Chương VII. Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngVII #SGK_Tập2 #trang28–30 #CùngBàiBênSBT

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★★Trang 28— Góc giữa hai đường thẳng không phụ thuộc điểm dựng

HĐ1 (trang 28). Trong không gian, cho hai đường thẳng chéo nhau

m

và

n

. Từ hai điểm phân biệt

O, O^{'}

tuỳ ý lần lượt kẻ các cặp đường thẳng

a, b

và

a^{'}, b^{'}

tương ứng song song với

m, n

(H.7.2).
a) Mỗi cặp đường thẳng

a, a^{'}

và

b, b^{'}

có cùng thuộc một mặt phẳng hay không?
b) Lấy các điểm

A, B

(khác

O

) tương ứng thuộc

a, b

. Đường thẳng qua

A

song song với

O O^{'}

cắt

a^{'}

tại

A^{'}

, đường thẳng qua

B

song song với

O O^{'}

cắt

b^{'}

tại

B^{'}

. Giải thích vì sao

O A A^{'} O^{'}

O B B^{'} O^{'}

A B B^{'} A^{'}

là các hình bình hành.
c) So sánh góc giữa hai đường thẳng

a, b

và góc giữa hai đường thẳng

a^{'}, b^{'}

.
(Gợi ý: Áp dụng định lí côsin cho các tam giác

O A B

O^{'} A^{'} B^{'}

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song, hoặc một cặp cạnh đối song song và bằng nhau, là hình bình hành.
Định lí côsin: $cos A O B = \frac{O A ^{2} + O B ^{2} - A B ^{2}}{2 O A \cdot O B}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai bộ đường thẳng cùng song song với

m

n

nhưng dựng tại hai điểm khác nhau — dấu hiệu của câu hỏi 'góc dựng được có phụ thuộc điểm chọn hay không'. Hướng tự nhiên là dùng tính chất bắc cầu của quan hệ song song để có các cặp cạnh song song, rồi đưa về hai tam giác

O A B

và

O^{'} A^{'} B^{'}

có ba cặp cạnh bằng nhau. Bẫy: muốn kết luận

A B B^{'} A^{'}

là hình bình hành phải có cả song song lẫn bằng nhau của một cặp cạnh đối.

1Cách 1. Hình bình hành và hai tam giác bằng nhau (c.c.c)

Định hướng. Chuyển mọi quan hệ về song song bằng tính chất bắc cầu, rồi so sánh hai tam giác $O A B$ , $O^{'} A^{'} B^{'}$ .

a ∥ m

a^{'} ∥ m

\Rightarrow a ∥ a^{'}

(hoặc

a \equiv a^{'}

)

\Rightarrow a, a^{'}

cùng thuộc một mặt phẳng.

b ∥ n

b^{'} ∥ n

\Rightarrow b ∥ b^{'}

(hoặc

b \equiv b^{'}

)

\Rightarrow b, b^{'}

cùng thuộc một mặt phẳng.
b)

O A \subset a

O^{'} A^{'} \subset a^{'}

a ∥ a^{'}

\Rightarrow O A ∥ O^{'} A^{'}

;

A A^{'} ∥ O O^{'}

\Rightarrow O A A^{'} O^{'}

là hình bình hành.

O B ∥ O^{'} B^{'}

B B^{'} ∥ O O^{'}

\Rightarrow O B B^{'} O^{'}

là hình bình hành.

\Rightarrow A A^{'} = O O^{'} = B B^{'}

\Rightarrow A A^{'} ∥ B B^{'}

A A^{'} = B B^{'}

\Rightarrow A B B^{'} A^{'}

là hình bình hành.
c)

O^{'} A^{'} = O A

O^{'} B^{'} = O B

A^{'} B^{'} = A B

\Rightarrow △ O^{'} A^{'} B^{'} = △ O A B

(c.c.c)

\Rightarrow A^{'} O^{'} B^{'} = A O B

Vậy a) có; b) các tứ giác trên là hình bình hành; c) góc giữa $a, b$ bằng góc giữa $a^{'}, b^{'}$ .

2Cách 2. Định lí côsin (theo gợi ý của sách)

Định hướng. Ba cặp cạnh bằng nhau cho cùng một giá trị côsin của hai góc ở đỉnh $O$ và $O^{'}$ .

Từ các hình bình hành ở câu b):

O A = O^{'} A^{'}

O B = O^{'} B^{'}

A B = A^{'} B^{'}

cos A O B = \frac{O A ^{2} + O B ^{2} - A B ^{2}}{2 O A \cdot O B} = \frac{O ^{'} A ^{'2} + O ^{'} B ^{'2} - A ^{'} B ^{'2}}{2 O ^{'} A ^{'} \cdot O ^{'} B ^{'}} = cos A^{'} O^{'} B^{'}

\Rightarrow A O B = A^{'} O^{'} B^{'}

Vậy góc giữa hai đường thẳng $a, b$ bằng góc giữa hai đường thẳng $a^{'}, b^{'}$ .

3Cách 3. Hai cặp vectơ bằng nhau

Định hướng. Hai hình bình hành cho các cặp vectơ bằng nhau; góc giữa hai cặp vectơ bằng nhau thì bằng nhau.

O A A^{'} O^{'}

O B B^{'} O^{'}

là hình bình hành

\Rightarrow O^{'} A^{'} = O A

O^{'} B^{'} = O B

\Rightarrow cos A^{'} O^{'} B^{'} = \frac{O ^{'} A ^{'} \cdot O ^{'} B ^{'}}{O ^{'} A ^{'} \cdot O ^{'} B ^{'}} = \frac{O A \cdot O B}{O A \cdot O B} = cos A O B

\Rightarrow A^{'} O^{'} B^{'} = A O B

Vậy góc giữa $a, b$ bằng góc giữa $a^{'}, b^{'}$ .

Nhận xét. Góc dựng được không phụ thuộc cách chọn điểm $O$ — đó chính là lí do định nghĩa góc $(m, n)$ của hai đường chéo nhau là hợp lí.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần tính chất bắc cầu và trường hợp bằng nhau c.c.c, không phải viết công thức côsin; Cách 2 đúng theo gợi ý của sách nhưng dài hơn.

Đáp số. a) Có (

a ∥ a^{'}

hoặc trùng nhau;

b ∥ b^{'}

hoặc trùng nhau). b) Các tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau. c) Góc giữa

a, b

bằng góc giữa

a^{'}, b^{'}

Sai lầm thường gặp. Kết luận

A B B^{'} A^{'}

là hình bình hành chỉ vì

A A^{'} ∥ B B^{'}

là thiếu: hình thang cũng có hai đáy song song, phải thêm

A A^{'} = B B^{'}

. Ngoài ra dễ nhầm góc giữa hai đường thẳng với

A O B

khi

A O B > 9 0^{\circ}

; lúc đó góc giữa

a, b

là

18 0^{\circ} - A O B

(kết luận so sánh vẫn đúng).

🚀 Mở rộng. Chọn

O^{'}

ngay trên

m

thì

a^{'} \equiv m

: góc giữa hai đường chéo nhau luôn đo được tại một điểm nằm trên một trong hai đường đó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu hỏi (trang 28)★Trang 28— Nhận xét tính chất của góc giữa hai đường thẳng

Câu hỏi (trang 28). Nếu

a

song song hoặc trùng với

a^{'}

và

b

song song hoặc trùng với

b^{'}

thì

(a, b)

và

(a^{'}, b^{'})

có mối quan hệ gì?

Kiến thức cần nhớ

Góc giữa hai đường thẳng $m, n$ : $(m, n)$ là góc giữa hai đường thẳng cùng đi qua một điểm và tương ứng song song (hoặc trùng) với $m$ và $n$ .
$0^{\circ} \leq (a, b) \leq 9 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đây là hệ quả trực tiếp của định nghĩa: góc

(a, b)

được đo bằng hai đường thẳng qua một điểm, song song với

a

và

b

. Chỉ cần chỉ ra hai đường thẳng dựng cho

(a, b)

cũng là hai đường thẳng dựng cho

(a^{'}, b^{'})

. Bẫy: bỏ quên trường hợp trùng nhau.

1Cách 1. Theo định nghĩa

Định hướng. Dựng một cặp đường thẳng qua một điểm dùng chung cho cả hai góc.

Lấy điểm

O

; qua

O

kẻ

c ∥ a

(hoặc

c \equiv a

d ∥ b

(hoặc

d \equiv b

)

\Rightarrow (a, b) = (c, d)

a^{'} ∥ a

hoặc

a^{'} \equiv a

\Rightarrow c ∥ a^{'}

hoặc

c \equiv a^{'}

; tương tự

d ∥ b^{'}

hoặc

d \equiv b^{'}

\Rightarrow (a^{'}, b^{'}) = (c, d) = (a, b)

Vậy $(a, b) = (a^{'}, b^{'})$ .

2Cách 2. Dùng kết quả HĐ1

Định hướng. HĐ1 đã chứng tỏ góc dựng tại hai điểm khác nhau là bằng nhau.

Lấy

O \in a

; qua

O

kẻ

b_{1} ∥ b

\Rightarrow (a, b) = (a, b_{1})

.
Lấy

O^{'} \in a^{'}

; qua

O^{'}

kẻ

b_{1}^{'} ∥ b^{'}

\Rightarrow (a^{'}, b^{'}) = (a^{'}, b_{1}^{'})

a ∥ a^{'}

(hoặc trùng),

b_{1} ∥ b_{1}^{'}

(cùng song song với

b

)

\Rightarrow (a, b_{1}) = (a^{'}, b_{1}^{'})

(HĐ1)

\Rightarrow (a, b) = (a^{'}, b^{'})

Vậy $(a, b) = (a^{'}, b^{'})$ .

3Cách 3. Vectơ chỉ phương

Định hướng. Hai đường song song hoặc trùng nhau có chung vectơ chỉ phương.

u

chỉ phương

a

\Rightarrow u

chỉ phương

a^{'}

;

v

chỉ phương

b

\Rightarrow v

chỉ phương

b^{'}

\Rightarrow cos (a, b) = \frac{∣ u \cdot v ∣}{∣ u ∣ \cdot ∣ v ∣} = cos (a^{'}, b^{'})

\Rightarrow (a, b) = (a^{'}, b^{'})

Vậy hai góc bằng nhau: $(a, b) = (a^{'}, b^{'})$ .

Nhận xét. Nhờ tính chất này, khi tính góc giữa hai đường chéo nhau ta được tự do 'tịnh tiến' từng đường thẳng tới vị trí thuận tiện nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1: gọn một dòng và đi thẳng từ định nghĩa; đây là tính chất sẽ dùng ở hầu hết bài tập phía sau.

Đáp số.

(a, b) = (a^{'}, b^{'})

Sai lầm thường gặp. Hay nhầm rằng phải có

a ∥ a^{'}

thật sự (phân biệt) mới được thay; thực ra trùng nhau cũng được. Cũng không được suy ngược:

(a, b) = (a^{'}, b^{'})

không kéo theo

a ∥ a^{'}

(trong hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

(A B, A D) = (A B, A A^{'}) = 9 0^{\circ}

nhưng

A D

và

A A^{'}

cắt nhau).

🚀 Mở rộng. Hệ quả: nếu

a ∥ a^{'}

thì

(a, b) = (a^{'}, b)

với mọi

b

— thay một đường thẳng bằng đường song song với nó là thao tác chủ lực của cả bài này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Vận dụng★★Trang 29— Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hình chóp

Vận dụng (trang 29). Kim tự tháp Cheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập, được xây dựng vào thế kỉ thứ 26 trước Công nguyên và là một trong bảy kì quan của thế giới cổ đại. Kim tự tháp có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có cạnh dài khoảng 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài khoảng 219 m (kích thước hiện nay). (Theo britannica.com).
Tính (gần đúng) góc tạo bởi cạnh bên

S C

và cạnh đáy

A B

của kim tự tháp (H.7.4).

Kiến thức cần nhớ

Nếu $b^{'} ∥ b$ thì $(a, b) = (a, b^{'})$ .
Tam giác cân: đường trung tuyến ứng với đáy đồng thời là đường cao.
Định lí côsin: $cos C = \frac{C S ^{2} + C D ^{2} - S D ^{2}}{2 C S \cdot C D}$ .

🧠 Phân tích tư duy

S C

và

A B

chéo nhau nên phải thay

A B

bằng một đường song song đi qua

C

: đáy là hình vuông nên

A B ∥ C D

, góc cần tìm chính là

S C D

. Tam giác

S C D

cân tại

S

, biết đủ ba cạnh nên tính được côsin ngay. Bẫy: lấy nhầm

S C B

vì

B

nằm gần

C

trên hình.

1Cách 1. Chuyển

A B

về

C D

, dùng tam giác vuông

Định hướng. $A B ∥ C D$ nên góc cần tìm là góc ở đáy của tam giác cân $S C D$ ; hạ đường cao từ $S$ .

A B ∥ C D \Rightarrow (S C, A B) = (S C, C D) = S C D

S C = S D = 219

H

là trung điểm

C D

\Rightarrow S H ⊥ C D

H C = \frac{230}{2} = 115

(m).

cos S C D = cos S C H = \frac{H C}{S C} = \frac{115}{219} \approx 0, 5251

\Rightarrow S C D \approx 58, 3^{\circ}

Vậy góc giữa cạnh bên $S C$ và cạnh đáy $A B$ khoảng $58, 3^{\circ}$ .

2Cách 2. Định lí côsin trong tam giác

S C D

Định hướng. Biết đủ ba cạnh của tam giác $S C D$ nên tính côsin trực tiếp, không cần dựng thêm điểm.

(S C, A B) = (S C, C D) = S C D

cos S C D = \frac{S C ^{2} + C D ^{2} - S D ^{2}}{2 S C \cdot C D} = \frac{21 9 ^{2} + 23 0 ^{2} - 21 9 ^{2}}{2 \cdot 219 \cdot 230} = \frac{230}{438} = \frac{115}{219}

\Rightarrow S C D \approx 58, 3^{\circ}

Vậy góc cần tìm khoảng $58, 3^{\circ}$ .

3Cách 3. Tích vô hướng trong mặt phẳng

(S C D)

Định hướng. Phân tích $C S$ qua trung điểm $H$ để triệt tiêu thành phần vuông góc với $C D$ .

C S \cdot C D = (C H + H S) \cdot C D = C H \cdot C D + 0 = 115 \cdot 230

cos S C D = \frac{C S \cdot C D}{C S \cdot C D} = \frac{115 \cdot 230}{219 \cdot 230} = \frac{115}{219}

\Rightarrow (S C, A B) = S C D \approx 58, 3^{\circ}

Vậy góc cần tìm khoảng $58, 3^{\circ}$ .

Nhận xét. Cả ba cách đều quy về $cos = \frac{115}{219}$ ; kết quả không phụ thuộc chiều cao kim tự tháp, chỉ cần nửa cạnh đáy và cạnh bên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng tịnh tiến, một dòng côsin trong tam giác vuông, không phải bình phương số lớn như Cách 2.

Đáp số.

(S C, A B) = S C D

cos S C D = \frac{115}{219}

, góc khoảng

58, 3^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Lấy nhầm

S C B

là góc giữa

S C

và

B C

(tuy cũng bằng

58, 3^{\circ}

vì các mặt bên bằng nhau, nhưng lập luận sai — với đáy hình chữ nhật hai góc này khác nhau). Lỗi bấm máy: để máy ở chế độ rad sẽ ra

1, 018

và ghi nhầm thành độ.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm, với đáy hình vuông cạnh

d

và cạnh bên

l

thì góc giữa cạnh bên và cạnh đáy không kề nó có

cos φ = \frac{d}{2 l}

; với

d = l

(mọi cạnh bằng nhau) ta được

φ = 6 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ2★Trang 29— Góc giữa hai đường thẳng trong tình huống thực tế

HĐ2 (trang 29). Đối với hai cánh cửa trong Hình 7.5, tính góc giữa hai đường mép cửa

B C

và

M N

.
(Hình 7.5 là ảnh hai cánh cửa hình chữ nhật

A B C D

và

M N P Q

đang mở:

B C

là mép đứng của cánh bên trái,

M N

là mép trên của cánh bên phải.)

Kiến thức cần nhớ

Nếu $b^{'} ∥ b$ thì $(a, b) = (a, b^{'})$ .
Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Các cạnh kề của hình chữ nhật vuông góc với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

B C

là mép đứng của cánh trái,

M N

là mép ngang của cánh phải; hai đường này chéo nhau nên phải thay một đường bằng đường song song nằm trên cùng cánh cửa với đường kia. Mỗi cánh cửa là hình chữ nhật và các mép đứng đều song song với bản lề (phương thẳng đứng) — đó là chìa khoá.

1Cách 1. Thay

B C

bằng mép bản lề

M Q

Định hướng. Mọi mép đứng của hai cánh cửa đều song song với nhau; chọn mép đứng nằm cùng cánh với $M N$ .

A B C D

M N P Q

là hình chữ nhật

\Rightarrow B C ∥ A D

M Q ∥ N P

A D ∥ M Q

(hai mép bản lề cùng thẳng đứng)

\Rightarrow B C ∥ M Q

\Rightarrow (B C, M N) = (M Q, M N) = QM N = 9 0^{\circ}

Vậy góc giữa hai mép cửa $B C$ và $M N$ bằng $9 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Thay

B C

bằng mép tự do

N P

Định hướng. Dùng mép đứng đi qua đầu mút $N$ của $M N$ .

B C ∥ A D ∥ M Q ∥ N P \Rightarrow B C ∥ N P

\Rightarrow (B C, M N) = (N P, N M) = M N P = 9 0^{\circ}

Vậy $(B C, M N) = 9 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Phương thẳng đứng và phương nằm ngang

Định hướng. Cánh cửa quay quanh bản lề thẳng đứng nên mép đứng luôn thẳng đứng, mép trên luôn nằm ngang.

B C ∥ A D

A D

thẳng đứng

\Rightarrow B C

thẳng đứng.

M N ⊥ M Q

M Q

thẳng đứng, cánh cửa quay quanh

M Q

\Rightarrow M N

luôn nằm ngang.
Đường thẳng đứng vuông góc với mọi đường nằm ngang

\Rightarrow (B C, M N) = 9 0^{\circ}

Vậy $B C ⊥ M N$ .

Nhận xét. Kết quả không phụ thuộc hai cánh mở rộng hay hẹp: dù cánh quay bao nhiêu độ, $(B C, M N)$ vẫn là $9 0^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Nên dùng Cách 1: chuỗi song song

B C ∥ A D ∥ M Q

nhìn thấy ngay trên hình và đưa về góc của một hình chữ nhật.

Đáp số.

(B C, M N) = 9 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Tưởng rằng

B C

và

M N

không cắt nhau thì không có góc, hoặc đo góc 'nhìn thấy' trên ảnh (ảnh chụp phối cảnh làm méo góc, trên ảnh

B C

và

M N

không tạo góc vuông).

🚀 Mở rộng. Thử tính góc giữa mép trên

A B

của cánh trái và mép trên

M N

của cánh phải khi cánh trái mở

α

, cánh phải mở

β

so với khuôn cửa: đáp số là

min (α + β; 18 0^{\circ} - α - β)

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Câu hỏi (trang 29)★Trang 29— Tính chất của hai đường thẳng vuông góc

Câu hỏi (trang 29). Nếu đường thẳng

a

vuông góc với đường thẳng

b

thì

a

có vuông góc với các đường thẳng song song với

b

hay không?

Kiến thức cần nhớ

$a ⊥ b \Leftrightarrow (a, b) = 9 0^{\circ}$ (hai đường thẳng có thể chéo nhau).
Nếu $c ∥ b$ thì $(a, c) = (a, b)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai đường thẳng vuông góc được định nghĩa qua góc giữa chúng, nên chỉ cần biết góc thay đổi thế nào khi thay

b

bằng một đường song song. Câu hỏi trang 28 đã trả lời: góc không đổi. Bẫy: nhầm 'vuông góc' với 'cắt nhau và vuông góc' như trong hình học phẳng.

1Cách 1. Dùng tính chất góc khi thay đường song song

Định hướng. Thay $b$ bởi $c ∥ b$ thì góc không đổi.

c ∥ b \Rightarrow (a, c) = (a, b) = 9 0^{\circ} \Rightarrow a ⊥ c

Vậy có: $a$ vuông góc với mọi đường thẳng song song với $b$ .

2Cách 2. Theo định nghĩa, dựng tại một điểm

Định hướng. Qua một điểm, đường song song với $b$ và với $c$ là một.

Lấy

O \in a

, qua

O

kẻ

b^{'} ∥ b

\Rightarrow (a, b^{'}) = (a, b) = 9 0^{\circ}

c ∥ b \Rightarrow

đường thẳng qua

O

song song với

c

chính là

b^{'}

(tiên đề Euclid)

\Rightarrow (a, c) = (a, b^{'}) = 9 0^{\circ}

Vậy $a ⊥ c$ với mọi $c ∥ b$ .

3Cách 3. Vectơ chỉ phương

Định hướng. Hai đường song song có vectơ chỉ phương cùng phương.

u

v

w

lần lượt chỉ phương

a

b

c

;

c ∥ b \Rightarrow w = k v

(

k \neq = 0

)

u \cdot w = k (u \cdot v) = k \cdot 0 = 0 \Rightarrow a ⊥ c

Vậy câu trả lời là có.

Nhận xét. Tính chất này hay dùng ở chiều ngược lại: muốn chứng minh $a ⊥ c$ , tìm một đường $b ∥ c$ dễ thấy vuông góc với $a$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1: một dòng, đúng tinh thần 'tịnh tiến đường thẳng' của cả bài.

Đáp số. Có: nếu

a ⊥ b

và

c ∥ b

thì

a ⊥ c

Sai lầm thường gặp. Trong không gian, 'hai đường cùng vuông góc với đường thứ ba thì song song' là SAI (hai cạnh

A B

A D

của hình lập phương cùng vuông góc với

A A^{'}

nhưng cắt nhau); chỉ có chiều 'vuông góc với một đường thì vuông góc với mọi đường song song với nó' là đúng.

🚀 Mở rộng. Mở rộng: nếu

a ∥ a^{'}

b ∥ b^{'}

và

a ⊥ b

thì

a^{'} ⊥ b^{'}

— áp dụng liên tiếp hai lần tính chất trên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 1★★★Trang 30— Chứng minh hai đường thẳng vuông góc và chéo nhau

Luyện tập 1 (trang 30). Cho tam giác

M N P

vuông tại

N

và một điểm

A

nằm ngoài mặt phẳng

(M N P)

. Lần lượt lấy các điểm

B, C, D

sao cho

M, N, P

tương ứng là trung điểm của

A B, A C, C D

(H.7.7). Chứng minh rằng

A D

và

B C

vuông góc với nhau và chéo nhau.

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Nếu $a^{'} ∥ a$ , $b^{'} ∥ b$ thì $(a, b) = (a^{'}, b^{'})$ .
Hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

🧠 Phân tích tư duy

Ba trung điểm

M, N, P

gợi ý ngay đường trung bình:

M N ∥ B C

(tam giác

A B C

N P ∥ A D

(tam giác

A C D

), nên góc

(A D, B C)

chuyển về góc vuông

M N P

. Phần 'chéo nhau' làm bằng phản chứng: nếu

A D

B C

đồng phẳng thì bốn điểm

A, B, C, D

đồng phẳng, kéo theo

A

thuộc

(M N P)

. Bẫy: chỉ chứng minh vuông góc rồi quên phần chéo nhau.

1Cách 1. Đường trung bình và phản chứng

Định hướng. Dời $B C$ , $A D$ về hai cạnh góc vuông của tam giác $M N P$ ; phần chéo nhau dùng phản chứng.

M N

là đường trung bình của

△ A B C \Rightarrow M N ∥ B C

N P

là đường trung bình của

△ A C D \Rightarrow N P ∥ A D

\Rightarrow (A D, B C) = (N P, N M) = M N P = 9 0^{\circ} \Rightarrow A D ⊥ B C

.
Giả sử

A D

B C

cùng thuộc mặt phẳng

(Q)

\Rightarrow A, B, C, D \in (Q) \Rightarrow M, N, P \in (Q)

\Rightarrow (Q) \equiv (M N P)

(

M, N, P

không thẳng hàng)

\Rightarrow A \in (M N P)

, vô lí.

\Rightarrow A D

và

B C

chéo nhau.

Vậy $A D ⊥ B C$ và $A D$ , $B C$ chéo nhau.

2Cách 2. Tích vô hướng bằng 0 qua hai vectơ đường trung bình

Định hướng. Viết $B C$ , $A D$ qua hai cạnh góc vuông $M N$ , $N P$ .

B C = 2 M N

A D = 2 N P

(đường trung bình)

\Rightarrow A D \cdot B C = 4 N P \cdot M N = 0 \Rightarrow A D ⊥ B C

A D ⊥ B C \Rightarrow A D \neq ∥ B C

. Nếu

A D

cắt

B C

thì

A, B, C, D

đồng phẳng

\Rightarrow A \in (M N P)

(như Cách 1), vô lí

\Rightarrow A D

B C

chéo nhau.

Vậy $A D$ và $B C$ vuông góc và chéo nhau.

3Cách 3. Hình chữ nhật

M N P Q

và hai mặt phẳng song song

Định hướng. Lấy thêm trung điểm $Q$ của $B D$ để có hình bình hành $M N P Q$ có một góc vuông.

Q

là trung điểm

B D

M Q ∥ A D

M Q = \frac{A D}{2}

;

N P ∥ A D

N P = \frac{A D}{2}

\Rightarrow M N P Q

là hình bình hành.

M N P = 9 0^{\circ} \Rightarrow M N P Q

là hình chữ nhật

\Rightarrow QM N = 9 0^{\circ}

M Q ∥ A D

M N ∥ B C \Rightarrow (A D, B C) = (M Q, M N) = 9 0^{\circ}

.
Giả sử

A D

B C

cùng thuộc

(R)

;

A D ⊥ B C

nên chúng cắt nhau, và

A D ∥ (M N P)

B C ∥ (M N P)

\Rightarrow (R) ∥ (M N P)

hoặc

(R) \equiv (M N P)

N \in A C \subset (R) \Rightarrow (R) \equiv (M N P) \Rightarrow A \in (M N P)

, vô lí.

Vậy $A D ⊥ B C$ và hai đường thẳng này chéo nhau.

Nhận xét. Cách 3 cho thêm thông tin: bốn trung điểm $M, N, P, Q$ tạo thành hình chữ nhật khi và chỉ khi $A D ⊥ B C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai đường trung bình cho ngay góc vuông, phần chéo nhau chỉ cần phản chứng ba dòng; Cách 2 gọn nếu quen vectơ.

Đáp số.

(A D, B C) = M N P = 9 0^{\circ}

, và

A D

B C

chéo nhau.

Sai lầm thường gặp. Viết '

A D ⊥ B C

nên

A D

B C

cắt nhau' — sai: trong không gian hai đường vuông góc có thể chéo nhau (chính bài này). Một lỗi khác: quên nêu

M, N, P

không thẳng hàng nên mặt phẳng qua chúng là duy nhất.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: trong tứ diện

A B C D

, gọi

M, N, P

là trung điểm

A B, A C, C D

thì

(A D, B C) = M N P

hoặc

18 0^{\circ} - M N P

— mọi bài tính góc giữa hai cạnh đối của tứ diện đều quy về một tam giác 'trung điểm' như vậy.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 7.1★Trang 30— Tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau trong hình lăng trụ

Bài 7.1 (trang 30). Cho hình lăng trụ

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có các đáy là các tam giác đều. Tính góc

(A B, B^{'} C^{'})

Kiến thức cần nhớ

Mặt bên của hình lăng trụ là hình bình hành: $B^{'} C^{'} ∥ B C$ , $A^{'} B^{'} ∥ A B$ .
Nếu $b^{'} ∥ b$ thì $(a, b) = (a, b^{'})$ .
Tam giác đều có ba góc bằng $6 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

A B

nằm ở đáy dưới,

B^{'} C^{'}

ở đáy trên: hai đường chéo nhau. Mặt bên

B C C^{'} B^{'}

là hình bình hành nên

B^{'} C^{'} ∥ B C

, góc cần tìm là góc của tam giác đều

A B C

. Bẫy: nghĩ phải có lăng trụ đứng — thực ra không cần.

1Cách 1. Dời

B^{'} C^{'}

xuống

B C

Định hướng. Dời đường ở đáy trên xuống đáy dưới để hai đường cắt nhau tại $B$ .

B C C^{'} B^{'}

là hình bình hành

\Rightarrow B^{'} C^{'} ∥ B C

\Rightarrow (A B, B^{'} C^{'}) = (A B, B C) = A B C = 6 0^{\circ}

Vậy $(A B, B^{'} C^{'}) = 6 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Dời

A B

lên

A^{'} B^{'}

Định hướng. Ngược lại, dời đường ở đáy dưới lên đáy trên.

A B B^{'} A^{'}

là hình bình hành

\Rightarrow A B ∥ A^{'} B^{'}

\Rightarrow (A B, B^{'} C^{'}) = (A^{'} B^{'}, B^{'} C^{'}) = A^{'} B^{'} C^{'} = 6 0^{\circ}

Vậy $(A B, B^{'} C^{'}) = 6 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Côsin góc qua tích vô hướng tại đỉnh B

Định hướng. $B^{'} C^{'} = B C$ nên tính côsin qua tích vô hướng tại đỉnh $B$ .

Gọi cạnh đáy là

x

;

B^{'} C^{'} = B C

cos (A B, B^{'} C^{'}) = \frac{∣ B A \cdot B C ∣}{B A \cdot B C} = \frac{x \cdot x \cdot cos 6 0 ^{\circ}}{x ^{2}} = \frac{1}{2}

\Rightarrow (A B, B^{'} C^{'}) = 6 0^{\circ}

Vậy $(A B, B^{'} C^{'}) = 6 0^{\circ}$ .

Nhận xét. Kết quả đúng với mọi hình lăng trụ có đáy là tam giác đều, kể cả lăng trụ xiên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1: chỉ một bước tịnh tiến, không cần tính toán.

Đáp số.

(A B, B^{'} C^{'}) = 6 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Trả lời

12 0^{\circ}

do lấy góc giữa hai vectơ

A B

và

B C

(bằng

12 0^{\circ}

); góc giữa hai đường thẳng luôn thuộc

[0^{\circ}; 9 0^{\circ}]

nên phải là

6 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Tương tự:

(A B, A^{'} C^{'}) = (A B, A C) = 6 0^{\circ}

và

(A A^{'}, B^{'} C^{'})

phụ thuộc hình dạng mặt bên — với lăng trụ đứng thì bằng

9 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 7.2★★★Trang 30— Chứng minh các cặp cạnh đối của tứ diện vuông góc

Bài 7.2 (trang 30). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng tứ diện

A C B^{'} D^{'}

có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.

Kiến thức cần nhớ

Hình hộp có các cạnh bằng nhau thì các mặt đều là hình thoi.
Hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau.
Trong hình hộp, $A C C^{'} A^{'}$ , $A^{'} B C D^{'}$ , $A^{'} B^{'} C D$ là các hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

Hình hộp có mọi cạnh bằng nhau nên sáu mặt là hình thoi, mà hình thoi có hai đường chéo vuông góc. Mỗi cặp cạnh đối của tứ diện

A C B^{'} D^{'}

là hai đường chéo nằm trên hai mặt song song; tịnh tiến một đường về mặt chứa đường kia sẽ được hai đường chéo của cùng một hình thoi. Bẫy: nhầm hình hộp này là hình lập phương (các góc không nhất thiết vuông).

1Cách 1. Tịnh tiến về đường chéo của cùng một hình thoi

Định hướng. Ba cặp cạnh đối: $A C$ và $B^{'} D^{'}$ ; $A B^{'}$ và $C D^{'}$ ; $A D^{'}$ và $C B^{'}$ .

A C C^{'} A^{'}

là hình bình hành

\Rightarrow A C ∥ A^{'} C^{'} \Rightarrow (A C, B^{'} D^{'}) = (A^{'} C^{'}, B^{'} D^{'}) = 9 0^{\circ}

(

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là hình thoi).

A^{'} B C D^{'}

là hình bình hành (

A^{'} D^{'} ∥ B C

A^{'} D^{'} = B C

)

\Rightarrow C D^{'} ∥ B A^{'}

\Rightarrow (A B^{'}, C D^{'}) = (A B^{'}, A^{'} B) = 9 0^{\circ}

(

A B B^{'} A^{'}

là hình thoi).

A^{'} B^{'} C D

là hình bình hành (

A^{'} B^{'} ∥ D C

A^{'} B^{'} = D C

)

\Rightarrow C B^{'} ∥ D A^{'}

\Rightarrow (A D^{'}, C B^{'}) = (A D^{'}, A^{'} D) = 9 0^{\circ}

(

A D D^{'} A^{'}

là hình thoi).

Vậy $A C ⊥ B^{'} D^{'}$ , $A B^{'} ⊥ C D^{'}$ , $A D^{'} ⊥ C B^{'}$ : tứ diện $A C B^{'} D^{'}$ có các cặp cạnh đối vuông góc.

2Cách 2. Tích vô hướng qua ba vectơ cạnh cùng độ dài

Định hướng. Biểu diễn mọi cạnh qua ba vectơ $a = A B$ , $b = A D$ , $c = A A^{'}$ có cùng độ dài.

∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣

A C \cdot B^{'} D^{'} = (a + b) \cdot (b - a) = ∣ b ∣^{2} - ∣ a ∣^{2} = 0

A B^{'} \cdot C D^{'} = (a + c) \cdot (c - a) = ∣ c ∣^{2} - ∣ a ∣^{2} = 0

A D^{'} \cdot C B^{'} = (b + c) \cdot (c - b) = ∣ c ∣^{2} - ∣ b ∣^{2} = 0

Vậy ba cặp cạnh đối của tứ diện $A C B^{'} D^{'}$ đều vuông góc.

Nhận xét. Ở đây $C D^{'} = A D^{'} - A C = (b + c) - (a + b) = c - a$ , tương tự cho $C B^{'}$ .

3Cách 3. Áp dụng Ví dụ 2 cho ba cách chọn cặp đáy

Định hướng. Ví dụ 2: trong hình hộp, đường chéo $A C$ của đáy dưới vuông góc với đường chéo $B^{'} D^{'}$ của đáy trên khi và chỉ khi đáy là hình thoi. Hình hộp có thể coi ba cặp mặt đối diện bất kì làm hai đáy.

Đáy

A B C D

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

là hình thoi

\Rightarrow A C ⊥ B^{'} D^{'}

.
Coi là hình hộp

A B B^{'} A^{'} . D C C^{'} D^{'}

: đáy

A B B^{'} A^{'}

là hình thoi

\Rightarrow A B^{'} ⊥ C D^{'}

.
Coi là hình hộp

A D D^{'} A^{'} . B C C^{'} B^{'}

: đáy

A D D^{'} A^{'}

là hình thoi

\Rightarrow A D^{'} ⊥ C B^{'}

Vậy tứ diện $A C B^{'} D^{'}$ có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy điều ngược lại cũng đúng: tứ diện $A C B^{'} D^{'}$ có ba cặp cạnh đối vuông góc khi và chỉ khi cả ba mặt $A B C D$ , $A B B^{'} A^{'}$ , $A D D^{'} A^{'}$ là hình thoi, tức hình hộp có mọi cạnh bằng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2: ba dòng tích vô hướng làm đồng loạt cả ba cặp, không phải tìm hình bình hành để tịnh tiến; Cách 1 hợp khi đề chỉ hỏi một cặp.

Đáp số.

A C ⊥ B^{'} D^{'}

A B^{'} ⊥ C D^{'}

A D^{'} ⊥ C B^{'}

Sai lầm thường gặp. Chứng minh

A C ⊥ B^{'} D^{'}

bằng cách nói '

A C

B^{'} D^{'}

là hai đường chéo của hình thoi' — sai vì chúng nằm trên hai mặt khác nhau, phải tịnh tiến

A C

thành

A^{'} C^{'}

trước. Cũng đừng dùng các góc vuông của hình lập phương: đề không cho góc nào bằng

9 0^{\circ}

🚀 Mở rộng. Tứ diện có ba cặp cạnh đối vuông góc gọi là tứ diện trực tâm; thử chứng minh: tứ diện

A B C D

có

A B ⊥ C D

và

A C ⊥ B D

thì tự động

A D ⊥ B C

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 7.3★★Trang 30— Chứng minh hai đường thẳng vuông góc nhờ quan hệ song song

Bài 7.3 (trang 30). Cho tứ diện

A B C D

có

C B D = 9 0^{\circ}

.
a) Gọi

M, N

tương ứng là trung điểm của

A B, A D

. Chứng minh rằng

M N

vuông góc với

B C

.
b) Gọi

G, K

tương ứng là trọng tâm của các tam giác

A B C, A C D

. Chứng minh rằng

G K

vuông góc với

B C

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba.
Trọng tâm nằm trên trung tuyến và cách đỉnh $\frac{2}{3}$ độ dài trung tuyến.
Nếu $a ⊥ b$ và $c ∥ a$ thì $c ⊥ b$ .

🧠 Phân tích tư duy

Giả thiết duy nhất về góc là

B D ⊥ B C

, nên chỉ cần chứng minh

M N

và

G K

cùng song song với

B D

. Câu a) là đường trung bình; câu b) dùng tỉ số

\frac{2}{3}

của trọng tâm trên trung tuyến để có đoạn thẳng song song (định lí Thalès đảo). Bẫy: tìm cách tính góc trực tiếp giữa

G K

và

B C

sẽ rất rối.

1Cách 1. Đường trung bình và định lí Thalès đảo

Định hướng. Đưa cả $M N$ và $G K$ về song song với $B D$ .

M N

là đường trung bình của

△ A B D \Rightarrow M N ∥ B D \Rightarrow (M N, B C) = (B D, B C) = C B D = 9 0^{\circ}

.
b)

E

F

là trung điểm

B C

C D

G \in A E

\frac{A G}{A E} = \frac{2}{3}

;

K \in A F

\frac{A K}{A F} = \frac{2}{3}

\Rightarrow \frac{A G}{A E} = \frac{A K}{A F} \Rightarrow G K ∥ E F

(Thalès đảo trong

△ A E F

E F

là đường trung bình của

△ B C D \Rightarrow E F ∥ B D \Rightarrow G K ∥ B D

\Rightarrow (G K, B C) = (B D, B C) = 9 0^{\circ}

Vậy $M N ⊥ B C$ và $G K ⊥ B C$ .

2Cách 2. Vectơ: chứng minh MN, GK cùng phương với BD

Định hướng. Chứng minh $M N$ và $G K$ cùng phương với $B D$ .

M N = \frac{1}{2} B D \Rightarrow M N \cdot B C = \frac{1}{2} B D \cdot B C = 0

.
b)

G K = A K - A G = \frac{1}{3} (A C + A D) - \frac{1}{3} (A B + A C)

= \frac{1}{3} (A D - A B) = \frac{1}{3} B D

\Rightarrow G K \cdot B C = \frac{1}{3} B D \cdot B C = 0

Vậy $M N ⊥ B C$ , $G K ⊥ B C$ .

3Cách 3. Suy câu b) từ câu a)

Định hướng. Hai trọng tâm $G$ , $K$ nằm trên hai trung tuyến $C M$ , $C N$ xuất phát từ cùng đỉnh $C$ .

M N ∥ B D

(đường trung bình

△ A B D

B D ⊥ B C \Rightarrow M N ⊥ B C

.
b)

C M

là trung tuyến

△ A B C

\frac{C G}{C M} = \frac{2}{3}

;

C N

là trung tuyến

△ A C D

\frac{C K}{C N} = \frac{2}{3}

\Rightarrow G K ∥ M N

(Thalès đảo trong

△ C M N

)

\Rightarrow G K ⊥ B C

(theo câu a).

Vậy $M N ⊥ B C$ và $G K ⊥ B C$ .

Nhận xét. Cách 3 còn cho $G K = \frac{2}{3} M N = \frac{1}{3} B D$ , khớp với kết quả vectơ ở Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: câu b) chỉ thêm một dòng Thalès trong tam giác

C M N

và tận dụng luôn kết quả câu a).

Đáp số. a)

M N ∥ B D

nên

M N ⊥ B C

. b)

G K ∥ B D

nên

G K ⊥ B C

Sai lầm thường gặp. Nhầm

G

là trọng tâm thì

A G = \frac{1}{3} A E

(đúng ra là

\frac{2}{3}

) — tuy không làm sai kết luận song song nhưng sai khi tính độ dài

G K

. Một lỗi khác: viết '

M N ⊥ B C

vì

M N

nằm trong mặt

(A B D)

vuông góc với

B C

' — đề không cho mặt phẳng nào vuông góc.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

X \in A B

Y \in A D

sao cho

\frac{A X}{A B} = \frac{A Y}{A D}

thì

X Y ⊥ B C

; tương tự mọi đoạn nối trọng tâm hai mặt chung cạnh

A C

đều song song với cạnh đối

B D

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 7.4★★Trang 30— Nhận biết hai đường thẳng vuông góc trong thực tế

Bài 7.4 (trang 30). Đối với nhà gỗ truyền thống, trong các cấu kiện hoành, quá giang, xà cái, rui, cột tương ứng được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 như trong Hình 7.8, những cặp cấu kiện nào vuông góc với nhau?
(Hình 7.8 là ảnh chụp khung nhà gỗ, các cấu kiện được đánh dấu bằng các đoạn thẳng đánh số 1 đến 5.)

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng vuông góc khi góc giữa chúng bằng $9 0^{\circ}$ , kể cả khi chúng chéo nhau.
Đường thẳng đứng vuông góc với mọi đường thẳng nằm ngang.
Trong hình hộp chữ nhật, mỗi cạnh vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt không chứa phương của cạnh đó (mặt vuông góc với cạnh).

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi cấu kiện là một đường thẳng; hãy xếp chúng theo phương: cột (5) thẳng đứng; hoành (1) và xà cái (3) nằm ngang, chạy dọc chiều dài nhà; quá giang (2) nằm ngang, chạy theo bề ngang nhà; rui (4) xiên theo mái, nằm trong mặt phẳng đứng theo bề ngang nhà. Sau đó xét từng cặp. Bẫy: rui và quá giang cùng nằm trong một mặt phẳng ngang nhà nhưng không vuông góc (rui nghiêng theo mái).

1Cách 1. Phân loại theo phương rồi xét từng cặp

Định hướng. Gọi phương dọc nhà là $d_{1}$ , phương ngang nhà là $d_{2}$ , phương thẳng đứng là $d_{3}$ (ba phương đôi một vuông góc).

(1) hoành: phương

d_{1}

; (3) xà cái: phương

d_{1}

\Rightarrow

(1)

∥

(3).
(2) quá giang: phương

d_{2}

; (5) cột: phương

d_{3}

; (4) rui: nằm trong mặt phẳng chứa

d_{2}

và

d_{3}

, xiên theo mái.
(1)

⊥

(2), (1)

⊥

(5), (3)

⊥

(2), (3)

⊥

(5), (2)

⊥

(5) (ba phương đôi một vuông góc).
(1)

⊥

(4), (3)

⊥

(4) (phương

d_{1}

vuông góc với mọi đường trong mặt chứa

d_{2}

d_{3}

).
(2) và (4), (4) và (5) không vuông góc (rui nghiêng so với cả phương ngang lẫn phương đứng).

Vậy các cặp vuông góc là: (1) và (2); (1) và (4); (1) và (5); (2) và (3); (2) và (5); (3) và (4); (3) và (5).

2Cách 2. Coi khung nhà là hình hộp chữ nhật, dùng định lí Pythagore đảo

Định hướng. Coi khung nhà là hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ với $A B$ theo chiều dọc nhà, $A D$ theo bề ngang, $A A^{'}$ thẳng đứng; rui song song với đường chéo $A^{'} D$ của mặt đầu hồi $A D D^{'} A^{'}$ (kiểm tra riêng cặp hoành – rui).

Hoành, xà cái

∥ A B

; quá giang

∥ A D

; cột

∥ A A^{'}

; rui

∥ A^{'} D

A^{'} D ∥ B^{'} C \Rightarrow (A B, A^{'} D) = (A^{'} B^{'}, B^{'} C) = A^{'} B^{'} C

A^{'} C^{2} = A B^{2} + A D^{2} + A A^{'2} = A^{'} B^{'2} + B^{'} C^{2} \Rightarrow A^{'} B^{'} C = 9 0^{\circ} \Rightarrow

(1)

⊥

(4), (3)

⊥

(4).

A B ⊥ A D

A B ⊥ A A^{'}

A D ⊥ A A^{'}

\Rightarrow

(1), (3)

⊥

(2), (5); (2)

⊥

(5).

(A D, A^{'} D) = A^{'} D A \neq = 9 0^{\circ}

(A A^{'}, A^{'} D) = A A^{'} D \neq = 9 0^{\circ}

\Rightarrow

(2), (5) không vuông góc với (4).

Vậy có bảy cặp vuông góc: (1)–(2), (1)–(4), (1)–(5), (2)–(3), (2)–(5), (3)–(4), (3)–(5).

3Cách 3. Vectơ đơn vị theo ba phương

Định hướng. Gắn ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc: $i$ (dọc nhà), $j$ (ngang nhà), $k$ (thẳng đứng); rui có vectơ chỉ phương $r = cos φ j + sin φ k$ với $φ$ là góc nghiêng của mái ( $0^{\circ} < φ < 9 0^{\circ}$ ).

(1), (3):

i

; (2):

j

; (5):

k

; (4):

r

i \cdot j = i \cdot k = j \cdot k = 0

;

i \cdot r = 0

j \cdot r = cos φ \neq = 0

;

k \cdot r = sin φ \neq = 0

Vậy các cặp vuông góc: (1) và (2), (1) và (4), (1) và (5), (2) và (3), (2) và (5), (3) và (4), (3) và (5).

Nhận xét. Hoành và xà cái song song nên chúng 'vuông góc với cùng những cấu kiện' — chỉ cần xét một trong hai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1 khi trả lời nhanh; Cách 3 là cách chắc chắn nhất vì chỉ cần kiểm tra tích vô hướng bằng 0, không sót cặp nào.

Đáp số. Bảy cặp vuông góc: (1) và (2); (1) và (4); (1) và (5); (2) và (3); (2) và (5); (3) và (4); (3) và (5).

Sai lầm thường gặp. Kết luận rui (4) vuông góc với quá giang (2) vì 'rui gác lên kèo nằm ngang' — sai: rui nghiêng theo mái nên

(2, 4) = φ

(góc nghiêng mái, thường khoảng

2 5^{\circ}

đến

3 5^{\circ}

). Cũng hay bỏ sót các cặp chéo nhau như (1) và (5) vì chúng không chạm nhau trên ảnh.

🚀 Mở rộng. Thử mở rộng: nếu thêm cấu kiện 'kèo' nằm trong mặt phẳng ngang nhà và song song với rui, thì kèo vuông góc với những cấu kiện nào? (Đáp: hoành và xà cái.)

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài tập cuối chương VI Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 11