Chương VII. Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 2 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang28 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 7.6★★Trang 28— Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (chuỗi)

Bài 7.6 (trang 28). Cho hình chóp

S . A B C

có

S A

vuông góc với mặt phẳng

(A B C)

và đáy là tam giác

A B C

vuông tại

B

. Kẻ

A M

vuông góc với

S B

tại

M

và

A N

vuông góc với

S C

tại

N

. Chứng minh rằng:
a)

B C ⊥ (S A B)

;
b)

A M ⊥ (S B C)

;
c)

S C ⊥ (A M N)

Kiến thức cần nhớ

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Đường thẳng $Δ$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nếu $Δ$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ ; kí hiệu $Δ ⊥ (P)$ .
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Định lí Pythagore đảo.

🧠 Phân tích tư duy

Ba câu nối nhau:

B C ⊥ (S A B)

cho

B C ⊥ A M

; cùng với

A M ⊥ S B

được

A M ⊥ (S B C)

; từ đó

A M ⊥ S C

và thêm

A N ⊥ S C

. Bẫy: ở câu c) không được dùng

M N

khi chưa chứng minh gì về nó.

1Cách 1. Chuỗi dấu hiệu

Định hướng. Mỗi câu là tiền đề cho câu sau.

B C ⊥ A B

B C ⊥ S A

\Rightarrow B C ⊥ (S A B)

.
b)

A M \subset (S A B) \Rightarrow A M ⊥ B C

;

A M ⊥ S B

\Rightarrow A M ⊥ (S B C)

.
c)

S C \subset (S B C) \Rightarrow S C ⊥ A M

;

S C ⊥ A N

\Rightarrow S C ⊥ (A M N)

Vậy $B C ⊥ (S A B)$ , $A M ⊥ (S B C)$ , $S C ⊥ (A M N)$ .

2Cách 2. Pythagore đảo cho câu b)

Định hướng. Đặt $A B = a$ , $B C = b$ , $S A = h$ ; kiểm tra $A M ⊥ M C$ .

A M^{2} = \frac{a ^{2} h ^{2}}{a ^{2} + h ^{2}}

M B^{2} = \frac{a ^{4}}{a ^{2} + h ^{2}}

B C ⊥ S B

(câu a)

\Rightarrow M C^{2} = M B^{2} + b^{2}

A M^{2} + M C^{2} = \frac{a ^{2} h ^{2} + a ^{4}}{a ^{2} + h ^{2}} + b^{2} = a^{2} + b^{2} = A C^{2}

\Rightarrow A M ⊥ M C

A M ⊥ S B

A M ⊥ M C

\Rightarrow A M ⊥ (S B C)

; câu c) như Cách 1.

Vậy $A M ⊥ (S B C)$ và $S C ⊥ (A M N)$ .

3Cách 3. Mặt phẳng qua

A

vuông góc với

S C

cho câu c)

Định hướng. Mọi đường qua $A$ vuông góc với $S C$ nằm trong một mặt phẳng duy nhất.

A M ⊥ S C

(câu b),

A N ⊥ S C

\Rightarrow A M, A N

nằm trong mặt phẳng

(α)

qua

A

vuông góc với

S C

A, M, N

không thẳng hàng

\Rightarrow (A M N) \equiv (α)

\Rightarrow S C ⊥ (A M N)

\Rightarrow S C ⊥ M N

(hệ quả).

Vậy $S C ⊥ (A M N)$ .

Nhận xét. Hệ quả $S C ⊥ M N$ cho thấy tam giác $A M N$ vuông tại $M$ (vì $A M ⊥ (S B C) \supset M N$ ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba dòng, ba dấu hiệu, không tính toán.

Đáp số. a)

B C ⊥ (S A B)

; b)

A M ⊥ (S B C)

; c)

S C ⊥ (A M N)

Sai lầm thường gặp. Ở câu b) viết '

A M ⊥ S B

A M ⊥ S C

' là lập luận vòng vì

A M ⊥ S C

là hệ quả của b). Ở câu a) nhầm

B C ⊥ A C

(tam giác vuông tại

B

, không phải tại

C

🚀 Mở rộng. Với

S A = A B = B C = 1

A M = \frac{2}{2}

A N = \frac{6}{3}

, tam giác

A M N

vuông tại

M

nên

M N = \frac{6}{6}

và

S_{A M N} = \frac{3}{12}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 7.7★★★Trang 28— Tứ diện vuông: trực tâm và hệ thức đường cao

Bài 7.7 (trang 28). Cho tứ diện

O A B C

có ba cạnh

O A

O B

O C

đôi một vuông góc với nhau. Gọi

H

là chân đường vuông góc hạ từ

O

đến mặt phẳng

(A B C)

. Chứng minh rằng:
a)

B C ⊥ (O A H)

;
b)

H

là trực tâm của tam giác

A B C

;
c)

\frac{1}{O H ^{2}} = \frac{1}{O A ^{2}} + \frac{1}{O B ^{2}} + \frac{1}{O C ^{2}}

Kiến thức cần nhớ

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Trong tam giác vuông, đường cao $h$ ứng với cạnh huyền thoả $\frac{1}{h ^{2}} = \frac{1}{b ^{2}} + \frac{1}{c ^{2}}$ .
Thể tích khối chóp $V = \frac{1}{3} S \cdot h$ .
Trực tâm là giao điểm hai đường cao của tam giác.

🧠 Phân tích tư duy

Tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc tại

O

gọi là tứ diện vuông;

O A ⊥ (O B C)

vì

O A

vuông góc với hai đường cắt nhau

O B

O C

. Câu a) cho

A H ⊥ B C

, lặp lại vai trò cho

B H ⊥ C A

ở câu b). Câu c) là hệ thức lượng trong hai tam giác vuông

O A K

và

O B C

với

K = A H \cap B C

1Cách 1. Dấu hiệu và hệ thức lượng

Định hướng. Chuyển mọi thứ về hai tam giác vuông $O B C$ và $O A K$ .

O A ⊥ O B

O A ⊥ O C

\Rightarrow O A ⊥ (O B C) \Rightarrow O A ⊥ B C

;

O H ⊥ (A B C) \Rightarrow O H ⊥ B C

\Rightarrow B C ⊥ (O A H)

.
b)

A H \subset (O A H) \Rightarrow A H ⊥ B C

; tương tự

C A ⊥ (O B H) \Rightarrow B H ⊥ C A

\Rightarrow H

là trực tâm

△ A B C

.
c) Gọi

K = A H \cap B C

;

B C ⊥ (O A H) \Rightarrow O K ⊥ B C

;

O A ⊥ O K

O H ⊥ A K

\frac{1}{O H ^{2}} = \frac{1}{O A ^{2}} + \frac{1}{O K ^{2}} = \frac{1}{O A ^{2}} + \frac{1}{O B ^{2}} + \frac{1}{O C ^{2}}

Vậy $B C ⊥ (O A H)$ , $H$ là trực tâm tam giác $A B C$ và $\frac{1}{O H ^{2}} = \frac{1}{O A ^{2}} + \frac{1}{O B ^{2}} + \frac{1}{O C ^{2}}$ .

2Cách 2. Tính thể tích hai cách cho câu c)

Định hướng. Đặt $O A = p$ , $O B = q$ , $O C = r$ ; $O H$ là chiều cao của hình chóp $O . A B C$ .

V = \frac{1}{6} pq r

;

O K = \frac{q r}{q ^{2} + r ^{2}}

A K^{2} = p^{2} + O K^{2} = \frac{p ^{2} q ^{2} + q ^{2} r ^{2} + r ^{2} p ^{2}}{q ^{2} + r ^{2}}

S_{A B C} = \frac{1}{2} B C \cdot A K = \frac{1}{2} p^{2} q^{2} + q^{2} r^{2} + r^{2} p^{2}

O H = \frac{3 V}{S _{A B C}} = \frac{pq r}{p ^{2} q ^{2} + q ^{2} r ^{2} + r ^{2} p ^{2}}

\Rightarrow \frac{1}{O H ^{2}} = \frac{p ^{2} q ^{2} + q ^{2} r ^{2} + r ^{2} p ^{2}}{p ^{2} q ^{2} r ^{2}} = \frac{1}{p ^{2}} + \frac{1}{q ^{2}} + \frac{1}{r ^{2}}

Vậy $\frac{1}{O H ^{2}} = \frac{1}{O A ^{2}} + \frac{1}{O B ^{2}} + \frac{1}{O C ^{2}}$ .

3Cách 3. Diện tích tam giác vuông

O A K

cho câu c)

Định hướng. Viết diện tích tam giác $O A K$ theo hai cạnh góc vuông và theo cạnh huyền.

O H \cdot A K = O A \cdot O K \Rightarrow O H^{2} = \frac{O A ^{2} \cdot O K ^{2}}{O A ^{2} + O K ^{2}}

\Rightarrow \frac{1}{O H ^{2}} = \frac{O A ^{2} + O K ^{2}}{O A ^{2} \cdot O K ^{2}} = \frac{1}{O K ^{2}} + \frac{1}{O A ^{2}}

;
tương tự trong

△ O B C

\frac{1}{O K ^{2}} = \frac{1}{O B ^{2}} + \frac{1}{O C ^{2}}

Vậy hệ thức ở câu c) được chứng minh.

