Bài tập ôn tập cuối năm

Sách bài tập Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 45 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #BàiTậpÔnTậpCuốiNăm #SáchBàiTập_Tập2 #trang47–55 #CùngBàiBênSGK

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 1★★Trang 47— Trắc nghiệm — điều kiện cực trị của hàm bậc ba

Bài 1 (trang 47). Giá trị của tham số

m

để hàm số

y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + 4 x - 2023

đạt cực trị tại

x = 2

là
A. Không tồn tại

m

.
B.

m = - 2

.
C.

m = 2

.
D.

m = 0

Kiến thức cần nhớ

Hàm số đạt cực trị tại $x_{0}$ thì $f^{'} (x_{0}) = 0$ ; ngược lại cần $f^{'}$ đổi dấu qua $x_{0}$ .
Tam thức $x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} \geq 0$ không đổi dấu.

🧠 Phân tích tư duy

y^{'} (2) = 0

chỉ là điều kiện cần; phải thử lại xem

y^{'}

có đổi dấu qua

x = 2

không. Bẫy: giải

y^{'} (2) = 0

m = 2

rồi chọn luôn C.

1Cách 1. Điều kiện cần rồi thử lại

Định hướng. Giải $y^{'} (2) = 0$ , thay $m$ tìm được vào $y^{'}$ và xét dấu.

y^{'} = x^{2} - 2 m x + 4

y^{'} (2) = 4 - 4 m + 4 = 0 \Leftrightarrow m = 2

m = 2

y^{'} = x^{2} - 4 x + 4 = (x - 2)^{2} \geq 0

với mọi

x

Vậy $y^{'}$ không đổi dấu qua $x = 2$ , hàm số không có cực trị; không tồn tại $m$ , chọn A.

2Cách 2. Đạo hàm cấp hai và cấp ba

Định hướng. $y^{''} (2) \neq = 0$ thì là cực trị; $y^{''} (2) = 0$ thì xét tiếp.

m = 2

y^{''} = 2 x - 4

;

y^{''} (2) = 0

y^{'''} = 2 \neq = 0

(bậc đạo hàm khác

0

đầu tiên là lẻ)

Vậy $x = 2$ là điểm uốn, không phải cực trị; chọn A.

3Cách 3. Điều kiện hàm bậc ba có cực trị

Định hướng. Hàm bậc ba có cực trị khi và chỉ khi $y^{'}$ có hai nghiệm phân biệt, tức $Δ^{'} = m^{2} - 4 > 0$ .

m = 2

(bắt buộc từ

y^{'} (2) = 0

) thì

Δ^{'} = 4 - 4 = 0

Vậy với $m = 2$ hàm số không có cực trị nào; chọn A.

Nhận xét. Bài kiểm tra đúng thói quen “thử lại” sau khi giải điều kiện cần.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3:

Δ^{'} = 0

là thấy ngay không có cực trị.

Đáp số. A. Không tồn tại

m

Sai lầm thường gặp. Dừng ở

y^{'} (2) = 0 \Leftrightarrow m = 2

và chọn C — quên kiểm tra

y^{'}

đổi dấu.

🚀 Mở rộng. Với

x = - 2

cũng vậy:

y^{'} (- 2) = 0 \Leftrightarrow m = - 2

và

y^{'} = (x + 2)^{2}

, vẫn không có cực trị; hàm

y = \frac{1}{3} x^{3} - m x^{2} + 4 x

có cực trị tại

x_{0}

khi và chỉ khi

x_{0} \neq = \pm 2

và

x_{0} \neq = 0

, với

m = \frac{x _{0}^{2} + 4}{2 x _{0}}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 2★★★Trang 48— Trắc nghiệm — tương giao đường thẳng và đồ thị bậc ba

Bài 2 (trang 48). Cho hàm số

y = x^{3} + 3 x^{2} + 1

có đồ thị

(C)

. Xét đường thẳng đi qua điểm

A (- 3; 1)

và có hệ số góc

k

. Điều kiện của

k

để đường thẳng đó cắt đồ thị

(C)

tại ba điểm phân biệt là
A.

0 < k < 1

.
B.

k > 0

.
C.

1 < k < 9

.
D.

0 < k \neq = 9

Kiến thức cần nhớ

Hoành độ giao điểm là nghiệm của $f (x) = g (x)$ .
Biết một nghiệm $x_{0}$ thì tách nhân tử $(x - x_{0})$ .

🧠 Phân tích tư duy

A (- 3; 1)

thuộc

(C)

(

y (- 3) = - 27 + 27 + 1 = 1

) nên phương trình hoành độ giao điểm có sẵn nghiệm

x = - 3

, tách được nhân tử

(x + 3)

. Còn lại

x^{2} = k

phải có hai nghiệm phân biệt khác

- 3

1Cách 1. Tách nhân tử

Định hướng. Đường thẳng $y = k (x + 3) + 1$ .

x^{3} + 3 x^{2} + 1 = k (x + 3) + 1 \Leftrightarrow x^{2} (x + 3) - k (x + 3) = 0 \Leftrightarrow (x + 3) (x^{2} - k) = 0

x = - 3

hoặc

x^{2} = k

Ba nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow {k > 0 (- 3)^{2} \neq = k \Leftrightarrow 0 < k \neq = 9

Vậy chọn D.

2Cách 2. Biện luận bằng hàm

g (x) = \frac{x ^{3} + 3 x ^{2}}{x + 3}

Định hướng. Với $x \neq = - 3$ : $k = \frac{x ^{3} + 3 x ^{2}}{x + 3} = x^{2}$ ; cần đường $y = k$ cắt $y = x^{2}$ $(x \neq = - 3)$ tại hai điểm phân biệt.

y = x^{2}

với

x \neq = - 3

bỏ đi điểm

(- 3; 9)

k > 0

cho hai giao điểm, trừ

k = 9

(một giao điểm rơi vào

x = - 3

)

Vậy $0 < k \neq = 9$ , chọn D.

3Cách 3. Thử giá trị để loại

Định hướng. Thử $k = 16$ (thuộc B, D, không thuộc A, C) và $k = 9$ .

k = 16

(x + 3) (x^{2} - 16) = 0

có ba nghiệm

- 3; 4; - 4

nên loại A, C

k = 9

(x + 3) (x - 3) (x + 3) = 0

chỉ có hai nghiệm

- 3; 3

nên loại B

Vậy chọn D.

Nhận xét. $k = 9$ ứng với đường thẳng tiếp xúc $(C)$ tại $A$ — lúc đó chỉ còn hai giao điểm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra

A \in (C)

là tách nhân tử được ngay.

Đáp số. D.

0 < k \neq = 9

Sai lầm thường gặp. Chỉ đòi

x^{2} = k

có hai nghiệm (

k > 0

, chọn B) mà quên điều kiện khác

- 3

🚀 Mở rộng. Hệ số góc

k = 9

đúng bằng

y^{'} (- 3) = 27 - 18 = 9

: tiếp tuyến tại

A

là trường hợp bị loại.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 3★★Trang 48— Trắc nghiệm — nhận dạng đồ thị hàm phân thức

Bài 3 (trang 48). Đồ thị trong hình vẽ dưới đây là của hàm số nào?
A.

y = \frac{x ^{2} - 2 x}{x + 1}

.
B.

y = \frac{x ^{2} + 2 x}{x + 1}

.
C.

y = \frac{x ^{2} + 2 x + 2}{x + 1}

.
D.

y = \frac{2 x}{x + 1}

Kiến thức cần nhớ

$y = \frac{a x ^{2} + b x + c}{x + 1}$ có tiệm cận xiên là thương của phép chia.
Giao với trục hoành là nghiệm của tử số (khác $- 1$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Đồ thị có tiệm cận đứng

x = - 1

, tiệm cận xiên (nét đứt qua

(- 1; 0)

và

(0; 1)

là

y = x + 1

), cắt trục hoành tại

- 2

và

O

. Loại D vì có tiệm cận ngang; đối chiếu nghiệm tử số.

1Cách 1. Giao điểm với trục hoành

Định hướng. Tử số phải có nghiệm $0$ và $- 2$ .

x^{2} - 2 x = 0 \Leftrightarrow x = 0; 2

(loại)
B:

x^{2} + 2 x = 0 \Leftrightarrow x = 0; - 2

x^{2} + 2 x + 2 > 0

vô nghiệm (loại)
D: tiệm cận ngang

y = 2

(loại)

Vậy chọn B.

2Cách 2. Tiệm cận xiên

Định hướng. Chia tử cho mẫu, so với $y = x + 1$ .

\frac{x ^{2} - 2 x}{x + 1} = x - 3 + \frac{3}{x + 1}

; B:

\frac{x ^{2} + 2 x}{x + 1} = x + 1 - \frac{1}{x + 1}

x + 1 + \frac{1}{x + 1}

; D: không có tiệm cận xiên
B, C có tiệm cận

y = x + 1

; C không cắt

O x

Vậy chọn B.

3Cách 3. Chiều biến thiên

Định hướng. Hình cho thấy hàm đồng biến trên mỗi nhánh (không có cực trị).

y^{'} = 1 + \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} > 0

y^{'} = 1 - \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}}

đổi dấu (có cực trị)

Vậy chọn B.

Nhận xét. Phương án C là “họ hàng gần” của B (cùng tiệm cận) nhưng có hai cực trị — nhìn dáng đồ thị là loại.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai giao điểm với trục hoành là đủ loại ba phương án.

Đáp số. B.

y = \frac{x ^{2} + 2 x}{x + 1}

Sai lầm thường gặp. Chọn C vì chỉ để ý tiệm cận xiên

y = x + 1

; chọn A vì đọc nhầm dấu nghiệm.

🚀 Mở rộng. Đồ thị

y = x + 1 - \frac{1}{x + 1}

đối xứng qua giao điểm hai tiệm cận

I (- 1; 0)

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 4★★★Trang 48— Trắc nghiệm — độ dài dây cung, định lí Vi-ét

Bài 4 (trang 48). Tất cả các giá trị thực của tham số

m

để đường thẳng

y = x + m - 1

cắt đồ thị hàm số

y = \frac{2 x + 1}{x + 1}

tại hai điểm

A

B

thoả mãn

A B = 23

là
A.

m = 2 \pm 10

.
B.

m = 4 \pm 3

.
C.

m = 2 \pm 3

.
D.

m = 4 \pm 10

Kiến thức cần nhớ

$A$ , $B$ thuộc $y = k x + q$ thì $A B^{2} = (1 + k^{2}) (x_{1} - x_{2})^{2}$ .
$(x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2} = \frac{Δ}{a ^{2}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai giao điểm nằm trên đường thẳng hệ số góc

1

nên

A B^{2} = 2 (x_{1} - x_{2})^{2} = 2Δ

(với phương trình bậc hai hệ số

a = 1

). Lập phương trình hoành độ, dùng Vi-ét.

1Cách 1. Phương trình hoành độ và định lí Vi-ét

Định hướng. Phương trình hoành độ giao điểm với $x \neq = - 1$ .

2 x + 1 = (x + m - 1) (x + 1) \Leftrightarrow x^{2} + (m - 2) x + m - 2 = 0

(*)

Δ = (m - 2)^{2} - 4 (m - 2) = (m - 2) (m - 6) > 0

;

x = - 1

không là nghiệm vì

1 - (m - 2) + m - 2 = 1 \neq = 0

A B^{2} = 2 (x_{1} - x_{2})^{2} = 2Δ = 2 (m^{2} - 8 m + 12)

2 (m^{2} - 8 m + 12) = 12 \Leftrightarrow m^{2} - 8 m + 6 = 0 \Leftrightarrow m = 4 \pm 10

Kiểm:

Δ = m^{2} - 8 m + 12 = 6 > 0

Vậy chọn D.

2Cách 2. Tịnh tiến về tâm đối xứng

Định hướng. Đặt $X = x + 1$ , $Y = y - 2$ : đồ thị $Y = - \frac{1}{X}$ , đường thẳng $Y = X + m - 4$ .

- \frac{1}{X} = X + (m - 4) \Leftrightarrow X^{2} + (m - 4) X + 1 = 0

(X_{1} - X_{2})^{2} = (m - 4)^{2} - 4

;

A B^{2} = 2 [(m - 4)^{2} - 4] = 12

(m - 4)^{2} = 10 \Leftrightarrow m = 4 \pm 10

Vậy chọn D.

3Cách 3. Thử phương án

Định hướng. Thay $m$ của từng phương án vào $2Δ = 2 (m - 2) (m - 6)$ , cần bằng $12$ .

m = 4 + 10

(2 + 10) (10 - 2) = 10 - 4 = 6

nên

2Δ = 12

m = 2 + 10

10 (10 - 4) < 0

(không cắt tại hai điểm)

Vậy chọn D.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy bài toán chỉ phụ thuộc vào $m - 4$ — nên đáp số đối xứng quanh $4$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ công thức

A B^{2} = (1 + k^{2}) Δ

với hệ số

a = 1

Đáp số. D.

m = 4 \pm 10

Sai lầm thường gặp. Quên hệ số

1 + k^{2} = 2

nên giải

Δ = 12

m = 4 \pm 16

; hoặc khai triển sai

(x + m - 1) (x + 1)

🚀 Mở rộng. Đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi

∣ m - 4∣ > 2

; khi đó

A B = 2 [(m - 4)^{2} - 4]

tăng theo

∣ m - 4∣

, nên

A B

không có giá trị nhỏ nhất.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 5★★Trang 48— Trắc nghiệm — tiệm cận và cực trị hàm phân thức

Bài 5 (trang 48). Cho hàm số

y = \frac{x ^{2} - 2 x + 1}{x + 1}

có đồ thị

(C)

. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Đường thẳng

x = - 1

là tiệm cận đứng của đồ thị

(C)

.
B. Đường thẳng

y = 1

là tiệm cận ngang của đồ thị

(C)

.
C. Đường thẳng

y = x - 3

là tiệm cận xiên của đồ thị

(C)

.
D. Hàm số có hai cực trị.

Kiến thức cần nhớ

$y = a x + b + \frac{c}{x + d}$ ( $c \neq = 0$ ): tiệm cận đứng $x = - d$ , tiệm cận xiên $y = a x + b$ , không có tiệm cận ngang.

🧠 Phân tích tư duy

Bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng

1

nên đồ thị có tiệm cận xiên, không thể có tiệm cận ngang. Chia đa thức cho ngay mọi thông tin.

1Cách 1. Chia đa thức

Định hướng. Viết $y = x - 3 + \frac{4}{x + 1}$ .

x^{2} - 2 x + 1 = (x + 1) (x - 3) + 4

nên

y = x - 3 + \frac{4}{x + 1}

x \to - 1^{\pm} lim y = \pm \infty

: tiệm cận đứng

x = - 1

(A đúng)

x \to \pm \infty lim [y - (x - 3)] = 0

: tiệm cận xiên

y = x - 3

(C đúng)

x \to \pm \infty lim y = \pm \infty

: không có tiệm cận ngang (B sai)

Vậy chọn B.

2Cách 2. Kiểm D bằng đạo hàm

Định hướng. Xác nhận D đúng để khẳng định chỉ B sai.

y^{'} = 1 - \frac{4}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{( x + 1 ) ^{2} - 4}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{( x - 1 ) ( x + 3 )}{( x + 1 ) ^{2}}

y^{'}

đổi dấu tại

x = 1

và

x = - 3

: hai cực trị (D đúng)

Vậy khẳng định sai là B.

3Cách 3. So sánh bậc

Định hướng. Bậc tử $2$ , bậc mẫu $1$ : thương là đa thức bậc nhất.

\frac{y}{x} = \frac{x ^{2} - 2 x + 1}{x ^{2} + x} \to 1

;

y - x = \frac{- 3 x + 1}{x + 1} \to - 3

Vậy tiệm cận xiên $y = x - 3$ , không có tiệm cận ngang; chọn B.

Nhận xét. Công thức $a = lim \frac{y}{x}$ , $b = lim (y - a x)$ dùng được cả khi không chia đa thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 (nhìn bậc) — bậc tử hơn bậc mẫu thì không có tiệm cận ngang.

Đáp số. B (khẳng định sai:

y = 1

không phải tiệm cận ngang)

Sai lầm thường gặp. Lấy tỉ số hệ số bậc cao nhất

\frac{1}{1} = 1

làm tiệm cận ngang như với hàm bậc nhất trên bậc nhất.

🚀 Mở rộng. Giá trị cực đại

y (- 3) = - 8

và cực tiểu

y (1) = 0

— đồ thị tiếp xúc trục hoành tại

(1; 0)

vì tử là

(x - 1)^{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6★Trang 49— Trắc nghiệm — định nghĩa tích phân

Bài 6 (trang 49). Cho

f (x)

là một hàm số liên tục trên đoạn

[a; b]

và

F (x)

là một nguyên hàm của

f (x)

trên

[a; b]

. Khi đó

\int_{a}^{b} f (x) d x

có giá trị bằng
A.

F (b) - F (a)

.
B.

F (b) - F (a) + C

;

C

là hằng số.
C.

F (a) - F (b)

.
D.

F (a) - F (b) + C

;

C

là hằng số.

Kiến thức cần nhớ

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ , không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm $F$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tích phân là một số xác định, không chứa hằng số tuỳ ý; công thức Niu-tơn – Lai-bơ-nit lấy giá trị cận trên trừ cận dưới. Bẫy: nhầm tích phân xác định (một con số) với họ nguyên hàm nên thêm hằng số C.

1Cách 1. Công thức Niu-tơn – Lai-bơ-nit

Định hướng. Áp dụng định nghĩa.

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (x)_{a}^{b} = F (b) - F (a)

Vậy chọn A.

2Cách 2. Hằng số tự triệt tiêu

Định hướng. Mọi nguyên hàm có dạng $F (x) + C$ .

(F (b) + C) - (F (a) + C) = F (b) - F (a)

Vậy kết quả không chứa $C$ , chọn A.

3Cách 3. Kiểm bằng ví dụ

Định hướng. Lấy $f (x) = 1$ trên $[0; 1]$ , $F (x) = x$ : tích phân bằng $1$ .

F (1) - F (0) = 1

; C:

F (0) - F (1) = - 1

Vậy chọn A.

Nhận xét. B và D sai vì tích phân là một số, không thể “cộng hằng số tuỳ ý”.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ đúng công thức Niu-tơn – Lai-bơ-nit “cận trên trừ cận dưới”, không có hằng số C.

Đáp số. A.

F (b) - F (a)

Sai lầm thường gặp. Chọn B vì nhầm tích phân xác định với nguyên hàm; chọn C vì đảo cận.

🚀 Mở rộng. Hệ quả:

\int_{b}^{a} f (x) d x = - \int_{a}^{b} f (x) d x

và

\int_{a}^{a} f (x) d x = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 7★Trang 49— Trắc nghiệm — bảng nguyên hàm

Bài 7 (trang 49). Phát biểu nào sau đây là sai?
A.

