Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 2 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang19–20 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 6.31★★Trang 19— Phương trình mũ đưa về cùng cơ số

Bài 6.31 (trang 19). Giải các phương trình mũ sau:
a)

4^{2 x - 1} = 8^{x + 3}

; b)

9^{2 x} \cdot 2 7^{x^{2}} = \frac{1}{3}

;
c)

(e^{4})^{x} \cdot e^{x^{2}} = e^{12}

; d)

5^{2 x - 1} = 20

Kiến thức cần nhớ

$a^{u} = a^{v} \Leftrightarrow u = v$ $(0 < a \neq = 1)$ ; $a^{x} = b$ $(b > 0)$ $\Leftrightarrow x = lo g_{a} b$ .
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$ ; $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ .
$a x^{2} + b x + c = 0$ có $a - b + c = 0$ thì nghiệm $x = - 1$ , $x = - \frac{c}{a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

a, b, c: các cơ số

4, 8

;

9, 27, \frac{1}{3}

;

e

đều là lũy thừa của

2

3

e

— đưa về cùng cơ số, câu b và c ra phương trình bậc hai của số mũ. Câu d vế phải

20

không phải lũy thừa của

5

nên lôgarit hoá.

1Cách 1. Đưa về cùng cơ số

Định hướng. Viết mọi cơ số thành lũy thừa của $2$ , $3$ , $e$ , $5$ rồi so sánh số mũ.

2^{2 (2 x - 1)} = 2^{3 (x + 3)}

4 x - 2 = 3 x + 9 \Leftrightarrow x = 11

3^{4 x} \cdot 3^{3 x^{2}} = 3^{- 1}

3 x^{2} + 4 x + 1 = 0

Δ = 16 - 12 = 4

x = \frac{- 4 \pm 2}{6}

, tức

x = - \frac{1}{3}

hoặc

x = - 1

e^{4 x + x^{2}} = e^{12}

x^{2} + 4 x - 12 = 0

Δ = 64

x = 2

hoặc

x = - 6

2 x - 1 = lo g_{5} 20

x = \frac{1 + lo g _{5} 20}{2} = \frac{2 + lo g _{5} 4}{2} = 1 + lo g_{5} 2

Vậy a) $x = 11$ ; b) $x \in {- 1; - \frac{1}{3}}$ ; c) $x \in {- 6; 2}$ ; d) $x = 1 + lo g_{5} 2$ .

2Cách 2. Lôgarit hoá hai vế và tách nhân tử

Định hướng. Lấy $lo g_{2}$ , $lo g_{3}$ , $ln$ hai vế; phương trình bậc hai giải bằng tách nhân tử.

2 (2 x - 1) = 3 (x + 3) \Leftrightarrow x = 11

4 x + 3 x^{2} = - 1

3 x^{2} + 3 x + x + 1 = 0 \Leftrightarrow (3 x + 1) (x + 1) = 0

4 x + x^{2} = 12

x^{2} + 6 x - 2 x - 12 = 0 \Leftrightarrow (x + 6) (x - 2) = 0

(2 x - 1) ln 5 = ln 20

x = \frac{ln 5 + ln 20}{2 ln 5} = \frac{ln 100}{2 ln 5} = \frac{ln 10}{ln 5} = lo g_{5} 10

Vậy a) $x = 11$ ; b) $x = - 1$ hoặc $x = - \frac{1}{3}$ ; c) $x = - 6$ hoặc $x = 2$ ; d) $x = lo g_{5} 10$ .

3Cách 3. Đưa về dạng

a^{f (x)} = 1

Định hướng. Chuyển hết về một vế để có một lũy thừa bằng $1$ , tức số mũ bằng $0$ ; câu d gom thành $2 5^{x}$ .

\frac{2 ^{4 x - 2}}{2 ^{3 x + 9}} = 1 \Leftrightarrow 2^{x - 11} = 1 \Leftrightarrow x = 11

3^{3 x^{2} + 4 x + 1} = 1 \Leftrightarrow 3 x^{2} + 4 x + 1 = 0

3 - 4 + 1 = 0

x = - 1

x = - \frac{1}{3}

e^{x^{2} + 4 x - 12} = 1 \Leftrightarrow x^{2} + 4 x - 12 = 0

x_{1} + x_{2} = - 4

x_{1} x_{2} = - 12

x = 2

x = - 6

\frac{2 5 ^{x}}{5} = 20 \Leftrightarrow 2 5^{x} = 100 \Leftrightarrow x = lo g_{25} 100 = lo g_{5} 10

Vậy a) $x = 11$ ; b) $x \in {- 1; - \frac{1}{3}}$ ; c) $x \in {- 6; 2}$ ; d) $x = lo g_{5} 10 \approx 1, 431$ .

Nhận xét. Ba dạng đáp số câu d bằng nhau: $1 + lo g_{5} 2 = lo g_{5} 10 = lo g_{25} 100$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1; với phương trình bậc hai ở b, c thì nhẩm nghiệm như Cách 3 là nhanh nhất.

Đáp số. a)

x = 11

; b)

x = - 1

x = - \frac{1}{3}

; c)

x = - 6

x = 2

; d)

x = 1 + lo g_{5} 2 = lo g_{5} 10

Sai lầm thường gặp. Câu a viết

4^{2 x - 1} = 2^{2 x - 1}

(quên nhân

2

vào số mũ). Câu c nhầm

(e^{4})^{x} = e^{4 + x}

. Câu d chia nhầm:

2 x - 1 = \frac{20}{5} = 4

🚀 Mở rộng. Giải

4^{x} \cdot 8^{x^{2}} = 16

: đưa về

3 x^{2} + 2 x - 4 = 0

, được

x = \frac{- 1 \pm 13}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.32★★Trang 19— Phương trình lôgarit

Bài 6.32 (trang 19). Giải các phương trình lôgarit sau:
a)

lo g_{3} (4 x - 1) = 2

; b)

lo g_{2} (x^{2} - 1) = lo g_{2} (3 x + 3)

;
c)

lo g_{x} 81 = 2

; d)

lo g_{2} 8^{x} = - 3

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} u = b \Leftrightarrow u = a^{b}$ ; $lo g_{a} u = lo g_{a} v \Leftrightarrow u = v > 0$ .
$lo g_{a} b$ xác định khi $0 < a \neq = 1$ , $b > 0$ .
$lo g_{a} b^{α} = α lo g_{a} b$ .

🧠 Phân tích tư duy

a, d là dạng cơ bản; b là hai lôgarit cùng cơ số; c có ẩn ở CƠ SỐ nên điều kiện là

0 < x \neq = 1

— đây là bẫy chính. Câu b điều kiện phải có cả hai biểu thức dương.

1Cách 1. Đặt điều kiện rồi dùng định nghĩa

Định hướng. Tìm điều kiện, đưa về dạng $u = a^{b}$ hoặc $u = v$ .

x > \frac{1}{4}

4 x - 1 = 3^{2} = 9 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}

x > 1

x^{2} - 1 = 3 x + 3 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x - 4 = 0

Δ = 25

x = 4

(thoả mãn),

x = - 1

(loại)
c)

0 < x \neq = 1

x^{2} = 81 \Leftrightarrow x = 9

(

x = - 9

loại)
d)

x lo g_{2} 8 = - 3 \Leftrightarrow 3 x = - 3 \Leftrightarrow x = - 1

Vậy a) $x = \frac{5}{2}$ ; b) $x = 4$ ; c) $x = 9$ ; d) $x = - 1$ .

2Cách 2. Tách nhân tử / mũ hoá

Định hướng. b) Tách nhân tử chung $x + 1$ . c) Đổi cơ số. d) Mũ hoá.

3^{l o g_{3} (4 x - 1)} = 3^{2} \Leftrightarrow 4 x - 1 = 9 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}

(x - 1) (x + 1) = 3 (x + 1) \Leftrightarrow (x + 1) (x - 4) = 0

x = - 1

lo g_{2} 0

vô nghĩa, loại;

x = 4

lo g_{2} 15 = lo g_{2} 15

, nhận
c)

\frac{1}{lo g _{81} x} = 2 \Leftrightarrow lo g_{81} x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = 8 1^{\frac{1}{2}} = 9

8^{x} = 2^{- 3} \Leftrightarrow 2^{3 x} = 2^{- 3} \Leftrightarrow x = - 1

Vậy a) $x = \frac{5}{2}$ ; b) $x = 4$ ; c) $x = 9$ ; d) $x = - 1$ .

3Cách 3. Đưa về cùng cơ số / lôgarit tự nhiên

Định hướng. a) Viết $2 = lo g_{3} 9$ . b) Chuyển vế thành lôgarit của thương. c) Lấy $ln$ . d) Viết $8^{x} = 2^{3 x}$ .

lo g_{3} (4 x - 1) = lo g_{3} 9 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}

x > 1

lo g_{2} \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{3 ( x + 1 )} = 0 \Leftrightarrow \frac{x - 1}{3} = 1 \Leftrightarrow x = 4

\frac{ln 81}{ln x} = 2 \Leftrightarrow ln x = \frac{1}{2} ln 81 = ln 9 \Leftrightarrow x = 9

lo g_{2} 2^{3 x} = - 3 \Leftrightarrow 3 x = - 3 \Leftrightarrow x = - 1

Vậy a) $x = \frac{5}{2}$ ; b) $x = 4$ ; c) $x = 9$ ; d) $x = - 1$ .

Nhận xét. Câu d không cần điều kiện vì $8^{x} > 0$ với mọi $x$ — nghiệm âm $x = - 1$ vẫn nhận.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1; câu c nhớ điều kiện cơ số

0 < x \neq = 1

để loại

x = - 9

Đáp số. a)

x = \frac{5}{2}

; b)

x = 4

; c)

x = 9

; d)

x = - 1

Sai lầm thường gặp. Câu c nhận cả

x = - 9

(cơ số lôgarit phải dương). Câu d loại oan

x = - 1

vì tưởng "nghiệm âm thì loại". Câu b nhận

x = - 1

vì chỉ giải

x^{2} - 1 = 3 x + 3

mà không đặt điều kiện.

🚀 Mở rộng. Giải

lo g_{x} (2 x + 3) = 2

: điều kiện

0 < x \neq = 1

, được

x^{2} - 2 x - 3 = 0

, nhận

x = 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.33★★Trang 19— Bất phương trình mũ

Bài 6.33 (trang 19). Giải các bất phương trình mũ sau:
a)

2^{2 x - 3} > \frac{1}{4}

; b)

(\frac{1}{2})^{x^{2}} \geq (\frac{1}{2})^{5 x - 6}

;
c)

2 5^{x} \leq 5^{4 x - 3}

; d)

9^{x} - 3^{x} - 6 \leq 0

Kiến thức cần nhớ

$a > 1$ : $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u > v$ ; $0 < a < 1$ : $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u < v$ .
$a^{2 x} = (a^{x})^{2}$ ; $a^{x} > 0$ với mọi $x$ .
Tam thức $a t^{2} + b t + c$ ( $a > 0$ ) không dương giữa hai nghiệm.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.34★★★Trang 19— Bất phương trình lôgarit

Bài 6.34 (trang 19). Giải các bất phương trình lôgarit sau:
a)

lo g_{3} (2 x + 1) \geq 2

; b)

lo g_{2} (3 x - 1) < lo g_{2} (9 - 2 x)

;
c)

lo g_{\frac{1}{2}} (x + 1) \leq lo g_{\frac{1}{2}} (4 x - 5)

; d)

lo g_{2} (2 x - 1) \leq lo g_{4} (x + 1)^{2}

Kiến thức cần nhớ

$a > 1$ : $lo g_{a} u > lo g_{a} v \Leftrightarrow u > v > 0$ ; $0 < a < 1$ : $lo g_{a} u > lo g_{a} v \Leftrightarrow 0 < u < v$ .
$lo g_{a^{2}} u^{2} = lo g_{a} ∣ u ∣$ .
$lo g_{a} u \geq b$ $(a > 1) \Leftrightarrow u \geq a^{b}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.35★★Trang 19— Tập xác định của hàm số mũ, lôgarit

Bài 6.35 (trang 19). Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a)

y = \frac{1}{3 ^{x} - 9}

; b)

y = ln (4 - x^{2})

;
c)

y = lo g \frac{1}{5 - x}

; d)

y = \frac{2}{lo g _{4} ( x - 1 )}

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} u$ xác định $\Leftrightarrow u > 0$ .
$\frac{A}{B}$ xác định $\Leftrightarrow B \neq = 0$ .
$lo g_{a} u = 0 \Leftrightarrow u = 1$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.36★★Trang 19— Phương trình mũ trong thực tế

Bài 6.36 (trang 19). Áp suất khí quyển

p

lên một vật giảm khi độ cao tăng dần. Giả sử áp suất này (tính bằng milimét thuỷ ngân) được biểu diễn theo độ cao

h

(tính bằng kilômét) so với mực nước biển bằng công thức

p (h) = 760 \cdot e^{- 0, 145 h}

.
a) Một máy bay đang chịu áp suất khí quyển 320 mmHg. Tìm độ cao của máy bay đó.
b) Một người đứng trên đỉnh của một ngọn núi và chịu áp suất khí quyển 667 mmHg. Tìm chiều cao của ngọn núi này.

Kiến thức cần nhớ

$e^{u} = b$ $(b > 0) \Leftrightarrow u = ln b$ .
$- ln \frac{a}{b} = ln \frac{b}{a}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.37★★Trang 19— Phương trình mũ trong thực tế — khấu hao

Bài 6.37 (trang 19). Giả sử giá trị còn lại

V

(triệu đồng) của một chiếc ô tô nào đó sau

t

năm được cho bằng công thức

V (t) = 730 \cdot (0, 82)^{t}

.
a) Theo mô hình này, khi nào chiếc xe có giá trị 500 triệu đồng?
b) Theo mô hình này, khi nào chiếc xe có giá trị 200 triệu đồng?
(Kết quả của câu a và câu b được tính tròn năm).

Kiến thức cần nhớ

$a^{u} = a^{v} \Leftrightarrow u = v$ $(0 < a \neq = 1)$ ; $a^{x} = b$ $(b > 0)$ $\Leftrightarrow x = lo g_{a} b$ .
$lo g_{a} b = \frac{ln b}{ln a}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.38★Trang 20— Tính giá trị hàm mũ trong thực tế

Bài 6.38 (trang 20). Giả sử tổng chi phí hoạt động (đơn vị tỉ đồng) trong một năm của một công ty được tính bằng công thức

C (t) = 90 - 50 e^{- t}

, trong đó

t

là thời gian tính bằng năm kể từ khi công ty được thành lập. Tính chi phí hoạt động của công ty đó vào năm thứ 10 sau khi thành lập (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).

Kiến thức cần nhớ

$e^{- t} = \frac{1}{e ^{t}}$ .
$e \approx 2, 71828$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 6.39★★Trang 20— Bất phương trình lôgarit — độ pH

Bài 6.39 (trang 20). Nhắc lại rằng độ pH của một dung dịch được tính bằng công thức

pH = - lo g [H^{+}]

, ở đó

[H^{+}]

là nồng độ ion hydrogen của dung dịch tính bằng mol/lít. Biết rằng máu của người bình thường có độ pH từ 7,30 đến 7,45. Hỏi nồng độ ion hydrogen trong máu người bình thường nhận giá trị trong đoạn nào?

Kiến thức cần nhớ

$[H^{+}] = 1 0^{- pH}$ .
$lo g u \leq b \Leftrightarrow 0 < u \leq 1 0^{b}$ .
$1 0^{t}$ đồng biến.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 6.40★★Trang 20— Phương trình, bất phương trình lôgarit — mức cường độ âm

Bài 6.40 (trang 20). Nhắc lại rằng mức cường độ âm (đo bằng dB) được tính bởi công thức

L = 10 lo g \frac{I}{I _{0}}

, trong đó

I

là cường độ âm tính theo W/m² và

I_{0} = 1 0^{- 12}

W/m².
a) Tính cường độ âm của âm thanh tàu điện ngầm có mức cường độ âm là 100 dB.
b) Âm thanh trên một tuyến đường giao thông có mức cường độ âm thay đổi từ 70 dB đến 85 dB. Hỏi cường độ âm thay đổi trong đoạn nào?

Kiến thức cần nhớ