Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 2 · 17 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngVI #SGK_Tập2 #trang20–24 #CùngBàiBênSBT

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Mở đầu★★Trang 20— Bất phương trình mũ trong bài toán thực tế

Mở đầu (trang 20). Giả sử giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc xe ô tô sau

t

năm sử dụng được mô hình hoá bằng công thức:

V (t) = 780 \cdot (0, 905)^{t}

. Hỏi nếu theo mô hình này, sau bao nhiêu năm sử dụng thì giá trị của chiếc xe đó còn lại không quá 300 triệu đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Kiến thức cần nhớ

$a > 1$ : $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u > v$ ; $0 < a < 1$ : $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u < v$ .
$a^{x} \leq b$ $(0 < a < 1, b > 0) \Leftrightarrow x \geq lo g_{a} b$ .
$lo g_{a} b = \frac{ln b}{ln a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

"Không quá 300" nghĩa là

V (t) \leq 300

— một bất phương trình mũ với cơ số

0, 905

nhỏ hơn

1

. Cô lập lũy thừa rồi lấy lôgarit; mấu chốt là cơ số (hoặc

ln 0, 905

) âm nên phải đổi chiều bất đẳng thức.

1Cách 1. Đưa về bất phương trình mũ cơ bản

Định hướng. Chia hai vế cho $780$ để còn $(0, 905)^{t} \leq \frac{5}{13}$ , rồi dùng cơ số $0, 905 < 1$ .

780 \cdot (0, 905)^{t} \leq 300

\Leftrightarrow (0, 905)^{t} \leq \frac{300}{780} = \frac{5}{13}

\Leftrightarrow t \geq lo g_{0, 905} \frac{5}{13} \approx 9, 57

Vậy sau khoảng $10$ năm sử dụng, giá trị chiếc xe còn lại không quá 300 triệu đồng.

2Cách 2. Lấy lôgarit tự nhiên hai vế

Định hướng. Lấy $ln$ hai vế (hàm $ln$ đồng biến nên giữ chiều), rồi chia cho $ln 0, 905 < 0$ thì đổi chiều.

(0, 905)^{t} \leq \frac{5}{13}

\Leftrightarrow t ln 0, 905 \leq ln \frac{5}{13}

\Leftrightarrow t \geq \frac{ln \frac{5}{13}}{ln 0 , 905} \approx \frac{- 0 , 9555}{- 0 , 0998} \approx 9, 57

Vậy $t \approx 10$ năm.

3Cách 3. Tính giá trị tại các năm nguyên và dùng tính đơn điệu

Định hướng. $V (t)$ nghịch biến (cơ số $0, 905 < 1$ ) nên chỉ cần tìm năm đầu tiên $V \leq 300$ .

V (9) = 780 \cdot (0, 905)^{9} \approx 317, 64 > 300

V (10) = 780 \cdot (0, 905)^{10} \approx 287, 46 \leq 300

Vậy từ khoảng năm thứ $10$ trở đi giá trị xe không quá 300 triệu đồng.

Nhận xét. Cách 3 kiểm tra lại đáp án làm tròn của Cách 1: nghiệm thực $t \approx 9, 57$ nằm giữa $9$ và $10$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng biến đổi, chỉ cần nhớ cơ số nhỏ hơn

1

thì đổi chiều.

Đáp số.

t \geq lo g_{0, 905} \frac{5}{13} \approx 9, 57

; sau khoảng

10

năm.

Sai lầm thường gặp. Quên đổi chiều khi cơ số

0, 905 < 1

(hoặc khi chia cho

ln 0, 905 < 0

), ra

t \leq 9, 57

— nghĩa là xe "mới mua đã rẻ", vô lí vì

V (0) = 780

🚀 Mở rộng. Sau bao nhiêu năm giá trị xe còn một nửa? Giải

(0, 905)^{t} = \frac{1}{2}

được

t = lo g_{0, 905} 0, 5 \approx 6, 94

năm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ1★Trang 20— Phương trình mũ đưa về cùng cơ số

HĐ1 (trang 20). Nhận biết nghiệm của phương trình mũ. Xét phương trình:

2^{x + 1} = \frac{1}{4}

.
a) Khi viết

\frac{1}{4}

thành luỹ thừa của 2 thì phương trình trên trở thành phương trình nào?
b) So sánh số mũ của 2 ở hai vế của phương trình nhận được ở câu a để tìm

x

Kiến thức cần nhớ

$a^{u} = a^{v} \Leftrightarrow u = v$ $(0 < a \neq = 1)$ ; $a^{x} = b$ $(b > 0)$ $\Leftrightarrow x = lo g_{a} b$ .
$\frac{1}{a ^{n}} = a^{- n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vế phải

\frac{1}{4}

là lũy thừa của

2

— dấu hiệu đưa hai vế về cùng cơ số. Hàm

2^{x}

đơn ánh nên hai lũy thừa bằng nhau khi và chỉ khi số mũ bằng nhau.

1Cách 1. Đưa về cùng cơ số 2

Định hướng. Viết $\frac{1}{4} = 2^{- 2}$ rồi so sánh số mũ.

2^{x + 1} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow 2^{x + 1} = 2^{- 2}

x + 1 = - 2 \Leftrightarrow x = - 3

Vậy a) $2^{x + 1} = 2^{- 2}$ ; b) $x = - 3$ .

2Cách 2. Lấy lôgarit cơ số 2 hai vế

Định hướng. Lấy $lo g_{2}$ hai vế để hạ số mũ xuống.

lo g_{2} 2^{x + 1} = lo g_{2} \frac{1}{4}

x + 1 = - 2

x = - 3

Vậy $x = - 3$ .

3Cách 3. Nhẩm nghiệm và dùng tính đơn điệu

Định hướng. $y = 2^{x + 1}$ đồng biến trên $R$ nên phương trình có không quá một nghiệm; nhẩm một nghiệm là xong.

2^{- 3 + 1} = 2^{- 2} = \frac{1}{4}

y = 2^{x + 1}

đồng biến

\Rightarrow

x = - 3

là nghiệm duy nhất

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = - 3$ .

Nhận xét. Ba cách tương ứng ba ý: cùng cơ số — lôgarit hoá — tính đơn điệu; cả ba đều dùng cho mọi phương trình mũ cơ bản.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1: nhìn ra

\frac{1}{4} = 2^{- 2}

là xong trong một dòng.

Đáp số. a)

2^{x + 1} = 2^{- 2}

; b)

x = - 3

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm

\frac{1}{4} = 2^{2}

hoặc

\frac{1}{4} = 2^{- 4}

, ra

x = 1

hoặc

x = - 5

; thử lại

2^{1 + 1} = 4 \neq = \frac{1}{4}

sẽ thấy sai.

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

a^{f (x)} = a^{g (x)} \Leftrightarrow f (x) = g (x)

với

0 < a \neq = 1

; thử với

3^{x^{2}} = 3^{x + 2}

được

x = - 1

hoặc

x = 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Luyện tập 1★★Trang 21— Phương trình mũ: cùng cơ số và lôgarit hoá

Luyện tập 1 (trang 21). Giải các phương trình sau:
a)

2^{3 x - 1} = \frac{1}{2 ^{x + 1}}

; b)

2 e^{2 x} = 5

Kiến thức cần nhớ

$a^{u} = a^{v} \Leftrightarrow u = v$ $(0 < a \neq = 1)$ ; $a^{x} = b$ $(b > 0)$ $\Leftrightarrow x = lo g_{a} b$ .
$ln e^{u} = u$ ; $ln (ab) = ln a + ln b$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a hai vế đều là lũy thừa cơ số

2

nên đưa về cùng cơ số. Câu b vế phải

\frac{5}{2}

không phải lũy thừa đẹp của

e

— phải lôgarit hoá, nghiệm để dưới dạng

ln

1Cách 1. Đưa về cùng cơ số / phương trình mũ cơ bản

Định hướng. a) Viết $\frac{1}{2 ^{x + 1}} = 2^{- x - 1}$ . b) Chia $2$ để có $e^{2 x} = \frac{5}{2}$ .

2^{3 x - 1} = 2^{- x - 1}

3 x - 1 = - x - 1

4 x = 0 \Leftrightarrow x = 0

e^{2 x} = \frac{5}{2}

2 x = ln \frac{5}{2}

x = \frac{1}{2} ln \frac{5}{2}

Vậy a) $x = 0$ ; b) $x = \frac{1}{2} ln \frac{5}{2} \approx 0, 458$ .

2Cách 2. Lấy lôgarit hai vế

Định hướng. Lấy $lo g_{2}$ hai vế ở câu a, $ln$ hai vế ở câu b.

lo g_{2} 2^{3 x - 1} = lo g_{2} 2^{- (x + 1)}

3 x - 1 = - (x + 1)

x = 0

ln (2 e^{2 x}) = ln 5

ln 2 + 2 x = ln 5

x = \frac{ln 5 - ln 2}{2}

Vậy a) $x = 0$ ; b) $x = \frac{ln 5 - ln 2}{2} = \frac{1}{2} ln \frac{5}{2}$ .

3Cách 3. Nhân chéo và đặt ẩn phụ

Định hướng. a) Nhân hai vế với $2^{x + 1} > 0$ để gộp thành một lũy thừa. b) Đặt $u = e^{x} > 0$ .

2^{3 x - 1} \cdot 2^{x + 1} = 1

2^{4 x} = 2^{0}

x = 0

u = e^{x} > 0

2 u^{2} = 5

u = \frac{5}{2}

x = ln \frac{5}{2} = \frac{1}{2} ln \frac{5}{2}

Vậy a) $x = 0$ ; b) $x = \frac{1}{2} ln \frac{5}{2}$ .

Nhận xét. Ở câu b loại nghiệm $u = - \frac{5}{2}$ vì $e^{x}$ luôn dương.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Câu a dùng Cách 1 (cùng cơ số), câu b dùng Cách 1 hoặc 2 — đều chỉ hai dòng.

Đáp số. a)

x = 0

; b)

x = \frac{1}{2} ln \frac{5}{2}

Sai lầm thường gặp. Câu b hay lấy

ln

ngay mà quên hệ số

2

: viết

2 \cdot 2 x = ln 5

, ra

x = \frac{ln 5}{4} \approx 0, 402

— sai vì

ln (2 e^{2 x}) = ln 2 + 2 x

chứ không phải

2 \cdot 2 x

🚀 Mở rộng. Giải

3 e^{2 x} - 4 e^{x} + 1 = 0

: đặt

u = e^{x}

được

u = 1

hoặc

u = \frac{1}{3}

, tức

x = 0

hoặc

x = - ln 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ2★Trang 21— Phương trình lôgarit cơ bản

HĐ2 (trang 21). Nhận biết nghiệm của phương trình lôgarit. Xét phương trình:

2 lo g_{2} x = - 3

.
a) Từ phương trình trên, hãy tính

lo g_{2} x

.
b) Từ kết quả ở câu a và sử dụng định nghĩa lôgarit, hãy tìm

x

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} u = b \Leftrightarrow u = a^{b}$ ; $lo g_{a} u = lo g_{a} v \Leftrightarrow u = v > 0$ .
$α lo g_{a} x = lo g_{a} x^{α}$ ; $lo g_{a^{α}} x = \frac{1}{α} lo g_{a} x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chia

2

để về dạng cơ bản

lo g_{2} x = b

; định nghĩa lôgarit cho ngay

x = 2^{b}

. Điều kiện

x > 0

phải nhớ vì biến nằm dưới dấu lôgarit.

1Cách 1. Về dạng cơ bản rồi dùng định nghĩa

Định hướng. Điều kiện $x > 0$ ; chia hai vế cho $2$ .

lo g_{2} x = - \frac{3}{2}

x = 2^{- \frac{3}{2}} = \frac{1}{2 2} = \frac{2}{4}

Vậy a) $lo g_{2} x = - \frac{3}{2}$ ; b) $x = \frac{2}{4}$ (thoả mãn $x > 0$ ).

2Cách 2. Đưa hệ số vào trong lôgarit

Định hướng. $2 lo g_{2} x = lo g_{2} x^{2}$ khi $x > 0$ , rồi dùng định nghĩa.

lo g_{2} x^{2} = - 3

x^{2} = 2^{- 3} = \frac{1}{8}

x = \frac{1}{2 2} = \frac{2}{4}

(vì

x > 0

)

Vậy $x = \frac{2}{4}$ .

3Cách 3. Đổi sang cơ số

2

Định hướng. $2 lo g_{2} x = lo g_{2} x$ nên phương trình thành dạng cơ bản cơ số $2$ .

lo g_{2} x = - 3

x = (2)^{- 3} = \frac{1}{2 2}

x = \frac{2}{4}

Vậy $x = \frac{2}{4}$ .

Nhận xét. Cách 2 phải loại $x = - \frac{2}{4}$ nhờ điều kiện; Cách 1 và 3 không sinh nghiệm ngoại lai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1: đúng tinh thần câu hỏi, không phát sinh nghiệm thừa.

Đáp số. a)

lo g_{2} x = - \frac{3}{2}

; b)

x = \frac{2}{4}

Sai lầm thường gặp. Nhầm định nghĩa, viết

x = (- \frac{3}{2})^{2}

hoặc

x = 2 \cdot (- \frac{3}{2})

; ở Cách 2 giữ cả

x = - \frac{2}{4}

— giá trị âm không nằm trong tập xác định của

lo g_{2} x

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

k lo g_{a} x = b \Leftrightarrow x = a^{\frac{b}{k}}

(k \neq = 0)

; thử

3 lo g_{3} x = 2

được

x = 39

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 2★★Trang 22— Phương trình lôgarit: dạng cơ bản và gộp lôgarit

Luyện tập 2 (trang 22). Giải các phương trình sau:
a)

4 - lo g (3 - x) = 3

; b)

lo g_{2} (x + 2) + lo g_{2} (x - 1) = 1

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} u = b \Leftrightarrow u = a^{b}$ ; $lo g_{a} u = lo g_{a} v \Leftrightarrow u = v > 0$ .
$lo g_{a} u + lo g_{a} v = lo g_{a} (uv)$ $(u, v > 0)$ .
$a x^{2} + b x + c = 0$ : $Δ = b^{2} - 4 a c$ , $x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a chỉ có một lôgarit — chuyển vế về dạng cơ bản

lo g (3 - x) = 1

. Câu b có tổng hai lôgarit cùng cơ số nên gộp thành lôgarit của tích; bắt buộc đặt điều kiện trước vì phép gộp làm rộng tập xác định.

1Cách 1. Đặt điều kiện, đưa về dạng cơ bản

Định hướng. a) Điều kiện $x < 3$ . b) Điều kiện $x > 1$ , gộp thành lôgarit của tích.

lo g (3 - x) = 1

3 - x = 10

x = - 7

(thoả mãn)
b)

lo g_{2} [(x + 2) (x - 1)] = 1

(x + 2) (x - 1) = 2

x^{2} + x - 4 = 0

Δ = 1 + 16 = 17

x = \frac{- 1 + 17}{2}

(thoả mãn) hoặc

x = \frac{- 1 - 17}{2}

(loại)

Vậy a) $x = - 7$ ; b) $x = \frac{- 1 + 17}{2}$ .

2Cách 2. Đưa về cùng cơ số hai vế

Định hướng. Viết hằng số thành lôgarit cùng cơ số: $1 = lo g 10$ , $1 = lo g_{2} 2$ .

lo g (3 - x) = lo g 10

3 - x = 10 \Leftrightarrow x = - 7

lo g_{2} (x + 2) = lo g_{2} 2 - lo g_{2} (x - 1) = lo g_{2} \frac{2}{x - 1}

x + 2 = \frac{2}{x - 1}

x^{2} + x - 4 = 0

(x + \frac{1}{2})^{2} = \frac{17}{4}

x = - \frac{1}{2} + \frac{17}{2}

(vì

x > 1

)

Vậy a) $x = - 7$ ; b) $x = \frac{- 1 + 17}{2}$ .

3Cách 3. Tính đơn điệu

Định hướng. Vế trái mỗi phương trình là hàm đồng biến trên tập xác định nên có không quá một nghiệm.

f (x) = 4 - lo g (3 - x)

đồng biến trên

(- \infty; 3)

f (- 7) = 4 - lo g 10 = 3

\Rightarrow

x = - 7

duy nhất
b)

g (x) = lo g_{2} (x + 2) + lo g_{2} (x - 1)

đồng biến trên

(1; + \infty)

g (x) = 1 \Leftrightarrow (x + 2) (x - 1) = 2

x > 1

x = \frac{- 1 + 17}{2} \approx 1, 56

là nghiệm duy nhất

Vậy a) $x = - 7$ ; b) $x = \frac{- 1 + 17}{2}$ .

Nhận xét. Tính đơn điệu giải thích vì sao ở câu b chỉ còn đúng một nghiệm sau khi loại nghiệm âm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1: đặt điều kiện trước rồi biến đổi — chuẩn trình bày và không sót bước loại nghiệm.

Đáp số. a)

x = - 7

; b)

x = \frac{- 1 + 17}{2}

Sai lầm thường gặp. Câu b không đặt điều kiện nên giữ cả

x = \frac{- 1 - 17}{2} \approx - 2, 56

; khi đó

x + 2 < 0

nên

lo g_{2} (x + 2)

không xác định. Câu a hay viết

3 - x = 1

(quên lôgarit thập phân có cơ số

10

🚀 Mở rộng. Giải

lo g_{3} x + lo g_{3} (x + 8) = 2

: điều kiện

x > 0

, được

x^{2} + 8 x - 9 = 0

, nhận

x = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · HĐ3★Trang 22— Bất phương trình mũ cơ bản — đọc đồ thị

HĐ3 (trang 22). Nhận biết nghiệm của bất phương trình mũ. Cho đồ thị của các hàm số

y = 2^{x}

và

y = 4

như Hình 6.7. Tìm khoảng giá trị của

x

mà đồ thị hàm số

y = 2^{x}

nằm phía trên đường thẳng

y = 4

và từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình

2^{x} > 4

Kiến thức cần nhớ

$a > 1$ : $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u > v$ ; $0 < a < 1$ : $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u < v$ .
$a^{x} > b$ $(a > 1, b > 0) \Leftrightarrow x > lo g_{a} b$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ

x = 2

(vì

2^{2} = 4

). Hàm

y = 2^{x}

đồng biến nên bên phải giao điểm đồ thị nằm trên đường thẳng.

1Cách 1. Đọc đồ thị

Định hướng. Tìm giao điểm rồi nhìn phần đồ thị nằm trên đường thẳng $y = 4$ .

2^{x} = 4 \Leftrightarrow x = 2

: giao điểm

(2; 4)

x > 2

: đồ thị

y = 2^{x}

nằm trên đường thẳng

y = 4

Vậy đồ thị nằm phía trên khi $x > 2$ ; tập nghiệm $S = (2; + \infty)$ .

2Cách 2. Đưa về cùng cơ số

Định hướng. Viết $4 = 2^{2}$ , cơ số $2 > 1$ nên giữ chiều.

2^{x} > 4 \Leftrightarrow 2^{x} > 2^{2}

\Leftrightarrow x > 2

Vậy $S = (2; + \infty)$ .

3Cách 3. Lấy lôgarit cơ số 2

Định hướng. $lo g_{2}$ đồng biến nên giữ chiều bất đẳng thức.

lo g_{2} 2^{x} > lo g_{2} 4

x > 2

Vậy $S = (2; + \infty)$ .

Nhận xét. Phần tô đậm trên trục $O x$ trong hình chính là tập nghiệm; điểm $x = 2$ vẽ rỗng vì bất đẳng thức ngặt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một dòng; Cách 1 dùng để hiểu vì sao cơ số lớn hơn 1 thì giữ chiều.

Đáp số.

x > 2

;

S = (2; + \infty)

Sai lầm thường gặp. Lấy nhầm

S = [2; + \infty)

: tại

x = 2

thì

2^{x} = 4

, không lớn hơn

4

🚀 Mở rộng. Làm tương tự với

(\frac{1}{2})^{x} > 4

: đồ thị nghịch biến nên tập nghiệm là

(- \infty; - 2)

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Luyện tập 3★★Trang 23— Bất phương trình mũ: cùng cơ số và lôgarit hoá

Luyện tập 3 (trang 23). Giải các bất phương trình sau:
a)

0, 1^{2 x - 1} \leq 0, 1^{2 - x}

; b)

3 \cdot 2^{x + 1} \leq 1

Kiến thức cần nhớ

$a > 1$ : $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u > v$ ; $0 < a < 1$ : $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u < v$ .
$a^{x} \leq b$ $(a > 1, b > 0) \Leftrightarrow x \leq lo g_{a} b$ .
$lo g_{2} \frac{1}{3} = - lo g_{2} 3$ ; $lo g_{2} 6 = 1 + lo g_{2} 3$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a hai vế cùng cơ số

0, 1 < 1

nên so sánh số mũ và đổi chiều. Câu b cô lập

2^{x + 1} \leq \frac{1}{3}

, vế phải không là lũy thừa đẹp của

2

nên nghiệm chứa

lo g_{2} 3

1Cách 1. Bất phương trình mũ cơ bản

Định hướng. a) Cơ số $0, 1 < 1$ : đổi chiều. b) Chia $3$ , cơ số $2 > 1$ : giữ chiều.

2 x - 1 \geq 2 - x

3 x \geq 3 \Leftrightarrow x \geq 1

2^{x + 1} \leq \frac{1}{3}

x + 1 \leq lo g_{2} \frac{1}{3} = - lo g_{2} 3

x \leq - 1 - lo g_{2} 3

Vậy a) $S = [1; + \infty)$ ; b) $S = (- \infty; - 1 - lo g_{2} 3]$ .

2Cách 2. Lấy lôgarit hai vế

Định hướng. a) Lấy $lo g$ (thập phân) hai vế, $lo g 0, 1 = - 1$ . b) Lấy $ln$ hai vế.

(2 x - 1) lo g 0, 1 \leq (2 - x) lo g 0, 1

- (2 x - 1) \leq - (2 - x)

x \geq 1

ln 3 + (x + 1) ln 2 \leq 0

x + 1 \leq - \frac{ln 3}{ln 2}

x \leq - 1 - lo g_{2} 3 \approx - 2, 585

Vậy a) $x \geq 1$ ; b) $x \leq - 1 - lo g_{2} 3$ .

3Cách 3. Đổi cơ số trước khi so sánh

Định hướng. a) $0, 1 = 1 0^{- 1}$ để về cơ số lớn hơn 1. b) Gộp $3 \cdot 2 = 6$ rồi so sánh $2^{x}$ với $\frac{1}{6}$ .

1 0^{1 - 2 x} \leq 1 0^{x - 2}

1 - 2 x \leq x - 2

x \geq 1

6 \cdot 2^{x} \leq 1

2^{x} \leq \frac{1}{6}

x \leq - lo g_{2} 6 = - 1 - lo g_{2} 3

Vậy a) $S = [1; + \infty)$ ; b) $S = (- \infty; - lo g_{2} 6]$ .

Nhận xét. Hai dạng đáp số $- 1 - lo g_{2} 3$ và $- lo g_{2} 6$ bằng nhau; Cách 3 câu a tránh hẳn việc đổi chiều nên khó sai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1, nhưng ai hay quên đổi chiều thì Cách 3 (đổi về cơ số

10 > 1

) an toàn hơn.

Đáp số. a)

S = [1; + \infty)

; b)

S = (- \infty; - 1 - lo g_{2} 3]

Sai lầm thường gặp. Câu a giữ nguyên chiều, ra

x \leq 1

— thử

x = 0

0, 1^{- 1} = 10 > 0, 1^{2} = 0, 01

, không thoả. Câu b viết

x + 1 \leq lo g_{2} 3

(quên dấu trừ).

🚀 Mở rộng. Giải

0, 5^{x^{2}} \geq 0, 5^{x + 2}

: được

x^{2} \leq x + 2

, tức

- 1 \leq x \leq 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · HĐ4★Trang 23— Bất phương trình lôgarit cơ bản — đọc đồ thị

HĐ4 (trang 23). Nhận biết nghiệm của bất phương trình lôgarit. Cho đồ thị của các hàm số

y = lo g_{2} x

và

y = 2

như Hình 6.8. Tìm khoảng giá trị của

x

mà đồ thị hàm số

y = lo g_{2} x

nằm phía trên đường thẳng

y = 2

và từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình

lo g_{2} x > 2

Kiến thức cần nhớ

$a > 1$ : $lo g_{a} u > lo g_{a} v \Leftrightarrow u > v > 0$ ; $0 < a < 1$ : $lo g_{a} u > lo g_{a} v \Leftrightarrow 0 < u < v$ .
$lo g_{a} x > b$ $(a > 1) \Leftrightarrow x > a^{b}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Giao điểm có hoành độ

x = 2^{2} = 4

. Hàm

lo g_{2} x

đồng biến trên

(0; + \infty)

nên đồ thị nằm trên đường thẳng ở bên phải giao điểm.

1Cách 1. Đọc đồ thị

Định hướng. Tìm giao điểm của hai đồ thị rồi nhìn phần nằm trên.

lo g_{2} x = 2 \Leftrightarrow x = 4

: giao điểm

(4; 2)

x > 4

: đồ thị

y = lo g_{2} x

nằm trên đường thẳng

y = 2

Vậy đồ thị nằm phía trên khi $x > 4$ ; $S = (4; + \infty)$ .

2Cách 2. Đưa về cùng cơ số

Định hướng. Viết $2 = lo g_{2} 4$ , cơ số $2 > 1$ giữ chiều.

lo g_{2} x > lo g_{2} 4

\Leftrightarrow x > 4

Vậy $S = (4; + \infty)$ .

3Cách 3. Mũ hoá hai vế

Định hướng. Hàm $2^{t}$ đồng biến nên nâng hai vế lên lũy thừa cơ số $2$ vẫn giữ chiều.

2^{l o g_{2} x} > 2^{2}

(với

x > 0

)

x > 4

Vậy $S = (4; + \infty)$ .

Nhận xét. Điều kiện $x > 0$ tự thoả vì $x > 4$ ; với cơ số nhỏ hơn 1 mới cần giữ thêm $x > 0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đúng một dòng.

Đáp số.

x > 4

;

S = (4; + \infty)

Sai lầm thường gặp. Viết

lo g_{2} x > 2 \Leftrightarrow x > 2 \cdot 2 = 4

(đúng số nhưng sai lí do — với

lo g_{2} x > 3

sẽ ra

6

thay vì

8

), hoặc đảo vai trò cơ số và biến thành

x > lo g_{2} 2 = 1

🚀 Mở rộng. Với

lo g_{\frac{1}{2}} x > 2

thì đồ thị nghịch biến, tập nghiệm là

(0; \frac{1}{4})

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 4★★★Trang 24— Bất phương trình lôgarit khác cơ số

Luyện tập 4 (trang 24). Giải các bất phương trình sau:
a)

lo g_{\frac{1}{7}} (x + 1) > lo g_{7} (2 - x)

; b)

2 lo g (2 x + 1) > 3

Kiến thức cần nhớ

$a > 1$ : $lo g_{a} u > lo g_{a} v \Leftrightarrow u > v > 0$ ; $0 < a < 1$ : $lo g_{a} u > lo g_{a} v \Leftrightarrow 0 < u < v$ .
$lo g_{\frac{1}{a}} u = - lo g_{a} u = lo g_{a} \frac{1}{u}$ .
$lo g_{a} u < 0$ $(a > 1) \Leftrightarrow 0 < u < 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a hai lôgarit có cơ số nghịch đảo nhau (

\frac{1}{7}

và

7

) — dấu hiệu dùng

lo g_{\frac{1}{7}} u = - lo g_{7} u

để về cùng cơ số. Câu b chia

2

về dạng cơ bản. Bẫy: điều kiện của câu a là

- 1 < x < 2

, phải giao với nghiệm cuối.

1Cách 1. Đưa về cơ số 7 và gộp tích

Định hướng. a) Điều kiện $- 1 < x < 2$ ; chuyển về $lo g_{7}$ của tích nhỏ hơn $0$ . b) Điều kiện $x > - \frac{1}{2}$ .

- lo g_{7} (x + 1) > lo g_{7} (2 - x)

lo g_{7} [(x + 1) (2 - x)] < 0

(x + 1) (2 - x) < 1

x^{2} - x - 1 > 0

Δ = 5

x < \frac{1 - 5}{2}

hoặc

x > \frac{1 + 5}{2}

Kết hợp

- 1 < x < 2

- 1 < x < \frac{1 - 5}{2}

hoặc

\frac{1 + 5}{2} < x < 2

lo g (2 x + 1) > \frac{3}{2}

2 x + 1 > 1 0^{\frac{3}{2}} = 1010

x > \frac{10 10 - 1}{2}

Vậy a) $S = (- 1; \frac{1 - 5}{2}) \cup (\frac{1 + 5}{2}; 2)$ ; b) $S = (\frac{10 10 - 1}{2}; + \infty)$ .

2Cách 2. Đưa về cơ số

\frac{1}{7}

/ lũy thừa bậc hai

Định hướng. a) Viết $lo g_{7} (2 - x) = lo g_{\frac{1}{7}} \frac{1}{2 - x}$ rồi dùng cơ số nhỏ hơn 1. b) Đưa $2$ vào trong: $lo g (2 x + 1)^{2} > 3$ .

lo g_{\frac{1}{7}} (x + 1) > lo g_{\frac{1}{7}} \frac{1}{2 - x}

0 < x + 1 < \frac{1}{2 - x}

(với

x < 2

)

(x + 1) (2 - x) < 1

x^{2} - x - 1 > 0

- 1 < x < 2

lo g (2 x + 1)^{2} > 3

(với

2 x + 1 > 0

)

(2 x + 1)^{2} > 1000

2 x + 1 > 1010

x > \frac{10 10 - 1}{2} \approx 15, 31

Vậy a) $S = (- 1; \frac{1 - 5}{2}) \cup (\frac{1 + 5}{2}; 2)$ ; b) $x > \frac{10 10 - 1}{2}$ .

3Cách 3. Mũ hoá hai vế

Định hướng. a) Viết $lo g_{\frac{1}{7}} (x + 1) = lo g_{7} \frac{1}{x + 1}$ rồi mũ hoá cơ số $7$ . b) Mũ hoá cơ số $10$ .

lo g_{7} \frac{1}{x + 1} > lo g_{7} (2 - x)

\frac{1}{x + 1} > 2 - x > 0

1 > (x + 1) (2 - x)

(vì

x + 1 > 0

)

(x - \frac{1}{2})^{2} > \frac{5}{4}

x - \frac{1}{2} < - \frac{5}{2}

hoặc

x - \frac{1}{2} > \frac{5}{2}

1 0^{2 l o g (2 x + 1)} > 1 0^{3}

(2 x + 1)^{2} > 1000

2 x + 1 > 0

x > \frac{10 10 - 1}{2}

Vậy a) $S = (- 1; \frac{1 - 5}{2}) \cup (\frac{1 + 5}{2}; 2)$ ; b) $S = (\frac{10 10 - 1}{2}; + \infty)$ .

Nhận xét. Kiểm tra nhanh câu a: $x = 0$ cho $lo g_{\frac{1}{7}} 1 = 0$ và $lo g_{7} 2 > 0$ nên $x = 0$ không là nghiệm — đúng vì $0$ nằm giữa hai khoảng nghiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1: đổi về một cơ số

7 > 1

, gộp tích, chỉ còn một bất phương trình bậc hai.

Đáp số. a)

S = (- 1; \frac{1 - 5}{2}) \cup (\frac{1 + 5}{2}; 2)

; b)

S = (\frac{10 10 - 1}{2}; + \infty)

Sai lầm thường gặp. Câu a hay coi

lo g_{\frac{1}{7}}

như

lo g_{7}

rồi so sánh

x + 1 > 2 - x

, ra

x > \frac{1}{2}

— thử

x = 1

: vế trái

lo g_{\frac{1}{7}} 2 < 0

còn vế phải

lo g_{7} 1 = 0

, không thoả. Câu b quên điều kiện khi bình phương, nhận thêm

2 x + 1 < - 1010

🚀 Mở rộng. Giải

lo g_{\frac{1}{3}} (x + 2) \geq lo g_{3} (4 - x)

: điều kiện

- 2 < x < 4

, đưa về

(x + 2) (4 - x) \leq 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Vận dụng★★Trang 24— Phương trình, bất phương trình lôgarit trong thực tế

Vận dụng (trang 24). Áp suất khí quyển

p

(tính bằng kilopascal, viết tắt là kPa) ở độ cao

h

(so với mực nước biển, tính bằng km) được tính theo công thức sau:

ln (\frac{p}{100}) = - \frac{h}{7}

. (Theo britannica.com)
a) Tính áp suất khí quyển ở độ cao 4 km.
b) Ở độ cao trên 10 km thì áp suất khí quyển sẽ như thế nào?

Kiến thức cần nhớ

$ln u = b \Leftrightarrow u = e^{b}$ .
$e^{t}$ đồng biến; $e^{- t}$ nghịch biến.
$ln \frac{p}{100} = ln p - ln 100$ .

🧠 Phân tích tư duy

Công thức là phương trình lôgarit cơ bản với ẩn

p

: mũ hoá ra

p = 100 e^{- \frac{h}{7}}

. Câu b là bất phương trình:

h > 10

kéo theo

p

nhỏ hơn giá trị tại

h = 10

vì

p

nghịch biến theo

h

1Cách 1. Mũ hoá rồi thay số

Định hướng. Rút $p = 100 e^{- \frac{h}{7}}$ ; hàm này nghịch biến theo $h$ .

p = 100 e^{- \frac{h}{7}}

p (4) = 100 e^{- \frac{4}{7}} \approx 56, 47

h > 10 \Leftrightarrow - \frac{h}{7} < - \frac{10}{7}

p < 100 e^{- \frac{10}{7}} \approx 23, 97

Vậy a) ở độ cao 4 km áp suất khoảng $56, 47$ kPa; b) trên 10 km áp suất dưới khoảng $23, 97$ kPa.

2Cách 2. Tính

ln p

Định hướng. Tách $ln \frac{p}{100} = ln p - ln 100$ , tính $ln p$ rồi mới lấy mũ.

ln p = ln 100 - \frac{4}{7} \approx 4, 6052 - 0, 5714 = 4, 0338

p \approx e^{4, 0338} \approx 56, 47

h > 10

ln p < ln 100 - \frac{10}{7} \approx 3, 1766

p < e^{3, 1766} \approx 23, 97

Vậy a) $p \approx 56, 47$ kPa; b) $p < 23, 97$ kPa.

3Cách 3. Tỉ lệ giảm theo từng km

Định hướng. $p = 100 \cdot q^{h}$ với $q = e^{- \frac{1}{7}} \approx 0, 8669$ : mỗi km áp suất còn khoảng $86, 69%$ .

p (4) = 100 \cdot q^{4} \approx 100 \cdot 0, 866 9^{4} \approx 56, 47

p (10) = 100 \cdot q^{10} \approx 23, 97

0 < q < 1

\Rightarrow

h > 10

thì

q^{h} < q^{10}

Vậy a) khoảng $56, 47$ kPa; b) trên 10 km áp suất nhỏ hơn khoảng $23, 97$ kPa (chưa bằng một phần tư áp suất ở mực nước biển).

Nhận xét. Cách 3 cho cảm nhận thực tế: cứ lên cao 1 km, áp suất giảm khoảng $13%$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1: rút

p

một lần, hai câu chỉ là thay số và so sánh.

Đáp số. a)

p = 100 e^{- \frac{4}{7}} \approx 56, 47

kPa; b)

p < 100 e^{- \frac{10}{7}} \approx 23, 97

kPa.

Sai lầm thường gặp. Mũ hoá sai thành

\frac{p}{100} = - e^{\frac{h}{7}}

(âm, vô lí) hoặc

p = 100 - e^{\frac{h}{7}}

; câu b viết

p > 23, 97

vì quên

p

giảm khi

h

tăng.

🚀 Mở rộng. Ở độ cao nào áp suất còn một nửa mực nước biển? Giải

ln \frac{1}{2} = - \frac{h}{7}

được

h = 7 ln 2 \approx 4, 85

km.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 6.20★★Trang 24— Phương trình mũ

Bài 6.20 (trang 24). Giải các phương trình sau:
a)

3^{x - 1} = 27

; b)

10 0^{2 x^{2} - 3} = 0, 1^{2 x^{2} - 18}

;
c)

3 e^{3 x} = 1

; d)

5^{x} = 3^{2 x - 1}

Kiến thức cần nhớ

$a^{u} = a^{v} \Leftrightarrow u = v$ $(0 < a \neq = 1)$ ; $a^{x} = b$ $(b > 0)$ $\Leftrightarrow x = lo g_{a} b$ .
$100 = 1 0^{2}$ , $0, 1 = 1 0^{- 1}$ .
$ln a^{u} = u ln a$ $(a > 0)$ .

🧠 Phân tích tư duy

a, b: hai vế là lũy thừa của cùng một số (

3

;

10

) nên đưa về cùng cơ số. c: cô lập

e^{3 x}

rồi lấy

ln

. d: hai cơ số

5

và

3

không đưa về nhau được — phải lôgarit hoá hai vế.

1Cách 1. Đưa về cùng cơ số

Định hướng. Đưa hai vế về một cơ số rồi so sánh số mũ; câu d gom thành $(\frac{9}{5})^{x} = 3$ .

3^{x - 1} = 3^{3}

x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4

1 0^{2 (2 x^{2} - 3)} = 1 0^{- (2 x^{2} - 18)}

4 x^{2} - 6 = - 2 x^{2} + 18

x^{2} = 4 \Leftrightarrow (x - 2) (x + 2) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2

e^{3 x} = \frac{1}{3} = 3^{- \frac{1}{2}}

3 x = - \frac{1}{2} ln 3

x = - \frac{ln 3}{6}

5^{x} = \frac{9 ^{x}}{3}

(\frac{9}{5})^{x} = 3

x = lo g_{\frac{9}{5}} 3

Vậy a) $x = 4$ ; b) $x = \pm 2$ ; c) $x = - \frac{ln 3}{6}$ ; d) $x = lo g_{\frac{9}{5}} 3 \approx 1, 869$ .

2Cách 2. Lôgarit hoá hai vế

Định hướng. Lấy $lo g_{3}$ (câu a), $lo g$ (câu b), $ln$ (câu c, d) hai vế.

x - 1 = lo g_{3} 27 = 3 \Leftrightarrow x = 4

(2 x^{2} - 3) lo g 100 = (2 x^{2} - 18) lo g 0, 1

2 (2 x^{2} - 3) = - (2 x^{2} - 18)

6 x^{2} = 24 \Leftrightarrow x = \pm 2

\frac{1}{2} ln 3 + 3 x = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{ln 3}{6}

x ln 5 = (2 x - 1) ln 3

x (2 ln 3 - ln 5) = ln 3

x = \frac{ln 3}{2 ln 3 - ln 5}

Vậy a) $x = 4$ ; b) $x = \pm 2$ ; c) $x = - \frac{ln 3}{6}$ ; d) $x = \frac{ln 3}{2 ln 3 - ln 5}$ .

3Cách 3. Chọn cơ số khác

Định hướng. b) Đưa về cơ số $0, 1$ (vì $100 = 0, 1^{- 2}$ ). c) Viết $3 = e^{\frac{1}{2} l n 3}$ . d) Lấy $lo g_{3}$ hai vế.

3^{x - 1} = 27

3^{x - 1}

đồng biến và

3^{4 - 1} = 27

\Rightarrow

x = 4

0, 1^{- 2 (2 x^{2} - 3)} = 0, 1^{2 x^{2} - 18}

- 4 x^{2} + 6 = 2 x^{2} - 18 \Leftrightarrow x^{2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2

e^{3 x + \frac{1}{2} l n 3} = e^{0}

3 x + \frac{1}{2} ln 3 = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{ln 3}{6}

x lo g_{3} 5 = 2 x - 1

x = \frac{1}{2 - lo g _{3} 5}

Vậy a) $x = 4$ ; b) $x = \pm 2$ ; c) $x = - \frac{ln 3}{6}$ ; d) $x = \frac{1}{2 - lo g _{3} 5}$ .

Nhận xét. Ba dạng đáp số câu d bằng nhau: $\frac{1}{2 - lo g _{3} 5} = \frac{1}{lo g _{3} \frac{9}{5}} = lo g_{\frac{9}{5}} 3 = \frac{ln 3}{2 ln 3 - ln 5} \approx 1, 869$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Câu a, b, c dùng Cách 1; câu d dùng Cách 2 (lấy

ln

) là tự nhiên nhất khi hai cơ số không liên quan.

Đáp số. a)

x = 4

; b)

x = - 2

hoặc

x = 2

; c)

x = - \frac{ln 3}{6}

; d)

x = lo g_{\frac{9}{5}} 3 \approx 1, 869

Sai lầm thường gặp. Câu b hay viết

10 0^{2 x^{2} - 3} = 1 0^{2 x^{2} - 3}

(quên nhân

2

vào số mũ). Câu d nhầm "khác cơ số thì vô nghiệm" hoặc cho

x = 2 x - 1

(so sánh số mũ khi cơ số khác nhau).

🚀 Mở rộng. Giải

2^{x} = 3^{x - 1}

: lấy

ln

được

x = \frac{ln 3}{ln 3 - ln 2} = lo g_{\frac{3}{2}} 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 6.21★★Trang 24— Phương trình lôgarit

Bài 6.21 (trang 24). Giải các phương trình sau:
a)

lo g (x + 1) = 2

; b)

2 lo g_{4} x + lo g_{2} (x - 3) = 2

;
c)

ln x + ln (x - 1) = ln 4 x

; d)

lo g_{3} (x^{2} - 3 x + 2) = lo g_{3} (2 x - 4)

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} u = b \Leftrightarrow u = a^{b}$ ; $lo g_{a} u = lo g_{a} v \Leftrightarrow u = v > 0$ .
$lo g_{a^{2}} x = \frac{1}{2} lo g_{a} x$ .
$lo g_{a} u + lo g_{a} v = lo g_{a} (uv)$ $(u, v > 0)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mọi câu đều có ẩn dưới dấu lôgarit — việc đầu tiên là điều kiện xác định. b có hai cơ số

4

và

2

: dùng

2 lo g_{4} x = lo g_{2} x

để về cùng cơ số; c, d gộp hoặc so sánh trực tiếp hai lôgarit cùng cơ số. Bẫy: nghiệm của phương trình hệ quả có thể vi phạm điều kiện.

1Cách 1. Đặt điều kiện rồi biến đổi tương đương

Định hướng. Tìm điều kiện trước, biến đổi, cuối cùng đối chiếu.

x > - 1

x + 1 = 1 0^{2} \Leftrightarrow x = 99

(thoả mãn)
b)

x > 3

lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 3) = 2

x (x - 3) = 4 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x - 4 = 0

Δ = 25

x = 4

(thoả mãn),

x = - 1

(loại)
c)

x > 1

ln [x (x - 1)] = ln 4 x

x^{2} - x = 4 x \Leftrightarrow x^{2} - 5 x = 0

x = 0

(loại),

x = 5

(thoả mãn)
d)

x > 2

x^{2} - 3 x + 2 = 2 x - 4

x^{2} - 5 x + 6 = 0

Δ = 1

x = 3

(thoả mãn),

x = 2

(loại)

Vậy a) $x = 99$ ; b) $x = 4$ ; c) $x = 5$ ; d) $x = 3$ .

2Cách 2. Giải phương trình hệ quả rồi thử lại

Định hướng. Bỏ lôgarit để được phương trình đa thức, tách nhân tử, rồi thay từng nghiệm vào phương trình gốc.

x^{2} - 3 x - 4 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 4 x + x - 4 = 0 \Leftrightarrow (x - 4) (x + 1) = 0

x = - 1

lo g_{4} (- 1)

vô nghĩa, loại;

x = 4

2 \cdot 1 + lo g_{2} 1 = 2

, nhận
c)

x^{2} - 5 x = 0 \Leftrightarrow x (x - 5) = 0

x = 0

ln 0

vô nghĩa, loại;

x = 5

ln 5 + ln 4 = ln 20

, nhận
d)

x^{2} - 5 x + 6 = 0 \Leftrightarrow x^{2} - 2 x - 3 x + 6 = 0 \Leftrightarrow (x - 2) (x - 3) = 0

x = 2

lo g_{3} 0

vô nghĩa, loại;

x = 3

lo g_{3} 2 = lo g_{3} 2

, nhận
a)

x = 99

lo g 100 = 2

, nhận

Vậy a) $x = 99$ ; b) $x = 4$ ; c) $x = 5$ ; d) $x = 3$ .

3Cách 3. Biến đổi khéo — đưa về một lôgarit, rút gọn nhân tử chung

Định hướng. b) Đưa cả hai về cơ số $4$ . c) Chia cho $x > 0$ . d) Phân tích $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ rồi chia cho $x - 2 > 0$ .

lo g (x + 1) = lo g 100 \Leftrightarrow x + 1 = 100 \Leftrightarrow x = 99

2 lo g_{4} x + 2 lo g_{4} (x - 3) = 2 \Leftrightarrow lo g_{4} [x (x - 3)] = 1

x (x - 3) = 4

x > 3

\Rightarrow

x = 4

x (x - 1) = 4 x

x > 1

x - 1 = 4 \Leftrightarrow x = 5

(x - 1) (x - 2) = 2 (x - 2)

x > 2

x - 1 = 2 \Leftrightarrow x = 3

Vậy a) $x = 99$ ; b) $x = 4$ ; c) $x = 5$ ; d) $x = 3$ .

Nhận xét. Chia cho $x$ hay $x - 2$ chỉ hợp lệ vì điều kiện đã bảo đảm chúng dương — đó là lí do đặt điều kiện trước giúp lời giải ngắn hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1 (đặt điều kiện trước). Câu c, d thì Cách 3 chỉ hai dòng.

Đáp số. a)

x = 99

; b)

x = 4

; c)

x = 5

; d)

x = 3

Sai lầm thường gặp. Câu d nhận cả

x = 2

vì chỉ đặt điều kiện

x^{2} - 3 x + 2 > 0

mà quên

2 x - 4 > 0

(tại

x = 2

cả hai biểu thức bằng

0

). Câu b viết

2 lo g_{4} x = lo g_{2} x^{2}

(sai:

2 lo g_{4} x = lo g_{4} x^{2} = lo g_{2} x

🚀 Mở rộng. Giải

lo g_{2} x + lo g_{4} x + lo g_{8} x = 11

: đưa về

lo g_{2} x \cdot (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = 11

, được

x = 64

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 6.22★★Trang 24— Bất phương trình mũ và lôgarit

Bài 6.22 (trang 24). Giải các bất phương trình sau:
a)

0, 1^{2 - x} > 0, 1^{4 + 2 x}

; b)

2 \cdot 5^{2 x + 1} \leq 3

;
c)

lo g_{3} (x + 7) \geq - 1

; d)

lo g_{0, 5} (x + 7) \geq lo g_{0, 5} (2 x - 1)

Kiến thức cần nhớ

$a > 1$ : $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u > v$ ; $0 < a < 1$ : $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u < v$ .
$a > 1$ : $lo g_{a} u > lo g_{a} v \Leftrightarrow u > v > 0$ ; $0 < a < 1$ : $lo g_{a} u > lo g_{a} v \Leftrightarrow 0 < u < v$ .
$lo g_{a} x \geq b$ $(a > 1) \Leftrightarrow x \geq a^{b}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề trộn đủ bốn kiểu: mũ cùng cơ số nhỏ hơn 1 (a), mũ cô lập rồi lấy lôgarit (b), lôgarit cơ bản (c), lôgarit cùng cơ số nhỏ hơn 1 (d). Chìa khoá: cơ số

0, 1

và

0, 5

nhỏ hơn 1 nên đổi chiều; câu d còn phải giữ điều kiện biểu thức dưới lôgarit dương.

1Cách 1. Bất phương trình cơ bản / cùng cơ số

Định hướng. So sánh số mũ hoặc biểu thức dưới lôgarit, đổi chiều khi cơ số nhỏ hơn 1.

2 - x < 4 + 2 x \Leftrightarrow 3 x > - 2 \Leftrightarrow x > - \frac{2}{3}

5^{2 x + 1} \leq \frac{3}{2}

2 x + 1 \leq lo g_{5} \frac{3}{2}

x \leq \frac{1}{2} (lo g_{5} \frac{3}{2} - 1)

x + 7 \geq 3^{- 1} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow x \geq - \frac{20}{3}

0 < x + 7 \leq 2 x - 1

x \geq 8

Vậy a) $S = (- \frac{2}{3}; + \infty)$ ; b) $S = (- \infty; \frac{1}{2} (lo g_{5} \frac{3}{2} - 1)]$ ; c) $S = [- \frac{20}{3}; + \infty)$ ; d) $S = [8; + \infty)$ .

2Cách 2. Lôgarit hoá / đổi cơ số lớn hơn 1

Định hướng. a) Lấy $lo g$ hai vế. b) Lấy $lo g_{5}$ hai vế. c) Viết $- 1 = lo g_{3} \frac{1}{3}$ . d) Dùng $lo g_{0, 5} u = - lo g_{2} u$ .

(2 - x) lo g 0, 1 > (4 + 2 x) lo g 0, 1

- (2 - x) > - (4 + 2 x) \Leftrightarrow x > - \frac{2}{3}

lo g_{5} 2 + 2 x + 1 \leq lo g_{5} 3

x \leq \frac{lo g _{5} 3 - lo g _{5} 2 - 1}{2} \approx - 0, 374

lo g_{3} (x + 7) \geq lo g_{3} \frac{1}{3} \Leftrightarrow x + 7 \geq \frac{1}{3}

- lo g_{2} (x + 7) \geq - lo g_{2} (2 x - 1)

lo g_{2} (x + 7) \leq lo g_{2} (2 x - 1)

0 < x + 7 \leq 2 x - 1 \Leftrightarrow x \geq 8

Vậy a) $x > - \frac{2}{3}$ ; b) $x \leq \frac{lo g _{5} 3 - lo g _{5} 2 - 1}{2}$ ; c) $x \geq - \frac{20}{3}$ ; d) $x \geq 8$ .

3Cách 3. Biến đổi khác: về cơ số 10, 25 và mũ hoá

Định hướng. a) $0, 1 = 1 0^{- 1}$ . b) $5^{2 x + 1} = 5 \cdot 2 5^{x}$ . c, d) Mũ hoá hai vế.

1 0^{x - 2} > 1 0^{- 4 - 2 x} \Leftrightarrow x - 2 > - 4 - 2 x \Leftrightarrow x > - \frac{2}{3}

10 \cdot 2 5^{x} \leq 3 \Leftrightarrow 2 5^{x} \leq 0, 3 \Leftrightarrow x \leq lo g_{25} 0, 3

3^{l o g_{3} (x + 7)} \geq 3^{- 1}

(với

x > - 7

)

\Leftrightarrow x + 7 \geq \frac{1}{3}

0, 5^{l o g_{0, 5} (x + 7)} \leq 0, 5^{l o g_{0, 5} (2 x - 1)}

(với

x > \frac{1}{2}

)

x + 7 \leq 2 x - 1 \Leftrightarrow x \geq 8

Vậy a) $x > - \frac{2}{3}$ ; b) $x \leq lo g_{25} 0, 3 \approx - 0, 374$ ; c) $x \geq - \frac{20}{3}$ ; d) $x \geq 8$ .

Nhận xét. Ba dạng đáp số câu b bằng nhau: $lo g_{25} 0, 3 = \frac{1}{2} lo g_{5} \frac{3}{10} = \frac{1}{2} (lo g_{5} \frac{3}{2} - 1)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1 cho cả bốn câu; riêng câu b Cách 3 cho đáp số gọn nhất

x \leq lo g_{25} 0, 3

Đáp số. a)

x > - \frac{2}{3}

; b)

x \leq lo g_{25} 0, 3 = \frac{1}{2} (lo g_{5} \frac{3}{2} - 1)

; c)

x \geq - \frac{20}{3}

; d)

x \geq 8

Sai lầm thường gặp. Câu a, d giữ nguyên chiều (quên cơ số nhỏ hơn 1), ra

x < - \frac{2}{3}

và

x \leq 8

— thử

x = 0

ở câu d:

lo g_{0, 5} 7 \geq lo g_{0, 5} (- 1)

vô nghĩa. Câu c viết

x + 7 \geq - 3

(nhầm

3^{- 1}

với

- 3

🚀 Mở rộng. Giải

lo g_{0, 5} (x^{2} - 1) \geq lo g_{0, 5} (x + 5)

: điều kiện

∣ x ∣ > 1

, đưa về

x^{2} - 1 \leq x + 5

, được

- 2 \leq x < - 1

hoặc

1 < x \leq 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 6.23★★Trang 24— Bất phương trình mũ — lãi kép

Bài 6.23 (trang 24). Bác Minh gửi tiết kiệm 500 triệu đồng ở một ngân hàng với lãi suất không đổi 7,5% một năm theo thể thức lãi kép kì hạn 12 tháng. Tổng số tiền bác Minh thu được (cả vốn lẫn lãi) sau

n

năm là:

A = 500 \cdot (1 + 0, 075)^{n}

(triệu đồng). Tính thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi).

Kiến thức cần nhớ

$a > 1$ : $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u > v$ ; $0 < a < 1$ : $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u < v$ .
$a^{n} \geq b$ $(a > 1) \Leftrightarrow n \geq lo g_{a} b$ .
Lãi kép: $A = P (1 + r)^{n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

"Ít nhất 800" cho bất phương trình

A \geq 800

với cơ số

1, 075 > 1

. Kì hạn 12 tháng nên

n

là số năm nguyên — nghiệm thực phải làm tròn LÊN chứ không làm tròn thông thường.

1Cách 1. Bất phương trình mũ cơ bản

Định hướng. Chia $500$ , lấy $lo g_{1, 075}$ (cơ số lớn hơn 1, giữ chiều).

500 \cdot 1, 07 5^{n} \geq 800

1, 07 5^{n} \geq 1, 6

n \geq lo g_{1, 075} 1, 6 \approx 6, 50

Vậy thời gian tối thiểu là $7$ năm.

2Cách 2. Lấy lôgarit tự nhiên

Định hướng. Lấy $ln$ hai vế rồi chia cho $ln 1, 075 > 0$ .

n ln 1, 075 \geq ln 1, 6

n \geq \frac{ln 1 , 6}{ln 1 , 075} \approx \frac{0 , 4700}{0 , 0723} \approx 6, 50

n \in N

\Rightarrow

n \geq 7

Vậy bác Minh cần gửi ít nhất $7$ năm.

3Cách 3. Tính số tiền theo năm

Định hướng. $A$ tăng theo $n$ nên chỉ cần tìm năm đầu tiên vượt $800$ .

A (6) = 500 \cdot 1, 07 5^{6} \approx 771, 65 < 800

A (7) = 500 \cdot 1, 07 5^{7} \approx 829, 52 \geq 800

Vậy tối thiểu $7$ năm.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy vì sao không được làm tròn $6, 50$ thành $6$ : sau 6 năm mới có khoảng $771, 65$ triệu đồng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1, rồi kiểm tra nhanh bằng Cách 3 để chắc chắn phần làm tròn.

Đáp số.

n \geq lo g_{1, 075} 1, 6 \approx 6, 50

; tối thiểu

7

năm.

Sai lầm thường gặp. Làm tròn

6, 50

thành

6

năm (hoặc

6, 5

năm): kì hạn 12 tháng nên rút giữa kì không được lãi, và

A (6) < 800

🚀 Mở rộng. Nếu lãi suất

8%

một năm thì cần

n \geq lo g_{1, 08} 1, 6 \approx 6, 11

, vẫn là

7

năm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 6.24★★Trang 24— Bất phương trình mũ — tăng trưởng mũ

Bài 6.24 (trang 24). Số lượng vi khuẩn ban đầu trong một mẻ nuôi cấy là 500 con. Người ta lấy một mẫu vi khuẩn trong mẻ nuôi cấy đó, đếm số lượng vi khuẩn và thấy rằng tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn là 40% mỗi giờ. Khi đó số lượng vi khuẩn

N (t)

t

giờ nuôi cấy được ước tính bằng công thức sau:

N (t) = 500 e^{0, 4 t}

. Hỏi sau bao nhiêu giờ nuôi cấy, số lượng vi khuẩn vượt mức 80 000 con?

Kiến thức cần nhớ

$a > 1$ : $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u > v$ ; $0 < a < 1$ : $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u < v$ .
$e^{u} > b$ $(b > 0) \Leftrightarrow u > ln b$ .

🧠 Phân tích tư duy

"Vượt mức" là bất đẳng thức ngặt

N (t) > 80000

. Cơ số

e

nên lấy

ln

là gọn nhất;

\frac{80 000}{500} = 160

1Cách 1. Lấy lôgarit tự nhiên

Định hướng. Chia $500$ , lấy $ln$ hai vế.

500 e^{0, 4 t} > 80000

e^{0, 4 t} > 160

0, 4 t > ln 160

t > \frac{ln 160}{0 , 4} = 2, 5 ln 160 \approx 12, 69

Vậy sau khoảng $12, 69$ giờ nuôi cấy số vi khuẩn vượt 80 000 con.

2Cách 2. Lấy lôgarit thập phân

Định hướng. Lấy $lo g$ hai vế: $lo g e^{0, 4 t} = 0, 4 t lo g e$ .

0, 4 t \cdot lo g e > lo g 160

t > \frac{lo g 160}{0 , 4 lo g e} \approx \frac{2 , 2041}{0 , 4 \cdot 0 , 4343} \approx 12, 69

Vậy $t > 12, 69$ giờ.

3Cách 3. Kiểm tra theo giờ nguyên

Định hướng. $N (t)$ đồng biến; tính tại hai giờ nguyên liền kề nghiệm.

N (12) = 500 e^{4, 8} \approx 60755 < 80000

N (13) = 500 e^{5, 2} \approx 90636 > 80000

Vậy số vi khuẩn vượt 80 000 con trong khoảng giữa giờ thứ 12 và 13, chính xác là sau khoảng $12, 69$ giờ.

Nhận xét. Nếu đề hỏi theo giờ tròn thì từ giờ thứ 13 trở đi chắc chắn vượt mức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1: cơ số

e

đi với

ln

là tự nhiên nhất.

Đáp số.

t > 2, 5 ln 160 \approx 12, 69

giờ.

Sai lầm thường gặp. Lấy

ln

nhầm thành

ln 500 + 0, 4 t > ln 80000

rồi quên trừ đúng, hoặc dùng mô hình

500 \cdot 1, 4^{t}

(tỉ lệ

40%

) thay cho công thức đề cho — ra

t > 15, 08

, không khớp mô hình.

🚀 Mở rộng. Thời gian để số vi khuẩn gấp đôi là

t = \frac{ln 2}{0 , 4} \approx 1, 73

giờ — không phụ thuộc số lượng ban đầu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 6.25★★Trang 24— Phương trình mũ — định luật làm nguội

Bài 6.25 (trang 24). Giả sử nhiệt độ

T

(°C) của một vật giảm dần theo thời gian cho bởi công thức:

T = 25 + 70 e^{- 0, 5 t}

, trong đó thời gian

t

được tính bằng phút.
a) Tìm nhiệt độ ban đầu của vật.
b) Sau bao lâu nhiệt độ của vật còn lại 30 °C?

Kiến thức cần nhớ

$e^{0} = 1$ .
$e^{u} = b$ $(b > 0) \Leftrightarrow u = ln b$ .
$ln \frac{1}{a} = - ln a$ .

🧠 Phân tích tư duy

"Ban đầu" là

t = 0

. Câu b là phương trình mũ: cô lập

e^{- 0, 5 t}

rồi lấy

ln

. Số

25

là nhiệt độ môi trường — vật không bao giờ nguội dưới

25

°C.

1Cách 1. Thay số và lấy lôgarit tự nhiên

Định hướng. a) Thay $t = 0$ . b) Cô lập lũy thừa rồi lấy $ln$ .

T (0) = 25 + 70 e^{0} = 25 + 70 = 95

25 + 70 e^{- 0, 5 t} = 30

e^{- 0, 5 t} = \frac{5}{70} = \frac{1}{14}

- 0, 5 t = ln \frac{1}{14} = - ln 14

t = 2 ln 14 \approx 5, 28

Vậy a) nhiệt độ ban đầu là $95$ °C; b) sau khoảng $5, 28$ phút nhiệt độ còn $30$ °C.

2Cách 2. Đặt ẩn phụ

Định hướng. Đặt $u = e^{- 0, 5 t} \in (0; 1]$ với $t \geq 0$ ; khi đó $T = 25 + 70 u$ là hàm bậc nhất.

t = 0 \Rightarrow u = 1 \Rightarrow T = 95

25 + 70 u = 30 \Leftrightarrow u = \frac{1}{14}

e^{0, 5 t} = 14

t = 2 ln 14

Vậy a) $95$ °C; b) $t = 2 ln 14 \approx 5, 28$ phút.

3Cách 3. Lôgarit thập phân

Định hướng. Cô lập $e^{- 0, 5 t} = \frac{1}{14}$ rồi lấy $lo g$ hai vế.

- 0, 5 t lo g e = - lo g 14

t = \frac{2 lo g 14}{lo g e} \approx \frac{2 \cdot 1 , 1461}{0 , 4343} \approx 5, 28

Vậy a) $T (0) = 95$ °C; b) $t \approx 5, 28$ phút.

Nhận xét. Hiệu $T - 25$ giảm theo hàm mũ: còn $\frac{1}{14}$ của $70$ độ chênh ban đầu thì vật ở $30$ °C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1: thay số rồi một lần lấy

ln

Đáp số. a)

95

°C; b)

t = 2 ln 14 \approx 5, 28

phút.

Sai lầm thường gặp. Câu a hay trả lời

25

°C (nhầm với nhiệt độ môi trường) hoặc

70

°C (quên cộng

25

). Câu b viết

e^{- 0, 5 t} = \frac{30}{70}

(quên trừ

25

🚀 Mở rộng. Sau bao lâu vật còn

60

°C? Giải

70 e^{- 0, 5 t} = 35

được

t = 2 ln 2 \approx 1, 39

phút.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Bài 6.26★Trang 24— Phương trình lôgarit — độ pH

Bài 6.26 (trang 24). Tính nồng độ ion hydrogen (tính bằng mol/lít) của một dung dịch có độ pH là 8.

Kiến thức cần nhớ

$pH = - lo g [H^{+}]$ .
$lo g u = b \Leftrightarrow u = 1 0^{b}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cần nhớ công thức

pH = - lo g [H^{+}]

(đã gặp ở Bài 19). Thay

pH = 8

được phương trình lôgarit cơ bản với ẩn là nồng độ.

1Cách 1. Giải phương trình lôgarit cơ bản

Định hướng. Thay $pH = 8$ rồi dùng định nghĩa lôgarit thập phân.

- lo g [H^{+}] = 8

lo g [H^{+}] = - 8

[H^{+}] = 1 0^{- 8}

Vậy nồng độ ion hydrogen là $1 0^{- 8}$ mol/lít.

2Cách 2. Công thức ngược

Định hướng. Từ $pH = - lo g [H^{+}]$ mũ hoá ngay được $[H^{+}] = 1 0^{- pH}$ .

[H^{+}] = 1 0^{- pH}

[H^{+}] = 1 0^{- 8}

Vậy $[H^{+}] = 1 0^{- 8}$ mol/lít.

3Cách 3. So sánh với nước trung tính

Định hướng. pH tăng $1$ đơn vị thì nồng độ giảm $10$ lần; nước trung tính có $pH = 7$ , $[H^{+}] = 1 0^{- 7}$ .

[H^{+}] = \frac{1 0 ^{- 7}}{1 0 ^{8 - 7}}

[H^{+}] = 1 0^{- 8}

Vậy $1 0^{- 8}$ mol/lít (dung dịch có tính bazơ nhẹ).

Nhận xét. Cách 3 giúp nhớ ý nghĩa thang pH: mỗi bậc là một lần gấp $10$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 2: nhớ

[H^{+}] = 1 0^{- pH}

là ra ngay.

Đáp số.

[H^{+}] = 1 0^{- 8}

mol/lít.

Sai lầm thường gặp. Quên dấu trừ, ra

[H^{+}] = 1 0^{8}

mol/lít — nồng độ lớn vô lí; hoặc nhầm

ln

với

lo g

e^{- 8}

🚀 Mở rộng. Dung dịch có

[H^{+}] = 2 \cdot 1 0^{- 5}

mol/lít thì

pH = 5 - lo g 2 \approx 4, 70

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 20. Hàm số mũ và hàm số lôgarit Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 11

📚 Cùng chương: Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 18. Luỹ thừa với số mũ thực
Bài 19. Lôgarit
Bài 20. Hàm số mũ và hàm số lôgarit
▶ Bài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit