Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài 22. Ba đường conic

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang46–47 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 7.28★Trang 46— Tìm tiêu điểm, tiêu cự của elip chính tắc

Bài 7.28 (trang 46). Cho elip

(E)

có phương trình

\frac{x ^{2}}{36} + \frac{y ^{2}}{16} = 1

. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của elip.

Kiến thức cần nhớ

Elip chính tắc $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ : $c = a^{2} - b^{2}$ , tiêu điểm $(\pm c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .
Đỉnh trục nhỏ $B (0; b)$ cách đều hai tiêu điểm một khoảng $a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tổng hai bình phương nên là elip,

a^{2} = 36 > b^{2} = 16

nên tiêu điểm trên

O x

. Dùng

c^{2} = a^{2} - b^{2} = 20

, rút gọn

20 = 25

1Cách 1. Công thức

c = a^{2} - b^{2}

Định hướng. Đọc $a^{2}$ , $b^{2}$ từ phương trình.

a^{2} = 36

b^{2} = 16

c = 36 - 16 = 20 = 25

2 c = 45

Vậy $F_{1} (- 25; 0)$ , $F_{2} (25; 0)$ , tiêu cự $45$ .

2Cách 2. Tam giác vuông tại đỉnh trục nhỏ.

Định hướng. $B (0; 4)$ thuộc elip, cách đều hai tiêu điểm nên $B F_{2} = a = 6$ .

O F_{2} = B F_{2}^{2} - O B^{2} = 36 - 16 = 25

F_{1} F_{2} = 45

Vậy tiêu điểm $(\pm 25; 0)$ , tiêu cự $45$ .

3Cách 3. Định nghĩa tại hai đỉnh.

Định hướng. Tổng khoảng cách tới hai tiêu điểm $(\pm c; 0)$ tại đỉnh $A_{2} (6; 0)$ và tại đỉnh $B (0; 4)$ phải bằng nhau.

A_{2} F_{1} + A_{2} F_{2} = (6 + c) + (6 - c) = 12

B F_{1} + B F_{2} = 2 c^{2} + 16

2 c^{2} + 16 = 12 \Leftrightarrow c^{2} = 20 \Leftrightarrow c = 25

Vậy $F_{1} (- 25; 0)$ , $F_{2} (25; 0)$ , tiêu cự $45$ .

Nhận xét. Cách 3 không cần nhớ công thức, chỉ dùng định nghĩa elip.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc

a^{2}

b^{2}

, lấy hiệu rồi rút gọn căn.

Đáp số.

F_{1} (- 25; 0)

F_{2} (25; 0)

; tiêu cự

45

Sai lầm thường gặp. Cộng

36 + 16 = 52

(nhầm công thức hypebol), hoặc ghi tiêu cự

25

(quên nhân đôi).

🚀 Mở rộng. Mọi elip

\frac{x ^{2}}{20 + k} + \frac{y ^{2}}{k} = 1

(k > 0)

đều có cùng tiêu điểm

(\pm 25; 0)

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 7.29★Trang 46— Tìm tiêu điểm, tiêu cự của hypebol chính tắc

Bài 7.29 (trang 46). Cho hypebol

(H)

có phương trình

\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{20} = 1

. Tìm tiêu điểm và tiêu cự của hypebol.

Kiến thức cần nhớ

Hypebol chính tắc $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ : $c = a^{2} + b^{2}$ , tiêu điểm $(\pm c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .
Nửa đường chéo hình chữ nhật cơ sở bằng $c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hiệu hai bình phương nên là hypebol, tiêu điểm nằm trên

O x

(trục ứng với số hạng dương).

c^{2} = a^{2} + b^{2} = 36

— dấu cộng.

1Cách 1. Công thức

c = a^{2} + b^{2}

Định hướng. Đọc $a^{2}$ , $b^{2}$ .

a^{2} = 16

b^{2} = 20

c = 16 + 20 = 6

2 c = 12

Vậy $F_{1} (- 6; 0)$ , $F_{2} (6; 0)$ , tiêu cự $12$ .

2Cách 2. Hình chữ nhật cơ sở.

Định hướng. Đỉnh $P (4; 25)$ của hình chữ nhật cơ sở cách $O$ đúng bằng $c$ .

O P = 16 + 20 = 6 = c

F_{1} F_{2} = 12

Vậy tiêu điểm $(\pm 6; 0)$ , tiêu cự $12$ .

3Cách 3. Kiểm chứng bằng định nghĩa.

Định hướng. Lấy điểm $M$ trên $(H)$ có hoành độ $6$ và kiểm tra $∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ = 2 a = 8$ với $F_{1, 2} (\pm 6; 0)$ .

x = 6

\frac{36}{16} - \frac{y ^{2}}{20} = 1 \Rightarrow y^{2} = 25

M (6; 5)

M F_{2} = 5

M F_{1} = 1 2^{2} + 5^{2} = 13

M F_{1} - M F_{2} = 8 = 2 a

Vậy $F_{1} (- 6; 0)$ , $F_{2} (6; 0)$ đúng là hai tiêu điểm; tiêu cự $12$ .

Nhận xét. Bộ ba Pythagore $5, 12, 13$ xuất hiện rất đẹp ở điểm $M (6; 5)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (hai dòng); Cách 3 để tự kiểm tra.

Đáp số.

F_{1} (- 6; 0)

F_{2} (6; 0)

; tiêu cự

12

Sai lầm thường gặp. Tính

c = 20 - 16 = 2

(trừ như elip), hoặc đặt tiêu điểm trên

O y

vì

20 > 16

🚀 Mở rộng. Hypebol

\frac{x ^{2}}{16} - \frac{y ^{2}}{20} = 1

và elip

\frac{x ^{2}}{36 + k} + \frac{y ^{2}}{k} = 1

có chung tiêu điểm với mọi

k > 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 7.30★Trang 46— Tìm tiêu điểm, đường chuẩn của parabol chính tắc

Bài 7.30 (trang 46). Cho parabol

(P)

có phương trình

y^{2} = 4 x

. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của parabol.

Kiến thức cần nhớ

Parabol $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ : tiêu điểm $F (\frac{p}{2}; 0)$ , đường chuẩn $x = - \frac{p}{2}$ ; với $M (x; y) \in (P)$ : $M F = x + \frac{p}{2}$ .
Parabol: tập hợp điểm cách đều tiêu điểm và đường chuẩn.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 7.31★★Trang 46— Lập phương trình chính tắc của elip

Bài 7.31 (trang 46). Viết phương trình chính tắc của elip

(E)

, biết

(E)

đi qua điểm

A (6; 0)

và có tiêu cự bằng

8

Kiến thức cần nhớ

Elip chính tắc $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ : $c = a^{2} - b^{2}$ , tiêu điểm $(\pm c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .
Elip: $M F_{1} + M F_{2} = 2 a$ , $F_{1} F_{2} = 2 c$ , $a > c > 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 7.32★★★Trang 46— Lập phương trình chính tắc của hypebol

Bài 7.32 (trang 46). Viết phương trình chính tắc của hypebol

(H)

, biết

(H)

đi qua điểm

M (32; - 4)

và có một tiêu điểm là

F_{2} (5; 0)

Kiến thức cần nhớ

Hypebol chính tắc $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ : $c = a^{2} + b^{2}$ , tiêu điểm $(\pm c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .
Hypebol: $∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ = 2 a$ , $F_{1} F_{2} = 2 c$ , $0 < a < c$ .
$59 \pm 302 = ∣3 \pm 52 ∣$ vì $(3 \pm 52)^{2} = 9 + 50 \pm 302$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 7.33★★Trang 46— Lập phương trình parabol, tìm điểm theo bán kính qua tiêu

Bài 7.33 (trang 46). Viết phương trình chính tắc của parabol

(P)

, biết rằng

(P)

có đường chuẩn là đường thẳng

Δ : x + 4 = 0

. Tìm toạ độ điểm

M

thuộc

(P)

sao cho khoảng cách từ

M

đến tiêu điểm của

(P)

bằng

5

Kiến thức cần nhớ

Parabol $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ : tiêu điểm $F (\frac{p}{2}; 0)$ , đường chuẩn $x = - \frac{p}{2}$ ; với $M (x; y) \in (P)$ : $M F = x + \frac{p}{2}$ .
Parabol: $M F = d (M, Δ)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 7.34★★★★Trang 46— Chứng minh tính chất dây cung qua tiêu điểm của parabol

Bài 7.34 (trang 46). Cho parabol

(P)

có phương trình là

y^{2} = 16 x

. Gọi

Δ

là đường thẳng bất kì đi qua tiêu điểm

F

của

(P)

và không trùng với trục hoành. Chứng minh rằng

Δ

luôn cắt

(P)

tại hai điểm phân biệt

A

B

, đồng thời tích các khoảng cách từ

A

và

B

đến trục hoành không đổi.

Kiến thức cần nhớ

Parabol $y^{2} = 2 p x$ $(p > 0)$ : tiêu điểm $F (\frac{p}{2}; 0)$ , đường chuẩn $x = - \frac{p}{2}$ ; với $M (x; y) \in (P)$ : $M F = x + \frac{p}{2}$ .
Khoảng cách từ $M (x; y)$ tới trục hoành bằng $∣ y ∣$ .
Phương trình $a y^{2} + b y + c = 0$ có $a c < 0$ thì có hai nghiệm trái dấu; tích hai nghiệm $\frac{c}{a}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 7.35★★★Trang 46— Bài toán thực tế với elip

Bài 7.35 (trang 46). Một người kĩ sư thiết kế một đường hầm một chiều có mặt cắt là một nửa hình elip, chiều rộng của hầm là

12

m, khoảng cách từ điểm cao nhất của elip so với mặt đường là

3

m. Người kĩ sư này muốn đưa ra cảnh báo cho các loại xe có thể đi qua hầm. Biết rằng những loại xe tải có chiều cao

2, 8

m thì có chiều rộng không quá

3

m. Hỏi chiếc xe tải có chiều cao

2, 8

m có thể đi qua hầm được không?

Kiến thức cần nhớ

Elip $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ : điểm $(x_{0}; y_{0})$ nằm trong elip $\Leftrightarrow \frac{x _{0}^{2}}{a ^{2}} + \frac{y _{0}^{2}}{b ^{2}} < 1$ .
Nửa elip trên: $y = b 1 - \frac{x ^{2}}{a ^{2}}$ giảm dần khi $∣ x ∣$ tăng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 7.36★★★★Trang 47— Bán kính qua tiêu và cực trị góc nhìn trên elip

Bài 7.36 (trang 47). Cho điểm

M (x_{0}; y_{0})

thuộc elip

(E)

có phương trình

\frac{x ^{2}}{2} + \frac{y ^{2}}{1} = 1

.
a) Tính

M F_{1}^{2} - M F_{2}^{2}

theo

x_{0}

;

y_{0}

. Từ đó tính

M F_{1}

M F_{2}

theo

x_{0}

;

y_{0}

.
b) Tìm điểm

M

sao cho

M F_{2} = 2 M F_{1}

.
c) Tìm

M

sao cho góc nhìn của

M

tới hai điểm

F_{1}

F_{2}

(tức là góc

F_{1} M F_{2}

) là lớn nhất.

Kiến thức cần nhớ

Elip: $M F_{1} + M F_{2} = 2 a$ , $F_{1} F_{2} = 2 c$ , $a > c > 0$ .
Với $M (x; y)$ thuộc elip chính tắc: $M F_{1} = a + \frac{c}{a} x$ , $M F_{2} = a - \frac{c}{a} x$ .
Định lí côsin: $F_{1} F_{2}^{2} = M F_{1}^{2} + M F_{2}^{2} - 2 M F_{1} \cdot M F_{2} cos F_{1} M F_{2}$ .
$uv \leq (\frac{u + v}{2})^{2}$ , dấu bằng khi $u = v$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 7.37★★★Trang 47— Khoảng cách lớn nhất, nhỏ nhất từ tiêu điểm tới điểm trên elip

Bài 7.37 (trang 47). Mặt Trăng chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip với tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Độ dài trục lớn, độ dài trục nhỏ của quỹ đạo lần lượt là

768800

km và

767640

km. Tìm khoảng cách lớn nhất và bé nhất từ tâm Trái Đất đến Mặt Trăng.

Kiến thức cần nhớ

Elip chính tắc $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ : $c = a^{2} - b^{2}$ , tiêu điểm $(\pm c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .
Với $M (x; y)$ thuộc elip chính tắc: $M F_{1} = a + \frac{c}{a} x$ , $M F_{2} = a - \frac{c}{a} x$ .
$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .