Chương VII. Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 2 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang25–26 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 7.1★★Trang 25— Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hình chóp

Bài 7.1 (trang 25). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình bình hành, tam giác

S A D

là tam giác đều và

M

là trung điểm của cạnh

A D

. Tính góc giữa hai đường thẳng

B C

và

S A

;

B C

và

S M

Kiến thức cần nhớ

Nếu $b^{'} ∥ b$ thì $(a, b) = (a, b^{'})$ .
Tam giác đều có các góc bằng $6 0^{\circ}$ ; đường trung tuyến đồng thời là đường cao.
Đáy hình bình hành: các cạnh đối song song.

🧠 Phân tích tư duy

B C

nằm ở đáy,

S A

và

S M

nằm trong mặt bên

(S A D)

; đáy là hình bình hành nên

B C ∥ A D

— đường song song nằm ngay trong mặt

(S A D)

. Khi đó cả hai góc cần tìm đều là góc trong tam giác đều

S A D

. Bẫy: nhầm

S M

là đường phân giác mà quên nó cũng là đường cao.

1Cách 1. Dời

B C

về

A D

Định hướng. Thay $B C$ bằng $A D$ nằm trong mặt $(S A D)$ .

A B C D

là hình bình hành

\Rightarrow B C ∥ A D

(B C, S A) = (A D, S A) = S A D = 6 0^{\circ}

(

△ S A D

đều).

S M

là trung tuyến của tam giác đều

S A D

\Rightarrow S M ⊥ A D

\Rightarrow (B C, S M) = (A D, S M) = 9 0^{\circ}

Vậy $(B C, S A) = 6 0^{\circ}$ và $(B C, S M) = 9 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Tính độ dài: định lí côsin và Pythagore đảo

Định hướng. Đặt $S A = x$ , tính các cạnh rồi nhận dạng góc bằng số.

(B C, S A) = S A D

(B C, S M) = S M A

(vì

B C ∥ A D

cos S A D = \frac{S A ^{2} + A D ^{2} - S D ^{2}}{2 S A \cdot A D} = \frac{x ^{2} + x ^{2} - x ^{2}}{2 x ^{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow S A D = 6 0^{\circ}

S M = \frac{x 3}{2}

A M = \frac{x}{2}

S M^{2} + A M^{2} = \frac{3 x ^{2}}{4} + \frac{x ^{2}}{4} = x^{2} = S A^{2}

\Rightarrow S M A = 9 0^{\circ}

Vậy $(B C, S A) = 6 0^{\circ}$ , $(B C, S M) = 9 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Tích vô hướng với vectơ trung tuyến SM

Định hướng. $B C = A D$ ; viết $S M$ theo $S A$ , $S D$ .

A D \cdot A S = x \cdot x \cdot cos 6 0^{\circ} = \frac{x ^{2}}{2} \Rightarrow cos (B C, S A) = \frac{x ^{2} /2}{x ^{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow (B C, S A) = 6 0^{\circ}

S M \cdot A D = \frac{1}{2} (S A + S D) \cdot (S D - S A) = \frac{1}{2} (S D^{2} - S A^{2}) = 0

\Rightarrow (B C, S M) = 9 0^{\circ}

Vậy $(B C, S A) = 6 0^{\circ}$ và $(B C, S M) = 9 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Kết quả $(B C, S M) = 9 0^{\circ}$ chỉ cần $S A = S D$ (tam giác $S A D$ cân tại $S$ ), không cần đều.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1: một lần tịnh tiến là cả hai góc hiện ngay trong tam giác đều.

Đáp số.

(B C, S A) = 6 0^{\circ}

;

(B C, S M) = 9 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Trả lời

(B C, S A) = 12 0^{\circ}

do lấy góc giữa hai vectơ

A S

và

B C

đặt ngược chiều; góc giữa hai đường thẳng không vượt quá

9 0^{\circ}

. Cũng không được lấy

S B C

S B

không phải là

S A

🚀 Mở rộng. Nếu đổi giả thiết thành tam giác

S A D

vuông cân tại

S

thì

(B C, S A) = 4 5^{\circ}

và

(B C, S M)

vẫn bằng

9 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 7.2★★★Trang 26— Tính góc giữa hai đường thẳng trong hình hộp

Bài 7.2 (trang 26). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có tất cả các cạnh bằng nhau và góc

A^{'} A D

bằng

12 0^{\circ}

. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

A^{'} C^{'}

và

B D

;

A D

và

B B^{'}

;

A^{'} D

và

B B^{'}

Kiến thức cần nhớ

Hình thoi có hai đường chéo vuông góc và mỗi đường chéo là phân giác của góc ở đỉnh.
Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc nhỏ trong bốn góc tạo thành: nếu một góc là $α > 9 0^{\circ}$ thì góc giữa hai đường là $18 0^{\circ} - α$ .
Nếu $b^{'} ∥ b$ thì $(a, b) = (a, b^{'})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mọi cạnh bằng nhau nên mọi mặt là hình thoi; mỗi cặp đường cần xét đều tịnh tiến được về cùng một mặt:

A^{'} C^{'} ∥ A C

(đáy

A B C D

B B^{'} ∥ A A^{'}

(mặt

A D D^{'} A^{'}

). Khi đó cặp thứ hai là góc kề bù với

12 0^{\circ}

, cặp thứ ba là góc đáy của tam giác cân

A A^{'} D

. Bẫy: trả lời

12 0^{\circ}

cho cặp

A D

B B^{'}

1Cách 1. Tịnh tiến về một mặt hình thoi

Định hướng. Đưa từng cặp về hai đường cắt nhau nằm trên cùng một mặt.

A B C D

là hình thoi

\Rightarrow A C ⊥ B D

;

A^{'} C^{'} ∥ A C \Rightarrow (A^{'} C^{'}, B D) = (A C, B D) = 9 0^{\circ}

B B^{'} ∥ A A^{'} \Rightarrow (A D, B B^{'}) = (A D, A A^{'}) = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

(A^{'} D, B B^{'}) = (A^{'} D, A A^{'}) = A A^{'} D

△ A A^{'} D

cân tại

A

(

A A^{'} = A D

A^{'} A D = 12 0^{\circ} \Rightarrow A A^{'} D = \frac{18 0 ^{\circ} - 12 0 ^{\circ}}{2} = 3 0^{\circ}

Vậy $(A^{'} C^{'}, B D) = 9 0^{\circ}$ ; $(A D, B B^{'}) = 6 0^{\circ}$ ; $(A^{'} D, B B^{'}) = 3 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Tích vô hướng qua ba vectơ cạnh, góc 120 độ

Định hướng. Đặt $a = A B$ , $b = A D$ , $c = A A^{'}$ , cùng độ dài $x$ , $b \cdot c = x^{2} cos 12 0^{\circ} = - \frac{x ^{2}}{2}$ .

A^{'} C^{'} \cdot B D = (a + b) \cdot (b - a) = x^{2} - x^{2} = 0 \Rightarrow (A^{'} C^{'}, B D) = 9 0^{\circ}

cos (A D, B B^{'}) = \frac{∣ b \cdot c ∣}{x ^{2}} = \frac{1}{2} \Rightarrow (A D, B B^{'}) = 6 0^{\circ}

∣ A^{'} D ∣^{2} = (b - c)^{2} = x^{2} + x^{2} - 2 (- \frac{x ^{2}}{2}) = 3 x^{2} \Rightarrow A^{'} D = x 3

(b - c) \cdot c = - \frac{x ^{2}}{2} - x^{2} = - \frac{3 x ^{2}}{2}

cos (A^{'} D, B B^{'}) = \frac{3 x ^{2} /2}{x 3 \cdot x} = \frac{3}{2} \Rightarrow (A^{'} D, B B^{'}) = 3 0^{\circ}

Vậy ba góc lần lượt là $9 0^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ , $3 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Tịnh tiến theo hướng khác và định lí côsin

Định hướng. Thay vì dời $B B^{'}$ , dời đường còn lại: $B D ∥ B^{'} D^{'}$ , $A D ∥ B C$ ; dùng định lí côsin cho góc thứ ba.

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là hình thoi

\Rightarrow A^{'} C^{'} ⊥ B^{'} D^{'}

;

B D ∥ B^{'} D^{'} \Rightarrow (A^{'} C^{'}, B D) = 9 0^{\circ}

A D ∥ B C \Rightarrow (A D, B B^{'}) = (B C, B B^{'})

;

B^{'} B C = A^{'} A D = 12 0^{\circ}

(mặt

B C C^{'} B^{'}

là ảnh của mặt

A D D^{'} A^{'}

qua phép tịnh tiến theo

A B

)

\Rightarrow (A D, B B^{'}) = 6 0^{\circ}

A^{'} D^{2} = x^{2} + x^{2} - 2 x^{2} cos 12 0^{\circ} = 3 x^{2}

cos A A^{'} D = \frac{A ^{'} A ^{2} + A ^{'} D ^{2} - A D ^{2}}{2 A ^{'} A \cdot A ^{'} D} = \frac{x ^{2} + 3 x ^{2} - x ^{2}}{2 \cdot x \cdot x 3} = \frac{3}{2} \Rightarrow A A^{'} D = 3 0^{\circ} = (A^{'} D, B B^{'})

Vậy $(A^{'} C^{'}, B D) = 9 0^{\circ}$ , $(A D, B B^{'}) = 6 0^{\circ}$ , $(A^{'} D, B B^{'}) = 3 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Hai đường $A^{'} D$ và $A D^{'}$ là hai đường chéo của hình thoi $A D D^{'} A^{'}$ nên $A^{'} D$ là phân giác góc $A A^{'} D^{'} = 6 0^{\circ}$ — cho ngay $3 0^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba cặp đều quy về hình thoi và tam giác cân, không phải tính căn thức.

Đáp số.

(A^{'} C^{'}, B D) = 9 0^{\circ}

;

(A D, B B^{'}) = 6 0^{\circ}

;

(A^{'} D, B B^{'}) = 3 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Ghi

(A D, B B^{'}) = 12 0^{\circ}

— sai vì góc giữa hai đường thẳng không vượt quá

9 0^{\circ}

, phải lấy

18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}

. Với cặp

A^{'} D

B B^{'}

hay lấy nhầm

A^{'} D A

(cũng bằng

3 0^{\circ}

nhưng là góc giữa

A^{'} D

và

A D

, không phải với

A A^{'}

🚀 Mở rộng. Tổng quát với góc

A^{'} A D = α

(A D, B B^{'}) = min (α; 18 0^{\circ} - α)

và

(A^{'} D, B B^{'}) = 9 0^{\circ} - \frac{α}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 7.3★★★Trang 26— Chứng minh hai cạnh đối của tứ diện vuông góc bằng độ dài

Bài 7.3 (trang 26). Cho tứ diện

A B C D

, gọi

M

và

N

lần lượt là trung điểm của

A C

và

B D

. Biết

M N = a 3

;

A B = 22 a

và

C D = 2 a

. Chứng minh rằng đường thẳng

A B

vuông góc với đường thẳng

C D

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song và bằng nửa cạnh thứ ba.
Định lí Pythagore đảo: $M N^{2} = M K^{2} + N K^{2} \Rightarrow M K N = 9 0^{\circ}$ .
Hình bình hành: $M N^{2} + K L^{2} = 2 (M K^{2} + K N^{2})$ ; hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 7.4★★★Trang 26— Tính góc giữa hai đường thẳng trong hình chóp đều

Bài 7.4 (trang 26). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy là hình vuông tâm

O

và tất cả các cạnh của hình chóp đều bằng

a

. Gọi

M

N

lần lượt là trung điểm của các cạnh

S A

A B

.
a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

M N

và

S D

;

M O

và

S B

.
b) Tính tang của góc giữa hai đường thẳng

S N

và

B C

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình song song với cạnh thứ ba.
Tam giác đều cạnh $a$ có đường cao $\frac{a 3}{2}$ ; đường chéo hình vuông cạnh $a$ bằng $a 2$ .
Pythagore đảo: $S B^{2} + S D^{2} = B D^{2} \Rightarrow B S D = 9 0^{\circ}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 7.5★★Trang 26— Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau trong bài toán thực tế

Bài 7.5 (trang 26). Một chiếc thang có dạng hình thang cân cao 6 m, hai chân thang cách nhau 80 cm, hai ngọn thang cách nhau 60 cm. Thang được dựa vào bờ tường như hình bên. Tính góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang (tính gần đúng theo đơn vị độ, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Kiến thức cần nhớ

Nếu $b^{'} ∥ b$ thì $(a, b) = (a, b^{'})$ .
Hình thang cân đáy lớn $p$ , đáy nhỏ $q$ : hình chiếu của cạnh bên lên đáy lớn bằng $\frac{p - q}{2}$ .
Trong tam giác vuông, tang của một góc nhọn bằng cạnh đối chia cạnh kề.