Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang19–20 #CùngBàiBênSGK

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 6.31★★Trang 19— Phương trình mũ đưa về cùng cơ số

Bài 6.31 (trang 19). Giải các phương trình mũ sau:
a)

4^{2 x - 1} = 8^{x + 3}

; b)

9^{2 x} \cdot 2 7^{x^{2}} = \frac{1}{3}

;
c)

(e^{4})^{x} \cdot e^{x^{2}} = e^{12}

; d)

5^{2 x - 1} = 20

Kiến thức cần nhớ

$a^{u} = a^{v} \Leftrightarrow u = v$ $(0 < a \neq = 1)$ ; $a^{x} = b$ $(b > 0)$ $\Leftrightarrow x = lo g_{a} b$ .
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$ ; $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ .
$a x^{2} + b x + c = 0$ có $a - b + c = 0$ thì nghiệm $x = - 1$ , $x = - \frac{c}{a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

a, b, c: các cơ số

4, 8

;

9, 27, \frac{1}{3}

;

e

đều là lũy thừa của

2

3

e

— đưa về cùng cơ số, câu b và c ra phương trình bậc hai của số mũ. Câu d vế phải

20

không phải lũy thừa của

5

nên lôgarit hoá.

1Cách 1. Đưa về cùng cơ số

Định hướng. Viết mọi cơ số thành lũy thừa của $2$ , $3$ , $e$ , $5$ rồi so sánh số mũ.

2^{2 (2 x - 1)} = 2^{3 (x + 3)}

4 x - 2 = 3 x + 9 \Leftrightarrow x = 11

3^{4 x} \cdot 3^{3 x^{2}} = 3^{- 1}

3 x^{2} + 4 x + 1 = 0

Δ = 16 - 12 = 4

x = \frac{- 4 \pm 2}{6}

, tức

x = - \frac{1}{3}

hoặc

x = - 1

e^{4 x + x^{2}} = e^{12}

x^{2} + 4 x - 12 = 0

Δ = 64

x = 2

hoặc

x = - 6

2 x - 1 = lo g_{5} 20

x = \frac{1 + lo g _{5} 20}{2} = \frac{2 + lo g _{5} 4}{2} = 1 + lo g_{5} 2

Vậy a) $x = 11$ ; b) $x \in {- 1; - \frac{1}{3}}$ ; c) $x \in {- 6; 2}$ ; d) $x = 1 + lo g_{5} 2$ .

2Cách 2. Lôgarit hoá hai vế và tách nhân tử

Định hướng. Lấy $lo g_{2}$ , $lo g_{3}$ , $ln$ hai vế; phương trình bậc hai giải bằng tách nhân tử.

2 (2 x - 1) = 3 (x + 3) \Leftrightarrow x = 11

4 x + 3 x^{2} = - 1

3 x^{2} + 3 x + x + 1 = 0 \Leftrightarrow (3 x + 1) (x + 1) = 0

4 x + x^{2} = 12

x^{2} + 6 x - 2 x - 12 = 0 \Leftrightarrow (x + 6) (x - 2) = 0

(2 x - 1) ln 5 = ln 20

x = \frac{ln 5 + ln 20}{2 ln 5} = \frac{ln 100}{2 ln 5} = \frac{ln 10}{ln 5} = lo g_{5} 10

Vậy a) $x = 11$ ; b) $x = - 1$ hoặc $x = - \frac{1}{3}$ ; c) $x = - 6$ hoặc $x = 2$ ; d) $x = lo g_{5} 10$ .

3Cách 3. Đưa về dạng

a^{f (x)} = 1

Định hướng. Chuyển hết về một vế để có một lũy thừa bằng $1$ , tức số mũ bằng $0$ ; câu d gom thành $2 5^{x}$ .

\frac{2 ^{4 x - 2}}{2 ^{3 x + 9}} = 1 \Leftrightarrow 2^{x - 11} = 1 \Leftrightarrow x = 11

3^{3 x^{2} + 4 x + 1} = 1 \Leftrightarrow 3 x^{2} + 4 x + 1 = 0

3 - 4 + 1 = 0

x = - 1

x = - \frac{1}{3}

e^{x^{2} + 4 x - 12} = 1 \Leftrightarrow x^{2} + 4 x - 12 = 0

x_{1} + x_{2} = - 4

x_{1} x_{2} = - 12

x = 2

x = - 6

\frac{2 5 ^{x}}{5} = 20 \Leftrightarrow 2 5^{x} = 100 \Leftrightarrow x = lo g_{25} 100 = lo g_{5} 10

Vậy a) $x = 11$ ; b) $x \in {- 1; - \frac{1}{3}}$ ; c) $x \in {- 6; 2}$ ; d) $x = lo g_{5} 10 \approx 1, 431$ .

Nhận xét. Ba dạng đáp số câu d bằng nhau: $1 + lo g_{5} 2 = lo g_{5} 10 = lo g_{25} 100$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1; với phương trình bậc hai ở b, c thì nhẩm nghiệm như Cách 3 là nhanh nhất.

Đáp số. a)

x = 11

; b)

x = - 1

x = - \frac{1}{3}

; c)

x = - 6

x = 2

; d)

x = 1 + lo g_{5} 2 = lo g_{5} 10

Sai lầm thường gặp. Câu a viết

4^{2 x - 1} = 2^{2 x - 1}

(quên nhân

2

vào số mũ). Câu c nhầm

(e^{4})^{x} = e^{4 + x}

. Câu d chia nhầm:

2 x - 1 = \frac{20}{5} = 4

🚀 Mở rộng. Giải

4^{x} \cdot 8^{x^{2}} = 16

: đưa về

3 x^{2} + 2 x - 4 = 0

, được

x = \frac{- 1 \pm 13}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.32★★Trang 19— Phương trình lôgarit

Bài 6.32 (trang 19). Giải các phương trình lôgarit sau:
a)

lo g_{3} (4 x - 1) = 2

; b)

lo g_{2} (x^{2} - 1) = lo g_{2} (3 x + 3)

;
c)

lo g_{x} 81 = 2

; d)

lo g_{2} 8^{x} = - 3

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} u = b \Leftrightarrow u = a^{b}$ ; $lo g_{a} u = lo g_{a} v \Leftrightarrow u = v > 0$ .
$lo g_{a} b$ xác định khi $0 < a \neq = 1$ , $b > 0$ .
$lo g_{a} b^{α} = α lo g_{a} b$ .

🧠 Phân tích tư duy

a, d là dạng cơ bản; b là hai lôgarit cùng cơ số; c có ẩn ở CƠ SỐ nên điều kiện là

0 < x \neq = 1

— đây là bẫy chính. Câu b điều kiện phải có cả hai biểu thức dương.

1Cách 1. Đặt điều kiện rồi dùng định nghĩa

Định hướng. Tìm điều kiện, đưa về dạng $u = a^{b}$ hoặc $u = v$ .

x > \frac{1}{4}

4 x - 1 = 3^{2} = 9 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}

x > 1

x^{2} - 1 = 3 x + 3 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x - 4 = 0

Δ = 25

x = 4

(thoả mãn),

x = - 1

(loại)
c)

0 < x \neq = 1

x^{2} = 81 \Leftrightarrow x = 9

(

x = - 9

loại)
d)

x lo g_{2} 8 = - 3 \Leftrightarrow 3 x = - 3 \Leftrightarrow x = - 1

Vậy a) $x = \frac{5}{2}$ ; b) $x = 4$ ; c) $x = 9$ ; d) $x = - 1$ .

2Cách 2. Tách nhân tử / mũ hoá

Định hướng. b) Tách nhân tử chung $x + 1$ . c) Đổi cơ số. d) Mũ hoá.

3^{l o g_{3} (4 x - 1)} = 3^{2} \Leftrightarrow 4 x - 1 = 9 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}

(x - 1) (x + 1) = 3 (x + 1) \Leftrightarrow (x + 1) (x - 4) = 0

x = - 1

lo g_{2} 0

vô nghĩa, loại;

x = 4

lo g_{2} 15 = lo g_{2} 15

, nhận
c)

\frac{1}{lo g _{81} x} = 2 \Leftrightarrow lo g_{81} x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = 8 1^{\frac{1}{2}} = 9

8^{x} = 2^{- 3} \Leftrightarrow 2^{3 x} = 2^{- 3} \Leftrightarrow x = - 1

Vậy a) $x = \frac{5}{2}$ ; b) $x = 4$ ; c) $x = 9$ ; d) $x = - 1$ .

3Cách 3. Đưa về cùng cơ số / lôgarit tự nhiên

Định hướng. a) Viết $2 = lo g_{3} 9$ . b) Chuyển vế thành lôgarit của thương. c) Lấy $ln$ . d) Viết $8^{x} = 2^{3 x}$ .

lo g_{3} (4 x - 1) = lo g_{3} 9 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}

x > 1

lo g_{2} \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{3 ( x + 1 )} = 0 \Leftrightarrow \frac{x - 1}{3} = 1 \Leftrightarrow x = 4

\frac{ln 81}{ln x} = 2 \Leftrightarrow ln x = \frac{1}{2} ln 81 = ln 9 \Leftrightarrow x = 9

lo g_{2} 2^{3 x} = - 3 \Leftrightarrow 3 x = - 3 \Leftrightarrow x = - 1

Vậy a) $x = \frac{5}{2}$ ; b) $x = 4$ ; c) $x = 9$ ; d) $x = - 1$ .

Nhận xét. Câu d không cần điều kiện vì $8^{x} > 0$ với mọi $x$ — nghiệm âm $x = - 1$ vẫn nhận.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1; câu c nhớ điều kiện cơ số

0 < x \neq = 1

để loại

x = - 9

Đáp số. a)

x = \frac{5}{2}

; b)

x = 4

; c)

x = 9

; d)

x = - 1

Sai lầm thường gặp. Câu c nhận cả

x = - 9

(cơ số lôgarit phải dương). Câu d loại oan

x = - 1

vì tưởng "nghiệm âm thì loại". Câu b nhận

x = - 1

vì chỉ giải

x^{2} - 1 = 3 x + 3

mà không đặt điều kiện.

🚀 Mở rộng. Giải

lo g_{x} (2 x + 3) = 2

: điều kiện

0 < x \neq = 1

, được

x^{2} - 2 x - 3 = 0

, nhận

x = 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.33★★Trang 19— Bất phương trình mũ

Bài 6.33 (trang 19). Giải các bất phương trình mũ sau:
a)

2^{2 x - 3} > \frac{1}{4}

; b)

(\frac{1}{2})^{x^{2}} \geq (\frac{1}{2})^{5 x - 6}

;
c)

2 5^{x} \leq 5^{4 x - 3}

; d)

9^{x} - 3^{x} - 6 \leq 0

Kiến thức cần nhớ

$a > 1$ : $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u > v$ ; $0 < a < 1$ : $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u < v$ .
$a^{2 x} = (a^{x})^{2}$ ; $a^{x} > 0$ với mọi $x$ .
Tam thức $a t^{2} + b t + c$ ( $a > 0$ ) không dương giữa hai nghiệm.

🧠 Phân tích tư duy

a, b, c đưa về cùng cơ số rồi so sánh số mũ (b cơ số

\frac{1}{2}

đổi chiều, ra bất phương trình bậc hai). d là tam thức bậc hai theo

3^{x}

— đặt

t = 3^{x} > 0

1Cách 1. Cùng cơ số và đặt ẩn phụ

Định hướng. So sánh số mũ, đổi chiều khi cơ số nhỏ hơn 1; câu d đặt $t = 3^{x} > 0$ và tách nhân tử.

2^{2 x - 3} > 2^{- 2} \Leftrightarrow 2 x - 3 > - 2 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}

x^{2} \leq 5 x - 6 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 6 \leq 0 \Leftrightarrow (x - 2) (x - 3) \leq 0 \Leftrightarrow 2 \leq x \leq 3

5^{2 x} \leq 5^{4 x - 3} \Leftrightarrow 2 x \leq 4 x - 3 \Leftrightarrow x \geq \frac{3}{2}

t^{2} - t - 6 \leq 0 \Leftrightarrow (t - 3) (t + 2) \leq 0 \Leftrightarrow - 2 \leq t \leq 3

t > 0

\Rightarrow

3^{x} \leq 3 \Leftrightarrow x \leq 1

Vậy a) $S = (\frac{1}{2}; + \infty)$ ; b) $S = [2; 3]$ ; c) $S = [\frac{3}{2}; + \infty)$ ; d) $S = (- \infty; 1]$ .

2Cách 2. Lôgarit hoá và công thức nghiệm

Định hướng. Lấy $lo g_{2}$ , $lo g_{5}$ hai vế; tam thức giải bằng $Δ$ .

lo g_{2} 2^{2 x - 3} > lo g_{2} 2^{- 2} \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}

2^{- x^{2}} \geq 2^{- (5 x - 6)} \Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 6 \leq 0

Δ = 1

: nghiệm

2

và

3

, nên

2 \leq x \leq 3

2 x \leq 4 x - 3 \Leftrightarrow x \geq \frac{3}{2}

t^{2} - t - 6

Δ = 25

, nghiệm

t = 3

t = - 2

0 < 3^{x} \leq 3 \Leftrightarrow x \leq 1

Vậy a) $x > \frac{1}{2}$ ; b) $2 \leq x \leq 3$ ; c) $x \geq \frac{3}{2}$ ; d) $x \leq 1$ .

3Cách 3. Đưa về so sánh với 1

Định hướng. Gom về dạng $a^{f (x)}$ so với $1 = a^{0}$ ; câu d phân tích thẳng thành nhân tử theo $3^{x}$ .

2^{2 x - 1} > 1 \Leftrightarrow 2 x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{1}{2}

(\frac{1}{2})^{x^{2} - 5 x + 6} \geq 1 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x + 6 \leq 0 \Leftrightarrow 2 \leq x \leq 3

5^{3 - 2 x} \leq 1 \Leftrightarrow 3 - 2 x \leq 0 \Leftrightarrow x \geq \frac{3}{2}

(3^{x} - 3) (3^{x} + 2) \leq 0

3^{x} + 2 > 0

\Rightarrow

3^{x} - 3 \leq 0 \Leftrightarrow x \leq 1

Vậy a) $S = (\frac{1}{2}; + \infty)$ ; b) $S = [2; 3]$ ; c) $S = [\frac{3}{2}; + \infty)$ ; d) $S = (- \infty; 1]$ .

Nhận xét. Ở câu d nhân tử $3^{x} + 2$ luôn dương nên chia đi không đổi chiều — gọn hơn việc đặt ẩn phụ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1; riêng câu d Cách 3 (phân tích thẳng thành nhân tử) ngắn nhất.

Đáp số. a)

x > \frac{1}{2}

; b)

2 \leq x \leq 3

; c)

x \geq \frac{3}{2}

; d)

x \leq 1

Sai lầm thường gặp. Câu b giữ chiều, ra

x \leq 2

hoặc

x \geq 3

— thử

x = 0

1 \geq (\frac{1}{2})^{- 6} = 64

sai. Câu d kết luận

- 2 \leq 3^{x} \leq 3

rồi viết

x \geq lo g_{3} (- 2)

vô nghĩa, quên

3^{x} > 0

🚀 Mở rộng. Giải

4^{x} - 3 \cdot 2^{x} + 2 > 0

: đặt

t = 2^{x}

được

t < 1

hoặc

t > 2

, tức

x < 0

hoặc

x > 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.34★★★Trang 19— Bất phương trình lôgarit

Bài 6.34 (trang 19). Giải các bất phương trình lôgarit sau:
a)

lo g_{3} (2 x + 1) \geq 2

; b)

lo g_{2} (3 x - 1) < lo g_{2} (9 - 2 x)

;
c)

lo g_{\frac{1}{2}} (x + 1) \leq lo g_{\frac{1}{2}} (4 x - 5)

; d)

lo g_{2} (2 x - 1) \leq lo g_{4} (x + 1)^{2}

Kiến thức cần nhớ

$a > 1$ : $lo g_{a} u > lo g_{a} v \Leftrightarrow u > v > 0$ ; $0 < a < 1$ : $lo g_{a} u > lo g_{a} v \Leftrightarrow 0 < u < v$ .
$lo g_{a^{2}} u^{2} = lo g_{a} ∣ u ∣$ .
$lo g_{a} u \geq b$ $(a > 1) \Leftrightarrow u \geq a^{b}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi câu đều phải kèm điều kiện biểu thức dưới lôgarit dương. c có cơ số

\frac{1}{2}

nên đổi chiều; d khác cơ số

2

và

4

: dùng

lo g_{4} (x + 1)^{2} = lo g_{2} ∣ x + 1∣

rồi khử trị tuyệt đối nhờ điều kiện.

1Cách 1. Cùng cơ số, kết hợp điều kiện

Định hướng. So sánh trực tiếp biểu thức dưới lôgarit; cơ số lớn hơn 1 giữ chiều, nhỏ hơn 1 đổi chiều.

2 x + 1 \geq 3^{2} = 9 \Leftrightarrow x \geq 4

0 < 3 x - 1 < 9 - 2 x \Leftrightarrow \frac{1}{3} < x < 2

x + 1 \geq 4 x - 5 > 0 \Leftrightarrow \frac{5}{4} < x \leq 2

x > \frac{1}{2}

lo g_{4} (x + 1)^{2} = lo g_{2} (x + 1)

2 x - 1 \leq x + 1 \Leftrightarrow x \leq 2

Vậy a) $S = [4; + \infty)$ ; b) $S = (\frac{1}{3}; 2)$ ; c) $S = (\frac{5}{4}; 2]$ ; d) $S = (\frac{1}{2}; 2]$ .

2Cách 2. Đổi cơ số / bình phương

Định hướng. c) Đổi sang cơ số $2$ . d) Đưa về cơ số $4$ rồi so sánh bình phương.

lo g_{3} (2 x + 1) \geq lo g_{3} 9 \Leftrightarrow 2 x + 1 \geq 9 \Leftrightarrow x \geq 4

\frac{1}{3} < x < \frac{9}{2}

lo g_{2} \frac{3 x - 1}{9 - 2 x} < 0 \Leftrightarrow \frac{3 x - 1}{9 - 2 x} < 1 \Leftrightarrow 3 x - 1 < 9 - 2 x \Leftrightarrow x < 2

- lo g_{2} (x + 1) \leq - lo g_{2} (4 x - 5) \Leftrightarrow lo g_{2} (4 x - 5) \leq lo g_{2} (x + 1)

0 < 4 x - 5 \leq x + 1 \Leftrightarrow \frac{5}{4} < x \leq 2

x > \frac{1}{2}

lo g_{4} (2 x - 1)^{2} \leq lo g_{4} (x + 1)^{2}

(2 x - 1)^{2} - (x + 1)^{2} \leq 0 \Leftrightarrow (x - 2) \cdot 3 x \leq 0 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 2

Kết hợp

x > \frac{1}{2}

\frac{1}{2} < x \leq 2

Vậy a) $x \geq 4$ ; b) $\frac{1}{3} < x < 2$ ; c) $\frac{5}{4} < x \leq 2$ ; d) $\frac{1}{2} < x \leq 2$ .

3Cách 3. Gộp về một lôgarit của thương

Định hướng. Chuyển vế, gộp thành $lo g_{a} \frac{u}{v}$ rồi so sánh $\frac{u}{v}$ với $1$ .

lo g_{3} \frac{2 x + 1}{9} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2 x + 1}{9} \geq 1 \Leftrightarrow x \geq 4

\frac{3 x - 1}{9 - 2 x} < 1

\frac{1}{3} < x < \frac{9}{2}

\Rightarrow

\frac{1}{3} < x < 2

lo g_{\frac{1}{2}} \frac{x + 1}{4 x - 5} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{x + 1}{4 x - 5} \geq 1

x > \frac{5}{4}

\frac{6 - 3 x}{4 x - 5} \geq 0

x > \frac{5}{4}

\Rightarrow

\frac{5}{4} < x \leq 2

lo g_{2} \frac{2 x - 1}{x + 1} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{2 x - 1}{x + 1} \leq 1

x > \frac{1}{2}

\frac{x - 2}{x + 1} \leq 0

x > \frac{1}{2}

\Rightarrow

\frac{1}{2} < x \leq 2

Vậy a) $S = [4; + \infty)$ ; b) $S = (\frac{1}{3}; 2)$ ; c) $S = (\frac{5}{4}; 2]$ ; d) $S = (\frac{1}{2}; 2]$ .

Nhận xét. Cách 3 thống nhất mọi câu về một mẫu: so sánh thương với $1$ , rất tiện khi hai vế khác hằng số.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1: gọn nhất, nhưng phải viết dạng kép

0 < u < v

hoặc

u \geq v > 0

để không quên điều kiện.

Đáp số. a)

x \geq 4

; b)

\frac{1}{3} < x < 2

; c)

\frac{5}{4} < x \leq 2

; d)

\frac{1}{2} < x \leq 2

Sai lầm thường gặp. Câu c quên điều kiện

4 x - 5 > 0

, trả lời

x \leq 2

— thử

x = 1

lo g_{\frac{1}{2}} (- 1)

vô nghĩa. Câu d viết

lo g_{4} (x + 1)^{2} = 2 lo g_{4} (x + 1)

mà không lưu ý chỉ đúng khi

x + 1 > 0

🚀 Mở rộng. Giải

lo g_{2} (x - 1) + lo g_{2} (x + 1) \leq 3

: điều kiện

x > 1

, được

x^{2} \leq 9

, tức

1 < x \leq 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.35★★Trang 19— Tập xác định của hàm số mũ, lôgarit

Bài 6.35 (trang 19). Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)

y = \frac{1}{3 ^{x} - 9}

; b)

y = ln (4 - x^{2})

;
c)

y = lo g \frac{1}{5 - x}

; d)

y = \frac{2}{lo g _{4} ( x - 1 )}

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} u$ xác định $\Leftrightarrow u > 0$ .
$\frac{A}{B}$ xác định $\Leftrightarrow B \neq = 0$ .
$lo g_{a} u = 0 \Leftrightarrow u = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai loại điều kiện: mẫu khác

0

(a, d) và biểu thức dưới lôgarit dương (b, c, d). Mỗi điều kiện là một phương trình hoặc bất phương trình mũ, lôgarit đơn giản vừa học.

1Cách 1. Giải trực tiếp các điều kiện

Định hướng. Viết điều kiện rồi giải phương trình, bất phương trình tương ứng.

3^{x} - 9 \neq = 0 \Leftrightarrow 3^{x} \neq = 3^{2} \Leftrightarrow x \neq = 2

4 - x^{2} > 0 \Leftrightarrow x^{2} < 4 \Leftrightarrow - 2 < x < 2

\frac{1}{5 - x} > 0 \Leftrightarrow 5 - x > 0 \Leftrightarrow x < 5

x - 1 > 0

và

lo g_{4} (x - 1) \neq = 0

x > 1

và

x - 1 \neq = 1 \Leftrightarrow x > 1

x \neq = 2

Vậy a) $D = R ∖ {2}$ ; b) $D = (- 2; 2)$ ; c) $D = (- \infty; 5)$ ; d) $D = (1; + \infty) ∖ {2}$ .

2Cách 2. Xét dấu, biến đổi hàm trước

Định hướng. b) Xét dấu tích. c) Viết $lo g \frac{1}{5 - x} = - lo g (5 - x)$ . d) Đổi sang $ln$ .

3^{x} = 9 \Leftrightarrow x = lo g_{3} 9 = 2

\Rightarrow

loại

x = 2

(2 - x) (2 + x) > 0

: hai thừa số cùng dấu dương

\Leftrightarrow - 2 < x < 2

y = - lo g (5 - x)

xác định

\Leftrightarrow 5 - x > 0 \Leftrightarrow x < 5

y = \frac{2 ln 4}{ln ( x - 1 )}

x - 1 > 0

ln (x - 1) \neq = 0

x > 1

x \neq = 2

Vậy a) $D = (- \infty; 2) \cup (2; + \infty)$ ; b) $D = (- 2; 2)$ ; c) $D = (- \infty; 5)$ ; d) $D = (1; 2) \cup (2; + \infty)$ .

3Cách 3. Dùng tính đơn điệu và giá trị tuyệt đối

Định hướng. a) $3^{x}$ đồng biến nên chỉ có một giá trị cho $3^{x} = 9$ . b) $x^{2} < 4 \Leftrightarrow ∣ x ∣ < 2$ .

3^{x}

đồng biến,

3^{2} = 9

\Rightarrow

chỉ loại

x = 2

∣ x ∣ < 2 \Leftrightarrow - 2 < x < 2

\frac{1}{5 - x} > 0

khi tử

1 > 0

và mẫu

5 - x > 0

lo g_{4} (x - 1)

đồng biến trên

(1; + \infty)

và bằng

0

duy nhất tại

x = 2

Vậy a) $D = R ∖ {2}$ ; b) $D = (- 2; 2)$ ; c) $D = (- \infty; 5)$ ; d) $D = (1; + \infty) ∖ {2}$ .

Nhận xét. Câu d là kiểu bài dễ sót: phải có đồng thời điều kiện của lôgarit và điều kiện mẫu khác $0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1: liệt kê đủ điều kiện rồi giải từng cái.

Đáp số. a)

D = R ∖ {2}

; b)

D = (- 2; 2)

; c)

D = (- \infty; 5)

; d)

D = (1; + \infty) ∖ {2}

Sai lầm thường gặp. Câu d chỉ ghi

x > 1

mà quên

lo g_{4} (x - 1) \neq = 0

(tại

x = 2

mẫu bằng

0

). Câu c ghi

x \neq = 5

— quên lôgarit cần biểu thức dương, với

x > 5

thì

\frac{1}{5 - x} < 0

🚀 Mở rộng. Tìm tập xác định của

y = \frac{1}{ln ( x ^{2} - 3 )}

: cần

x^{2} > 3

và

x^{2} \neq = 4

, được

D = (- \infty; - 3) \cup (3; + \infty) ∖ {\pm 2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.36★★Trang 19— Phương trình mũ trong thực tế

Bài 6.36 (trang 19). Áp suất khí quyển

p

lên một vật giảm khi độ cao tăng dần. Giả sử áp suất này (tính bằng milimét thuỷ ngân) được biểu diễn theo độ cao

h

(tính bằng kilômét) so với mực nước biển bằng công thức

p (h) = 760 \cdot e^{- 0, 145 h}

.
a) Một máy bay đang chịu áp suất khí quyển 320 mmHg. Tìm độ cao của máy bay đó.
b) Một người đứng trên đỉnh của một ngọn núi và chịu áp suất khí quyển 667 mmHg. Tìm chiều cao của ngọn núi này.

Kiến thức cần nhớ

$e^{u} = b$ $(b > 0) \Leftrightarrow u = ln b$ .
$- ln \frac{a}{b} = ln \frac{b}{a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biết

p

, tìm

h

: phương trình mũ cơ số

e

— cô lập

e^{- 0, 145 h}

rồi lấy

ln

. Hai câu cùng một công thức

h = \frac{1}{0 , 145} ln \frac{760}{p}

1Cách 1. Lấy lôgarit tự nhiên

Định hướng. Rút công thức tổng quát $h = \frac{1}{0 , 145} ln \frac{760}{p}$ rồi thay số.

760 e^{- 0, 145 h} = p \Leftrightarrow - 0, 145 h = ln \frac{p}{760}

h = \frac{1}{0 , 145} ln \frac{760}{p}

h = \frac{1}{0 , 145} ln \frac{760}{320} = \frac{ln 2 , 375}{0 , 145} \approx 5, 965

h = \frac{1}{0 , 145} ln \frac{760}{667} \approx 0, 900

Vậy a) máy bay ở độ cao khoảng $5, 965$ km; b) ngọn núi cao khoảng $0, 9$ km (khoảng 900 m).

2Cách 2. Lôgarit thập phân

Định hướng. Lấy $lo g$ hai vế: $lo g e^{- 0, 145 h} = - 0, 145 h lo g e$ .

- 0, 145 h lo g e = lo g \frac{320}{760}

h = \frac{lo g 2 , 375}{0 , 145 lo g e} \approx \frac{0 , 3757}{0 , 0630} \approx 5, 965

h = \frac{lo g \frac{760}{667}}{0 , 145 lo g e} \approx 0, 900

Vậy a) $h \approx 5, 965$ km; b) $h \approx 0, 900$ km.

3Cách 3. Viết theo lũy thừa cơ số

q

Định hướng. Đặt $q = e^{- 0, 145} \approx 0, 8650$ thì $p = 760 q^{h}$ , $h = lo g_{q} \frac{p}{760}$ .

q^{h} = \frac{320}{760} = \frac{8}{19}

h = lo g_{q} \frac{8}{19} = \frac{ln \frac{8}{19}}{- 0 , 145} \approx 5, 965

q^{h} = \frac{667}{760}

h = lo g_{q} \frac{667}{760} \approx 0, 900

Vậy a) khoảng $5, 965$ km; b) khoảng $0, 9$ km.

Nhận xét. Cách 3 cho ý nghĩa: mỗi km lên cao áp suất còn khoảng $86, 5%$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1: rút công thức

h

theo

p

một lần, dùng cho cả hai câu.

Đáp số. a)

h = \frac{ln 2 , 375}{0 , 145} \approx 5, 965

km; b)

h \approx 0, 900

km.

Sai lầm thường gặp. Lấy

ln

mà quên chia

760

- 0, 145 h = ln 320

h

âm, vô lí. Hoặc để dấu sai:

h = \frac{ln ( 320/760 )}{0 , 145} < 0

🚀 Mở rộng. Ở độ cao bao nhiêu áp suất còn một nửa?

h = \frac{ln 2}{0 , 145} \approx 4, 78

km.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.37★★Trang 19— Phương trình mũ trong thực tế — khấu hao

Bài 6.37 (trang 19). Giả sử giá trị còn lại

V

(triệu đồng) của một chiếc ô tô nào đó sau

t

năm được cho bằng công thức

V (t) = 730 \cdot (0, 82)^{t}

.
a) Theo mô hình này, khi nào chiếc xe có giá trị 500 triệu đồng?
b) Theo mô hình này, khi nào chiếc xe có giá trị 200 triệu đồng?
(Kết quả của câu a và câu b được tính tròn năm).

Kiến thức cần nhớ

$a^{u} = a^{v} \Leftrightarrow u = v$ $(0 < a \neq = 1)$ ; $a^{x} = b$ $(b > 0)$ $\Leftrightarrow x = lo g_{a} b$ .
$lo g_{a} b = \frac{ln b}{ln a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biết

V

, tìm

t

: phương trình mũ cơ số

0, 82

; lấy

lo g_{0, 82}

hoặc

ln

. Kết quả làm tròn đến năm.

1Cách 1. Lôgarit cơ số 0,82

Định hướng. Chia $730$ rồi dùng định nghĩa lôgarit.

(0, 82)^{t} = \frac{500}{730} = \frac{50}{73}

t = lo g_{0, 82} \frac{50}{73} \approx 1, 91

(0, 82)^{t} = \frac{200}{730} = \frac{20}{73}

t = lo g_{0, 82} \frac{20}{73} \approx 6, 52

Vậy a) sau khoảng $2$ năm; b) sau khoảng $7$ năm.

2Cách 2. Lấy lôgarit tự nhiên

Định hướng. Lấy $ln$ hai vế, chia cho $ln 0, 82 < 0$ .

t = \frac{ln \frac{50}{73}}{ln 0 , 82} \approx \frac{- 0 , 3784}{- 0 , 1985} \approx 1, 91

t = \frac{ln \frac{20}{73}}{ln 0 , 82} \approx \frac{- 1 , 2947}{- 0 , 1985} \approx 6, 52

Vậy a) $t \approx 2$ năm; b) $t \approx 7$ năm.

3Cách 3. Tính giá trị theo năm

Định hướng. $V$ nghịch biến; tính các năm quanh đáp số để kiểm tra phần làm tròn.

V (1) \approx 598, 60

;

V (2) \approx 490, 85

V (6) \approx 221, 92

;

V (7) \approx 181, 98

Vậy a) giá trị 500 triệu đồng đạt trong năm thứ hai, làm tròn khoảng $2$ năm; b) giá trị 200 triệu đồng đạt giữa năm thứ 6 và 7, làm tròn khoảng $7$ năm.

Nhận xét. Nghiệm thực $1, 91$ và $6, 52$ nằm đúng trong các khoảng mà bảng giá trị chỉ ra.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1 hoặc 2 (bấm máy

ln

) — hai dòng mỗi câu.

Đáp số. a)

t = lo g_{0, 82} \frac{50}{73} \approx 1, 91

, khoảng

2

năm; b)

t = lo g_{0, 82} \frac{20}{73} \approx 6, 52

, khoảng

7

năm.

Sai lầm thường gặp. Viết

t = lo g_{\frac{50}{73}} 0, 82

(đảo cơ số và biểu thức) ra

\approx 0, 52

; hoặc chia

ln 0, 82

mà bỏ dấu trừ, ra thời gian âm.

🚀 Mở rộng. Sau bao lâu xe mất một nửa giá trị?

t = lo g_{0, 82} 0, 5 \approx 3, 49

năm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.38★Trang 20— Tính giá trị hàm mũ trong thực tế

Bài 6.38 (trang 20). Giả sử tổng chi phí hoạt động (đơn vị tỉ đồng) trong một năm của một công ty được tính bằng công thức

C (t) = 90 - 50 e^{- t}

, trong đó

t

là thời gian tính bằng năm kể từ khi công ty được thành lập. Tính chi phí hoạt động của công ty đó vào năm thứ 10 sau khi thành lập (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).

Kiến thức cần nhớ

$e^{- t} = \frac{1}{e ^{t}}$ .
$e \approx 2, 71828$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bài tính giá trị hàm số: "năm thứ 10 sau khi thành lập" ứng với

t = 10

. Khó ở chỗ

e^{- 10}

rất nhỏ nên phải giữ đủ chữ số khi làm tròn đến phần nghìn.

1Cách 1. Thay số trực tiếp

Định hướng. Thay $t = 10$ và bấm máy.

C (10) = 90 - 50 e^{- 10}

C (10) \approx 90 - 50 \cdot 0, 0000454

C (10) \approx 90 - 0, 00227 \approx 89, 998

Vậy chi phí năm thứ 10 khoảng $89, 998$ tỉ đồng.

2Cách 2. Tính qua

e^{10}

Định hướng. $50 e^{- 10} = \frac{50}{e ^{10}}$ , tính $e^{10}$ trước.

e^{10} \approx 22026, 47

\frac{50}{e ^{10}} \approx 0, 00227

C (10) \approx 89, 99773 \approx 89, 998

Vậy $C (10) \approx 89, 998$ tỉ đồng.

3Cách 3. Ước lượng chặn

Định hướng. $e > 2, 7$ nên $e^{10} > 2, 7^{10} > 20000$ , suy ra số trừ rất nhỏ.

0 < 50 e^{- 10} < \frac{50}{20 000} = 0, 0025

89, 9975 < C (10) < 90

C (10) \approx 89, 998

Vậy chi phí khoảng $89, 998$ tỉ đồng.

Nhận xét. Chi phí tiến dần tới $90$ tỉ đồng khi $t$ lớn vì $e^{- t} \to 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1: thay số, bấm máy một lần.

Đáp số.

C (10) = 90 - 50 e^{- 10} \approx 89, 998

tỉ đồng.

Sai lầm thường gặp. Hiểu "năm thứ 10" thành

t = 9

, hoặc làm tròn sớm

e^{- 10} \approx 0

rồi trả lời

90, 000

— sai ở chữ số thập phân thứ ba.

🚀 Mở rộng. Chi phí năm đầu tiên (

t = 0

) là

C (0) = 40

tỉ đồng; chi phí vượt

85

tỉ đồng khi

t > ln 10 \approx 2, 30

năm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 6.39★★Trang 20— Bất phương trình lôgarit — độ pH

Bài 6.39 (trang 20). Nhắc lại rằng độ pH của một dung dịch được tính bằng công thức

pH = - lo g [H^{+}]

, ở đó

[H^{+}]

là nồng độ ion hydrogen của dung dịch tính bằng mol/lít. Biết rằng máu của người bình thường có độ pH từ 7,30 đến 7,45. Hỏi nồng độ ion hydrogen trong máu người bình thường nhận giá trị trong đoạn nào?

Kiến thức cần nhớ

$[H^{+}] = 1 0^{- pH}$ .
$lo g u \leq b \Leftrightarrow 0 < u \leq 1 0^{b}$ .
$1 0^{t}$ đồng biến.

🧠 Phân tích tư duy

Cho pH trong đoạn

[7, 30; 7, 45]

tức một bất phương trình kép với

- lo g [H^{+}]

. Vì có dấu trừ, pH lớn ứng với nồng độ nhỏ — đầu mút đổi chỗ.

1Cách 1. Bất phương trình lôgarit kép

Định hướng. Nhân $- 1$ (đổi chiều) rồi mũ hoá cơ số $10$ .

7, 30 \leq - lo g [H^{+}] \leq 7, 45

- 7, 45 \leq lo g [H^{+}] \leq - 7, 30

1 0^{- 7, 45} \leq [H^{+}] \leq 1 0^{- 7, 30}

Vậy $[H^{+}] \in [1 0^{- 7, 45}; 1 0^{- 7, 30}]$ mol/lít, tức khoảng từ $3, 548 \cdot 1 0^{- 8}$ đến $5, 012 \cdot 1 0^{- 8}$ mol/lít.

2Cách 2. Hàm nghịch biến

Định hướng. $[H^{+}] = 1 0^{- pH}$ nghịch biến theo pH nên đầu mút nhỏ ứng với pH lớn.

pH = 7, 45 \Rightarrow [H^{+}] = 1 0^{- 7, 45} \approx 3, 548 \cdot 1 0^{- 8}

pH = 7, 30 \Rightarrow [H^{+}] = 1 0^{- 7, 30} \approx 5, 012 \cdot 1 0^{- 8}

Vậy nồng độ nằm trong đoạn $[1 0^{- 7, 45}; 1 0^{- 7, 30}]$ mol/lít.

3Cách 3. Tách phần nguyên của số mũ

Định hướng. Viết $10^{-7{,}30} = 10^{\circ}{,}7} \cdot 10^{-8}$ và $10^{-7{,}45} = 10^{\circ}{,}55} \cdot 10^{-8}$ để ra dạng khoa học.

10^{-7{,}45} = 10^{\circ}{,}55} \cdot 10^{-8} \approx 3{,}548 \cdot 10^{-8}

10^{-7{,}30} = 10^{\circ}{,}7} \cdot 10^{-8} \approx 5{,}012 \cdot 10^{-8}

Vậy $3, 548 \cdot 1 0^{- 8} \leq [H^{+}] \leq 5, 012 \cdot 1 0^{- 8}$ mol/lít.

Nhận xét. Chênh $0, 15$ đơn vị pH ứng với nồng độ gấp $10^{\circ}{,}15} \approx 1{,}41$ lần.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1: một chuỗi biến đổi, chỉ cần nhớ đổi chiều khi nhân

- 1

Đáp số.

[H^{+}] \in [1 0^{- 7, 45}; 1 0^{- 7, 30}] \approx [3, 548 \cdot 1 0^{- 8}; 5, 012 \cdot 1 0^{- 8}]

mol/lít.

Sai lầm thường gặp. Giữ nguyên thứ tự đầu mút, viết

[1 0^{- 7, 30}; 1 0^{- 7, 45}]

— đầu trái lại lớn hơn đầu phải, không phải một đoạn.

🚀 Mở rộng. Nước chanh có pH từ 2 đến 3 thì

[H^{+}] \in [1 0^{- 3}; 1 0^{- 2}]

mol/lít — gấp khoảng

1 0^{5}

lần máu người.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 6.40★★Trang 20— Phương trình, bất phương trình lôgarit — mức cường độ âm

Bài 6.40 (trang 20). Nhắc lại rằng mức cường độ âm (đo bằng dB) được tính bởi công thức

L = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}

, trong đó

I

là cường độ âm tính theo W/m² và

I_{0} = 1 0^{- 12}

W/m².
a) Tính cường độ âm của âm thanh tàu điện ngầm có mức cường độ âm là 100 dB.
b) Âm thanh trên một tuyến đường giao thông có mức cường độ âm thay đổi từ 70 dB đến 85 dB. Hỏi cường độ âm thay đổi trong đoạn nào?

Kiến thức cần nhớ

$lo g u = b \Leftrightarrow u = 1 0^{b}$ .
$lo g \frac{I}{I _{0}} = lo g I - lo g I_{0}$ .
$1 0^{t}$ đồng biến.

🧠 Phân tích tư duy

Biết

L

tìm

I

: chia

10

rồi mũ hoá, được

I = I_{0} \cdot 1 0^{\frac{L}{10}}

. Câu b là bất phương trình kép;

L

đồng biến theo

I

nên đầu mút giữ nguyên thứ tự.

1Cách 1. Mũ hoá

Định hướng. Rút $I = I_{0} \cdot 1 0^{\frac{L}{10}}$ .

lo g \frac{I}{I _{0}} = \frac{L}{10} \Leftrightarrow I = 1 0^{- 12} \cdot 1 0^{\frac{L}{10}}

I = 1 0^{- 12} \cdot 1 0^{10} = 1 0^{- 2}

70 \leq L \leq 85 \Leftrightarrow 7 \leq lo g \frac{I}{I _{0}} \leq 8, 5

1 0^{7} \cdot 1 0^{- 12} \leq I \leq 1 0^{8, 5} \cdot 1 0^{- 12}

1 0^{- 5} \leq I \leq 1 0^{- 3, 5}

Vậy a) $I = 1 0^{- 2}$ W/m²; b) $I \in [1 0^{- 5}; 1 0^{- 3, 5}]$ W/m², tức khoảng từ $1 0^{- 5}$ đến $3, 162 \cdot 1 0^{- 4}$ W/m².

2Cách 2. Tách lôgarit của thương

Định hướng. $L = 10 (lo g I + 12)$ nên $lo g I = \frac{L}{10} - 12$ .

lo g I = 10 - 12 = - 2 \Leftrightarrow I = 1 0^{- 2}

7 - 12 \leq lo g I \leq 8, 5 - 12

- 5 \leq lo g I \leq - 3, 5

1 0^{- 5} \leq I \leq 1 0^{- 3, 5}

Vậy a) $1 0^{- 2}$ W/m²; b) $[1 0^{- 5}; 1 0^{- 3, 5}]$ W/m².

3Cách 3. Tính đơn điệu và tỉ số

Định hướng. $I (L) = 1 0^{\frac{L}{10} - 12}$ đồng biến nên đoạn của $I$ có hai đầu mút là $I (70)$ và $I (85)$ ; cứ tăng $10$ dB thì $I$ gấp $10$ lần.

I (100) = 1 0^{10 - 12} = 1 0^{- 2}

I (70) = 1 0^{- 5}

;

I (85) = 1 0^{- 5} \cdot 1 0^{1, 5} \approx 3, 162 \cdot 1 0^{- 4}

Vậy a) $I = 1 0^{- 2}$ W/m²; b) $1 0^{- 5} \leq I \leq 1 0^{- 3, 5} \approx 3, 162 \cdot 1 0^{- 4}$ W/m².

Nhận xét. Tăng $15$ dB làm cường độ âm gấp $1 0^{1, 5} \approx 31, 6$ lần — thang dB nén rất mạnh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 2: cộng trừ với

12

rồi mũ hoá, ít nhầm lũy thừa nhất.

Đáp số. a)

I = 1 0^{- 2}

W/m²; b)

I \in [1 0^{- 5}; 1 0^{- 3, 5}] \approx [1 0^{- 5}; 3, 162 \cdot 1 0^{- 4}]

W/m².

Sai lầm thường gặp. Quên chia

10

: viết

lo g \frac{I}{I _{0}} = 100

, ra

I = 1 0^{88}

W/m² vô lí. Hoặc nhân

I_{0}

sai dấu mũ:

I = 1 0^{12} \cdot 1 0^{10}

🚀 Mở rộng. Hai nguồn âm cùng 70 dB đặt cạnh nhau cho

I = 2 \cdot 1 0^{- 5}

W/m², tức

L = 70 + 10 lo g 2 \approx 73

dB (không phải 140 dB).

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 20. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 11

📚 Cùng chương: Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 18. Luỹ thừa với số mũ thực
Bài 19. Lôgarit
Bài 20. Hàm số mũ và hàm số lôgarit
▶ Bài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit