Chương VII. Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 2 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang28 #CùngBàiBênSGK

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 7.6★★Trang 28— Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (chuỗi)

Bài 7.6 (trang 28). Cho hình chóp

S . A B C

có

S A

vuông góc với mặt phẳng

(A B C)

và đáy là tam giác

A B C

vuông tại

B

. Kẻ

A M

vuông góc với

S B

tại

M

và

A N

vuông góc với

S C

tại

N

. Chứng minh rằng:
a)

B C ⊥ (S A B)

;
b)

A M ⊥ (S B C)

;
c)

S C ⊥ (A M N)

Kiến thức cần nhớ

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Đường thẳng $Δ$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nếu $Δ$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ ; kí hiệu $Δ ⊥ (P)$ .
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Định lí Pythagore đảo.

🧠 Phân tích tư duy

Ba câu nối nhau:

B C ⊥ (S A B)

cho

B C ⊥ A M

; cùng với

A M ⊥ S B

được

A M ⊥ (S B C)

; từ đó

A M ⊥ S C

và thêm

A N ⊥ S C

. Bẫy: ở câu c) không được dùng

M N

khi chưa chứng minh gì về nó.

1Cách 1. Chuỗi dấu hiệu

Định hướng. Mỗi câu là tiền đề cho câu sau.

B C ⊥ A B

B C ⊥ S A

\Rightarrow B C ⊥ (S A B)

.
b)

A M \subset (S A B) \Rightarrow A M ⊥ B C

;

A M ⊥ S B

\Rightarrow A M ⊥ (S B C)

.
c)

S C \subset (S B C) \Rightarrow S C ⊥ A M

;

S C ⊥ A N

\Rightarrow S C ⊥ (A M N)

Vậy $B C ⊥ (S A B)$ , $A M ⊥ (S B C)$ , $S C ⊥ (A M N)$ .

2Cách 2. Pythagore đảo cho câu b)

Định hướng. Đặt $A B = a$ , $B C = b$ , $S A = h$ ; kiểm tra $A M ⊥ M C$ .

A M^{2} = \frac{a ^{2} h ^{2}}{a ^{2} + h ^{2}}

M B^{2} = \frac{a ^{4}}{a ^{2} + h ^{2}}

B C ⊥ S B

(câu a)

\Rightarrow M C^{2} = M B^{2} + b^{2}

A M^{2} + M C^{2} = \frac{a ^{2} h ^{2} + a ^{4}}{a ^{2} + h ^{2}} + b^{2} = a^{2} + b^{2} = A C^{2}

\Rightarrow A M ⊥ M C

A M ⊥ S B

A M ⊥ M C

\Rightarrow A M ⊥ (S B C)

; câu c) như Cách 1.

Vậy $A M ⊥ (S B C)$ và $S C ⊥ (A M N)$ .

3Cách 3. Mặt phẳng qua

A

vuông góc với

S C

cho câu c)

Định hướng. Mọi đường qua $A$ vuông góc với $S C$ nằm trong một mặt phẳng duy nhất.

A M ⊥ S C

(câu b),

A N ⊥ S C

\Rightarrow A M, A N

nằm trong mặt phẳng

(α)

qua

A

vuông góc với

S C

A, M, N

không thẳng hàng

\Rightarrow (A M N) \equiv (α)

\Rightarrow S C ⊥ (A M N)

\Rightarrow S C ⊥ M N

(hệ quả).

Vậy $S C ⊥ (A M N)$ .

Nhận xét. Hệ quả $S C ⊥ M N$ cho thấy tam giác $A M N$ vuông tại $M$ (vì $A M ⊥ (S B C) \supset M N$ ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba dòng, ba dấu hiệu, không tính toán.

Đáp số. a)

B C ⊥ (S A B)

; b)

A M ⊥ (S B C)

; c)

S C ⊥ (A M N)

Sai lầm thường gặp. Ở câu b) viết '

A M ⊥ S B

A M ⊥ S C

' là lập luận vòng vì

A M ⊥ S C

là hệ quả của b). Ở câu a) nhầm

B C ⊥ A C

(tam giác vuông tại

B

, không phải tại

C

🚀 Mở rộng. Với

S A = A B = B C = 1

A M = \frac{2}{2}

A N = \frac{6}{3}

, tam giác

A M N

vuông tại

M

nên

M N = \frac{6}{6}

và

S_{A M N} = \frac{3}{12}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 7.7★★★Trang 28— Tứ diện vuông: trực tâm và hệ thức đường cao

Bài 7.7 (trang 28). Cho tứ diện

O A B C

có ba cạnh

O A

O B

O C

đôi một vuông góc với nhau. Gọi

H

là chân đường vuông góc hạ từ

O

đến mặt phẳng

(A B C)

. Chứng minh rằng:
a)

B C ⊥ (O A H)

;
b)

H

là trực tâm của tam giác

A B C

;
c)

\frac{1}{O H ^{2}} = \frac{1}{O A ^{2}} + \frac{1}{O B ^{2}} + \frac{1}{O C ^{2}}

Kiến thức cần nhớ

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Trong tam giác vuông, đường cao $h$ ứng với cạnh huyền thoả $\frac{1}{h ^{2}} = \frac{1}{b ^{2}} + \frac{1}{c ^{2}}$ .
Thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3} S \cdot h$ .
Trực tâm là giao điểm hai đường cao của tam giác.

🧠 Phân tích tư duy

Tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc tại

O

gọi là tứ diện vuông;

O A ⊥ (O B C)

vì

O A

vuông góc với hai đường cắt nhau

O B

O C

. Câu a) cho

A H ⊥ B C

, lặp lại vai trò cho

B H ⊥ C A

ở câu b). Câu c) là hệ thức lượng trong hai tam giác vuông

O A K

và

O B C

với

K = A H \cap B C

1Cách 1. Dấu hiệu và hệ thức lượng

Định hướng. Chuyển mọi thứ về hai tam giác vuông $O B C$ và $O A K$ .

O A ⊥ O B

O A ⊥ O C

\Rightarrow O A ⊥ (O B C) \Rightarrow O A ⊥ B C

;

O H ⊥ (A B C) \Rightarrow O H ⊥ B C

\Rightarrow B C ⊥ (O A H)

.
b)

A H \subset (O A H) \Rightarrow A H ⊥ B C

; tương tự

C A ⊥ (O B H) \Rightarrow B H ⊥ C A

\Rightarrow H

là trực tâm

△ A B C

.
c) Gọi

K = A H \cap B C

;

B C ⊥ (O A H) \Rightarrow O K ⊥ B C

;

O A ⊥ O K

O H ⊥ A K

\frac{1}{O H ^{2}} = \frac{1}{O A ^{2}} + \frac{1}{O K ^{2}} = \frac{1}{O A ^{2}} + \frac{1}{O B ^{2}} + \frac{1}{O C ^{2}}

Vậy $B C ⊥ (O A H)$ , $H$ là trực tâm tam giác $A B C$ và $\frac{1}{O H ^{2}} = \frac{1}{O A ^{2}} + \frac{1}{O B ^{2}} + \frac{1}{O C ^{2}}$ .

2Cách 2. Tính thể tích hai cách cho câu c)

Định hướng. Đặt $O A = p$ , $O B = q$ , $O C = r$ ; $O H$ là chiều cao của hình chóp $O . A B C$ .

V = \frac{1}{6} pq r

;

O K = \frac{q r}{q ^{2} + r ^{2}}

A K^{2} = p^{2} + O K^{2} = \frac{p ^{2} q ^{2} + q ^{2} r ^{2} + r ^{2} p ^{2}}{q ^{2} + r ^{2}}

S_{A B C} = \frac{1}{2} B C \cdot A K = \frac{1}{2} p^{2} q^{2} + q^{2} r^{2} + r^{2} p^{2}

O H = \frac{3 V}{S _{A B C}} = \frac{pq r}{p ^{2} q ^{2} + q ^{2} r ^{2} + r ^{2} p ^{2}}

\Rightarrow \frac{1}{O H ^{2}} = \frac{p ^{2} q ^{2} + q ^{2} r ^{2} + r ^{2} p ^{2}}{p ^{2} q ^{2} r ^{2}} = \frac{1}{p ^{2}} + \frac{1}{q ^{2}} + \frac{1}{r ^{2}}

Vậy $\frac{1}{O H ^{2}} = \frac{1}{O A ^{2}} + \frac{1}{O B ^{2}} + \frac{1}{O C ^{2}}$ .

3Cách 3. Diện tích tam giác vuông

O A K

cho câu c)

Định hướng. Viết diện tích tam giác $O A K$ theo hai cạnh góc vuông và theo cạnh huyền.

O H \cdot A K = O A \cdot O K \Rightarrow O H^{2} = \frac{O A ^{2} \cdot O K ^{2}}{O A ^{2} + O K ^{2}}

\Rightarrow \frac{1}{O H ^{2}} = \frac{O A ^{2} + O K ^{2}}{O A ^{2} \cdot O K ^{2}} = \frac{1}{O K ^{2}} + \frac{1}{O A ^{2}}

;
tương tự trong

△ O B C

\frac{1}{O K ^{2}} = \frac{1}{O B ^{2}} + \frac{1}{O C ^{2}}

Vậy hệ thức ở câu c) được chứng minh.

Nhận xét. Đây là bản không gian của hệ thức $\frac{1}{h ^{2}} = \frac{1}{b ^{2}} + \frac{1}{c ^{2}}$ trong tam giác vuông.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp hệ thức lượng hai lần, gọn nhất; Cách 2 hữu ích khi đề hỏi thêm diện tích

A B C

Đáp số. a)

B C ⊥ (O A H)

; b)

H

là trực tâm

△ A B C

; c)

\frac{1}{O H ^{2}} = \frac{1}{O A ^{2}} + \frac{1}{O B ^{2}} + \frac{1}{O C ^{2}}

Sai lầm thường gặp. Ở câu c) nhầm

O K

là trung tuyến hoặc dùng

\frac{1}{O H ^{2}} = \frac{1}{O A ^{2}} + \frac{1}{O B ^{2}}

(quên cạnh thứ ba). Ở câu b) chỉ chứng minh một đường cao là chưa đủ.

🚀 Mở rộng. Với

O A = O B = O C = a

O H = \frac{a}{3}

, và

H

là tâm tam giác đều

A B C

cạnh

a 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 7.8★★Trang 28— Chứng minh hai đường thẳng vuông góc qua đường vuông góc mặt phẳng

Bài 7.8 (trang 28). Cho tứ diện

A B C D

có

A B = A C

và

D B = D C

. Chứng minh rằng

A D ⊥ B C

Kiến thức cần nhớ

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB (qua trung điểm AB, vuông góc với AB) là tập hợp các điểm cách đều A và B.
Tam giác cân: trung tuyến ứng với cạnh đáy là đường cao.

🧠 Phân tích tư duy

Hai điểm

A

D

cùng cách đều

B

C

— dấu hiệu của trung điểm

M

của

B C

và hai tam giác cân chung đáy.

B C

vuông góc với hai trung tuyến

A M

D M

nên vuông góc với cả mặt phẳng

(A D M)

chứa

A D

. Bẫy: phải có

A, D, M

không thẳng hàng.

1Cách 1. Hai trung tuyến của hai tam giác cân

Định hướng. Gọi $M$ là trung điểm $B C$ .

A B = A C \Rightarrow A M ⊥ B C

;

D B = D C \Rightarrow D M ⊥ B C

A, D, M

không thẳng hàng (nếu thẳng hàng thì

D \in (A B C)

\Rightarrow B C ⊥ (A D M) \Rightarrow B C ⊥ A D

Vậy $A D ⊥ B C$ .

2Cách 2. Mặt phẳng trung trực

Định hướng. $A$ và $D$ cùng cách đều $B$ , $C$ .

A B = A C \Rightarrow A

thuộc mặt phẳng trung trực

(α)

của

B C

D B = D C \Rightarrow D \in (α)

\Rightarrow A D \subset (α)

B C ⊥ (α) \Rightarrow B C ⊥ A D

Vậy $A D ⊥ B C$ .

Nhận xét. Mặt phẳng $(A D M)$ ở Cách 1 chính là mặt phẳng trung trực $(α)$ của $B C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 nếu được phép dùng mặt phẳng trung trực (hai dòng); nếu không thì Cách 1.

Đáp số.

A D ⊥ B C

Sai lầm thường gặp. Chứng minh

A M ⊥ B C

D M ⊥ B C

rồi kết luận ngay

A D ⊥ B C

mà không qua mặt phẳng

(A D M)

là thiếu bước.

🚀 Mở rộng. Điều ngược lại đúng một phần: nếu

A D ⊥ B C

và

A B = A C

thì

D B = D C

(vì

D

thuộc mặt phẳng qua

A

vuông góc với

B C

, chính là mặt phẳng trung trực).

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 7.9★★Trang 28— Liên hệ song song – vuông góc trong lăng trụ

Bài 7.9 (trang 28). Cho hình lăng trụ tam giác

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có

A A^{'}

vuông góc với mặt phẳng

(A B C)

và đáy là tam giác

A B C

vuông tại

B

. Chứng minh rằng:
a)

B B^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'})

;
b)

B^{'} C^{'} ⊥ (A B B^{'} A^{'})

Kiến thức cần nhớ

Nếu $a ⊥ (P)$ thì mọi đường thẳng song song với $a$ cũng vuông góc với $(P)$ ; hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Nếu $Δ ⊥ (P)$ thì $Δ$ vuông góc với mọi mặt phẳng song song với $(P)$ ; hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

🧠 Phân tích tư duy

Trong lăng trụ, các cạnh bên song song và hai đáy song song; tính vuông góc của

A A^{'}

với đáy được 'chuyển' sang

B B^{'}

và sang đáy trên. Câu b) cần

B^{'} C^{'}

vuông góc với hai đường cắt nhau

A^{'} B^{'}

và

B B^{'}

1Cách 1. Chuyển qua đường và mặt song song

Định hướng. $B B^{'} ∥ A A^{'}$ , $(A^{'} B^{'} C^{'}) ∥ (A B C)$ .

A A^{'} ⊥ (A B C)

(A^{'} B^{'} C^{'}) ∥ (A B C)

\Rightarrow A A^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'})

;

B B^{'} ∥ A A^{'}

\Rightarrow B B^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'})

.
b)

B^{'} C^{'} ⊥ A^{'} B^{'}

(

A^{'} B^{'} C^{'}

vuông tại

B^{'}

vì

A^{'} B^{'} ∥ A B

B^{'} C^{'} ∥ B C

B B^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'}) \Rightarrow B^{'} C^{'} ⊥ B B^{'}

;

A^{'} B^{'} \cap B B^{'} = B^{'}

\Rightarrow B^{'} C^{'} ⊥ (A B B^{'} A^{'})

Vậy $B B^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'})$ và $B^{'} C^{'} ⊥ (A B B^{'} A^{'})$ .

2Cách 2. Chứng minh ở đáy dưới rồi chuyển lên

Định hướng. Làm với $B C$ ở đáy dưới rồi dùng $B^{'} C^{'} ∥ B C$ .

B B^{'} ∥ A A^{'} \Rightarrow B B^{'} ⊥ (A B C)

;

(A^{'} B^{'} C^{'}) ∥ (A B C)

\Rightarrow B B^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'})

.
b)

B C ⊥ A B

B C ⊥ B B^{'}

\Rightarrow B C ⊥ (A B B^{'} A^{'})

B^{'} C^{'} ∥ B C

\Rightarrow B^{'} C^{'} ⊥ (A B B^{'} A^{'})

Vậy $B B^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'})$ và $B^{'} C^{'} ⊥ (A B B^{'} A^{'})$ .

3Cách 3. Dấu hiệu trực tiếp qua hình bình hành

Định hướng. Dùng các mặt bên là hình bình hành để có góc vuông tại $B^{'}$ .

B B^{'} ∥ A A^{'}

A A^{'} ⊥ (A B C)

\Rightarrow (B B^{'}, A^{'} B^{'}) = (A A^{'}, A B) = 9 0^{\circ}

(B B^{'}, B^{'} C^{'}) = (A A^{'}, B C) = 9 0^{\circ}

A^{'} B^{'} \cap B^{'} C^{'} = B^{'}

\Rightarrow B B^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'})

.
b)

(B^{'} C^{'}, A^{'} B^{'}) = (B C, A B) = 9 0^{\circ}

(B^{'} C^{'}, B B^{'}) = (B C, A A^{'}) = 9 0^{\circ}

\Rightarrow B^{'} C^{'} ⊥ (A B B^{'} A^{'})

Vậy $B B^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'})$ và $B^{'} C^{'} ⊥ (A B B^{'} A^{'})$ .

Nhận xét. Lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy gọi là lăng trụ đứng; mọi mặt bên của nó là hình chữ nhật.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đáy dưới có sẵn góc vuông

B

, chuyển lên bằng một phép song song.

Đáp số. a)

B B^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'})

; b)

B^{'} C^{'} ⊥ (A B B^{'} A^{'})

Sai lầm thường gặp. Ở câu b) chọn cặp đường

A B

và

A^{'} B^{'}

(song song, không cắt nhau) để áp dụng dấu hiệu là sai.

🚀 Mở rộng. Tương tự:

A^{'} B^{'} ⊥ (B C C^{'} B^{'})

khi đáy vuông tại

B

; còn

A C

không vuông góc với mặt bên nào.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 7.10★★Trang 28— Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 7.10 (trang 28). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình thoi tâm

O

và

S A = S C

S B = S D

. Chứng minh rằng:
a)

S O ⊥ (A B C D)

;
b)

A C ⊥ (S B D)

và

B D ⊥ (S A C)

Kiến thức cần nhớ

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Hình thoi có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB (qua trung điểm AB, vuông góc với AB) là tập hợp các điểm cách đều A và B.

🧠 Phân tích tư duy

Như Luyện tập 1 SGK, hai tam giác cân

S A C

S B D

cho

S O

vuông góc với hai đường chéo. Khác biệt: đáy là hình thoi nên thêm

A C ⊥ B D

, từ đó mỗi đường chéo vuông góc với mặt phẳng chứa

S

và đường chéo kia.

1Cách 1. Tam giác cân và dấu hiệu

Định hướng. $S O$ là trung tuyến của hai tam giác cân.

S A = S C

O A = O C

\Rightarrow S O ⊥ A C

;

S B = S D

O B = O D

\Rightarrow S O ⊥ B D

\Rightarrow S O ⊥ (A B C D)

.
b)

A C ⊥ B D

(hình thoi),

A C ⊥ S O

\Rightarrow A C ⊥ (S B D)

B D ⊥ A C

B D ⊥ S O

\Rightarrow B D ⊥ (S A C)

Vậy $S O ⊥ (A B C D)$ , $A C ⊥ (S B D)$ và $B D ⊥ (S A C)$ .

2Cách 2. Mặt phẳng trung trực

Định hướng. $S$ , $B$ , $D$ cùng cách đều $A$ , $C$ ; $S$ , $A$ , $C$ cùng cách đều $B$ , $D$ .

S A = S C

B A = B C

D A = D C

\Rightarrow (S B D)

là mặt phẳng trung trực của

A C

\Rightarrow A C ⊥ (S B D)

S B = S D

A B = A D

C B = C D

\Rightarrow (S A C)

là mặt phẳng trung trực của

B D

\Rightarrow B D ⊥ (S A C)

S O \subset (S B D) \Rightarrow S O ⊥ A C

;

S O \subset (S A C) \Rightarrow S O ⊥ B D

\Rightarrow S O ⊥ (A B C D)

Vậy $S O ⊥ (A B C D)$ , $A C ⊥ (S B D)$ , $B D ⊥ (S A C)$ .

3Cách 3. Tam giác bằng nhau

Định hướng. Chứng minh các góc tại $O$ là góc vuông bằng các cặp tam giác bằng nhau.

△ S O A = △ S O C

(c.c.c)

\Rightarrow S O A = S O C = 9 0^{\circ}

(kề bù, bằng nhau); tương tự

S O B = 9 0^{\circ}

\Rightarrow S O ⊥ (A B C D)

.
b)

A C ⊥ B D

A C ⊥ S O

\Rightarrow A C ⊥ (S B D)

;

B D ⊥ (S A C)

tương tự.

Vậy $S O ⊥ (A B C D)$ , $A C ⊥ (S B D)$ , $B D ⊥ (S A C)$ .

Nhận xét. Cách 2 làm câu b) trước rồi suy ra câu a) — ngược thứ tự đề nhưng rất gọn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng thứ tự đề, mỗi ý một dòng.

Đáp số. a)

S O ⊥ (A B C D)

; b)

A C ⊥ (S B D)

B D ⊥ (S A C)

Sai lầm thường gặp. Chứng minh

A C ⊥ (S B D)

bằng '

A C ⊥ B D

và

A C ⊥ S B

' mà không chứng minh

A C ⊥ S B

là thiếu; đường thứ hai phải là

S O

(đã biết vuông góc với

A C

🚀 Mở rộng. Nếu đáy là hình bình hành (không phải hình thoi) thì a) vẫn đúng nhưng b) sai vì

A C

không vuông góc với

B D

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 7.11★★★★Trang 28— Trực tâm và quan hệ vuông góc trong hình chóp

Bài 7.11 (trang 28). Cho hình chóp

S . A B C

có

S A ⊥ (A B C)

, tam giác

A B C

nhọn. Gọi

H

K

lần lượt là trực tâm của tam giác

A B C

và

S B C

. Chứng minh rằng:
a)

B C ⊥ (S A H)

và các đường thẳng

A H

B C

S K

đồng quy;
b)

S B ⊥ (C H K)

và

H K ⊥ (S B C)

Kiến thức cần nhớ

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Đường thẳng $Δ$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nếu $Δ$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ ; kí hiệu $Δ ⊥ (P)$ .
Trực tâm là giao điểm các đường cao; mỗi đường thẳng qua một đỉnh và trực tâm vuông góc với cạnh đối diện.

🧠 Phân tích tư duy

A H ⊥ B C

(đường cao) và

S A ⊥ B C

cho

B C ⊥ (S A H)

. Gọi

E = A H \cap B C

thì

S E ⊥ B C

, tức

S E

là đường cao của tam giác

S B C

, nên

K \in S E

— ba đường đồng quy tại

E

. Câu b):

C H ⊥ (S A B)

và

C K ⊥ S B

cho

S B ⊥ (C H K)

; kết hợp

H K ⊥ B C

(vì

H K \subset (S A E)

1Cách 1. Chuỗi dấu hiệu

Định hướng. Dùng mặt phẳng $(S A E)$ với $E = A H \cap B C$ .

A H ⊥ B C

S A ⊥ B C

\Rightarrow B C ⊥ (S A H)

. Gọi

E = A H \cap B C

\Rightarrow S E \subset (S A H) \Rightarrow S E ⊥ B C

\Rightarrow S E

là đường cao của

△ S B C

\Rightarrow K \in S E

\Rightarrow A H

B C

S K

đồng quy tại

E

.
b)

C H ⊥ A B

C H ⊥ S A

\Rightarrow C H ⊥ (S A B) \Rightarrow C H ⊥ S B

;

C K ⊥ S B

\Rightarrow S B ⊥ (C H K)

\Rightarrow S B ⊥ H K

;

H, K \in (S A E) \Rightarrow H K \subset (S A H) \Rightarrow H K ⊥ B C

\Rightarrow H K ⊥ (S B C)

Vậy $B C ⊥ (S A H)$ , $A H$ , $B C$ , $S K$ đồng quy; $S B ⊥ (C H K)$ và $H K ⊥ (S B C)$ .

2Cách 2. Đối xứng vai trò

B

C

cho câu b)

Định hướng. Chứng minh $H K$ vuông góc với $S B$ và $S C$ (hai đường cắt nhau của $(S B C)$ ).

S B ⊥ (C H K)

(như Cách 1)

\Rightarrow H K ⊥ S B

B H ⊥ A C

B H ⊥ S A

\Rightarrow B H ⊥ (S A C) \Rightarrow B H ⊥ S C

;

B K ⊥ S C

\Rightarrow S C ⊥ (B H K) \Rightarrow H K ⊥ S C

H K ⊥ S B

H K ⊥ S C

\Rightarrow H K ⊥ (S B C)

Vậy $H K ⊥ (S B C)$ .

3Cách 3. Tam giác vuông

S A E

cho câu a) (đồng quy)

Định hướng. Chứng minh trực tiếp $S E ⊥ B C$ bằng định lí Pythagore.

S A ⊥ A E

S A ⊥ A B

\Rightarrow S E^{2} = S A^{2} + A E^{2}

S B^{2} = S A^{2} + A B^{2}

A E ⊥ B C \Rightarrow A B^{2} = A E^{2} + E B^{2}

\Rightarrow S B^{2} = S A^{2} + A E^{2} + E B^{2} = S E^{2} + E B^{2}

\Rightarrow S E ⊥ B C

\Rightarrow K \in S E

\Rightarrow A H

B C

S K

đồng quy tại

E

Vậy ba đường thẳng $A H$ , $B C$ , $S K$ đồng quy tại chân đường cao $E$ .

Nhận xét. Kết quả $H K ⊥ (S B C)$ cho thấy $K$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $(S B C)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: mặt phẳng

(S A E)

giải quyết cùng lúc phần đồng quy và

H K ⊥ B C

Đáp số. a)

B C ⊥ (S A H)

;

A H

B C

S K

đồng quy tại chân đường cao

E

kẻ từ

A

. b)

S B ⊥ (C H K)

;

H K ⊥ (S B C)

Sai lầm thường gặp. Quên chứng minh

K \in S E

(chỉ nói 'ba đường cùng đi qua

E

'). Ở câu b) dùng '

H K ⊥ S B

và

H K ⊥ C K

' là không đủ nếu chưa chỉ ra

C K

S B

cắt nhau trong

(S B C)

— thực ra dùng

H K ⊥ B C

hoặc

H K ⊥ S C

gọn hơn.

🚀 Mở rộng. Giả thiết 'nhọn' bảo đảm

H \neq = E

và

K \neq = E

; nếu

A B C = 9 0^{\circ}

thì

B C ⊥ (S A B)

, khi đó

H \equiv K \equiv B

và đường thẳng

H K

không còn xác định.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 7.12★★Trang 28— Vận dụng thực tế: thẳng đứng và vuông góc với mặt phẳng

Bài 7.12 (trang 28). Một cây cột được dựng trên một sàn phẳng. Người ta thả dây dọi và ngắm thấy cột song song với dây dọi. Hỏi có thể khẳng định rằng cây cột vuông góc với sàn hay không? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Phương thẳng đứng chỉ vuông góc với các mặt phẳng nằm ngang.
Nếu $a ⊥ (P)$ thì mọi đường thẳng song song với $a$ cũng vuông góc với $(P)$ ; hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Nếu $Δ ⊥ (P)$ thì $Δ$ vuông góc với mọi mặt phẳng song song với $(P)$ ; hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Dây dọi cho phương thẳng đứng; cột song song với dây dọi nên cột thẳng đứng. Nhưng 'vuông góc với sàn' chỉ đúng khi sàn là mặt phẳng nằm ngang — đề chỉ nói sàn phẳng. Bẫy: đồng nhất 'thẳng đứng' với 'vuông góc với sàn'.

1Cách 1. Phân tích điều kiện

Định hướng. Tách hai thông tin: cột thẳng đứng, sàn phẳng (chưa biết có nằm ngang không).

Cột

∥

dây dọi

\Rightarrow

cột có phương thẳng đứng.
Phương thẳng đứng

⊥

mặt phẳng nằm ngang; sàn chỉ được cho là phẳng.

\Rightarrow

cột

⊥

sàn

\Leftrightarrow

sàn nằm ngang.

Vậy không thể khẳng định; chỉ khi sàn nằm ngang thì cột mới vuông góc với sàn.

2Cách 2. Phản ví dụ

Định hướng. Chỉ ra một sàn phẳng không nằm ngang.

Sàn nhà tắm, mặt đường dốc (Hình 7.31) là mặt phẳng nghiêng.
Cột đèn thẳng đứng (song song dây dọi) dựng trên mặt dốc không vuông góc với mặt dốc.

Vậy không khẳng định được cột vuông góc với sàn.

3Cách 3. Lập luận bằng tính chất song song – vuông góc

Định hướng. Giả sử cột vuông góc với sàn; xem điều đó buộc sàn phải thế nào.

Cột

⊥

sàn, cột

∥

dây dọi

\Rightarrow

dây dọi

⊥

sàn.
Mặt phẳng nằm ngang qua chân cột cũng

⊥

dây dọi

\Rightarrow

sàn

∥

mặt phẳng nằm ngang hoặc trùng nó.

\Rightarrow

điều khẳng định chỉ đúng khi sàn nằm ngang, mà đề không cho.

Vậy không thể khẳng định cột vuông góc với sàn.

Nhận xét. Muốn kiểm tra cột vuông góc với sàn phải so với hai đường thẳng cắt nhau trên sàn (ê ke), không phải so với dây dọi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là câu trả lời chuẩn; thêm phản ví dụ ở Cách 2 để bài thuyết phục.

Đáp số. Không khẳng định được. Cột song song dây dọi chỉ cho biết cột thẳng đứng; cột vuông góc với sàn khi và chỉ khi sàn nằm ngang.

Sai lầm thường gặp. Trả lời 'có, vì dây dọi luôn vuông góc với mặt đất' là sai: dây dọi vuông góc với mặt phẳng nằm ngang, không phải mọi mặt phẳng.

🚀 Mở rộng. Ngược lại, nếu biết thêm sàn nằm ngang (kiểm tra bằng ống nước, thước thuỷ) thì cột song song với dây dọi sẽ vuông góc với sàn.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 22. Hai đường thẳng vuông góc Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 11

📚 Cùng chương: Chương VII. Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc
▶ Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng