Chương VII. Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 2 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang25–26 #CùngBàiBênSGK

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 7.1★★Trang 25— Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hình chóp

Bài 7.1 (trang 25). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình bình hành, tam giác

S A D

là tam giác đều và

M

là trung điểm của cạnh

A D

. Tính góc giữa hai đường thẳng

B C

và

S A

;

B C

và

S M

Kiến thức cần nhớ

Nếu $b^{'} ∥ b$ thì $(a, b) = (a, b^{'})$ .
Tam giác đều có các góc bằng $6 0^{\circ}$ ; đường trung tuyến đồng thời là đường cao.
Đáy hình bình hành: các cạnh đối song song.

🧠 Phân tích tư duy

B C

nằm ở đáy,

S A

và

S M

nằm trong mặt bên

(S A D)

; đáy là hình bình hành nên

B C ∥ A D

— đường song song nằm ngay trong mặt

(S A D)

. Khi đó cả hai góc cần tìm đều là góc trong tam giác đều

S A D

. Bẫy: nhầm

S M

là đường phân giác mà quên nó cũng là đường cao.

1Cách 1. Dời

B C

về

A D

Định hướng. Thay $B C$ bằng $A D$ nằm trong mặt $(S A D)$ .

A B C D

là hình bình hành

\Rightarrow B C ∥ A D

(B C, S A) = (A D, S A) = S A D = 6 0^{\circ}

(

△ S A D

đều).

S M

là trung tuyến của tam giác đều

S A D

\Rightarrow S M ⊥ A D

\Rightarrow (B C, S M) = (A D, S M) = 9 0^{\circ}

Vậy $(B C, S A) = 6 0^{\circ}$ và $(B C, S M) = 9 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Tính độ dài: định lí côsin và Pythagore đảo

Định hướng. Đặt $S A = x$ , tính các cạnh rồi nhận dạng góc bằng số.

(B C, S A) = S A D

(B C, S M) = S M A

(vì

B C ∥ A D

cos S A D = \frac{S A ^{2} + A D ^{2} - S D ^{2}}{2 S A \cdot A D} = \frac{x ^{2} + x ^{2} - x ^{2}}{2 x ^{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow S A D = 6 0^{\circ}

S M = \frac{x 3}{2}

A M = \frac{x}{2}

S M^{2} + A M^{2} = \frac{3 x ^{2}}{4} + \frac{x ^{2}}{4} = x^{2} = S A^{2}

\Rightarrow S M A = 9 0^{\circ}

Vậy $(B C, S A) = 6 0^{\circ}$ , $(B C, S M) = 9 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Tích vô hướng với vectơ trung tuyến SM

Định hướng. $B C = A D$ ; viết $S M$ theo $S A$ , $S D$ .

A D \cdot A S = x \cdot x \cdot cos 6 0^{\circ} = \frac{x ^{2}}{2} \Rightarrow cos (B C, S A) = \frac{x ^{2} /2}{x ^{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow (B C, S A) = 6 0^{\circ}

S M \cdot A D = \frac{1}{2} (S A + S D) \cdot (S D - S A) = \frac{1}{2} (S D^{2} - S A^{2}) = 0

\Rightarrow (B C, S M) = 9 0^{\circ}

Vậy $(B C, S A) = 6 0^{\circ}$ và $(B C, S M) = 9 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Kết quả $(B C, S M) = 9 0^{\circ}$ chỉ cần $S A = S D$ (tam giác $S A D$ cân tại $S$ ), không cần đều.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1: một lần tịnh tiến là cả hai góc hiện ngay trong tam giác đều.

Đáp số.

(B C, S A) = 6 0^{\circ}

;

(B C, S M) = 9 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Trả lời

(B C, S A) = 12 0^{\circ}

do lấy góc giữa hai vectơ

A S

và

B C

đặt ngược chiều; góc giữa hai đường thẳng không vượt quá

9 0^{\circ}

. Cũng không được lấy

S B C

S B

không phải là

S A

🚀 Mở rộng. Nếu đổi giả thiết thành tam giác

S A D

vuông cân tại

S

thì

(B C, S A) = 4 5^{\circ}

và

(B C, S M)

vẫn bằng

9 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 7.2★★★Trang 26— Tính góc giữa hai đường thẳng trong hình hộp

Bài 7.2 (trang 26). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có tất cả các cạnh bằng nhau và góc

A^{'} A D

bằng

12 0^{\circ}

. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

A^{'} C^{'}

và

B D

;

A D

và

B B^{'}

;

A^{'} D

và

B B^{'}

Kiến thức cần nhớ

Hình thoi có hai đường chéo vuông góc và mỗi đường chéo là phân giác của góc ở đỉnh.
Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc nhỏ trong bốn góc tạo thành: nếu một góc là $α > 9 0^{\circ}$ thì góc giữa hai đường là $18 0^{\circ} - α$ .
Nếu $b^{'} ∥ b$ thì $(a, b) = (a, b^{'})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mọi cạnh bằng nhau nên mọi mặt là hình thoi; mỗi cặp đường cần xét đều tịnh tiến được về cùng một mặt:

A^{'} C^{'} ∥ A C

(đáy

A B C D

B B^{'} ∥ A A^{'}

(mặt

A D D^{'} A^{'}

). Khi đó cặp thứ hai là góc kề bù với

12 0^{\circ}

, cặp thứ ba là góc đáy của tam giác cân

A A^{'} D

. Bẫy: trả lời

12 0^{\circ}

cho cặp

A D

B B^{'}

1Cách 1. Tịnh tiến về một mặt hình thoi

Định hướng. Đưa từng cặp về hai đường cắt nhau nằm trên cùng một mặt.

A B C D

là hình thoi

\Rightarrow A C ⊥ B D

;

A^{'} C^{'} ∥ A C \Rightarrow (A^{'} C^{'}, B D) = (A C, B D) = 9 0^{\circ}

B B^{'} ∥ A A^{'} \Rightarrow (A D, B B^{'}) = (A D, A A^{'}) = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

(A^{'} D, B B^{'}) = (A^{'} D, A A^{'}) = A A^{'} D

△ A A^{'} D

cân tại

A

(

A A^{'} = A D

A^{'} A D = 12 0^{\circ} \Rightarrow A A^{'} D = \frac{18 0 ^{\circ} - 12 0 ^{\circ}}{2} = 3 0^{\circ}

Vậy $(A^{'} C^{'}, B D) = 9 0^{\circ}$ ; $(A D, B B^{'}) = 6 0^{\circ}$ ; $(A^{'} D, B B^{'}) = 3 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Tích vô hướng qua ba vectơ cạnh, góc 120 độ

Định hướng. Đặt $a = A B$ , $b = A D$ , $c = A A^{'}$ , cùng độ dài $x$ , $b \cdot c = x^{2} cos 12 0^{\circ} = - \frac{x ^{2}}{2}$ .

A^{'} C^{'} \cdot B D = (a + b) \cdot (b - a) = x^{2} - x^{2} = 0 \Rightarrow (A^{'} C^{'}, B D) = 9 0^{\circ}

cos (A D, B B^{'}) = \frac{∣ b \cdot c ∣}{x ^{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow (A D, B B^{'}) = 6 0^{\circ}

∣ A^{'} D ∣^{2} = (b - c)^{2} = x^{2} + x^{2} - 2 (- \frac{x ^{2}}{2}) = 3 x^{2} \Rightarrow A^{'} D = x 3

(b - c) \cdot c = - \frac{x ^{2}}{2} - x^{2} = - \frac{3 x ^{2}}{2}

cos (A^{'} D, B B^{'}) = \frac{3 x ^{2} /2}{x 3 \cdot x} = \frac{3}{2} \Rightarrow (A^{'} D, B B^{'}) = 3 0^{\circ}

Vậy ba góc lần lượt là $9 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , $3 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Tịnh tiến theo hướng khác và định lí côsin

Định hướng. Thay vì dời $B B^{'}$ , dời đường còn lại: $B D ∥ B^{'} D^{'}$ , $A D ∥ B C$ ; dùng định lí côsin cho góc thứ ba.

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là hình thoi

\Rightarrow A^{'} C^{'} ⊥ B^{'} D^{'}

;

B D ∥ B^{'} D^{'} \Rightarrow (A^{'} C^{'}, B D) = 9 0^{\circ}

A D ∥ B C \Rightarrow (A D, B B^{'}) = (B C, B B^{'})

;

B^{'} B C = A^{'} A D = 12 0^{\circ}

(mặt

B C C^{'} B^{'}

là ảnh của mặt

A D D^{'} A^{'}

qua phép tịnh tiến theo

A B

)

\Rightarrow (A D, B B^{'}) = 6 0^{\circ}

A^{'} D^{2} = x^{2} + x^{2} - 2 x^{2} cos 12 0^{\circ} = 3 x^{2}

cos A A^{'} D = \frac{A ^{'} A ^{2} + A ^{'} D ^{2} - A D ^{2}}{2 A ^{'} A \cdot A ^{'} D} = \frac{x ^{2} + 3 x ^{2} - x ^{2}}{2 \cdot x \cdot x 3} = \frac{3}{2} \Rightarrow A A^{'} D = 3 0^{\circ} = (A^{'} D, B B^{'})

Vậy $(A^{'} C^{'}, B D) = 9 0^{\circ}$ , $(A D, B B^{'}) = 6 0^{\circ}$ , $(A^{'} D, B B^{'}) = 3 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Hai đường $A^{'} D$ và $A D^{'}$ là hai đường chéo của hình thoi $A D D^{'} A^{'}$ nên $A^{'} D$ là phân giác góc $A A^{'} D^{'} = 6 0^{\circ}$ — cho ngay $3 0^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba cặp đều quy về hình thoi và tam giác cân, không phải tính căn thức.

Đáp số.

(A^{'} C^{'}, B D) = 9 0^{\circ}

;

(A D, B B^{'}) = 6 0^{\circ}

;

(A^{'} D, B B^{'}) = 3 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Ghi

(A D, B B^{'}) = 12 0^{\circ}

— sai vì góc giữa hai đường thẳng không vượt quá

9 0^{\circ}

, phải lấy

18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

. Với cặp

A^{'} D

B B^{'}

hay lấy nhầm

A^{'} D A

(cũng bằng

3 0^{\circ}

nhưng là góc giữa

A^{'} D

và

A D

, không phải với

A A^{'}

🚀 Mở rộng. Tổng quát với góc

A^{'} A D = α

(A D, B B^{'}) = min (α; 18 0^{\circ} - α)

và

(A^{'} D, B B^{'}) = 9 0^{\circ} - \frac{α}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 7.3★★★Trang 26— Chứng minh hai cạnh đối của tứ diện vuông góc bằng độ dài

Bài 7.3 (trang 26). Cho tứ diện

A B C D

, gọi

M

và

N

lần lượt là trung điểm của

A C

và

B D

. Biết

M N = a 3

;

A B = 22 a

và

C D = 2 a

. Chứng minh rằng đường thẳng

A B

vuông góc với đường thẳng

C D

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song và bằng nửa cạnh thứ ba.
Định lí Pythagore đảo: $M N^{2} = M K^{2} + N K^{2} \Rightarrow M K N = 9 0^{\circ}$ .
Hình bình hành: $M N^{2} + K L^{2} = 2 (M K^{2} + K N^{2})$ ; hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ba độ dài liên quan đến hai trung điểm — dấu hiệu dựng thêm trung điểm

K

của

B C

để có hai đường trung bình

M K ∥ A B

N K ∥ C D

. Góc

(A B, C D)

trở thành góc

M K N

của tam giác biết đủ ba cạnh; kiểm tra bằng định lí Pythagore đảo. Bẫy: quên rằng đường trung bình bằng NỬA cạnh tương ứng.

1Cách 1. Trung điểm

K

của

B C

và Pythagore đảo

Định hướng. Dời $A B$ , $C D$ về hai đường trung bình chung đỉnh $K$ .

N K

là đường trung bình

△ B C D

N K ∥ C D

N K = \frac{C D}{2} = a

M K

là đường trung bình

△ A B C

M K ∥ A B

M K = \frac{A B}{2} = 2 a

M K^{2} + N K^{2} = 2 a^{2} + a^{2} = 3 a^{2} = M N^{2} \Rightarrow M K N = 9 0^{\circ}

\Rightarrow (A B, C D) = (M K, N K) = 9 0^{\circ}

Vậy $A B ⊥ C D$ .

2Cách 2. Bình phương vectơ MN bằng nửa tổng AB và CD

Định hướng. Biểu diễn $M N$ qua $A B$ và $C D$ rồi bình phương.

M N = M A + A B + B N

M N = M C + C D + D N

\Rightarrow 2 M N = A B + C D

(vì

M A + M C = 0

B N + D N = 0

)

\Rightarrow 4 M N^{2} = A B^{2} + C D^{2} + 2 A B \cdot C D

\Rightarrow 12 a^{2} = 8 a^{2} + 4 a^{2} + 2 A B \cdot C D

\Rightarrow A B \cdot C D = 0

Vậy $A B ⊥ C D$ .

3Cách 3. Hình bình hành

M K N L

có hai đường chéo bằng nhau

Định hướng. Thêm trung điểm $L$ của $A D$ : bốn trung điểm $M, K, N, L$ tạo thành hình bình hành có đường chéo $M N$ .

M K ∥ A B ∥ L N

M K = L N = \frac{A B}{2} = 2 a

;

K N = M L = \frac{C D}{2} = a

\Rightarrow M K N L

là hình bình hành.

M N^{2} + K L^{2} = 2 (M K^{2} + K N^{2}) \Rightarrow 3 a^{2} + K L^{2} = 2 (2 a^{2} + a^{2}) \Rightarrow K L^{2} = 3 a^{2}

\Rightarrow K L = a 3 = M N \Rightarrow M K N L

là hình chữ nhật

\Rightarrow M K ⊥ K N

\Rightarrow (A B, C D) = (M K, K N) = 9 0^{\circ}

Vậy $A B ⊥ C D$ .

Nhận xét. Công thức ở Cách 2 cho điều kiện tổng quát: $A B ⊥ C D \Leftrightarrow 4 M N^{2} = A B^{2} + C D^{2}$ , với $M$ , $N$ là trung điểm $A C$ , $B D$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một trung điểm phụ, hai đường trung bình và một phép so sánh bình phương là xong.

Đáp số.

M K^{2} + N K^{2} = 3 a^{2} = M N^{2}

nên

(A B, C D) = M K N = 9 0^{\circ}

, tức

A B ⊥ C D

Sai lầm thường gặp. Viết

M K = A B = 22 a

(quên chia đôi) sẽ được

M K^{2} + N K^{2} = 12 a^{2} \neq = 3 a^{2}

và kết luận sai. Cũng đừng kết luận ngay 'tam giác

M K N

vuông tại

K

nên

M K ⊥ N K

' mà quên bước chuyển về

A B

C D

qua quan hệ song song.

🚀 Mở rộng. Với cùng dữ kiện

A B = 22 a

C D = 2 a

mà

M N = a

thì

cos (A B, C D) = \frac{∣4 M N ^{2} - A B ^{2} - C D ^{2} ∣}{2 A B \cdot C D} = \frac{8 a ^{2}}{8 2 a ^{2}} = \frac{2}{2}

, tức

(A B, C D) = 4 5^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 7.4★★★Trang 26— Tính góc giữa hai đường thẳng trong hình chóp đều

Bài 7.4 (trang 26). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy là hình vuông tâm

O

và tất cả các cạnh của hình chóp đều bằng

a

. Gọi

M

N

lần lượt là trung điểm của các cạnh

S A

A B

.
a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

M N

và

S D

;

M O

và

S B

.
b) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng

S N

và

B C

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình song song với cạnh thứ ba.
Tam giác đều cạnh $a$ có đường cao $\frac{a 3}{2}$ ; đường chéo hình vuông cạnh $a$ bằng $a 2$ .
Pythagore đảo: $S B^{2} + S D^{2} = B D^{2} \Rightarrow B S D = 9 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Có nhiều trung điểm nên nghĩ ngay đường trung bình:

M N ∥ S B

M O ∥ S C

O N ∥ B C

; khi đó các góc cần tìm nằm trong các tam giác

S B D

S B C

S N O

đã biết đủ cạnh. Câu b) cần tam giác

S O N

vuông tại

O

, chứng minh bằng Pythagore đảo từ ba độ dài

S O

O N

S N

. Bẫy: coi

M N

song song

S D

hoặc tính tang ra

\frac{2}{2}

do đảo tỉ số.

1Cách 1. Đường trung bình và tam giác vuông

Định hướng. Dời từng cặp về các tam giác chứa đỉnh $S$ hoặc $O$ .

M N ∥ S B

(đường trung bình

△ S A B

);

S B^{2} + S D^{2} = 2 a^{2} = B D^{2} \Rightarrow S B ⊥ S D

\Rightarrow (M N, S D) = (S B, S D) = 9 0^{\circ}

M O ∥ S C

(đường trung bình

△ S A C

)

\Rightarrow (M O, S B) = (S C, S B) = B S C = 6 0^{\circ}

(

△ S B C

đều).
b)

O N ∥ B C

(đường trung bình

△ A B C

)

\Rightarrow (S N, B C) = (S N, O N) = S N O

S O^{2} = S A^{2} - A O^{2} = a^{2} - \frac{a ^{2}}{2} = \frac{a ^{2}}{2}

;

O N^{2} = \frac{a ^{2}}{4}

;

S N^{2} = \frac{3 a ^{2}}{4}

S O^{2} + O N^{2} = \frac{3 a ^{2}}{4} = S N^{2} \Rightarrow S O N = 9 0^{\circ}

\Rightarrow tan S N O = \frac{S O}{O N} = \frac{a 2 /2}{a /2} = 2

Vậy a) $(M N, S D) = 9 0^{\circ}$ , $(M O, S B) = 6 0^{\circ}$ ; b) tang của góc giữa $S N$ và $B C$ bằng $2$ .

2Cách 2. Tích vô hướng qua ba vectơ AB, AD, AS

Định hướng. Đặt $u = A B$ , $v = A D$ , $w = A S$ , cùng độ dài $a$ ; $u \cdot v = 0$ , $u \cdot w = v \cdot w = \frac{a ^{2}}{2}$ (các mặt bên đều).

M N \cdot S D = \frac{1}{2} (u - w) \cdot (v - w) = \frac{1}{2} (0 - \frac{a ^{2}}{2} - \frac{a ^{2}}{2} + a^{2}) = 0 \Rightarrow (M N, S D) = 9 0^{\circ}

M O \cdot S B = \frac{1}{2} (u + v - w) \cdot (u - w) = \frac{1}{2} (a^{2} - \frac{a ^{2}}{2} - \frac{a ^{2}}{2} - \frac{a ^{2}}{2} + a^{2}) = \frac{a ^{2}}{4}

M O = \frac{a}{2}

S B = a \Rightarrow cos (M O, S B) = \frac{a ^{2} /4}{a ^{2} /2} = \frac{1}{2} \Rightarrow (M O, S B) = 6 0^{\circ}

.
b)

S N \cdot B C = (\frac{1}{2} u - w) \cdot v = - \frac{a ^{2}}{2}

S N = \frac{a 3}{2}

cos φ = \frac{a ^{2} /2}{a \cdot a 3 /2} = \frac{1}{3} \Rightarrow tan φ = \frac{1}{cos ^{2} φ} - 1 = 3 - 1 = 2

Vậy $(M N, S D) = 9 0^{\circ}$ , $(M O, S B) = 6 0^{\circ}$ , $tan (S N, B C) = 2$ .

3Cách 3. Định lí côsin

Định hướng. Sau khi tịnh tiến như Cách 1, tính côsin bằng ba cạnh của tam giác mà không cần chứng minh góc vuông.

cos B S D = \frac{a ^{2} + a ^{2} - 2 a ^{2}}{2 a ^{2}} = 0 \Rightarrow (M N, S D) = 9 0^{\circ}

cos B S C = \frac{a ^{2} + a ^{2} - a ^{2}}{2 a ^{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow (M O, S B) = 6 0^{\circ}

.
b)

cos S N O = \frac{S N ^{2} + O N ^{2} - S O ^{2}}{2 S N \cdot O N} = \frac{\frac{3 a ^{2}}{4} + \frac{a ^{2}}{4} - \frac{a ^{2}}{2}}{2 \cdot \frac{a 3}{2} \cdot \frac{a}{2}} = \frac{1}{3}

\Rightarrow tan S N O = 2

Vậy a) $9 0^{\circ}$ và $6 0^{\circ}$ ; b) $tan (S N, B C) = 2$ .

Nhận xét. Góc giữa $S N$ và $B C$ khoảng $54, 7^{\circ}$ — cũng chính là góc giữa đường cao mặt bên và mặt đáy của hình chóp tứ giác đều có mọi cạnh bằng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: các đường trung bình đưa mọi góc về tam giác quen thuộc, câu b) chỉ cần tỉ số hai cạnh góc vuông.

Đáp số. a)

(M N, S D) = 9 0^{\circ}

;

(M O, S B) = 6 0^{\circ}

. b)

tan (S N, B C) = 2

Sai lầm thường gặp. Tính

tan S N O = \frac{O N}{S O} = \frac{2}{2}

do lấy nhầm cạnh đối và cạnh kề (cạnh đối diện góc

N

là

S O

). Cũng hay viết

M O ∥ S B

— sai,

M O

là đường trung bình của tam giác

S A C

nên song song với

S C

🚀 Mở rộng. Với hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy

a

, cạnh bên

b

thì

tan (S N, B C) = \frac{4 b ^{2} - 2 a ^{2}}{a}

; thay

b = a

được

2

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 7.5★★Trang 26— Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau trong bài toán thực tế

Bài 7.5 (trang 26). Một chiếc thang có dạng hình thang cân cao 6 m, hai chân thang cách nhau 80 cm, hai ngọn thang cách nhau 60 cm. Thang được dựa vào bờ tường như hình bên. Tính góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang (tính gần đúng theo đơn vị độ, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Kiến thức cần nhớ

Nếu $b^{'} ∥ b$ thì $(a, b) = (a, b^{'})$ .
Hình thang cân đáy lớn $p$ , đáy nhỏ $q$ : hình chiếu của cạnh bên lên đáy lớn bằng $\frac{p - q}{2}$ .
Trong tam giác vuông, tang của một góc nhọn bằng cạnh đối chia cạnh kề.

🧠 Phân tích tư duy

Chân tường

E F

và cột thang

A C

không cùng mặt phẳng, nhưng hai chân thang

A

B

đặt đều sát tường nên

A B ∥ E F

: góc cần tìm là góc ở đáy

C A B

của hình thang cân

A B D C

. Hạ đường cao từ ngọn thang để có tam giác vuông với hai cạnh góc vuông

10

cm và

600

cm. Bẫy: đổi đơn vị —

6

m phải đổi thành

600

cm.

1Cách 1. Tam giác vuông và tang

Định hướng. Gọi $A, B$ là hai chân thang, $C, D$ là hai ngọn thang ( $A C$ , $B D$ là hai cột), $E F$ là đường chân tường; $A B ∥ E F$ .

E F ∥ A B \Rightarrow (E F, A C) = (A B, A C) = C A B

.
Hạ

C H ⊥ A B

A H = \frac{80 - 60}{2} = 10

(cm),

C H = 6 m = 600

(cm).

tan C A H = \frac{C H}{A H} = \frac{600}{10} = 60

\Rightarrow C A B \approx 89, 0 5^{\circ}

Vậy góc giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang khoảng $89, 0 5^{\circ}$ .

2Cách 2. Tính độ dài cột thang rồi dùng côsin

Định hướng. Tính cạnh huyền $A C$ bằng định lí Pythagore.

A C = A H^{2} + C H^{2} = 1 0^{2} + 60 0^{2} = 360100

(cm)

cos C A B = \frac{A H}{A C} = \frac{10}{360 100} \approx 0, 01666

\Rightarrow (E F, A C) = C A B \approx 89, 0 5^{\circ}

Vậy góc cần tìm khoảng $89, 0 5^{\circ}$ .

3Cách 3. Kéo dài hai cột thang

Định hướng. Hai cột thang kéo dài cắt nhau tại $T$ , tạo tam giác cân $T A B$ đồng dạng với tam giác $T C D$ .

\frac{h _{T} - 600}{h _{T}} = \frac{C D}{A B} = \frac{60}{80}

(

h_{T}

là khoảng cách từ

T

đến

A B

)

\Rightarrow h_{T} = 2400

(cm).

tan T A B = \frac{h _{T}}{A B /2} = \frac{2 400}{40} = 60

\Rightarrow (E F, A C) = T A B \approx 89, 0 5^{\circ}

Vậy góc cần tìm khoảng $89, 0 5^{\circ}$ .

Nhận xét. Góc chỉ phụ thuộc tỉ số giữa chiều cao và nửa hiệu hai đáy: $tan φ = \frac{2 h}{p - q}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tang cho ngay số đẹp

60

, bấm máy một lần, không phải khai căn như Cách 2.

Đáp số. Khoảng

89, 0 5^{\circ}

(vì

tan = 60

Sai lầm thường gặp. Không đổi đơn vị, lấy

tan = \frac{6}{10}

30, 9 6^{\circ}

là sai. Nếu hiểu '6 m' là độ dài cột thang thì

cos = \frac{10}{600}

, vẫn làm tròn được

89, 0 5^{\circ}

(vì

89, 0450 3^{\circ}

và

89, 0451 6^{\circ}

cùng làm tròn thành

89, 0 5^{\circ}

). Ngoài ra đừng lấy góc

A C D

ở ngọn thang: đó là góc tù

\approx 90, 9 5^{\circ}

🚀 Mở rộng. Nếu thay 'hai chân cách nhau 80 cm' bằng

p

cm (vẫn giữ ngọn 60 cm, cao 6 m) thì

tan φ = \frac{1 200}{p - 60}

; muốn góc đúng

8 5^{\circ}

cần

p \approx 165

cm.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài tập cuối chương VI Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 11