Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 19. Lôgarit

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang10–11 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 6.11★Trang 10— Tính giá trị lôgarit và luỹ thừa có số mũ là lôgarit

Bài 6.11 (trang 10). Tính:
a)

lo g_{2} \frac{1}{64}

; b)

lo g 1000

; c)

lo g_{5} 1250 - lo g_{5} 10

; d)

4^{l o g_{2} 3}

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} a^{α} = α$ ; $a^{l o g_{a} M} = M$ .
$lo g_{a} M - lo g_{a} N = lo g_{a} \frac{M}{N}$ .
$(a^{m})^{n} = a^{mn} = (a^{n})^{m}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a, b: số dưới dấu log là luỹ thừa của cơ số (

\frac{1}{64} = 2^{- 6}

1000 = 1 0^{3}

). Câu c là hiệu hai lôgarit cùng cơ số, gộp thành thương

\frac{1 250}{10} = 125 = 5^{3}

. Câu d có dạng

a^{l o g_{b} c}

: phải đưa cơ số

4

về

2

để dùng

2^{l o g_{2} 3} = 3

1Cách 1. Dùng tính chất và quy tắc tính lôgarit

Định hướng. Đưa về $lo g_{a} a^{α}$ , gộp hiệu thành thương, và viết $4 = 2^{2}$ để dùng $a^{l o g_{a} M} = M$ .

lo g_{2} \frac{1}{64} = lo g_{2} 2^{- 6} = - 6

lo g 1000 = lo g 1 0^{3} = 3

lo g_{5} 1250 - lo g_{5} 10 = lo g_{5} \frac{1 250}{10} = lo g_{5} 125 = lo g_{5} 5^{3} = 3

4^{l o g_{2} 3} = (2^{2})^{l o g_{2} 3} = (2^{l o g_{2} 3})^{2} = 3^{2} = 9

Vậy a) $- 6$ ; b) $3$ ; c) $3$ ; d) $9$ .

2Cách 2. Đặt ẩn theo định nghĩa lôgarit

Định hướng. Gọi giá trị cần tính là ẩn và chuyển sang đẳng thức luỹ thừa; câu d lấy $lo g_{2}$ của ẩn.

lo g_{2} \frac{1}{64} = x \Leftrightarrow 2^{x} = \frac{1}{64} = 2^{- 6} \Leftrightarrow x = - 6

lo g 1000 = y \Leftrightarrow 1 0^{y} = 1000 = 1 0^{3} \Leftrightarrow y = 3

lo g_{5} 1250 - lo g_{5} 10 = z \Leftrightarrow 5^{z} = \frac{5 ^{l o g_{5} 1250}}{5 ^{l o g_{5} 10}} = \frac{1 250}{10} = 125 \Leftrightarrow z = 3

T = 4^{l o g_{2} 3} \Rightarrow lo g_{2} T = lo g_{2} 3 \cdot lo g_{2} 4 = 2 lo g_{2} 3 = lo g_{2} 9 \Rightarrow T = 9

Vậy a) $- 6$ ; b) $3$ ; c) $3$ ; d) $9$ .

3Cách 3. Tách riêng từng lôgarit và dùng đẳng thức

a^{l o g_{b} c} = c^{l o g_{b} a}

Định hướng. Câu c tính riêng hai lôgarit bằng cách phân tích $1250 = 2 \cdot 5^{4}$ , $10 = 2 \cdot 5$ ; câu d đổi chỗ cơ số và số dưới dấu log.

lo g_{2} \frac{1}{64} = - lo g_{2} 64 = - lo g_{2} 2^{6} = - 6

lo g 1000 = lo g 10 + lo g 100 = 1 + 2 = 3

lo g_{5} 1250 = lo g_{5} 2 + 4

;

lo g_{5} 10 = lo g_{5} 2 + 1

; hiệu bằng

4 - 1 = 3

4^{l o g_{2} 3} = 3^{l o g_{2} 4} = 3^{2} = 9

Vậy a) $- 6$ ; b) $3$ ; c) $3$ ; d) $9$ .

Nhận xét. Đẳng thức $a^{l o g_{b} c} = c^{l o g_{b} a}$ đúng vì hai vế có cùng lôgarit cơ số $b$ là $lo g_{b} a \cdot lo g_{b} c$ ; nó giúp câu d trở thành phép tính nhẩm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mỗi câu một dòng; riêng câu d nhớ mẹo viết

4 = 2^{2}

rồi đổi thứ tự hai số mũ.

Đáp số. a)

- 6

; b)

3

; c)

3

; d)

9

Sai lầm thường gặp. Câu c hay bị viết

lo g_{5} (1250 - 10)

— sai, hiệu hai lôgarit là lôgarit của thương. Câu d hay bị tính

4^{l o g_{2} 3} = 4 \cdot lo g_{2} 3

hoặc

= 3^{2}

mà không giải thích; một lỗi khác là ra

4^{l o g_{2} 3} = 3^{4} = 81

vì nhầm

4 = 2^{4}

🚀 Mở rộng. Tổng quát câu d:

(a^{k})^{l o g_{a} M} = M^{k}

; thử tính

2 7^{l o g_{3} 2} + 2 5^{l o g_{5} 3}

(đáp số

8 + 9 = 17

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.12★★Trang 10— Chứng minh đẳng thức lôgarit bằng quy tắc tích và hằng đẳng thức

Bài 6.12 (trang 10). Chứng minh rằng:
a)

lo g_{a} (x + x^{2} - 1) + lo g_{a} (x - x^{2} - 1) = 0

;
b)

ln (1 + e^{2 x}) = 2 x + ln (1 + e^{- 2 x})

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} M + lo g_{a} N = lo g_{a} (M N)$ ; $lo g_{a} 1 = 0$ .
$(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}$ .
$ln e^{α} = α$ ; $e^{2 x} \cdot e^{- 2 x} = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a có cặp biểu thức

x + x^{2} - 1

và

x - x^{2} - 1

, tích của chúng bằng

x^{2} - (x^{2} - 1) = 1

— dấu hiệu gộp thành lôgarit của tích. Câu b có

e^{2 x}

và

e^{- 2 x}

nghịch đảo nhau: đặt

e^{2 x}

làm nhân tử chung trong

1 + e^{2 x}

sẽ xuất hiện đúng

1 + e^{- 2 x}

. Câu a ngầm hiểu biểu thức có nghĩa, tức

0 < a \neq = 1

và

x \geq 1

1Cách 1. Biến đổi vế trái thành vế phải

Định hướng. Câu a gộp thành lôgarit của tích hai biểu thức chỉ khác nhau dấu trước căn; câu b đặt $e^{2 x}$ làm nhân tử chung.

lo g_{a} (x + x^{2} - 1) + lo g_{a} (x - x^{2} - 1) = lo g_{a} [(x + x^{2} - 1) (x - x^{2} - 1)]

= lo g_{a} [x^{2} - (x^{2} - 1)] = lo g_{a} 1 = 0

ln (1 + e^{2 x}) = ln [e^{2 x} (e^{- 2 x} + 1)] = ln e^{2 x} + ln (1 + e^{- 2 x}) = 2 x + ln (1 + e^{- 2 x})

Vậy hai đẳng thức được chứng minh.

2Cách 2. Dùng quan hệ nghịch đảo

Định hướng. Câu a: $x - x^{2} - 1 = \frac{1}{x + x ^{2} - 1}$ nên hai lôgarit là hai số đối nhau. Câu b: biến đổi vế phải về vế trái.

x - x^{2} - 1 = \frac{( x - x ^{2} - 1 ) ( x + x ^{2} - 1 )}{x + x ^{2} - 1} = \frac{1}{x + x ^{2} - 1}

lo g_{a} (x - x^{2} - 1) = lo g_{a} \frac{1}{x + x ^{2} - 1} = - lo g_{a} (x + x^{2} - 1)

lo g_{a} (x + x^{2} - 1) + lo g_{a} (x - x^{2} - 1) = 0

2 x + ln (1 + e^{- 2 x}) = ln e^{2 x} + ln (1 + e^{- 2 x}) = ln [e^{2 x} (1 + e^{- 2 x})] = ln (e^{2 x} + 1)

Vậy hai đẳng thức được chứng minh.

3Cách 3. Mũ hoá hai vế (xét hiệu hoặc lấy

a

mũ)

Định hướng. Chứng minh $a^{V T} = 1$ ở câu a; ở câu b chứng minh hiệu hai vế bằng $ln 1$ .

a^{l o g_{a} (x + x^{2} - 1) + l o g_{a} (x - x^{2} - 1)} = (x + x^{2} - 1) (x - x^{2} - 1) = 1 = a^{0}

lo g_{a} (x + x^{2} - 1) + lo g_{a} (x - x^{2} - 1) = 0

ln (1 + e^{2 x}) - ln (1 + e^{- 2 x}) = ln \frac{1 + e ^{2 x}}{1 + e ^{- 2 x}} = ln \frac{e ^{2 x} ( e ^{- 2 x} + 1 )}{1 + e ^{- 2 x}} = ln e^{2 x} = 2 x

Vậy hai đẳng thức được chứng minh.

Nhận xét. Câu a cho thấy $lo g_{a} (x - x^{2} - 1) = - lo g_{a} (x + x^{2} - 1)$ — kĩ thuật trục căn thức quen thuộc ở lớp 9 cũng dùng được bên trong dấu lôgarit.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gộp thành lôgarit của tích (câu a) và đặt nhân tử chung

e^{2 x}

(câu b), mỗi câu chỉ một chuỗi đẳng thức.

Đáp số. a) Vế trái

= lo g_{a} 1 = 0

; b)

ln (1 + e^{2 x}) = ln e^{2 x} + ln (1 + e^{- 2 x}) = 2 x + ln (1 + e^{- 2 x})

Sai lầm thường gặp. Câu a hay bị tách sai

lo g_{a} (x + x^{2} - 1) = lo g_{a} x + lo g_{a} x^{2} - 1

(lôgarit của TỔNG không tách được). Câu b hay bị viết

ln (1 + e^{2 x}) = ln 1 + ln e^{2 x} = 2 x

, cũng cùng lỗi đó.

🚀 Mở rộng. Làm tương tự: chứng minh

ln (x^{2} + 1 + x) = - ln (x^{2} + 1 - x)

với mọi

x

, từ đó hàm

f (x) = ln (x + x^{2} + 1)

là hàm số lẻ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.13★★Trang 10— Tính lôgarit theo một lôgarit đã biết

Bài 6.13 (trang 10). Biết

lo g_{2} 3 \approx 1, 585

. Hãy tính:
a)

lo g_{2} 48

; b)

lo g_{4} 27

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$ ; $lo g_{a} M^{α} = α lo g_{a} M$ .
$lo g_{a^{α}} M = \frac{1}{α} lo g_{a} M$ .
$lo g_{a} M = \frac{lo g _{b} M}{lo g _{b} a}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.14★★★Trang 10— Biểu diễn một lôgarit theo các lôgarit đã cho

Bài 6.14 (trang 10). Đặt

a = lo g_{3} 5

b = lo g_{4} 5

. Hãy biểu diễn

lo g_{15} 10

theo

a

và

b

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ .
$lo g_{a} M = \frac{lo g _{b} M}{lo g _{b} a}$ .
$lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$ ; $lo g_{a} M^{α} = α lo g_{a} M$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.15★★Trang 10— Biểu diễn một lôgarit theo một lôgarit đã cho

Bài 6.15 (trang 10). Tìm

lo g_{49} 32

, biết

lo g_{2} 14 = a

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} M = \frac{lo g _{b} M}{lo g _{b} a}$ .
$lo g_{a^{α}} M^{β} = \frac{β}{α} lo g_{a} M$ .
$lo g_{a} (M N) = lo g_{a} M + lo g_{a} N$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.16★★Trang 10— So sánh hai số chứa lôgarit (dùng số trung gian)

Bài 6.16 (trang 10). So sánh các số sau:
a)

lo g_{3} 4

và

lo g_{4} \frac{1}{3}

; b)

2^{l o g_{6} 3}

và

3^{l o g_{6} \frac{1}{2}}

Kiến thức cần nhớ

Với $a > 1$ : $lo g_{a} M > 0 \Leftrightarrow M > 1$ ; $lo g_{a} M > 1 \Leftrightarrow M > a$ .
Với $a > 1$ : $a^{x} > 1 \Leftrightarrow x > 0$ .
$a^{l o g_{b} c} = c^{l o g_{b} a}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.17★★★Trang 10— Đếm số chữ số của một luỹ thừa lớn bằng lôgarit thập phân

Bài 6.17 (trang 10). Biết rằng số chữ số của một số nguyên dương

N

viết trong hệ thập phân được cho bởi công thức

[lo g N] + 1

, ở đó

[lo g N]

là phần nguyên của số thực dương

lo g N

. Tìm số các chữ số của

2^{2023}

khi viết trong hệ thập phân.

Kiến thức cần nhớ

$lo g M^{α} = α lo g M$ .
$1 0^{k} \leq N < 1 0^{k + 1}$ thì $N$ có đúng $k + 1$ chữ số.
$lo g 2 \approx 0, 30103$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.18★★Trang 10— Giải phương trình mũ bằng lôgarit trong bài toán lãi kép (dạng chữ)

Bài 6.18 (trang 10). Khi gửi tiết kiệm

P

(đồng) theo thể thức trả lãi kép định kì với lãi suất mỗi kì là

r

(

r

cho dưới dạng số thập phân) thì số tiền

A

(cả vốn lẫn lãi) nhận được sau

t

kì gửi là

A = P (1 + r)^{t}

(đồng). Tính thời gian gửi tiết kiệm cần thiết để số tiền ban đầu tăng gấp đôi.

Kiến thức cần nhớ

$a^{t} = M \Leftrightarrow t = lo g_{a} M$ $(0 < a \neq = 1, M > 0)$ .
$lo g_{a} M = \frac{ln M}{ln a}$ .
$ln (1 + r) \approx r$ khi $r$ nhỏ.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 6.19★★★Trang 11— Tìm số kì gửi nhỏ nhất theo lãi kép (bất phương trình mũ)

Bài 6.19 (trang 11). Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 6 tháng với lãi suất 8% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau bao lâu người đó nhận được ít nhất 120 triệu đồng?

Kiến thức cần nhớ

Lãi kép: $A = P (1 + r)^{t}$ , $r$ là lãi suất mỗi kì, $t$ là số kì.
Với $a > 1$ : $a^{t} \geq M \Leftrightarrow t \geq lo g_{a} M$ .
$lo g_{a} M = \frac{lo g M}{lo g a}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 6.20★★★Trang 11— Mô hình hàm mũ cơ số

e

: tìm tham số, tính giá trị, giải phương trình và bất phương trình bằng

ln

Bài 6.20 (trang 11). Nồng độ cồn trong máu (BAC) là chỉ số dùng để đo lượng cồn trong máu của một người. Chẳng hạn, BAC

0, 02%

hay

0, 2

mg/ml, nghĩa là có

0, 02

g cồn trong

100

ml máu. Nếu một người với BAC bằng

0, 02%

có nguy cơ bị tai nạn ô tô cao gấp

1, 4

lần so với một người không uống rượu, thì nguy cơ tương đối của tai nạn với BAC

0, 02%

là

1, 4

. Nghiên cứu y tế gần đây cho thấy rằng nguy cơ tương đối của việc gặp tai nạn khi đang lái ô tô có thể được mô hình hoá bằng một phương trình có dạng

R = e^{k x}

,
trong đó

x

(%) là nồng độ cồn trong máu và

k

là một hằng số.
a) Nghiên cứu chỉ ra rằng nguy cơ tương đối của một người bị tai nạn với BAC bằng

0, 02%

là

1, 4

. Tìm hằng số

k

trong phương trình.
b) Nguy cơ tương đối là bao nhiêu nếu nồng độ cồn trong máu là

0, 17%

?
c) Tìm BAC tương ứng với nguy cơ tương đối là

100

.
d) Giả sử nếu một người có nguy cơ tương đối từ

5

trở lên sẽ không được phép lái xe, thì một người có nồng độ cồn trong máu từ bao nhiêu trở lên sẽ không được phép lái xe?

Kiến thức cần nhớ

$e^{y} = M \Leftrightarrow y = ln M$ $(M > 0)$ .
Với $k > 0$ : $e^{k x} \geq m \Leftrightarrow x \geq \frac{ln m}{k}$ $(m > 0)$ .
$e^{k x} = (e^{0, 02 k})^{\frac{x}{0 , 02}}$ .