Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 20. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 2 · 14 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngVI #SGK_Tập2 #trang16–19 #CùngBàiBênSBT #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Mở đầu★★Trang 16— Tính giá trị hàm số mũ

A = P e^{r t}

trong bài toán dân số

Mở đầu (trang 16). Sự tăng trưởng dân số được ước tính theo công thức tăng trưởng mũ sau:

A = P e^{r t}

,
trong đó

P

là dân số của năm lấy làm mốc,

A

là dân số sau

t

năm,

r

là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Biết rằng vào năm 2020, dân số Việt Nam là khoảng

97, 34

triệu người và tỉ lệ tăng dân số là

0, 91%

(theo danso.org). Nếu tỉ lệ tăng dân số này giữ nguyên, hãy ước tính dân số Việt Nam vào năm 2050.

Kiến thức cần nhớ

Công thức tăng trưởng mũ $A = P e^{r t}$ ( $e \approx 2, 71828$ ).
$r % = \frac{r}{100}$ .
$e^{m + n} = e^{m} \cdot e^{n}$ , $e^{mn} = (e^{m})^{n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn công thức tăng trưởng mũ, chỉ cần xác định đúng ba đại lượng

P

r

t

rồi thay số. Hai chỗ dễ sai: đổi

0, 91%

thành số thập phân

0, 0091

và tính

t

là số năm tính từ năm mốc 2020 đến 2050, tức

t = 30

1Cách 1. Thay số trực tiếp vào công thức

Định hướng. Xác định $P = 97, 34$ , $r = 0, 0091$ , $t = 2050 - 2020 = 30$ rồi bấm máy $e^{r t}$ .

A = P e^{r t}

A = 97, 34 \cdot e^{0, 0091 \cdot 30}

A = 97, 34 \cdot e^{0, 273}

A \approx 97, 34 \cdot 1, 3139

A \approx 127, 90

Vậy dân số Việt Nam năm 2050 ước tính khoảng $127, 90$ triệu người.

2Cách 2. Lấy lôgarit tự nhiên hai vế

Định hướng. Lôgarit biến tích thành tổng, số mũ thành hệ số: tính $ln A$ trước rồi suy ra $A$ .

ln A = ln P + r t

ln A = ln 97, 34 + 0, 273

ln A \approx 4, 57821 + 0, 273 = 4, 85121

A \approx e^{4, 85121} \approx 127, 90

Vậy $A \approx 127, 90$ triệu người.

3Cách 3. Tính hệ số tăng mỗi năm rồi luỹ thừa

Định hướng. Viết $e^{r t} = (e^{r})^{t}$ : mỗi năm dân số nhân với cùng một hệ số $e^{0, 0091}$ .

e^{0, 0091} \approx 1, 009142

A = 97, 34 \cdot (e^{0, 0091})^{30}

A \approx 97, 34 \cdot 1, 00914 2^{30}

A \approx 97, 34 \cdot 1, 3139 \approx 127, 90

Vậy $A \approx 127, 90$ triệu người.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy bản chất của tăng trưởng mũ: sau mỗi năm dân số được nhân thêm khoảng $1, 0091$ lần. Cách 1 ngắn nhất khi có máy tính.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay số một dòng rồi bấm máy; Cách 2 dùng để kiểm tra khi máy chỉ có phím

ln

Đáp số. Khoảng

127, 90

triệu người (

A = 97, 34 \cdot e^{0, 273}

Sai lầm thường gặp. Hay thay

r = 0, 91

(quên chia

100

) được

e^{27, 3}

— con số khổng lồ vô lí. Một lỗi khác là lấy

t = 2050

thay vì số năm tính từ năm mốc

t = 30

🚀 Mở rộng. Cùng công thức, dân số gấp đôi sau

t = \frac{ln 2}{r} \approx \frac{0 , 6931}{0 , 0091} \approx 76, 2

năm — thử kiểm lại bằng máy.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ1★Trang 16— Tính giá trị và tìm điều kiện có nghĩa của luỹ thừa

2^{x}

HĐ1 (trang 16). Nhận biết hàm số mũ.
a) Tính

y = 2^{x}

khi

x

lần lượt nhận các giá trị

- 1

;

0

;

1

. Với mỗi giá trị của

x

có bao nhiêu giá trị của

y = 2^{x}

tương ứng?
b) Với những giá trị nào của

x

, biểu thức

y = 2^{x}

có nghĩa?

Kiến thức cần nhớ

$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ , $a^{0} = 1$ $(a \neq = 0)$ .
Với $a > 0$ , luỹ thừa $a^{α}$ xác định với mọi $α \in R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bước chuẩn bị cho khái niệm hàm số: với mỗi

x

có đúng một

y

. Câu b cần nhớ lại Bài 18: luỹ thừa

a^{α}

với cơ số dương

a

được định nghĩa cho MỌI số mũ thực

α

1Cách 1. Tính theo định nghĩa luỹ thừa

Định hướng. Dùng định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên cho câu a, luỹ thừa với số mũ thực cho câu b.

2^{- 1} = \frac{1}{2}

;

2^{0} = 1

;

2^{1} = 2

2 > 0

nên

2^{x}

xác định với mọi

x \in R

Vậy a) $y$ lần lượt bằng $\frac{1}{2}$ ; $1$ ; $2$ , mỗi $x$ cho đúng một giá trị $y$ ; b) $y = 2^{x}$ có nghĩa với mọi $x \in R$ .

2Cách 2. Đi từ

2^{0} = 1

theo quy tắc nhân đôi

Định hướng. Từ $2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x}$ : tăng $x$ thêm $1$ thì $y$ gấp đôi, giảm $x$ đi $1$ thì $y$ giảm một nửa.

2^{0} = 1

2^{1} = 2 \cdot 2^{0} = 2

2^{- 1} = 2^{0} : 2 = \frac{1}{2}

Vậy ba giá trị là $\frac{1}{2}$ ; $1$ ; $2$ , mỗi giá trị $x$ ứng với duy nhất một $y$ .

3Cách 3. Dùng giới hạn của dãy luỹ thừa số mũ hữu tỉ (câu b)

Định hướng. Với $x$ vô tỉ, $2^{x} = lim 2^{r_{n}}$ trong đó $(r_{n})$ là dãy số hữu tỉ dần tới $x$ ; giới hạn này luôn tồn tại và duy nhất vì cơ số $2 > 0$ .

x \in Q

x = \frac{m}{n}

2^{x} = n 2^{m}

xác định

x \in / Q

2^{x} = n \to + \infty lim 2^{r_{n}}

r_{n} \to x

, xác định và duy nhất

Vậy $2^{x}$ có nghĩa với mọi $x \in R$ và mỗi $x$ cho đúng một giá trị $y$ .

Nhận xét. Chính vì mỗi $x$ cho đúng một $y$ nên quy tắc $x \mapsto 2^{x}$ là một hàm số xác định trên $R$ — đó là hàm số mũ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 — chỉ cần nhớ

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

a^{0} = 1

và điều kiện cơ số dương.

Đáp số. a)

\frac{1}{2}

;

1

;

2

— mỗi

x

có đúng một

y

. b) Mọi

x \in R

Sai lầm thường gặp. Hay tính

2^{- 1} = - 2

(nhầm số mũ âm thành số đối). Câu b hay trả lời thiếu \"chỉ với

x

nguyên\" — sai, vì

2^{2}

hay

2^{0, 5} = 2

đều xác định.

🚀 Mở rộng. Thử với cơ số âm:

(- 2)^{0, 5}

không xác định trong

R

— vì thế hàm số mũ chỉ xét cơ số

a > 0

a \neq = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Câu hỏi (trang 16)★Trang 16— Nhận biết hàm số mũ và chỉ ra cơ số

Câu hỏi (trang 16) (trang 16). Trong các hàm số sau, những hàm số nào là hàm số mũ? Khi đó hãy chỉ ra cơ số.
a)

y = (2)^{x}

; b)

y = 2^{- x}

; c)

y = 8^{\frac{x}{3}}

; d)

y = x^{- 2}

Kiến thức cần nhớ

Hàm số mũ cơ số $a$ : $y = a^{x}$ với $0 < a \neq = 1$ .
$a^{- x} = (\frac{1}{a})^{x}$ ; $a^{m x} = (a^{m})^{x}$ .
Hàm $y = x^{α}$ là hàm số luỹ thừa, không phải hàm số mũ.

🧠 Phân tích tư duy

Hàm số mũ có biến

x

nằm ở SỐ MŨ và cơ số là hằng số dương khác

1

. Câu b, c chưa có dạng

a^{x}

ngay nên phải biến đổi về dạng đó; câu d thì

x

nằm ở cơ số — đó là hàm luỹ thừa, bẫy chính của bài.

1Cách 1. Đưa về dạng

y = a^{x}

Định hướng. Dùng quy tắc luỹ thừa để viết mỗi hàm về dạng $a^{x}$ với $a$ là hằng số.

y = (2)^{x}

a = 2 > 0

a \neq = 1

y = 2^{- x} = (2^{- 1})^{x} = (\frac{1}{2})^{x}

y = 8^{\frac{x}{3}} = 8^{\frac{1}{3}}^{x} = 2^{x}

y = x^{- 2}

: cơ số là biến

x

Vậy a, b, c là hàm số mũ với cơ số lần lượt $2$ , $\frac{1}{2}$ , $2$ ; d không phải hàm số mũ.

2Cách 2. Kiểm tra dấu hiệu đặc trưng

\frac{f ( x + 1 )}{f ( x )}

không đổi

Định hướng. Hàm số mũ $f (x) = a^{x}$ có $\frac{f ( x + 1 )}{f ( x )} = a$ là hằng số — thương này chính là cơ số.

\frac{( 2 ) ^{x + 1}}{( 2 ) ^{x}} = 2

\frac{2 ^{- x - 1}}{2 ^{- x}} = 2^{- 1} = \frac{1}{2}

\frac{8 ^{\frac{x + 1}{3}}}{8 ^{\frac{x}{3}}} = 8^{\frac{1}{3}} = 2

\frac{( x + 1 ) ^{- 2}}{x ^{- 2}} = \frac{x ^{2}}{( x + 1 ) ^{2}}

thay đổi theo

x

Vậy a, b, c là hàm số mũ (cơ số $2$ ; $\frac{1}{2}$ ; $2$ ), d thì không.

3Cách 3. Loại trừ bằng tập xác định

Định hướng. Hàm số mũ xác định trên toàn $R$ ; hàm nào không xác định tại một điểm nào đó thì chắc chắn không phải hàm số mũ.

y = x^{- 2} = \frac{1}{x ^{2}}

không xác định tại

x = 0

a, b, c: cơ số

2

2

8

dương nên xác định với mọi

x \in R

2^{- x} = (\frac{1}{2})^{x}

; c)

8^{\frac{x}{3}} = 2^{x}

Vậy chỉ a, b, c là hàm số mũ; cơ số: $2$ , $\frac{1}{2}$ , $2$ .

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng để loại nhanh; muốn chỉ ra cơ số vẫn phải biến đổi như Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đưa về

a^{x}

là vừa nhận biết vừa đọc được cơ số ngay.

Đáp số. a) Cơ số

2

; b) cơ số

\frac{1}{2}

; c) cơ số

2

; d) không phải hàm số mũ.

Sai lầm thường gặp. Câu b hay trả lời cơ số là

2

hoặc

- 2

— sai, vì

2^{- x} = (\frac{1}{2})^{x}

. Câu c hay đọc cơ số là

8

— sai, cơ số thật là

8^{\frac{1}{3}} = 2

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

y = b^{k x}

(

b > 0

b \neq = 1

k \neq = 0

) luôn là hàm số mũ với cơ số

a = b^{k}

; thử với

y = 9^{- \frac{x}{2}}

(cơ số

\frac{1}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ2★★Trang 16— Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị và nêu tính chất của hàm số

y = 2^{x}

HĐ2 (trang 16). Nhận dạng đồ thị và tính chất của hàm số mũ. Cho hàm số mũ

y = 2^{x}

.
a) Hoàn thành bảng giá trị sau:

x y = 2^{x} - 3 ? - 2 ? - 1 ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ?

b) Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

, biểu diễn các điểm

(x; y)

trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm

(x; 2^{x})

với

x \in R

và nối lại ta được đồ thị của hàm số

y = 2^{x}

.
c) Từ đồ thị đã vẽ ở câu b, hãy kết luận về tập giá trị và tính chất biến thiên của hàm số

y = 2^{x}

Kiến thức cần nhớ

Hàm số mũ cơ số $a$ : $y = a^{x}$ với $0 < a \neq = 1$ .
Hàm số $y = a^{x}$ có tập xác định $R$ , tập giá trị $(0; + \infty)$ ; đồng biến khi $a > 1$ , nghịch biến khi $0 < a < 1$ .
Đồ thị $y = a^{x}$ đi qua $(0; 1)$ , $(1; a)$ , nằm phía trên trục hoành và nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

🧠 Phân tích tư duy

Bảng giá trị với

x

nguyên liên tiếp cho các

y

gấp đôi nhau — đồ thị đi lên ngày càng dốc. Nhìn đồ thị để đọc tập giá trị (đường cong luôn ở trên

O x

) và chiều biến thiên (đi lên từ trái sang phải); nên kiểm lại chiều biến thiên bằng đại số để khỏi chỉ dựa vào hình.

1Cách 1. Lập bảng, chấm điểm, nối đường cong trơn

Định hướng. Tính $2^{x}$ tại bảy giá trị, chấm bảy điểm lên $O x y$ rồi nối thành đường cong trơn như hình vẽ.

x y = 2^{x} - 3 \frac{1}{8} - 2 \frac{1}{4} - 1 \frac{1}{2} 01122438

b) Các điểm

(- 3; \frac{1}{8})

(- 2; \frac{1}{4})

(- 1; \frac{1}{2})

(0; 1)

(1; 2)

(2; 4)

(3; 8)

nằm trên đồ thị
c) Đồ thị nằm trên trục hoành, đi lên từ trái sang phải

Vậy hàm số $y = 2^{x}$ có tập giá trị $(0; + \infty)$ và đồng biến trên $R$ .

2Cách 2. Chứng minh tính chất bằng đại số

Định hướng. So sánh $2^{x_{2}}$ với $2^{x_{1}}$ qua thương của chúng; tập giá trị suy từ $2^{x} = t \Leftrightarrow x = lo g_{2} t$ .

x_{1} < x_{2} \Rightarrow \frac{2 ^{x_{2}}}{2 ^{x_{1}}} = 2^{x_{2} - x_{1}} > 2^{0} = 1 \Rightarrow 2^{x_{1}} < 2^{x_{2}}

2^{x} > 0

với mọi

x

; với mọi

t > 0

2^{l o g_{2} t} = t

Vậy $y = 2^{x}$ đồng biến trên $R$ , tập giá trị là $(0; + \infty)$ .

3Cách 3. Nhìn bảng như một cấp số nhân

Định hướng. Các giá trị $x$ cách đều $1$ đơn vị cho dãy $y$ là cấp số nhân công bội $2 > 1$ .

\frac{1}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8

u_{n + 1} = 2 u_{n}

u_{n} > 0

u_{n + 1} - u_{n} = u_{n} > 0

x \to - \infty

2^{x} \to 0

;

x \to + \infty

2^{x} \to + \infty

Vậy $y$ luôn dương, tăng dần và nhận mọi giá trị dương: tập giá trị $(0; + \infty)$ , hàm đồng biến.

Nhận xét. Hiệu hai giá trị liên tiếp cũng tăng gấp đôi — vì thế đồ thị càng về bên phải càng dốc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 để vẽ và đọc tính chất; khi cần lập luận chặt chẽ thì trình bày Cách 2.

Đáp số. a)

\frac{1}{8}

;

\frac{1}{4}

;

\frac{1}{2}

;

1

;

2

;

4

;

8

. c) Tập giá trị

(0; + \infty)

, hàm số đồng biến trên

R

Sai lầm thường gặp. Vẽ đồ thị cắt trục hoành ở bên trái là sai:

2^{x} > 0

nên đồ thị chỉ tiến sát trục hoành chứ không chạm. Nhiều bạn còn nối các điểm bằng đoạn thẳng gấp khúc thay vì đường cong trơn.

🚀 Mở rộng. Vẽ thêm

y = 2^{x} + 1

trên cùng hệ trục: đồ thị tịnh tiến lên

1

đơn vị, tập giá trị thành

(1; + \infty)

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập★★Trang 17— Vẽ đồ thị hàm số mũ cơ số lớn hơn

1

Luyện tập (trang 17). Vẽ đồ thị của hàm số

y = (\frac{3}{2})^{x}

Kiến thức cần nhớ

Hàm số mũ cơ số $a$ : $y = a^{x}$ với $0 < a \neq = 1$ .
Hàm số $y = a^{x}$ có tập xác định $R$ , tập giá trị $(0; + \infty)$ ; đồng biến khi $a > 1$ , nghịch biến khi $0 < a < 1$ .
Đồ thị $y = a^{x}$ đi qua $(0; 1)$ , $(1; a)$ , nằm phía trên trục hoành và nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

🧠 Phân tích tư duy

Cơ số

\frac{3}{2} > 1

nên đồ thị có dạng đi lên như

y = 2^{x}

nhưng thoải hơn. Chọn

x

nguyên từ

- 3

đến

3

để có các điểm dễ tính, rồi nối thành đường cong trơn tiến sát trục hoành về bên trái.

1Cách 1. Lập bảng giá trị rồi nối điểm

Định hướng. Tính $(\frac{3}{2})^{x}$ tại các giá trị nguyên của $x$ , chấm điểm và nối thành đường cong như hình vẽ.

x y - 3 \frac{8}{27} - 2 \frac{4}{9} - 1 \frac{2}{3} 01 1 \frac{3}{2} 2 \frac{9}{4} 3 \frac{27}{8}

Vậy đồ thị là đường cong đi qua bảy điểm trên, nằm trên trục hoành và đi lên từ trái sang phải.

2Cách 2. Phác dạng từ tính chất hàm số mũ

Định hướng. Cơ số $a = \frac{3}{2} > 1$ : dùng ngay các tính chất của hàm số mũ để có hình dạng, chỉ cần vài điểm mốc.

a = \frac{3}{2} > 1 \Rightarrow

hàm số đồng biến trên

R

Đồ thị đi qua

(0; 1)

và

(1; \frac{3}{2})

(\frac{3}{2})^{x} > 0

, tiến dần tới

0

khi

x \to - \infty

Vậy đồ thị là đường cong đi lên, qua $(0; 1)$ , $(1; \frac{3}{2})$ , nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

3Cách 3. Lấy đối xứng đồ thị

y = (\frac{2}{3})^{x}

qua trục tung

Định hướng. $(\frac{3}{2})^{x} = (\frac{2}{3})^{- x}$ nên điểm $(x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị $y = (\frac{2}{3})^{x}$ khi và chỉ khi $(- x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị cần vẽ.

(\frac{2}{3})^{x}

qua

(1; \frac{2}{3})

(2; \frac{4}{9})

(3; \frac{8}{27})

\Rightarrow (\frac{3}{2})^{x}

qua

(- 1; \frac{2}{3})

(- 2; \frac{4}{9})

(- 3; \frac{8}{27})

Vậy đồ thị $y = (\frac{3}{2})^{x}$ đối xứng với đồ thị $y = (\frac{2}{3})^{x}$ qua trục $O y$ .

Nhận xét. Cặp hàm $a^{x}$ và $(\frac{1}{a})^{x}$ luôn đối xứng nhau qua trục tung — vẽ được một cái là có cái kia.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 kết hợp Cách 2: tính 5–7 điểm và nhớ dạng đồ thị để nối cho đúng.

Đáp số. Đồ thị đi qua

(- 3; \frac{8}{27})

(- 2; \frac{4}{9})

(- 1; \frac{2}{3})

(0; 1)

(1; \frac{3}{2})

(2; \frac{9}{4})

(3; \frac{27}{8})

Sai lầm thường gặp. Hay tính nhầm

(\frac{3}{2})^{- 2} = - \frac{9}{4}

rồi chấm điểm dưới trục hoành. Đúng là

(\frac{3}{2})^{- 2} = \frac{4}{9} > 0

🚀 Mở rộng. So sánh: trên cùng hệ trục, với

x > 0

đồ thị

y = (\frac{3}{2})^{x}

nằm dưới

y = 2^{x}

, với

x < 0

thì nằm trên — thử giải thích bằng

\frac{3}{2} < 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ3★Trang 18— Tính giá trị và tìm điều kiện có nghĩa của

lo g_{2} x

HĐ3 (trang 18). Nhận biết hàm số lôgarit.
a) Tính

y = lo g_{2} x

khi

x

lần lượt nhận các giá trị

1

;

2

;

4

. Với mỗi giá trị của

x > 0

có bao nhiêu giá trị của

y = lo g_{2} x

tương ứng?
b) Với những giá trị nào của

x

, biểu thức

y = lo g_{2} x

có nghĩa?

Kiến thức cần nhớ

$α = lo g_{a} M \Leftrightarrow a^{α} = M$ $(0 < a \neq = 1, M > 0)$ .
$lo g_{a} a^{α} = α$ .

🧠 Phân tích tư duy

Lôgarit là phép toán ngược của luỹ thừa:

lo g_{2} x

là số mũ cần nâng

2

lên để được

x

. Các số

1

2

4

đều là luỹ thừa của

2

nên tính nhẩm được; điều kiện có nghĩa đến từ việc

2^{y}

luôn dương.

1Cách 1. Dùng

lo g_{a} a^{α} = α

Định hướng. Viết $1$ , $2$ , $4$ thành luỹ thừa cơ số $2$ .

lo g_{2} 1 = lo g_{2} 2^{0} = 0

;

lo g_{2} 2 = 1

;

lo g_{2} 4 = lo g_{2} 2^{2} = 2

lo g_{2} x

có nghĩa

\Leftrightarrow x > 0

Vậy a) $y$ lần lượt bằng $0$ ; $1$ ; $2$ , mỗi $x > 0$ cho đúng một $y$ ; b) $x > 0$ .

2Cách 2. Đặt ẩn theo định nghĩa lôgarit

Định hướng. Gọi $y = lo g_{2} x$ thì $2^{y} = x$ ; giải phương trình mũ đơn giản này.

x = 1

2^{y} = 1 = 2^{0} \Leftrightarrow y = 0

x = 2

2^{y} = 2 \Leftrightarrow y = 1

x = 4

2^{y} = 4 = 2^{2} \Leftrightarrow y = 2

Vậy $y = 0$ ; $1$ ; $2$ .

3Cách 3. Suy từ tính chất của hàm số

y = 2^{x}

(câu b)

Định hướng. $y = lo g_{2} x \Leftrightarrow x = 2^{y}$ ; hàm $2^{y}$ nhận mọi giá trị dương, mỗi giá trị đúng một lần (đồng biến).

2^{y} > 0

với mọi

y \Rightarrow x > 0

Mỗi

x > 0

2^{y} = x

có đúng một nghiệm

y

vì

2^{y}

đồng biến trên

R

Vậy $lo g_{2} x$ có nghĩa khi và chỉ khi $x > 0$ , và mỗi $x > 0$ cho đúng một giá trị $y$ .

Nhận xét. Cách 3 giải thích tận gốc vì sao hàm số lôgarit chỉ xác định trên $(0; + \infty)$ : đó là tập giá trị của hàm số mũ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhẩm được ngay vì các số đều là luỹ thừa của

2

Đáp số. a)

0

;

1

;

2

— mỗi

x > 0

có đúng một

y

. b)

x > 0

Sai lầm thường gặp. Hay cho

lo g_{2} 1 = 1

(nhầm với

2^{0} = 1

) — đúng là

lo g_{2} 1 = 0

. Câu b hay ghi

x \geq 0

— sai,

lo g_{2} 0

không xác định vì không có

y

nào để

2^{y} = 0

🚀 Mở rộng. Tương tự,

lo g_{2} x

tại

x = \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}

bằng

- 1, - 2, - 3

: lôgarit của số trong khoảng

(0; 1)

với cơ số lớn hơn

1

luôn âm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Câu hỏi (trang 18)★Trang 18— Nhận biết hàm số lôgarit và chỉ ra cơ số

Câu hỏi (trang 18) (trang 18). Trong các hàm số sau, những hàm số nào là hàm số lôgarit? Khi đó hãy chỉ ra cơ số.
a)

y = lo g_{3} x

; b)

y = lo g_{2^{- 2}} x

; c)

y = lo g_{x} 2

; d)

y = lo g_{\frac{1}{x}} 5

Kiến thức cần nhớ

Hàm số lôgarit cơ số $a$ : $y = lo g_{a} x$ với $0 < a \neq = 1$ .
$lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ $(0 < a, b \neq = 1)$ .
$lo g_{a} 1 = 0$ với mọi $0 < a \neq = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hàm số lôgarit có biến

x

nằm DƯỚI dấu log, cơ số là hằng số dương khác

1

. Câu c, d có biến nằm ở cơ số — đó là bẫy. Câu b cơ số viết dưới dạng luỹ thừa, cần tính ra

\frac{1}{4}

1Cách 1. So với dạng

y = lo g_{a} x

Định hướng. Kiểm tra: biến $x$ có nằm dưới dấu log và cơ số có là hằng số dương khác $1$ không.

a) cơ số

3 > 0

3 \neq = 1

b) cơ số

2^{- 2} = \frac{1}{4} > 0

\frac{1}{4} \neq = 1

c) cơ số là

x

(biến)
d) cơ số là

\frac{1}{x}

(phụ thuộc biến)

Vậy a, b là hàm số lôgarit với cơ số $3$ và $\frac{1}{4}$ ; c, d không phải.

2Cách 2. Đổi cơ số để lộ bản chất

Định hướng. Dùng $lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ để đưa biến $x$ về vị trí dưới dấu log.

lo g_{x} 2 = \frac{1}{lo g _{2} x}

lo g_{\frac{1}{x}} 5 = \frac{1}{lo g _{5} \frac{1}{x}} = - \frac{1}{lo g _{5} x}

Vậy c, d là nghịch đảo (hoặc đối của nghịch đảo) của một hàm lôgarit, không có dạng $lo g_{a} x$ ; chỉ a (cơ số $3$ ) và b (cơ số $\frac{1}{4}$ ) là hàm số lôgarit.

3Cách 3. Thử tính chất đặc trưng

f (1) = 0

Định hướng. Mọi hàm số lôgarit đều xác định tại $x = 1$ và $f (1) = 0$ ; hàm nào vi phạm thì bị loại.

lo g_{3} 1 = 0

; b)

lo g_{\frac{1}{4}} 1 = 0

lo g_{1} 2

không xác định (cơ số bằng

1

)
d)

lo g_{1} 5

không xác định

Vậy loại c, d; a và b là hàm số lôgarit, cơ số $3$ và $\frac{1}{4}$ .

Nhận xét. Cách 3 là phép loại nhanh; điều kiện đủ vẫn là dạng $lo g_{a} x$ như Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn xem biến nằm ở đâu, một bước là xong.

Đáp số. a) Cơ số

3

; b) cơ số

\frac{1}{4}

; c), d) không phải hàm số lôgarit.

Sai lầm thường gặp. Câu b hay ghi cơ số là

2

hoặc

- 2

— sai, cơ số là

2^{- 2} = \frac{1}{4}

. Câu c hay bị coi là hàm lôgarit vì \"có chữ log\" — sai, biến nằm ở cơ số.

🚀 Mở rộng. Hàm

y = lo g_{a^{k}} x

(

k \neq = 0

) chính là

y = \frac{1}{k} lo g_{a} x

; thử viết

y = lo g_{2^{- 2}} x = - \frac{1}{2} lo g_{2} x

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · HĐ4★★Trang 18— Lập bảng giá trị, vẽ đồ thị và nêu tính chất của hàm số

y = lo g_{2} x

HĐ4 (trang 18). Nhận dạng đồ thị và tính chất của hàm số lôgarit. Cho hàm số lôgarit

y = lo g_{2} x

.
a) Hoàn thành bảng giá trị sau:

x y = lo g_{2} x 2^{- 3} ? 2^{- 2} ? 2^{- 1} ? 1 ? 2 ? 2^{2} ? 2^{3} ?

b) Trong mặt phẳng toạ độ

O x y

, biểu diễn các điểm

(x; y)

trong bảng giá trị ở câu a. Bằng cách làm tương tự, lấy nhiều điểm

(x; lo g_{2} x)

và nối lại ta được đồ thị của hàm số

y = lo g_{2} x

.
c) Từ đồ thị đã vẽ ở câu b, hãy kết luận về tập giá trị và tính chất biến thiên của hàm số

y = lo g_{2} x

Kiến thức cần nhớ

Hàm số lôgarit cơ số $a$ : $y = lo g_{a} x$ với $0 < a \neq = 1$ .
Hàm số $y = lo g_{a} x$ có tập xác định $(0; + \infty)$ , tập giá trị $R$ ; đồng biến khi $a > 1$ , nghịch biến khi $0 < a < 1$ .
Đồ thị $y = lo g_{a} x$ đi qua $(1; 0)$ , $(a; 1)$ , nằm bên phải trục tung; đối xứng với đồ thị $y = a^{x}$ qua đường thẳng $y = x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Các giá trị

x

đã cho sẵn dạng

2^{k}

nên

lo g_{2} 2^{k} = k

nhẩm ngay. Đồ thị đi lên nhưng ngày càng thoải và lao xuống rất nhanh khi

x

tiến về

0

; đọc tập giá trị

R

và chiều đồng biến từ hình rồi kiểm lại bằng đại số.

1Cách 1. Lập bảng, chấm điểm, nối đường cong

Định hướng. Dùng $lo g_{2} 2^{k} = k$ rồi chấm bảy điểm lên $O x y$ và nối trơn như hình vẽ.

x y = lo g_{2} x \frac{1}{8} - 3 \frac{1}{4} - 2 \frac{1}{2} - 1 10214283

b) Các điểm

(\frac{1}{8}; - 3)

(\frac{1}{4}; - 2)

(\frac{1}{2}; - 1)

(1; 0)

(2; 1)

(4; 2)

(8; 3)

nằm trên đồ thị
c) Đồ thị nằm bên phải trục tung, đi lên từ trái sang phải, trải dài từ dưới lên trên

Vậy $y = lo g_{2} x$ có tập giá trị $R$ và đồng biến trên $(0; + \infty)$ .

2Cách 2. Lấy đối xứng đồ thị

y = 2^{x}

qua đường thẳng

y = x

Định hướng. $y = lo g_{2} x \Leftrightarrow x = 2^{y}$ : đổi vai trò $x$ và $y$ trong bảng của HĐ2.

(a; b)

thuộc đồ thị

y = 2^{x} \Leftrightarrow (b; a)

thuộc đồ thị

y = lo g_{2} x

(- 3; \frac{1}{8}) \mapsto (\frac{1}{8}; - 3)

(1; 2) \mapsto (2; 1)

(3; 8) \mapsto (8; 3)

Tập giá trị của

2^{x}

là

(0; + \infty)

\Rightarrow

tập xác định của

lo g_{2} x

là

(0; + \infty)

Vậy đồ thị $y = lo g_{2} x$ đối xứng với đồ thị $y = 2^{x}$ qua $y = x$ ; hàm có tập giá trị $R$ , đồng biến.

3Cách 3. Chứng minh tính chất bằng đại số

Định hướng. So sánh $lo g_{2} x_{2}$ và $lo g_{2} x_{1}$ qua hiệu, dùng quy tắc thương.

0 < x_{1} < x_{2} \Rightarrow lo g_{2} x_{2} - lo g_{2} x_{1} = lo g_{2} \frac{x _{2}}{x _{1}} > lo g_{2} 1 = 0

Với mọi

m \in R

lo g_{2} 2^{m} = m

Vậy hàm số đồng biến trên $(0; + \infty)$ và nhận mọi giá trị thực: tập giá trị $R$ .

Nhận xét. Cách 2 cho thấy mối liên hệ sâu nhất: hàm lôgarit và hàm mũ cùng cơ số là hai hàm ngược nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 để vẽ; nhớ thêm Cách 2 để vẽ nhanh đồ thị lôgarit từ đồ thị mũ đã có.

Đáp số. a)

- 3

;

- 2

;

- 1

;

0

;

1

;

2

;

3

. c) Tập giá trị

R

, đồng biến trên

(0; + \infty)

Sai lầm thường gặp. Vẽ đồ thị cắt trục tung hoặc có phần bên trái trục tung là sai: hàm chỉ xác định với

x > 0

, đồ thị tiến sát trục tung khi

x \to 0^{+}

. Cũng hay nhầm tập giá trị là

(0; + \infty)

như hàm mũ.

🚀 Mở rộng. Đồ thị

y = lo g_{2} (x - 1)

là đồ thị

y = lo g_{2} x

tịnh tiến sang phải

1

đơn vị — tập xác định thành

(1; + \infty)

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Vận dụng★★Trang 19— Ứng dụng hàm số mũ

A = P e^{r t}

vào ước tính dân số

Vận dụng (trang 19). Giải bài toán trong tình huống mở đầu (kết quả tính theo đơn vị triệu người và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Kiến thức cần nhớ

Công thức tăng trưởng mũ $A = P e^{r t}$ .
$e^{a + b} = e^{a} e^{b}$ ; $e^{ab} = (e^{a})^{b}$ .
Làm tròn ở bước cuối cùng để không tích luỹ sai số.

🧠 Phân tích tư duy

Tình huống mở đầu cho mô hình

A = P e^{r t}

với

P = 97, 34

r = 0, 91% = 0, 0091

t = 2050 - 2020 = 30

. Yêu cầu làm tròn đến hàng phần trăm nên phải giữ đủ chữ số của

e^{0, 273}

khi tính, chỉ làm tròn ở bước cuối.

1Cách 1. Thay số trực tiếp

Định hướng. Thay $P$ , $r$ , $t$ vào công thức rồi bấm máy một lần.

A = 97, 34 \cdot e^{0, 0091 \cdot 30}

A = 97, 34 \cdot e^{0, 273}

A \approx 97, 34 \cdot 1, 313900

A \approx 127, 895

A \approx 127, 90

Vậy năm 2050 dân số Việt Nam ước tính khoảng $127, 90$ triệu người.

2Cách 2. Chia thành ba chặng 10 năm

Định hướng. $e^{0, 273} = (e^{0, 091})^{3}$ : mỗi chặng 10 năm dân số nhân với cùng hệ số $e^{0, 091}$ .

e^{0, 091} \approx 1, 095269

Năm 2030:

97, 34 \cdot 1, 095269 \approx 106, 613

Năm 2040:

106, 613 \cdot 1, 095269 \approx 116, 770

Năm 2050:

116, 770 \cdot 1, 095269 \approx 127, 895

Vậy $A \approx 127, 90$ triệu người.

3Cách 3. Tính qua lôgarit thập phân

Định hướng. Lấy $lo g$ hai vế để đổi phép nhân thành phép cộng, dùng $lo g e \approx 0, 434294$ .

lo g A = lo g 97, 34 + 0, 273 \cdot lo g e

lo g A \approx 1, 988292 + 0, 273 \cdot 0, 434294

lo g A \approx 1, 988292 + 0, 118562 = 2, 106854

A \approx 1 0^{2, 106854} \approx 127, 90

Vậy $A \approx 127, 90$ triệu người.

Nhận xét. Cách 2 cho thêm thông tin trung gian (dân số các năm 2030, 2040); Cách 3 là cách tính của thời chưa có máy tính, dùng bảng lôgarit.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng thay số, bấm máy, làm tròn ở bước cuối.

Đáp số. Khoảng

127, 90

triệu người.

Sai lầm thường gặp. Làm tròn

e^{0, 273} \approx 1, 31

quá sớm cho

A \approx 127, 52

— lệch ở hàng phần trăm. Ngoài ra nhiều bạn dùng nhầm công thức lãi kép rời rạc

97, 34 \cdot 1, 009 1^{30} \approx 127, 74

, không đúng mô hình đề cho.

🚀 Mở rộng. Theo mô hình này, năm nào dân số Việt Nam vượt

150

triệu người? Giải

97, 34 \cdot e^{0, 0091 t} \geq 150

được

t \geq \frac{1}{0 , 0091} ln \frac{150}{97 , 34} \approx 47, 5

, tức năm 2068.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 6.15★★Trang 19— Vẽ đồ thị hàm số mũ

Bài 6.15 (trang 19). Vẽ đồ thị của các hàm số sau: a)

y = 3^{x}

; b)

y = (\frac{1}{3})^{x}

Kiến thức cần nhớ

Hàm số mũ cơ số $a$ : $y = a^{x}$ với $0 < a \neq = 1$ .
Hàm số $y = a^{x}$ có tập xác định $R$ , tập giá trị $(0; + \infty)$ ; đồng biến khi $a > 1$ , nghịch biến khi $0 < a < 1$ .
Đồ thị $y = a^{x}$ đi qua $(0; 1)$ , $(1; a)$ , nằm phía trên trục hoành và nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.

🧠 Phân tích tư duy

Hai cơ số

3

và

\frac{1}{3}

nghịch đảo nhau, nên hai đồ thị đối xứng nhau qua trục tung — vẽ được một đồ thị là suy ra đồ thị kia. Chọn

x \in {- 2; - 1; 0; 1; 2}

để các giá trị

y

đều là luỹ thừa của

3

, dễ chấm điểm.

1Cách 1. Lập bảng giá trị cho từng hàm

Định hướng. Tính giá trị tại năm điểm nguyên rồi chấm và nối (đường hồng là $y = 3^{x}$ , đường tím là $y = (\frac{1}{3})^{x}$ trong hình).

x y = 3^{x} - 2 \frac{1}{9} - 1 \frac{1}{3} 011329

x y = (\frac{1}{3})^{x} - 2 9 - 1 3 01 1 \frac{1}{3} 2 \frac{1}{9}

Vậy đồ thị $y = 3^{x}$ đi lên, đồ thị $y = (\frac{1}{3})^{x}$ đi xuống; cả hai qua $(0; 1)$ và nằm trên trục hoành.

2Cách 2. Vẽ

y = 3^{x}

rồi lấy đối xứng qua trục tung

Định hướng. $(\frac{1}{3})^{x} = 3^{- x}$ nên $(x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị $y = 3^{x}$ khi và chỉ khi $(- x_{0}; y_{0})$ thuộc đồ thị b.

y = (\frac{1}{3})^{x} = 3^{- x}

(1; 3) \mapsto (- 1; 3)

;

(2; 9) \mapsto (- 2; 9)

;

(- 1; \frac{1}{3}) \mapsto (1; \frac{1}{3})

Vậy đồ thị b là ảnh của đồ thị a qua phép đối xứng trục $O y$ .

3Cách 3. Phác dạng từ tính chất hàm số mũ

Định hướng. Chỉ cần cơ số, hai điểm mốc $(0; 1)$ , $(1; a)$ và tiệm cận ngang là trục hoành.

a = 3 > 1

: đồng biến, qua

(0; 1)

(1; 3)

3^{x} \to 0

khi

x \to - \infty

a = \frac{1}{3} \in (0; 1)

: nghịch biến, qua

(0; 1)

(1; \frac{1}{3})

(\frac{1}{3})^{x} \to 0

khi

x \to + \infty

Vậy hai đồ thị có dạng như Hình 6.1 trong SGK, cắt nhau tại $(0; 1)$ .

Nhận xét. Cách 2 tiết kiệm nửa công sức; Cách 3 dùng để kiểm tra hình dạng sau khi chấm điểm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 cho câu a rồi Cách 2 cho câu b: chỉ lập một bảng mà vẽ được cả hai đồ thị.

Đáp số. a) Đồ thị qua

(- 2; \frac{1}{9})

(- 1; \frac{1}{3})

(0; 1)

(1; 3)

(2; 9)

. b) Đối xứng với đồ thị a qua

O y

Sai lầm thường gặp. Hay vẽ

y = (\frac{1}{3})^{x}

đối xứng với

y = 3^{x}

qua trục HOÀNH — sai, như thế đồ thị sẽ nằm dưới trục hoành trong khi

(\frac{1}{3})^{x} > 0

🚀 Mở rộng. Thêm

y = 2^{x}

vào cùng hệ trục: với

x > 0

đồ thị

3^{x}

nằm trên

2^{x}

, với

x < 0

thì ngược lại — cơ số càng lớn đồ thị càng dốc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 6.16★★Trang 19— Vẽ đồ thị hàm số lôgarit

Bài 6.16 (trang 19). Vẽ đồ thị của các hàm số sau: a)

y = lo g x

; b)

y = lo g_{\frac{1}{3}} x

Kiến thức cần nhớ

Hàm số lôgarit cơ số $a$ : $y = lo g_{a} x$ với $0 < a \neq = 1$ .
Hàm số $y = lo g_{a} x$ có tập xác định $(0; + \infty)$ , tập giá trị $R$ ; đồng biến khi $a > 1$ , nghịch biến khi $0 < a < 1$ .
Đồ thị $y = lo g_{a} x$ đi qua $(1; 0)$ , $(a; 1)$ , nằm bên phải trục tung; đối xứng với đồ thị $y = a^{x}$ qua đường thẳng $y = x$ .

🧠 Phân tích tư duy

lo g x

là lôgarit cơ số

10 > 1

nên đồng biến; cơ số

\frac{1}{3} < 1

nên hàm b nghịch biến. Chọn

x

là luỹ thừa của cơ số (

\frac{1}{10}, 1, 10

và

\frac{1}{9}, \frac{1}{3}, 1, 3, 9

) để

y

nguyên, chấm điểm chính xác.

1Cách 1. Lập bảng giá trị cho từng hàm

Định hướng. Dùng $lo g_{a} a^{k} = k$ rồi chấm và nối (đường hồng là $y = lo g x$ , đường tím là $y = lo g_{\frac{1}{3}} x$ trong hình).

x y = lo g x \frac{1}{10} - 1 10101

x y = lo g_{\frac{1}{3}} x \frac{1}{9} 2 \frac{1}{3} 1 10 3 - 1 9 - 2

Vậy đồ thị a đi lên, đồ thị b đi xuống; cả hai qua $(1; 0)$ và nằm bên phải trục tung.

2Cách 2. Lấy đối xứng đồ thị hàm số mũ qua đường thẳng

y = x

Định hướng. $y = lo g_{a} x$ là hàm ngược của $y = a^{x}$ : đổi chỗ hoành độ và tung độ của các điểm trên đồ thị $y = 1 0^{x}$ và $y = (\frac{1}{3})^{x}$ .

y = 1 0^{x}

qua

(- 1; \frac{1}{10}), (0; 1), (1; 10)

\Rightarrow

y = lo g x

qua

(\frac{1}{10}; - 1), (1; 0), (10; 1)

y = (\frac{1}{3})^{x}

qua

(- 2; 9), (- 1; 3), (1; \frac{1}{3})

\Rightarrow

y = lo g_{\frac{1}{3}} x

qua

(9; - 2), (3; - 1), (\frac{1}{3}; 1)

Vậy hai đồ thị lôgarit là ảnh của hai đồ thị mũ tương ứng qua đường thẳng $y = x$ .

3Cách 3. Với câu b: lấy đối xứng đồ thị

y = lo g_{3} x

qua trục hoành

Định hướng. $lo g_{\frac{1}{3}} x = lo g_{3^{- 1}} x = - lo g_{3} x$ , nên đồ thị b đối xứng với đồ thị $y = lo g_{3} x$ qua $O x$ .

y = lo g_{\frac{1}{3}} x = - lo g_{3} x

y = lo g_{3} x

qua

(\frac{1}{3}; - 1), (1; 0), (3; 1), (9; 2)

\Rightarrow y = lo g_{\frac{1}{3}} x

qua

(\frac{1}{3}; 1), (1; 0), (3; - 1), (9; - 2)

Vậy đồ thị b đối xứng với đồ thị $y = lo g_{3} x$ qua trục hoành, nghịch biến trên $(0; + \infty)$ .

Nhận xét. Cặp $lo g_{a} x$ và $lo g_{\frac{1}{a}} x$ luôn đối xứng qua trục hoành — khác với cặp hàm mũ $a^{x}$ , $(\frac{1}{a})^{x}$ đối xứng qua trục tung.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chọn

x

là luỹ thừa của cơ số thì mọi giá trị

y

đều nguyên, không cần bấm máy.

Đáp số. a) Đồ thị qua

(\frac{1}{10}; - 1)

(1; 0)

(10; 1)

, đồng biến. b) Đồ thị qua

(\frac{1}{9}; 2)

(\frac{1}{3}; 1)

(1; 0)

(3; - 1)

(9; - 2)

, nghịch biến.

Sai lầm thường gặp. Hay chấm

x = - 1

x = 0

vào bảng — sai, hàm lôgarit không xác định với

x \leq 0

. Câu a hay chọn

x = 2, 3, 4

làm

y

lẻ khó chấm; nên chọn

x = \frac{1}{10}, 1, 10

🚀 Mở rộng. Tổng quát: đồ thị

y = lo g_{a} x

và

y = lo g_{\frac{1}{a}} x

đối xứng qua

O x

; thử kiểm với cặp

lo g_{2} x

và

lo g_{\frac{1}{2}} x

(Hình 6.4 SGK).

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 6.17★★Trang 19— Tìm tập xác định của hàm số lôgarit

Bài 6.17 (trang 19). Tìm tập xác định của các hàm số sau: a)

y = lo g ∣ x + 3∣

; b)

y = ln (4 - x^{2})

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} u (x)$ xác định $\Leftrightarrow u (x) > 0$ $(0 < a \neq = 1)$ .
$∣ A ∣ > 0 \Leftrightarrow A \neq = 0$ .
$x^{2} < a^{2} \Leftrightarrow - a < x < a$ $(a > 0)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hàm

lo g_{a} u (x)

xác định khi và chỉ khi

u (x) > 0

. Câu a có giá trị tuyệt đối luôn không âm, chỉ cần loại chỗ nó bằng

0

; câu b là bất phương trình bậc hai, bẫy là lấy nhầm miền ngoài hai nghiệm.

1Cách 1. Giải điều kiện trực tiếp

Định hướng. Viết điều kiện biểu thức dưới dấu log dương rồi giải.

∣ x + 3∣ > 0 \Leftrightarrow x + 3 \neq = 0 \Leftrightarrow x \neq = - 3

4 - x^{2} > 0 \Leftrightarrow x^{2} < 4 \Leftrightarrow - 2 < x < 2

Vậy a) $D = R ∖ {- 3}$ ; b) $D = (- 2; 2)$ .

2Cách 2. Xét dấu (câu b) bằng phân tích nhân tử

Định hướng. Đưa $4 - x^{2}$ về tích rồi lập bảng xét dấu; câu a xét hai trường hợp bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

x \geq - 3

∣ x + 3∣ = x + 3 > 0 \Leftrightarrow x > - 3

;

x < - 3

∣ x + 3∣ = - x - 3 > 0

luôn đúng
b)

4 - x^{2} = (2 - x) (2 + x)

(2 - x) (2 + x) > 0 \Leftrightarrow

hai thừa số cùng dấu

\Leftrightarrow - 2 < x < 2

Vậy a) $D = (- \infty; - 3) \cup (- 3; + \infty)$ ; b) $D = (- 2; 2)$ .

3Cách 3. Tìm nghiệm của biểu thức rồi thử từng khoảng

Định hướng. Tìm chỗ biểu thức bằng $0$ , chia trục số thành các khoảng, lấy một số đại diện ở mỗi khoảng để thử dấu.

∣ x + 3∣ = 0 \Leftrightarrow x = - 3

;

x = - 4

∣ - 1 ∣ = 1 > 0

;

x = 0

3 > 0

4 - x^{2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2

x = - 3

4 - 9 = - 5 < 0

;

x = 0

4 > 0

;

x = 3

- 5 < 0

Vậy a) $D = R ∖ {- 3}$ ; b) $D = (- 2; 2)$ .

Nhận xét. Cách 3 an toàn khi chưa chắc về bất phương trình bậc hai: dấu chỉ đổi khi qua nghiệm, nên thử một điểm mỗi khoảng là đủ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi câu hai dòng; nhớ

∣ A ∣ > 0 \Leftrightarrow A \neq = 0

Đáp số. a)

D = R ∖ {- 3}

; b)

D = (- 2; 2)

Sai lầm thường gặp. Câu a hay ghi

x + 3 > 0

rồi ra

D = (- 3; + \infty)

— bỏ quên dấu giá trị tuyệt đối. Câu b hay giải

x^{2} < 4

thành

x < 2

hoặc

x < \pm 2

, hoặc lấy nhầm miền ngoài

x < - 2

hoặc

x > 2

🚀 Mở rộng. Thử tìm tập xác định của

y = ln (x^{2} - 4) + lo g (5 - x)

— phải lấy giao hai điều kiện, được

(- \infty; - 2) \cup (2; 5)

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 6.18★★Trang 19— Tính giá trị hàm số mũ trong bài toán phân rã phóng xạ

Bài 6.18 (trang 19). Giả sử một chất phóng xạ bị phân rã theo cách sao cho khối lượng

m (t)

của chất còn lại (tính bằng kilôgam) sau

t

ngày được cho bởi hàm số

m (t) = 13 e^{- 0, 015 t}

.
a) Tìm khối lượng của chất đó tại thời điểm

t = 0

.
b) Sau 45 ngày khối lượng chất đó còn lại là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

$e^{0} = 1$ ; $e^{- a} = \frac{1}{e ^{a}}$ .
Mô hình phân rã $m (t) = m_{0} e^{- k t}$ $(k > 0)$ : $m_{0} = m (0)$ là khối lượng ban đầu.

🧠 Phân tích tư duy

Khối lượng ban đầu ứng với

t = 0

, khi đó

e^{0} = 1

nên chính là hệ số đứng trước. Câu b chỉ là thay

t = 45

; số mũ

- 0, 675

âm nên kết quả phải nhỏ hơn

13

— dùng điều này để tự kiểm tra.

1Cách 1. Thay số trực tiếp

Định hướng. Thay $t = 0$ và $t = 45$ vào công thức.

m (0) = 13 e^{0} = 13

m (45) = 13 e^{- 0, 015 \cdot 45} = 13 e^{- 0, 675}

m (45) \approx 13 \cdot 0, 509156 \approx 6, 62

Vậy a) $13$ kg; b) khoảng $6, 62$ kg.

2Cách 2. Tính tỉ lệ phần còn lại

Định hướng. Hệ số $e^{- 0, 015 t}$ là tỉ lệ khối lượng còn lại so với ban đầu; tính tỉ lệ rồi nhân với $13$ .

\frac{m ( 45 )}{m ( 0 )} = e^{- 0, 675} = \frac{1}{e ^{0, 675}} \approx \frac{1}{1 , 964033} \approx 0, 5092

m (45) \approx 0, 5092 \cdot 13 \approx 6, 62

Vậy sau 45 ngày còn khoảng $50, 92%$ khối lượng, tức khoảng $6, 62$ kg.

3Cách 3. Lấy lôgarit tự nhiên

Định hướng. $ln m = ln 13 - 0, 015 t$ : tính $ln m$ bằng phép trừ rồi đổi ngược lại.

ln m (45) = ln 13 - 0, 675

ln m (45) \approx 2, 564949 - 0, 675 = 1, 889949

m (45) \approx e^{1, 889949} \approx 6, 62

Vậy $m (45) \approx 6, 62$ kg.

Nhận xét. Cách 2 cho thêm ý nghĩa: sau 45 ngày chất phóng xạ mất gần một nửa, nên chu kì bán rã xấp xỉ $\frac{ln 2}{0 , 015} \approx 46, 2$ ngày.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay số và bấm máy trực tiếp.

Đáp số. a)

13

kg; b) khoảng

6, 62

kg.

Sai lầm thường gặp. Câu a hay ra

0

vì nghĩ \"tại

t = 0

chưa có gì\" hoặc tính

e^{0} = 0

— sai,

e^{0} = 1

. Câu b hay bỏ dấu trừ, tính

13 e^{0, 675} \approx 25, 53

kg — lớn hơn cả khối lượng ban đầu, vô lí.

🚀 Mở rộng. Sau bao nhiêu ngày chỉ còn

1

kg? Giải

13 e^{- 0, 015 t} = 1

được

t = \frac{ln 13}{0 , 015} \approx 171

ngày.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 6.19★Trang 19— Tính giá trị hàm số lôgarit trong bài toán thực tế

Bài 6.19 (trang 19). Trong một nghiên cứu, một nhóm học sinh được cho xem cùng một danh sách các loài động vật và được kiểm tra lại xem họ còn nhớ bao nhiêu phần trăm danh sách đó sau mỗi tháng. Giả sử sau

t

tháng, khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó được tính theo công thức

M (t) = 75 - 20 ln (t + 1)

0 \leq t \leq 12

(đơn vị: %). Hãy tính khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 6 tháng.

Kiến thức cần nhớ

$ln x = lo g_{e} x$ ( $e \approx 2, 71828$ ).
$lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$ (đổi cơ số).
$α ln b = ln b^{α}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đây là mô hình \"đường cong quên\" dạng lôgarit; chỉ cần thay

t = 6

(nằm trong

[0; 12]

) để được

ln 7

. Cẩn thận thứ tự phép tính: nhân

20

với

ln 7

trước rồi mới lấy

75

trừ đi.

1Cách 1. Thay số trực tiếp

Định hướng. Thay $t = 6$ rồi bấm máy $ln 7$ .

M (6) = 75 - 20 ln (6 + 1)

M (6) = 75 - 20 ln 7

M (6) \approx 75 - 20 \cdot 1, 945910

M (6) \approx 75 - 38, 918 = 36, 08

Vậy sau 6 tháng khả năng nhớ trung bình khoảng $36, 08%$ .

2Cách 2. Đổi sang lôgarit thập phân

Định hướng. Khi chỉ có bảng hoặc phím $lo g$ , dùng công thức đổi cơ số $ln 7 = \frac{lo g 7}{lo g e}$ .

ln 7 = \frac{lo g 7}{lo g e} \approx \frac{0 , 845098}{0 , 434294} \approx 1, 945910

M (6) = 75 - 20 ln 7 \approx 75 - 38, 918 \approx 36, 08

Vậy $M (6) \approx 36, 08%$ .

3Cách 3. Tính lượng đã quên so với ban đầu

Định hướng. $M (0) = 75 - 20 ln 1 = 75$ ; phần đã quên sau $t$ tháng là $20 ln (t + 1) = ln (t + 1)^{20}$ .

M (0) = 75

M (0) - M (6) = 20 ln 7 \approx 38, 92

M (6) \approx 75 - 38, 92 = 36, 08

Vậy sau 6 tháng nhóm học sinh nhớ trung bình khoảng $36, 08%$ danh sách (đã quên khoảng $38, 92$ điểm phần trăm).

Nhận xét. Hàm $M$ giảm nhanh ở những tháng đầu rồi chậm dần — đúng dáng đồ thị hàm lôgarit cơ số $e$ lấy đối.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép thay số và bấm máy.

Đáp số. Khoảng

36, 08%

Sai lầm thường gặp. Hay tính

75 - 20 \cdot ln 6

(quên cộng

1

) được

\approx 39, 17%

; hoặc tính

(75 - 20) ln 7 \approx 107, 03%

— vượt

100%

, vô lí.

🚀 Mở rộng. Sau bao lâu khả năng nhớ còn

30%

? Giải

75 - 20 ln (t + 1) = 30

được

t = e^{2, 25} - 1 \approx 8, 49

tháng.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 19. Lôgarit Bài tiếp theo ›Bài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

📚 Cùng chương: Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 18. Luỹ thừa với số mũ thực
Bài 19. Lôgarit
▶ Bài 20. Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Bài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit