Vậy ở độ cao $2, 8$ m hầm còn rộng khoảng $4, 31$ m $> 3$ m, xe đi qua được.

3Cách 3. Kiểm tra góc thùng xe nằm trong elip.

Định hướng. Góc trên của thùng xe là $P (1, 5; 2, 8)$ ; xét dấu của $\frac{x ^{2}}{36} + \frac{y ^{2}}{9} - 1$ .

\frac{1 , 5 ^{2}}{36} + \frac{2 , 8 ^{2}}{9} = \frac{2 , 25}{36} + \frac{7 , 84}{9} = \frac{2 , 25 + 31 , 36}{36} = \frac{33 , 61}{36}

\frac{33 , 61}{36} < 1

Vậy cả hai góc trên của thùng xe (đối xứng) nằm trong elip, nên xe tải đi qua được.

Nhận xét. Nếu xe đi lệch khỏi tim hầm quá $2, 154 - 1, 5 \approx 0, 65$ m thì góc thùng xe sẽ chạm trần.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 nhanh nhất: chỉ một phép thay số, không phải khai căn.

Đáp số. Được: tại

x = 1, 5

m trần hầm cao

\frac{3 15}{4} \approx 2, 9

> 2, 8

m (xe đi chính giữa hầm).

Sai lầm thường gặp. So chiều cao xe

2, 8

m với đỉnh hầm

3

m (tại

x = 0

) rồi kết luận ngay — bỏ qua bề rộng xe; hoặc lấy mép xe tại

x = 3

(quên chia đôi bề rộng).

🚀 Mở rộng. Xe cao

2, 8

m thì rộng tối đa bao nhiêu để qua hầm? Đáp số:

2 4, 64 \approx 4, 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 7.36★★★★Trang 47— Bán kính qua tiêu và cực trị góc nhìn trên elip

Bài 7.36 (trang 47). Cho điểm

M (x_{0}; y_{0})

thuộc elip

(E)

có phương trình

\frac{x ^{2}}{2} + \frac{y ^{2}}{1} = 1

.
a) Tính

M F_{1}^{2} - M F_{2}^{2}

theo

x_{0}

;

y_{0}

. Từ đó tính

M F_{1}

M F_{2}

theo

x_{0}

;

y_{0}

.
b) Tìm điểm

M

sao cho

M F_{2} = 2 M F_{1}

.
c) Tìm

M

sao cho góc nhìn của

M

tới hai điểm

F_{1}

F_{2}

(tức là góc

F_{1} M F_{2}

) là lớn nhất.

Kiến thức cần nhớ

Elip: $M F_{1} + M F_{2} = 2 a$ , $F_{1} F_{2} = 2 c$ , $a > c > 0$ .
Với $M (x; y)$ thuộc elip chính tắc: $M F_{1} = a + \frac{c}{a} x$ , $M F_{2} = a - \frac{c}{a} x$ .
Định lí côsin: $F_{1} F_{2}^{2} = M F_{1}^{2} + M F_{2}^{2} - 2 M F_{1} \cdot M F_{2} cos F_{1} M F_{2}$ .
$uv \leq (\frac{u + v}{2})^{2}$ , dấu bằng khi $u = v$ .

🧠 Phân tích tư duy

a = 2

b = 1

c = 1

. Câu a: hiệu hai bình phương khử hết

y_{0}

, còn

4 x_{0}

; kết hợp tổng

M F_{1} + M F_{2} = 22

ra từng bán kính. Câu b thành phương trình bậc nhất theo

x_{0}

. Câu c: góc lớn nhất khi cosin nhỏ nhất; định lí côsin đưa về tích

M F_{1} \cdot M F_{2}

với tổng không đổi.

1Cách 1. Hiệu và tổng hai bán kính, định lí côsin.

Định hướng. $a^{2} = 2$ , $b^{2} = 1$ , $c = 1$ : $F_{1} (- 1; 0)$ , $F_{2} (1; 0)$ , $M F_{1} + M F_{2} = 22$ .

M F_{1}^{2} - M F_{2}^{2} = (x_{0} + 1)^{2} + y_{0}^{2} - (x_{0} - 1)^{2} - y_{0}^{2} = 4 x_{0}

M F_{1} - M F_{2} = \frac{4 x _{0}}{2 2} = 2 x_{0}

M F_{1} = 2 + \frac{2}{2} x_{0}

M F_{2} = 2 - \frac{2}{2} x_{0}

2 - \frac{2}{2} x_{0} = 22 + 2 x_{0} \Leftrightarrow - \frac{3 2}{2} x_{0} = 2 \Leftrightarrow x_{0} = - \frac{2}{3}

y_{0}^{2} = 1 - \frac{x _{0}^{2}}{2} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9} \Rightarrow y_{0} = \pm \frac{7}{3}

cos F_{1} M F_{2} = \frac{M F _{1}^{2} + M F _{2}^{2} - 4}{2 M F _{1} \cdot M F _{2}} = \frac{( M F _{1} + M F _{2} ) ^{2} - 4}{2 M F _{1} \cdot M F _{2}} - 1 = \frac{2}{M F _{1} \cdot M F _{2}} - 1

M F_{1} \cdot M F_{2} \leq (\frac{M F _{1} + M F _{2}}{2})^{2} = 2 \Rightarrow cos F_{1} M F_{2} \geq 0

Dấu bằng

\Leftrightarrow M F_{1} = M F_{2} \Leftrightarrow x_{0} = 0 \Leftrightarrow M (0; \pm 1)

Vậy a) $M F_{1}^{2} - M F_{2}^{2} = 4 x_{0}$ , $M F_{1} = 2 + \frac{2}{2} x_{0}$ , $M F_{2} = 2 - \frac{2}{2} x_{0}$ ; b) $M (- \frac{2}{3}; \pm \frac{7}{3})$ ; c) góc lớn nhất bằng $9 0^{\circ}$ tại $M (0; 1)$ hoặc $M (0; - 1)$ .

2Cách 2. Tính trực tiếp bằng căn thức.

Định hướng. Thế $y_{0}^{2} = 1 - \frac{x _{0}^{2}}{2}$ vào công thức khoảng cách và nhận ra bình phương đúng.

M F_{1}^{2} = (x_{0} + 1)^{2} + 1 - \frac{x _{0}^{2}}{2} = \frac{x _{0}^{2}}{2} + 2 x_{0} + 2 = (\frac{x _{0}}{2} + 2)^{2}

∣ x_{0} ∣ \leq 2 \Rightarrow M F_{1} = 2 + \frac{x _{0}}{2}

; tương tự

M F_{2} = 2 - \frac{x _{0}}{2}

M F_{1}^{2} - M F_{2}^{2} = 4 x_{0}

M F_{1} + M F_{2} = 22

M F_{2} = 2 M F_{1} \Rightarrow M F_{1} = \frac{2 2}{3}

2 + \frac{x _{0}}{2} = \frac{2 2}{3} \Rightarrow x_{0} = - \frac{2}{3}

y_{0} = \pm \frac{7}{3}

M F_{1} \cdot M F_{2} = (- 1 - x_{0}) (1 - x_{0}) + y_{0}^{2} = x_{0}^{2} - 1 + 1 - \frac{x _{0}^{2}}{2} = \frac{x _{0}^{2}}{2} \geq 0

cos F_{1} M F_{2} \geq 0

, dấu bằng

\Leftrightarrow x_{0} = 0

Vậy cùng kết quả: a) như trên; b) $M (- \frac{2}{3}; \frac{7}{3})$ , $M (- \frac{2}{3}; - \frac{7}{3})$ ; c) $M (0; \pm 1)$ , góc lớn nhất $9 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Đường tròn đường kính

F_{1} F_{2}

(cho câu c).

Định hướng. Điểm nhìn đoạn $F_{1} F_{2}$ dưới góc vuông nằm trên đường tròn đường kính $F_{1} F_{2}$ : $x^{2} + y^{2} = 1$ ; ở ngoài đường tròn thì góc nhọn. So sánh $O M$ với $1$ .

O M^{2} = x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = x_{0}^{2} + 1 - \frac{x _{0}^{2}}{2} = 1 + \frac{x _{0}^{2}}{2} \geq 1

O M > 1

(ngoài đường tròn)

\Rightarrow F_{1} M F_{2} < 9 0^{\circ}

O M = 1 \Leftrightarrow x_{0} = 0 \Leftrightarrow M (0; \pm 1)

F_{1} M F_{2} = 9 0^{\circ}

Vậy góc $F_{1} M F_{2}$ lớn nhất bằng $9 0^{\circ}$ , đạt tại hai đỉnh trục nhỏ $M (0; 1)$ , $M (0; - 1)$ .

Nhận xét. Kết quả chung: góc nhìn hai tiêu điểm lớn nhất tại đỉnh trục nhỏ; ở elip này $b = c = 1$ nên góc đó vừa đúng $9 0^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 cho câu a, b gọn nhất; câu c nên dùng Cách 3 (đường tròn đường kính

F_{1} F_{2}

) vì không cần bất đẳng thức.

Đáp số. a)

M F_{1}^{2} - M F_{2}^{2} = 4 x_{0}

;

M F_{1} = 2 + \frac{2}{2} x_{0}

M F_{2} = 2 - \frac{2}{2} x_{0}

. b)

M (- \frac{2}{3}; \pm \frac{7}{3})

. c)

M (0; \pm 1)

, khi đó

F_{1} M F_{2} = 9 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Ở câu a quên dùng

M F_{1} + M F_{2} = 2 a = 22

nên không tách được từng bán kính; ở câu b giải

M F_{2} = 2 M F_{1}

x_{0} = - \frac{2}{3}

rồi quên tìm

y_{0}

hoặc bỏ sót nghiệm

y_{0} = - \frac{7}{3}

🚀 Mở rộng. Với elip

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

tổng quát: góc nhìn hai tiêu điểm lớn nhất tại

(0; \pm b)

, và có điểm nhìn dưới góc vuông khi và chỉ khi

b \leq c

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 7.37★★★Trang 47— Khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất từ tiêu điểm tới điểm trên elip

Bài 7.37 (trang 47). Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip với tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ của quỹ đạo lần lượt là

768800

km và

767640

km. Tìm khoảng cách lớn nhất và bé nhất từ tâm Trái Đất đến Mặt Trăng.

Kiến thức cần nhớ

Elip chính tắc $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ : $c = a^{2} - b^{2}$ , tiêu điểm $(\pm c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .
Với $M (x; y)$ thuộc elip chính tắc: $M F_{1} = a + \frac{c}{a} x$ , $M F_{2} = a - \frac{c}{a} x$ .
$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Khoảng cách từ tiêu điểm

F_{2}

tới điểm

M

của elip là

a - \frac{c}{a} x

, biến thiên theo

x \in [- a; a]

: lớn nhất

a + c

, nhỏ nhất

a - c

tại hai đỉnh trục lớn. Việc còn lại là tính

c = a^{2} - b^{2}

— nên dùng hằng đẳng thức

(a - b) (a + b)

để khỏi bình phương số lớn.

1Cách 1. Công thức bán kính qua tiêu.

Định hướng. $2 a = 768800$ , $2 b = 767640$ ; Trái Đất ở tiêu điểm $F_{2} (c; 0)$ .

a = 384400

b = 383820

c = a^{2} - b^{2} = 580 \cdot 768220 = 445567600 \approx 21108, 47

M F_{2} = a - \frac{c}{a} x

- a \leq x \leq a

M F_{2}

lớn nhất

= a + c \approx 405508, 47

(tại

x = - a

)

M F_{2}

nhỏ nhất

= a - c \approx 363291, 53

(tại

x = a

)

Vậy khoảng cách lớn nhất khoảng $405508$ km, bé nhất khoảng $363292$ km.

2Cách 2. Bất đẳng thức tam giác.

Định hướng. Với $M$ trên elip: $M F_{1} + M F_{2} = 2 a$ và $∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ \leq F_{1} F_{2} = 2 c$ .

M F_{2} = a - \frac{M F _{1} - M F _{2}}{2}

- c \leq \frac{M F _{1} - M F _{2}}{2} \leq c \Rightarrow a - c \leq M F_{2} \leq a + c

Dấu bằng khi

M

F_{1}

F_{2}

thẳng hàng, tức

M

là đỉnh trục lớn

a + c \approx 384400 + 21108, 47 = 405508, 47

a - c \approx 363291, 53

Vậy lớn nhất $\approx 405508$ km, bé nhất $\approx 363292$ km.

3Cách 3. Tích hai khoảng cách cực trị bằng

b^{2}

Định hướng. Gọi $d_{1} = a + c$ , $d_{2} = a - c$ : $d_{1} + d_{2} = 2 a$ và $d_{1} d_{2} = a^{2} - c^{2} = b^{2}$ ; $d_{1}$ , $d_{2}$ là nghiệm của $X^{2} - 2 a X + b^{2} = 0$ .

X^{2} - 768800 X + 38382 0^{2} = 0

Δ^{'} = 38440 0^{2} - 38382 0^{2} = 580 \cdot 768220 = 445567600

X = 384400 \pm 445567600 \approx 384400 \pm 21108, 47

Vậy $d_{1} \approx 405508, 47$ km, $d_{2} \approx 363291, 53$ km.

Nhận xét. Đẳng thức $d_{1} d_{2} = b^{2}$ cho thấy bán trục nhỏ là trung bình nhân của khoảng cách xa nhất và gần nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 hoặc Cách 2 đều ngắn; điểm then chốt là tính

a^{2} - b^{2}

bằng

(a - b) (a + b)

Đáp số. Lớn nhất

a + c \approx 405508

km; bé nhất

a - c \approx 363292

km (với

a = 384400

km,

c = 445567600 \approx 21108, 5

km).

Sai lầm thường gặp. Lấy trực tiếp

a = 768800

(quên chia đôi độ dài trục lớn); hoặc trả lời lớn nhất là

a

, bé nhất là

b

— nhầm tâm elip với tiêu điểm.

🚀 Mở rộng. Tâm sai

e = \frac{c}{a} \approx 0, 055

rất nhỏ nên quỹ đạo gần tròn; với sao chổi Halley (

e \approx 0, 967

) khoảng cách xa nhất gấp khoảng

60

lần gần nhất.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 21. Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ Bài tiếp theo ›Bài tập cuối chương VII

Bài 22. Ba đường conic

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng