Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài tập cuối chương VI

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 2 · 14 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngVI #SGK_Tập2 #trang25–26 #CùngBàiBênSBT #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Bài 6.27★Trang 25— Tính chất của luỹ thừa với số mũ thực

Bài 6.27 (trang 25). Cho hai số thực dương

x, y

và hai số thực

α, β

tuỳ ý. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.

x^{α} \cdot x^{β} = x^{α + β}

.
B.

x^{α} \cdot y^{β} = (x y)^{α + β}

.
C.

(x^{α})^{β} = x^{α \cdot β}

.
D.

(x y)^{α} = x^{α} \cdot y^{α}

Kiến thức cần nhớ

$x^{α} x^{β} = x^{α + β}$ ; $(x^{α})^{β} = x^{α β}$ ; $(x y)^{α} = x^{α} y^{α}$ $(x, y > 0)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn đẳng thức đều là “dáng” của tính chất luỹ thừa; chỉ cần đối chiếu với ba quy tắc: cùng cơ số thì cộng mũ, luỹ thừa của luỹ thừa thì nhân mũ, cùng số mũ thì nhân cơ số. Phương án B trộn cả hai cơ số khác nhau lẫn hai số mũ khác nhau — dấu hiệu đáng ngờ nhất.

1Cách 1. Đối chiếu từng tính chất

Định hướng. So mỗi phương án với đúng tính chất tương ứng.

A: cùng cơ số

x

⇒

x^{α} x^{β} = x^{α + β}

(đúng)
C:

(x^{α})^{β} = x^{α β}

(đúng)
D: cùng số mũ

α

⇒

(x y)^{α} = x^{α} y^{α}

(đúng)
B:

(x y)^{α + β} = x^{α + β} y^{α + β} = x^{α} y^{β} \cdot x^{β} y^{α}

Vậy B chỉ đúng khi $x^{β} y^{α} = 1$ , nói chung sai. Chọn B.

2Cách 2. Phản ví dụ bằng số

Định hướng. Một bộ số cụ thể làm B sai là đủ để loại.

x = 2

y = 1

α = 1

β = 1

x^{α} y^{β} = 2 \cdot 1 = 2

(x y)^{α + β} = 2^{2} = 4 \neq = 2

Vậy B sai. Chọn B.

3Cách 3. Lấy lôgarit hai vế

Định hướng. Lấy $ln$ hai vế biến đẳng thức luỹ thừa thành đẳng thức tuyến tính dễ so sánh.

ln (x^{α} y^{β}) = α ln x + β ln y

ln (x y)^{α + β} = (α + β) ln x + (α + β) ln y

Hiệu hai vế:

β ln x + α ln y

, không đồng nhất bằng

0

Vậy B sai. Chọn B.

Nhận xét. Ba phương án còn lại khi lấy $ln$ đều thành đồng nhất thức, nên đúng với mọi $x, y > 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một phản ví dụ

x = 2

y = 1

α = β = 1

loại ngay B trong vài giây.

Đáp số. Chọn B.

Sai lầm thường gặp. Nhầm “nhân hai luỹ thừa thì cộng số mũ” áp cả khi cơ số khác nhau:

2^{1} \cdot 3^{1} \neq = 6^{2}

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

x^{α} y^{β} = (x y)^{γ}

đúng với mọi

x, y > 0

khi và chỉ khi

α = β = γ

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.28★★Trang 25— Rút gọn biểu thức chứa căn lồng nhau

Bài 6.28 (trang 25). Rút gọn biểu thức

x x x : x^{\frac{5}{8}}

(x > 0)

ta được
A.

4 x

.
B.

x

.
C.

3 x

.
D.

5 x

Kiến thức cần nhớ

$n x^{m} = x^{\frac{m}{n}}$ $(x > 0)$ .
$x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$ ; $x^{m} : x^{n} = x^{m - n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Căn lồng nhau ba tầng là dấu hiệu phải đổi sang luỹ thừa với số mũ hữu tỉ. Đi từ căn trong cùng ra ngoài để không nhầm số mũ; bẫy là cộng số mũ ở các tầng mà quên chia đôi mỗi lần qua một dấu căn.

1Cách 1. Đổi từ trong ra ngoài

Định hướng. Mỗi lần qua một dấu căn bậc hai, số mũ chia đôi.

x x x = x x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x \cdot (x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = x \cdot x^{\frac{3}{4}} = (x^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{7}{8}}

x^{\frac{7}{8}} : x^{\frac{5}{8}} = x^{\frac{7}{8} - \frac{5}{8}} = x^{\frac{2}{8}} = x^{\frac{1}{4}} = 4 x

Vậy chọn A.

2Cách 2. Tách thành tích các căn

Định hướng. Căn của tích bằng tích các căn: tách từng thừa số $x$ ra với bậc căn tương ứng.

x x x = x \cdot 4 x \cdot 8 x = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}} = x^{\frac{4 + 2 + 1}{8}} = x^{\frac{7}{8}}

x^{\frac{7}{8}} : x^{\frac{5}{8}} = x^{\frac{1}{4}}

Vậy chọn A.

3Cách 3. Thử giá trị đặc biệt

Định hướng. Chọn $x = 2^{8} = 256$ để mọi căn đều ra số nguyên, rồi so với bốn phương án.

256 = 16

;

256 \cdot 16 = 64

;

256 \cdot 64 = 128

25 6^{\frac{5}{8}} = 2^{5} = 32

128 : 32 = 4 = 4256

Vậy chọn A.

Nhận xét. Cách 3 hữu ích để kiểm tra nhanh, nhưng chỉ Cách 1 hoặc Cách 2 mới là lời giải đầy đủ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhìn ngay ra số mũ

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}

, không phải lồng nhiều ngoặc.

Đáp số. Chọn A:

4 x

Sai lầm thường gặp. Cộng thẳng

1 + 1 + \frac{1}{2}

rồi chia

2

một lần, ra

x^{\frac{5}{4}}

; hoặc chia số mũ khi phép chia luỹ thừa cùng cơ số phải là trừ.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, với

n

dấu căn bậc hai lồng nhau:

x x \dots x = x^{1 - \frac{1}{2 ^{n}}}

(ở đây

n = 3

cho

x^{\frac{7}{8}}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.29★Trang 25— Tính chất của lôgarit (tích, luỹ thừa)

Bài 6.29 (trang 25). Cho hai số thực dương

a, b

với

a \neq = 1

. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.

lo g_{a} (a^{3} b^{2}) = 3 + lo g_{a} b

.
B.

lo g_{a} (a^{3} b^{2}) = 3 + 2 lo g_{a} b

.
C.

lo g_{a} (a^{3} b^{2}) = \frac{3}{2} + lo g_{a} b

.
D.

lo g_{a} (a^{3} b^{2}) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} lo g_{a} b

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$ ; $lo g_{a} M^{α} = α lo g_{a} M$ ; $lo g_{a} a = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức trong lôgarit là một tích của hai luỹ thừa — dấu hiệu dùng lôgarit của tích rồi lôgarit của luỹ thừa. Bẫy ở chỗ quên hạ số mũ

2

của

b

xuống thành hệ số.

