Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài tập cuối chương VI

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 2 · 20 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngVI #SáchBàiTập_Tập2 #trang20–23 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 6.41★Trang 20— Rút gọn biểu thức chứa căn

Bài 6.41 (trang 20). Cho

a

là số dương. Rút gọn biểu thức

A = \frac{a \cdot 3 a ^{2}}{6 a}

, ta được kết quả là
A.

a

.
B.

a^{2}

.
C.

a^{\frac{1}{3}}

.
D.

a^{\frac{1}{2}}

Kiến thức cần nhớ

$n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}$ $(a > 0)$ .
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ ; $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba căn khác bậc

2

3

6

của cùng cơ số

a

— đổi tất cả sang luỹ thừa số mũ hữu tỉ rồi cộng trừ số mũ. Mẫu số chung của các số mũ là

6

, trùng bậc căn lớn nhất.

1Cách 1. Đổi sang luỹ thừa số mũ hữu tỉ

Định hướng. Viết mỗi căn thành $a^{r}$ rồi gộp số mũ.

A = \frac{a ^{\frac{1}{2}} \cdot a ^{\frac{2}{3}}}{a ^{\frac{1}{6}}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6}} = a^{\frac{3 + 4 - 1}{6}} = a^{1} = a

Vậy chọn A.

2Cách 2. Đưa về cùng căn bậc 6

Định hướng. Bậc chung của $2$ , $3$ , $6$ là $6$ .

a = 6 a^{3}

;

3 a^{2} = 6 a^{4}

A = \frac{6 a ^{3} \cdot 6 a ^{4}}{6 a} = 6 \frac{a ^{3} \cdot a ^{4}}{a} = 6 a^{6} = a

Vậy chọn A.

3Cách 3. Thử giá trị

Định hướng. Chọn $a = 64 = 2^{6}$ để mọi căn ra số nguyên.

64 = 8

;

3 6 4^{2} = 16

;

664 = 2

A = \frac{8 \cdot 16}{2} = 64 = a

Vậy chọn A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng cộng số mũ

\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{6} = 1

Đáp số. Chọn A:

A = a

Sai lầm thường gặp. Đổi

3 a^{2} = a^{\frac{3}{2}}

(đảo tử mẫu) ra

a^{\frac{11}{6}}

; hoặc chia số mũ khi chia luỹ thừa.

🚀 Mở rộng. Rút gọn

\frac{4 a ^{3} \cdot a}{4 a}

(đáp số

a

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 6.42★Trang 20— Lôgarit với cơ số là luỹ thừa

Bài 6.42 (trang 20). Cho

a

là số dương khác

1

. Giá trị của

lo g_{a^{3}} a^{2}

là
A.

\frac{2}{3}

.
B.

\frac{3}{2}

.
C.

- \frac{2}{3}

.
D.

- \frac{3}{2}

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a^{α}} b^{β} = \frac{β}{α} lo g_{a} b$ $(α \neq = 0)$ .
$lo g_{a} b = \frac{ln b}{ln a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cơ số và biểu thức đều là luỹ thừa của cùng một số

a

— số mũ ở biểu thức lên tử, số mũ ở cơ số xuống mẫu. Bẫy: đảo ngược thành

\frac{3}{2}

1Cách 1. Công thức cơ số luỹ thừa

Định hướng. Kéo số mũ ở cơ số và ở biểu thức ra ngoài.

lo g_{a^{3}} a^{2} = \frac{2}{3} lo g_{a} a = \frac{2}{3}

Vậy chọn A.

2Cách 2. Định nghĩa lôgarit

Định hướng. Đặt $lo g_{a^{3}} a^{2} = x$ rồi đưa về cùng cơ số $a$ .

(a^{3})^{x} = a^{2} \Leftrightarrow a^{3 x} = a^{2} \Leftrightarrow 3 x = 2 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}

Vậy chọn A.

3Cách 3. Đổi sang lôgarit tự nhiên

Định hướng. Dùng công thức đổi cơ số.

lo g_{a^{3}} a^{2} = \frac{ln a ^{2}}{ln a ^{3}} = \frac{2 ln a}{3 ln a} = \frac{2}{3}

Vậy chọn A.

Nhận xét. $ln a \neq = 0$ vì $a \neq = 1$ , nên được phép giản ước.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ “mũ trên chia mũ dưới”, ra ngay

\frac{2}{3}

Đáp số. Chọn A:

\frac{2}{3}

Sai lầm thường gặp. Nhầm công thức thành

\frac{α}{β}

\frac{3}{2}

(B).

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

lo g_{a^{m}} a^{n} = \frac{n}{m}

; thử

lo g_{a} a^{3} = 6

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 6.43★★Trang 20— Tính giá trị biểu thức dạng

a^{l o g_{b} c}

Bài 6.43 (trang 20). Giá trị của biểu thức

4^{l o g_{2} 3}

là
A.

\frac{1}{3}

.
B.

3

.
C.

81

.
D.

9

Kiến thức cần nhớ

$a^{l o g_{a} N} = N$ .
$lo g_{2} 3 = 2 lo g_{2} 3$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dạng “luỹ thừa có số mũ là lôgarit” — muốn dùng

a^{l o g_{a} N} = N

thì phải đưa cơ số luỹ thừa và cơ số lôgarit về cùng một số. Cả

4

và

2

đều là luỹ thừa của

2

1Cách 1. Đưa về cơ số 2

Định hướng. Viết $4 = 2^{2}$ và $lo g_{2} 3 = 2 lo g_{2} 3$ .

4^{l o g_{2} 3} = (2^{2})^{2 l o g_{2} 3} = 2^{4 l o g_{2} 3} = (2^{l o g_{2} 3})^{4} = 3^{4} = 81

Vậy chọn C.

2Cách 2. Đưa về cơ số √2

Định hướng. Viết $4 = (2)^{4}$ để cơ số luỹ thừa trùng cơ số lôgarit.

4^{l o g_{2} 3} = (2)^{4 l o g_{2} 3} = ((2)^{l o g_{2} 3})^{4} = 3^{4} = 81

Vậy chọn C.

3Cách 3. Lấy lôgarit biểu thức

Định hướng. Đặt $M = 4^{l o g_{2} 3}$ rồi tính $lo g_{2} M$ .

lo g_{2} M = lo g_{2} 3 \cdot lo g_{2} 4 = 2 lo g_{2} 3 \cdot 2 = 4 lo g_{2} 3 = lo g_{2} 81

M = 81

Vậy chọn C.

Nhận xét. Công thức tổng quát $a^{l o g_{b} c} = c^{l o g_{b} a}$ cho ngay $3^{l o g_{2} 4} = 3^{4}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2:

4 = (2)^{4}

là thấy ngay đáp số

3^{4}

Đáp số. Chọn C:

81

Sai lầm thường gặp. Viết

lo g_{2} 3 = \frac{1}{2} lo g_{2} 3

(sai hướng) ra

4^{\frac{1}{2} l o g_{2} 3} = 3

(B).

🚀 Mở rộng. Tính

9^{l o g_{3} 2}

(đáp số

16

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 6.44★Trang 21— Tính đơn điệu của hàm số mũ

Bài 6.44 (trang 21). Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến?
A.

y = (\frac{3}{2})^{x}

.
B.

y = (\frac{e}{3})^{x}

.
C.

y = (\frac{π}{2})^{x}

.
D.

y = (\frac{3}{π})^{x}

Kiến thức cần nhớ

$y = a^{x}$ đồng biến khi $a > 1$ , nghịch biến khi $0 < a < 1$ .
$3 \approx 1, 732$ ; $e \approx 2, 718$ ; $π \approx 3, 142$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn hàm mũ chỉ khác cơ số, nên chỉ cần so cơ số với

1

bằng giá trị gần đúng của

3

e

π

. Bẫy ở D:

\frac{3}{π}

rất gần

1

nhưng vẫn nhỏ hơn

1

1Cách 1. So cơ số với 1

Định hướng. Tính gần đúng từng cơ số.

\frac{3}{2} \approx 0, 866 < 1

; B:

\frac{e}{3} \approx 0, 906 < 1

\frac{π}{2} \approx 1, 571 > 1

; D:

\frac{3}{π} \approx 0, 955 < 1

Vậy chỉ $y = (\frac{π}{2})^{x}$ đồng biến. Chọn C.

2Cách 2. So tử với mẫu

Định hướng. Phân số lớn hơn $1$ khi tử lớn hơn mẫu — không cần giá trị thập phân.

3 < 2

;

e < 3

;

3 < π

⇒ A, B, D có cơ số nhỏ hơn

1

π > 3 > 2

⇒

\frac{π}{2} > 1

Vậy chọn C.

3Cách 3. So sánh hai giá trị hàm

Định hướng. Hàm đồng biến thì $y (1) > y (0) = 1$ .

y (0) = 1

với cả bốn hàm

y (1)

lần lượt là

\frac{3}{2}

\frac{e}{3}

\frac{π}{2}

\frac{3}{π}

; chỉ

\frac{π}{2} > 1

Vậy chọn C.

Nhận xét. Hàm mũ luôn đơn điệu, nên chỉ cần so $y (1)$ với $y (0)$ là biết đồng biến hay nghịch biến.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: so tử với mẫu, không phải bấm máy.

Đáp số. Chọn C.

Sai lầm thường gặp. Thấy

π

trong D liền cho là lớn hơn

1

, quên

π

ở mẫu.

🚀 Mở rộng. Với giá trị nào của

m

thì

y = (\frac{m}{2})^{x}

đồng biến? (

m > 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 6.45★Trang 21— Tính đơn điệu của hàm số lôgarit

Bài 6.45 (trang 21). Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến?
A.

y = lo g_{2} x

.
B.

y = lo g x

.
C.

y = ln x

.
D.

y = lo g_{\frac{e}{3}} x

Kiến thức cần nhớ

$y = lo g_{a} x$ đồng biến khi $a > 1$ , nghịch biến khi $0 < a < 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn hàm lôgarit chỉ khác cơ số:

2

10

e

\frac{e}{3}

. Hàm nghịch biến khi cơ số nằm giữa

0

và

1

; chỉ

\frac{e}{3}

có tử nhỏ hơn mẫu.

1Cách 1. So cơ số với 1

Định hướng. Đọc cơ số của từng hàm.

2 > 1

; B:

10 > 1

; C:

e > 1

⇒ đồng biến
D:

\frac{e}{3} \approx 0, 906 \in (0; 1)

⇒ nghịch biến

Vậy chọn D.

2Cách 2. Đổi cơ số

Định hướng. Viết $lo g_{a} x = \frac{ln x}{ln a}$ : dấu của $ln a$ quyết định chiều biến thiên.

lo g_{\frac{e}{3}} x = \frac{ln x}{ln \frac{e}{3}} = \frac{ln x}{1 - ln 3}

ln 3 > 1

⇒

1 - ln 3 < 0

⇒ hàm là

ln x

nhân với số âm ⇒ nghịch biến

Vậy chọn D.

3Cách 3. So hai giá trị

Định hướng. Lấy $x = 1$ và $x = e$ .

lo g_{\frac{e}{3}} 1 = 0

;

lo g_{\frac{e}{3}} e = \frac{1}{1 - ln 3} \approx - 10, 1 < 0

⇒ giảm
A, B, C: giá trị tại

e

đều dương, tức tăng

Vậy chọn D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần thấy

e < 3

Đáp số. Chọn D.

Sai lầm thường gặp. Nghĩ

lo g x

(cơ số

10

) và

ln x

khác tính chất; thật ra cả hai đều đồng biến.

🚀 Mở rộng. Hàm

y = lo g_{\frac{π}{4}} x

đồng biến hay nghịch biến? (Nghịch biến vì

\frac{π}{4} < 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6.46★Trang 21— Bất phương trình mũ cơ bản

Bài 6.46 (trang 21). Với giá trị nào của

x

thì đồ thị hàm số

y = (\frac{2}{3})^{x}

nằm phía trên đường thẳng

y = 1

?
A.

x > 0

.
B.

x < 0

.
C.

x > 1

.
D.

x < 1

Kiến thức cần nhớ

$0 < a < 1$ : $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u < v$ .
$1 = a^{0}$ .

🧠 Phân tích tư duy

“Đồ thị nằm phía trên đường

y = 1

” nghĩa là

(\frac{2}{3})^{x} > 1

. Cơ số nhỏ hơn

1

nên khi so số mũ phải đổi chiều — đây là bẫy chính.

1Cách 1. Giải bất phương trình

Định hướng. Viết $1 = (\frac{2}{3})^{0}$ .

(\frac{2}{3})^{x} > (\frac{2}{3})^{0} \Leftrightarrow x < 0

(vì

0 < \frac{2}{3} < 1

)

Vậy chọn B.

2Cách 2. Lấy lôgarit

Định hướng. Lấy $ln$ hai vế, chú ý $ln \frac{2}{3} < 0$ .

x ln \frac{2}{3} > 0

;

ln \frac{2}{3} < 0

⇒

x < 0

Vậy chọn B.

3Cách 3. Đổi cơ số lớn hơn 1

Định hướng. $(\frac{2}{3})^{x} = (\frac{3}{2})^{- x}$ — hàm đồng biến theo $- x$ .

(\frac{3}{2})^{- x} > 1 = (\frac{3}{2})^{0} \Leftrightarrow - x > 0 \Leftrightarrow x < 0

Vậy chọn B.

Nhận xét. Đồ thị $y = (\frac{2}{3})^{x}$ đi qua $(0; 1)$ và đi xuống, nên nằm trên $y = 1$ đúng ở bên trái trục tung.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: “cơ số bé hơn

1

thì đổi chiều” là xong.

Đáp số. Chọn B:

x < 0

Sai lầm thường gặp. Giữ nguyên chiều, ra

x > 0

(A).

🚀 Mở rộng. Với giá trị nào của

x

thì đồ thị

y = (\frac{2}{3})^{x}

nằm dưới đường

y = \frac{4}{9}

? (

x > 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 6.47★Trang 21— Bất phương trình lôgarit cơ bản

Bài 6.47 (trang 21). Với giá trị nào của

x

thì đồ thị hàm số

y = lo g_{0, 5} x

nằm phía trên trục hoành?
A.

x > 0, 5

.
B.

x < 0, 5

.
C.

x > 1

.
D.

x < 1

Kiến thức cần nhớ

$0 < a < 1$ : $lo g_{a} u > lo g_{a} v \Leftrightarrow 0 < u < v$ .
$lo g_{a} 1 = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

“Nằm trên trục hoành” là

lo g_{0, 5} x > 0

. Cơ số nhỏ hơn

1

nên đổi chiều khi bỏ lôgarit, đồng thời phải nhớ điều kiện

x > 0

— phương án D là cách viết gọn của

0 < x < 1

trên tập xác định.

1Cách 1. Giải bất phương trình

Định hướng. Viết $0 = lo g_{0, 5} 1$ .

lo g_{0, 5} x > lo g_{0, 5} 1 \Leftrightarrow 0 < x < 1

Vậy trên tập xác định $x > 0$ , điều kiện là $x < 1$ . Chọn D.

2Cách 2. Mũ hoá

Định hướng. Dùng định nghĩa: $lo g_{0, 5} x > 0 \Leftrightarrow x < 0, 5^{0}$ (đổi chiều).

lo g_{0, 5} x = - lo g_{2} x > 0 \Leftrightarrow lo g_{2} x < 0 \Leftrightarrow 0 < x < 1

Vậy chọn D.

3Cách 3. Đọc đồ thị

Định hướng. Đồ thị $y = lo g_{0, 5} x$ đi qua $(1; 0)$ và đi xuống.

x = 0, 5

y = 1 > 0

;

x = 1

y = 0

;

x = 2

y = - 1 < 0

Đồ thị ở trên trục hoành khi

0 < x < 1

Vậy chọn D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: so với

lo g_{0, 5} 1

và đổi chiều.

Đáp số. Chọn D:

0 < x < 1

Sai lầm thường gặp. Không đổi chiều ra

x > 1

(C); hoặc nhầm với mốc

0, 5

ra A.

🚀 Mở rộng. Với giá trị nào của

x

thì

lo g_{0, 5} x > 2

? (

0 < x < 0, 25

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 6.48★Trang 21— Phương trình mũ đưa về cùng cơ số

Bài 6.48 (trang 21). Tập nghiệm của phương trình

8^{2 x - 1} = (\frac{1}{4})^{x}

là
A.

{\frac{3}{8}}

.
B.

{\frac{2}{5}}

.
C.

{\frac{3}{4}}

.
D.

{\frac{2}{3}}

Kiến thức cần nhớ

$a^{u} = a^{v} \Leftrightarrow u = v$ $(0 < a \neq = 1)$ .

🧠 Phân tích tư duy

8

và

\frac{1}{4}

đều là luỹ thừa của

2

(

2^{3}

và

2^{- 2}

) — đưa về cùng cơ số rồi cho hai số mũ bằng nhau. Bẫy: quên dấu trừ của

\frac{1}{4} = 2^{- 2}

1Cách 1. Đưa về cơ số 2

Định hướng. Viết $8 = 2^{3}$ , $\frac{1}{4} = 2^{- 2}$ .

2^{3 (2 x - 1)} = 2^{- 2 x} \Leftrightarrow 6 x - 3 = - 2 x \Leftrightarrow 8 x = 3 \Leftrightarrow x = \frac{3}{8}

Vậy chọn A.

2Cách 2. Lôgarit hoá

Định hướng. Lấy $lo g_{2}$ hai vế.

(2 x - 1) lo g_{2} 8 = x lo g_{2} \frac{1}{4} \Leftrightarrow 3 (2 x - 1) = - 2 x \Leftrightarrow x = \frac{3}{8}

Vậy chọn A.

3Cách 3. Thử các phương án

Định hướng. Thay từng giá trị, so số mũ theo cơ số $2$ : vế trái $2^{6 x - 3}$ , vế phải $2^{- 2 x}$ .

x = \frac{3}{8}

6 x - 3 = - \frac{3}{4}

;

- 2 x = - \frac{3}{4}

(bằng nhau)

x = \frac{2}{5}

- \frac{3}{5} \neq = - \frac{4}{5}

;

x = \frac{3}{4}

\frac{3}{2} \neq = - \frac{3}{2}

;

x = \frac{2}{3}

1 \neq = - \frac{4}{3}

Vậy chọn A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng đưa về cơ số

2

Đáp số. Chọn A:

S = {\frac{3}{8}}

Sai lầm thường gặp. Viết

(\frac{1}{4})^{x} = 2^{2 x}

(mất dấu trừ) ra

6 x - 3 = 2 x

x = \frac{3}{4}

(C).

🚀 Mở rộng. Giải

2 7^{x + 1} = (\frac{1}{9})^{2 x}

3 x + 3 = - 4 x

x = - \frac{3}{7}

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 6.49★★Trang 21— Phương trình lôgarit cơ bản

Bài 6.49 (trang 21). Tập nghiệm của phương trình

lo g_{2} [x (x - 1)] = 1

là
A.

{- 1}

.
B.

{- 2}

.
C.

{- 1; 2}

.
D.

{\frac{- 1 - 5}{2}; \frac{- 1 + 5}{2}}

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} u = c \Leftrightarrow u = a^{c}$ (khi đó tự có $u > 0$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Lôgarit của một biểu thức bằng một số — mũ hoá ngay:

x (x - 1) = 2

. Điều kiện chỉ là

x (x - 1) > 0

, và mọi nghiệm của

x (x - 1) = 2

tự thoả điều kiện, nên nghiệm âm

- 1

vẫn nhận. Bẫy: tách thành

lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 1)

rồi loại oan

x = - 1

1Cách 1. Mũ hoá trực tiếp

Định hướng. Điều kiện $x (x - 1) > 0$ ; phương trình tương đương $x (x - 1) = 2$ .

x^{2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow (x + 1) (x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = - 1

hoặc

x = 2

x = - 1

x (x - 1) = 2 > 0

;

x = 2

x (x - 1) = 2 > 0

Vậy $S = {- 1; 2}$ . Chọn C.

2Cách 2. Công thức nghiệm bậc hai

Định hướng. Giải $x^{2} - x - 2 = 0$ bằng biệt thức.

Δ = 1 + 8 = 9

x = \frac{1 \pm 3}{2}

, tức

x = 2

hoặc

x = - 1

Vậy cả hai thoả điều kiện; chọn C.

3Cách 3. Thử các phương án

Định hướng. Thay trực tiếp vào vế trái.

x = - 1

lo g_{2} [(- 1) (- 2)] = lo g_{2} 2 = 1

(đúng);

x = 2

lo g_{2} (2 \cdot 1) = 1

(đúng)

x = - 2

lo g_{2} 6 \neq = 1

; phương án D là nghiệm của

x^{2} + x - 1 = 0

, không thoả

Vậy chọn C.

Nhận xét. So với bài $lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 1) = 1$ (bài 6.54b): cùng phương trình bậc hai nhưng điều kiện chặt hơn ( $x > 1$ ), chỉ còn $x = 2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mũ hoá rồi tách nhân tử

(x + 1) (x - 2)

Đáp số. Chọn C:

S = {- 1; 2}

Sai lầm thường gặp. Tách

lo g_{2} [x (x - 1)] = lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 1)

khi chưa biết

x > 1

— làm mất nghiệm

x = - 1

; công thức tích chỉ đúng khi từng thừa số dương.

🚀 Mở rộng. Giải

lo g_{3} [x (x + 2)] = 1

x^{2} + 2 x - 3 = 0

S = {- 3; 1}

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 6.50★Trang 21— Bất phương trình mũ cơ bản

Bài 6.50 (trang 21). Nghiệm của bất phương trình

(\frac{1}{2})^{x} \geq (\frac{1}{4})^{2}

là
A.

x \geq 2

.
B.

x \leq 2

.
C.

x \geq 4

.
D.

x \leq 4

Kiến thức cần nhớ

$0 < a < 1$ : $a^{u} \geq a^{v} \Leftrightarrow u \leq v$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vế phải

(\frac{1}{4})^{2} = (\frac{1}{2})^{4}

— đưa về cùng cơ số

\frac{1}{2}

. Cơ số nhỏ hơn

1

nên đổi chiều. Hai bẫy: quên đổi chiều và nhầm

(\frac{1}{4})^{2}

thành

(\frac{1}{2})^{2}

1Cách 1. Cùng cơ số 1/2

Định hướng. Viết $\frac{1}{4} = (\frac{1}{2})^{2}$ .

(\frac{1}{2})^{x} \geq (\frac{1}{2})^{4} \Leftrightarrow x \leq 4

Vậy chọn D.

2Cách 2. Cùng cơ số 2

Định hướng. Viết mọi luỹ thừa theo cơ số $2 > 1$ (không đổi chiều).

2^{- x} \geq 2^{- 4} \Leftrightarrow - x \geq - 4 \Leftrightarrow x \leq 4

Vậy chọn D.

3Cách 3. Tính vế phải rồi lôgarit hoá

Định hướng. $(\frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{16}$ ; lấy $lo g_{2}$ hai vế.

- x \geq lo g_{2} \frac{1}{16} = - 4 \Leftrightarrow x \leq 4

Kiểm:

x = 4

\frac{1}{16} \geq \frac{1}{16}

(đúng);

x = 5

\frac{1}{32} < \frac{1}{16}

(sai)

Vậy chọn D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đưa về cơ số

2

thì không phải lo đổi chiều.

Đáp số. Chọn D:

x \leq 4

Sai lầm thường gặp. Không đổi chiều ra

x \geq 4

(C); hoặc coi

(\frac{1}{4})^{2} = (\frac{1}{2})^{2}

x \leq 2

(B).

🚀 Mở rộng. Giải

(\frac{1}{3})^{x} < 9^{2}

3^{- x} < 3^{4}

x > - 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 6.51★★Trang 21— Bất phương trình lôgarit thập phân

Bài 6.51 (trang 21). Nghiệm của bất phương trình

lo g 2 (x + 1) > 1

là
A.

x > 4

.
B.

- 1 < x < 4

.
C.

x > - \frac{1}{2}

.
D.

x > \frac{e}{2} - 1

Kiến thức cần nhớ

$lo g u > lo g v \Leftrightarrow u > v > 0$ .
$lo g 10 = 1$ ; $lo g (2 u) = lo g 2 + lo g u$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề viết

lo g 2 (x + 1)

— hiểu là lôgarit thập phân của

2 (x + 1)

(cả hai nguồn đều hiểu như vậy). Vế phải

1 = lo g 10

, cơ số

10 > 1

nên giữ chiều; điều kiện

2 (x + 1) > 0

. Phương án D gài bẫy nhầm

lo g

với

ln

1Cách 1. So với log 10

Định hướng. Điều kiện $x > - 1$ ; viết $1 = lo g 10$ .

lo g [2 (x + 1)] > lo g 10 \Leftrightarrow 2 (x + 1) > 10 \Leftrightarrow x + 1 > 5 \Leftrightarrow x > 4

Vậy kết hợp điều kiện: $x > 4$ . Chọn A.

2Cách 2. Tách lôgarit của tích

Định hướng. $lo g [2 (x + 1)] = lo g 2 + lo g (x + 1)$ với $x > - 1$ .

lo g (x + 1) > 1 - lo g 2 = lo g \frac{10}{2} = lo g 5 \Leftrightarrow x + 1 > 5 \Leftrightarrow x > 4

Vậy chọn A.

3Cách 3. Mũ hoá trực tiếp

Định hướng. $lo g u > 1 \Leftrightarrow u > 1 0^{1}$ .

2 (x + 1) > 10

⇒

x > 4

Kiểm:

x = 4

lo g 10 = 1

(không lớn hơn

1

);

x = 9

lo g 20 \approx 1, 30 > 1

Vậy chọn A.

Nhận xét. Nếu là $ln [2 (x + 1)] > 1$ thì được $x > \frac{e}{2} - 1$ — đó chính là phương án gây nhiễu D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ

1 = lo g 10

, một dòng là xong.

Đáp số. Chọn A:

x > 4

Sai lầm thường gặp. Nhầm

lo g

với

ln

ra D; hoặc đọc thành

lo g_{2} (x + 1) > 1

x > 1

(không có trong phương án).

🚀 Mở rộng. Giải

lo g [5 (x - 1)] \leq 2

1 < x \leq 21

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 6.52★★★Trang 21— Tập xác định của hàm lôgarit chứa tham số

Bài 6.52 (trang 21). Hàm số

y = ln (x^{2} - 2 m x + 1)

có tập xác định là

R

khi
A.

m = 1

.
B.

m > 1

hoặc

m < - 1

.
C.

m < 1

.
D.

- 1 < m < 1

Kiến thức cần nhớ

$a x^{2} + b x + c > 0$ với mọi $x$ ⇔ $a > 0$ và $Δ < 0$ .
$ln u$ xác định ⇔ $u > 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tập xác định là

R

nghĩa là

x^{2} - 2 m x + 1 > 0

với MỌI

x

— tam thức bậc hai hệ số

a = 1 > 0

luôn dương khi và chỉ khi biệt thức âm. Bẫy: lấy

Δ \leq 0

(tam thức có thể bằng

0

tại một điểm).

1Cách 1. Điều kiện biệt thức

Định hướng. Tam thức có $a = 1 > 0$ ; cần $Δ^{'} < 0$ .

Δ^{'} = m^{2} - 1 < 0 \Leftrightarrow m^{2} < 1 \Leftrightarrow - 1 < m < 1

Vậy chọn D.

2Cách 2. Tách bình phương

Định hướng. Viết tam thức thành bình phương cộng hằng số.

x^{2} - 2 m x + 1 = (x - m)^{2} + 1 - m^{2}

Giá trị nhỏ nhất là

1 - m^{2}

(tại

x = m

); cần

1 - m^{2} > 0 \Leftrightarrow - 1 < m < 1

Vậy chọn D.

3Cách 3. Loại trừ bằng giá trị cụ thể

Định hướng. Thử các giá trị $m$ làm phương án sai.

m = 1

x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2} = 0

tại

x = 1

⇒ loại A

m = - 5

(thoả C):

x^{2} + 10 x + 1

âm tại

x = - 1

(

1 - 10 + 1 = - 8

) ⇒ loại C

m = 2

(thuộc B):

x^{2} - 4 x + 1

tại

x = 2

bằng

- 3

⇒ loại B

Vậy chọn D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1:

Δ^{'} = m^{2} - 1 < 0

là xong.

Đáp số. Chọn D:

- 1 < m < 1

Sai lầm thường gặp. Lấy

Δ \leq 0

- 1 \leq m \leq 1

— khi

m = \pm 1

biểu thức bằng

0

tại

x = \pm 1

ln 0

không xác định.

🚀 Mở rộng. Với

y = lo g_{2} (x^{2} - 2 x + m)

, tập xác định là

R

khi

m > 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 6.53★★Trang 22— Tính giá trị biểu thức lôgarit

Bài 6.53 (trang 22). Tính giá trị của biểu thức:

A = 2 lo g_{4} 8 - 3 lo g_{\frac{1}{8}} 16 + 4^{l o g_{2} 3}

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a^{m}} a^{n} = \frac{n}{m}$ .
$a^{l o g_{a} N} = N$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mọi cơ số và biểu thức (

4

8

\frac{1}{8}

16

) đều là luỹ thừa của

2

— đưa hết về cơ số

2

và dùng

lo g_{a^{m}} a^{n} = \frac{n}{m}

. Số hạng cuối là dạng

a^{l o g_{a} N}

sau khi viết

4 = 2^{2}

. Bẫy: dấu âm của

lo g_{\frac{1}{8}} 16

1Cách 1. Đưa về cơ số 2

Định hướng. Tính riêng từng số hạng ngay trong mạch.

A = 2 lo g_{2^{2}} 2^{3} - 3 lo g_{2^{- 3}} 2^{4} + (2^{2})^{l o g_{2} 3}

A = 2 \cdot \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{4}{- 3} + (2^{l o g_{2} 3})^{2}

A = 3 + 4 + 9 = 16

Vậy $A = 16$ .

2Cách 2. Đổi sang lôgarit tự nhiên

Định hướng. Dùng $lo g_{a} b = \frac{ln b}{ln a}$ và $4^{l o g_{2} 3} = 3^{l o g_{2} 4}$ .

2 \cdot \frac{3 ln 2}{2 ln 2} - 3 \cdot \frac{4 ln 2}{- 3 ln 2} + 3^{l o g_{2} 4} = 3 + 4 + 3^{2} = 16

Vậy $A = 16$ .

3Cách 3. Định nghĩa lôgarit

Định hướng. Đặt ẩn cho từng lôgarit rồi giải phương trình mũ.

lo g_{4} 8 = u \Leftrightarrow 2^{2 u} = 2^{3} \Leftrightarrow u = \frac{3}{2}

lo g_{\frac{1}{8}} 16 = v \Leftrightarrow 2^{- 3 v} = 2^{4} \Leftrightarrow v = - \frac{4}{3}

A = 2 \cdot \frac{3}{2} - 3 (- \frac{4}{3}) + 9 = 16

Vậy $A = 16$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đưa hết về cơ số

2

, dùng “mũ trên chia mũ dưới”.

Đáp số.

A = 16

Sai lầm thường gặp. Quên dấu âm:

lo g_{\frac{1}{8}} 16 = \frac{4}{3}

A = 3 - 4 + 9 = 8

; hoặc tính

4^{l o g_{2} 3} = 3

(quên bình phương).

🚀 Mở rộng. Tính

B = 3 lo g_{9} 27 + 2 lo g_{\frac{1}{3}} 81 + 9^{l o g_{3} 2}

(đáp số

\frac{9}{2} - 8 + 4 = \frac{1}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 6.54★★★Trang 22— Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Bài 6.54 (trang 22). Giải các phương trình sau:
a)

3 2^{\frac{x + 5}{x - 7}} = 0, 25 \cdot 12 8^{\frac{x + 17}{x - 3}}

;
b)

lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 1) = 1

Kiến thức cần nhớ

$a^{u} = a^{v} \Leftrightarrow u = v$ .
$lo g_{a} u + lo g_{a} v = lo g_{a} (uv)$ $(u, v > 0)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a:

32 = 2^{5}

0, 25 = 2^{- 2}

128 = 2^{7}

— đưa về cùng cơ số

2

được phương trình phân thức của các số mũ, nhớ điều kiện

x \neq = 7

x \neq = 3

. Câu b: tổng hai lôgarit cùng cơ số — đặt điều kiện

x > 1

rồi gộp tích.

1Cách 1. Cùng cơ số 2 · gộp tích

Định hướng. a) So hai số mũ, quy đồng mẫu thức hai vế (mẫu chung $(x - 7) (x - 3)$ ) rồi khử mẫu. b) Điều kiện $x > 1$ .

a) Điều kiện

x \neq = 7

x \neq = 3

2^{\frac{5 ( x + 5 )}{x - 7}} = 2^{- 2} \cdot 2^{\frac{7 ( x + 17 )}{x - 3}}

\frac{5 ( x + 5 )}{x - 7} = - 2 + \frac{7 ( x + 17 )}{x - 3}

\frac{5 ( x + 5 ) ( x - 3 )}{( x - 7 ) ( x - 3 )} = \frac{- 2 ( x - 7 ) ( x - 3 ) + 7 ( x + 17 ) ( x - 7 )}{( x - 7 ) ( x - 3 )}

5 (x + 5) (x - 3) = - 2 (x - 7) (x - 3) + 7 (x + 17) (x - 7)

5 x^{2} + 10 x - 75 = - 2 x^{2} + 20 x - 42 + 7 x^{2} + 70 x - 833

5 x^{2} + 10 x - 75 = 5 x^{2} + 90 x - 875 \Leftrightarrow 80 x = 800 \Leftrightarrow x = 10

(thoả mãn)
b)

lo g_{2} [x (x - 1)] = 1 \Leftrightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2

(nhận) hoặc

x = - 1

(loại vì

x > 1

)

Vậy a) $x = 10$ ; b) $x = 2$ .

2Cách 2. Lôgarit hoá (a) · đơn điệu (b)

Định hướng. a) Lấy $lo g_{2}$ hai vế. b) Vế trái đồng biến trên $(1; + \infty)$ nên có tối đa một nghiệm.

lo g_{2}

hai vế:

\frac{5 ( x + 5 )}{x - 7} = lo g_{2} 0, 25 + \frac{7 ( x + 17 )}{x - 3} = - 2 + \frac{7 ( x + 17 )}{x - 3}

⇒

x = 10

như Cách 1
b)

f (x) = lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 1)

đồng biến trên

(1; + \infty)

;

f (2) = 1 + 0 = 1

Vậy a) $x = 10$ ; b) nghiệm duy nhất $x = 2$ .

3Cách 3. Thử lại nghiệm và đoán nghiệm

Định hướng. Kiểm trực tiếp bằng số để chắc chắn.

x = 10

\frac{x + 5}{x - 7} = 5

\frac{x + 17}{x - 3} = \frac{27}{7}

3 2^{5} = 2^{25}

;

0, 25 \cdot 12 8^{\frac{27}{7}} = 2^{- 2} \cdot 2^{27} = 2^{25}

(đúng)
b)

x = 2

lo g_{2} 2 + lo g_{2} 1 = 1 + 0 = 1

(đúng);

x = - 1

không thuộc tập xác định

Vậy a) $x = 10$ ; b) $x = 2$ .

Nhận xét. Ở câu a các số hạng $x^{2}$ triệt tiêu nên phương trình thực chất là bậc nhất — chỉ có đúng một nghiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đưa về cơ số

2

, quy đồng về mẫu chung

(x - 7) (x - 3)

rồi khử mẫu; câu b nhớ loại

x = - 1

Đáp số. a)

x = 10

; b)

x = 2

Sai lầm thường gặp. Câu a viết

0, 25 = 2^{2}

(mất dấu trừ); câu b giữ cả

x = - 1

— sai vì

lo g_{2} (- 1)

không xác định.

🚀 Mở rộng. So sánh với bài 6.49:

lo g_{2} [x (x - 1)] = 1

nhận cả

x = - 1

, còn

lo g_{2} x + lo g_{2} (x - 1) = 1

chỉ nhận

x = 2

— tập xác định quyết định tập nghiệm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 6.55★★★Trang 22— Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Bài 6.55 (trang 22). Giải các bất phương trình sau:
a)

(\frac{1}{2})^{3 x - 1} \geq 4 \cdot 2^{x}

;
b)

2 lo g (x - 1) > lo g (3 - x) + 1

Kiến thức cần nhớ

$a > 1$ : $a^{u} \geq a^{v} \Leftrightarrow u \geq v$ ; $lo g u > lo g v \Leftrightarrow u > v > 0$ .
$2 lo g u = lo g u^{2}$ $(u > 0)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a mọi luỹ thừa là của

2

— đưa về cơ số

2 > 1

để không phải đổi chiều. Câu b gồm lôgarit thập phân, số

1 = lo g 10

; đặt điều kiện

1 < x < 3

trước, rồi đưa hệ số

2

vào trong. Bẫy ở b: quên giao với điều kiện.

1Cách 1. Cùng cơ số

Định hướng. a) Viết theo cơ số $2$ . b) Điều kiện $1 < x < 3$ , đưa về $lo g$ hai vế.

2^{- (3 x - 1)} \geq 2^{2} \cdot 2^{x} \Leftrightarrow 1 - 3 x \geq x + 2 \Leftrightarrow - 4 x \geq 1 \Leftrightarrow x \leq - \frac{1}{4}

lo g (x - 1)^{2} > lo g [10 (3 - x)] \Leftrightarrow (x - 1)^{2} > 30 - 10 x

x^{2} + 8 x - 29 > 0 \Leftrightarrow x < - 4 - 35

hoặc

x > - 4 + 35

Kết hợp

1 < x < 3

35 - 4 < x < 3

(

35 - 4 \approx 2, 708

)

Vậy a) $x \leq - \frac{1}{4}$ ; b) $35 - 4 < x < 3$ .

2Cách 2. Lôgarit hoá (a) · đặt ẩn phụ (b)

Định hướng. a) Lấy $lo g_{2}$ hai vế. b) Đặt $t = x - 1 \in (0; 2)$ .

(3 x - 1) lo g_{2} \frac{1}{2} \geq 2 + x \Leftrightarrow - (3 x - 1) \geq x + 2 \Leftrightarrow x \leq - \frac{1}{4}

3 - x = 2 - t

t^{2} > 10 (2 - t) \Leftrightarrow t^{2} + 10 t - 20 > 0 \Leftrightarrow t > - 5 + 35

(vì

t > 0

)

x = t + 1 > 35 - 4

, kết hợp

t < 2

x < 3

Vậy a) $S = (- \infty; - \frac{1}{4}]$ ; b) $S = (35 - 4; 3)$ .

3Cách 3. Hàm số đơn điệu và kiểm điểm

Định hướng. b) Trên $(1; 3)$ , vế trái tăng, vế phải giảm theo $x$ nên hiệu đồng biến: tìm điểm hai vế bằng nhau rồi lấy phía bên phải.

g (x) = 2 lo g (x - 1) - lo g (3 - x) - 1

đồng biến trên

(1; 3)

g (x) = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2} = 10 (3 - x) \Leftrightarrow x_{0} = 35 - 4

g (x) > 0 \Leftrightarrow x_{0} < x < 3

; kiểm

x = 2, 9

2 lo g 1, 9 \approx 0, 558 > lo g 0, 1 + 1 = 0

(đúng)
a) Kiểm

x = - 1

(\frac{1}{2})^{- 4} = 16 \geq 4 \cdot \frac{1}{2} = 2

(đúng);

x = 0

2 \geq 4

(sai)

Vậy a) $x \leq - \frac{1}{4}$ ; b) $35 - 4 < x < 3$ .

Nhận xét. Điều kiện $1 < x < 3$ ở câu b vừa là tập xác định vừa là chỗ chặn trên của tập nghiệm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đưa về cùng cơ số, đặt điều kiện ngay từ đầu rồi giao kết quả.

Đáp số. a)

x \leq - \frac{1}{4}

; b)

35 - 4 < x < 3

Sai lầm thường gặp. Câu b quên điều kiện

x < 3

, kết luận

x > 35 - 4

; hoặc viết

lo g (3 - x) + 1 = lo g (4 - x)

(cộng

1

vào biểu thức thay vì nhân

10

🚀 Mở rộng. Giải

2 lo g x \leq lo g (x + 6)

: điều kiện

x > 0

x^{2} - x - 6 \leq 0

, được

0 < x \leq 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 6.56★★★Trang 22— Đồ thị hàm mũ, hàm lôgarit — tính đối xứng

Bài 6.56 (trang 22). a) Vẽ đồ thị của hai hàm số

y = e^{x}

và

y = ln x

trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Chứng minh rằng hai đồ thị trên đối xứng nhau qua đường thẳng

y = x

, tức là nếu điểm

M

nằm trên một đồ thị thì điểm

M^{'}

đối xứng với

M

qua đường thẳng

y = x

sẽ nằm trên đồ thị còn lại.

Kiến thức cần nhớ

Điểm đối xứng của $M (a; b)$ qua đường $y = x$ là $M^{'} (b; a)$ .
$b = e^{a} \Leftrightarrow a = ln b$ $(b > 0)$ .

🧠 Phân tích tư duy

y = e^{x}

và

y = ln x

là hai hàm ngược nhau:

y = ln x \Leftrightarrow x = e^{y}

. Phép đối xứng qua

y = x

đổi chỗ hoành độ và tung độ, nên chỉ cần chứng minh:

(a; b)

thuộc đồ thị này thì

(b; a)

thuộc đồ thị kia. Vẽ bằng bảng giá trị rồi “lật” qua đường

y = x

1Cách 1. Bảng giá trị và định nghĩa lôgarit

Định hướng. a) Lập bảng giá trị của $y = e^{x}$ , đổi chỗ hai hàng được bảng của $y = ln x$ . b) Dùng $b = e^{a} \Leftrightarrow a = ln b$ .

y = e^{x}

(- 2; e^{- 2} \approx 0, 14)

(- 1; 0, 37)

(0; 1)

(1; e \approx 2, 72)

y = ln x

(0, 14; - 2)

(0, 37; - 1)

(1; 0)

(e; 1)

M (a; b)

thuộc đồ thị

y = e^{x}

⇔

b = e^{a}

⇔

b > 0

và

a = ln b

⇔

M^{'} (b; a)

thuộc đồ thị

y = ln x

M (a; b)

thuộc đồ thị

y = ln x

⇔

a > 0

b = ln a

⇔

a = e^{b}

⇔

M^{'} (b; a)

thuộc đồ thị

y = e^{x}

Vậy hai đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$ (hình vẽ).

2Cách 2. Chứng minh M và M' đối xứng bằng toạ độ

Định hướng. Kiểm hai điều kiện của phép đối xứng trục: trung điểm $M M^{'}$ nằm trên $y = x$ và $M M^{'}$ vuông góc với $y = x$ .

M (a; e^{a})

M^{'} (e^{a}; a)

: trung điểm

I (\frac{a + e ^{a}}{2}; \frac{a + e ^{a}}{2})

có hoành độ bằng tung độ ⇒

I

thuộc

y = x

M M^{'} = (e^{a} - a; a - e^{a})

, vectơ chỉ phương của

y = x

là

u = (1; 1)

M M^{'} \cdot u = e^{a} - a + a - e^{a} = 0

⇒

M M^{'} ⊥

đường

y = x

M^{'} (e^{a}; a)

ln e^{a} = a

⇒

M^{'}

thuộc đồ thị

y = ln x

Vậy $M^{'}$ là ảnh của $M$ qua phép đối xứng trục $y = x$ và nằm trên đồ thị $y = ln x$ ; chiều ngược lại tương tự.

3Cách 3. Hàm ngược

Định hướng. Hai hàm $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = ln x$ thoả $g (f (x)) = x$ , $f (g (x)) = x$ — đồ thị hai hàm ngược nhau luôn đối xứng qua $y = x$ .

ln e^{x} = x

với mọi

x \in R

;

e^{l n x} = x

với mọi

x > 0

Đồ thị

y = ln x

là tập

{(x; y) : y = ln x} = {(x; y) : x = e^{y}}

Đổi tên

x \leftrightarrow y

được

{(y; x) : y = e^{x}}

— chính là đồ thị

y = e^{x}

sau khi hoán đổi toạ độ

Vậy hai đồ thị đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x$ .

Nhận xét. Ví dụ trên hình: $M (1; e)$ thuộc $y = e^{x}$ và $M^{'} (e; 1)$ thuộc $y = ln x$ ; hai điểm $(0; 1)$ và $(1; 0)$ cũng đối xứng nhau qua $y = x$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một chuỗi tương đương

b = e^{a} \Leftrightarrow a = ln b

là chứng minh xong, kèm bảng giá trị để vẽ.

Đáp số. a) Đồ thị như hình; b)

M (a; b) \in (C_{1}) : y = e^{x}

⇔

b = e^{a}

⇔

a = ln b

⇔

M^{'} (b; a) \in (C_{2}) : y = ln x

Sai lầm thường gặp. Chỉ kiểm vài điểm cụ thể rồi kết luận — đó là minh hoạ, chưa phải chứng minh; hoặc lấy đối xứng qua trục

O x

thành

(a; - b)

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

0 < a \neq = 1

, đồ thị

y = a^{x}

và

y = lo g_{a} x

luôn đối xứng nhau qua đường thẳng

y = x

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Bài 6.57★★Trang 22— Hàm số lôgarit — tập xác định, giá trị, giao điểm

Bài 6.57 (trang 22). Cho hàm số

f (x) = lo g_{3} (2 x + 1) - 2

.
a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Tính

f (40)

. Xác định điểm tương ứng trên đồ thị hàm số.
c) Tìm

x

sao cho

f (x) = 3

. Xác định điểm tương ứng trên đồ thị hàm số.
d) Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành.

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{a} u$ xác định ⇔ $u > 0$ .
$lo g_{a} u = c \Leftrightarrow u = a^{c}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn câu đều xoay quanh một hàm: a) điều kiện

2 x + 1 > 0

; b) thay số,

81 = 3^{4}

; c) và d) là phương trình lôgarit

lo g_{3} (2 x + 1) = c

, mũ hoá hai vế. “Điểm tương ứng” là cặp

(x; f (x))

1Cách 1. Tính trực tiếp

Định hướng. Đi lần lượt từng câu.

2 x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - \frac{1}{2}

f (40) = lo g_{3} 81 - 2 = 4 - 2 = 2

lo g_{3} (2 x + 1) - 2 = 3 \Leftrightarrow lo g_{3} (2 x + 1) = 5 \Leftrightarrow 2 x + 1 = 243 \Leftrightarrow x = 121

lo g_{3} (2 x + 1) = 2 \Leftrightarrow 2 x + 1 = 9 \Leftrightarrow x = 4

Vậy a) $D = (- \frac{1}{2}; + \infty)$ ; b) $f (40) = 2$ , điểm $(40; 2)$ ; c) $x = 121$ , điểm $(121; 3)$ ; d) giao điểm $(4; 0)$ .

2Cách 2. Tìm hàm ngược

Định hướng. Giải $y = lo g_{3} (2 x + 1) - 2$ theo $x$ để có công thức $x = g (y)$ , dùng chung cho c) và d).

lo g_{3} (2 x + 1) = y + 2 \Leftrightarrow 2 x + 1 = 3^{y + 2} \Leftrightarrow x = \frac{3 ^{y + 2} - 1}{2}

y = 3

x = \frac{3 ^{5} - 1}{2} = \frac{242}{2} = 121

y = 0

x = \frac{3 ^{2} - 1}{2} = 4

b) Kiểm bằng công thức ngược:

y = 2

⇒

x = \frac{3 ^{4} - 1}{2} = 40

(khớp)

Vậy các điểm $(40; 2)$ , $(121; 3)$ , $(4; 0)$ ; $D = (- \frac{1}{2}; + \infty)$ .

3Cách 3. Tịnh tiến đồ thị và đơn điệu

Định hướng. $f$ đồng biến (cơ số $3 > 1$ ), nên mỗi giá trị $y$ ứng với đúng một $x$ ; đoán nghiệm rồi khẳng định duy nhất.

f

đồng biến trên

(- \frac{1}{2}; + \infty)

2 x + 1 = 9

khi

x = 4

⇒

f (4) = 0

, và là giao điểm duy nhất
c)

2 x + 1 = 3^{5}

khi

x = 121

⇒

f (121) = 3

, duy nhất
Đồ thị

f

là đồ thị

y = lo g_{3} x

co theo phương ngang, tịnh tiến sang trái

\frac{1}{2}

đơn vị và xuống dưới

2

đơn vị; tiệm cận đứng

x = - \frac{1}{2}

Vậy a) $D = (- \frac{1}{2}; + \infty)$ ; b) $(40; 2)$ ; c) $(121; 3)$ ; d) $(4; 0)$ .

Nhận xét. Ba điểm $(4; 0)$ , $(40; 2)$ , $(121; 3)$ cho thấy hàm lôgarit tăng rất chậm: $x$ tăng từ $40$ lên $121$ mà $y$ chỉ tăng $1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1; nếu có nhiều câu hỏi dạng “tìm

x

khi biết

f (x)

” thì Cách 2 (công thức ngược) nhanh hơn.

Đáp số. a)

D = (- \frac{1}{2}; + \infty)

; b)

f (40) = 2

, điểm

(40; 2)

; c)

x = 121

, điểm

(121; 3)

; d)

(4; 0)

Sai lầm thường gặp. Câu c quên chuyển

- 2

sang vế phải, giải

lo g_{3} (2 x + 1) = 3

x = 13

; câu a viết

x > - 1

hoặc

x \geq - \frac{1}{2}

🚀 Mở rộng. Tìm

x

để

f (x) > 1

2 x + 1 > 27

x > 13

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · Bài 6.58★Trang 22— Bài toán thực tế — tăng trưởng mũ (lạm phát)

Bài 6.58 (trang 22). Nếu tỉ lệ lạm phát trung bình hằng năm là

4%

thì chi phí

C

cho việc mua một loại hàng hoá hoặc sử dụng một dịch vụ nào đó sẽ được mô hình hoá bằng công thức:

C (t) = P (1 + 0, 04)^{t}

,
trong đó

t

là thời gian (tính bằng năm) kể từ thời điểm hiện tại và

P

là chi phí hiện tại cho hàng hoá hoặc dịch vụ đó.
Giả sử hiện tại chi phí cho mỗi lần thay dầu ô tô là

800

nghìn đồng. Hãy ước tính chi phí cho mỗi lần thay dầu ô tô sau

5

năm nữa (kết quả tính theo đơn vị nghìn đồng và làm tròn đến hàng đơn vị).

Kiến thức cần nhớ

$C (t) = P (1 + r)^{t}$ — tăng trưởng theo lãi kép.
Làm tròn ở bước cuối cùng.

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bài thay số vào mô hình mũ:

P = 800

t = 5

. Cần tính

1, 0 4^{5}

chính xác đủ chữ số rồi mới làm tròn đến hàng đơn vị.

1Cách 1. Thay số trực tiếp

Định hướng. Thay $P = 800$ , $t = 5$ .

C (5) = 800 \cdot 1, 0 4^{5} = 800 \cdot 1, 2166529 \dots \approx 973, 32

Vậy chi phí khoảng $973$ nghìn đồng.

2Cách 2. Tính dần từng năm

Định hướng. Mỗi năm chi phí nhân thêm $1, 04$ .

Năm 1:

800 \cdot 1, 04 = 832

Năm 2:

832 \cdot 1, 04 = 865, 28

Năm 3:

865, 28 \cdot 1, 04 = 899, 8912

Năm 4:

899, 8912 \cdot 1, 04 \approx 935, 887

Năm 5:

935, 887 \cdot 1, 04 \approx 973, 32

Vậy khoảng $973$ nghìn đồng.

3Cách 3. Khai triển nhị thức

Định hướng. $1, 0 4^{5} = (1 + 0, 04)^{5}$ , khai triển Newton (các số hạng giảm rất nhanh).

(1 + 0, 04)^{5} = 1 + 5 \cdot 0, 04 + 10 \cdot 0, 0 4^{2} + 10 \cdot 0, 0 4^{3} + 5 \cdot 0, 0 4^{4} + 0, 0 4^{5}

= 1 + 0, 2 + 0, 016 + 0, 00064 + 0, 0000128 + 0, 0000001024 \approx 1, 2166529

C (5) \approx 800 \cdot 1, 2166529 \approx 973, 32

Vậy khoảng $973$ nghìn đồng.

Nhận xét. Ước lượng thô $800 \cdot (1 + 5 \cdot 0, 04) = 960$ nhỏ hơn thực tế vì bỏ qua “lãi chồng lãi”.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bấm máy

800 \times 1, 0 4^{5}

một lần, làm tròn ở cuối.

Đáp số. Khoảng

973

nghìn đồng.

Sai lầm thường gặp. Tính theo lãi đơn

800 + 5 \cdot 0, 04 \cdot 800 = 960

; hoặc làm tròn từng năm gây lệch kết quả.

🚀 Mở rộng. Sau bao nhiêu năm chi phí thay dầu vượt

1000

nghìn đồng? (

1, 0 4^{t} > 1, 25

t > 5, 69

, tức từ năm thứ

6

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · Bài 6.59★★Trang 23— Bài toán thực tế — phân rã phóng xạ

Bài 6.59 (trang 23). Công thức tính khối lượng còn lại của một chất phóng xạ từ khối lượng ban đầu

m_{0}

được cho bởi công thức:

m (t) = m_{0} (\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}

,
trong đó

t

là thời gian tính từ thời điểm ban đầu và

T

là chu kì bán rã của chất đó. Biết rằng chất phóng xạ polonium-210 có chu kì bán rã là

138

ngày. Từ khối lượng polonium-210 ban đầu

100

g, sau bao lâu khối lượng còn lại là:
a)

50

g?
b)

10

g?
(Kết quả tính theo ngày và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Kiến thức cần nhớ

$(\frac{1}{2})^{u} = k \Leftrightarrow u = lo g_{\frac{1}{2}} k = - lo g_{2} k$ .
Chu kì bán rã: thời gian để khối lượng còn một nửa.

🧠 Phân tích tư duy

Ẩn

t

nằm ở số mũ nên phải lôgarit hoá. Câu a là đúng định nghĩa chu kì bán rã (còn một nửa) — đáp số là

T

, không cần tính. Câu b cần

(\frac{1}{2})^{\frac{t}{138}} = \frac{1}{10}

1Cách 1. Lôgarit cơ số 1/2

Định hướng. Thay $m_{0} = 100$ , $T = 138$ rồi giải phương trình mũ.

100 (\frac{1}{2})^{\frac{t}{138}} = 50 \Leftrightarrow (\frac{1}{2})^{\frac{t}{138}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{t}{138} = 1 \Leftrightarrow t = 138

(\frac{1}{2})^{\frac{t}{138}} = \frac{1}{10} \Leftrightarrow \frac{t}{138} = lo g_{\frac{1}{2}} \frac{1}{10} = lo g_{2} 10 \Leftrightarrow t = 138 lo g_{2} 10 \approx 458, 43

Vậy a) $138, 00$ ngày; b) khoảng $458, 43$ ngày.

2Cách 2. Lôgarit tự nhiên

Định hướng. Lấy $ln$ hai vế của $(\frac{1}{2})^{\frac{t}{138}} = \frac{m}{100}$ .

\frac{t}{138} ln \frac{1}{2} = ln \frac{m}{100} \Leftrightarrow t = 138 \cdot \frac{ln \frac{m}{100}}{- ln 2}

m = 50

t = 138 \cdot \frac{ln 0 , 5}{- ln 2} = 138

m = 10

t = 138 \cdot \frac{ln 10}{ln 2} \approx 138 \cdot 3, 321928 \approx 458, 43

Vậy a) $138, 00$ ngày; b) $458, 43$ ngày.

3Cách 3. Đếm số chu kì bán rã

Định hướng. Mỗi chu kì khối lượng giảm một nửa; tìm xem $10$ g ứng với bao nhiêu chu kì.

100 \to 50 \to 25 \to 12, 5 \to 6, 25

(sau

1

2

3

4

chu kì)

10

g nằm giữa

3

và

4

chu kì:

2^{n} = 10 \Leftrightarrow n = lo g_{2} 10 \approx 3, 32

chu kì

t = 3, 321928 \cdot 138 \approx 458, 43

Vậy a) $1$ chu kì $= 138, 00$ ngày; b) khoảng $3, 32$ chu kì $\approx 458, 43$ ngày.

Nhận xét. Cách 3 cho cảm nhận nhanh: giảm $10$ lần cần hơn $3$ chu kì một chút.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: câu a nhận ra ngay là

T

; câu b viết gọn

t = T lo g_{2} 10

Đáp số. a)

t = 138, 00

ngày; b)

t \approx 458, 43

ngày.

Sai lầm thường gặp. Giải

(\frac{1}{2})^{\frac{t}{138}} = 10

(quên chia cho

m_{0}

); hoặc làm tròn

lo g_{2} 10 \approx 3, 3

quá sớm ra

455, 40

🚀 Mở rộng. Sau

1

năm (

365

ngày),

100

g polonium-210 còn khoảng

100 \cdot 0, 5^{\frac{365}{138}} \approx 16, 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · Bài 6.60★★Trang 23— Bài toán thực tế — thang lôgarit (cent âm nhạc)

Bài 6.60 (trang 23). Cent âm nhạc là một đơn vị trong thang lôgarit của cao độ hoặc khoảng tương đối. Một quãng tám bằng

1200

cent. Công thức xác định chênh lệch khoảng thời gian (tính bằng cent) giữa hai nốt nhạc có tần số

a

và

b

là

n = 1200 \cdot lo g_{2} \frac{a}{b}

.
(Theo Algebra 2, NXB MacGraw-Hill, 2008)
a) Tìm khoảng thời gian tính bằng cent khi tần số thay đổi từ

443

Hz về

415

Hz.
b) Giả sử khoảng thời gian là

55

cent và tần số đầu là

225

Hz, hãy tìm tần số cuối cùng.

Kiến thức cần nhớ

$lo g_{2} u = c \Leftrightarrow u = 2^{c}$ .
$lo g_{2} u = \frac{ln u}{ln 2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a thay

a = 443

b = 415

vào công thức. Câu b ẩn

b

nằm trong lôgarit: mũ hoá cơ số

2

. Chú ý chiều “từ

a

về

b

”: tần số đầu là

a

, tần số cuối là

b

1Cách 1. Thay số và mũ hoá

Định hướng. a) Tính trực tiếp. b) Giải phương trình lôgarit theo $b$ .

n = 1200 \cdot lo g_{2} \frac{443}{415} = 1200 \cdot \frac{ln 1 , 06747}{ln 2} \approx 1200 \cdot 0, 094195 \approx 113, 03

55 = 1200 \cdot lo g_{2} \frac{225}{b} \Leftrightarrow lo g_{2} \frac{225}{b} = \frac{11}{240} \Leftrightarrow \frac{225}{b} = 2^{\frac{11}{240}}

b = 225 \cdot 2^{- \frac{11}{240}} \approx 225 \cdot 0, 96873 \approx 217, 96

Vậy a) khoảng $113$ cent; b) tần số cuối khoảng $218$ Hz.

2Cách 2. Tách hiệu lôgarit

Định hướng. $lo g_{2} \frac{a}{b} = lo g_{2} a - lo g_{2} b$ : câu b đưa về $lo g_{2} b = lo g_{2} 225 - \frac{55}{1 200}$ .

n = 1200 (lo g_{2} 443 - lo g_{2} 415) \approx 1200 (8, 79118 - 8, 69699) \approx 113, 0

lo g_{2} b = lo g_{2} 225 - \frac{11}{240} \approx 7, 81378 - 0, 04583 = 7, 76795

b = 2^{7, 76795} \approx 217, 96

Vậy a) khoảng $113$ cent; b) khoảng $218$ Hz.

3Cách 3. Ước lượng theo bán cung

Định hướng. Một bán cung (nửa cung) bằng $100$ cent, ứng với tỉ số tần số $2^{\frac{1}{12}} \approx 1, 0595$ .

\frac{443}{415} \approx 1, 0675

lớn hơn

1, 0595

một chút ⇒ hơn

100

cent một ít, khớp

113

55

cent là hơn nửa bán cung:

\frac{225}{b} = 2^{\frac{55}{1200}} \approx 1, 0323

⇒

b \approx \frac{225}{1 , 0323} \approx 218

Vậy a) khoảng $113$ cent; b) khoảng $218$ Hz.

Nhận xét. Vì $b < a$ nên $n > 0$ : tần số giảm (nốt trầm xuống) cho số cent dương theo công thức của đề.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay số và mũ hoá, bấm máy một lần cho mỗi câu.

Đáp số. a)

n \approx 113

cent; b)

b \approx 218

Hz.

Sai lầm thường gặp. Đảo tỉ số thành

lo g_{2} \frac{415}{443}

- 113

; câu b giải

\frac{225}{b} = \frac{55}{1 200}

(quên mũ hoá) ra

b \approx 4909

Hz vô lí.

🚀 Mở rộng. Tần số của nốt cao hơn nốt

440

Hz đúng một quãng tám (

1200

cent) là

880

Hz; cao hơn

700

cent (quãng năm) là

440 \cdot 2^{\frac{7}{12}} \approx 659

Hz.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit Bài tiếp theo ›Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc

📚 Cùng chương: Chương VI. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 18. Luỹ thừa với số mũ thực
Bài 19. Lôgarit
Bài 20. Hàm số mũ và hàm số lôgarit
Bài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
▶ Bài tập cuối chương VI