Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 19. Lôgarit

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 2 · 14 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngVI #SGK_Tập2 #trang10–15 #CùngBàiBênSBT #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Mở đầu★★★Trang 10— Tìm số năm gửi nhỏ nhất theo công thức lãi kép (dẫn tới lôgarit)

Mở đầu (trang 10). Bác An gửi tiết kiệm ngân hàng 100 triệu đồng kì hạn 12 tháng, với lãi suất không đổi là 6% một năm. Khi đó sau

n

năm gửi thì tổng số tiền bác An thu được (cả vốn lẫn lãi) cho bởi công thức sau:

A = 100 \cdot (1 + 0, 06)^{n}

(triệu đồng).
Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, tổng số tiền bác An thu được là không dưới 150 triệu đồng?

Kiến thức cần nhớ

$α = lo g_{a} M \Leftrightarrow a^{α} = M$ $(0 < a \neq = 1, M > 0)$ .
$lo g_{a} M^{α} = α lo g_{a} M$ .
Với $a > 1$ : $a^{x} \geq a^{y} \Leftrightarrow x \geq y$ (hàm mũ cơ số lớn hơn 1 đồng biến).

🧠 Phân tích tư duy

Ẩn

n

nằm ở số mũ, nên muốn 'kéo'

n

xuống thì phải dùng phép toán ngược của luỹ thừa — chính là lôgarit, khái niệm của bài học này. Đề hỏi 'ít nhất bao nhiêu năm' và gửi kì hạn 12 tháng nên

n

là số nguyên dương: tìm ngưỡng thực rồi làm tròn LÊN. Bẫy là làm tròn

6, 96

thành

6

theo thói quen làm tròn gần nhất.

1Cách 1. Dùng định nghĩa lôgarit

Định hướng. Đưa điều kiện 'không dưới 150' về dạng $1, 0 6^{n} \geq 1, 5$ , rồi dùng lôgarit cơ số $1, 06$ để giải ra $n$ .

100 \cdot 1, 0 6^{n} \geq 150

1, 0 6^{n} \geq 1, 5

1, 0 6^{n} \geq 1, 0 6^{l o g_{1, 06} 1, 5}

n \geq lo g_{1, 06} 1, 5 \approx 6, 96

n \in N^{*}

nên

n \geq 7

Vậy sau ít nhất $7$ năm bác An thu được không dưới $150$ triệu đồng.

2Cách 2. Lấy lôgarit thập phân hai vế

Định hướng. Máy tính nào cũng có phím $lo g$ , nên lấy lôgarit thập phân hai vế và dùng quy tắc $lo g M^{α} = α lo g M$ để đưa $n$ xuống làm hệ số.

1, 0 6^{n} \geq 1, 5

lo g 1, 0 6^{n} \geq lo g 1, 5

n lo g 1, 06 \geq lo g 1, 5

n \geq \frac{lo g 1 , 5}{lo g 1 , 06} \approx \frac{0 , 17609}{0 , 02531} \approx 6, 96

n \geq 7

Vậy cần ít nhất $7$ năm.

3Cách 3. Lập bảng tính dần từng năm

Định hướng. Vì $n$ nguyên và $A$ tăng theo $n$ , ta tính $A$ lần lượt quanh ngưỡng dự đoán để thấy năm đầu tiên vượt $150$ .

n = 6

A = 100 \cdot 1, 0 6^{6} \approx 141, 85 < 150

n = 7

A = 100 \cdot 1, 0 6^{7} \approx 150, 36 \geq 150

1, 06 > 1

nên

A

tăng theo

n

, mọi

n \leq 6

đều cho

A < 150

Vậy $n = 7$ năm là số năm ít nhất.

Nhận xét. Cách 3 chỉ kiểm được khi đã đoán đúng vùng; Cách 1 và Cách 2 cho ngay ngưỡng $6, 96$ nên không phải dò. Cả ba cách đều cần bước làm tròn lên vì $n$ nguyên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng

n \geq lo g_{1, 06} 1, 5

rồi bấm máy (phím

lo g_{□} □

) là xong; Cách 3 dùng để thử lại đáp số.

Đáp số. Ít nhất

7

năm (

n \geq lo g_{1, 06} 1, 5 \approx 6, 96

Sai lầm thường gặp. Làm tròn

6, 96

thành

6

là sai: sau

6

năm bác An chỉ có khoảng

141, 85

triệu đồng, chưa đủ

150

triệu. Một lỗi khác là giải

100 \cdot 1, 0 6^{n} = 150

bằng cách chia

150 : 100 : 1, 06

như thể

n

là hệ số chứ không phải số mũ.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: để số tiền tăng gấp

k

lần với lãi suất

r

mỗi kì thì cần ít nhất

⌈ lo g_{1 + r} k ⌉

kì; thử với

k = 2

r = 6%

sẽ ra

12

năm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ1★Trang 10— Giải phương trình mũ cơ bản

2^{x} = b

bằng cách đưa về cùng cơ số

HĐ1 (trang 10). Nhận biết khái niệm lôgarit. Tìm

x

, biết:
a)

2^{x} = 8

; b)

2^{x} = \frac{1}{4}

; c)

2^{x} = 2

Kiến thức cần nhớ

$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ ; $a = a^{\frac{1}{2}}$ .
Với $0 < a \neq = 1$ : $a^{x} = a^{y} \Leftrightarrow x = y$ .
$α = lo g_{a} M \Leftrightarrow a^{α} = M$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba vế phải

8

\frac{1}{4}

2

đều là luỹ thừa của

2

— dấu hiệu đưa về cùng cơ số rồi so sánh số mũ. Chính số mũ tìm được là 'lôgarit cơ số 2' của vế phải, đây là ý đồ của hoạt động. Bẫy ở câu b là viết

\frac{1}{4} = 2^{2}

mà quên dấu trừ.

1Cách 1. Đưa về cùng cơ số 2

Định hướng. Viết mỗi vế phải thành một luỹ thừa của $2$ rồi đồng nhất số mũ.

2^{x} = 8 = 2^{3} \Leftrightarrow x = 3

2^{x} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2 ^{2}} = 2^{- 2} \Leftrightarrow x = - 2

2^{x} = 2 = 2^{\frac{1}{2}} \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}

Vậy a) $x = 3$ ; b) $x = - 2$ ; c) $x = \frac{1}{2}$ .

2Cách 2. Dùng định nghĩa lôgarit

Định hướng. Số mũ $x$ để $2^{x} = M$ chính là $lo g_{2} M$ ; dùng tính chất $lo g_{a} a^{α} = α$ để tính.

x = lo g_{2} 8 = lo g_{2} 2^{3} = 3

x = lo g_{2} \frac{1}{4} = lo g_{2} 2^{- 2} = - 2

x = lo g_{2} 2 = lo g_{2} 2^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}

Vậy $x$ lần lượt bằng $3$ ; $- 2$ ; $\frac{1}{2}$ .

3Cách 3. Thử nghiệm và dùng tính đơn điệu

Định hướng. Đoán một nghiệm bằng tính nhẩm, rồi dùng tính đồng biến của $y = 2^{x}$ để khẳng định nghiệm đó là duy nhất.

2^{3} = 8

;

2^{- 2} = \frac{1}{4}

;

2^{\frac{1}{2}} = 2

y = 2^{x}

đồng biến trên

R

mỗi phương trình

2^{x} = b

(b > 0)

có không quá một nghiệm

Vậy các nghiệm $x = 3$ , $x = - 2$ , $x = \frac{1}{2}$ là duy nhất.

Nhận xét. Cách 3 giải thích vì sao định nghĩa lôgarit hợp lí: với $M > 0$ luôn có đúng một số $α$ để $2^{α} = M$ , số đó được đặt tên là $lo g_{2} M$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (hoặc Cách 2 khi đề đã viết sẵn kí hiệu

lo g

): đưa về cùng cơ số là nhanh nhất và không cần máy tính.

Đáp số. a)

x = 3

; b)

x = - 2

; c)

x = \frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Viết

\frac{1}{4} = 2^{2}

(mất dấu trừ) nên ra

x = 2

; thử lại

2^{2} = 4 \neq = \frac{1}{4}

. Ở câu c hay nhầm

2 = 2^{2}

hoặc

2^{- \frac{1}{2}}

; đúng là

2 = 2^{\frac{1}{2}}

🚀 Mở rộng. Nếu vế phải không phải luỹ thừa 'đẹp' của

2

, chẳng hạn

2^{x} = 5

, thì không đưa được về cùng cơ số — nghiệm chỉ viết được là

x = lo g_{2} 5 \approx 2, 32

; đó chính là lí do cần khái niệm lôgarit.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★Trang 11— Tính lôgarit bằng định nghĩa và tính chất

lo g_{a} a^{α} = α

Luyện tập 1 (trang 11). Tính:
a)

lo g_{3} 33

; b)

lo g_{\frac{1}{2}} 32

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} a^{α} = α$ $(0 < a \neq = 1)$ .
$lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$ .
$lo g_{a^{α}} M = \frac{1}{α} lo g_{a} M$ $(α \neq = 0)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai biểu thức dưới dấu lôgarit đều viết được thành luỹ thừa của chính cơ số (

33 = 3^{\frac{3}{2}}

32 = (\frac{1}{2})^{- 5}

), nên kết quả là số hữu tỉ, không cần máy tính. Bẫy ở câu b: cơ số

\frac{1}{2}

nhỏ hơn 1 nên lôgarit của số lớn hơn 1 phải âm.

1Cách 1. Viết thành luỹ thừa của cơ số

Định hướng. Biến số dưới dấu log thành $a^{α}$ với $a$ là cơ số, rồi dùng $lo g_{a} a^{α} = α$ .

lo g_{3} 33 = lo g_{3} 3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = lo g_{3} 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}

lo g_{\frac{1}{2}} 32 = lo g_{\frac{1}{2}} 2^{5} = lo g_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2})^{- 5} = - 5

Vậy a) $\frac{3}{2}$ ; b) $- 5$ .

2Cách 2. Đặt ẩn theo định nghĩa

Định hướng. Gọi giá trị cần tính là $x$ , chuyển sang đẳng thức luỹ thừa $a^{x} = M$ rồi giải phương trình mũ.

lo g_{3} 33 = x \Leftrightarrow 3^{x} = 33 = 3^{\frac{3}{2}} \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}

lo g_{\frac{1}{2}} 32 = y \Leftrightarrow (\frac{1}{2})^{y} = 32 \Leftrightarrow 2^{- y} = 2^{5} \Leftrightarrow y = - 5

Vậy a) $\frac{3}{2}$ ; b) $- 5$ .

3Cách 3. Dùng quy tắc tính và công thức cơ số dạng luỹ thừa

Định hướng. Câu a tách tích thành tổng hai lôgarit; câu b coi cơ số $\frac{1}{2} = 2^{- 1}$ và dùng $lo g_{a^{α}} M = \frac{1}{α} lo g_{a} M$ .

lo g_{3} 33 = lo g_{3} 3 + lo g_{3} 3 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

lo g_{\frac{1}{2}} 32 = lo g_{2^{- 1}} 32 = \frac{1}{- 1} lo g_{2} 32 = - lo g_{2} 2^{5} = - 5

Vậy a) $\frac{3}{2}$ ; b) $- 5$ .

Nhận xét. Kiểm tra dấu: cơ số $3 > 1$ và $33 > 1$ nên kết quả dương; cơ số $\frac{1}{2} < 1$ còn $32 > 1$ nên kết quả âm — khớp với cả ba cách.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn ra

33 = 3^{\frac{3}{2}}

và

32 = (\frac{1}{2})^{- 5}

là viết đáp số ngay trong một dòng.

Đáp số. a)

lo g_{3} 33 = \frac{3}{2}

; b)

lo g_{\frac{1}{2}} 32 = - 5

Sai lầm thường gặp. Ở câu b nhiều bạn ra

5

vì quên cơ số là

\frac{1}{2}

chứ không phải

2

; thử lại

(\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{32} \neq = 32

. Ở câu a hay nhầm

3 = 3^{2}

hoặc cộng số mũ thành

1 \cdot \frac{1}{2}

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

lo g_{\frac{1}{a}} M = - lo g_{a} M

và

lo g_{a} (a^{m} n a) = m + \frac{1}{n}

; thử tính

lo g_{\frac{1}{3}} 943

(đáp số

- \frac{9}{4}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ2★Trang 11— Tính và so sánh để phát hiện quy tắc lôgarit của tích, của thương

HĐ2 (trang 11). Nhận biết quy tắc tính lôgarit. Cho

M = 2^{5}

N = 2^{3}

. Tính và so sánh:
a)

lo g_{2} (M N)

và

lo g_{2} M + lo g_{2} N

;
b)

lo g_{2} (\frac{M}{N})

và

lo g_{2} M - lo g_{2} N

Kiến thức cần nhớ

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ ; $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ .
$lo g_{a} a^{α} = α$ .
$lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$ ; $lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N$ .

🧠 Phân tích tư duy

M

N

đều là luỹ thừa của

2

nên mọi lôgarit cơ số 2 ở đây đều là số nguyên, tính tay được. Điều cần thấy là: nhân hai luỹ thừa thì cộng số mũ, mà lôgarit chính là số mũ — nên lôgarit của tích bằng tổng các lôgarit.

1Cách 1. Tính trực tiếp từng giá trị

Định hướng. Tính $M N$ , $\frac{M}{N}$ ra số rồi lấy lôgarit, so với tổng, hiệu của $lo g_{2} M = 5$ và $lo g_{2} N = 3$ .

M N = 32 \cdot 8 = 256 = 2^{8}

;

\frac{M}{N} = \frac{32}{8} = 4 = 2^{2}

lo g_{2} (M N) = lo g_{2} 2^{8} = 8

;

lo g_{2} M + lo g_{2} N = 5 + 3 = 8

lo g_{2} \frac{M}{N} = lo g_{2} 2^{2} = 2

;

lo g_{2} M - lo g_{2} N = 5 - 3 = 2

Vậy $lo g_{2} (M N) = lo g_{2} M + lo g_{2} N = 8$ và $lo g_{2} \frac{M}{N} = lo g_{2} M - lo g_{2} N = 2$ .

2Cách 2. Dùng quy tắc nhân, chia luỹ thừa

Định hướng. Không cần tính ra số: nhân chia luỹ thừa cùng cơ số chính là cộng trừ số mũ.

lo g_{2} (M N) = lo g_{2} (2^{5} \cdot 2^{3}) = lo g_{2} 2^{5 + 3} = 5 + 3 = lo g_{2} M + lo g_{2} N

lo g_{2} \frac{M}{N} = lo g_{2} \frac{2 ^{5}}{2 ^{3}} = lo g_{2} 2^{5 - 3} = 5 - 3 = lo g_{2} M - lo g_{2} N

Vậy hai cặp số trong a) và b) đều bằng nhau.

3Cách 3. Tổng quát hoá với

M = a^{m}

N = a^{n}

Định hướng. Thay số $5$ , $3$ bằng chữ để thấy đẳng thức đúng với mọi $M, N > 0$ — đây là chứng minh của quy tắc.

M = a^{m}

N = a^{n}

\Leftrightarrow

m = lo g_{a} M

n = lo g_{a} N

M N = a^{m + n} \Rightarrow lo g_{a} (M N) = m + n = lo g_{a} M + lo g_{a} N

\frac{M}{N} = a^{m - n} \Rightarrow lo g_{a} \frac{M}{N} = m - n = lo g_{a} M - lo g_{a} N

Vậy với $a = 2$ , $m = 5$ , $n = 3$ ta được đúng kết quả của câu a, b.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy quy tắc lôgarit chỉ là quy tắc luỹ thừa 'đọc theo số mũ'.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Để trả lời HĐ dùng Cách 1 (nhanh, rõ số); muốn nhớ lâu và dùng cho mọi

M, N

thì học thuộc Cách 3.

Đáp số. a)

lo g_{2} (M N) = lo g_{2} M + lo g_{2} N = 8

; b)

lo g_{2} \frac{M}{N} = lo g_{2} M - lo g_{2} N = 2

Sai lầm thường gặp. Nhầm quy tắc thành

lo g_{2} (M N) = lo g_{2} M \cdot lo g_{2} N

: với số liệu này vế phải là

15 \neq = 8

. Tương tự

lo g_{2} \frac{M}{N} \neq = \frac{lo g _{2} M}{lo g _{2} N} = \frac{5}{3}

🚀 Mở rộng. Áp dụng liên tiếp quy tắc tích cho

M_{1} M_{2} \dots M_{k}

ta được

lo g_{a} (M_{1} M_{2} \dots M_{k}) = lo g_{a} M_{1} + \dots + lo g_{a} M_{k}

, và khi các thừa số bằng nhau thì ra quy tắc

lo g_{a} M^{k} = k lo g_{a} M

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 2★★Trang 11— Rút gọn biểu thức lôgarit chứa biến bằng quy tắc tích, thương

Luyện tập 2 (trang 11). Rút gọn biểu thức:

A = lo g_{2} (x^{3} - x) - lo g_{2} (x + 1) - lo g_{2} (x - 1)

(x > 1)

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} M - lo g_{a} N = lo g_{a} \frac{M}{N}$ $(M, N > 0)$ .
$lo g_{a} M + lo g_{a} N = lo g_{a} (M N)$ .
$x^{3} - x = x (x - 1) (x + 1)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai số hạng bị trừ có

(x + 1) (x - 1) = x^{2} - 1

, mà

x^{3} - x = x (x^{2} - 1)

— dấu hiệu gộp tất cả vào một lôgarit của thương để triệt tiêu. Điều kiện

x > 1

bảo đảm

x

x - 1

x + 1

và

x^{3} - x

đều dương nên mọi phép tách, gộp đều hợp lệ.

1Cách 1. Gộp thành lôgarit của một thương

Định hướng. Nhóm hai số hạng bị trừ thành một lôgarit của tích rồi dùng quy tắc thương.

A = lo g_{2} (x^{3} - x) - [lo g_{2} (x + 1) + lo g_{2} (x - 1)]

A = lo g_{2} (x^{3} - x) - lo g_{2} [(x + 1) (x - 1)]

A = lo g_{2} \frac{x ( x ^{2} - 1 )}{x ^{2} - 1}

A = lo g_{2} x

Vậy $A = lo g_{2} x$ .

2Cách 2. Tách lôgarit của tích rồi triệt tiêu

Định hướng. Phân tích $x^{3} - x$ thành ba nhân tử dương và tách thành tổng ba lôgarit.

lo g_{2} (x^{3} - x) = lo g_{2} [x (x - 1) (x + 1)] = lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 1) + lo g_{2} (x + 1)

A = lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 1) + lo g_{2} (x + 1) - lo g_{2} (x + 1) - lo g_{2} (x - 1)

A = lo g_{2} x

Vậy $A = lo g_{2} x$ .

3Cách 3. Mũ hoá: tính

2^{A}

Định hướng. Dùng $a^{l o g_{a} M} = M$ để chuyển biểu thức lôgarit thành biểu thức đại số, rút gọn xong lại lấy lôgarit.

2^{A} = \frac{2 ^{l o g_{2} (x^{3} - x)}}{2 ^{l o g_{2} (x + 1)} \cdot 2 ^{l o g_{2} (x - 1)}}

2^{A} = \frac{x ^{3} - x}{( x + 1 ) ( x - 1 )} = \frac{x ( x ^{2} - 1 )}{x ^{2} - 1} = x

A = lo g_{2} x

Vậy $A = lo g_{2} x$ .

Nhận xét. Kiểm tra nhanh với $x = 2$ : $A = lo g_{2} 6 - lo g_{2} 3 - lo g_{2} 1 = lo g_{2} 2 = 1 = lo g_{2} 2$ , khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gộp thành một lôgarit của thương rồi rút gọn phân thức — ít dòng nhất và không cần tách từng nhân tử.

Đáp số.

A = lo g_{2} x

(với

x > 1

Sai lầm thường gặp. Viết

lo g_{2} (x^{3} - x) = lo g_{2} x^{3} - lo g_{2} x

là sai (lôgarit của hiệu không tách được). Một lỗi khác là trừ

lo g_{2} (x + 1)

rồi lại cộng

lo g_{2} (x - 1)

, tức quên dấu trừ trước ngoặc khi nhóm.

🚀 Mở rộng. Làm tương tự:

lo g_{3} (x^{4} - 1) - lo g_{3} (x^{2} + 1) - lo g_{3} (x - 1) = lo g_{3} (x + 1)

với

x > 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ3★★Trang 11— Xây dựng công thức đổi cơ số của lôgarit

HĐ3 (trang 11). Xây dựng công thức đổi cơ số của lôgarit. Giả sử đã cho

lo g_{a} M

và ta muốn tính

lo g_{b} M

. Để tìm mối liên hệ giữa

lo g_{a} M

và

lo g_{b} M

, hãy thực hiện các yêu cầu sau:
a) Đặt

y = lo g_{a} M

, tính

M

theo

y

;
b) Lấy lôgarit theo cơ số

b

cả hai vế của kết quả nhận được trong câu a, từ đó suy ra công thức mới để tính

y

Kiến thức cần nhớ

$y = lo g_{a} M \Leftrightarrow a^{y} = M$ .
$lo g_{b} M^{α} = α lo g_{b} M$ .
$lo g_{a} M = \frac{lo g _{b} M}{lo g _{b} a}$ $(0 < a \neq = 1, 0 < b \neq = 1, M > 0)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Muốn chuyển từ cơ số

a

sang cơ số

b

thì phải có một đẳng thức 'không có cơ số', đó là

M = a^{y}

. Lấy

lo g_{b}

hai vế và dùng quy tắc

lo g_{b} a^{y} = y lo g_{b} a

sẽ đưa

y

xuống. Bẫy là quên điều kiện

lo g_{b} a \neq = 0

(tức

a \neq = 1

) trước khi chia.

1Cách 1. Lấy lôgarit cơ số

b

hai vế (theo gợi ý của sách)

Định hướng. Đi đúng hai bước sách gợi ý: đổi sang dạng luỹ thừa, rồi lấy $lo g_{b}$ .

y = lo g_{a} M \Leftrightarrow M = a^{y}

lo g_{b} M = lo g_{b} a^{y} = y lo g_{b} a

a \neq = 1 \Rightarrow lo g_{b} a \neq = 0

y = \frac{lo g _{b} M}{lo g _{b} a}

Vậy a) $M = a^{y}$ ; b) $lo g_{a} M = \frac{lo g _{b} M}{lo g _{b} a}$ .

2Cách 2. Viết

a

và

M

thành luỹ thừa của

b

Định hướng. Mọi số dương đều là luỹ thừa của $b$ ; đặt $a = b^{u}$ , $M = b^{v}$ thì phương trình $a^{y} = M$ trở thành so sánh số mũ.

u = lo g_{b} a \neq = 0

v = lo g_{b} M

, tức

a = b^{u}

M = b^{v}

M = a^{y} \Leftrightarrow b^{v} = (b^{u})^{y} = b^{u y}

v = u y

y = \frac{v}{u} = \frac{lo g _{b} M}{lo g _{b} a}

Vậy $lo g_{a} M = \frac{lo g _{b} M}{lo g _{b} a}$ .

3Cách 3. Chứng minh dạng tích

lo g_{b} a \cdot lo g_{a} M = lo g_{b} M

Định hướng. Tính $b$ mũ tích $lo g_{b} a \cdot lo g_{a} M$ bằng quy tắc luỹ thừa của luỹ thừa, rồi dùng $a^{l o g_{a} M} = M$ hai lần.

b^{l o g_{b} a \cdot l o g_{a} M} = (b^{l o g_{b} a})^{l o g_{a} M} = a^{l o g_{a} M} = M

lo g_{b} a \cdot lo g_{a} M = lo g_{b} M

lo g_{a} M = \frac{lo g _{b} M}{lo g _{b} a}

Vậy công thức đổi cơ số $lo g_{a} M = \frac{lo g _{b} M}{lo g _{b} a}$ được chứng minh.

Nhận xét. Dạng tích $lo g_{b} a \cdot lo g_{a} M = lo g_{b} M$ dễ nhớ như 'rút gọn chéo' $a$ và rất tiện khi gặp tích nhiều lôgarit nối đuôi nhau (xem Bài 6.12a).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Trình bày trong bài kiểm tra dùng Cách 1 (đúng theo gợi ý đề); còn khi tính toán, hãy nhớ dạng tích ở Cách 3 vì nó dùng lại được rất nhiều lần.

Đáp số. a)

M = a^{y}

; b)

lo g_{b} M = y lo g_{b} a

, suy ra

y = lo g_{a} M = \frac{lo g _{b} M}{lo g _{b} a}

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm

lo g_{a} M = \frac{lo g _{b} a}{lo g _{b} M}

(đảo tử mẫu). Thử với

a = 4

M = 8

b = 2

: đúng là

\frac{3}{2}

, còn công thức đảo cho

\frac{2}{3}

. Cũng không được chia cho

lo g_{b} a

khi chưa nêu

a \neq = 1

🚀 Mở rộng. Hệ quả ngay:

lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}

và

lo g_{a^{α}} M = \frac{1}{α} lo g_{a} M

; hãy tự chứng minh cả hai từ công thức vừa lập (đó là Ví dụ 4 của sách).

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 3★Trang 12— Tính lôgarit khi cơ số và số dưới dấu log cùng là luỹ thừa của một số

Luyện tập 3 (trang 12). Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính

lo g_{9} \frac{1}{27}

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} M = \frac{lo g _{b} M}{lo g _{b} a}$ .
$lo g_{a^{α}} M^{β} = \frac{β}{α} lo g_{a} M$ $(α \neq = 0)$ .
$a^{x} = a^{y} \Leftrightarrow x = y$ $(0 < a \neq = 1)$ .

🧠 Phân tích tư duy

9 = 3^{2}

và

\frac{1}{27} = 3^{- 3}

đều là luỹ thừa của

3

, nên đổi về cơ số

3

là ra ngay một phân số. Bẫy là đảo tử mẫu thành

- \frac{2}{3}

1Cách 1. Đổi về cơ số 3

Định hướng. Dùng công thức đổi cơ số với cơ số trung gian $3$ .

lo g_{9} \frac{1}{27} = \frac{lo g _{3} \frac{1}{27}}{lo g _{3} 9} = \frac{lo g _{3} 3 ^{- 3}}{lo g _{3} 3 ^{2}} = \frac{- 3}{2}

Vậy $lo g_{9} \frac{1}{27} = - \frac{3}{2}$ .

2Cách 2. Đặt ẩn theo định nghĩa

Định hướng. Gọi giá trị cần tính là $x$ rồi giải phương trình mũ $9^{x} = \frac{1}{27}$ .

lo g_{9} \frac{1}{27} = x \Leftrightarrow 9^{x} = \frac{1}{27}

3^{2 x} = 3^{- 3}

2 x = - 3

x = - \frac{3}{2}

Vậy $lo g_{9} \frac{1}{27} = - \frac{3}{2}$ .

3Cách 3. Dùng công thức

lo g_{a^{α}} M^{β} = \frac{β}{α} lo g_{a} M

Định hướng. Kéo cả số mũ của cơ số lẫn số mũ của biểu thức ra ngoài trong một bước.

lo g_{9} \frac{1}{27} = lo g_{3^{2}} 3^{- 3} = \frac{- 3}{2} lo g_{3} 3 = - \frac{3}{2}

Vậy $lo g_{9} \frac{1}{27} = - \frac{3}{2}$ .

Nhận xét. Kiểm tra dấu: cơ số $9 > 1$ mà $\frac{1}{27} < 1$ nên lôgarit phải âm, khớp với $- \frac{3}{2}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: một dòng duy nhất, số mũ của biểu thức lên tử, số mũ của cơ số xuống mẫu.

Đáp số.

lo g_{9} \frac{1}{27} = - \frac{3}{2}

Sai lầm thường gặp. Đảo tử mẫu ra

- \frac{2}{3}

; thử lại

9^{- \frac{2}{3}} = 3^{- \frac{4}{3}} \neq = 3^{- 3}

. Hoặc quên dấu trừ vì coi

\frac{1}{27} = 3^{3}

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

lo g_{a^{m}} a^{n} = \frac{n}{m}

; thử tính

lo g_{2} \frac{1}{3 4}

(đáp số

- \frac{4}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Vận dụng★★★Trang 14— Bài toán lãi kép theo kì và lãi kép liên tục, tìm thời gian bằng lôgarit tự nhiên

Vận dụng (trang 14). Cô Hương gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất 6% một năm.
a) Tính số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi) sau 1 năm, nếu lãi suất được tính theo một trong các thể thức sau:
– Lãi kép kì hạn 12 tháng;
– Lãi kép kì hạn 1 tháng;
– Lãi kép liên tục.
b) Tính thời gian cần thiết để cô Hương thu được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 150 triệu đồng nếu gửi theo thể thức lãi kép liên tục (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Gợi ý của sách: Công thức lãi kép tính số tiền thu được sau

N

kì gửi là

A = 100 \cdot (1 + \frac{0 , 06}{n})^{N}

, trong đó

n

là số kì tính lãi trong 1 năm. Công thức lãi kép liên tục tính số tiền thu được sau

t

năm gửi là

A = 100 \cdot e^{0, 06 t}

Kiến thức cần nhớ

Lãi kép $n$ kì mỗi năm: sau $N$ kì, $A = P (1 + \frac{r}{n})^{N}$ .
Lãi kép liên tục: sau $t$ năm, $A = P e^{r t}$ .
$e^{x} = M \Leftrightarrow x = ln M$ $(M > 0)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a chỉ là thay số vào hai công thức gợi ý với số kì

n = 1

n = 12

và công thức

e^{0, 06}

— điều thú vị là kì càng ngắn tiền càng nhiều nhưng tăng rất chậm, bị chặn trên bởi lãi kép liên tục. Câu b có ẩn

t

ở số mũ của

e

nên phải dùng lôgarit tự nhiên. Bẫy là dùng lãi suất tháng

0, 06

thay vì

\frac{0 , 06}{12} = 0, 005

1Cách 1. Thay số trực tiếp, câu b dùng lôgarit tự nhiên

Định hướng. Câu a thay $n = 1$ , $N = 1$ ; $n = 12$ , $N = 12$ và $t = 1$ . Câu b giải $100 e^{0, 06 t} = 150$ bằng cách lấy $ln$ .

a) Kì hạn 12 tháng:

A_{1} = 100 \cdot (1 + 0, 06)^{1} = 106

Kì hạn 1 tháng:

A_{2} = 100 \cdot (1 + \frac{0 , 06}{12})^{12} = 100 \cdot 1, 00 5^{12} \approx 106, 17

Liên tục:

A_{3} = 100 \cdot e^{0, 06 \cdot 1} \approx 106, 18

100 e^{0, 06 t} = 150

e^{0, 06 t} = 1, 5

0, 06 t = ln 1, 5

t = \frac{ln 1 , 5}{0 , 06} \approx 6, 76 \approx 6, 8

Vậy a) khoảng $106$ ; $106, 17$ ; $106, 18$ triệu đồng; b) khoảng $6, 8$ năm.

2Cách 2. Câu b lấy lôgarit thập phân hai vế

Định hướng. Máy tính nào cũng có phím $lo g$ : lấy $lo g$ hai vế của $e^{0, 06 t} = 1, 5$ và dùng $lo g e^{0, 06 t} = 0, 06 t lo g e$ .

e^{0, 06 t} = 1, 5

0, 06 t \cdot lo g e = lo g 1, 5

t = \frac{lo g 1 , 5}{0 , 06 \cdot lo g e} \approx \frac{0 , 17609}{0 , 06 \cdot 0 , 43429} \approx 6, 76

t \approx 6, 8

Vậy cần khoảng $6, 8$ năm, trùng Cách 1 (vì $\frac{lo g 1 , 5}{lo g e} = ln 1, 5$ ).

3Cách 3. Dùng công thức thời gian tăng gấp

k

lần

Định hướng. Từ $P e^{r t} = k P$ suy ra ngay $t = \frac{ln k}{r}$ (tổng quát của Ví dụ 6), ở đây $k = \frac{150}{100} = 1, 5$ ; câu a thì so sánh ba kết quả bằng giới hạn.

P e^{r t} = k P \Leftrightarrow r t = ln k \Leftrightarrow t = \frac{ln k}{r}

k = 1, 5

r = 0, 06

t = \frac{ln 1 , 5}{0 , 06} \approx 6, 8

106 < 106, 17 < 106, 18

, và

n \to + \infty lim 100 (1 + \frac{0 , 06}{n})^{n} = 100 e^{0, 06}

Vậy thời gian cần thiết khoảng $6, 8$ năm.

Nhận xét. Chia kì càng nhỏ thì tiền càng tăng nhưng chỉ thêm vài chục nghìn đồng; lãi kép liên tục là mức trần. So với tình huống mở đầu (kì hạn 12 tháng, cần $7$ năm), lãi kép liên tục chỉ nhanh hơn chừng hai tháng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (hoặc nhớ sẵn Cách 3

t = \frac{ln k}{r}

): chỉ một phép

ln

và một phép chia trên máy tính.

Đáp số. a) Kì hạn 12 tháng:

106

triệu đồng; kì hạn 1 tháng: khoảng

106, 17

triệu đồng; lãi kép liên tục: khoảng

106, 18

triệu đồng. b) Khoảng

6, 8

năm.

Sai lầm thường gặp. Với kì hạn 1 tháng, dùng

100 (1 + 0, 06)^{12} \approx 201, 22

là sai vì

6%

là lãi suất năm, lãi suất mỗi tháng chỉ là

0, 5%

. Ở câu b hay quên chia cho

0, 06

hoặc viết

t = ln (1, 5 : 0, 06)

🚀 Mở rộng. Thời gian để vốn tăng gấp đôi theo lãi kép liên tục là

t = \frac{ln 2}{r} \approx \frac{0 , 693}{r}

— đó là 'quy tắc 70' của giới tài chính: lãi

7%

một năm thì khoảng

10

năm vốn gấp đôi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 6.9★Trang 14— Tính giá trị biểu thức lôgarit bằng tính chất và quy tắc

Bài 6.9 (trang 14). Tính:
a)

lo g_{2} 2^{- 13}

; b)

ln e^{2}

; c)

lo g_{8} 16 - lo g_{8} 2

; d)

lo g_{2} 6 \cdot lo g_{6} 8

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} a^{α} = α$ ; $ln e^{α} = α$ .
$lo g_{a} M - lo g_{a} N = lo g_{a} \frac{M}{N}$ .
$lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c$ (công thức đổi cơ số).

🧠 Phân tích tư duy

Câu a, b có dạng

lo g_{a} a^{α}

nên đọc ngay kết quả. Câu c là hiệu hai lôgarit cùng cơ số, gộp thành lôgarit của thương. Câu d là tích hai lôgarit 'nối đuôi' (

2 \to 6 \to 8

), đúng dạng của công thức đổi cơ số viết dưới dạng tích.

1Cách 1. Dùng tính chất và quy tắc tính lôgarit

Định hướng. Mỗi câu một tính chất: $lo g_{a} a^{α} = α$ , quy tắc thương, công thức đổi cơ số dạng tích.

lo g_{2} 2^{- 13} = - 13

ln e^{2} = 2

lo g_{8} 16 - lo g_{8} 2 = lo g_{8} \frac{16}{2} = lo g_{8} 8 = 1

lo g_{2} 6 \cdot lo g_{6} 8 = lo g_{2} 8 = lo g_{2} 2^{3} = 3

Vậy a) $- 13$ ; b) $2$ ; c) $1$ ; d) $3$ .

2Cách 2. Dùng định nghĩa và tính riêng từng lôgarit

Định hướng. Câu a, b đặt ẩn theo định nghĩa lôgarit; câu c tính riêng $lo g_{8} 16$ và $lo g_{8} 2$ bằng cơ số $2$ ; câu d đổi cả hai thừa số về cơ số $2$ .

lo g_{2} 2^{- 13} = x \Leftrightarrow 2^{x} = 2^{- 13} \Leftrightarrow x = - 13

ln e^{2} = y \Leftrightarrow e^{y} = e^{2} \Leftrightarrow y = 2

lo g_{8} 16 = lo g_{2^{3}} 2^{4} = \frac{4}{3}

;

lo g_{8} 2 = lo g_{2^{3}} 2 = \frac{1}{3}

;

\frac{4}{3} - \frac{1}{3} = 1

lo g_{6} 8 = \frac{lo g _{2} 8}{lo g _{2} 6} = \frac{3}{lo g _{2} 6}

;

lo g_{2} 6 \cdot \frac{3}{lo g _{2} 6} = 3

Vậy a) $- 13$ ; b) $2$ ; c) $1$ ; d) $3$ .

3Cách 3. Đổi sang lôgarit tự nhiên

Định hướng. Viết mọi lôgarit thành thương của hai $ln$ ; các $ln$ trung gian tự triệt tiêu.

lo g_{2} 2^{- 13} = \frac{ln 2 ^{- 13}}{ln 2} = \frac{- 13 ln 2}{ln 2} = - 13

ln e^{2} = 2 ln e = 2

lo g_{8} 16 - lo g_{8} 2 = \frac{4 ln 2}{3 ln 2} - \frac{ln 2}{3 ln 2} = \frac{4}{3} - \frac{1}{3} = 1

lo g_{2} 6 \cdot lo g_{6} 8 = \frac{ln 6}{ln 2} \cdot \frac{ln 8}{ln 6} = \frac{3 ln 2}{ln 2} = 3

Vậy a) $- 13$ ; b) $2$ ; c) $1$ ; d) $3$ .

Nhận xét. Câu d cho thấy vì sao gọi là 'nối đuôi': $ln 6$ ở mẫu thừa số này triệt tiêu $ln 6$ ở tử thừa số kia.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi câu một dòng, đặc biệt câu d nhận ra ngay

lo g_{2} 6 \cdot lo g_{6} 8 = lo g_{2} 8

mà không cần tính

lo g_{2} 6

Đáp số. a)

- 13

; b)

2

; c)

1

; d)

3

Sai lầm thường gặp. Câu c hay bị viết

lo g_{8} 16 - lo g_{8} 2 = lo g_{8} (16 - 2) = lo g_{8} 14

— sai, hiệu hai lôgarit là lôgarit của THƯƠNG. Câu d hay bị nhân thành

lo g_{12} 48

hoặc

lo g_{2} 48

— không có quy tắc nào như thế.

🚀 Mở rộng. Tổng quát câu d:

lo g_{a_{1}} a_{2} \cdot lo g_{a_{2}} a_{3} \dots lo g_{a_{n - 1}} a_{n} = lo g_{a_{1}} a_{n}

; thử tính

lo g_{3} 5 \cdot lo g_{5} 7 \cdot lo g_{7} 81

(đáp số

4

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 6.10★★Trang 14— Gộp tổng, hiệu, bội các lôgarit thành một lôgarit

Bài 6.10 (trang 14). Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):
a)

A = ln (\frac{x}{x - 1}) + ln (\frac{x + 1}{x}) - ln (x^{2} - 1)

;
b)

B = 21 lo g_{3} 3 x + lo g_{3} (9 x^{2}) - lo g_{3} 9

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} M + lo g_{a} N = lo g_{a} (M N)$ ; $lo g_{a} M - lo g_{a} N = lo g_{a} \frac{M}{N}$ .
$α lo g_{a} M = lo g_{a} M^{α}$ .
$x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ ; $3 x = x^{\frac{1}{3}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai biểu thức đều là tổng, hiệu các lôgarit cùng cơ số, nên dồn hết vào MỘT lôgarit của tích, thương. Ở câu b còn có hệ số

21

đứng trước, phải đưa vào làm số mũ trước khi gộp. 'Các biểu thức đều có nghĩa' ở câu a cho biết

x > 1

, ở câu b cho biết

x > 0

1Cách 1. Gộp dần từ trái sang phải

Định hướng. Gộp tổng thành lôgarit của tích, rồi gộp hiệu thành lôgarit của thương; câu b đưa hệ số lên số mũ trước.

A = ln (\frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x}) - ln (x^{2} - 1) = ln \frac{x + 1}{x - 1} - ln (x^{2} - 1)

A = ln \frac{x + 1}{( x - 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )} = ln \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}

B = lo g_{3} (3 x)^{21} + lo g_{3} \frac{9 x ^{2}}{9} = lo g_{3} x^{7} + lo g_{3} x^{2}

B = lo g_{3} (x^{7} \cdot x^{2}) = lo g_{3} x^{9}

Vậy $A = ln \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}$ ; $B = lo g_{3} x^{9}$ .

2Cách 2. Tách thành các lôgarit 'nguyên tố' rồi thu gọn

Định hướng. Tách mọi lôgarit thành tổng, hiệu của $ln x$ , $ln (x - 1)$ , $ln (x + 1)$ (câu b là $lo g_{3} x$ và $lo g_{3} 3$ ), thu gọn như đa thức, cuối cùng gộp lại.

A = [ln x - ln (x - 1)] + [ln (x + 1) - ln x] - [ln (x - 1) + ln (x + 1)]

A = - 2 ln (x - 1) = ln (x - 1)^{- 2} = ln \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}

B = 21 \cdot \frac{1}{3} lo g_{3} x + (lo g_{3} 9 + 2 lo g_{3} x) - lo g_{3} 9

B = 7 lo g_{3} x + 2 lo g_{3} x = 9 lo g_{3} x = lo g_{3} x^{9}

Vậy $A = ln \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}$ ; $B = lo g_{3} x^{9}$ .

3Cách 3. Mũ hoá: tính

e^{A}

và

3^{B}

Định hướng. Dùng $e^{l n M} = M$ , $3^{l o g_{3} M} = M$ để đổi tổng, hiệu lôgarit thành tích, thương đại số, rồi lấy lôgarit trở lại.

e^{A} = \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x} : (x^{2} - 1) = \frac{x + 1}{x - 1} \cdot \frac{1}{( x - 1 ) ( x + 1 )} = \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}

A = ln \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}

3^{B} = x^{\frac{1}{3}}^{21} \cdot 9 x^{2} : 9 = x^{7} \cdot x^{2} = x^{9}

B = lo g_{3} x^{9}

Vậy $A = ln \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}$ ; $B = lo g_{3} x^{9}$ .

Nhận xét. Thử lại với $x = 2$ : $A = ln 2 + ln \frac{3}{2} - ln 3 = 0 = ln \frac{1}{1 ^{2}}$ , khớp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gộp thẳng thành một lôgarit, đúng yêu cầu 'viết thành lôgarit của một biểu thức'; Cách 2 dùng khi biểu thức bên trong phức tạp khó rút gọn.

Đáp số. a)

A = ln \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}

(cũng viết

A = - 2 ln (x - 1)

); b)

B = lo g_{3} x^{9}

Sai lầm thường gặp. Câu b hay bị tính

21 lo g_{3} 3 x = lo g_{3} 3 x^{21}

rồi dừng, hoặc nhầm

21 \cdot \frac{1}{3} = 3

. Câu a hay quên rằng

ln (x^{2} - 1) \neq = ln x^{2} - ln 1

🚀 Mở rộng. Với cùng cách làm, hãy viết

C = 2 lo g_{2} (x + 1) - lo g_{2} (x^{2} + 2 x + 1) + lo g_{2} x

(x > 0)

thành một lôgarit (đáp số

C = lo g_{2} x

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 6.11★★Trang 15— Rút gọn biểu thức lôgarit khác cơ số bằng công thức

lo g_{a^{α}} M = \frac{1}{α} lo g_{a} M

Bài 6.11 (trang 15). Rút gọn các biểu thức sau:
a)

A = lo g_{\frac{1}{3}} 5 + 2 lo g_{9} 25 - lo g_{3} \frac{1}{5}

;
b)

B = lo g_{a} M^{2} + lo g_{a^{2}} M^{4}

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a^{α}} M^{β} = \frac{β}{α} lo g_{a} M$ $(α \neq = 0, M > 0)$ .
$lo g_{a} M^{α} = α lo g_{a} M$ .
$lo g_{a} M + lo g_{a} N = lo g_{a} (M N)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba cơ số

\frac{1}{3}

9

3

đều là luỹ thừa của

3

(

3^{- 1}

3^{2}

3^{\frac{1}{2}}

), còn

25

\frac{1}{5}

là luỹ thừa của

5

— mọi số hạng đều quy được về

lo g_{3} 5

. Câu b:

a^{2}

là luỹ thừa của

a

nên cũng quy về cơ số

a

. Bẫy là dấu:

lo g_{\frac{1}{3}}

và

\frac{1}{5}

đều sinh ra dấu trừ.

1Cách 1. Đưa mọi số hạng về

lo g_{3} 5

Định hướng. Dùng $lo g_{a^{α}} M^{β} = \frac{β}{α} lo g_{a} M$ cho từng số hạng rồi cộng các hệ số.

lo g_{\frac{1}{3}} 5 = lo g_{3^{- 1}} 5 = - lo g_{3} 5

2 lo g_{9} 25 = 2 lo g_{3^{2}} 5^{2} = 2 \cdot \frac{2}{2} lo g_{3} 5 = 2 lo g_{3} 5

lo g_{3} \frac{1}{5} = lo g_{3^{\frac{1}{2}}} 5^{- 1} = \frac{- 1}{\frac{1}{2}} lo g_{3} 5 = - 2 lo g_{3} 5

A = - lo g_{3} 5 + 2 lo g_{3} 5 + 2 lo g_{3} 5 = 3 lo g_{3} 5 = lo g_{3} 125

B = lo g_{a} M^{2} + \frac{1}{2} lo g_{a} M^{4} = lo g_{a} M^{2} + lo g_{a} M^{2} = 2 lo g_{a} M^{2} = lo g_{a} M^{4}

Vậy $A = 3 lo g_{3} 5 = lo g_{3} 125$ ; $B = lo g_{a} M^{4}$ (với $M > 0$ thì $B = 4 lo g_{a} M$ ).

2Cách 2. Đổi sang lôgarit tự nhiên

Định hướng. Viết mỗi lôgarit thành thương hai $ln$ ; tất cả chỉ còn $ln 3$ và $ln 5$ (câu b là $ln a$ và $ln M$ ).

A = \frac{ln 5}{- ln 3} + 2 \cdot \frac{2 ln 5}{2 ln 3} - \frac{- ln 5}{\frac{1}{2} ln 3}

A = - \frac{ln 5}{ln 3} + \frac{2 ln 5}{ln 3} + \frac{2 ln 5}{ln 3} = \frac{3 ln 5}{ln 3} = 3 lo g_{3} 5

B = \frac{ln M ^{2}}{ln a} + \frac{ln M ^{4}}{2 ln a} = \frac{2 ln M ^{2}}{2 ln a} + \frac{ln M ^{4}}{2 ln a} = \frac{ln M ^{4} + ln M ^{4}}{2 ln a} = \frac{ln M ^{4}}{ln a} = lo g_{a} M^{4}

Vậy $A = 3 lo g_{3} 5$ ; $B = lo g_{a} M^{4}$ .

3Cách 3. Gộp thành lôgarit cơ số 3 của một tích

Định hướng. Đổi mỗi số hạng thành $lo g_{3}$ của một số, rồi cộng các lôgarit thành lôgarit của tích.

lo g_{\frac{1}{3}} 5 = lo g_{3} \frac{1}{5}

;

2 lo g_{9} 25 = lo g_{3} 25

;

- lo g_{3} \frac{1}{5} = - 2 lo g_{3} \frac{1}{5} = lo g_{3} 25

A = lo g_{3} (\frac{1}{5} \cdot 25 \cdot 25) = lo g_{3} 125

lo g_{a^{2}} M^{4} = lo g_{a^{2}} (M^{2})^{2} = lo g_{a} M^{2}

B = lo g_{a} M^{2} + lo g_{a} M^{2} = lo g_{a} (M^{2} \cdot M^{2}) = lo g_{a} M^{4}

Vậy $A = lo g_{3} 125$ ; $B = lo g_{a} M^{4}$ .

Nhận xét. Kiểm tra bằng số: $3 lo g_{3} 5 \approx 4, 395$ và $lo g_{3} 125 \approx 4, 395$ . Câu b viết $B = lo g_{a} M^{4}$ đúng cả khi $M < 0$ , còn $4 lo g_{a} M$ chỉ đúng khi $M > 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ một công thức

lo g_{a^{α}} M^{β} = \frac{β}{α} lo g_{a} M

là xử lí được cả ba số hạng, ít nhầm dấu nhất.

Đáp số. a)

A = 3 lo g_{3} 5 = lo g_{3} 125

; b)

B = lo g_{a} M^{4}

(

= 4 lo g_{a} M

khi

M > 0

Sai lầm thường gặp. Viết

lo g_{3} \frac{1}{5} = \frac{1}{2} lo g_{3} \frac{1}{5}

(nhân với

\frac{1}{2}

thay vì chia) nên ra

A = \frac{3}{2} lo g_{3} 5

. Ở câu b, viết

lo g_{a^{2}} M^{4} = 2 lo g_{a} M^{4}

(đưa số mũ của cơ số lên nhân) cũng là lỗi cùng loại.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

lo g_{a^{m}} M^{n} = \frac{n}{m} lo g_{a} M

; thử rút gọn

lo g_{\frac{1}{2}} 7 + lo g_{4} 49 + lo g_{2} 7

(đáp số

2 lo g_{2} 7

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 6.12★★Trang 15— Tính tích các lôgarit (dạng nối đuôi và dạng luỹ thừa của cơ số)

Bài 6.12 (trang 15). Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)

A = lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4 \cdot lo g_{4} 5 \cdot lo g_{5} 6 \cdot lo g_{6} 7 \cdot lo g_{7} 8

;
b)

B = lo g_{2} 2 \cdot lo g_{2} 4 \dots lo g_{2} 2^{n}

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c$ $(0 < a, b \neq = 1, c > 0)$ .
$lo g_{a} M = \frac{ln M}{ln a}$ .
$lo g_{a} a^{k} = k$ ; $1 \cdot 2 \dots n = n!$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a là chuỗi 'nối đuôi'

2 \to 3 \to 4 \to \dots \to 8

: số dưới dấu log của thừa số này là cơ số của thừa số sau, dấu hiệu dùng công thức

lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c

để triệt tiêu dây chuyền. Câu b mọi thừa số có dạng

lo g_{2} 2^{k} = k

nên tích là

1 \cdot 2 \dots n

. Bẫy câu b là nhầm thành tổng

1 + 2 + \dots + n

1Cách 1. Rút gọn dây chuyền bằng công thức đổi cơ số

Định hướng. Áp dụng liên tiếp $lo g_{a} b \cdot lo g_{b} c = lo g_{a} c$ từ trái sang phải; câu b tính thẳng từng thừa số.

A = lo g_{2} 4 \cdot lo g_{4} 5 \cdot lo g_{5} 6 \cdot lo g_{6} 7 \cdot lo g_{7} 8

A = lo g_{2} 5 \cdot lo g_{5} 6 \cdot lo g_{6} 7 \cdot lo g_{7} 8 = lo g_{2} 6 \cdot lo g_{6} 7 \cdot lo g_{7} 8

A = lo g_{2} 7 \cdot lo g_{7} 8 = lo g_{2} 8 = 3

lo g_{2} 2^{k} = k

với

k = 1, 2, \dots, n

B = 1 \cdot 2 \cdot 3 \dots n = n!

Vậy $A = 3$ ; $B = n!$ .

2Cách 2. Đổi tất cả sang lôgarit tự nhiên

Định hướng. Mỗi thừa số là một thương hai $ln$ ; tử của thừa số này triệt tiêu mẫu của thừa số sau.

A = \frac{ln 3}{ln 2} \cdot \frac{ln 4}{ln 3} \cdot \frac{ln 5}{ln 4} \cdot \frac{ln 6}{ln 5} \cdot \frac{ln 7}{ln 6} \cdot \frac{ln 8}{ln 7}

A = \frac{ln 8}{ln 2} = \frac{3 ln 2}{ln 2} = 3

B = \frac{ln 2}{ln 2} \cdot \frac{2 ln 2}{ln 2} \dots \frac{n ln 2}{ln 2} = 1 \cdot 2 \dots n = n!

Vậy $A = 3$ ; $B = n!$ .

3Cách 3. Ghép cặp (câu a) và quy nạp (câu b)

Định hướng. Câu a ghép từng cặp liền nhau để rút gọn song song; câu b gọi $B_{n}$ là tích $n$ thừa số và lập hệ thức truy hồi.

(lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4) (lo g_{4} 5 \cdot lo g_{5} 6) (lo g_{6} 7 \cdot lo g_{7} 8) = lo g_{2} 4 \cdot lo g_{4} 6 \cdot lo g_{6} 8

A = 2 \cdot lo g_{4} 6 \cdot lo g_{6} 8 = 2 lo g_{4} 8 = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3

B_{1} = lo g_{2} 2 = 1

;

B_{n} = B_{n - 1} \cdot lo g_{2} 2^{n} = n \cdot B_{n - 1}

B_{n} = n (n - 1) \dots 2 \cdot 1 = n!

Vậy $A = 3$ ; $B = n!$ .

Nhận xét. Cả ba cách ở câu a chỉ là một ý: tích 'nối đuôi' chỉ còn phụ thuộc cơ số ĐẦU và số dưới dấu log CUỐI, $A = lo g_{2} 8$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho câu a: viết một dòng thương các

ln

là thấy ngay triệt tiêu, không sợ sót thừa số; câu b thì đọc thẳng

lo g_{2} 2^{k} = k

Đáp số. a)

A = 3

; b)

B = n!

Sai lầm thường gặp. Câu b hay bị viết

B = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

vì nhầm với quy tắc 'lôgarit của tích bằng tổng' — ở đây là TÍCH của các lôgarit, không phải lôgarit của tích. Câu a hay bị gộp sai thành

lo g_{2 \cdot 3 \dots 7} (3 \cdot 4 \dots 8)

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

lo g_{a_{1}} a_{2} \cdot lo g_{a_{2}} a_{3} \dots lo g_{a_{k}} a_{k + 1} = lo g_{a_{1}} a_{k + 1}

; thử tính

lo g_{2} 3 \cdot lo g_{3} 4 \dots lo g_{63} 64

(đáp số

6

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 6.13★★Trang 15— Bài toán thực tế: tìm đại lượng dưới dấu lôgarit thập phân

Bài 6.13 (trang 15). Biết rằng khi độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ cao là

a = 15500 (5 - lo g p)

,
trong đó

a

là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và

p

là áp suất không khí (tính bằng pascal).
Tính áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao 8 850 m so với mực nước biển.