1Cách 1. Tách tích rồi hạ số mũ

Định hướng. Lôgarit của tích bằng tổng các lôgarit.

lo g_{a} (a^{3} b^{2}) = lo g_{a} a^{3} + lo g_{a} b^{2} = 3 lo g_{a} a + 2 lo g_{a} b = 3 + 2 lo g_{a} b

Vậy chọn B.

2Cách 2. Đổi sang lôgarit tự nhiên

Định hướng. Viết $lo g_{a} u = \frac{ln u}{ln a}$ rồi khai triển $ln$ .

lo g_{a} (a^{3} b^{2}) = \frac{ln ( a ^{3} b ^{2} )}{ln a} = \frac{3 ln a + 2 ln b}{ln a} = 3 + 2 \cdot \frac{ln b}{ln a} = 3 + 2 lo g_{a} b

Vậy chọn B.

3Cách 3. Thử số

Định hướng. Chọn $a = 2$ , $b = 4$ để mọi lôgarit ra số nguyên.

lo g_{2} (2^{3} \cdot 4^{2}) = lo g_{2} 2^{7} = 7

3 + 2 = 5

; B:

3 + 2 \cdot 2 = 7

; C:

\frac{3}{2} + 2 = \frac{7}{2}

; D:

\frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}

Vậy chỉ B khớp, chọn B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng đúng hai tính chất, không cần thử số.

Đáp số. Chọn B.

Sai lầm thường gặp. Viết

lo g_{a} b^{2} = lo g_{a} b

(quên hệ số

2

) ra A; hoặc nhầm

lo g_{a} a^{3} = \frac{1}{3}

ra D.

🚀 Mở rộng. Tương tự:

lo g_{a} (\frac{a ^{m}}{b ^{n}}) = m - n lo g_{a} b

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.30★★Trang 25— Tính chất của lôgarit — nhận diện công thức sai

Bài 6.30 (trang 25). Cho bốn số thực dương

a, b, x, y

với

a, b \neq = 1

. Khẳng định nào sau đây là sai?
A.

lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{b} y

.
B.

lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y

.
C.

lo g_{a} \frac{1}{x} = \frac{1}{lo g _{a} x}

.
D.

lo g_{a} b \cdot lo g_{b} x = lo g_{a} x

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} \frac{1}{x} = - lo g_{a} x$ .
$lo g_{a} b \cdot lo g_{b} x = lo g_{a} x$ (đổi cơ số).
$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ ; $lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi phương án là một công thức quen thuộc hoặc bị “sửa” một chút. Cần đối chiếu từng cái với ba quy tắc: tích – thương, nghịch đảo, đổi cơ số. Bẫy lớn nhất: nhầm

lo g_{a} \frac{1}{x}

(số đối) với

\frac{1}{lo g _{a} x}

(nghịch đảo).

1Cách 1. Đối chiếu công thức

Định hướng. Kiểm từng phương án với tính chất đã học.

B: đúng quy tắc lôgarit của thương
D:

lo g_{a} b \cdot lo g_{b} x = lo g_{a} b \cdot \frac{lo g _{a} x}{lo g _{a} b} = lo g_{a} x

(đúng)
C:

lo g_{a} \frac{1}{x} = lo g_{a} x^{- 1} = - lo g_{a} x

, còn

\frac{1}{lo g _{a} x}

là nghịch đảo

Vậy C sai. Chọn C.

2Cách 2. Phản ví dụ bằng số

Định hướng. Chọn $a = 2$ , $x = 8$ để kiểm C.

lo g_{2} \frac{1}{8} = - 3

\frac{1}{lo g _{2} 8} = \frac{1}{3}

- 3 \neq = \frac{1}{3}

Vậy C sai. Chọn C.

3Cách 3. Xét dấu

Định hướng. Với $a > 1$ , $x > 1$ : hai vế của C phải cùng dấu nếu đúng.

x > 1 \Rightarrow \frac{1}{x} < 1 \Rightarrow lo g_{a} \frac{1}{x} < 0

lo g_{a} x > 0 \Rightarrow \frac{1}{lo g _{a} x} > 0

Vế trái âm, vế phải dương

Vậy C sai. Chọn C.

Nhận xét. Phương án A trong sách in $lo g_{b} y$ ở vế phải; đẳng thức như in cũng sai (thử $a = 2$ , $b = 5$ , $x = y = 2$ : $2 \neq = 1 + lo g_{5} 2$ ). Rõ ràng đây là lỗi in của công thức $lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$ (đúng), nên đáp án dự định là C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: xét dấu hai vế là thấy ngay C sai mà không cần tính.

Đáp số. Chọn C (phương án A in

lo g_{b} y

là lỗi in của

lo g_{a} y

Sai lầm thường gặp. Nhầm

lo g_{a} \frac{1}{x}

với

\frac{1}{lo g _{a} x}

; lưu ý sách in phương án A với

lo g_{b} y

nên nếu đọc đúng nguyên văn thì A cũng sai — đó là lỗi in, công thức đúng là

lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y

🚀 Mở rộng. Công thức đúng liên quan đến nghịch đảo là

lo g_{a} x = \frac{1}{lo g _{x} a}

(x \neq = 1)

— nghịch đảo đi với đổi chỗ cơ số, không đi với

\frac{1}{x}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.31★★Trang 25— Biểu diễn lôgarit theo lôgarit cho trước

Bài 6.31 (trang 25). Đặt

lo g_{2} 5 = a

lo g_{3} 5 = b

. Khi đó,

lo g_{6} 5

tính theo

a

và

b

bằng
A.

\frac{ab}{a + b}

.
B.

\frac{1}{a + b}

.
C.

a^{2} + b^{2}

.
D.

a + b

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ $(a, b > 0; a, b \neq = 1)$ .
$lo g_{c} (mn) = lo g_{c} m + lo g_{c} n$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai dữ kiện cùng có số

5

ở vị trí “biểu thức”, còn

6 = 2 \cdot 3

ở cơ số. Muốn tách cơ số

6

thành

2

và

3

thì phải đảo cơ số: đưa

5

xuống làm cơ số chung.

1Cách 1. Đảo cơ số về cơ số 5

Định hướng. Đưa mọi lôgarit về cơ số $5$ .

lo g_{6} 5 = \frac{1}{lo g _{5} 6} = \frac{1}{lo g _{5} 2 + lo g _{5} 3} = \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{ab}{a + b}

Vậy chọn A.

2Cách 2. Đổi sang lôgarit tự nhiên

Định hướng. Đặt $ln 5 = t$ thì $ln 2 = \frac{t}{a}$ , $ln 3 = \frac{t}{b}$ .

lo g_{6} 5 = \frac{ln 5}{ln 2 + ln 3} = \frac{t}{\frac{t}{a} + \frac{t}{b}} = \frac{t}{\frac{t ( a + b )}{ab}} = \frac{ab}{a + b}

Vậy chọn A.

3Cách 3. Kiểm bằng máy tính cầm tay

Định hướng. Tính gần đúng $a$ , $b$ rồi so bốn phương án với $lo g_{6} 5$ .

a \approx 2, 3219

;

b \approx 1, 4650

;

lo g_{6} 5 \approx 0, 8982

\frac{ab}{a + b} \approx \frac{3 , 4016}{3 , 7869} \approx 0, 8982

\approx 0, 264

; C:

\approx 7, 54

; D:

\approx 3, 79

Vậy chọn A.

Nhận xét. Kết quả có dạng “tổng nghịch đảo”: $\frac{1}{lo g _{6} 5} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ , rất dễ nhớ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ

\frac{1}{lo g _{6} 5} = \frac{1}{lo g _{2} 5} + \frac{1}{lo g _{3} 5}

là ra ngay.

Đáp số. Chọn A:

lo g_{6} 5 = \frac{ab}{a + b}

Sai lầm thường gặp. Viết

lo g_{6} 5 = lo g_{2} 5 + lo g_{3} 5

(tách cơ số như tách biểu thức) ra D — cơ số không tách được theo tích.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

lo g_{p} N = a

lo g_{q} N = b

thì

lo g_{pq} N = \frac{ab}{a + b}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.32★Trang 25— Tính chất của hàm số mũ

Bài 6.32 (trang 25). Cho hàm số

y = 2^{x}

. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Tập xác định của hàm số là

R

.
B. Tập giá trị của hàm số là

(0; + \infty)

.
C. Đồ thị của hàm số cắt trục

O x

tại đúng một điểm.
D. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

Kiến thức cần nhớ

Hàm $y = a^{x}$ $(0 < a \neq = 1)$ : tập xác định $R$ , tập giá trị $(0; + \infty)$ ; đồng biến khi $a > 1$ .
Đồ thị hàm mũ luôn nằm phía trên trục hoành và đi qua điểm $(0; 1)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi về tập xác định, tập giá trị, giao với trục hoành và tính đơn điệu của hàm mũ cơ số

2 > 1

. Điểm mấu chốt:

2^{x} > 0

với mọi

x

nên đồ thị luôn nằm phía trên trục hoành.

1Cách 1. Dùng tính chất hàm mũ

Định hướng. So từng phương án với bảng tính chất của $y = a^{x}$ , $a = 2 > 1$ .

A, B: đúng tính chất
D:

a = 2 > 1

nên đồng biến (đúng)
C:

2^{x} > 0

với mọi

x \in R

⇒ phương trình

2^{x} = 0

vô nghiệm

Vậy đồ thị không cắt $O x$ ; C sai. Chọn C.

2Cách 2. Giải phương trình hoành độ giao điểm

Định hướng. Giao với $O x$ ứng với $y = 0$ .

2^{x} = 0

2^{x} > 0

với mọi

x

⇒ vô nghiệm

Vậy không có giao điểm; C sai. Chọn C.

3Cách 3. Nhìn đồ thị

Định hướng. Đồ thị $y = 2^{x}$ đi qua $(0; 1)$ , $(1; 2)$ , và tiến sát trục $O x$ khi $x \to - \infty$ nhưng không chạm.

x = - 10 \Rightarrow y = 2^{- 10} = \frac{1}{1 024} > 0

x \to - \infty lim 2^{x} = 0

nhưng

2^{x} \neq = 0

Vậy trục $O x$ là tiệm cận ngang, không phải chỗ cắt. Chọn C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ “hàm mũ luôn dương” là loại C ngay.

Đáp số. Chọn C.

Sai lầm thường gặp. Nhầm với hàm lôgarit

y = lo g_{2} x

(đồ thị cắt

O x

tại

(1; 0)

), hoặc nghĩ đồ thị “chạm” trục

O x

vì nó tiến rất sát.

🚀 Mở rộng. Đồ thị

y = 2^{x} - 1

thì cắt

O x

đúng một điểm

(0; 0)

— dịch xuống

1

đơn vị làm tập giá trị thành

(- 1; + \infty)

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.33★Trang 25— Tính đơn điệu của hàm mũ, hàm lôgarit

Bài 6.33 (trang 25). Hàm số nào sau đây đồng biến trên tập xác định của nó?
A.

y = lo g_{0, 5} x

.
B.

y = e^{- x}

.
C.

y = (\frac{1}{3})^{x}

.
D.

y = ln x

Kiến thức cần nhớ

$y = a^{x}$ và $y = lo g_{a} x$ đồng biến khi $a > 1$ , nghịch biến khi $0 < a < 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn đều là hàm mũ hoặc hàm lôgarit, nên chỉ cần nhìn cơ số: lớn hơn

1

thì đồng biến, nằm giữa

0

và

1

thì nghịch biến. Bẫy ở B:

e > 1

nhưng số mũ là

- x

, tức cơ số thật là

\frac{1}{e}

1Cách 1. So cơ số với 1

Định hướng. Đưa mọi hàm về dạng cơ số rõ ràng.

A: cơ số

0, 5 < 1

⇒ nghịch biến
B:

e^{- x} = (\frac{1}{e})^{x}

\frac{1}{e} < 1

⇒ nghịch biến
C:

\frac{1}{3} < 1

⇒ nghịch biến
D:

ln x = lo g_{e} x

e > 1

⇒ đồng biến

Vậy chọn D.

2Cách 2. So sánh hai giá trị

Định hướng. Lấy $x_{1} = 1 < x_{2} = 2$ (thuộc mọi tập xác định) và xem giá trị hàm tăng hay giảm.

lo g_{0, 5} 1 = 0 > lo g_{0, 5} 2 = - 1

e^{- 1} > e^{- 2}

; C:

\frac{1}{3} > \frac{1}{9}

ln 1 = 0 < ln 2 \approx 0, 69

Vậy chỉ D tăng, chọn D.

Nhận xét. Cách 2 chỉ loại được A, B, C; khẳng định D đồng biến vẫn dựa vào tính chất ở Cách 1.

3Cách 3. Dùng đạo hàm (kiến thức Chương IX)

Định hướng. Xét dấu đạo hàm trên tập xác định.

(ln x)^{'} = \frac{1}{x} > 0

với

x > 0

(e^{- x})^{'} = - e^{- x} < 0

;

(lo g_{0, 5} x)^{'} = \frac{1}{x ln 0 , 5} < 0

;

((\frac{1}{3})^{x})^{'} = (\frac{1}{3})^{x} ln \frac{1}{3} < 0

Vậy chọn D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần so cơ số với

1

, nhớ đổi

e^{- x}

thành

(\frac{1}{e})^{x}

Đáp số. Chọn D.

Sai lầm thường gặp. Thấy cơ số

e > 1

ở B liền kết luận đồng biến, quên dấu trừ ở số mũ.

🚀 Mở rộng. Hàm

y = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{x}

đồng biến hay nghịch biến? (Đồng biến, vì bằng

lo g_{2} x

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.34★★★Trang 25— Đọc đồ thị hàm lôgarit, so sánh cơ số

Bài 6.34 (trang 25). Cho đồ thị ba hàm số

y = lo g_{a} x

y = lo g_{b} x

và

y = lo g_{c} x

như hình bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.

a > b > c

.
B.

b > a > c

.
C.

a > b > c

.
D.

b > c > a

Kiến thức cần nhớ

$y = lo g_{a} x$ đồng biến khi $a > 1$ , nghịch biến khi $0 < a < 1$ .
Với $x > 1$ và $a, b > 1$ : $lo g_{a} x > lo g_{b} x \Leftrightarrow a < b$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai đồ thị đi lên nên

a, b > 1

, đồ thị đi xuống nên

c < 1

— đã tách được

c

nhỏ nhất. Để so

a

với

b

, chọn một hoành độ

x > 1

rồi so sánh tung độ: cơ số càng nhỏ (mà vẫn lớn hơn

1

) thì đồ thị càng dốc. Bẫy: tưởng đồ thị “cao hơn” thì cơ số lớn hơn.

1Cách 1. So sánh tung độ tại một điểm x > 1

Định hướng. Tại một $x_{0} > 1$ , đồ thị $lo g_{a}$ nằm trên đồ thị $lo g_{b}$ .

y = lo g_{a} x

y = lo g_{b} x

đồng biến ⇒

a > 1

b > 1

;

y = lo g_{c} x

nghịch biến ⇒

0 < c < 1

x_{0} > 1

lo g_{a} x_{0} > lo g_{b} x_{0} > 0 \Leftrightarrow \frac{ln x _{0}}{ln a} > \frac{ln x _{0}}{ln b} \Leftrightarrow \frac{1}{ln a} > \frac{1}{ln b} \Leftrightarrow ln a < ln b \Leftrightarrow a < b

Vậy $b > a > c$ . Chọn B.

2Cách 2. Kẻ đường thẳng y = 1

Định hướng. Giao của $y = lo g_{a} x$ với $y = 1$ là điểm có hoành độ $x = a$ ; tương tự với $b$ .

lo g_{a} x = 1 \Leftrightarrow x = a

;

lo g_{b} x = 1 \Leftrightarrow x = b

Đường

y = 1

gặp đồ thị

lo g_{a}

trước (bên trái) rồi mới gặp đồ thị

lo g_{b}

⇒

a < b

lo g_{c} x = 1 \Leftrightarrow x = c < 1

(giao ở phần

0 < x < 1

)

Vậy $c < a < b$ . Chọn B.

3Cách 3. Thử bộ cơ số cụ thể

Định hướng. Hình minh hoạ vẽ với $a = 2$ , $b = 6$ , $c = \frac{1}{3}$ ; kiểm tra thứ tự đồ thị tại $x = 4$ .

lo g_{2} 4 = 2

;

lo g_{6} 4 \approx 0, 77

;

lo g_{\frac{1}{3}} 4 \approx - 1, 26

Thứ tự từ trên xuống:

lo g_{a}

lo g_{b}

lo g_{c}

— khớp hình sách

Vậy bộ $b > a > c$ cho đúng dáng hình. Chọn B.

Nhận xét. Sách in trùng phương án A và C (cùng là $a > b > c$ ) — lỗi in, không ảnh hưởng đáp án B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: kẻ ngang

y = 1

, đọc thứ tự hoành độ giao điểm chính là thứ tự các cơ số.

Đáp số. Chọn B:

b > a > c

Sai lầm thường gặp. Thấy đồ thị

lo g_{a}

nằm cao nhất liền chọn

a

lớn nhất (A) — với hàm lôgarit cơ số lớn hơn

1

, cơ số càng lớn đồ thị càng thoải. Sách in phương án A và C trùng nhau là lỗi in.

🚀 Mở rộng. Với hàm mũ thì ngược lại: kẻ

x = 1

, giao với

y = a^{x}

tại tung độ

a

, đồ thị cao hơn ứng với cơ số lớn hơn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 6.35★★Trang 26— Tính giá trị biểu thức lôgarit và luỹ thừa

Bài 6.35 (trang 26). Cho

0 < a \neq = 1

. Tính giá trị của biểu thức

B = lo g_{a} (\frac{a ^{2} \cdot 3 a \cdot 5 a ^{4}}{4 a}) + a^{2 l o g_{a} \frac{105}{30}}

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} a^{r} = r$ ; $a^{l o g_{a} N} = N$ $(N > 0)$ .
$n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}$ ; $k lo g_{a} N = lo g_{a} N^{k}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức gồm hai khối: khối lôgarit có biểu thức bên trong là tích – thương các căn của cùng cơ số

a

(đổi hết về

a^{r}

), khối thứ hai có dạng

a^{l o g_{a} N}

(dùng

a^{l o g_{a} N} = N

sau khi đưa số

2

vào trong). Bẫy: tính sai tổng số mũ phân số.

1Cách 1. Đổi hết về luỹ thừa của a

Định hướng. Gộp số mũ ở khối thứ nhất; đưa hệ số $2$ vào trong lôgarit ở khối thứ hai.

\frac{a ^{2} \cdot a ^{\frac{1}{3}} \cdot a ^{\frac{4}{5}}}{a ^{\frac{1}{4}}} = a^{2 + \frac{1}{3} + \frac{4}{5} - \frac{1}{4}} = a^{\frac{120 + 20 + 48 - 15}{60}} = a^{\frac{173}{60}}

a^{2 l o g_{a} \frac{105}{30}} = a^{l o g_{a} (\frac{105}{30})^{2}} = (\frac{105}{30})^{2} = \frac{105}{900} = \frac{7}{60}

B = \frac{173}{60} + \frac{7}{60} = \frac{180}{60} = 3

Vậy $B = 3$ .

2Cách 2. Tách lôgarit của tích – thương

Định hướng. Tách khối thứ nhất thành tổng các lôgarit; khối thứ hai viết $a^{2 l o g_{a} N} = (a^{l o g_{a} N})^{2}$ .

lo g_{a} a^{2} + lo g_{a} a^{\frac{1}{3}} + lo g_{a} a^{\frac{4}{5}} - lo g_{a} a^{\frac{1}{4}} = 2 + \frac{1}{3} + \frac{4}{5} - \frac{1}{4} = \frac{173}{60}

a^{l o g_{a} \frac{105}{30}}^{2} = (\frac{105}{30})^{2} = \frac{7}{60}

B = \frac{173}{60} + \frac{7}{60} = 3

Vậy $B = 3$ .

3Cách 3. Kiểm bằng một giá trị a cụ thể

Định hướng. Kết quả không phụ thuộc $a$ , nên lấy $a = 2$ tính gần đúng để kiểm tra.

\frac{173}{60} \approx 2, 8833

;

\frac{105}{900} \approx 0, 1167

B \approx 2, 8833 + 0, 1167 = 3, 0000

Vậy $B = 3$ .

Nhận xét. Số $\frac{105}{30}$ được chọn khéo để phần lẻ $\frac{7}{60}$ bù đúng cho $\frac{173}{60}$ thành số nguyên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gộp số mũ một lần rồi dùng

a^{l o g_{a} N} = N

, chỉ ba dòng.

Đáp số.

B = 3

Sai lầm thường gặp. Viết

a^{2 l o g_{a} N} = 2 N

(quên

2

là số mũ của

N

), ra

\frac{173}{60} + \frac{105}{15}

; hoặc đổi

5 a^{4} = a^{\frac{5}{4}}

(đảo ngược tử mẫu).

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

a^{k l o g_{a} N} = N^{k}

; thử tính

a^{3 l o g_{a} 2} + lo g_{a} 3 a^{2}

(đáp số

8 + \frac{2}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 6.36★★Trang 26— Phương trình mũ, phương trình lôgarit

Bài 6.36 (trang 26). Giải các phương trình sau:
a)

3^{1 - 2 x} = 4^{x}

;
b)

lo g_{3} (x + 1) + lo g_{3} (x + 4) = 2

Kiến thức cần nhớ

$a^{u} = b^{v}$ $(a, b > 0)$ ⇒ lấy lôgarit hai vế: $u ln a = v ln b$ .
$lo g_{a} u + lo g_{a} v = lo g_{a} (uv)$ với $u, v > 0$ .
$lo g_{a} u = c \Leftrightarrow u = a^{c}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a hai vế có cơ số

3

và

4

không đưa được về cùng cơ số — dấu hiệu lôgarit hoá hai vế. Câu b tổng hai lôgarit cùng cơ số: gộp thành lôgarit của tích, nhưng phải đặt điều kiện trước vì gộp làm mở rộng tập xác định.

1Cách 1. Lôgarit hoá (a) · gộp tích (b)

Định hướng. a) Lấy $ln$ hai vế. b) Đặt điều kiện $x > - 1$ rồi gộp thành một lôgarit.

(1 - 2 x) ln 3 = x ln 4

ln 3 = x (2 ln 3 + ln 4) = x ln 36

x = \frac{ln 3}{ln 36} = lo g_{36} 3

b) Điều kiện:

x + 1 > 0

và

x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > - 1

lo g_{3} [(x + 1) (x + 4)] = 2 \Leftrightarrow (x + 1) (x + 4) = 9 \Leftrightarrow x^{2} + 5 x - 5 = 0

Δ = 25 + 20 = 45

x = \frac{- 5 + 3 5}{2} \approx 0, 854

(thoả mãn) hoặc

x = \frac{- 5 - 3 5}{2} \approx - 5, 854

(loại)

Vậy a) $x = lo g_{36} 3$ ; b) $x = \frac{- 5 + 3 5}{2}$ .

2Cách 2. Biến đổi luỹ thừa (a) · xét tính đơn điệu (b)

Định hướng. a) Tách $3^{1 - 2 x} = 3 \cdot 9^{- x}$ để gom về một luỹ thừa. b) Vế trái là hàm đồng biến nên có tối đa một nghiệm.

\frac{3}{9 ^{x}} = 4^{x} \Leftrightarrow 3 6^{x} = 3 \Leftrightarrow x = lo g_{36} 3

b) Trên

(- 1; + \infty)

f (x) = lo g_{3} (x + 1) + lo g_{3} (x + 4)

là tổng hai hàm đồng biến ⇒

f

đồng biến

f (x) = 2

có nhiều nhất một nghiệm;

x_{0} = \frac{- 5 + 3 5}{2}

thoả

(x_{0} + 1) (x_{0} + 4) = x_{0}^{2} + 5 x_{0} + 4 = 5 + 4 = 9

⇒

f (x_{0}) = lo g_{3} 9 = 2

Vậy a) $x = lo g_{36} 3$ ; b) nghiệm duy nhất $x = \frac{- 5 + 3 5}{2}$ .

3Cách 3. Đặt ẩn phụ (b) · lấy log cơ số 3 (a)

Định hướng. a) Lấy $lo g_{3}$ hai vế. b) Đặt $t = x + \frac{5}{2}$ để tích thành hiệu hai bình phương.

1 - 2 x = x lo g_{3} 4 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2 + lo g _{3} 4} = \frac{1}{lo g _{3} 36} = lo g_{36} 3

(x + 1) (x + 4) = (t - \frac{3}{2}) (t + \frac{3}{2}) = t^{2} - \frac{9}{4} = 9

t^{2} = \frac{45}{4}

t = \pm \frac{3 5}{2}

⇒

x = - \frac{5}{2} \pm \frac{3 5}{2}

; điều kiện

x > - 1

giữ dấu

+

Vậy a) $x = lo g_{36} 3 \approx 0, 3066$ ; b) $x = \frac{- 5 + 3 5}{2} \approx 0, 854$ .

Nhận xét. Câu a có nhiều dạng đáp số tương đương: $lo g_{36} 3 = \frac{ln 3}{ln 36} = \frac{1}{2 + lo g _{3} 4}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho câu a (

3 6^{x} = 3

gọn nhất) và Cách 1 cho câu b (đặt điều kiện rồi giải bậc hai, không sót bước loại nghiệm).

Đáp số. a)

x = lo g_{36} 3

; b)

x = \frac{- 5 + 3 5}{2}

Sai lầm thường gặp. Câu b quên điều kiện nên giữ cả nghiệm

\frac{- 5 - 3 5}{2}

— khi đó

x + 1 < 0

, lôgarit không xác định. Câu a viết nhầm

3^{1 - 2 x} = 3 - 9^{x}

🚀 Mở rộng. Giải

2^{x + 1} = 5^{1 - x}

: đưa về

1 0^{x} = \frac{5}{2}

, nghiệm

x = lo g \frac{5}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 6.37★★Trang 26— Tập xác định của hàm số chứa mũ, lôgarit

Bài 6.37 (trang 26). Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)

y = 4^{x} - 2^{x + 1}

;
b)

y = ln (1 - ln x)

Kiến thức cần nhớ

$u$ xác định ⇔ $u \geq 0$ ; $ln u$ xác định ⇔ $u > 0$ .
$a > 1$ : $a^{u} \geq a^{v} \Leftrightarrow u \geq v$ ; $ln x < 1 \Leftrightarrow 0 < x < e$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a: căn bậc hai xác định khi biểu thức dưới căn không âm — dẫn tới bất phương trình mũ, đưa về cùng cơ số

2

. Câu b có hai tầng lôgarit: tầng trong cần

x > 0

, tầng ngoài cần

1 - ln x > 0

; bẫy là quên một trong hai điều kiện.

1Cách 1. Đưa về cùng cơ số

Định hướng. a) Viết $4^{x} = 2^{2 x}$ . b) Giải hệ hai điều kiện.

4^{x} - 2^{x + 1} \geq 0 \Leftrightarrow 2^{2 x} \geq 2^{x + 1} \Leftrightarrow 2 x \geq x + 1 \Leftrightarrow x \geq 1

{x > 0 1 - ln x > 0 \Leftrightarrow {x > 0 ln x < 1 \Leftrightarrow 0 < x < e

Vậy a) $D = [1; + \infty)$ ; b) $D = (0; e)$ .

2Cách 2. Đặt ẩn phụ (a) · dùng tính đơn điệu (b)

Định hướng. a) Đặt $t = 2^{x} > 0$ . b) $ln$ đồng biến nên $ln x < 1 = ln e \Leftrightarrow x < e$ .

t^{2} - 2 t \geq 0 \Leftrightarrow t (t - 2) \geq 0

;

t > 0

⇒

t \geq 2 \Leftrightarrow 2^{x} \geq 2 \Leftrightarrow x \geq 1

x > 0

và

ln x < ln e \Leftrightarrow 0 < x < e

Vậy a) $D = [1; + \infty)$ ; b) $D = (0; e)$ .

3Cách 3. Đặt nhân tử chung (a) · thử điểm biên (b)

Định hướng. a) Đặt $2^{x}$ ra ngoài. b) Kiểm lại tại các giá trị tiêu biểu để chắc hai đầu mút.

2^{x} (2^{x} - 2) \geq 0

;

2^{x} > 0

⇒

2^{x} - 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1

x = 1

ln (1 - 0) = 0

xác định;

x = e

ln (1 - 1) = ln 0

không xác định;

x = 3 > e

1 - ln 3 < 0

không xác định

x \to 0^{+}

ln x \to - \infty

1 - ln x > 0

vẫn xác định

Vậy a) $D = [1; + \infty)$ ; b) $D = (0; e)$ .

Nhận xét. Ở câu a đầu mút $x = 1$ được lấy vì căn cho phép biểu thức bằng $0$ ; ở câu b đầu mút $x = e$ bị loại vì lôgarit đòi biểu thức dương ngặt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho câu a (đặt

2^{x}

ra ngoài là ra ngay) và Cách 1 cho câu b (viết đủ hệ hai điều kiện).

Đáp số. a)

D = [1; + \infty)

; b)

D = (0; e)

Sai lầm thường gặp. Câu b chỉ giải

1 - ln x > 0

x < e

rồi kết luận

D = (- \infty; e)

, quên

x > 0

; câu a viết

2^{x + 1} = 2^{x} + 1

🚀 Mở rộng. Tìm tập xác định của

y = 9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3

: đặt

t = 3^{x}

được

D = (- \infty; 0] \cup [1; + \infty)

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 6.38★★★Trang 26— Bài toán thực tế — mô hình lạm phát (hàm mũ)

Bài 6.38 (trang 26). Lạm phát là sự tăng mức giá chung một cách liên tục của hàng hoá và dịch vụ theo thời gian, tức là sự mất giá trị của một loại tiền tệ nào đó. Chẳng hạn, nếu lạm phát là

5%

một năm thì sức mua của

1

triệu đồng sau một năm chỉ còn là

950

nghìn đồng (vì đã giảm mất

5%

của

1

triệu đồng, tức là

50000

đồng). Nói chung, nếu tỉ lệ lạm phát trung bình là

r %

một năm thì tổng số tiền

P

ban đầu, sau

n

năm số tiền đó chỉ còn giá trị là

A = P \cdot (1 - \frac{r}{100})^{n}

.
a) Nếu tỉ lệ lạm phát là

8%

một năm thì sức mua của

100

triệu đồng sau hai năm sẽ còn lại bao nhiêu?
b) Nếu sức mua của

100

triệu đồng sau hai năm chỉ còn là

90

triệu đồng thì tỉ lệ lạm phát trung bình của hai năm đó là bao nhiêu?
c) Nếu tỉ lệ lạm phát là

5%

một năm thì sau bao nhiêu năm sức mua của số tiền ban đầu chỉ còn lại một nửa?

Kiến thức cần nhớ

$q^{n} = k$ $(0 < q \neq = 1, k > 0)$ ⇔ $n = lo g_{q} k = \frac{ln k}{ln q}$ .
$u^{2} = k$ với $u > 0$ ⇒ $u = k$ .

🧠 Phân tích tư duy

Công thức

A = P (1 - \frac{r}{100})^{n}

có ba đại lượng có thể là ẩn: câu a tìm

A

(thay số), câu b tìm

r

(khai căn bậc

n

), câu c tìm

n

nằm ở số mũ (phải dùng lôgarit). Bẫy ở câu c: ra số năm không nguyên, cần diễn giải đúng.

1Cách 1. Thay số trực tiếp và dùng lôgarit

Định hướng. Lần lượt coi $A$ , $r$ , $n$ là ẩn trong cùng một công thức.

A = 100 \cdot (1 - \frac{8}{100})^{2} = 100 \cdot 0, 9 2^{2} = 100 \cdot 0, 8464 = 84, 64

(triệu đồng)
b)

100 (1 - \frac{r}{100})^{2} = 90 \Leftrightarrow (1 - \frac{r}{100})^{2} = 0, 9

1 - \frac{r}{100} = 0, 9 \approx 0, 94868

(vì

1 - \frac{r}{100} > 0

) ⇒

r \approx 5, 13

P \cdot 0, 9 5^{n} = \frac{P}{2} \Leftrightarrow 0, 9 5^{n} = 0, 5 \Leftrightarrow n = lo g_{0, 95} 0, 5 = \frac{ln 0 , 5}{ln 0 , 95} \approx 13, 51

Vậy a) $84, 64$ triệu đồng; b) khoảng $5, 13%$ một năm; c) khoảng $13, 51$ năm, tức sau khoảng $14$ năm sức mua còn chưa tới một nửa.

2Cách 2. Lôgarit thập phân và lập bảng (c)

Định hướng. Câu c lấy $lo g$ hai vế; kiểm lại bằng cách tính $0, 9 5^{n}$ quanh $n = 13$ , $14$ .

n lo g 0, 95 = lo g 0, 5 \Rightarrow n = \frac{- 0 , 30103}{- 0 , 022276} \approx 13, 51

0, 9 5^{13} \approx 0, 5133 > 0, 5

;

0, 9 5^{14} \approx 0, 4877 < 0, 5

b) Tỉ lệ còn lại mỗi năm

q = \frac{90}{100} \approx 0, 9487

⇒

r = 100 (1 - q) \approx 5, 13

Vậy b) $r \approx 5, 13%$ ; c) hết năm thứ $13$ còn khoảng $51, 3%$ , hết năm thứ $14$ còn khoảng $48, 8%$ .

3Cách 3. Ước lượng nhanh bằng “quy tắc 70”

Định hướng. Với tỉ lệ giảm nhỏ $r %$ , thời gian giảm một nửa xấp xỉ $\frac{70}{r}$ năm (vì $ln 2 \approx 0, 69$ ).

n \approx \frac{- ln 2}{ln ( 1 - 0 , 05 )} \approx \frac{0 , 6931}{0 , 0513} \approx 13, 5

Quy tắc 70:

\frac{70}{5} = 14

— khớp với kết quả chính xác
a) Kiểm:

8%

trong

2

năm mất gần

2 \cdot 8% = 16%

, còn khoảng

84

triệu

Vậy các kết quả ước lượng khớp: a) $84, 64$ triệu đồng; c) khoảng $14$ năm.

Nhận xét. Câu b không phải $\frac{10%}{2} = 5%$ , vì lạm phát tính luỹ tiến; kết quả đúng $5, 13%$ lớn hơn một chút.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay số rồi lôgarit hoá, ghi rõ

n = lo g_{0, 95} 0, 5

trước khi bấm máy.

Đáp số. a)

84, 64

triệu đồng; b)

r \approx 5, 13%

; c)

n \approx 13, 51

, tức sau khoảng

14

năm.

Sai lầm thường gặp. Câu b chia đều

10% : 2 = 5%

(bỏ qua tính luỹ tiến); câu c dùng nhầm

1, 0 5^{n} = 2

(công thức lãi kép tăng) cho ra

14, 2

năm.

🚀 Mở rộng. Với lạm phát

r %

mỗi năm, thời gian sức mua còn một nửa là

n = \frac{ln 0 , 5}{ln ( 1 - \frac{r}{100} )}

; thử với

r = 10

được

n \approx 6, 58

năm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 6.39★★★Trang 26— Bài toán thực tế — tăng trưởng mũ

Bài 6.39 (trang 26). Giả sử quá trình nuôi cấy vi khuẩn tuân theo quy luật tăng trưởng tự do. Khi đó, nếu gọi

N_{0}

là số lượng vi khuẩn ban đầu và

N (t)

là số lượng vi khuẩn sau

t

giờ thì ta có:

N (t) = N_{0} e^{r t}

,
trong đó

r

là tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn mỗi giờ.
Giả sử ban đầu có

500

con vi khuẩn và sau

1

giờ tăng lên

800

con. Hỏi:
a) Sau

5

giờ thì số lượng vi khuẩn là khoảng bao nhiêu con?
b) Sau bao lâu thì số lượng vi khuẩn ban đầu sẽ tăng lên gấp đôi?

Kiến thức cần nhớ

$e^{u} = k$ $(k > 0)$ ⇔ $u = ln k$ .
$e^{r t} = (e^{r})^{t}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dữ kiện “sau

1

giờ tăng lên

800

con” dùng để tìm

r

(hay chính

e^{r}

). Câu a thay

t = 5

, câu b có ẩn

t

ở số mũ nên phải lôgarit hoá. Mẹo: không cần tính

r

riêng, vì

e^{r} = 1, 6

nên

N (t) = 500 \cdot 1, 6^{t}

1Cách 1. Tìm r rồi thay vào công thức

Định hướng. Từ $N (1) = 800$ tìm $r$ , rồi dùng công thức với $t = 5$ và giải $N (t) = 1000$ .

500 e^{r} = 800 \Leftrightarrow e^{r} = 1, 6 \Leftrightarrow r = ln 1, 6 \approx 0, 47

N (5) = 500 e^{5 r} = 500 \cdot 1, 6^{5} = 500 \cdot 10, 48576 = 5242, 88

500 e^{r t} = 1000 \Leftrightarrow e^{r t} = 2 \Leftrightarrow t = \frac{ln 2}{r} = \frac{ln 2}{ln 1 , 6} \approx 1, 47

Vậy a) khoảng $5243$ con; b) sau khoảng $1, 47$ giờ (khoảng $1$ giờ $28$ phút).

2Cách 2. Đổi sang cơ số 1,6

Định hướng. Vì $e^{r} = 1, 6$ nên $N (t) = 500 \cdot 1, 6^{t}$ — hàm mũ cơ số $1, 6$ , không cần số $e$ .

N (5) = 500 \cdot 1, 6^{5} = 500 \cdot \frac{8 ^{5}}{5 ^{5}} = 500 \cdot \frac{32 768}{3 125} = 5242, 88

1, 6^{t} = 2 \Leftrightarrow t = lo g_{1, 6} 2 = \frac{lo g 2}{lo g 1 , 6} \approx \frac{0 , 30103}{0 , 20412} \approx 1, 47

Vậy a) khoảng $5243$ con; b) khoảng $1, 47$ giờ.

3Cách 3. Ước lượng bằng bảng giá trị

Định hướng. Nhân dần với $1, 6$ mỗi giờ để thấy số lượng và thời điểm gấp đôi.

t = 0

500

;

t = 1

800

;

t = 2

1280

;

t = 3

2048

;

t = 4

3276, 8

;

t = 5

5242, 88

Gấp đôi (

1000

con) xảy ra giữa

t = 1

và

t = 2

;

1, 6^{1, 5} \approx 2, 02

⇒

t

hơi nhỏ hơn

1, 5

Vậy a) khoảng $5243$ con; b) khoảng $1, 47$ giờ, khớp Cách 1.

Nhận xét. Thời gian gấp đôi $\frac{ln 2}{r}$ không phụ thuộc số lượng ban đầu: cứ khoảng $1, 47$ giờ đàn vi khuẩn lại gấp đôi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: thay

e^{r} = 1, 6

ngay, mọi phép tính thành luỹ thừa cơ số

1, 6

, ít sai số làm tròn nhất.

Đáp số.

r = ln 1, 6 \approx 0, 47

; a) khoảng

5243

con; b) khoảng

1, 47

giờ.

Sai lầm thường gặp. Làm tròn

r \approx 0, 47

quá sớm rồi tính

500 e^{5 \cdot 0, 47} \approx 5242, 4

— sai số nhỏ nhưng dễ lệch đáp án; hoặc giải

e^{r t} = 1000

(quên chia cho

N_{0}

🚀 Mở rộng. Nếu sau

1

giờ tăng từ

500

lên

800

con, sau bao lâu đạt

10000

con? (

t = lo g_{1, 6} 20 \approx 6, 37

giờ.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 6.40★★★Trang 26— Bài toán thực tế — định luật Benford (lôgarit thập phân)

Bài 6.40 (trang 26). Vào năm

1938

, nhà vật lí Frank Benford đã đưa ra một phương pháp để xác định xem một bộ số đã được chọn ngẫu nhiên hay đã được chọn theo cách thủ công. Nếu bộ số này không được chọn ngẫu nhiên thì công thức Benford sau sẽ được dùng ước tính xác suất

P

để chữ số

d

là chữ số đầu tiên của bộ số đó:

P = lo g \frac{d + 1}{d}

. (Theo F. Benford, The Law of Anomalous Numbers, Proc. Am. Philos. Soc.

78

(

1938

551

–

572

).
Chẳng hạn, xác suất để chữ số đầu tiên là

9

bằng khoảng

4, 6%

(thay

d = 9

trong công thức Benford để tính

P

).
a) Viết công thức tìm chữ số

d

nếu cho trước xác suất

P

.
b) Tìm chữ số có xác suất bằng

9, 7%

được chọn.
c) Tính xác suất để chữ số đầu tiên là

1

Kiến thức cần nhớ

$lo g u = P \Leftrightarrow u = 1 0^{P}$ .
$lo g \frac{d + 1}{d} = lo g (1 + \frac{1}{d})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a là “giải ngược” công thức: ẩn

d

nằm trong lôgarit, mũ hoá hai vế cơ số

10

. Câu b dùng công thức vừa tìm với

P = 0, 097

(phải đổi phần trăm ra số thập phân); câu c chỉ việc thay

d = 1

. Bẫy: giữ

P = 9, 7

thay vì

0, 097

1Cách 1. Mũ hoá hai vế

Định hướng. Viết $\frac{d + 1}{d} = 1 + \frac{1}{d}$ rồi dùng định nghĩa lôgarit thập phân.

lo g (1 + \frac{1}{d}) = P \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{d} = 1 0^{P} \Leftrightarrow d = \frac{1}{1 0 ^{P} - 1}

P = 9, 7% = 0, 097

d = \dfrac{1}{10^{\circ}{,}097} - 1} \approx \dfrac{1}{1{,}2503 - 1} \approx 3{,}995 \approx 4

P = lo g \frac{1 + 1}{1} = lo g 2 \approx 0, 301

Vậy a) $d = \frac{1}{1 0 ^{P} - 1}$ ; b) chữ số $4$ ; c) khoảng $30, 1%$ .

2Cách 2. Lập bảng xác suất Benford

Định hướng. Tính $P (d) = lo g (d + 1) - lo g d$ cho $d = 1, 2, \dots, 9$ , rồi tra.

P (1) = lo g 2 \approx 0, 301

;

P (2) = lo g 1, 5 \approx 0, 176

;

P (3) = lo g \frac{4}{3} \approx 0, 125

P (4) = lo g 1, 25 \approx 0, 097

;

P (5) = lo g 1, 2 \approx 0, 079

; …;

P (9) = lo g \frac{10}{9} \approx 0, 046

a) Từ

P = lo g (d + 1) - lo g d

1 0^{P} = \frac{d + 1}{d}

⇒

d (1 0^{P} - 1) = 1

⇒

d = \frac{1}{1 0 ^{P} - 1}

Vậy b) $9, 7%$ ứng với $d = 4$ ; c) $P (1) \approx 30, 1%$ .

3Cách 3. Kiểm tra bằng tổng xác suất

Định hướng. Tổng xác suất của chín chữ số phải bằng $1$ — cách kiểm tra công thức và các giá trị đã tính.

\sum_{d = 1}^{9} lo g \frac{d + 1}{d} = lo g (\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \dots \frac{10}{9}) = lo g 10 = 1

b) Thử

d = 4

vào công thức:

lo g \frac{5}{4} = lo g 1, 25 \approx 0, 0969 \approx 9, 7%

P (1) = lo g 2 \approx 0, 301

— gần một phần ba bộ số bắt đầu bằng chữ số

1

Vậy các kết quả nhất quán: a) $d = \frac{1}{1 0 ^{P} - 1}$ ; b) $d = 4$ ; c) $30, 1%$ .

Nhận xét. Tổng “lồng nhau” (telescoping) cho thấy công thức Benford là một phân bố xác suất hợp lệ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mũ hoá hai vế là ra công thức ngược trong một dòng, câu b, c chỉ còn thay số.

Đáp số. a)

d = \frac{1}{1 0 ^{P} - 1}

; b) chữ số

4

; c)

P = lo g 2 \approx 30, 1%

Sai lầm thường gặp. Câu b thay

P = 9, 7

(quên đổi phần trăm) ra

d \approx 2 \cdot 1 0^{- 10}

vô nghĩa; câu a viết nhầm

\frac{d + 1}{d} = P^{10}

🚀 Mở rộng. Tính xác suất để chữ số đầu tiên là

1

hoặc

2

lo g 2 + lo g 1, 5 = lo g 3 \approx 47, 7%

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit Bài tiếp theo ›Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc

📚 Cùng chương: Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 18. Luỹ thừa với số mũ thực
Bài 19. Lôgarit
Bài 20. Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Bài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
▶ Bài tập cuối chương VI