Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài tập cuối chương VII

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 24 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang47–50 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 7.38★Trang 47— Trắc nghiệm — nhận dạng phương trình chính tắc của hypebol

Bài 7.38 (trang 47). Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường hypebol?
A.

16 x^{2} - 5 y^{2} = - 80

;
B.

x^{2} = 4 y

;
C.

\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{1} = 1

;
D.

\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{1} = 1

Kiến thức cần nhớ

Hypebol chính tắc: $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ( $a, b > 0$ ), hai đỉnh $(\pm a; 0)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chính tắc của hypebol có dạng

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

. Bẫy ở A: chia hai vế cho

- 80

được

\frac{y ^{2}}{16} - \frac{x ^{2}}{5} = 1

— vẫn là hypebol nhưng vai trò

x

y

bị đổi, không phải dạng chính tắc.

1Cách 1. Đối chiếu dạng chuẩn

Định hướng. Tìm phương trình dạng hiệu hai phân số, $x^{2}$ đứng trước, vế phải bằng $1$ .

a^{2} = 4

b^{2} = 1

, vế phải bằng

1

Vậy chọn C.

2Cách 2. Biến đổi và loại trừ

Định hướng. Đưa A về dạng "bằng 1" để thấy nó khác dạng chính tắc.

16 x^{2} - 5 y^{2} = - 80 \Leftrightarrow \frac{y ^{2}}{16} - \frac{x ^{2}}{5} = 1

(tiêu điểm trên

O y

)
B:

x^{2} = 4 y

là parabol
D: tổng hai bình phương, là elip

Vậy chọn C.

3Cách 3. Giao với trục hoành

Định hướng. Hypebol chính tắc cắt $O x$ tại hai đỉnh $(\pm a; 0)$ và không cắt $O y$ .

y = 0 \Rightarrow x = \pm 2

;

x = 0 \Rightarrow - y^{2} = 1

vô nghiệm
A:

y = 0 \Rightarrow 16 x^{2} = - 80

vô nghiệm

Vậy chỉ C có đúng dáng hypebol chính tắc; chọn C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: nhìn dạng là thấy ngay.

Đáp số. C.

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì thấy dấu trừ giữa

x^{2}

và

y^{2}

mà không đưa về vế phải bằng

1

🚀 Mở rộng. Hypebol

\frac{y ^{2}}{16} - \frac{x ^{2}}{5} = 1

ở A có tiêu điểm

(0; \pm 21)

; đổi vai

x

y

sẽ được dạng chính tắc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 7.39★★Trang 47— Trắc nghiệm — đường thẳng qua một điểm, vuông góc với một đoạn thẳng

Bài 7.39 (trang 47). Cho hai điểm

A (- 1; 0)

và

B (- 2; 3)

. Phương trình đường thẳng đi qua

B

và vuông góc với

A B

là
A.

x - 3 y + 11 = 0

;
B.

x - 3 y + 1 = 0

;
C.

- x - 3 y + 7 = 0

;
D.

3 x + y + 3 = 0

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $M (x_{0}; y_{0})$ , pháp tuyến $n = (a; b)$ : $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$ .
Hai đường thẳng vuông góc $\Leftrightarrow$ tích hệ số góc bằng $- 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường thẳng vuông góc với

A B

nhận

A B

làm vectơ pháp tuyến. Bẫy: C và D đều đi qua

B

, nên thử điểm thôi chưa đủ — phải kiểm cả hướng.

1Cách 1. Vectơ pháp tuyến

A B

Định hướng. Lấy $A B$ làm pháp tuyến, đi qua $B$ .

A B = (- 1; 3)

- 1 (x + 2) + 3 (y - 3) = 0 \Leftrightarrow - x + 3 y - 11 = 0 \Leftrightarrow x - 3 y + 11 = 0

Vậy chọn A.

2Cách 2. Thử điểm rồi thử hướng

Định hướng. Loại đáp án không qua $B$ , rồi kiểm pháp tuyến cùng phương $A B = (- 1; 3)$ .

Thay

B (- 2; 3)

: A:

- 2 - 9 + 11 = 0

; B:

- 2 - 9 + 1 = - 10 \neq = 0

; C:

2 - 9 + 7 = 0

; D:

- 6 + 3 + 3 = 0

Pháp tuyến: A:

(1; - 3) = - (- 1; 3)

cùng phương; C:

(- 1; - 3)

không; D:

(3; 1)

không

Vậy chọn A.

3Cách 3. Hệ số góc

Định hướng. Tích hệ số góc hai đường vuông góc bằng $- 1$ .

k_{A B} = \frac{3 - 0}{- 2 + 1} = - 3 \Rightarrow k = \frac{1}{3}

y - 3 = \frac{1}{3} (x + 2) \Leftrightarrow 3 y - 9 = x + 2 \Leftrightarrow x - 3 y + 11 = 0

Vậy chọn A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: một dòng ra phương trình, không phải thử.

Đáp số. A.

Sai lầm thường gặp. Chọn C hoặc D vì chỉ kiểm tra đường thẳng có đi qua

B

; hoặc dùng

A B

làm vectơ chỉ phương, ra chính đường thẳng

A B

3 x + y + 3 = 0

(đáp án D).

🚀 Mở rộng. Đường thẳng qua

A

và vuông góc với

A B

là

x - 3 y + 1 = 0

(đáp án B) — hai đường song song, cách nhau đúng

A B = 10

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 7.40★Trang 47— Trắc nghiệm — khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 7.40 (trang 47). Cho điểm

A (2; 3)

và đường thẳng

d : x + y + 3 = 0

. Khoảng cách từ điểm

A

đến đường thẳng

d

là
A.

\frac{8}{13}

;
B.

42

;
C.

8

;
D.

22

Kiến thức cần nhớ

$d (M, Δ) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 7.41★★Trang 47— Trắc nghiệm — góc giữa hai đường thẳng

Bài 7.41 (trang 47). Cho hai đường thẳng

d : x - 2 y - 5 = 0

và

k : x + 3 y + 3 = 0

. Góc giữa hai đường thẳng

d

và

k

là
A.

3 0^{\circ}

;
B.

13 5^{\circ}

;
C.

4 5^{\circ}

;
D.

6 0^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

$cos (d, k) = \frac{∣ a _{1} a _{2} + b _{1} b _{2} ∣}{a _{1}^{2} + b _{1}^{2} a _{2}^{2} + b _{2}^{2}}$ , góc giữa hai đường thẳng thuộc $[0^{\circ}; 9 0^{\circ}]$ .
Theo hệ số góc: $tan φ = \frac{k _{1} - k _{2}}{1 + k _{1} k _{2}}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 7.42★Trang 48— Trắc nghiệm — đọc tâm và bán kính đường tròn

Bài 7.42 (trang 48). Cho đường tròn

(C)

có phương trình

(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 9

. Tâm

I

và bán kính

R

của đường tròn

(C)

là
A.

I (2; - 3)

R = 9

;
B.

I (- 2; 3)

R = 3

;
C.

I (- 2; 3)

R = 9

;
D.

I (2; - 3)

R = 3

Kiến thức cần nhớ

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ : tâm $I (a; b)$ , bán kính $R$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 7.43★Trang 48— Trắc nghiệm — tiêu điểm của elip chính tắc

Bài 7.43 (trang 48). Cho elip

(E)

có phương trình

\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{7} = 1

. Điểm nào sau đây là một tiêu điểm của

(E)

?
A.

(0; 3)

;
B.

(4; 0)

;
C.

(3; 0)

;
D.

(0; 4)

Kiến thức cần nhớ

Elip $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ : $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ , tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ , $F_{2} (c; 0)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 7.44★★Trang 48— Trắc nghiệm — phương trình tham số của đường thẳng qua hai điểm

Bài 7.44 (trang 48). Đường thẳng qua

A (1; - 1)

và

B (- 2; - 4)

có phương trình là
A.

{x = 1 + 3 t y = - 1 - 3 t

;
B.

{x = - 2 + t y = - 4 - t

;
C.

{x = 1 - 2 t y = - 1 - 4 t

;
D.

{x = - 2 + t y = - 4 + t

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $M (x_{0}; y_{0})$ , chỉ phương $u = (a; b)$ : ${x = x_{0} + a t y = y_{0} + b t$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 7.45★Trang 48— Trắc nghiệm — tiêu cự của hypebol

Bài 7.45 (trang 48). Cho hypebol

(H)

có phương trình chính tắc

\frac{x ^{2}}{36} - \frac{y ^{2}}{13} = 1

. Tiêu cự của hypebol là
A.

7

;
B.

14

;
C.

223

;
D.

23

Kiến thức cần nhớ

Hypebol $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ : $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , tiêu cự $F_{1} F_{2} = 2 c$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 7.46★Trang 48— Trắc nghiệm — đường tròn biết tâm và một điểm thuộc nó

Bài 7.46 (trang 48). Cho hai điểm

A (0; - 2)

B (2; 4)

. Phương trình đường tròn tâm

A

đi qua điểm

B

là
A.

x^{2} + (y + 2)^{2} = 40

;
B.

x^{2} + (y + 2)^{2} = 10

;
C.

x^{2} + (y - 2)^{2} = 40

;
D.

x^{2} + (y - 2)^{2} = 10

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn tâm $I (a; b)$ qua $M$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = I M^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 7.47★★Trang 48— Trắc nghiệm — parabol dạng

x^{2} = 2 p y

đi qua một điểm

Bài 7.47 (trang 48). Phương trình chính tắc của parabol

(P)

đi qua điểm

E (2; 2)

là
A.

x^{2} = 2 y

;
B.

x^{2} = 4 y

;
C.

x^{2} = y

;
D.

y = 2 x^{2}

Kiến thức cần nhớ

Parabol $x^{2} = 2 p y$ ( $p > 0$ ): tiêu điểm $F (0; \frac{p}{2})$ , đường chuẩn $y = - \frac{p}{2}$ .
Điểm thuộc đường cong $\Leftrightarrow$ toạ độ nghiệm đúng phương trình.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 7.48★★Trang 48— Trắc nghiệm — tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm

Bài 7.48 (trang 48). Cho đường tròn

(C)

có phương trình

(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 4

và điểm

M (1; - 1)

thuộc đường tròn. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm

M

là
A.

y + 1 = 0

;
B.

y = 0

;
C.

x + 1 = 0

;
D.

x - 1 = 0

Kiến thức cần nhớ

Tiếp tuyến tại $M$ nhận $I M$ làm vectơ pháp tuyến.
$Δ$ tiếp xúc $(C)$ $\Leftrightarrow$ $d (I, Δ) = R$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 7.49★★Trang 49— Trắc nghiệm — vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài 7.49 (trang 49). Cho đường thẳng

d : 4 x + 3 y - 2 = 0

và đường thẳng

k : {x = - 1 + 3 t y = 2 - 4 t

. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

d

và

k

là
A. trùng nhau;
B. song song;
C. cắt nhau nhưng không vuông góc;
D. vuông góc.

Kiến thức cần nhớ

Hai đường có vectơ pháp tuyến cùng phương thì song song hoặc trùng nhau; có chung một điểm thì trùng nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 7.50★★Trang 49— Trắc nghiệm — lập phương trình chính tắc của elip

Bài 7.50 (trang 49). Phương trình chính tắc của elip

(E)

đi qua điểm

M (8; 0)

và có tiêu cự bằng

6

là
A.

\frac{x ^{2}}{64} + \frac{y ^{2}}{100} = 1

;
B.

\frac{x ^{2}}{64} + \frac{y ^{2}}{28} = 1

;
C.

\frac{x ^{2}}{64} + \frac{y ^{2}}{73} = 1

;
D.

\frac{x ^{2}}{64} + \frac{y ^{2}}{55} = 1

Kiến thức cần nhớ

Elip chính tắc: $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ , tiêu cự $2 c$ , đỉnh trục lớn $(\pm a; 0)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 7.51★★Trang 49— Trắc nghiệm — đường tròn tâm cho trước tiếp xúc đường thẳng

Bài 7.51 (trang 49). Cho điểm

I (1; - 1)

và đường thẳng

d : x - y + 2 = 0

. Phương trình đường tròn tâm

I

tiếp xúc với đường thẳng

d

là
A.

(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 4

;
B.

(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 4

;
C.

(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 8

;
D.

(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 8

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn tâm $I$ tiếp xúc $Δ$ $\Leftrightarrow$ $R = d (I, Δ)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 7.52★★★Trang 49— Trắc nghiệm — đường thẳng song song và cách đều một khoảng cho trước

Bài 7.52 (trang 49). Cho đường thẳng

d : x - y + 3 = 0

. Phương trình đường thẳng song song với

d

và cách

d

một khoảng là

22

là
A.

x + y + 1 = 0

và

x + y + 3 = 0

;
B.

x - y - 1 = 0

;
C.

x - y + 3 = 0

;
D.

x - y + 3 = 0

và

x - y - 1 = 0

Kiến thức cần nhớ

Hai đường $a x + b y + c_{1} = 0$ , $a x + b y + c_{2} = 0$ song song, cách nhau $\frac{∣ c _{1} - c _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 7.53★Trang 49— Viết phương trình tham số của đường thẳng

Bài 7.53 (trang 49). Trong mặt phẳng

O x y

, cho điểm

M (- 3; 2)

và vectơ

u = (2; - 5)

. Viết phương trình tham số của đường thẳng

d

đi qua

M

và nhận

u

là một vectơ chỉ phương.

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $M (x_{0}; y_{0})$ , chỉ phương $u = (a; b)$ : ${x = x_{0} + a t y = y_{0} + b t$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 7.54★Trang 49— Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

Bài 7.54 (trang 49). Trong mặt phẳng

O x y

, cho điểm

N (2; - 1)

và vectơ

n = (3; - 1)

. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

d

đi qua

N

và nhận

n

là một vectơ pháp tuyến.

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $M (x_{0}; y_{0})$ , pháp tuyến $(a; b)$ : $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 7.55★★★Trang 49— Tổng hợp: phương trình đường thẳng, đường cao, khoảng cách, góc trong tam giác

Bài 7.55 (trang 49). Cho tam giác

A B C

với

A (1; - 1)

B (3; 5)

C (- 2; 4)

.
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng

A B

.
b) Viết phương trình đường cao

A H

của tam giác

A B C

.
c) Tính khoảng cách từ điểm

A

đến đường thẳng

B C

.
d) Tính sin của góc giữa hai đường thẳng

A B

và

A C

Kiến thức cần nhớ

Đường cao $A H$ qua $A$ , nhận $B C$ làm pháp tuyến.
$d (M, Δ) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ .
$cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{∣ u _{1} \cdot u _{2} ∣}{∣ u _{1} ∣∣ u _{2} ∣}$ ; $S = \frac{1}{2} A B \cdot A C sin A$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 7.56★★Trang 50— Đường tròn qua điểm, đường thẳng qua hai điểm, đường tròn tiếp xúc đường thẳng

Bài 7.56 (trang 50). Trong mặt phẳng

O x y

, cho hai điểm

A (- 1; 0)

và

B (3; 1)

.
a) Viết phương trình đường tròn tâm

A

và đi qua

B

.
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

A B

.
c) Viết phương trình đường tròn tâm

O

và tiếp xúc với đường thẳng

A B

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn tâm $I (a; b)$ bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .
Đường thẳng qua $M (x_{0}; y_{0})$ , pháp tuyến $(a; b)$ : $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$ .
Đường tròn tâm $I$ tiếp xúc $Δ$ $\Leftrightarrow$ $R = d (I, Δ)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · 7.57★★Trang 50— Tâm, bán kính đường tròn dạng khai triển; tiếp tuyến tại một điểm

Bài 7.57 (trang 50). Cho đường tròn

(C)

có phương trình

x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0

.
a) Tìm toạ độ tâm

I

và bán kính

R

của

(C)

.
b) Chứng minh rằng điểm

M (5; 1)

thuộc

(C)

. Viết phương trình tiếp tuyến

d

của

(C)

tại

M

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ có tâm $I (a; b)$ , $R = a^{2} + b^{2} - c$ .
Tiếp tuyến tại $M$ nhận $I M$ làm vectơ pháp tuyến.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · 7.58★★Trang 50— Nhận dạng ba đường conic và tìm các yếu tố

Bài 7.58 (trang 50). Các phương trình dưới đây là phương trình chính tắc của đường nào? Khi đó hãy tìm các tiêu điểm, tiêu cự, đường chuẩn (nếu là đường parabol).
a)

y^{2} = 10 x

.
b)

x^{2} - y^{2} = 1

.
c)

\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1

Kiến thức cần nhớ

Parabol $y^{2} = 2 p x$ : $F (\frac{p}{2}; 0)$ , đường chuẩn $x = - \frac{p}{2}$ .
Hypebol: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ; elip: $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ ; tiêu điểm $(\pm c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · 7.59★★★Trang 50— Tìm điểm trên elip thoả điều kiện góc vuông

Bài 7.59 (trang 50). Cho elip

(E)

có phương trình là

\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1

. Tìm toạ độ các điểm

M

thuộc

(E)

, biết rằng

M

nhìn hai tiêu điểm của

(E)

dưới một góc vuông.

Kiến thức cần nhớ

Elip: $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ , $M F_{1} + M F_{2} = 2 a$ .
$F_{1} M F_{2} = 9 0^{\circ}$ $\Leftrightarrow$ $M$ thuộc đường tròn đường kính $F_{1} F_{2}$ $\Leftrightarrow$ $M F_{1} \cdot M F_{2} = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 23 · 7.60★★Trang 50— Lập parabol chính tắc; điểm trên parabol cách tiêu điểm một khoảng cho trước

Bài 7.60 (trang 50). Lập phương trình chính tắc của parabol

(P)

biết rằng,

(P)

đi qua điểm

A (2; 4)

. Khi đó hãy tìm điểm

M

thuộc

(P)

và cách tiêu điểm của

(P)

một khoảng bằng

5

Kiến thức cần nhớ

Parabol $y^{2} = 2 p x$ : $F (\frac{p}{2}; 0)$ , đường chuẩn $x = - \frac{p}{2}$ ; với $M \in (P)$ : $M F = x_{M} + \frac{p}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 24 · 7.61★★Trang 50— Bài toán thực tế — tiêu điểm của elip

Bài 7.61 (trang 50). Hình vẽ bên minh hoạ một phòng thì thầm (whispering gallery) với mặt cắt ngang là một hình bán elip với chiều cao 24 feet và chiều rộng 80 feet. Một âm thanh được phát ra từ một tiêu điểm của phòng thì thầm có thể được nghe thấy tại tiêu điểm còn lại. Hỏi hai người nói thầm qua lại với nhau thì sẽ cách trung tâm của phòng bao nhiêu mét? Theo đơn vị đo lường quốc tế, 1 feet = 0,3048 m.

Kiến thức cần nhớ