\int d x = x + C

.
B.

\int x^{3} d x = \frac{1}{4} x^{4} + C

.
C.

\int \frac{1}{x} d x = ln x + C

.
D.

\int e^{x} d x = e^{x} + C

Kiến thức cần nhớ

$\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hàm

\frac{1}{x}

xác định với mọi

x \neq = 0

còn

ln x

chỉ xác định khi

x > 0

; công thức đúng phải có trị tuyệt đối. Bẫy: ba phương án còn lại đều đúng theo bảng, nên chỉ cần soi đúng điều kiện xác định.

1Cách 1. Đối chiếu bảng nguyên hàm

Định hướng. So từng phương án với công thức chuẩn.

A, B, D đúng theo bảng
C: đúng phải là

ln ∣ x ∣ + C

Vậy chọn C.

2Cách 2. Xét tập xác định

Định hướng. Trên $(- \infty; 0)$ , $ln x$ không xác định trong khi $\frac{1}{x}$ vẫn có nguyên hàm.

x < 0

(ln (- x))^{'} = \frac{- 1}{- x} = \frac{1}{x}

Vậy nguyên hàm trên $(- \infty; 0)$ là $ln (- x) + C$ ; phát biểu C sai, chọn C.

3Cách 3. Đạo hàm ngược

Định hướng. Đạo hàm vế phải của A, B, D đều ra đúng hàm dưới dấu nguyên hàm.

(x)^{'} = 1

;

(\frac{x ^{4}}{4})^{'} = x^{3}

;

(e^{x})^{'} = e^{x}

Vậy chỉ C sai (thiếu trị tuyệt đối), chọn C.

Nhận xét. Lỗi thiếu $∣ x ∣$ là lỗi rất hay gặp khi tính tích phân trên đoạn âm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: soi từng dòng với bảng nguyên hàm, chỗ thiếu trị tuyệt đối trong ln|x| lộ ra ngay.

Đáp số. C (đúng phải là

ln ∣ x ∣ + C

)

Sai lầm thường gặp. Cho rằng C đúng vì “quen tay” viết

ln x

; khi đó

\int_{- 2}^{- 1} \frac{d x}{x}

không tính được.

🚀 Mở rộng.

\int_{- 2}^{- 1} \frac{d x}{x} = ln ∣ x ∣_{- 2}^{- 1} = 0 - ln 2 = - ln 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 8★Trang 49— Trắc nghiệm — nguyên hàm có điều kiện

Bài 8 (trang 49). Nguyên hàm

F (x)

của hàm số

f (x) = 4 x^{3} + 2 x - 1

thoả mãn

F (1) = 10

là
A.

F (x) = x^{4} + x^{2} - 1

.
B.

F (x) = x^{4} - x^{2} + 10

.
C.

F (x) = x^{4} + x^{2} - x + 9

.
D.

F (x) = x^{4} + x^{2} - x + 10

Kiến thức cần nhớ

$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tìm họ nguyên hàm rồi dùng

F (1) = 10

để chốt hằng số. Có thể loại nhanh bằng cách thay

x = 1

vào các phương án.

1Cách 1. Nguyên hàm rồi tìm

C

Định hướng. Nguyên hàm từng hạng tử.

F (x) = x^{4} + x^{2} - x + C

F (1) = 1 + 1 - 1 + C = 10 \Rightarrow C = 9

Vậy chọn C.

2Cách 2. Thay

x = 1

vào phương án

Định hướng. Phương án đúng phải có $F (1) = 10$ và $F^{'} = f$ .

F (1) = 1

; B:

F (1) = 10

nhưng

F^{'} = 4 x^{3} - 2 x

(loại)
C:

F (1) = 10

F^{'} = 4 x^{3} + 2 x - 1

; D:

F (1) = 11

Vậy chọn C.

3Cách 3. Tích phân có cận

Định hướng. $F (x) = 10 + \int_{1}^{x} f (t) d t$ .

F (x) = 10 + (t^{4} + t^{2} - t)_{1}^{x} = 10 + x^{4} + x^{2} - x - 1 = x^{4} + x^{2} - x + 9

Vậy chọn C.

Nhận xét. Cách 3 không phải giải phương trình tìm $C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: thay

x = 1

loại được ngay.

Đáp số. C.

F (x) = x^{4} + x^{2} - x + 9

Sai lầm thường gặp. Quên nguyên hàm của

- 1

là

- x

nên chọn A hoặc tính

C = 10

(chọn D).

🚀 Mở rộng. Tương tự, nguyên hàm có

F (0) = 5

là

x^{4} + x^{2} - x + 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 9★Trang 49— Trắc nghiệm — tính chất tuyến tính của tích phân

Bài 9 (trang 49). Cho

\int_{0}^{4} f (x) d x = 5

và

\int_{0}^{4} g (x) d x = 6

. Giá trị của

\int_{0}^{4} [f (x) + 2 g (x)] d x

là
A.

17

.
B.

16

.
C.

11

.
D.

22

Kiến thức cần nhớ

$\int_{a}^{b} [α f + β g] = α \int_{a}^{b} f + β \int_{a}^{b} g$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tích phân của tổng bằng tổng các tích phân, hằng số đưa ra ngoài được. Bẫy: quên nhân hệ số 2 hoặc nhân cả hai tích phân với 2.

1Cách 1. Tính chất tuyến tính

Định hướng. Tách tích phân.

\int_{0}^{4} [f (x) + 2 g (x)] d x = 5 + 2 \cdot 6 = 17

Vậy chọn A.

2Cách 2. Ví dụ cụ thể

Định hướng. Lấy $f (x) = \frac{5}{4}$ , $g (x) = \frac{3}{2}$ (hằng) thoả giả thiết.

f + 2 g = \frac{5}{4} + 3 = \frac{17}{4}

;

\int_{0}^{4} \frac{17}{4} d x = 17

Vậy chọn A.

3Cách 3. Qua nguyên hàm

Định hướng. Gọi $F$ , $G$ là nguyên hàm; $F + 2 G$ là nguyên hàm của $f + 2 g$ .

(F + 2 G) (4) - (F + 2 G) (0) = [F (4) - F (0)] + 2 [G (4) - G (0)] = 5 + 12 = 17

Vậy chọn A.

Nhận xét. Cách 3 chính là chứng minh của tính chất tuyến tính.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính chất tuyến tính cho đáp số 5 + 2·6 = 17 trong một dòng.

Đáp số. A.

17

Sai lầm thường gặp. Quên nhân

2

(chọn C

11

) hoặc nhân

2

cả hai (chọn D

22

🚀 Mở rộng. Tương tự

\int_{0}^{4} [3 f (x) - g (x)] d x = 15 - 6 = 9

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 10★Trang 49— Trắc nghiệm — nhận dạng công thức thể tích

Bài 10 (trang 49). Tích phân

π \int_{1}^{3} (x - 1)^{2} d x

dùng để tính một trong các đại lượng sau, đó là đại lượng nào?
A. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y = (x - 1)^{2}

y = 0

x = 1

x = 3

.
B. Thể tích khối tròn xoay hình thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y = x - 1

y = 0

x = 1

x = 3

quanh trục

O x

.
C. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y = (x - 1)^{2}

y = 0

x = 2

x = 3

.
D. Thể tích khối tròn xoay hình thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y = x - 1

y = 0

x = 2

x = 3

quanh trục

O x

Kiến thức cần nhớ

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ ; $S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Có thừa số

π

và bình phương — dấu hiệu công thức thể tích

V = π \int f^{2}

với

f (x) = x - 1

, cận

1

và

3

. Bẫy: phương án A có cùng biểu thức (x − 1)² nhưng thiếu thừa số π và là công thức diện tích.

1Cách 1. Đối chiếu công thức

Định hướng. $π \int_{1}^{3} (x - 1)^{2} d x = π \int_{1}^{3} f^{2}$ với $f = x - 1$ .

Cận

1

và

3

; hàm

y = x - 1

; quay quanh

O x

Vậy chọn B.

2Cách 2. Tính giá trị và so sánh

Định hướng. Tính giá trị tích phân và giá trị các đại lượng.

π \int_{1}^{3} (x - 1)^{2} d x = π \cdot \frac{( x - 1 ) ^{3}}{3}_{1}^{3} = \frac{8 π}{3}

= \frac{8}{3}

; C

= \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}

; D

= π \cdot \frac{7}{3}

; B

= \frac{8 π}{3}

Vậy chọn B.

3Cách 3. Hình học: khối nón

Định hướng. Quay tam giác vuông giới hạn bởi $y = x - 1$ , $y = 0$ , $x = 3$ quanh $O x$ được khối nón chiều cao $2$ , bán kính $2$ .

V = \frac{1}{3} π \cdot 2^{2} \cdot 2 = \frac{8 π}{3}

Vậy khớp tích phân, chọn B.

Nhận xét. Cách 3 là kiểm tra bằng công thức thể tích khối nón.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: có

π

và bình phương là thể tích.

Đáp số. B

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì thấy

(x - 1)^{2}

giống hàm số trong A mà bỏ qua thừa số

π

🚀 Mở rộng. Diện tích ở A bằng

\frac{8}{3}

— đúng bằng tích phân đã cho chia cho

π

, nhưng hai đại lượng khác bản chất.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 11★★Trang 50— Trắc nghiệm — diện tích giữa hai đồ thị

Bài 11 (trang 50). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

y = x^{2} + 2

y = 3 x

và các đường thẳng

x = 1

x = 2

là
A.

\frac{1}{4}

.
B.

\frac{1}{6}

.
C.

\frac{1}{3}

.
D.

\frac{1}{5}

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ ; viên parabol: $S = \frac{∣ a ∣ ( x _{2} - x _{1} ) ^{3}}{6}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hiệu

x^{2} + 2 - 3 x = (x - 1) (x - 2)

có nghiệm đúng bằng hai cận, nên trên

[1; 2]

hiệu không đổi dấu (âm). Nhờ vậy chỉ cần đổi dấu một lần, không phải tách tích phân.

1Cách 1. Tích phân của hiệu

Định hướng. Bỏ trị tuyệt đối theo dấu.

S = \int_{1}^{2} (3 x - x^{2} - 2) d x = (\frac{3 x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3} - 2 x)_{1}^{2}

= (6 - \frac{8}{3} - 4) - (\frac{3}{2} - \frac{1}{3} - 2) = - \frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{1}{6}

Vậy chọn B.

2Cách 2. Công thức viên parabol

Định hướng. Parabol và đường thẳng cắt nhau tại $x = 1$ , $x = 2$ .

S = \frac{1 \cdot ( 2 - 1 ) ^{3}}{6} = \frac{1}{6}

Vậy chọn B.

3Cách 3. Đổi biến đối xứng

Định hướng. Đặt $u = x - \frac{3}{2}$ : $3 x - x^{2} - 2 = \frac{1}{4} - u^{2}$ .

S = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{4} - u^{2}) d u = 2 (\frac{1}{8} - \frac{1}{24}) = \frac{1}{6}

Vậy chọn B.

Nhận xét. Ba cách cùng cho $\frac{1}{6}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: hai cận trùng hai giao điểm nên áp ngay công thức viên parabol (x₂ − x₁)³/6.

Đáp số. B.

\frac{1}{6}

Sai lầm thường gặp. Để kết quả

- \frac{1}{6}

rồi chọn sai; hoặc tính

\int_{1}^{2} (x^{2} + 2) d x

quên trừ

3 x

🚀 Mở rộng. Diện tích toàn bộ miền giữa

y = x^{2} + 2

và

y = 3 x

chính là

\frac{1}{6}

vì hai đồ thị cắt nhau đúng tại

x = 1

và

x = 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 12★★Trang 50— Trắc nghiệm — tích vô hướng trong hình chóp

Bài 12 (trang 50). Cho hình chóp

S . A B C

có

S A

vuông góc với mặt phẳng

(A B C)

và tam giác

A B C

vuông cân tại

B

, biết

S A = A B = B C = a

. Gọi

M

là trung điểm của cạnh

A C

. Tích vô hướng

S M \cdot B C

bằng
A.

\frac{a ^{2}}{2}

.
B.

a^{2}

.
C.

- a^{2}

.
D.

- \frac{a ^{2}}{2}

Kiến thức cần nhớ

$S A ⊥ (A B C)$ thì $S A \cdot v = 0$ với mọi $v$ nằm trong $(A B C)$ .
$u \cdot v = ∣ u ∣∣ v ∣ cos (u, v)$ .

🧠 Phân tích tư duy

S A ⊥ B C

(vì

S A ⊥ (A B C)

) nên chen

A

S M = S A + A M

, còn lại

A M \cdot B C

trong mặt đáy. Cách toạ độ hoá cũng rất nhanh vì hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy.

1Cách 1. Chen điểm

A

Định hướng. Tách $S M$ qua $A$ .

S M \cdot B C = S A \cdot B C + A M \cdot B C = 0 + \frac{1}{2} A C \cdot B C

A C \cdot B C = C A \cdot C B = a 2 \cdot a \cdot cos 4 5^{\circ} = a^{2}

S M \cdot B C = \frac{a ^{2}}{2}

Vậy chọn A.

2Cách 2. Toạ độ hoá

Định hướng. $B (0; 0; 0)$ , $A (a; 0; 0)$ , $C (0; a; 0)$ , $S (a; 0; a)$ .

M (\frac{a}{2}; \frac{a}{2}; 0)

;

S M = (- \frac{a}{2}; \frac{a}{2}; - a)

;

B C = (0; a; 0)

S M \cdot B C = \frac{a ^{2}}{2}

Vậy chọn A.

3Cách 3. Hình chiếu lên đường thẳng

B C

Định hướng. $S M \cdot B C = B^{'} M^{'} \cdot B C$ với $B^{'}$ , $M^{'}$ là hình chiếu của $S$ , $M$ lên $B C$ .

S A ⊥ B C

A B ⊥ B C

nên hình chiếu của

S

lên

B C

là

B

Hình chiếu của

M

lên

B C

là trung điểm

N

của

B C

B N \cdot B C = \frac{a}{2} \cdot a = \frac{a ^{2}}{2}

Vậy chọn A.

Nhận xét. Công thức hình chiếu biến tích vô hướng không gian thành tích trên một đường thẳng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: toạ độ hoá chóp có cạnh vuông góc đáy rất nhanh.

Đáp số. A.

\frac{a ^{2}}{2}

Sai lầm thường gặp. Lấy góc giữa

A C

và

B C

là

13 5^{\circ}

(nhầm hướng) nên ra

- \frac{a ^{2}}{2}

🚀 Mở rộng. Tương tự

S M \cdot A B = A M \cdot A B = \frac{1}{2} A C \cdot A B = \frac{a ^{2}}{2}

và

S M \cdot S A = S A^{2} = a^{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 13★★Trang 50— Trắc nghiệm — phân tích vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng

Bài 13 (trang 50). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

, gọi

G

là trọng tâm của tam giác

A D A^{'}

và

M

là trung điểm của đoạn thẳng

C C^{'}

. Hệ thức biểu diễn

GM

theo ba vectơ

A B

A D

A A^{'}

là
A.

A B + \frac{1}{2} A D + \frac{1}{3} A A^{'}

.
B.

A B + \frac{2}{3} A D + \frac{1}{3} A A^{'}

.
C.

A B + \frac{2}{3} A D + \frac{1}{6} A A^{'}

.
D.

A B - \frac{1}{3} A D + \frac{1}{6} A A^{'}

Kiến thức cần nhớ

$A G = \frac{1}{3} (AA + A D + A A^{'})$ .
$A C = A B + A D$ ; $C M = \frac{1}{2} C C^{'} = \frac{1}{2} A A^{'}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chung gốc

A

GM = A M - A G

A G

dùng quy tắc trọng tâm (một đỉnh là

A

A M

đi

A \to C \to M

1Cách 1. Chung gốc

A

Định hướng. Biểu diễn $A M$ và $A G$ .

A M = A B + A D + \frac{1}{2} A A^{'}

;

A G = \frac{1}{3} A D + \frac{1}{3} A A^{'}

GM = A B + (1 - \frac{1}{3}) A D + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) A A^{'} = A B + \frac{2}{3} A D + \frac{1}{6} A A^{'}

Vậy chọn C.

2Cách 2. Toạ độ theo hệ cơ sở

Định hướng. Coi $A B$ , $A D$ , $A A^{'}$ là cơ sở: $A (0; 0; 0)$ , $D (0; 1; 0)$ , $A^{'} (0; 0; 1)$ , $C (1; 1; 0)$ , $C^{'} (1; 1; 1)$ .

G (0; \frac{1}{3}; \frac{1}{3})

;

M (1; 1; \frac{1}{2})

GM = (1; \frac{2}{3}; \frac{1}{6})

Vậy chọn C.

3Cách 3. Loại trừ theo từng thành phần

Định hướng. Thành phần theo $A A^{'}$ : $M$ ở độ cao $\frac{1}{2}$ , $G$ ở độ cao $\frac{1}{3}$ .

Hệ số

A A^{'}

là

\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}

nên loại A, B
Hệ số

A D

là

1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} > 0

nên loại D

Vậy chọn C.

Nhận xét. Tách thành phần theo từng “chiều” giúp loại nhanh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: coi ba vectơ cạnh là cơ sở toạ độ, trừ toạ độ M và G là ra hệ số.

Đáp số. C.

A B + \frac{2}{3} A D + \frac{1}{6} A A^{'}

Sai lầm thường gặp. Quên

AA = 0

trong công thức trọng tâm nên viết

A G = \frac{1}{2} (A D + A A^{'})

🚀 Mở rộng. Nếu

G

là trọng tâm tam giác

A^{'} B^{'} D^{'}

thì

GM = \frac{2}{3} A B + \frac{2}{3} A D - \frac{1}{2} A A^{'}

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 14★Trang 50— Trắc nghiệm — vectơ chỉ phương từ phương trình chính tắc

Bài 14 (trang 50). Trong không gian

O x y z

, cho đường thẳng

Δ : \frac{x - 3}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z + 4}{- 3}

. Một vectơ chỉ phương của đường thẳng

Δ

là
A.

u_{1} = (3; - 1; - 4)

.
B.

u_{2} = (- 4; - 2; 6)

.
C.

u_{3} = (2; 1; 3)

.
D.

u_{4} = (3; 1; 4)

Kiến thức cần nhớ

$\frac{x - x _{0}}{a} = \frac{y - y _{0}}{b} = \frac{z - z _{0}}{c}$ có chỉ phương $(a; b; c)$ .
$k u$ ( $k \neq = 0$ ) cũng là vectơ chỉ phương.

🧠 Phân tích tư duy

Mẫu số của phương trình chính tắc là toạ độ vectơ chỉ phương

(2; 1; - 3)

; mọi vectơ cùng phương (khác

0

) cũng là chỉ phương. Bẫy: phương án A là toạ độ điểm (sai dấu) chứ không phải chỉ phương.

1Cách 1. Đọc mẫu số

Định hướng. $u = (2; 1; - 3)$ .

(- 4; - 2; 6) = - 2 (2; 1; - 3)

Vậy chọn B.

2Cách 2. Tỉ số toạ độ

Định hướng. Kiểm các tỉ số với $(2; 1; - 3)$ .

\frac{3}{2} \neq = \frac{- 1}{1}

; C:

\frac{3}{- 3} \neq = \frac{2}{2}

; D:

\frac{3}{2} \neq = \frac{1}{1}

\frac{- 4}{2} = \frac{- 2}{1} = \frac{6}{- 3} = - 2

Vậy chọn B.

3Cách 3. Lấy hai điểm

Định hướng. $t = 0$ : $(3; - 1; - 4)$ ; $t = - 2$ : $(- 1; - 3; 2)$ .

Hiệu:

(- 1 - 3; - 3 + 1; 2 + 4) = (- 4; - 2; 6)

Vậy chọn B.

Nhận xét. Hiệu hai điểm trên đường thẳng luôn là một vectơ chỉ phương.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đọc mẫu số (2; 1; −3) rồi tìm phương án là bội của nó.

Đáp số. B.

u_{2} = (- 4; - 2; 6)

Sai lầm thường gặp. Chọn A (lấy toạ độ điểm

(3; - 1; - 4)

) hoặc C (quên dấu trừ của

- 3

🚀 Mở rộng. Vectơ chỉ phương có thành phần thứ nhất bằng

1

là

(1; \frac{1}{2}; - \frac{3}{2})

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 15★Trang 50— Trắc nghiệm — khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Bài 15 (trang 50). Trong không gian

O x y z

, cho điểm

A (2; - 1; - 3)

và mặt phẳng

(P) : 2 x - 2 y - z = 0

. Khoảng cách từ điểm

A

đến mặt phẳng

(P)

là
A.

3

.
B.

6

.
C.

\frac{2}{3}

.
D.

\frac{1}{3}

Kiến thức cần nhớ

$d (M, (P)) = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c z _{0} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Áp dụng thẳng công thức khoảng cách; chú ý dấu khi thay

y = - 1

z = - 3

. Mặt phẳng đi qua gốc toạ độ nên còn có thể tính bằng hình chiếu của vectơ OA lên pháp tuyến.

1Cách 1. Công thức

Định hướng. Thay toạ độ.

d = \frac{∣2 \cdot 2 - 2 \cdot ( - 1 ) - ( - 3 ) ∣}{4 + 4 + 1} = \frac{9}{3} = 3

Vậy chọn A.

2Cách 2. Hình chiếu vuông góc

Định hướng. Đường qua $A$ vuông góc $(P)$ : $(2 + 2 t; - 1 - 2 t; - 3 - t)$ .

2 (2 + 2 t) - 2 (- 1 - 2 t) - (- 3 - t) = 0 \Leftrightarrow 9 + 9 t = 0 \Leftrightarrow t = - 1

H (0; 1; - 2)

;

A H = 4 + 4 + 1 = 3

Vậy chọn A.

3Cách 3. Chiếu vectơ lên pháp tuyến

Định hướng. $O \in (P)$ nên $d = \frac{∣ O A \cdot n ∣}{∣ n ∣}$ .

O A \cdot n = 4 + 2 + 3 = 9

;

∣ n ∣ = 3

;

d = 3

Vậy chọn A.

Nhận xét. Ba cách đều là cùng một ý: độ dài hình chiếu lên pháp tuyến.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay toạ độ vào công thức khoảng cách, cẩn thận dấu của y = −1 và z = −3.

Đáp số. A.

3

Sai lầm thường gặp. Thay sai dấu:

∣4 - 2 - 3∣ = 1

\frac{1}{3}

(chọn D).

🚀 Mở rộng. Điểm đối xứng của

A

qua

(P)

là

A^{'} = 2 H - A = (- 2; 3; - 1)

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 16★Trang 50— Trắc nghiệm — tâm và bán kính mặt cầu

Bài 16 (trang 50). Trong không gian

O x y z

, cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 x - 4 y + 6 z + 9 = 0

. Toạ độ tâm

I

và bán kính

R

của mặt cầu

(S)

lần lượt là
A.

I (1; 2; - 3)

R = 5

.
B.

I (1; 2; - 3)

R = 5

.
C.

I (2; 4; - 6)

;

R = 5

.
D.

I (2; 4; - 6)

;

R = 5

Kiến thức cần nhớ

$R = a^{2} + b^{2} + c^{2} - d$ (cần $a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Dạng

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 2 a x - 2 b y - 2 cz + d = 0

: tâm

(a; b; c)

là một nửa hệ số (đổi dấu),

R = a^{2} + b^{2} + c^{2} - d

. Hai bẫy nằm sẵn trong các phương án: quên chia đôi hệ số và quên khai căn bán kính.

1Cách 1. Công thức

Định hướng. $a = 1$ , $b = 2$ , $c = - 3$ , $d = 9$ .

R = 1 + 4 + 9 - 9 = 5

Vậy $I (1; 2; - 3)$ , $R = 5$ ; chọn B.

2Cách 2. Thêm bớt hằng đẳng thức

Định hướng. Gom thành bình phương.

(x - 1)^{2} + (y - 2)^{2} + (z + 3)^{2} = 1 + 4 + 9 - 9 = 5

Vậy chọn B.

3Cách 3. Loại trừ

Định hướng. Tâm là nửa hệ số: $(\frac{2}{2}; \frac{4}{2}; - \frac{6}{2})$ nên loại C, D.

R^{2} = 5

, không phải

25

Vậy chọn B.

Nhận xét. Hai bẫy: quên chia đôi hệ số và quên khai căn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: gom ba hằng đẳng thức là đọc được tâm và R² = 5 cùng lúc, tránh cả hai bẫy.

Đáp số. B.

I (1; 2; - 3)

R = 5

Sai lầm thường gặp. Lấy tâm

(2; 4; - 6)

(quên chia

2

) hoặc

R = 5

(quên khai căn).

🚀 Mở rộng. Mặt cầu này tiếp xúc với mặt phẳng

(O x y)

? Khoảng cách từ

I

đến

(O x y)

là

3 > 5

nên không cắt.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Bài 17★Trang 51— Trắc nghiệm — khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm

Bài 17 (trang 51). Bảng tần số ghép nhóm sau cho biết thành tích luyện tập của một vận động viên nghiệp dư chạy maraton 42 km.

Thời gian (giờ)	$[6; 6, 5)$	$[6, 5; 7)$	$[7; 7, 5)$	$[7, 5; 8)$	$[8; 8, 5)$
Số lần	$2$	$6$	$7$	$4$	$1$

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là
A.

0, 5

.
B.

1, 5

.
C.

2, 0

.
D.

2, 5

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
$Q = a_{p} + \frac{\frac{k n}{4} - c f _{p - 1}}{n _{p}} \cdot h$ ; $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ .
$s^{2} = \frac{1}{n} \sum n_{i} x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ với $x_{i}$ là trung điểm nhóm.

🧠 Phân tích tư duy

Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm lấy đầu mút phải nhóm cuối trừ đầu mút trái nhóm đầu. Bẫy: dùng đầu mút trái của nhóm cuối nên ra 2,0.

1Cách 1. Công thức

Định hướng. $a_{1} = 6$ , $a_{6} = 8, 5$ .

R = 8, 5 - 6 = 2, 5

Vậy chọn D.

2Cách 2. Số nhóm nhân độ rộng

Định hướng. $5$ nhóm, mỗi nhóm rộng $0, 5$ .

R = 5 \cdot 0, 5 = 2, 5

Vậy chọn D.

3Cách 3. Loại trừ

Định hướng. $R$ phải lớn hơn độ rộng khoảng giữa hai nhóm có số liệu xa nhất.

Nhóm đầu và nhóm cuối đều có số liệu, nên

R \geq 8 - 6, 5 = 1, 5

và theo quy ước lấy đủ hai đầu mút là

2, 5

Vậy chọn D.

Nhận xét. Khoảng biến thiên ghép nhóm là ước lượng “rộng nhất” của khoảng biến thiên thực.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đầu mút phải nhóm cuối trừ đầu mút trái nhóm đầu, 8,5 − 6 = 2,5.

Đáp số. D.

2, 5

Sai lầm thường gặp. Lấy

8 - 6 = 2

(dùng đầu mút trái nhóm cuối, chọn C).

🚀 Mở rộng. Khoảng biến thiên thực của số liệu gốc nằm trong

(1, 5; 2, 5)

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · Bài 18★★Trang 51— Trắc nghiệm — khoảng tứ phân vị của mẫu ghép nhóm

Bài 18 (trang 51). Bảng tần số ghép nhóm sau cho biết thành tích luyện tập của một vận động viên nghiệp dư chạy maraton 42 km.

Thời gian (giờ)	$[6; 6, 5)$	$[6, 5; 7)$	$[7; 7, 5)$	$[7, 5; 8)$	$[8; 8, 5)$
Số lần	$2$	$6$	$7$	$4$	$1$

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là
A.

0, 5

.
B.

0, 75

.
C.

6, 75

.
D.

7, 5

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
$Q = a_{p} + \frac{\frac{k n}{4} - c f _{p - 1}}{n _{p}} \cdot h$ ; $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ .
$s^{2} = \frac{1}{n} \sum n_{i} x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ với $x_{i}$ là trung điểm nhóm.

🧠 Phân tích tư duy

n = 20

;

Q_{1}

ở vị trí

5

Q_{3}

ở vị trí

15

. Tần số tích luỹ

2; 8; 15; 19; 20

—

Q_{3}

rơi đúng vào đầu mút phải nhóm

[7; 7, 5)

1Cách 1. Công thức nội suy

Định hướng. $c f$ : $2; 8; 15; 19; 20$ .

Q_{1} = 6, 5 + \frac{5 - 2}{6} \cdot 0, 5 = 6, 75

Q_{3} = 7 + \frac{15 - 8}{7} \cdot 0, 5 = 7, 5

Δ_{Q} = 7, 5 - 6, 75 = 0, 75

Vậy chọn B.

2Cách 2. Nội suy trên đường tích luỹ

Định hướng. Trên nhóm chứa, $c f$ tăng đều.

[6, 5; 7)

c f = 2 + 12 (x - 6, 5) = 5 \Leftrightarrow x = 6, 75

[7; 7, 5)

c f = 8 + 14 (x - 7) = 15 \Leftrightarrow x = 7, 5

Vậy $Δ_{Q} = 0, 75$ ; chọn B.

3Cách 3. Loại trừ

Định hướng. $Δ_{Q}$ phải nhỏ hơn khoảng biến thiên $2, 5$ .

C, D (

6, 75

;

7, 5

) là giá trị

Q_{1}

Q_{3}

chứ không phải khoảng

Q_{3} - Q_{1} = 0, 75

Vậy chọn B.

Nhận xét. C và D là bẫy: chính là $Q_{1}$ và $Q_{3}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập cột tần số tích luỹ 2; 8; 15; 19; 20 trước, rồi thay vào công thức nội suy.

Đáp số. B.

0, 75

Sai lầm thường gặp. Chọn C hoặc D (đưa ra

Q_{1}

hoặc

Q_{3}

thay vì hiệu).

🚀 Mở rộng. Nửa giữa của các lần chạy có thời gian trong khoảng

[6, 75; 7, 5]

giờ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · Bài 19★★Trang 51— Trắc nghiệm — độ lệch chuẩn của mẫu ghép nhóm

Bài 19 (trang 51). Bảng tần số ghép nhóm sau cho biết thành tích luyện tập của một vận động viên nghiệp dư chạy maraton 42 km.

Thời gian (giờ)	$[6; 6, 5)$	$[6, 5; 7)$	$[7; 7, 5)$	$[7, 5; 8)$	$[8; 8, 5)$
Số lần	$2$	$6$	$7$	$4$	$1$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm (làm tròn đến chữ số hàng phần trăm) là
A.

0, 51

.
B.

0, 61

.
C.

0, 71

.
D.

0, 81

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
$Q = a_{p} + \frac{\frac{k n}{4} - c f _{p - 1}}{n _{p}} \cdot h$ ; $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ .
$s^{2} = \frac{1}{n} \sum n_{i} x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ với $x_{i}$ là trung điểm nhóm.

🧠 Phân tích tư duy

Giá trị đại diện

6, 25; 6, 75; 7, 25; 7, 75; 8, 25

. Có thể đổi biến

u = \frac{x - 7 , 25}{0 , 5}

để tính với số nguyên nhỏ.

1Cách 1. Công thức

s^{2} = \overline{x^{2}} - \overset{x}{ˉ}^{2}

Định hướng. $n = 20$ .

\overset{x}{ˉ} = \frac{2 \cdot 6 , 25 + 6 \cdot 6 , 75 + 7 \cdot 7 , 25 + 4 \cdot 7 , 75 + 8 , 25}{20} = \frac{143}{20} = 7, 15

\overline{x^{2}} = \frac{1 027 , 75}{20} = 51, 3875

s^{2} = 51, 3875 - 7, 1 5^{2} = 0, 265

;

s \approx 0, 515

Vậy $s \approx 0, 51$ ; chọn A.

2Cách 2. Đổi biến

Định hướng. $u = \frac{x - 7 , 25}{0 , 5} \in {- 2; - 1; 0; 1; 2}$ , $s_{x} = 0, 5 s_{u}$ .

\overset{u}{ˉ} = \frac{- 4 - 6 + 0 + 4 + 2}{20} = - \frac{1}{5}

;

\overline{u^{2}} = \frac{8 + 6 + 0 + 4 + 4}{20} = \frac{11}{10}

s_{u}^{2} = \frac{11}{10} - \frac{1}{25} = \frac{53}{50}

;

s_{x} = 0, 5 1, 06 \approx 0, 515

Vậy chọn A.

3Cách 3. Tổng bình phương độ lệch

Định hướng. $\overset{x}{ˉ} = 7, 15$ .

2 (0, 9)^{2} + 6 (0, 4)^{2} + 7 (0, 1)^{2} + 4 (0, 6)^{2} + (1, 1)^{2} = 1, 62 + 0, 96 + 0, 07 + 1, 44 + 1, 21 = 5, 3

s^{2} = \frac{5 , 3}{20} = 0, 265

;

s \approx 0, 51

Vậy chọn A.

Nhận xét. Ba cách cùng cho $s^{2} = 0, 265$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng máy tính theo Cách 1; tính tay thì Cách 2.

Đáp số. A.

0, 51

Sai lầm thường gặp. Chia cho

n - 1 = 19

được

s \approx 0, 53

; hoặc quên khai căn.

🚀 Mở rộng. Hệ số biến thiên

\frac{s}{x ˉ} \approx 7, 2%

— thành tích khá ổn định.

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · Bài 20★Trang 51— Trắc nghiệm — xác suất có điều kiện

Bài 20 (trang 51). Chọn ngẫu nhiên một lá bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 lá bài. Xác suất để lá bài lấy ra có chất rô, nếu biết rằng lá bài đó mang số chẵn là
A.

\frac{1}{4}

.
B.

\frac{3}{8}

.
C.

\frac{1}{3}

.
D.

\frac{5}{13}

Kiến thức cần nhớ

$P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .
$A$ , $B$ độc lập thì $P (A ∣ B) = P (A)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Lá mang số chẵn:

2; 4; 6; 8; 10

ở mỗi chất, tổng

20

lá; chất rô chiếm

5

. Tính chẵn và chất là độc lập nên đáp số bằng xác suất ra chất rô, tức

\frac{13}{52} = \frac{1}{4}

1Cách 1. Đếm trong không gian mẫu thu hẹp

Định hướng. $n (B) = 4 \cdot 5 = 20$ , $n (A B) = 5$ .

P = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}

Vậy chọn A.

2Cách 2. Công thức

Định hướng. Trên $52$ lá.

P (A B) = \frac{5}{52}

;

P (B) = \frac{20}{52}

;

P (A ∣ B) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}

Vậy chọn A.

3Cách 3. Tính độc lập

Định hướng. Mỗi chất có đúng $5$ lá số chẵn — biết lá chẵn không làm thay đổi tỉ lệ các chất.

P (A ∣ B) = P (A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}

Vậy chọn A.

Nhận xét. Bốn chất đối xứng nhau nên điều kiện “số chẵn” không ưu tiên chất nào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: nhận ra điều kiện “số chẵn” không ưu tiên chất nào nên đáp số là 1/4 ngay.

Đáp số. A.

\frac{1}{4}

Sai lầm thường gặp. Tính cả J, Q, K là số chẵn hoặc lấy

\frac{5}{13}

(số lá chẵn trong chất rô).

🚀 Mở rộng. Nếu điều kiện là “lá bài màu đỏ” thì xác suất ra chất rô bằng

\frac{13}{26} = \frac{1}{2}

, khác

\frac{1}{4}

— không còn độc lập.

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · Bài 21★Trang 51— Trắc nghiệm — xác suất có điều kiện

Bài 21 (trang 51). Chọn ngẫu nhiên gia đình có 2 con. Biết rằng người con đầu là con gái. Xác suất để gia đình đó có hai con gái là
A.

0, 6

.
B.

0, 5

.
C.

0, 55

.
D.

0, 65

Kiến thức cần nhớ

$P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Không gian mẫu (thứ tự sinh)

{GG; GT; T G; T T}

đồng khả năng. Điều kiện “con đầu là gái” còn

{GG; GT}

1Cách 1. Liệt kê

Định hướng. $B = {GG; GT}$ , $A B = {GG}$ .

P = \frac{1}{2} = 0, 5

Vậy chọn B.

2Cách 2. Công thức

Định hướng. $P (A B) = \frac{1}{4}$ , $P (B) = \frac{1}{2}$ .

P (A ∣ B) = \frac{1}{4} : \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Vậy chọn B.

3Cách 3. Độc lập

Định hướng. Giới tính con thứ hai độc lập với con đầu.

Xác suất con thứ hai là gái bằng

0, 5

nên

P = 0, 5

Vậy chọn B.

Nhận xét. So sánh: nếu chỉ biết “có ít nhất một con gái” thì xác suất là $\frac{1}{3}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: giới tính con thứ hai độc lập với con đầu, đáp số 0,5 không cần tính.

Đáp số. B.

0, 5

Sai lầm thường gặp. Nhầm với điều kiện “có ít nhất một con gái” và tính

\frac{1}{3}

🚀 Mở rộng. Gia đình

3

con, biết con đầu là gái: xác suất cả ba là gái bằng

\frac{1}{4}

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · Bài 22★★Trang 51— Trắc nghiệm — xác suất có điều kiện bằng đếm

Bài 22 (trang 51). Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Biết rằng số chấm trên hai con xúc xắc bé hơn 5. Xác suất để tổng số chấm bằng 6 là
A.

\frac{3}{17}

.
B.

\frac{4}{17}

.
C.

\frac{5}{19}

.
D.

\frac{3}{16}

Kiến thức cần nhớ

$P (A ∣ B) = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Điều kiện: mỗi con xúc xắc ra từ

1

đến

4

chấm, còn

4 \cdot 4 = 16

kết quả đồng khả năng. Đếm các cặp có tổng

6

trong đó.

1Cách 1. Liệt kê

Định hướng. $B$ có $16$ kết quả.

A B = {(2; 4), (3; 3), (4; 2)}

P = \frac{3}{16}

Vậy chọn D.

2Cách 2. Công thức

Định hướng. Trên $36$ kết quả.

P (B) = \frac{16}{36}

;

P (A B) = \frac{3}{36}

;

P (A ∣ B) = \frac{3}{16}

Vậy chọn D.

3Cách 3. Bảng tổng

Định hướng. Lập bảng $4 \times 4$ tổng hai mặt $1$ – $4$ ; tổng $6$ nằm trên một đường chéo phụ.

Đường chéo tổng

6

: các ô

(2; 4)

(3; 3)

(4; 2)

—

3

ô trên

16

Vậy chọn D.

Nhận xét. Mẫu số $16$ loại ngay A, B, C (mẫu $17$ , $19$ không thể xuất hiện).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1; nhìn mẫu số

16

là loại được ba phương án.

Đáp số. D.

\frac{3}{16}

Sai lầm thường gặp. Không thu hẹp không gian mẫu, tính

\frac{5}{36}

; hoặc đếm cả

(1; 5)

(5; 1)

🚀 Mở rộng. Cùng điều kiện, xác suất tổng bằng

5

là

\frac{4}{16} = \frac{1}{4}

— tổng hay gặp nhất.

Mở bài này trong app ↗

Bài 23 · Bài 23★★★Trang 51— Khảo sát hàm bậc ba; biện luận nghiệm; tiếp tuyến

Bài 23 (trang 51). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

y = - x^{3} + 3 x^{2} - 2

.
b) Tìm điều kiện của tham số

m

để phương trình

x^{3} - 3 x^{2} + 5 - m = 0

có ba nghiệm phân biệt.
c) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số mà tiếp tuyến với đồ thị tại điểm đó có hệ số góc lớn nhất.

Kiến thức cần nhớ

Số nghiệm của $f (x) = k$ bằng số giao điểm của đồ thị $y = f (x)$ với đường thẳng $y = k$ .
Hệ số góc tiếp tuyến tại $x_{0}$ là $f^{'} (x_{0})$ .
Tam thức $a x^{2} + b x + c$ ( $a < 0$ ) lớn nhất tại $x = - \frac{b}{2 a}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý b đưa phương trình về dạng

- x^{3} + 3 x^{2} - 2 = 3 - m

để dùng đồ thị ý a. Ý c: hệ số góc tiếp tuyến là

y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x

— một tam thức bậc hai với

a < 0

, lớn nhất tại đỉnh

x = 1

1Cách 1. Khảo sát rồi dùng đồ thị

Định hướng. Lập bảng biến thiên, đọc số giao điểm với đường thẳng nằm ngang.

D = R

;

y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x = - 3 x (x - 2)

;

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = 2

y_{CT} = y (0) = - 2

;

y_{CD} = y (2) = - 8 + 12 - 2 = 2

;

x \to - \infty lim y = + \infty

x \to + \infty lim y = - \infty

x^{3} - 3 x^{2} + 5 - m = 0 \Leftrightarrow - x^{3} + 3 x^{2} - 2 = 3 - m

Ba nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow - 2 < 3 - m < 2 \Leftrightarrow 1 < m < 5

k = y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x = 3 - 3 (x - 1)^{2} \leq 3

, dấu bằng khi

x = 1

;

y (1) = - 1 + 3 - 2 = 0

$x$	$- \infty$		$0$		$2$		$+ \infty$
$y^{'}$		$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$y$	$+ \infty$	↘	$- 2$	↗	$2$	↘	$- \infty$

Vậy a) nghịch biến trên $(- \infty; 0)$ và $(2; + \infty)$ , đồng biến trên $(0; 2)$ , CT $(0; - 2)$ , CĐ $(2; 2)$ , tâm đối xứng $I (1; 0)$ ; b) $1 < m < 5$ ; c) điểm $I (1; 0)$ , tiếp tuyến $y = 3 x - 3$ có hệ số góc lớn nhất $3$ .

2Cách 2. Tịnh tiến về hàm lẻ

Định hướng. Đặt $x = t + 1$ : $y = - (t + 1)^{3} + 3 (t + 1)^{2} - 2 = - t^{3} + 3 t$ .

y = - t^{3} + 3 t

lẻ theo

t

: đồ thị đối xứng qua

I (1; 0)

; cực trị tại

t = \pm 1

với

y = \pm 2

x^{3} - 3 x^{2} + 5 - m = t^{3} - 3 t + 3 - m = 0 \Leftrightarrow - t^{3} + 3 t = 3 - m

; đường

y = 3 - m

cắt đồ thị ba điểm khi

∣3 - m ∣ < 2

y^{'} = - 3 t^{2} + 3 \leq 3

, lớn nhất tại

t = 0

, tức

x = 1

Vậy b) $1 < m < 5$ ; c) điểm $(1; 0)$ .

3Cách 3. Điều kiện đại số cho ý b

Định hướng. Hàm bậc ba $h (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 5 - m$ có ba nghiệm phân biệt khi $h$ có hai cực trị trái dấu.

h^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow x = 0; 2

;

h (0) = 5 - m

;

h (2) = 1 - m

h (0) \cdot h (2) < 0 \Leftrightarrow (5 - m) (1 - m) < 0 \Leftrightarrow 1 < m < 5

c) Tiếp tuyến tại

x = 1

y = 3 (x - 1) + 0 = 3 x - 3

Vậy b) $1 < m < 5$ ; c) $M (1; 0)$ , tiếp tuyến $y = 3 x - 3$ .

Nhận xét. Tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất (với $a < 0$ ) luôn là tiếp tuyến tại tâm đối xứng — điểm uốn của đồ thị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Ý b dùng Cách 3 (tích hai cực trị âm) cho lời giải ngắn; trình bày khảo sát theo Cách 1.

Đáp số. a) CT

(0; - 2)

, CĐ

(2; 2)

, tâm đối xứng

I (1; 0)

; b)

1 < m < 5

; c)

M (1; 0)

, tiếp tuyến

y = 3 x - 3

(hệ số góc lớn nhất

3

Sai lầm thường gặp. Ý b quên đổi dấu cả phương trình, so

m

trực tiếp với

- 2

và

2

nên ra

- 2 < m < 2

🚀 Mở rộng. Phương trình

x^{3} - 3 x^{2} + 5 - m = 0

có đúng hai nghiệm khi

m = 1

hoặc

m = 5

(đường thẳng đi qua điểm cực trị).

Mở bài này trong app ↗

Bài 24 · Bài 24★★★Trang 51— Khảo sát hàm phân thức; tương giao; tiếp tuyến và tiệm cận

Bài 24 (trang 51). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

(H)

của hàm số

y = \frac{2 x - 1}{x - 1}

. Tìm toạ độ tâm đối xứng

I

của đồ thị.
b) Tìm điều kiện của tham số

m

để đường thẳng

d : y = - x + m

cắt đồ thị

(H)

tại hai điểm phân biệt.
c) Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị

(H)

tại mọi điểm

M

thuộc

(H)

luôn cắt hai tiệm cận của

(H)

tại hai điểm

A

và

B

và diện tích tam giác

I A B

không đổi.

Kiến thức cần nhớ

$y = \frac{a x + b}{c x + d}$ : tâm đối xứng là giao hai tiệm cận.
Tiếp tuyến tại $x_{0}$ : $y = f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + f (x_{0})$ .

🧠 Phân tích tư duy

y = 2 + \frac{1}{x - 1}

là hypebol

Y = \frac{1}{X}

tịnh tiến về tâm

I (1; 2)

. Ý c: trong hệ trục gốc

I

, tiếp tuyến của

Y = \frac{1}{X}

tại

X = t

cắt hai trục tại

(2 t; 0)

và

(0; \frac{2}{t})

— tích độ dài không đổi.

1Cách 1. Khảo sát và tham số hoá tiếp điểm

Định hướng. Làm lần lượt từng ý.

D = R ∖ {1}

;

y^{'} = \frac{- 1}{( x - 1 ) ^{2}} < 0

; TCĐ

x = 1

, TCN

y = 2

;

I (1; 2)

\frac{2 x - 1}{x - 1} = - x + m \Leftrightarrow x^{2} + (1 - m) x + m - 1 = 0

(x \neq = 1)

Δ = (1 - m)^{2} - 4 (m - 1) = (m - 1) (m - 5) > 0

;

x = 1

1 + 1 - m + m - 1 = 1 \neq = 0

m < 1

hoặc

m > 5

M (t; 2 + \frac{1}{t - 1})

t \neq = 1

; tiếp tuyến

y = - \frac{1}{( t - 1 ) ^{2}} (x - t) + 2 + \frac{1}{t - 1}

x = 1

y_{A} = \frac{1}{t - 1} + 2 + \frac{1}{t - 1} = 2 + \frac{2}{t - 1}

;

I A = \frac{2}{∣ t - 1∣}

y = 2

\frac{x - t}{( t - 1 ) ^{2}} = \frac{1}{t - 1} \Leftrightarrow x_{B} = 2 t - 1

;

I B = 2∣ t - 1∣

S_{I A B} = \frac{1}{2} \cdot I A \cdot I B = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{∣ t - 1∣} \cdot 2∣ t - 1∣ = 2

$x$	$- \infty$		$1$			$+ \infty$
$y^{'}$		$-$			$-$
$y$	$2$	↘	$- \infty$	$+ \infty$	↘	$2$

Vậy a) hàm nghịch biến trên $(- \infty; 1)$ và $(1; + \infty)$ , tâm đối xứng $I (1; 2)$ ; b) $m < 1$ hoặc $m > 5$ ; c) diện tích tam giác $I A B$ luôn bằng $2$ .

2Cách 2. Đổi hệ trục về tâm

I

Định hướng. $X = x - 1$ , $Y = y - 2$ : $(H) : Y = \frac{1}{X}$ , hai tiệm cận là hai trục mới.

c) Tiếp tuyến tại

X = t

Y = - \frac{1}{t ^{2}} (X - t) + \frac{1}{t}

X = 0

Y = \frac{2}{t}

;

Y = 0

X = 2 t

S_{I A B} = \frac{1}{2} \cdot ∣2 t ∣ \cdot \frac{2}{t} = 2

d

Y + 2 = - (X + 1) + m \Leftrightarrow Y = - X + m - 3

;

\frac{1}{X} = - X + m - 3 \Leftrightarrow X^{2} - (m - 3) X + 1 = 0

Δ = (m - 3)^{2} - 4 > 0 \Leftrightarrow ∣ m - 3∣ > 2

Vậy b) $m < 1$ hoặc $m > 5$ ; c) $S_{I A B} = 2$ không đổi.

3Cách 3. Nhận xét trung điểm

Định hướng. Với hypebol $Y = \frac{k}{X}$ , tiếp điểm $M$ là trung điểm đoạn $A B$ nằm giữa hai tiệm cận.

A (0; \frac{2}{t})

B (2 t; 0)

có trung điểm

(t; \frac{1}{t}) = M

S_{I A B} = \frac{1}{2} I A \cdot I B = \frac{1}{2} \cdot 2∣ X_{M} ∣ \cdot 2∣ Y_{M} ∣ = 2∣ X_{M} Y_{M} ∣ = 2∣ k ∣ = 2

Vậy diện tích luôn bằng $2∣ k ∣ = 2$ .

Nhận xét. Cách 3 cho kết quả tổng quát: với mọi hypebol $Y = \frac{k}{X}$ , tam giác tạo bởi tiếp tuyến và hai tiệm cận có diện tích $2∣ k ∣$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Ý c dùng Cách 2 (đổi gốc về

I

) — tính toán ngắn gấp đôi.

Đáp số. a)

I (1; 2)

; b)

m < 1

hoặc

m > 5

; c)

S_{I A B} = 2

với mọi

M \in (H)

Sai lầm thường gặp. Ý b quên kiểm nghiệm

x = 1

hoặc giải

Δ > 0

sai thành

1 < m < 5

; ý c tính

I A

quên trị tuyệt đối.

🚀 Mở rộng. Tiếp điểm

M

luôn là trung điểm của

A B

, và chu vi tam giác

I A B

nhỏ nhất khi

∣ t - 1∣ = 1

, tức

M (2; 3)

hoặc

M (0; 1)

Mở bài này trong app ↗

Bài 25 · Bài 25★★★★Trang 52— Khảo sát hàm phân thức; khoảng cách hai giao điểm

Bài 25 (trang 52). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

(C)

của hàm số

y = - \frac{x ^{2} + x + 1}{x}

.
b) Tìm các giá trị của

m

để đường thẳng

d : y = - 2 x + m

cắt đồ thị

(C)

tại hai điểm phân biệt

A

và

B

thuộc hai nhánh của đồ thị và đoạn

A B

ngắn nhất.

Kiến thức cần nhớ

Hai nghiệm trái dấu khi $a c < 0$ .
$A$ , $B$ trên $y = k x + q$ : $A B^{2} = (1 + k^{2}) (x_{1} - x_{2})^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

y = - x - 1 - \frac{1}{x}

: tiệm cận đứng

x = 0

, tiệm cận xiên

y = - x - 1

. Ý b: phương trình hoành độ

x^{2} - (m + 1) x - 1 = 0

có tích hai nghiệm

- 1 < 0

nên luôn có hai nghiệm trái dấu — hai giao điểm luôn ở hai nhánh; chỉ còn tối ưu

A B

1Cách 1. Khảo sát và Vi-ét

Định hướng. Làm lần lượt hai ý.

D = R ∖ {0}

;

y = - x - 1 - \frac{1}{x}

;

y^{'} = - 1 + \frac{1}{x ^{2}} = \frac{1 - x ^{2}}{x ^{2}}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1

;

y (- 1) = 1

(cực tiểu);

y (1) = - 3

(cực đại)
TCĐ

x = 0

; TCX

y = - x - 1

- 2 x + m = - x - 1 - \frac{1}{x} \Leftrightarrow x^{2} - (m + 1) x - 1 = 0

(x \neq = 0)

x_{1} x_{2} = - 1 < 0

: luôn hai nghiệm trái dấu (khác

0

A

B

thuộc hai nhánh

A B^{2} = (1 + 4) (x_{1} - x_{2})^{2} = 5 [(m + 1)^{2} + 4] \geq 20

$x$	$- \infty$		$- 1$		$0$			$1$		$+ \infty$
$y^{'}$		$-$	$0$	$+$			$+$	$0$	$-$
$y$	$+ \infty$	↘	$1$	↗	$+ \infty$	$- \infty$	↗	$- 3$	↘	$- \infty$

Vậy a) hàm nghịch biến trên $(- \infty; - 1)$ và $(1; + \infty)$ , đồng biến trên $(- 1; 0)$ và $(0; 1)$ ; CT $(- 1; 1)$ , CĐ $(1; - 3)$ ; b) $A B$ ngắn nhất bằng $25$ khi $m = - 1$ .

2Cách 2. Đối xứng qua tâm

Định hướng. Đồ thị đối xứng qua $I (0; - 1)$ ; dự đoán dây ngắn nhất là dây nhận $I$ làm trung điểm, tức $d$ đi qua $I$ , rồi đối chiếu với độ dài tổng quát.

Trung điểm

A B

có hoành độ

\frac{x _{1} + x _{2}}{2} = \frac{m + 1}{2}

; bằng

0

khi

m = - 1

, khi đó

I (0; - 1) \in d

A B^{2} = 5 [(m + 1)^{2} + 4]

nhỏ nhất đúng khi

m + 1 = 0

m = - 1

x^{2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1

;

A (- 1; 1)

B (1; - 3)

;

A B = 4 + 16 = 25

Vậy $m = - 1$ , $A B_{m i n} = 25$ .

3Cách 3. Biểu diễn qua tổng nghiệm

Định hướng. Đặt $s = x_{1} + x_{2} = m + 1$ ; $(x_{1} - x_{2})^{2} = s^{2} + 4$ nhỏ nhất khi $s = 0$ .

A B = 5 \cdot s^{2} + 4 \geq 5 \cdot 2

Dấu bằng khi

s = 0 \Leftrightarrow m = - 1

Vậy $m = - 1$ ; $A B$ nhỏ nhất bằng $25$ .

Nhận xét. Cách 2 giải thích hình học: trung điểm $A B$ là $(\frac{s}{2}; \dots)$ , và $A B$ ngắn nhất khi trung điểm trùng tâm đối xứng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Ý b dùng Cách 1: Vi-ét cho

A B^{2} = 5 [(m + 1)^{2} + 4]

— thấy ngay giá trị nhỏ nhất.

Đáp số. a) CT

(- 1; 1)

, CĐ

(1; - 3)

; TCĐ

x = 0

, TCX

y = - x - 1

; b)

m = - 1

A B_{m i n} = 25

Sai lầm thường gặp. Gọi

(1; - 3)

là cực tiểu vì giá trị nhỏ hơn

1

; ý b đòi thêm điều kiện

Δ > 0

theo

m

mà quên rằng

a c < 0

đã đảm bảo.

🚀 Mở rộng. Khi

m = - 1

, hai giao điểm

A (- 1; 1)

và

B (1; - 3)

chính là hai điểm cực trị của

(C)

, đối xứng nhau qua tâm

I (0; - 1)

Mở bài này trong app ↗

Bài 26 · Bài 26★★★Trang 52— Bảng biến thiên; giá trị lớn nhất, nhỏ nhất qua ẩn phụ

Bài 26 (trang 52). a) Lập bảng biến thiên của hàm số

y = \frac{x ^{2}}{x + 1}

.
b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M = \frac{cos ^{2} α}{cos α + 1}

Kiến thức cần nhớ

Đặt ẩn phụ phải tìm đúng miền giá trị của ẩn phụ.
Hàm liên tục trên nửa khoảng có thể không đạt giá trị lớn nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Đặt

t = cos α

thì

M = \frac{t ^{2}}{t + 1}

với điều kiện

cos α + 1 \neq = 0

, tức

t \in (- 1; 1]

— dùng lại bảng biến thiên ý a trên nửa khoảng này. Bẫy: khi

t \to - 1^{+}

thì

M \to + \infty

, nên

M

không có giá trị lớn nhất (nhiều lời giải trên mạng ghi nhầm giá trị lớn nhất là

\frac{1}{2}

1Cách 1. Bảng biến thiên

Định hướng. Lập bảng cho $y = \frac{x ^{2}}{x + 1}$ , rồi xét trên $(- 1; 1]$ .

D = R ∖ {- 1}

;

y^{'} = \frac{2 x ( x + 1 ) - x ^{2}}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} + 2 x}{( x + 1 ) ^{2}}

;

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = - 2

hoặc

x = 0

y (- 2) = - 4

;

y (0) = 0

;

x \to - 1^{-} lim y = - \infty

;

x \to - 1^{+} lim y = + \infty

t = cos α \in (- 1; 1]

;

M = \frac{t ^{2}}{t + 1}

Trên

(- 1; 0)

hàm giảm từ

+ \infty

về

0

; trên

(0; 1]

tăng từ

0

lên

\frac{1}{2}

min M = 0

khi

t = 0 \Leftrightarrow cos α = 0

;

t \to - 1^{+} lim M = + \infty

$x$	$- \infty$		$- 2$		$- 1$			$0$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$			$-$	$0$	$+$
$y$	$- \infty$	↗	$- 4$	↘	$- \infty$	$+ \infty$	↘	$0$	↗	$+ \infty$

Vậy $M$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $0$ khi $α = \frac{π}{2} + k π$ $(k \in Z)$ và không có giá trị lớn nhất ( $M$ lớn tuỳ ý khi $cos α$ đủ gần $- 1$ ).

2Cách 2. Đánh giá trực tiếp

Định hướng. Với $t \in (- 1; 1]$ thì $t + 1 > 0$ .

M = \frac{t ^{2}}{t + 1} \geq 0

, dấu bằng khi

t = 0

Chọn

t = - 1 + ε

(

0 < ε < 1

M = \frac{( 1 - ε ) ^{2}}{ε} > \frac{1}{4 ε}

khi

ε < \frac{1}{2}

, lớn tuỳ ý

Vậy $min M = 0$ , không tồn tại giá trị lớn nhất.

3Cách 3. Tách phân thức

Định hướng. $\frac{t ^{2}}{t + 1} = t - 1 + \frac{1}{t + 1}$ ; đặt $u = t + 1 \in (0; 2]$ .

M = u + \frac{1}{u} - 2

u + \frac{1}{u} \geq 2

nên

M \geq 0

, dấu bằng khi

u = 1

(

t = 0

)

u \to 0^{+}

thì

\frac{1}{u} \to + \infty

nên

M \to + \infty

Vậy $min M = 0$ ; $M$ không có giá trị lớn nhất.

Nhận xét. Trên đoạn $[0; 1]$ của $t$ (chẳng hạn khi $α \in [0; \frac{π}{2}]$ ) thì mới có $max M = \frac{1}{2}$ tại $t = 1$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: Cô-si cho giá trị nhỏ nhất, còn

\frac{1}{u} \to + \infty

bác bỏ giá trị lớn nhất.

Đáp số. a) CĐ

(- 2; - 4)

, CT

(0; 0)

, TCĐ

x = - 1

; b)

min M = 0

(khi

cos α = 0

M

không có giá trị lớn nhất.

Sai lầm thường gặp. Lấy

max M = M (1) = \frac{1}{2}

(chỉ so sánh giá trị tại đầu mút

t = 1

và điểm tới hạn) — sai vì miền của

t

là nửa khoảng

(- 1; 1]

và

M \to + \infty

khi

t \to - 1^{+}

🚀 Mở rộng. Với

M = \frac{cos ^{2} α}{cos α + 2}

(

t \in [- 1; 1]

, không có điểm cấm) thì

min M = 0

và

max M = max {1; \frac{1}{3}} = 1

tại

cos α = - 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 27 · Bài 27★★★★Trang 52— Bài toán tối ưu thể tích bằng đạo hàm

Bài 27 (trang 52). Một hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính

R

.
a) Chứng minh rằng thể tích của khối chóp tương ứng là

V = \frac{4 R ^{2} x ^{2}}{3 ( x - 2 R )}

, trong đó

x

là chiều cao của hình chóp.
b) Với giá trị nào của

x

để khối chóp tương ứng có thể tích nhỏ nhất?
Hướng dẫn: a) Mặt phẳng đi qua đường cao

S H

của hình chóp và trung điểm

M

của một cạnh đáy cắt hình chóp theo tam giác cân

S M N

và cắt hình cầu theo hình tròn tâm

I

bán kính

R

nội tiếp tam giác

S M N

. Có thể tính thể tích khối chóp theo

x

và

α = S N H

. Sau đó sử dụng đẳng thức

x = R + I S

để tìm hệ thức giữa

R

x

và

α

Kiến thức cần nhớ

Tam giác có diện tích $S$ , nửa chu vi $p$ thì bán kính đường tròn nội tiếp $r = \frac{S}{p}$ .
$V_{chop} = \frac{1}{3} S_{day} \cdot h$ .

🧠 Phân tích tư duy

Thiết diện qua trục là tam giác cân

S M N

ngoại tiếp đường tròn bán kính

R

; nửa đáy

H N = b

bằng nửa cạnh đáy hình vuông, nên

V = \frac{1}{3} (2 b)^{2} x

. Cần một hệ thức giữa

b

x

R

— từ diện tích tam giác (

S = p r

) hoặc từ góc

α

như hướng dẫn. Ý b: khảo sát

V (x)

trên

(2 R; + \infty)

1Cách 1. Theo góc

α

(như hướng dẫn)

Định hướng. Tam giác $S H N$ vuông tại $H$ ; $I N$ là phân giác góc $N$ nhưng dùng tam giác $S P I$ vuông tại $P$ với $P S I = 9 0^{\circ} - α$ .

H N = x cot α

;

V = \frac{1}{3} (2 H N)^{2} x = \frac{4}{3} x^{3} cot^{2} α

I S = \frac{I P}{sin ( 9 0 ^{\circ} - α )} = \frac{R}{cos α}

;

x = S H = R + \frac{R}{cos α} \Rightarrow cos α = \frac{R}{x - R}

sin^{2} α = 1 - \frac{R ^{2}}{( x - R ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 R x}{( x - R ) ^{2}}

;

cot^{2} α = \frac{R ^{2}}{x ( x - 2 R )}

V = \frac{4}{3} x^{3} \cdot \frac{R ^{2}}{x ( x - 2 R )} = \frac{4 R ^{2} x ^{2}}{3 ( x - 2 R )}

V^{'} (x) = \frac{4 R ^{2}}{3} \cdot \frac{2 x ( x - 2 R ) - x ^{2}}{( x - 2 R ) ^{2}} = \frac{4 R ^{2} x ( x - 4 R )}{3 ( x - 2 R ) ^{2}}

;

V^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 4 R

(với

x > 2 R

)

V^{'} < 0

trên

(2 R; 4 R)

V^{'} > 0

trên

(4 R; + \infty)

;

V (4 R) = \frac{4 R ^{2} \cdot 16 R ^{2}}{3 \cdot 2 R} = \frac{32 R ^{3}}{3}

Vậy a) $V = \frac{4 R ^{2} x ^{2}}{3 ( x - 2 R )}$ (điều kiện $x > 2 R$ ); b) thể tích nhỏ nhất bằng $\frac{32 R ^{3}}{3}$ khi $x = 4 R$ .

2Cách 2. Công thức

S = p r

trong tam giác

S M N

Định hướng. Đặt $H N = b$ ; tam giác $S M N$ có đáy $2 b$ , cao $x$ , cạnh bên $b^{2} + x^{2}$ .

S = b x

;

p = b + b^{2} + x^{2}

;

R = \frac{b x}{b + b ^{2} + x ^{2}}

R b^{2} + x^{2} = b (x - R) \Rightarrow R^{2} (b^{2} + x^{2}) = b^{2} (x - R)^{2} \Rightarrow b^{2} (x^{2} - 2 R x) = R^{2} x^{2}

b^{2} = \frac{R ^{2} x}{x - 2 R}

;

V = \frac{1}{3} \cdot 4 b^{2} \cdot x = \frac{4 R ^{2} x ^{2}}{3 ( x - 2 R )}

Vậy công thức ở a) được chứng minh (ý b như Cách 1).

3Cách 3. Ý b bằng bất đẳng thức

Định hướng. Đặt $u = x - 2 R > 0$ : $\frac{x ^{2}}{x - 2 R} = \frac{( u + 2 R ) ^{2}}{u} = u + \frac{4 R ^{2}}{u} + 4 R$ .

u + \frac{4 R ^{2}}{u} \geq 2 4 R^{2} = 4 R

\frac{x ^{2}}{x - 2 R} \geq 8 R

, dấu bằng khi

u = 2 R \Leftrightarrow x = 4 R

V \geq \frac{4 R ^{2}}{3} \cdot 8 R = \frac{32 R ^{3}}{3}

Vậy thể tích nhỏ nhất $\frac{32 R ^{3}}{3}$ khi $x = 4 R$ .

Nhận xét. Khi $x = 4 R$ thì $b^{2} = 2 R^{2}$ , cạnh đáy $2 b = 22 R$ , và $cos α = \frac{1}{3}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Ý a trình bày Cách 2 (gọn, không lượng giác); ý b dùng Cách 3 (Cô-si) hoặc đạo hàm ở Cách 1.

Đáp số. a)

V = \frac{4 R ^{2} x ^{2}}{3 ( x - 2 R )}

với

x > 2 R

; b)

x = 4 R

V_{m i n} = \frac{32 R ^{3}}{3}

Sai lầm thường gặp. Lấy

H N

bằng nửa đường chéo đáy (thiết diện qua đỉnh và đường chéo không chứa đường tròn lớn tiếp xúc các mặt); quên điều kiện

x > 2 R

🚀 Mở rộng. Với chóp tam giác đều ngoại tiếp cầu bán kính

R

, bài toán tương tự cũng cho chiều cao tối ưu

x = 4 R

Mở bài này trong app ↗

Bài 28 · Bài 28★★Trang 52— Tìm họ nguyên hàm

Bài 28 (trang 52). Tìm họ các nguyên hàm của mỗi hàm số sau:
a)

f (x) = 3 x^{2} - 2 x + \frac{2}{x}

;
b)

g (x) = sin x - \frac{3}{cos ^{2} x} + 1

;
c)

h (x) = (3 x - 1)^{2} - 2 x + sin x - 1

Kiến thức cần nhớ

$\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ ; $\int \frac{d x}{x} = ln ∣ x ∣ + C$ ; $\int \frac{d x}{cos ^{2} x} = tan x + C$ .
$\int (a x + b)^{n} d x = \frac{( a x + b ) ^{n + 1}}{a ( n + 1 )} + C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tách thành tổng các hàm cơ bản trong bảng nguyên hàm; ý c có

(3 x - 1)^{2}

— hoặc khai triển, hoặc dùng công thức

(a x + b)^{n}

;

x = x^{\frac{1}{2}}

. Cuối cùng luôn đạo hàm lại để kiểm tra từng họ nguyên hàm.

1Cách 1. Bảng nguyên hàm

Định hướng. Nguyên hàm từng hạng tử.

\int f (x) d x = x^{3} - x^{2} + 2 ln ∣ x ∣ + C

\int g (x) d x = - cos x - 3 tan x + x + C

\int h (x) d x = \frac{( 3 x - 1 ) ^{3}}{9} - \frac{4}{3} x x - cos x - x + C

Vậy ba họ nguyên hàm như trên (ý c xét với $x \geq 0$ ; ý b trên các khoảng $cos x \neq = 0$ ).

2Cách 2. Khai triển ý c

Định hướng. Khai triển $(3 x - 1)^{2} = 9 x^{2} - 6 x + 1$ .

h (x) = 9 x^{2} - 6 x + 1 - 2 x^{\frac{1}{2}} + sin x - 1 = 9 x^{2} - 6 x - 2 x^{\frac{1}{2}} + sin x

\int h (x) d x = 3 x^{3} - 3 x^{2} - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - cos x + C

Vậy $\int h (x) d x = 3 x^{3} - 3 x^{2} - \frac{4}{3} x x - cos x + C$ — khác kết quả Cách 1 đúng một hằng số $(\frac{( 3 x - 1 ) ^{3}}{9} - x = 3 x^{3} - 3 x^{2} - \frac{1}{9})$ .

3Cách 3. Kiểm tra bằng đạo hàm

Định hướng. Đạo hàm các kết quả phải trả lại đúng hàm số.

(x^{3} - x^{2} + 2 ln ∣ x ∣)^{'} = 3 x^{2} - 2 x + \frac{2}{x}

(- cos x - 3 tan x + x)^{'} = sin x - \frac{3}{cos ^{2} x} + 1

\frac{( 3 x - 1 ) ^{3}}{9} - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} - cos x - x^{'} = (3 x - 1)^{2} - 2 x + sin x - 1

Vậy các họ nguyên hàm ở Cách 1 đúng.

Nhận xét. Kiểm tra bằng đạo hàm là thói quen bắt buộc sau mỗi bài nguyên hàm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 và luôn kiểm lại bằng đạo hàm (Cách 3).

Đáp số. a)

x^{3} - x^{2} + 2 ln ∣ x ∣ + C

; b)

- cos x - 3 tan x + x + C

; c)

\frac{( 3 x - 1 ) ^{3}}{9} - \frac{4}{3} x x - cos x - x + C

Sai lầm thường gặp. Quên chia cho

3

khi nguyên hàm

(3 x - 1)^{2}

(viết

\frac{( 3 x - 1 ) ^{3}}{3}

); viết

\int sin x d x = cos x

; thiếu trị tuyệt đối trong

ln ∣ x ∣

🚀 Mở rộng. Nguyên hàm của

(3 x - 1)^{2}

viết theo hai cách chênh nhau hằng số

- \frac{1}{9}

— minh hoạ họ nguyên hàm chỉ xác định sai khác một hằng số.

Mở bài này trong app ↗

Bài 29 · Bài 29★★Trang 53— Tính tích phân

Bài 29 (trang 53). Tính:
a)

\int_{0}^{\frac{π}{4}} sin^{2} \frac{x}{2} d x

;
b)

\int_{0}^{1} (3 x - 4 x^{3}) d x + \int_{1}^{2} (4 x^{3} - 3 x) d x

;
c)

\int_{0}^{6} (∣2 x - 2∣ + 4 x^{2}) d x

Kiến thức cần nhớ

$sin^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - cos x}{2}$ .
$∣2 x - 2∣ = 2 - 2 x$ khi $x \leq 1$ , $= 2 x - 2$ khi $x \geq 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a hạ bậc

sin^{2} \frac{x}{2} = \frac{1 - cos x}{2}

. Ý b nhận ra hai hàm dưới dấu tích phân là đối nhau, nên cùng một nguyên hàm. Ý c tách tại

x = 1

để bỏ trị tuyệt đối.

1Cách 1. Tính trực tiếp

Định hướng. Hạ bậc, nguyên hàm, tách cận.

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1 - cos x}{2} d x = (\frac{x}{2} - \frac{sin x}{2})_{0}^{\frac{π}{4}} = \frac{π}{8} - \frac{2}{4}

(\frac{3 x ^{2}}{2} - x^{4})_{0}^{1} + (x^{4} - \frac{3 x ^{2}}{2})_{1}^{2} = \frac{1}{2} + (16 - 6) - (1 - \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} + 10 + \frac{1}{2} = 11

\int_{0}^{1} (2 - 2 x + 4 x^{2}) d x + \int_{1}^{6} (2 x - 2 + 4 x^{2}) d x = (2 x - x^{2} + \frac{4 x ^{3}}{3})_{0}^{1} + (x^{2} - 2 x + \frac{4 x ^{3}}{3})_{1}^{6}

= \frac{7}{3} + (24 + 288) - (- 1 + \frac{4}{3}) = \frac{7}{3} + 312 - \frac{1}{3} = 314

Vậy a) $\frac{π}{8} - \frac{2}{4}$ ; b) $11$ ; c) $314$ .

2Cách 2. Nhận ra cấu trúc

Định hướng. b) Đặt $F (x) = \frac{3 x ^{2}}{2} - x^{4}$ thì tích phân thứ hai là $- [F (2) - F (1)]$ . c) Tách tổng thành hai tích phân, phần trị tuyệt đối là diện tích hai tam giác.

F (1) - F (0) - F (2) + F (1) = 2 F (1) - F (0) - F (2) = 2 \cdot \frac{1}{2} - 0 - (- 10) = 11

\int_{0}^{6} ∣2 x - 2∣ d x = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 2 + \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10 = 26

;

\int_{0}^{6} 4 x^{2} d x = \frac{4 \cdot 216}{3} = 288

26 + 288 = 314

Vậy b) $11$ ; c) $314$ (ý a như Cách 1).

3Cách 3. Ý a bằng đổi biến

Định hướng. Đặt $u = \frac{x}{2}$ , $d x = 2 d u$ , $u \in [0; \frac{π}{8}]$ .

2 \int_{0}^{\frac{π}{8}} sin^{2} u d u = \int_{0}^{\frac{π}{8}} (1 - cos 2 u) d u = (u - \frac{sin 2 u}{2})_{0}^{\frac{π}{8}} = \frac{π}{8} - \frac{2}{4}

b) Kiểm bằng số:

\frac{1}{2} + \frac{21}{2} = 11

; c) kiểm:

26 + 288 = 314

Vậy kết quả trùng Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 ở ý c tránh hẳn nguyên hàm của phần trị tuyệt đối nhờ ý nghĩa diện tích.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Ý a, b dùng Cách 1; ý c dùng Cách 2 (diện tích hai tam giác) — nhanh và ít sai.

Đáp số. a)

\frac{π}{8} - \frac{2}{4}

; b)

11

; c)

314

Sai lầm thường gặp. Ý a hạ bậc sai thành

\frac{1 + cos x}{2}

; ý c bỏ trị tuyệt đối luôn trên

[0; 6]

được

\int_{0}^{6} (2 x - 2) d x = 24

(thiếu

2

🚀 Mở rộng. Nếu ý b là hiệu

\int_{0}^{1} (3 x - 4 x^{3}) d x - \int_{1}^{2} (4 x^{3} - 3 x) d x

thì bằng

\int_{0}^{2} (3 x - 4 x^{3}) d x = - 10

Mở bài này trong app ↗

Bài 30 · Bài 30★Trang 53— Tìm hàm từ đạo hàm; tích phân

Bài 30 (trang 53). Cho hàm số

f (x)

có

f^{'} (x) = 10 x - e^{x}

với mọi

x \in R

. Biết

f (0) = 1

, tính giá trị

f (2)

Kiến thức cần nhớ

$\int_{a}^{b} f^{'} (x) d x = f (b) - f (a)$ .

🧠 Phân tích tư duy

f (2) = f (0) + \int_{0}^{2} f^{'} (x) d x

— không cần tìm cả biểu thức

f

. Nếu tìm cả biểu thức f thì phải nhớ hằng số C xác định từ f(0) = 1.

1Cách 1. Tìm

f (x)

Định hướng. Nguyên hàm rồi dùng $f (0) = 1$ .

f (x) = 5 x^{2} - e^{x} + C

;

f (0) = - 1 + C = 1 \Rightarrow C = 2

f (2) = 20 - e^{2} + 2 = 22 - e^{2}

Vậy $f (2) = 22 - e^{2}$ .

2Cách 2. Tích phân của đạo hàm

Định hướng. Dùng Niu-tơn – Lai-bơ-nit.

f (2) - f (0) = \int_{0}^{2} (10 x - e^{x}) d x = (5 x^{2} - e^{x})_{0}^{2} = 20 - e^{2} + 1 = 21 - e^{2}

f (2) = 1 + 21 - e^{2} = 22 - e^{2}

Vậy $f (2) = 22 - e^{2}$ .

3Cách 3. Kiểm tra số

Định hướng. Ước lượng: $e^{2} \approx 7, 389$ .

f (2) \approx 22 - 7, 389 = 14, 611

\int_{0}^{2} 10 x d x = 20

;

\int_{0}^{2} e^{x} d x \approx 6, 389

;

1 + 20 - 6, 389 = 14, 611

Vậy $f (2) = 22 - e^{2} \approx 14, 61$ .

Nhận xét. Cách 2 là cách “chuẩn chương tích phân”: biến thiên của $f$ bằng tích phân của $f^{'}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: f(2) = f(0) + tích phân của f′ trên [0; 2], không cần tìm hằng số C.

Đáp số.

f (2) = 22 - e^{2} \approx 14, 61

Sai lầm thường gặp. Quên hằng số khi tìm

f

(ra

20 - e^{2}

); hoặc tính

e^{0} = 0

nên

C = 1

🚀 Mở rộng. Tương tự

f (1) = 1 + \int_{0}^{1} (10 x - e^{x}) d x = 1 + 5 - (e - 1) = 7 - e

Mở bài này trong app ↗

Bài 31 · Bài 31★★Trang 53— Ứng dụng nguyên hàm, tích phân trong chuyển động

Bài 31 (trang 53). Một ô tô đang chạy với vận tốc

15 m/s

thì tăng tốc, chuyển động nhanh dần với gia tốc

a = 3 t - 8 (m/s^{2})

, trong đó

t

là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng vận tốc.
a) Biết vận tốc của ô tô là

v (t) = \frac{a}{2} t^{2} + b t + c

, với

a

b

c

là các số nguyên. Tính giá trị

a + b + c

.
b) Quãng đường ô tô đi được sau

10

giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Kiến thức cần nhớ

$v (t) = \int a (t) d t$ ; $s = \int_{0}^{T} v (t) d t$ khi $v \geq 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

v (t)

là nguyên hàm của gia tốc với

v (0) = 15

; quãng đường là tích phân của

v

trên

[0; 10]

(cần

v \geq 0

). Chữ

a

trong ý a là hệ số, khác với gia tốc.

1Cách 1. Nguyên hàm rồi tích phân

Định hướng. Tìm $v (t)$ , đồng nhất hệ số, tích phân.

v (t) = \int (3 t - 8) d t = \frac{3}{2} t^{2} - 8 t + C

;

v (0) = 15 \Rightarrow C = 15

\frac{a}{2} = \frac{3}{2}

b = - 8

c = 15

nên

a = 3

;

a + b + c = 3 - 8 + 15 = 10

v (t) = \frac{3}{2} (t - \frac{8}{3})^{2} + \frac{13}{3} > 0

s = \int_{0}^{10} (\frac{3}{2} t^{2} - 8 t + 15) d t = (\frac{t ^{3}}{2} - 4 t^{2} + 15 t)_{0}^{10} = 500 - 400 + 150 = 250

Vậy a) $a + b + c = 10$ ; b) quãng đường là $250$ m.

2Cách 2. Tích phân có cận cho vận tốc

Định hướng. $v (t) = v (0) + \int_{0}^{t} a (τ) d τ$ .

v (t) = 15 + (\frac{3 τ ^{2}}{2} - 8 τ)_{0}^{t} = \frac{3}{2} t^{2} - 8 t + 15

s = \int_{0}^{10} v d t = \frac{3}{2} \cdot \frac{1 000}{3} - 8 \cdot 50 + 15 \cdot 10 = 500 - 400 + 150 = 250

Vậy a) $10$ ; b) $250$ m.

3Cách 3. Kiểm tra bằng giá trị trung bình

Định hướng. $v (t)$ bậc hai: tích phân bằng công thức Simpson chính xác cho đa thức bậc $\leq 3$ .

v (0) = 15

;

v (5) = 37, 5 - 40 + 15 = 12, 5

;

v (10) = 150 - 80 + 15 = 85

s = \frac{10}{6} (15 + 4 \cdot 12, 5 + 85) = \frac{10}{6} \cdot 150 = 250

Vậy $s = 250$ m.

Nhận xét. Ô tô giảm tốc trong khoảng $0 < t < \frac{8}{3}$ (vì $a < 0$ ) rồi mới tăng tốc, nhưng vận tốc luôn dương nên quãng đường bằng tích phân của $v$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nguyên hàm gia tốc có v(0) = 15, rồi tích phân v trên [0; 10] ra 250 m.

Đáp số. a)

a + b + c = 10

; b)

s = 250

Sai lầm thường gặp. Lấy

a = \frac{3}{2}

(nhầm hệ số

\frac{a}{2}

) nên

a + b + c = 8, 5

; quên hằng số

v (0) = 15

nên quãng đường ra

100

🚀 Mở rộng. Quãng đường trong giây thứ

10

(từ

t = 9

đến

t = 10

) là

(\frac{t ^{3}}{2} - 4 t^{2} + 15 t)_{9}^{10} = 250 - 175, 5 = 74, 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 32 · Bài 32★Trang 53— Diện tích hình phẳng

Bài 32 (trang 53). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = x - 2

, trục hoành và các đường thẳng

x = 4

x = 9

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ ; $\int x d x = \frac{2}{3} x x + C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Trên

[4; 9]

có

x \geq 2

nên

y \geq 0

— diện tích bằng tích phân, không cần trị tuyệt đối. Bẫy: nhầm nguyên hàm của căn x với đạo hàm của nó.

1Cách 1. Tích phân theo

x

Định hướng. $y \geq 0$ trên $[4; 9]$ .

S = \int_{4}^{9} (x - 2) d x = (\frac{2}{3} x x - 2 x)_{4}^{9} = (18 - 18) - (\frac{16}{3} - 8) = \frac{8}{3}

Vậy $S = \frac{8}{3}$ .

2Cách 2. Đổi biến

u = x

Định hướng. $x = u^{2}$ , $d x = 2 u d u$ , $u \in [2; 3]$ .

S = \int_{2}^{3} (u - 2) 2 u d u = \int_{2}^{3} (2 u^{2} - 4 u) d u = (\frac{2 u ^{3}}{3} - 2 u^{2})_{2}^{3} = 0 - (\frac{16}{3} - 8) = \frac{8}{3}

Vậy $S = \frac{8}{3}$ .

3Cách 3. Tích phân theo

y

Định hướng. Miền giới hạn bởi $x = (y + 2)^{2}$ (bên trái), $x = 9$ (bên phải), $0 \leq y \leq 1$ .

S = \int_{0}^{1} [9 - (y + 2)^{2}] d y = (9 y - \frac{( y + 2 ) ^{3}}{3})_{0}^{1} = (9 - 9) - (0 - \frac{8}{3}) = \frac{8}{3}

Vậy $S = \frac{8}{3}$ .

Nhận xét. Ba cách cho cùng kết quả; tích phân theo $y$ tránh được căn thức.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: trên [4; 9] có √x ≥ 2 nên tích phân thẳng, không phải xét dấu.

Đáp số.

S = \frac{8}{3}

Sai lầm thường gặp. Nguyên hàm

x

thành

\frac{1}{2 x}

(nhầm đạo hàm); hoặc thay cận

4

tính sai

44 = 8

🚀 Mở rộng. Nếu cận là

x = 1

x = 9

thì hàm đổi dấu tại

x = 4

S = \int_{1}^{4} (2 - x) d x + \frac{8}{3} = \frac{4}{3} + \frac{8}{3} = 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 33 · Bài 33★★Trang 53— Thể tích khối tròn xoay

Bài 33 (trang 53). Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh

O x

hình phẳng giới hạn bởi đường parabol

y = x^{2} - 3 x + 2

, trục hoành và các đường thẳng

x = 1

x = 2

Kiến thức cần nhớ

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ .

🧠 Phân tích tư duy

y = (x - 1) (x - 2)

bằng

0

đúng tại hai cận; bình phương là

(x - 1)^{2} (x - 2)^{2}

, đối xứng qua

x = \frac{3}{2}

— đổi biến

u = x - \frac{3}{2}

cho số gọn. Bẫy: quên bình phương sẽ ra số âm — dấu hiệu sai ngay lập tức.

1Cách 1. Khai triển

Định hướng. $(x^{2} - 3 x + 2)^{2} = x^{4} - 6 x^{3} + 13 x^{2} - 12 x + 4$ .

V = π \int_{1}^{2} (x^{4} - 6 x^{3} + 13 x^{2} - 12 x + 4) d x = π (\frac{x ^{5}}{5} - \frac{3 x ^{4}}{2} + \frac{13 x ^{3}}{3} - 6 x^{2} + 4 x)_{1}^{2}

= π [(\frac{32}{5} - 24 + \frac{104}{3} - 24 + 8) - (\frac{1}{5} - \frac{3}{2} + \frac{13}{3} - 6 + 4)] = π (\frac{16}{15} - \frac{31}{30}) = \frac{π}{30}

Vậy $V = \frac{π}{30}$ .

2Cách 2. Đổi biến đối xứng

Định hướng. $u = x - \frac{3}{2}$ : $(x - 1) (x - 2) = u^{2} - \frac{1}{4}$ , $u \in [- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$ .

V = 2 π \int_{0}^{\frac{1}{2}} (u^{4} - \frac{u ^{2}}{2} + \frac{1}{16}) d u = 2 π (\frac{1}{160} - \frac{1}{48} + \frac{1}{32}) = 2 π \cdot \frac{8}{480} = \frac{π}{30}

Vậy $V = \frac{π}{30}$ .

3Cách 3. Công thức tích phân Beta

Định hướng. $\int_{1}^{2} (x - 1)^{2} (2 - x)^{2} d x = \frac{2 ! \cdot 2 !}{5 !} = \frac{4}{120}$ (với $t = x - 1 \in [0; 1]$ : $\int_{0}^{1} t^{2} (1 - t)^{2} d t$ ).

\int_{0}^{1} (t^{2} - 2 t^{3} + t^{4}) d t = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} = \frac{1}{30}

V = \frac{π}{30}

Vậy $V = \frac{π}{30}$ .

Nhận xét. Đổi biến $t = x - 1$ đưa về tích phân chuẩn trên $[0; 1]$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: đổi

t = x - 1

, khai triển ba hạng tử.

Đáp số.

V = \frac{π}{30}

Sai lầm thường gặp. Quên bình phương:

π \int_{1}^{2} (x^{2} - 3 x + 2) d x = - \frac{π}{6}

(âm — dấu hiệu sai ngay).

🚀 Mở rộng. Tổng quát

π \int_{p}^{q} (x - p)^{2} (x - q)^{2} d x = \frac{π ( q - p ) ^{5}}{30}

Mở bài này trong app ↗

Bài 34 · Bài 34★★Trang 53— Tích vô hướng trong tứ diện đều

Bài 34 (trang 53). Cho tứ diện đều

A B C D

có cạnh bằng

a

. Tính

(A B + A D) \cdot B C

Kiến thức cần nhớ

$u \cdot v = ∣ u ∣∣ v ∣ cos (u, v)$ .
Tứ diện đều có các cặp cạnh đối vuông góc.

🧠 Phân tích tư duy

Tứ diện đều: mọi mặt là tam giác đều cạnh

a

và các cặp cạnh đối vuông góc, nên

A D \cdot B C = 0

. Còn

A B \cdot B C

: góc giữa hai vectơ là

12 0^{\circ}

(không phải

6 0^{\circ}

1Cách 1. Tách và dùng góc

Định hướng. Tách thành hai tích vô hướng.

A B \cdot B C = - B A \cdot B C = - a \cdot a \cdot cos 6 0^{\circ} = - \frac{a ^{2}}{2}

A D \cdot B C = A D \cdot (A C - A B) = \frac{a ^{2}}{2} - \frac{a ^{2}}{2} = 0

(A B + A D) \cdot B C = - \frac{a ^{2}}{2}

Vậy kết quả là $- \frac{a ^{2}}{2}$ .

2Cách 2. Chung gốc

A

Định hướng. $B C = A C - A B$ ; mọi tích vô hướng giữa hai cạnh chung đỉnh $A$ bằng $\frac{a ^{2}}{2}$ .

(A B + A D) \cdot (A C - A B) = A B \cdot A C - A B^{2} + A D \cdot A C - A D \cdot A B

= \frac{a ^{2}}{2} - a^{2} + \frac{a ^{2}}{2} - \frac{a ^{2}}{2} = - \frac{a ^{2}}{2}

Vậy kết quả là $- \frac{a ^{2}}{2}$ .

3Cách 3. Toạ độ

Định hướng. $A (0; 0; 0)$ , $B (a; 0; 0)$ , $C (\frac{a}{2}; \frac{a 3}{2}; 0)$ , $D (\frac{a}{2}; \frac{a 3}{6}; \frac{a 6}{3})$ .

A B + A D = (\frac{3 a}{2}; \frac{a 3}{6}; \frac{a 6}{3})

;

B C = (- \frac{a}{2}; \frac{a 3}{2}; 0)

Tích

= - \frac{3 a ^{2}}{4} + \frac{3 a ^{2}}{12} + 0 = - \frac{a ^{2}}{2}

Vậy kết quả là $- \frac{a ^{2}}{2}$ .

Nhận xét. Dấu âm vì $A B$ và $B C$ “nối đuôi” nhau, tạo góc $12 0^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chung gốc, mọi tích đều là

\frac{a ^{2}}{2}

hoặc

a^{2}

Đáp số.

(A B + A D) \cdot B C = - \frac{a ^{2}}{2}

Sai lầm thường gặp. Lấy góc giữa

A B

và

B C

là

6 0^{\circ}

nên ra

+ \frac{a ^{2}}{2}

🚀 Mở rộng. Tương tự

(A B + A C + A D) \cdot B C = 0

vì

A B + A C + A D = 3 A G

vuông góc với mặt

(B C D)

Mở bài này trong app ↗

Bài 35 · Bài 35★★Trang 53— Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; mặt phẳng chứa đường thẳng

Bài 35 (trang 53). Trong không gian

O x y z

, cho đường thẳng

Δ : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{2}

và mặt phẳng

(P) : 2 x + y - z - 3 = 0

.
a) Tính góc giữa đường thẳng

Δ

và mặt phẳng

(P)

.
b) Viết phương trình mặt phẳng

(Q)

chứa

Δ

và mặt phẳng

(Q)

vuông góc với mặt phẳng

(P)

Kiến thức cần nhớ

$sin φ = \frac{∣ u \cdot n ∣}{∣ u ∣∣ n ∣}$ .
$(Q) ⊥ (P)$ thì $n_{P}$ song song hoặc nằm trong $(Q)$ .

🧠 Phân tích tư duy

sin (Δ, (P)) = ∣ cos (u, n) ∣

. Mặt phẳng

(Q)

chứa

Δ

và vuông góc

(P)

nên song song với cả

u

lẫn

n_{P}

: pháp tuyến

[u, n_{P}]

1Cách 1. Công thức và tích có hướng

Định hướng. $u = (1; 2; 2)$ , $n = (2; 1; - 1)$ , $M_{0} (2; - 2; 3) \in Δ$ .

sin φ = \frac{∣2 + 2 - 2∣}{3 6} = \frac{2}{3 6} = \frac{6}{9}

;

φ \approx 15, 8^{\circ}

[u, n] = (2 \cdot (- 1) - 2 \cdot 1; 2 \cdot 2 - 1 \cdot (- 1); 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = (- 4; 5; - 3)

(Q) : 4 (x - 2) - 5 (y + 2) + 3 (z - 3) = 0 \Leftrightarrow 4 x - 5 y + 3 z - 27 = 0

Vậy a) $sin φ = \frac{6}{9}$ , $φ \approx 15, 8^{\circ}$ ; b) $(Q) : 4 x - 5 y + 3 z - 27 = 0$ .

2Cách 2. Hệ số bất định cho

(Q)

Định hướng. $(Q) : A x + B y + C z + D = 0$ với $n_{Q} ⊥ u$ , $n_{Q} ⊥ n_{P}$ .

A + 2 B + 2 C = 0

;

2 A + B - C = 0

Từ phương trình sau:

C = 2 A + B

; thay vào:

5 A + 4 B = 0

Chọn

A = 4

B = - 5

C = 3

; qua

M_{0}

8 + 10 + 9 + D = 0 \Rightarrow D = - 27

Vậy $(Q) : 4 x - 5 y + 3 z - 27 = 0$ (ý a như Cách 1).

3Cách 3. Ý b qua hình chiếu

Định hướng. $(Q)$ chứa $Δ$ và hình chiếu của một điểm của $Δ$ lên $(P)$ .

M_{0} (2; - 2; 3)

; đường qua

M_{0}

vuông góc

(P)

(2 + 2 s; - 2 + s; 3 - s)

2 (2 + 2 s) + (- 2 + s) - (3 - s) - 3 = 0 \Leftrightarrow 6 s - 4 = 0 \Leftrightarrow s = \frac{2}{3}

;

H (\frac{10}{3}; - \frac{4}{3}; \frac{7}{3})

Kiểm

H \in (Q)

\frac{40}{3} + \frac{20}{3} + 7 - 27 = 0

Vậy $(Q) : 4 x - 5 y + 3 z - 27 = 0$ .

Nhận xét. $(Q)$ chính là mặt phẳng chiếu vuông góc của $Δ$ lên $(P)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một công thức sin cho góc, một tích có hướng [u, n] cho pháp tuyến của (Q).

Đáp số. a)

sin (Δ, (P)) = \frac{6}{9}

, góc

\approx 15, 8^{\circ}

; b)

(Q) : 4 x - 5 y + 3 z - 27 = 0

Sai lầm thường gặp. Ý a dùng công thức côsin cho góc giữa đường và mặt; ý b lấy

n_{P}

làm pháp tuyến của

(Q)

(khi đó

(Q) ∥ (P)

, không vuông góc).

🚀 Mở rộng. Giao tuyến của

(Q)

và

(P)

là hình chiếu vuông góc của

Δ

lên

(P)

Mở bài này trong app ↗

Bài 36 · Bài 36★★Trang 54— Vị trí mặt phẳng và mặt cầu; bán kính đường tròn giao tuyến

Bài 36 (trang 54). Trong không gian

O x y z

, cho mặt cầu

(S) : x^{2} + y^{2} + (z - 2)^{2} = 9

và mặt phẳng

(P) : 2 x + 2 y - z + 8 = 0

.
a) Xác định tâm

I

và bán kính

R

của mặt cầu

(S)

.
b) Chứng minh rằng mặt phẳng

(P)

cắt mặt cầu

(S)

. Tính bán kính

r

của đường tròn là giao tuyến của

(P)

và

(S)

Kiến thức cần nhớ

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R^{2}$ có tâm $(a; b; c)$ , bán kính $R$ .
$d (I, (P)) < R$ thì $(P)$ cắt $(S)$ theo đường tròn bán kính $R^{2} - d^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

So sánh khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng với bán kính; nếu nhỏ hơn thì cắt theo đường tròn bán kính

r = R^{2} - d^{2}

(định lí Py-ta-go). Bẫy: đọc sai dấu toạ độ tâm hoặc lấy r = R − d.

1Cách 1. Khoảng cách từ tâm

Định hướng. Đọc tâm, bán kính rồi tính khoảng cách.

I (0; 0; 2)

R = 3

d = \frac{∣0 + 0 - 2 + 8∣}{4 + 4 + 1} = \frac{6}{3} = 2 < 3

r = 9 - 4 = 5

Vậy a) $I (0; 0; 2)$ , $R = 3$ ; b) $(P)$ cắt $(S)$ theo đường tròn bán kính $r = 5$ .

2Cách 2. Tâm đường tròn giao tuyến

Định hướng. Tâm $H$ là hình chiếu của $I$ lên $(P)$ .

I H : (2 t; 2 t; 2 - t)

;

4 t + 4 t - 2 + t + 8 = 0 \Leftrightarrow t = - \frac{2}{3}

;

H (- \frac{4}{3}; - \frac{4}{3}; \frac{8}{3})

I H = \frac{16}{9} + \frac{16}{9} + \frac{4}{9} = 2

;

r = R^{2} - I H^{2} = 5

Vậy $r = 5$ , tâm đường tròn $H (- \frac{4}{3}; - \frac{4}{3}; \frac{8}{3})$ .

3Cách 3. Tìm một điểm chung

Định hướng. Chỉ ra một điểm thuộc cả $(P)$ và $(S)$ , và một điểm của $(P)$ nằm trong mặt cầu.

H (- \frac{4}{3}; - \frac{4}{3}; \frac{8}{3}) \in (P)

có

I H = 2 < 3

(P)

có điểm nằm trong mặt cầu nên cắt mặt cầu
Điểm

K = H + 5 \cdot \frac{( 1 ; - 1 ; 0 )}{2}

thuộc

(P)

và

I K^{2} = 4 + 5 = 9

Vậy $(P)$ cắt $(S)$ , $r = 5$ .

Nhận xét. Mọi điểm của đường tròn giao tuyến cách $H$ đúng $5$ vì $(1; - 1; 0) ⊥ n_{P}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: so khoảng cách 2 với bán kính 3, rồi r = √(R² − d²) theo Py-ta-go.

Đáp số. a)

I (0; 0; 2)

R = 3

; b)

d (I, (P)) = 2 < 3

r = 5

Sai lầm thường gặp. Đọc tâm

I (0; 0; - 2)

(sai dấu); hoặc lấy

r = R - d = 1

🚀 Mở rộng. Mặt phẳng song song với

(P)

và tiếp xúc

(S)

2 x + 2 y - z + c = 0

với

\frac{∣ c - 2∣}{3} = 3

, tức

c = 11

hoặc

c = - 7

Mở bài này trong app ↗

Bài 37 · Bài 37★★Trang 54— Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng

Bài 37 (trang 54). Trong không gian

O x y z

, cho hai đường thẳng:

Δ : ⎩ ⎨ ⎧ x = 3 y = 1 + t z = - 1 + 3 t

và

Δ^{'} : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + s y = - 2 + 3 s z = - 5

.
a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Δ

và

Δ^{'}

.
b) Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng

Δ

và

Δ^{'}

Kiến thức cần nhớ

$[u, v] \cdot M M^{'} \neq = 0$ thì hai đường chéo nhau.
$cos (Δ, Δ^{'}) = \frac{∣ u \cdot v ∣}{∣ u ∣∣ v ∣}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai chỉ phương

(0; 1; 3)

và

(1; 3; 0)

không cùng phương nên hai đường cắt nhau hoặc chéo nhau — xét tích hỗn tạp, hoặc giải hệ tìm giao điểm. Hai chỉ phương đã không cùng phương nên chỉ còn phân biệt cắt nhau hay chéo nhau.

1Cách 1. Tích hỗn tạp

Định hướng. $M (3; 1; - 1) \in Δ$ , $M^{'} (1; - 2; - 5) \in Δ^{'}$ .

[u, v] = (1 \cdot 0 - 3 \cdot 3; 3 \cdot 1 - 0 \cdot 0; 0 \cdot 3 - 1 \cdot 1) = (- 9; 3; - 1)

;

M M^{'} = (- 2; - 3; - 4)

[u, v] \cdot M M^{'} = 18 - 9 + 4 = 13 \neq = 0

cos = \frac{∣0 + 3 + 0∣}{10 \cdot 10} = \frac{3}{10}

Vậy a) $Δ$ và $Δ^{'}$ chéo nhau; b) côsin góc bằng $\frac{3}{10}$ .

2Cách 2. Giải hệ giao điểm

Định hướng. Cho các toạ độ bằng nhau.

3 = 1 + s \Rightarrow s = 2

;

1 + t = - 2 + 3 s = 4 \Rightarrow t = 3

z

- 1 + 3 t = 8

còn

z^{'} = - 5

— mâu thuẫn
Hệ vô nghiệm và

u

v

không cùng phương

Vậy hai đường thẳng chéo nhau; $cos = \frac{3}{10}$ .

3Cách 3. Khoảng cách hai đường chéo

Định hướng. Nếu cắt nhau thì khoảng cách bằng $0$ .

d = \frac{∣ [ u , v ] \cdot M M ^{'} ∣}{∣ [ u , v ] ∣} = \frac{13}{81 + 9 + 1} = \frac{13}{91} > 0

Vậy hai đường chéo nhau (và cách nhau $\frac{13}{91}$ ); $cos = \frac{3}{10}$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thêm thông tin định lượng: khoảng cách giữa hai đường chéo nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho ý a (giải hệ nhanh), công thức cho ý b.

Đáp số. a) Chéo nhau; b)

cos (Δ, Δ^{'}) = \frac{3}{10}

Sai lầm thường gặp. Kết luận “cắt nhau” vì chỉ phương không cùng phương, quên xét hệ; hoặc để côsin âm (thiếu trị tuyệt đối).

🚀 Mở rộng. Mặt phẳng chứa

Δ

và song song

Δ^{'}

có pháp tuyến

(9; - 3; 1)

9 x - 3 y + z - 23 = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 38 · Bài 38★★★Trang 54— Tổng hợp đường thẳng, mặt cầu, mặt phẳng; cực trị

Bài 38 (trang 54). Trong không gian

O x y z

, cho hai điểm

A (1; 2; 0)

và

B (3; 2; 2)

.
a) Viết phương trình tham số của đường thẳng

A B

.
b) Viết phương trình mặt cầu đường kính

A B

.
c) Viết phương trình mặt phẳng

(O A B)

.
d) Tìm toạ độ của điểm

M

trên mặt phẳng toạ độ

(O y z)

sao cho

M A^{2} + M B^{2}

nhỏ nhất.

Kiến thức cần nhớ

Công thức trung tuyến: $M A^{2} + M B^{2} = 2 M I^{2} + \frac{A B ^{2}}{2}$ .
Mặt cầu đường kính $A B$ : tâm trung điểm, bán kính $\frac{A B}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý d:

M A^{2} + M B^{2} = 2 M I^{2} + \frac{A B ^{2}}{2}

với

I

trung điểm

A B

, nên cần

M I

nhỏ nhất —

M

là hình chiếu của

I

lên

(O y z)

. Các ý a, b, c là công thức cơ bản; ý d là ý phân loại học sinh.

1Cách 1. Trung điểm và hình chiếu

Định hướng. $A B = (2; 0; 2)$ , $I (2; 2; 1)$ .

A B : ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + t y = 2 z = t

R = \frac{A B}{2} = \frac{2 2}{2} = 2

;

(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 2

[O A, O B] = (2 \cdot 2 - 0 \cdot 2; 0 \cdot 3 - 1 \cdot 2; 1 \cdot 2 - 2 \cdot 3) = (4; - 2; - 4)

;

(O A B) : 2 x - y - 2 z = 0

M A^{2} + M B^{2} = 2 M I^{2} + 4 \geq 2 d (I, (O y z))^{2} + 4 = 2 \cdot 4 + 4 = 12

;

M (0; 2; 1)

Vậy a) $x = 1 + t$ , $y = 2$ , $z = t$ ; b) $(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 2$ ; c) $2 x - y - 2 z = 0$ ; d) $M (0; 2; 1)$ (giá trị nhỏ nhất $12$ ).

2Cách 2. Toạ độ hoá ý d

Định hướng. $M (0; y; z)$ .

M A^{2} + M B^{2} = 1 + (y - 2)^{2} + z^{2} + 9 + (y - 2)^{2} + (z - 2)^{2} = 2 (y - 2)^{2} + 2 z^{2} - 4 z + 14

= 2 (y - 2)^{2} + 2 (z - 1)^{2} + 12 \geq 12

, dấu bằng khi

y = 2

z = 1

Vậy $M (0; 2; 1)$ .

3Cách 3. Mặt cầu qua điều kiện góc vuông (ý b)

Định hướng. $M (x; y; z)$ thuộc mặt cầu đường kính $A B$ khi $M A \cdot M B = 0$ .

(1 - x) (3 - x) + (2 - y)^{2} + (0 - z) (2 - z) = 0

x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x - 4 y - 2 z + 7 = 0 \Leftrightarrow (x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 2

Vậy trùng kết quả Cách 1.

Nhận xét. Điều kiện góc vuông cho phương trình mặt cầu đường kính $A B$ mà không cần tính tâm, bán kính.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1; ý d có thể thay bằng Cách 2 nếu quên công thức trung tuyến.

Đáp số. a)

x = 1 + t

y = 2

z = t

; b)

(x - 2)^{2} + (y - 2)^{2} + (z - 1)^{2} = 2

; c)

2 x - y - 2 z = 0

; d)

M (0; 2; 1)

Sai lầm thường gặp. Ý b lấy

R = A B = 22

; ý d chiếu

A

hoặc

B

thay vì trung điểm

I

🚀 Mở rộng. Với

M A^{2} + 2 M B^{2}

thì thay

I

bằng điểm

J = \frac{A + 2 B}{3} = (\frac{7}{3}; 2; \frac{4}{3})

, được

M (0; 2; \frac{4}{3})

Mở bài này trong app ↗

Bài 39 · Bài 39★★Trang 54— Ứng dụng: phương trình mặt phẳng chứa trục

O z

Bài 39 (trang 54). Một quả bóng được chuyền theo một đường parabol nằm trong một mặt phẳng

(α)

vuông góc với mặt sân cỏ, từ vị trí

O

đến vị trí

A

cách

O

một khoảng

20

m về hướng

S 3 0^{\circ} E

(hướng tạo với hướng nam góc

3 0^{\circ}

và tạo với hướng đông góc

6 0^{\circ}

). Các vị trí

O

A

đều thuộc sân cỏ. Chọn hệ trục toạ độ

O x y z

có gốc tại điểm

O

, các trục

O x

O y

thuộc mặt sân cỏ (phẳng), tia

O x

chỉ hướng nam, tia

O y

chỉ hướng đông, đơn vị đo theo mét. Viết phương trình mặt phẳng

(α)

Kiến thức cần nhớ

Mặt phẳng chứa trục $O z$ có dạng $a x + b y = 0$ .
Góc giữa $O A$ và $O x$ là $3 0^{\circ}$ nên $x_{A} = O A cos 3 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

(α)

vuông góc mặt sân và chứa

O

A

nên chứa

O A

và trục

O z

. Toạ độ

A

: hoành độ (hướng nam)

= 20 cos 3 0^{\circ}

, tung độ (hướng đông)

= 20 cos 6 0^{\circ}

. Bẫy: đảo hai toạ độ (cả hai trang web tham khảo đều ghi

A (10; 103; 0)

là sai).

1Cách 1. Tích có hướng

Định hướng. $A (20 cos 3 0^{\circ}; 20 cos 6 0^{\circ}; 0) = (103; 10; 0)$ , $k = (0; 0; 1)$ .

O A = (103; 10; 0) = 10 (3; 1; 0)

n = [(3; 1; 0), (0; 0; 1)] = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 0; 0 \cdot 0 - 3 \cdot 1; 0) = (1; - 3; 0)

(α) : x - 3 y = 0

Vậy $(α) : x - 3 y = 0$ .

2Cách 2. Dạng

a x + b y = 0

Định hướng. $(α)$ chứa $O z$ nên có dạng $a x + b y = 0$ ; thay $A$ .

103 a + 10 b = 0 \Rightarrow b = - 3 a

Chọn

a = 1

x - 3 y = 0

Vậy $(α) : x - 3 y = 0$ .

3Cách 3. Góc của vết trên mặt sân

Định hướng. Vết của $(α)$ trên mặt sân là đường $O A$ , tạo với $O x$ góc $3 0^{\circ}$ : $y = x tan 3 0^{\circ}$ .

y = \frac{x}{3} \Leftrightarrow x - 3 y = 0

(không ràng buộc

z

)

Vậy $(α) : x - 3 y = 0$ .

Nhận xét. Kiểm: điểm $A (103; 10; 0)$ thoả $103 - 103 = 0$ ; điểm $(3; 1; 5)$ phía trên $O A$ cũng thoả.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: đường

O A

lệch

3 0^{\circ}

so với

O x

là viết được ngay.

Đáp số.

(α) : x - 3 y = 0

(với

A (103; 10; 0)

)

Sai lầm thường gặp. Đảo toạ độ thành

A (10; 103; 0)

(dùng góc

3 0^{\circ}

với trục đông) dẫn tới

3 x - y = 0

— đó là mặt phẳng theo hướng

S 6 0^{\circ} E

, sai hình.

🚀 Mở rộng. Nếu bóng bay theo hướng

N 4 5^{\circ} E

(tia

O x

vẫn chỉ nam) thì

A (- 102; 102; 0)

và

(α) : x + y = 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 40 · Bài 40★★★Trang 54— Ứng dụng toạ độ trong không gian: vĩ độ, kinh độ

Bài 40 (trang 54). Đối với một vị trí

P

trong không trung, gọi

M

là giao điểm của tia

O P

với bề mặt Trái Đất. Khi đó vĩ độ, kinh độ của

M

cũng tương ứng được gọi là vĩ độ, kinh độ của

P

, độ dài

P M

được gọi là cao độ (so với mặt đất) của

P

. Vị trí

P

trong không trung hoàn toàn xác định khi biết vĩ độ, kinh độ và cao độ của nó. Tại một thời điểm, một vệ tinh ở vị trí có độ cao

19113

km so với mặt đất và có vĩ độ, kinh độ tương ứng là

3 0^{\circ} N

6 0^{\circ} W

. Trong không gian

O x y z

, tính toạ độ của vị trí vệ tinh tại thời điểm đó.

Kiến thức cần nhớ

$M (cos α cos β; cos α sin β; sin α)$ , kinh độ tây: $β < 0$ .
$O P = \frac{O P}{O M} O M$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dùng hệ toạ độ của SGK (Bài 17): gốc

O

là tâm Trái Đất, đơn vị dài

6371

km, điểm vĩ độ

α^{\circ} N

, kinh độ

β^{\circ} E

trên mặt đất có toạ độ

(cos α cos β; cos α sin β; sin α)

; kinh độ tây lấy

β

âm. Cao độ

19113

= 3

đơn vị nên

O P = 4

1Cách 1. Toạ độ điểm trên mặt đất rồi nhân tỉ số

Định hướng. $α = 3 0^{\circ}$ , $β = - 6 0^{\circ}$ .

M (cos 3 0^{\circ} cos 6 0^{\circ}; - cos 3 0^{\circ} sin 6 0^{\circ}; sin 3 0^{\circ}) = (\frac{3}{4}; - \frac{3}{4}; \frac{1}{2})

19113 : 6371 = 3

;

O P = 1 + 3 = 4

O P = 4 O M = (3; - 3; 2)

Vậy vệ tinh ở vị trí $P (3; - 3; 2)$ (đơn vị $6371$ km).

2Cách 2. Toạ độ cầu trực tiếp

Định hướng. $P$ có bán kính $ρ = 4$ , vĩ độ $3 0^{\circ}$ , kinh độ $- 6 0^{\circ}$ .

x = ρ cos α cos β = 4 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} = 3

y = ρ cos α sin β = 4 \cdot \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{2}) = - 3

z = ρ sin α = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2

Vậy $P (3; - 3; 2)$ .

3Cách 3. Kiểm tra độ dài và góc

Định hướng. Kiểm $O P = 4$ và góc với mặt phẳng xích đạo $(O x y)$ là $3 0^{\circ}$ .

O P = 3 + 9 + 4 = 4

;

sin (O P, (O x y)) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Hình chiếu

(3; - 3)

tạo với

O x

góc

- 6 0^{\circ}

vì

tan = \frac{- 3}{3} = - 3

Vậy $P (3; - 3; 2)$ thoả đủ các dữ kiện.

Nhận xét. Đổi ra km: $P$ cách tâm Trái Đất $4 \cdot 6371 = 25484$ km.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (công thức toạ độ cầu với

ρ = 4

Đáp số.

P (3; - 3; 2)

(đơn vị dài

6371

km)

Sai lầm thường gặp. Lấy

β = + 6 0^{\circ}

cho kinh độ tây nên

y = 3

; hoặc lấy

O P = 3

(quên cộng bán kính Trái Đất).

🚀 Mở rộng. Vệ tinh ở cùng độ cao, vĩ độ

3 0^{\circ} S

, kinh độ

6 0^{\circ} E

có toạ độ

(3; 3; - 2)

Mở bài này trong app ↗

Bài 41 · Bài 41★★Trang 55— So sánh độ lệch chuẩn hai mẫu ghép nhóm

Bài 41 (trang 55). Một nhóm học sinh áp dụng hai thiết bị để đo công suất của một chiếc quạt điện và thu được bảng tần số ghép nhóm sau:

Công suất (W)	$[72; 73)$	$[73; 74)$	$[74; 75)$	$[75; 76)$	$[76; 77)$
Số lần đo dùng thiết bị 1	$1$	$3$	$8$	$5$	$3$
Số lần đo dùng thiết bị 2	$3$	$4$	$6$	$5$	$2$

a) Tìm độ lệch chuẩn cho hai mẫu số liệu ghép nhóm về công suất của một chiếc quạt điện khi đo theo hai phương pháp trên.
b) Từ kết quả tính được hãy cho biết thiết bị nào cho kết quả ổn định hơn?

Kiến thức cần nhớ

$s^{2} = \frac{1}{n} \sum n_{i} x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ .
Tịnh tiến số liệu không làm đổi độ lệch chuẩn.

🧠 Phân tích tư duy

Hai mẫu cùng nhóm, cùng cỡ

n = 20

; giá trị đại diện

72, 5; \dots; 76, 5

. Đổi biến

u = x - 74, 5

cho số nhỏ. Độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì kết quả ổn định hơn.

1Cách 1. Đổi biến

u = x - 74, 5

Định hướng. $u \in {- 2; - 1; 0; 1; 2}$ .

TB1:

\overset{u}{ˉ} = \frac{- 2 - 3 + 0 + 5 + 6}{20} = \frac{6}{20} = 0, 3

;

\overline{u^{2}} = \frac{4 + 3 + 0 + 5 + 12}{20} = 1, 2

;

s_{1}^{2} = 1, 2 - 0, 09 = 1, 11

;

s_{1} \approx 1, 05

TB2:

\overset{u}{ˉ} = \frac{- 6 - 4 + 0 + 5 + 4}{20} = - 0, 05

;

\overline{u^{2}} = \frac{12 + 4 + 0 + 5 + 8}{20} = 1, 45

;

s_{2}^{2} = 1, 45 - 0, 0025 = 1, 4475

;

s_{2} \approx 1, 20

Vậy a) $s_{1} \approx 1, 05$ W, $s_{2} \approx 1, 20$ W; b) thiết bị 1 cho kết quả ổn định hơn.

2Cách 2. Công thức gốc

Định hướng. Tính trung bình và trung bình bình phương.

\overset{x}{ˉ}_{1} = \frac{1 496}{20} = 74, 8

;

\overset{x}{ˉ}_{2} = \frac{1 489}{20} = 74, 45

s_{1}^{2} = \frac{1}{20} \sum n_{i} (x_{i} - 74, 8)^{2} = \frac{22 , 2}{20} = 1, 11

;

s_{2}^{2} = \frac{28 , 95}{20} = 1, 4475

s_{1} \approx 1, 054

;

s_{2} \approx 1, 203

Vậy $s_{1} < s_{2}$ : thiết bị 1 ổn định hơn.

3Cách 3. So sánh định tính rồi xác nhận

Định hướng. Thiết bị 1 dồn $8$ lần đo vào nhóm giữa, thiết bị 2 dàn đều hơn ra hai đầu ( $3$ và $2$ lần ở hai nhóm biên so với $1$ và $3$ ).

Tổng bình phương độ lệch:

22, 2

(TB1) so với

28, 95

(TB2)

Vậy thiết bị 1 ít phân tán hơn, ổn định hơn.

Nhận xét. Cũng có thể so khoảng tứ phân vị, nhưng đề yêu cầu dùng độ lệch chuẩn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi biến làm mọi phép tính thành số nguyên nhỏ.

Đáp số. a)

s_{1} \approx 1, 05

s_{2} \approx 1, 20

W; b) thiết bị 1 ổn định hơn.

Sai lầm thường gặp. Kết luận theo số trung bình (

74, 8

và

74, 45

) thay vì độ lệch chuẩn; hoặc so phương sai rồi quên khai căn khi báo kết quả.

🚀 Mở rộng. Hệ số biến thiên

\frac{s}{x ˉ}

1, 41%

(TB1) và

1, 62%

(TB2) — cùng kết luận.

Mở bài này trong app ↗

Bài 42 · Bài 42★Trang 55— Xác suất có điều kiện từ bảng 2 × 2

Bài 42 (trang 55). Nghiên cứu hiệu quả của hai loại thuốc hạ huyết áp A và B trên

4000

người, ta thu được bảng thống kê

2 \times 2

sau đây:

Thuốc sử dụng	A	B
Hạ huyết áp	$1600$	$1200$
Không hạ huyết áp	$800$	$400$

Chọn ngẫu nhiên một người. Tính xác suất để:
a) Người đó hạ huyết áp biết rằng người đó dùng thuốc A;
b) Người đó dùng thuốc A biết rằng người đó hạ huyết áp;
c) Người đó dùng thuốc B biết rằng người đó không hạ huyết áp;
d) Người đó không hạ huyết áp biết rằng người đó dùng thuốc B.

Kiến thức cần nhớ

$P (E ∣ F) = \frac{n ( E F )}{n ( F )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bảng

2 \times 2

: xác suất có điều kiện là tỉ số giữa ô giao và tổng hàng/cột của điều kiện. Cần tính tổng: dùng A

2400

, dùng B

1600

, hạ huyết áp

2800

, không hạ

1200

1Cách 1. Đếm theo bảng

Định hướng. Tổng cột, tổng hàng.

\frac{1 600}{2 400} = \frac{2}{3}

; b)

\frac{1 600}{2 800} = \frac{4}{7}

\frac{400}{1 200} = \frac{1}{3}

; d)

\frac{400}{1 600} = \frac{1}{4}

Vậy a) $\frac{2}{3}$ ; b) $\frac{4}{7}$ ; c) $\frac{1}{3}$ ; d) $\frac{1}{4}$ .

2Cách 2. Công thức xác suất

Định hướng. Chia mọi ô cho $4000$ .

P (A) = 0, 6

;

P (H) = 0, 7

;

P (A H) = 0, 4

;

P (B \overline{H}) = 0, 1

;

P (\overline{H}) = 0, 3

;

P (B) = 0, 4

\frac{0 , 4}{0 , 6} = \frac{2}{3}

; b)

\frac{0 , 4}{0 , 7} = \frac{4}{7}

; c)

\frac{0 , 1}{0 , 3} = \frac{1}{3}

; d)

\frac{0 , 1}{0 , 4} = \frac{1}{4}

Vậy a) $\frac{2}{3}$ ; b) $\frac{4}{7}$ ; c) $\frac{1}{3}$ ; d) $\frac{1}{4}$ .

3Cách 3. Công thức Bayes kiểm tra b) từ a)

Định hướng. $P (A ∣ H) = \frac{P ( A ) P ( H ∣ A )}{P ( H )}$ .

P (A ∣ H) = \frac{0 , 6 \cdot \frac{2}{3}}{0 , 7} = \frac{0 , 4}{0 , 7} = \frac{4}{7}

P (\overline{H} ∣ B) = 1 - P (H ∣ B) = 1 - \frac{1 200}{1 600} = \frac{1}{4}

Vậy kết quả trùng Cách 1.

Nhận xét. Chú ý: thuốc B có tỉ lệ hạ huyết áp $\frac{3}{4}$ cao hơn thuốc A $(\frac{2}{3})$ dù số người hạ huyết áp dùng A nhiều hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng tổng hàng, tổng cột của bảng 2 × 2 rồi chia ô giao cho tổng của điều kiện.

Đáp số. a)

\frac{2}{3}

; b)

\frac{4}{7}

; c)

\frac{1}{3}

; d)

\frac{1}{4}

Sai lầm thường gặp. Chia nhầm cho tổng

4000

(quên điều kiện); đảo điều kiện giữa a) và b).

🚀 Mở rộng. Xác suất người đó hạ huyết áp biết dùng thuốc B là

\frac{3}{4}

— thuốc B hiệu quả hơn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 43 · Bài 43★★★Trang 55— Xác suất có điều kiện bằng đếm

Bài 43 (trang 55). Gieo ba con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét các biến cố sau:

A

: “Số chấm trên mặt xuất hiện của ba con xúc xắc khác nhau”;

B

: “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.
Tính

P (A ∣ B)

và

P (B ∣ A)

Kiến thức cần nhớ

$n (B) = n (Ω) - n (\overline{B})$ .
$P (E ∣ F) = \frac{n ( E F )}{n ( F )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Không gian mẫu

6^{3} = 216

n (B)

đếm qua biến cố đối (

216 - 5^{3} = 91

n (A B)

: ba số khác nhau có một số

6

: chọn vị trí của

6

rồi hai số còn lại khác nhau trong

{1; \dots; 5}

1Cách 1. Đếm trực tiếp bằng quy tắc nhân

Định hướng. Đếm $n (A)$ , $n (B)$ , $n (A B)$ .

n (A) = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120

;

n (B) = 216 - 125 = 91

;

n (A B) = 3 \cdot 5 \cdot 4 = 60

P (A ∣ B) = \frac{60}{91}

;

P (B ∣ A) = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}

Vậy $P (A ∣ B) = \frac{60}{91}$ , $P (B ∣ A) = \frac{1}{2}$ .

2Cách 2. Tính đối xứng cho

P (B ∣ A)

Định hướng. Biết ba số khác nhau thì bộ ba là một tập $3$ phần tử ngẫu nhiên trong $6$ số.

Xác suất số

6

thuộc bộ ba

= \frac{( 2 5 )}{( 3 6 )} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}

P (A ∣ B) = \frac{P ( A ) P ( B ∣ A )}{P ( B )} = \frac{\frac{120}{216} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{91}{216}} = \frac{60}{91}

Vậy $P (B ∣ A) = \frac{1}{2}$ , $P (A ∣ B) = \frac{60}{91}$ .

3Cách 3. Phân loại số mặt 6

Định hướng. Trong $B$ : đúng một mặt $6$ có $3 \cdot 25 = 75$ kết quả, hai mặt $6$ có $15$ , ba mặt $6$ có $1$ (tổng $91$ ).

Chỉ nhóm đúng một mặt

6

mới có thể thuộc

A

: hai số còn lại khác nhau:

3 \cdot 5 \cdot 4 = 60

trong

75

P (A ∣ B) = \frac{60}{91}

Vậy trùng kết quả.

Nhận xét. Phân loại giúp kiểm tra $n (B) = 75 + 15 + 1 = 91$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đếm n(B) qua biến cố đối 216 − 125 = 91, n(AB) = 3·5·4 = 60.

Đáp số.

P (A ∣ B) = \frac{60}{91} \approx 0, 659

;

P (B ∣ A) = \frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Đếm

n (B) = 3 \cdot 36 = 108

(đếm trùng các kết quả có nhiều mặt

6

); quên nhân

3

vị trí của mặt

6

khi đếm

n (A B)

🚀 Mở rộng. Xác suất để có ít nhất một mặt

6

biết tổng ba mặt bằng

10

… thử đếm:

n = 27

bộ có tổng

10

, trong đó

9

bộ chứa mặt

6

, xác suất

\frac{1}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 44 · Bài 44★★★Trang 55— Xác suất toàn phần ngược; công thức Bayes

Bài 44 (trang 55). Một cặp trẻ sinh đôi có thể do cùng một trứng sinh ra (gọi đó là cặp song sinh cùng trứng) hay do hai trứng khác nhau sinh ra (gọi là cặp song sinh khác trứng). Cặp song sinh cùng trứng luôn có cùng giới tính. Cặp song sinh khác trứng có xác suất

\frac{1}{2}

là cùng giới tính. Thống kê cho thấy

34%

cặp song sinh cùng là trai và

30%

cặp song sinh cùng là gái.
a) Chọn ngẫu nhiên một cặp trẻ sinh đôi. Tính xác suất để cặp trẻ sinh đôi được chọn là cặp song sinh cùng trứng.
b) Chọn ngẫu nhiên một cặp sinh đôi ta được một cặp sinh đôi có cùng giới tính. Tính xác suất để cặp sinh đôi này là cặp song sinh cùng trứng.

Kiến thức cần nhớ

$P (G) = P (T) P (G ∣ T) + P (\overline{T}) P (G ∣ \overline{T})$ .
$P (T ∣ G) = \frac{P ( T ) P ( G ∣ T )}{P ( G )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biết xác suất cặp cùng giới là

0, 34 + 0, 30 = 0, 64

và theo công thức toàn phần nó bằng

p \cdot 1 + (1 - p) \cdot \frac{1}{2}

— giải ngược ra

p

. Ý b là Bayes.

1Cách 1. Giải phương trình xác suất toàn phần

Định hướng. $T$ : “cùng trứng”, $G$ : “cùng giới”, $p = P (T)$ .

P (G) = 0, 34 + 0, 30 = 0, 64

p + \frac{1 - p}{2} = 0, 64 \Leftrightarrow \frac{1 + p}{2} = 0, 64 \Leftrightarrow p = 0, 28

P (T ∣ G) = \frac{0 , 28 \cdot 1}{0 , 64} = \frac{7}{16} = 0, 4375

Vậy a) $0, 28$ ; b) $\frac{7}{16}$ .

2Cách 2. Tần số trên

100

cặp

Định hướng. $64$ cặp cùng giới, $36$ cặp khác giới.

36

cặp khác giới đều là khác trứng, chiếm một nửa số cặp khác trứng: số cặp khác trứng

= 72

Số cặp cùng trứng

= 100 - 72 = 28

b) Trong

64

cặp cùng giới có

28

cặp cùng trứng:

\frac{28}{64} = \frac{7}{16}

Vậy a) $0, 28$ ; b) $\frac{7}{16}$ .

3Cách 3. Qua biến cố khác giới

Định hướng. $P (\overline{G}) = (1 - p) \cdot \frac{1}{2} = 0, 36$ .

1 - p = 0, 72 \Rightarrow p = 0, 28

P (T ∣ G) = \frac{P ( T )}{P ( G )} = \frac{0 , 28}{0 , 64} = \frac{7}{16}

(vì

T \subset G

)

Vậy a) $0, 28$ ; b) $\frac{7}{16}$ .

Nhận xét. Nhìn vào biến cố khác giới là cách nhanh nhất: chỉ cặp khác trứng mới khác giới.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: quy về 100 cặp — 36 cặp khác giới là một nửa số cặp khác trứng.

Đáp số. a)

0, 28

; b)

\frac{7}{16} = 0, 4375

Sai lầm thường gặp. Lấy

0, 64

làm đáp số ý a (nhầm “cùng giới” với “cùng trứng”); hoặc chỉ dùng

34%

con trai.

🚀 Mở rộng. Xác suất cặp khác giới là khác trứng bằng

1

; xác suất cặp là khác trứng biết cùng giới là

\frac{9}{16}

Mở bài này trong app ↗

Bài 45 · Bài 45★★Trang 55— Công thức Bayes

Bài 45 (trang 55). Thống kê cho thấy tỉ lệ người mắc bệnh X trong dân cư là

20%

. Bệnh X có liên quan tới triệu chứng S.
a) Theo bác sĩ M nếu một người mắc bệnh X thì khả năng người đó có triệu chứng S là

90%

và nếu người đó không mắc bệnh X thì chỉ có

15%

khả năng người đó có triệu chứng S mà thôi. Vậy theo bác sĩ M, nếu một người có triệu chứng S thì xác suất để người đó mắc bệnh X là bao nhiêu?
b) Theo bác sĩ N nếu một người mắc bệnh X thì

95%

khả năng người đó có triệu chứng S và nếu người đó không mắc bệnh X thì chỉ có

10%

khả năng người đó có triệu chứng S mà thôi. Vậy theo bác sĩ N, nếu một người có triệu chứng S thì xác suất để người đó mắc bệnh X là bao nhiêu?
c) Theo bác sĩ P nếu một người mắc bệnh X thì

99%

khả năng người đó có triệu chứng S. Còn nếu người đó không mắc bệnh X thì chỉ có

1%

khả năng người đó có triệu chứng S mà thôi. Vậy theo bác sĩ P, nếu một người có triệu chứng S thì xác suất để người đó mắc bệnh X là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

$P (X ∣ S) = \frac{P ( X ) P ( S ∣ X )}{P ( X ) P ( S ∣ X ) + P ( X ) P ( S ∣ X )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba ý cùng khuôn Bayes với

P (X) = 0, 2

, chỉ khác

P (S ∣ X)

và

P (S ∣ \overline{X})

. Nên viết công thức tổng quát một lần rồi thay số.

1Cách 1. Công thức Bayes

Định hướng. $P (X) = 0, 2$ , $P (\overline{X}) = 0, 8$ .

\frac{0 , 2 \cdot 0 , 9}{0 , 2 \cdot 0 , 9 + 0 , 8 \cdot 0 , 15} = \frac{0 , 18}{0 , 30} = 0, 6

\frac{0 , 2 \cdot 0 , 95}{0 , 19 + 0 , 8 \cdot 0 , 1} = \frac{0 , 19}{0 , 27} = \frac{19}{27} \approx 0, 704

\frac{0 , 2 \cdot 0 , 99}{0 , 198 + 0 , 8 \cdot 0 , 01} = \frac{0 , 198}{0 , 206} = \frac{99}{103} \approx 0, 961

Vậy a) $0, 6$ ; b) $\frac{19}{27} \approx 0, 704$ ; c) $\frac{99}{103} \approx 0, 961$ .

2Cách 2. Tần số trên

1000

người

Định hướng. $200$ người mắc X, $800$ người không mắc.

S

180

(mắc) và

120

(không mắc);

\frac{180}{300} = 0, 6

190

và

80

;

\frac{190}{270} = \frac{19}{27}

198

và

8

;

\frac{198}{206} = \frac{99}{103}

Vậy a) $0, 6$ ; b) $\frac{19}{27}$ ; c) $\frac{99}{103}$ .

3Cách 3. Tỉ số khả dĩ (odds)

Định hướng. Odds sau $=$ odds trước $\times$ tỉ số $\frac{P ( S ∣ X )}{P ( S ∣ X )}$ ; odds trước $= \frac{0 , 2}{0 , 8} = \frac{1}{4}$ .

\frac{1}{4} \cdot \frac{0 , 9}{0 , 15} = \frac{3}{2}

;

P = \frac{3}{3 + 2} = 0, 6

\frac{1}{4} \cdot 9, 5 = \frac{19}{8}

;

P = \frac{19}{27}

\frac{1}{4} \cdot 99 = \frac{99}{4}

;

P = \frac{99}{103}

Vậy a) $0, 6$ ; b) $\frac{19}{27}$ ; c) $\frac{99}{103}$ .

Nhận xét. Triệu chứng càng “đặc hiệu” (tỉ số $\frac{P ( S ∣ X )}{P ( S ∣ X )}$ càng lớn) thì kết luận càng chắc chắn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: ba ý chỉ là ba phép chia.

Đáp số. a)

0, 6

; b)

\frac{19}{27} \approx 0, 704

; c)

\frac{99}{103} \approx 0, 961

Sai lầm thường gặp. Lấy

90%

95%

99%

làm đáp số (nhầm

P (S ∣ X)

với

P (X ∣ S)

) — lỗi kinh điển khi đọc kết quả xét nghiệm.

🚀 Mở rộng. Nếu tỉ lệ mắc bệnh chỉ

1%

thì với số liệu của bác sĩ P:

P (X ∣ S) = \frac{0 , 0099}{0 , 0099 + 0 , 0099} = 0, 5

— bệnh hiếm làm kết quả kém chắc chắn.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài tập cuối chương VI Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 12