Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Định hướng. Mỗi đường thẳng qua $B$ trên sàn là một vị trí của mép $BC$; đường thẳng bất kì trên sàn thì dời song song về $B$.

Vậy $AB$ vuông góc với mọi đường thẳng qua $B$ trên sàn, và vuông góc với mọi đường thẳng trên sàn nhà.

Định hướng. Giả sử có một đường thẳng trên sàn không vuông góc với $AB$ rồi chỉ ra điều vô lí với góc vuông của cánh cửa.

Vậy mọi đường thẳng trên sàn nhà đều vuông góc với $AB$, tức là $AB$ vuông góc với sàn nhà.

Nhận xét. Đây chính là hình ảnh trực quan của định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Định hướng. Xét lần lượt $\Delta \subset (P)$ và $\Delta \parallel (P)$.

Vậy đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau thì luôn cắt nhau.

Định hướng. Nếu $\Delta$ không cắt $(P)$ thì luôn có đường thẳng trong $(P)$ song song hoặc trùng với $\Delta$.

Vậy $\Delta$ và $(P)$ cắt nhau.

Nhận xét. Giao điểm đó gọi là chân đường vuông góc; nhờ nó mới định nghĩa được hình chiếu vuông góc ở Bài 24.

Định hướng. Hai nửa tấm bìa là hình chữ nhật chung cạnh $AB$.

Vậy a) $AB$ vuông góc với $AN$ và $AD$; b) $AB$ vuông góc với $a$.

Định hướng. Hai mép $AN$, $AD$ là hai đường thẳng cắt nhau trên mặt bàn.

Vậy $AB$ vuông góc với mọi đường thẳng $a$ qua $A$ trên mặt bàn.

Nhận xét. Kết quả kiểm tra bằng ê ke chính là nội dung của định lí dấu hiệu nêu ngay sau hoạt động.

Định hướng. Gọi tam giác là $ABC$, đường thẳng $d\perp AB$, $d\perp AC$.

Vậy đường thẳng đó vuông góc với cạnh còn lại.

Định hướng. Dời $d$ song song về đỉnh $A$ rồi lấy hai điểm đối xứng qua $A$.

Vậy $d\perp BC$.

Nhận xét. Cách 2 dùng tính chất mặt phẳng trung trực (Ví dụ 2, trang 33) — một lời giải không cần tới định lí dấu hiệu.

Định hướng. Tam giác $SAC$, $SBD$ cân tại $S$, có trung tuyến chung $SO$.

Vậy $SO\perp (ABCD)$.

Định hướng. Chứng minh các góc $\widehat{SOA}$, $\widehat{SOB}$ vuông bằng hai góc kề bù bằng nhau.

Vậy $SO\perp (ABCD)$.

Định hướng. $S$ và $O$ cùng cách đều hai đầu mút của mỗi đường chéo.

Vậy $SO\perp (ABCD)$.

Nhận xét. Ba cách đều quy về $SO\perp AC$, $SO\perp BD$; khác nhau ở công cụ chứng minh từng vuông góc.

Định hướng. Hai thanh đế là hai đường thẳng cắt nhau tại chân cột $O$ trên sàn.

Vậy cột treo vuông góc với sàn nhà.

Định hướng. Nếu cột không vuông góc với sàn thì có đường thẳng trên sàn không vuông góc với cột; chỉ ra điều mâu thuẫn.

Vậy cột treo vuông góc với sàn nhà.

Nhận xét. Chỉ cần hai thanh đế không thẳng hàng; làm hình chữ thập vuông góc với nhau cho đẹp và vững chứ không bắt buộc.

Định hướng. Chứng tỏ $a$, $b$ cắt nhau rồi đo góc của $\Delta$ với chúng thông qua $d$.

Vậy mp$(a,b)$ đi qua $O$ và vuông góc với $\Delta$.

Định hướng. Chứng minh $d\perp$ mp$(a,b)$ trước, sau đó chuyển sang $\Delta \parallel d$.

Vậy mp$(a,b)$ qua $O$ và vuông góc với $\Delta$.

Nhận xét. Cách 2 dùng tính chất ở mục 3; Cách 1 chỉ dùng định nghĩa góc nên dùng được ngay tại chỗ.

Định hướng. Giả sử $(\alpha )\equiv (\beta )$, cắt mặt phẳng này bởi $(P)$ để được hai đường cùng vuông góc với một đường trong $(P)$.

Vậy a) $(\alpha )$, $(\beta )$ cắt nhau theo đường thẳng $\Delta$ qua $O$; b) $\Delta \perp (P)$.

Định hướng. Nếu $(\alpha )\equiv (\beta )$ thì $a$, $b$ cùng vuông góc với một mặt phẳng nên phải song song hoặc trùng nhau.

Vậy $\Delta$ là đường thẳng qua $O$ vuông góc với $(P)$.

Nhận xét. Hoạt động cho cách dựng đường thẳng qua một điểm vuông góc với một mặt phẳng; kết hợp với câu hỏi 1 trang 32 ta được tính duy nhất.

Định hướng. Qua $A$ chỉ có một đường thẳng vuông góc với $(P)$.

Vậy $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.

Định hướng. Nếu $A,B,C$ không thẳng hàng, mặt phẳng $(ABC)$ cắt $(P)$ theo một giao tuyến $c$.

Vậy $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.

Định hướng. Dùng tính chất: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song.

Vậy $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.

Nhận xét. Cả ba cách đều dựa trên cùng một sự thật: phương vuông góc với một mặt phẳng là duy nhất.

Định hướng. Chuyển góc $(b,m)$ về $(a,m)$.

Vậy $(b,m)=90^{\circ }$ và $b\perp (P)$.

Định hướng. Chỉ cần hai đường cắt nhau trong $(P)$.

Vậy $b\perp (P)$.

Nhận xét. Kết quả: đường thẳng song song với một đường vuông góc với mặt phẳng thì cũng vuông góc với mặt phẳng đó.

Định hướng. Chuyển tính vuông góc từ $b$ sang $c$ rồi so sánh $c$ với $a$.

Vậy a) $c\perp (P)$ và $c$ trùng $a$; b) $a\parallel b$.

Định hướng. Nếu $a\ne c$, xét mặt phẳng $(a,c)$ cắt $(P)$.

Vậy $a\equiv c$ và $a\parallel b$.

Nhận xét. Kết quả: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

Định hướng. Chuyển góc qua đường song song $a$.

Vậy $(\Delta ,b)=(\Delta ,a)=90^{\circ }$ và $\Delta \perp (Q)$.

Định hướng. Lấy hai đường cắt nhau trong $(Q)$ và các đường song song tương ứng trong $(P)$.

Vậy $\Delta \perp (Q)$.

Nhận xét. Kết quả: đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với mọi mặt phẳng song song với nó.

Định hướng. Chuyển tính vuông góc từ $(Q)$ sang $(R)$.

Vậy a) $(R)\perp \Delta$, $(R)$ trùng $(P)$; b) $(P)\parallel (Q)$.

Định hướng. Nếu $(P)$ và $(Q)$ có điểm chung thì qua điểm đó có hai mặt phẳng vuông góc với $\Delta$.

Vậy $(R)\equiv (P)$, $(R)\perp \Delta$ và $(P)\parallel (Q)$.

Nhận xét. Kết quả: hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

Định hướng. Lấy một chân bàn làm đường thẳng $\Delta$.

Vậy hai mặt phẳng đó song song với nhau.

Định hướng. Nếu hai mặt phẳng có điểm chung thì qua điểm đó có hai mặt phẳng vuông góc với chân bàn.

Vậy mặt bàn song song với mặt sàn.

Định hướng. Hai chân bàn cho một hình chữ nhật đứng; từ đó có hai đường cắt nhau trên mặt bàn song song với sàn.

Vậy mặt bàn song song với mặt sàn.

Nhận xét. Cách 3 dùng thêm giả thiết các chân dài bằng nhau; Cách 1 và 2 chỉ cần một chân vuông góc với cả hai mặt.

Định hướng. Dựng $a^{\prime }$ trong $(P)$, $a^{\prime }\parallel a$.

Vậy $(\Delta ,a)=90^{\circ }$.

Định hướng. Gọi $H=\Delta \cap (P)$, kẻ qua $H$ đường song song với $a$.

Vậy $(\Delta ,a)=90^{\circ }$.

Nhận xét. Kết quả: đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng song song với mặt phẳng đó.

Định hướng. $a^{\prime }$ và $(P)$ đều 'thuộc' mặt phẳng qua $O$ vuông góc với $\Delta$.

Vậy a) $a^{\prime }\subset (P)$; b) $a\parallel (P)$ hoặc $a\subset (P)$.

Định hướng. Nếu $a^{\prime }$ không nằm trong $(P)$ thì $a^{\prime }$ cắt $(P)$ chỉ tại $O$; mặt phẳng $(a^{\prime },{\Delta }^{\prime })$ sẽ chứa hai đường qua $O$ vuông góc với ${\Delta }^{\prime }$.

Vậy $a^{\prime }\subset (P)$, và $a$ song song với $(P)$ hoặc nằm trong $(P)$.

Nhận xét. Kết quả: nếu đường thẳng và mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì đường thẳng đó song song hoặc nằm trong mặt phẳng.

Định hướng. Tìm đường thứ hai trong $(MBD)$ vuông góc với $SC$, sau đó dùng HĐ10.

Vậy $SC\perp (MBD)$ và $AH\parallel (MBD)$.

Định hướng. Hai tam giác $SBC$ và $SDC$ bằng nhau nên chân đường cao từ $B$ và từ $D$ xuống $SC$ trùng nhau.

Vậy $SC\perp (MBD)$ và $AH\parallel (MBD)$.

Định hướng. $AH$ và $OM$ cùng nằm trong $(SAC)$ và cùng vuông góc với $SC$.

Vậy $AH\parallel (MBD)$.

Nhận xét. Trong $(SAC)$, $OM$ chính là đường trung bình của tam giác $AHC$: $O$ là trung điểm $AC$ nên $M$ là trung điểm $HC$.

Định hướng. Có $SA\perp BC$ và $AM\perp BC$.

Vậy $BC\perp (SAM)$ và tam giác $SBC$ cân tại $S$.

Định hướng. Tính $SB$, $SC$ trong hai tam giác vuông tại $A$.

Vậy $BC\perp (SAM)$ và $△SBC$ cân tại $S$.

Định hướng. $A$, $S$, $M$ cùng cách đều $B$ và $C$.

Vậy $BC\perp (SAM)$ và $△SBC$ cân tại $S$.

Nhận xét. Cách 3 làm b) trước rồi suy ra a); hai câu thực chất chứng minh cùng một sự thật: $(SAM)$ là mặt phẳng trung trực của $BC$.