Kiến thức cần nhớ

$lo g p = c \Leftrightarrow p = 1 0^{c}$ (lôgarit thập phân).
$1 0^{x - y} = \frac{1 0 ^{x}}{1 0 ^{y}}$ .
Áp suất khí quyển ở mực nước biển xấp xỉ $1 0^{5}$ Pa.

🧠 Phân tích tư duy

Biết

a

, cần tìm

p

nằm dưới dấu

lo g

: giải ra

lo g p

trước, rồi dùng định nghĩa

lo g p = c \Leftrightarrow p = 1 0^{c}

. Nhận xét thêm: thay

a = 0

ta được áp suất ở mực nước biển là

1 0^{5}

Pa, là mốc để kiểm tra đáp số có hợp lí không.

1Cách 1. Giải

lo g p

rồi dùng định nghĩa lôgarit

Định hướng. Thay $a = 8850$ , cô lập $lo g p$ rồi đổi sang luỹ thừa cơ số $10$ .

8850 = 15500 (5 - lo g p)

5 - lo g p = \frac{8 850}{15 500} = \frac{177}{310}

lo g p = 5 - \frac{177}{310} = \frac{1 373}{310} \approx 4, 4290

p = 1 0^{\frac{1 373}{310}} \approx 26855

Vậy áp suất không khí ở đỉnh Everest khoảng $26855$ Pa.

2Cách 2. Lập công thức

p

theo

a

rồi thay số

Định hướng. Biến đổi công thức đã cho thành $p$ là hàm số mũ của $a$ , sau đó mới thay số — dùng được cho mọi độ cao.

lo g p = 5 - \frac{a}{15 500}

p = 1 0^{5 - \frac{a}{15 500}}

a = 8850

p = 1 0^{5 - \frac{8 850}{15 500}} = 1 0^{4, 4290 \dots} \approx 26855

Vậy $p \approx 26855$ Pa.

3Cách 3. So sánh với áp suất ở mực nước biển

Định hướng. Tách $1 0^{5 - \frac{a}{15 500}} = 1 0^{5} \cdot 1 0^{- \frac{a}{15 500}}$ : áp suất trên đỉnh bằng áp suất mặt biển nhân một hệ số giảm.

a = 0 \Rightarrow p_{0} = 1 0^{5}

p = p_{0} \cdot 1 0^{- \frac{8 850}{15 500}} \approx 100000 \cdot 0, 26855

p \approx 26855

Vậy áp suất ở đỉnh Everest khoảng $26855$ Pa, chỉ bằng chừng $27%$ áp suất ở mực nước biển.

Nhận xét. Cách 3 cho ý nghĩa thực tế: lên cao khoảng $8, 85$ km thì không khí loãng đi gần bốn lần, vì thế người leo Everest thường phải mang bình dưỡng khí.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cô lập

lo g p

rồi bấm

1 0^{x}

trên máy tính, chỉ ba dòng.

Đáp số.

p = 1 0^{\frac{1 373}{310}} \approx 26855

Pa (khoảng

2, 69 \cdot 1 0^{4}

Pa).

Sai lầm thường gặp. Lấy

15500 \cdot 5 - 8850

rồi coi đó là

lo g p

(quên chia cho

15500

), hoặc tính được

lo g p \approx 4, 429

rồi dừng, ghi nhầm

p \approx 4, 429

Pa. Cũng hay nhầm

p = e^{4, 429}

vì lẫn

lo g

với

ln

🚀 Mở rộng. Với cùng công thức, độ cao nào thì áp suất chỉ còn một nửa áp suất mực nước biển? (Giải

lo g p = 5 - lo g 2

, được

a = 15500 lo g 2 \approx 4666

m.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 6.14★Trang 15— Bài toán thực tế: mức cường độ âm (thang decibel)

Bài 6.14 (trang 15). Mức cường độ âm

L

đo bằng decibel (dB) của âm thanh có cường độ

I

(đo bằng oát trên mét vuông, kí hiệu là

W/m^{2}

) được định nghĩa như sau:

L (I) = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}

,
trong đó

I_{0} = 1 0^{- 12}

W/m^{2}

là cường độ âm thanh nhỏ nhất mà tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe).
Xác định mức cường độ âm của mỗi âm sau:
a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ

I = 1 0^{- 7}

W/m^{2}

.
b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ

I = 1 0^{- 3}

W/m^{2}

Kiến thức cần nhớ

$lo g 1 0^{k} = k$ .
$\frac{1 0 ^{m}}{1 0 ^{n}} = 1 0^{m - n}$ .
$lo g \frac{M}{N} = lo g M - lo g N$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả

I

và

I_{0}

đều là luỹ thừa của

10

, nên thương

\frac{I}{I _{0}}

là

1 0^{k}

và

lo g 1 0^{k} = k

— không cần máy tính. Điểm hay của thang dB: nhân cường độ lên

10

lần thì chỉ cộng thêm

10

dB.

1Cách 1. Thay trực tiếp vào công thức

Định hướng. Tính thương $\frac{I}{I _{0}}$ bằng quy tắc chia luỹ thừa, rồi lấy $lo g$ .

L = 10 lo g \frac{1 0 ^{- 7}}{1 0 ^{- 12}} = 10 lo g 1 0^{5} = 10 \cdot 5 = 50

L = 10 lo g \frac{1 0 ^{- 3}}{1 0 ^{- 12}} = 10 lo g 1 0^{9} = 10 \cdot 9 = 90

Vậy a) $50$ dB; b) $90$ dB.

2Cách 2. Biến đổi công thức về dạng

L = 10 (lo g I + 12)

Định hướng. Dùng quy tắc thương tách $lo g \frac{I}{I _{0}} = lo g I - lo g I_{0}$ , với $lo g I_{0} = - 12$ .

L = 10 (lo g I - lo g 1 0^{- 12}) = 10 (lo g I + 12)

L = 10 (- 7 + 12) = 50

L = 10 (- 3 + 12) = 90

Vậy a) $50$ dB; b) $90$ dB.

3Cách 3. So sánh hai âm bằng tỉ số cường độ

Định hướng. Hiệu hai mức cường độ âm chỉ phụ thuộc tỉ số hai cường độ: $L_{2} - L_{1} = 10 lo g \frac{I _{2}}{I _{1}}$ . Tính câu a, rồi suy câu b.

L_{1} = 10 lo g 1 0^{5} = 50

L_{2} - L_{1} = 10 lo g \frac{I _{2}}{I _{0}} - 10 lo g \frac{I _{1}}{I _{0}} = 10 lo g \frac{I _{2}}{I _{1}} = 10 lo g \frac{1 0 ^{- 3}}{1 0 ^{- 7}} = 10 \cdot 4 = 40

L_{2} = 50 + 40 = 90

Vậy a) $50$ dB; b) $90$ dB.

Nhận xét. Tiếng ồn giao thông có cường độ gấp $1 0^{4} = 10000$ lần cuộc trò chuyện nhưng mức cường độ âm chỉ hơn $40$ dB — thang lôgarit 'nén' những con số chênh nhau rất xa về khoảng dễ so sánh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thương hai luỹ thừa của

10

tính nhẩm được, chỉ một dòng mỗi câu.

Đáp số. a)

L = 50

dB; b)

L = 90

dB.

Sai lầm thường gặp. Tính

\frac{1 0 ^{- 7}}{1 0 ^{- 12}} = 1 0^{- 19}

(cộng số mũ thay vì trừ) nên ra

L = - 190

dB — vô lí vì âm nghe được phải có

L \geq 0

. Một lỗi khác là quên hệ số

10

nên ghi

L = 5

dB.

🚀 Mở rộng. Ngược lại: âm có mức

120

dB (ngưỡng đau) thì cường độ là

I = I_{0} \cdot 1 0^{12} = 1

W/m^{2}

; hãy tính xem mức

L

tăng bao nhiêu khi cường độ tăng gấp đôi (đáp số

10 lo g 2 \approx 3

dB).

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 18. Luỹ thừa với số mũ thực Bài tiếp theo ›Bài 20. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 19. Lôgarit

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit