Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 19. Lôgarit

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang10–11 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 6.11★Trang 10— Tính giá trị lôgarit và luỹ thừa có số mũ là lôgarit

Bài 6.11 (trang 10). Tính:
a)

lo g_{2} \frac{1}{64}

; b)

lo g 1000

; c)

lo g_{5} 1250 - lo g_{5} 10

; d)

4^{l o g_{2} 3}

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} a^{α} = α$ ; $a^{l o g_{a} M} = M$ .
$lo g_{a} M - lo g_{a} N = lo g_{a} \frac{M}{N}$ .
$(a^{m})^{n} = a^{mn} = (a^{n})^{m}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a, b: số dưới dấu log là luỹ thừa của cơ số (

\frac{1}{64} = 2^{- 6}

1000 = 1 0^{3}

). Câu c là hiệu hai lôgarit cùng cơ số, gộp thành thương

\frac{1 250}{10} = 125 = 5^{3}

. Câu d có dạng

a^{l o g_{b} c}

: phải đưa cơ số

4

về

2

để dùng

2^{l o g_{2} 3} = 3

1Cách 1. Dùng tính chất và quy tắc tính lôgarit

Định hướng. Đưa về $lo g_{a} a^{α}$ , gộp hiệu thành thương, và viết $4 = 2^{2}$ để dùng $a^{l o g_{a} M} = M$ .

lo g_{2} \frac{1}{64} = lo g_{2} 2^{- 6} = - 6

lo g 1000 = lo g 1 0^{3} = 3

lo g_{5} 1250 - lo g_{5} 10 = lo g_{5} \frac{1 250}{10} = lo g_{5} 125 = lo g_{5} 5^{3} = 3

4^{l o g_{2} 3} = (2^{2})^{l o g_{2} 3} = (2^{l o g_{2} 3})^{2} = 3^{2} = 9

Vậy a) $- 6$ ; b) $3$ ; c) $3$ ; d) $9$ .

2Cách 2. Đặt ẩn theo định nghĩa lôgarit

Định hướng. Gọi giá trị cần tính là ẩn và chuyển sang đẳng thức luỹ thừa; câu d lấy $lo g_{2}$ của ẩn.

lo g_{2} \frac{1}{64} = x \Leftrightarrow 2^{x} = \frac{1}{64} = 2^{- 6} \Leftrightarrow x = - 6

lo g 1000 = y \Leftrightarrow 1 0^{y} = 1000 = 1 0^{3} \Leftrightarrow y = 3

lo g_{5} 1250 - lo g_{5} 10 = z \Leftrightarrow 5^{z} = \frac{5 ^{l o g_{5} 1250}}{5 ^{l o g_{5} 10}} = \frac{1 250}{10} = 125 \Leftrightarrow z = 3

T = 4^{l o g_{2} 3} \Rightarrow lo g_{2} T = lo g_{2} 3 \cdot lo g_{2} 4 = 2 lo g_{2} 3 = lo g_{2} 9 \Rightarrow T = 9

Vậy a) $- 6$ ; b) $3$ ; c) $3$ ; d) $9$ .

3Cách 3. Tách riêng từng lôgarit và dùng đẳng thức

a^{l o g_{b} c} = c^{l o g_{b} a}

Định hướng. Câu c tính riêng hai lôgarit bằng cách phân tích $1250 = 2 \cdot 5^{4}$ , $10 = 2 \cdot 5$ ; câu d đổi chỗ cơ số và số dưới dấu log.

lo g_{2} \frac{1}{64} = - lo g_{2} 64 = - lo g_{2} 2^{6} = - 6

lo g 1000 = lo g 10 + lo g 100 = 1 + 2 = 3

lo g_{5} 1250 = lo g_{5} 2 + 4

;

lo g_{5} 10 = lo g_{5} 2 + 1

; hiệu bằng

4 - 1 = 3

4^{l o g_{2} 3} = 3^{l o g_{2} 4} = 3^{2} = 9

Vậy a) $- 6$ ; b) $3$ ; c) $3$ ; d) $9$ .

Nhận xét. Đẳng thức $a^{l o g_{b} c} = c^{l o g_{b} a}$ đúng vì hai vế có cùng lôgarit cơ số $b$ là $lo g_{b} a \cdot lo g_{b} c$ ; nó giúp câu d trở thành phép tính nhẩm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi câu một dòng; riêng câu d nhớ mẹo viết

4 = 2^{2}

rồi đổi thứ tự hai số mũ.

Đáp số. a)

- 6

; b)

3

; c)

3

; d)

9

Sai lầm thường gặp. Câu c hay bị viết

lo g_{5} (1250 - 10)

— sai, hiệu hai lôgarit là lôgarit của thương. Câu d hay bị tính

4^{l o g_{2} 3} = 4 \cdot lo g_{2} 3

hoặc

= 3^{2}

mà không giải thích; một lỗi khác là ra

4^{l o g_{2} 3} = 3^{4} = 81

vì nhầm

4 = 2^{4}

🚀 Mở rộng. Tổng quát câu d:

(a^{k})^{l o g_{a} M} = M^{k}

; thử tính

2 7^{l o g_{3} 2} + 2 5^{l o g_{5} 3}

(đáp số

8 + 9 = 17

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.12★★Trang 10— Chứng minh đẳng thức lôgarit bằng quy tắc tích và hằng đẳng thức

Bài 6.12 (trang 10). Chứng minh rằng:
a)

lo g_{a} (x + x^{2} - 1) + lo g_{a} (x - x^{2} - 1) = 0

;
b)

ln (1 + e^{2 x}) = 2 x + ln (1 + e^{- 2 x})

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} M + lo g_{a} N = lo g_{a} (M N)$ ; $lo g_{a} 1 = 0$ .
$(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}$ .
$ln e^{α} = α$ ; $e^{2 x} \cdot e^{- 2 x} = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a có cặp biểu thức

x + x^{2} - 1

và

x - x^{2} - 1

, tích của chúng bằng

x^{2} - (x^{2} - 1) = 1

— dấu hiệu gộp thành lôgarit của tích. Câu b có

e^{2 x}

và

e^{- 2 x}

nghịch đảo nhau: đặt

e^{2 x}

làm nhân tử chung trong

1 + e^{2 x}

sẽ xuất hiện đúng

1 + e^{- 2 x}

. Câu a ngầm hiểu biểu thức có nghĩa, tức

0 < a \neq = 1

và

x \geq 1

1Cách 1. Biến đổi vế trái thành vế phải

Định hướng. Câu a gộp thành lôgarit của tích hai biểu thức chỉ khác nhau dấu trước căn; câu b đặt $e^{2 x}$ làm nhân tử chung.

lo g_{a} (x + x^{2} - 1) + lo g_{a} (x - x^{2} - 1) = lo g_{a} [(x + x^{2} - 1) (x - x^{2} - 1)]

= lo g_{a} [x^{2} - (x^{2} - 1)] = lo g_{a} 1 = 0

ln (1 + e^{2 x}) = ln [e^{2 x} (e^{- 2 x} + 1)] = ln e^{2 x} + ln (1 + e^{- 2 x}) = 2 x + ln (1 + e^{- 2 x})

Vậy hai đẳng thức được chứng minh.

2Cách 2. Dùng quan hệ nghịch đảo

Định hướng. Câu a: $x - x^{2} - 1 = \frac{1}{x + x ^{2} - 1}$ nên hai lôgarit là hai số đối nhau. Câu b: biến đổi vế phải về vế trái.

x - x^{2} - 1 = \frac{( x - x ^{2} - 1 ) ( x + x ^{2} - 1 )}{x + x ^{2} - 1} = \frac{1}{x + x ^{2} - 1}

lo g_{a} (x - x^{2} - 1) = lo g_{a} \frac{1}{x + x ^{2} - 1} = - lo g_{a} (x + x^{2} - 1)

lo g_{a} (x + x^{2} - 1) + lo g_{a} (x - x^{2} - 1) = 0

2 x + ln (1 + e^{- 2 x}) = ln e^{2 x} + ln (1 + e^{- 2 x}) = ln [e^{2 x} (1 + e^{- 2 x})] = ln (e^{2 x} + 1)

Vậy hai đẳng thức được chứng minh.

3Cách 3. Mũ hoá hai vế (xét hiệu hoặc lấy

a

mũ)

Định hướng. Chứng minh $a^{V T} = 1$ ở câu a; ở câu b chứng minh hiệu hai vế bằng $ln 1$ .

a^{l o g_{a} (x + x^{2} - 1) + l o g_{a} (x - x^{2} - 1)} = (x + x^{2} - 1) (x - x^{2} - 1) = 1 = a^{0}

lo g_{a} (x + x^{2} - 1) + lo g_{a} (x - x^{2} - 1) = 0

ln (1 + e^{2 x}) - ln (1 + e^{- 2 x}) = ln \frac{1 + e ^{2 x}}{1 + e ^{- 2 x}} = ln \frac{e ^{2 x} ( e ^{- 2 x} + 1 )}{1 + e ^{- 2 x}} = ln e^{2 x} = 2 x

Vậy hai đẳng thức được chứng minh.

Nhận xét. Câu a cho thấy $lo g_{a} (x - x^{2} - 1) = - lo g_{a} (x + x^{2} - 1)$ — kĩ thuật trục căn thức quen thuộc ở lớp 9 cũng dùng được bên trong dấu lôgarit.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gộp thành lôgarit của tích (câu a) và đặt nhân tử chung

e^{2 x}

(câu b), mỗi câu chỉ một chuỗi đẳng thức.

Đáp số. a) Vế trái

= lo g_{a} 1 = 0

; b)

ln (1 + e^{2 x}) = ln e^{2 x} + ln (1 + e^{- 2 x}) = 2 x + ln (1 + e^{- 2 x})

Sai lầm thường gặp. Câu a hay bị tách sai

lo g_{a} (x + x^{2} - 1) = lo g_{a} x + lo g_{a} x^{2} - 1

(lôgarit của TỔNG không tách được). Câu b hay bị viết

ln (1 + e^{2 x}) = ln 1 + ln e^{2 x} = 2 x

, cũng cùng lỗi đó.

🚀 Mở rộng. Làm tương tự: chứng minh

ln (x^{2} + 1 + x) = - ln (x^{2} + 1 - x)

với mọi

x

, từ đó hàm

f (x) = ln (x + x^{2} + 1)

là hàm số lẻ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.13★★Trang 10— Tính lôgarit theo một lôgarit đã biết

Bài 6.13 (trang 10). Biết

lo g_{2} 3 \approx 1, 585

. Hãy tính:
a)

lo g_{2} 48

; b)

lo g_{4} 27

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$ ; $lo g_{a} M^{α} = α lo g_{a} M$ .
$lo g_{a^{α}} M = \frac{1}{α} lo g_{a} M$ .
$lo g_{a} M = \frac{lo g _{b} M}{lo g _{b} a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chỉ biết

lo g_{2} 3

, nên phải phân tích

48

và

27

thành tích các luỹ thừa của

2

và

3

48 = 2^{4} \cdot 3

27 = 3^{3}

; cơ số

4 = 2^{2}

ở câu b phải đổi về cơ số

2

. Bẫy là chia

lo g_{2} 27

cho

4

thay vì cho

lo g_{2} 4 = 2

1Cách 1. Phân tích thừa số và dùng quy tắc tính

Định hướng. Tách $48 = 2^{4} \cdot 3$ thành tổng; câu b dùng $lo g_{2^{2}} 3^{3} = \frac{3}{2} lo g_{2} 3$ .

lo g_{2} 48 = lo g_{2} (2^{4} \cdot 3) = lo g_{2} 2^{4} + lo g_{2} 3 = 4 + lo g_{2} 3 \approx 4 + 1, 585 = 5, 585

lo g_{4} 27 = lo g_{2^{2}} 3^{3} = \frac{3}{2} lo g_{2} 3 \approx \frac{3}{2} \cdot 1, 585 = 2, 3775

Vậy a) $lo g_{2} 48 \approx 5, 585$ ; b) $lo g_{4} 27 \approx 2, 3775$ .

2Cách 2. Dùng công thức đổi cơ số

Định hướng. Câu b đổi sang cơ số $2$ rồi tính tử, mẫu; câu a viết $48 = 2^{5} \cdot \frac{3}{2}$ để thấy cách tách không duy nhất nhưng kết quả như nhau.

lo g_{2} 48 = lo g_{2} 2^{5} + lo g_{2} \frac{3}{2} = 5 + lo g_{2} 3 - lo g_{2} 2 = 4 + lo g_{2} 3 \approx 5, 585

lo g_{4} 27 = \frac{lo g _{2} 27}{lo g _{2} 4} = \frac{3 lo g _{2} 3}{2} \approx \frac{4 , 755}{2} = 2, 3775

Vậy a) $\approx 5, 585$ ; b) $\approx 2, 3775$ .

3Cách 3. Kiểm tra bằng máy tính cầm tay

Định hướng. Dùng phím $lo g_{□} □$ để tính trực tiếp, đối chiếu với kết quả tính theo $lo g_{2} 3$ .

lo g_{2} 48 \approx 5, 58496

lo g_{4} 27 \approx 2, 37744

lo g_{2} 3 \approx 1, 58496

nên dùng giá trị làm tròn

1, 585

chỉ lệch khoảng

0, 0001

Vậy các giá trị $5, 585$ và $2, 3775$ khớp với máy tính đến ba chữ số thập phân.

Nhận xét. Sai số của $lo g_{2} 3$ bị nhân lên theo hệ số: ở câu b nhân với $\frac{3}{2}$ nên sai số cũng lớn hơn $1, 5$ lần. Máy tính chỉ dùng để kiểm tra, còn đề yêu cầu tính theo $lo g_{2} 3$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân tích ra thừa số nguyên tố rồi dùng quy tắc tích và công thức

lo g_{a^{α}} M^{β} = \frac{β}{α} lo g_{a} M

, không phải nhớ thêm công thức nào.

Đáp số. a)

lo g_{2} 48 = 4 + lo g_{2} 3 \approx 5, 585

; b)

lo g_{4} 27 = \frac{3}{2} lo g_{2} 3 \approx 2, 3775

Sai lầm thường gặp. Câu b viết

lo g_{4} 27 = \frac{lo g _{2} 27}{4}

(chia cho

4

thay vì

lo g_{2} 4 = 2

) nên ra

1, 189

. Câu a hay bị tách

48 = 6 \cdot 8

rồi tắc ở

lo g_{2} 6

— thật ra vẫn đi tiếp được vì

lo g_{2} 6 = 1 + lo g_{2} 3

🚀 Mở rộng. Biết

lo g_{2} 3 \approx 1, 585

, hãy tính

lo g_{3} 72

(gợi ý:

lo g_{3} 72 = 2 + \frac{3}{lo g _{2} 3} \approx 3, 893

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.14★★★Trang 10— Biểu diễn một lôgarit theo các lôgarit đã cho

Bài 6.14 (trang 10). Đặt

a = lo g_{3} 5

b = lo g_{4} 5

. Hãy biểu diễn

lo g_{15} 10

theo

a

và

b

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ .
$lo g_{a} M = \frac{lo g _{b} M}{lo g _{b} a}$ .
$lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$ ; $lo g_{a} M^{α} = α lo g_{a} M$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai dữ kiện đều có chung số

5

ở dưới dấu log, nên chọn cơ số chung là

5

: khi đó

lo g_{5} 3 = \frac{1}{a}

và

lo g_{5} 2 = \frac{1}{2 b}

. Mục tiêu

lo g_{15} 10 = \frac{lo g _{5} 10}{lo g _{5} 15}

chỉ chứa

lo g_{5} 2

lo g_{5} 3

và

lo g_{5} 5 = 1

. Bẫy là quên

4 = 2^{2}

nên viết

lo g_{5} 2 = \frac{1}{b}

1Cách 1. Đổi về cơ số 5

Định hướng. Cơ số chung $5$ biến hai dữ kiện thành nghịch đảo đơn giản.

lo g_{5} 3 = \frac{1}{lo g _{3} 5} = \frac{1}{a}

;

lo g_{5} 4 = \frac{1}{b} \Rightarrow 2 lo g_{5} 2 = \frac{1}{b} \Rightarrow lo g_{5} 2 = \frac{1}{2 b}

lo g_{15} 10 = \frac{lo g _{5} 10}{lo g _{5} 15} = \frac{lo g _{5} 2 + lo g _{5} 5}{lo g _{5} 3 + lo g _{5} 5} = \frac{\frac{1}{2 b} + 1}{\frac{1}{a} + 1}

lo g_{15} 10 = \frac{\frac{1 + 2 b}{2 b}}{\frac{1 + a}{a}} = \frac{a ( 1 + 2 b )}{2 b ( 1 + a )}

Vậy $lo g_{15} 10 = \frac{a ( 2 b + 1 )}{2 b ( a + 1 )}$ .

2Cách 2. Đổi về cơ số 3

Định hướng. Chọn cơ số $3$ : khi đó $lo g_{3} 5 = a$ có sẵn, còn $lo g_{3} 2 = lo g_{3} 5 \cdot lo g_{5} 2 = \frac{a}{2 b}$ .

lo g_{3} 2 = lo g_{3} 5 \cdot lo g_{5} 2 = a \cdot \frac{1}{2 b} = \frac{a}{2 b}

lo g_{15} 10 = \frac{lo g _{3} 10}{lo g _{3} 15} = \frac{lo g _{3} 2 + lo g _{3} 5}{lo g _{3} 3 + lo g _{3} 5} = \frac{\frac{a}{2 b} + a}{1 + a}

lo g_{15} 10 = \frac{a ( 1 + 2 b )}{2 b ( 1 + a )}

Vậy $lo g_{15} 10 = \frac{a ( 2 b + 1 )}{2 b ( a + 1 )}$ .

3Cách 3. Đổi sang lôgarit tự nhiên, đặt

t = ln 5

Định hướng. Biểu diễn $ln 3$ , $ln 2$ theo $t$ nhờ $a$ , $b$ , rồi tính tỉ số; $t$ tự triệt tiêu.

a = \frac{t}{ln 3} \Rightarrow ln 3 = \frac{t}{a}

;

b = \frac{t}{ln 4} = \frac{t}{2 ln 2} \Rightarrow ln 2 = \frac{t}{2 b}

lo g_{15} 10 = \frac{ln 2 + ln 5}{ln 3 + ln 5} = \frac{\frac{t}{2 b} + t}{\frac{t}{a} + t} = \frac{\frac{1}{2 b} + 1}{\frac{1}{a} + 1} = \frac{a ( 2 b + 1 )}{2 b ( a + 1 )}

Vậy $lo g_{15} 10 = \frac{a ( 2 b + 1 )}{2 b ( a + 1 )}$ .

Nhận xét. Kiểm tra bằng số: $a = lo g_{3} 5 \approx 1, 465$ , $b = lo g_{4} 5 \approx 1, 161$ cho $\frac{a ( 2 b + 1 )}{2 b ( a + 1 )} \approx 0, 8503$ , đúng bằng $lo g_{15} 10 \approx 0, 8503$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chọn cơ số là số CHUNG của các dữ kiện (ở đây là

5

) thì mọi dữ kiện đều thành nghịch đảo, biến đổi ít nhất.

Đáp số.

lo g_{15} 10 = \frac{a ( 2 b + 1 )}{2 b ( a + 1 )} = \frac{2 ab + a}{2 ab + 2 b}

Sai lầm thường gặp. Viết

lo g_{5} 4 = \frac{1}{b}

rồi coi luôn

lo g_{5} 2 = \frac{1}{b}

(quên

4 = 2^{2}

), kết quả ra

\frac{a ( b + 1 )}{b ( a + 1 )}

— sai. Một lỗi nữa là viết

lo g_{15} 10 = lo g_{15} 2 + lo g_{15} 5

rồi không biểu diễn tiếp được vì cơ số

15

không liên hệ trực tiếp với dữ kiện.

🚀 Mở rộng. Với cùng

a

b

, hãy biểu diễn

lo g_{12} 30

(đổi về cơ số

5

được đáp số

\frac{2 ab + a + 2 b}{2 a + 2 b}

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.15★★Trang 10— Biểu diễn một lôgarit theo một lôgarit đã cho

Bài 6.15 (trang 10). Tìm

lo g_{49} 32

, biết

lo g_{2} 14 = a

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} M = \frac{lo g _{b} M}{lo g _{b} a}$ .
$lo g_{a^{α}} M^{β} = \frac{β}{α} lo g_{a} M$ .
$lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$ .

🧠 Phân tích tư duy

49 = 7^{2}

32 = 2^{5}

, còn

14 = 2 \cdot 7

: cả ba chỉ chứa các số nguyên tố

2

và

7

, nên đưa hết về cơ số

2

thì chỉ còn một ẩn

lo g_{2} 7 = a - 1

. Bẫy là quên

lo g_{2} 14 = 1 + lo g_{2} 7

chứ không phải

lo g_{2} 7

1Cách 1. Đổi về cơ số 2

Định hướng. Viết mục tiêu thành thương hai lôgarit cơ số $2$ , rồi dùng $lo g_{2} 7 = a - 1$ .

a = lo g_{2} 14 = lo g_{2} (2 \cdot 7) = 1 + lo g_{2} 7 \Rightarrow lo g_{2} 7 = a - 1

lo g_{49} 32 = \frac{lo g _{2} 32}{lo g _{2} 49} = \frac{lo g _{2} 2 ^{5}}{lo g _{2} 7 ^{2}} = \frac{5}{2 lo g _{2} 7} = \frac{5}{2 ( a - 1 )}

Vậy $lo g_{49} 32 = \frac{5}{2 ( a - 1 )}$ .

2Cách 2. Dùng

lo g_{a^{α}} M^{β}

rồi nghịch đảo

Định hướng. Kéo số mũ ra ngoài trước: $lo g_{7^{2}} 2^{5} = \frac{5}{2} lo g_{7} 2$ , rồi dùng $lo g_{7} 2 = \frac{1}{lo g _{2} 7}$ .

lo g_{49} 32 = lo g_{7^{2}} 2^{5} = \frac{5}{2} lo g_{7} 2 = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{lo g _{2} 7}

lo g_{2} 7 = lo g_{2} 14 - lo g_{2} 2 = a - 1

lo g_{49} 32 = \frac{5}{2 ( a - 1 )}

Vậy $lo g_{49} 32 = \frac{5}{2 ( a - 1 )}$ .

3Cách 3. Đặt

u = ln 2

v = ln 7

Định hướng. Đổi hết sang lôgarit tự nhiên, từ dữ kiện suy ra tỉ số $\frac{v}{u}$ , mục tiêu cũng chỉ phụ thuộc tỉ số đó.

a = \frac{ln 14}{ln 2} = \frac{u + v}{u} = 1 + \frac{v}{u} \Rightarrow \frac{v}{u} = a - 1

lo g_{49} 32 = \frac{ln 32}{ln 49} = \frac{5 u}{2 v} = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{\frac{v}{u}} = \frac{5}{2 ( a - 1 )}

Vậy $lo g_{49} 32 = \frac{5}{2 ( a - 1 )}$ .

Nhận xét. Kiểm tra: $a = lo g_{2} 14 \approx 3, 807$ cho $\frac{5}{2 \cdot 2 , 807} \approx 0, 8905$ , trùng $lo g_{49} 32 \approx 0, 8905$ . Vì $a > 1$ nên mẫu $a - 1$ khác $0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi về cơ số

2

(cơ số của dữ kiện) là hướng tự nhiên nhất và chỉ hai dòng.

Đáp số.

lo g_{49} 32 = \frac{5}{2 ( a - 1 )}

Sai lầm thường gặp. Coi

lo g_{2} 14 = lo g_{2} 7

nên ra

\frac{5}{2 a}

; thử với số:

\frac{5}{2 \cdot 3 , 807} \approx 0, 657 \neq = 0, 8905

. Một lỗi khác là viết

lo g_{49} 32 = \frac{lo g _{2} 49}{lo g _{2} 32}

(đảo tử mẫu).

🚀 Mở rộng. Cùng dữ kiện

lo g_{2} 14 = a

, hãy tính

lo g_{56} 7

(đáp số

\frac{a - 1}{a + 2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.16★★Trang 10— So sánh hai số chứa lôgarit (dùng số trung gian)

Bài 6.16 (trang 10). So sánh các số sau:
a)

lo g_{3} 4

và

lo g_{4} \frac{1}{3}

; b)

2^{l o g_{6} 3}

và

3^{l o g_{6} \frac{1}{2}}

Kiến thức cần nhớ

Với $a > 1$ : $lo g_{a} M > 0 \Leftrightarrow M > 1$ ; $lo g_{a} M > 1 \Leftrightarrow M > a$ .
Với $a > 1$ : $a^{x} > 1 \Leftrightarrow x > 0$ .
$a^{l o g_{b} c} = c^{l o g_{b} a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Không cần tính chính xác: ở câu a,

lo g_{3} 4

là lôgarit của một số lớn hơn cơ số nên lớn hơn

1

, còn

lo g_{4} \frac{1}{3}

là lôgarit của một số nhỏ hơn

1

với cơ số lớn hơn

1

nên âm — chỉ cần so với mốc

0

hoặc

1

. Câu b tương tự: số mũ

lo g_{6} 3 > 0

còn

lo g_{6} \frac{1}{2} < 0

nên so với

1

1Cách 1. So sánh qua số trung gian

Định hướng. Câu a dùng mốc $1$ và $0$ ; câu b dùng mốc $1$ .

lo g_{3} 4 > lo g_{3} 3 = 1

;

lo g_{4} \frac{1}{3} < lo g_{4} 1 = 0

lo g_{4} \frac{1}{3} < 0 < 1 < lo g_{3} 4

lo g_{6} 3 > lo g_{6} 1 = 0 \Rightarrow 2^{l o g_{6} 3} > 2^{0} = 1

lo g_{6} \frac{1}{2} < 0 \Rightarrow 3^{l o g_{6} \frac{1}{2}} < 3^{0} = 1

3^{l o g_{6} \frac{1}{2}} < 1 < 2^{l o g_{6} 3}

Vậy a) $lo g_{3} 4 > lo g_{4} \frac{1}{3}$ ; b) $2^{l o g_{6} 3} > 3^{l o g_{6} \frac{1}{2}}$ .

2Cách 2. Đưa về cùng cơ số rồi so sánh số mũ

Định hướng. Câu a đổi $lo g_{4} \frac{1}{3} = - lo g_{4} 3$ ; câu b dùng $a^{l o g_{b} c} = c^{l o g_{b} a}$ để hai số cùng cơ số $3$ .

lo g_{4} \frac{1}{3} = - lo g_{4} 3 < 0

và

lo g_{3} 4 > 0

lo g_{3} 4 > lo g_{4} \frac{1}{3}

2^{l o g_{6} 3} = 3^{l o g_{6} 2}

lo g_{6} 2 > lo g_{6} \frac{1}{2}

(cơ số

6 > 1

) và cơ số

3 > 1

3^{l o g_{6} 2} > 3^{l o g_{6} \frac{1}{2}}

Vậy a) $lo g_{3} 4 > lo g_{4} \frac{1}{3}$ ; b) $2^{l o g_{6} 3} > 3^{l o g_{6} \frac{1}{2}}$ .

3Cách 3. Tính gần đúng bằng máy tính cầm tay

Định hướng. Bấm máy từng số để kiểm tra kết luận.

lo g_{3} 4 \approx 1, 2619

;

lo g_{4} \frac{1}{3} \approx - 0, 7925

2^{l o g_{6} 3} \approx 1, 5296

;

3^{l o g_{6} \frac{1}{2}} \approx 0, 6538

Vậy kết quả khớp với Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Đẳng thức $2^{l o g_{6} 3} = 3^{l o g_{6} 2}$ ở Cách 2 đúng vì hai vế có cùng lôgarit cơ số $6$ là $lo g_{6} 2 \cdot lo g_{6} 3$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: so với mốc

0

và

1

chỉ cần xét dấu của lôgarit, không phải tính gì.

Đáp số. a)

lo g_{3} 4 > lo g_{4} \frac{1}{3}

; b)

2^{l o g_{6} 3} > 3^{l o g_{6} \frac{1}{2}}

Sai lầm thường gặp. Câu b hay bị lập luận 'cơ số

3 > 2

nên số thứ hai lớn hơn' — sai vì số mũ khác nhau, số mũ âm làm luỹ thừa nhỏ hơn

1

. Câu a hay nhầm

lo g_{4} \frac{1}{3} = \frac{1}{lo g _{3} 4}

(đó là

lo g_{4} 3

, và thiếu dấu trừ).

🚀 Mở rộng. Thử so sánh

lo g_{2} 3

và

lo g_{3} 5

— không còn số trung gian

1

phân biệt được; gợi ý so với

\frac{3}{2}

lo g_{2} 3 > \frac{3}{2} \Leftrightarrow 9 > 8

và

lo g_{3} 5 < \frac{3}{2} \Leftrightarrow 25 < 27

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.17★★★Trang 10— Đếm số chữ số của một luỹ thừa lớn bằng lôgarit thập phân

Bài 6.17 (trang 10). Biết rằng số chữ số của một số nguyên dương

N

viết trong hệ thập phân được cho bởi công thức

[lo g N] + 1

, ở đó

[lo g N]

là phần nguyên của số thực dương

lo g N

. Tìm số các chữ số của

2^{2023}

khi viết trong hệ thập phân.

Kiến thức cần nhớ

$lo g M^{α} = α lo g M$ .
$1 0^{k} \leq N < 1 0^{k + 1}$ thì $N$ có đúng $k + 1$ chữ số.
$lo g 2 \approx 0, 30103$ .

🧠 Phân tích tư duy

2^{2023}

quá lớn để tính trực tiếp, nhưng

lo g 2^{2023} = 2023 lo g 2

tính được ngay. Chỉ cần phần nguyên của

2023 lo g 2 \approx 608, 98

— số này gần

609

nên phải chắc chắn nó chưa vượt

609

trước khi kết luận.

1Cách 1. Dùng công thức đã cho

Định hướng. Thay $N = 2^{2023}$ , đưa số mũ ra trước dấu log rồi lấy phần nguyên.

lo g 2^{2023} = 2023 lo g 2 \approx 2023 \cdot 0, 30103 \approx 608, 98

[lo g 2^{2023}] = 608

[lo g 2^{2023}] + 1 = 609

Vậy $2^{2023}$ có $609$ chữ số.

2Cách 2. Kẹp giữa hai luỹ thừa của 10

Định hướng. Chứng minh $1 0^{608} \leq 2^{2023} < 1 0^{609}$ — đây cũng là lí do công thức của đề đúng.

608 < 2023 lo g 2 < 609

1 0^{608} < 1 0^{2023 l o g 2} < 1 0^{609}

1 0^{2023 l o g 2} = (1 0^{l o g 2})^{2023} = 2^{2023}

1 0^{608} < 2^{2023} < 1 0^{609}

Vậy $2^{2023}$ có $608 + 1 = 609$ chữ số.

3Cách 3. Đánh giá sai số để chắc chắn phần nguyên

Định hướng. Vì $608, 98$ sát $609$ , dùng cận dưới và cận trên của $lo g 2$ để khẳng định phần nguyên đúng là $608$ .

0, 30102 < lo g 2 < 0, 30103

2023 \cdot 0, 30102 < 2023 lo g 2 < 2023 \cdot 0, 30103

608, 963 < 2023 lo g 2 < 608, 984

[2023 lo g 2] = 608

Vậy số chữ số là $608 + 1 = 609$ .

Nhận xét. Cách 3 là bước mà lời giải thường bỏ qua: nếu $lo g 2$ chỉ lấy $0, 3$ thì được $606, 9$ và ra đáp số sai $607$ . Kiểm tra bằng máy tính Python (đếm độ dài chuỗi $2^{2023}$ ) cũng cho đúng $609$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 nhưng lấy

lo g 2

đủ 5 chữ số thập phân (

0, 30103

); khi kết quả sát số nguyên thì bổ sung đánh giá như Cách 3.

Đáp số.

2^{2023}

có

609

chữ số.

Sai lầm thường gặp. Làm tròn

lo g 2 \approx 0, 3

nên được

2023 \cdot 0, 3 = 606, 9

và kết luận

607

chữ số — sai. Một lỗi khác là quên cộng

1

, trả lời

608

chữ số.

🚀 Mở rộng. Cùng cách,

3^{2023}

có

[2023 lo g 3] + 1 = 966

chữ số; hãy thử tìm chữ số đầu tiên của

2^{2023}

(dùng phần lẻ

0, 98

10^{\circ}{,}98} \approx 9{,}6

nên chữ số đầu là

9

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.18★★Trang 10— Giải phương trình mũ bằng lôgarit trong bài toán lãi kép (dạng chữ)

Bài 6.18 (trang 10). Khi gửi tiết kiệm

P

(đồng) theo thể thức trả lãi kép định kì với lãi suất mỗi kì là

r

(

r

cho dưới dạng số thập phân) thì số tiền

A

(cả vốn lẫn lãi) nhận được sau

t

kì gửi là

A = P (1 + r)^{t}

(đồng). Tính thời gian gửi tiết kiệm cần thiết để số tiền ban đầu tăng gấp đôi.

Kiến thức cần nhớ

$a^{t} = M \Leftrightarrow t = lo g_{a} M$ $(0 < a \neq = 1, M > 0)$ .
$lo g_{a} M = \frac{ln M}{ln a}$ .
$ln (1 + r) \approx r$ khi $r$ nhỏ.

🧠 Phân tích tư duy

'Tăng gấp đôi' nghĩa là

A = 2 P

; chia hai vế cho

P

thì

P

biến mất — thời gian gấp đôi không phụ thuộc số vốn. Ẩn

t

ở số mũ nên dùng định nghĩa lôgarit. Vì

r > 0

nên cơ số

1 + r > 1

, lôgarit có nghĩa.

1Cách 1. Dùng định nghĩa lôgarit

Định hướng. Cho $A = 2 P$ , rút gọn $P$ rồi chuyển đẳng thức luỹ thừa sang lôgarit.

P (1 + r)^{t} = 2 P

(1 + r)^{t} = 2

t = lo g_{1 + r} 2

Vậy cần $t = lo g_{1 + r} 2$ kì gửi (nếu $t$ phải nguyên thì lấy số nguyên nhỏ nhất không bé hơn $lo g_{1 + r} 2$ ).

2Cách 2. Lấy lôgarit tự nhiên hai vế

Định hướng. Lấy $ln$ hai vế để có công thức tính bằng máy tính cầm tay.

(1 + r)^{t} = 2

t ln (1 + r) = ln 2

t = \frac{ln 2}{ln ( 1 + r )}

Vậy $t = \frac{ln 2}{ln ( 1 + r )} = lo g_{1 + r} 2$ kì.

3Cách 3. Ước lượng nhanh và áp dụng số cụ thể

Định hướng. Với $r$ nhỏ, $ln (1 + r) \approx r$ cho công thức nhẩm; thử với $r = 0, 06$ để thấy độ chính xác.

t = \frac{ln 2}{ln ( 1 + r )} \approx \frac{0 , 693}{r}

r = 0, 06

t = lo g_{1, 06} 2 \approx 11, 9

; ước lượng

\frac{0 , 693}{0 , 06} \approx 11, 6

Vậy thời gian gấp đôi là $t = lo g_{1 + r} 2$ kì, xấp xỉ $\frac{0 , 7}{r}$ kì.

Nhận xét. Đây là 'quy tắc 70' (hay 'quy tắc 72') của giới tài chính: lãi suất $7%$ mỗi kì thì khoảng $10$ kì vốn gấp đôi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đáp số gọn nhất là

t = lo g_{1 + r} 2

; muốn ra số thì chuyển sang Cách 2 để bấm máy.

Đáp số.

t = lo g_{1 + r} 2 = \frac{ln 2}{ln ( 1 + r )}

(kì).

Sai lầm thường gặp. Viết

t = lo g_{2} (1 + r)

(đảo cơ số và số dưới dấu log), hoặc

t = \frac{2}{1 + r}

vì coi

t

như hệ số chứ không phải số mũ. Thử với

r = 0, 06

lo g_{2} 1, 06 \approx 0, 08

kì là vô lí.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: để vốn tăng gấp

k

lần cần

t = lo g_{1 + r} k

kì; gấp ba cần

lo g_{1 + r} 3 \approx 1, 585

lần thời gian gấp đôi, bất kể

r

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 6.19★★★Trang 11— Tìm số kì gửi nhỏ nhất theo lãi kép (bất phương trình mũ)

Bài 6.19 (trang 11). Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 6 tháng với lãi suất 8% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau bao lâu người đó nhận được ít nhất 120 triệu đồng?

Kiến thức cần nhớ

Lãi kép: $A = P (1 + r)^{t}$ , $r$ là lãi suất mỗi kì, $t$ là số kì.
Với $a > 1$ : $a^{t} \geq M \Leftrightarrow t \geq lo g_{a} M$ .
$lo g_{a} M = \frac{lo g M}{lo g a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Kì hạn 6 tháng nên lãi suất mỗi kì là

\frac{8%}{2} = 4%

, và

t

là số kì (nguyên). Ẩn nằm ở số mũ nên dùng lôgarit, được ngưỡng

4, 65

kì rồi làm tròn LÊN

5

kì. Bẫy kép: dùng nhầm

r = 8%

cho mỗi kì, và trả lời '

4, 65

năm' thay vì đổi kì ra tháng.

1Cách 1. Dùng lôgarit cơ số

1, 04

Định hướng. Lập bất phương trình $100 \cdot 1, 0 4^{t} \geq 120$ và giải bằng định nghĩa lôgarit.

r = \frac{8%}{2} = 4% = 0, 04

100 (1 + 0, 04)^{t} \geq 120

1, 0 4^{t} \geq 1, 2

t \geq lo g_{1, 04} 1, 2 \approx 4, 65

t \in N^{*}

nên

t \geq 5

Vậy sau ít nhất $5$ kì, tức $5 \cdot 6 = 30$ tháng, người đó nhận được ít nhất $120$ triệu đồng.

2Cách 2. Lấy lôgarit thập phân hai vế

Định hướng. Dùng phím $lo g$ của máy tính và quy tắc đưa số mũ ra ngoài.

1, 0 4^{t} \geq 1, 2

t lo g 1, 04 \geq lo g 1, 2

t \geq \frac{lo g 1 , 2}{lo g 1 , 04} \approx \frac{0 , 07918}{0 , 01703} \approx 4, 65

t \geq 5

Vậy cần $5$ kì hạn $6$ tháng, tức $30$ tháng (hai năm rưỡi).

3Cách 3. Lập bảng số tiền theo từng kì

Định hướng. Vì số tiền tăng theo số kì, tính quanh ngưỡng để thấy kì đầu tiên đạt $120$ triệu đồng.

t = 4

A = 100 \cdot 1, 0 4^{4} \approx 116, 99 < 120

t = 5

A = 100 \cdot 1, 0 4^{5} \approx 121, 67 \geq 120

Vậy kì thứ $5$ (sau $30$ tháng) là thời điểm sớm nhất.

Nhận xét. Tiền chỉ được cộng lãi vào cuối mỗi kì $6$ tháng, nên đáp số phải là bội của $6$ tháng — không thể trả lời ' $27, 9$ tháng'.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng

t \geq lo g_{1, 04} 1, 2

rồi bấm máy; kiểm lại bằng Cách 3 với hai giá trị

t = 4

và

t = 5

Đáp số. Sau ít nhất

5

kì hạn

6

tháng, tức

30

tháng (

2, 5

năm).

Sai lầm thường gặp. Dùng

r = 0, 08

cho mỗi kì

6

tháng nên được

t \geq lo g_{1, 08} 1, 2 \approx 2, 37

, trả lời

3

kì — sai vì

8%

là lãi suất năm. Hoặc ra

4, 65

rồi làm tròn thành

4

hay trả lời '

4, 65

năm'.

🚀 Mở rộng. Nếu gửi kì hạn 3 tháng với cùng lãi suất năm

8%

(mỗi kì

2%

) thì cần

t \geq lo g_{1, 02} 1, 2 \approx 9, 2

, tức

10

kì

= 30

tháng — thử giải thích vì sao không nhanh hơn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 6.20★★★Trang 11— Mô hình hàm mũ cơ số

e

: tìm tham số, tính giá trị, giải phương trình và bất phương trình bằng

ln

Bài 6.20 (trang 11). Nồng độ cồn trong máu (BAC) là chỉ số dùng để đo lượng cồn trong máu của một người. Chẳng hạn, BAC

0, 02%

hay

0, 2

mg/ml, nghĩa là có

0, 02

g cồn trong

100

ml máu. Nếu một người với BAC bằng

0, 02%

có nguy cơ bị tai nạn ô tô cao gấp

1, 4

lần so với một người không uống rượu, thì nguy cơ tương đối của tai nạn với BAC

0, 02%

là

1, 4

. Nghiên cứu y tế gần đây cho thấy rằng nguy cơ tương đối của việc gặp tai nạn khi đang lái ô tô có thể được mô hình hoá bằng một phương trình có dạng

R = e^{k x}

,
trong đó

x

(%) là nồng độ cồn trong máu và

k

là một hằng số.
a) Nghiên cứu chỉ ra rằng nguy cơ tương đối của một người bị tai nạn với BAC bằng

0, 02%

là

1, 4

. Tìm hằng số

k

trong phương trình.
b) Nguy cơ tương đối là bao nhiêu nếu nồng độ cồn trong máu là

0, 17%

?
c) Tìm BAC tương ứng với nguy cơ tương đối là

100

.
d) Giả sử nếu một người có nguy cơ tương đối từ

5

trở lên sẽ không được phép lái xe, thì một người có nồng độ cồn trong máu từ bao nhiêu trở lên sẽ không được phép lái xe?

Kiến thức cần nhớ

$e^{y} = M \Leftrightarrow y = ln M$ $(M > 0)$ .
Với $k > 0$ : $e^{k x} \geq m \Leftrightarrow x \geq \frac{ln m}{k}$ $(m > 0)$ .
$e^{k x} = (e^{0, 02 k})^{\frac{x}{0 , 02}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mô hình

R = e^{k x}

có một tham số

k

, dữ kiện câu a (một cặp

x

R

) đủ để tìm

k

bằng

ln

; sau đó b là tính giá trị, c là giải phương trình, d là giải bất phương trình — cả ba đều dùng

ln

và tính đồng biến của

e^{k x}

khi

k > 0

. Đơn vị:

x

đo bằng phần trăm nên thay

x = 0, 02

(nếu thay

x = 0, 0002

thì

k

gấp

100

lần nhưng BAC ở c, d không đổi).

1Cách 1. Tìm

k

rồi dùng

ln

cho từng câu

Định hướng. Tìm $k$ từ cặp $(x; R) = (0, 02; 1, 4)$ , sau đó thay vào mô hình.

e^{0, 02 k} = 1, 4 \Leftrightarrow 0, 02 k = ln 1, 4 \Leftrightarrow k = 50 ln 1, 4 \approx 16, 82

R = e^{0, 17 k} = e^{0, 17 \cdot 50 l n 1, 4} = e^{8, 5 l n 1, 4} \approx 17, 46

e^{k x} = 100 \Leftrightarrow x = \frac{ln 100}{k} = \frac{ln 100}{50 ln 1 , 4} \approx 0, 27

e^{k x} \geq 5 \Leftrightarrow k x \geq ln 5 \Leftrightarrow x \geq \frac{ln 5}{50 ln 1 , 4} \approx 0, 096

Vậy a) $k = 50 ln 1, 4 \approx 16, 82$ ; b) $R \approx 17, 46$ ; c) BAC khoảng $0, 27%$ ; d) BAC từ khoảng $0, 096%$ trở lên thì không được lái xe.

2Cách 2. Viết mô hình thành

R = 1, 4^{\frac{x}{0 , 02}}

(không cần tính

k

)

Định hướng. Vì $e^{0, 02 k} = 1, 4$ nên $e^{k x} = (e^{0, 02 k})^{\frac{x}{0 , 02}} = 1, 4^{\frac{x}{0 , 02}}$ : cứ tăng BAC thêm $0, 02%$ thì nguy cơ nhân thêm $1, 4$ lần.

R = 1, 4^{\frac{x}{0 , 02}} = 1, 4^{50 x}

R = 1, 4^{50 \cdot 0, 17} = 1, 4^{8, 5} \approx 17, 46

1, 4^{50 x} = 100 \Leftrightarrow 50 x = lo g_{1, 4} 100 \Leftrightarrow x = \frac{lo g _{1, 4} 100}{50} \approx 0, 27

1, 4^{50 x} \geq 5 \Leftrightarrow 50 x \geq lo g_{1, 4} 5 \Leftrightarrow x \geq \frac{lo g _{1, 4} 5}{50} \approx 0, 096

Vậy b) $R \approx 17, 46$ ; c) BAC $\approx 0, 27%$ ; d) BAC $\geq 0, 096%$ (xấp xỉ).

3Cách 3. Lấy lôgarit thập phân và so sánh tỉ lệ

Định hướng. Lấy $lo g$ hai vế: $lo g R = k x lo g e$ tỉ lệ thuận với $x$ , nên chỉ cần tỉ số $\frac{lo g R}{lo g 1 , 4}$ .

\frac{lo g R}{lo g 1 , 4} = \frac{x}{0 , 02}

lo g R = \frac{0 , 17}{0 , 02} lo g 1, 4 = 8, 5 \cdot 0, 14613 \approx 1, 2421 \Rightarrow R \approx 1 0^{1, 2421} \approx 17, 46

x = 0, 02 \cdot \frac{lo g 100}{lo g 1 , 4} = 0, 02 \cdot \frac{2}{0 , 14613} \approx 0, 27

x \geq 0, 02 \cdot \frac{lo g 5}{lo g 1 , 4} = 0, 02 \cdot \frac{0 , 69897}{0 , 14613} \approx 0, 096

Vậy các kết quả trùng Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Nguy cơ tăng theo hàm mũ: BAC chỉ gấp $8, 5$ lần ( $0, 17%$ so với $0, 02%$ ) mà nguy cơ đã từ $1, 4$ vọt lên hơn $17$ . Ở câu d, bất phương trình giữ chiều vì $k > 0$ (hàm $e^{k x}$ đồng biến).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tìm

k

trước bằng một phép

ln

, sau đó ba câu còn lại đều là thay số; Cách 2 rất đẹp nếu đề không bắt tính

k

Đáp số. a)

k = 50 ln 1, 4 \approx 16, 82

(với

x

tính theo %); b)

R \approx 17, 46

; c) BAC

\approx 0, 27%

; d) BAC từ khoảng

0, 096%

trở lên không được lái xe.

Sai lầm thường gặp. Ở câu a hay bị giải

0, 02 k = 1, 4

(quên lấy

ln

) nên

k = 70

. Ở câu d quên rằng 'nguy cơ từ

5

trở lên' là bất phương trình

R \geq 5

chứ không phải phương trình, dẫn tới trả lời một giá trị duy nhất thay vì một ngưỡng.

🚀 Mở rộng. Mô hình cho biết cứ tăng BAC thêm

0, 02%

thì nguy cơ nhân

1, 4

lần; hãy tìm mức BAC làm nguy cơ tăng gấp đôi so với người không uống rượu (đáp số

x = \frac{ln 2}{k} \approx 0, 041%

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 18. Luỹ thừa với số mũ thực Bài tiếp theo ›Bài 20. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 19. Lôgarit

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit