Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 20. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang14–15 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 6.21★★Trang 14— Vẽ đồ thị hàm số mũ

Bài 6.21 (trang 14). Vẽ đồ thị của các hàm số mũ sau:
a)

y = (3)^{x}

; b)

y = (\frac{1}{4})^{x}

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = a^{x}$ $(0 < a \neq = 1)$ : tập xác định $R$ , tập giá trị $(0; + \infty)$ ; đồng biến khi $a > 1$ , nghịch biến khi $0 < a < 1$ .
Đồ thị $y = a^{x}$ qua $(0; 1)$ , $(1; a)$ , nằm trên trục hoành; đồ thị $y = a^{x}$ và $y = (\frac{1}{a})^{x}$ đối xứng qua $O y$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cơ số

3 > 1

cho đồ thị đi lên, cơ số

\frac{1}{4} < 1

cho đồ thị đi xuống. Mấu chốt là chọn

x

khéo để

y

ra số đẹp: với

(3)^{x}

chọn

x

chẵn, với

(\frac{1}{4})^{x}

chọn cả

x = \pm \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}

cho

y = 2, 8

1Cách 1. Lập bảng giá trị rồi nối điểm

Định hướng. Tính giá trị tại các điểm chọn sẵn, chấm và nối thành đường cong (hồng: câu a, tím: câu b trong hình).

x y = (3)^{x} - 2 \frac{1}{3} 012349

x y = (\frac{1}{4})^{x} - \frac{3}{2} 8 - 1 4 - \frac{1}{2} 2 01 1 \frac{1}{4}

Vậy đồ thị a đi lên qua $(- 2; \frac{1}{3})$ , $(0; 1)$ , $(2; 3)$ , $(4; 9)$ ; đồ thị b đi xuống qua $(- \frac{3}{2}; 8)$ , $(- 1; 4)$ , $(- \frac{1}{2}; 2)$ , $(0; 1)$ , $(1; \frac{1}{4})$ .

2Cách 2. Phác dạng từ tính chất

Định hướng. Dùng cơ số để biết chiều biến thiên, hai điểm mốc $(0; 1)$ , $(1; a)$ và tiệm cận ngang là trục hoành.

a = 3 > 1

: đồng biến, qua

(0; 1)

(1; 3)

y \to 0

khi

x \to - \infty

a = \frac{1}{4} \in (0; 1)

: nghịch biến, qua

(0; 1)

(1; \frac{1}{4})

y \to 0

khi

x \to + \infty

Vậy hai đồ thị cùng qua $(0; 1)$ , nằm trên trục hoành, một đi lên một đi xuống.

3Cách 3. Đưa về hàm cơ số quen thuộc

Định hướng. $(3)^{x} = 3^{\frac{x}{2}}$ và $(\frac{1}{4})^{x} = 4^{- x}$ : mượn bảng giá trị của $3^{x}$ và $4^{x}$ .

(3)^{2 k} = 3^{k}

: điểm

(k; 3^{k})

của

y = 3^{x}

ứng với điểm

(2 k; 3^{k})

(\frac{1}{4})^{x} = 4^{- x}

(x_{0}; y_{0})

thuộc

y = 4^{x}

\Leftrightarrow

(- x_{0}; y_{0})

thuộc đồ thị b

y = 4^{x}

qua

(1; 4)

(\frac{1}{2}; 2)

\Rightarrow

đồ thị b qua

(- 1; 4)

(- \frac{1}{2}; 2)

Vậy đồ thị a là đồ thị $y = 3^{x}$ giãn theo phương ngang $2$ lần; đồ thị b đối xứng với đồ thị $y = 4^{x}$ qua $O y$ .

Nhận xét. Cách 3 giải thích vì sao đồ thị $(3)^{x}$ thoải hơn $3^{x}$ : phải đi gấp đôi quãng đường theo $x$ mới tăng được cùng một mức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 với các điểm chọn khéo (

x

chẵn cho câu a,

x

bội của

\frac{1}{2}

cho câu b), rồi dùng Cách 2 để nối đúng dạng.

Đáp số. a) Đồ thị đồng biến qua

(- 2; \frac{1}{3})

(0; 1)

(2; 3)

(4; 9)

. b) Đồ thị nghịch biến qua

(- 1; 4)

(- \frac{1}{2}; 2)

(0; 1)

(1; \frac{1}{4})

Sai lầm thường gặp. Câu a hay chọn

x = 1

rồi chấm điểm

(1; 1, 7)

thiếu chính xác; nên chọn

x

chẵn. Câu b hay tính

(\frac{1}{4})^{- 1} = - 4

và chấm điểm dưới trục hoành — sai,

(\frac{1}{4})^{- 1} = 4

🚀 Mở rộng. Vẽ thêm

y = (3)^{- x}

: đó là đối xứng của đồ thị a qua

O y

, và cũng chính là

y = (\frac{1}{3})^{x}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.22★★Trang 14— Vẽ đồ thị hàm số lôgarit

Bài 6.22 (trang 14). Vẽ đồ thị của các hàm số lôgarit sau:
a)

y = lo g_{3} x

; b)

y = lo g_{\frac{2}{3}} x

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = lo g_{a} x$ $(0 < a \neq = 1)$ : tập xác định $(0; + \infty)$ , tập giá trị $R$ ; đồng biến khi $a > 1$ , nghịch biến khi $0 < a < 1$ .
Đồ thị $y = lo g_{a} x$ qua $(1; 0)$ , $(a; 1)$ , nằm bên phải $O y$ , đối xứng với đồ thị $y = a^{x}$ qua đường thẳng $y = x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chọn

x

là luỹ thừa của cơ số để

y

nguyên:

x = \frac{1}{3}, 1, 3, 9

cho câu a và

x = \frac{4}{9}, \frac{2}{3}, 1, \frac{3}{2}, \frac{9}{4}

cho câu b. Cơ số

3 > 1

nên đồ thị a đi lên; cơ số

\frac{2}{3} < 1

nên đồ thị b đi xuống.

1Cách 1. Lập bảng giá trị rồi nối điểm

Định hướng. Dùng $lo g_{a} a^{k} = k$ , chấm điểm rồi nối (hồng: câu a, tím: câu b trong hình).

x y = lo g_{3} x \frac{1}{3} - 2 103294

x y = lo g_{\frac{2}{3}} x \frac{4}{9} 2 \frac{2}{3} 1 10 \frac{3}{2} - 1 \frac{9}{4} - 2 \frac{81}{16} - 4

Vậy đồ thị a đồng biến, đồ thị b nghịch biến trên $(0; + \infty)$ ; cả hai qua $(1; 0)$ và nằm bên phải trục tung.

2Cách 2. Lấy đối xứng đồ thị hàm số mũ qua đường thẳng

y = x

Định hướng. $y = lo g_{a} x \Leftrightarrow x = a^{y}$ : đổi chỗ toạ độ các điểm của đồ thị $y = a^{x}$ .

y = (3)^{x}

qua

(- 2; \frac{1}{3}), (2; 3), (4; 9)

\Rightarrow

đồ thị a qua

(\frac{1}{3}; - 2), (3; 2), (9; 4)

y = (\frac{2}{3})^{x}

qua

(1; \frac{2}{3}), (- 1; \frac{3}{2}), (- 2; \frac{9}{4})

\Rightarrow

đồ thị b qua

(\frac{2}{3}; 1), (\frac{3}{2}; - 1), (\frac{9}{4}; - 2)

Vậy hai đồ thị lôgarit là ảnh của hai đồ thị mũ cùng cơ số qua đường thẳng $y = x$ .

3Cách 3. Đưa về cơ số quen thuộc

Định hướng. $lo g_{3} x = 2 lo g_{3} x$ và $lo g_{\frac{2}{3}} x = - lo g_{\frac{3}{2}} x$ : kéo giãn hoặc lật đồ thị đã biết.

lo g_{3} x = lo g_{3^{\frac{1}{2}}} x = 2 lo g_{3} x

: nhân tung độ của

y = lo g_{3} x

với

2

lo g_{\frac{2}{3}} x = lo g_{(\frac{3}{2})^{- 1}} x = - lo g_{\frac{3}{2}} x

: đối xứng đồ thị

y = lo g_{\frac{3}{2}} x

qua

O x

Vậy đồ thị a là đồ thị $y = lo g_{3} x$ giãn theo phương đứng $2$ lần; đồ thị b đối xứng với đồ thị $y = lo g_{\frac{3}{2}} x$ qua trục hoành.

Nhận xét. Công thức $lo g_{a^{k}} x = \frac{1}{k} lo g_{a} x$ biến mọi đồ thị lôgarit thành phép co giãn của một đồ thị gốc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 với

x

là luỹ thừa của cơ số — mọi

y

đều nguyên, chấm điểm không cần máy tính.

Đáp số. a) Đồ thị đồng biến qua

(\frac{1}{3}; - 2)

(1; 0)

(3; 2)

(9; 4)

. b) Đồ thị nghịch biến qua

(\frac{4}{9}; 2)

(\frac{2}{3}; 1)

(1; 0)

(\frac{3}{2}; - 1)

(\frac{9}{4}; - 2)

Sai lầm thường gặp. Câu b hay vẽ đồ thị đi lên vì thấy tử số

2

— sai, cơ số

\frac{2}{3} < 1

nên hàm nghịch biến. Hay tính

lo g_{3} 3 = \frac{1}{2}

(nhầm chiều) — đúng là

lo g_{3} 3 = 2

vì

(3)^{2} = 3

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

lo g_{a^{k}} x = \frac{1}{k} lo g_{a} x

; thử vẽ

y = lo g_{\frac{1}{9}} x

bằng cách co đồ thị

y = lo g_{3} x

theo phương đứng và lật qua

O x

(

y = - \frac{1}{2} lo g_{3} x

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.23★★Trang 14— Chứng minh tính chất đại số của hàm số mũ

Bài 6.23 (trang 14). Cho hàm số mũ

f (x) = a^{x}

(a > 0)

. Chứng minh rằng:
a)

\frac{f ( x + 1 )}{f ( x )} = a

;
b)

f (- x) = \frac{1}{f ( x )}

;
c)

f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) \cdot f (x_{2})

Kiến thức cần nhớ

$a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$ ; $a^{m - n} = \frac{a ^{m}}{a ^{n}}$ ; $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ $(a > 0)$ .
$a^{x} > 0$ với mọi $x$ , nên chia cho $f (x)$ luôn hợp lệ.

🧠 Phân tích tư duy

Cả ba đẳng thức chỉ là các quy tắc tính luỹ thừa viết dưới ngôn ngữ hàm số. Đi từ vế phức tạp, thay

f

bằng biểu thức

a^{\dots}

rồi dùng

a^{m + n} = a^{m} a^{n}

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

. Nhận xét hay: câu c là tính chất gốc, a và b suy ra được từ c.

1Cách 1. Dùng trực tiếp quy tắc luỹ thừa

Định hướng. Thay $f$ bằng $a^{\dots}$ ở vế trái rồi biến đổi về vế phải.

\frac{f ( x + 1 )}{f ( x )} = \frac{a ^{x + 1}}{a ^{x}} = a^{x + 1 - x} = a

f (- x) = a^{- x} = \frac{1}{a ^{x}} = \frac{1}{f ( x )}

f (x_{1} + x_{2}) = a^{x_{1} + x_{2}} = a^{x_{1}} \cdot a^{x_{2}} = f (x_{1}) \cdot f (x_{2})

Vậy ba đẳng thức được chứng minh.

2Cách 2. Lấy lôgarit tự nhiên hai vế

Định hướng. $f (x) = a^{x} > 0$ nên $ln f (x) = x ln a$ : đẳng thức nhân chia trở thành đẳng thức cộng trừ.

ln \frac{f ( x + 1 )}{f ( x )} = (x + 1) ln a - x ln a = ln a \Rightarrow \frac{f ( x + 1 )}{f ( x )} = a

ln f (- x) = - x ln a = - ln f (x) = ln \frac{1}{f ( x )} \Rightarrow f (- x) = \frac{1}{f ( x )}

ln f (x_{1} + x_{2}) = x_{1} ln a + x_{2} ln a = ln f (x_{1}) + ln f (x_{2}) = ln (f (x_{1}) f (x_{2}))

Vậy do hàm $ln$ đơn ánh trên $(0; + \infty)$ , ba đẳng thức đúng.

3Cách 3. Chứng minh c trước, suy ra a và b

Định hướng. Câu c là tính chất gốc; chọn $x_{2}$ thích hợp sẽ ra hai câu còn lại.

f (x_{1} + x_{2}) = a^{x_{1} + x_{2}} = a^{x_{1}} a^{x_{2}} = f (x_{1}) f (x_{2})

x_{1} = x

x_{2} = 1

f (x + 1) = f (x) f (1) = a \cdot f (x) \Rightarrow \frac{f ( x + 1 )}{f ( x )} = a

x_{1} = x

x_{2} = - x

f (0) = f (x) f (- x)

, mà

f (0) = a^{0} = 1 \Rightarrow f (- x) = \frac{1}{f ( x )}

Vậy ba đẳng thức đều đúng.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy hàm mũ được \"nhận diện\" bởi tính chất $f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) f (x_{2})$ — biến tổng thành tích.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi câu một dòng biến đổi, không cần lập luận thêm.

Đáp số. Đã chứng minh a), b), c) bằng quy tắc luỹ thừa.

Sai lầm thường gặp. Hay viết

a^{x + 1} = a^{x} + a

hoặc

a^{x_{1} + x_{2}} = a^{x_{1}} + a^{x_{2}}

— nhầm luỹ thừa của tổng với tổng các luỹ thừa. Phản ví dụ:

2^{1 + 1} = 4

nhưng

2^{1} + 2^{1} = 4

trùng hợp, còn

2^{2 + 1} = 8 \neq = 2^{2} + 2^{1} = 6

🚀 Mở rộng. Mở rộng: từ c suy ra

f (n x) = (f (x))^{n}

với mọi

n \in N^{*}

— thử chứng minh bằng quy nạp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.24★Trang 14— Tìm tập xác định của hàm số lôgarit

Bài 6.24 (trang 14). Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)

y = lo g_{3} (x + 1)

; b)

y = lo g_{\frac{1}{2}} ∣ x - 1∣

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} u (x)$ xác định $\Leftrightarrow u (x) > 0$ $(0 < a \neq = 1)$ .
$∣ A ∣ > 0 \Leftrightarrow A \neq = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biểu thức dưới dấu lôgarit phải dương; cơ số

3

và

\frac{1}{2}

đã hợp lệ nên chỉ cần điều kiện này. Câu b có giá trị tuyệt đối — không âm sẵn, chỉ phải loại chỗ bằng

0

1Cách 1. Giải điều kiện trực tiếp

Định hướng. Viết điều kiện biểu thức dưới dấu log dương.

x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1

∣ x - 1∣ > 0 \Leftrightarrow x - 1 \neq = 0 \Leftrightarrow x \neq = 1

Vậy a) $D = (- 1; + \infty)$ ; b) $D = R ∖ {1}$ .

2Cách 2. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo trường hợp (câu b)

Định hướng. Xét $x \geq 1$ và $x < 1$ để khử dấu giá trị tuyệt đối rồi hợp kết quả.

x \geq 1

∣ x - 1∣ = x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1

x < 1

∣ x - 1∣ = 1 - x > 0

luôn đúng
Hợp lại:

x < 1

hoặc

x > 1

Vậy b) $D = (- \infty; 1) \cup (1; + \infty)$ ; a) $D = (- 1; + \infty)$ .

3Cách 3. Dùng tập xác định của hàm gốc và phép tịnh tiến

Định hướng. $y = lo g_{3} x$ xác định trên $(0; + \infty)$ ; thay $x$ bởi $x + 1$ là tịnh tiến sang trái $1$ đơn vị. $y = lo g_{\frac{1}{2}} ∣ t ∣$ xác định khi $t \neq = 0$ .

x + 1 \in (0; + \infty) \Leftrightarrow x \in (- 1; + \infty)

t = x - 1

∣ t ∣ \in (0; + \infty) \Leftrightarrow t \neq = 0 \Leftrightarrow x \neq = 1

Vậy a) $(- 1; + \infty)$ ; b) $R ∖ {1}$ .

Nhận xét. Đồ thị $y = lo g_{\frac{1}{2}} ∣ x - 1∣$ gồm hai nhánh đối xứng qua đường thẳng $x = 1$ — trực quan cho việc chỉ loại đúng một điểm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai dòng, nhớ

∣ A ∣ > 0 \Leftrightarrow A \neq = 0

Đáp số. a)

D = (- 1; + \infty)

; b)

D = R ∖ {1}

Sai lầm thường gặp. Câu b hay bỏ dấu giá trị tuyệt đối thành

x - 1 > 0

, ra

D = (1; + \infty)

— thiếu cả nửa trục số. Câu a hay viết

x + 1 \geq 0

— sai,

lo g_{3} 0

không xác định.

🚀 Mở rộng. Thử tìm tập xác định của

y = lo g_{2} ∣ x^{2} - 4∣

: chỉ loại

x = \pm 2

, được

R ∖ {- 2; 2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.25★★Trang 14— Chứng minh tính chất đại số của hàm số lôgarit

Bài 6.25 (trang 14). Cho hàm số lôgarit

f (x) = lo g_{a} x

(0 < a \neq = 1)

. Chứng minh rằng:
a)

f (\frac{1}{x}) = - f (x)

; b)

f (x^{α}) = α f (x)

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} M^{α} = α lo g_{a} M$ ; $lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$ $(M, N > 0)$ .
$lo g_{a} a^{t} = t$ ; $lo g_{a} 1 = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai đẳng thức là quy tắc tính lôgarit viết theo ngôn ngữ hàm số, đúng với mọi

x > 0

(thuộc tập xác định). Có thể đi thẳng bằng quy tắc, hoặc quay về định nghĩa bằng cách đặt

x = a^{t}

— cách này tự chứng minh luôn các quy tắc.

1Cách 1. Dùng quy tắc tính lôgarit

Định hướng. Viết $\frac{1}{x} = x^{- 1}$ rồi đưa số mũ ra trước lôgarit.

f (\frac{1}{x}) = lo g_{a} x^{- 1} = - lo g_{a} x = - f (x)

f (x^{α}) = lo g_{a} x^{α} = α lo g_{a} x = α f (x)

Vậy hai đẳng thức đúng với mọi $x > 0$ .

2Cách 2. Đặt

x = a^{t}

theo định nghĩa

Định hướng. Mọi $x > 0$ viết được dưới dạng $x = a^{t}$ với $t = lo g_{a} x = f (x)$ ; khi đó $\frac{1}{x}$ và $x^{α}$ cũng là luỹ thừa của $a$ .

x = a^{t}

t = f (x)

\frac{1}{x} = a^{- t} \Rightarrow f (\frac{1}{x}) = lo g_{a} a^{- t} = - t = - f (x)

x^{α} = a^{α t} \Rightarrow f (x^{α}) = lo g_{a} a^{α t} = α t = α f (x)

Vậy a) và b) được chứng minh.

3Cách 3. Dùng quy tắc tích (câu a) và so sánh luỹ thừa (câu b)

Định hướng. Câu a: cộng $f (x)$ với $f (\frac{1}{x})$ . Câu b: chứng minh $a^{α f (x)} = x^{α}$ rồi dùng định nghĩa lôgarit.

f (x) + f (\frac{1}{x}) = lo g_{a} (x \cdot \frac{1}{x}) = lo g_{a} 1 = 0 \Rightarrow f (\frac{1}{x}) = - f (x)

a^{α f (x)} = (a^{l o g_{a} x})^{α} = x^{α} \Rightarrow α f (x) = lo g_{a} x^{α} = f (x^{α})

Vậy hai đẳng thức đúng.

Nhận xét. Câu a là trường hợp riêng của câu b với $α = - 1$ ; Cách 2 là cách chứng minh \"gốc\" vì chỉ dùng định nghĩa.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi câu một dòng nhờ quy tắc

lo g_{a} M^{α} = α lo g_{a} M

Đáp số. Đã chứng minh

f (\frac{1}{x}) = - f (x)

và

f (x^{α}) = α f (x)

với mọi

x > 0

Sai lầm thường gặp. Hay viết

lo g_{a} \frac{1}{x} = \frac{1}{lo g _{a} x}

— nhầm với nghịch đảo. Phản ví dụ:

lo g_{2} \frac{1}{4} = - 2

trong khi

\frac{1}{lo g _{2} 4} = \frac{1}{2}

. Cũng hay quên điều kiện

x > 0

🚀 Mở rộng. Với

α

chẵn và

x \neq = 0

bất kì:

lo g_{a} x^{2} = 2 lo g_{a} ∣ x ∣

chứ không phải

2 lo g_{a} x

— thử với

x = - 2

a = 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.26★★★Trang 14— Chứng minh tính chẵn lẻ và hằng đẳng thức của hàm hyperbolic

Bài 6.26 (trang 14). Ta định nghĩa các hàm sin hyperbolic và hàm côsin hyperbolic như sau:

sinh x = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})

;

cosh x = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})

.
Chứng minh rằng:
a)

sinh x

là hàm số lẻ;
b)

cosh x

là hàm số chẵn;
c)

(cosh x)^{2} - (sinh x)^{2} = 1

với mọi

x

Kiến thức cần nhớ

$f$ chẵn: $D$ đối xứng và $f (- x) = f (x)$ ; $f$ lẻ: $D$ đối xứng và $f (- x) = - f (x)$ .
$e^{x} \cdot e^{- x} = e^{0} = 1$ .
$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai hàm đều xác định trên

R

(tập đối xứng), nên chẵn/lẻ chỉ cần so sánh

f (- x)

với

f (x)

: thay

x

bởi

- x

thì

e^{x}

và

e^{- x}

đổi chỗ cho nhau. Câu c giống

cos^{2} x + sin^{2} x = 1

nhưng mang dấu trừ; hằng đẳng thức

A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)

cho lời giải gọn nhất.

1Cách 1. Dùng định nghĩa và khai triển trực tiếp

Định hướng. Tập xác định $D = R$ đối xứng; thay $- x$ vào định nghĩa, câu c khai triển bình phương.

sinh (- x) = \frac{1}{2} (e^{- x} - e^{x}) = - \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x}) = - sinh x

cosh (- x) = \frac{1}{2} (e^{- x} + e^{x}) = cosh x

(cosh x)^{2} - (sinh x)^{2} = \frac{e ^{2 x} + 2 + e ^{- 2 x}}{4} - \frac{e ^{2 x} - 2 + e ^{- 2 x}}{4} = \frac{4}{4} = 1

Vậy $sinh x$ lẻ, $cosh x$ chẵn và $(cosh x)^{2} - (sinh x)^{2} = 1$ với mọi $x$ .

2Cách 2. Dùng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương

Định hướng. Để ý $cosh x + sinh x = e^{x}$ và $cosh x - sinh x = e^{- x}$ .

cosh x + sinh x = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} + e^{x} - e^{- x}) = e^{x}

cosh x - sinh x = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} - e^{x} + e^{- x}) = e^{- x}

(cosh x)^{2} - (sinh x)^{2} = (cosh x - sinh x) (cosh x + sinh x) = e^{- x} \cdot e^{x} = 1

Vậy hằng đẳng thức c đúng với mọi $x$ (câu a, b chứng minh như Cách 1).

3Cách 3. Xét tổng và hiệu tại

x

và

- x

Định hướng. Đặt $u = e^{x} > 0$ thì $e^{- x} = \frac{1}{u}$ ; kiểm tra trực tiếp $sinh (- x) + sinh x = 0$ và $cosh (- x) - cosh x = 0$ .

sinh (- x) + sinh x = \frac{1}{2} (\frac{1}{u} - u) + \frac{1}{2} (u - \frac{1}{u}) = 0

cosh (- x) - cosh x = \frac{1}{2} (\frac{1}{u} + u) - \frac{1}{2} (u + \frac{1}{u}) = 0

\frac{1}{4} (u + \frac{1}{u})^{2} - \frac{1}{4} (u - \frac{1}{u})^{2} = \frac{1}{4} \cdot 4 \cdot u \cdot \frac{1}{u} = 1

Vậy a), b), c) đều đúng.

Nhận xét. Câu c nói rằng điểm $(cosh t; sinh t)$ luôn nằm trên hypebol $x^{2} - y^{2} = 1$ — lí do các hàm này có tên \"hyperbolic\", giống $(cos t; sin t)$ nằm trên đường tròn đơn vị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi: câu a, b dùng Cách 1; câu c dùng Cách 2 — hai dòng, không phải khai triển bình phương.

Đáp số.

sinh x

là hàm lẻ,

cosh x

là hàm chẵn,

(cosh x)^{2} - (sinh x)^{2} = 1

với mọi

x \in R

Sai lầm thường gặp. Hay quên nêu tập xác định

R

đối xứng khi kết luận chẵn/lẻ. Câu c hay khai triển sai

(e^{x} + e^{- x})^{2} = e^{2 x} + e^{- 2 x}

(thiếu hạng tử

2 e^{x} e^{- x} = 2

) và ra kết quả

0

🚀 Mở rộng. Chứng minh thêm

sinh 2 x = 2 sinh x cosh x

— tương tự công thức nhân đôi của sin.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.27★Trang 15— Tính giá trị hàm số mũ trong bài toán thực tế

Bài 6.27 (trang 15). Nếu một ô kính ngăn khoảng

3%

ánh sáng truyền qua nó thì phần trăm ánh sáng

p

truyền qua

n

ô kính liên tiếp được cho gần đúng bởi hàm số sau:

p (n) = 100 \cdot (0, 97)^{n}

.
a) Có bao nhiêu phần trăm ánh sáng sẽ truyền qua 10 ô kính?
b) Có bao nhiêu phần trăm ánh sáng sẽ truyền qua 25 ô kính?
(Kết quả ở câu a và câu b được làm tròn đến hàng đơn vị).

Kiến thức cần nhớ

Hàm số mũ $y = a^{x}$ với $0 < a < 1$ nghịch biến.
$a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$ .
$lo g a^{n} = n lo g a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi ô kính giữ lại

97%

lượng ánh sáng tới nó, nên sau

n

ô là

0, 9 7^{n}

— hàm mũ cơ số nhỏ hơn

1

, giảm dần. Chỉ cần thay

n = 10

n = 25

và làm tròn đến hàng đơn vị ở bước cuối.

1Cách 1. Thay số trực tiếp

Định hướng. Thay $n = 10$ và $n = 25$ rồi bấm máy.

p (10) = 100 \cdot 0, 9 7^{10} \approx 73, 74 \approx 74

p (25) = 100 \cdot 0, 9 7^{25} \approx 46, 70 \approx 47

Vậy khoảng $74%$ ánh sáng qua 10 ô kính và khoảng $47%$ qua 25 ô kính.

2Cách 2. Tính qua lôgarit thập phân

Định hướng. $lo g p (n) = 2 + n lo g 0, 97$ biến luỹ thừa thành phép nhân đơn giản.

lo g 0, 97 \approx - 0, 013228

lo g p (10) \approx 2 - 0, 13228 = 1, 86772 \Rightarrow p (10) \approx 1 0^{1, 86772} \approx 73, 74

lo g p (25) \approx 2 - 0, 33071 = 1, 66929 \Rightarrow p (25) \approx 1 0^{1, 66929} \approx 46, 70

Vậy a) $\approx 74%$ ; b) $\approx 47%$ .

3Cách 3. Tính dần từ kết quả câu a

Định hướng. $p (25) = p (10) \cdot 0, 9 7^{15}$ : 15 ô kính sau tiếp tục giữ lại $0, 9 7^{15}$ phần.

0, 9 7^{15} \approx 0, 63325

p (25) \approx 73, 742 \cdot 0, 63325 \approx 46, 70

Vậy qua 25 ô kính còn khoảng $47%$ ánh sáng.

Nhận xét. Cách 3 dùng tính chất $a^{m + n} = a^{m} a^{n}$ của hàm mũ; nhớ giữ $p (10)$ chưa làm tròn ( $73, 742$ ) để khỏi dồn sai số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai phép bấm máy.

Đáp số. a) Khoảng

74%

; b) khoảng

47%

Sai lầm thường gặp. Hay coi mỗi ô kính trừ đi

3%

cố định:

100 - 3 \cdot 10 = 70%

và

100 - 3 \cdot 25 = 25%

— sai mô hình, vì ô sau chỉ ngăn

3%

của lượng ánh sáng đã giảm. Một lỗi khác là làm tròn

p (10)

thành

74

rồi mới nhân tiếp ở Cách 3.

🚀 Mở rộng. Cần ít nhất bao nhiêu ô kính để ánh sáng qua còn dưới

50%

? Giải

0, 9 7^{n} < 0, 5

được

n > \frac{lo g 0 , 5}{lo g 0 , 97} \approx 22, 8

, tức

23

ô.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.28★★Trang 15— Lãi kép theo định kì và lãi kép liên tục

Bài 6.28 (trang 15). Số tiền ban đầu 120 triệu đồng được gửi tiết kiệm với lãi suất năm không đổi là

6%

. Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) thu được sau 5 năm nếu nó được tính lãi kép:
a) hằng quý;
b) hằng tháng;
c) liên tục.
(Kết quả được tính theo đơn vị triệu đồng và làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Kiến thức cần nhớ

Lãi kép theo định kì: $A = P (1 + \frac{r}{n})^{n t}$ .
Lãi kép liên tục: $A = P e^{r t}$ .
$n \to + \infty lim (1 + \frac{r}{n})^{n} = e^{r}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Lãi kép

n

kì mỗi năm: lãi suất mỗi kì là

\frac{r}{n}

và số kì trong

t

năm là

n t

, nên

A = P (1 + \frac{r}{n})^{n t}

; khi

n \to + \infty

ta được lãi kép liên tục

A = P e^{r t}

. Bẫy thường gặp là quên chia lãi suất năm cho số kì.

1Cách 1. Thay số vào công thức lãi kép

Định hướng. $P = 120$ , $r = 0, 06$ , $t = 5$ ; $n = 4$ (quý), $n = 12$ (tháng), liên tục dùng $e^{r t}$ .

A = 120 (1 + \frac{0 , 06}{4})^{20} = 120 \cdot 1, 01 5^{20} \approx 161, 623

A = 120 (1 + \frac{0 , 06}{12})^{60} = 120 \cdot 1, 00 5^{60} \approx 161, 862

A = 120 e^{0, 06 \cdot 5} = 120 e^{0, 3} \approx 161, 983

Vậy a) $\approx 161, 623$ ; b) $\approx 161, 862$ ; c) $\approx 161, 983$ triệu đồng.

2Cách 2. Quy về hệ số tăng mỗi năm

Định hướng. Tính hệ số mà số tiền được nhân lên sau một năm cho từng cách tính lãi, rồi luỹ thừa $5$ .

1, 01 5^{4} \approx 1, 0613636 \Rightarrow A \approx 120 \cdot 1, 061363 6^{5} \approx 161, 623

1, 00 5^{12} \approx 1, 0616778 \Rightarrow A \approx 120 \cdot 1, 061677 8^{5} \approx 161, 862

e^{0, 06} \approx 1, 0618365 \Rightarrow A \approx 120 \cdot 1, 061836 5^{5} \approx 161, 983

Vậy số tiền thu được lần lượt khoảng $161, 623$ ; $161, 862$ ; $161, 983$ triệu đồng.

Nhận xét. Hệ số một năm cho biết lãi suất thực tế: khoảng $6, 14%$ , $6, 17%$ , $6, 18%$ — càng chia nhỏ kì, lãi càng nhiều nhưng tăng chậm dần.

3Cách 3. Lấy lôgarit tự nhiên

Định hướng. $ln A = ln P + n t ln (1 + \frac{r}{n})$ : nhân chia thay cho luỹ thừa bậc cao.

ln A \approx 4, 787492 + 20 \cdot 0, 014889 \approx 5, 085264 \Rightarrow A \approx 161, 623

ln A \approx 4, 787492 + 60 \cdot 0, 0049875 \approx 5, 086744 \Rightarrow A \approx 161, 862

ln A = 4, 787492 + 0, 3 = 5, 087492 \Rightarrow A \approx 161, 983

Vậy a) $161, 623$ ; b) $161, 862$ ; c) $161, 983$ (triệu đồng).

Nhận xét. Cách 3 cho thấy vì sao lãi liên tục là \"trần\": $n ln (1 + \frac{r}{n})$ tăng dần và tiến tới $r$ khi $n \to + \infty$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba công thức thay số, bấm máy một lần mỗi câu.

Đáp số. a)

\approx 161, 623

triệu đồng; b)

\approx 161, 862

triệu đồng; c)

\approx 161, 983

triệu đồng.

Sai lầm thường gặp. Hay dùng

120 \cdot 1, 0 6^{20}

cho câu a (quên chia lãi suất năm cho

4

) ra khoảng

384, 8

triệu — vô lí. Hoặc dùng số mũ

5

thay vì

20

60

(quên nhân số kì). Câu c hay viết

120 \cdot e^{0, 06}

quên nhân

t = 5

🚀 Mở rộng. Với lãi kép liên tục

6%

/năm, sau bao lâu số tiền gấp đôi?

t = \frac{ln 2}{0 , 06} \approx 11, 55

năm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 6.29★★Trang 15— Tính giá trị hàm số mũ trong bài toán chu kì bán rã

Bài 6.29 (trang 15). Chu kì bán rã của đồng vị phóng xạ Radi 226 là khoảng

1600

năm. Giả sử khối lượng

m

(tính bằng gam) còn lại sau

t

năm của một lượng Radi 226 được cho bởi công thức:

m = 25 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{1 600}}

.
a) Khối lượng ban đầu (khi

t = 0

) của lượng Radi 226 đó là bao nhiêu?
b) Sau

2500

năm khối lượng của lượng Radi 226 đó là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

$a^{0} = 1$ ; $a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$ .
$(\frac{1}{2})^{x} = e^{- x l n 2}$ .
Mô hình bán rã $m (t) = m_{0} (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}$ , $T$ là chu kì bán rã.

🧠 Phân tích tư duy

Mô hình bán rã: cứ sau một chu kì

1600

năm khối lượng giảm một nửa. Khi

t = 0

số mũ bằng

0

nên khối lượng là hệ số

25

2500

năm hơn một chu kì một chút, nên kết quả phải nhỏ hơn

12, 5

g — dùng để kiểm tra.

1Cách 1. Thay số trực tiếp

Định hướng. Thay $t = 0$ và $t = 2500$ vào công thức.

m (0) = 25 \cdot (\frac{1}{2})^{0} = 25

m (2500) = 25 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{2 500}{1 600}} = 25 \cdot (\frac{1}{2})^{1, 5625} \approx 8, 46

Vậy a) $25$ g; b) khoảng $8, 46$ g.

2Cách 2. Tách theo số chu kì bán rã

Định hướng. $2500 = 1600 + 900$ : sau một chu kì còn $12, 5$ g, rồi nhân tiếp với $(\frac{1}{2})^{\frac{900}{1 600}}$ .

m (2500) = 25 \cdot \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{900}{1 600}}

m (2500) = 12, 5 \cdot (\frac{1}{2})^{0, 5625}

m (2500) \approx 12, 5 \cdot 0, 67713 \approx 8, 46

Vậy sau $2500$ năm còn khoảng $8, 46$ g.

3Cách 3. Đổi sang cơ số

e

Định hướng. $(\frac{1}{2})^{\frac{t}{1 600}} = e^{- \frac{t ln 2}{1 600}}$ — dạng phân rã $m_{0} e^{- k t}$ quen thuộc.

k = \frac{ln 2}{1 600}

m (2500) = 25 e^{- \frac{2 500 ln 2}{1 600}}

m (2500) \approx 25 e^{- 1, 08304} \approx 25 \cdot 0, 33856 \approx 8, 46

Vậy $m (2500) \approx 8, 46$ g; $m (0) = 25 e^{0} = 25$ g.

Nhận xét. Cách 2 giúp ước lượng nhẩm: hơn một chu kì một chút nên còn dưới một nửa ( $12, 5$ g) nhưng trên một phần tư ( $6, 25$ g).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1; Cách 2 dùng để ước lượng kiểm tra kết quả.

Đáp số. a)

25

g; b) khoảng

8, 46

Sai lầm thường gặp. Hay tính số mũ

\frac{1 600}{2 500} = 0, 64

(đảo ngược phân số) ra

\approx 16, 04

g. Hoặc tính

25 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1, 5625

như thể

1, 5625

là hệ số chứ không phải số mũ.

🚀 Mở rộng. Sau bao nhiêu năm còn

1

g? Giải

25 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{1 600}} = 1

được

t = 1600 lo g_{2} 25 \approx 7430

năm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 6.30★★Trang 15— Ứng dụng hàm lôgarit: mức cường độ âm

Bài 6.30 (trang 15). Trong Vật lí, mức cường độ âm (tính bằng deciben, kí hiệu là dB) được tính bởi công thức

L = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}

, trong đó

I

là cường độ âm tính theo

W/m^{2}

và

I_{0} = 1 0^{- 12}

W/m^{2}

là cường độ âm chuẩn, tức là cường độ âm thấp nhất mà tai người có thể nghe được.
a) Tính mức cường độ âm của một cuộc trò chuyện bình thường có cường độ âm là

1 0^{- 7}

W/m^{2}

.
b) Khi cường độ âm tăng lên

1000

lần thì mức cường độ âm (đại lượng đặc trưng cho độ to nhỏ của âm) thay đổi thế nào?

Kiến thức cần nhớ

$lo g (M N) = lo g M + lo g N$ ; $lo g 1 0^{k} = k$ .
$lo g \frac{M}{N} = lo g M - lo g N$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a chỉ là thay số, thương

\frac{1 0 ^{- 7}}{1 0 ^{- 12}} = 1 0^{5}

nên lôgarit nhẩm được. Câu b là điểm hay của hàm lôgarit: nhân

I

với

1000

thì lôgarit CỘNG thêm

lo g 1000 = 3

— nên

L

tăng một lượng cố định, không phụ thuộc

I

ban đầu.

1Cách 1. Dùng quy tắc lôgarit của tích

Định hướng. Câu a thay số; câu b viết $L^{'} = 10 lo g \frac{1 000 I}{I _{0}}$ rồi tách lôgarit của tích.

L = 10 lo g \frac{1 0 ^{- 7}}{1 0 ^{- 12}} = 10 lo g 1 0^{5} = 50

L^{'} = 10 lo g \frac{1 000 I}{I _{0}} = 10 (lo g 1000 + lo g \frac{I}{I _{0}})

L^{'} = 10 \cdot 3 + 10 lo g \frac{I}{I _{0}} = 30 + L

Vậy a) $50$ dB; b) mức cường độ âm tăng thêm $30$ dB.

2Cách 2. Viết

L

thành hàm bậc nhất của

lo g I

Định hướng. $L = 10 lo g I - 10 lo g I_{0} = 10 lo g I + 120$ : mức cường độ âm chỉ phụ thuộc $lo g I$ một cách tuyến tính.

L = 10 (lo g I - lo g 1 0^{- 12}) = 10 lo g I + 120

L = 10 \cdot (- 7) + 120 = 50

L^{'} - L = 10 (lo g 1000 I - lo g I) = 10 lo g 1000 = 30

Vậy a) $50$ dB; b) tăng $30$ dB.

3Cách 3. Kiểm tra bằng ví dụ số cụ thể

Định hướng. Lấy chính cuộc trò chuyện ở câu a, tăng cường độ lên $1000$ lần, tính lại $L$ rồi so sánh; sau đó khẳng định tổng quát bằng Cách 1.

I = 1 0^{- 7} \Rightarrow L = 50

I^{'} = 1000 \cdot 1 0^{- 7} = 1 0^{- 4} \Rightarrow L^{'} = 10 lo g \frac{1 0 ^{- 4}}{1 0 ^{- 12}} = 10 lo g 1 0^{8} = 80

L^{'} - L = 80 - 50 = 30

Vậy a) $50$ dB; b) mức cường độ âm tăng $30$ dB (đúng với mọi $I$ theo Cách 1).

Nhận xét. Ví dụ số chỉ minh hoạ, không thay được chứng minh tổng quát; nhưng nó giúp phát hiện ngay nếu đại số sai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: câu b ra kết quả tổng quát chỉ nhờ

lo g (M N) = lo g M + lo g N

Đáp số. a)

50

dB; b) tăng thêm

30

dB.

Sai lầm thường gặp. Câu b hay trả lời \"mức cường độ âm cũng tăng

1000

lần\" hoặc \"tăng

3

dB\" (quên hệ số

10

). Câu a hay tính

lo g \frac{1 0 ^{- 7}}{1 0 ^{- 12}} = lo g 1 0^{- 19}

(trừ sai số mũ).

🚀 Mở rộng. Tổng quát: cường độ âm tăng

1 0^{k}

lần thì mức cường độ âm tăng

10 k

dB; tiếng ồn

80

dB có cường độ gấp bao nhiêu lần cuộc trò chuyện

50

dB? (

1 0^{3} = 1000

lần).

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 19. Lôgarit Bài tiếp theo ›Bài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

📚 Cùng chương: Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 18. Luỹ thừa với số mũ thực
Bài 19. Lôgarit
▶ Bài 20. Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Bài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit