Chương VIII. Đại số tổ hợp

Bài 24. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

SGK Toán 10 — Kết nối tri thức, tập 2 · 13 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán10 #ChươngVIII #SGK_Tập2 #trang66–71 #CùngBàiBênSBT

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 66— Hoán vị — xếp thứ tự toàn bộ các phần tử

HĐ1 (trang 66). Một nhóm gồm bốn bạn Hà, Mai, Nam, Đạt xếp thành một hàng, từ trái sang phải, để tham gia một cuộc phỏng vấn.
a) Hãy liệt kê ba cách sắp xếp bốn bạn trên theo thứ tự.
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự bốn bạn trên để tham gia phỏng vấn?

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc nhân: công việc gồm các công đoạn liên tiếp có $m_{1}, m_{2}, \dots$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2} \dots$ cách.
Số hoán vị của $n$ phần tử: $P_{n} = n! = n \cdot (n - 1) \dots 2 \cdot 1$ , quy ước $0! = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn bạn xếp thành MỘT hàng, mọi bạn đều có mặt và đổi chỗ hai bạn là ra cách xếp mới — dấu hiệu của hoán vị. Đếm theo từng vị trí từ trái sang phải cho lời giải tự nhiên nhất. Bẫy: nghĩ mỗi vị trí đều có 4 lựa chọn (

4^{4}

) mà quên một bạn không thể đứng hai chỗ.

1Cách 1. Quy tắc nhân theo từng vị trí.

Định hướng. Điền lần lượt vị trí thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư; mỗi bạn đã đứng thì không chọn lại.

a) Ba cách xếp: (Hà, Mai, Nam, Đạt); (Mai, Hà, Nam, Đạt); (Đạt, Nam, Mai, Hà)
b) Vị trí 1:

4

cách; vị trí 2:

3

cách; vị trí 3:

2

cách; vị trí 4:

1

cách
Số cách xếp:

4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24

Vậy có $24$ cách sắp xếp thứ tự bốn bạn.

2Cách 2. Quy tắc cộng theo người đứng đầu.

Định hướng. Chia các cách xếp thành 4 nhóm rời nhau theo bạn đứng đầu hàng.

Hà đứng đầu: ba bạn còn lại xếp được

3 \cdot 2 \cdot 1 = 6

cách
Mai, Nam, Đạt đứng đầu: mỗi trường hợp cũng

6

cách
Số cách xếp:

6 + 6 + 6 + 6 = 24

Vậy có $24$ cách.

3Cách 3. Chèn dần từng bạn vào hàng.

Định hướng. Xếp Hà trước, rồi chèn lần lượt Mai, Nam, Đạt vào các khe của hàng đang có.

Hàng có Hà:

1

cách
Chèn Mai: hàng 1 người có

2

khe (trước, sau)

\Rightarrow 2

cách
Chèn Nam: hàng 2 người có

3

khe

\Rightarrow 3

cách
Chèn Đạt: hàng 3 người có

4

khe

\Rightarrow 4

cách
Số cách xếp:

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24

Vậy có $24$ cách.

Nhận xét. Cách chèn dần cho thấy ngay $P_{n} = n \cdot P_{n - 1}$ , tức $P_{n} = n!$ — đây chính là công thức số hoán vị sách giới thiệu ngay sau HĐ1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — đếm theo vị trí là khuôn chung cho mọi bài hoán vị, chỉnh hợp.

Đáp số. a) Chẳng hạn (Hà, Mai, Nam, Đạt), (Mai, Hà, Nam, Đạt), (Đạt, Nam, Mai, Hà); b)

24

cách.

Sai lầm thường gặp. Tính

4^{4} = 256

vì cho mỗi vị trí đủ 4 bạn, quên rằng một bạn chỉ đứng một chỗ; hoặc tính

4 + 3 + 2 + 1 = 10

(dùng nhầm quy tắc cộng).

🚀 Mở rộng. Nếu Hà và Mai muốn đứng cạnh nhau thì coi hai bạn là một khối:

3! \cdot 2! = 12

cách.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Luyện tập 1★Trang 67— Hoán vị — xếp

n

người vào

n

chỗ

Luyện tập 1 (trang 67). Trong một cuộc thi điền kinh gồm 6 vận động viên chạy trên 6 đường chạy. Hỏi có bao nhiêu cách xếp các vận động viên vào các đường chạy đó?

Kiến thức cần nhớ

Số hoán vị của $n$ phần tử: $P_{n} = n! = n \cdot (n - 1) \dots 2 \cdot 1$ , quy ước $0! = 1$ .
Quy tắc nhân: công việc gồm các công đoạn liên tiếp có $m_{1}, m_{2}, \dots$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2} \dots$ cách.

🧠 Phân tích tư duy

Số vận động viên bằng số đường chạy, mỗi đường đúng một người — mỗi cách xếp là một hoán vị của 6 vận động viên. Chỉ cần nhận đúng dạng rồi tính

6!

. Bẫy: nhầm sang tổ hợp

C_{6}^{6} = 1

vì thấy "chọn 6 trong 6".

1Cách 1. Công thức hoán vị.

Định hướng. Mỗi cách xếp là một hoán vị của 6 vận động viên.

