Bài tập ôn tập cuối năm

Bài 1 (trang 47). Giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-m{x}^2+4x-2023$ đạt cực trị tại $x=2$ là
A. Không tồn tại $m$.
B. $m=-2$.
C. $m=2$.
D. $m=0$.

Bài 2 (trang 48). Cho hàm số $y=x^3+3x^2+1$ có đồ thị $(C)$. Xét đường thẳng đi qua điểm $A(-3;1)$ và có hệ số góc $k$. Điều kiện của $k$ để đường thẳng đó cắt đồ thị $(C)$ tại ba điểm phân biệt là
A. $0<k<1$.
B. $k>0$.
C. $1<k<9$.
D. $0<k\ne 9$.

Bài 3 (trang 48). Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?
A. $y=\frac{x^2-2x}{x+1}$.
B. $y=\frac{x^2+2x}{x+1}$.
C. $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}$.
D. $y=\frac{2x}{x+1}$.

Bài 4 (trang 48). Tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $y=x+m-1$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x+1}$ tại hai điểm $A$, $B$ thoả mãn $AB=2\sqrt{3}$ là
A. $m=2\pm \sqrt{10}$.
B. $m=4\pm \sqrt{3}$.
C. $m=2\pm \sqrt{3}$.
D. $m=4\pm \sqrt{10}$.

Bài 5 (trang 48). Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x+1}{x+1}$ có đồ thị $(C)$. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Đường thẳng $x=-1$ là tiệm cận đứng của đồ thị $(C)$.
B. Đường thẳng $y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị $(C)$.
C. Đường thẳng $y=x-3$ là tiệm cận xiên của đồ thị $(C)$.
D. Hàm số có hai cực trị.

Bài 6 (trang 49). Cho $f(x)$ là một hàm số liên tục trên đoạn $[a;b]$ và $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $[a;b]$. Khi đó ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ có giá trị bằng
A. $F(b)-F(a)$.
B. $F(b)-F(a)+C$; $C$ là hằng số.
C. $F(a)-F(b)$.
D. $F(a)-F(b)+C$; $C$ là hằng số.

Bài 7 (trang 49). Phát biểu nào sau đây là sai?
A. $\int \mathrm{d}x=x+C$.
B. $\int x^3\mathrm{d}x=\frac{1}{4}{x}^4+C$.
C. $\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln x+C$.
D. $\int e^x\mathrm{d}x=e^x+C$.

Bài 8 (trang 49). Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=4x^3+2x-1$ thoả mãn $F(1)=10$ là
A. $F(x)=x^4+x^2-1$.
B. $F(x)=x^4-x^2+10$.
C. $F(x)=x^4+x^2-x+9$.
D. $F(x)=x^4+x^2-x+10$.

Bài 9 (trang 49). Cho ${\int }_0^{4}f(x)\mathrm{d}x=5$ và ${\int }_0^{4}g(x)\mathrm{d}x=6$. Giá trị của ${\int }_0^4\left[f(x)+2g(x)\right]\mathrm{d}x$ là
A. $17$.
B. $16$.
C. $11$.
D. $22$.

Bài 10 (trang 49). Tích phân $\pi {\int }_1^3(x-1{)}^2\mathrm{d}x$ dùng để tính một trong các đại lượng sau, đó là đại lượng nào?
A. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: $y=(x-1{)}^2$, $y=0$, $x=1$, $x=3$.
B. Thể tích khối tròn xoay hình thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: $y=x-1$, $y=0$, $x=1$, $x=3$ quanh trục $Ox$.
C. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: $y=(x-1{)}^2$, $y=0$, $x=2$, $x=3$.
D. Thể tích khối tròn xoay hình thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường: $y=x-1$, $y=0$, $x=2$, $x=3$ quanh trục $Ox$.

Bài 11 (trang 50). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=x^2+2$, $y=3x$ và các đường thẳng $x=1$, $x=2$ là
A. $\frac{1}{4}$.
B. $\frac{1}{6}$.
C. $\frac{1}{3}$.
D. $\frac{1}{5}$.

Bài 12 (trang 50). Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, biết $SA=AB=BC=a$. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AC$. Tích vô hướng $\overrightarrow{SM}\cdot \overrightarrow{BC}$ bằng
A. $\frac{a^2}{2}$.
B. $a^2$.
C. $-a^2$.
D. $-\frac{a^2}{2}$.

Bài 13 (trang 50). Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $AD{A}^{\prime }$ và $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $C{C}^{\prime }$. Hệ thức biểu diễn $\overrightarrow{GM}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ là
A. $\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
B. $\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{3}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
C. $\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{6}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.
D. $\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{6}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

Bài 14 (trang 50). Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z+4}{-3}$. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là
A. ${\overrightarrow{u}}_1=(3;-1;-4)$.
B. ${\overrightarrow{u}}_2=(-4;-2;6)$.
C. ${\overrightarrow{u}}_3=(2;1;3)$.
D. ${\overrightarrow{u}}_4=(3;1;4)$.

Bài 15 (trang 50). Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(2;-1;-3)$ và mặt phẳng $(P):2x-2y-z=0$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(P)$ là
A. $3$.
B. $6$.
C. $\frac{2}{3}$.
D. $\frac{1}{3}$.

Bài 16 (trang 50). Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-2x-4y+6z+9=0$. Toạ độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ lần lượt là
A. $I(1;2;-3)$, $R=5$.
B. $I(1;2;-3)$, $R=\sqrt{5}$.
C. $I(2;4;-6)$; $R=5$.
D. $I(2;4;-6)$; $R=\sqrt{5}$.

Bài 17 (trang 51). Bảng tần số ghép nhóm sau cho biết thành tích luyện tập của một vận động viên nghiệp dư chạy maraton 42 km.

Thời gian (giờ)	$[6;6,5)$	$[6,5;7)$	$[7;7,5)$	$[7,5;8)$	$[8;8,5)$
Số lần	$2$	$6$	$7$	$4$	$1$

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là
A. $0,5$.
B. $1,5$.
C. $2,0$.
D. $2,5$.

Bài 18 (trang 51). Bảng tần số ghép nhóm sau cho biết thành tích luyện tập của một vận động viên nghiệp dư chạy maraton 42 km.

Thời gian (giờ)	$[6;6,5)$	$[6,5;7)$	$[7;7,5)$	$[7,5;8)$	$[8;8,5)$
Số lần	$2$	$6$	$7$	$4$	$1$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
A. $0,5$.
B. $0,75$.
C. $6,75$.
D. $7,5$.

Bài 19 (trang 51). Bảng tần số ghép nhóm sau cho biết thành tích luyện tập của một vận động viên nghiệp dư chạy maraton 42 km.

Thời gian (giờ)	$[6;6,5)$	$[6,5;7)$	$[7;7,5)$	$[7,5;8)$	$[8;8,5)$
Số lần	$2$	$6$	$7$	$4$	$1$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (làm tròn đến chữ số hàng phần trăm) là
A. $0,51$.
B. $0,61$.
C. $0,71$.
D. $0,81$.

Bài 20 (trang 51). Chọn ngẫu nhiên một lá bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 lá bài. Xác suất để lá bài lấy ra có chất rô, nếu biết rằng lá bài đó mang số chẵn là
A. $\frac{1}{4}$.
B. $\frac{3}{8}$.
C. $\frac{1}{3}$.
D. $\frac{5}{13}$.

Bài 21 (trang 51). Chọn ngẫu nhiên gia đình có 2 con. Biết rằng người con đầu là con gái. Xác suất để gia đình đó có hai con gái là
A. $0,6$.
B. $0,5$.
C. $0,55$.
D. $0,65$.

Bài 22 (trang 51). Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Biết rằng số chấm trên hai con xúc xắc bé hơn 5. Xác suất để tổng số chấm bằng 6 là
A. $\frac{3}{17}$.
B. $\frac{4}{17}$.
C. $\frac{5}{19}$.
D. $\frac{3}{16}$.

Bài 23 (trang 51). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $y=-x^3+3x^2-2$.
b) Tìm điều kiện của tham số $m$ để phương trình $x^3-3x^2+5-m=0$ có ba nghiệm phân biệt.
c) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số mà tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó có hệ số góc lớn nhất.

Bài 24 (trang 51). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(H)$ của hàm số $y=\frac{2x-1}{x-1}$. Tìm toạ độ tâm đối xứng $I$ của đồ thị.
b) Tìm điều kiện của tham số $m$ để đường thẳng $d:y=-x+m$ cắt đồ thị $(H)$ tại hai điểm phân biệt.
c) Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị $(H)$ tại mọi điểm $M$ thuộc $(H)$ luôn cắt hai tiệm cận của $(H)$ tại hai điểm $A$ và $B$ và diện tích tam giác $IAB$ không đổi.

Bài 25 (trang 52). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số $y=-\frac{x^2+x+1}{x}$.
b) Tìm các giá trị của $m$ để đường thẳng $d:y=-2x+m$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn $AB$ ngắn nhất.

Bài 26 (trang 52). a) Lập bảng biến thiên của hàm số $y=\frac{x^2}{x+1}$.
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=\frac{{\cos }^2\alpha }{\cos \alpha +1}$.

Bài 27 (trang 52). Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính $R$.
a) Chứng minh rằng thể tích của khối chóp tương ứng là $V=\frac{4R^2{x}^2}{3(x-2R)}$, trong đó $x$ là chiều cao của hình chóp.
b) Với giá trị nào của $x$ để khối chóp tương ứng có thể tích nhỏ nhất?
Hướng dẫn: a) Mặt phẳng đi qua đường cao $SH$ của hình chóp và trung điểm $M$ của một cạnh đáy cắt hình chóp theo tam giác cân $SMN$ và cắt hình cầu theo hình tròn tâm $I$ bán kính $R$ nội tiếp tam giác $SMN$. Có thể tính thể tích khối chóp theo $x$ và $\alpha =\widehat{SNH}$. Sau đó sử dụng đẳng thức $x=R+IS$ để tìm hệ thức giữa $R$, $x$ và $\alpha$.

Bài 28 (trang 52). Tìm họ các nguyên hàm của mỗi hàm số sau:
a) $f(x)=3x^2-2x+\frac{2}{x}$;
b) $g(x)=\sin x-\frac{3}{{\cos }^{2}x}+1$;
c) $h(x)=(3x-1{)}^2-2\sqrt{x}+\sin x-1$.

Bài 29 (trang 53). Tính:
a) ${\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\sin }^2\frac{x}{2}\mathrm{d}x$;
b) ${\int }_0^1\left(3x-4x^3\right)\mathrm{d}x+{\int }_1^2\left(4x^3-3x\right)\mathrm{d}x$;
c) ${\int }_0^6\left(|2x-2|+4x^2\right)\mathrm{d}x$.

Bài 30 (trang 53). Cho hàm số $f(x)$ có $f^{\prime }(x)=10x-e^x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Biết $f(0)=1$, tính giá trị $f(2)$.

Bài 31 (trang 53). Một ô tô đang chạy với vận tốc $15\text{ m/s}$ thì tăng tốc, chuyển động nhanh dần với gia tốc $a=3t-8({\text{m/s}}^2)$, trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng vận tốc.
a) Biết vận tốc của ô tô là $v(t)=\frac{a}{2}{t}^2+bt+c$, với $a$, $b$, $c$ là các số nguyên. Tính giá trị $a+b+c$.
b) Quãng đường ô tô đi được sau $10$ giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Bài 32 (trang 53). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}-2$, trục hoành và các đường thẳng $x=4$, $x=9$.

Bài 33 (trang 53). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh $Ox$ hình phẳng giới hạn bởi đường parabol $y=x^2-3x+2$, trục hoành và các đường thẳng $x=1$, $x=2$.

Bài 34 (trang 53). Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $a$. Tính $\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)\cdot \overrightarrow{BC}$.

Bài 35 (trang 53). Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-3}{2}$ và mặt phẳng $(P):2x+y-z-3=0$.
a) Tính góc giữa đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$.
b) Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ chứa $\Delta$ và mặt phẳng $(Q)$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$.

Bài 36 (trang 54). Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S):x^2+y^2+(z-2{)}^2=9$ và mặt phẳng $(P):2x+2y-z+8=0$.
a) Xác định tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$.
b) Chứng minh rằng mặt phẳng $(P)$ cắt mặt cầu $(S)$. Tính bán kính $r$ của đường tròn là giao tuyến của $(P)$ và $(S)$.

Bài 37 (trang 54). Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng: $\Delta :\{\begin{array}{l}x=3\\ y=1+t\\ z=-1+3t\end{array}$ và ${\Delta }^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=1+s\\ y=-2+3s\\ z=-5\end{array}$.
a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $\Delta$ và ${\Delta }^{\prime }$.
b) Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng $\Delta$ và ${\Delta }^{\prime }$.

Bài 38 (trang 54). Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1;2;0)$ và $B(3;2;2)$.
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng $AB$.
b) Viết phương trình mặt cầu đường kính $AB$.
c) Viết phương trình mặt phẳng $(OAB)$.
d) Tìm toạ độ của điểm $M$ trên mặt phẳng toạ độ $(Oyz)$ sao cho $M{A}^2+M{B}^2$ nhỏ nhất.

Bài 39 (trang 54). Một quả bóng được chuyền theo một đường parabol nằm trong một mặt phẳng $(\alpha )$ vuông góc với mặt sân cỏ, từ vị trí $O$ đến vị trí $A$ cách $O$ một khoảng $20$ m về hướng $\text{S}30^{\circ }\text{E}$ (hướng tạo với hướng nam góc $30^{\circ }$ và tạo với hướng đông góc $60^{\circ }$). Các vị trí $O$, $A$ đều thuộc sân cỏ. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc tại điểm $O$, các trục $Ox$, $Oy$ thuộc mặt sân cỏ (phẳng), tia $Ox$ chỉ hướng nam, tia $Oy$ chỉ hướng đông, đơn vị đo theo mét. Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha )$.

Bài 40 (trang 54). Đối với một vị trí $P$ trong không trung, gọi $M$ là giao điểm của tia $OP$ với bề mặt Trái Đất. Khi đó vĩ độ, kinh độ của $M$ cũng tương ứng được gọi là vĩ độ, kinh độ của $P$, độ dài $PM$ được gọi là cao độ (so với mặt đất) của $P$. Vị trí $P$ trong không trung hoàn toàn xác định khi biết vĩ độ, kinh độ và cao độ của nó. Tại một thời điểm, một vệ tinh ở vị trí có độ cao $19113$ km so với mặt đất và có vĩ độ, kinh độ tương ứng là $30^{\circ }\text{N}$, $60^{\circ }\text{W}$. Trong không gian $Oxyz$, tính toạ độ của vị trí vệ tinh tại thời điểm đó.

Bài 41 (trang 55). Một nhóm học sinh áp dụng hai thiết bị để đo công suất của một chiếc quạt điện và thu được bảng tần số ghép nhóm sau:

Công suất (W)	$[72;73)$	$[73;74)$	$[74;75)$	$[75;76)$	$[76;77)$
Số lần đo dùng thiết bị 1	$1$	$3$	$8$	$5$	$3$
Số lần đo dùng thiết bị 2	$3$	$4$	$6$	$5$	$2$

a) Tìm độ lệch chuẩn cho hai mẫu số liệu ghép nhóm về công suất của một chiếc quạt điện khi đo theo hai phương pháp trên.
b) Từ kết quả tính được hãy cho biết thiết bị nào cho kết quả ổn định hơn?

Bài 42 (trang 55). Nghiên cứu hiệu quả của hai loại thuốc hạ huyết áp A và B trên $4000$ người, ta thu được bảng thống kê $2\times 2$ sau đây:

Thuốc sử dụng	A	B
Hạ huyết áp	$1600$	$1200$
Không hạ huyết áp	$800$	$400$

Chọn ngẫu nhiên một người. Tính xác suất để:
a) Người đó hạ huyết áp biết rằng người đó dùng thuốc A;
b) Người đó dùng thuốc A biết rằng người đó hạ huyết áp;
c) Người đó dùng thuốc B biết rằng người đó không hạ huyết áp;
d) Người đó không hạ huyết áp biết rằng người đó dùng thuốc B.

Bài 43 (trang 55). Gieo ba con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét các biến cố sau:
$A$: “Số chấm trên mặt xuất hiện của ba con xúc xắc khác nhau”;
$B$: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.
Tính $P(A\mid B)$ và $P(B\mid A)$.

Bài 44 (trang 55). Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng sinh ra (gọi đó là cặp song sinh cùng trứng) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (gọi là cặp song sinh khác trứng). Cặp song sinh cùng trứng luôn có cùng giới tính. Cặp song sinh khác trứng có xác suất $\frac{1}{2}$ là cùng giới tính. Thống kê cho thấy $34\%$ cặp song sinh cùng là trai và $30\%$ cặp song sinh cùng là gái.
a) Chọn ngẫu nhiên một cặp trẻ sinh đôi. Tính xác suất để cặp trẻ sinh đôi được chọn là cặp song sinh cùng trứng.
b) Chọn ngẫu nhiên một cặp sinh đôi ta được một cặp sinh đôi có cùng giới tính. Tính xác suất để cặp sinh đôi này là cặp song sinh cùng trứng.

Bài 45 (trang 55). Thống kê cho thấy tỉ lệ người mắc bệnh X trong dân cư là $20\%$. Bệnh X có liên quan tới triệu chứng S.
a) Theo bác sĩ M nếu một người mắc bệnh X thì khả năng người đó có triệu chứng S là $90\%$ và nếu người đó không mắc bệnh X thì chỉ có $15\%$ khả năng người đó có triệu chứng S mà thôi. Vậy theo bác sĩ M, nếu một người có triệu chứng S thì xác suất để người đó mắc bệnh X là bao nhiêu?
b) Theo bác sĩ N nếu một người mắc bệnh X thì $95\%$ khả năng người đó có triệu chứng S và nếu người đó không mắc bệnh X thì chỉ có $10\%$ khả năng người đó có triệu chứng S mà thôi. Vậy theo bác sĩ N, nếu một người có triệu chứng S thì xác suất để người đó mắc bệnh X là bao nhiêu?
c) Theo bác sĩ P nếu một người mắc bệnh X thì $99\%$ khả năng người đó có triệu chứng S. Còn nếu người đó không mắc bệnh X thì chỉ có $1\%$ khả năng người đó có triệu chứng S mà thôi. Vậy theo bác sĩ P, nếu một người có triệu chứng S thì xác suất để người đó mắc bệnh X là bao nhiêu?