Bài tập cuối chương VI

Bài 6.41 (trang 20). Cho $a$ là số dương. Rút gọn biểu thức $A=\frac{\sqrt{a}\cdot \sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[6]{a}}$, ta được kết quả là
A. $a$.
B. $a^2$.
C. $a^{\frac{1}{3}}$.
D. $a^{\frac{1}{2}}$.

Bài 6.42 (trang 20). Cho $a$ là số dương khác $1$. Giá trị của ${\log }_{a^3}{a}^2$ là
A. $\frac{2}{3}$.
B. $\frac{3}{2}$.
C. $-\frac{2}{3}$.
D. $-\frac{3}{2}$.

Bài 6.43 (trang 20). Giá trị của biểu thức $4^{{\log }_{\sqrt{2}}3}$ là
A. $\frac{1}{3}$.
B. $3$.
C. $81$.
D. $9$.

Bài 6.44 (trang 21). Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến?
A. $y={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^x$.
B. $y={\left(\frac{e}{3}\right)}^x$.
C. $y={\left(\frac{\pi }{2}\right)}^x$.
D. $y={\left(\frac{3}{\pi }\right)}^x$.

Bài 6.45 (trang 21). Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến?
A. $y={\log }_{\sqrt{2}}x$.
B. $y=\log x$.
C. $y=\ln x$.
D. $y={\log }_{\frac{e}{3}}x$.

Bài 6.46 (trang 21). Với giá trị nào của $x$ thì đồ thị hàm số $y={\left(\frac{2}{3}\right)}^x$ nằm phía trên đường thẳng $y=1$?
A. $x>0$.
B. $x<0$.
C. $x>1$.
D. $x<1$.

Bài 6.47 (trang 21). Với giá trị nào của $x$ thì đồ thị hàm số $y={\log }_{0,5}x$ nằm phía trên trục hoành?
A. $x>0,5$.
B. $x<0,5$.
C. $x>1$.
D. $x<1$.

Bài 6.48 (trang 21). Tập nghiệm của phương trình $8^{2x-1}={\left(\frac{1}{4}\right)}^x$ là
A. $\left\{\frac{3}{8}\right\}$.
B. $\left\{\frac{2}{5}\right\}$.
C. $\left\{\frac{3}{4}\right\}$.
D. $\left\{\frac{2}{3}\right\}$.

Bài 6.49 (trang 21). Tập nghiệm của phương trình ${\log }_2\left[x(x-1)\right]=1$ là
A. $\{-1\}$.
B. $\{-2\}$.
C. $\{-1;2\}$.
D. $\left\{\frac{-1-\sqrt{5}}{2};\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right\}$.

Bài 6.50 (trang 21). Nghiệm của bất phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x\ge {\left(\frac{1}{4}\right)}^2$ là
A. $x\ge 2$.
B. $x\le 2$.
C. $x\ge 4$.
D. $x\le 4$.

Bài 6.51 (trang 21). Nghiệm của bất phương trình $\log 2(x+1)>1$ là
A. $x>4$.
B. $-1<x<4$.
C. $x>-\frac{1}{2}$.
D. $x>\frac{e}{2}-1$.

Bài 6.52 (trang 21). Hàm số $y=\ln \left(x^2-2mx+1\right)$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ khi
A. $m=1$.
B. $m>1$ hoặc $m<-1$.
C. $m<1$.
D. $-1<m<1$.

Bài 6.53 (trang 22). Tính giá trị của biểu thức:
$A=2{\log }_{4}8-3{\log }_{\frac{1}{8}}16+4^{{\log }_{2}3}$.

Bài 6.54 (trang 22). Giải các phương trình sau:
a) $32^{\frac{x+5}{x-7}}=0,25\cdot 128^{\frac{x+17}{x-3}}$;
b) ${\log }_{2}x+{\log }_2(x-1)=1$.

Bài 6.55 (trang 22). Giải các bất phương trình sau:
a) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{3x-1}\ge 4\cdot 2^x$;
b) $2\log (x-1)>\log (3-x)+1$.

Bài 6.56 (trang 22). a) Vẽ đồ thị của hai hàm số $y=e^x$ và $y=\ln x$ trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Chứng minh rằng hai đồ thị trên đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$, tức là nếu điểm $M$ nằm trên một đồ thị thì điểm $M^{\prime }$ đối xứng với $M$ qua đường thẳng $y=x$ sẽ nằm trên đồ thị còn lại.

Bài 6.57 (trang 22). Cho hàm số $f(x)={\log }_3(2x+1)-2$.
a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Tính $f(40)$. Xác định điểm tương ứng trên đồ thị hàm số.
c) Tìm $x$ sao cho $f(x)=3$. Xác định điểm tương ứng trên đồ thị hàm số.
d) Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành.

Bài 6.58 (trang 22). Nếu tỉ lệ lạm phát trung bình hằng năm là $4\%$ thì chi phí $C$ cho việc mua một loại hàng hoá hoặc sử dụng một dịch vụ nào đó sẽ được mô hình hoá bằng công thức:
$C(t)=P(1+0,04{)}^t$,
trong đó $t$ là thời gian (tính bằng năm) kể từ thời điểm hiện tại và $P$ là chi phí hiện tại cho hàng hoá hoặc dịch vụ đó.
Giả sử hiện tại chi phí cho mỗi lần thay dầu ô tô là $800$ nghìn đồng. Hãy ước tính chi phí cho mỗi lần thay dầu ô tô sau $5$ năm nữa (kết quả tính theo đơn vị nghìn đồng và làm tròn đến hàng đơn vị).

Bài 6.59 (trang 23). Công thức tính khối lượng còn lại của một chất phóng xạ từ khối lượng ban đầu $m_0$ được cho bởi công thức:
$m(t)=m_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$,
trong đó $t$ là thời gian tính từ thời điểm ban đầu và $T$ là chu kì bán rã của chất đó. Biết rằng chất phóng xạ polonium-210 có chu kì bán rã là $138$ ngày. Từ khối lượng polonium-210 ban đầu $100$ g, sau bao lâu khối lượng còn lại là:
a) $50$ g?
b) $10$ g?
(Kết quả tính theo ngày và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Bài 6.60 (trang 23). Cent âm nhạc là một đơn vị trong thang lôgarit của cao độ hoặc khoảng tương đối. Một quãng tám bằng $1200$ cent. Công thức xác định chênh lệch khoảng thời gian (tính bằng cent) giữa hai nốt nhạc có tần số $a$ và $b$ là
$n=1200\cdot {\log }_2\frac{a}{b}$.
(Theo Algebra 2, NXB MacGraw-Hill, 2008)
a) Tìm khoảng thời gian tính bằng cent khi tần số thay đổi từ $443$ Hz về $415$ Hz.
b) Giả sử khoảng thời gian là $55$ cent và tần số đầu là $225$ Hz, hãy tìm tần số cuối cùng.