Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài tập cuối chương VII

Sách bài tập Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 24 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang47–50 #CùngBàiBênSGK

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 7.38★Trang 47— Trắc nghiệm — nhận dạng phương trình chính tắc của hypebol

Bài 7.38 (trang 47). Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình chính tắc của đường hypebol?
A.

16 x^{2} - 5 y^{2} = - 80

;
B.

x^{2} = 4 y

;
C.

\frac{x ^{2}}{4} - \frac{y ^{2}}{1} = 1

;
D.

\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{1} = 1

Kiến thức cần nhớ

Hypebol chính tắc: $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ ( $a, b > 0$ ), hai đỉnh $(\pm a; 0)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chính tắc của hypebol có dạng

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

. Bẫy ở A: chia hai vế cho

- 80

được

\frac{y ^{2}}{16} - \frac{x ^{2}}{5} = 1

— vẫn là hypebol nhưng vai trò

x

y

bị đổi, không phải dạng chính tắc.

1Cách 1. Đối chiếu dạng chuẩn

Định hướng. Tìm phương trình dạng hiệu hai phân số, $x^{2}$ đứng trước, vế phải bằng $1$ .

a^{2} = 4

b^{2} = 1

, vế phải bằng

1

Vậy chọn C.

2Cách 2. Biến đổi và loại trừ

Định hướng. Đưa A về dạng "bằng 1" để thấy nó khác dạng chính tắc.

16 x^{2} - 5 y^{2} = - 80 \Leftrightarrow \frac{y ^{2}}{16} - \frac{x ^{2}}{5} = 1

(tiêu điểm trên

O y

)
B:

x^{2} = 4 y

là parabol
D: tổng hai bình phương, là elip

Vậy chọn C.

3Cách 3. Giao với trục hoành

Định hướng. Hypebol chính tắc cắt $O x$ tại hai đỉnh $(\pm a; 0)$ và không cắt $O y$ .

y = 0 \Rightarrow x = \pm 2

;

x = 0 \Rightarrow - y^{2} = 1

vô nghiệm
A:

y = 0 \Rightarrow 16 x^{2} = - 80

vô nghiệm

Vậy chỉ C có đúng dáng hypebol chính tắc; chọn C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: nhìn dạng là thấy ngay.

Đáp số. C.

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì thấy dấu trừ giữa

x^{2}

và

y^{2}

mà không đưa về vế phải bằng

1

🚀 Mở rộng. Hypebol

\frac{y ^{2}}{16} - \frac{x ^{2}}{5} = 1

ở A có tiêu điểm

(0; \pm 21)

; đổi vai

x

y

sẽ được dạng chính tắc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 7.39★★Trang 47— Trắc nghiệm — đường thẳng qua một điểm, vuông góc với một đoạn thẳng

Bài 7.39 (trang 47). Cho hai điểm

A (- 1; 0)

và

B (- 2; 3)

. Phương trình đường thẳng đi qua

B

và vuông góc với

A B

là
A.

x - 3 y + 11 = 0

;
B.

x - 3 y + 1 = 0

;
C.

- x - 3 y + 7 = 0

;
D.

3 x + y + 3 = 0

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $M (x_{0}; y_{0})$ , pháp tuyến $n = (a; b)$ : $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$ .
Hai đường thẳng vuông góc $\Leftrightarrow$ tích hệ số góc bằng $- 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường thẳng vuông góc với

A B

nhận

A B

làm vectơ pháp tuyến. Bẫy: C và D đều đi qua

B

, nên thử điểm thôi chưa đủ — phải kiểm cả hướng.

1Cách 1. Vectơ pháp tuyến

A B

Định hướng. Lấy $A B$ làm pháp tuyến, đi qua $B$ .

A B = (- 1; 3)

- 1 (x + 2) + 3 (y - 3) = 0 \Leftrightarrow - x + 3 y - 11 = 0 \Leftrightarrow x - 3 y + 11 = 0

Vậy chọn A.

2Cách 2. Thử điểm rồi thử hướng

Định hướng. Loại đáp án không qua $B$ , rồi kiểm pháp tuyến cùng phương $A B = (- 1; 3)$ .

Thay

B (- 2; 3)

: A:

- 2 - 9 + 11 = 0

; B:

- 2 - 9 + 1 = - 10 \neq = 0

; C:

2 - 9 + 7 = 0

; D:

- 6 + 3 + 3 = 0

Pháp tuyến: A:

(1; - 3) = - (- 1; 3)

cùng phương; C:

(- 1; - 3)

không; D:

(3; 1)

không

Vậy chọn A.

3Cách 3. Hệ số góc

Định hướng. Tích hệ số góc hai đường vuông góc bằng $- 1$ .

k_{A B} = \frac{3 - 0}{- 2 + 1} = - 3 \Rightarrow k = \frac{1}{3}

y - 3 = \frac{1}{3} (x + 2) \Leftrightarrow 3 y - 9 = x + 2 \Leftrightarrow x - 3 y + 11 = 0

Vậy chọn A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: một dòng ra phương trình, không phải thử.

Đáp số. A.

Sai lầm thường gặp. Chọn C hoặc D vì chỉ kiểm tra đường thẳng có đi qua

B

; hoặc dùng

A B

làm vectơ chỉ phương, ra chính đường thẳng

A B

3 x + y + 3 = 0

(đáp án D).

🚀 Mở rộng. Đường thẳng qua

A

và vuông góc với

A B

là

x - 3 y + 1 = 0

(đáp án B) — hai đường song song, cách nhau đúng

A B = 10

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 7.40★Trang 47— Trắc nghiệm — khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Bài 7.40 (trang 47). Cho điểm

A (2; 3)

và đường thẳng

d : x + y + 3 = 0

. Khoảng cách từ điểm

A

đến đường thẳng

d

là
A.

\frac{8}{13}

;
B.

42

;
C.

8

;
D.

22

Kiến thức cần nhớ

$d (M, Δ) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Áp dụng trực tiếp công thức khoảng cách. Các phương án nhiễu sinh ra từ lỗi quen thuộc: chia cho

13

(lấy nhầm toạ độ điểm), quên chia (ra

8

1Cách 1. Công thức khoảng cách

Định hướng. Thay toạ độ $A$ vào công thức.

d (A, d) = \frac{∣2 + 3 + 3∣}{1 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{8}{2} = 42

Vậy chọn B.

2Cách 2. Chân đường vuông góc

Định hướng. Tìm hình chiếu $H$ của $A$ trên $d$ rồi tính $A H$ .

A H = t (1; 1) \Rightarrow H (2 + t; 3 + t)

H \in d

2 + t + 3 + t + 3 = 0 \Rightarrow t = - 4 \Rightarrow H (- 2; - 1)

A H = 16 + 16 = 42

Vậy chọn B.

3Cách 3. Khoảng cách theo phương thẳng đứng

Định hướng. $d$ nghiêng $4 5^{\circ}$ so với trục hoành nên khoảng cách vuông góc bằng khoảng cách theo phương thẳng đứng nhân $cos 4 5^{\circ}$ .

Tại

x = 2

: điểm của

d

có

y = - 5

; khoảng cách thẳng đứng

3 - (- 5) = 8

d (A, d) = 8 cos 4 5^{\circ} = 8 \cdot \frac{2}{2} = 42

Vậy chọn B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: một dòng tính.

Đáp số. B.

Sai lầm thường gặp. Quên chia cho

a^{2} + b^{2}

(ra

8

); hoặc chia cho

2^{2} + 3^{2}

(nhầm toạ độ điểm với hệ số đường thẳng) ra

\frac{8}{13}

🚀 Mở rộng. Mọi điểm

M

có

d (M, d) = 42

nằm trên hai đường thẳng

x + y + 3 = \pm 8

, tức

x + y - 5 = 0

và

x + y + 11 = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 7.41★★Trang 47— Trắc nghiệm — góc giữa hai đường thẳng

Bài 7.41 (trang 47). Cho hai đường thẳng

d : x - 2 y - 5 = 0

và

k : x + 3 y + 3 = 0

. Góc giữa hai đường thẳng

d

và

k

là
A.

3 0^{\circ}

;
B.

13 5^{\circ}

;
C.

4 5^{\circ}

;
D.

6 0^{\circ}

Kiến thức cần nhớ

$cos (d, k) = \frac{∣ a _{1} a _{2} + b _{1} b _{2} ∣}{a _{1}^{2} + b _{1}^{2} a _{2}^{2} + b _{2}^{2}}$ , góc giữa hai đường thẳng thuộc $[0^{\circ}; 9 0^{\circ}]$ .
Theo hệ số góc: $tan φ = \frac{k _{1} - k _{2}}{1 + k _{1} k _{2}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Góc giữa hai đường thẳng tính qua cosin với trị tuyệt đối tích vô hướng hai vectơ pháp tuyến, nên luôn thuộc

[0^{\circ}; 9 0^{\circ}]

. Bẫy: phương án

13 5^{\circ}

là góc giữa hai vectơ, không phải góc giữa hai đường thẳng.

1Cách 1. Cosin qua vectơ pháp tuyến

Định hướng. Dùng $n_{1} = (1; - 2)$ , $n_{2} = (1; 3)$ .

cos (d, k) = \frac{∣1 \cdot 1 + ( - 2 ) \cdot 3∣}{5 \cdot 10} = \frac{5}{5 2} = \frac{1}{2}

(d, k) = 4 5^{\circ}

Vậy chọn C.

2Cách 2. Hệ số góc

Định hướng. Đưa hai đường về dạng $y = k x + m$ .

k_{1} = \frac{1}{2}

k_{2} = - \frac{1}{3}

tan φ = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1 \Rightarrow φ = 4 5^{\circ}

Vậy chọn C.

3Cách 3. Quay vectơ chỉ phương

Định hướng. Quay vectơ $(p; q)$ một góc $4 5^{\circ}$ theo chiều kim đồng hồ được vectơ cùng hướng với $(p + q; q - p)$ .

u_{d} = (2; 1)

(chỉ phương của

d

)
Quay

4 5^{\circ}

(2 + 1; 1 - 2) = (3; - 1)

(3; - 1)

là vectơ chỉ phương của

k

vì

1 \cdot 3 + 3 \cdot (- 1) = 0

Vậy $d$ và $k$ tạo với nhau góc $4 5^{\circ}$ ; chọn C.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy trực quan hai vectơ chỉ phương lệch nhau đúng $4 5^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: công thức chuẩn, luôn dùng được kể cả khi đường thẳng song song trục tung.

Đáp số. C.

Sai lầm thường gặp. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ra

cos φ = - \frac{1}{2}

rồi chọn

13 5^{\circ}

🚀 Mở rộng. Hai đường

a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0

a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0

tạo góc

4 5^{\circ}

khi

(a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2})^{2} = (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})^{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 7.42★Trang 48— Trắc nghiệm — đọc tâm và bán kính đường tròn

Bài 7.42 (trang 48). Cho đường tròn

(C)

có phương trình

(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 9

. Tâm

I

và bán kính

R

của đường tròn

(C)

là
A.

I (2; - 3)

R = 9

;
B.

I (- 2; 3)

R = 3

;
C.

I (- 2; 3)

R = 9

;
D.

I (2; - 3)

R = 3

Kiến thức cần nhớ

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ : tâm $I (a; b)$ , bán kính $R$ .

🧠 Phân tích tư duy

So với

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}

: toạ độ tâm đổi dấu so với số trong ngoặc, bán kính là căn bậc hai vế phải. Hai bẫy nằm sẵn trong phương án: sai dấu tâm và quên lấy căn.

1Cách 1. Đối chiếu dạng chính tắc

Định hướng. Viết $(y + 3)$ thành $(y - (- 3))$ .

(x - 2)^{2} + (y - (- 3))^{2} = 3^{2}

I (2; - 3)

R = 3

Vậy chọn D.

2Cách 2. Khai triển, dùng công thức

a^{2} + b^{2} - c

Định hướng. Đưa về dạng $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ .

x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 = 0

a = 2

b = - 3

c = 4

R = 4 + 9 - 4 = 3

Vậy chọn D.

3Cách 3. Tâm là điểm làm vế trái nhỏ nhất

Định hướng. Vế trái là bình phương khoảng cách từ $M (x; y)$ tới tâm, bằng $0$ khi và chỉ khi $M$ trùng tâm.

(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 0 \Leftrightarrow x = 2

y = - 3

R^{2} = 9 \Rightarrow R = 3

(loại A, C vì

R = 9

)

Vậy chọn D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: đọc trực tiếp, nhớ đổi dấu và lấy căn.

Đáp số. D.

Sai lầm thường gặp. Chọn B (giữ nguyên dấu trong ngoặc) hoặc A (quên lấy căn, cho

R = 9

🚀 Mở rộng. Đường tròn

(C)

tiếp xúc trục hoành vì khoảng cách từ tâm tới

O x

là

∣ - 3∣ = R

, còn cắt trục tung tại hai điểm vì

∣2∣ < 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 7.43★Trang 48— Trắc nghiệm — tiêu điểm của elip chính tắc

Bài 7.43 (trang 48). Cho elip

(E)

có phương trình

\frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{7} = 1

. Điểm nào sau đây là một tiêu điểm của

(E)

?
A.

(0; 3)

;
B.

(4; 0)

;
C.

(3; 0)

;
D.

(0; 4)

Kiến thức cần nhớ

Elip $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ : $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ , tiêu điểm $F_{1} (- c; 0)$ , $F_{2} (c; 0)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Elip chính tắc có tiêu điểm trên trục hoành,

c^{2} = a^{2} - b^{2}

. Bẫy:

(4; 0)

là đỉnh trục lớn, không phải tiêu điểm;

(0; 3)

đúng số

c

nhưng sai trục.

1Cách 1. Công thức

c^{2} = a^{2} - b^{2}

Định hướng. Đọc $a^{2}$ , $b^{2}$ rồi tính $c$ .

c^{2} = 16 - 7 = 9 \Rightarrow c = 3

F_{1} (- 3; 0)

F_{2} (3; 0)

Vậy chọn C.

2Cách 2. Loại trừ theo vị trí

Định hướng. Tiêu điểm elip chính tắc nằm trên $O x$ , bên trong đoạn nối hai đỉnh trục lớn.

A, D nằm trên

O y

\Rightarrow

loại

a = 4

nên

(4; 0)

là đỉnh

A_{2}

\Rightarrow

loại B

Vậy chọn C.

3Cách 3. Đỉnh trục nhỏ cách tiêu điểm một khoảng

a

Định hướng. $B_{2} (0; 7)$ thuộc elip và cách đều hai tiêu điểm nên $B_{2} F_{2} = a = 4$ .

B_{2} F_{2}^{2} = c^{2} + 7 = 16 \Rightarrow c^{2} = 9 \Rightarrow c = 3

Vậy tiêu điểm $(3; 0)$ ; chọn C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: hai phép tính.

Đáp số. C.

Sai lầm thường gặp. Tính

c^{2} = 16 + 7

(nhầm công thức hypebol); chọn

(4; 0)

vì nhầm đỉnh với tiêu điểm; chọn

(0; 3)

vì đặt tiêu điểm sai trục.

🚀 Mở rộng. Các elip

\frac{x ^{2}}{9 + m} + \frac{y ^{2}}{m} = 1

(

m > 0

) đều có chung tiêu điểm

(\pm 3; 0)

với

(E)

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 7.44★★Trang 48— Trắc nghiệm — phương trình tham số của đường thẳng qua hai điểm

Bài 7.44 (trang 48). Đường thẳng qua

A (1; - 1)

và

B (- 2; - 4)

có phương trình là
A.

{x = 1 + 3 t y = - 1 - 3 t

;
B.

{x = - 2 + t y = - 4 - t

;
C.

{x = 1 - 2 t y = - 1 - 4 t

;
D.

{x = - 2 + t y = - 4 + t

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $M (x_{0}; y_{0})$ , chỉ phương $u = (a; b)$ : ${x = x_{0} + a t y = y_{0} + b t$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vectơ chỉ phương là

A B = (- 3; - 3)

, cùng phương

(1; 1)

. Đáp án đúng có thể viết qua

A

hoặc qua

B

, với bất kì vectơ nào cùng phương

(1; 1)

. Bẫy: A đi qua

A

nhưng vectơ

(3; - 3)

sai hướng.

1Cách 1. Vectơ chỉ phương

A B

Định hướng. Rút gọn $A B$ rồi viết qua $B$ .

A B = (- 3; - 3) = - 3 (1; 1) \Rightarrow u = (1; 1)

Qua

B (- 2; - 4)

{x = - 2 + t y = - 4 + t

Vậy chọn D.

2Cách 2. Thử hai điểm

Định hướng. Đáp án đúng phải chứa cả $A$ và $B$ .

t = 0

cho

A

;

x = - 2 \Rightarrow t = - 1

y = 2 \neq = - 4

t = 0

cho

B

;

x = 1 \Rightarrow t = 3

y = - 7 \neq = - 1

t = 0

cho

A

;

x = - 2 \Rightarrow t = \frac{3}{2}

y = - 7 \neq = - 4

t = 0

cho

B

;

t = 3

cho

(1; - 1) = A

Vậy chọn D.

3Cách 3. Khử tham số, so với phương trình tổng quát

Định hướng. Đường thẳng $A B$ có phương trình tổng quát $x - y - 2 = 0$ ; khử $t$ ở từng đáp án.

A B

n = (1; - 1)

, qua

A

(x - 1) - (y + 1) = 0 \Leftrightarrow x - y - 2 = 0

x - y = (- 2 + t) - (- 4 + t) = 2

✓
A:

x + y = 0

; B:

x + y = - 6

; C:

2 x - y = 3

Vậy chọn D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: tìm đúng vectơ chỉ phương là khoanh được ngay.

Đáp số. D.

Sai lầm thường gặp. Nhìn thấy A đi qua điểm

A (1; - 1)

liền chọn mà không kiểm tra vectơ chỉ phương.

🚀 Mở rộng. Có vô số phương trình tham số của cùng đường thẳng

A B

; chúng chỉ khác điểm gốc và độ dài vectơ chỉ phương.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 7.45★Trang 48— Trắc nghiệm — tiêu cự của hypebol

Bài 7.45 (trang 48). Cho hypebol

(H)

có phương trình chính tắc

\frac{x ^{2}}{36} - \frac{y ^{2}}{13} = 1

. Tiêu cự của hypebol là
A.

7

;
B.

14

;
C.

223

;
D.

23

Kiến thức cần nhớ

Hypebol $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ : $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , tiêu cự $F_{1} F_{2} = 2 c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Với hypebol,

c^{2} = a^{2} + b^{2}

(khác elip); tiêu cự là

2 c

. Các phương án nhiễu tương ứng hai lỗi: quên nhân

2

(ra

7

) và dùng

a^{2} - b^{2}

(ra

23

223

1Cách 1. Công thức

c^{2} = a^{2} + b^{2}

Định hướng. Đọc $a^{2}$ , $b^{2}$ rồi nhân đôi $c$ .

c^{2} = 36 + 13 = 49 \Rightarrow c = 7

2 c = 14

Vậy chọn B.

2Cách 2. Loại trừ bằng bất đẳng thức

c > a

Định hướng. Với hypebol, tiêu điểm nằm ngoài hai đỉnh nên $2 c > 2 a = 12$ .

7 < 12

; C:

223 \approx 9, 6 < 12

; D:

23 < 12

Chỉ B:

14 > 12

Vậy chọn B.

3Cách 3. Đường chéo hình chữ nhật cơ sở

Định hướng. Hình chữ nhật cơ sở có kích thước $2 a \times 2 b$ ; đường chéo của nó dài $2 a^{2} + b^{2} = 2 c$ .

2 a = 12

2 b = 213

Đường chéo

= 144 + 52 = 196 = 14

Vậy tiêu cự bằng $14$ ; chọn B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: hai dòng; Cách 2 để kiểm tra nhanh khi phân vân.

Đáp số. B.

Sai lầm thường gặp. Dùng

c^{2} = a^{2} - b^{2} = 23

như elip; trả lời

c = 7

thay cho tiêu cự

2 c

🚀 Mở rộng. Hypebol

\frac{x ^{2}}{36} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

có tiêu cự

14

khi và chỉ khi

b^{2} = 13

; tổng quát

b^{2} = c^{2} - 36

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 7.46★Trang 48— Trắc nghiệm — đường tròn biết tâm và một điểm thuộc nó

Bài 7.46 (trang 48). Cho hai điểm

A (0; - 2)

B (2; 4)

. Phương trình đường tròn tâm

A

đi qua điểm

B

là
A.

x^{2} + (y + 2)^{2} = 40

;
B.

x^{2} + (y + 2)^{2} = 10

;
C.

x^{2} + (y - 2)^{2} = 40

;
D.

x^{2} + (y - 2)^{2} = 10

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn tâm $I (a; b)$ qua $M$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = I M^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bán kính bằng

A B

nên vế phải là

A B^{2}

. Tâm

A (0; - 2)

cho ngoặc

(y + 2)

. Bẫy: nhầm

(y - 2)

và tính sai

A B^{2}

(nhầm

4 + 2

thành

4 - 2

1Cách 1. Bán kính

R = A B

Định hướng. Tính $A B^{2}$ rồi viết phương trình.

A B^{2} = (2 - 0)^{2} + (4 + 2)^{2} = 4 + 36 = 40

x^{2} + (y + 2)^{2} = 40

Vậy chọn A.

2Cách 2. Lọc theo tâm rồi thử điểm

B

Định hướng. Tâm $A (0; - 2)$ loại C, D; thay $B$ để chọn vế phải.

2^{2} + (4 + 2)^{2} = 40

Vậy chọn A.

3Cách 3. Dạng khai triển

Định hướng. Đường tròn tâm $A (0; - 2)$ có dạng $x^{2} + y^{2} + 4 y + c = 0$ ; thay $B$ tìm $c$ .

4 + 16 + 16 + c = 0 \Rightarrow c = - 36

x^{2} + y^{2} + 4 y - 36 = 0 \Leftrightarrow x^{2} + (y + 2)^{2} = 40

Vậy chọn A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2: loại theo tâm xong chỉ cần một phép thay.

Đáp số. A.

Sai lầm thường gặp. Viết

(y - 2)^{2}

vì giữ nguyên dấu tung độ tâm; tính

A B^{2} = 2^{2} + (4 - 2)^{2} = 8

hoặc ra

10

do nhầm hiệu tung độ.

🚀 Mở rộng. Đường tròn đường kính

A B

có tâm

(1; 1)

, bán kính

10

(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 10

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 7.47★★Trang 48— Trắc nghiệm — parabol dạng

x^{2} = 2 p y

đi qua một điểm

Bài 7.47 (trang 48). Phương trình chính tắc của parabol

(P)

đi qua điểm

E (2; 2)

là
A.

x^{2} = 2 y

;
B.

x^{2} = 4 y

;
C.

x^{2} = y

;
D.

y = 2 x^{2}

Kiến thức cần nhớ

Parabol $x^{2} = 2 p y$ ( $p > 0$ ): tiêu điểm $F (0; \frac{p}{2})$ , đường chuẩn $y = - \frac{p}{2}$ .
Điểm thuộc đường cong $\Leftrightarrow$ toạ độ nghiệm đúng phương trình.

🧠 Phân tích tư duy

Các phương án đều có dạng

x^{2} = 2 p y

(parabol có trục đối xứng là

O y

), nên chỉ cần tìm

p

từ điểm

E

. Bẫy: D có dạng

y = 2 x^{2}

, không phải dạng chính tắc.

1Cách 1. Thay toạ độ

E

vào từng phương án

Định hướng. Phương án nào nghiệm đúng tại $E (2; 2)$ là đáp án.

4 = 2 \cdot 2

✓
B:

4 \neq = 8

; C:

4 \neq = 2

; D:

2 \neq = 8

Vậy chọn A.

2Cách 2. Tìm tham số

p

Định hướng. Đặt $(P) : x^{2} = 2 p y$ rồi thay $E$ .

2^{2} = 2 p \cdot 2 \Rightarrow p = 1

(P) : x^{2} = 2 y

Vậy chọn A.

3Cách 3. Định nghĩa tiêu điểm – đường chuẩn

Định hướng. $E$ cách đều tiêu điểm $F (0; \frac{p}{2})$ và đường chuẩn $y = - \frac{p}{2}$ .

2 + \frac{p}{2} = 4 + (2 - \frac{p}{2})^{2}

4 + 2 p + \frac{p ^{2}}{4} = 4 + 4 - 2 p + \frac{p ^{2}}{4} \Rightarrow 4 p = 4 \Rightarrow p = 1

Vậy $(P) : x^{2} = 2 y$ ; chọn A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: thay một điểm vào bốn phương án là xong.

Đáp số. A.

Sai lầm thường gặp. Chọn D vì

y = 2 x^{2}

"trông quen" từ chương hàm số bậc hai — thử lại thấy

2 \neq = 8

. Lưu ý: SGK KNTT gọi

y^{2} = 2 p x

là dạng chính tắc; ở đây đề dùng dạng

x^{2} = 2 p y

(đổi vai

x

y

), parabol

y^{2} = 2 x

cũng qua

E

nhưng không có trong phương án.

🚀 Mở rộng. Parabol

x^{2} = 2 y

có tiêu điểm

F (0; \frac{1}{2})

; điểm

E (2; 2)

cách

F

đúng

2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 7.48★★Trang 48— Trắc nghiệm — tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm

Bài 7.48 (trang 48). Cho đường tròn

(C)

có phương trình

(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 4

và điểm

M (1; - 1)

thuộc đường tròn. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm

M

là
A.

y + 1 = 0

;
B.

y = 0

;
C.

x + 1 = 0

;
D.

x - 1 = 0

Kiến thức cần nhớ

Tiếp tuyến tại $M$ nhận $I M$ làm vectơ pháp tuyến.
$Δ$ tiếp xúc $(C)$ $\Leftrightarrow$ $d (I, Δ) = R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tiếp tuyến tại

M

vuông góc với bán kính

I M

. Ở đây

I (- 1; - 1)

và

M (1; - 1)

cùng tung độ nên

I M

nằm ngang, tiếp tuyến thẳng đứng. Bẫy: A đi qua

M

nhưng lại đi qua cả tâm

I

— đó là cát tuyến.

1Cách 1. Vectơ pháp tuyến

I M

Định hướng. Viết đường thẳng qua $M$ vuông góc với $I M$ .

I (- 1; - 1)

I M = (2; 0)

2 (x - 1) + 0 (y + 1) = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0

Vậy chọn D.

2Cách 2. Nhìn vị trí điểm

M

Định hướng. $M$ là điểm "tận cùng bên phải" của đường tròn.

x_{M} = - 1 + 2 = x_{I} + R

y_{M} = y_{I}

Tiếp tuyến tại điểm này song song

O y

x = 1

Vậy chọn D.

3Cách 3. Thử điều kiện đi qua

M

và

d (I, Δ) = R

Định hướng. Kiểm tra từng phương án.

A: qua

M

nhưng

d (I, Δ) = ∣ - 1 + 1∣ = 0 \neq = 2

- 1 \neq = 0

, không qua

M

; C:

1 + 1 \neq = 0

, không qua

M

D: qua

M

và

d (I, Δ) = ∣ - 1 - 1∣ = 2 = R

Vậy chọn D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: một dòng tính, không phải thử.

Đáp số. D.

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì thấy đường thẳng đi qua

M

; lấy nhầm tâm

I (1; 1)

(sai dấu).

🚀 Mở rộng. Tiếp tuyến của

(C)

song song với

x - 1 = 0

còn có

x + 3 = 0

, tiếp xúc tại điểm

(- 3; - 1)

đối xứng với

M

qua

I

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 7.49★★Trang 49— Trắc nghiệm — vị trí tương đối của hai đường thẳng

Bài 7.49 (trang 49). Cho đường thẳng

d : 4 x + 3 y - 2 = 0

và đường thẳng

k : {x = - 1 + 3 t y = 2 - 4 t

. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

d

và

k

là
A. trùng nhau;
B. song song;
C. cắt nhau nhưng không vuông góc;
D. vuông góc.

Kiến thức cần nhớ

Hai đường có vectơ pháp tuyến cùng phương thì song song hoặc trùng nhau; có chung một điểm thì trùng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

k

có chỉ phương

(3; - 4)

nên pháp tuyến

(4; 3)

— cùng phương với pháp tuyến của

d

: hai đường song song hoặc trùng. Phải thử thêm một điểm của

k

vào

d

. Bẫy: dừng ở bước "cùng pháp tuyến" rồi chọn song song.

1Cách 1. So pháp tuyến rồi thử điểm

Định hướng. Tìm pháp tuyến của $k$ , so với $d$ ; thử điểm $(- 1; 2)$ của $k$ .

u_{k} = (3; - 4) \Rightarrow n_{k} = (4; 3) = n_{d}

4 \cdot (- 1) + 3 \cdot 2 - 2 = 0 \Rightarrow (- 1; 2) \in d

Vậy $d$ và $k$ trùng nhau; chọn A.

2Cách 2. Thế phương trình tham số vào

d

Định hướng. Đếm số giá trị $t$ thoả mãn.

4 (- 1 + 3 t) + 3 (2 - 4 t) - 2 = - 4 + 12 t + 6 - 12 t - 2 = 0

Đúng với mọi

t

Vậy mọi điểm của $k$ đều thuộc $d$ : trùng nhau; chọn A.

3Cách 3. Khử tham số

Định hướng. Đưa $k$ về phương trình tổng quát rồi so với $d$ .

t = \frac{x + 1}{3} \Rightarrow y = 2 - \frac{4 ( x + 1 )}{3}

3 y = 6 - 4 x - 4 \Leftrightarrow 4 x + 3 y - 2 = 0

Vậy $k$ chính là $d$ ; chọn A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2: một phép thế cho ngay kết luận "vô số nghiệm".

Đáp số. A.

Sai lầm thường gặp. Thấy hai pháp tuyến bằng nhau rồi chọn "song song" mà không thử điểm; hoặc so vectơ chỉ phương

(3; - 4)

của

k

với pháp tuyến

(4; 3)

của

d

rồi kết luận "vuông góc".

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

k

thành

x = 3 t

y = 2 - 4 t

thì

4 \cdot 0 + 3 \cdot 2 - 2 = 4 \neq = 0

và

d ∥ k

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 7.50★★Trang 49— Trắc nghiệm — lập phương trình chính tắc của elip

Bài 7.50 (trang 49). Phương trình chính tắc của elip

(E)

đi qua điểm

M (8; 0)

và có tiêu cự bằng

6

là
A.

\frac{x ^{2}}{64} + \frac{y ^{2}}{100} = 1

;
B.

\frac{x ^{2}}{64} + \frac{y ^{2}}{28} = 1

;
C.

\frac{x ^{2}}{64} + \frac{y ^{2}}{73} = 1

;
D.

\frac{x ^{2}}{64} + \frac{y ^{2}}{55} = 1

Kiến thức cần nhớ

Elip chính tắc: $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ , tiêu cự $2 c$ , đỉnh trục lớn $(\pm a; 0)$ .

🧠 Phân tích tư duy

M (8; 0)

nằm trên trục hoành nên là đỉnh trục lớn:

a = 8

. Tiêu cự

2 c = 6

cho

c = 3

, rồi

b^{2} = a^{2} - c^{2}

. Bẫy: cộng

64 + 9 = 73

(nhầm công thức) hoặc dùng

c = 6

1Cách 1. Tính

a

c

rồi

b^{2}

Định hướng. $M$ là đỉnh trục lớn.

a = 8

2 c = 6 \Rightarrow c = 3

b^{2} = 64 - 9 = 55

Vậy $(E) : \frac{x ^{2}}{64} + \frac{y ^{2}}{55} = 1$ ; chọn D.

2Cách 2. Tính tiêu cự của từng phương án

Định hướng. Mọi phương án đều qua $M$ ; chỉ cần phương án có $2 a^{2} - b^{2} = 6$ .

64 - 100 < 0

; C:

64 - 73 < 0

(không phải chính tắc)
B:

c^{2} = 36

2 c = 12

c^{2} = 9

2 c = 6

✓

Vậy chọn D.

3Cách 3. Định nghĩa elip tại hai đỉnh

Định hướng. Tổng khoảng cách tới hai tiêu điểm tại đỉnh $M$ và tại đỉnh $B_{2} (0; b)$ bằng nhau.

M F_{1} + M F_{2} = (8 + 3) + (8 - 3) = 16

B_{2} F_{1} + B_{2} F_{2} = 2 b^{2} + 9 = 16 \Rightarrow b^{2} = 55

Vậy chọn D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: ba phép tính ngắn.

Đáp số. D.

Sai lầm thường gặp. Lấy

c = 6

(quên chia đôi tiêu cự) ra

b^{2} = 28

; cộng

a^{2} + c^{2} = 73

như hypebol.

🚀 Mở rộng. Elip có

a = 8

và tiêu cự

2 c

tồn tại khi

0 < c < 8

; khi

c \to 8

elip dẹt dần về đoạn thẳng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 7.51★★Trang 49— Trắc nghiệm — đường tròn tâm cho trước tiếp xúc đường thẳng

Bài 7.51 (trang 49). Cho điểm

I (1; - 1)

và đường thẳng

d : x - y + 2 = 0

. Phương trình đường tròn tâm

I

tiếp xúc với đường thẳng

d

là
A.

(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 4

;
B.

(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 4

;
C.

(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 8

;
D.

(x + 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 8

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn tâm $I$ tiếp xúc $Δ$ $\Leftrightarrow$ $R = d (I, Δ)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tiếp xúc nghĩa là bán kính bằng khoảng cách từ tâm đến đường thẳng. Tính

R = 22

rồi nhớ vế phải là

R^{2} = 8

. Bẫy: viết vế phải

R

hoặc tính nhầm

R = 2

1Cách 1.

R = d (I, d)

Định hướng. Tính khoảng cách từ tâm tới $d$ .

R = \frac{∣1 + 1 + 2∣}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 22

R^{2} = 8

(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 8

Vậy chọn C.

2Cách 2. Hình chiếu của tâm lên

d

là tiếp điểm

Định hướng. Tìm $H$ rồi $R = I H$ .

I H = t (1; - 1) \Rightarrow H (1 + t; - 1 - t)

H \in d

1 + t + 1 + t + 2 = 0 \Rightarrow t = - 2 \Rightarrow H (- 1; 1)

I H^{2} = 4 + 4 = 8

Vậy $(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 8$ ; chọn C.

3Cách 3. Điều kiện nghiệm kép

Định hướng. Thế $y = x + 2$ vào đường tròn tâm $I$ bán kính $R$ ; tiếp xúc khi phương trình có nghiệm kép.

(x - 1)^{2} + (x + 3)^{2} = R^{2} \Leftrightarrow 2 x^{2} + 4 x + 10 - R^{2} = 0

Δ^{'} = 4 - 2 (10 - R^{2}) = 0 \Leftrightarrow R^{2} = 8

Vậy chọn C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: nhanh và chuẩn; Cách 2 cho luôn tiếp điểm

H (- 1; 1)

Đáp số. C.

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì tính

R = 2

(quên chia

2

đúng cách) hoặc viết vế phải là

R

; chọn B, D vì đổi dấu toạ độ tâm.

🚀 Mở rộng. Tiếp điểm là

H (- 1; 1)

; đường tròn tâm

I

tiếp xúc với đường song song

x - y - 6 = 0

cũng có bán kính

22

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 7.52★★★Trang 49— Trắc nghiệm — đường thẳng song song và cách đều một khoảng cho trước

Bài 7.52 (trang 49). Cho đường thẳng

d : x - y + 3 = 0

. Phương trình đường thẳng song song với

d

và cách

d

một khoảng là

22

là
A.

x + y + 1 = 0

và

x + y + 3 = 0

;
B.

x - y - 1 = 0

;
C.

x - y + 3 = 0

;
D.

x - y + 3 = 0

và

x - y - 1 = 0

Kiến thức cần nhớ

Hai đường $a x + b y + c_{1} = 0$ , $a x + b y + c_{2} = 0$ song song, cách nhau $\frac{∣ c _{1} - c _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường song song với

d

có dạng

x - y + c = 0

(

c \neq = 3

). Khoảng cách giữa hai đường song song bằng khoảng cách từ một điểm của

d

tới đường kia. Bẫy: D chứa chính

d

(

c = 3

) — không phải đường song song.

1Cách 1. Khoảng cách hai đường song song

Định hướng. Đường song song với $d$ có dạng $x - y + c = 0$ với $c \neq = 3$ .

\frac{∣ c - 3∣}{2} = 22 \Leftrightarrow ∣ c - 3∣ = 4

c = 7

hoặc

c = - 1

d_{1} : x - y + 7 = 0

d_{2} : x - y - 1 = 0

Vậy trong các phương án chỉ có $x - y - 1 = 0$ đúng; chọn B.

2Cách 2. Tịnh tiến một điểm theo pháp tuyến

Định hướng. Lấy $A (0; 3) \in d$ , đi theo vectơ pháp tuyến đơn vị $\frac{1}{2} (1; - 1)$ một đoạn $22$ về hai phía.

A \pm 22 \cdot \frac{1}{2} (1; - 1) = (0; 3) \pm (2; - 2)

A_{1} (2; 1)

A_{2} (- 2; 5)

Qua

A_{1}

x - y - 1 = 0

; qua

A_{2}

x - y + 7 = 0

Vậy chọn B.

3Cách 3. Loại trừ

Định hướng. Kiểm tra song song rồi kiểm tra khoảng cách.

A: pháp tuyến

(1; 1)

không cùng phương

(1; - 1)

C: trùng

d

; D: chứa

d

B: song song và cách

d

một khoảng

\frac{∣ - 1 - 3∣}{2} = 22

Vậy chọn B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: một phương trình trị tuyệt đối cho cả hai đường.

Đáp số. B (đáp số đầy đủ:

x - y - 1 = 0

và

x - y + 7 = 0

Sai lầm thường gặp. Chọn D vì thấy

x - y - 1 = 0

trong đó mà không để ý đường còn lại là chính

d

. Lưu ý nguồn: vietjack ghi khoảng cách là

2

— khi đó hai đường là

x - y + 1 = 0

x - y + 5 = 0

và không phương án nào đúng; loigiaihay ghi

22

, khớp phương án B nên bản này theo

22

🚀 Mở rộng. Tập hợp các điểm cách

d

một khoảng

h

là hai đường thẳng

x - y + 3 \pm h 2 = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 7.53★Trang 49— Viết phương trình tham số của đường thẳng

Bài 7.53 (trang 49). Trong mặt phẳng

O x y

, cho điểm

M (- 3; 2)

và vectơ

u = (2; - 5)

. Viết phương trình tham số của đường thẳng

d

đi qua

M

và nhận

u

là một vectơ chỉ phương.

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $M (x_{0}; y_{0})$ , chỉ phương $u = (a; b)$ : ${x = x_{0} + a t y = y_{0} + b t$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đủ một điểm và một vectơ chỉ phương — đúng "nguyên liệu" của phương trình tham số. Bẫy: đảo vai trò, viết

x = 2 - 3 t

(lấy toạ độ vectơ làm điểm).

1Cách 1. Công thức

Định hướng. Thay trực tiếp.

{x = - 3 + 2 t y = 2 - 5 t

(

t \in R

)

Vậy $d : {x = - 3 + 2 t y = 2 - 5 t$ .

2Cách 2. Điều kiện cùng phương

Định hướng. $N (x; y) \in d \Leftrightarrow M N$ cùng phương $u$ .

M N = t u \Leftrightarrow (x + 3; y - 2) = (2 t; - 5 t)

x = - 3 + 2 t

y = 2 - 5 t

Vậy $d : {x = - 3 + 2 t y = 2 - 5 t$ .

3Cách 3. Qua phương trình tổng quát

Định hướng. Viết dạng tổng quát với pháp tuyến $(5; 2)$ , rồi đặt $x = - 3 + 2 t$ .

5 (x + 3) + 2 (y - 2) = 0 \Leftrightarrow 5 x + 2 y + 11 = 0

x = - 3 + 2 t \Rightarrow 2 y = - 11 - 5 (- 3 + 2 t) = 4 - 10 t \Rightarrow y = 2 - 5 t

Vậy $d : {x = - 3 + 2 t y = 2 - 5 t$ .

Nhận xét. Cách 3 cho luôn phương trình tổng quát $5 x + 2 y + 11 = 0$ của $d$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: thay vào công thức, không thể nhanh hơn.

Đáp số.

d : {x = - 3 + 2 t y = 2 - 5 t

(

t \in R

Sai lầm thường gặp. Viết

{x = 2 - 3 t y = - 5 + 2 t

(đảo vai trò điểm và vectơ); quên ghi

t \in R

🚀 Mở rộng. Điểm

N (1; - 8)

thuộc

d

(ứng với

t = 2

); thử tìm

t

để

d

cắt trục hoành:

t = \frac{2}{5}

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 7.54★Trang 49— Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

Bài 7.54 (trang 49). Trong mặt phẳng

O x y

, cho điểm

N (2; - 1)

và vectơ

n = (3; - 1)

. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

d

đi qua

N

và nhận

n

là một vectơ pháp tuyến.

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $M (x_{0}; y_{0})$ , pháp tuyến $(a; b)$ : $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Có điểm và vectơ pháp tuyến: dùng

a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0

. Bẫy dấu:

y - (- 1) = y + 1

1Cách 1. Công thức

Định hướng. Thay điểm và pháp tuyến.

3 (x - 2) - 1 (y + 1) = 0

\Leftrightarrow 3 x - 6 - y - 1 = 0 \Leftrightarrow 3 x - y - 7 = 0

Vậy $d : 3 x - y - 7 = 0$ .

2Cách 2. Dạng

3 x - y + c = 0

Định hướng. Pháp tuyến $(3; - 1)$ cố định hệ số của $x$ , $y$ ; điểm $N$ xác định $c$ .

3 \cdot 2 - (- 1) + c = 0 \Rightarrow c = - 7

Vậy $d : 3 x - y - 7 = 0$ .

3Cách 3. Tích vô hướng

Định hướng. $M (x; y) \in d \Leftrightarrow N M ⊥ n$ .

N M \cdot n = 0 \Leftrightarrow 3 (x - 2) + (- 1) (y + 1) = 0

\Leftrightarrow 3 x - y - 7 = 0

Vậy $d : 3 x - y - 7 = 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2: hệ số đã có sẵn, chỉ tìm một hằng số.

Đáp số.

d : 3 x - y - 7 = 0

Sai lầm thường gặp. Viết

3 (x - 2) - (y - 1) = 0

(sai dấu) ra

3 x - y - 5 = 0

; dùng

n

làm vectơ chỉ phương ra

x + 3 y + 1 = 0

🚀 Mở rộng. Đường thẳng qua

N

và vuông góc với

d

nhận

n

làm chỉ phương:

x + 3 y + 1 = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 7.55★★★Trang 49— Tổng hợp: phương trình đường thẳng, đường cao, khoảng cách, góc trong tam giác

Bài 7.55 (trang 49). Cho tam giác

A B C

với

A (1; - 1)

B (3; 5)

C (- 2; 4)

.
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng

A B

.
b) Viết phương trình đường cao

A H

của tam giác

A B C

.
c) Tính khoảng cách từ điểm

A

đến đường thẳng

B C

.
d) Tính sin của góc giữa hai đường thẳng

A B

và

A C

Kiến thức cần nhớ

Đường cao $A H$ qua $A$ , nhận $B C$ làm pháp tuyến.
$d (M, Δ) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ .
$cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{∣ u _{1} \cdot u _{2} ∣}{∣ u _{1} ∣∣ u _{2} ∣}$ ; $S = \frac{1}{2} A B \cdot A C sin A$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn câu dùng bốn công cụ cơ bản của chương: chỉ phương

A B

, pháp tuyến

B C

cho đường cao, công thức khoảng cách, công thức góc. Câu c và d còn liên hệ với diện tích tam giác

S = 14

nên có thể kiểm tra chéo. Bẫy câu d: góc giữa hai đường thẳng luôn nhọn hoặc vuông nên sin dương.

1Cách 1. Công thức vectơ

Định hướng. Mỗi câu dùng một công thức chuẩn.

A B = (2; 6) = 2 (1; 3)

{x = 1 + t y = - 1 + 3 t

B C = (- 5; - 1)

- 5 (x - 1) - (y + 1) = 0 \Leftrightarrow 5 x + y - 4 = 0

B C : x - 5 y + 22 = 0

(pháp tuyến

(1; - 5)

, qua

B

);

d (A, B C) = \frac{∣1 + 5 + 22∣}{26} = \frac{28}{26} = \frac{14 26}{13}

A C = (- 3; 5)

;

cos φ = \frac{∣2 \cdot ( - 3 ) + 6 \cdot 5∣}{40 34} = \frac{24}{4 85} = \frac{6}{85}

sin φ = 1 - \frac{36}{85} = \frac{7}{85} = \frac{7 85}{85}

Vậy a) $x = 1 + t$ , $y = - 1 + 3 t$ ; b) $5 x + y - 4 = 0$ ; c) $\frac{14 26}{13}$ ; d) $\frac{7 85}{85}$ .

2Cách 2. Hệ số góc và diện tích

Định hướng. b) Dùng tích hệ số góc bằng $- 1$ . c), d) Dùng diện tích $S = \frac{1}{2} ∣ x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} ∣$ của tam giác.

k_{A B} = \frac{5 + 1}{3 - 1} = 3

, chỉ phương

(1; 3)

x = 1 + t

y = - 1 + 3 t

k_{B C} = \frac{4 - 5}{- 2 - 3} = \frac{1}{5} \Rightarrow k_{A H} = - 5

y + 1 = - 5 (x - 1) \Leftrightarrow 5 x + y - 4 = 0

S = \frac{1}{2} ∣2 \cdot 5 - (- 3) \cdot 6∣ = 14

d (A, B C) = \frac{2 S}{B C} = \frac{28}{26} = \frac{14 26}{13}

sin A = \frac{2 S}{A B \cdot A C} = \frac{28}{40 \cdot 34} = \frac{28}{4 85} = \frac{7 85}{85}

Vậy kết quả trùng Cách 1.

Nhận xét. Góc $A$ của tam giác nhọn ( $cos A > 0$ ) nên $sin A$ cũng là sin của góc giữa hai đường thẳng $A B$ , $A C$ .

3Cách 3. Chân đường cao

H

Định hướng. Tìm $H$ trên $B C$ để có luôn đường cao và độ dài $A H$ .

B C : {x = 3 - 5 s y = 5 - s

A H \cdot B C = 0

- 5 (2 - 5 s) - (6 - s) = 0 \Leftrightarrow 26 s = 16 \Leftrightarrow s = \frac{8}{13}

H (- \frac{1}{13}; \frac{57}{13})

A H = (- \frac{14}{13}; \frac{70}{13}) = \frac{14}{13} (- 1; 5)

A H

: pháp tuyến

(5; 1)

, qua

A

5 x + y - 4 = 0

A H = \frac{14}{13} 1 + 25 = \frac{14 26}{13}

Vậy b) $5 x + y - 4 = 0$ ; c) $d (A, B C) = A H = \frac{14 26}{13}$ ; câu a, d như Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1; Cách 2 để kiểm tra chéo câu c, d bằng diện tích.

Đáp số. a)

{x = 1 + t y = - 1 + 3 t

; b)

A H : 5 x + y - 4 = 0

; c)

d (A, B C) = \frac{14 26}{13}

; d)

sin = \frac{7 85}{85}

Sai lầm thường gặp. Câu b viết đường thẳng qua

A

song song

B C

(dùng

B C

làm chỉ phương); câu d lấy

cos φ

âm hoặc trả lời cosin thay vì sin.

🚀 Mở rộng. Đường cao từ

B

3 x - 5 y + 16 = 0

; giao với

A H

cho trực tâm

(\frac{1}{7}; \frac{23}{7})

của tam giác

A B C

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 7.56★★Trang 50— Đường tròn qua điểm, đường thẳng qua hai điểm, đường tròn tiếp xúc đường thẳng

Bài 7.56 (trang 50). Trong mặt phẳng

O x y

, cho hai điểm

A (- 1; 0)

và

B (3; 1)

.
a) Viết phương trình đường tròn tâm

A

và đi qua

B

.
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng

A B

.
c) Viết phương trình đường tròn tâm

O

và tiếp xúc với đường thẳng

A B

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn tâm $I (a; b)$ bán kính $R$ : $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2}$ .
Đường thẳng qua $M (x_{0}; y_{0})$ , pháp tuyến $(a; b)$ : $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) = 0$ .
Đường tròn tâm $I$ tiếp xúc $Δ$ $\Leftrightarrow$ $R = d (I, Δ)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a: bán kính chính là

A B

. Câu b:

A B

là vectơ chỉ phương, đổi thành vectơ pháp tuyến. Câu c: đường tròn tâm

O

tiếp xúc

A B

nên bán kính bằng

d (O, A B)

— kết quả câu b dùng ngay. Bẫy: viết

R = A B^{2}

hay quên bình phương bán kính ở câu c.

1Cách 1. Công thức trực tiếp

Định hướng. Lần lượt dùng $R = A B$ , vectơ pháp tuyến vuông góc $A B$ , và $R = d (O, A B)$ .

A B^{2} = (3 + 1)^{2} + (1 - 0)^{2} = 17 \Rightarrow (x + 1)^{2} + y^{2} = 17

A B = (4; 1) \Rightarrow n = (1; - 4)

A B : 1 (x + 1) - 4 (y - 0) = 0 \Leftrightarrow x - 4 y + 1 = 0

R = d (O, A B) = \frac{∣0 - 0 + 1∣}{1 + 16} = \frac{1}{17}

x^{2} + y^{2} = \frac{1}{17}

Vậy a) $(x + 1)^{2} + y^{2} = 17$ ; b) $x - 4 y + 1 = 0$ ; c) $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{17}$ .

2Cách 2. Dạng khai triển và phương trình qua hai điểm

Định hướng. a) Đường tròn tâm $A$ có dạng $x^{2} + y^{2} + 2 x + c = 0$ , thay $B$ tìm $c$ . b) Dùng tỉ lệ toạ độ. c) Tìm chân đường vuông góc $H$ từ $O$ .

9 + 1 + 6 + c = 0 \Rightarrow c = - 16 \Rightarrow x^{2} + y^{2} + 2 x - 16 = 0

\frac{x + 1}{4} = \frac{y - 0}{1} \Leftrightarrow x + 1 = 4 y \Leftrightarrow x - 4 y + 1 = 0

O H = t (1; - 4) \Rightarrow H (t; - 4 t)

;

H \in A B

t + 16 t + 1 = 0 \Rightarrow t = - \frac{1}{17}

H (- \frac{1}{17}; \frac{4}{17})

O H^{2} = \frac{1 + 16}{289} = \frac{1}{17}

Vậy a) $x^{2} + y^{2} + 2 x - 16 = 0$ (tức $(x + 1)^{2} + y^{2} = 17$ ); b) $x - 4 y + 1 = 0$ ; c) $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{17}$ .

3Cách 3. Diện tích tam giác

O A B

cho bán kính

Định hướng. Bán kính ở câu c là đường cao hạ từ $O$ của tam giác $O A B$ , tính qua diện tích; câu b dùng hệ số góc.

k = \frac{1 - 0}{3 + 1} = \frac{1}{4} \Rightarrow y = \frac{1}{4} (x + 1) \Leftrightarrow x - 4 y + 1 = 0

S_{O A B} = \frac{1}{2} ∣ (- 1) \cdot 1 - 3 \cdot 0∣ = \frac{1}{2}

R = \frac{2 S _{O A B}}{A B} = \frac{1}{17} \Rightarrow R^{2} = \frac{1}{17}

M (x; y)

thuộc đường tròn

\Leftrightarrow A M = A B \Leftrightarrow (x + 1)^{2} + y^{2} = 17

Vậy a) $(x + 1)^{2} + y^{2} = 17$ ; b) $x - 4 y + 1 = 0$ ; c) $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{17}$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy khoảng cách từ điểm tới đường thẳng chính là "chiều cao" trong công thức diện tích — hai kiến thức nối nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba công thức chuẩn, mỗi câu một hai dòng.

Đáp số. a)

(x + 1)^{2} + y^{2} = 17

; b)

x - 4 y + 1 = 0

; c)

x^{2} + y^{2} = \frac{1}{17}

Sai lầm thường gặp. Viết

(x - 1)^{2} + y^{2} = 17

(sai dấu toạ độ tâm); ở câu c viết

x^{2} + y^{2} = \frac{1}{17}

(quên bình phương bán kính); dùng

A B = (4; 1)

làm vectơ pháp tuyến.

🚀 Mở rộng. Đường tròn tâm

O

bán kính

R

cắt đường thẳng

A B

tại hai điểm khi

R > \frac{1}{17}

, không cắt khi

R < \frac{1}{17}

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · 7.57★★Trang 50— Tâm, bán kính đường tròn dạng khai triển; tiếp tuyến tại một điểm

Bài 7.57 (trang 50). Cho đường tròn

(C)

có phương trình

x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0

.
a) Tìm toạ độ tâm

I

và bán kính

R

của

(C)

.
b) Chứng minh rằng điểm

M (5; 1)

thuộc

(C)

. Viết phương trình tiếp tuyến

d

của

(C)

tại

M

Kiến thức cần nhớ

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ có tâm $I (a; b)$ , $R = a^{2} + b^{2} - c$ .
Tiếp tuyến tại $M$ nhận $I M$ làm vectơ pháp tuyến.

🧠 Phân tích tư duy

Phương trình dạng

x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0

: đọc

a

b

bằng cách chia hệ số của

x

y

cho

- 2

. Tiếp tuyến tại

M

vuông góc bán kính

I M

, nên

I M

là vectơ pháp tuyến. Bẫy: lấy nhầm dấu tâm thành

(- 2; 3)

1Cách 1. Đọc hệ số và vectơ pháp tuyến

I M

Định hướng. Dùng công thức tâm – bán kính, rồi tiếp tuyến vuông góc với $I M$ .

- 2 a = - 4

- 2 b = 6

c = - 12 \Rightarrow a = 2

b = - 3

R = 4 + 9 + 12 = 25 = 5

5^{2} + 1^{2} - 4 \cdot 5 + 6 \cdot 1 - 12 = 25 + 1 - 20 + 6 - 12 = 0 \Rightarrow M \in (C)

I M = (3; 4)

d : 3 (x - 5) + 4 (y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3 x + 4 y - 19 = 0

Vậy $I (2; - 3)$ , $R = 5$ ; tiếp tuyến $d : 3 x + 4 y - 19 = 0$ .

2Cách 2. Thêm bớt thành bình phương; điều kiện khoảng cách

Định hướng. a) Gom thành tổng hai bình phương. b) Viết đường qua $M$ có pháp tuyến $(p; q)$ rồi ép $d (I, d) = R$ .

(x^{2} - 4 x + 4) + (y^{2} + 6 y + 9) = 12 + 4 + 9 \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 25

I M^{2} = 9 + 16 = 25 = R^{2} \Rightarrow M \in (C)

d : p (x - 5) + q (y - 1) = 0

d (I, d) = \frac{∣ - 3 p - 4 q ∣}{p ^{2} + q ^{2}} = 5

(3 p + 4 q)^{2} = 25 (p^{2} + q^{2}) \Leftrightarrow 16 p^{2} - 24 pq + 9 q^{2} = 0 \Leftrightarrow (4 p - 3 q)^{2} = 0

p = 3

q = 4 \Rightarrow d : 3 x + 4 y - 19 = 0

Vậy $I (2; - 3)$ , $R = 5$ ; tiếp tuyến $d : 3 x + 4 y - 19 = 0$ .

3Cách 3. Tâm là giao hai trung trực dây cung; "tách đôi" toạ độ

Định hướng. a) Cắt $(C)$ với hai trục để có hai dây, trung điểm dây cho toạ độ tâm. b) Dùng quy tắc thay $x^{2} \to x_{0} x$ , $x \to \frac{x + x _{0}}{2}$ cho điểm trên đường tròn.

y = 0

x^{2} - 4 x - 12 = 0 \Rightarrow x = 6

hoặc

x = - 2 \Rightarrow

hoành độ tâm

\frac{6 - 2}{2} = 2

x = 0

y^{2} + 6 y - 12 = 0 \Rightarrow y_{1} + y_{2} = - 6 \Rightarrow

tung độ tâm

- 3

R = I P

với

P (6; 0)

R = 16 + 9 = 5

5 x + 1 \cdot y - 2 (x + 5) + 3 (y + 1) - 12 = 0

\Leftrightarrow 3 x + 4 y - 19 = 0

Vậy $I (2; - 3)$ , $R = 5$ ; tiếp tuyến $d : 3 x + 4 y - 19 = 0$ .

Nhận xét. Quy tắc "tách đôi" chỉ đúng khi $M$ nằm trên đường tròn; Cách 1 là cách chính, Cách 3 dùng để kiểm tra nhanh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc tâm trong một dòng, tiếp tuyến chỉ cần

I M

Đáp số. a)

I (2; - 3)

R = 5

. b)

M \in (C)

;

d : 3 x + 4 y - 19 = 0

Sai lầm thường gặp. Lấy tâm

(- 2; 3)

(quên chia cho

- 2

); tính

R = 4 + 9 - 12 = 1

(sai dấu

c

); dùng

I M

làm vectơ chỉ phương nên ra đường thẳng

I M

thay vì tiếp tuyến.

🚀 Mở rộng. Tiếp tuyến của

(C)

song song với

d

còn có thêm

3 x + 4 y + 31 = 0

, tiếp xúc tại điểm đối xứng của

M

qua

I

là

(- 1; - 7)

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · 7.58★★Trang 50— Nhận dạng ba đường conic và tìm các yếu tố

Bài 7.58 (trang 50). Các phương trình dưới đây là phương trình chính tắc của đường nào? Khi đó hãy tìm các tiêu điểm, tiêu cự, đường chuẩn (nếu là đường parabol).
a)

y^{2} = 10 x

.
b)

x^{2} - y^{2} = 1

.
c)

\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1

Kiến thức cần nhớ

Parabol $y^{2} = 2 p x$ : $F (\frac{p}{2}; 0)$ , đường chuẩn $x = - \frac{p}{2}$ .
Hypebol: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ; elip: $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ ; tiêu điểm $(\pm c; 0)$ , tiêu cự $2 c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Nhìn dạng:

y^{2} = 2 p x

là parabol, hiệu hai bình phương bằng 1 là hypebol, tổng là elip. Mỗi loại một công thức

c

: elip

c^{2} = a^{2} - b^{2}

, hypebol

c^{2} = a^{2} + b^{2}

, parabol tiêu điểm

(\frac{p}{2}; 0)

. Bẫy: parabol không có "tiêu cự" theo nghĩa hai tiêu điểm; lẫn hai công thức

c^{2}

1Cách 1. Công thức theo từng loại

Định hướng. Nhận dạng rồi áp dụng công thức.

y^{2} = 2 \cdot 5 \cdot x

: parabol,

p = 5

;

F (\frac{5}{2}; 0)

; đường chuẩn

x = - \frac{5}{2}

\frac{x ^{2}}{1} - \frac{y ^{2}}{1} = 1

: hypebol,

c^{2} = 1 + 1 = 2

;

F_{1, 2} (\mp 2; 0)

; tiêu cự

22

c) elip,

c^{2} = 25 - 16 = 9

;

F_{1, 2} (\mp 3; 0)

; tiêu cự

6

Vậy a) parabol, $F (\frac{5}{2}; 0)$ , $Δ : x = - \frac{5}{2}$ ; b) hypebol, $F (\pm 2; 0)$ , $2 c = 22$ ; c) elip, $F (\pm 3; 0)$ , $2 c = 6$ .

2Cách 2. Kiểm tra bằng định nghĩa tại một điểm đặc biệt

Định hướng. Chọn một điểm dễ tính trên mỗi đường, kiểm tra tính chất tiêu điểm.

P (\frac{5}{2}; 5) \in (P)

P F = 5

d (P, Δ) = \frac{5}{2} + \frac{5}{2} = 5

✓
b) đỉnh

(1; 0)

∣ M F_{1} - M F_{2} ∣ = (1 + 2) - (2 - 1) = 2 = 2 a

✓
c) đỉnh

B_{2} (0; 4)

B_{2} F_{1} + B_{2} F_{2} = 2 9 + 16 = 10 = 2 a

✓

Vậy các tiêu điểm tìm được là đúng.

3Cách 3. Hình học của các "tam giác cơ sở"

Định hướng. Elip: tam giác $O B_{2} F_{2}$ vuông có cạnh huyền $a$ . Hypebol: $c$ bằng nửa đường chéo hình chữ nhật cơ sở. Parabol: dây cung qua $F$ vuông góc trục dài $2 p$ .

O F_{2} = B_{2} F_{2}^{2} - O B_{2}^{2} = 25 - 16 = 3

b) hình chữ nhật cơ sở

2 \times 2

, nửa đường chéo

1 + 1 = 2 = c

a) dây qua

F

vuông góc

O x

y^{2} = 10 x_{F} = 25 \Rightarrow

dài

10 = 2 p \Rightarrow p = 5

x_{F} = \frac{p}{2} = \frac{5}{2}

Vậy kết quả trùng Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: nhận dạng đúng là xong, mỗi ý một dòng.

Đáp số. a) Parabol:

F (\frac{5}{2}; 0)

, đường chuẩn

x = - \frac{5}{2}

. b) Hypebol:

F_{1} (- 2; 0)

F_{2} (2; 0)

, tiêu cự

22

. c) Elip:

F_{1} (- 3; 0)

F_{2} (3; 0)

, tiêu cự

6

Sai lầm thường gặp. Lấy

p = 10

ở câu a (quên

2 p = 10

) ra

F (5; 0)

; câu b tính

c^{2} = 1 - 1 = 0

theo công thức elip; câu c lấy

c^{2} = 25 + 16

🚀 Mở rộng. Hypebol

x^{2} - y^{2} = 1

gọi là hypebol vuông vì hai tiệm cận

y = \pm x

vuông góc với nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · 7.59★★★Trang 50— Tìm điểm trên elip thoả điều kiện góc vuông

Bài 7.59 (trang 50). Cho elip

(E)

có phương trình là

\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1

. Tìm toạ độ các điểm

M

thuộc

(E)

, biết rằng

M

nhìn hai tiêu điểm của

(E)

dưới một góc vuông.

Kiến thức cần nhớ

Elip: $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ , $M F_{1} + M F_{2} = 2 a$ .
$F_{1} M F_{2} = 9 0^{\circ}$ $\Leftrightarrow$ $M$ thuộc đường tròn đường kính $F_{1} F_{2}$ $\Leftrightarrow$ $M F_{1} \cdot M F_{2} = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

M

nhìn

F_{1} F_{2}

dưới góc vuông" nghĩa là

F_{1} M F_{2} = 9 0^{\circ}

, tương đương

M

nằm trên đường tròn đường kính

F_{1} F_{2}

O M = c

. Giải hệ elip và đường tròn. Bẫy: quên rằng có bốn điểm đối xứng.

1Cách 1. Giao với đường tròn đường kính

F_{1} F_{2}

Định hướng. Trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền: $O M = c = 4$ .

c^{2} = 25 - 9 = 16 \Rightarrow c = 4

;

x^{2} + y^{2} = 16

\frac{16 - y ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{9} = 1 \Leftrightarrow 9 (16 - y^{2}) + 25 y^{2} = 225 \Leftrightarrow 16 y^{2} = 81

y^{2} = \frac{81}{16}

x^{2} = 16 - \frac{81}{16} = \frac{175}{16}

x = \pm \frac{5 7}{4}

y = \pm \frac{9}{4}

Vậy có bốn điểm $M (\pm \frac{5 7}{4}; \pm \frac{9}{4})$ .

2Cách 2. Tích vô hướng

Định hướng. Viết điều kiện vuông góc bằng tích vô hướng hai vectơ $M F_{1}$ , $M F_{2}$ .

F_{1} (- 4; 0)

F_{2} (4; 0)

(- 4 - x) (4 - x) + (- y) (- y) = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 16

Kết hợp

9 x^{2} + 25 y^{2} = 225

9 (16 - y^{2}) + 25 y^{2} = 225 \Rightarrow y^{2} = \frac{81}{16}

x^{2} = \frac{175}{16}

Vậy $M (\pm \frac{5 7}{4}; \pm \frac{9}{4})$ .

3Cách 3. Định nghĩa elip và diện tích tam giác

M F_{1} F_{2}

Định hướng. Đặt $r_{1} = M F_{1}$ , $r_{2} = M F_{2}$ : biết tổng (định nghĩa) và tổng bình phương (Pythagore) nên tính được tích, rồi diện tích cho $∣ y ∣$ .

r_{1} + r_{2} = 10

r_{1}^{2} + r_{2}^{2} = F_{1} F_{2}^{2} = 64

2 r_{1} r_{2} = 100 - 64 = 36 \Rightarrow r_{1} r_{2} = 18

S_{M F_{1} F_{2}} = \frac{1}{2} r_{1} r_{2} = 9 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot ∣ y ∣ \Rightarrow ∣ y ∣ = \frac{9}{4}

x^{2} = 25 (1 - \frac{81}{16 \cdot 9}) = \frac{175}{16} \Rightarrow ∣ x ∣ = \frac{5 7}{4}

Vậy $M (\pm \frac{5 7}{4}; \pm \frac{9}{4})$ .

Nhận xét. Cách 3 cho công thức đẹp: khi $F_{1} M F_{2} = 9 0^{\circ}$ thì $S_{M F_{1} F_{2}} = b^{2} = 9$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra

O M = c

là hệ hai phương trình rất gọn.

Đáp số. Bốn điểm:

(\frac{5 7}{4}; \frac{9}{4})

(\frac{5 7}{4}; - \frac{9}{4})

(- \frac{5 7}{4}; \frac{9}{4})

(- \frac{5 7}{4}; - \frac{9}{4})

Sai lầm thường gặp. Chỉ nêu một điểm; lấy

c^{2} = 25 + 9

; hiểu "nhìn dưới góc vuông" là

M F_{1} ⊥ O x

🚀 Mở rộng. Điểm

M

như vậy tồn tại khi và chỉ khi

c \geq b

; với elip

\frac{x ^{2}}{25} + \frac{y ^{2}}{16} = 1

(

c = 3 < b = 4

) thì không có điểm nào.

Mở bài này trong app ↗

Bài 23 · 7.60★★Trang 50— Lập parabol chính tắc; điểm trên parabol cách tiêu điểm một khoảng cho trước

Bài 7.60 (trang 50). Lập phương trình chính tắc của parabol

(P)

biết rằng,

(P)

đi qua điểm

A (2; 4)

. Khi đó hãy tìm điểm

M

thuộc

(P)

và cách tiêu điểm của

(P)

một khoảng bằng

5

Kiến thức cần nhớ

Parabol $y^{2} = 2 p x$ : $F (\frac{p}{2}; 0)$ , đường chuẩn $x = - \frac{p}{2}$ ; với $M \in (P)$ : $M F = x_{M} + \frac{p}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Thay

A

vào

y^{2} = 2 p x

để có

p

. Khoảng cách từ điểm trên parabol tới tiêu điểm bằng khoảng cách tới đường chuẩn, tức

M F = x + \frac{p}{2}

— biến bài toán khoảng cách thành phương trình bậc nhất. Bẫy: bỏ sót điểm đối xứng qua

O x

1Cách 1. Định nghĩa:

M F = d (M, Δ)

Định hướng. Khoảng cách tới tiêu điểm bằng khoảng cách tới đường chuẩn.

16 = 2 p \cdot 2 \Rightarrow p = 4

;

(P) : y^{2} = 8 x

;

F (2; 0)

Δ : x = - 2

M F = x + 2 = 5 \Rightarrow x = 3

y^{2} = 24 \Rightarrow y = \pm 26

Vậy $(P) : y^{2} = 8 x$ ; $M (3; 26)$ hoặc $M (3; - 26)$ .

2Cách 2. Công thức khoảng cách, giải hệ theo

x

Định hướng. Viết $M F^{2} = 25$ rồi thế $y^{2} = 8 x$ .

(x - 2)^{2} + y^{2} = 25

y^{2} = 8 x

x^{2} + 4 x + 4 = 25 \Leftrightarrow x^{2} + 4 x - 21 = 0 \Leftrightarrow x = 3

hoặc

x = - 7

x = - 7 < 0

loại (vì

y^{2} = 8 x \geq 0

);

x = 3 \Rightarrow y = \pm 26

Vậy $M (3; \pm 26)$ .

3Cách 3. Tham số hoá theo tung độ

Định hướng. Đặt $M (\frac{m ^{2}}{8}; m)$ rồi nhận ra một bình phương đúng.

M F^{2} = (\frac{m ^{2}}{8} - 2)^{2} + m^{2} = (\frac{m ^{2}}{8} + 2)^{2}

\frac{m ^{2}}{8} + 2 = 5 \Rightarrow m^{2} = 24 \Rightarrow m = \pm 26

Vậy $M (3; \pm 26)$ .

Nhận xét. Đẳng thức $(\frac{m ^{2}}{8} - 2)^{2} + m^{2} = (\frac{m ^{2}}{8} + 2)^{2}$ chính là định nghĩa parabol viết bằng toạ độ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1:

M F = x + \frac{p}{2}

cho ngay

x = 3

Đáp số.

(P) : y^{2} = 8 x

;

M (3; 26)

và

M (3; - 26)

Sai lầm thường gặp. Lấy

p = 8

(nhầm

y^{2} = p x

) nên

F (4; 0)

; quên điểm

M (3; - 26)

; ở Cách 2 giữ nghiệm

x = - 7

🚀 Mở rộng. Điểm của

(P)

gần tiêu điểm nhất là đỉnh

O

với

O F = 2

; mọi khoảng cách

d \geq 2

đều đạt được tại

x = d - 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 24 · 7.61★★Trang 50— Bài toán thực tế — tiêu điểm của elip

Bài 7.61 (trang 50). Hình vẽ bên minh hoạ một phòng thì thầm (whispering gallery) với mặt cắt ngang là một hình bán elip với chiều cao 24 feet và chiều rộng 80 feet. Một âm thanh được phát ra từ một tiêu điểm của phòng thì thầm có thể được nghe thấy tại tiêu điểm còn lại. Hỏi hai người nói thầm qua lại với nhau thì sẽ cách trung tâm của phòng bao nhiêu mét? Theo đơn vị đo lường quốc tế, 1 feet = 0,3048 m.

Kiến thức cần nhớ

Elip: $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ ; tiêu điểm cách tâm $c$ .
$1$ feet $= 0, 3048$ m.

🧠 Phân tích tư duy

Chiều rộng

80

feet là trục lớn nên

a = 40

; chiều cao

24

feet là nửa trục nhỏ nên

b = 24

. Hai người đứng ở hai tiêu điểm, cách tâm

c = a^{2} - b^{2}

. Bẫy: lấy

b = 12

(chia đôi chiều cao) và quên đổi feet sang mét.

1Cách 1. Tính theo feet rồi đổi

Định hướng. Chọn hệ trục gốc ở tâm phòng, $O x$ theo chiều rộng.

a = 40

b = 24

c = 1600 - 576 = 1024 = 32

(feet)

32 \cdot 0, 3048 = 9, 7536

(m)

Vậy mỗi người cách trung tâm phòng khoảng $9, 75$ m.

2Cách 2. Đổi đơn vị trước

Định hướng. Đổi $a$ , $b$ sang mét rồi mới tính $c$ .

a = 40 \cdot 0, 3048 = 12, 192

b = 24 \cdot 0, 3048 = 7, 3152

c = 12, 19 2^{2} - 7, 315 2^{2} = 95, 13271296 = 9, 7536

Vậy khoảng $9, 75$ m.

3Cách 3. Tam giác vuông ở đỉnh trục nhỏ

Định hướng. Đỉnh $B_{2}$ (chỗ cao nhất) cách mỗi tiêu điểm đúng $a = 40$ feet; tam giác $O B_{2} F_{2}$ vuông tại $O$ .

O F_{2} = 4 0^{2} - 2 4^{2} = 8 5^{2} - 3^{2} = 8 \cdot 4 = 32

(feet)

32 \cdot 0, 3048 \approx 9, 75

(m)

Vậy khoảng $9, 75$ m.

Nhận xét. Tam giác $O B_{2} F_{2}$ là tam giác $3 - 4 - 5$ phóng to $8$ lần nên $c$ ra số nguyên đẹp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1: tính bằng số nguyên trước, đổi đơn vị một lần ở cuối.

Đáp số. Khoảng

9, 75

m (

32

feet

= 9, 7536

m); hai người cách nhau khoảng

19, 51

Sai lầm thường gặp. Lấy

b = 12

feet (chia đôi chiều cao như chiều rộng) ra

c = 1456

; trả lời

32

mà quên đổi sang mét; trả lời khoảng cách giữa hai người thay vì tới trung tâm.

🚀 Mở rộng. Với phòng rộng

2 a

, cao

b

, hai vị trí thì thầm cách tâm

a^{2} - b^{2}

; phòng càng thấp thì hai vị trí càng gần hai đầu phòng.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 22. Ba đường conic Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 10

📚 Cùng chương: Chương VII. Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

Bài 19. Phương trình đường thẳng
Bài 20. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách
Bài 21. Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ
Bài 22. Ba đường conic
▶ Bài tập cuối chương VII