Nhận xét. Đây là bản không gian của hệ thức $\frac{1}{h ^{2}} = \frac{1}{b ^{2}} + \frac{1}{c ^{2}}$ trong tam giác vuông.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp hệ thức lượng hai lần, gọn nhất; Cách 2 hữu ích khi đề hỏi thêm diện tích

A B C

Đáp số. a)

B C ⊥ (O A H)

; b)

H

là trực tâm

△ A B C

; c)

\frac{1}{O H ^{2}} = \frac{1}{O A ^{2}} + \frac{1}{O B ^{2}} + \frac{1}{O C ^{2}}

Sai lầm thường gặp. Ở câu c) nhầm

O K

là trung tuyến hoặc dùng

\frac{1}{O H ^{2}} = \frac{1}{O A ^{2}} + \frac{1}{O B ^{2}}

(quên cạnh thứ ba). Ở câu b) chỉ chứng minh một đường cao là chưa đủ.

🚀 Mở rộng. Với

O A = O B = O C = a

O H = \frac{a}{3}

, và

H

là tâm tam giác đều

A B C

cạnh

a 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 7.8★★Trang 28— Chứng minh hai đường thẳng vuông góc qua đường vuông góc mặt phẳng

Bài 7.8 (trang 28). Cho tứ diện

A B C D

có

A B = A C

và

D B = D C

. Chứng minh rằng

A D ⊥ B C

Kiến thức cần nhớ

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB (qua trung điểm AB, vuông góc với AB) là tập hợp các điểm cách đều A và B.
Tam giác cân: trung tuyến ứng với cạnh đáy là đường cao.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 7.9★★Trang 28— Liên hệ song song – vuông góc trong lăng trụ

Bài 7.9 (trang 28). Cho hình lăng trụ tam giác

A B C . A^{'} B^{'} C^{'}

có

A A^{'}

vuông góc với mặt phẳng

(A B C)

và đáy là tam giác

A B C

vuông tại

B

. Chứng minh rằng:
a)

B B^{'} ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'})

;
b)

B^{'} C^{'} ⊥ (A B B^{'} A^{'})

Kiến thức cần nhớ

Nếu $a ⊥ (P)$ thì mọi đường thẳng song song với $a$ cũng vuông góc với $(P)$ ; hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Nếu $Δ ⊥ (P)$ thì $Δ$ vuông góc với mọi mặt phẳng song song với $(P)$ ; hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 7.10★★Trang 28— Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 7.10 (trang 28). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình thoi tâm

O

và

S A = S C

S B = S D

. Chứng minh rằng:
a)

S O ⊥ (A B C D)

;
b)

A C ⊥ (S B D)

và

B D ⊥ (S A C)

Kiến thức cần nhớ

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Hình thoi có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB (qua trung điểm AB, vuông góc với AB) là tập hợp các điểm cách đều A và B.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 7.11★★★★Trang 28— Trực tâm và quan hệ vuông góc trong hình chóp

Bài 7.11 (trang 28). Cho hình chóp

S . A B C

có

S A ⊥ (A B C)

, tam giác

A B C

nhọn. Gọi

H

K

lần lượt là trực tâm của tam giác

A B C

và

S B C

. Chứng minh rằng:
a)

B C ⊥ (S A H)

và các đường thẳng

A H

B C

S K

đồng quy;
b)

S B ⊥ (C H K)

và

H K ⊥ (S B C)

Kiến thức cần nhớ

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Đường thẳng $Δ$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nếu $Δ$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ ; kí hiệu $Δ ⊥ (P)$ .
Trực tâm là giao điểm các đường cao; mỗi đường thẳng qua một đỉnh và trực tâm vuông góc với cạnh đối diện.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 7.12★★Trang 28— Vận dụng thực tế: thẳng đứng và vuông góc với mặt phẳng

Bài 7.12 (trang 28). Một cây cột được dựng trên một sàn phẳng. Người ta thả dây dọi và ngắm thấy cột song song với dây dọi. Hỏi có thể khẳng định rằng cây cột vuông góc với sàn hay không? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Phương thẳng đứng chỉ vuông góc với các mặt phẳng nằm ngang.
Nếu $a ⊥ (P)$ thì mọi đường thẳng song song với $a$ cũng vuông góc với $(P)$ ; hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Nếu $Δ ⊥ (P)$ thì $Δ$ vuông góc với mọi mặt phẳng song song với $(P)$ ; hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.