P_{6} = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720

Vậy có $720$ cách xếp.

2Cách 2. Quy tắc nhân theo đường chạy.

Định hướng. Lần lượt chọn người cho đường 1, đường 2, …, đường 6.

Đường 1:

6

cách; đường 2:

5

cách; đường 3:

4

cách
Đường 4:

3

cách; đường 5:

2

cách; đường 6:

1

cách
Số cách:

6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720

Vậy có $720$ cách.

3Cách 3. Truy hồi

P_{n} = n \cdot P_{n - 1}

Định hướng. Vận động viên số 1 chọn đường trước, 5 người còn lại xếp vào 5 đường còn lại.

P_{1} = 1

P_{2} = 2 \cdot 1 = 2

P_{3} = 3 \cdot 2 = 6

P_{4} = 4 \cdot 6 = 24

P_{5} = 5 \cdot 24 = 120

P_{6} = 6 \cdot 120 = 720

Vậy có $720$ cách.

Nhận xét. Máy tính cầm tay: ấn 6, SHIFT, $x!$ , = cũng ra $720$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — nhận ra hoán vị là xong trong một dòng.

Đáp số.

720

cách.

Sai lầm thường gặp. Tính

6 \cdot 6 = 36

hoặc

6^{6}

(cho phép hai người cùng một đường); hoặc dùng

C_{6}^{6} = 1

vì bỏ qua thứ tự đường chạy.

🚀 Mở rộng. Nếu có 8 vận động viên mà chỉ có 6 đường chạy thì số cách là

A_{8}^{6} = 20160

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · HĐ2★Trang 67— Phân biệt chọn có thứ tự và không thứ tự

HĐ2 (trang 67). Trong lớp 10T có bốn bạn Tuấn, Hương, Việt, Dung tham gia cuộc thi hùng biện của trường. Hỏi có bao nhiêu cách chọn:
a) Hai bạn phụ trách nhóm từ bốn bạn?
b) Hai bạn phụ trách nhóm, trong đó một bạn làm nhóm trưởng, một bạn làm nhóm phó?

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc nhân: công việc gồm các công đoạn liên tiếp có $m_{1}, m_{2}, \dots$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2} \dots$ cách.
Chọn có phân vai (thứ tự) là chỉnh hợp; chọn không phân vai là tổ hợp.

🧠 Phân tích tư duy

Hai câu cùng chọn 2 bạn trong 4, khác nhau ở chỗ câu b gán vai trò (trưởng, phó) nên đổi hai bạn cho nhau là ra cách mới. Số phần tử nhỏ nên liệt kê được hết, từ đó thấy b gấp đôi a. Bẫy: trả lời a và b cùng một số.

1Cách 1. Liệt kê.

Định hướng. Kí hiệu T, H, V, D; liệt kê các cặp.

a) {T, H}, {T, V}, {T, D}, {H, V}, {H, D}, {V, D}

\Rightarrow 6

cách
b) Mỗi cặp ở a cho 2 cách phân vai, chẳng hạn (trưởng T, phó H) và (trưởng H, phó T)
Số cách:

6 \cdot 2 = 12

Vậy a) $6$ cách; b) $12$ cách.

2Cách 2. Quy tắc nhân rồi bỏ thứ tự.

Định hướng. Câu b chọn trưởng trước, phó sau; câu a không phân vai nên mỗi cặp bị đếm hai lần.

b) Trưởng:

4

cách; phó:

3

cách

\Rightarrow 4 \cdot 3 = 12

\frac{12}{2} = 6

Vậy a) $6$ cách; b) $12$ cách.

3Cách 3. Bảng 4 × 4.

Định hướng. Hàng là nhóm trưởng, cột là nhóm phó; ô trên đường chéo là một người giữ hai vai nên loại.

Số ô:

4 \cdot 4 = 16

b) Bỏ 4 ô đường chéo:

16 - 4 = 12

a) Ô

(X, Y)

và

(Y, X)

đối xứng qua đường chéo cho cùng một cặp:

\frac{12}{2} = 6

Vậy a) $6$ cách; b) $12$ cách.

Nhận xét. Câu b là chỉnh hợp $A_{4}^{2} = 12$ , câu a là tổ hợp $C_{4}^{2} = 6$ — đúng như sách sẽ giới thiệu ở mục 2 và mục 3.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 — tính câu có thứ tự trước bằng quy tắc nhân rồi chia cho

2!

, dùng lại được cho mọi bài tổ hợp.

Đáp số. a)

6

cách; b)

12

cách.

Sai lầm thường gặp. Cho a cũng bằng

4 \cdot 3 = 12

vì không để ý câu a không phân vai; hoặc đếm câu b là

4 \cdot 4 = 16

(cho một bạn vừa làm trưởng vừa làm phó).

🚀 Mở rộng. Với

n

bạn: chọn trưởng, phó có

n (n - 1)

cách, chọn hai người phụ trách có

\frac{n ( n - 1 )}{2}

cách.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 2★★Trang 68— Chỉnh hợp — chọn và xếp hạng

k

trong

n

Luyện tập 2 (trang 68). Trong một giải đua ngựa gồm 12 con ngựa, người ta chỉ quan tâm đến 3 con ngựa: con nhanh nhất, nhanh nhì và nhanh thứ ba. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?

Kiến thức cần nhớ

Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ : $A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1) = \frac{n !}{( n - k )!}$ $(1 \leq k \leq n)$ .
Quy tắc nhân: công việc gồm các công đoạn liên tiếp có $m_{1}, m_{2}, \dots$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2} \dots$ cách.
Số tổ hợp chập $k$ của $n$ : $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = \frac{A _{n}^{k}}{k !}$ $(0 \leq k \leq n)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Kết quả là bộ ba (nhất, nhì, ba) — chọn 3 con trong 12 VÀ có thứ tự, dấu hiệu của chỉnh hợp chập 3 của 12. Bẫy: dùng

C_{12}^{3}

thì hai kết quả chỉ đổi hạng nhất, nhì bị coi là một.

1Cách 1. Công thức chỉnh hợp.

Định hướng. Mỗi kết quả là một chỉnh hợp chập 3 của 12.

A_{12}^{3} = \frac{12 !}{9 !} = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320

Vậy có $1320$ kết quả.

2Cách 2. Quy tắc nhân theo thứ hạng.

Định hướng. Chọn con về nhất, rồi nhì, rồi ba.

Nhất:

12

cách; nhì:

11

cách; ba:

10

cách
Số kết quả:

12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320

Vậy có $1320$ kết quả.

3Cách 3. Chọn nhóm rồi xếp hạng.

Định hướng. Chọn 3 con lọt vào tốp đầu (không thứ tự), rồi xếp hạng 3 con đó.

Chọn tốp 3:

C_{12}^{3} = 220

Xếp hạng trong tốp:

3! = 6

Số kết quả:

220 \cdot 6 = 1320

Vậy có $1320$ kết quả.

Nhận xét. Cách 3 chính là hệ thức $A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$ . Máy tính: 12, SHIFT, ×, 3, = ra $1320$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 — ba thừa số, không cần nhớ công thức, khó sai.

Đáp số.

1320

kết quả.

Sai lầm thường gặp. Dùng

C_{12}^{3} = 220

(bỏ thứ tự nhất, nhì, ba) hoặc

1 2^{3} = 1728

(cho một con giành hai hạng).

🚀 Mở rộng. Nếu chỉ quan tâm con về nhất và 2 con lọt vào tốp 3 (không phân nhì, ba) thì có

12 \cdot C_{11}^{2} = 660

kết quả.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · HĐ3★★Trang 68— Liên hệ chỉnh hợp và tổ hợp

HĐ3 (trang 68). Trở lại HĐ2.
a) Hãy cho biết sự khác biệt khi chọn ra hai bạn ở câu HĐ2a và HĐ2b.
b) Từ kết quả tính được ở câu HĐ2b (áp dụng chỉnh hợp), hãy chỉ ra cách tính kết quả ở câu HĐ2a.

Kiến thức cần nhớ

Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ : $A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1) = \frac{n !}{( n - k )!}$ $(1 \leq k \leq n)$ .
Số tổ hợp chập $k$ của $n$ : $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = \frac{A _{n}^{k}}{k !}$ $(0 \leq k \leq n)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu hỏi so sánh hai kiểu chọn: có phân vai và không phân vai. Chìa khoá là mỗi cặp không thứ tự sinh ra đúng

2! = 2

cặp có thứ tự. Bẫy: chỉ nói mơ hồ "câu b nhiều hơn" mà không chỉ ra gấp bao nhiêu lần.

1Cách 1. Mỗi cặp không thứ tự ứng với 2 cặp có thứ tự.

Định hướng. Ghép mỗi cách chọn ở HĐ2a với các cách phân vai của nó.

a) HĐ2a chỉ chọn 2 bạn, không phân vai; HĐ2b chọn 2 bạn và phân vai trưởng, phó (có thứ tự)
b) Mỗi cặp {X, Y} ứng với 2 chỉnh hợp (X, Y), (Y, X)
Số cách ở HĐ2a:

\frac{A _{4}^{2}}{2 !} = \frac{12}{2} = 6

Vậy HĐ2a có $6$ cách, bằng số ở HĐ2b chia cho $2!$ .

2Cách 2. Đếm trực tiếp rồi đối chiếu.

Định hướng. Đếm các cặp của HĐ2a bằng cách ghép lần lượt từng bạn với các bạn đứng sau trong danh sách.

Tuấn ghép với Hương, Việt, Dung:

3

cặp
Hương ghép với Việt, Dung:

2

cặp
Việt ghép với Dung:

1

cặp
Số cặp:

3 + 2 + 1 = 6

Đối chiếu:

6 \cdot 2! = 12 = A_{4}^{2}

Vậy HĐ2a có $6$ cách, và $A_{4}^{2} = 6 \cdot 2!$ .

3Cách 3. Bảng đối xứng.

Định hướng. Kẻ bảng 4 × 4 như HĐ2: 12 ô ngoài đường chéo là 12 chỉnh hợp; hai ô đối xứng qua đường chéo là cùng một cặp.

Ô ngoài đường chéo:

16 - 4 = 12

Nửa phía trên đường chéo:

\frac{12}{2} = 6

Vậy HĐ2a có $6$ cách.

Nhận xét. Tổng quát: $C_{n}^{k} = \frac{A _{n}^{k}}{k !}$ vì mỗi tập $k$ phần tử có $k!$ cách xếp thứ tự.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — chính là lập luận dẫn tới công thức

C_{n}^{k} = \frac{A _{n}^{k}}{k !}

Đáp số. a) HĐ2a chọn không thứ tự, HĐ2b chọn có thứ tự (phân vai); b) số cách ở HĐ2a là

\frac{A _{4}^{2}}{2 !} = 6

Sai lầm thường gặp. Chia cho

2

nhưng không giải thích vì sao; với chọn 3 người thì phải chia cho

3! = 6

chứ không phải

3

🚀 Mở rộng. Chọn 3 bạn trong 4 bạn: có thứ tự

A_{4}^{3} = 24

, không thứ tự

\frac{24}{3 !} = 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 3★★Trang 69— Tổ hợp kết hợp quy tắc nhân

Luyện tập 3 (trang 69). Trong ngân hàng đề kiểm tra cuối học kì II môn Vật lí có 20 câu lí thuyết và 40 câu bài tập. Người ta chọn ra 2 câu lí thuyết và 3 câu bài tập trong ngân hàng đề để tạo thành một đề thi. Hỏi có bao nhiêu cách lập đề thi gồm 5 câu hỏi theo cách chọn như trên?

Kiến thức cần nhớ

Số tổ hợp chập $k$ của $n$ : $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = \frac{A _{n}^{k}}{k !}$ $(0 \leq k \leq n)$ .
Quy tắc nhân: công việc gồm các công đoạn liên tiếp có $m_{1}, m_{2}, \dots$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2} \dots$ cách.
Tính chất $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ : chọn $k$ phần tử để lấy cũng là chọn $n - k$ phần tử để bỏ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề thi là một tập câu hỏi, không quan tâm thứ tự, gồm hai phần từ hai kho riêng: dấu hiệu nhân hai số tổ hợp. Bẫy: dùng

C_{60}^{5}

(không bảo đảm đúng 2 lí thuyết, 3 bài tập) hoặc cộng thay vì nhân.

1Cách 1. Tổ hợp và quy tắc nhân.

Định hướng. Chọn 2 câu lí thuyết, rồi chọn 3 câu bài tập.

Lí thuyết:

C_{20}^{2} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190

Bài tập:

C_{40}^{3} = \frac{40 \cdot 39 \cdot 38}{6} = 9880

Số đề:

190 \cdot 9880 = 1877200

Vậy có $1877200$ cách lập đề.

2Cách 2. Đếm có thứ tự rồi chia.

Định hướng. Rút lần lượt 2 câu lí thuyết rồi 3 câu bài tập (có thứ tự), sau đó bỏ thứ tự trong từng nhóm.

Số dãy rút có thứ tự:

20 \cdot 19 \cdot 40 \cdot 39 \cdot 38 = 22526400

Mỗi đề bị đếm

2! \cdot 3! = 12

lần
Số đề:

\frac{22 526 400}{12} = 1877200

Vậy có $1877200$ cách.

3Cách 3. Chọn câu bị loại.

Định hướng. Chọn 2 câu lí thuyết để lấy cũng là chọn 18 câu để bỏ; tương tự với bài tập.

Lí thuyết:

C_{20}^{18} = C_{20}^{2} = 190

Bài tập:

C_{40}^{37} = C_{40}^{3} = 9880

Số đề:

190 \cdot 9880 = 1877200

Vậy có $1877200$ cách.

Nhận xét. Máy tính: 20, SHIFT, ÷, 2, ×, 40, SHIFT, ÷, 3, = ra $1877200$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — hai số tổ hợp nhân nhau, đúng khuôn mọi bài "chọn

a

loại I và

b

loại II".

Đáp số.

1877200

cách.

Sai lầm thường gặp. Tính

C_{20}^{2} + C_{40}^{3} = 10070

(dùng quy tắc cộng) hoặc

A_{20}^{2} \cdot A_{40}^{3}

(coi thứ tự câu trong đề là khác nhau).

🚀 Mở rộng. Nếu đề có 5 câu bất kì nhưng ít nhất 1 câu lí thuyết thì số đề là

C_{60}^{5} - C_{40}^{5} = 4803504

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Vận dụng★★★Trang 70— Tổ hợp và chỉnh hợp phối hợp

Vận dụng (trang 70). Một câu lạc bộ có 20 học sinh.
a) Có bao nhiêu cách chọn 6 thành viên vào Ban quản lí?
b) Có bao nhiêu cách chọn Trưởng ban, 1 Phó ban, 4 thành viên khác vào Ban quản lí?

Kiến thức cần nhớ

Số tổ hợp chập $k$ của $n$ : $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = \frac{A _{n}^{k}}{k !}$ $(0 \leq k \leq n)$ .
Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ : $A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1) = \frac{n !}{( n - k )!}$ $(1 \leq k \leq n)$ .
Quy tắc nhân: công việc gồm các công đoạn liên tiếp có $m_{1}, m_{2}, \dots$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2} \dots$ cách.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a: 6 người ngang vai — tổ hợp. Câu b: có 2 chức danh riêng (trưởng, phó) và 4 người ngang vai — phải tách phần có thứ tự và phần không thứ tự. Bẫy ở câu b: dùng

A_{20}^{6}

là coi cả 4 thành viên thường cũng có thứ tự.

1Cách 1. Chọn chức danh trước.

Định hướng. Câu b: chọn trưởng ban, phó ban rồi 4 thành viên từ 18 người còn lại.

C_{20}^{6} = \frac{20 !}{6 ! \cdot 14 !} = 38760

b) Trưởng ban, phó ban:

A_{20}^{2} = 20 \cdot 19 = 380

4 thành viên:

C_{18}^{4} = 3060

Số cách:

380 \cdot 3060 = 1162800

Vậy a) $38760$ cách; b) $1162800$ cách.

2Cách 2. Chọn ban trước, phân chức sau.

Định hướng. Chọn 6 người vào ban, rồi trong ban chọn trưởng, phó.

\frac{A _{20}^{6}}{6 !} = \frac{27 907 200}{720} = 38760

b) Ban 6 người:

C_{20}^{6} = 38760

Trưởng, phó trong ban:

A_{6}^{2} = 30

Số cách:

38760 \cdot 30 = 1162800

Vậy a) $38760$ cách; b) $1162800$ cách.

3Cách 3. Chọn thành viên thường trước.

Định hướng. Câu a chọn 14 người ở ngoài ban; câu b chọn 4 thành viên thường trước, rồi trưởng, phó từ 16 người còn lại.

C_{20}^{14} = C_{20}^{6} = 38760

b) 4 thành viên:

C_{20}^{4} = 4845

Trưởng, phó:

A_{16}^{2} = 16 \cdot 15 = 240

Số cách:

4845 \cdot 240 = 1162800

Vậy a) $38760$ cách; b) $1162800$ cách.

Nhận xét. Ba thứ tự chọn khác nhau cho cùng đáp số — cách tự kiểm tra rất tốt khi làm bài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 — dùng lại ngay kết quả câu a, chỉ nhân thêm

A_{6}^{2} = 30

Đáp số. a)

38760

cách; b)

1162800

cách.

Sai lầm thường gặp. Câu b tính

A_{20}^{6} = 27907200

(coi 4 thành viên thường có thứ tự), hoặc

C_{20}^{6} \cdot 2

(quên rằng trưởng, phó phải chọn trong 6 người:

A_{6}^{2} = 30

chứ không phải

2

🚀 Mở rộng. Nếu ban có Trưởng ban, 2 Phó ban ngang nhau và 3 thành viên:

20 \cdot C_{19}^{2} \cdot C_{17}^{3} = 2325600

cách.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 8.6★Trang 70— Hoán vị

Bài 8.6 (trang 70). Một hoạ sĩ cần trưng bày 10 bức tranh nghệ thuật khác nhau thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách để hoạ sĩ sắp xếp các bức tranh?

Kiến thức cần nhớ

Số hoán vị của $n$ phần tử: $P_{n} = n! = n \cdot (n - 1) \dots 2 \cdot 1$ , quy ước $0! = 1$ .
Quy tắc nhân: công việc gồm các công đoạn liên tiếp có $m_{1}, m_{2}, \dots$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2} \dots$ cách.

🧠 Phân tích tư duy

Treo đủ 10 bức, khác nhau, thành một hàng — mỗi cách treo là một hoán vị của 10 bức tranh. Bẫy: số lớn, dễ nhân sai; nên đi từ

9! = 362880

1Cách 1. Công thức hoán vị.

Định hướng. Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của 10 bức tranh.

P_{10} = 10! = 3628800

Vậy có $3628800$ cách.

2Cách 2. Quy tắc nhân theo vị trí.

Định hướng. Chọn tranh cho vị trí 1, 2, …, 10 từ trái sang phải.

10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1

= 720 \cdot 5040

= 3628800

Vậy có $3628800$ cách.

3Cách 3. Truy hồi từ

9!

Định hướng. Chọn bức treo ở đầu hàng, 9 bức còn lại xếp theo $9!$ cách.

10! = 10 \cdot 9!

= 10 \cdot 362880

= 3628800

Vậy có $3628800$ cách.

Nhận xét. Máy tính: 10, SHIFT, $x!$ , = ra $3628800$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 kèm máy tính cầm tay — nhanh và chắc nhất.

Đáp số.

3628800

cách.

Sai lầm thường gặp. Viết

1 0^{10}

hoặc

10 \cdot 10

; hoặc nhân nhầm

10!

thành

362880

(đó là

9!

🚀 Mở rộng. Nếu 2 bức tranh của cùng một tác giả phải treo cạnh nhau:

9! \cdot 2! = 725760

cách.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 8.7★★Trang 70— Lập số có chữ số khác nhau — có chữ số 0

Bài 8.7 (trang 70). Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?

Kiến thức cần nhớ

Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ : $A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1) = \frac{n !}{( n - k )!}$ $(1 \leq k \leq n)$ .
Quy tắc nhân: công việc gồm các công đoạn liên tiếp có $m_{1}, m_{2}, \dots$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2} \dots$ cách.
Quy tắc cộng: các phương án rời nhau có $m_{1}, m_{2}, \dots$ cách thì có $m_{1} + m_{2} + \dots$ cách.

🧠 Phân tích tư duy

Số có ba chữ số khác nhau là chỉnh hợp, nhưng chữ số hàng trăm phải khác 0 — ràng buộc ở một vị trí, nên xử lí vị trí đó trước. Bẫy: tính thẳng

A_{5}^{3} = 60

là đếm cả các "số" bắt đầu bằng 0.

1Cách 1. Xử lí hàng trăm trước.

Định hướng. Gọi số là $\overline{ab c}$ ; chọn $a \neq = 0$ trước, rồi xếp $b, c$ từ 4 chữ số còn lại.

a \in {1; 2; 3; 4}

4

cách

\overline{b c}

A_{4}^{2} = 12

cách
Số các số:

4 \cdot 12 = 48

Vậy lập được $48$ số.

2Cách 2. Phần bù.

Định hướng. Đếm mọi dãy 3 chữ số khác nhau, trừ các dãy có chữ số 0 đứng đầu.

Mọi dãy:

A_{5}^{3} = 60

Dãy có

a = 0

A_{4}^{2} = 12

Số các số:

60 - 12 = 48

Vậy lập được $48$ số.

3Cách 3. Chia trường hợp có mặt chữ số 0.

Định hướng. Tách hai nhóm rời nhau: số không chứa 0 và số có chứa 0.

Không chứa 0:

A_{4}^{3} = 24

Có chứa 0: chữ số 0 ở hàng chục hoặc đơn vị (

2

cách), hai vị trí còn lại

A_{4}^{2} = 12

\Rightarrow 24

Số các số:

24 + 24 = 48

Vậy lập được $48$ số.

Nhận xét. Bài có chữ số 0 luôn có ba hướng: ưu tiên vị trí đầu, phần bù, hoặc chia trường hợp theo chữ số 0.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 — phần bù chỉ cần hai chỉnh hợp, ít chia trường hợp nhất.

Đáp số.

48

số.

Sai lầm thường gặp. Trả lời

A_{5}^{3} = 60

vì quên chữ số đầu khác 0; hoặc tính

4 \cdot 4 \cdot 4 = 64

(cho phép lặp chữ số).

🚀 Mở rộng. Trong

48

số đó có bao nhiêu số chẵn? Tận cùng 0:

A_{4}^{2} = 12

; tận cùng 2 hoặc 4:

2 \cdot 3 \cdot 3 = 18

; tổng

30

số.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 8.8★★Trang 70— Tổ hợp — chọn tập con

Bài 8.8 (trang 70). Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ hơn 100? Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn 100?

Kiến thức cần nhớ

Số tổ hợp chập $k$ của $n$ : $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = \frac{A _{n}^{k}}{k !}$ $(0 \leq k \leq n)$ .
Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ : $A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1) = \frac{n !}{( n - k )!}$ $(1 \leq k \leq n)$ .
Quy tắc cộng: các phương án rời nhau có $m_{1}, m_{2}, \dots$ cách thì có $m_{1} + m_{2} + \dots$ cách.

🧠 Phân tích tư duy

"Tập hợp" nghĩa là các phần tử khác nhau và không có thứ tự — tổ hợp. Tập nguồn là

{1; 2; \dots; 99}

gồm 99 số. Bẫy: đếm nhầm thành 100 số (nhỏ hơn 100 không lấy 100, nguyên dương không lấy 0).

1Cách 1. Công thức tổ hợp.

Định hướng. Chọn 2 (hoặc 3) phần tử từ tập 99 số.

Hai số:

C_{99}^{2} = \frac{99 \cdot 98}{2} = 4851

Ba số:

C_{99}^{3} = \frac{99 \cdot 98 \cdot 97}{6} = 156849

Vậy có $4851$ tập hai số và $156849$ tập ba số.

2Cách 2. Chỉnh hợp chia cho số thứ tự.

Định hướng. Chọn có thứ tự rồi chia cho số cách sắp thứ tự của một tập.

Hai số:

\frac{A _{99}^{2}}{2 !} = \frac{9702}{2} = 4851

Ba số:

\frac{A _{99}^{3}}{3 !} = \frac{941 094}{6} = 156849

Vậy có $4851$ và $156849$ cách.

3Cách 3. Phân loại theo phần tử lớn nhất.

Định hướng. Viết tập theo thứ tự tăng; phần tử lớn nhất là $m$ thì các phần tử còn lại chọn trong ${1; \dots; m - 1}$ .

Hai số

{a; m}

m - 1

cách chọn

a

m = 2 \sum 99 (m - 1) = 1 + 2 + \dots + 98 = \frac{98 \cdot 99}{2} = 4851

Ba số:

m = 3 \sum 99 C_{m - 1}^{2} = C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + \dots + C_{98}^{2} = 156849

Vậy có $4851$ và $156849$ cách.

Nhận xét. Cách 3 cho đẳng thức $C_{2}^{2} + C_{3}^{2} + \dots + C_{98}^{2} = C_{99}^{3}$ — một trường hợp của "đẳng thức gậy khúc côn cầu".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — nhận ra "tập hợp" là tổ hợp và đếm đúng 99 phần tử.

Đáp số.

C_{99}^{2} = 4851

cách;

C_{99}^{3} = 156849

cách.

Sai lầm thường gặp. Dùng 100 số (được

C_{100}^{2} = 4950

); hoặc dùng

A_{99}^{2} = 9702

vì quên tập hợp không phân biệt thứ tự.

🚀 Mở rộng. Số tập hai số nhỏ hơn 100 có tổng chẵn: hai số cùng chẵn hoặc cùng lẻ,

C_{49}^{2} + C_{50}^{2} = 2401

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 8.9★Trang 70— Tổ hợp — chọn theo màu

Bài 8.9 (trang 70). Bạn Hà có 5 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Có bao nhiêu cách để Hà chọn ra đúng 2 viên bi khác màu?

Kiến thức cần nhớ

Số tổ hợp chập $k$ của $n$ : $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = \frac{A _{n}^{k}}{k !}$ $(0 \leq k \leq n)$ .
Quy tắc nhân: công việc gồm các công đoạn liên tiếp có $m_{1}, m_{2}, \dots$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2} \dots$ cách.
Phần bù: số cách thoả = tổng số cách − số cách không thoả.

🧠 Phân tích tư duy

Hai viên khác màu nghĩa là đúng 1 xanh và 1 đỏ — hai công đoạn, dùng quy tắc nhân. Cũng có thể lấy mọi cặp trừ cặp cùng màu. Bẫy: nhân thêm 2 vì nghĩ "xanh trước, đỏ sau" khác "đỏ trước, xanh sau".

1Cách 1. Quy tắc nhân.

Định hướng. Chọn 1 bi xanh và 1 bi đỏ.

C_{5}^{1} \cdot C_{7}^{1} = 5 \cdot 7 = 35

Vậy có $35$ cách.

2Cách 2. Phần bù.

Định hướng. Lấy mọi cặp 2 viên, bỏ các cặp cùng màu.

Mọi cặp:

C_{12}^{2} = 66

Cùng xanh:

C_{5}^{2} = 10

; cùng đỏ:

C_{7}^{2} = 21

Khác màu:

66 - 10 - 21 = 35

Vậy có $35$ cách.

3Cách 3. Đếm có thứ tự rồi chia.

Định hướng. Lấy lần lượt từng viên: viên thứ nhất và thứ hai khác màu, sau đó bỏ thứ tự.

Xanh trước, đỏ sau:

5 \cdot 7 = 35

Đỏ trước, xanh sau:

7 \cdot 5 = 35

Mỗi cặp bị đếm

2

lần:

\frac{35 + 35}{2} = 35

Vậy có $35$ cách.

Nhận xét. Cách 2 kiểm tra chéo rất nhanh và là khuôn cho các bài "ít nhất một".

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 — chỉ một phép nhân

5 \cdot 7

; Cách 2 dùng để kiểm tra lại khi còn thời gian.

Đáp số.

35

cách.

Sai lầm thường gặp. Tính

C_{12}^{2} = 66

(không để ý điều kiện khác màu) hoặc

2 \cdot 5 \cdot 7 = 70

(đếm cặp có thứ tự).

🚀 Mở rộng. Chọn 3 viên có đủ hai màu:

C_{12}^{3} - C_{5}^{3} - C_{7}^{3} = 220 - 10 - 35 = 175

cách.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 8.10★★Trang 71— Tổ hợp — chọn nhóm có điều kiện giới tính

Bài 8.10 (trang 71). Một câu lạc bộ cờ vua có 10 bạn nam và 7 bạn nữ. Huấn luyện viên muốn chọn 4 bạn đi thi đấu cờ vua.
a) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn nam?
b) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn không phân biệt nam, nữ?
c) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn, trong đó có 2 bạn nam và 2 bạn nữ?

Kiến thức cần nhớ

Số tổ hợp chập $k$ của $n$ : $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!} = \frac{A _{n}^{k}}{k !}$ $(0 \leq k \leq n)$ .
Quy tắc nhân: công việc gồm các công đoạn liên tiếp có $m_{1}, m_{2}, \dots$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2} \dots$ cách.
Quy tắc cộng: các phương án rời nhau có $m_{1}, m_{2}, \dots$ cách thì có $m_{1} + m_{2} + \dots$ cách.

🧠 Phân tích tư duy

Đội thi đấu không phân vai nên dùng tổ hợp. Câu a chọn từ 10 nam, câu b từ cả 17 bạn, câu c ghép hai tổ hợp bằng quy tắc nhân. Bẫy câu c: cộng

C_{10}^{2} + C_{7}^{2}

1Cách 1. Công thức tổ hợp.

Định hướng. Mỗi đội là một tập 4 người.

C_{10}^{4} = 210

C_{17}^{4} = 2380

C_{10}^{2} \cdot C_{7}^{2} = 45 \cdot 21 = 945

Vậy a) $210$ ; b) $2380$ ; c) $945$ cách.

2Cách 2. Chỉnh hợp chia cho số thứ tự.

Định hướng. Chọn có thứ tự rồi chia cho số hoán vị trong nhóm.

\frac{A _{10}^{4}}{4 !} = \frac{5040}{24} = 210

\frac{A _{17}^{4}}{4 !} = \frac{57 120}{24} = 2380

\frac{10 \cdot 9 \cdot 7 \cdot 6}{2 ! \cdot 2 !} = \frac{3780}{4} = 945

Vậy a) $210$ ; b) $2380$ ; c) $945$ cách.

3Cách 3. Phân loại theo số bạn nam.

Định hướng. Câu b chia các đội theo số nam $k = 0, 1, 2, 3, 4$ ; câu a và c là hai trường hợp riêng.

k = 0

C_{7}^{4} = 35

k = 1

C_{10}^{1} \cdot C_{7}^{3} = 350

k = 2

C_{10}^{2} \cdot C_{7}^{2} = 945

k = 3

C_{10}^{3} \cdot C_{7}^{1} = 840

k = 4

C_{10}^{4} = 210

35 + 350 + 945 + 840 + 210 = 2380

Vậy a) $210$ (trường hợp $k = 4$ ); b) $2380$ ; c) $945$ (trường hợp $k = 2$ ).

Nhận xét. Cách 3 kiểm chứng đẳng thức $C_{17}^{4} = \sum_{k = 0}^{4} C_{10}^{k} C_{7}^{4 - k}$ và cho luôn đáp số cả ba câu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 cho từng câu; khi đề hỏi "ít nhất" thì chuyển sang Cách 3.

Đáp số. a)

210

cách; b)

2380

cách; c)

945

cách.

Sai lầm thường gặp. Câu c tính

C_{10}^{2} + C_{7}^{2} = 66

(quy tắc cộng); câu b tính

C_{10}^{4} + C_{7}^{4} = 245

(bỏ sót đội có cả nam lẫn nữ).

🚀 Mở rộng. Chọn 4 bạn có ít nhất 1 nữ:

C_{17}^{4} - C_{10}^{4} = 2380 - 210 = 2170

cách.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 8.11★★★Trang 71— Lập số chia hết cho 5, chữ số khác nhau

Bài 8.11 (trang 71). Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau?

Kiến thức cần nhớ

Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ : $A_{n}^{k} = n (n - 1) \dots (n - k + 1) = \frac{n !}{( n - k )!}$ $(1 \leq k \leq n)$ .
Quy tắc nhân: công việc gồm các công đoạn liên tiếp có $m_{1}, m_{2}, \dots$ cách thì có $m_{1} \cdot m_{2} \dots$ cách.
Quy tắc cộng: các phương án rời nhau có $m_{1}, m_{2}, \dots$ cách thì có $m_{1} + m_{2} + \dots$ cách.

🧠 Phân tích tư duy

Chia hết cho 5 thì chữ số tận cùng là 0 hoặc 5; hai trường hợp này ảnh hưởng khác nhau tới điều kiện chữ số đầu khác 0 — phải chia trường hợp. Bẫy: coi hai trường hợp như nhau và nhân đôi

A_{9}^{3}

1Cách 1. Chia trường hợp theo chữ số tận cùng.

Định hướng. Gọi số là $\overline{ab c d}$ với $d \in {0; 5}$ .

d = 0

\overline{ab c}

chọn từ

{1; \dots; 9}

A_{9}^{3} = 504

d = 5

a \neq = 0, a \neq = 5

8

cách;

\overline{b c}

A_{8}^{2} = 56

\Rightarrow 8 \cdot 56 = 448

Tổng:

504 + 448 = 952

Vậy có $952$ số.

2Cách 2. Phần bù.

Định hướng. Đếm cả những dãy có chữ số đầu bằng 0, rồi trừ đi.

Dãy

\overline{ab c d}

khác nhau,

d \in {0; 5}

2 \cdot A_{9}^{3} = 1008

Dãy có

a = 0

(khi đó

d = 5

A_{8}^{2} = 56

Số các số:

1008 - 56 = 952

Vậy có $952$ số.

3Cách 3. Chia trường hợp theo chữ số hàng nghìn.

Định hướng. Xét chữ số đầu $a$ có bằng 5 hay không.

a = 5

d = 0

\overline{b c}

A_{8}^{2} = 56

a \in {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9}

8

cách;

d \in {0; 5}

2

cách;

\overline{b c}

A_{8}^{2} = 56

\Rightarrow 8 \cdot 2 \cdot 56 = 896

Tổng:

56 + 896 = 952

Vậy có $952$ số.

Nhận xét. Ba cách chia trường hợp khác nhau cùng ra $952$ — nên làm hai cách để tự kiểm tra.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 — chỉ hai phép tính, không phải chia trường hợp.

Đáp số.

952

số.

Sai lầm thường gặp. Tính

2 \cdot A_{9}^{3} = 1008

(quên trường hợp chữ số đầu bằng 0 khi tận cùng là 5); hoặc tính trường hợp tận cùng 5 là

9 \cdot 8 \cdot 7 = 504

mà quên loại chữ số 0 khỏi hàng nghìn.

🚀 Mở rộng. Số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau chia hết cho 10 chỉ là trường hợp

d = 0

A_{9}^{3} = 504

số.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 23. Quy tắc đếm Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 10

📚 Cùng chương: Chương VIII. Đại số tổ hợp

Bài 23. Quy tắc đếm
▶ Bài 24. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp