Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 20. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang14–15 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 6.21★★Trang 14— Vẽ đồ thị hàm số mũ

Bài 6.21 (trang 14). Vẽ đồ thị của các hàm số mũ sau:
a)

y = (3)^{x}

; b)

y = (\frac{1}{4})^{x}

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = a^{x}$ $(0 < a \neq = 1)$ : tập xác định $R$ , tập giá trị $(0; + \infty)$ ; đồng biến khi $a > 1$ , nghịch biến khi $0 < a < 1$ .
Đồ thị $y = a^{x}$ qua $(0; 1)$ , $(1; a)$ , nằm trên trục hoành; đồ thị $y = a^{x}$ và $y = (\frac{1}{a})^{x}$ đối xứng qua $O y$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cơ số

3 > 1

cho đồ thị đi lên, cơ số

\frac{1}{4} < 1

cho đồ thị đi xuống. Mấu chốt là chọn

x

khéo để

y

ra số đẹp: với

(3)^{x}

chọn

x

chẵn, với

(\frac{1}{4})^{x}

chọn cả

x = \pm \frac{1}{2}, - \frac{3}{2}

cho

y = 2, 8

1Cách 1. Lập bảng giá trị rồi nối điểm

Định hướng. Tính giá trị tại các điểm chọn sẵn, chấm và nối thành đường cong (hồng: câu a, tím: câu b trong hình).

x y = (3)^{x} - 2 \frac{1}{3} 012349

x y = (\frac{1}{4})^{x} - \frac{3}{2} 8 - 1 4 - \frac{1}{2} 2 01 1 \frac{1}{4}

Vậy đồ thị a đi lên qua $(- 2; \frac{1}{3})$ , $(0; 1)$ , $(2; 3)$ , $(4; 9)$ ; đồ thị b đi xuống qua $(- \frac{3}{2}; 8)$ , $(- 1; 4)$ , $(- \frac{1}{2}; 2)$ , $(0; 1)$ , $(1; \frac{1}{4})$ .

2Cách 2. Phác dạng từ tính chất

Định hướng. Dùng cơ số để biết chiều biến thiên, hai điểm mốc $(0; 1)$ , $(1; a)$ và tiệm cận ngang là trục hoành.

a = 3 > 1

: đồng biến, qua

(0; 1)

(1; 3)

y \to 0

khi

x \to - \infty

a = \frac{1}{4} \in (0; 1)

: nghịch biến, qua

(0; 1)

(1; \frac{1}{4})

y \to 0

khi

x \to + \infty

Vậy hai đồ thị cùng qua $(0; 1)$ , nằm trên trục hoành, một đi lên một đi xuống.

3Cách 3. Đưa về hàm cơ số quen thuộc

Định hướng. $(3)^{x} = 3^{\frac{x}{2}}$ và $(\frac{1}{4})^{x} = 4^{- x}$ : mượn bảng giá trị của $3^{x}$ và $4^{x}$ .

(3)^{2 k} = 3^{k}

: điểm

(k; 3^{k})

của

y = 3^{x}

ứng với điểm

(2 k; 3^{k})

(\frac{1}{4})^{x} = 4^{- x}

(x_{0}; y_{0})

thuộc

y = 4^{x}

\Leftrightarrow

(- x_{0}; y_{0})

thuộc đồ thị b

y = 4^{x}

qua

(1; 4)

(\frac{1}{2}; 2)

\Rightarrow

đồ thị b qua

(- 1; 4)

(- \frac{1}{2}; 2)

Vậy đồ thị a là đồ thị $y = 3^{x}$ giãn theo phương ngang $2$ lần; đồ thị b đối xứng với đồ thị $y = 4^{x}$ qua $O y$ .

Nhận xét. Cách 3 giải thích vì sao đồ thị $(3)^{x}$ thoải hơn $3^{x}$ : phải đi gấp đôi quãng đường theo $x$ mới tăng được cùng một mức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 với các điểm chọn khéo (

x

chẵn cho câu a,

x

bội của

\frac{1}{2}

cho câu b), rồi dùng Cách 2 để nối đúng dạng.

Đáp số. a) Đồ thị đồng biến qua

(- 2; \frac{1}{3})

(0; 1)

(2; 3)

(4; 9)

. b) Đồ thị nghịch biến qua

(- 1; 4)

(- \frac{1}{2}; 2)

(0; 1)

(1; \frac{1}{4})

Sai lầm thường gặp. Câu a hay chọn

x = 1

rồi chấm điểm

(1; 1, 7)

thiếu chính xác; nên chọn

x

chẵn. Câu b hay tính

(\frac{1}{4})^{- 1} = - 4

và chấm điểm dưới trục hoành — sai,

(\frac{1}{4})^{- 1} = 4

🚀 Mở rộng. Vẽ thêm

y = (3)^{- x}

: đó là đối xứng của đồ thị a qua

O y

, và cũng chính là

y = (\frac{1}{3})^{x}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.22★★Trang 14— Vẽ đồ thị hàm số lôgarit

Bài 6.22 (trang 14). Vẽ đồ thị của các hàm số lôgarit sau:
a)

y = lo g_{3} x

; b)

y = lo g_{\frac{2}{3}} x

Kiến thức cần nhớ

Hàm số $y = lo g_{a} x$ $(0 < a \neq = 1)$ : tập xác định $(0; + \infty)$ , tập giá trị $R$ ; đồng biến khi $a > 1$ , nghịch biến khi $0 < a < 1$ .
Đồ thị $y = lo g_{a} x$ qua $(1; 0)$ , $(a; 1)$ , nằm bên phải $O y$ , đối xứng với đồ thị $y = a^{x}$ qua đường thẳng $y = x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chọn

x

là luỹ thừa của cơ số để

y

nguyên:

x = \frac{1}{3}, 1, 3, 9

cho câu a và

x = \frac{4}{9}, \frac{2}{3}, 1, \frac{3}{2}, \frac{9}{4}

cho câu b. Cơ số

3 > 1

nên đồ thị a đi lên; cơ số

\frac{2}{3} < 1

nên đồ thị b đi xuống.

1Cách 1. Lập bảng giá trị rồi nối điểm

Định hướng. Dùng $lo g_{a} a^{k} = k$ , chấm điểm rồi nối (hồng: câu a, tím: câu b trong hình).

x y = lo g_{3} x \frac{1}{3} - 2 103294

x y = lo g_{\frac{2}{3}} x \frac{4}{9} 2 \frac{2}{3} 1 10 \frac{3}{2} - 1 \frac{9}{4} - 2 \frac{81}{16} - 4

Vậy đồ thị a đồng biến, đồ thị b nghịch biến trên $(0; + \infty)$ ; cả hai qua $(1; 0)$ và nằm bên phải trục tung.

2Cách 2. Lấy đối xứng đồ thị hàm số mũ qua đường thẳng

y = x

Định hướng. $y = lo g_{a} x \Leftrightarrow x = a^{y}$ : đổi chỗ toạ độ các điểm của đồ thị $y = a^{x}$ .

y = (3)^{x}

qua

(- 2; \frac{1}{3}), (2; 3), (4; 9)

\Rightarrow

đồ thị a qua

(\frac{1}{3}; - 2), (3; 2), (9; 4)

y = (\frac{2}{3})^{x}

qua

(1; \frac{2}{3}), (- 1; \frac{3}{2}), (- 2; \frac{9}{4})

\Rightarrow

đồ thị b qua

(\frac{2}{3}; 1), (\frac{3}{2}; - 1), (\frac{9}{4}; - 2)

Vậy hai đồ thị lôgarit là ảnh của hai đồ thị mũ cùng cơ số qua đường thẳng $y = x$ .

3Cách 3. Đưa về cơ số quen thuộc

Định hướng. $lo g_{3} x = 2 lo g_{3} x$ và $lo g_{\frac{2}{3}} x = - lo g_{\frac{3}{2}} x$ : kéo giãn hoặc lật đồ thị đã biết.

lo g_{3} x = lo g_{3^{\frac{1}{2}}} x = 2 lo g_{3} x

: nhân tung độ của

y = lo g_{3} x

với

2

lo g_{\frac{2}{3}} x = lo g_{(\frac{3}{2})^{- 1}} x = - lo g_{\frac{3}{2}} x

: đối xứng đồ thị

y = lo g_{\frac{3}{2}} x

qua

O x

Vậy đồ thị a là đồ thị $y = lo g_{3} x$ giãn theo phương đứng $2$ lần; đồ thị b đối xứng với đồ thị $y = lo g_{\frac{3}{2}} x$ qua trục hoành.

Nhận xét. Công thức $lo g_{a^{k}} x = \frac{1}{k} lo g_{a} x$ biến mọi đồ thị lôgarit thành phép co giãn của một đồ thị gốc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 với

x

là luỹ thừa của cơ số — mọi

y

đều nguyên, chấm điểm không cần máy tính.

Đáp số. a) Đồ thị đồng biến qua

(\frac{1}{3}; - 2)

(1; 0)

(3; 2)

(9; 4)

. b) Đồ thị nghịch biến qua

(\frac{4}{9}; 2)

(\frac{2}{3}; 1)

(1; 0)

(\frac{3}{2}; - 1)

(\frac{9}{4}; - 2)

Sai lầm thường gặp. Câu b hay vẽ đồ thị đi lên vì thấy tử số

2

— sai, cơ số

\frac{2}{3} < 1

nên hàm nghịch biến. Hay tính

lo g_{3} 3 = \frac{1}{2}

(nhầm chiều) — đúng là

lo g_{3} 3 = 2

vì

(3)^{2} = 3

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

lo g_{a^{k}} x = \frac{1}{k} lo g_{a} x

; thử vẽ

y = lo g_{\frac{1}{9}} x

bằng cách co đồ thị

y = lo g_{3} x

theo phương đứng và lật qua

O x

(

y = - \frac{1}{2} lo g_{3} x

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.23★★Trang 14— Chứng minh tính chất đại số của hàm số mũ

Bài 6.23 (trang 14). Cho hàm số mũ

f (x) = a^{x}

(a > 0)

. Chứng minh rằng:
a)

\frac{f ( x + 1 )}{f ( x )} = a

;
b)

f (- x) = \frac{1}{f ( x )}

;
c)

f (x_{1} + x_{2}) = f (x_{1}) \cdot f (x_{2})

Kiến thức cần nhớ

$a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$ ; $a^{m - n} = \frac{a ^{m}}{a ^{n}}$ ; $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ $(a > 0)$ .
$a^{x} > 0$ với mọi $x$ , nên chia cho $f (x)$ luôn hợp lệ.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.24★Trang 14— Tìm tập xác định của hàm số lôgarit

Bài 6.24 (trang 14). Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)

y = lo g_{3} (x + 1)

; b)

y = lo g_{\frac{1}{2}} ∣ x - 1∣

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} u (x)$ xác định $\Leftrightarrow u (x) > 0$ $(0 < a \neq = 1)$ .
$∣ A ∣ > 0 \Leftrightarrow A \neq = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.25★★Trang 14— Chứng minh tính chất đại số của hàm số lôgarit

Bài 6.25 (trang 14). Cho hàm số lôgarit

f (x) = lo g_{a} x

(0 < a \neq = 1)

. Chứng minh rằng:
a)

f (\frac{1}{x}) = - f (x)

; b)

f (x^{α}) = α f (x)

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} M^{α} = α lo g_{a} M$ ; $lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$ $(M, N > 0)$ .
$lo g_{a} a^{t} = t$ ; $lo g_{a} 1 = 0$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.26★★★Trang 14— Chứng minh tính chẵn lẻ và hằng đẳng thức của hàm hyperbolic

Bài 6.26 (trang 14). Ta định nghĩa các hàm sin hyperbolic và hàm côsin hyperbolic như sau:

sinh x = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})

;

cosh x = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})

.
Chứng minh rằng:
a)

sinh x

là hàm số lẻ;
b)

cosh x

là hàm số chẵn;
c)

(cosh x)^{2} - (sinh x)^{2} = 1

với mọi

x

Kiến thức cần nhớ

$f$ chẵn: $D$ đối xứng và $f (- x) = f (x)$ ; $f$ lẻ: $D$ đối xứng và $f (- x) = - f (x)$ .
$e^{x} \cdot e^{- x} = e^{0} = 1$ .
$A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.27★Trang 15— Tính giá trị hàm số mũ trong bài toán thực tế

Bài 6.27 (trang 15). Nếu một ô kính ngăn khoảng

3%

ánh sáng truyền qua nó thì phần trăm ánh sáng

p

truyền qua

n

ô kính liên tiếp được cho gần đúng bởi hàm số sau:

p (n) = 100 \cdot (0, 97)^{n}

.
a) Có bao nhiêu phần trăm ánh sáng sẽ truyền qua 10 ô kính?
b) Có bao nhiêu phần trăm ánh sáng sẽ truyền qua 25 ô kính?
(Kết quả ở câu a và câu b được làm tròn đến hàng đơn vị).

Kiến thức cần nhớ

Hàm số mũ $y = a^{x}$ với $0 < a < 1$ nghịch biến.
$a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$ .
$lo g a^{n} = n lo g a$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.28★★Trang 15— Lãi kép theo định kì và lãi kép liên tục

Bài 6.28 (trang 15). Số tiền ban đầu 120 triệu đồng được gửi tiết kiệm với lãi suất năm không đổi là

6%

. Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) thu được sau 5 năm nếu nó được tính lãi kép:
a) hằng quý;
b) hằng tháng;
c) liên tục.
(Kết quả được tính theo đơn vị triệu đồng và làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba).

Kiến thức cần nhớ

Lãi kép theo định kì: $A = P (1 + \frac{r}{n})^{n t}$ .
Lãi kép liên tục: $A = P e^{r t}$ .
$n \to + \infty lim (1 + \frac{r}{n})^{n} = e^{r}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 6.29★★Trang 15— Tính giá trị hàm số mũ trong bài toán chu kì bán rã

Bài 6.29 (trang 15). Chu kì bán rã của đồng vị phóng xạ Radi 226 là khoảng

1600

năm. Giả sử khối lượng

m

(tính bằng gam) còn lại sau

t

năm của một lượng Radi 226 được cho bởi công thức:

m = 25 \cdot (\frac{1}{2})^{\frac{t}{1 600}}

.
a) Khối lượng ban đầu (khi

t = 0

) của lượng Radi 226 đó là bao nhiêu?
b) Sau

2500

năm khối lượng của lượng Radi 226 đó là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

$a^{0} = 1$ ; $a^{m + n} = a^{m} \cdot a^{n}$ .
$(\frac{1}{2})^{x} = e^{- x l n 2}$ .
Mô hình bán rã $m (t) = m_{0} (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}$ , $T$ là chu kì bán rã.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 6.30★★Trang 15— Ứng dụng hàm lôgarit: mức cường độ âm

Bài 6.30 (trang 15). Trong Vật lí, mức cường độ âm (tính bằng deciben, kí hiệu là dB) được tính bởi công thức

L = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}

, trong đó

I

là cường độ âm tính theo

W/m^{2}

và

I_{0} = 1 0^{- 12}

W/m^{2}

là cường độ âm chuẩn, tức là cường độ âm thấp nhất mà tai người có thể nghe được.
a) Tính mức cường độ âm của một cuộc trò chuyện bình thường có cường độ âm là